[推荐学习]2019年高考数学一轮复习课时分层训练36二元一次不等式组与简单的线性规划问题理北师大版

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高考数学总复习课时跟踪检测36二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题

高考数学总复习课时跟踪检测36二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．(2012 ·三明模拟 ) 已知点 ( － 3，－ 1) 和点 (4 ，－ 6) 在直线 3 － 2 y－＝ 0 的双侧，则x aa 的取值范围为 ()A ． ( －24,7)B ． ( － 7,24)C ． ( －∞，－ 7) ∪ (24 ，＋∞ )D ． ( －∞，－ 24) ∪ (7 ，＋∞)x ≤2，2 ( x ，y ) 知足 y ≥1，则 2x＋ y 取最小值时的最优解是 ()．已知实数对x － y ≥0，A ．6B ．3C ． (2,2)D ． (1,1)x ＋ 2y ≥2，3．(2012 ·山东高考 ) 设变量 x ，y 知足拘束条件2x ＋ y ≤4，则目标函数 z ＝ 3x4x － y ≥－ 1，－ y 的取值范围是 () 33A. －2，6B. －2，－ 1 C ． [ －1,6] D.－ 6， 32x － y ≤0，4．在不等式组 x ＋ ≥0，确立的平面地区中，若＝＋ 2 的最大值为3，则z axyy ≤ a的值是()A ．1B ．2C ．3D ．42x － y ＋2≥0，5 (2012 ·石家庄质检 ) 已知点 Q (5,4) ，动点 P ( x y ) 知足 x ＋ y －2≤0，则 | PQ |．，y －1≥0，的最小值为 ()A ．5 B.43C ．2D ．76 ．(2013 ·烟台模拟) 已知 A (3 ， 3) ， O 是坐标原点，点P ( x ， y ) 的坐标知足3x－y≤0，uuur uuurx－3y＋2≥0，Z 的取值范围是(设 Z 为OA在OP上的投影，则) y≥0，A．[－ 3， 3] B．[ － 3,3]C．[ － 3，3] D ．[ －3， 3 ]7．(2013 ·成都月考 ) 若点( 3)到直线 4x － 3 ＋1＝ 0 的距离为4，且点P在不等式P m,y2x＋y＜ 3 表示的平面地区内，则m＝________.y－2≤0，8．(2012 ·“江南十校”联考) 已知x，y知足x＋3≥0，则x2＋y2的最大值为x－ y－1≤0，________．9．(2012 ·上海高考) 知足拘束条件| x| ＋ 2| y| ≤2的目标函数z ＝ y－ x 的最小值是________．x－ y＋5≥0，10．画出不等式组x＋ y≥0，表示的平面地区，并回答以下问题：x≤3(1) 指出x，y的取值范围；(2) 平面地区内有多少个整点？11．某玩具生产企业每日计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100 个，生产一个卫兵需 5 分钟，生产一个骑兵需7 分钟，生产一个伞兵需 4 分钟，已知总生产时间不超出10小时．若生产一个卫兵可获收益 5 元，生产一个骑兵可获收益 6 元，生产一个伞兵可获收益3 元．(1) 用每日生产的卫兵个数x 与骑兵个数 y 表示每日的收益W(元)；(2)如何分派生产任务才能使每日的收益最大，最大收益是多少？x－4y＋3≤0，12．变量x、y知足3x＋5y－25≤0，x≥1.y(1)设 z＝x，求 z 的最小值；(2)设 z＝ x2＋ y2，求 z 的取值范围．x ＋ 2y ≥0， 1．(2012 ·龙岩阶段性检测 ) 在平面直角坐标系中，不等式组 2x － y ≥0， a ＞ 0x ≤ a表示的平面地区的面积为5，直线－＋＝ 0 过该平面地区，则的最大值是 ________．mx y mm 2．(2012 ·济南质检 ) 已知实数 x ， y 知足 |2 x ＋ y ＋1| ≤|x ＋ 2y ＋ 2| ，且－ 1≤ y ≤1，则 z ＝ 2x ＋ y 的最大值为 ()A ． 6B ． 5C ．4D ．－3x ＋ y ≥1，．若 x ， y 知足拘束条件 x － y ≥－ 1，32x － y ≤2，11(1) 求目标函数 z ＝ 2x － y ＋ 2的最值．(2) 若目标函数 z ＝ ax ＋ 2y 仅在点 (1,0) 处获得最小值，求a 的取值范围．[答题栏]1._________2._________3._________4._________5._________6._________B 级 1.______ 2.______7. __________ 8. __________ 9. __________答案课时追踪检测 ( 三十六 )A 级1． B 2.D 3.A 4.A5．选 A 不等式组所表示的可行域如下图，直线 AB 的方程为 x ＋ y －2＝ 0，过 Q 点且与直线 AB 垂直的直线为 y － 4＝ x － 5，3 1即 x － y － 1＝ 0，其与直线 x ＋ y － 2＝ 0 的交点为 2， 2 ，而 B (1,1) ，3A (0,2) ，由于 2＞ 1，因此点 Q 在直线 x ＋ y －2＝ 0 上的射影不在线段 AB 上，则 | PQ | 的最小值即为点 Q 到点 B 的距离，故 | PQ |min ＝5－ 12＋4－ 12＝ 5.6. 选 B 拘束条件所表示的平面地区如图．uuuruuurOA 在 OP 上的投uuur uuur影为 | OA | ·cos θ ＝ 2 3cos θ( θ 为 OA 与 OP ―→的夹角 ) ，∵∠ xOA ＝30°，∠ xOB ＝60°，∴ 30°≤ θ≤150°，∴ 2 3cosθ∈ [ － 3,3] ．|4 m－ 9＋ 1|＝ 4，7．分析：由题意可得52m＋ 3＜ 3，解得 m＝－3.答案：－ 38．分析：作出如下图的可行域．x2＋ y2表示可行域内的点到原点的距离的平方，易知在点A(－223，－ 4) 处取最大值 ( － 3) ＋ ( －4) ＝ 25.9.分析：由题意知拘束条件表示的可行域为如下图的菱形地区，因此当 x＝2，y＝0时，目标函数 z＝ y－ x 获得最小值－2.答案：－ 210．解： (1) 不等式x－y＋5≥0表示直线x－ y＋5＝0上及右下方的点的会合． x＋ y≥0表示直线x＋ y＝0上及右上方的点的集合， x≤3表示直线x＝3上及左方的点的会合．x－ y＋5≥0，因此，不等式组x＋ y≥0，表示的平面地区如图所x≤3示．5联合图中可行域得x∈ －2，3，y∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知－x≤ y≤ x＋5，－2≤x≤3，且x∈ Z.当 x＝3时，－3≤ y≤8，有12个整点；当 x＝2时，－2≤ y≤7，有10个整点；当 x＝1时，－1≤ y≤6，有8个整点；当x＝0时，0≤ y≤5，有6个整点；当 x＝－1时，1≤ y≤4，有4个整点；当 x＝－2时，2≤ y≤3，有2个整点；因此平面地区内的整点共有2＋ 4＋ 6＋ 8＋ 10＋ 12＝ 42( 个 ) ．11．解： (1) 依题意每日生产的伞兵个数为100－x－y，因此收益 W＝5x＋6y＋3(100－ x－y)＝2x＋3y＋ 300.(2 ) 拘束条件为5 x ＋7 ＋4100－－y≤600，y x100－x－y≥0，x≥0， y≥0， x∈Z， y∈Z，x＋3y≤200，整理得x＋ y≤100，x≥0， y≥0， x∈Z，y∈Z，目标函数为W＝2x＋3y＋300，如下图，作出可行域．初始直线 l 0：2x＋3y＝0，平移初始直线经过点A时， W有最大值．x＋3y＝200，x＝50，最优解为 A(50,50)，由得x＋ y＝100，y＝50，因此max＝550(元)．W答：每日生产卫兵50 个，骑兵50 个，伞兵 0 个时收益最大，为550 元．x－4y＋3≤0，12.解：由拘束条件 3x＋ 5y－25≤0，作出(x，y)的可x≥1行域如下图．x＝1，由3x＋ 5y－ 25＝0，22解得A1，5.x＝1，由解得 C(1,1)．x－4y＋3＝0，x－4y＋3＝0，由解得 B(5,2)．3x＋ 5y－ 25＝0，(1) z＝y＝y－0表示的几何意义是可行域中的点与原点O连线的斜率. x x－02察看图形可知z min＝ k OB＝.5(2)z＝x2＋ y2的几何意义是可行域上的点到原点 O的距离的平方．联合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d ＝| OC|＝2，d＝| OB|＝ 29.min max故 z 的取值范围为[2,29]．B 级a 1．分析：平面地区如下图，A( a, 2a)，B a，－2.∴S△OAB＝1×5a×a＝ a2＝5，2 24∴a＝2，即 A(2,4)， B(2，－1)．又 mx－ y＋ m＝0过定点(－1,0)，5即y ＝＋，斜率的最大值为过A44点时的值为＝ . mx m m2－－134答案：32.选 B |2 x＋y＋1| ≤|x＋ 2y＋ 2| 等价于 (2 x＋y＋ 1) 2≤(x＋ 2y ＋2) 2，即x2≤(y＋ 1) 2，即 | x| ≤|y＋ 1|. 又－ 1≤y≤1，作出可行域如图暗影部分所示．则当目标函数过 C(2,1)时获得最大值，因此 z max＝2×2＋1＝5.3．解： (1) 作出可行域如图，可求得A(3,4)， B(0,1)，C(1,0)．1 1平移初始直线2x－ y＋2＝0，过A(3,4)取最小值－2，过 C(1,0)取最大值 1.∴ z 的最大值为1，最小值为－ 2.(2)直线 ax＋2y＝ z 仅在点(1,0)处获得最小值，由图象可a知－ 1<－ <2，2解得－ 4<a<2.故所求 a 的取值范围为(－4,2)．。

2019版高考数学理一轮课时达标34二元一次不等式组与简

课时达标第34讲[解密考纲]考查线性规划以选择题或填空题的形式出现．一、选择题1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2，则z ＝4x ＋y 的最大值为( B )A ．10B ．8C ．2D ．0解析画出可行域，根据图形可知，当目标函数的图象经过点A (2,0)时，z ＝4x ＋y 取得最大值8.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( A )A ．⎣⎡⎦⎤－32，6 B ．⎣⎡⎦⎤－32，－1 C ．[－1,6]D ．⎣⎡⎦⎤－6，32 解析不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1表示的平面区域如图中阴影部分所示．由图可知，当直线z ＝3x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值6，过点B ⎝⎛⎭⎫12，3时，z 取得最小值－32，故选A ．3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤1，x ＋y ≥2，y ≤2，则目标函数z ＝x 2＋y 2的取值范围为( C )A ．[2,8]B ．[4,13]C ．[2,13]D ．⎣⎡⎦⎤52，13解析作出可行域，如图中阴影部分，将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方，从而可得z min ＝|OA |2＝⎝⎛⎭⎪⎫|0＋0－2|12＋122＝2，z max ＝|OB |2＝32＋22＝13.故z ∈[2,13]．4．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－2，则k ＝( B )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析当k ≥0时，直线z ＝y －x 不存在最小值，∴k ＜0.当k ＜0时，当有且仅当直线z ＝y －x 经过kx －y ＋2＝0与x 轴的交点，(－2k ，0)时，z 取得最小值－2，∴－2＝2k，即k ＝－1.5．若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a ＝( A )A ．3B ．6C ．5D ．4解析先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0对应的区域，如图．因为直线ax －y ＋1＝0过定点(0,1)，且不等式ax －y ＋1≥0表示的区域在直线ax －y ＋1＝0的下方，所以△ABC 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0对应的平面区域．因为A 到直线BC 的距离为1，所以S △ABC ＝12×1×BC ＝2，所以BC ＝4.当x ＝1时，y C ＝1＋a ，所以y C ＝1＋a ＝4，解得a ＝3.6．设实数x, y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则z ＝y x ＋xy的取值范围是( D )A ．⎣⎡⎦⎤13，103 B ．⎣⎡⎦⎤13，52 C ．⎣⎡⎦⎤2，52 D ．⎣⎡⎦⎤2，103 解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影所示．解方程组得可行域的顶点分别为A (3,1)，B (1,2)，C (4,2)．由于yx 表示可行域内的点(x ，y )与原点(0,0)的连线的斜率，则k OA＝13，k OB ＝2，k OC ＝12，所示y x ∈⎣⎡⎦⎤13，2.结合对勾函数的图象，得z ∈⎣⎡⎦⎤2，103，故选D ．二、填空题7．(2016·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为__3__. 解析由约束条件画出可行域，如图．y x 的几何意义是可行域内的点(x ，y )与原点连线的斜率，所以yx的最大值即为直线OA 的斜率，又由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋y －4＝0得点A 的坐标为(1,3)，于是⎝⎛⎭⎫y x max ＝k OA ＝3. 8．已知实数x ，y 满足x 2＋(y －2)2＝1，则ω＝x ＋3y x 2＋y 2的取值范围是__[1,2]__.解析设P (x ，y )，M (1，3)，则cos 〈OP →，OM →〉＝x ＋3y 2x 2＋y 2＝ω2，过原点O 作⊙C 的切线OA ，OB ，切点为A ，B ，易知：∠MOx ＝∠AOx ＝60°，∠BOx ＝120°， ∴0°≤〈OP →，OM →〉≤60°，∴12≤cos 〈OP →，OM →〉≤1，∴1≤ω≤2. 9．已知a >0，实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a的值为__12__.解析由题意得直线y ＝a (x －3)过x ＝1与2x ＋y ＝1的交点(1，－1)，因此a 的值为12.三、解答题10．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)，如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．解析 (1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)依题意[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]<0，即(14－a )(－18－a )<0，解得－18<a <14.故a 的取值范围是(－18,14)．11．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．解析可行域如图阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫1，225. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． (1)设P (x ，y )，则z ＝y x ＝y －0x －0＝k PO ，由图知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2＝|PO |2，∵|OC |2＝2，|OB |2＝29， ∴由图得2≤z ≤29，即z ∈[2,29]．(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝(－3－5)2＋(2－2)2＝8. ∴16≤z ≤64，即z ∈[16,64]．12．某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每辆车每天往返一次．A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解析设A 型，B 型车分别为x ，y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y . 由题意，得x ，y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作出可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线1 600x ＋2 400y ＝z 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z 2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆，B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．。

2019届高考数学一轮复习第六章不等式课堂达标32二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题文新人教版

丰富丰富纷纷课堂达标 ( 三十二 ) 二元一次不等式 ( 组) 与简单的线性规划问题[A 基础牢固练 ]1．以下不等式必然成立的是( )21A ． lg x ＋4 >lgx ( x >0)1B ． sin x ＋ sin x ≥2( x ≠ k π ，k ∈Z) C ． x 2＋1≥2| x |( x ∈ R)1D. x 2＋ 1>1( x ∈ R)[剖析]21 1 2＋ 1 x ( x >0) ，当 x >0 时， x ＋≥2· x · ＝ x ，因此 lgx≥lg424应选项 A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当 x ≠ k π ， k ∈ Z 时， sin x 的正负不定，应选项B 不正确；由基本不等式可知，选项 C 正确；1当 x ＝0 时，有 x 2＋1＝ 1，应选项 D 不正确．[答案]C1 22． ( 高考湖南卷 ) 若实数 a ， b 满足 a ＋ b ＝ ab ，则 ab 的最小值为 ( )A. 2 B ． 2 C ．2 2D ． 41 212 2[剖析] 由 a ＋b ＝ ab 知 a >0，b >0，因此 ab ＝ a ＋ b ≥2ab ，即 ab ≥2 2，当且仅1 2a ＝b，即 a ＝44ab 的最小值为 2 2.当2，b ＝ 22时取“＝”，因此1＋ 2＝，a bab[答案]C3．(2017 ·山东 ) 若 a >b >0，且 ab ＝ 1，则以下不等式成立的是( )1 bb1A ． a ＋ < a <log 2( a ＋b )B. a <log 2( a ＋ b )< a ＋b 22b1b1 bC ． a ＋ b <log 2( a ＋b )< 2aD ． log 2( a ＋ b )< a ＋ b <2a丰富丰富纷纷b[剖析] 因为 a >b >0，且 ab ＝ 1，因此 a >1,0< b <1，∴ 2a <1，log 2( a ＋ b )>log 22 ab ＝ 1,2 a 11 1＋ b >a ＋ b >a ＋b ? a ＋ b >log 2( a ＋b ) ，因此选 B.[答案]B4．(2018 ·湖北七市 ( 州 ) 协作体联考 ) 已知直线ax ＋ by －6＝ 0( >0， >0) 被圆 x 2＋y 2－ab2x － 4y ＝ 0 截得的弦长为 25，则 ab 的最大值是 ()9 A ． 9B. 25 C ． 4D. 2[剖析]将圆的一般方程化为标准方程为( x － 1) 2＋ ( y － 2) 2＝ 5，圆心坐标为 (1,2) ，半9径 r ＝ 5，故直线过圆心，即a ＋2b ＝ 6，∴ a ＋ 2b ＝6≥2 a ·2b ，可得 ab ≤2，当且仅当 a＝2 b ＝ 3 时等号成立，即ab 的最大值是9，应选 B.2[答案]B1 925．正数 a ， b 满足 a ＋ b ＝ 1，若不等式 a ＋ b ≥－ x ＋ 4x ＋ 18＝m 对任意实数x 恒成立，则实数 m 的取值范围是 ()A ． [3 ，＋∞ )B ． ( －∞， 3]C ． ( －∞， 6]D ． [6 ，＋∞)1 9[剖析]因为 a >0， b >0，a ＋ b ＝ 1，19b 9a2因此 a ＋ b ＝ ( a ＋ b ) a ＋ b ＝ 10＋a ＋ b ≥10＋ 2 9＝ 16，由题意，得 16≥－ x ＋ 4 x ＋ 18－m ，即 2－ 4 x －2≥－m 对任意实数x 恒成立，而x 2－ 4 x －2＝ ( x － 2) 2－ 6，因此2－4 －2xxx的最小值为－ 6，因此－ 6≥－，即 ≥6.mm[答案]D1 11 96．(2018 ·吉林九校第二次联考 ) 若正数 a ， b 满足 a ＋ b ＝ 1，则 a － 1 ＋b － 1 的最小值是()A ． 1B ． 621 1a1[剖析]∵正数 a ，b 满足 a ＋ b ＝ 1，∴ b ＝ a － 1>0，解得 a >1. 同理可得 b >1，因此 a －1＋9 ＝ 1 ＋9 ＝ 1＋ 9( a －1) ≥21a －＝ 6，当且仅当 1＝9( a －b － 1 a － 1 aa － 1a － 1a － 1a － 1－141) ，即 a ＝ 3时等号成立，因此最小值为 6. 应选 B.[答案]B7．(2018 ·山东省实验中学一模试卷 ) 已知 x ＞ 0，y ＞ 0， x ＋2y ＋ 2xy ＝ 8，则 x ＋ 2y 的最小值是 ______．[ 解 ] 察看基本不等式x ＋ 2y ＝ 8－ x ·(2 y ) ≥8－ x ＋ 2y2( 当且仅当 x ＝ 2y 时取等号 )2整理得 ( x ＋ 2y ) 2＋4( x ＋ 2y ) －32≥0即 ( x ＋2y － 4)( x ＋ 2y ＋8) ≥0，又 x ＋ 2y ＞ 0，因此 x ＋ 2y ≥4( 当且仅当 x ＝ 2y 时取等号 )则 x ＋2y 的最小值是 4.[答案]4148．(2018 ·盐城三模 ) 若 a ， b 均为非负实数，且 a ＋ b ＝ 1，则 a ＋2b ＋ 2a ＋ b 的最小值为______．[剖析]由题意可知： 3 ＋ 3 b ＝ 3，故： 1 ＋ 4aa ＋ 2b 2a ＋ b1 1 4＝ ×[( a ＋ 2b ) ＋(2 a ＋ b )] a ＋ 2 ＋2 ＋b 3 ba1 2a ＋ b a ＋ 2b ＝ 3 5＋ a ＋ 2b ＋ 2a ＋ b12a ＋ ba ＋ 2b1≥ × 5＋ 2 a ＋ 2 ×2 a ＋ b ＝ ×9＝ 3.3 3b当且仅当 a ＝ 1，＝ 0 时等号成立．b[答案]39． ( 高考重庆卷 ) 设， >0，＋＝5，则a ＋ 1＋＋ 3的最大值为 ______．a b a bb[剖析 ] 令 t ＝ a ＋ 1＋ b ＋3 ，则 t 2＝ a ＋ 1＋ b ＋ 3＋ 2a ＋b ＋＝9＋2 a ＋b ＋≤9＋ a ＋1＋＋ 3＝ 13＋ a ＋＝ 13＋ 5＝ 18，当且仅当 a＋1＝＋3 时取bbb等号，此时a ＝ 7，＝ 3. 因此 t max ＝ 18＝ 3 2.2 b 2[答案]3 2x y x y(1) 求 u ＝ lg x ＋ lg y 的最大值；1 1(2) 求x ＋ y 的最小值．[ 解 ] (1) ∵ x >0， y >0， ∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥2 10xy .∵ 2x ＋ 5y ＝ 20，∴ 2 10xy ≤20， xy ≤10，当且仅当 2x ＝ 5y 时，等号成立．因此有2x ＋ 5y ＝20， x ＝ 5，解得y ＝ 2，2x ＝ 5y ，此时 xy 有最大值 10.∴ u ＝ lg x ＋ lg x ＝ lg( xy ) ≤lg 10 ＝ 1.∴当 x＝ 5，＝2 时，＝lgx ＋ lg y 有最大值 1.y u1 11 12x ＋ 5y 1 5y 2x15y 2x(2) ∵ x >0， y >0，∴ x ＋ y ＝ x ＋ y · 20 ＝ 20 7＋ x ＋ y ≥20 7＋2 x ·y＝7＋2 10 5y 2x20 ，当且仅当 x ＝ y 时，等号成立．2 x ＋5 ＝ 20，10 10－ 20yx ＝ 3 ，由 5y 2x解得＝，20－ 40 10xyy ＝ 31 17＋ 2 10∴ x ＋y 的最小值为20.[B 能力提升练 ]3x － y －6≤0，． (2018 ·河北五校联考 ) 设 x ， y 满足拘束条件 x － y ＋2≥0，若目标函数 z ＝1x ≥0， y ≥0，＋ ( a >0， >0) 的最大值为3 2)12，则＋的最小值为 (axbyba b25 8 A. 6B. 311D ． 4C.3[剖析]不等式组在直角坐标系中所表示的平面地域如图中的阴影部分所示．由 z ＝ axa za＋by 得 y ＝－ b x ＋ b ，当 z 变化时，它表示经过可行域的一组平行直线，其斜率为－b ，在 yzA (4,6) 时，在 y 轴上的截距最大，从而z 也最大，轴上的截距为 b ，由图可知当直线经过点322＋3 3 2 1 4a 9b因此4a＋ 6b＝ 12 ，即 2a＋ 3b＝ 6，因此a＋b＝a6b·a＋b＝6 6＋6＋b＋a ≥4，当且仅当3＝ 1 时等号成立．＝，a 2 b[答案] D2．已知各项均为正数的等比数列 { a } 满足a＝a＋ 2a，若存在两项 a ， a 使得 a a ＝n 7 6 5 mn m n1 44a，则＋的最小值为 ()1 m n3 5A. B.2 39 25C. 4D. 6[剖析] 由各项均为正数的等比数列{ a n} 满足a7＝a6＋ 2a5，可得a1q6＝a1q5＋2a1q4，所以 q2－ q－2＝0，解得 q＝2或 q＝－1(舍去)．m＋n －2因为a m a n＝4a1，因此 q＝16，因此1＋ 4＝1 ( ＋ ) 1 4＋nm n 6 m n m＝1 n 4m 15＋ 2n 4m 3 65＋＋n≥6·＝ .m m n 2n 4 m当且仅当＝时，等号成立，m n又 m＋n＝6，解得 m＝2，n＝4，吻合题意．故1＋4的最小值等于3. m n 2[答案] A3．(2018 ·潍坊模拟 ) 已知a，b为正实数，直线x＋ y＋ a＝0与圆( x－ b) 2＋ ( y－ 1) 2＝ 2相切，则a2＋1的取值范围是 ______．b[ 剖析 ]∵ x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，| b＋ 1＋a|5a 2－ b 2 b ＋ 2－ b ＋＋ 4∴ ＋1＝ b ＋ 1 ＝＋ 1bb4＝ ( b ＋1) ＋ b ＋ 1－4≥2 4－ 4＝ 0.a 2又∵ a ， b 为正实数，∴ b ＋ 1 的取值范围是 (0 ，＋∞ ) ． [答案] (0 ，＋∞)4．(2018 ·南昌二模 ) 网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从 2017 年 1 月起睁开网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．依照几个月运营发现，产品的月销量 x 万件与投入实体店体验安装的花销 t万元之间满足x ＝ 3－2函数关系式．已知网店每个月固定的各种花销t ＋1支出为 3 万元，产品每 1 万件进货价格为32 万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装花销的一半”之和，则该公司最大月利润是 ______ 万元．[剖析] 利润等于收入减成本，因此y ＝ 48＋t · x －32 － t －3＝16 x － t－ 32x x2x －1 1＝ 16x ＋x －－ 3＝ 16( x － 3) ＋x － 3＋ 48－2.52<3，因此原式 x －3<0，因为 x ＝ 3－t ＋1可化简为 y ＝－－ x ＋ 1＋ 45.5 ，3－ x11而 16(3 － x ) ＋3－ x ≥2 － x 3－x ＝8，1 ＋45.5 ≤－ 8＋ 45.5 ＝ 37.5 ，等号成立的条件是 16(3 － x ) ＝那么－－ x ＋3－ x13－ x ? x ＝ 2.5 ，因此该公司的最大利润是37.5 ，故填： 37.5.[ 答案 ]37.55．(2018 ·常州期末调研 ) 某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建筑一间室内面积为 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形地域，分别种900 m 植三种植物，相邻矩形地域之间间隔1 m ，三块矩形地域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形地域分别与相邻的左右内墙保留 3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为 x(单位：m)，三块栽种植物的矩形地域的总面积为2S(单位：m)．(1)求 S 关于 x 的函数关系式；(2)求 S 的最大值．[ 解 ] (1) 由题设，得S＝( x－ 8) 900－ 2 x7 200＝－ 2x－＋916，x∈(8,450)．x(2) 因为 8<x<450，因此 2x＋7 200≥22x×7 200＝ 240，当且仅当x＝ 60 时等号成x x立，从而 S≤676.故当矩形温室的室内长为60 m时，三块栽种植物的矩形地域的总面积最大，最大为 6762m.[C 尖子生专练 ]某食品厂如期购买面粉，已知该厂每天需用面粉 6 吨，每吨面粉的价格为 1 800 元，面粉的保留等其他花销平均每吨每天 3 元，购买面粉每次需支付运费900 元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总花销最少？(2) 某供应面粉的公司规定：当一次购买面粉很多于210 吨时，其价格可享受9 折优惠，问该厂可否考虑利用此优惠条件？请说明原由．[ 解 ] (1) 设该厂应每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x吨，由题意可知，面粉的保管等其他花销为3[6 x＋ 6( x－1) ＋ 6( x－2) ＋＋ 6×1] ＝ 9x( x＋ 1) ，设平均每天所支付的总花销为y1元，则 y1＝[9xx＋＋ 900] ＋1 800 ×6x＝900＋9 ＋10 809 ≥2900·9＋ 10 809x x x x＝10 989 ，900当且仅当 9x＝x，即x＝ 10 时取等号．即该厂应每隔10 天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总花销最少．(2)因为很多于 210 吨，每天用面粉 6 吨，因此最少每隔 35 天购买一次面粉．设该厂利用此优惠条件后，每隔x( x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总花销为y2元，1则 y2＝x[9 x( x＋1)＋900]＋6×1 800×0.90 900＝x＋ 9x＋ 9 729( x≥35) ．100令 f ( x)＝ x＋x( x≥35)， x2>x1≥35，则f ( x 1 － 2 ＝ x ＋100 － x ＋100) f ( x ) 1x1 2 x2x －x1 －x x＝ 2 1 2 . ∵x2>x1≥35，x1x2∴x2－x1>0，x1x2>0,100－x1x2<0，故 f ( x1)－ f ( x2)<0，f ( x1)< f ( x2)，100即 f ( x)＝ x＋x，当 x≥35时为增函数．则当 x＝35时，f ( x)有最小值，此时y2<10 989.因此该厂应接受此优惠条件．。

2019年高考数学一轮复习课时分层训练36二元一次不等式组与简单的线性规划问题理北师大版

课时分层训练(三十六)二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题A 组基础达标一、选择题1．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )C [(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画图可知选C.]2．(2018·北京东城区综合练习(二))在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤2，x ≤y所表示的平面区域的面积为( )【导学号：79140201】A ．1B ．2C ．4D ．8A [不等式组表示的平面区域是以点(0,0)，(0,2)和(1,1)为顶点的三角形区域(含边界)，则面积为12×2×1＝1，故选A.]3．(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( ) A ．[0,6] B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)D [作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－12x ＋z2过点A (2,1)时，z 取得最小值，即z min ＝2＋2×1＝4.所以z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．故选D.]4．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3B [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验知x ＝2，y ＝0符合题意，所以2a ＋0＝4，此时a ＝2，故选B.]5．某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型客车不多于A 型客车7辆．则租金最少为( ) A ．31 200元 B ．36 000元 C ．36 800元D ．38 400元C [设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z 元，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y .可行解为图中阴影部分(包括边界)内的整点．当目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 对应的直线经过点A (5,12)时，z 取得最小值，z min ＝1 600×5＋2 400×12＝36 800.故租金最少为36 800元，选C.] 二、填空题6．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．－5 [作出可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x －2y ，得y ＝32x －z2.作出直线l 0：y ＝32x ，并平移l 0，知当直线y ＝32x －z2过点A 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，2x ＋y ＋1＝0，得A (－1,1)，所以z min ＝3×(－1)－2×1＝－5.]7．(2017·河南六市联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m .如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝________.【导学号：79140202】5 [画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：y ＝x ，平移l 可知，当直线l 经过A时符合题意，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.又A (2,3)在直线x ＋y＝m 上，所以m ＝5.]8．(2017·河南、湖北、山西三省联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6＞0，y ≥12x －3，x ＋4y ≤12，则z ＝y －3x －2的取值范围为________．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－13 [不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z ＝y －3x －2表示点D (2,3)与平面区域内的点(x ，y )之间连线的斜率．因点D (2,3)与B (8,1)连线的斜率为－13且C的坐标为(2，－2)，故由图知z ＝y －3x －2的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－13. ]三、解答题9．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图631所示．图631(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．[解] (1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ]·[4×(－3)－3×2－a ]＜0，即(14－a )(－18－a )＜0，解得－18＜a ＜14.故a 的取值范围是(－18,14)．10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围.【导学号：79140203】[解] (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1，所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图像可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．B 组能力提升11．设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为12，则z 的最小值为( ) A ．－3 B ．－6 C ．3D ．6B [不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，y ＝k得A (k ，k )，易知目标函数z ＝x ＋y 在点A 处取最大值，则12＝k ＋k ，故k ＝6，所以B (－12,6)，又目标函数z ＝x ＋y 在点B 处取最小值，∴z 的最小值为－6，故选B.]12．(2017·西安质检)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤1，xy ≥0，则2x ＋y 的取值范围为________.【导学号：791400204】[－2,2] [作出满足不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x ＋y ＝0，经过点(1,0)时，2x ＋y 取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1,0)时，2x ＋y 取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x ＋y 的取值范围为[－2,2]．]13．(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ [解] (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x≤2y ，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图(1)中的阴影部分中的整数点．(1) (2)(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值就最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图(2)可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，则点M 的坐标为(6,3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．。

高考数学大一轮温习6.3二元一次不等式组与简单的线性计划问题课时作业理

课时作业39 二元一次不等式(组)与简单的线性计划问题一、选择题1．(2014·广东卷)若变量x ，y 知足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值别离为m 和n ，则m －n ＝( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：画出如图阴影部份所示的可行域，易知z ＝2x ＋y 在点(2，－1)与(－1，－1)处别离取得最大值m ＝3和最小值n ＝－3，∴m －n ＝6，选C.答案：C2．(2014·湖北卷)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0肯定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2肯定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机抽取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )解析：由题意作图，如图所示，Ω1的面积为12×2×2＝2，图中阴影部份的面积为2－12×22×22＝74，则所求的概率P＝742＝78，选D.答案：D3．若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封锁区域，则2x－y的最小值是( ) A．－6 B．－2C．0 D．2解析：由题中条件画出封锁区域如图中阴影部份所示．结合图形知，z＝2x－y在A(－2,2)处取得最小值，且z min＝2×(－2)－2＝－6.答案：A4．(2014·安徽卷)x，y知足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－2≤0，x－2y－2≤0，2x－y＋2≥0.若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )或－1 B．2或12C．2或1 D．2或－1解析：画出如图阴影部份所示的可行域，z＝y－ax表示的直线向上移动取到最大值，z ＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则当a>0时，z＝y－ax与2x－y＋2＝0平行．所以a ＝2，而当a<0时，z＝y－ax与x＋y－2＝0平行，所以a＝－1，综上a＝2或－1.答案：D5．(2014·福建卷)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49解析：由题意，画出可行域Ω，圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，所以b ＝1.所以圆心在直线y ＝1上，求得与直线x －y ＋3＝0，x ＋y －7＝0的两交点坐标别离为A (－2,1)，B (6,1)，所以a ∈[－2,6]．所以a 2＋b 2＝a 2＋1∈[1,37]，所以a 2＋b 2的最大值为37.故选C. 答案：C6．某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量别离为36人和60人，租金别离为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：设旅行社租A 型车x 辆，B 型车y 辆，租金为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y ＝800(2x＋3y )．由题中条件可得约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ∈N 36x ＋60y ≥900x ＋y ≤21y －x ≤7据此画出可行域如图中阴影部份区域内的整数点．令z ′＝2x ＋3y ，结合图形知z ′＝2x ＋3y 在A (5,12)处取得最小值，且最小值为2×5＋3×12＝46，∴z 的最小值为800×46＝36 800.答案：C 二、填空题7．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，2x ＋y≤6，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是________．解析：平面区域如图中的阴影部份，直线2x ＋y ＝6交x 轴于点A (3,0)，交直线x ＝1于点B (1,4)，当直线x ＋y ＝a 与直线2x ＋y ＝6的交点在线段AB (不包括线段端点)上时，此时不等式组所表示的区域是一个四边形．将点A 的坐标代入直线x ＋y ＝a 的方程得3＋0＝a ，即a ＝3，将点B 的坐标代入直线x ＋y ＝a 的方程得a ＝1＋4＝5，故实数a 的取值范围是(3,5)．答案：(3,5)8．若变量x ，y 知足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则x ＋y 的最大值为________．解析：由题中约束条件画出可行域如图中阴影部份所示．结合图形知，z ＝x ＋y 在A (4,2)处取得最大值，且z max ＝4＋2＝6. 答案：69．实数x ，y 知足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部份所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得B 点坐标为(7,9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.答案：21 三、解答题10．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为极点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组．(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程别离为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为：⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)按照题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]<0，即(14－a )(－18－a )<0，得a 的取值范围是－18<a <14. 故a 的取值范围是(－18,14)．11．变量x ，y 知足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．解：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图阴影部份所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫1，225.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．(1)∵z ＝y x ＝y －0x －0，∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝5－(－3)＝8.∴16≤z ≤64.1．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1所肯定的平面区域内的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP →＋OQ →|的最小值为( )D ．1解析：在直线2x ＋y ＝0上取一点Q ′，使得Q ′O →＝OQ →，则|OP →＋OQ →|＝|OP →＋Q ′O →|＝|Q ′P →|≥|P ′P →|≥|BA →|，其中P ′，B 别离为点P ，A 在直线2x ＋y ＝0上的投影，如图：因为|AB →|＝|0＋1|12＋22＝55，因此|OP →＋OQ →|min ＝55，故选A.答案：A2．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 知足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 3解析：由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝|OA →||OB →|·cos〈OA →，OB →〉＝2知〈OA →，OB →〉＝π3.不妨设OA →＝(2,0)，OB →＝(1，3)，OP →＝(x ，y )， ∵OP →＝λOA →＋μOB →，∴(x ，y )＝λ(2,0)＋μ(1，3)，则⎩⎨⎧x ＝2λ＋μ，y ＝3μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝y 3，λ＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －y 3.由|λ|＋|μ|≤1得|3x －y |＋|2y |≤2 3. 作可行域如图阴影部份所示．则所求面积S ＝2×12×4×3＝4 3.答案：D3．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共肯定________条不同的直线．解析：由区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，画出可行域如图阴影部份所示．经平移可知目标函数z ＝x ＋y 在A (0,1)处取得最小值，在线段BC 处取得最大值，而集合T 表示z ＝x ＋y 取得最大值或最小值时的整数点，在取最大值时线段BC 上共有5个整点，别离为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故T 中的点共肯定6条不同的直线．答案：64．已知实数x ，y 知足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x －1，x ≤3，x ＋5y ≥4，则x 2y的最小值是________．解析：可行域如图阴影部份所示，令x 2y ＝k ，所以y ＝x 2k.当k <0时抛物线的开口向下，不合条件．当k >0时，有两种情况：当k 取最小值即抛物线过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.所以x 2y 的最小值是92；当抛物线y ＝x 2k 与直线x －y －1＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫32<x <3相切时，联立方程组消掉y 取得x 2－kx ＋k ＝0，∴Δ＝k 2－4k ＝0，∴k ＝4，此时x 2y 的最小值是4.综上可知x 2y的最小值是4.答案：4。

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课时规范练32 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础巩固组1.(2017北京,理4)若x,y满足则x+2y的最大值为()A.1B.3C.5D.92.(2017天津,理2)设变量x,y满足约束条件-则目标函数z=x+y的最大值为()A. B.1 C. D.33.(2017山东,理4)已知x,y满足约束条件-则z=x+2y的最大值是()A.0B.2C.5D.64.给出平面区域如图所示,其中A(5,3),B(1,1),C(1,5),若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个,则a的值是()A. B.C.2D.5.(2017江西新余一中模拟七,理6)若实数x,y满足条件---则z=-的最大值为()A.-B.-C.-D.-16.不等式组-的解集记为D,有下面四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1,其中的真命题是()A.p2,p3B.p1,p2C.p1,p4D.p1,p37.(2017河北武邑中学一模,理5)若变量x,y满足不等式组-且z=3x-y的最大值为7,则实数a的值为()A.1B.7C.-1D.-7 〚导学号21500734〛8.(2017全国Ⅲ,理13)若x,y满足约束条件--则z=3x-4y的最小值为.9已知实数x,y满足条件-若目标函数z=3x+y的最小值为5,则其最大值为.10.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组--所表示的平面区域上一动点,则|OM|的最小值是.11.(2017山东潍坊二模,理9改编)某化肥厂用三种原料生产甲乙两种肥料,生产1吨甲种肥料和生产1吨乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:已知生产1吨甲种肥料产生的利润2万元,生产1吨乙种肥料产生的利润为3万元,现有A种原料20吨,B种原料36吨,C种原料32吨,在此基础上安排生产,则生产甲乙两种肥料的利润之和的最大值为万元.〚导学号21500735〛综合提升组12.(2017山东潍坊一模,理9)设变量x,y满足约束条件--若目标函数z=a|x|+2y的最小值为-6,则实数a等于()A.2B.1C.-2D.-113.若x,y满足约束条件---目标函数z=x+y的最大值为2,则实数a的值为()A.2B.1C.-1D.-214.(2017河南新乡二模,理10)若实数x,y满足--且z=mx-y(m<2)的最小值为-,则m等于()A. B.-C.1 D.15.设x,y满足约束条件若z=的最小值为,则a的值为.创新应用组16.(2017山西晋中一模,理10)在平面直角坐标系中,不等式组-(r为常数)表示的平面区域的面积为π,若x,y满足上述约束条件,则z=的最小值为()A.-1B.-C. D.-〚导学号21500736〛17.某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.〚导学号21500737〛参考答案课时规范练32二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.D由题意画出可行域(如图).设z=x+2y,则z=x+2y表示斜率为-的一组平行线,当过点C(3,3)时,目标函数取得最大值z max=3+2×3=9.故选D.2.D由约束条件可得可行域如图阴影部分所示.目标函数z=x+y可化为y=-x+z.作直线l0:y=-x,平行移动直线y=-x,当直线过点A(0,3)时,z取得最大值,最大值为3.故选D.3.C画出约束条件表示的平面区域如图阴影部分所示.由目标函数z=x+2y得直线l:y=-x+z,当l经过点C(-3,4)时,z取最大值,且z max=-3+2×4=5.故选C.4.B直线y=-ax+z(a>0)的斜率为-a<0,当直线y=-ax平移到直线AC位置时取得最大值的最优解有无穷多个.∵k AC =-,∴-a=-,即a=.5.C 由约束条件 -- -作出可行域如图阴影部分所示.∵z=-,∴4x+3y 取得最大值时,z 取得最大值.与4x+3y=0平行的直线经过点A 时,4x+3y 取得最大值,故z 最大, 由 - 得A (1,2),即z max =- =- .故选C. 6.B 画出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示.作直线l 0:y=-x ,平移l 0,当直线经过点A (2,-1)时,x+2y 取最小值,此时(x+2y )min =0.故p 1:∀(x ,y )∈D ,x+2y ≥-2为真命题.p 2:∃(x ,y )∈D ,x+2y ≥2为真命题.故选B .7.A 作出直线y=2,x+y=1,再作直线l :3x-y=0,而向下平移直线l :3x-y=0时,z 增大,而直线x-y=a 的斜率为1,因此直线l 过直线x-y=a 与y=2的交点A 时,z 取得最大值,由 - 得A (3,2),所以a=3-2=1,故选A .8.-1 画出不等式组表示的可行域,如图,结合目标函数的几何意义,得目标函数在点A (1,1)处取得最小值z=3×1-4×1=-1.9.10 画出x ,y 满足的可行域如下图,可得直线x=2与直线-2x+y+c=0的交点A 使目标函数z=3x+y 取得最小值5,故由 - 解得 -代入3x+y=5得6+4-c=5,即c=5. 由 -得B (3,1). 当过点B (3,1)时,目标函数z=3x+y 取得最大值,最大值为10. 10. 由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示.由图可知|OM|的最小值即为点O 到直线x+y-2=0的距离,即d min =.11.19 设生产甲种肥料和生产乙种肥料分别为x ,y 吨,则x ,y 满足的条件关系式为即再设生产甲乙两种肥料的利润之和为z,则z=2x+3y.由约束条件作出可行域如图:联立解得A (8,1),作出直线2x+3y=0,平移至点A 时,目标函数z=2x+3y 有最大值为19.∴当生产甲种肥料8吨,乙种肥料1吨时,利润最大,最大利润为19万元.12.D 变量x ,y 满足约束条件- -的可行域如图.由目标函数z=a|x|+2y 的最小值为-6,可知目标函数过点B ,由-解得B (-6,0),-6=a|-6|,解得a=-1,故选D .13.A 作出不等式组 -对应的平面区域如图(阴影部分).∵目标函数z=x+y 的最大值为2, ∴z=x+y=2.作出直线x+y=2,由图象知x+y=2与平面区域相交于点A. 由 - 得即A (1,1).可知点A (1,1)在直线3x-y-a=0上, 即3-1-a=0,解得a=2.故选A.14.C 变量x ,y 满足约束条件的平面区域如图阴影部分所示,z=mx-y (m<2)的最小值为-,可知目标函数过点A 时取得最小值,由- 解得A , 所以-m-3,解得m=1,故选C .15.1 ∵=1+,而表示过点(x ,y )与点(-1,-1)的直线的斜率,易知a>0,故作出可行域如图阴影部分,由题意知的最小值是,即- - - -⇒a=1.16.D ∵不等式组-(r 为常数)表示的平面区域的面积为π, ∴圆x 2+y 2=r 2的面积为4π,则r=2.由约束条件作出可行域如图,z==1+ - ,而 -的几何意义为可行域内的一个动点与定点P (-3,2)连线的斜率.设过点P 的圆的切线的斜率为k ,则切线方程为y-2=k (x+3),即kx-y+3k+2=0. 由=2,解得k=0或k=- ,∴z=的最小值为1-=-.故选D .17.解 (1)由已知,x ,y 满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:图1图2(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.考虑z=2x+3y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线,为直线在y轴上的截距,当取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.解方程组得点M的坐标为(20,24).所以z max=2×20+3×24=112.即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.。

(江苏专版)2019版高考数学一轮复习第七章不等式第二节二元一次不等式(组) 与简单的线性规

x＋3y－2≥0
表示的平面区域的面
积为________．
解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，
可知 S△ABC＝12×2×(2＋2)＝4.
答案：4
4.[考点二]若满足条件xx－＋yy≥ －02， ≤0， y≥a
的整点(x，y)恰有 9 个，其
中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数 a 的值为________．
线性规划中的参数问题
[例 3] 已知 x，y 满足约束条件xx－＋yy≥≤02，， y≥0.
的最大值为 4，则 a＝________.
若 z＝ax＋y
[解析] 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若 z＝ax＋y 的最大值为 4，则最优解为 x＝1，y＝1 或 x＝2，y＝0，经检验知 x＝2，y＝0 符合题意，∴2a＋0＝4，此时 a＝2.
由y2＝x＋0，y＝2，得 B(1,0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线 x＋y＝a 中 a 的取值范围是 0＜a≤1 或 a≥43.
[答案] (0,1]∪43，＋∞
[易错提醒] 此类问题的难点在于参数取值范围的不同导致平面区域或者曲线位置的改变，解答的思路可能会有变化，所以求解时要根据题意进行必要的分类讨论及对特殊点、特殊值的考虑．
[例 1]
2x＋y－6≤0，不等式组x＋y－3≥0，
y≤2
表示的平面区域的
面积为________．
2x＋y－6≤0， [解析] 不等式组x＋y－3≥0，表
y≤2
示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC
的面积即所求．求出点 A，B，C 的坐标分别为 A(1,2)，B(2,2)，
B(1－m,1＋m)，C2－34m，2＋32m， D(－2m,0)．S△ABC＝S△ADB－S△ADC＝

2019高三数学人教A版理一轮课时分层训练36 基本不等式

课时分层训练(三十六) 基本不等式(对应学生用书第307页)A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．“x ≥1”是“x ＋1x ≥2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [x ＋1x ≥2⇔x ＞0，所以“x ≥1”是“x ＋1x ≥2”的充分不必要条件，故选A ．]2．已知x ，y ＞0且x ＋4y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．11B [∵x ＋4y ＝1(x ，y ＞0)，∴1x ＋1y ＝x ＋4y x ＋x ＋4y y ＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4y x ＋x y ≥5＋24y x ·x y＝5＋4＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝2y ＝13时，取等号.] 3．(2018·青岛质检)已知x ＞1，y ＞1，且lg x,2，lg y 成等差数列，则x ＋y 有( )A ．最小值20B ．最小值200C ．最大值20D ．最大值200B [由题意得2×2＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )，所以xy ＝10 000，则x ＋y ≥2xy ＝200，当且仅当x ＝y ＝100时，等号成立，所以x ＋y 的有最小值200，故选B.]4．设a ＞0，若关于x 的不等式x ＋ax －1≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a 的最小值为( ) 【导学号：97190203】A ．16B ．9C ．4D ．2C [在(1，＋∞)上，x ＋a x －1＝(x －1)＋a x －1＋1≥2(x －1)×a(x －1)＋1＝2a ＋1(当且仅当x ＝1＋a 时取等号)，由题意知2a ＋1≥5.所以2a ≥4，a ≥2，a ≥4.]5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件B [每批生产x 件，则平均每件产品的生产准备费用是800x 元，每件产品的仓储费用是x 8元，则800x ＋x8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时“＝”成立，∴每批生产产品80件．]二、填空题6．正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． [9，＋∞) [∵a ，b 是正数，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3， ∴ab －2ab －3≥0，∴(ab ＋1)(ab －3)≥0，∴ab ≤－1(舍去)或ab ≥3. 即ab ≥9.]7．(2017·天津高考)若a ，b ∈R ，ab ＞0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．4 [∵a 4＋4b 4≥2a 2·2b 2＝4a 2b 2 (当且仅当a 2＝2b 2时“＝”成立)， ∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ，由于ab ＞0， ∴4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当4ab ＝1ab 时“＝”成立，故当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab 时，a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为4.] 8．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元.【导学号：97190204】8 [年平均利润为y x ＝－x －25x ＋18 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋18，∵x ＋25x ≥2x ·25x ＝10，∴y x ＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤18－10＝8，当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时，取等号．] 三、解答题9．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x (4－2x )的最大值． [解] (1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x2＋83－2x ＋32. 当x <32时，有3－2x >0，∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52. (2)∵0<x <2，∴2－x >0，∴y ＝x (4－2x )＝2·x (2－x )≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， ∴当x ＝1时，函数y ＝x (4－2x )的最大值为 2. 10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．[解] (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16且y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y ·8yx ＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.B 组能力提升 (建议用时：15分钟)11．正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(－∞，6]D ．[6，＋∞)D [因为a ＞0，b ＞0，1a ＋9b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b ≥10＋29＝16，由题意，得16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立，而x 2－4x －2＝(x －2)2－6，所以x 2－4x －2的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6.]12．(2018·郑州第二次质量预测)已知点P (a ，b )在函数y ＝e 2x 上，且a ＞1，b ＞1，则a ln b 的最大值为________．e [由点P (a ，b )在函数y ＝e 2x 上，得ab ＝e 2，则ln a ＋ln b ＝2，又a ＞1，b ＞1，则ln a ＞0，ln b ＞0.令a ln b ＝t ，t ＞1，则ln t ＝ln a ln b ≤⎝⎛⎭⎪⎫ln a ＋ln b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝e 时，取等号，所以1＜t ≤e ，所以a ln b 的最大值为e.]13．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N *)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t ，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|.(1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N *)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值. 【导学号：97190205】 [解] (1)W (t )＝f (t )g (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1t (120－|t －20|)＝⎩⎪⎨⎪⎧401＋4t ＋100t ，1≤t ≤20，559＋140t －4t ，20<t ≤30.(2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t ≥401＋24t ·100t ＝441(t ＝5时取最小值)．当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t －4t 递减，所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323，所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元．。

2019版高考数学理全国一轮复习课时分层作业三十六 6-

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课时分层作业三十六二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列各点中,与点(2,2)位于直线x+y-1=0的同一侧的是 ( )A.(0,0)B.(-1,1)C.(-1,3)D.(2,-3)【解析】选C.点(2,2)使x+y-1>0,点(-1,3)使x+y-1>0,所以此两点位于x+y-1=0的同一侧.2.若函数y=log2x的图象上存在点(x,y),满足约束条件则实数m的最大值为 ( )A. B.1 C. D.2【解析】选B.如图,作出不等式组表示的可行域,当函数y=log2x的图象过点(2,1)时,实数m有最大值1.3.(2018·铁岭模拟)已知变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.作图易知可行域为一个三角形,其三个顶点为(0,1),(1,0),(-1,-2),验证知当直线z=2x+y过点A(1,0)时,z最大是2.【变式备选】(2018·石家庄模拟)已知x,y满足约束条件则下列目标函数中,在点(4,1)处取得最大值的是( )A.z=x-yB.z=-3x+yC.z=x+yD.z=3x-y【解析】选D.画的线性区域求得A,B,C三点坐标为(4,1)、(1,4)、(-4,-1),由于只在(4,1)处取得最大值否定A、B、C.4.(2018·大连模拟)若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是( )A.B.(0,1]C.D.(0,1]∪【解析】选 D.不等式组表示的平面区域如图(阴影部分),求得A,B两点的坐标分别为和(1,0),若原不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是0<a≤1或a≥.5.(2016·天津高考)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+5y的最小值为( )A.-4B. 6C.10D.17【解析】选B.可行域如图所示,则当取点(3,0)时,z=2x+5y取得最小值为6.【变式备选】设x,y满足约束条件则z=2x-y的最大值为( )A.10B.8C.3D.2【解析】选B.画出可行域如图所示.由z=2x-y,得y=2x-z,欲求z的最大值,可将直线y=2x向下平移,当经过区域内的点,且满足在y轴上的截距-z最小时,即得z的最大值,可知当过点A时z最大,由得即A(5,2),则z max=2×5-2=8.6.(2018·成都模拟)某企业拟生产甲、乙两种产品,已知每件甲产品的利润为3万元,每件乙产品的利润为2万元,且甲、乙两种产品都需要在A,B两种设备上加工,在每台设备A,每台设备B上加工1件甲产品所需工时分别为1 h和2 h,加工1件乙产品所需工时分别为2 h 和1 h,A设备每天使用时间不超过4 h,B设备每天使用时间不超过5 h,则通过合理安排生产计划,该企业在一天内的最大利润是( )A.18万元B.12万元C.10万元D.8万元【解析】选D.设每天生产甲、乙两种产品分别为x件,y件,企业获得的利润为z万元,则x,y满足约束条件且z=3x+2y.作出不等式组表示的可行域,如图所示.由x∈N,y∈N可知最优解为(2,1),即生产甲产品2件,乙产品1件,可使企业获得最大利润,最大利润为8万元.7.(2018·枣庄模拟)已知实数x,y满足约束条件则ω=的最小值是( )A.-2B.2C.-1D.1【解析】选 D.作出不等式组对应的平面区域如图(不包括y轴),ω=的几何意义是区域内的点P(x,y)与定点A(0,-1)所在直线的斜率,由图象可知当P位于点D(1,0)时,直线AP的斜率最小,此时ω=的最小值为=1.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2016·全国卷Ⅲ)设x,y满足约束条件则z=2x+3y-5的最小值为________.【解析】不等式组所表示的可行域如图阴影部分,平移直线l0:2x+3y=0,当直线过直线2x-y+1=0和直线x-2y-1=0的交点时取到最小值,联立可得交点坐标为(-1,-1),所以z的最小值为z=2×(-1)+3×(-1)-5=-10.答案:-109.若关于x,y的不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形,则其表示的区域面积为________.【解析】直线kx-y+1=0过点(0,1),要使不等式组表示的区域为等腰直角三角形,只有直线kx-y+1=0垂直于y轴(如图(1))或与直线x+y=0垂直(如图(2))时才符合题意.所以S=×1×1=或S=××=.答案:或10.(2016·江苏高考)已知实数x,y满足则x2+y2的取值范围是________.【解析】画出可行域如图所示,其中A(2,3),x2+y2的几何意义是可行域内的动点P(x,y)与原点(0,0)之间的距离的平方,由图可看出原点(0,0)到直线2x+y-2=0的距离d=⇒d2=最近,图中A点距离原点最远,其中OA=,即 =,=13,所以x2+y2的范围是.答案:1.(5分)(2016·浙江高考)在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|= ( )A.2B.4C.3D.6【解析】选C.如图,△PQR为线性区域,区域内的点在直线x+y-2=0上的投影构成了线段R′Q′,即AB,而R′Q′=RQ,由得Q(-1,1),由得R(2,-2),|AB|=|QR|==3.2.(5分)(2018·广州模拟)某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A,B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( )A.1 800元B.2 400元C.2 800元D.3 100元【解析】选C.设该公司生产甲产品x桶,生产乙产品y桶,获利为z元,则x,y满足的线性约束条件为目标函数z=300x+400y.作出可行域,如图中四边形OABC的边界及其内部整点.作直线l0:3x+4y=0,平移直线l0经可行域内点B时,z取最大值,由得B(4,4),满足题意,所以z max=4×300+4×400=2 800(元).3.(5分)(2018·长沙模拟)已知x,y满足且目标函数z=2x+y的最大值为7,最小值为1,则= ( )A.2B.1C.-1D.-2【解析】选D.由题意得:目标函数z=2x+y在点B取得最大值为7,在点A处取得最小值为1,所以A(1,-1),B(3,1),所以直线AB的方程是:x-y-2=0,所以=-2.4.(15分)某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每辆车每天往返一次.A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆,公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B型车不多于A型车7辆.若每天运送人数不少于900,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备A型车、B型车各多少辆?【解析】设A型、B型车辆分别为x、y辆,相应营运成本为z元,则z=1 600x+2 400y.由题意,得x,y满足约束条件作出可行域如图阴影部分所示,可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12),Q(7,14),R(15,6).由图可知,当直线z=1 600x+2 400y经过可行域的点P时,直线z=1600x+2 400y在y轴上的截距最小,即z取得最小值.故应配备A型车5辆、B型车12辆,可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小.关闭Word文档返回原板块。

19年高考数学一轮复习课时分层训练33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题文北师大版

课时分层训练(三十三) 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)B [根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.]2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A ．32 B ．23 C ．43D ．34C [平面区域如图中阴影部分所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，|BC |＝4－43＝83，∴S △ABC ＝12×83×1＝43.]3．(2016·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5C [根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y ＝－2x ，当直线平移到虚线处时，目标函数取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，可得A (1,2)，此时2x ＋y 取最大值为2×1＋2＝4.]4．(2018·郑州模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x －y ＋3≥0，3x ＋y －3≤0，y ≥0，则当y ＋1x ＋3取最大值时，x ＋y 的值为( ) 【导学号：00090194】A ．－1B ．1C ．－ 3D ． 3D [作出可行域如图中阴影部分所示，y ＋1x ＋3的几何意义是过定点M (－3，－1)与可行域内的点(x ，y )的直线的斜率，由图可知，当直线过点A (0，3)时，斜率取得最大值，此时x ，y 的值分别为0，3，所以x ＋y ＝ 3.故选D ．]5．(2017·贵阳适应性考试(二))若函数y ＝kx 的图像上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥1，则实数k 的最大值为( )A ．1B ．2C ．32D ．12B [约束条件对应的平面区域是以点(1,2)，(1，－1)和(3,0)为顶点的三角形，当直线y ＝kx 经过点(1,2)时，k 取得最大值2，故选B ．]二、填空题6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为__________．4 [根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4.]7．(2016·江苏高考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________.【导学号：00090195】⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13 [根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则 (x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d 的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25，所以d 2的最小值为45，最大值为13，所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13.]8．(2016·郑州第二次质量预测)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x －y ≥0，0≤x ≤a ，设b ＝x －2y ，若b的最小值为－2，则b 的最大值为__________．10 [画出可行域，如图阴影部分所示．由b ＝x －2y ，得y ＝12x －b2.易知在点(a ，a )处b取最小值，故a －2a ＝－2，可得a ＝2.在点(2，－4)处b 取最大值，于是b 的最大值为2＋8＝10.]三、解答题9．若直线x ＋my ＋m ＝0与以P (－1，－1)，Q (2,3)为端点的线段不相交，求m 的取值范围．[解] 直线x ＋my ＋m ＝0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ 与直线x ＋my ＋m ＝0不相交，5分则点P ，Q 在同一区域内，于是⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m >0，2＋3m ＋m >0，或⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m <0，2＋3m ＋m <0，所以m 的取值范围是m <－12.12分10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围.【导学号：00090196】[解] (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0).2分平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1，所以z 的最大值为1，最小值为－2.6分(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图像可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围为(－4,2).12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2015·重庆高考)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1C ．43D ．3B [作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A ，B ，C ，D 的坐标分别为A (2,0)，B (1－m,1＋m )，C ⎝⎛⎭⎪⎫2－4m 3，2＋2m 3，D (－2m,0)．S △ABC ＝S △ADB －S △ADC ＝12|AD |·|y B －y C |＝12(2＋2m )·⎝⎛⎭⎪⎫1＋m －2＋2m 3＝(1＋m )⎝⎛⎭⎪⎫1＋m －23＝43，解得m ＝1或m ＝－3(舍去)．] 2．(2018·安阳模拟)已知z ＝2x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，且z 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( ) 【导学号：00090197】 A ．211 B ．14 C ．4D ．112B [作出不等式组对应的平面区域如图：由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z ，平移直线y ＝－2x ，由图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，直线的纵截距最大，此时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝x解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即A (1,1)，z max ＝2×1＋1＝3，当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，直线的纵截距最小，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝x解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝a ，即B (a ，a )，z min ＝2×a ＋a ＝3a ， ∵z 的最大值是最小值的4倍， ∴3＝4×3a ，即a ＝14，故选B ．]3．(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ [解] (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧ 70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x≤2y ，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分中的整数点．(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值就最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图②可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，则点M 的坐标为(6,3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．。

近年届高考数学一轮复习第七章不等式推理与证明课时训练36二元一次不等式(组)与简单的线性规划文(2

2019届高考数学一轮复习第七章不等式推理与证明课时跟踪训练36 二元一次不等式(组)与简单的线性规划文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019届高考数学一轮复习第七章不等式推理与证明课时跟踪训练36 二元一次不等式(组)与简单的线性规划文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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课时跟踪训练(三十六）二元一次不等式(组）与简单的线性规划［基础巩固］一、选择题1．(2017·山西临汾一中)不等式y(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示）是( )［解析］由y·(x＋y－2）≥0,得错误!或错误!所以不等式y·(x＋y－2）≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C项,故选C。

［答案］C2．（2017·河北卓越联盟联考）已知点(－3,－1）和（4，－6）在直线3x－2y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围为（)A．（－7,24)B．(－∞，－7)∪(24,＋∞）C．（－24,7)D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)[解析］由题意可知(－9＋2－a）（12＋12－a）〈0，所以（a＋7）·（a －24）〈0,所以－7〈a<24.［答案］A3．(2017·山东卷）已知x，y满足约束条件错误!则z＝x＋2y的最大值是( )A．0 B．2 C．5 D．6［解析] 本题考查简单的线性规划．由约束条件画出可行域，如图．由z＝x＋2y得y＝－错误!＋错误!,当直线y＝－错误!＋错误!经过点A时，z取得最大值，由错误!得A点的坐标为（－3，4)．故z＝－3＋2×4＝5.故max选C。

2019年高考数学一轮总复习(基础达标+提优演练)第6章第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规

2019年高考数学一轮总复习（基础达标+提优演练）第6章第3节二元一次不等式（组）与简单的线性规划文一、选择题（每小题5分，共20分）1.（xx·石家庄模拟）已知点（x ，y ）在△ABC 所包围的阴影区域内（包含边界），若B ⎝⎛⎭⎪⎫3，52是使得 z ＝ax －y 取得最大值的最优解，则实数a 的取值范围为（A ）A. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ B. [0，＋∞）C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12D. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0解析：∵直线AB 的斜率为－12，直线BC 的斜率不存在， ∴要使B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，52是目标函数取得最大值的最优解，则需 a ≥－12，故选A.2.（xx·山东高考）设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y≥2，2x ＋y≤4，4x －y≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是（A ）A. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6B. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1C. [－1，6]D. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，32解析：画出不等式所表示的区域如图，由z ＝3x －y 得y ＝3x －z ，平移直线y ＝3x ，由图像可知当直线经过点E （2，0）时，直线y ＝3x －z 的截距最小，此时z 最大为z ＝3x －y ＝6，当直线经过C 点时，直线截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＝－1，2x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝3，此时z ＝3x－y ＝32－3＝－32，∴z＝3x －y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6，选A. 3. （xx·淮南模拟）若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥－1，x ＋y≥1，3x －y≤3，则该不等式组表示的平面区域的面积是（C ） A. 3 B.52C. 2D. 2 2 解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥－1，x ＋y≥1，3x －y≤3 表示的平面区域如图所示（阴影部分），易知△ABC 为直角三角形，且A （0，1），B （2，3）， C （1，0），则面积为S ＝12×22×2＝2.4. （xx·湖南十校联考）设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y＋1的最大值为（B ）A. 11B. 10C. 9D. 8.5解析：由约束条件可画出可行域，平移参照直线2x ＋3y ＋1＝0可知，在可行域的顶点（3，1）处，目标函数z ＝2x ＋3y ＋1取得最大值，z max ＝2×3＋3×1＋1＝10。

近年届高考数学一轮复习第六篇不等式第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题训练理新人教版(2

2019届高考数学一轮复习第六篇不等式第3节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题训练理新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019届高考数学一轮复习第六篇不等式第3节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题训练理新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第3节二元一次不等式(组）与简单的线性规划问题【选题明细表】知识点、方法题号二元一次不等式（组）表示的平面区域1,5含参数的线性规划4，8，11目标函数的最值2,3，7,9,10，12,14线性规划的实际应用6,13基础巩固（时间:30分钟)1.不等式组所表示的平面区域为( B )解析:x≥0表示的是在y轴右侧的平面区域，x-y+1≥0表示的是直线x-y+1=0及其下方的平面区域,所以不等式组对应的公共区域为B.故选B.2.（2017·全国Ⅱ卷)设x,y满足约束条件则z=2x+y的最小值是（ A ）(A）—15 (B）-9 （C）1 (D)9解析:作出可行域如图所示。

可知当目标函数线经过点B时,z=2x+y取得最小值，由可得B（—6，—3）.所以z min=2×(-6）—3=-15。

故选A。

3。

导学号 38486108（2017·广西模拟）设x,y满足约束条件，则的最大值为( A )(A）（B）2 (C）（D）0解析:由已知得到可行域如图,则表示区域内的点与原点连接的直线的斜率，所以与C连接的直线斜率最大,且C(2，3），所以的最大值为.故选A.4.(2017·西宁一模）已知实数x，y满足设m=x+y，若m的最大值为6，则m的最小值为（ A ）(A）-3 （B）-2 （C)-1 （D）0解析:由约束条件作出可行域如图,联立得A(k，k)，联立得B（-2k，k)，由图可知，使目标函数取得最大值的最优解为A,取得最小值的最优解为B，则k+k=6,即k=3，所以m min=-2×3+3=—3.故选A.5。

山东省济宁市高考数学一轮复习 36二元一次不等式(组)

课时限时检测(三十六) 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(时间：60分钟满分：80分)命题报告考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难二元一次不等式组表示的平面区域 1,2 目标函数的最值 3 4,11 简单的线性规划问题10 5 综合应用76,8,1291．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤3，表示的平面区域是一个三角形，则a 的范围是( )A ．a <5B ．a ≥8C ．5≤a <8D ．a <5或a ≥8【解析】如图，⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5＝0，x ＝0的交点为(0,5)，⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5＝0，x ＝3的交点为(3,8)，∴5≤a <8.【答案】 C2．如果点(1，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则b 应取的整数值为( )A ．2B ．1C ．3D ．0【解析】由题意知(6－8b ＋1)(3－4b ＋5)＜0，即(b －78)(b －2)＜0，∴78＜b ＜2，∴b 应取的整数为1.【答案】 B3．(2014·郑州模拟)已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )A ．(1－3，2)B ．(0,2)C ．(3－1,2)D ．(0,1＋3)【解析】如图，根据题意得C (1＋3，2)．作直线－x ＋y ＝0，并向左上或右下平移，过点B (1,3)和C (1＋3，2)时，z ＝－x ＋y 取范围的边界值，即－(1＋3)＋2<z <－1＋3，∴z ＝－x ＋y 的取值范围是(1－3，2)．【答案】 A4．(2013·课标全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是( )A ．－7B ．－6C ．－5D ．－3【解析】作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x －3y 过点C 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x＝3，x－y＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝3，y＝4，∴z min＝2×3－3×4＝－6，故选B.【答案】 B5．(2013·湖北高考)某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( ) A．31 200元B．36 000元C．36 800元D．38 400元【解析】设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z＝1 600x＋2 400y，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x＋60y≥900，x＋y≤21，y－x≤7，x，y∈N，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值z min＝36 800(元)．【答案】 C6．(2014·三明模拟)已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≥2，x≤1，y≤2上的一个动点，则OA→·OM→的取值范围是( )A．[－1,0] B．[0,1]C．[0,2] D．[－1,2]【解析】作出可行域，如图所示，OA →·OM →＝－x ＋y .设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知，过点(1,1)时，z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0；过点(0,2)时，z 有最大值，z max ＝0＋2＝2，∴OA →·OM →的取值范围是[0,2]．【答案】 C二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2014·日照市第一中学月考)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y }⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12x －y ≤1，集合B ＝{(x ，y )|2x ＋3y －m ＝0}，若A ∩B ≠∅，则实数m 的最小值等于________．【解析】 A ∩B ≠∅说明直线与平面区域有公共点，作出图形可知，问题转化为：求当x ，y 满足约束条件x ≥1,2x －y ≤1时，目标函数m ＝3x ＋2y 的最小值，在平面直角坐标系中画出不等式组表示的可行域．可以求得在点(1,1)处，目标函数m ＝3x ＋2y 取得最小值5.【答案】 58．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围为________．【解析】由约束条件表示的可行域如图所示，作直线l ：ax ＋y ＝0，过(3,0)点作l 的平行线l ′，则直线l ′介于直线x ＋2y －3＝0与过(3,0)点与x 轴垂直的直线之间，因此，－a ＜－12，即a ＞12.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞9．(2013·北京高考)已知点A (1，－1)，B (3,0)，C (2,1)．若平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为________．【解析】设P (x ，y )，则AP →＝(x －1，y ＋1)．由题意知AB →＝(2,1)，AC →＝(1,2)．由AP→＝λAB →＋μAC →知(x －1，y ＋1)＝λ(2,1)＋μ(1,2)，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋μ＝x －1，λ＋2μ＝y ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2x －y －33，μ＝2y －x ＋33，∵1≤λ≤2,0≤μ≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x －y －3≤6，0≤2y －x ＋3≤3.作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分)，由图可知平面区域D 为平行四边形，可求出M (4,2)，N (6,3)，故|MN |＝ 5.又x －2y ＝0与x －2y －3＝0之间的距离为d ＝35，故平面区域D 的面积为S ＝5×35＝3.【答案】 3三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：ab (万吨)c (百万元)A 50% 1 3 B70%0.5622(万吨)，求购买铁矿石的最少费用为多少百万元？【解】设购买铁矿石A 为 x 万吨，购买铁矿石B 为y 万吨，总费用为z 百万元．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧0.5x＋0.7y≥1.9，x＋0.5y≤2，x≥0，y≥0.整理为⎩⎪⎨⎪⎧5x＋7y≥19，2x＋y≤4，x≥0，y≥0.线性目标函数为z＝3x＋6y画可行域如图所示：当x＝1，y＝2时，z取得最小值，∴z min＝3×1＋6×2＝15(百万元)．故购买铁矿石的最少费用为15百万元．11．(12分)(2013·浙江高考改编)设z＝kx＋y，其中实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥2，x－2y＋4≥0，2x－y－4≤0.若z的最大值为12，求实数k的值．【解】作出可行域如图中阴影所示，由图可知，当0≤－k<12时，直线y＝－kx＋z 经过点M(4,4)时z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2(舍去)；当－k≥12时，直线y＝－kx ＋z经过点N(2,3)时z最大，所以2k＋3＝12，解得k＝92(舍去)；当－k<0时，直线y＝－kx＋z经过点M(4,4)时z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2，符合．综上可知，k＝2.12．(13分)(2012·江苏高考改编)已知正数a 、b 、c 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≤4c ，3a ＋b ≥5c ，b ≥c ·e ac.其中c 为参数，求ba的取值范围．【解】作不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≤4c ，3a ＋b ≥5c ，b ≥c ·e a c.表示的平面区域如图所示．又k ＝ba表示平面区域内的动点P (a ，b )与原点O (0,0)连线的斜率．由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4c ，3a ＋b ＝5c ，得a ＝c 2且b ＝72c ，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，72c ，∴OA 的斜率最大，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b amax ＝7，设点B ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，c ·e x 0c是函数b ＝c ·e a c图象上任意一点．则曲线b ＝c ·e a c的切线OB 的斜率最小．又b ′＝c ·e a c ·1c＝e ac，∴k OB ＝b ′|a ＝x 0＝e x 0c，又k OB ＝c ·ex 0cx 0.∴c ·ex 0c x 0＝e x 0c，从而x 0＝c ，则点B (c ，ce )．经检验知，点B (c ，c e)在可行域，此时，k OB ＝e x 0c ＝e c c＝e. 因此⎝ ⎛⎭⎪⎫b a min ＝k OB ＝e.所以b a的取值范围为[e,7]．。

高考数学一轮复习第六篇不等式第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题训练理新人教版

第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础巩固(时间:30分钟)1.不等式组所表示的平面区域为( B )解析:x≥0表示的是在y轴右侧的平面区域,x-y+1≥0表示的是直线x-y+1=0及其下方的平面区域,所以不等式组对应的公共区域为B.故选B.2.(2017·全国Ⅱ卷)设x,y满足约束条件则z=2x+y的最小值是( A )(A)-15 (B)-9 (C)1 (D)9解析:作出可行域如图所示.可知当目标函数线经过点B时,z=2x+y取得最小值,由可得B(-6,-3).所以z min=2×(-6)-3=-15.故选A.·广西模拟)设x,y满足约束条件,则的最大值为( A )(A) (B)2 (C) (D)0解析:由已知得到可行域如图,则表示区域内的点与原点连接的直线的斜率,所以与C连接的直线斜率最大,且C(2,3),所以的最大值为.故选A.4.(2017·西宁一模)已知实数x,y满足设m=x+y,若m的最大值为6,则m的最小值为( A )(A)-3 (B)-2 (C)-1 (D)0解析:由约束条件作出可行域如图,联立得A(k,k),联立得B(-2k,k),由图可知,使目标函数取得最大值的最优解为A,取得最小值的最优解为B,则k+k=6,即k=3,所以m min=-2×3+3=-3.故选A.5.(2017·阜阳二模)不等式|x|+|3y|-6≤0所对应的平面区域的面积为( B )(A)12 (B)24 (C)36 (D)48解析:由已知不等式得到|x|+|3y|-6≤0所对应的平面区域如图阴影部分面积为×12×4=24.故选B.6.(2017·河南模拟)某颜料公司生产A,B两种产品,其中每生产一吨A产品,需要甲染料1吨,乙染料4吨,丙染料2吨;每生产一吨B产品,需要甲染料1吨,乙染料0吨,丙染料5吨,且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨、200吨.如果A产品的利润为300元/吨,B产品的利润为200元/吨,则该颜料公司一天内可获得的最大利润为( A )(A)14 000元 (B)16 000元(C)18 000元 (D)20 000元解析:设生产A产品x吨,B产品y吨,则(x,y∈N)利润z=300x+200y,画出可行域如图所示,由图可知,目标函数在A点取得最优解,由可得x=40,y=10,即A(40,10),此时,z取得最大值为14 000元.故选A.7.若函数y=2x图象上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的最大值为( B )(A) (B)1 (C) (D)2解析:在同一直角坐标系中作出函数y=2x的图象及所表示的平面区域,如图阴影部分所示.由于方程组有唯一解(1,2),观察图可知,当m≤1时,函数y=2x的图象上存在点(x,y)满足约束条件,故m的最大值为1.故选B.8.(2017·湖南三模)已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a= .解析:先根据约束条件画出可行域,如图所示,设z=2x+y,将最大值转化为y轴上的截距,当直线z=2x+y经过点B时,z最小,由得代入直线y=a(x-3)得,a=.答案:·临沂一模)已知正数x,y满足则z=4-x·()y的最小值为.解析:根据约束条件画出可行域如图所示,因为z=4-x·()y化成z=2-2x-y,直线z1=-2x-y过点A(1,2)时,z1最小值是-4,所以z=2-2x-y的最小值是2-4=.答案:能力提升(时间:15分钟)10.(2017·汉中二模)变量x,y满足条件则(x-2)2+y2的最小值为( C )(A)(B)(C)5 (D)解析:作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示,设z=(x-2)2+y2,则z的几何意义为区域内的点到定点D(2,0)的距离的平方,由图象知CD的距离最小,此时z最小.由得即C(0,1),此时z=(x-2)2+y2=4+1=5,故选C.11.设x,y满足约束条件,当且仅当x=y=4时,z=ax-y取得最小值,则实数a的取值范围是( B )(A)[-1,1] (B)(-∞,1)(C)(0,1) (D)(-∞,1)∪ (1,+∞)解析:作出约束条件所对应的可行域(如图阴影部分所示),变形目标函数可得y=ax-z,其中直线斜率为a,截距为-z,因为z=ax-y取得最小值的最优解仅为点A(4,4),所以直线的斜率a<1,即实数a的取值范围为(-∞,1),故选B.12.(2017·吉林二模)已知O是坐标原点,点A(-1,1).若点M(x,y)为平面区域上的一个动点,则·的取值范围是.解析:满足约束条件的平面区域如图所示,将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x=1,y=1时,·=-1×1+1×1=0,当x=1,y=2时,·=-1×1+1×2=1,当x=0,y=2时,·=-1×0+1×2=2,故·的取值范围为[0,2]答案:[0,2]13.(2017·上饶一模)甲、乙两企业根据赛事组委会要求为获奖者定做某工艺品作为奖品,其中一等奖奖品3件,二等奖奖品6件;制作一等奖、二等奖所用原料完全相同,但工艺不同,故价格有所差异.甲厂收费便宜,但原料有限,最多只能制作4件奖品,乙厂原料充足,但收费解析:设甲生产一等奖奖品x,二等奖奖品为y,x,y∈N,则乙生产一等奖奖品3-x,二等奖奖品为6-y,则满足设费用总和为z,则z=500x+400y+800(3-x)+600(6-y)=-300x-200y+6 000,作出不等式组对应的平面区域如图,平移z=-300x-200y+6 000,由图象知当直线经过点A时,直线截距最大,此时z最小,由解得A(3,1),组委会定做该工艺品的费用总和最低为z=-300×3-200+6 000=4 900.答案:4 900x,y满足(1)设z=,求z的最小值;(2)设z=x2+y2+6x-4y+13,求z的取值范围.解:由约束条件作出可行域如图阴影部分所示.由解得A(1,).由解得C(1,1).由解得B(5,2).(1)因为z==.所以z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.观察图形可知z min=k OB=.(2)z=x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2的几何意义是可行域上的点到点(-3,2)的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到(-3,2)的距离中,d min=1-(-3)=4,d max==8.故z的取值范围是[16,64].。

(福建专用)2019高考数学一轮复习课时规范练32二元一次不等式组与简单的线性规划问题理新人教A版

�� + �� + 1
区域的面积为 π,若 x,y 满足上述约束条件,则 z= �� + 3 的最小值为 ( ) 5 2+1
A.-1
B.- 7
1
7
C.3
D.-5
〚导学号 21500736〛
17.某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要 A,B,C 三种主要原料.生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车
A.0
B.2
C.5
D.6
4.给出平面区域如图所示,其中 A(5,3),B(1,1),C(1,5),若使目标函数 z=ax+y(a>0)取得最大值的
最优解有无穷多个,则 a 的值是( )
3
1
A.2
B.2
5
C.2
D.2
{ �� - �� + 1 ≥ 0,
2�� + �� - 2 ≥ 0,
{2�� - �� + 2 ≥ 0,
2�� + �� - 6 ≤ 0,
5
14.(2017 河南新乡二模,理 10)若实数 x,y 满足 0 ≤ �� ≤ 3, 且 z=mx-y(m<2)的最小值为-2,则
m 等于( )
5
5
A.4
B.-6
1
C.1
D.3
�� ≥ 0,
{�� - �� ≥ 0,
13.A 作出不等式组 2�� + �� ≥ 0 对应的平面区域如图(阴影部分).
∵目标函数 z=x+y 的最大值为 2, ∴z=x+y=2.

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