高中数学二轮总复习 小题训练(六)理 新课标(湖南专用)
高中数学二轮总复习 小题训练(八)理 新课标(湖南专用)
高中数学二轮总复习 小题训练（八） 理 新课标(湖南专用)时量：40分钟 满分：75分一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)且为偶函数的是( B )A ．y ＝x 12B ．y ＝x 4C ．y ＝x －2D ．y ＝x 13解析：由函数为偶函数淘汰A 、D.又y ＝x －2＝1x2不过点(0,0)，淘汰C ，故选B.2.设A 、B 是全集U 的两个非空子集，且A ⊆B ，则下列结论一定正确的是( C ) A ．A ∩B ＝B B ．A ∪B ＝AC ．U ＝B ∪(∁U A )D ．U ＝A ∪(∁U B )解析：利用韦恩图可知应选C.3.若sin α＝35，α∈(π2，π)，则sin2αcos 2α的值为( B ) A ．－34 B ．－32C.34D.32解析：由α∈(π2，π)，sin α＝35，可得cos α＝－45，则sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝－32，故选B. 4.3月，第十一届全国人大三次会议对中国中学教育的现状进行综合评分，得到如图的频率分布直方图，依据直方图估计综合评分的平均分为( A )A ．82.2B ．82C ．82.8D ．83解析：x －＝65×0.016×10＋75×0.024×10＋85×0.032×10＋95×0.028×10＝82.2，故选A.5.已知向量OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，设X 是直线OP 上一点，其中O 为坐标原点，则XA →·XB →的最小值是( A )A ．－8 B. 5 C ．8 D ．5 2解析：设OX →＝(2λ，λ)，则XA →＝(1－2λ，7－λ)，XB →＝(5－2λ，1－λ)，则XA →·XB →＝(1－2λ)·(5－2λ)＋(7－λ)·(1－λ)＝5(λ－2)2－8，当λ＝2时，XA →·XB →的最小值为－8，故选A.6.设m 、n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ；②若m ⊥n ，m ⊥β，则n ∥β；③若α∩β＝n ，m ∥n ，则m ∥α，且m ∥β； ④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β. 其中正确命题的个数是( A ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：命题①②③错误，命题④正确，故选A.7.过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点作直线l ⊥x 轴，交椭圆C 于A 、B 两点，若△OAB (O 为坐标原点)是直角三角形，则椭圆C 的离心率e 为( C )A.3－12B.3－22 C.5－12 D.5－32解析：依题设可得b 2a ＝c ，从而可得a 2－c 2＝ac ，则e 2＋e －1＝0，求得e ＝5－12(e ＝－5＋12<0舍去)，故选C.8.若函数f (x )＝|a x－1|－2a (a >0，a ≠1)存在两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( B )A ．0<a ≤12B ．0<a <12C ．0<a <1D ．1<a ≤2解析：令y ＝|a x－1|，y ＝2a ，在同一坐标系作出两函数的图象，可知，当0<a <1时，则0<2a <1，解得0<a <12；当a >1时，则2a >2，两函数图象只有一个交点，故0<a <12为所求，故选B.二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上． (一)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)9.直线y ＝x ＋1被曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θy ＝1＋2sin θ(θ为参数)截得的弦长为 2 2 .解析：由曲线的参数方程可得该曲线为圆，而圆心(2,1)到x －y ＋1＝0的距离为d ＝|2－1＋1|2＝2，则弦长为l ＝222－22＝22，故应填2 2.10.已知函数f (x )＝|x －1|，若不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )对∀a ≠0且a ，b ∈R 恒成立，则实数x 的取值范围是 [－1,3] .解析：由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )，且a ≠0，得f (x )≤|a ＋b |＋|a －b ||a |.而|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，则f (x )≤2，解|x －1|≤2，得－1≤x ≤3，故应填[－1,3]．11.一条1000 m 长的输电线路出现了故障，在线路的开始端A 处有电，在末端B 处没电，现在用对分法检查故障所在的位置，则第二次检查点在距开始端A 处 250 m 或750 m .解析：对分法可知，第一检查点应在距开始端A 处500 m ，则第二次检查点在距开始端A 处 250 m 或750 m.(二)必做题(12～16题)12.函数y ＝log 132x －1的定义域是 (12，1] .解析：由log 13(2x －1)≥0，得0<2x －1≤1，求得12<x ≤1，故应填(12，1]．13.二项式(x ＋2)5的展开式中含x 3项的系数为 40 .解析：由T r ＋1＝C r 525－r x r ，可知当r ＝3时，含x 3项的系数为C 35·22＝40.14.已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是 43cm 3.解析： 由三视图可知，该几何体为三棱锥，它的底面是底边长为2，底边上的高为2的等腰三角形，高为2.故其体积V ＝13×12×2×2×2＝43，故填43.15.在正三棱锥S －ABC 中，侧棱SC ⊥侧面SAB ，侧棱SC ＝23，则此正三棱锥的外接球的表面积为36π .解析：由正三棱锥SC 与侧面SAB 垂直，可得三条侧棱为相邻三边作出一个正方体，其棱长均为23，其外接球的直径就是此正方体的对角线，所以2R ＝23×3，即球半径R ＝3，所以球的表面积S ＝4πR 2＝36π.16.下面的数组均由三个数组成，它们是：(1,2,3)，(2,4,6)，(3,8,11)，(4,16,20)，(5,32,37)，…，(a n ，b n ，c n )．(1)请写出c n 的一个表达式c n ＝ n ＋2n；(2)若数列{c n }的前n 项和为M n ，则M 10＝ 2101 .(用数字作答)． 解析：由1,2,3,4,5，…，猜想a n ＝n ；由2,4,8,16,32，…，猜想b n ＝2n；由每组数都是“前两个之和等于第三个”猜想c n ＝n ＋2n，从而M 10＝(1＋2＋…＋10)＋(2＋22＋…＋210)＝10×10＋12＋2210－12－1＝2101.。
高中数学二轮总复习 小题训练六理课标 试题
2021届高中数学二轮总复习小题训练〔六〕理新课标(专用)时量：40分钟满分是：75分一、选择题：本大题一一共8个小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项符合题目要求．A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，假设A⊆B，那么实数a等于( B )A．－3 B．－2C．0 D．1解析：由A⊆B可得a＋3＝1，那么a＝－2，应选B.f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)．假设f(x)的图象如右图所示，那么函数g(x)＝a x＋b 的图象大致为( A )解析：由图象可知0<a<1，b<－1，而y＝a x＋b的图象是由y＝a x的图象向下平移|b|个单位长度得到的，应选A.3.在一个2×2列联表中，由其数据计算得K2＝13.097，那么其两个变量间有关系的可能性为( A )A．99% B．95%C ．90%D ．无关系解析：因为假如K 2的估计值K 2>10.828时，就有99.9%的把握认为“两个变量有关系〞，所以选项A 最适宜，应选A.4.如图，程度放置的三棱柱各棱长均为2，正视图是边长为2的正方形，俯视图是边长为2的正三角形，该三棱柱的侧视图的面积为( D )A ．4 B. 3 C ．2 2 D ．2 3解析：该三棱柱的侧视图是长为32×2＝3，宽为2的矩形，其面积为23，应选D. y ＝sin x ·cos x ＋3cos 2x －32的图象的一个对称中心是( D ) A ．(π6，0) B ．(－2π3，32)C ．(π3，－32)D ．(5π6，0)解析：y ＝sin x ·cos x ＋3cos 2x －32＝12sin2x ＋32(1＋cos2x )－32 ＝sin(2x ＋π3)．令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，当k ＝2时得对称中心为(5π6，0)，应选D.6.以下命题中正确的有( B )①△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，那么△ABC 的面积一定是32； ②函数f (x )＝(13)x －x 的零点所在区间是(13，12)；③“m ＝12〞是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0互相垂直〞的充分不必要条件；④p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0，那么綈p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 解析：①应有两种可能，32或者34. ②、③正确，对④，綈p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，应选B.C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R 且a ≠0)和圆C 2：x 2＋y 2－4by ＋4b 2－1＝0(b ∈R 且b ≠0)恰有三条公切线，那么1a 2＋1b2的最小值为( D )A.49B.19 C ．3 D ．1解析： 由题设知，圆C 1：(x ＋a )2＋y 2＝4与圆C 2：x 2＋(y －2b )2＝1外切， 那么|C 1C 2|＝a 2＋2b2＝3，即a 2＋4b 2＝9.从而1a 2＋1b 2＝19(a 2＋4b 2)·(1a 2＋1b 2)＝19(5＋4b 2a 2＋a 2b 2)≥19(5＋2·2b a ·a b )＝1，当且仅当a 2＝2b 2时等号成立，应选D.8.如图，一个质点从原点出发，在与y 轴、x 轴平行的方向按(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→(2,0)→(2,2)→…的规律向前挪动，且每秒钟挪动一个单位长度，那么到第2021秒时，这个质点所处位置的坐标是( B )A ．(14,44)B ．(12,44)C ．(44,12)D ．(44,13)解析：由图可知，质点走完一个矩形回路所走路程依次为3,5,7，…，(2n ＋1)个单位长度．由3＋5＋7＋…＋(2n ＋1)＜2021，得n ≤43.当质点走完第43个正方形时，一共走了1935个单位长度，余下77个单位长度是从(43,0)→(44,44)，有45个单位长度，再向左走32个单位长度即可，此时质点的坐标为(12,44)，应选B.二、填空题：本大题一一共8小题，考生答题7小题，每一小题5分，一共35分，把答案填在题中的横线上．(一)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题答题，假如全做，那么按前两题记分)xOy 的原点O 为极点，Ox 轴的正半轴为极轴，那么直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos αy ＝4sin α(α为参数)截得的弦长为 4 3 .解析： 由ρsin(θ＋π4)＝2得直线方程为x ＋y ＝22，又圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos αy ＝4sin α(α为参数)的方程为x 2＋y 2＝16，那么圆心(0,0)到直线x ＋y ＝22的间隔 d ＝222＝2，从而弦长l ＝242－22＝43，故填4 3.10.优选法中，用0.618法确定试点时，从第2次试验开场，每一次试验都把存优范围缩小为原来的0.618.因此，n 次试验后的精度δnn －1.11.如图，P 是⊙O 外一点，PD 为⊙O 的切线，D 为切点，割线PEF 经过圆心O ，假设PF ＝12，PD ＝43，∠EFD 的度数为 30° .解析：由切割线定理得PD 2＝PE ·PF ⇒PE ＝PD 2PF ＝16×312＝4⇒EF ＝8，OD ＝4.因为OD ⊥PD ，OD ＝12PO ，所以∠P ＝30°，∠POD ＝60°，∠EFD ＝12∠POD ＝30°.(二)必做题(12～16题)f (xxx 2x 3＋6x 4x 5＋x 6在x ＝－2时的值时，令v 0＝a 6，v 1＝v 0x ＋a 5，…，v 6＝v 5x ＋a 0时，v 3的值是 －44.46 . 解析：根据算法：v 0＝1，v 1＝1×(－2)－5.2＝－7.2，v 2＝－7.2×(－2)＋6＝14.4＋6＝20.4，v 3＝20.4×(－2)－3.66＝－40.8－3.66＝－44.46.13.假设(2x ＋3)3＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3，那么(a 0＋a 2)2－(a 1＋a 3)2的值是 －1 . 解析：(a 0＋a 2)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3)·(a 0－a 1＋a 2－a 3) ＝(2×1＋3)3·[2×(－1)＋3]3＝(2＋3)3·(－2＋3)3＝(3－4)3＝－1.14.sin(π4－x )＝35，那么sin2x 的值是 725 .解析：因为sin(π4－x )＝35，即22cos x －22sin x ＝35， 所以cos x －sin x ＝325，所以1－2sin x ·cos x ＝1825，所以sin2x ＝725.v (t )＝t 2－3t ＋2(m/s)从时间是t ＝0(s)开场做直线运动，那么到t ＝3 s 时，质点运动的路程是116. 解析：因为v (t )＝(t －1)(t －2)，t ∈[0,3]， 当t ∈[0,1]∪[2,3]时，v (t )≥0; 当t ∈[1,2]时，v (t )≤0.所以到t ＝3s 时，质点所走的路程为S ＝⎠⎛01v (t )d t ＋|⎠⎛12v (t )d t |＋⎠⎛23v (t )d t＝⎠⎛01v (t )d t －⎠⎛12v (t )d t ＋⎠⎛23v (t )d t＝(13t 3－32t 2＋2t )|10－(13t 3－32t 2＋2t )|21 ＋(13t 3－32t 2＋2t )|32 ＝116.16.函数f(x)＝|x＋1|＋|x＋2|＋…＋|x＋2021|＋|x－1|＋|x－2|＋…＋|x－2021|(x∈R)，且f(a2－3a＋2)＝f(a－1)，那么满足条件的所有整数a的和是 6 .解析：因为函数f(x)＝|x＋1|＋|x＋2|＋…＋|x＋2021|＋|x－1|＋|x－2|＋…＋|x－2021|(x∈R)，所以f(－x)＝|－x＋1|＋|－x＋2|＋…＋|－x＋2021|＋|－x－1|＋|－x－2|＋…＋|－x＋2021|＝|x＋1|＋|x＋2|＋…＋|x＋2021|＋|x－1|＋|x－2|＋…＋|x－2021|＝f(x)．即函数f(x)为偶函数．假设f(a2－3a＋2)＝f(a－1)，那么a2－3a＋2＝a－1，或者a2－3a＋2＝－(a－1)，即a2－4a＋3＝0，或者a2－2a＋1＝0，解得a＝1或者a＝3.又由f(x)的几何意义知，f(0)＝f(1)＝f(－1)，所以当a＝2时，也满足要求，故满足条件的所有整数a的和是1＋2＋3＝6.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
2020届高中数学二轮总复习 小题训练(五)理 新课标(湖南专用)
2020届高中数学二轮总复习 小题训练（五） 理 新课标(湖南专用)时量：40分钟 满分：75分一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知集合M ＝{x |x <3}，N ＝{x |log 2x >1}，则M ∩N ＝( C ) A ．∅ B ．{x |0<x <3}C ．{x |2<x <3}D ．{x |1<x <3}2.z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i ，若z 1z 2为实数，则实数m 的值为( B ) A.83 B ．－32 C ．－83 D.32解析：因为z 1z 2＝m ＋2i3＋4i32＋42＝3m －8＋4m ＋6i25∈R ，所以4m ＋6＝0，所以m ＝－32，故选B.3.若tan α＝2，则tan(π4＋α)的值为( B )A ．3B ．－3 C.13 D ．－134.如图，按如下程序框图，若输出结果为170，则判断框内应补充的条件为( D )A ．i >5?B ．i ≥7?C ．i >9?D ．i ≥9?5.已知两条不同直线m ，n ，两个不同平面α，β，给出下面四个命题： ①m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥α；②α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n ； ③m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α；④α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β. 其中真命题的序号是( C ) A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．②③解析：②不正确，m 与n 可平行，亦可是异面直线；③不正确，n ∥α或n ⊂α，①④正确，故选C.6.设y ＝8x 2－ln x ，则此函数在区间(0，14)和(12，1)内分别为( C )A ．单调递增，单调递增B ．单调递增，单调递减C ．单调递减，单调递增D ．单调递减，单调递减解析：因为y ′＝16x －1x ＝16x －14x ＋14x ，当x ∈(0，14)时，y ′<0；当x ∈(12，1)时，y ′>0，所以y ＝8x 2－ln x 在(0，14)上单调递减，在(12，1)上单调递增．故选C.7.已知a ∈R ＋，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，…，可推广为x ＋axn ≥n ＋1，则a 的值为( D )A ．2nB ．n 2C ．22(n －1)D ．n n解析：x ＋1x ≥2x ·1x＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x2＝3， x ＋t x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋t x 3≥44x 333·t x3＝4， 所以t ＝33，所以x ＋a x n ＝x n ＋x n ＋…＋ax n ≥(n ＋1)n ＋1x n n n ·a x n ＝n ＋1，所以a ＝n n，故选D. 8.设a >1为常数，函数f (x )＝|log a x |，已知当x ∈[m ，n ](0<m <n )时，f (x )的值域是[0,1]，且n －m 的最小值是23，则a 的值为( A )A ．3B ．2 C.32 D.53解析：因为f (x )的值域为[0,1]，又a >1，由函数图象可知f (x )的定义域可能是[m ，a ](1a ≤m ≤1)或[1a，n ](1≤n ≤a )，其中长度最短的区间可能是[1，a ]或[1a，1]．又因为(1－1a )－(a －1)＝2a －1－a2a＝－a －12a<0，所以f (x )的可能定义域中，区间[1a，1]的长度最短，由n －m 的最小值为23，得1－1a ＝23，所以a ＝3，故选A.二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上．(一)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)9.已知抛物线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t2y ＝2t (t 为参数)，设O 为坐标原点，点M (x 0，y 0)在C 上运动，点P (x ，y )是线段OM 的中点，则点P 的轨迹的普通方程为 y 2＝x .10.函数y ＝x ＋3－x 的最大值为 6 .解析： 由柯西不等式(x ＋3－x )2≤[(x )2＋(3－x )2]·(12＋12)＝6， 所以x ＋3－x ≤6，即函数y ＝x ＋3－x 的最大值为 6.11.如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知AD ＝42，AC ＝8，圆O 的半径为4，则∠BDC 的大小为 30° .解析： 由切割线定理得AD 2＝AB ·AC ，则AB ＝AD 2AC ＝4228＝4，从而BC ＝AC －AB ＝4，又OB ＝OC ＝4，则∠BOC ＝60°，所以∠BDC ＝12∠BOC ＝30°，故填30°.(二)必做题(12～16题)12.已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a ·b ＝ 3 .13.现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为 0.2 .14.在如图表格中，每格填上一个正数后，使每一横行成等比数列，每一纵行成等差数列，则a ＋b ＋c ＝ 76 .1 2 4 3 6 a b c1 2 4 8 16 3 6 12 24 8 16 32 20 40 4815.＝1相切，则圆C 的标准方程是 (x －1)2＋(y ＋2)2＝2 .解析：因为圆心C 在直线2x ＋y ＝0上， 可设圆心为C (a ，－2a )， 则点C 到直线x ＋y ＝1的距离 d ＝|a －2a －1|2＝|a ＋1|2.据题意，d ＝|AC |， 则|a ＋1|2＝a －22＋－1＋2a 2，解得a ＝1.所以圆心为C (1，－2)，半径r ＝d ＝2，故所求圆的方程是(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.16.已知f (x )＝sin x ，g (x )＝cos x ，则有如下性质：(1)f ′(x )＝g (x ); (2)f 2(x )＋g 2(x )＝1；(3)f (2x )＝2f (x )g (x ); (4)g (2x )＝g 2(x )－f 2(x )．若设h (x )＝e x ＋e －x 2，k (x )＝e x －e－x 2，类比f (x )，g (x )所满足的性质，写出一个关于h (x )和k (x )的性质是 ①h ′(x )＝k (x )(或②k (2x )＝2h (x )k (x )或③h (2x )＝h 2(x )＋k 2(x )或④h 2(x )－k 2(x )＝1其中一个即可) .。
湖南高考数学二轮备考专项练习及答案
湖南高考数学二轮备考专项练习及答案做题是协助考生查缺补漏的最好方法，下面是查字典数学网整理的2021年湖南高考数学二轮备考专项练习，请大家及时练习。
1.M(-2，0)，N(2，0)，|PM|-|PN|=3，那么动点P的轨迹是()A.双曲线B.双曲线左边一支C.双曲线左边一支D.一条射线2.假定双曲线方程为x2-2y2=1，那么它的右焦点坐标为()3.(2021纲要全国，文11)双曲线C:=1(a0，b0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，那么C的焦距等于()A.2B.2C.4D.44.过双曲线=1(a0，b0)的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P.假定M为线段FP的中点，那么双曲线的离心率是()A.3B. 8C.2D.55.双曲线的两个焦点为F1(-，0)，F2(，0)， M是此双曲线上的一点，且满足=0，||||=2，那么该双曲线的方程是()A.-y2=1B.x2-=1C.=1D.=16.双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上。
假定|F1A|=2|F2A|，那么cosAF2F1=()A.2B. 3C.1D.0参考答案：1.C。
解析：|PM|-|PN|=34，由双曲线定义知，其轨迹为双曲线的一支。
又|PM||PN|，点P的轨迹为双曲线的右支。
2.C。
解析：双曲线的规范方程为x2-=1，a2=1，b2=。
c2=a2+b2=。
c=，故右焦点坐标为。
3.C。
解析：e=2，=2。
设焦点F2(c，0)到渐近线y=x的距离为，渐近线方程为bx-ay=0，∵c2=a2+b2，b=。
由=2，得=2，=4，解得c=2.焦距2c=4，应选C。
4.A。
解析：如下图，在RtOPF中，OMPF，且M为PF的中点，那么POF为等腰直角三角形。
所以OMF也是等腰直角三角形。
所以有|OF|=|OM|，即c=a。
故e=。
5.A。
解析：由=0，可知。
可设||=t1，||=t2，那么t1t2=2。
高中数学二轮总复习 综合训练(二) 理 新课标(湖南专用)
高中数学二轮总复习 综合训练（二） 理 新课标(湖南专用)时量：50分钟 满分：50分解答题：本大题共4小题，第1,2,3小题各12分，第4小题14分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．1.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0,0<φ<π2，x ∈R )的图象上相邻两条对称轴之间的距离为π2，其图象上一个最高点为P (π6，3)． (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[π12，π2]时，求f (x )的值域． 解： (1)由f (x )图象上的一个最高点为P (π6，3)得A ＝3. 又由f (x )图象上相邻两条对称轴之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π. 所以ω＝2πT ＝2ππ＝2. 由点P (π6，3)在图象上，得3sin(2×π6＋φ)＝3，即sin(φ＋π3)＝1， 则φ＋π3＝2k π＋π2，即φ＝2k π＋π6(k ∈Z )， 又0<φ<π2，则φ＝π6. 故f (x )＝3sin(2x ＋π6)． (2)因为x ∈[π12，π2]，所以2x ＋π6∈[π3，7π6]． 当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取最大值3， 当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取最小值－32. 故f (x )的值域为[－32，3]．2.如图所示的几何体是由四棱锥P －ABCD 与三棱锥P －BCE 组合成而成，已知四边形PABE 是边长为2a 的正方形，BC ⊥平面PABE ，DA ∥CB ，且BC ＝2AD ＝2a ，M 是PC 的中点．(1)求证：DM ∥平面PABE ；(2)求点E 到平面PCD 的距离；(3)求平面PCD 与平面PABE 所成二面角的余弦值．解析：以A 为坐标原点，分别以直线AP 、AB 、AD 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．因为PA ＝AB ＝2a ，BC ＝2AD ＝2a ，则A (0,0,0)，P (2a,0,0)，B (0,2a,0)，E (2a,2a,0)，D (0,0，a )，C (0,2a,2a )，M (a ，a ，a )．(1)证明：因为DM →＝(a ，a,0)，AB →＝(0,2a,0)，AP →＝(2a,0,0)，所以DM →＝12AB →＋12AP →， 所以DM →与AB →，AP →共面．又D ∉平面PABE ，所以DM ∥平面PABE .(2)DC →＝(0,2a ，a )，DP →＝(2a,0，－a )．设n ＝(x ，y ，z )为平面PCD 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DC →＝0n ·DP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2ay ＋az ＝02ax －az ＝0，取z ＝2，则y ＝－1，x ＝1，所以n ＝(1，－1,2)．又PE →＝(0,2a,0)，设E 到平面PCD 的距离为d ，则d ＝|PE →·n ||n |＝2a 6＝6a 3， 所以点E 到平面PCD 的距离为63a . (3)由(2)知平面PCD 的法向量n ＝(1，－1,2)，而平面PABE 的一个法向量m ＝(0,0,1)． 设平面PCD 与平面PABE 所成的角为θ，则cos θ＝m ·n |m |·|n |＝26×1＝63. 3.从某中学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)由图中数据求a 的值以及身高在[165,170)之内的学生人数b ；(2)若要从身高在[170,175)，[175,180)，[180,185]的三组内的学生中，用分层抽样方法选取6名学生参加某项选拔，求各组分别选取的人数；(3)学校决定在(2)中选取的6名学生中随机抽取3名学生进行某项测试，设身高在[170,175)内的学生被抽取的人数为ξ，求ξ的分布列以及ξ的数学期望．解析：(1)由频率分布直方图可知，组距为5，所以(0.07＋a ＋0.04＋0.02＋0.01)×5＝1，所以a ＝0.06.身高在[165,170)组内的学生人数b ＝0.07×5×100＝35人．(2)因为身高在[170,175)，[175,180)，[180,185]的学生人数分别为0.06×5×100＝30人，0.04×5×100＝20人，0.02×5×100＝10人，利用分层抽样方法从中抽取6名学生，则每组分别抽取3060×6＝3人，2060×6＝2人，1060×6＝1人， 所以在[170,175)，[175,180)，[180,185]三组中分别抽取3人，2人，1人．(3)在选取的6名学生中随机抽取3名学生进行测试，身高在[170,175)内的学生被抽取的人数ξ的可能取值分别为0,1,2,3，且P (ξ＝0)＝C 33C 6＝120，P (ξ＝1)＝C 13·C 23C 6＝920， P (ξ＝3)＝C 33C 36＝120，P (ξ＝2)＝920， 所以ξ所以E ξ＝0×20＋1×20＋2×20＋3×20＝20＝2. 4.某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x (x ≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q (x )＝3000＋50x (单位：元)，为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费最小值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积) 解析：设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，依题意得f (x )＝Q (x )＋8000×100004000x ＝50x ＋20000x＋3000(x ≥12，x ∈N )． 方法1：f (x )＝50x ＋20000x ＋3000≥250x ·20000x＋3000＝5000， 当且仅当50x ＝20000x，即x ＝20上式取“＝”． 因此，当x ＝20时，f (x )取得最小值5000(元)．方法2：f (x )＝50x ＋20000x ＋3000，f ′(x )＝50－20000x2， f ′(x )＝0(x ≥12)⇔x ＝20.12≤x <20时，f ′(x )<0，f (x )是减函数；x >20时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，所以当且仅当x ＝20时，f (x )有最小值f (20)＝5000.答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费最小值为5000元．。
高中新课标数学(理)二轮总复习(湖南用)小题训练(四)
小 题 训 练 (四)时量：40分钟 满分：75分一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.设全集U ＝R ，A ＝{x |x (x ＋3)<0}，B ＝{x |x <－1}，则下图中阴影部分表示的集合为( B )A ．{x |－3<x <－1}B ．{x |－1≤x <0}C ．{x |－3<x <0}D ．{x |－1<x <0}解析：阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |－3<x <0}∩{x |x ≥－1}＝{x |－1≤x <0}，故选B.2.定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －3)＝f (x ＋2)，则f (1)＝2，则f (2011)－f (2010)＝( B )A ．1B ．2C ．0D ．20113.等差数列{a n }中，若a 10＝10，a 19＝100，前n 项和S n ＝0，则n 等于( C )A ．7B ．9C ．17D ．19解析：在等差数列{a n }中，a 10＝10，a 19＝100，所以d ＝a 19－a 1019－10＝10，a 1＝a 10－9d ＝－80， 所以S n ＝－80n ＋n (n －1)2×10＝0， 所以n ＝17(n ＝0舍去)，故选C.4.条件甲：x 2＋y 2≤4，条件乙：x 2＋y 2≤2x ，那么甲是乙的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.把函数y ＝cos x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图象向左平移π4个单位长度，则所得图象表示的函数为( B ) A ．y ＝2sin x B ．y ＝－2sin2xC ．y ＝2cos(x ＋π4)D ．y ＝2cos(x 2＋π4) 解析：y ＝cos x 横坐标缩小到原来的一半，变为y ＝cos2x ，纵坐标扩大到原来的两倍，则变为y ＝2cos2x ，再向左平移π4个单位长度变为y ＝2cos2(x ＋π4)＝2cos(2x ＋π2)＝－2sin2x ，故选B.6.位于数轴原点的一电子兔沿着数轴按下列规则移动：电子兔每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，向左移动的概率为23，向右移动的概率为13，电子兔移动五次后位于(－1,0)的概率是( D )A.4243B.8243C.40243D.80243解析：电子兔移动五次后位于(－1,0)，则5次移动中，向左移动3次，向右移动2次，故其概率为C 35·(23)3·(13)2＝80243，故选D. 7.已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的离心率是( B ) A.52B. 5C.102D.153解析：因为F 1(－5，0)，PF 1的中点坐标为(0,2)， 所以点P 的坐标为(5，4)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝55a 2－16b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝4， 所以所求双曲线方程为x 2－y 24＝1，离心率e ＝c a ＝51＝5，故选B. 8.给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数，以下四个函数在(0，π2)上不是凸函数的是( D ) A ．f (x )＝sin x ＋cos x B ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－x ＋2x －1D ．f (x )＝－x e －x解析：若f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ″(x )＝－sin x －cos x ，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0. 若f (x )＝ln x －2x ，则f ″(x )＝－1x 2，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0. 若f (x )＝－x 3＋2x －1，则f ″(x )＝－6x ，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0； 若f (x )＝－x e －x ，则f ″(x )＝2e －x －x e －x ，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )>0，故选D. 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上．(一)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分) 9.已知直线l ：x －y ＋4＝0，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θy ＝1＋2sin θ(θ为参数)，则曲线C 上各点到l 的距离的最小值是 2 .10.若x ，y ，a ∈R ＋，且x ＋y ≤a x ＋y 恒成立，则a 的最小值是2 . 解析：因为(x 2＋y 2)(12＋12)≥(x ＋y )2，所以x 2＋y 2≥22(x ＋y )，则x ＋y ≥22(x ＋y )， 而x ＋y ≤a x ＋y ， 即x ＋y ≥1a(x ＋y )恒成立， 则1a ≤22，所以a ≥2，a 的最小值为 2.11.培养葡萄酒酵菌，一般设定温度为(37±1)℃，培养时间为48小时以上，某葡萄酒厂为缩短发酵时间，决定优选培养温度，试验温度固定在29～50℃，精确度为±1℃，用分数法安排试验，则第二个试验温度为 37 ℃.解析： 依题意，第一个试点为x 1＝29＋1321(50－29)＝42℃，第二个试点为x 2＝29＋50－42＝37℃，故填37℃.(二)必做题(12～16题)12.在某文艺大赛上，七位评委为某位选手打出的分数的茎叶图如右图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数是 85 ，方差是 1.6 .解析：去掉最高分93，最低分79，x －＝84＋84＋84＋86＋875＝85. s 2＝15[(85－84)2＋(85－84)2＋(85－84)2＋(85－86)2＋(85－87)2]＝1.6.13.如图，图(1)、(2)、(3)分别是图(4)表示的几何体的三视图，其中正视图是 图(2) ，侧视图是 图(1) ，俯视图是 图(3) .14.下列程序中，当x ＝－2时，程序运行后输出的结果是 y ＝3 .INPUT “x ＝”；xIF x>＝0 THENy ＝x^2－1ELSEy ＝2]解析：由程序可知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1 (x ≥0)2x 2－5 (x<0)， 当x ＝－2时，y ＝2×(－2)2－5＝3，故输出的结果是y ＝3.15.设函数f(x)＝⎩⎨⎧1x (x<0)32x －1 (x ≥0)，若f(m)>m ，则实数m 的取值范围是 (－∞，－1)∪(2，＋∞) .解析： 由题设知⎩⎪⎨⎪⎧ m<01m >m 或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥032m －1>m ，解得m<－1或m>2. 16.设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且同时满足条件：①f (x －2)＝－f (x )对一切x ∈R 恒成立；②当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 3.则f (x )在x ∈[1,3]上的解析式为f (x )＝ (2－x )3 ，f (x )在R 上的值域为 [－1,1] .解析： 由f (x －2)＝－f (x )可知，当x ∈[1,3]时，x －2∈[－1,1]，因此f (x )＝－f (x －2)＝－(x －2)3＝(2－x )3，又f (x ＋2)＝－f [(x ＋2)－2]＝－f (x )，则f (x ＋2)＝f (x －2)，从而f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝f (x )，故f(x)是以4为周期的周期函数．当x∈[－1,3]时，－1≤f(x)≤1，故x∈R时，－1≤f(x)≤1.。
高中数学二轮总复习 小题训练(三)理 新课标(湖南专用)
2013届高中数学二轮总复习 小题训练（三） 理 新课标(湖南专用)时量：40分钟 满分：75分一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.设复数z 满足z (1－2i)＝4＋2i(i 为虚数单位)，则|z |为( B ) A ．1 B ．2 C.32 D.852.函数y ＝log 12x －的定义域是( D ) A ．[1，＋∞) B．(23，＋∞)C ．[23，1]D ．(23，1]解析：由log 12(3x －2)≥0，得0<3x －2≤1，所以23<x ≤1，所以函数y ＝log 12x －的定义域为(23，1]，故选D.3.如果等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 7＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 9的值为( C ) A ．18 B ．27 C ．36 D ．544.函数f (x )＝(3sin x －4cos x )·cos x 的最小正周期及最大值分别是( A )A ．π，12B ．π，52C ．2π，12D ．2π，3解析：f (x )＝3sin x ·cos x －4cos 2x ＝32sin2x －2(cos2x ＋1) ＝32sin2x －2cos2x －2 ＝52sin(2x －φ)－2， (其中cos φ＝35，sin φ＝45.)所以最小正周期T ＝2π2＝π，最大值f (x )max ＝52－2＝12，故选A.5.若向量a 与向量b 的夹角为60°，且|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( C )A ．2B ．4C ．6D ．12解析：因为(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，即|a |2－a ·b －6|b |2＝－72.又|b |＝4，a ·b ＝|a ||b |cos60°＝2|a |，所以|a |2－2|a |－24＝0，所以|a |＝6(|a |＝－4舍去)，故选C.6.命题p ：已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则A 1A 2B 1B 2＝－1是l 1⊥l 2的充要条件；命题q ：方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则m <12，下列命题中是真命题的是( C )A ．p ∧(綈q )B ．p ∧qC ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q )解析：因为p 为假，q 为真，所以(綈p )∧q 为真，故选C. 7.某几何体的三视图如图所示，它的体积为( C )A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π解析：该几何体下半部分是半径为3，高为5的圆柱，体积为V ＝π×32×5＝45π，上半部分是半径为3，高为4的圆锥，体积为V ＝13×π×32×4＝12π，所以体积为57π.8.已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．(－1,2)解析：因为f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， 又因为f (x )既有极大值又有极小值， 则方程f ′(x )＝0有两不等实根，所以(6a )2－3×4×3(a ＋2)>0，即a 2－a －2>0，所以a <－1或a >2.二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上．(一)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)9.在极坐标系中，点(1,0)到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝2的距离为 22.10.利用黄金分割法确定最佳点时，各试点依次记为x 1，x 2，…，x n ，…，若第k 次实验后的存优范围是(x k －1，x k －3)，则第k ＋1个试点的值为 x k －1＋x k －3－x k .解析：由黄金分割法知，第k 个试点是好点，所以第k ＋1个试点的值为x k －1＋x k －3－x k . 11.设f (x )＝|x －1|＋|x －a |，若∀x ∈R ，f (x )≥2成立，则a 的取值范围是 (－∞，－1]∪[3，＋∞) .解析：|x －1|＋|x －a |≥|a －1|，∀x ∈R ，f (x )≥2成立，所以|a －1|≥2， 所以a ≤－1或a ≥3. (二)必做题(12～16题)12.从3名男生和1名女生中选3人，分别担任班长，体育委员，宣传委员，其中女生不担任体育委员，那么不同任职方式有 18 种．解析：因为女生不担任体育委员，则体育委员共有C 13种安排方法，而班长与宣传委员共有A 23种安排方法，则共有C 13·A 23＝3×3×2＝18种．13.已知随机变量ξ的期望是E ξ，方差D ξ＝1，则η＝2ξ＋5的方差D η＝ 4 .解析：D η＝D (2ξ＋5)＝22×D ξ＝4.14.如果我国农业总产值每年以9%的增长率增长，“求几年后，我国农业总产值将翻一番”的算法程序框图如下，则①②处分别填① P <200 ，② P ＝P ×(1＋R ) .15.由直线x ＝0，y ＝2，y ＝x 所围成的封闭曲线绕x 轴旋转一周而围成的几何体的表面积是 4(3＋2)π .解析：如图，所围成的几何体为圆柱中挖去一圆锥，其底面圆半径为2，高为2，圆柱的侧面积及一底面积之和为2π×2×2＋π×22＝12π，圆锥的母线长为22，则圆锥的侧面积为π×2×22＝42π，故表面积为12π＋42π＝4(3＋2)π. 16.已知以T ＝4为周期的函数f (x )＝⎩⎨⎧m 1－x 2，x ∈－1，1]1－|x －2|，x ∈，3]，其中m ＞0.若方程3f (x )＝x 恰有5个实数解，则m的取值范围为 (153，7) . 解析：因为当x ∈(－1,1]时，将函数化为方程x 2＋y 2m2＝1(y ≥0)，实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当x ∈(1,3]的图象，再根据周期性作出函数其他部分的图象，由图易知直线y ＝x3与第二个半椭圆(x －4)2＋y 2m 2＝1(y ≥0)相交，而与第三个半椭圆(x －8)2＋y 2m2＝1(y ≥0)无公共点时，方程恰有5个实数解，将y ＝x 3代入(x －4)2＋y 2m 2＝1(y ≥0)得：(9m 2＋1)x 2－72m 2x ＋135m 2＝0，令t ＝9m 2(t >0)，则(t ＋1)x 2－8tx ＋15t ＝0，由Δ＝(8t )2－4×15t (t ＋1)>0，得t >15，由9m 2>15，且m >0得m >153， 同样由y ＝x3与第三个椭圆(x －8)2＋y 2m2＝1(y ≥0)方程联立，及Δ<0可计算得0<m <7，综上知m ∈(153，7)．。
高中新课标数学(理)二轮总复习(湖南用)小题训练(九)
小 题 训 练 (九)时量：40分钟 满分：75分一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.sin45°·cos15°＋cos225°·sin15°的值为( A ) A.12 B ．－12C ．－32 D.32解析：原式＝sin45°cos15°－cos45°sin15°＝sin(45°－15°)＝12，故选A.2.已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，若(1－2i)(x ＋i)＝4＋y i ，则xy 的值等于( A ) A ．－6 B ．－2 C ．2 D ．6解析：由题设可得(x ＋2)＋(1－2x )i ＝4＋y i ，从而⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝41－2x ＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－3，从而xy ＝－6，故选A.3.函数y ＝ln(1－x )的图象大致是( C )解析：由于y ＝ln(1－x )的定义域为(－∞，1)，淘汰A 、B.又y ＝ln(1－x )是减函数，淘汰D.故应选C.4.已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋CO →＝0，则△ABC 的内角A 等于( A ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°解析：由OA →＋OB →＋CO →＝0，得OA →＋OB →＝OC →，如图．由O 为△ABC 外接圆的圆心结合向量加法的几何意义知，四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°，故选A.5.已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0垂直，则|ab |的最小值为( C )A ．5B ．4C ．2D ．1解析：由两直线垂直得a 2b －(a 2＋1)＝0且a ≠0，从而b ＝a 2＋1a 2，所以|ab |＝|a ·1＋a 2a2|＝|1＋a 2a |＝|a ＋1a|≥2，故选C. 6.如图是一个几何体的三视图，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，则此几何体的表面积为( D )A.π2＋4B.3π2＋4C.π2＋8D.3π2＋8 解析：几何体是一个半径为22的半球和一个长方体的组合体，S 表＝S 半球表＋S 长方体表－2S 长方体底面＝12×4πR 2＋πR 2＋10－2＝3π2＋8，故选D. 7.命题“∃x ∈R ，x 2＋ax －4a <0是假命题”是命题“－4≤a ≤0”的( B ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件解析：由于∃x ∈R ，x 2＋ax －4a <0是假命题，因此∀x ∈R ，x 2＋ax －4a ≥0是真命题，则Δ＝a 2＋16a ≤0，即－16≤a ≤0⇒/ －4≤a ≤0，而－4≤a ≤0⇒－16≤a ≤0，故应选B.8.已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( A )A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ．x 1<x 3<x 2D ．x 3<x 2<x 1解析：因为f (－1)<0，f (0)＝1>0，所以－1<x 1<0，同理x 2∈(1e，1)，x 3∈(1,3)，选A.二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上．(一)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)9.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1y ＝4－2t (参数t ∈R )，以直角坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立相应的极坐标系，在此极坐标系中，若圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，则圆心C 到直线l 的距离为 2 .10.为了提高一线普工的工作积极性，对新人工资进行优选，已知普工的工资范围为[1000,2000]元，用0.618法安排在1618元，第二试点安排在 1382 元，如果第二试点效果比第一个试点好，那么第三试点安排在 1236 元．11.如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆周上，CD ⊥AB 于D ，且AD ＝5DB .设∠COD＝θ，则tan θ＝ 52.解析：设BD ＝k (k >0)． 由AD ＝5DB ，得AD ＝5k ，AO ＝BO ＝5k ＋k2＝3k ＝OC ，从而OD ＝2k .由勾股定理，CD ＝OC 2－OD 2＝5k ，则tan θ＝CD OD ＝5k 2k ＝52.(二)必做题(12～16题)12.甲、乙两名学生参加数学竞赛培训，从他们在培训期间参加的若干次预赛的成绩中从统计学的角度，甲获得85分(含85分)以上的概率为 38，派 乙 同学参加数学竞赛比较合适．13.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x x ＋y ≤1y ≥－1，则z ＝2x －y 的最大值是 5 .解析：作出约束条件的可行域，分析观察可知x ＝2，y ＝－1，即点P (2，－1)为最优解时，z 的最大值为5.14.设全集B ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1，a －2,5}，定义集合A 与B 的差为A －B ＝{x |x ∈B ，且x ∉A }，若A －B ＝{2,4}，则实数a 的可能取值为 5 .解析：依题意，a －2一定为3，即a －2＝3，得a ＝5，故应填5. 15.执行下边的程序框图，输出的T ＝ 30 .解析：按照程序框图依次执行为S ＝5，n ＝2，T ＝2；S ＝10，n ＝4，T ＝2＋4＝6； S ＝15，n ＝6，T ＝6＋6＝12；S＝20，n＝8，T＝12＋8＝20；S＝25，n＝10，T＝20＋10＝30>S.故输出T＝30.16.对于数列{a n}：1,3,3,3,5,5,5,5,5，…，即正奇数k有k个，存在整数r，s，使得对任意正整数n，都有a n＝r[n＋s]＋1恒成立，(其中[x]表示不超过x的最大整数)，则r＝2，s ＝－1.解析：由题设a1＝1＝2[1－1]＋1，a2＝3＝2[2－1]＋1，a3＝2[3－1]＋1，a4＝2[4－1]＋1.于是猜得a n＝2[n－1]＋1，从而r＝2，s＝－1，由数列1,3,3,3,5,5,5,5,5，…可知，它的第m2＋1项到第(m＋1)2项的值均为2m＋1，即当m2＋1≤n≤(m＋1)2时，a n＝2m＋1.由于当m2＋1≤n≤(m＋1)2时，2[m2＋1－1]＋1≤2[n－1]＋1≤2[(m＋1)2－1]＋1，即2m＋1≤2[n－1]＋1≤2m＋1，所以2[n－1]＋1＝2m＋1，即a n＝2m＋1，故r＝2，s＝－1时，∀n∈N*，a n＝2[n－1]＋1，所以填2，－1.。
2021-2022年(新课程)高中数学二轮复习 精选考前小题狂练6 理 新人教版
2021-2022年（新课程）高中数学二轮复习 精选考前小题狂练6 理 新人教版一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．复数⎝⎛⎭⎪⎫3－i 1＋i 2＝ ( )．A ．－3－4iB ．－3＋4iC ．3－4iD ．3＋4i2．命题p ：若a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角．命题q ：定义域为R 的函数y ＝f (x )在(－∞，0)及(0，＋∞)上都是增函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．下列说法正确的是( )．A ．“p 或q ”是真命题B ．“p 且q ”是假命题C ．“綈p ”为假命题D ．“綈q ”为假命题3．函数f (x )＝2x 3－6x 2＋7在(0,2)内零点的个数为( )．A ．0B ．1C ．2D ．4 4．已知向量a ＝(x ＋1,2)，b ＝(－1，x )．若a 与b 垂直，则|b |＝( )．A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 5．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin 2α的值为 ( )．A.103 B.53 C.23D ．－2 6．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )．A.112 B.14 C.13 D.7127．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≥0，－x 2－x ，x <0，则不等式f (x )>0的解的区间是( )．A ．(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)8．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，0≤y ≤12，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a 为常数)仅在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12处取得最大值，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－2,2)B ．(0,1)C ．(－1,1)D ．(－1,0)9．执行如图所示的程序框图，若p ＝4， 则输出的S ＝( )．A.1516B.34C.1716D.517 10．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )．A ．－15B ．－5C ．5 D.1511．某一随机变量ξ的分布列如下表，且E (ξ)＝1.5，则m －n 的值为( ).ξ 0 1 2 3 P0.2m n0.312．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为( )． A.19 B.14 C.13 D.12 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13．已知函数y ＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图，则φ＝________.14．设F 1，F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF 1→·PF 2→的值等于________．15．在△ABC 中，|BC |＝4，且BC 落在x 轴上，BC 中点为坐标原点，如果sin C －sin B ＝12sin A ，则顶点A 的轨迹方程是________． 16．方程2－x＋x 2＝3的实数解的个数为________．参考答案【小题狂练(六)】 1．A [⎝ ⎛⎭⎪⎫3－i 1＋i 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－i1－i 22＝(1－2i)2＝－3－4i.]2．B [由题得命题p 是假命题，因为当向量a ·b ＝－1<0时，两个向量的夹角为180°，不是钝角．命题q 是假命题，如函数y ＝－1x，所以选B.]3．B [因为f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，由f ′(x )>0，得x >2或x <0；由f ′(x )<0得0<x <2.所以函数f (x )在(0,2)上是减函数，而f (0)＝7>0，f (2)＝－1<0，由零点存在定理可知，函数f (x )＝2x 3－6x 2＋7在(0,2)内零点的个数为1.] 4．B [由题意知，a·b ＝x －1＝0，解得x ＝1，故|b |＝ 2.]5．A [3sin α＋cos α＝0，则tan α＝－13，1cos 2α＋sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝tan 2α＋11＋2tan α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋11＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝103.] 6．A [S ＝ (x 2－x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 4⎪⎪⎪10＝112.]7．B [原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，－x 2＋x >0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2－x >0⇒0<x <1或－1<x <0.所以解的区间为(－1,0)∪(0,1)．]8．C [由x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，0≤y ≤12，画出此不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由目标函数z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z ，因为z 仅在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12处取得最大值，所以得－1<－a <1，得实数a 的取值范围是(－1,1)．]9．A [由题意可知，S ＝12＋122＋123＋124＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1241－12＝1516，所以输出S 的值是1516.]10．B [由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得a n ＋1＝3a n ，所以数列{a n }是公比等于3的等比数列，a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)×33＝35，所以log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝－log 335＝－5，故选B.]11．C [依题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝0.5，m ＋2n ＋0.9＝1.5，由此解得m ＝0.4，n ＝0.1，所以m －n ＝0.3，选C.]12．A [由于M (1，m )在抛物线上，∴m 2＝2p ，而M 到抛物线的焦点的距离为5，根据抛物线的定义知点M 到抛物线的准线x ＝－p 2的距离也为5，∴1＋p2＝5，∴p ＝8，由此可以求得m ＝4，双曲线的左顶点为A (－a ，0)，∴k AM ＝41＋a ，而双曲线的渐近线方程为y ＝±x a ，根据题意得，41＋a ＝1a，∴a ＝19.]13．解析 从题中图象中可以看出T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π4＝4π3，所以ω＝2πT ＝2π×34π＝32，又当x ＝π4时，y ＝2，所以2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32×π4＋φ，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＋φ＝1，因为|φ|<π2，所以3π8＋φ＝π2，解得φ＝π8.答案 π814．解析 易知当P ，Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形PF 1QF 2面积最大．此时，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，不妨设P (0,1)，∴PF 1→＝(－3，－1)，PF 2→＝(3，－1)， ∴PF 1→·PF 2→＝－2. 答案 －215．解析 因为sin C －sin B ＝12sin A ，所以|AB |－|AC |＝12|BC |.因为|BC |＝4，所以|AB |－|AC |＝2，所以a ＝1，c ＝2，b ＝3，即x 2－y 23＝1的右半支．答案 x 2－y 23＝1(x >1)16．解析 方程变形为3－x 2＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，令y ＝3－x 2，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .在同一坐标系下作出y＝3－x 2与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象．由图象可知两函数图象有2个交点．答案 2{DK30656 77C0 矀Y22088 5648 噈23428 5B84 宄35483 8A9B 誛29679 73EF 珯'21642 548A 咊40310 9D76 鵶 40757 9F35 鼵。
2020届高中数学二轮总复习 小题训练(十)理 新课标(湖南专用)
2020届高中数学二轮总复习 小题训练（十） 理 新课标(湖南专用)时量：40分钟 满分：75分一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.下列四个命题正确的是( B )A ．∀n ∈R ，n 2≥nB ．∃n ∈R ，∀m ∈R ，m ·n ＝mC ．∀n ∈R ，∃m ∈R ，m 2<nD ．∀n ∈R ，n 2<n解析：取n ＝12，可知选项A 不正确．取n ＝－1，验证可知选项C 、D 不正确，故应选B.2.如图，直三棱柱的正视图面积为2a 2，则其侧视图的面积为( C )A ．2a 2B ．a 2C.3a 2D.34a 2解析：由于S 正＝2a 2可知直三棱柱侧棱长为2a ，又直三棱柱底面三角形的高为32a ，则S 侧视图＝32a ×2a ＝3a 2，故应选C. 3.已知奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )－g (x )＝e x，则有( A ) A ．g (0)<f (2)<f (3) B ．g (0)<f (3)<f (2) C ．f (2)<g (0)<f (3) D ．f (2)<f (3)<g (0)解析：依题设，f (－x )－g (－x )＝e －x ，即f (x )＋g (x )＝－e －x ，与f (x )－g (x )＝e x联立，求得f (x )＝e x －e －x 2，g (x )＝－e －x ＋ex 2，则g (0)＝－1，f (x )为单调增函数，则f (3)>f (2)>f (0)＝0，故应选A.4.已知两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数曲线如下图所示，则有( A )A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2解析： 由正态分布N (μ，σ2)的定义可知μ1<μ2，σ1<σ2，故选A.5.等差数列{a n }的通项公式是a n ＝1－2n ，其前n 项和为S n ，则数列{S n n}的前11项和为( D )A ．－45B ．－50C ．－55D ．－66解析：S n ＝a 1＋a n n 2，所以S n n ＝a 1＋a n2＝－n ，所以前11项的和为－66.6.⎠⎛02(x 3－3x 2＋3x ＋4)d x 的值为( B )A ．8B ．10C ．0D ．12解析：令f (x )＝x 3－3x 2＋3x －1＝(x －1)3. f (x )关于点(1,0)对称，所以⎠⎛02f (x )d x ＝0，所以原式＝⎠⎛02(f (x )＋5)d x ＝⎠⎛025d x ＝10.7.将一块长轴长为20 cm ，短轴长为16 cm 的椭圆形玻璃镜子改造成为一块矩形镜子，则可划出的矩形镜子的最大面积为( C )A ．40 cm 2B ．80 cm 2C ．160 cm 2D ．320 cm 2解析：由题意可知椭圆镜子边界轨迹方程为x 2100＋y264＝1.设矩形镜子的一个顶点P(10cos θ，8sin θ)， 则S 矩形＝4×10cos θ×8sin θ＝160sin 2θ≤160， 故应选C .8.定义函数y ＝f(x)，当∀x∈M 时，f(x)∈M，则函数f(x)为自对称函数．已知函数g(x)＝－x1＋|x|，M ＝[a ，b](其中a<b)，则使得g(x)为自对称函数的有序对(a ，b)有( A )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：因为g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋xx≥0－x1－x x<0，且g(x)为奇函数，当x≥0时，g′(x)＝－11＋x2<0，即g(x)在[0，＋∞)上是减函数． 同理可知g(x)在(－∞，0]上是减函数，又g(0)＝0，故g(x)是R 上的减函数，要使M ＝{y |y ＝g (x )，x ∈M }，则⎩⎪⎨⎪⎧g a ＝bg b ＝a ，解得a ＝b ＝0，与b >a 矛盾，故选A.二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上．(一)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)9.用0.618法优选试点，经过 5 次试验后，存优范围缩小为原来的0.6184倍． 10.在极坐标系中，和极轴垂直相交的直线l 与圆ρ＝4相交于A 、B 两点，若|AB |＝4，则直线l 的极坐标方程为 ρcos θ＝2 3 .解析：设圆心为O .由题设∠AOB ＝60°，极点O 到l 的距离为d ＝4cos30°＝23，则l 的极坐标方程为ρcos θ＝2 3.11.∀x ∈R ，且x ≠0，不等式|x ＋1x|>|a －5|＋1恒成立，则实数a 的取值范围是(4,6) .解析：由于|x ＋1x|≥2，则|a －5|＋1<2，即|a －5|<1，解得4<a <6. (二)必做题(12～16题)12.已知向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，且a·(a ＋b )＝2，则a 与b 的夹角的大小为 π3. 解析： 由已知a·(a ＋b )＝a 2＋a·b ＝|a|2＋a·b ＝1＋a·b ＝2，所以a·b ＝1，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝12，所以〈a ，b 〉＝π3.13.已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ的值是 1 .解析：因为点A (－1,2)，B (1，－1)，C (3，－4)，由OC →＝λOA →＋μOB →得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)，因此⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝32λ－μ＝－4，求得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1μ＝2，故λ＋μ＝1.14.在计算机运行程序中，常常要进行二进制数与十进制数的转换与运算，如：十进制数字8转换成二进制数是1000，记作8(10)＝1000(2)，二进制数111转换成十进制数是7，记作111(2)＝7(10)，二进制的四则运算，如11(2)＋101(2)＝1000(2)，请计算11(2)×111(2)＋1111(2)＝ 100100 (2)．解析：由题可知，在二进制数的运算中是“逢二进一”，因此11(2)×111(2)＝10101(2)，而10101(2)＋1111(2)＝100100(2)．15.已知方程x 3＝4－x 在区间(k ，k ＋12)内有唯一实数解，且k 是12的整数倍，则实数k的值为 1 .解析：令f (x )＝x 3＋x －4.由f ′(x )＝3x 2＋1>0，可知f (x )是R 上的增函数．又f (1)＝－2<0，f (32)＝78>0，故f (x )在(1，32)上有且仅有一个零点，从而k ＝1.16.数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝1－1a n －1(n ＝2,3,4，…)，则a 4＝ 2 ；若{a n }有一个形如a n ＝A sin(ωn ＋φ)＋B 的通项公式，其中A ，B ，ω，φ为实数，且A >0，ω>0，|φ|<π2，则此通项公式可以为a n ＝3sin(2π3n －π3)＋12 (写出一个即可)．解析：依题意，a 1＝2，a 2＝1－1a 1＝12，a 3＝1－1a 2＝－1，a 4＝1－1a 3＝2.由此可知{a n }是周期为3的周期数列， 故2πω＝3，得ω＝2π3. 又数列{a n }的最大项为2，最小项为－1，故B ＝2－12＝12，因此a n ＝A sin(2π3n ＋φ)＋12.又⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝A sin 2π3＋φ＋12＝2a 2＝A sin4π3＋φ＋12＝12，求得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3φ＝－π3，故a n ＝3sin(2π3n －π3)＋12.。
高中数学二轮总复习 小题训练(十六)理 新课标(湖南专用)
2013届高中数学二轮总复习 小题训练（十六） 理 新课标(湖南专用)时量：40分钟 满分：75分一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.如果U ＝{x |x 是小于9的正整数}，A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5,6}，那么(∁U A )∩(∁U B )等于( D )A ．{1,2}B ．{3,4}C ．{5,6}D ．{7,8}2.不等式x (y －x －1)>0表示的平面区域是( B )3.已知a ，b 是两条不同直线，α，β是两个不同平面．设p ：α∥β，q ：a ∥b ，a ⊥α，b ⊥β，则p 是q 的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析： 因为a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α，又b ⊥β⇒α∥β，但α∥β ⇒/ a ∥b ，a ⊥α，b ⊥β，故选B.4.已知数列{a n }为等差数列，且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( B ) A. 3 B ．－ 3C.33 D ．－33解析： 由题设a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，则a 7＝4π3， 又a 2＋a 12＝2a 7＝8π3，所以tan(a 2＋a 12)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－3，故选B. 5.将一颗骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为( B ) A.19 B.112C.115D.118解析：一个骰子连续抛掷三次，共有63种，其中公差为0的等差数列有6种，公差为±1的等差数列有8种，公差为±2的等差数列有4种，从而概率P ＝6＋8＋463＝112. 6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( C )A ．2B ．1C.23D.13解析：由三视图可以判断该几何体是四棱锥，底面是边长为2的正方形，高为1，所以V ＝13×(2)2×1＝23. 7.已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且△ABC 的面积是65，则CA →·CB →的值是( C ) A.165 B.125C ．±165D ．与a 、b 、c 的取值有关 解析：依题意可知S △ABC ＝12|CA ||CB |sin ∠ACB ＝65.即12×2×2sin∠ACB ＝65，所以sin ∠ACB ＝35.又∠ACB ∈(0，π)，所以cos ∠ACB ＝±45，从而CA →·CB →＝|CA →||CB →|cos ∠ACB ＝2×2×(±45)＝±165. 8.f (x )下列关于函数f (x )的命题：①函数y ＝f (x )是周期函数；②函数f (x )在[0,2]是减函数；③如果当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4；④当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点．其中真命题的个数是( D )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个解析：①显然错误；②正确，可由f ′(x )得到；③容易造成错觉，t max ＝5；④错误，f (2)的不确定影响了正确性．故选D.二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上．(一)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)9.极坐标方程ρsin(θ＋π4)＝22表示的曲线的普通方程为 x ＋y ＝1 .10.养师配置某种饮料时，需要加入某种配料．经验表明，加入量超过130 mL 肯定不好，用130 mL 的锥形量杯计量加入量，该量杯的量程分为13格，每格代表10 mL.现在需要用分数法找出这种配料的最优加入量，则第1次、第2次的加入量分别是 80 mL 和 50 mL.11.设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|，则函数f (x )的最小值为 －92. (二)必做题(12～16题)12.若函数y ＝cos(ωx －π6)(ω>0)的最小正周期为π5，则ω＝ 10 . 13.如果执行下面的程序框图，输入n ＝6，m ＝4，那么输出的p 等于 360 .解析：p ＝1×3×4×5×6＝360. 14.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则B ＝ π6. 解析： 因为a ＝3>b ＝1，所以A >B ，即0<B <π3， 又由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝1×sin π33＝12，所以B ＝π6. 15.已知抛物线y 2＝4x ，过此抛物线的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →等于 －3 .16.研究问题：“已知关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为(1,2)，解关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0”，有如下解法：解：由ax 2－bx ＋c >0⇒a －b (1x )＋c (1x)2>0， 令y ＝1x ，则y ∈(12，1)， 所以不等式cx 2－bx ＋a >0的解集为(12，1)． 参考上述解法，已知关于x 的不等式k x ＋a ＋x ＋b x ＋c<0的解集为(－2，－1)∪(2,3)，则关于x 的不等式kx ax －1＋bx －1cx －1<0的解集为 (－12，－13)∪(12，1) . 解析：由于k x ＋a ＋x ＋b x ＋c <0的解集为(－2，－1)∪(2,3)，那么kx ax －1＋bx －1cx －1<0，即k a －1x＋b －1xc －1x<0，令t ＝－1x ，则t ∈(－12，－13)∪(12，1)． 所以原不等式的解集为(－12，－13)∪(12，1)．。
2022届高中数学二轮总复习 小题训练（五）理 新课标(湖南专用)
2022届高中数学二轮总复习小题训练（五）理新课标湖南专用时量：40分钟满分：75分一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．＝{|1}，则M∩N＝ CA．∅ B．{|04m 5 B．i≥7C．i>9 D．i≥9，n，两个不同平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β其中真命题的序号是 CA．①③ B．②④C．①④ D．②③解析：②不正确，m与n可平行，亦可是异面直线；③不正确，n∥α或n⊂α，①④正确，故选C＝82－n，则此函数在区间0，错误!和错误!，1内分别为 CA．单调递增，单调递增 B．单调递增，单调递减C．单调递减，单调递增 D．单调递减，单调递减解析：因为′＝16－错误!＝错误!，当∈0，错误!时，′0，所以＝82－n在0，错误!上单调递减，在错误!，1上单调递增．故选C∈R＋，不等式＋错误!≥2，＋错误!≥3，…，可推广为＋错误!≥n＋1，则a的值为 D A．2n B．n2C．22n－1 D．n n解析：＋错误!≥2错误!＝2，＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!≥3错误!＝3，＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!≥4错误!＝4，所以t＝33，所以＋错误!＝错误!＋错误!＋…＋错误!≥n＋1错误!＝n＋1，所以a＝n n，故选D>1为常数，函数f＝|og a|，已知当∈[m，n]01，由函数图象可知f的定义域可能是[m，a]错误!≤m≤1或[错误!，n]1≤n≤a，其中长度最短的区间可能是[1，a]或[错误!，1]．又因为1－错误!－a－1＝错误!＝－错误!<0，所以f的可能定义域中，区间[错误!，1]的长度最短，由n－m的最小值为错误!，得1－错误!＝错误!，所以a＝3，故选A二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上．一选做题请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分：错误!t为参数，设O为坐标原点，点M0，0在C上运动，点错误!分别为,,,,，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为 14在如图表格中，每格填上一个正数后，使每一横行成等比数列，每一纵行成等差数列，则a＋b＋c＝7612 43 6abc124816361224816322040482，－1－12＋＋22＝2解析：因为圆心C在直线2＋＝0上，可设圆心为Ca，－2a，则点C到直线＋＝1的距离d＝错误!＝错误!据题意，d＝|AC|，则错误!＝错误!，解得a＝1所以圆心为C1，－2，半径r＝d＝错误!，故所求圆的方程是－12＋＋22＝2＝in，g＝co，则有如下性质：1f′＝g; 2f2＋g2＝1；3f2＝2fg; 4g2＝g2－f2．若设h＝错误!，＝错误!，类比f，g所满足的性质，写出一个关于h和的性质是①h′＝或②2＝2h或③h2＝h2＋2或④h2－2＝1其中一个即可。
高中新课标数学(理)二轮总复习(湖南用)知能演练专题6第19讲
高中新课标数学（理）二轮总复习（湖南用）知能演练专题6第19讲xyz{|}~精诚凝聚=^_^=成就梦想xyz{|}~第19课圆锥方程和轨迹问题1．(2021安徽)过抛物线y2＝4x的焦点f的直线交抛物线于a，b两点，点o是原点，若|af|＝3；则△aob的面积为二a.2b.232c、 2d。
22.反思笔记：x2y232.（2022山东）已知椭圆C的偏心率：A2+B2=1（a>b>0）为2双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点。
以这四个焦点为顶点的四边形面积为16，则椭圆C的方程为x2y2x2y2a、 8＋2＝1b。
12＋6＝1x2y2c.16＋4＝1d.20＋5＝1反思备忘：x2y23.设双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点f(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两实根为abx1，x2，则点p(x1，x2)满足a、必须在圆圈x2+y2=2 b之外。
必须在圆圈x2+y2=2 C之内。
必须在圆圈x2+y2=2d之上。
在上述三种情况下，可以在备忘录上反映：→→→→4.已知两点m（-2,0）和n（2,0）。
点P是坐标平面中的移动点。
如果|Mn |MP|+mnnp=0，则运动点P（x，y）的轨迹方程为a．y2＝8xb．y2＝－8xc．y2＝4xd．y2＝－4x反思备忘：5.已知移动点m与两个固定点a（1,0）和B（-1,0）之间的连接线斜率的乘积为固定值m（m）≠ 0). 如果点m的轨迹是一个焦点在x轴上的椭圆（不包括点a和b），则m 的值范围是；若点m的轨迹是离心率为2的双曲线(除去点a、b)，则m的值为______．Z{|}~■ 点亮心灵之灯照亮生活■xyz{|}~精诚凝聚=^_^=成就梦想xyz{|}~x2y26.已知抛物线y＝2px(p>0)的焦点f恰好是双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的右焦点，3a22b2且双曲线过点(p，p)，则该双曲线的渐近线方程为.反思笔记：7.如图，已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，过点a(－2，－4)作倾斜角为45°的直线l，交抛物线于b、c两点，若|ab|、|bc|、|ac|成等比数列，求抛物线的方程．二反思备忘：反思笔记：z{|}~■点亮心灯~~~///(^v^)\\\\\\~~~照亮人生z{|}~■真诚的凝聚力=实现你的梦想~x2y238.众所周知，椭圆c1:2+2=1（a>b>0）的偏心率是，直线L:y=x+2和以原点为圆的圆ab3中心和椭圆C1的短半轴与半径为O的圆相切(1)求椭圆c1的方程；（2）假设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线L1穿过点F1并垂直于椭圆的长轴，移动直线L2垂直于L1，垂直底脚为点P，线段PF2的垂直平分线在点m处与L2相交，从而求出M点的C2轨迹方程；→→→（3）让C2和X轴在点Q处相交，不同的两点R和s在C2上，QRRS=0，找到| QS的值范围|反思备忘：z{|}~■点亮心灯~~~///(^v^)\\\\\\~~~照亮人生z{|}~■。
湖南省高考数学第二轮复习 专题升级训练6 导数及其应用 文
专题升级训练6 导数及其应用(时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．函数y ＝f (x )的图象在点x ＝5处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)等于( )．A ．1B ．2C ．0 D.122．f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )的图象最有可能是下图中的( )．3．当x ∈(0,5)时，函数y ＝x ln x ( )． A ．是单调增函数 B ．是单调减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上单调递减D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上单调递增 4．函数y ＝x sin x ＋cos x 在下面哪个区间内是增函数( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2 B ．(π，2π)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π) 5．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )－f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a ＜b ，则必有( )．A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a )6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表示的曲线过原点，且在x ＝±1处的切线斜率均为－1，给出以下结论：①f (x )的解析式为f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]； ②f (x )的极值点有且仅有一个；③f (x )的最大值与最小值之和等于0. 其中正确的结论有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)7．在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为__________．(强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽)8．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a＞0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是__________．9．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为__________．三、解答题(本大题共3小题，共46分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(本小题满分15分)设x＝1与x＝2是函数f(x)＝a ln x＋bx2＋x的两个极值点．(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．11.(本小题满分15分)已知函数f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，x∈R，其中t∈R.(1)当t＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)当t≠0时，求f(x)的单调区间．12．(本小题满分16分)(2012·湖南浏阳一中模拟，22)已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求证：对于区间[－1,1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤4；(3)若过点A(1，m)(m≠－2)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题1．B 解析：由题意知f (5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝－1，故f (5)＋f ′(5)＝2.故选B. 文科用2.A 解析：根据导函数f ′(x )的图象可知f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递减，在(－2,0)上单调递增．故选A.3．D 解析：y ′＝ln x ＋1，令y ′＝0，得x ＝1e.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上y ′＜0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上y ′＞0， ∴y ＝x ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上单调递增．故选D. 4．C 解析：∵y ＝x sin x ＋cos x ，∴y ′＝(x sin x )′＋(cos x )′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，∴当3π2＜x ＜5π2时，x cos x ＞0，即y ′＞0.故函数y ＝x sin x ＋cos x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，5π2内是增函数．故选C.5．A 解析：设F (x )＝f (x )x ，则F ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x2≤0， 故F (x )＝f (x )x为减函数． 由0＜a ＜b ，有f (a )a ≥f (b )b⇒af (b )≤bf (a )，故选A.6．C 解析：∵f (0)＝0，∴c ＝0.∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝1，f ′(－1)＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝－1，3－2a ＋b ＝－1，解得a ＝0，b ＝－4，∴f (x )＝x 3－4x ，∴f ′(x )＝3x 2－4.令f ′(x )＝0得x ＝±233∈[－2,2]，∴极值点有两个．∵f (x )为奇函数，∴f (x )ma x ＋f (x )min ＝0. ∴①③正确，故选C. 二、填空题7.63d 解析：如图为圆木的横截面，由b 2＋h 2＝d 2，∴bh 2＝b (d 2－b 2)．设f (b )＝b (d 2－b 2)，∴f ′(b )＝－3b 2＋d 2. 令f ′(b )＝0，又∵b ＞0，∴b ＝33d ，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33d 上f ′(b )＞0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫33d ，d 上f ′(b )＜0. ∴函数f (b )在b ＝33d 处取极大值，也是最大值，即抗弯强度最大，此时长h ＝63d . 8.⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 解析：f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )，由f ′(x )＝0得x ＝±a ，当－a ＜x ＜a 时，f ′(x )＜0，函数递减；当x ＞a 或x ＜－a 时，f ′(x )＞0，函数递增．∴f (－a )＝－a 3＋3a 3＋a ＞0，且f (a )＝a 3－3a 3＋a ＜0，解得a ＞22.9. 2 解析：过点P 作y ＝x －2的平行直线，且与曲线y ＝x 2－ln x 相切．设P (x 0，x 20－ln x 0)，则有k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0.∴2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12(舍去)，∴P (1,1)，∴d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.三、解答题10．解：(1)f ′(x )＝a x＋2bx ＋1.由已知⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0f ′(2)＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，12a ＋4b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23，b ＝－16.(2)x∴在x ＝1处，函数f (x )取得极小值6.在x ＝2处，函数f (x )取得极大值43－23ln 2.11．解：(1)当t ＝1时，f (x )＝4x 3＋3x 2－6x ，f (0)＝0，f ′(x )＝12x 2＋6x －6，f ′(0)＝－6，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝－6x .(2)f ′(x )＝12x 2＋6tx －6t 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－t 或x ＝t2.因为t ≠0，以下分两种情况讨论：①若t ＜0，则t＜－t .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，t 2，(－t ，＋∞)；f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫t2，－t .②若t ＞0，则－t ＜t2.当x所以，f (x )的单调递增区间是(－∞，－t )，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，＋∞；f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ，t2.12．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，依题意，f ′(1)＝f ′(－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋2b －3＝03a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. ∴f (x )＝x 3－3x .(2)∵f (x )＝x 3－3x ，∴f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，故f (x )在区间[－1,1]上为减函数， f ma x (x )＝f (－1)＝2，f min (x )＝f (1)＝－2.∵对于区间[－1,1]上任意两个自变量的值x 1，x 2， 都有|f (x 1)－f (x 2)|≤|f ma x (x )－f min (x )|，|f (x 1)－f (x 2)|≤|f ma x (x )－f min (x )|≤2－(－2)＝4.(3)f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，∵曲线方程为y ＝x 3－3x ，∴点A (1，m )不在曲线上．设切点为M (x 0，y 0)，则点M 的坐标满足y 0＝x 30－3x 0.因f ′(x 0)＝3(x 20－1)，故切线的斜率为3(x 20－1)＝x 30－3x 0－m x 0－1，整理得2x 30－3x 20＋m ＋3＝0.∵过点A (1，m )可作曲线的三条切线，∴关于x 0的方程2x 30－3x 20＋m ＋3＝0有三个实根，设g (x 0)＝2x 30－3x 20＋m ＋3，则g ′(x 0)＝6x 20－6x 0， 由g ′(x 0)＝0，得x 0＝0或x 0＝1.∴函数g (x 0)＝2x 30－3x 20＋m ＋3的极值点为x 0＝0，x 0＝1.∴关于x 0的方程2x 30－3x 20＋m ＋3＝0有三个实根的充要条件是g (1)g (0)＜0， 即(m ＋3)(m ＋2)＜0，解得－3＜m ＜－2. 故所求的实数a 的取值范围是－3＜m ＜－2.。
高中数学二轮总复习 综合训练六 理课标 试题
2021届高中数学二轮总复习 综合训练〔六〕 理 新课标(专用)时量：50分钟 满分是：50分解答题：本大题一一共4小题，第1,2,3小题各12分，第4小题14分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．a ＝(1，－2cos x )，b ＝(2cos 2x ＋1，sin x )，函数f (x )＝a ·b －1.(1)设方程f (x )－1＝0在(0，π)上的两个零点分别为x 1，x 2，求tan(x 1＋x 2)的值； (2)假设把函数y ＝f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度，使所得到的图象关于点(0,2)对称，求m 的最小值．解析：由f (x )＝1·(2cos 2x ＋1)＋(－2cos x )·sin x ＝1＋cos2x ＋1－sin2x ＝2cos(2x ＋π4)＋2.(1)由f (x )－1＝0，即2cos(2x ＋π4)＝－1，那么cos(2x ＋π4)＝－22.由2x ＋π4＝2k π＋3π4或者2x ＋π4＝2k π＋5π4(k ∈Z )，得x ＝k π＋π4或者x ＝k π＋π2(k ∈Z )．又x 1，x 2∈(0，π)，从而x 1＝π4，x 2＝π2，故tan(x 1＋x 2)＝tan 3π4＝－1.(2)设y ＝f (x )的图象向左平移m 个单位长度得到函数g (x )的图象， 那么g (x )＝2cos(2x ＋π4＋2m )＋2.由y ＝g (x )的图象关于点(0,2)对称，得2m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，所以m ＝k π2＋π8(k ∈Z )．又m >0，所以当k ＝0时，m 取最小值π8.2.某服装消费企业有甲、乙两条西服消费线，为理解消费成品西服的产品进度，随机地抽取了10个工作日消费成品西服的数量记录如下：(2)假设消费线的日产量在170件(含170件)以上，那么该工作日消费状况良好，根据用样本估计总体的思想，恳求乙消费线在一年内(365个工作日)消费状况良好的天数．解析：(1)日产量茎叶图如下： (2)由频率近似值视为概率，可知事件A ：“消费状况良好〞的概率P (A )＝610＝35.设消费状况良好日为ξ，那么ξ～B (365，35)，那么E ξ＝365×35＝219，即乙消费线一年内消费状况良好为219天．P －ABC 中，∠BAC ＝90°，PA ＝PB ＝PC ＝BC ＝2AB ＝2. (1)求证：平面PBC ⊥平面ABC ； (2)求二面角B －AP －C 的余弦值．解析：(1)证明：取BC 中点O ，连接AO ，PO ，由△ABC 为直角三角形， 所以可得OA ＝OB ＝OC ，又知PA ＝PB ＝PC ，那么△POA ≌△POB ≌△POC ， 所以∠POA ＝∠POB ＝∠POC ， 所以PO ⊥OB ，PO ⊥OA ，OB ∩OA ＝O ， 所以PO ⊥平面ABC ，PO ⊂平面PBC ， 所以平面PBC ⊥平面ABC .(2)过O 作OD 与BC 垂直，交AC 于D 点， 如图建立坐标系O －xyz ， 那么A (32，－12，0)，B (0，－1,0)，C (0,1,0)，P (0,0，3)， BA →＝(32，12，0)，BP →＝(0,1，3)．设平面PAB 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 由n 1·BA →＝0，n 1·BP →＝0， 令x ＝1，可知n 1＝(1，－3，1)．同理可求得平面PAC 的一个法向量为n 2＝(3，3，1)， 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝6565.所以二面角B －AP －C 的余弦值为6565. 4.某企业的场营销人员对该企业消费经营的某品牌产品的场售价与销售产品的数量统计分析后发现如下规律：该品牌产品的场售价上涨x %(x >0)，那么产品的销量将减少kx %(其中k 为正常数)．某时段该品牌产品的场售价为a 元/件，其销量为b 件．(1)当k ＝12时，在该时段该商品的价格上涨多少，销售的总收入到达最大？(2)该企业通过适当控制涨价率x %，使销售的总收入不断增加，问在该时段k 应在什么范围内取值？解：设销售的总收入为f (x )，依题设可得，f (x )＝a (1＋x %)·b (1－kx %)＝ab (1＋x %)(1－kx %)，其中0<x <100k.(1)当k ＝12时，f (x )＝ab (1＋x 100)(1－x200) ＝ab20000(100＋x )(200－x )＝ab20000(－x 2＋100x ＋20000) ＝ab20000[－(x －50)2＋22500]，其中0<x <200.当x ＝50∈(0,200)时，f (x )取最大值98ab 元，即价格上涨50%时，销售总收入到达最大，为98ab 元． (2)f (x )＝ab 10000[－kx 2＋100(1－k )x ＋10000]，其中x ∈(0，100k)．依题设，函数y ＝f (x )在(0，100k )的一个非空子区间Ⅰ上是增函数，那么501－kk<100k，当501－kk≤0时，函数f (x )在(0，100k)上是减函数，不合题意．当501－kk>0，即0<k <1时，取区间Ⅰ＝(0，501－kk)，函数f (x )在Ⅰ上为增函数，故k 的取值范围是(0,1)．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
湖南高考数学二轮备考专项练习(含解析)
湖南高考数学二轮备考专项练习（含解析）数学的复习离不开多做题，下面是2021年湖南高考数学二轮备考专项练习，期望对考生有所关心。
题型一、频率分布直方图的应用例1：某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]。
(1)求图中a的值;(2)依照频率分布直方图，估量这100名学生语文成绩的平均分;(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数。
分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90) x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5破题切入点：(1)依照样本频率之和为1，求出参数a的值。
(2)依照频率分布直方图和平均值的运算公式，求出样本平均值。
(3)由直方图可运算语文成绩在每分段上的频数，再依照语文和数学成绩在同一段上的人数比，便可运算数学成绩在[50,90)之间的人数，进而求解。
解：(1)由频率分布直方图知(2a+0.02+0.03+0.04)10=1，解得a=0.005。
(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为550.00510+ 650.0410+750.0310+850.0210+950.00510=73(分)。
(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.00510100=5,0.0410100=40,0.0310100=30,0.021010 0=20。
由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40 =20,30=40,20=25。
故数学成绩在[50,90)之外的人数为100-(5+20+40+25)=10。
题型二茎叶图的应用例2：从甲、乙两个都市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)。
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高中数学二轮总复习小题训练（六）理新课标(湖南专用)时量：40分钟满分：75分一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，若A⊆B，则实数a等于( B )A．－3 B．－2C．0 D．1解析：由A⊆B可得a＋3＝1，则a＝－2，故选B.2.已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)．若f(x)的图象如右图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象大致为( A )解析：由图象可知0<a<1，b<－1，而y＝a x＋b的图象是由y＝a x的图象向下平移|b|个单位长度得到的，故选A.3.在一个2×2列联表中，由其数据计算得K2＝13.097，则其两个变量间有关系的可能性为( A )A．99% B．95%C．90% D．无关系解析：因为如果K2的估计值K2>10.828时，就有99.9%的把握认为“两个变量有关系”，所以选项A最合适，故选A.4.如图，水平放置的三棱柱各棱长均为2，正视图是边长为2的正方形，俯视图是边长为2的正三角形，该三棱柱的侧视图的面积为( D )A ．4 B. 3C ．2 2D ．2 3解析：该三棱柱的侧视图是长为32×2＝3，宽为2的矩形，其面积为23，故选D. 5.函数y ＝sin x ·cos x ＋3cos 2x －32的图象的一个对称中心是( D ) A ．(π6，0) B ．(－2π3，32)C ．(π3，－32)D ．(5π6，0)解析：y ＝sin x ·cos x ＋3cos 2x －32＝12sin2x ＋32(1＋cos2x )－32＝sin(2x ＋π3)．令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，当k ＝2时得对称中心为(5π6，0)，故选D.6.下列命题中正确的有( B )①△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积一定是32； ②函数f (x )＝(13)x －x 的零点所在区间是(13，12)；③“m ＝12”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的充分不必要条件；④p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④解析：①应有两种可能，32或34.②、③正确，对④，綈p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，故选B.7.两圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R 且a ≠0)和圆C 2：x 2＋y 2－4by ＋4b 2－1＝0(b ∈R 且b ≠0)恰有三条公切线，则1a 2＋1b2的最小值为( D )A.49B.19 C ．3 D ．1解析： 由题设知，圆C 1：(x ＋a )2＋y 2＝4与圆C 2：x 2＋(y －2b )2＝1外切，则|C 1C 2|＝a 2＋b 2＝3，即a 2＋4b 2＝9.从而1a 2＋1b 2＝19(a 2＋4b 2)·(1a 2＋1b 2)＝19(5＋4b 2a 2＋a 2b 2)≥19(5＋2·2b a ·a b)＝1，当且仅当a 2＝2b 2时等号成立，故选D.8.如图，一个质点从原点出发，在与y 轴、x 轴平行的方向按(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→(2,0)→(2,2)→…的规律向前移动，且每秒钟移动一个单位长度，那么到第2012秒时，这个质点所处位置的坐标是( B )A ．(14,44)B ．(12,44)C ．(44,12)D ．(44,13)解析：由图可知，质点走完一个矩形回路所走路程依次为3,5,7，…，(2n ＋1)个单位长度．由3＋5＋7＋…＋(2n ＋1)＜2012，得n ≤43.当质点走完第43个正方形时，共走了1935个单位长度，余下77个单位长度是从(43,0)→(44,44)，有45个单位长度，再向左走32个单位长度即可，此时质点的坐标为(12,44)，故选B.二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上．(一)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)9.以直角坐标系xOy 的原点O 为极点，Ox 轴的正半轴为极轴，则直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos αy ＝4sin α(α为参数)截得的弦长为 4 3 .解析： 由ρsin(θ＋π4)＝2得直线方程为x ＋y ＝22，又圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos αy ＝4sin α(α为参数)的方程为x 2＋y 2＝16，则圆心(0,0)到直线x ＋y ＝22的距离d ＝222＝2，从而弦长l ＝242－22＝43，故填4 3.10.优选法中，用0.618法确定试点时，从第2次试验开始，每一次试验都把存优范围缩小为原来的0.618.因此，n 次试验后的精度δn ＝ 0.618n －1.11.如图，已知P 是⊙O 外一点，PD 为⊙O 的切线，D 为切点，割线PEF 经过圆心O ，若PF ＝12，PD ＝43，∠EFD 的度数为 30° .解析：由切割线定理得PD 2＝PE ·PF ⇒PE ＝PD 2PF ＝16×312＝4⇒EF ＝8，OD ＝4.因为OD ⊥PD ，OD ＝12PO ，所以∠P ＝30°，∠POD ＝60°，∠EFD ＝12∠POD ＝30°.(二)必做题(12～16题)12.用秦九韶算法求多项式f (x )＝2＋0.35x ＋1.8x 2－3.66x 3＋6x 4－5.2x 5＋x 6在x ＝－2时的值时，令v 0＝a 6，v 1＝v 0x ＋a 5，…，v 6＝v 5x ＋a 0时，v 3的值为 －44.46 . 解析：根据算法：v 0＝1，v 1＝1×(－2)－5.2＝－7.2，v 2＝－7.2×(－2)＋6＝14.4＋6＝20.4，v 3＝20.4×(－2)－3.66＝－40.8－3.66＝－44.46.13.若(2x ＋3)3＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3，则(a 0＋a 2)2－(a 1＋a 3)2的值为 －1 .解析：(a 0＋a 2)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3)·(a 0－a 1＋a 2－a 3)＝(2×1＋3)3·[2×(－1)＋3]3＝(2＋3)3·(－2＋3)3＝(3－4)3＝－1.14.已知sin(π4－x )＝35，则sin2x 的值为 725 .解析：因为sin(π4－x )＝35，即22cos x －22sin x ＝35， 所以cos x －sin x ＝325，所以1－2sin x ·cos x ＝1825，所以sin2x ＝725.15.一质点以速度v (t )＝t 2－3t ＋2(m/s)从时间t ＝0(s)开始做直线运动，则到t ＝3 s时，质点运动的路程是 116.解析：因为v (t )＝(t －1)(t －2)，t ∈[0,3]， 当t ∈[0,1]∪[2,3]时，v (t )≥0; 当t ∈[1,2]时，v (t )≤0.所以到t ＝3s 时，质点所走的路程为 S ＝⎠⎛01v (t )d t ＋|⎠⎛12v (t )d t |＋⎠⎛23v (t )d t＝⎠⎛01v (t )d t －⎠⎛12v (t )d t ＋⎠⎛23v (t )d t＝(13t 3－32t 2＋2t )|10－(13t 3－32t 2＋2t )|21 ＋(13t 3－32t 2＋2t )|32 ＝116. 16.已知函数f(x)＝|x ＋1|＋|x ＋2|＋…＋|x ＋2011|＋|x －1|＋|x －2|＋…＋|x －2011|(x ∈R )，且f (a 2－3a ＋2)＝f (a －1)，则满足条件的所有整数a 的和是 6 .解析：因为函数f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋2|＋…＋|x ＋2011|＋|x －1|＋|x －2|＋…＋|x －2011|(x ∈R )，所以f (－x )＝|－x ＋1|＋|－x ＋2|＋…＋|－x ＋2011|＋|－x －1|＋|－x －2|＋…＋|－x ＋2011|＝|x ＋1|＋|x ＋2|＋…＋|x ＋2011|＋|x －1|＋|x －2|＋…＋|x －2011| ＝f (x )．即函数f (x )为偶函数．若f (a 2－3a ＋2)＝f (a －1)，则a 2－3a ＋2＝a －1，或a 2－3a ＋2＝－(a －1)，即a 2－4a ＋3＝0，或a 2－2a ＋1＝0， 解得a ＝1或a ＝3.又由f (x )的几何意义知，f (0)＝f (1)＝f (－1)， 所以当a ＝2时，也满足要求，故满足条件的所有整数a的和是1＋2＋3＝6.。