1.1函数

体的速度、加速度，求物体运动的路程与时间的关系
等。
三、怎样才能学好高等数学？
数学具有三个显著的特点：高度的抽象性、 严谨的逻辑性、广泛的应用性。
（ 1 ）高度的抽象性
数学的抽象性在简单的计算中就已 经表现出来。我们运用抽象的数字，却 不是每次都把它们同具体的对象联系起 来。在数学的抽象中只留下量的关系和 空间形式，而舍弃了其他一切。它的抽 象程度大大超过了自然科学中一般的抽 象。
高等数学
主讲：谭宏
名称：高等数学（上） 学时：160 学分：10 内容：一元、多元函数微分学、积分 学、矢量代数、空间解析几何、 无穷级数和微分方程。 目的： 通过高等数学的学习，掌握高等 数学的基本概念、基本理论、基本运 算方法；培养学生的抽象思维和逻辑 推理的能力，培养学生分析问题和解 决问题的能力。
学数学最好的方法是做数学 高等数学课程是电视连续剧
要求
1、不缺席，有事必须请假，缺席一次，考勤扣2分 2、上课认真听，关闭手机， 3、独立完成作业，将教学弄清楚后再做， 4、按时交作业，有错及时改， 5、有问题及时与教师交流，同学中互助
第一章 函数、极限与连续
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 函数 数列的极限 函数的极限 无穷小量与无穷大量 函数的连续性与间断点
无限区间
[a,) { x | x a}
(, b) { x | x b} (,) { x | x R}
[a , ]
O
(a,) { x | x a}
(, b] { x | x b}
(, b)
O
a
b
用数轴可以表示区间, 区间常用I表示.
（ 2 ）严谨的逻辑性 数学中的每一个定理，不论验证了多少 实例，只有当它从逻辑上被严格地证明了的 时候，才能在数学中成立。在数学中要证明 一个定理，必须是从条件和已有的数学公式 出发，用严谨的逻辑推理方法导出结论。
（ 3 ）广泛的应用性 高等数学具有广泛的应用性。例如，掌握 了导数概念及其运算法则，就可以用它来刻画 和计算曲线的切线斜率、曲线的曲率等等几何 量；就可以用它来刻画和计算速度、加速度、 密度等等物理量；就可以用它来刻画和计算产 品产量的增长率、成本的下降率等等经济量；
方程，但主要部分是微积分学。 微积分学研究的对象是函数，而极 限则是微积分学的基础，也是最主要的 推理方法。
微积分对于许多工程技术的重要性就像
望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样。 微积分是学好其它理工课程（如大学物理、 理论力学、材料力学、电工基础、经济学等） 的基础，也是学好专业课（如量子力学、流
预习的目的是： 1、 使听课时心中有底，不至于被动地只
是跟着教师的“脚后跟”走；
2、 知道那些地方是重点和自己的难点、疑
点，从而在听课时就能特别注意，有重点，不
至于漏掉关键地方。形象一点说，就像去旅游 前，先买一张该处的旅游图及其说明来看一看， 意义是不言而喻的。
听课：
带着充沛的精力和获取新知识的浓厚的兴趣， 带着预习中的疑点、难点，专心致志聆听教师是 如何提出问题的，是如何分析问题的，是如何解 决问题的，要紧跟教师的思路，并积极思考。
考核及成绩评定方式： 闭卷考试， 平时成绩50%（半期考试30%，作业10%， 考勤10%）， 期末考试50%
一、为什么要学习高等数学？
世界数学年的口号：数学是人类发展的关键
人类历史上三次重大的产业革命的主体技术 都和数学有关,第一次产业革命的主体技术蒸汽机 的设计涉及对运动、变化的计算,而这些计算要应 用微积分的知识才可以实现;第二次产业革命后期 的电气通信技术依靠的是电磁理论的发展,正是微 积分奠定了电磁理论的数学基础;第三次产业革命 中的电子计算机和数学的关系更加密切,计算机的 每一步发展都离不开数学家和数学。
4、数学可以使很多概念的描述准确和精确；
诺贝尔经济学奖从1969年开始 颁发，几乎所有的获奖成果都用到 了数学工具。一半以上获奖者都是 有深厚数学功底的经济学家, 还有 少数获奖者本身就是著名的数学家。
二 、 高等数学主要要学些什么？
高等数学的内容有微积分学和向量
代数、空间解析几何，无穷级数和微分
从国家安全、医学技术到计算机软件、 通讯和投资决策，当今世界日益依赖于数学 科学。不论是在证券交易所里，还是在装配 配线上，越来越多的的美国工人感到若不 具备数学技能就无法开展工作。没有强大 的数学科学资源，美国将不能保持其工业 和商业优势。
美国国家科学基金委员会1998报告
现代科学技术，特别是计算机信息技术 的发展，使数学的作用日益显现，更是改变 了传统思想观，使得我们对数学的认识从“ 思维的体操”、“科学的语言”，进一步为“ 学技术”。数学已经逐步从科学技术的幕后 走到了前台。
基本要求：
1．理解函数的概念 2．了解函数奇偶性、单调性、周期性和有界性 3．理解复合函数的概念，了解反函数的概念 4．掌握基本初等函数的性质及其图形 5．会建立简单实际问题中的函数关系式
。 。 。。 。 。 。 。
6．理解极限的概念
7．掌握极限四则运算法则 8．了解两个极限存在准则 （夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限 9．了解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限
2.邻域
(1) 设δ 是任一正数，称开区间(a-δ ,a+δ )为点a的 δ 邻域，记为U(a,δ )，即
U (a, ) { x | a x a } { x | | x a | }
点a称为该邻域的中心，称δ 为该邻域的半径.


a a x 。 U (a , ) { x | 0 | x a | } (2) 点a的去心邻域：
什么是数学：数学是刻画自然规律和社会规 律的科学语言和有效工具
美国数学家M.克莱因认为: “数学是人类最高超 的智力成就,也是人类心灵最独特的创作。音乐能激 发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦, 哲学使人获得智慧,科学可以改善物质生活, 但数学 能给予以上一切。”
凡是研究量的大小、量的变化、量与量之间关系 以及这些关系的变化，就少不了数学。同样，客观世 界存在有各种不同的空间形式。因此，宇宙之大，粒 子之微，光速之快，世事之繁，……无处不用数学。
点a的左δ 邻域: 开区间(a-δ ,a) 点a的右δ邻域: 开区间(a,a+δ )
a

a

a
a
x
二、 函数的概念
在观察自然现象、经济活动或技术过程中，常会遇 到各种不同的变量，它们之间往往是相互依赖，相互制 约。变量相互之间的关系，在数学上称为函数关系。正 方形的面积是其边长的函数；运动着的物体位置是时间 的函数；长方形的面积是其长和宽的函数；理想气体的 压力是密度和温度的函数；粮食亩产量是施肥量、光照 浓度、二氧化碳等多个因素的函数。只与一个因素有关 的函数称为一元函数，与多个因素有关的函数称为多元 函数.下面给出一元函数的定义.
科学的皇后，她常
常屈尊去为天文学 和其它自然科学效 劳，但在所有的关 系中，她都堪称第
一。”
马克思还认 为：“一种科学， 只有当它成功地 运用数学时，才
能达到真正完善
的地步。”
第一个诺贝尔物 理奖得主伦琴在回
答“科学家需要什
么样的修养”这一 问题时，说：“第 一是数学，第二是 数学，第三还是数
学。”
高等数学的教学与中学数学的教学相比，有
以下三个显著的差别： 1、课堂大。100多人合班上课，一般不可能 提问，同学之间在学习基础、水平、理解能力上 差别大。
2、时间长。每一次课一般是连续讲授两节课。
3、进度快。由于高等数学的内容极为丰富， 而学时又有限，因此，平均每次课要讲授教材 8-10页。
预习：
数学不但研究空间形式与 数量关系，还研究现实世界中 的任何形式和关系，只要这种 形式和关系能抽象出来，用清 晰准确的方式表达，即所谓化 为数学模型。
恩格斯说：“要辩证而又唯物地了 解自然，就必须掌握数学。”
英国著名哲学家培根说： “数学是打开科学大门的钥匙”。
德国大数学家、 天文家、物理学家 高斯说：“数学是
数学与艺术：
有一段时间，google 变成了这个样子。这是为了 纪念法国数学家Gston Julia 。他发现了在数论中有名 的Julia 序列。就是这个在google LOGO上面看到的数 学公式。通过这个数学公式可以在解析几何上实现 很多不规则边的图形，叫做分形。 这是“图形艺术家”埃舍尔 根据 拓扑学的思想创作的一幅艺术作品称a,b为区 间的端点
表1—1(有限区间)
图像
称b－a为这些 区间的长度
区间名称
表示方法
开区间
(a, b) x | a x b, x R,
闭区间
[a, b] x | a x b
[a, b) x | a x b
左闭右开区间
左开右闭区间
(a, b] x | a x b
析问题解决问题能力的重要手段。
答疑：
在学习上遇到疑问时及时去请教老师,答疑
是向老师学习、请教的良好时机，请同学们利
用好它。 俗话说：“学问、学问，有学有问” 培根说过：“多问的人将多闻”。
高等数学是由基本概念、理论、性质、运 算和应用四部分组成。做到基本概念清楚，基 本理论、性质要弄懂，基本运算要熟练才能做 到运用自如，有所创新。
在实际应用中仅有限区间是不够的，还需要引入 无限区间，引入无限区间需要引入无穷大 这个符号，
包括
+ ∞ （读作正无穷大） －∞ (读作负无穷大） ∞ （读作无穷大）
仅是两个符号，不代表任何实数，不能参与数的 运算，数轴上的点不能取到无穷大，在有限区间中的 一个端点或两个点趋于无穷大时就得到无穷区间。