2019-2020年高考数学复习第66课时第八章圆锥曲线方程-轨迹问题(1)名师精品教案
圆锥曲线的方程与轨迹方程(解析版)
专题1圆锥曲线的方程与轨迹方程一、考情分析求圆锥曲线的方程,一般出现在圆锥曲线解答题的第(1)问,多用待定系数法,通过解方程确定待定系数,考查频率非常高,也比较容易得分；求圆锥曲线的轨迹方程一般用定义法,有时可用到直接法、相关点法、交轨法等,难度一般中等或中等以下.二、解题秘籍(一)用待定系数法求圆锥曲线的方程1.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组．如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式．2.双曲线标准方程的形式,注意焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,那么焦点在y轴上.确定方程的形式后,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值, 当双曲线焦点的位置不确定时,为了避免讨论焦点的位置,常设双曲线方程为Ax2+By2=1(A·B<0),这样可以简化运算.3.如果已知双曲线的渐近线方程y=±b a x a>0,b>0,求双曲线的标准方程,可设双曲线方程为x2 a2-y2 b2=λ(λ≠0),再由条件求出λ的值即可．与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示x2a2-y2b2=λ(λ≠0)．4.利用待定系数法求抛物线的标准方程的步骤(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型.(2)求参数p的值.(3)确定抛物线的标准方程.【例1】(2023届山西省长治市高三上学期质量检测)已知点P1,3 2在椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,且点P到椭圆右顶点M的距离为13 2．(1)求椭圆C的方程；(2)若点A,B是椭圆C上不同的两点(均异于M)且满足直线MA与MB斜率之积为14．试判断直线AB 是否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由．【解析】(1)点P1,3 2,在椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上代入得：1a2+94b2=1,点P到椭圆右顶点M的距离为132,则132=a-12+94,解得a=2,b=3,故椭圆C的方程为x24+y23=1．(2)由题意,直线AB的斜率存在,可设直线AB的方程为y=kx+m(k≠0),M2,0,A x1,y1,B x2,y2．联立y=kx+m3x2+4y2=12得3+4k2x2+8km x+4m2-12=0．Δ=64k2m2-43+4k24m2-12=484k2-m2+3>0．∴x 1+x 2=-8km 3+4k 2,x 1x 2=4m 2-123+4k 2,∵直线MA 与直线MB 斜率之积为14．∴y 1x 1-2⋅y 2x 2-2=14,∴4kx 1+m kx 2+m =x 1-2 x 2-2 ．化简得4k 2-1 x 1x 2+4km +2 x 1+x 2 +4m 2-4=0,∴4k 2-1 4m 2-123+4k 2+4km +2-8km 3+4k 2+4m -4=0, 化简得m 2-2km -8k 2=0,解得m =4k 或m =-2k ．当m =4k 时,直线AB 方程为y =k x +4 ,过定点-4,0 ．m =4k 代入判别式大于零中,解得-12<k <12(k ≠0)．当m =-2k 时,直线AB 的方程为y =k x -2 ,过定点2,0 ,不符合题意． 综上所述：直线AB 过定点-4,0 ．【点评】利用待定系数法求椭圆的方程,一般需要两个独立的条件确定关于a ,b 的等式.【例2】(2023届广东省开平市忠源纪念中学高三阶段性检测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为62,点A 6,4 在C 上.(1)求双曲线C 的方程.(2)设过点B 1,0 的直线l 与双曲线C 交于D ,E 两点,问在x 轴上是否存在定点P ,使得PD ⋅PE为常数？若存在,求出点P 的坐标以及该常数的值；若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为双曲线C 的离心率为62,所以62 2=1+b 2a2,化简得a 2=2b 2.将点A 6,4 的坐标代入x 22b 2-y 2b 2=1,可得18b 2-16b2=1,解得b 2=2,所以C 的方程为x 24-y 22=1.(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ,直线l 的方程为y =k (x -1),联立方程组y =k x -1 ,x 24-y 22=1,消去y 得(1-2k 2)x 2+4k 2x -2k 2-4=0,由题可知1-2k 2≠0且Δ>0,即k 2<23且k 2≠12,所以x 1+x 2=-4k 21-2k 2,x 1x 2=-2k 2+41-2k 2.设存在符合条件的定点P t ,0 ,则PD =x 1-t ,y 1 ,PE=x 2-t ,y 2 ,所以PD ⋅PE=x 2-t x 1-t +y 1y 2=k 2+1 x 1x 2-t +k 2 x 1+x 2 +t 2+k 2.所以PD ⋅PE =k 2+1 -2k 2-4 +4k 2t +k 2 +t 2+k 2 1-2k 2 1-2k 2,化简得PD ⋅PE =k 2-2t 2+4t -5 +t 2-4-2k 2+1.因为PD ⋅PE 为常数,所以-2t 2+4t -5-2=t 2-41,解得t =134.此时该常数的值为t 2-4=10516,所以,在x 轴上存在点P 134,0 ,使得PD ⋅PE 为常数,该常数为10516.【点评】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据a ,b ,c ,e 及渐近线之间的关系,求出a ,b 的值．注意用待定系数法确定双曲线的标准方程要注意方程的个数要与未知数的个数相等.【例3】(2023届甘肃省张掖市高三上学期诊断)已知抛物线C :y 2=2px (p >1)上的点P x 0,1 到其焦点F 的距离为54.(1)求抛物线C 的方程；(2)点E (t ,4)在抛物线C 上,过点D (0,2)的直线l 与抛物线C 交于A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 y 1>0,y 2>0 两点,点H 与点A 关于x 轴对称,直线AH 分别与直线OE ,OB 交于点M ,N (O 为坐标原点),求证：|AM |=|MN |.【解析】(1)由点P x 0,1 在抛物线上可得,12=2px 0,解得x 0=12p.由抛物线的定义可得|PF |=x 0+p 2=12p +p 2=54,整理得2p 2-5p +2=0,解得p =2或p =12(舍去).故抛物线C 的方程为y 2=4x .(2)由E (t ,4)在抛物线C 上可得42=4t ,解得t =4,所以E (4,4),直线OE 的方程为y =x ,因为点A 和点H 关于x 轴对称,所以H x 1,-y 1 ,x 1,x 2均不为0.由题意知直线l 的斜率存在且大于0,设直线l 的方程为y =kx +2(k >0),联立y =kx +2,y 2=4x ,消去y ,得k 2x 2+(4k -4)x +4=0.则Δ=(4k -4)2-16k 2=16-32k >0,得0<k <12,所以x 1+x 2=4-4k k 2,x 1x 2=4k 2.由直线OE 的方程为y =x ,得M x 1,x 1 .易知直线OB 的方程为y =y 2x 2x ,故N x 1,x 1y 2x 2.要证|AM |=|MN |,即证2y M =y 1+y N ,即证x 1y 2x 2+y 1=2x 1,即证x 1y 2+x 2y 1=2x 1x 2,即证(2k -2)x 1x 2+2x 1+x 2 =0,则(2k -2)×4k 2+8-8kk 2=0,此等式显然成立,所以|AM |=|MN |.【点评】用待定系数法求抛物线的标准方程,只需要确定p 的值,因此只需要由已知条件整理出一个关于p 的等式.(二)直接法求曲线轨迹方程1.直接法求曲线方程的关键就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这几个步骤,但最后的证明可以省略．2.求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．3.对方程化简时,要保证前后方程解集相同,必要时可说明x ,y 的取值范围．【例4】设动点M 在直线y =0和y =-2上的射影分别为点N 和R ,已知MN ⋅MR =OM 2,其中O 为坐标原点.(1)求动点M 的轨迹E 的方程；(2)过直线x -y -2=0上的一点P 作轨迹E 的两条切线PA 和PB (A ,B 为切点),求证：直线AB 经过定点.【分析】(1)利用直接法求轨迹方程,设M (x ,y ),把MN ⋅MR =OM 2 坐标化,即可得到动点M 的轨迹E 的方程；(2)利用导数的几何意义,求得切线斜率,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),可得切线PA 、PB 的方程,联立可得切点P的坐标为x 1+x 22，x 1x 22,又点P 在直线x -y -2=0上,代入可得x 1x 2=x 1+x 2-4,再代入到直线AB的方程即可得解.【解析】(1)设M (x ,y ),则N (x ,0),R (x ,-2),所以OM =(x ,y ),MN =(0,-y ),MR=(0,-2-y ),由条件可得-y (-y -2)=x 2+y 2,整理可得点M 的轨方程为x 2=2y ；(2)由(1)知,y =12x 2,求导可得y =x ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则切线PA 的方程为y -x 122=x 1(x -x 1),即y =x 1x -x 122①,同理可得切线PB 的方程为y =x 2x -x 222②,联立①②,解得点P 的坐标为x 1+x 22,x 1x 22,因为点P 在直线x -y -2=0上,所以x 1+x 22-x 1x 22-2=0,即x 1x 2=x 1+x 2-4,又直线AB 的斜率k =x 222-x 122x 2-x 1=x 1+x 22,所以直线AB 的方程为：y -x 122=x 1+x 22(x -x 1),即y =(x 1+x 2)x -x 1x 22,又x 1x 2=x 1+x 2-4,代入可得y =(x 1+x 2)(x -1)2+2,所以直线AB 过定点(1,2).【点评】利用直接法求曲线的轨迹方程一般是根据题中的一个等量关系式,将其坐标化,即可得到曲线的轨迹方程.(三)定义法求曲线轨迹方程1.运用圆锥曲线的定义求轨迹方程,可从曲线定义出发直接写出方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出方程．2.定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型,利用条件把待定系数求出来,使问题得解．3.平面内与两个定点F 1,F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ={M ||MF 1|+|MF 2|=2a },|F 1F 2|=2c ,其中a >0,c >0,且a ,c 为常数：(1)若a >c ,则集合P 为椭圆；(2)若a =c ,则集合P 为线段；(3)若a <c ,则集合P 为空集．4.平面内与两个定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ={M |||MF 1|-|MF 2||=2a },|F 1F 2|=2c ,其中a ,c 为常数且a >0,c >0.(1)当2a <|F 1F 2|时,P 点的轨迹是双曲线；(2)当2a =|F 1F 2|时,P 点的轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线；(3)当2a >|F 1F 2|时,P 点不存在．5.平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线．注意：(1)定直线l 不经过定点F .(2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值.【例5】(2023届河北省示范性高中高三上学期调研)已知圆A ：x 2+y 2+6x +5=0,直线l (与x 轴不重合)过点B (3,0)交圆A 于C 、D 两点,过点B 作直线AC 的平行线交直线DA 于点E .(1)证明||EB |-|EA ||为定值,并求点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹方程为C 1,直线l 与曲线C 1交于M 、N 两点,线段MN 的垂直平分线交x 轴于点P ,是否存在实常数入,使得|MN |=λ|PB |,若存在,求出λ的值；若不存在,请说明理由.【解析】(1)x 2+y 2+6x +5=0⇒x +3 2+y 2=4,得A (-3,0),当|BD |>|BC |时,如图1所示,因为D ,C 都在圆A 上所以|AD |=|AC |,即∠ADC =∠ACD 又因为BE ∥AC ,所以∠ACD =∠EBD ,所以∠EDB =∠EBD ,∴|ED |=|EB |,所以|EB |-|EA |=|ED |-|EA |=|AD |=2当|BD |<|BC |时,如图2所示,同理可得,|EB |-|EA |=|ED |-|EA |=-|AD |=-2因此|EB |-|EA |=2<|AB |=6,所以点E 的轨迹是以A ,B 为焦点的双曲线,故2a =2,2c =6,即a =1,c =3,所以b 2=c 2-a 2=9-1=8,∴||EB |-|EA ||为定值2,且点E 的轨迹方程为x 2-y 28=1.(2)由题知,直线l 的斜率不为0,设l ：x =my +3,联立x =my +38x 2-y 2=8消去x 得,8m 2-1 y 2+48my +64=0,于是Δ=(48m )2-4×648m 2-1 =256m 2+1 >0,设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,则有y 1+y 2=-48m 8m 2-1,y 1y 2=648m 2-1,故x 1+x 2=my 1+3+my 2+3=m y 1+y 2 +6=-48m 2+48m 2-68m 2-1=68m 2-1,所以线段MN 的中点为-38m 2-1,-24m8m 2-1,从而线段MN 的中垂线的方程为y +24m 8m 2-1=-m x +38m 2-1 令y =0得,x =-278m 2-1,∴|PB |=3--278m 2-1 =3+278m 2-1=24m 2+1 8m 2-1又|MN |=1+m 2y 1+y 2 2-4y 1y 2=1+m 2-48m 8m 2-1 2-4×648m 2-1=16m 2+1 8m 2-1故|MN ||PB |=16m 2+1 8m 2-1×8m 2-1 24m 2+1 =23,于是λ=23即存在λ=23使得|MN |=λ|PB |.【点评】利用双曲线定义求轨迹方程,关键是利用题中条件,确定动点到两定点距离之差的绝对值为定值.【例6】已知一定点F (0,1),及一定直线l ：y =-1,以动点M 为圆心的圆M 过点F ,且与直线l 相切．(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)设P 在直线l 上,直线PA ,PB 分别与曲线C 相切于A ,B ,N 为线段AB 的中点．求证：|AB |=2|NP |,且直线AB 恒过定点．【解析】(1)动点M 为圆心的圆M 过点F ,且与直线l 相切,动圆圆心到定点F (0,1)与定直线y =-1的距离相等,∴动圆圆心的轨迹为抛物线,其中F (0,1)为焦点,y =-1为准线,∴p2=1⇒p =2,∴动圆圆心轨迹方程为x 2=4y ．(2)依题意可设P x 0,-1 ,A x 1,x 214 ,B x 2,x 224,又x 2=4y ,∴y =14x 2∴y =12x故切线PA 的斜率为k 1=12x 1,故切线PA :y -14x 21=12x 1x -x 1 ⇒2x 1x -4y -x 21=0同理可得到切线PB :2x 2x -4y -x 22=0又P x 0,-1 ,∴2x 1x 0+4-x 12=0且2x 2x 0+4-x 22=0,故方程x 2-2x 0x -4=0有两根x 1,x 2∴x 1x 2=-4,∴k 1k 2=12x 1×12x 2=14x 1x 2=-1∴PA ⊥PB又N 为线段AB 的中点,∴|AB |=2|NP |又由2x 1x 0+4-x 21=0得到：12x 1x 0+1-x 214=0即12x 1x 0+1-y 1=0同理可得到12x 2x 0+1-y 2=0,故直线AB 方程为：12x 0x -y +1=0,故直线过定点F 0,1 .【点评】利用抛物线定义求轨迹方程关键是确定动点到一定点与定直线距离相等.(四)相关点法求曲线轨迹方程“相关点法”求轨迹方程的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ,y ),主动点坐标为(x 1,y 1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式x 1=f x ，y ，y 1=g x ，y ；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程．【例7】(2023届广东省揭阳市高三上学期调研)已知F 1､F 2是椭圆C ：x 24+y 23=1的左､右焦点,点P m ,n n ≠0 是椭圆上的动点．(1)求△PF1F 2的重心G 的轨迹方程；(2)设点Q s ,t 是△PF 1F 2的内切圆圆心,求证：m =2s ．【解析】(1)连接PO ,由三角形重心性质知G 在PO 的三等分点处(靠近原点)设G (x ,y ),则有m =3x ,n =3y又m 24+n 23=1,所以9x 24+9y 23=1,即9x 24+3y 2=1△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为9x24+3y 2=1(y ≠0)；(2)根据对称性,不妨设点P 在第一象限内,易知圆Q 的半径为等于t ,利用等面积法有：S △PF 1F 2=12|PF 1|⋅t +12|PF 2|⋅t +12|F 1F 2|⋅t =12|F 1F 2|⋅n结合椭圆定义：|PF 1|+|PF 2|=4,|F 1F 2|=2有12⋅4⋅t +12⋅2⋅t =12⋅2⋅n ,解得t =n 3由P (m ,n )､F 1(-1,0)两点的坐标可知直线PF 1的方程为nx -(m +1)y +n =0根据圆心Q 到直线PF 1的距离等于半径,有ns -(m +1)n3+n n 2+(m +1)2=n3∴3s -m +2 n 2+(m +1)2=1,∴9s 2-6sm +12s -6m +3-n 2=0∴3s 2-2sm +4s -2m +1-n 23=0,又m 24+n 23=1化简得12s 2-8sm +16s -8m +m 2=0,即12s 2-8sm +m 2 +16s -8m =0∴2s -m 6s -m +82s -m =0,即2s -m 6s -m +8 =0由已知得-2<m <2,-1<s <1,则6s -m +8>0所以2s -m =0,即m =2s ．(五)交轨法求曲线轨迹方程求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数来得到轨迹方程,称之交轨法.若动点是两曲线的交点,可以通过这两曲线的方程直接求出交点的轨迹方程,也可以解方程组先求出交点坐标的参数方程,再化为普通方程.【例8】(2022届重庆市第八中学高三上学期月考)已知抛物线C :y =x 2,过点M 1,2 的直线交抛物线C 于A ,B 两点,以A ,B 为切点分别作抛物线C 的两条切线交于点P .(1)若线段AB 的中点N 的纵坐标为32,求直线AB 的方程；(2)求动点P 的轨迹.【分析】(1)联立直线与抛物线,根据韦达定理及中点求出k 即可；(2)写出圆的切线方程,根据P 是交点可得x 1，x 2是方程x 2-2x 0x +y 0=0的两根,由(1)中x 1+x 2=k ，x 1x 2=k -2代入化简即可求出.【解析】(1)依题意有：直线AB 的斜率必存在,故可设直线AB 的方程为y -2=k (x -1).由y -2=k (x -1)，y =x 2，可得：x 2-kx +k -2=0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2),则有x 1+x 2=k ，x 1x 2=k -2.于是：y 1+y 2=x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=k 2-2k +4=3,解得k =1,故直线AB 的方程为x -y +1=0.(2)设P (x 0，y 0),对于抛物线y =x 2,y =2x ，于是：A 点处切线方程为y -y 1=2x 1(x -x 1),点P 在该切线上,故y 0-x 21=2x 1(x 0-x 1),即x 21-2x 0x 1+y 0=0.同理：P 点坐标也满足x 22-2x 0x 2+y 0=0，于是：x 1，x 2是方程x 2-2x 0x +y 0=0的两根,所以x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=y 0.又由(1)可知：x 1+x 2=k ，x 1x 2=k -2,于是x 0=k2，y 0=k -2,消k 得y 0=2x 0-2,于是P 的轨迹方程为2x -y -2=0,点P 的轨迹是一条直线.【点评】求两条动直线交点轨迹方程一般用交轨法三、跟踪检测1.(2023届广东省广东广雅中学高三上学期9月阶段测试)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22．圆O (O 为坐标原点)在椭圆C 的内部,半径为63．P ,Q 分别为椭圆C 和圆O 上的动点,且P ,Q 两点的最小距离为1-63．(1)求椭圆C 的方程；(2)A ,B 是椭圆C 上不同的两点,且直线AB 与以OA 为直径的圆的一个交点在圆O 上．求证：以AB 为直径的圆过定点．【解析】(1)设椭圆的长半轴为a ,短半轴为b ,半焦距为c ,由圆的性质,|PQ |≥|PO |-63当点P 在椭圆上运动时,当P 处于上下顶点时|PO |最小,故|PQ |≥|PO |-63≥b -63,即b -63=1-63依题意得c a =22b -63=1-63a 2=b 2+c 2,解得a =2b =1c =1,所以C 的方程为x 22+y 2=1.(2)因为直线AB 与以OA 为直径的圆的一个交点在圆O 上,所以直线AB 与圆O 相切.(i )当直线AB 垂直于x 轴时,不妨设A 63,63 ,B 63,-63,此时OA ⋅OB=0,所以OA ⊥OB ,故以AB 为直径的圆过点O .(ii )当直线AB 不垂直于x 轴时,设直线AB 的方程为y =kx +m ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .因为AB 与圆O 相切,所以O 到直线AB 的距离|m |k 2+1=63,即3m 2-2k 2-2=0.由y =kx +m ,x 22+y 2=1,得2k 2+1 x 2+4km x +2m 2-2=0,所以x 1+x 2=-4km 2k 2+1,x 1x 2=2m 2-22k 2+1,OA ⋅OB=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+kx 1+m kx 2+m =1+k 2 x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2,=1+k 22m 2-22k 2+1 +km -4km 2k 2+1+m 2,=1+k 2 2m 2-2 +km (-4km )+m 22k 2+1 2k 2+1,=3m 2-2k 2-22k 2+1=0,所以OA ⊥OB ,故以AB 为直径的圆过点O .综上,以AB 为直径的圆过点O .2.(2023届山西省忻州市高三上学期联考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率是5,点F 是双曲线C 的一个焦点,且点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离是2.(1)求双曲线C 的标准方程.(2)设点M 在直线x =14上,过点M 作两条直线l 1,l 2,直线l 1与双曲线C 交于A ,B 两点,直线l 2与双曲线C 交于D ,E 两点.若直线AB 与直线DE 的倾斜角互补,证明：MA MD =MEMB.【解析】(1)根据双曲线的对称性,不妨设F c ,0 ,其渐近线方程为bx ±ay =0,因为焦点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离是2.所以2=bcb 2+a 2,因为双曲线C 的离心率是5,所以,c a =52=bc b 2+a 2c 2=a 2+b 2,解得a =1,b =2.所以,双曲线C 的标准方程为x 2-y 24=1.(2)证明：由题意可知直线l 1的斜率存在,设M 14,t ,直线l 1:y =k x -14+t ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .联立y =k x -14 +tx 2-y 24=1整理得k 2-4 x 2+2kt -12k 2 x +116k 2-12kt +t 2+4=0,所以,x 1+x 2=-2kt -12k 2k 2-4,x 1x 2=116k 2-12kt +t 2+4k 2-4.故MA ⋅MB =k 2+1 x 1-14 x 2-14 =k 2+1 x 1x 2-14x 1+x 2 +116 =k 2+1 4t 2+15 4k 2-4.设直线l 2的斜率为k,同理可得MD ⋅ME =k2+1 4t 2+154k 2-4.因为直线AB 与直线DE 的倾斜角互补,所以k =-k ,所以k 2=k 2,则k 2+1 4t 2+15 4k 2-4 =k 2+1 4t 2+15 4k 2-4 ,即MA ⋅MB =MD ⋅ME ,所以MA MD =MEMB.3.(2023届广东省茂名市高三上学期9月大联考)如图,平面直角坐标系xOy 中,点Q 为x 轴上的一个动点,动点P 满足PO =PQ =32,又点E 满足PE =12EQ .(1)求动点E 的轨迹Γ的方程；(2)过曲线Γ上的点A x 0,y 0 (x 0y 0≠0)的直线l 与x ,y 轴的交点分别为M 和N ,且NA =2AM,过原点O 的直线与l 平行,且与曲线Γ交于B 、D 两点,求△ABD 面积的最大值.【解析】(1)法一：由题意,设E x ,y ,P 12x ,y ,由PO =PQ =32得Q x ,0 ,且x 24+y 2=94,由PE =12EQ 得E 23x ,23y ,则x =23x y =23y ,得x =32x y=32y,代入x 24+y 2=94整理得x 24+y 2=1,故动点E 的轨迹Γ的方程为x 24+y 2=1.法二：设∠POQ =α,P 32cos α,32sin α ,Q 3cos α,0 ,设E x ,y ,则由PE =12EQ 得x =23×3cos α=2cos αy =23×32sin α=sin α,消去α得x 24+y 2=1,故动点E 的轨迹Γ的方程为x 24+y 2=1.(2)如图,设A x 0,y 0 (x 0y 0≠0),又直线l 的斜率存在且k ≠0,∴设直线l 为：y -y 0=k x -x 0 ,可得：M x 0-y 0k,0 ,N0,y 0-kx 0 ,由NA =2AM ,则x 0,kx 0 =2-y 0k ,-y 0 ,故x 0=-2y 0k,kx 0=-2y 0,联立x 204+y 20=1x 0=-2y 0k,可得：y 20=k 21+k 2,即y 0 =k 1+k 2,又BD ⎳l ,故直线BD 的方程为y =kx ,联立x 24+y 2=1y =kx,得：x 2=41+4k 2,即B 、D 的横坐标为±21+4k 2,∴BD =1+k 2x B -x D =41+k 21+4k 2,∵点A 到直线BD 的距离d =kx 0-y 0 1+k 2=3y 01+k 2=3k 1+k 2,∴S △ABD =12BD ⋅d =6k 1+4k 21+k 2=61+k 2 1+4k 2k2=64k 2+1k2+5≤624k 2×1k2+5=2,当且仅当4k 2=1k2,即k =±22时等号成立,∴△ABD 面积的最大值为2.4.(2023届湖南省永州市高三上学期适应性考试)点P (4,3)在双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上,离心率e =72.(1)求双曲线C 的方程；(2)A ,B 是双曲线C 上的两个动点(异于点P ),k 1,k 2分别表示直线PA ,PB 的斜率,满足k 1k 2=32,求证：直线AB 恒过一个定点,并求出该定点的坐标.【解析】(1)由题意点P (4,3)在双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上,离心率e =72可得；16a 2-9b 2=1a 2+b 2a =72,解出,a =2,b =3,所以,双曲线C 的方程是x 24-y 23=1(2)①当直线AB 的斜率不存在时,则可设A n ,y 0 ,B n ,-y 0 ,代入x 24-y 23=1,得y 02=34n 2-3,则k 1k 2=y 0-3n -4⋅-y 0-3n -4=9-y 20(n -4)2=12-34n 2(n -4)2=32,即9n 2-48n +48=0,解得n =43或n =4,当n =4时,y 0=±3,A ,B 其中一个与点P 4,3 重合,不合题意；当n =43时,直线AB 的方程为x =43,它与双曲线C 不相交,故直线AB 的斜率存在；②当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程y =kx +m 代入x 24-y 23=1,整理得,3-4k 2 x 2-8km x -4m 2-12=0,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则x 1+x 2=8km 3-4k 2,x 1x 2=-4m 2+123-4k 2,由Δ=(-8km )2-43-4k 2 -4m 2-12 >0,∴m 2+3>4k 2,所以k 1k 2=y 1-3x 1-4⋅y 2-3x 2-4=kx 1+m -3x 1-4⋅kx 2+m -3x 2-4=k 2x 1x 2+k m -3 x 1+x 2 +(m -3)2x 1x 2-4x 1+x 2 +16=32所以,2k 2-3 x 1x 2+2km -6k +12 x 1+x 2 +2m 2-12m -30=0,即2k 2-3 ⋅-4m 2-123-4k 2+2km -6k +12 ⋅8km 3-4k2+2m 2-12m -30=0,整理得3m 2+16k -6 m +16k 2-9=0,即3m +4k +3 m +4k -3 =0,所以3m +4k +3=0或m +4k -3=0,若3m +4k +3=0,则m =-4k +33,直线AB 化为y =k x -43 -1,过定点43,-1 ；若m +4k -3=0,则m =-4k +3,直线AB 化为y =k x -4 +3,它过点P 4,3 ,舍去综上,直线AB 恒过定点43,-1 5.(2023届福建师范大学附属中学高三上学期月考)在平面直角坐标系xOy 中, 设点P -13,0 ,Q 13,0 ,点G 与P ,Q 两点的距离之和为43,N 为一动点, 点N 满足向量关系式：GN +GP +GQ =0 ．(1)求点N 的轨迹方程C ；(2)设C 与x 轴交于点A ,B (A 在B 的左侧), 点M 为C 上一动点(且不与A ,B 重合)．设直线AM ,x 轴与直线x =4分别交于点R ,S ,取E (1,0),连接ER ,证明：ER 为∠MES 的角平分线．【解析】(1)设点N (x ,y ),G (x ,y ),则由点G 与P ，Q 两点的距离之和为43>|PQ |=23,可得点G 的轨迹是以P ，Q 为焦点且长轴长为43的椭圆,其轨迹方程为94x 2+3y 2=1,由GN +GP +GQ =0 ,可得x =x 3，y =y 3,代入点G 的轨迹方程,可得：94x 3 2+3y 32=1,所以点N 的轨迹方程C ：x 24+y 23=1；(2)设点M (x 0，y 0),则ME :y =y 0x 0-1(x -1),即y 0x -(x 0-1)y -y 0=0,MA :y =y 0x 0+2(x +2),令x =4,得y =6y 0x 0+2,∴R 4，6y 0x 0+2,则点R 到直线ME 的距离为：d =4y 0-6y 0(x 0-1)x 0+2-y 0y 20+(x 0-1)2=|3y 0(4-x 0)|(x 0+2)y 20+(x 0-1)2=(12-3x 0)|y 0|(x 0+2)y 20+(x 0-1)2,要证ER 为∠MES 的角平分线,只需证d =|RS |,又|RS |=|y R |=6|y 0|x 0+2,∵y 0≠0,所以d =|RS |,当且仅当4-x 0y 20+(x 0-1)2=2,即(4-x 0)2=4[y 20+(x 0-1)2]时,又(x 0，y 0)在C 上,则x 204+y 203=1,即4y 20=12-3x 20,代入上式可得16-8x 0+x 20=12-3x 20+4x 20-8x 0+4恒成立,∴ER 为∠MES 的角平分线．6.(2023届云南省大理市辖区高三统一检测)已知F 1,F 2为椭圆C 的左、右焦点,点M 1,32为其上一点,且MF 1 +MF 2 =4．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点F 1的直线l 与椭圆C 相交于P ,Q 两点,点P 关于坐标原点O 的对称点R ,试问△PQR 的面积是否存在最大值？若存在,求出这个最大值；若不存在,请说明理由．【解析】(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),则2a =4,1a 2+94b2=1,解之得：{a 2=4,b 2=3,所以椭圆的标准方程为x 24+y 23=1．(2)如图所示,设直线l :x =my -1,则{x =my -1,3x 2+4y 2=12,消去x 整理得3m 2+4 y 2-6my -9=0,设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,△PQR 的面积为S ,y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4又Δ=36m 2+363m 2+4 =36×4m 2+1 >0,则S =2S △POQ =2×12×OF 1 ×y 1-y 2 =y 1-y 2 =(y 1+y 2)2-4y 1y 2=36×4m 2+13m 2+4=12m 2+13m 2+4,令m 2+1=t (t ≥1),则S =12t 3t 2+1=123t +1t(t ≥1),又设f (t )=3t +1t ,则f (t )=3-1t2>0,∴f (t )在[1,+∞)上为增函数,f (t )min =f (1)=4,∴S max =3,所以,存在当m =0时,即直线l 的方程为x =-1,△PQR 的面积有最大值,其最大值为37.(2022届福建省福州第十八中学高三上学期考试)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2．(1)求C 的方程；(2)已知O 为坐标原点,点P 在C 上,点Q 满足PQ =9QF,求直线OQ 斜率的最大值．【解析】(1)抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F p 2,0 ,准线方程为x =-p2,由题意,该抛物线焦点到准线的距离为p 2--p2=p =2,所以该抛物线的方程为y 2=4x ；(2)设Q x 0,y 0 ,则PQ =9QF=9-9x 0,-9y 0 ,所以P 10x 0-9,10y 0 ,由P 在抛物线上可得10y 0 2=410x 0-9 ,即x 0=25y 20+910,据此整理可得点Q 的轨迹方程为y 2=25x -925,所以直线OQ 的斜率k OQ =y 0x 0=y 025y 20+910=10y 025y 20+9,当y 0=0时,k OQ =0；当y 0≠0时,k OQ =1025y 0+9y 0,当y 0>0时,因为25y 0+9y 0≥225y 0⋅9y 0=30,此时0<k OQ ≤13,当且仅当25y 0=9y 0,即y 0=35时,等号成立；当y 0<0时,k OQ <0；综上,直线OQ 的斜率的最大值为13.8.(2023届陕西师范大学附属中学、渭北中学等高三上学期联考)已知抛物线C :y 2=2px (p >0),O 是坐标原点,F 是C 的焦点,M 是C 上一点,|FM |=4,∠OFM =120°．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)设点Q x 0,2 在C 上,过Q 作两条互相垂直的直线QA ,QB ,分别交C 于A ,B 两点(异于Q 点)．证明：直线AB 恒过定点．【解析】(1)由|FM |=4,∠OFM =120°,可得M p2+2,±23 ,代入C :12=2p p2+2=p 2+4p ．解得p =2或p =-6(舍),所以抛物线的方程为：y 2=4x ．(2)由题意可得Q (1,2),直线AB 的斜率不为0,设直线AB 的方程为x =my +n ,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由y 2=4x x =my +n ,得y 2-4my -4n =0,从而Δ=16m 2+16n >0,则y 1+y 2=4m y 1y 2=-4n ．所以x 1+x 2=m y 1+y 2 +2n =4m 2+2n ,x 1x 2=my 1+n my 2+n =m 2y 1y 2+mn y 1+y 2 +n 2=n 2,∵QA ⊥QB ,∴QA ⋅QB=x 1-1 x 2-1 +y 1-2 y 2-2 =0,故x 1x 2-x 1+x 2 +1+y 1y 2-2y 1+y 2 +4=0,整理得n 2-4m 2-6n -8m +5=0．即(n -3)2=4(m +1)2,从而n -3=2(m +1)或n -3=-2(m +1),即n =2m +5或n =-2m +1．若n =-2m +1,则x =my +n =my -2m +1=m (y -2)+1,过定点(1,2),与Q 点重合,不符合；若n =2m +5,则x =my +n =my +2m +5=m (y +2)+5,过定点(5,-2)．综上,直线AB 过异于Q 点的定点(5,-2)．9.(2023届广东省潮阳实验、湛江一中、深圳实验三校高三上学期9月联考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32,椭圆上一动点P 与左､右焦点构成的三角形面积最大值为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左､右顶点分别为A ,B ,直线PQ 交椭圆C 于P ,Q 两点,记直线AP 的斜率为k 1,直线BQ 的斜率为k 2,已知k 1=3k 2.①求证：直线PQ 恒过定点；②设△APQ 和△BPQ 的面积分别为S 1,S 2,求S 1-S 2 的最大值.【解析】(1)由题意c a =32bc =3a 2=b 2+c2 ,解得a 2=4b 2=1 ,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(2)①依题意A (-2,0),B (2,0),设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,若直线PQ 的斜率为0则P ,Q 关于y 轴对称,必有k AP =-k BQ ,不合题意．所以直线PQ 斜率必不为0,设其方程为x =ty +n (n ≠±2),与椭圆C 联立x 2+4y 2=4x =ty +n,整理得：t 2+4 y 2+2tny +n 2-4=0,所以Δ=16t 2+4-n 2 >0,且y 1+y 2=-2tn t 2+4,y 1y 2=n 2-4t 2+4.因为P x 1,y 1 是椭圆上一点,即x 214+y 21=1,所以k AP ⋅k BP =y 1x 1+2⋅y 1x 1-2=y 21x 21-4=1-x 214x 21-4=-14,则k AP =-14k BP =3k BQ ,即12k BP ⋅k BQ =-1因为12k BP ⋅k BQ =12y 1y 2x 1-2 x 2-2 =12y 1y 2ty 1+n -2 ty 2+n -2=12y 1y 2t 2y 1y 2+t (n -2)y 1+y 2 +(n -2)2=12n 2-4t 2+4t 2n 2-4 t 2+4-2t 2n (n -2)t 2+4+(n -2)2=12(n +2)t 2(n +2)-2t 2n +(n -2)t 2+4 =3(n +2)n -2=-1,所以n =-1,此时Δ=16t 2+4-n 2 =16t 2+3 >0,故直线PQ 恒过x 轴上一定点D -1,0 ．②由①得：y 1+y 2=2t t 2+4,y 1y 2=-3t 2+4,所以S 1-S 2 =12⋅y 1-y 2 ⋅2--1 -12⋅y 1-y 2 ⋅-2--1 =y 1-y 2=y 1+y 2 2-4y 1y 2=4t 2+3t 2+4=4t 2+4 -1t 2+4 2=41t 2+4-1t 2+42=4-1t 2+4-12 2+14,而1t 2+4∈0,14 ,当1t 2+4=14时S 1-S 2 的最大值为3．10.(2022届云南省红河州高三检测)在平面直角坐标系xOy 中,点M 是以原点O 为圆心,半径为a 的圆上的一个动点.以原点O 为圆心,半径为b a >b >0 的圆与线段OM 交于点N ,作MD ⊥x 轴于点D ,作NQ ⊥MD 于点Q .(1)令∠MOD =α,若a =4,b =1,α=π3,求点Q 的坐标；(2)若点Q 的轨迹为曲线C ,求曲线C 的方程；(3)设(2)中的曲线C 与x 轴的正半轴交于点A ,与y 轴的正负半轴分别交于点B 1,B 2,若点E ､F 分别满足AE =-3OE ,4AF =3OB 2,证明直线B 1E 和B 2F 的交点K 在曲线C 上.【解析】(1)设Q x ,y ,则由题知x =x M =4cos π3=2y =y D =sin π3=32,因此Q 2,32 ；(2)设∠MOD =α及Q x ,y ,则由题知x =a cos αy =b sin α ,则点Q 的轨迹C 为椭圆,方程为：x2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ；(3)设K x ,y ,由知,B 10,b ,E a 4,0 ,B 20,-b ,F a ,-34b ,l B 1E :xa 4+y b =1,即4bx +ay =ab ,l B 2F :y +b -34b +b=x a ,即bx -4ay =4ab ,联列上述直线方程,解得x =817ay =-1517bx 2a 2+y 2b 2=82172+152172=1,因此交点K 在椭圆C 上.11.(2022届广东省六校高三上学期联考)在平面直角坐标系xoy 中,已知圆A ：x +2 2+y 2=8,B 2,0 ,动圆P 经过点B 且与圆A 相外切,记动圆的圆点P 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)试问,在x 轴上是否存在点M ,使得过点M 的动直线l 交C 于E ,F 两点时,恒有∠EAM =∠FAM ？若存在,求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.【解析】(1)设动圆P 的半径长为r ,则PB =r ,PA =r +22,∴PB -PA =2 2.因此,圆心P 的轨迹为以A -2,0 、B 2,0 为焦点,实轴长为22的双曲线的右支,设C 的方程为x 2a 2-y 2b2=1(x >0),则根据双曲线定义a =2,c =2,∴b 2=c 2-a 2=2,因此C 的方程为x 22-y 22=1(x >0).(说明：没写x 的范围扣1分)(2)不存在满足条件的点M ,理由如下：假设存在满足条件的点M ,设点M 的坐标为m ,0 ,直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程为y =k x -m ,由y =k x -m ,x 22-y 22=1,消去y 并整理,得k 2-1 x 2-2mk 2x +k 2m 2+2=0,设E x 1,y 1 、F x 2,y 2 ,则x 1+x 2=2mk 2k 2-1,x 1x 2=k 2m 2+2k 2-1,(*)由∠EAM =∠FAM ,得k AE +k AF =0,即y 1x 1+2+y 2x 1+2=0,将y 1=k x 1-m ,y 2=k x 2-m 代入上式并化简,得2x 1x 2+2-m x 1+x 2 -4m =0.将(*)式代入上式,有2⋅k 2m 2+2k 2-1+2-m ⋅2mk 2k 2-1-4m =0,解得m =-1.而当直线l 交C 于E ,F 两点时,必须有x 1+x 2>0且x 1x 2>0.当m =-1时,x 1+x 2=-2k 2k 2-1,x 1x 2=k 2+2k 2-1,由-2k 2k 2-1>0,k 2+2k 2-1>0,⇒k 2<1,k 2>1, k 无解,则当m =-1时,不符合条件.因此,不存在满足条件的点M .12.(2022届广东省高三上学期12月大联考)已知圆(x +1)2+y 2=16的圆心为A ,点P 是圆A 上的动点,点B 是抛物线y 2=4x 的焦点,点G 在线段AP 上,且满足GP =GB .(1)求点G 的轨迹E 的方程；(2)不过原点的直线l 与(1)中轨迹E 交于M ,N 两点,若线段MN 的中点Q 在抛物线y 2=4x 上,求直线l 的斜率k 的取值范围.【解析】(1)易知A -1,0 ，∵点B 是抛物线y 2=4x 的焦点,∴B 1,0 ,依题意GA +GB =AP =4>2=AB ,所以点G 轨迹是一个椭圆,其焦点分别为A ,B ,长轴长为4,设该椭圆的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),则2a =4,2c =2,∴a =2,c =1,∴b 2=a 2-c 2=3,故点G 的轨迹E 的方程为x 24+y 23=1.(2)易知直线1的斜率存在,设直线1：y =kx +t t ≠0 ,M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,Q x 0,y 0 ,由y =kx +t 3x 2+4y 2=12得：4k 2+3 x 2+8ktx +4t 2-12=0,∵Δ=(8kt )2-43+4k 2 4t 2-12 >0,即4k 2-t 2+3>0①又x 1+x2=-8kt 4k 2+3,x 1⋅x 2=4t 2-124k 2+3故Q -4kt 4k 2+3,3t 4k 2+3 ,将Q -4kt 4k 2+3,3t4k 2+3,代λy 2=4x ,得t =-16k 4k 2+39②,k ≠0 ,将②代入①,得：162k 24k 2+3 <81,4×162k 4+3×162k 2-81<0,即k 4+34k 2-932 2<0,即k 2-332 k 2+2732 <0,即k 2-332<0,∴-68<k <68且k ≠0,即k 的取值范围为:-68<k <0或0<k <68.。
圆锥曲线之轨迹问题(有答案)
圆 锥 曲 线 之 轨 迹 问 题一、临阵磨枪1.直接法（五部法）：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程。
这种求轨迹的方法称之为直接法。
2.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义），则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。
3.坐标转移法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。
4.参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标(,)x y 中的,x y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以把这个变量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参变量即可。
5.交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数得出所求轨迹方程，此种方法称为交轨法。
二、小试牛刀1.已知M （-3,0），N （3,0）6=-PN PM ,则动点P 的轨迹方程为 析：MN PM PN =-Q ∴点P 的轨迹一定是线段MN 的延长线。
故所求轨迹方程是 0(3)y x =≥2.已知圆O 的方程为222=+y x ，圆O '的方程为010822=+-+x y x ，由动点P 向两圆所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程为析：∵圆O 与圆O '外切于点M(2,0) ∴两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等， 故动点P 的轨迹就是两圆的内公切线，其方程为2x =3.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，M 是椭圆上一动点，1F 为椭圆的左焦点，则线段1MF 的中点P 的轨迹方程为析：设P (,)x y 00(,)M x y 又1(,0)F c - 由中点坐标公式可得：00002222x c x x x c y y y y -⎧=⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩ 又点00(,)M x y 在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上 ∴2200221(0)x y a b a b +=>> 因此中点P 的轨迹方程为2222(2)41x c y a b++= 4.已知A 、B 、C 是不在同一直线上的三点，O 是平面ABC 内的一定点，P 是动点，若[)+∞∈+=-,0),21(λλBC AB OA OP ,则点P 的轨迹一定过三角形ABC 的 重 心。
圆锥曲线轨迹的例题和练习(优秀).doc
圆锥曲线轨迹的例题和练习(优秀)专题:圆锥曲线轨迹首先，准备第一场战斗。
直接法(五部分法):如果运动点所满足的几何条件本身是某些几何量的等价关系，或者这些几何条件简单、明了、易于表达，我们只需要将这种关系“转化”为包含方程，就可以得到曲线的轨迹方程。
这种寻找轨迹的方法叫做直接法。
2.定义方法:如果运动点轨迹的条件满足基本轨迹的定义(如圆、椭圆、双曲线和抛物线的定义)，则运动点的轨迹方程可以根据定义直接计算。
3.坐标转移法(替代法):在一些问题中，移动点满足的条件不容易在方程中列出，但是移动点随着另一个移动点(称为相关点)移动。
如果相关点满足的条件是明显的或可分析的，那么我们可以用移动点的坐标来表示相关点的坐标。
根据相关点所满足的方程，我们可以得到运动点的轨迹方程。
这种寻找轨迹的方法也称为坐标转移法或替代法。
4.参数方法: 有时很难找出一个运动点应该满足的几何条件，并且没有明显的相关点，但是更容易发现(或者可以通过分析找到)这个运动点的运动经常受到另一个变量(角度、斜率、比率、截距或时间等)的限制。
)，也就是说，移动点的坐标随着另一个变量的变化而变化。
我们可以将这个变量设置为一个参数，并建立轨迹的参数方程。
这种方法称为参数方法。
如果我们需要得到轨迹的一般方程，我们只需要消除参数变量。
5.钢轨穿越方法:在寻找运动点轨迹的过程中，有时会出现需要两条运动曲线相交的轨迹问题。
这类问题通常可以通过求解方程来获得带参数的交点坐标，然后消除参数来获得期望的轨迹方程来解决。
这个方法被称为交集方法。
(2)小型试验手术刀1把。
已知的M轨迹(-圆锥曲线)首先，准备第一场战斗。
直接法(五部分法):如果运动点所满足的几何条件本身是某些几何量的等价关系，或者这些几何条件简单、明了、易于表达，我们只需要将这种关系“转化”为包含方程，就可以得到曲线的轨迹方程。
这种寻找轨迹的方法叫做直接法。
2.定义方法:如果运动点轨迹的条件满足基本轨迹的定义(如圆、椭圆、双曲线和抛物线的定义)，则运动点的轨迹方程可以根据定义直接计算。
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线之轨迹方程的求法
圆锥曲线之轨迹方程的求法（一）【复习目标】□1. 了解曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的一般步骤；□2. 会用直接法、定义法、相关点法（坐标代换法）求方程。
【基础练习】1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( )A ．y x =B ．||y x =C ．22y x =D ．220x y +=2．已知点(,)P x y 4，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．两条射线D ．以上都不对3．设定点1(0,3)F -、2(0,3)F ，动点P 满足条件129(0)PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹( ) A ．椭圆 B ．线段 C. 不存在 D ．椭圆或线段4．动点P 与定点(1,0)A -、(1,0)B 的连线的斜率之积为1-，则P 点的轨迹方程为______________.【例题精选】一、直接法求曲线方程根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。
即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。
例1．已知ABC ∆中，2,AB BC m AC==，试求A 点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.练习：已知两点M （-1，0）、N （1，0），且点P 使MP MN ，PM PN ，NM NP 成公差小于零的等差数列。
点P 的轨迹是什么曲线？二定义法若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。
例1．⊙C ：22(16x y +=内部一点0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于BQ R A P o yx P ，求点P 的轨迹方程.例2．设动点(,)(0)P x y x ≥到定点1(,0)2F 的距离比它到y 轴的距离大12。
记点P 的轨迹为曲线C 求点P 的轨迹方程；练习．若动圆与圆1)2(:221=++y x C 相外切，且与直线1=x 相切，则动圆圆心轨迹方程是 .三代入法有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。
高三数学解答题难题突破—圆锥曲线中动点轨迹方程问题
高三数学解答题难题突破—圆锥曲线中动点轨迹方程问题本文介绍了解动点轨迹问题的四种方法：直译法、定义法、代入法和参数法。
其中，直译法包括建系、设点、列式、代换和证明五个步骤；定义法则是根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；代入法和参数法则是在特定条件下使用的方法。
此外，文章还提到了解轨迹问题时需要注意的两点：求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，要验证曲线上的点是否都满足方程。
接下来，文章以一个例题为例，介绍了利用代点法求轨迹方程的具体步骤。
该例题要求求出点P的轨迹方程，通过设点、列式、代换和证明四个步骤，最终得出了轨迹方程x2+y2=2.此外，文章还介绍了如何利用轨迹方程验证曲线上的点是否都满足方程，以及如何去掉满足方程的解而不再曲线上的点。
最后，文章介绍了另一种解轨迹问题的方法：定义法。
该方法是先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程。
I）设圆心C的坐标为(x,y)，则圆方程为(x-1)^2+y^2=1，又因为在y轴上截得的弦长为2，所以C到y轴的距离为1，即x^2+y^2=1.联立两式可得圆心C的轨迹方程为x^2+y^2-x-1=0.II）由题意可知，直线l的斜率为k，且过点Q(1,0)，则直线方程为y=k(x-1)。
将直线方程代入圆的方程中，得到方程x^2+(k(x-1))^2-x-1=0，化简可得x^2(1+k^2)-2xk^2+k^2-1=0.由于直线l与轨迹C有交点A、B，所以方程有两个不同的实根，即Δ=4k^4-4(k^2+1)(k^2-1)≥0.解得-1≤k≤1.再将k带入直线方程可求出交点A、B的坐标，进而证明AR//FQ。
求AB中点的坐标为((k^2-1)/(1+k^2),k(k^2-2)/(1+k^2))，将其代入x^2+y^2-x-1=0中得到轨迹方程为x^4-2x^3+6x^2-2x+1-4y^2=0.1.定点、定值问题的解法定点、定值问题通常可以通过设定参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少。
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专题圆锥曲线(求轨迹方程)求轨迹方程的常用方法(1) 直接法：直接利用条件建立x, y之间的关系或F(x, y) = 0;(2) 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(3) 代入转移法(相关点法)：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x o, y o)的变化而变化，并且Q(x o，y o)又在某已知曲线上，贝U可先用x，y的代数式表示x o，y o，再将x o，y o代入已知曲线得要求的轨迹方程.1. 一个区别一一“轨迹方程”与“轨迹”“求动点的轨迹方程”和“求动点的轨迹”是不同的.前者只须求出轨迹的方程，标出变量x，y 的范围；后者除求出方程外，还应指出方程的曲线的图形，并说明图形的形状、位置、大小等有关的数据.2. 双向检验一一求轨迹方程的注意点求轨迹方程，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系，检验应从两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合实际意义，注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.考向一直接法求轨迹方程【例1】已知动点P(x, y)与两定点M(—1,0), N(1,o)连线的斜率之积等于常数g0).(1) 求动点P的轨迹C的方程；(2) 试根据入的取值情况讨论轨迹C的形状.［解］(1)由题意可知，直线PM与PN的斜率均存在且均不为零, 所以k PM k PNy . y x+1 x—1考向三 代入法(相关点法)求轨迹方程【例3】如图8-8-2所示，设P 是圆x 2 + y 2= 25上的动点，4点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD|= 5(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；当 心0且 存1时，是椭圆的轨迹方程; 当 X 0时，是双曲线的轨迹方程； 当 A 0时，是直线的轨迹方程. 综上，方程不表示抛物线的方程. 【答案】 C 考向二定义法求轨迹方程 【例2】已知两个定圆01和02,它们的半径分别是1和2,且|0102匸4.动圆M 与圆01内切, 又与圆02外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心 M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线. 【解】 如图所示，以0102的中点0为原点，0102所在直线为x 轴建立平面直角坐标系. 由 0102匸4,得 01( — 2,0), 02(2,0). 设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆01内切，有|M01|= r — 由动圆 M 与圆 02外切，有 |M02|= r + 2./.|M02—|M01|= 3. •••点M 的轨迹是以01, 02为焦点，实轴长为3的双曲线的左支. 3 2 2 ・£ = 2， c = 2,「・b =_c —a ~9 —'•••点M 的轨迹方程为 1X W-3 7 —1 2 . 2=7.1；64【对点练习2】如图8-8-1所示，已知圆A : (x + 2)2+ — 1与点B(2,0) 分别求出满足下列条件的动点 P 的轨迹方程. ("△ PAB 的周长为10; (2) 圆P 与圆A 外切，且过B 点(P 为动圆圆心);(3) 圆P 与圆A 外切，且与直线x = 1相切(P 为动圆圆心). y【解】 ⑴根据题意，知 |FA|+ |PB|+ |AB| = 10，即 |PA|+|PB 匸 6> 4= |AB|, 故P 点轨迹是椭圆，且 2a =6,2c = 4,即a = 3，c = 2，b = ,5. X 2 y 2因此其轨迹方程为9 + y = 1(尸0). (2)设圆 P 的半径为 r ，则 |FA|= r + 1，|PB|= r ，因此 |PA|-|PB|= 1. 图 8-8-1由双曲线的定义知, 1a = 2，c = 2,b =因此其轨迹方程为 ⑶依题意，知动点 开口向左，p = 4.因此其轨迹方程为yP 点的轨迹为双曲线的右支，且2a = 1,2c = 4,即 2 4 2 1 4x -神二 1 x > 2. P 到定点A 的距离等于到定直线x = 2的距离，故其轨迹为抛物线，且2=- 8x.4（2）求过点（3,0）且斜率为4的直线被C 所截线段的长度.【解】（1）设M 的坐标为（x , y ）, P 的坐标为（X P , y r ），由已知得'■'P 在圆上，••• x 2+ 4$ 2= 25,即 C 的方程为 25+16=1.44（2）过点（3,0）且斜率为5的直线方程为y = 5（x - 3），设直线与3—何 3 +回 • .x 1 2 , x 2 2y 2），将直线方程y =詼―3）代入C 的方程，得£+x - 3 2 25即 x 2— 3x — 8=0.X P = x ,5 y p =4y.C 的交点为 A(x i , y i ), B(X 2,•线段 AB 的长度为 |AB|=" ： x 1 — X 22+ y 1 — y 2 2=1+ 26 X 1— X 22 =2541 41 25X 41=寸【对点练习2】（2014合肥模拟）如图8-8-5所示，以原点O 为圆心的两个 同心圆的半径分别为3和1,过原点O 的射线交大圆于点P ,交小圆于 点Q , P 在y 轴上的射影为 M.动点N 满足PM = ?PN 且PM QN = 0.（1）求点N 的轨迹方程；⑵过点A （0,3）作斜率分别为k 1, k 2的直线|1, |2与点N 的轨迹分别 交于E , F 两点，k 1 k 2= — 9.求证：直线EF 过定点.【解】（1 ）由PM = ?PN 且PM （QN = 0可知N , P , M 三点共线且PMQN.过点Q 作QN 丄PM ，垂足为N ，设N(x , y), v|OP|= 3, |OQ|= 1,由相似可知P(3x , y).2 2••P 在圆 x 2 + y 2 = 9 上, (3x)2 + y 2 = 9,即£ + x 2= 1.所以点 N 的轨迹方程为 £+ x 2= 1.y = k 1x + 3,(2)证明：设 E(X E , y E ), F(X F , y F )，依题意，由y 29+ x= 1 (k 1 + 9)x 2 + 6k 1x = 0,①解得x = 0或x = —6k 1 k 2+ 9所以X E = —6k 1 k 1+ 9,6k 127— 3k 1yE=k1-k ?+9+ 3=2+9，6k 1 27 - 3k1 Ek 1+ 9， k 1 + 999vk1k 2=- 9,Ak 2=- ■.用 k 2=-话替代①中的 k 1,同理可得F6k 1k 1+ 9, 3k 2- 27k 2+ 9显然E , F 关于原点对称，•直线EF 必过原点O.一、选择题1.若M , N 为两个定点,【达标训练】且|MN|= 6,动点P满足PM PN = 0,则P点的轨迹是（A •圆B •椭圆C .双曲线D •抛物线1 12. 已知点F 4，0，直线I : x = — 4,点B 是I 上的动点•若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是()A .双曲线B .椭圆C .圆D .抛物线3.(2014天津模拟)平面直角坐标系中，已知两点A(3,1), B( —1,3),若点C 满足OC = 2iOA +來金(0为原点)，其中21,位€ R ,且刀+龙=1,则点C 的轨迹是()A .直线B .椭圆C .圆D .双曲线4.(2014合肥模拟)如图8-8-4所示，A 是圆0内一定点，B 是圆周上 一个动点，AB 的中垂线CD 与OB 交于E ,则点E 的轨迹是()A .圆B .椭圆C .双曲线D .抛物线5. 设过点P(x , y)的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于 A , B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称, 且OQ AB = 1,则点P 的轨迹方程是(A.3x 2 +1(x >0, y >0)C . 3x 2 — 2v 2= 1(x >0, y >0)6•已知动点P 在曲线2x 2 — y = 0上移动，则点A(0, — 1)与点P 连线中点的轨迹方程是()7. 平面上有三个点 A( — 2, y), B 0, 2 , C(x , y),若AB 丄BC ,则动点C 的轨迹方程是8. 动圆与。
圆锥曲线中的轨迹问题-高考数学复习课件
又点(4p，0)满足x2＋y2－4px＝0，
所以点M的轨迹方程为x2＋y2－4px＝0.
感悟提升
1.参数法求动点轨迹方程的一般步骤 (1)选择坐标系，设动点坐标P(x，y)； (2)分析轨迹的已知条件，选定参数(选择参数时要考虑，既要有利于建立方程 又要便于消去参数)； (3)建立参数方程； (4)消去参数得到普通方程； (5)讨论并判断轨迹. 2.常用的消参方法有：代入消参，加减消参，整体代换法，三角消参法(sin2θ ＋cos2θ＝1)等，要特别注意：消参前后变量x，y的取值范围不能改变.
则 x1＋x2＝2(2pk－2 kb)，x1x2＝bk22， 所以 y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝4kpb. 由OA⊥OB，得x1x2＋y1y2＝0，则b＝－4pk.① 设点M(x，y)(x≠0，y≠0)， 由 OM⊥AB，知xy·k＝－1，则 k＝－xy.②
2
法二 设N(x，y)，M(x0，y0)(x0≠0).
由题意知B1(0，－3)，B2(0，3)， 所以 kMB1＝y0x＋0 3，kMB2＝y0x－0 3. 因为 MB1⊥NB1，MB2⊥NB2，所以直线 NB1：y＋3＝－y0x＋0 3x，①
直线 NB2：y－3＝－y0x－0 3x，②
联立①②，解得x＝y20x－0 9， y＝－y0.
解 法一 设直线MB1：y＝kx－3(k≠0)， 则直线 NB1：y＝－k1x－3.① 直线 MB1 与椭圆 C：1x82＋y92＝1 的交点 M 的坐标为2k122＋k 1，26kk22＋－13.
则直线 MB2 的斜率为 kMB2＝62kk22－ ＋1231k－3＝－21k. 2k2＋1
圆锥曲线中轨迹问题
圆锥曲线中轨迹问题曲线轨迹方程的探求一直是高考中的重点和热点，涉及面广，综合性强。
曲线轨迹方程的探求有两种类型，第一种类型是几何关系已知，轨迹未知；第二种类型是曲线形状已知，求方程。
类型一常用的方法有直接法、相关点法和参数法。
类型二常用的方法有定义法和待定系数法。
（1）直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何的基本知识推出等量关系，求方程时便可利用直接法。
（2）定义法：如果所给几何条件能够确定符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法。
（3）相关点法：如果动点P（x，y）依赖于另一动点Q（a，b），而Q（a，b）又在某一已知曲线上运动，则可先列出关于x，y，a，b的方程组，利用x，y表示出a，b，把a，b代入已知曲线方程便可得出动点P的轨迹方程，又称为代入法。
（4）参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x，y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。
（5）交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，如求两动直线的交点时常用这种方法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程。
（6）几何法：利用平面几何或解析几何的有关基础知识去分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然后求出动点的轨迹方程。
热点透析题型1：直接法【例1】已知定点A、B，且AB=2a。
如果动点P到点A的距离和到点B的距离之比为2：1，求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？【解】本题首先要建立坐标系，建立坐标系的要求是保持对称性，以使所求方程简单，容易看出方程表示什么曲线。
如图，取AB所在的直线为x轴，从A到B为正方向，以AB的中点O为原点，以AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则A（-a，0）、B（a，0）。
设P（x，y）。
∵即化简整理，得，即。
这就是动点P的轨迹方程。
高考数学一轮复习必备：第66课时：第八章圆锥曲线方程轨迹问题(1)
高考数学一轮复习必备：第66课时：第八章圆锥曲线方程轨迹问题（1）课题：轨迹咨询题〔1〕 一．复习目标：1．把握求轨迹方程的两种差不多方法——直截了当法和定义法； 2．把握直截了当法求轨迹方程的差不多步骤． 二．知识要点：1．直截了当法求轨迹方程的一样步骤：建系—设点—列式—代换—化简—检验2．用定义法求轨迹方程的差不多思路是：〔1〕用曲线的定义判定轨迹的形状〔定型〕；〔2〕判定轨迹的位置〔定位〕〔3〕求曲线的差不多量〔定量〕；〔4〕写出轨迹方程． 三．课前预习：1．点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =⋅满足，那么点P 的轨迹是〔D 〕()A 圆 ()B 椭圆 ()C 双曲线 ()D 抛物线2． 假设0|3|)1()3(22=+---++y x y x ，那么点),(y x M 的轨迹是 〔C 〕 ()A 圆 ()B 椭圆 ()C 双曲线 ()D 抛物线3．点M 与点(4,0)F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小1，那么点M 的轨迹方程是216y x=4．一动圆与圆221x y +=外切，而与圆22680x y x +-+=内切，那么动圆圆心的轨迹方程是2234()125y x --=〔右支〕5．椭圆13422=+y x 的两个焦点分不是F 1，F 2，P 是那个椭圆上的一个动点，延长F 1P 到Q ，使得｜PQ ｜＝｜F 2P ｜，求Q 的轨迹方程是22(1)16x y ++=．四．例题分析： 例1．ABC ∆中，||||2,||AB BC m AC ==，求点A 的 轨迹方程，并讲明轨迹是什么图形． 解：以BC 所在直线为x 轴，BC 中点O 为原点建立直角坐标系，那么(1,0),(1,0)B C -，设点A 的坐标为(,)x y ，由||||AB m AC =m =，化简得： 222222(1)(1)(22)10m x m y m x m -+-+++-=当1m =时，轨迹为直线0x =；当1m ≠时，配方得：22222212()()11m m x y m m+++=-- 〔1〕0m =时，方程为22210x y x +-+=，轨迹为点(1,0)；〔2〕0m ≠时，轨迹是圆心为〔221,01m m +-〕，半径为22||1mm-的圆．例2．抛物线2:4C y x =，假设椭圆的左焦点及相应的准线与抛物线C 的焦点和准线分不重合，求以椭圆短轴端点B 与焦点F 为两端点的线段中点P 的轨迹方程． 解：设(,)P x y ，明显1x >，那么点B 的坐标为(12,2)x y -，由椭圆的定义，知：||||BF e BB ='，||||||2(1)c FO OO OF x ''==-=-，||a FB ==||(21)(1)2BB x x '=---=，∴=化简得：21y x =-，∴P 的轨迹方程为：21(0)y x x =->例3．两点(1,0),(1,0)M N -，且点P 时,,MP MN PM PN NM NP ⋅⋅⋅成公差小于零的等差数列．〔1〕点P 的轨迹是什么曲线？〔2〕假设点P 的坐标为00(,)x y ，记θ为PM 与PN 的夹角，求tan θ〔用点P 的坐标数值表示〕．解：设(,)P x y ，∵(1,0),(1,0)M N -，∴(1,)PM MP x y =-=---，(1,)PN NP x y =-=--，(2,0)MN NM =-=，∴2(1)MP MN x ⋅=+l221PM PN x y ⋅=+-，2(1)NM NP x ⋅=-，那么,,MP MN PM PN NM NP ⋅⋅⋅成公差小于零的等差数列等价于2211[2(1)2(1)]22(1)2(1)0x y x x x x +-=++---+<⎧⎪⎨⎪⎩，即2230x y x +=>⎧⎨⎩ 因此点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆． 〔2〕P 的坐标为00(,)x y ， 由220012PM PN x y ⋅=+-=， ∴cos ||||2PM PN PMPN θ⋅===，∵00x <，∴1cos 12θ<≤ ∴03πθ≤<，∴0sin tan ||cos y θθθ=== 五．课后作业：1．与两点)0,3(),0,3(-距离的平方和等于38的点的轨迹方程是 〔 〕()A 1022=-y x ()B 1022=+y x ()C 3822=+y x ()D 3822=-y x2．与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程是〔 〕()A 28y x = ()B 28(0)y x x =>和0y = ()C 28y x =(0)x > ()D 28(0)y x x =>和0(0)y x =<3．到点)0,1(-的距离与到直线3=x 的距离相等的点的轨迹方程为 〔 〕()A 442+-=y x ()B 882+-=y x ()C 442+-=x y ()D 882+-=x y4．动圆与x 轴相切，且与直线y x =相交所得的弦长为2，那么动圆圆心的轨迹方程为5．长为2a 的线段AB 的两个端点分不在x 轴和y 轴上运动，那么AB 中点的轨迹方程为 6．直线l ：y ＝k (x －5)及圆C ：x 2＋y 2＝16． (1)假设直线l 与圆C 相切，求k 的值；(2)假设直线l 与圆C 交于A 、B 两点，求当k 变动时，弦AB 的中点的轨迹．7．两直线l 1：2x －3y ＋2＝0，l 2：3x －2y ＋3＝0，有一动圆M (圆心和半径都在变动)与l 1，l 2都相交，同时截l 1，l 2所得的弦长分不是定值26和24，求圆心M 的轨迹方程．8．过M(1，3)作两条互相垂直的直线l1和l2，l1与x轴交于A点，l2与y轴交于B点，求线段AB中点的轨迹．9．求与两定圆x2＋y2＝1，x2＋y2－8x－33＝0都相切的动圆圆心的轨迹方程。
求圆锥曲线轨迹问题的几种方法
求圆锥曲线轨迹问题的几种方法根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程是的重点和难点,主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力.求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”,将“曲线”转化为“方程”,通过对方程的研究来认识曲线的性质.下面介绍几种常见的求圆锥曲线轨迹的方法,供同学们复习时参考.一、直接法:如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,不需要特殊的技巧,易于表述成含x ,y 的等式就得到轨迹方程,这种方法称之为直接法.例1 已知A (－1,0),B (1,0)两点,过动点M 作x 轴的垂线,垂足为N ,若(→MN )2＝λ→AN ·→NB ,当λ＜0时,动点M 的轨迹为( )A .圆B .椭圆C .双曲线D .抛物线解:设M (x ,y ),则N (x ,0),∴(→MN )2＝y 2,λ→AN ·→NB ＝λ(x ＋1,0)·(1－x ,0)＝λ(1－x 2),∴y 2＝λ(1－x 2),即λx 2＋y 2＝λ,变形为x 2＋y 2λ＝1.又∵λ＜0,∴动点M 的轨迹为双曲线. 评注:用直接法求动点轨迹一般有建系,设点,列式,化简,证明五个步骤,最后的证明可以省略.求轨迹方程一般只要求出方程即可,求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么.二、定义法:运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义),可从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程.例2 已知动圆C 与圆C 1:(x ＋1)2＋y 2＝1外切,与圆C 2:(x －1)2＋y 2＝9内切,则点C 的轨迹方程为_______.解:设动圆C 的半径为r ,则|CC 1|＝r ＋1,|CC 2|＝3－r ,∴|CC 1|＋|CC 2|＝4.∴点C 的轨迹是以C 1,C 2为焦点(c ＝1),长轴长2a ＝4的椭圆,∴点C 的轨迹的方程是x 24＋y 23＝1. 评注:定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件.三、代入法:动点P 所满足的条件不易表述或求出,但形成轨迹的动点却随另一动点Q 的运动而有规律的运动,且Q 的轨迹为给定或容易求得,则可先将Q 表示为P 的式子,再代入Q 的轨迹方程,整理即得P 的轨迹方程.例3 已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点,P 是该抛物线上的动点,则线段PF 中点的轨迹方程是________.解:∵抛物线x 2＝4y 的焦点F (0,1),设线段PF 的中点坐标是(x ,y ),则P (2x ,2y －1)在抛物线x 2＝4y 上,∴(2x )2＝4(2y －1),化简得x 2＝2y －1.评注:一般地,定比分点问题,对称问题或能转化为这两类的轨迹问题,都可用代入法.四、参数法:求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系,则可借助 中间变量(参数),使x ,y 之间建立起联系,再从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程.例4 已知正方形的四个顶点分别为O (0,0),A (1,0),B (1,1),C (0,1),点D ,E 分别在线段OC ,AB 上运动且OD ＝BE ,设AD 与OE 交于点G ,则点G 的轨迹方程是( )A .y ＝x (1－x )(0≤x ≤1)B .x ＝y (1－y )(0≤y ≤1)C .y ＝x 2(0≤x ≤1)D .y ＝1－x 2(0≤x ≤1)解:设D (0,λ),E (1,1－λ),0≤λ≤1.∴线段AD 的方程为x ＋y λ＝1(0≤x ≤1), 线段OE 的方程为y ＝(1－λ)x (0≤x ≤1),联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y λ＝1，0≤x ≤1，y ＝(1－λ)x ，0≤x ≤1(λ为参数),消去参数λ, 得点G 的轨迹方程为y ＝x (1－x )(0≤x ≤1).评注:用参数法求轨迹由于选参灵活,技巧性强,是学生较难掌握的一类问题.选用什么变量为参数,要看动点随什么量的变化而变化.常见的参数有:斜率、截距、定比、角、点的坐标等.要特别注意消参前后保持范围的等价性.总结:以上给出了处理轨迹问题的几种常用方法,对于以下几点,在复习轨迹问题时是值得我们引起高度重视的:(1)高考考查轨迹问题通常是以下两类:一类是容易题,以定义法、相关点法、待定系数法等为主；另一类是高难度的纯轨迹问题,综合考查各种方法.(2)求轨迹方程,求得方程就可以了；若是求轨迹,还应指出方程所表示的曲线类型.(3)在处理轨迹问题时一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法.(4)认真细致确定范围.。
高考数学专题复习圆锥曲线轨迹方程的求法
圆锥曲线轨迹方程的求法一直以来，圆锥曲线这部分内容都是高考必考内容，作为解析几何中一个重要的部分，在历次考试中也是让相当一部分考生感到棘手。
现在，我就圆锥曲线的轨迹方程的问题作一个归纳总结。
在一般情况下，我们对于求圆锥曲线的轨迹方程采用的方法有：直接法，定义法，相关点法，参数法。
下面就以上几种方法作一下介绍。
一、用直接法求轨迹方程利用动点运动的条件作出等量关系，表示成x,y的等式。
例：已知点A(-2,0),B(3,0).动点P(x,y)满足PA·PB=x2,则点P 的轨迹是（）.A、圆B、椭圆C、双曲线D、抛物线解：PA=（-2-x,-y）, PB=(3-x,-y), P A·PB=x2则（-2-x）（3-x）+(-y)(-y)=x2 整理得：y2=x+6所以P点的轨迹为抛物线。
答案:D.二、有定义法求轨迹方程根据圆锥曲线的基本定义解题。
例：如图，已知圆O的方程为x2+y2=100,点A的坐标为(-6,0),M 为圆O上的任意一点,AM的垂直平分线交OM于点P,则点P的轨迹方程（）A.x225+y216=1 B.x225－y216=1C.(x+3)225+y216=1 D.(x+3)225-y216=1解：由于P为AM的垂直平分线上的点，|PA|=|PM| 所以|PA|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|=R=10>|OA|=6根据椭圆的定义知:P点轨迹方程为x225+y216=1.解答：A三、用相关点法求轨迹方程当动点M随着已知方程的曲线上另一动点C（x0,y0）运动时，找出点M与点C之间的坐标关系式，用（x,y）表示（x0,y0）再将x0,y0代入已知曲线方程，即可得到点M的轨迹方程。
例：如图所示从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程.解:设动点P 的坐标为(x,y)，点Q 的坐标为（x 1,y 1），则N 点的坐标为（2x-x 1,2y-y 1）.∵N 点在直线x+y=2上，∴2x-x 1+2y-y 1=2 ① 又∵PQ 垂直于直线x+y=2,∴y-y 1x-x 1 =1即x-y+y 1-x 1=0 ②①②联立得：x 1=32 x+12 y-1,x 2=12 x+32 y-1 又∵点Q 在双曲线上，∴x 12-y 12=1 ③ 将x1,x2代入③中，得动点P 的轨迹方程式为 2x 2-2y 2-2x+2y-1=0 四、 用参数法求轨迹方程选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标得到动点轨迹的普通方程.例：（04.成都)过抛物线y 2=2px(p>0)的顶点O 作两条互相垂直的弦OA,OB,再以OA,OB 为邻边作矩形AOBM,如图,求点M 的轨迹方程.解:设M(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)OA 的斜率为k(显然k ≠0),则OB 的斜率为-1k . OA 所在直线方程为y=kx.代入y 2=2px 得x 1=2p k 2 ,y 1=2pkOB 所在直线方程为y=-1k x,代入y 2=2px 得x 2= 2pk 2,y 2=-2pk 即B(2pk 2, -2pk) ∴OB=(2pk 2, -2pk),OA=(2p k 2 , 2pk ) OM= OA+ OB =(2p k 2 +2pk 2, 2p k -2pk)所以有x=2p(1k -k)2+4p, y=2p(1k -k) 消去(1k -k)得：y 2=2p(x-4p)(p>0) 即求得M 点的轨迹方程。
高考数学复习 第八章 圆锥曲线方程8-5轨迹问题课件
一、求动点的轨迹方程的一般步骤：
1．建系——建立适当的坐标系
；
2．设点——设轨迹上的任一点P(x，y) ；
3．列式——列出动点P所满足的关系式；
4．代换——依条件式的特点，选用距离公式、
斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简 ； 5．证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹
方程 ．
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我们，还在路上……
第四模块 平面向量、数系的扩充与复数的引入
FQ的方程为： 由①②得x1＝ 代入y2＝2x可得y2＝－2x2＋x.
总结评述：①代入法又称相关点法，其特点是；动点 M(x，y)的坐标取决于已知曲线C上的点(x′，y′)的坐标，可 先用x，y来表示x′，y′，再代入曲线C的方程．即得点M的 轨迹方程．
②在某些较复杂的探求轨迹方程的问题中，可先确定 一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点， 所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.
消去k得，4x2＋y2－y＝0.③ 当k不存在时，A、B中点为坐标原点(0,0)，也满足③， 故动点P的轨迹方程为4x2＋y2－y＝0.
过抛物线y2＝2x的顶点作互相垂直的两弦OA，OB. (1)求AB中点的轨迹方程； (2)证明：AB与x轴的交点为定点． 解析：(1)设直线OA：y＝kx，则
解析：在轨迹上任意取一点P(x，y)．
∴3x＋4y－11＝0或3x＋4y＋9＝0.故选D. 答案：D
4．(教材改编题)设A(－a,0)，B(a,0)，若动点M满足 kMA·kMB＝－1，是动点M的轨迹方程是________．
解析：设M(x，y)，∵kMA、kMB存在， ∴x≠±a，∵kMA·kMB＝－1，
圆锥曲线中的轨迹方程问题-(解析版)
专题1 圆锥曲线的轨迹方程问题轨迹与轨迹方程高考题中在选择题或填空题中单独考查，在解答题中也会出现轨迹与轨迹方程的问题.本文主要研究圆锥曲线中关于轨迹方程求法。
首先正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，常用方法有：直译法、定义法、相关点法、参数（交轨）法等方法1、直译法：若动点运动的条件是一些已知（或通过分析得出）几何量的等量关系，可转化成含x,y 的等式，就得到轨迹方程。
直译法知识储备：两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率（向量）公式。
经典例题：1．（2020·江苏徐州市·高三月考）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ（1λ≠）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -、()4,0B ，点P 满足12PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为()22416x y ++= B ．在C 上存在点D ，使得D 到点()1,1的距离为3 C ．在C 上存在点M ，使得2MO MA = D ．在C 上存在点N ，使得224NO NA += 【答案】ABD【分析】设点P 的坐标，利用12PA PB =，即可求出曲线C 的轨迹方程，然后假设曲线C 上一点坐标，根据BCD 选项逐一列出所满足条件，然后与C 的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案．【详解】设点P （x ，y ），()2,0A -、()4,0B ，由12PA PB =，12=，化简得x 2+y 2+8x ＝0，即：（x +4）2+y 2＝16，故A 选项正确；曲线C 的方程表示圆心为（﹣4，0），半径为4的圆，圆心与点（1，1）=﹣4，+4，而3∈﹣4，故B 正确；对于C 选项，设M （x 0，y 0），由|MO |＝2|MA |，=又 ()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝2，解得y 0无解，故C 选项错误；对于D 选项，设N （x 0，y 0），由|NO |2+|NA |2＝4，得 ()2222000024x y x y ++++=，又()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝0，解得y 0＝0，故D 选项正确．2．（2020·湖南省高三期末）点(,)P x y 与定点(1,0)F 的距离和它到直线:4l x =距离的比是常数12. 求点P 的轨迹方程；【答案】22143x y +=12=，化简即可求出；12=，化简得：223412x y +=，故1C 的方程为22143x y +=.【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点是动点轨迹方程的求解.3．（2021年湖南省高三月考）已知动点P 到定点A （5，0）的距离与到定直线165x =的距离的比是54，求P 点的轨迹方程．【答案】轨迹方程是221169x y -=.【分析】利用动点P 到定点A （5，0）的距离与到定直线165x =的距离的比是54可得方程，化简由此能求出轨迹M 的方程．【详解】由题意，设P （x ，y ），则()22252516165x y x -+=⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简得轨迹方程是221169x y -=． 故答案为221.169x y -=【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，属于基础题．由2、3题推广：圆锥曲线统一定义（第二定义）：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
高中数学中的圆锥曲线与轨迹问题
高中数学中的圆锥曲线与轨迹问题在高中数学中，圆锥曲线与轨迹问题是一个重要的课题。
圆锥曲线是指在平面上由一个动点与一个固定点和一个固定直线的位置关系所确定的曲线。
而轨迹问题则是研究动点在运动过程中所形成的路径。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
这些曲线在数学和物理学中都有广泛的应用。
在几何学中，椭圆常常用于描述行星的轨道、电子的轨道等。
双曲线则常常用于描述双星系统、双曲线天体轨道等。
抛物线则常常用于描述抛物运动、天体轨道等。
在解决圆锥曲线问题时，我们需要掌握一些基本的概念和性质。
例如，椭圆的定义是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的集合。
而双曲线的定义是平面上到两个定点的距离之差等于常数的点的集合。
抛物线的定义是平面上到一个定点的距离等于定直线的距离的点的集合。
在研究圆锥曲线的性质时，我们还需要掌握一些重要的定理。
例如，离心率是椭圆和双曲线的一个重要参数，它可以用来描述曲线的形状。
离心率越接近于0，曲线越接近于圆形；离心率越大于1，曲线越接近于双曲线。
另外，焦点和准线也是圆锥曲线的重要概念。
对于椭圆和双曲线来说，焦点是定点到曲线上任意一点的距离之和等于常数的点；准线是定直线与曲线的交点。
对于抛物线来说，焦点是定点到曲线上任意一点的距离等于定直线的距离的点。
除了圆锥曲线，轨迹问题也是数学中的一个重要课题。
轨迹问题是研究动点在运动过程中所形成的路径。
例如，如果一个点在平面上以一定的速度沿着一条直线运动，那么它所形成的路径就是一条直线。
如果一个点在平面上以一定的速度绕着一个固定点旋转，那么它所形成的路径就是一个圆。
轨迹问题在物理学中也有广泛的应用。
例如，行星绕太阳的轨道、地球上物体的自由落体运动等都可以用轨迹问题来描述。
解决轨迹问题时，我们需要运用一些基本的数学方法。
例如，我们可以使用向量来描述动点的位置和速度。
向量可以表示动点的位移和速度的方向和大小。
另外，我们还可以使用微积分的方法来解决轨迹问题。
高考数学圆锥曲线轨迹方程问题专题复习
高考数学圆锥曲线轨迹方程问题专题复习解题方法荟萃1.直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。
这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧，它是求轨迹方程的基本方法。
直接法一般有下列几种情况：1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。
2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。
3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。
4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法。
例1、一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？2. 定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
圆：到定点的距离等于定长轨迹集合。
椭圆：到两定点（焦点）的距离和等于定长（定长>两定点距离，否则为线段）的轨迹集合。
双曲线：到两定点（焦点）的距离差的绝对值（不加绝对值为双曲线一支）等于定长的轨迹集合。
抛物线：到定点（焦点）的距离等于到定直线（准线）的轨迹集合。
例2、已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+ 求点C 的轨迹。
3. 用参数法求曲线轨迹方程参数法：如果采用直接法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为 参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹 的普通方程F （x ，y ）＝0.例3、过点P （2，4）作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的 中点M 的轨迹方程。
圆锥曲线轨迹问题
建设现代化(检验)——有关圆锥曲线轨迹问题根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。
该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。
轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。
求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验）建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”）求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。
1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。
【解析】设MN 切圆C 于N ，则MN ),y x ,则2222)2(1y x y x +-=-+λ 化简得0)41(4))(1(22222=++-+-λλλx y x（1） 当1=λ时，方程为45=x ，表示一条直线。
（2） 当1≠λ时，方程化为2222222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。
◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点），使得2PM PN =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则1(20)O -，，2(20)O ，.由已知2PM PN =，得222PM PN =. 因为两圆半径均为1，所以221212(1)PO PO -=-.设()P x y ，，则2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-，即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=) 评析：1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。
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22
22
2
2
(1 m ) x (1 m ) y (2 2m ) x 1 m 0
当时，轨迹为直线；当时，配方得：
(x
1 1
m2 m2
)
2
y2
(
1
2
m m
2
)
2
（1）时，方程为，轨迹为点； （2）时，轨迹是圆心为（），半径为的圆．
例 2．已知抛物线，若椭圆的左焦点及相应的准线与抛物线的焦点和准线分别重合，求以椭 圆短轴端点与焦点为两端点的线段中点的轨迹方程． 解：设，显然，则点的坐标为，由椭圆的定义，知：，
9．求与两定圆 x2＋ y2＝ 1， x2＋ y2－ 8x－ 33＝ 0 都相切的动圆圆心的轨迹方程
（2）的坐标为，
uuuur uuur 由 PM PN x02 y02 1 2 ，
∴ cos
uuuur uuur uPuuMur PuuNur | PM || PN |
2
，∵，∴
2 4 x02
∴，∴ tan sin
3
cos
五．课后作业：
1．与两点距离的平方和等于
x02 | y0 |
38 的点的轨迹方程是
2．用定义法求轨迹方程的基本思路是：（ 1）用曲线的定义判断轨迹的形状（定型）；（ 2） 判断轨迹的位置（定位）（ 3）求曲线的基本量（定量）；（ 4）写出轨迹方程．
三．课前预习：
1．已知点、，动点，则点 P 的轨迹是（ D）
圆
椭圆
双曲线
抛物线
2． 若 (x 3) 2 ( y 1) 2 | x y 3 | 0 ，则点的轨迹是 （）
B P F O1
O
c | FO | | OO | | OF | 2( x 1) ， a | FB | (2 x 2)2 (2 y) 2 , | BB | (2 x 1) ( 1) 2x ，
(2 x 2) 2 (2 y)2
∴
2x
2( x 1) (2 x 2) 2 (2 y) 2
化简得：，∴的轨迹方程为：
（）
2．与圆外切，又与轴相切的圆的圆心的轨迹方程是（ 和
和 3．到点的距离与到直线的距离相等的点的轨迹方程为
） （）
4．动圆与轴相切，且与直线相交所得的弦长为，则动圆圆心的轨迹方程为 5．长为的线段的两个端点分别在轴和轴上运动，则中点的轨迹方程为 6．已知直线 l ： y＝k( x－ 5) 及圆 C： x2 ＋y2＝ 16． (1) 若直线 l 与圆 C相切，求 k 的值； (2) 若直线 l 与圆 C交于 A、 B两点，求当 k 变动时，弦 AB的中点的轨迹．
2019-2020 年高考数学复习 第 66 课时 第八章 圆锥曲线方程 - 轨迹问题 （1）名师精品教案
课题：轨迹问题（ 1） 一．复习目标：
Байду номын сангаас
1．掌握求轨迹方程的两种基本方法——直接法和定义法；
2．掌握直接法求轨迹方程的基本步骤．
二．知识要点：
1．直接法求轨迹方程的一般步骤：建系—设点—列式—代换—化简—检验
uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur 例 3．已知两点，且点时 MP MN , PM PN , NM NP 成公差小于零的等差数列．（ 1）点
的轨迹是什么曲线？（ 2）若点的坐标为，记为与的夹角，求（用点的坐标数值表示）．
uuuur uuur 解：设，∵，∴ PM MP ( 1 x, y) ，
7．已知两直线 l 1： 2x－ 3y＋ 2＝ 0， l 2： 3x－2y＋ 3＝ 0，有一动圆 M( 圆心和半径都在变动 ) 与 l 1， l 2 都相交，并且截 l 1， l 2 所得的弦长分别是定值 26 和 24，求圆心 M的轨迹方程．
8．过 M(1 ， 3) 作两条互相垂直的直线 l 1 和 l 2， l 1 与 x 轴交于 A 点， l 2 与 y 轴交于 B 点，求 线段 AB中点的轨迹．
圆
椭圆
双曲线
抛物线
3．点与点的距离比它到直线的距离小，则点的轨迹方程是
4．一动圆与圆外切，而与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是
（右支）
5．已知椭圆的两个焦点分别是 F1， F2， P 是这个椭圆上的一个动点，延长
PQ｜＝｜ F2P｜，求 Q的轨迹方程是．
F1P 到 Q，使得｜
四．例题分析： 例 1．已知中，，求点的 轨迹方程，并说明轨迹是什么图形． 解：以所在直线为轴，中点为原点建立直角坐标系，则， 设点的坐标为，由，得：，化简得：
，，∴
uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur ， ， 则 MP MN , PM PN , NM NP 成 公 差 小 于 零 的 等 差 数 列 等 价 于
x2
y2 1
1 [2(1 x) 2(1 x)]
2
，即
2(1 x) 2(1 x) 0
所以点的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆．