中学数学微课题

一、在过去的中小学数学教学中，数字“0”一直不属于自然数，但是现在已明确把“0”归于自然数。

为什么有这样的变化?作为数学教师必须清楚。

许多数学工作者都认为这仅仅是一个“规定”，用数学的行话讲即“定义”，这就是说以前定义“1，2，3，…，n…”为自然数集，而现在则定义“0，1，2，3，…，n…”为自然数集。

显然这样的解释是不够的，下面谈谈笔者的理解。

自然数的功能
自然数是人类最早认识并用之描述自然界数量关系的数学概念。

一开始它就有三个基本功能：一是基数功能，用来刻画某一类事物的多少，用现代集合论的语言来说，就是描述有限集的基数；二是序数功能，用来刻画某一类事物的顺序，用现代集合论的语言来说，就是描述有限集中元素的顺序性质；第三个是运算功能，自然数可以做加法和乘法，这些运算用来描述自然界中事物之间的数量关系，随着对运算的深入研究，使我们进一步又建立了整数、有理数、实数、复数及其运算，这样我们对自然界事物的数量关系的描述更加完整和精细。

为什么要把“0”作为自然数
我们从自然数的功能上回答这个问题。

第一、“0”不是自然数时，其基数功能不完整。

我们知道“空集”是最基本的集合，也是我们描述周围现象时常用到的集合概念，在集合论中用专门的符号“Φ”表示。

例如方程x2＋1=0的实根集合就是一个空集。

有了空集的概念后，我们可以用公理化的方法给出所有自然数的定义。

首先，对任意集合A，我们定义A＋=A∪{A}为集合A的后继。

其次，定义：0=Φ；1=0＋=Φ∪{Φ}={Φ};2=1＋={Φ}∪{{Φ}}={Φ,{Φ}};3=2＋={Φ,{Φ}}∪{{Φ,{Φ}}}={Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}};……从这个定义可以看出，每个自然数可看作一个集合的名称。

在日常生活中，我们常用数出集合元素数目的办法来判断有限集中元素的个数，这实际上是在所给集合与某个自然数表示的集合之间建立一个一一对应。

所以用集合论的观点，我们可给出有限集及其元素个数的严格定义如下：“设A是一个集合，若在A与自然数集N的某个元素n 之间存在一一对应，则称A为有限集(否则称为无限集，即A不能与任一自然数n建立一一对应时，称A为无限集)，且称n为集合A的基数或势(即通常所说的集合的元素个数)”。

把空集划分为有限集是很自然的。

但当“0”不是自然数时，就没有一个自然数可表示空集的基数，这样不管从日常生活的语义上，还是上述严格定义上，自然数描述有限集基数的功能均不完整；反之，可用“0”表示空集的基数，则“所有自然数”就可以完整刻画“所有有限集元素的多少”这一任务。

这样我们从自然数的基数功能说明了把“0”作为自然数的好处。

第二、我们还要说明，把“0”作为自然数，不会影响其“序数功能”与“运算功能”。

首先，在集合论中，常常要讨论元素之间的序关系，并根据序关系的性质将集合分为“偏序集”、“线性序集”、“良序集”等，序关系为我们提供了一种比较集合中元素的手段，在日常生活中有广泛的应用。

自然数的序关系具有比较好的性质，这些性质通常是用关系运算“≤、≥、<、>、=、≠”来描述的。

我们说“0”作为自然数，是不会影响其“序数功能”的。

在“顺序”方面，除了上述性质外，自然数还有一种特殊的性质，这也是自然数区别于整数集、有理数集、实数集的本质性质，即“自然数的任一非空子集中，一定有最小的数”，也就是说自然数集还是一个良序集。

尽管整数集、有理数集、实数集都是线性序集，但它们不具有自然数的特殊性质。

例如，所有负整
数是整数集的子集，但它无最小数。

又如区间 (0，1)作为实数集的非空子集也没有最小数，而区间 (0，1)内所有有理数构成的集合作为有理数集的非空子集也没有最小数。

自然数的这一特殊性质是保证数学归纳法成立的基本性质。

很明显，不管“0”是否归于自然数集，上面讨论的自然数的“顺序”性质都成立，当然也包括那种特殊性质。

实质上没有“0”的自然数集与包括“0”的自然数集可以在下面的对应规则下看作是“完全一样”的：n→n＋1，从代数学的观点来看它们是“同构”的。

这样我们说明了把“0”作为自然数，不会影响其“序数功能”。

结论
既然“0”加盟到自然数集合中，只有好处，没有坏处，我们为什么不欢迎“0”作为自然数集合的一个成员呢?即“0”作为自然数是理所当然的，而不仅仅是一种“规定”。

这可帮助我们更好地理解自然数和它的功能，也可帮助我们养成一个良好的习惯，即学习一个数学概念时，不但要记住和理解“定义”和“规定”，还要思考这些“定义”和“规定”后面的数学含义。

二、斜率也就是tan的角度，直线与X轴平行斜率等于0，也就是tan0=0直线与Y轴平行，也就是与X成90度，也就是tan90=无穷大，所以不存在
tan是对边比邻边
因为从0-90度，对边越来越大，而邻边越来越小，到90度的时候，邻边为0了，而0不能作为除数，所以不存在tan90
三、在高中人教A版教材中有这样一句话：“两个实数可以比较大小，但是两个复数，如果不全是实数，它们之间就不能比较大小，只能说相等或者不相等。

”对于这一点，在讲课的时候老师都会给学生说明复数集内是不定义大小的。

可是学生却常常不能理解，为什么复数就不能定义大小呢？
学生提出这样的问题：因为（3+3i)-(1+2i)>0，所以3+2i>1+2i．既然3+2i与1+2i 都可以比较出大小，那么复数为什么就不能比较大小呢？当然，这里学生把实数不等式的性质a-b>0则a>b错误的用到了复数范围内，但是，学生提出这样的疑问，如果教师不能给出一个合理的解释，是很难让学生信服的。

有的教师解释成复数对应平面内的点，所以不能比较大小，这样不仅不能给学生一个正确的解答，还会给学生造成思维的混乱，不利于学生对数的认识。

一、数集的结构和数系的扩充：
人们通常在数集上建立两种结构：运算结构与序结构。

比较大小就是研究序结构。

大小作为一种关系，通常要求满足下面的两个条件：
（1）对于集合中的任意两个元a，b，下面三种关系必有一种成立且仅有一种成立：a>b，a=b，a<b；
（2）如果a>b，b>c，则a>c．
为了使序结构与运算结构谐调，大小关系还要满足下面的两个条件：
（3）如果a>b，c>0，则ac>bc；
（4）如果a>b，则a+c>b+c．
在数系的扩充过程中，如果在新的数系中定义运算关系与序关系，要使得原数系中的数仍然保持原有的运算与大小关系。

二、复数系无法定义与运算结构谐调的大小关系：
其实，在复数系内定义一种大小关系很容易。

比较容易想到的一种定义方式是：对于两个复数a+bi与c+di，如果a>c，则a+bi>c+di；如果a=c，则若b>d 则a+bi>c+di．这样的定义方式很显然满足大小关系的条件（1）与（2）。

但是，它不能满足条件（3）与（4）。

因为，按照这样的定义方式，ｉ>0，根据性质（3），i*i>i*0，即-1>0，这显然与其自己定义的大小关系相矛盾。

也就是说，这样定义的大小关系是不能够与其运算结构相谐调的。

我们可以一般的证明在复数系内不可能定义一种大小关系与其运算结构相谐调：
如果i>0，根据性质（3），i*i>i*0，即-1>0，根据性质（4）-1+1>0+1，即0>1，因为-1>0，根据性质（3）(-1)*0>1*(-1)，即0>-1．-1>0与0>-1同时成立，显然不符合性质（1）；
如果0>i，根据性质（4），0+(-i)>i+(-i)，即-i>0，根据性质（3），0*(-i)>i*(-i)，即0>1，因为-i>0，根据性质（3），0*(-i)>1*(-i)，即0>-i．-i>0与0>-i 同时成立，显然不符合性质（1）。

由此可见，在复数集内可以定义一种大小关系，但不能定义与其运算结构相谐调的大小关系。

而作为数集，如果其大小关系不能与运算谐调，就显得意义不大了。

结果虽然有些不尽人意，但事实如此，我们也只能感到遗憾了。

三、关于不等式
由于复数集不定义大小，所以在复数系内也不研究不等式的。

实数系内不等式的性质也只能在实数系内应用，不能推广到复数系内。

四、函数概念的发展经历了一个漫长的过程。

在现行教材中，分别在初中、
高中、
大学都介绍了函数，细心的老师可以发现定义是有一些不同（主要是初中与高中或大学有差别）。

x和，如果对于x在某一定义1（初中）在某一变化过程中，有两个变量y
范围内的每一个确定的值，按照某种对应关系，y 都有唯一确定的值和它对应，那么就把y 称为x 的函数，y 称为因变量。

定义2（高中或大学） 设B A 和是两个集合，如果按照某种对应关系，使A 的任何一个元素在B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应关系称为从集合A 到集合B 的函数。

定义3（高中或大学） 从集合A 到集合B 的映射B A f →:，称为从集合A 到集合B 的函数。

简称为函数f 。

定义4（大学） 从集合A 到集合B 的函数f 是满足以下条件的从A 到B 的一个关系：
1）A f D =)(；
2）如果f z x f y x ∈∈),(,),(，那么z y =。

五、从欧氏环理论看多项式的因式分解
什么是欧氏环？其实大家所熟知的整数环、多项式环等都是欧氏环。

我们先对整数环做一分析。

整数环),,(⨯+Z 中的两个运算分别具有以下运算规律，即
加法：1P ：交换律；2P ：结合律；3P ：有零元；4P
：每个元有负元。

乘法：5P ：交换律；6P ：结合律；7P ：有单位元；8P ：消去律。

9P ：乘法对加法具有分配律 。

10P ：存在映射}0{:⋃→Φ+Z Z ，且满足条件：
1）0)(=Φa 当且仅当0=a ；
2）Z b a ∈∀,，)()()(b a ab ΦΦ=Φ；
3）给定Z b a ∈,，0≠b ，则存在Z r q ∈,，使得r bq a +=，且)()(b r Φ<Φ。

如，可定义映射||)(a a =Φ等，应该说这种映射有无穷多个。

定义1 设M 是带有“加法”、“乘法”运算的集合，若满足上述的101P P -，则称M 是欧氏环（映射}0{:⋃→Φ+Z M ）。

可以证明，多项式环)]([x f F 是欧氏环。

只需定义映射}0{][:⋃→Φ+Z x F 为：
⎩⎨⎧≠==Φ0)(2
0)(0))(())(deg(x f x f x f x f 当，当，， 其中，))(deg(x f 表示多项式)(x f 的次数。

显然，这样的映射也有无穷多个。

定义2 欧氏环M 中的元素u 称为M 的单位，如果存在M v ∈，使得
1=uv 。

定义3 设b a ,是欧氏环M 的元素，若存在M c ∈，使得bc a =，则说b 是a 的一个因子，用a b |表示。

若a b |，且b a |，则说b 与a 相伴，记为a b ~。

若a b |，但b 与a 不相伴，且b 不是单位，则说b 是a 的一个真因子。

定义4 设p 是欧氏环M 的元素，p 是非零元且不是单位，若p 可唯一地表示为),)((M b a ba ab ∈或，则a 是单位或b 是单位，就说p 是M 的一个不可约元。

否则称为可约元。

定义5 设b a ,是欧氏环M 的元素，M d ∈且满足
1）a d |， b d |；
2）M c ∈∀，若a c |，且b c |，则d c |，
那么d 叫做a 和b 的一个最大公因子。

引理1 欧氏环M 的元素u 是单位的充要条件是1)(=Φu 。

定理1 在欧氏环M 中，每个非零元a 都可以分解成
n p p up a 21=，
其中，u 是单位，n p p p ,,,21 都是M 的不可约元。

引理2 设b a ,是欧氏环M 的两个元素，则它们必有最大公因子d ，且存在M t s ∈,，使得
tb sa d +=。

引理3 设p 是欧氏环M 的不可约元，M c b ∈,，若bc p |，则b p |或c p |。

推论 设p 是欧氏环M 的不可约元，M b b b n ∈,,,21 ，若n b b b p 21|，则p 必是n b b b ,,,21 中某个),,2,1(n i b i =的因子。

定理2 设a 是欧氏环M 的非零元，并且若
m n q q vq p p up a 2121==
其中v u ,是M 的单位，j i q p ,是M 的不可约元，那么n m =，且将j i q p ,的标号重排后，可以是i p 与i q 相伴。

利用上述理论便可回答例1中提出的几个问题。

六、古希腊柏拉图时代留下尺规作图三大难题：三等分角问题，倍立方问题，化圆为方问题。

下面我们将利用扩域理论来解答这些问题。

从这些问题解决的途径，可以看到代数方法与几何问题之间的密切关系。

尺规作图假设
(1)只用不带刻度的直尺及圆规作为作图工具。

(2)通过有限步作出所要求的图形。

(3)要求的作图问题能够化为平面作图问题。

根据上面的尺规作图假设，尺规作图能够完成以下作图工作：通过两个已知点作直线；以已知点为圆心、已知长度为半径作圆；求两条相交直线的交点；求直线与圆的交点；求两个圆的交点。

下面我们分析几何作图的代数含义：如果把两个已知点之间的线段长与一个实数对应，把直线上的点看成一个线性方程的根，圆上的点看成一个二次方程的根，而几何图形(直线、圆)的交点看成一次或二次方程组的根。

说一个几何量可以用尺规作图法得到，当且仅当这个几何量作为几何图形（直线与圆）的交点之间线段长所对应的代数量可以通过有限次尺规作图法而求出。

我们有下面定理
定理3.3.1 尺规作图能求出的几何量必含于有理数域的一个扩域E，且E 是通过有理数域作有限步2次扩张得到。

因此|E:F|=2n。

反过来，具有上面性质的扩域E中的任何复数作为复平面上的点都能通过尺规作图求出。

证利用初等几何方法容易知道，在确定单位长度线段之后尺规作图法能求出任何整数。

已知线段a与b，则通过尺规作图能求出a/b（图1），因此尺规作图能求出任何有理数。

若能作出线段x，y，则尺规作图能作出x±y，xy，x/y 。

因此尺规作图只要能作出一个量α，则就能作出有理数域Q的扩域Q(α)。

a
a/b
1
b
图1
求已知直线、已知圆之间的交点实际上相当于解下面三种方程组:
(1)11122200
a x
b y
c a x b y c ++=⎧⎨++=⎩ (2)1112222200a x b y c x y a x b y c ++=⎧⎨++++=⎩
(3)111222222200
x y a x b y c x y a x b y c ⎧++++=⎪⎨++++=⎪⎩ 其中a i 、b i 、c i 是有理数。

(1)的解含于有理数域，(2)、(3)的解最终化为方程ax 2+bx+c=0的解，其中a 、b 、c 是有理数。

x=21(4)2b b ac a
-±-。

记α=b 2-4ac ，则x ∈Q(α)。

记E=Q(α)。

当α∉Q 时，|E ：Q|=2。

反复这一作图过程，能求出有理数域上逐次出的2次扩域中的几何量。

反过来，对于复平面上的已知点α，能用初等几何的方法借助尺规作图求出β使β2=α，因为条件β2=α等价于条件α：β=β：1。

由此扩域Q(α)中的复数都能通过上面的方法由尺规作图作出。

定理3.3.2 尺规作图不能三等分任意角。

证 只须证明尺规作图不能三等分α=
3
π。

三等分α的充要条件是求出几何量x=cos 3α。

但易知 (cos 3α+ i sin 3
α)3=12+32 i 于是 cos 33α - 3cos 3α sin 2 3
α = 12 因此 x=cos 3
α是方程8x 3-6x-1=0的根。

容易知道这一方程没有有理根，因为否则若x=a b ∈Q 是这一方程的根，假定a b
是既约分数，则8a 3-6ab 2- b 3=0，因此a| b 3。

由a b
的既约性 a=±1。

可设a=1，于是2|b 。

设b=2b 1,则1-3b 12-b 13=0，b 12（b 1+3）=1，这不可能。

说明 f(x)= 8x 3-6x -1是有理数域上的不可约多项式。

假定x=η是方程8x 3-6x -1=0的一个根，则|Q （η）：Q|=3，由定理3.3.1 η
不能由尺规作图得到。

定理3.3.3 倍立方问题不能由尺规作图完成。

证倍立方问题相当求几何量32。

但因为多项式x3-2在有理系数上不可约，因此|Q(32):Q|=3。

由定理3.3.1 32不能由尺规作图完成。

化圆为方问题是要求作一个圆使其面积等于已知正方形的面积。

它相当于求方程x2-π=0 的根，其中π是圆周率。

这是一个与上面两个作图问题性质不相同的问题。

1882年德国数学家Ferdinand Lindemann证明了下面定理:
定理(Lindemann) π不是任何有理系数多项式的根。

因此π也不是任何有理系数多项式的根，因此由定理3.3.1化圆为方问题也不可能由尺规作图法解决。

七、正七边形不能尺规作图
引理3.4.1 m≥2,若2m+1是素数,则m=2n。

证若m=2k+1奇，则22k+1+1=(2+1)(22k-22k-1+…+22-2+1), 3|22k+1+1,
因此m奇且m≥3 时2m+1是合数。

另一方面只要m有奇素因子p，则
2p+1|2m+1，这时2m+1也是合数，引理得证。

定义若p=22n+1是素数,则p称为Fermat素数。

定理3.4.2 设p是素数，则正p边形可用尺规作图法作出当且仅当p
是Fermat素数.
证明正p边形作图问题相当于求方程x p-1=0的不等于1的根，也就
是求方程
x p-1+ x p-2+…+x+1=0
的根。

记f(x)= x p-1+…+x+1，则
f(x+1)=(1)1
(1)1
p
x
x
+-
+-
= x p-1+1
p
c x p-2+…+2p p c-x+1p p c-
由于1≤i≤p-1时p|i
p
c,但p2†1p p c-，于是由Eisenstein法则f(x+1)在有理数域上
不可约，因此f(x)在有理数域上也不可约。

设α是f(x)=0的一个根，则|Q(α):Q|=p -1。

由定理3.3.1 α可以由尺规作图得到当且仅当p -1=2m ，这时p=2m +1是Fermat 素数，定理得证。

推论3.4.3 正n 边形能用尺规作图法作出当且仅当n=2a p 1p 2…p t ，其中p 1，p 2，…，p t 是互不相同的Fermat 素数。

证 设α是n 次本原单位根，也就是说每个其它n 次单位根都是α的方幂。

假定n 的标准分解式是n=t a t a a a p p p 21212，则α是一个次数为
ϕ(n)= )1()1)(1(22111211121-------t a t a a a p p p p p p t
的不可约整系数多项式的根，ϕ(n)是n 的欧拉函数。

由定理3.2.6 |Q(α):Q|=ϕ(n)。

由定理3.3.1 正n 边形能用尺规作图法作出当且仅当ϕ(n)是2的方幂，此条件等价于每a i =1且每p i -1=2u ，p i =2u +1是Fermat 素数，推论3.4.3得证。

迄今为止我们一共只知道五个Fermat 素数：3、5、17、257、257、65537。

是否还存在其它Fermat 素数，这是一个尚未解决的数论难题。

但是定理3.4.2把这一数论问题与尺规作图问题联系起来。

正三角形的尺规作图是简单的，正五边行尺规作图早在古希腊时期就已经知道。

1796年19岁的高斯给出了正17边形的尺规作图。

高斯首先发现了Fermat 素数的数论问题与尺规作图的几何问题之间的关系。

此后德国数学家F.J.Richelot 于1832年给出了正257边形的尺规作图法，1909年德国数学家O.Hermes 花了十年时间解决了正65537边形的尺规作图法。