2020版高考数学一轮复习课时作业54抛物线理(含解析)新人教版
【人教版】2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业 (55)
课时作业55 抛物线1．(2019·广东珠海模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，P A ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于( B )A.7π12 B ．2π3 C.3π4D ．5π6解析：由抛物线y 2＝4x 知焦点F 的坐标为(1,0)，准线l 的方程为x ＝－1，由抛物线定义可知|P A |＝|PF |＝4，所以点P 的坐标为(3,23)，因此点A 的坐标为(－1,23)，所以k AF ＝23－0－1－1＝－3，所以直线AF的倾斜角等于2π3，故选B.2．(2019·湖北四地七校联考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，点C (－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( D )A ．y 2＝4xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x解析：因为AB ⊥x 轴，且AB 过点F ，所以AB 是焦点弦，且|AB |＝2p ，所以S △CAB ＝12×2p ×⎝⎛⎭⎪⎫p 2＋4＝24，解得p ＝4或－12(舍)，所以抛物线方程为y 2＝8x ，所以直线AB 的方程为x ＝2，所以以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2＝－8x ，故选D.3．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为45，则抛物线C 的方程为( C )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．x 2＝2yD ．x 2＝y解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2py ，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4p ，y ＝8p ，即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p )，则(4p )2＋(8p )2＝45，得p ＝1(舍去负值)， 故抛物线C 的方程为x 2＝2y .4．(2019·河南百校联盟联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且|MO |＝|MF |＝32(O 为坐标原点)，则OM →·MF →＝( A )A ．－74 B ．74 C.94D ．－94解析：不妨设M (m ，2pm )(m ＞0)，易知抛物线C 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，因为|MO |＝|MF |＝32， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2pm ＝94，m ＋p 2＝32，解得m ＝12，p ＝2，所以OM →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，2，MF →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，－2， 所以OM →·MF →＝14－2＝－74.故选A.5．如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( A )A.|BF |－1|AF |－1 B ．|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D ．|BF |2＋1|AF |2＋1解析：过A ，B 点分别作y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ， 则|AM |＝|AF |－1，|BN |＝|BF |－1.可知S △BCF S △ACF ＝12·|CB |·|CF |·sin ∠BCF12·|CA |·|CF |·sin ∠BCF ＝|CB ||CA |＝|BN ||AM |＝|BF |－1|AF |－1，故选A.6．(2019·江西六校联考)已知抛物线C ：y 2＝23x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的射影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝( B )A ．8B ．2 3C ．4 3D ．8 3解析：法一：不妨设点P 在x 轴上方，如图，由抛物线定义可知|PF |＝|PM |，|QF |＝|QN |，设直线PQ 的倾斜角为θ，则tan θ＝3，所以θ＝π3， 由抛物线焦点弦的性质可知， |PF |＝p 1－cos θ＝31－cos π3＝23， |QF |＝p1＋cos θ＝31＋cos π3＝233， 所以|MN |＝|PQ |·sin θ＝(|PF |＋|QF |)·sin π3＝833×32＝4， 所以S △MFN ＝12×|MN |×p ＝12×4×3＝23，故选B. 法二：由题意可得直线PQ ：y ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －32＝3x －32，与抛物线方程y 2＝23x 联立，得⎝⎛⎭⎪⎫3x －322＝23x ，即3x 2－53x ＋94＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝533， 所以|PQ |＝x 1＋x 2＋p ＝533＋3＝833， 所以|MN |＝|PQ |sin π3＝4，所以S △MNF ＝12×4×3＝23，故选B.7．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．当水面宽为2 6 m 时，水位下降了 1 m.解析：以抛物线的顶点为坐标原点，水平方向为x 轴建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p ＞0)，把(2，－2)代入方程得p ＝1，即抛物线的标准方程为x 2＝－2y .将x ＝6代入x 2＝－2y 得：y ＝－3，又－3－(－2)＝－1，所以水面下降了1 m.8．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a ＜b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p ＞0)经过C ，F 两点，则b a＝ 1＋2 .解析：|OD |＝a2，|DE |＝b ，|DC |＝a ，|EF |＝b ，故C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，b ， 又抛物线y 2＝2px (p ＞0)经过C 、F 两点，从而有⎩⎪⎨⎪⎧(－a )2＝2p ×a 2，b 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝p ，b 2＝ap ＋2bp ， ∴b 2＝a 2＋2ab ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－2·ba －1＝0，又b a ＞1，∴ba ＝1＋ 2.9．已知抛物线C 1：y ＝ax 2(a ＞0)的焦点F 也是椭圆C 2：y 24＋x 2b 2＝1(b ＞0)的一个焦点，点M ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1分别为曲线C 1，C 2上的点，则|MP |＋|MF |的最小值为 2 .解析：将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1代入到y 24＋x 2b 2＝1中，可得14＋94b 2＝1，∴b ＝3，∴c ＝1，∴抛物线的焦点F 为(0,1)，∴抛物线C 1的方程为x 2＝4y ，准线为直线y ＝－1，设点M 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义可知|MF |＝|MD |，∴要求|MP |＋|MF |的最小值，即求|MP |＋|MD |的最小值，易知当D ，M ，P 三点共线时，|MP |＋|MD |最小，最小值为1－(－1)＝2.10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为 6 . 解析：由抛物线方程为y 2＝6x ，所以焦点坐标F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32，因为直线AF 的斜率为－3，所以直线AF 的方程为y ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，画图象如图．当x ＝－32时，y ＝33，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，33，因为P A ⊥l ，A 为垂足，所以点P 的纵坐标为33，可得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，33， 根据抛物线的定义可知 |PF |＝|P A |＝92－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝6.11．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．证明：(1)由已知得抛物线焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0.由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ， 得y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0在抛物线内部，所以直线与抛物线必有两交点． 则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根， 所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2， 所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2， 所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24. 因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2(|AB |－p )＋p 24＝2p (定值)．(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，如图所示，分别过A ，B 作准线l 的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线l 的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |) ＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |.所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．12．(2019·武汉调研)已知直线y ＝k (x －2)与抛物线Γ：y 2＝12x 相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作y 轴的垂线交Γ于点N .(1)证明：抛物线Γ在点N 处的切线与直线AB 平行；(2)是否存在实数k 使NA →·NB →＝0？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由⎩⎨⎧y ＝k (x －2)，y 2＝12x消去y 并整理，得2k 2x 2－(8k 2＋1)x ＋8k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k 2＋12k 2，x 1x 2＝4， ∴x M ＝x 1＋x 22＝8k 2＋14k 2，y M ＝k (x M －2)＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2＋14k 2－2＝14k. 由题设条件可知，y N ＝y M ＝14k ，x N ＝2y 2N ＝18k 2， ∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫18k 2，14k . 设抛物线Γ在点N 处的切线l 的方程为 y －14k ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －18k 2，将x ＝2y 2代入上式， 得2my 2－y ＋14k －m8k 2＝0. ∵直线l 与抛物线Γ相切，∴Δ＝1－4×2m ×⎝ ⎛⎭⎪⎫14k －m 8k 2＝(m －k )2k 2＝0，∴m ＝k ，即l ∥AB .(2)假设存在实数k ，使NA →·NB →＝0， 则NA ⊥NB .∵M 是AB 的中点，∴|MN |＝12|AB |. 由(1)，得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2＋12k 22－4×4 ＝1＋k 2·16k 2＋12k 2. ∵MN ⊥y 轴，∴|MN |＝|x M －x N |＝8k 2＋14k 2－18k 2＝16k 2＋18k 2.∴16k 2＋18k 2＝121＋k 2·16k 2＋12k 2，解得k ＝±12.故存在k ＝±12，使得NA →·NB →＝0.13．(2019·福建六校联考)已知抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交E 于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，其垂直平分线交x 轴于点C ，MN ⊥y 轴于点N .若四边形CMNF 的面积等于7，则抛物线E 的方程为( C )A ．y 2＝xB ．y 2＝2xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：由题意，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线AB 的方程为y ＝x －p2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，联立y ＝x －p2和y 2＝2px 得，y 2－2py －p 2＝0，则y 1＋y 2＝2p ，所以y 0＝y 1＋y 22＝p ，故N (0，p )，又因为点M 在直线AB 上，所以x 0＝3p 2，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2，p ，因为MC ⊥AB ，所以k AB ·k MC ＝－1，故k MC ＝－1，从而直线MC 的方程为y ＝－x ＋52p ，令y ＝0，得x ＝52p ，故C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5p 2，0，四边形CMNF 的面积可以看作直角梯形CMNO 与直角三角形NOF 的面积之差， 即S 四边形CMNF ＝S 梯形CMNO －S △NOF ＝ 12⎝ ⎛⎭⎪⎫52p ＋32p ·p －12p ·p 2＝74p 2＝7，∴p 2＝4，又p ＞0，∴p ＝2，故抛物线E 的方程为y 2＝4x ，故选C. 14．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°，过AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为( A ) A.33 B ．1 C.233 D ．2 解析：过A ，B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，如图，由题意知|MN |＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)， 在△AFB 中，|AB |2＝|AF |2＋|BF |2－2|AF ||BF |·cos120°＝|AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF |，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN ||AB |2＝14·|AF |2＋|BF |2＋2|AF ||BF ||AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF | ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋|AF ||BF ||AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF | ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1|AF ||BF |＋|BF ||AF |＋1 ≤14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋1＝13， 当且仅当|AF |＝|BF |时取等号， ∴|MN ||AB |的最大值为33. 15．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 (2,4) . 解析：如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)． 当l 的斜率k 不存在时，符合条件的直线l 必有两条． 当k 存在时，x 1≠x 2， 则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2， 又y 1＋y 2＝2y 0，所以y 0k ＝2.由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1， 即y 0k ＝5－x 0，因此2＝5－x 0，x 0＝3， 即M 必在直线x ＝3上． 将x ＝3代入y 2＝4x ， 得y 2＝12，则有－23＜y 0＜2 3. 因为点M 在圆上，所以(x 0－5)2＋y 20＝r 2， 故r 2＝y 20＋4＜12＋4＝16. 又y 20＋4＞4(为保证有4条，在k 存在时，y 0≠0)， 所以4＜r 2＜16，即2＜r ＜4. 16．(2019·武汉调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N . (1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值； (2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程． 解：(1)可设AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入抛物线C ，得 x 2－2pkx －2p ＝0，显然方程有两个不等实根， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .① 又x 2＝2py ，得y ′＝x p ， 则A ，B 处的切线斜率乘积为x 1x 2p 2＝－2p ＝－1， 则有p ＝2. (2)设切线AN 为y ＝x 1p x ＋b ， 又切点A 在抛物线y ＝x 22p 上， ∴y 1＝x 212p ，∴b ＝x 212p －x 21p ＝－x 212p ， ∴y AN ＝x 1p x －x 212p .同理y BN ＝x 2p x －x 222p .又∵N 在y AN 和y BN 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 1p x －x 212p ，y ＝x 2p x －x 222p ，解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 22p . ∴N (pk ，－1)． |AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2·4p 2k 2＋8p ， 点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k 2， S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p (pk 2＋2)3≥22p ， ∴22p ＝4，∴p ＝2. 故抛物线C 的方程为x 2＝4y .。
2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7讲抛物线讲义(理)(含解析)
第7讲抛物线[考纲解读] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质(范围、对称性、顶点、准线)．(重点)2.能根据几何性质求最值，能利用抛物线的定义进行灵活转化，并能理解数形结合思想，掌握抛物线的简单应用．(难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容．预测2020年高考将会考查：①抛物线的定义及其应用；②抛物线的几何性质；③直线与抛物线的位置关系及抛物线与椭圆或双曲线的综合．试题以选择题、填空题、解答题形式呈现，灵活多变、技巧性强，具有一定的区分度．试题中等偏难.1．抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做01焦点，直线l叫做抛物线的□02准线．抛物线的□2．抛物线的标准方程与几何性质3．必记结论(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．(2)y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4.(3)直线AB 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图．①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.②|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . ③1|AF |＋1|BF |为定值2p . ④弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)．⑤以AB 为直径的圆与准线相切．⑥焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°.1．概念辨析(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，准线方程是x ＝－a4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a .( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．小题热身(1)若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716B.1516C.78 D ．0答案 B解析 M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y＋116＝1，∴y ＝1516. (2)已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( )A ．y 2＝±22x B ．y 2＝±2x C ．y 2＝±4x D ．y 2＝±42x答案 D解析 ∵双曲线x 2－y 2＝1的焦点坐标为(±2，0)， ∴抛物线C 的焦点坐标为(±2，0)．设抛物线C 的方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝ 2.∴p ＝22，∴抛物线C 的方程是y 2＝±42x .故选D.(3)若过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．64 答案 B解析 由抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为y ＝x －2，代入y 2＝8x ，得(x －2)2＝8x ，即x 2－12x ＋4＝0，所以x 1＋x 2＝12，弦长为x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.故选B.(4)抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，－132解析 由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .∴2p ＝18，p ＝116，∴焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－132.题型 一 抛物线的定义及应用(2016·浙江高考)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点F 的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．答案 9解析 设M (x 0，y 0)，由抛物线的方程知焦点F (1,0)．根据抛物线的定义得|MF |＝x 0＋1＝10，∴x 0＝9，即点M 到y 轴的距离为9.条件探究1 将举例说明条件变为“过该抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝3”，求△AOB 的面积．解 焦点F (1,0)，设A ，B 分别在第一、四象限，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得点A 的横坐标为2，纵坐标为22，AB 的方程为y ＝22(x －1)，与抛物线方程联立可得2x 2－5x ＋2＝0，所以点B 的横坐标为12，纵坐标为－2，所以S △AOB ＝12×1×(22＋2)＝322. 条件探究 2 将举例说明条件变为“在抛物线上找一点M ，使|MA |＋|MF |最小，其中A (3,2)”．求点M 的坐标及此时的最小值．解如图，点A在抛物线y2＝4x的内部，由抛物线的定义可知，|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|，其中|MH|为点M到抛物线的准线的距离．过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1，垂足为B，则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|≥|AB|＝4，当且仅当点M在M1的位置时等号成立．此时点M的坐标为(1,2)．利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．(3)看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．1．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，且点A在第一象限，|AF|＝3|BF|，则直线l的斜率为( )A.33B.32C. 3 D．3答案 C解析设抛物线的准线交x轴于F′，分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，直线l交准线于C，如图所示：则|AA ′|＝|AF |，|BB ′|＝|BF |，|AF |＝3|BF |，|AN |＝2|BF |，|AB |＝4|BF |，cos ∠NAB ＝12，∠NAB ＝60°，则直线l 的斜率为 3. 2．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．3 C. 5 D.92答案 A解析 如图所示，A (0,2)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，由抛物线的定义知|PP ′|＝|PF |，∴|AP |＋|PP ′|＝|AP |＋|PF |≥|AF |＝14＋4＝172.故选A. 题型 二 抛物线的标准方程和几何性质1．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－y D ．y 2＝－x 或x 2＝－8y答案 D解析 设抛物线为y 2＝mx ，代入点P (－4，－2)，解得m ＝－1，则抛物线方程为y 2＝－x ；设抛物线为x 2＝ny ，代入点P (－4，－2)，解得n ＝－8，则抛物线方程为x 2＝－8y .2．已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，若△FPM 为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为_______．答案 x 2＝4y解析 △FPM 为等边三角形，则|PM |＝|PF |，由抛物线的定义得PM 垂直于抛物线的准线，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22p ，则点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－p 2，因为焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，△FPM 是等边三角形， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m 22p ＋p2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 22＋m 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝12，p ＝2，所以抛物线方程为x 2＝4y .1．求抛物线标准方程的方法(1)抛物线的标准方程有四种不同的形式，要掌握焦点到准线的距离，顶点到准线、焦点的距离，通径长与标准方程中系数2p 的关系．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．2．抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．1．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8y D ．x 2＝16y答案 D解析 双曲线的离心率e ＝ca＝1＋b 2a 2＝2，所以b a ＝3，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x 即 y ＝±3x ，抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，焦点到渐近线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 21＋32＝p4＝2，所以p ＝8，所以抛物线C 2的方程为x 2＝16y . 2．(2018·枣庄二模)抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3,1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为( )A.43 B ．－43 C ．±43 D ．－169 答案 B解析 令y ＝1，代入y 2＝4x 可得x ＝14，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.由抛物线的光学性质可知，直线AB 经过焦点F (1,0)，所以k ＝1－014－1＝－43.故选B. 题型 三 直线与抛物线的综合问题角度1 直线与抛物线的交点问题1．(2018·北京高考)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．答案 (1,0)解析 由已知，直线l ：x ＝1，又因为l 被抛物线截得的线段长为4，抛物线的图象关于x 轴对称，所以点(1,2)在抛物线上，即22＝4a ×1，解得a ＝1.故抛物线的方程为y 2＝4x ，焦点坐标为(1,0)．2．(2018·长郡中学新高三实验班选拔考试)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)及点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2，动直线l ：y ＝kx ＋1与抛物线C 交于A ，B 两点，若直线AD 与BD 的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π.(1)求抛物线C 的方程；(2)若H 为抛物线C 上不与原点O 重合的一点，点N 是线段OH 上与点O ，H 不重合的任意一点，过点N 作x 轴的垂线依次交抛物线C 和x 轴于点P ，M ，求证：|MN |·|ON |＝|MP |·|OH |.解 (1)把y ＝kx ＋1代入x 2＝2py 得x 2－2pkx －2p ＝0，设A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，x 212p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 222p ，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p . 由α＋β＝π可知，直线AD 的斜率与直线BD 的斜率之和为零，所以x 212p ＋p 2x 1＋x 222p ＋p 2x 2＝0，去分母整理得(x 1＋x 2)(x 1x 2＋p 2)＝0，即2pk (p 2－2p )＝0，由该式对任意实数k 恒成立，可得p ＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)证明：设过点N 的垂线方程为x ＝t (t ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，x 2＝4y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 24，即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 24.令|MN ||MP |＝λ，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，λt 24， 所以直线ON 的方程为y ＝λt4x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝λt 4x ，x 2＝4y且x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λt ，y ＝λ2t 24，即点H ⎝⎛⎭⎪⎫λt ，λ2t 24，所以|OH ||ON |＝x H x N ＝λt t ＝λ，所以|MN ||MP |＝|OH ||ON |，即|MN |·|ON |＝|MP |·|OH |. 角度2 与抛物线弦中点有关的问题3．(2018·郑州模拟)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m ＞0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14m .(2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.(3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)＞0⇒m ＞－12.设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m，x 1x 2＝－2m.(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，mx 21＋mx 222，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，y P ， ∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，1m . 得QA →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1－1m，mx 21－1m ，QB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1m，mx 22－1m ，若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 21－1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 22－1m ＝0，结合(*)化简得－4m2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，－12∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. ∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．1．直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组． (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决． 2．解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：为了回避讨论直线斜率存在和不存在，可以灵活设直线方程，见巩固迁移2.1．已知直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(4,4)，则线段AB 的中点到准线的距离是________．答案 258 解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1，所以k AF ＝4－04－1＝43. 所以直线l 的方程为y －0＝43(x －1)， 即y ＝43(x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，y ＝43x －1消去y ，整理得4x 2－17x ＋4＝0， 所以线段AB 的中点的横坐标为178. 所以线段AB 的中点到准线的距离是178－(－1)＝258. 2．(2018·衡水模拟)已知抛物线C ：y 2＝ax (a >0)上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12到焦点F 的距离为2t . (1)求抛物线C 的方程；(2)抛物线上一点A 的纵坐标为1，过点Q (3，－1)的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点(均与点A 不重合)，设直线AM ，AN 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值．解 (1)由抛物线的定义可知|PF |＝t ＋a 4＝2t ，则a ＝4t ，由点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12在抛物线上，则at ＝14.所以a ×a 4＝14，则a 2＝1， 由a >0，则a ＝1，故抛物线的方程为y 2＝x .(2)证明：因为A 点在抛物线上，且y A ＝1.所以x A ＝1，所以A (1,1)，设过点Q (3，－1)的直线l 的方程为x －3＝m (y ＋1)．即x ＝my ＋m ＋3，代入y 2＝x 得y 2－my －m －3＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝m ，y 1y 2＝－m －3，所以k 1·k 2＝y 1－1x 1－1·y 2－1x 2－1 ＝y 1y 2－y 1＋y 2＋1m 2y 1y 2＋m m ＋2y 1＋y 2＋m ＋22 ＝－m －3－m ＋1m 2－m －3＋m m ＋2m ＋m ＋22＝－12， 为定值．。
【2020】人教版最新高中数学高考总复习抛物线习题及详解及参考答案
∴y1＋y2＝，y1·y2＝－4m.∴x1·x2＝m2，
∵以线段AB为直径的圆恒过原点，
∴OA⊥OB，∴x1·x2＋y1·y2＝0.
即m2－4m＝0⇒m＝0或4.当k不存在时，m＝0或4.
∴存在m＝0或4，使得以线段AB为直径的圆恒过原点．
[点评] (1)点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，即点P到定点F(1,0)的距离与到定直线l：x＝－1的距离相等．∴P点轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，∴p＝2，∴方程为y2＝4x.
[解析] (1)设B(x，y)，C(x0,0)，M(0，y0)，x0≠0，
∵⊥，∴∠ACB＝，
∴·＝－1，于是x02＝2y0①
M在y轴上且＝(＋)，
所以M是BC的中点，可得
，∴
把②③代入①，得y＝x2(x≠0)，
所以，点B的轨迹E的方程为y＝x2(x≠0)．
(2)点F，设满足条件的直线l方程为：
y＝kx－，H(x1，y1)，G(x2，y2)，
A.B．3
C.D.
[答案] A
[解析] 记抛物线y2＝2x的焦点为F，准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F与点(0,2)的距离，因此所求的最小值等于＝，选A.
[答案] D
[解析] 椭圆中，a2＝6，b2＝2，∴c＝＝2，
∴右焦点(2,0)，由题意知＝2，∴p＝4.
2．已知点M是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，F为抛物线的焦点，若以|MF|为直径作圆，则这个圆与y轴的关系是( )
2020高三数学一轮复习(人教版理)：课时作业59抛物线
(2)设点 M 在线段 AB 上运动，原点 O 关于点 M 的对称点为点 C，求
四边形 OACB 面积的最小值。
解 (1)依题意可得，抛物线的焦点为 F(1,0)，设直线 AB：x＝my＋1，将
x＝my＋1， 直线 AB 与抛物线联立y2＝4x
⇒y2－4my－4＝0。设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
答案 C
4．(2019·安徽一模)已知圆 C：(x－a)2＋y2＝1 与抛物线 y2＝－4x 的准线
相切，则 a 的值是( )
A．0
B．2
C．y2＝－4x 的准线方程为 x＝1，(x－a)2＋y2＝1 的圆心(a,0)到直线 x＝1 的距离为|a－1|，因为圆 C：(x－a)2＋y2＝1 与直线 x＝1 相切，所以|a －1|＝1，a＝0 或 a＝2。故选 D。
答案 4
10．已知直线 y＝a 交抛物线 y＝x2 于 A，B 两点。若该抛物线上存在点
C，使得∠ACB 为直角，则实数 a 的取值范围为________。
→ 解析 如图，设 C(x0，x20)(x20≠a)，A(－ a，a)，B( a，a)，则CA＝(－
→
→→
a－x0，a－x20)，CB＝( a－x0，a－x20)。因为 CA⊥CB，所以CA·CB＝0，
则 y1＋y2＝4m，y1y2＝－4。 因为A→F＝3F→B⇒y1＝－3y2⇒m2＝13，
所以斜率为m1 ＝ 3或－ 3。
(2)S 四边形 OACB＝2S△AOB＝2×12|OF||y1－y2|＝|y1－y2|＝ y1＋y22－4y1y2＝ 16m2＋16≥4，
当 m＝0 时，四边形 OACB 的面积最小，最小值为 4。
所以 N81k2，41k。 设抛物线 Γ 在点 N 处的切线 l 的方程为 y－41k＝mx－81k2，将 x＝2y2 代入上式，
2022版新高考数学一轮复习专题限时练习：54 抛物线 (含解析)
2022年新高考数学专题限时练习(五十四) 抛物线建议用时：40分钟一、选择题1．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝112y B ．x 2＝112y 或x 2＝－136y C ．x 2＝－136yD ．x 2＝12y 或x 2＝－36yD [将y ＝ax 2化为x 2＝1a y .当a >0时，准线y ＝－14a ，则3＋14a ＝6，∴a ＝112. 当a <0时，准线y ＝－14a ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋14a ＝6，∴a ＝－136.∴抛物线方程为x 2＝12y 或x 2＝－36y .]2．(2020·泰安模拟)已知抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，OF 为菱形OBFC 的一条对角线，另一条对角线BC 的长为2，且点B ，C 在抛物线E 上，则p ＝( )A ．1B ． 2C ．2D ．2 2B [由题意，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4，1在抛物线上，代入抛物线方程可得1＝p 22，∵p ＞0，∴p ＝2，故选B.]3．(2020·北京高考)设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l .P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线( )A ．经过点OB ．经过点PC．平行于直线OP D．垂直于直线OPB[如图所示：因为线段FQ的垂直平分线上的点到F，Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，|PQ|＝|PF|，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.]4．(多选)(2020·辽宁锦州月考)以下四个命题中，真命题的序号是()①平面内到两定点距离之比等于常数λ(λ≠1)的点的轨迹是圆；②平面内与定点A(－3,0)和B(3,0)的距离之差等于4的点的轨迹方程为x24－y25＝1；③点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是M，点A的坐标是A(1,0)，则|P A|＋|PM|的最小值是2＋1；④已知点P为抛物线y2＝4x上一个动点，点Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是17－1.A．①B．②C．③D．④AD[对于①，平面内到两定点的距离之比为定值(不等于1)的点的轨迹是圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆，所以①正确；对于②，根据题意，结合双曲线的定义，可知题中点的轨迹是双曲线的一支，所以②错误；对于③，根据题意，结合抛物线的定义，可求得|P A|＋|PM|的最小值应为2－1，所以③错误；对于④，根据抛物线的定义，可知抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离是相等的，将其转化为到焦点的距离，结合圆的相关性质可知④是正确的．]5．(多选)(2020·山东胶州一中月考)已知抛物线y2＝4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：4x－3y＋11＝0的距离为d2，则d1＋d2的取值可以为()A．3 B．4C. 5 D．10ABD[抛物线上的点P到准线的距离等于到焦点F(1,0)的距离，过焦点F作直线4x－3y＋11＝0的垂线，则F到直线的距离为d1＋d2的最小值，如图所示：所以(d1＋d2)min＝|4－0＋11|42＋(－3)2＝3，故选ABD.]6．(2020·江西萍乡一模)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线l：x ＝－1，点M在抛物线C上，点M在直线l：x＝－1上的射影为A，且直线AF的斜率为－3，则△MAF的面积为()A. 3 B．2 3C．4 3 D．8 3C[如图所示，设准线l与x轴交于点N.则|FN|＝2.∵直线AF的斜率为－3，∴∠AFN＝60°.∴∠MAF＝60°，|AF|＝4.由抛物线的定义可得|MA|＝|MF|，∴△AMF是边长为4的等边三角形．∴S△AMF＝34×42＝4 3.故选C.]二、填空题7．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(2,0)，则抛物线C的方程是________；若M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，且M为FN的中点，则|FN|＝________.y2＝8x6[抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(2,0)，可得p＝4，则抛物线C的方程是y2＝8x.由M为FN的中点，得M的横坐标为1，代入抛物线方程得y ＝±22，则M(1，±22)，则点N的坐标为(0，±42)，所以|FN|＝22＋(42)2＝6.]8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．26[建立平面直角坐标系如图所示，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意可知抛物线过点(2，－2)，故4＝4p，∴p＝1，∴x2＝－2y.故当y＝－3时，x2＝6，即x＝ 6.所以当水位降1米后，水面宽26米．]9．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作一条直线交抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.32[法一：由题意可知F(1,0)，设A(x A，y A)，B(x B，y B)，点A在第一象限，则|AF|＝x A＋1＝3，所以x A＝2，y A＝22，所以直线AB的斜率为k＝222－1＝2 2.则直线AB的方程为y＝22(x－1)，与抛物线方程联立整理得2x 2－5x ＋2＝0，x A ＋x B ＝52， 所以x B ＝12，所以|BF |＝12＋1＝32.法二：由1|AF |＋1|BF |＝2p 可知1|BF |＝1－13＝23， ∴|BF |＝32.] 三、解答题10.如图，抛物线的顶点在原点，圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心恰是抛物线的焦点．(1)求抛物线的方程；(2)一条直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A ，B ，C ，D 四点，求|AB |＋|CD |的值．[解] (1)设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)， ∵圆(x －2)2＋y 2＝22的圆心恰是抛物线的焦点， ∴p ＝4.∴抛物线的方程为y 2＝8x .(2)依题意直线AB 的方程为y ＝2x －4， 设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2＝8x ，得x 2－6x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝6，|AD |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋4＝10. |AB |＋|CD |＝|AD |－|CB |＝10－4＝6.11.如图，已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：GF 为∠AGB 的平分线．[解] (1)由抛物线定义可得|AF |＝2＋p2＝3，解得p ＝2.∴抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：∵点A (2，m )在抛物线E 上，∴m 2＝4×2，解得m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)，由A (2,22)，F (1,0)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或12，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又G (－1,0)，∴k GA ＝223，k GB ＝－223， ∴k GA ＋k GB ＝0，∴∠AGF ＝∠BGF . ∴GF 为∠AGB 的平分线．1．已知P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆(x －3)2＋(y －1)2＝1上的一个动点，N (1,0)是一个定点，则|PQ |＋|PN |的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．2＋1A [由抛物线方程y 2＝4x ，可得抛物线的焦点F (1,0)，又N (1,0)，所以N 与F 重合．过圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的圆心M 作抛物线准线的垂线MH ，交圆于Q ，交抛物线于P ，则|PQ |＋|PN |的最小值等于|MH |－1＝3.]2．(2020·济宁三模)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线C 的两个交点分别为A ，B ，且满足AF→＝2FB →，E 为AB 的中点，则点E 到抛物线准线的距离为( )A ．114B ．94C ．52D ．54B [由题意得抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1，设 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵AF →＝2FB →，∴|AF |＝2|BF |，∴x 1＋1＝2(x 2＋1)， ∴x 1＝2x 2＋1，∵|y 1|＝2|y 2|，∴y 21＝4y 22，∴x 1＝4x 2，∴x 1＝2，x 2＝12.∴线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为12[(x 1＋1)＋(x 2＋1)]＝94.故选B.] 3．已知点A (m,4)(m ＞0)在抛物线x 2＝4y 上，过点A 作倾斜角互补的两条直线l 1和l 2，且l 1，l 2与抛物线的另一个交点分别为B ，C .(1)求证：直线BC 的斜率为定值；(2)若抛物线上存在两点关于BC 对称，求|BC |的取值范围． [解] (1)证明：∵点A (m,4)在抛物线上， ∴16＝m 2，∴m ＝±4， 又m ＞0，∴m ＝4. 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则k AB ＋k AC ＝x 1＋44＋x 2＋44＝x 1＋x 2＋84＝0，∴x 1＋x 2＝－8.∴k BC ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 22－x 214(x 2－x 1)＝x 1＋x 24＝－2，∴直线BC 的斜率为定值－2.(2)设直线BC 的方程为y ＝－2x ＋b ，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)关于直线BC 对称，设PQ 的中点为M (x 0，y 0)，则k PQ ＝y 4－y 3x 4－x 3＝x 3＋x 44＝x 02＝12，∴x 0＝1.∴M (1，－2＋b )． 又点M 在抛物线内部， ∴－2＋b ＞14，即b ＞94.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋b ，x 2＝4y ，得x 2＋8x －4b ＝0， ∴x 3＋x 4＝－8，x 3x 4＝－4b . ∴|BC |＝1＋4|x 3－x 4|＝5·(x 3＋x 4)2－4x 3x 4 ＝5×64＋16b .又b ＞94，∴|BC |＞10 5.∴|BC |的取值范围为(105，＋∞)．1．(多选)(2020·黑龙江大庆一中月考)如图，过抛物线y 2＝8x 的焦点F ，斜率为k 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与抛物线准线交于C 点，若B 是AC 的中点，则( )A ．k ＝±2 B ．k ＝±2 2 C ．|AB |＝9D ．|AB |＝10BC [如图，设A ，B 在准线上的射影分别为D ，E ，连接AD ，BE ，设AB ＝BC ＝m ，直线l 的倾斜角为α，则|BE |＝m |cos α|，所以|AD |＝|AF |＝|AB |－|BF |＝|AB |－|BE |＝m (1－|cos α|)，|cos α|＝|AD ||AC |＝m (1－|cos α|)2m ，解得|cos α|＝13，所以|sin α|＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223，故|k |＝|tan α|＝2 2.由抛物线焦点弦的弦长公式|AB |＝2p sin 2α可得|AB |＝81－19＝9.综上，选BC. 或：由|cos α|＝13得tan α＝±22，可得直线方程．设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将直线方程与抛物线方程联立，进而可解得x A ＋x B ＝5，于是|AB |＝x A ＋x B ＋4＝9.故选BC.]2．(2020·静安区二模)已知抛物线Γ：y 2＝4x 的焦点为F ，若△ABC 的三个顶点都在抛物线Γ上，且F A →＋FB→＋FC →＝0，则称该三角形为“核心三角形”． (1)是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为(0,0)和(1,2)？请说明理由；(2)设“核心三角形”ABC 的一边AB 所在直线的斜率为4，求直线AB 的方程；(3)已知△ABC 是“核心三角形”，证明：点A 的横坐标小于2. [解] (1)抛物线Г：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，由F A →＋FB →＋FC →＝0，得1＝x A ＋x B ＋x C 3，0＝y A ＋y B ＋y C3，故第三个顶点的坐标为3(1,0)－(0,0)－(1,2)＝(2，－2)，但点(2，－2)不满足抛物线的方程，即点(2，－2)不在抛物线上，所以这样的“核心三角形”不存在．(2)设直线AB 的方程为y ＝4x ＋t ，与y 2＝4x 联立，可得y 2－y ＋t ＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， y 1＋y 2＝1，x 1＋x 2＝14(y 1＋y 2－2t )＝14－12t ， 由(x 1＋x 2＋x 3，y 1＋y 2＋y 3)＝(3,0)， 可得x 3＝12t ＋114，y 3＝－1， 代入方程y 2＝4x ，可得11＋2t ＝1， 解得t ＝－5，所以直线AB 的方程为4x －y －5＝0.(3)证明：设直线BC 的方程为x ＝ny ＋m ，与y 2＝4x 联立，可得y 2－4ny －4m ＝0，因为直线BC 与抛物线相交，故判别式Δ＝16(n 2＋m )＞0，y 1＋y 2＝4n ， 所以x 1＋x 2＝n (y 1＋y 2)＋2m ＝4n 2＋2m ， 可得点A 的坐标为(－4n 2－2m ＋3，－4n )， 又因为A 在抛物线上，故16n2＝－16n2－8m＋12，可得m＝－4n2＋3，2，因为m＞－n2，所以n2＜12故A的横坐标为－4n2－2m＋3＝－4n2＋8n2＝4n2＜2.。
山东2021新高考数学一轮复习第八章平面解析几何课时作业54抛物线含解析.doc
课时作业54 抛物线一、选择题1．已知抛物线的焦点在x 轴的负半轴上，若p ＝2，则其标准方程为( C ) A ．y 2＝－2x B ．x 2＝－2y C ．y 2＝－4x D ．x 2＝－4y解析：由题意知抛物线开口向左，且p ＝2，所以抛物线的标准方程为y 2＝－4x ，故选C.2．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( D )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：由题意，知抛物线的焦点坐标为(p 2，0)，椭圆的焦点坐标为(±2p ，0)，所以p2＝2p ，解得p ＝8，故选D.3．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点P (x 0，12)在C 上，且|PF |＝34，则p ＝( B )A.14 B.12 C.34D ．1解析：抛物线的准线方程为y ＝－p 2，因为P (x 0，12)在抛物线上，所以点P 到准线的距离d ＝12＋p 2＝|PF |＝34，则p ＝12，故选B.4．以抛物线y 2＝8x 上的任意一点为圆心作圆与直线x ＝－2相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是( B )A ．(0,2)B ．(2,0)C ．(4,0)D ．(0,4)解析：由题意得抛物线y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2，因为动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且与抛物线的准线相切，所以动圆必过抛物线的焦点，即过点(2,0)．故选B.5．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A (4，y 0)作AA 1⊥l 于点A 1，若∠A 1AF ＝2π3，则p ＝( C ) A ．6 B ．12 C ．24D ．48解析：∵∠A 1AF ＝2π3，∴∠AA 1F ＝∠AF A 1＝π6.设准线l 与x 轴的交点为B ，则|BF |＝p ，|A 1B |＝|BF |tan π6＝33p ，∴|AF |＝|A 1B |sin π3＝2p 3＝4＋p2，∴p ＝24，故选C.6．已知点F 是抛物线y ＝2x 2的焦点，M ，N 是该抛物线上的两点，若|MF |＋|NF |＝174，则线段MN 的中点的纵坐标为( B )A.32 B ．2 C.52D ．3解析：∵F 是抛物线y ＝2x 2的焦点，∴F ⎝⎛⎭⎫0，18，准线方程为y ＝－18.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则|MF |＋|NF |＝y 1＋18＋y 2＋18＝174，解得y 1＋y 2＝4，∴线段MN 的中点的纵坐标为y 1＋y 22＝2.故选B.7．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M (2,22)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF ||FM |等于( A )A ．1 2B ．1 3C ．12D ．13解析：抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，M (2,22)，∴直线l 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝22(x －1)，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，∴点N 的横坐标为12.∵抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，∴|NF |＝32，|MF |＝3，∴|NF ||MF |＝12，故选A.8．已知过抛物线y 2＝42x 的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，AF →＝3FB →，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，AM ⊥l 于点M ，则四边形AMCF 的面积为( A )A ．12 3B ．12C ．8 3D ．6 3解析：不妨设直线AB 的倾斜角为锐角，过点B 作BD ⊥AM ，交AM 于点D ，过点B 作BN ⊥l ，垂足为N ，则|AD |＝|AM |－|MD |＝|AF |－|FB |＝2|FB |，|AB |＝|AF |＋|FB |＝4|FB |，所以|AD |＝12|AB |，在Rt △ABD 中，|AD |＝12|AB |，则∠BAD ＝60°，所以∠AFx ＝60°，所以k AB ＝3，则直线AB ：y ＝3(x －2)，代入y 2＝42x ，得[3(x －2)]2＝42x ，即3x 2－102x ＋6＝0，解得x 1＝32，x 2＝23，则x A ＝32，y A ＝26，则四边形AMCF 的面积为12×(42＋22)×26＝123，故选A.二、填空题9．(2019·北京卷)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.解析：因为抛物线的标准方程为y 2＝4x ，所以焦点F (1,0)，准线l 的方程为x ＝－1，所求的圆以F 为圆心，且与准线l 相切，故圆的半径r ＝2，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.10．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝4，则△POF 的面积为 3.解析：设P (x 0，y 0)，则x 0＋1＝4，故x 0＝3，所以y 0＝±2 3.又F (1,0)，所以S △PFO ＝12×23×1＝ 3.11．(多填题)直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1,0)，且与C 交于A ，B 两点，则p ＝2，1|AF |＋1|BF |＝1.解析：由p2＝1，得p ＝2.当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝1，与y 2＝4x 联立解得y ＝±2，此时|AF |＝|BF |＝2，所以1|AF |＋1|BF |＝12＋12＝1；当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝k (x －1)，代入抛物线方程，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，1|AF |＋1|BF |＝|AF |＋|BF ||AF |·|BF |＝x 1＋x 2＋2(x 1＋1)(x 2＋1)＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋21＋x 1＋x 2＋1＝1. 三、解答题12．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△F AB 的面积．解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， ∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8， ∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m >0，∴m >－2.y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍去)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)． 故S △F AB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝24 5.13．设M 是抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上的一点，抛物线E 在点M 处的切线方程为y ＝x －1.(1)求E 的方程．(2)已知过点(0,1)的两条不重合直线l 1，l 2的斜率之积为1，且直线l 1，l 2分别交抛物线E 于A ，B 两点和C ，D 两点，是否存在常数λ使得|AB |＋|CD |＝λ|AB |·|CD |成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：(1)解法1：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1x 2＝2py ，消去y 得x 2－2px ＋2p ＝0.由题意得Δ＝4p 2－8p ＝0，因为p >0，所以p ＝2. 故抛物线E ：x 2＝4y .解法2：设M (x 0，x 202p )，由x 2＝2py 得y ＝x 22p ，则y ′＝x p.由⎩⎨⎧x 0p ＝1，x202p ＝x 0－1，解得p ＝2.故抛物线E ：x 2＝4y .(2)假设存在常数λ使得|AB |＋|CD | ＝λ|AB |·|CD |成立，则λ＝1|AB |＋1|CD |.由题意知，l 1，l 2的斜率存在且均不为零，设直线l 1的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 2＝4y ，消去y 得，x 2－4kx －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1·x 2＝－4.所以|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 216k 2＋16＝4(1＋k 2)(也可以由y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2， 得到|AB |＝y 1＋y 2＋2＝4(1＋k 2))． 因为直线l 1，l 2的斜率之积为1， 所以|CD |＝4(1＋1k2)．所以λ＝1|AB |＋1|CD |＝14(1＋k 2)＋14(1＋1k 2)＝1＋k 24(1＋k 2)＝14. 所以存在常数λ＝14使得|AB |＋|CD |＝λ|AB |·|CD |成立．14．(多选题)设M ，N 是抛物线y 2＝x 上的两个不同的点，O 是坐标原点，若直线OM 与ON 的斜率之积为－12，则下列选项不正确的是( ABC )A ．|OM |＋|ON |≥4 2B ．以MN 为直径的圆的面积大于4πC ．直线MN 过抛物线y 2＝x 的焦点D ．点O 到直线MN 的距离不大于2 解析：当直线MN 的斜率不存在时， 设M (x 0，y 0)，则N (x 0，－y 0)， 由斜率之积为－12可得y 0x 0·⎝⎛⎭⎫－y 0x 0＝－y 20x 20＝－1y 20＝－12，即y 20＝2.∴直线MN 的方程为x ＝2，此时|OM |＋|ON |＝26，以M ，N 为直径的圆的面积为2π，抛物线的焦点为⎝⎛⎭⎫14，0，故A ，B ，C 错误；当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线方程联立，消去x ，可得ky 2－y ＋m ＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝1k ，y 1y 2＝mk ，故x 1x 2＝m 2k 2，∴k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝k m ＝－12，即m ＝－2k .∴直线MN 的方程为y ＝kx －2k ＝k (x －2)，∴直线MN 过定点(2,0)，∴点O 到直线MN 的距离不大于2，故D 正确，故选ABC.15．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE的面积．解：(1)设D (t ，－12)，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1. 由y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t ＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0. 所以直线AB 过定点(0，12)．(2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎨⎧y ＝tx ＋12，y ＝x22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1， y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1， |AB |＝1＋t 2|x 1－x 2|＝1＋t 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2(t 2＋1)． 设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则 d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1. 因此，四边形ADBE 的面积 S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M (t ，t 2＋12)．由于EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0.解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2. 因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2.。
2020高考数学理科大一轮复习导学案《抛物线》含答案
第七节抛物线知识点一抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．1．判断正误(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(×)(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.(×)(3)若一抛物线过点P(－2,3)，其标准方程可写为y2＝2px(p>0)．(×)2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(B)A．9 B．8C．7 D．6解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.知识点二抛物线的标准方程与几何性质3．以x＝1为准线的抛物线的标准方程为(D)A．y2＝2x B．y2＝－2x C．y2＝4x D．y2＝－4x解析：由准线x＝1知，抛物线方程为：y2＝－2px(p>0)且p2＝1，p＝2，∴抛物线的方程为y2＝－4x.4．(选修2－1P72练习第1(1)题改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为y2＝－8x 或x2＝－y.解析：很明显点P在第三象限，所以抛物线的焦点可能在x轴负半轴上或y轴负半轴上．当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2＝－2px(p>0)，把点P(－2，－4)的坐标代入得(－4)2＝－2p×(－2)，解得p＝4，此时抛物线的标准方程为y2＝－8x；当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2＝－2py(p>0)，把点P(－2，－4)的坐标代入得(－2)2＝－2p×(－4)，解得p＝12，此时抛物线的标准方程为x2＝－y.综上可知，抛物线的标准方程为y2＝－8x或x2＝－y.5．(2018·北京卷)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴．若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为(1,0)．解析：由题意知，a>0，对于y2＝4ax，当x＝1时，y＝±2a，由于l 被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，所以4a＝4，所以a＝1，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．1．抛物线定义的两点理解 (1)定点不在定直线上．(2)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线． 2．抛物线的方程特点(1)方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1a y ，是焦点在y 轴上的抛物线．(2)y 2＝2px (p >0)：①p 表示焦点到准线的距离； ②2p 为通径长． 3．抛物线的图形特点抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形，不是中心对称图形．考向一 抛物线的定义及标准方程【例1】 (1)(2019·河南豫南九校联考)若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( )A ．2 B.135 C.145D ．3(2)(2019·湖北四地七校联考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，点C (－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线方程是( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x【解析】 (1)由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x ＋4y ＋7＝0可得直线与抛物线相离．∴点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值为点F (1,0)到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.故选A.(2)因为AB ⊥x 轴，且AB 过点F ，所以AB 是焦点弦，且|AB |＝2p ，所以S △CAB ＝12×2p ×⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋4＝24，解得p ＝4或－12(舍)，所以抛物线方程为y 2＝8x ，所以直线AB 的方程为x ＝2，所以以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2＝－8x ，故选D.【答案】 (1)A (2)D1.应用抛物线定义的两个关键点,(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝|x 0|＋p2或|PF |＝|y 0|＋p 2.2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(1)已知椭圆y 25＋x 2＝1与抛物线x 2＝ay 有相同的焦点F ，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且|AF |＝4，则|P A |＋|PO |的最小值为( A )A ．213B ．4 2C ．313D ．4 6(2)(2019·保定模拟)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点A (0,2)，则C 的方程为( C )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x解析：(1)∵椭圆y 25＋x 2＝1，∴c 2＝5－1＝4，即c ＝2，则椭圆的焦点为(0，±2)，不妨取焦点(0,2)，∵抛物线x 2＝ay ，∴抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4，∵椭圆y 25＋x 2＝1与抛物线x 2＝ay 有相同的焦点F ，∴a4＝2，即a ＝8，则抛物线方程为x 2＝8y ，准线方程为y ＝－2，∵|AF |＝4，由抛物线的定义得A 到准线的距离为4，y ＋2＝4，即点A 的纵坐标y ＝2，又点A 在抛物线上，∴x ＝±4，不妨取点A 坐标为(4,2)，A 关于准线的对称点的坐标为B (4，－6)，则|P A |＋|PO |＝|PB |＋|PO |≥|OB |，即O ，P ，B 三点共线时，有最小值，最小值为|OB |＝42＋(－6)2＝16＋36＝52＝213，故选A.(2)由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， 设点M (x 0，y 0)，则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF →·AM→＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p ，4.由|MF |＝5， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋16＝5.又p >0，解得p ＝2或p ＝8. 考向二 抛物线的几何性质【例2】 (2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.【解析】 解法1：设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2，取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB ＝90°，点M 在准线x ＝－1上，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．又M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.解法2：由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去y 得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去x 得y 2＝4(1k y ＋1)，即y 2－4k y －4＝0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，由∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.【答案】 2在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.(2019·安徽滁州模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线l ：x ＝－54，点M 在抛物线C 上，点A 在准线l 上，若MA ⊥l ，直线AF 的倾斜角为π3，则|MF |＝5.解析：设准线与x 轴交点为B ，由于AF 的倾斜角为π3， 所以∠F AM ＝π3，又|MA |＝|MF |， 所以|MA |＝|MF |＝|F A |＝2|FB |， 又由已知p ＝54×2＝52， 即|FB |＝52， 所以|MF |＝5.考向三 直线与抛物线的位置关系 方向1 焦点弦问题【例3】 已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10【解析】 由抛物线y 2＝4x 知F (1,0)，故可设直线l 1的方程为y ＝k (x－1)，直线l 1的方程与y 2＝4x 联立并消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1·x 2＝k 2k 2＝1，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k 2，同理l 2的方程为y ＝－1k (x －1)，与y 2＝4x 联立可得|DE |＝4＋4k 2.∴|AB |＋|DE |＝8＋4k 2＋4k 2＝8＋4(k 2＋1k 2)≥8＋4×2＝16.当k ＝±1时取等号．故选A.【答案】 A方向2 直线与抛物线的位置关系【例4】 (2019·武汉调研测试)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线的交点为N .(1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 的面积的最小值为4，求抛物线C 的方程．【解】 设直线AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2－2pkx －2p ＝0，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p . ① (1)由x 2＝2py 得y ′＝xp ，则A ，B 处的切线斜率的乘积为x 1x 2p 2＝－2p ， ∵点N 在以AB 为直径的圆上，∴AN ⊥BN ，∴－2p ＝－1，∴p ＝2.(2)易得直线AN ：y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线BN ：y －y 2＝x 2p (x －x 2)，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y －y 1＝x 1p (x －x 1)，y －y 2＝x 2p (x －x 2)，结合①式，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝pk ，y ＝－1，即N (pk ，－1)．|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1| ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 24p 2k 2＋8p ， 点N 到直线AB 的距离 d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k2， 则△ABN 的面积S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p (pk 2＋2)3≥22p ，当k ＝0时，取等号，∵△ABN 的面积的最小值为4，∴22p ＝4，∴p ＝2， 故抛物线C 的方程为x 2＝4y .1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.2.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝|x 1|＋|x 2|＋p 或|AB |＝|y 1|＋|y 2|＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.3.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.,提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.1．(方向1)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的长为( D )A ．4B ．8C ．12D ．16解析：抛物线y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2,0)，直线AB 的倾斜角为135°，故直线AB 的方程为y ＝－x ＋2，代入抛物线方程y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦AB 的长|AB |＝x 1＋x 2＋4＝12＋4＝16.2．(方向2)(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( D )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：解法1：过点(－2,0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎨⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0，解得x ＝1或x ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，不妨设M (1,2)，N (4,4)，易知F (1,0)，所以FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)，所以FM →·FN →＝8.故选D.解法2：过点(－2,0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎨⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1>0，y 2>0，根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝4.易知F (1,0)，所以FM →＝(x 1－1，y 1)，FN →＝(x 2－1，y 2)，所以FM →·FN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4x 1x 2＝4－5＋1＋8＝8.故选D.抛物线的拓展结论对抛物线y 2＝2px (p >0)，设θ为过焦点的弦AB 的倾斜角，则有：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ≥2p ；(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p ；(4)抛物线焦点三角形面积公式：S △OAB ＝p 22sin θ；(5)以AB 为直径的圆与准线相切；(6)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．典例 设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则直线l 的斜率为________．【解析】 设直线AB 的倾斜角为θ，由题意知p ＝2，F (1,0)，|AF ||BF |＝3.因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，所以13|BF |＋1|BF |＝1，所以|BF |＝43，|AF |＝4，所以|AB |＝163.又由抛物线焦点弦公式|AB |＝2p sin 2θ，可得163＝4sin 2θ，所以sin 2θ＝34，所以sin θ＝32，所以斜率k ＝tan θ＝±3.【答案】 ±3。
新高考一轮复习人教版 抛物线及其性质 作业
9.4抛物线及其性质基础篇固本夯基考点一抛物线的定义及标准方程1.(2022届广州花都8月调研,3)已知抛物线x2=ay的焦点为F,且M(2,1)为抛物线上的点,则|MF|=()A.1B.2C.3D.4答案B2.(2022届江苏百校大联考,3)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,A为抛物线C上第一象限的点,若|FA|=73,则直线OA的倾斜角为()A.π6B.π4C.π3D.2π3答案C3.(2019课标Ⅱ,文9,理8,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x 23p +y2p=1的一个焦点,则p=()A.2B.3C.4D.8答案D4.(2021石家庄3月质检,7)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,MF的延长线交y轴于点N.若MF⃗⃗⃗⃗⃗ =2FN⃗⃗⃗⃗ ,则|MF|为()A.8B.6C.4D.2答案A5.(2020课标Ⅰ理,4,5分)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=()A.2B.3C.6D.9答案C6.(2021广东湛江一模,6)已知抛物线C:x2=-2py(p>0)的焦点为F,点M是C上的一点,M到直线y=2p的距离是M到C的准线距离的2倍,且|MF|=6,则p=()A.4B.6C.8D.10答案A7.(2021北京,12,5分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上,MN垂直x轴于点N.若|MF|=6,则点M的横坐标为;△MNF的面积为.答案5;4√5考点二抛物线的几何性质1.(2022届广东茂名11月测试,2)抛物线x=43y2的焦点坐标为()A.(13,0)B.(0,13)C.(316,0)D.(0,23)答案C2.(2021山东枣庄二模,4)已知点(1,1)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,则C的焦点到其准线的距离为()A.1 4B.12C.1D.2答案B3.(2020课标Ⅲ,文7,理5,5分)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为()A.(14,0)B.(12,0)C.(1,0)D.(2,0)答案B4.(2021辽宁朝阳一模,8)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F与x轴垂直的直线交C于点M,N,有下列四个命题:甲:点F的坐标为(1,0);乙:抛物线C的准线方程为x=-2;丙:线段MN的长为4;丁:直线y=x+1与抛物线C相切.如果只有一个命题是假命题,则该命题是()A.甲B.乙C.丙D.丁答案B5.(2018北京文,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为.答案(1,0)考点三直线与抛物线的位置关系1.(2022届广东深圳三中检测,7)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A,B两点,延长FB交准线于点C,若|BC|=2|BF|,则|BF||AF|=()A.1 4B.13C.12D.23答案B2.(多选)(2022届山东师大附中开学考试,11)过抛物线y2=4x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,M为线段AB的中点,则下列结论正确的是()A.以线段AB为直径的圆与直线x=-12相交B.以线段BM为直径的圆与y轴相切C.当AF⃗⃗⃗⃗ =2FB⃗⃗⃗⃗ 时,|AB|=92D.|AB|的最小值为4答案ACD3.(2021百校大联考(六),12)已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为-2且经过焦点F的直线l交该抛物线于M,N两点,若|MN|=52,则该抛物线的方程是()A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=6x 答案B4.(2021济南二模,7)已知抛物线x 2=2py(p>0),过焦点F 的直线与抛物线交于A,B 两点(点A 在第一象限).若直线AB 的斜率为√33,点A 的纵坐标为32,则p 的值为( )A.14B.12C.1D.2 答案 C5.(2018课标Ⅰ理,8,5分)设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C 交于M,N 两点,则FM ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗ =( )A.5B.6C.7D.8 答案 D6.(2019课标Ⅰ理,19,12分)已知抛物线C:y 2=3x 的焦点为F,斜率为32的直线l 与C 的交点为A,B,与x 轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l 的方程;(2)若AP ⃗⃗⃗⃗ =3PB⃗⃗⃗⃗ ,求|AB|. 解析 设直线l:y=32x+t,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). (1)由题设得F (34,0),故|AF|+|BF|=x 1+x 2+32, 由题设可得x 1+x 2=52.由{y =32x +t,y 2=3x可得9x 2+12(t-1)x+4t 2=0,则x 1+x 2=-12(t−1)9.从而-12(t−1)9=52,得t=-78.所以l 的方程为y=32x-78.(2)由AP⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗ 可得y 1=-3y 2.由{y =32x +t,y 2=3x可得y 2-2y+2t=0.所以y 1+y 2=2.从而-3y 2+y 2=2,故y 2=-1,y 1=3.代入C 的方程得x 1=3,x 2=13.故|AB|=4√133. 综合篇 知能转换A 组考法一 利用抛物线的定义解题1.(2021福建龙岩三模,6)已知抛物线x 2=4y 的焦点为F,准线为l,过抛物线上一点P 作PQ ⊥l,垂足为Q,若|PF|=4,则∠FQP=( )A.30°B.45°C.60°D.75° 答案 C2.(2022届广东深圳实验学校、长沙市一中联考,13)抛物线y=ax 2(a>0)上的点M (m,12)到其准线l 的距离为1,则a 的值为 . 答案123.(2022届华大新高考联盟11月测评,13)已知抛物线y 2=2px(p>0)的焦点坐标为(1,0),则该抛物线上任一点到焦点的距离的取值范围是 . 答案 [1,+∞)4.(2021广东肇庆二模,15)已知点P 是抛物线x 2=8y 上的一个动点,则点P 到点A(2,0)的距离与到抛物线的准线的距离之和的最小值为 . 答案 2√25.(2021新高考Ⅰ,14,5分)已知O 为坐标原点,抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,P 为C 上一点,PF 与x 轴垂直,Q 为x 轴上一点,且PQ ⊥OP.若|FQ|=6,则C 的准线方程为 . 答案 x=-32考法二 直线与抛物线的位置关系问题1.(2022届湖北部分学校11月质检,6)已知抛物线y 2=4x,直线l 与抛物线交于A,B 两点,若线段AB 中点的纵坐标为2,则直线AB 的斜率为( ) A.2 B.√3 C.√33D.1答案 D2.(多选)(2021湖南衡阳联考(一),11)已知抛物线C:x 2=2py(p>0),过其准线上的点T(1,-1)作C 的两条切线,切点分别为A 、B,下列说法正确的是( ) A.p=1 B.TA ⊥TBC.直线AB 的斜率为12D.线段AB 中点的横坐标为1 答案 BCD3.(2022届四省八校期中,14)过点M(-1,2)作抛物线y 2=4x 的两条切线,切点分别为A 、B,则线段AB 的中点到抛物线准线的距离为 . 答案 44.(2020新高考Ⅰ,13,5分)斜率为√3的直线过抛物线C:y 2=4x 的焦点,且与C 交于A,B 两点,则|AB|= . 答案1635.(2019北京理,18,14分)已知抛物线C:x 2=-2py 经过点(2,-1). (1)求抛物线C 的方程及其准线方程;(2)设O 为原点,过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M,N,直线y=-1分别交直线OM,ON 于点A 和点B.求证:以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.解析 (1)由抛物线C:x 2=-2py 经过点(2,-1),得p=2.所以抛物线C 的方程为x 2=-4y,其准线方程为y=1. (2)证明:抛物线C 的焦点为F(0,-1).设直线l 的方程为y=kx-1(k ≠0). 由{y =kx −1,x 2=−4y 得x 2+4kx-4=0.设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2), 则x 1x 2=-4,直线OM 的方程为y=y 1x 1x. 令y=-1,得点A 的横坐标x A =-x 1y 1.同理得点B 的横坐标x B =-x 2y 2.设点D(0,n),则DA ⃗⃗⃗⃗ =(−x 1y 1,−1−n ),DB⃗⃗⃗⃗ =(−x2y 2,−1−n ), DA⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2y 1y 2+(n+1)2=x 1x 2(−x 124)(−x 224)+(n+1)2=16x 1x 2+(n+1)2=-4+(n+1)2.令DA ⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗ =0,即-4+(n+1)2=0,得n=1或n=-3. 综上,以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0,-3).6.(2021全国乙文,20,12分)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点F 到准线的距离为2. (1)求C 的方程;(2)已知O 为坐标原点,点P 在C 上,点Q 满足PQ⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗ ,求直线OQ 斜率的最大值. 解析 (1)∵抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 到准线的距离为2,∴p=2.∴抛物线C 的方程为y 2=4x. (2)由已知不妨设点P(4x 02,4x 0),Q(x 1,y 1),则PQ ⃗⃗⃗⃗ =(x 1-4x 02,y 1-4x 0),∵F(1,0),∴QF ⃗⃗⃗⃗ =(1-x 1,-y 1), ∵PQ ⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗ ,∴{x 1−4x 02=9(1−x 1),y 1−4x 0=9(−y 1),整理得{x 1=110(9+4x 02),y 1=410x 0,∴k OQ =y 1x 1=4x 09+4x 02, 当k OQ 最大时,x 0>0,∴k OQ =49x 0+4x 0≤2√36=13,当且仅当4x 0=9x 0时取“=”,此时x 0=32,点P 的坐标为(9,6),因此k OQ 的最大值为13.B 组1.(2020北京,7,4分)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l,P 是抛物线上异于O 的一点,过P 作PQ ⊥l 于Q,则线段FQ 的垂直平分线( )A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP 答案 B2.(2017课标Ⅱ文,12,5分)过抛物线C:y 2=4x 的焦点F,且斜率为√3的直线交C 于点M(M 在x 轴的上方),l 为C 的准线,点N 在l 上且MN ⊥l,则M 到直线NF 的距离为( ) A.√5 B.2√2 C.2√3 D.3√3 答案 C3.(2022届广东深圳七中月考,8)过抛物线C:y 2=4x 的焦点作倾斜角为34π的直线l 交C 于A 、B 两点,以C 的准线上一点M 为圆心作圆M 经过A 、B 两点,则圆M 的面积为( ) A.96π B.48π C.32π D.16π 答案 B4.(多选)(2022届广东11月大联考,10)已知P(x 0,y 0)是抛物线C:y 2=4x 上一动点,则( ) A.C 的焦点坐标为(2,0)B.C 的准线方程为x+1=0 C.x 0+1=√(x 0−1)2+y 02D.x 0+1y 02+1的最小值为34答案 BCD5.(2021湖北九师联盟2月质检,8)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,点M(x 0,2√2)(x 0>p2)是抛物线C 上一点,以点M 为圆心的圆与直线x=p2交于E,G 两点,若sin ∠MFG=13,则抛物线C 的方程是( ) A.y 2=x B.y 2=2x C.y 2=4x D.y 2=8x 答案 C。
高中数学总复习专题53 抛物线-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)(解析版)
专题53抛物线最新考纲1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.基础知识融会贯通1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质【知识拓展】1．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径． 2．y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4. 3．设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．重点难点突破【题型一】抛物线的定义及应用【典型例题】已知动圆P与定圆C：（x﹣2）2+y2＝1相外切，又与定直线l：x＝﹣1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是（）A．y2＝4x B．y2＝﹣4x C．y2＝8x D．y2＝﹣8x【解答】解：令P点坐标为（x，y），A（2，0），动圆得半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，P A＝1+r，d＝r，P在直线的右侧，故P到定直线的距离是x+1，所以P A﹣d＝1，即（x+1）＝1，化简得：y2＝8x．故选：C．【再练一题】已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点，则|P A|+|PM|的最小值是（）A．5 B．C．4 D．【解答】解：依题意可知焦点F（，0），准线x，延长PM交准线于H点．则|PF|＝|PH|．|PM|＝|PH||PF|，|PM|+|P A|＝|PF|+|P A|，我们只有求出|PF|+|P A|最小值即可．由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|P A|≥|F A|，①设直线F A与抛物线交于P0点，可计算得P0（3，），另一交点（，）舍去．当P重合于P0时，|PF|+|P A|可取得最小值，可得|F A|．则所求为|PM|+|P A|．故选：B．思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．【题型二】抛物线的标准方程和几何性质命题点1求抛物线的标准方程【典型例题】已知抛物线的焦点坐标是（﹣1，0），则抛物线的标准方程为（）A．x2＝4y B．x2＝﹣4y C．y2＝4x D．y2＝﹣4x【解答】解：∵抛物线的焦点坐标是（﹣1，0），∴抛物线是焦点在x轴负半轴的抛物线，且，得p＝2．∴抛物线的标准方程为y2＝﹣4x．故选：D．【再练一题】已知抛物线y2＝24ax（a＞0）上的点M（3，y0）到焦点的距离是5，则抛物线的方程为（）A．y2＝8x B．y2＝12x C．y2＝16x D．y2＝20x【解答】解：由题意知，3+6a＝5，∴a，∴抛物线方程为y2＝8x．故选：A．命题点2抛物线的几何性质【典型例题】已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A为抛物线C上异于顶点O的一点，点B的坐标为（a，b）（其中a，b 满足b2﹣4a＜0）当|AB|+|AF|最小时，△ABF恰好正三角形，则a＝（）A．1 B．C．D．2【解答】解：点B的坐标为（a，b）（其中a，b满足b2﹣4a＜0），可得B在抛物线的开口之内，设A在准线x＝﹣1上的射影为M，由抛物线的定义可得|AF|＝|AM|，当M，A，B三点共线时，|AB|+|AF|取得最小值，即有A（，b），F（1，0），△ABF恰好正三角形，可得a2，b（a），解得a，故选：C．【再练一题】过焦点为F的抛物线y2＝12x上一点M向其准线作垂线，垂足为N，若|NF|＝10，则|MF|＝（）A．B．C．D．【解答】解：设M（x0，y0），F（3，0）．∵|NF|＝10，∴62102，12x0，解得x0，则MF|3．故选：B．思维升华(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．【题型三】直线与抛物线的综合问题命题点1直线与抛物线的交点问题【典型例题】过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，则|AB|＝（）A．9 B．72 C．D．36【解答】解：如图，点B在第一象限．过B、A分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D、E，过B作EA的垂线，垂足为C，则四边形BDEC为矩形．由抛物线定义可知|BD|＝|BF|，|AE|＝|AF|，又∵，∴|BD|＝|CE|＝2|AE|，即A为CE中点，∴|BA|＝3|AC|，在Rt△BAC中，|BC|＝2|AC|，k AB＝2，F（1，0），AB的方程为：y＝2（x﹣1），代入抛物线方程可得：2x2﹣5x+2＝0，x1+x2，则|AB|＝x1+x2+22．故选：C．【再练一题】已知抛物线x2＝2py（p＞0）的准线方程为y＝﹣1，△ABC的顶点A在抛物线上，B，C两点在直线y＝2x ﹣5上，若||＝2，则△ABC面积的最小值为（）A．5 B．4 C．D．1【解答】解：因为抛物线x2＝2py（p＞0）的准线方程为y＝﹣1，抛物线方程为x2＝4y；又||＝2，所以||＝2，设点A到直线BC的距离为d，故△ABC面积为，因为A在抛物线上，设A（x，），则d，故1．故选：D．命题点2与抛物线弦的中点有关的问题【典型例题】设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），过点P（1，1）的直线l与抛物线C交于A，B两点，若P恰好为线段AB的中点，则|AB|＝（）A．2 B．C．4 D．5【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），可得抛物线方程为：y2＝4x，过点P（1，1）的直线l与抛物线C交于A，B两点，若P恰好为线段AB的中点，可知直线的斜率存在不为0，设为k，直线方程为：y﹣1＝k（x﹣1），直线方程与抛物线方程联立可得：ky2﹣4y﹣4k+4＝0，y1+y22，解得k＝2，则y1y2＝﹣2，则|AB|．故选：B．【再练一题】设F为抛物线C：y2＝8x的焦点，过点P（﹣2，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点，若，则|AB|＝（）A．B．C．D．【解答】解：设直线l的方程为y＝k（x+1），A（x1，y1）、B（x2，y2）、Q（x0，y0）．解方程组，化简得：k2x2+（4k2﹣8）x+4k2＝0，∴x1+x2，x1x2＝4，y1+y2＝k（x1+x2+4），∴x0，y0，由4，∴k＝±．|AB||x2﹣x1|•16．故选：D．思维升华(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．基础知识训练1．【陕西省2019届高三年级第三次联考】已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到准线的距离为（）A．B．C．1 D．3【答案】B【解析】∵是抛物线的焦点，∴，准线方程，设，根据抛物线的定义可得，∴.解得，∴线段的中点横坐标为，∴线段的中点到准线的距离为.故应选B.2．【四川省双流中学2019届高三第一次模拟考试】已知是抛物线上一点，为其焦点，为圆的圆心，则的最小值为( )．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】设抛物线的准线方程为为圆的圆心，所以的坐标为，过的垂线，垂足为,根据抛物线的定义可知,所以问题求的最小值，就转化为求的最小值，由平面几何的知识可知，当在一条直线上时，此时有最小值，最小值为，故本题选B.3．【甘肃省、青海省、宁夏回族自治区2019届高三5月联考】已知抛物线C ：22(0)x py p =>的准线l 与圆M ：22(1)(2)16x y −+−=相切，则p =（ ） A ．6 B ．8 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】因为抛物线2:2C x py =的准线为2p y =−， 又准线l 与圆()()22:1216M x y −+−=相切， 所以242p+= ，则4p =. 故选D4．【北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试】设抛物线24y x =的焦点为F ，已知点1,4M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,2N b ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,P c ，()4,Q d 都在抛物线上，则,,,M N P Q 四点中与焦点F 距离最小的点是（ ） A ．M B ．N C ．PD ．Q【答案】A 【解析】抛物线24y x =的焦点为F(1,0)，准线方程为1x =−； 则点1,4M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭到焦点F 的距离为15||(1)44MF =−−=， 点1,2N b ⎛⎫⎪⎝⎭到焦点F 的距离为13||(1)22NF =−−=，点P(1, c)到焦点F 的距离为|P F|=1-(-1)=2 点Q(4, d)到焦点F 的距离为|Q F|=4-(-1)=5；所以点M 与焦点F 的距离最小. 故选：A5．【湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试】已知抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点为F ，准线为l ，O 为坐标原点，点M 在C 上，直线MF 与l 交于点N ．若3MFO π∠=，则MF MN = A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C 【解析】作MQ 垂直l 于Q ，则在RT△MQN 中，2MQN π∠=，6MNQ π∠=，所以12MF MQ MN MN ==．选C ． 6．【江西省新八校2019届高三第二次联考】如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点,A B ，交其准线于点C ，若4BC BF =，且6AF =，则p 为（ ）A ．94B ．92C ．9D ．18【答案】B 【解析】设准线与x 轴交于点P ，作BH 垂直于准线，垂足为H由4BC BF =，得：45BH BC PF CF == 由抛物线定义可知：BF BH =，设直线l 倾斜角为θ由抛物线焦半径公式可得：41cos 5pBF BF PF p p θ+===，解得：1cos 4θ= 46131cos 3144p p p AF p θ∴=====−−，解得：92p = 本题正确选项：B7．【山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷】已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（ ） A．B ．8C．D ．4【答案】C 【解析】F （1，0），故直线AB 的方程为y ＝x ﹣1，联立方程组241y x y x ⎧=⎨=−⎩，可得x 2﹣6x+1＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系可知x 1+x 2＝6，x 1x 2＝1． 由抛物线的定义可知：|FA|＝x 1+1，|FB|＝x 2+1， ∴||FA|﹣|FB||＝|x 1﹣x 2|==．故选：C ．8．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三压轴】过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作直线，交抛物线于A ，B 两点，M 为准线上的一点，记MBF α∠=，MAF β∠=，且90αβ+=︒，则MFO∠与αβ−的大小关系是（ ）A ．MFO αβ∠=−B ．MFO αβ∠>−C ．MFO αβ∠<−D ．不确定 【答案】A 【解析】如图，设N 为AB 的中点，根据抛物线的定义，点N 到准线的距离为12AB ， 即以AB 为直径的圆与准线相切，∵AM BM ⊥，M 为准线上的点，∴M 为切点，MNx 轴，由抛物线的焦点弦的性质，可得MF AB ⊥，又AM BM ⊥，所以MAF BMF β∠=∠=， 又∵AN MN =，∴AMN MAN β∠=∠=， ∴AMF AMN FMN MFO αβ−=∠−∠=∠=∠， 故选A.9．【广东省2019届高三适应性考试】在直角坐标系xOy 中，抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P为C 上一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，直线MN 与x 轴交于点R ，若60NFR ∠=︒，则NR =（ ）A ．2 BC ．D ．3【答案】A 【解析】根据题意，如图所示：连接MF ，QF ，抛物线的方程为y 2＝4x ，其焦点为（1，0）， 准线x ＝﹣1， 则FH ＝2，PF ＝PQ ，又由M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，则MN ∥QF ， 又PQ ＝PF ，∠NRF ＝60°， 且∠NRF ＝∠QFH ＝∠FQP ＝60°，则△PQF 为边长为4等边三角形，MF ＝在Rt △FMR 中，FR ＝2，MF ＝ 则MR ＝4， 则NR 12=MR ＝2， 故选：A ．10．【江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学2019届高三4月联考】已知曲线1C 是以原点O 为中心，12F F 为焦点的椭圆，曲线2C 是以O 为顶点、2F 为焦点的抛物线，A 是曲线1C 与2C 的交点，且21AF F ∠为钝角，若1275,22AF AF ==，则12AF F ∆的面积是（）A BC ．2D ．4【答案】B 【解析】过1F 作抛物线的准线l ，过A 作AB l ⊥于B ， 作2F C AB ⊥于C ， 由抛物线的定义可知，252AB AF ==，由勾股定理得21F C F B ====，12AC ==， 可知122F F BC AB AC ==−=，1212211222AF F S F F F C ∆∴=⨯=⨯= B. 11．【山东省烟台市2019届高三5月适应性练习（二)】已知过抛物线2:4C y x =焦点的直线交抛物线C 于P ,Q 两点,交圆2220x y x +−=于M ,N 两点,其中P , M 位于第一象限,则14||||PM QN +的值不可能为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】A 【解析】作图如下：可以作出下图，由图可得，可设PF m =，QF n =，则1PM m =−，1QN n =−，24y x =，2p ∴=，根据抛物线的常用结论，有1121m n p+==， 1m nmn+∴=，则m n mn +=， 14||||PM QN ∴+1411m n =+−−4545()1m n m n mn m n +−==+−−++又11(4)1(4)()m n m n m n +⋅=+⋅+441m n n m =+++5≥+， 得49m n +≥，454m n ∴+−≥则14||||PM QN +的值不可能为3， 答案选A12．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷】已知,A B 为抛物线22(0)x py p =>上的两个动点，以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ，且面积为2π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线CD ，垂足为D ，则||CD 的最大值为（ ）A ．2 BC ．2D ．12【答案】A 【解析】根据题意，222AB ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴AB =设||||AF a BF b ==，，过点A 作AQ l ⊥于Q ，过点B 作BP l ⊥于P ， 由抛物线定义，得AF AQ BF BP ==，，在梯形ABPQ 中， ∴2CD AQ BP a b =+=+， 由勾股定理得，228a b =+，∵2222282244a b a b ab CD ab ++++⎛⎫==== ⎪⎝⎭2222424ab a b +++=…， 所以2CD ≤（当且仅当a b =时，等号成立）.13．【天津市南开区2019届高三第二学期模拟考试（一)】已知P 为抛物线2:C y =上一点，点M )，若PM =，则△POM（O 为坐标原点）的面积为_____________【答案】【解析】解：∵抛物线C 的方程为y 2＝∴M ，0）为抛物线的焦点 设P （m ，n ）根据抛物线的定义，得|PM |＝m 2p+=，即m =，解得m ＝∵点P 在抛物线C 上，得n 2＝=24∴n ＝±∵|OM |=∴△POF 的面积为S 12=|OM |×|n |＝．故答案为：14．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考】已知抛物线24y x =的焦点为F ，其准线与x 轴交于点A ，过A 作直线l 与抛物线交于M 、N 两点，则22||||FM FN +的取值范围为______________．【答案】()8+∞，. 【解析】由题意可得(1,0)A −，设直线l 方程为1(0)x my m =−≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ，由241y x x my ⎧=⎨=−⎩得24(1)y my =−，整理得2440y my −+=， 所以216160m =−>，解得21m > 又124y y m +=，124y y =，因此21212()242x x m y y m +=+−=−，212121212(1)(1)()11x x my my m y y m y y =−−=−++=，所以2222212121212||||(1)(1)()22()2FM FN x x x x x x x x +=+++=+−+++ ()22212(1)1411x x m =++−=−−，因为21m >，所以()2222||||411918FM FN m +=−−>−=.故答案为()8+∞，15．【重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测考试】已知F 是抛物线24y x =的焦点，A ，B 在抛物线上，且ABF ∆的重心坐标为11(,)23，则FA FB AB−=__________．【解析】设点A (),A A x y ,B (),B B x y ,焦点F(1,0),ABF ∆的重心坐标为11,23⎛⎫ ⎪⎝⎭, 由重心坐标公式可得1132A B x x ++=,0133A B y y ++=，即1=2A B x x +，=1A B y y + ， 由抛物线的定义可得()22=114A BA B A B y y FA FB x x x x −−+−+=−=, 由点在抛物线上可得22=4=4A A B By x y x ⎧⎨⎩，作差2244A B A B y y x x −=−，化简得4=4+A B AB A B A By y k x x y y −==−，代入弦长公式得--A B A B y y y ，则17FA FB AB−=，16．【四川省雅安市2019届高三第三次诊断考试】已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，点(2,6)M ，点P是C 上任意一点，当点P 在1P 时，PF PM −取得最大值，当点P 在2P 时，PF PM −取得最小值.则12PP =__________．【答案】2【解析】作出抛物线C ：28y x =的图象如下：过点P 作抛物线准线的垂线段PN ，过点M 作抛物线准线的垂线段ME 由抛物线方程可得：()2,0F由三角形知识可得：PF PM MF −≤ 所以MF PF PM MF −≤−≤当且仅当,,P M F 三点共线时，PF PM −取得最小值=-6MF −， 即点P 位于图中的2P 处，可求得：()22,4P − 由抛物线定义可得：PN PF =，由图可得：PF PM −==4PM PN ME −≤，当且仅当,,P M E 三点共线时，PF PM −取得最大值ME ,即点P 位于图中的1P 处，可求得：19,62P ⎛⎫⎪⎝⎭.所以122PP ==.17．【北京市房山区2019年第二次高考模拟检测高三】已知抛物线22(0)x py p =>过点(2,1).（Ⅰ）求抛物线的方程和焦点坐标；（Ⅱ）过点(0,4)A −的直线l 与抛物线交于两点,M N ，点M 关于y 轴的对称点为T ，试判断直线TN 是否过定点，并加以证明.【答案】（Ⅰ）抛物线方程为24x y =，焦点坐标为()0,1（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）因为抛物线22(0)x py p =>过点(2,1)P ，所以24p = 所以抛物线方程为24x y =，焦点坐标为(0,1) （Ⅱ）设直线l 的方程为4y kx =−,由244y kx x y=−⎧⎨=⎩消y 整理得24160x kx −+=， 则216640k ∆=−>，即||2k > 设1122(,),(,)M x y N x y 则T 11(,)x y − 且12124,16x x k x x +==. 直线212221:()y y TN y y x x x x −−=−+ 212221222212212222121222112()1()4()41444 44y y y x x y x x x x y x x x x x x x x x x y x x x x x x y x −∴=−++−∴=−++−−∴=−+−∴=+即2144x x y x −=+ 所以，直线TN 恒过定点(0,4).18．【江苏省南通市2019届高三适应性考试】已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为43的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，B 在x 轴的上方，且点B 的横坐标为4.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）设点P 为抛物线C 上异于A ，B 的点，直线PA 与PB 分别交抛物线C 的准线于E ，G 两点，x 轴与准线的交点为H ，求证：HG HE ⋅为定值，并求出定值. 【答案】（1）24y x =（2）见证明 【解析】（1）由题意得：(,0)2pF ， 因为点B 的横坐标为4，且B 在x 轴的上方，所以B ， 因为AB 的斜率为43，4342=−，整理得：80p +=，即0+=，得2p =， 抛物线C 的方程为：24y x =.（2）由（1）得：(4,4)B ，(1,0)F ，淮线方程1x =−， 直线l 的方程：4(1)3y x =−， 由24(1)34y x y x ⎧=−⎪⎨⎪=⎩解得14x =或4x =，于是得1(,1)4A −.设点2(,)4n P n ，又题意1n ≠±且4n ≠±,所以直线PA ：41114y x n ⎛⎫+=− ⎪−⎝⎭，令1x =−，得41n y n +=−−， 即41n HE n +=−−， 同理可得：444n HG n −=+， 444414n n HG HE n n +−⋅=−⋅=−+. 19．【广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测】已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点．（1）若直线l 过点F 且8AB =，求直线l 的方程；（2）已知点(2,0)E −，若直线l 不与坐标轴垂直，且AEO BEO ∠=∠，证明：直线l 过定点． 【答案】（1）1y x =−或1y x =−+；（2）(2,0). 【解析】解：（1）法一：焦点(1,0)F ，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，与抛物线的交点坐标分别为(1,2)，(1,2)−， 此时4AB =，不符合题意，故直线的斜率存在．设直线l 方程为(1)=−y k x 与24y x =联立得()2222220k x k x k −+−=，当0k =时，方程只有一根，不符合题意，故0k ≠.()212222k x x k++=，抛物线的准线方程为1x =−，由抛物线的定义得()()12||||||11AB AF BF x x =+=+++()222228k k+=+=，解得1k =±，所以l 方程为1y x =−或1y x =−+.法二：焦点(1,0)F ，显然直线l 不垂直于x 轴，设直线l 方程为1x my =+,与24y x =联立得2440y my −−=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，124y y m +=，124y y =.||AB ==()241m ==+，由8AB =，解得1m =±， 所以l 方程为1y x =−或1y x =−+. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线l 方程为(0)x my b m =+≠与24y x =联立得：2440y my b −−=，可得124y y m +=，124y y b =−. 由AEO BEO ∠=∠得EA EB k k =，即121222y yx x =−++. 整理得121122220y x y x y y +++=，即121122()2()20y my b y my b y y +++++=， 整理得12122(2)()0my y b y y +++=， 即84(2)0bm b m −++=，即2b =. 故直线l 方程为2x my =+过定点(2,0).20．【山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测（三模)】已知圆22:4O x y +=，抛物线2:2(0)C x py p =>．（1）若抛物线C 的焦点F 在圆O 上，且A 为抛物线C 和圆O 的一个交点，求AF ；（2）若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于,M N 两点，设()00,M x y ，当[]03,4y ∈时，求MN 的最大值．【答案】（1）2−；（2）5. 【解析】（1）由题意知(0,2)F ，所以4p =. 所以抛物线C 的方程为28x y =.将28x y =与224x y +=联立得点A的纵坐标为2)A y =−，结合抛物线定义得||22A pAF y =+=. （2）由22x py =得：22x y p=，x y p '=，所以直线l 的斜率为0x p ，故直线l 的方程为()000x y y x x p−=−. 即000x x py py −−=.又由||2ON ==得02084y p y =−且2040y −> 所以2222200||||||4MN OM ON x y =−=+−220000020824244y py y y y y =+−=+−− ()2202200022001644164444y y y y y y −+=+−=+−−− 2020641644y y =++−− 令204t y =−，0[3,4]y ∈，则[5,12]t ∈， 令64()16f t t t =++，则264()1f t t'=−； 当[5,8]t ∈时()0f t '≤，()f t 单调递减，当(8,12]t ∈时()0f t '>，()f t 单调递增，又64169(5)16555f =++=，64100169(12)16121235f =++=<， 所以max 169()5f x =，即||MN的最大值为5.21．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知O 为坐标原点，过点()1,0M 的直线l 与抛物线C ：22(0)y px p =>交于A ，B 两点，且3OA OB ⋅=−． （1）求抛物线C 的方程；（2）过点M 作直线'l l ⊥交抛物线C 于P ，Q 两点，记OAB ∆，OPQ ∆的面积分别为1S ，2S ，证明：221211S S +为定值. 【答案】（1）24y x =；（2）详见解析. 【解析】（1）设直线l ：1x my =+，与22y px =联立消x 得，2220y pmy p −−=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122y y pm +=，122y y p =−.因为g x （），所以()()1112222111OA OB x x y m y y y y y m ⋅++==++()()2121211m y y m y y =++++()()221221213m p pm p =+−++=−+=−，解得2p =.所以抛物线C 的方程为24y x =.（2）由（1）知()1,0M 是抛物线C 的焦点，所以21212244AB x x p my my p m =++=+++=+.原点到直线l的距离d =，所以()21412OAB S m ∆=+=. 因为直线'l 过点()1,0且'l l ⊥，所以OPQS ∆==所以()()2222212111144141m S S m m +=+=++.即221211S S +为定值14. 22．【陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试】已知点为直线上的动点，，过作直线的垂线的中垂线于点，记点的轨迹为.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）若直线与圆相切于点，与曲线交于两点，且为线段的中点，求直线的方程.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）直线的方程为【解析】解：（Ⅰ）由已知可得，，即点到定点的距离等于它到直线的距离，故点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，∴曲线的方程为.（Ⅱ）设，由，得，∴，∴，即，∵直线与圆相切于点，∴，且，从而，即：，整理可得，即，∴，故直线的方程为.能力提升训练1．【河北省邯郸市2019届高三第一次模拟考试】位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m ，跨径为12m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．2512m B ．256m C ．95mD ．185m 【答案】D 【解析】以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y 轴建立直角坐标系xOy ，结合题意可知，该抛物线()2x 2py p 0=−>经过点()6,5−，则3610p =，解得18p 5=，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为18p 5=. 故选：D2．【甘肃省2019届高三第一次高考诊断考试】抛物线28y x =的焦点到双曲线2214y x −=的渐近线的距离是（ ）A B C D 【答案】C 【解析】依题意，抛物线的焦点为()2,0，双曲线的渐近线为2y x =±，其中一条为20x y −=，由点到直线的距离公式得5d ==.故选C. 3．【北京市海淀区2019届高三4月期中练习（一模)】抛物线2:4W y x =的焦点为F ，点A 在抛物线上，且点A 到直线3x =−的距离是线段AF 长度的2倍，则线段AF 的长度为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】解：依题意，得F （1,0），抛物线的准线为x ＝－1， 线段AF 的长等于点A 到准线x ＝－1的距离，因为点A 到直线3x =−的距离是线段AF 长度的2倍，所以，点A 到直线3x =−的距离是点A 到准线x ＝－1的距离的2倍 设A 点横坐标为0x ，是0x ＋3＝2（0x ＋1），解得：0x ＝1， 所以，｜AF ｜＝1－（－1）＝2 故选：B4．【山东省2019届高三第一次大联考】已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，C 上一点P 在y 轴上的投影为Q ，O 为坐标原点.若OQF ∆的面积为2，则PF =（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．3 【答案】B 【解析】由对称性可知，不妨设()00,P x y 在第一象限，0111222OQF S OF OQ y ∆=⨯=⨯⨯=，即04y =，因为()00,P x y 在抛物线上，即2004y x =，解得04x =，由抛物线定义04152pPF x =+=+=，故选B.5．【河南省焦作市2018-2019学年高三年级第三次模拟考试河南省焦作市2018-2019学年高三年级第三次模拟考试】已知抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ，圆C ：（x ﹣2p ）2+y 2＝4，l 与圆C 交于A ，B ，圆C 与E 交于M ，N ．若A ，B ，M ，N 为同一个矩形的四个顶点，则E 的方程为（ ）A ．y 2＝xB ．y 2C ．y 2＝2xD ．y 2＝x【答案】C 【解析】 如图，圆C ：（x ﹣2p ）2+y 2＝4的圆心C （2p，0）是抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点， ∵圆C ：（x ﹣2p ）2+y 2＝4的半径为2， ∴|NC|＝2，根据抛物线定义可得：|NA|＝|NC|＝2． ∵A ，B ，M ，N 为同一个矩形的四个顶点， ∴点A ，N 关于直线x ＝2p 对称，即22N A P x x P +=⨯=，∴32N x p =， ∴|NA|＝322p p ⎛⎫−− ⎪⎝⎭＝2，∴2p ＝2，则E 的方程为y 2＝2x ． 故选：C ．6．【贵州省2019届高三普通高等学校招生适应性考试】过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线A ，B 两点，该抛物线的准线与x 轴交于点M ，若4AF =，则MAB ∆的面积为A ．3B ．3C ．3D ．【答案】A 【解析】解： y 2＝4x 的准线l ：x ＝﹣1．∵|AF |＝3，∴点A 到准线l ：x ＝﹣1的距离为4， ∴1+A x ＝4， ∴A x ＝3，∴A y ＝±不妨设A （3，），∴S △AFM 12=⨯2×=， ∵F （1，0），∴直线AB 的方程为y =x ﹣1），∴)214y x y x⎧=−⎪⎨=⎪⎩，解得B （13，3−），∴S △BFM 12=⨯233⨯=，∴S △AMB ＝S △AFM +S △BFM ＝33=，故选：A ．7．【江苏省扬州中学2019届高三4月考试】已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义:()PF d P FQ=. （1）当8(1)3P −−，时，求()d P ； （2）证明:存在常数a ，使得2()d P PF a =+.（3）123,,P P P 为抛物线准线上三点，且1223PP P P =，判断13()()d Pd P +与22()d P 的关系. 【答案】（1）83；（2）证明见解析；（3）()()()1322d P d P d P +>. 【解析】（1）因为8443(1)233PF k y x ==⇒=−. 联立方程24(1)1344Q y x x y x ⎧=−⎪⇒=⎨⎪=⎩， 则1083()534PF d P QF ⎧=⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩. （2）当()1,0P −，易得2()2a d P PF =−=，不妨设()1,P P y −，0P y >，直线:1PF x my =+，则2P my =−，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，2440y my −−=，2Q y m ==+2()||2P P Q y d P PF y m −=−=+2=−+=.（3）设()()()1122331,,1,,1,P y P y P y −−−，则()()()13224d P d P d P +−⎡⎤⎣⎦1322PF P F P F =+−===，因为()221316y y ⎡⎤−++⎣⎦1228y y =−−，又因()()()()2222213131313444480y y y y y y y y ++−+=+−>， 所以()()()1322d P d P d P +>.8．【辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测（三)】已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，()02,M y −是C 上一点，且2MF =．（1）求C 的方程；（2）过点F 的直线与抛物线C 相交于,A B 两点，分别过点,A B 两点作抛物线C 的切线12,l l ，两条切线相交于点P ，点P 关于直线AB 的对称点Q ，判断四边形PAQB 是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）24x y =（2）见解析【解析】（1）解：根据题意知，042py =① 因为2MF =，所以022p y +=② 联立①②解得01,2y p ==．所以抛物线C 的方程为24x y =．（2）四边形PAQB 存在外接圆．设直线AB 方程为1y kx =+，代入24x y =中，得2440x kx −−=，设点()()1122,,,A x y B x y ，则216160k ∆=+>，且4,42121−==+x x k x x所以()212||41AB x k =−=+， 因为2:4C x y =，即24x y =，所以'2x y =． 因此，切线1l 的斜率为112x k =，切线2l 的斜率为222x k =， 由于121214x x k k ==−，所以PA PB ⊥，即PAB △是直角三角形， 所以PAB △的外接圆的圆心为线段AB 的中点，线段AB 是圆的直径，所以点Q 一定在PAB △的外接圆上，即四边形PAQB 存在外接圆． 又因为()241AB k =+，所以当0k =时，线段AB 最短，最短长度为4， 此时圆的面积最小，最小面积为4π．9．【北京市昌平区2019届高三5月综合练习（二模)】已知抛物线()2:20G y px p =>过点()1,2M −，,A B是抛物线G 上异于点M 的不同两点，且以线段AB 为直径的圆恒过点M .（I ）当点A 与坐标原点O 重合时，求直线MB 的方程；（II ）求证：直线AB 恒过定点，并求出这个定点的坐标.【答案】（I ）250x y −−=； （II ）答案见解析.【解析】（I ）因为()1,2M −在抛物线()2:20G y px p =>上，所以()2221p −=⨯， 所以2p =，抛物线2:4G y x =.当点A 与点O 重合时，易知2AM k =−，因为以线段AB 为直径的圆恒过点M ，所以AM MB ⊥.所以12BM k =. 所以()1:212MB y x +=−,即直线MB 的方程为250x y −−=. （II ）显然直线AB 与x 轴不平行，设直线AB 方程为x my n =+ .2,4x my n y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y my n −−=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，因为直线AB 与抛物线交于两点，所以21212=16160,4,4m n y y m y y n ∆+>+==− ①因为以线段AB 为直径的圆恒过点M ，所以AM MB ⊥.因为,A B 是抛物线上异于M 的不同两点,所以12,1x x ≠,1MA MB k k ⋅=−.112111224=1214MA y y k x y y ++==−−−,同理得222222224=1214MB y y k x y y ++==−−−. 所以1244=122y y ⋅−−−,即12(2)(2)160y y −−+=,12122(+)200y y y y −+=. 将 ①代入得， 48200n m −−+=，即=25n m −+ .代入直线方程得25(2)5x my m m y =−+=−+.所以直线AB 恒过定点(5,2) .10．【重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试】过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 且斜率为1的直线交抛物线C 于M ，N 两点，且2MN =．（1）求p 的值；（2）抛物线C 上一点()0,1Q x ，直线:l y kx m =+（其中0k ≠）与抛物线C 交于A ，B 两个不同的点（均与点Q 不重合），设直线QA ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，1212k k =−．动点H 在直线l 上，且满足0OH AB ⋅=，其中O 为坐标原点．当线段OH 最长时，求直线l 的方程．【答案】(1) 12p =(2) 310y x =− 【解析】（1）抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线MN 方程为2p x y =+ 联立抛物线方程可得2220y py p −−=故：2M N y y p +=，2·M N y y p =− ∴4222M N M N p p MN x x p y y p p ⎛⎫⎛⎫=++=++++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得12p =． （2）由（1）知抛物线C 方程为2y x =，从而点()1,1Q ，设()11,A x y ，()22,B x y220y kx m ky y m y x=+⎧⇒−+=⎨=⎩ ()140*km ∆=−>∵0k ≠，∴121y y k +=，12m y y k ⋅=． 由1212122212121211111111111112y y y y k k x x y y y y −−−−=⋅=⋅=⋅=−−−−−++ 可得()121230y y y y +++=，即130m k k ++= 从而13m k +=−该式满足()*式∴()31y k x =−−即直线l 恒过定点()3,1T −．设动点(),H x y ，∵·0OH AB =，∴()(),?3,10x y x y −+= ∴动点H 在2230x x y y −++=，故H 与T 重合时线段OH 最长，此时直线():331l y x =−−，即：310y x =−．。
(人教版)2020版高考数学一轮复习 第七章 解析几何 第7讲 抛物线课时作业 理
第7讲 抛物线1．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－122．(2013年新课标Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝4 2x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝4 2，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．43．(2016年辽宁五校联考)已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．2 B.12 C.32 D.524．已知M 是y ＝x 24上一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是( )A ．2B ．4C ．8D ．105．(2016年新课标Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2 6．(2015年浙江)如图X771，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )图X771A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1 7．(2017年新课标Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 38．(2017年江西南昌二模)已知抛物线C ：y 2＝4x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的投影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝( )A.83B.8 33C.163D.16 339．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦距为4 2，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点F 是椭圆C 1的顶点．(1)求C 1与C 2的标准方程；(2)若C 2的切线交C 1于P ，Q 两点，且满足FP →·FQ →＝0，求直线PQ 的方程．10．(2017年北京)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．第7讲 抛物线1．C 解析：由点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，得焦点F (2,0)，∴k AF ＝3－2－2＝－34.故选C.2．C 解析：假设P (x 0，y 0)在第一象限，则|PF |＝x 0＋2＝4 2.∴x 0＝3 2.∴y 20＝42x 0＝4 2×3 2＝24.∴|y 0|＝2 6.∵F (2，0)，∴S △POF ＝12|OF |·|y 0|＝12×2×2 6＝2 3.3．C 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4.又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3.所以点C 的横坐标为x 1＋x 22＝32.故选C.4．B 解析：如图D134，抛物线的准线l ：y ＝－1，由抛物线定义可知，当M 为过C 且与l 垂直的直线与抛物线的交点时，|MC |＋|MF |最小为5，∴|MA |＋|MF |的最小值为5－1＝4.故选B.图D1345．D 解析：因为F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，所以F (1,0)．又因为曲线y ＝k x(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，所以P (1,2)．所以k ＝2.故选D.6．A 解析：S △BCF S △ACF ＝BC AC ＝x B x A ＝|BF |－1|AF |－1. 7．C 解析：由抛物线定义知MN ＝MF ，显然三角形MNF 为正三角形，MN ＝MF ＝NF ＝4，则点M 到直线NF 的距离为2 3.故选C.8．B 解析：方法一，由题意，可得直线PQ ：y ＝3(x －1)与抛物线y 2＝4x 联立得：3x 2－10x ＋3＝0.所以点P (3,2 3)，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2 33，则MN ＝2 3＋2 33＝8 33.在△MNF中，MN 边上的高h ＝2，则S △MNF ＝12×2×8 33＝8 33.故选B.方法二，不妨设交点P 在x 轴上方，由抛物线焦点弦性质，得|PF |＝|PM |，|QF |＝|QN |，且1|PF |＋1|QF |＝2p ＝1, |PM |－|QN ||PM |＋|QN |＝|PF |－|QF ||PF |＋|QF |＝12，故|PF |＝4，|QF |＝43. 所以S △MNF ＝12×|MN |×p ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋43×32×2＝8 33.故选B.9．解：(1)设椭圆C 1的焦距为2c ，依题意有2c ＝4 2，c a ＝63.解得a ＝2 3，c ＝2 2，又b 2＝a 2－c 2，则b ＝2.故椭圆C 1的标准方程为x 212＋y 24＝1.又抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)开口向上，且F 是椭圆C 1的上顶点，∴F (0,2)．∴p ＝4.故抛物线C 2的标准方程为x 2＝8y .(2)显然直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 则FP →＝(x 1，y 1－2)，FQ →＝(x 2，y 2－2)． ∴FP →·FQ →＝x 1x 2＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.由此可得，(1＋k 2)x 1x 2＋(km －2k )(x 1＋x 2)＋m 2－4m ＋4＝0. ①联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 212＋y24＝1消去y 整理，得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－12＝0. ②依题意，得x 1，x 2是方程②的两根， Δ＝144k 2－12m 2＋48>0，∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1·x 2＝3m 2－123k 2＋1.将x 1＋x 2和x 1·x 2代入①，得m 2－m －2＝0，解得m ＝－1(m ＝2不合题意，应舍去)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＝8y 消去y 整理，得x 2－8kx ＋8＝0，令Δ′＝64k 2－32＝0.解得k 2＝12，经检验k 2＝12，m ＝－1符合要求．故直线PQ 的方程为y ＝±22x －1. 10．(1)解：由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)得p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x .抛物线y 2＝x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14.(2)证明：设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，直线l 与抛物线的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k 2.因为点P 的坐标为(1,1)， 所以直线OP 的方程为y ＝x . 则点A 的坐标为(x 1，x 1)．因为直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，所以点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 1y 2x 2.因为y 1＋x 1y 2x 2－2x 1＝y 1x 2＋x 1y 2－2x 1x 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋x 1⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋12－2x 1x2x 2＝2k －2x 1x 2＋12x 1＋x 2x 2＝2k －2×14k 2＋12×1－kk2x 2＝0，所以y 1＋x 1y 2x 2＝2x 1.故A 为线段BM 的中点．。
2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：54抛物线含解析
课时作业54抛物线
一、选择题
1．已知抛物线x2＝2py(p>0)的准线经过点(1，－1)，则抛物线的焦点坐标为(A) A．(0,1) B．(0,2)
C．(1,0) D．(2,0)
解析：由抛物线x2＝2py(p>0)的准线为y＝－p
2
＝－1，得p＝2，故所求抛物线的焦
点坐标为(0,1)．
2．(2019·河北五名校联考)直线l过抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是(B)
A．y2＝－12x B．y2＝－8x
C．y2＝－6x D．y2＝－4x
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|＝－(x1＋x2)＋p＝8.又
AB的中点到y轴的距离为2，∴－x1＋x2
2＝2，∴x1＋x2＝－4，∴p＝4，∴所求抛物线
的方程为y2＝－8x.故选B.
3．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，过抛物线C上一点P作准线l的垂线，垂足为Q.若△QAF的面积为2，则点P的坐标为(A) A．(1,2)或(1，－2) B．(1,4)或(1，－4)
C．(1,2) D．(1,4)
解析：设点P的坐标为(x0，y0)．因为△QAF的面积为2，所以1
2
×2×|y0|＝2，即|y0|
＝2，所以x0＝1，所以点P的坐标为(1,2)或(1，－2)．
4．(2019·福州四校联考)已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，直
线l过抛物线C的焦点F，且与抛物线的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，且|AB|＝8，M为抛物线C准线上一点，则△ABM的面积为(A)。
2020高考数学(理)一轮复习课时作业54曲线与方程 含解析
三、解答题
9．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－ .求动点P的轨迹方程．
解析：因为点B与点A(－1,1)关于原点O对称．
所以点B的坐标为(1，－1)．
设点P的坐标为(x，y)，由题设知直线AP与BP的斜率存在且均不为零，则 · ＝－ ，
解析：(1)根据题意，知|PA|＋|PB|＋|AB|＝10，即|PA|＋|PB|＝6>4＝|AB|，故P点轨迹是椭圆，且2a＝6,2c＝4，即a＝3，c＝2，b＝ .
因此其轨迹方程为 ＋ ＝1(y≠0)．
(2)设圆P的半径为r，则|PA|＝r＋1，|PB|＝r，
因此|PA|－|PB|＝1.
由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，且2a＝
∵AN⊥x轴于点N，∴N(x0,0)，
由题意知，(x，y)＝m(x0，y0)＋(1－m)·(x0,0)，
解得 即
将点A 代入圆C1的方程x2＋y2＝4，得动点Q的轨迹方程为 ＋ ＝1.
[
一、选择题
1．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是()
A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0
解析：由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.
又|EF|＝2 ＜4，得Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆为 ＋y2＝1.
答案： ＋y2＝1
8．[2019·江西九江联考]设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴，且 ＝2 ， ⊥ ，当点P在y轴上运动时，则点N的轨迹方程为________．
2020年人教版高考数学(理)一轮复习第八单元 课时作业 第54讲抛物线
课时作业第54讲抛物线时间/45分钟分值/100分基础热身1.[2018·沈阳东北育才学校模拟]已知抛物线的焦点在x轴的负半轴上,若p=2,则其标准方程为()A.y2=-2xB.x2=-2yC.y2=-4xD.x2=-4y2.抛物线y2=2px(p>0)上的动点Q到其焦点的距离的最小值为1,则p=()A.B.1C.2D.43.[2018·永州三模]已知抛物线y=mx2(其中m为不等于0的常数)经过点A(1,3),则抛物线的焦点到准线的距离等于()A.B.C.D.4.[2018·南昌模拟]若抛物线x2=8y上的点P到焦点的距离为12,则P到x轴的距离是.5.[2018·北京人大附中月考]O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为.能力提升6.[2018·吉林调研]以抛物线y2=8x上的任意一点为圆心作圆与直线x=-2相切,这些圆必过一定点,则这一定点的坐标是()A.(0,2)B.(2,0)C.(4,0)D.(0,4)7.[2018·银川质检]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过抛物线C上的点A(4,y0)作AA1⊥l于点A1,若∠A1AF=,则p=()A.6B.12C.24D.488.已知点F是抛物线y=2x2的焦点,M,N是该抛物线上的两点,若+=,则线段MN的中点的纵坐标为()A.B.2C.D.39.[2018·重庆綦江区模拟]已知点M(,0)及抛物线x2=8y上一动点P(x0,y0),则y0+的最小值是()A.1B.2C.3D.410.[2018·朝阳三模]已知点P(4,4)是抛物线C:y2=2px(p>0)上的一点,F是其焦点,定点M(-1,4),则△MPF的外接圆的面积为()A.B.C.D.11.[2018·武昌调研]过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线l与抛物线C交于P,Q两点,与其准线交于点M,且=3,则= .12.已知抛物线方程为y2=-4x,直线l的方程为2x+y-4=0,在抛物线上有一动点A,点A到y轴的距离为m,到直线l的距离为n,则m+n的最小值为.13.(14分)[2018·南京三模]在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(1,a)(a>0)是抛物线C上一点,且|AF|=2.(1)求p的值;(2)若M,N为抛物线C上异于A的两点,且AM⊥AN,记点M,N到直线y=-2的距离分别为d1,d2,求d1d2的值.14.(16分)[2018·烟台诊断]在平面直角坐标系xOy中,与点M(-2,3)关于直线2x-y+2=0对称的点N位于抛物线C:x2=2py(p>0)上.(1)求抛物线C的方程;(2)过点N作两条倾斜角互补的直线分别交抛物线C于A,B两点(非N点),若AB过焦点F,求的值.难点突破15.(5分)[2018·辽宁重点高中协作校三模]已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,点M-,N--,射线MO,NO分别交抛物线C于异于点O的点A,B,若A,B,F三点共线,则p= .16.(5分)已知F为抛物线E:y2=4x的焦点,过F作倾斜角为α的直线l与抛物线E交于A,B 两点,过A,B向E的准线作垂线,垂足分别为C,D,设CD的中点为M,若α∈,则|MF|的取值范围是.。
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课时作业54 抛物线一、选择题1．已知抛物线x 2＝2py (p >0)的准线经过点(1，－1)，则抛物线的焦点坐标为( A ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,0)D ．(2,0)解析：由抛物线x 2＝2py (p >0)的准线为y ＝－p2＝－1，得p ＝2，故所求抛物线的焦点坐标为(0,1)．2．(2019·河北五名校联考)直线l 过抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( B )A ．y 2＝－12x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝－6xD ．y 2＝－4x解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|AB |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝8.又AB 的中点到y 轴的距离为2，∴－x 1＋x 22＝2，∴x 1＋x 2＝－4，∴p ＝4，∴所求抛物线的方程为y 2＝－8x .故选B.3．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，过抛物线C 上一点P 作准线l 的垂线，垂足为Q .若△QAF 的面积为2，则点P 的坐标为( A )A ．(1,2)或(1，－2)B ．(1,4)或(1，－4)C ．(1,2)D ．(1,4)解析：设点P 的坐标为(x 0，y 0)．因为△QAF 的面积为2，所以12×2×|y 0|＝2，即|y 0|＝2，所以x 0＝1，所以点P 的坐标为(1,2)或(1，－2)．4．(2019·福州四校联考)已知抛物线C 的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，直线l 过抛物线C 的焦点F ，且与抛物线的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，且|AB |＝8，M 为抛物线C 准线上一点，则△ABM 的面积为( A )A ．16B ．18C ．24D ．32解析：不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，如图，因为直线l 过抛物线C 的焦点，且与抛物线的对称轴垂直，所以线段AB 为通径，所以2p ＝8，p ＝4，又M 为抛物线C 的准线上一点，所以点M 到直线AB 的距离即焦点到准线的距离，为4，所以△ABM 的面积为12×8×4＝16，故选A.5．(2019·陕西质量检测)抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．若抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3,1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为( B )A.43 B ．－43C ．±43D ．－169解析：将y ＝1代入y 2＝4x ，可得x ＝14，即A (14，1)．由抛物线的光学性质可知，直线AB 过焦点F (1,0)，所以直线AB 的斜率k ＝1－014－1＝－43.故选B. 6．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点N 在x 轴上且在点F 的右侧，线段FN 的垂直平分线l 与抛物线在第一象限的交点为M ，直线MN 的倾斜角为135°，O 为坐标原点，则直线OM 的斜率为( A )A ．22－2B ．22－1 C.2－1D ．32－4解析：解法1：设点M (m 22p，m )(m >0)，因为点M 在FN 的垂直平分线上且点N 在焦点F的右侧，所以N (2m 2－p 22p ，0)，又MN 的倾斜角为135°，所以2pmp 2－m 2＝－1，解得m ＝(2＋1)p ，所以点M (3＋222p ，(2＋1)p )，所以直线OM 的斜率为2＋3＋22＝22－2，故选A.解法2：如图，设直线L 为抛物线的准线，过点M 向准线引垂线，垂足为A ，交y 轴于点B ，设|MF |＝t ，因为点M 在FN 的垂直平分线上，且直线MN 的倾斜角为135°，所以直线MF 的倾斜角为45°，由抛物线的定义得t ＝|MA |＝p ＋22t ，即t ＝2p2－1＝(2＋2)p ，所以|OB |＝22t ＝(2＋1)p ，|BM |＝t －p 2＝＋22p2，设直线OM 的倾斜角为θ，则∠OMB ＝θ，所以直线OM 的斜率为tan θ＝|OB ||MB |＝2＋3＋22＝22－2，故选A.7．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为( B )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3x C ．y 2＝92xD ．y 2＝9x解析：如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则|BC |＝2a ， 由抛物线的定义得，|BD |＝a ， 故∠BCD ＝30°，在直角三角形ACE 中，因为|AE |＝|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ，2|AE |＝|AC |， 所以6＝3＋3a ，从而得a ＝1， 因为BD ∥FG ，所以|DB ||FG |＝|BC ||FC |.即1p ＝23，解得p ＝32， 因此抛物线方程为y 2＝3x . 二、填空题8．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P 到x 轴的距离为2.解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x Px P －－＝12，解得x P ＝1， 所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2.9．(2019·合肥市质量检测)抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点A ，过抛物线E 上一点P (在第一象限内)作l 的垂线PQ ，垂足为Q .若四边形AFPQ 的周长为16，则点P 的坐标为(4,4)．解析：设P (x ，y )，其中x >0，y >0，由抛物线的定义知|PF |＝|PQ |＝x ＋1.根据题意知|AF |＝2，|QA |＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋＋2＋y ＝16，y 2＝4x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－6(舍去)．所以点P 的坐标为(4,4)．10．(2019·潍坊市统一考试)已知抛物线y 2＝4x 与直线2x －y －3＝0相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，设OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，则1k 1＋1k 2的值为12.解析：设A (y 214，y 1)，B (y 224，y 2)，易知y 1y 2≠0，则k 1＝4y 1，k 2＝4y 2，所以1k 1＋1k 2＝y 1＋y 24，将x ＝y ＋32代入y 2＝4x ，得y 2－2y －6＝0，所以y 1＋y 2＝2，1k 1＋1k 2＝12.三、解答题11．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且|AB |＝8.(1)求直线l 的方程；(2)若A 关于x 轴的对称点为D ，抛物线的准线与x 轴的交点为E ，求证：B ，D ，E 三点共线．解：(1)F 的坐标为(1,0)，则l 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，由题意知k ≠0，且[－(2k 2＋4)]2－4k 2·k 2＝16(k 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，由抛物线的定义知|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8， ∴2k 2＋4k2＝6，∴k 2＝1，即k ＝±1， ∴直线l 的方程为y ＝±(x －1)．(2)证明：由抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x 1，－y 1)，又E (－1,0)， ∴k EB －k ED ＝y 2x 2＋1－－y 1x 1＋1＝y 2x 1＋＋y 1x 2＋x 1＋x 2＋，y 2(x 1＋1)＋y 1(x 2＋1)＝y 2(y 214＋1)＋y 1(y 224＋1)＝y 1y 24(y 1＋y 2)＋(y 1＋y 2)＝(y 1＋y 2)(y 1y 24＋1)．由(1)知x 1x 2＝1， ∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16， 又y 1与y 2异号，∴y 1y 2＝－4， 即y 1y 24＋1＝0，∴k EB ＝k ED ，又ED 与EB 有公共点E ， ∴B ，D ，E 三点共线．12．(2019·洛阳高三统考)已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)的焦点，曲线C 2是以F 为圆心，p2为半径的圆，直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1，C 2从上到下依次相交于点A ，B ，C ，D ，则|AB ||CD |＝( A ) A ．16 B ．4 C.83D.53解析：解法1：因为直线4x －3y －2p ＝0过C 1的焦点F (C 2的圆心)，故|BF |＝|CF |＝p2，所以|AB ||CD |＝|AF |－p2|DF |－p2.由抛物线的定义得|AF |－p 2＝x A ，|DF |－p2＝x D .由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －2p ＝0，y 2＝2px整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0，即(8x －p )(x －2p )＝0，可得x A ＝2p ，x D ＝p8，故|AB ||CD |＝x A x D ＝2pp8＝16.故选A. 解法2：同解法1得|AB ||CD |＝|AF |－p2|DF |－p2.过A ，D 作抛物线准线的垂线，垂足分别为A 1，D 1，该直线AF 交准线于点E ，准线交x 轴于点N ，则由FN ∥AA 1得|EF ||EA |＝|NF ||AA 1|， 由直线AF 的斜率为43得tan ∠A 1AF ＝43，故|AA 1||AE |＝35.又|AA 1|＝|AF |， 故|NF ||AA 1|＝|EF ||EA |＝25， 所以|AF |＝|AA 1|＝52|NF |＝52p .同理可得|DD 1||NF |＝|ED ||EF |，又|DD 1|＝|DF |，所以|DD 1||NF |＝53|NF |－|DD 1|53|NF |，故|DF |＝|DD 1|＝58|NF |＝58p ，故|AB ||CD |＝52p －p 258p －p 2＝218＝16.故选A. 13．(2019·河北名校联考)如果点P 1，P 2，P 3，…，P 10是抛物线y 2＝2x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，x 3，…，x 10，F 是抛物线的焦点，若x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10＝5，则|P 1F |＋|P 2F |＋|P 3F |＋…＋|P 10F |＝10.解析：由抛物线的定义可知，抛物线y 2＝2px (p >0)上的点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝x 0＋p2，在y 2＝2x 中，p ＝1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 10F |＝x 1＋x 2＋…＋x 10＋5p ＝10. 14．(2019·惠州市调研考试)在平面直角坐标系xOy 中，过点C (2,0)的直线与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)求证：y 1y 2为定值；(2)是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线的方程和弦长，如果不存在，说明理由．解：(1)证法1：当直线AB 垂直于x 轴时，不妨取y 1＝22，y 2＝－22，所以y 1y 2＝－8(定值)．当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝4x ，得ky 2－4y －8k ＝0，所以y 1y 2＝－8.综上可得，y 1y 2＝－8为定值． 证法2：设直线AB 的方程为my ＝x －2.由⎩⎪⎨⎪⎧my ＝x －2，y 2＝4x 得y 2－4my －8＝0，所以y 1y 2＝－8.因此有y 1y 2＝－8为定值． (2)存在．理由如下：设存在直线l ：x ＝a 满足条件， 则AC 的中点E (x 1＋22，y 12)，|AC |＝x 1－2＋y 21，因此以AC 为直径的圆的半径r ＝12|AC |＝12x 1－2＋y 21＝12x 21＋4，点E 到直线x ＝a 的距离d ＝|x 1＋22－a |，所以所截弦长为2r 2－d 2＝214x 21＋－x 1＋22－a2＝x 21＋4－x 1＋2－2a 2＝－－a x 1＋8a －4a 2，当1－a ＝0，即a ＝1时，弦长为定值2，这时直线的方程为x ＝1. 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·福州市测试)已知圆C ：(x －5)2＋(y －12)2＝8，抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上两点A (－2，y 1)与B (4，y 2)，若存在与直线AB 平行的一条直线和C 与E 都相切，则E 的准线方程为( C )A ．x ＝－12B ．y ＝－1C ．y ＝－12D ．x ＝－1解析：由题意知，A (－2，2p )，B (4，8p)，∴k AB ＝8p －2p4－－＝1p，设抛物线E 上的切点为(x 0，y 0)，由y ＝x 22p ，得y ′＝x p ，∴x 0p ＝1p，∴x 0＝1，∴切点为(1，12p )，∴切线方程为y －12p ＝1p (x －1)，即2x －2py －1＝0，∵切线2x －2py －1＝0与圆C 相切，∴圆心C (5，12)到切线的距离为22，即|9－p |4＋4p 2＝22，∴31p 2＋18p －49＝0， ∴(p －1)(31p ＋49)＝0， ∵p >0，∴p ＝1.∴抛物线x 2＝2y 的准线方程为y ＝－12，故选C.。