绝对值的性质及化简.题库学生版

内容 基本要求略高要求较高要求绝对值借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问题绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-； （3）ab a b =⋅；a ab b=(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；（5）a b a b a b -≤+≤+， 对于a b a b +≤+，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成例题精讲中考要求绝对值的性质及化简立； 对于a b a b -≤+，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立．绝对值几何意义当x a =时，0x a -=，此时a 是x a -的零点值． 零点分段讨论的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值． a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．一、绝对值的概念【例1】 m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离；x 0-（>，=，<）；【例2】 21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-= ；【例3】 3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若31x -=，则x = ．【例4】 2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若22x +=，则x = ．二、绝对值的性质【例5】 填空：若a b a b +=+，则a ，b 满足的关系 ．【例6】 填空：若a b a b -=-，则a ，b 满足的关系 ．【例7】 填空：已知a 、b 是有理数，1a ≤，2b ≤，且3a b -=，则a b += ．【例8】 若ab ab <，则下列结论正确的是 ( )A. 00a b <<，B. 00a b ><，C. 00a b <>，D. 0ab <【例9】 下列各组判断中，正确的是 ( )A ．若a b =，则一定有a b =B ．若a b >，则一定有a b > C. 若a b >，则一定有a b > D ．若a b =，则一定有()22a b =-【例10】 如果2a ＞2b ，则 ( )A ．a b >B ．a ＞bC ．a b <D a ＜b【例11】 （4级）若a b >且a b <，则下列说法正确的是（ ）A ．a 一定是正数B ．a 一定是负数C ．b 一定是正数D ．b 一定是负数【例12】 下列式子中正确的是 ( )A ．a a >-B ．a a <-C ．a a ≤-D ．a a ≥-【例13】 对于1m -，下列结论正确的是 ( )A ．1||m m -≥B ．1||m m -≤C ．1||1m m --≥D ．1||1m m --≤【例14】 若220x x -+-=，求x 的取值范围．【例15】 已知2332x x -=-，求x 的取值范围【例16】 下列说法中正确的个数是( )①当一个数由小变大时，它的绝对值也由小变大； ②没有最大的非负数，也没有最小的非负数； ③不相等的两个数，它们的绝对值一定也不相等； ④只有负数的绝对值等于它的相反数． A ．0B ．1C ．2D ．3【例17】 绝对值等于5的整数有 个，绝对值小于5的整数有 个【例18】 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？【例19】 有理数a 与b 满足a b >，则下面哪个答案正确( )A ．a b >B ．a b =C ．a b <D ．无法确定【例20】 已知：52a b ==，，且a b <；则____________a b ==，.【例21】 非零整数m n ，满足50m n +-=，所有这样的整数组()m n ，共有【例22】 已知123a b c ===，，，且a b c >>，那么a b c +-=【例23】 如右图所示，若a 的绝对值是b 的绝对值的3倍，则数轴的原点在 点．（填“A ”“B ”“C ”或“D ”）【例24】 如果1a b -=，1b c +=，2a c +=，求2a b c ++的值．【例25】 已知a 、b 、c 、d 都是整数，且2a b b c c d d a +++++++=，则a d += ．【例26】 已知a 、b 、c 、d 是有理数，9a b -≤，16c d -≤，且25a b c d --+=，则b a d c ---= ．【例27】 有理数a 、b 、c 、d 各自对应着数轴上X 、Y 、Z 、R 四个点，且（1）b d -比a b -，a c -、a d -、b c -、c d -都大； （2）d a a c d c -+-=-；（3）c 是a 、b 、c 、d 中第二大的数.则点X 、Y 、Z 、R 从左到右依次是【例28】 若a b c d ，，，为互不相等的有理数，且c 最小，a 最大，且a c b c b d a d ---+-=-．请按a b c d ，，，从小到大的顺序排列．【例29】 I f 3x ≤,1y ≤,4z ≤,and 29x y z -+=,then 246x y z = ．【例30】 如果1,11,a a a x a =+-=-那么____x a x a +--=。

【例31】 若m 是方程|2000|2000||x x -=+的解，则|2001|m -等于（ ）．A ． 2001m -B ． 2001m --C ． 2001m +D ． 2001m -+【例32】 已知0ab <，求22()a b b a ab a b -+-的值.【例33】 已知a 、b 是有理数，有以下三个不等式：① ||||a b a b +<-；② 22||||10a b a b ++++<；③ 222||2||10a b a b +--+<． 其中一定不成立的是______（填写序号）．【例34】 如果有理数a ，b ，c 满足26a b -≤，7b d -≤，13a b d --=，求2a b b d -+-的值．三、绝对值的化简1. 条件型绝对值化简【例35】 当1x =-时，则22x x -++= ．【例36】 已知15x <≤，化简15x x -+-【例37】 若0a <，化简a a --.【例38】 已知3x <-，化简321x +-+.【例39】 如果010m <<并且10m x ≤≤，化简1010x m x x m -+-+--.【例40】 如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求a b a c b c ++--+的值.【例41】 如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求11a b b a c c +------的值.【例42】 已知00x z xy y z x <<>>>，，，那么x z y z x y +++--=【例43】abcde 是一个五位自然数，其中a 、b 、c 、d 、e 为阿拉伯数码，且a b c d <<<，则a b b c c d d e -+-+-+-的最大值是 ．【例44】a 、b 、c 分别是一个三位数的百、十、个位上的数字，且a b c ≤≤，则a b b c c a -+-+-可能取得的最大值是多少？【例45】 已知2020y x b x x b =-+-+--，其中02020b b x <<，≤≤，那么y 的最小值为【例46】 已知1999x =，则2245942237x x x x x -+-++++= ．【例47】 若1998m =-，则22119992299920m m m m +--+++= ．【例48】 满足2()()a b b a a b ab -+--=（0ab ≠）有理数a 、b ，一定不满足的关系是（ ）A ． 0ab <B ． 0ab >C ． 0a b +>D ． 0a b +<【例49】 若a b c d ，，，为互不相等的有理数，且1a c b c d b -=-=-=，求a d -．【例50】 已知有理数a 、b 的和a b +及差a b -在数轴上如图所示，化简227a b a b +---．a-ba+b【例51】 数a b ，在数轴上对应的点如右图所示，试化简a b b a b a a ++-+--【例52】 实数a b c ，，在数轴上的对应点如图，化简a c b a b a c +--++-【例53】 若a b <-且0ab>，化简a b a b ab -+++.【例54】 若a b <，求15b a a b -+---的值.【例55】 若0a <，0ab <，那么15b a a b -+---等于 ．【例56】 设,,a b c 为非零实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=．化简b a b c b a c -+--+-．【例57】 若0.239x =-，求131********x x x x x x -+-++-------的值．【例58】 若200122002x =，则|||1||2||3||4||5|x x x x x x +-+-+-+-+-= ．【例59】 设2020A x b x x b =-+----，其中020b x <≤≤，试证明A 必有最小值【例60】 若0a <，试化简233a a a a--．【例61】 若0x <，化简23x x x x---．【例62】 已知a a =-，0b <，化简22442(2)24323a b a b a b b a +--+++--．3.绝对值零点分段化简【例63】 化简：3x -【例64】 12x x +++【例65】 化简523x x ++-．【例66】 化简：212x x ---【例67】 阅读下列材料并解决相关问题：我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：· ⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+ ⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--= ⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=- 综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题： ⑴分别求出2x +和4x -的零点值 ⑵化简代数式24x x ++-【例68】 求12m m m +-+-的值．【例69】 化简：121x x --++.4. 分式型绝对值化简按符号化简【例70】 若a b c ，，均为非零的有理数，求a b ca b c++的值【例71】 若0abc <，求a b ca b c+-的值．【例72】 已知a 是非零有理数，求2323a a a a a a++的值.【例73】 已知a b c abc x abcabc=+++，且a b c ，，都不等于0，求x 的所有可能值【例74】 已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求a b c abca b c abc+++的值【例75】 若0a >，则_____aa =；若0a <，则_____a a=.【巩固】 当3m ≠-时，化简33m m ++【例76】 若01a <<，21b -<<-，则1212a b a b a b a b-++-+-++的值是（ ）A ．0B ．1-C ．3-D ．4-【例77】 下列可能正确的是（ ）A ．1a ba b += B ．2a b c a b c++= C ．3c d a b a b c d +++= D ．4a b c d a b c d a b c d abcd+++++++=【例78】 如果20a b +=，则12a ab b-+-等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【例79】 如果000a b c a b c a b c +->-+>-++>，，，则200220022002a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值等于（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．3【例80】 如果0a b c +->，0a b c -+>，0a b c -++>，求200220032004()()()a b ca b c-+的值．【例81】 已知0abc ≠，求ab ac bcab ac bc++的值．【例82】 若a ，b ，c 均不为零，求a b c abc++.【例83】 若a ，b ，c 均不为零，且0a b c ++=，求a b c abc++.【例84】a ，b ，c 为非零有理数，且0a b c ++=，则a b b c c a a bb cc a++的值等于多少？【例85】 三个数a ，b ，c 的积为负数，和为正数，且ab ac bca b c x a b c ab ac bc=+++++， 求321ax bx cx +++的值.【例86】 设实数a ，b ，c 满足0a b c ++=，及0abc >，若||||||a b c x a b c =++，111111()()()y a b c b c a c a b=+++++，那么代数式23x y xy ++的值为______．【例87】 有理数a b c ，，均不为零，且0a b c ++=，设a b c x b ca ca b=+++++，则代数式20042007x x -+的值为多少？【例88】 有理数a b c ，，均不为零，且0a b c ++=，设a b c x b ca ca b=+++++，则代数式19992000x x -+的值为多少？【例89】 若0a b c ++=，0abc >，则b c c a a ba b c+++++= ．【例90】 已知a 、b 、c 互不相等，求()()()()()()()()()()()()a b b c b c c a c a a b a b b c b c c a c a a b ------++------的值．【例91】a 、b 、c 的大小关系如图所示，求a b b c c a ab aca b b c c a ab ac-----++----的值．【例92】 若有理数m 、n 、p 满足1m n p m n p ++=，求23mnpmnp的值．【例93】 已知有理数a b c ，，满足1a b c a b c ++=，则abcabc=（ ） A ．1 B ．1- C ．0 D ．不能确定【例94】 有理数a ，b ，c ，d 满足1abcd abcd=-，求a b c d abcd+++的值．【例95】 已知0ab ≠，求a ba b+的值【例96】 已知0ab ≠，求a b a b --的值．【例97】 如果12x <<，求代数式2121x x x x xx---+--的值．。