高考数学 探究型、探索型及开放型问题选讲新题赏析讲义 理
高考数学 探究型、探索型及开放型问题选讲经典回顾讲
探究型、探索型、开放型问题经典回顾开篇语研究型、探索型、开放型问题是高考数学中的创新问题，是历年高考试题的亮点．这类问题大多背景新颖，视角独特，设计精妙，小巧灵活．历年高考中，常见的类型有：自主定义型、直觉判断型、类比推理型、归纳猜想型、探索发现型、研究设计型六类．这些问题在课本上一般很难找到，由于见得较少，因此对于高三学生来说，似有一定的难度．所以，在高三二轮复习中，我们应当适当地选择一些研究型、探索型、开放型问题加以求解训练，逐步提高我们求解创新问题的能力．开心自测题一：根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律, 猜测第n 个图中有 个点. ① ② ③ ④ ⑤题二：定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列． 这个常数叫做这个数列的公和．已知数列{}n a 是等和数列，且12a =，公和为5，那么18a 的值为 ，这个数列的前n 项和n S 的计算公式为 ．金题精讲题一：设S 为复数集C 的非空子集.若对任意x,y S ∈，都有x y,x y,xy S +-∈，则称S 为封闭集．下列命题：①集合S ＝{a ＋bi |（a,b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0S ∈；③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集.其中真命题是 （写出所有真命题的序号）题二：如图所示，单位圆中AB 弧的长为x ，()f x 表示AB 弧与弦AB 所围成的弓形面积的2倍，则函数()y f x =的图象是 （ ）．（A ） （B ） （C ） （D ）题三：计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0—9和字母A —F 共16个十六进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十 进 制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示：，则（ ）．（A ） 6E （B ） 72 （C ） 5F （D ） B0题四：设112,,(2)(3)23n n n n N x x ≥∈+-+2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，将(0)k a k n ≤≤的最小值记为n T ，则2345335511110,,0,,,,2323n T T T T T ==-==-⋅⋅⋅⋅⋅⋅其中n T =________．题五：定义映射:f A B →，其中{}(,),A m n m n =∈R ，B =R .已知对所有的有序正整数对(,)m n 满足下述条件：①(,1)1f m =；②若m n <，(,)0f m n =；③(1,)[(,)(,1)]f m n n f m n f m n +=+-，则(3,2)f 的值是_________；(,)f n n 的表达式为_________（用含n 的代数式表示）.题六：给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使他们的全面积都与原三角面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明．名师寄语在本节课的学习中，我们将高考中的研究型、探索型、开放型试题细化为自主定义型、直觉判断型、类比推理型、归纳猜想型、探索发现型、研究设计型六类问题，这六类问题是历年高考中考查创新意识的主要试题类型．求解这些问题，往往没有现成的方法、公式可以直接套用，而是需要我们根据问题的条件和结论，自行设计解决问题的方法和策略．显然，这在思维上具有较高的要求．因此，我们应当加强这类问题的求解训练，只有这样，才能有效地培养创新意识，提高潜在的能力．探究型、探索型、开放型问题经典回顾讲义参考答案开心自测题一：21n n -+．题二：18a =3；5(),251().2n n n S n n ⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为偶数为奇数． 金题精讲题一：①②．题二：D ．题三：A ． 题四：0 (),11 ()23n n nn T n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为偶数为奇数．． 题五：(3,2)f =6，(,)!f n n n =．题六：略．。
第十五讲数列中研究型探索型开放型问题
第2个图中每个分支各有2个点，
故 a2 4 2 ；
第3个图中每个分支各有3个点，
故 a3 4 3 ；
……
第n个图中每个分支各有n个点，
故 an 4n .
…
再看第二组图： 第1个四边形中每边上有1个点，
故 a1 4 11；
第2个四边形中每边上有个2个点，
例3 (2004北京) 定义“等和数列”：在一
个数列中，如果每一项与它的后一项的和都
为同一个常数，那么这个数列叫做等和数
列． 这个常数叫做这个数列的公和．
已知数列{an}是等和数列，且 a1 2，公和为5，
那么 的a值18 为
，这个数列的前
n项和 的计Sn算公式为
．
n 2
分析：根据问题中给出的等和数列的定义，
式，总结类比规律，是解决这类问题的关键.
4．探索发现型
例6（2006广东）在德国不来梅举行的第48 届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓 球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中 第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4…堆 最
…
底层（第一层）分别按图中所示方式固定摆 放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在 下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，
归纳小结：此题自主定义了一个数列的“理 想数”，着重考查了对“理想数”的认识和 理解.求解中由于读不懂“理想数”的定义， 或缺乏未知和已知的沟通和联系，因此常常 使得求解一筹莫展.这里，我们根据“理想 数”的定义，利用整体思想，架设了未知和 已知之间的桥梁，为快速求解问题奠定了基 础.
3．类比推理型
下面我们来探索数字都是1的行数规律．
第1次全为1的是第1行： 1 21 1 ， 第2次全为1的是第3行： 3 22 1， 第3次全为1的是第7行： 7 23 1 ，
高考数学开放探究性问题分类解析
ｆ （ ｘ ） （ ） ，． ・ ． 当ｏ ≥１ 时， 函数 ， （ ） 在 区间 ［ ０ ， ＋ ）
上是单调 递减 函数 ． （ ｉ ｉ ）当 Ｏ ＜ ａ ＜ ｌ 时 ，在 区间 ［ ０ ，＋ ）上存在 两点 。 ＝ Ｏ ，
①由ａ ｎ ＞ Ｏ 有 广 １ ＝ ２（ ｎ ≥２ ） ，则 ｛ ａ ｎ ｝ 为等差数列 ，即 ａ ｎ ＝
则ｆ （ ｘ ｌ ｘ ２ ） － （
＋ Ｘ ２ ｚ ＋１ Ｖ ， ＋１ 、 ／
解 析 ： （ １ ） ｛ ＋ ２ ＋ ｌ 一 ’ 西 ｌ ＋ ３ ： 一 ， 又 ％ 一 ％： ， 【 ＋ ３ ＋ ２ 一 ＋ １
所以 ｛ ａ ｎ ｝是周期为 ６的周期数列 ，
解集 为 ｛ Ｉ Ｉ ＞０ ｝ ．
｝ ；当 口 ≥１ 时，
② 若珥 ＋ ＜ ｏ ， 试判断数列 ｛ ｝是否为周期数列 ， 并说
明理 由．
（ ２ ）为探 索性 问题 ，先求 出ｆ （ ｘ ） 与ｆ （ ｘ ： ） 的差 ，根 据单 调 函数 的定义求 出 ａ的值 ，再 针对特殊 情况 进行讨论 ，进一 步确定 ａ的值． 任取 １ ， ２ ∈ ［ ０ ，＋ ∞） ，且 ｌ ２ ，
ａ ｎ ＋ ３ ＝一 ％ ｊ 珥Ｈ 。 ＋ ＝ ０＝ 争ｎ ｌ ＋ ＋ｎ ３ ＋弛 ＋ 如＋ ％ ＝０ ．
＿ Ⅱ ）．
所以Ｓ ２ ０ １ ２ ＝ ３ ３ ５ ・ （ ａ ｌ ＋ ０ ２ ＋ ｎ ３ ＋ ｃ Ｌ ０ ５ ＋ ８ ６ ） ＋ 口 １ ＋ 。 ２ ＝ Ⅱ ＋ ６ ．
（ ｉ ） 当。 ≥ 时 ，
误将 必要条件 当作充分条件 ，应引起 注意．
例 １ ． 设 函数 厂 （ ）＝ 、 ／ 广一 似，其 中． ａ ＞ Ｏ ．
专题 探究型、探索型及开放型问题选讲2014新题赏析-讲义
探究型、探索型及开放型问题选讲2014新题赏析金题精讲题一：某珠宝店失窃，甲、乙、丙、丁四人涉嫌被拘审，四人的口供如下：甲：作案的是丙；乙：丁是作案者；丙：如果我作案，那么丁是主犯；丁：作案的不是我。
如果四人口供中只有一个是假的，那么以下判断正确的是（ ）.A.说假话的是甲，作案的是乙B.说假话的是丁，作案的是丙和丁C.说假话的是乙，作案的是丙D.说假话的是丙，作案的是丙题二：如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为点P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP =x ，则当[1,5]x ∈时，函数()y f x =的值域为（ ）.A.B.C.D.题三：已知关于x 的函数()(0)e xax a f x a -=≠. (1)当1a =-时，求函数()f x 的极值；(2)若函数()()1F x f x =+没有零点，求实数a 取值范围.题四：一个函数()f x ，如果对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在()f x 的定义域内，就有1(),(),()f a f b f c 也是某个三角形的三边长，则称()f x 为“保三角形函数”．(1)判断1()f x =22()f x x =是否是“保三角形函数”，并说明理由；(2)如果()g x 是定义在R 上的周期函数，且值域为(0,)+∞，证明()g x 不是“保三角形函数”.探究型、探索型及开放型问题选讲2014新题赏析讲义参考答案金题精讲题一：B. 题二：D. 题三：(1) 极小值为2e --.(2)2e 0a -<<. 题四：(1) 1()f x 是“保三角形函数”，2()f x 不是“保三角形函数”．(2)略.。
专题10立体几何中的开放性、探索性问题(解析版)-2021年高考数学(理)立体几何突破性讲练
2021年高考数学（理）立体几何突破性讲练10立体几何中的开放性、探索性问题一、考点传真：能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理，并能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．二、知识点梳理：解决立体几何中开放性、探索性问题的基本方法(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理．(2)探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为(x ，y ，z )；②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如xOy 面上的点为(x ，y,0)；③坐标轴上的点两个坐标为0，如z 轴上的点为(0,0，z )；④直线(线段)AB 上的点P ，可设为AP →＝λAB →，表示出点P 的坐标，或直接利用向量运算．三、例题：例1.（2020年全国新高考1卷，4）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面，在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬o 40，则晷针与点A 处的水平面所成角为( )A.o 20B.o 40C.o 50D.o 90【答案】B【解析】过球心O 、点A 以及晷针的轴截面如图所示，其中CD 为晷面，GF 为晷针所在直线，EF 为点A 处的水平面，GF CD ⊥，CD OB ，40AOB ∠=︒，90OAE OAF ∠=∠=︒，所以40GFA CAO AOB ∠=∠=∠=︒.故选B.例2.（2020年全国1卷理数，16）如图，在三棱锥–P ABC 的平面展开图中，1AC =，AB AD =AB AC ⊥，AB AD ⊥，30CAE ∠=︒，则cos FCB ∠=______________.【答案】14-【解析】依题意得，AE AD =AEC 中，1AC =，30CAE ∠=︒，由余弦定理得2222cos 311EC AE AC AE AC EAC =+-⋅∠=-︒+=，所以1EC =，所以1CF EC ==.又2BC ，BF BD ===所以在BCF中，由余弦定理得2221cos 24BC CF BF FCB BC CF +-∠===-⨯.例3. （2019北京卷）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，AD CD ⊥，ADBC ，2PA AD CD BC ====，=（Ⅰ）求证：CD PAD ⊥平面； （Ⅱ）求二面角F AE P --的余弦值; （Ⅲ）设点G 在PB 上，且23PG PB =.判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由. 【解析】（I ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥. 又因为AB CD ⊥，所以CD ⊥.平面PAD ，（II ）过A 作AD 的垂线交BC 于点M ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AM ⊥PA AD ⊥，如图建立空间直角坐标系A -xyz ，则A （0，0，0），B （2，-1，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2），因为E 为PD 的中点，所以E （0，1，1）.所以()0,1,1AE =，()2,2,2PC =-, ()0,0,2AP =. 所以1222,,3333PF PC ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，224,,333AF AP PF ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭设平面AEF 的法向量为(),,x y z =n ，则00AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即02240333y z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩. 令z =1,则y =-1,x =-1.于是()1,1,1=--n .又因为平面PAD 的法向量为()1,0,0=p ，所以3cos ⋅==⋅n p <n,p >n p .因为二面角F-AE-P为锐角，所以其余弦值为3（III ）直线AG 在平面AEF 内，因为点G 在PB 上，且2,3PG PB =()2,1,2,PB =-- 所以2424,,3333PG PB ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，422,,333AG AP PG ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭. 由（II ）知，平面AEF 的法向量为()1,1,1=--n ， 所以4220333AG ⋅++=n =-，所以直线AG 在平面AEF 内. 例4.（2016年北京） 如图，在四棱锥中，平面PAD ⊥平面，， ，，，，（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)∵面PAD面ABCD AD =，面PAD ⊥面ABCD ，∵AB ⊥AD ，AB ⊂面ABCD ，∴AB ⊥面PAD ， ∵PD ⊂面PAD ， ∴AB ⊥PD ，yBP ABCD -ABCD PA PD ⊥PA PD =AB AD ⊥1AB =2AD =AC CD ==PD ⊥PAB PB PCD PA M //BM PCD AMAP又PD ⊥PA ，∴PD ⊥面PAB ， (2)取AD 中点为O ，连结CO ，PO ，∵CD AC == ∴CO ⊥AD ， ∵PA PD =， ∴PO ⊥AD ，以O 为原点，如图建系易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，，则(111)PB =-，，，(011)PD =--，，，(201)PC =-，，，(210)CD =--，，， 设n 为面PDC 的法向量，令00(,1)n x y =，．011,120n PD n n PC ⎧⋅=⎪⎛⎫⇒=-⎨⎪⎝⎭⋅=⎪⎩，，则PB 与面PCD 夹角θ有，sin cos ,1n PB n PB n PBθ⋅=<>== (3)假设存在M 点使得BM ∥面PCD ， 设AMAPλ=，()0,','M y z ， 由(2)知()0,1,0A ，()0,0,1P ，()0,1,1AP =-，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =- 有()0,1,AM AP M λλλ=⇒- ∴()1,,BM λλ=--∵BM ∥面PCD ，n 为PCD 的法向量， ∴0BM n ⋅=，即102λλ-++=，∴1=4λ∴综上，存在M 点，即当14AM AP =时，M 点即为所求． 四、巩固练习：1．如图所示，在四边形ABCD中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°.将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD ，则在三棱锥A BCD 中，下列结论正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC【答案】D【解析】∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.又AD⊥AB，AD∩CD＝D，AD⊂平面ADC，CD⊂平面ADC，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC.2．如图甲所示，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，如图乙所示，那么，在四面体AEFH中必有( )A．AH⊥平面EFH B．AG⊥平面EFHC．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF【答案】A【解析】∵AH⊥HE，AH⊥HF，且EH∩HF＝H，∴AH⊥平面EFH，A正确；∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴B不正确；∵AG⊥EF，EF⊥AH，AG∩AH＝A，∴EF⊥平面HAG，∵EF⊂平面AEF，∴平面HAG⊥AEF，∴过H作平面AEF的垂线，一定在平面HAG内，∴C不正确；∵HG不垂直于AG，∴HG⊥平面AEF不正确，∴D不正确．故选A.3．如图，一张A4纸的长、宽分别为22a，2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体．下列关于该多面体的命题，正确的是________．(写出所有正确命题的序号)①该多面体是三棱锥；②平面BAD⊥平面BCD；③平面BAC⊥平面ACD；④该多面体外接球的表面积为5πa2.【答案】①②③④【解析】由题意得该多面体是一个三棱锥，故①正确；∵AP⊥BP，AP⊥CP，BP∩CP＝P，∴AP ⊥平面BCD ，又∵AP ⊂平面ABD ，∴平面BAD ⊥平面BCD ，故②正确；同理可证平面BAC ⊥平面ACD ，故③正确；该多面体的外接球半径R ＝52a ，所以该多面体外接球的表面积为5πa 2，故④正确．综上，正确命题的序号为①②③④.4．如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是________． ①A ′C ⊥BD ；②∠BA ′C ＝90°；③四面体A ′BCD 的体积为16.【答案】②③【解析】∵BD ⊥CD ，平面A ′BD ⊥平面BCD ，平面A ′BD ∩平面BCD ＝BD ，CD ⊂平面BCD ，∴CD ⊥平面A ′BD ，∴CD ⊥A ′D .∵AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，∴A ′C ＝2，BC ＝3，∴A ′B 2＋A ′C 2＝BC 2，∴A ′B ⊥A ′C ，即∠BA ′C ＝90°，四面体A ′BCD 的体积V ＝13×12×12×1＝16.5．如图，矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻转成△A 1DE .若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻转过程中，正确的命题是________． ①MB 是定值； ②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使DE ⊥A 1C ； ④一定存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE . 【答案】①②④【解析】取DC 的中点N ，连接MN ，NB ，则MN ∥A 1D ，NB ∥DE ，∴平面MNB ∥平面A 1DE ，∵MB ⊂平面MNB ，∴MB ∥平面A 1DE ，④正确；∠A 1DE＝∠MNB ，MN ＝12A 1D ＝定值，NB ＝DE ＝定值，根据余弦定理得，MB 2＝MN 2＋NB 2－2MN ·NB ·cos∠MNB ，所以MB 是定值，①正确；B 是定点，所以M 是在以B 为圆心，MB 为半径的圆上，②正确；当矩形ABCD 满足AC ⊥DE 时存在，其他情况不存在，③不正确．所以①②④正确． 6．如图①，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝23，点F 是AC 上的动点．现将矩形ABCD 沿着对角线AC 折成二面角D ′AC B ，如图②，使得D ′B ＝30.(1)求证：当AF ＝3时，D ′F ⊥BC ；(2)试求CF 的长，使得二面角A D ′F B 的大小为π4.【解析】(1)证明：在矩形ABCD 中，连接DF ，BF . ∵AD ＝23，CD ＝6，∴AC ＝43，∠CAB ＝30°，∠DAC ＝60°. 在△ADF 中，∵AF ＝3，∴DF 2＝DA 2＋AF 2－2DA ·AF ·cos∠DAC ＝9. ∵DF 2＋AF 2＝9＋3＝DA 2，∴DF ⊥AC ，即在三棱锥D ′ABC 中，D ′F ⊥AC .又在△ABF 中，BF 2＝AB 2＋AF 2－2AB ·AF ·cos∠CAB ＝21， ∴在△D ′FB 中，D ′F 2＋FB 2＝9＋21＝D ′B 2， ∴BF ⊥D ′F .又∵AC ∩FB ＝F ，∴D ′F ⊥平面ABC . 又BC ⊂平面ABC ，∴D ′F ⊥BC .(2)在矩形ABCD 中，过点D 作DO ⊥AC 于点O ，延长DO 交AB 于点E .易求DE ＝4，AO ＝3，D ′O ＝3，OE ＝1，沿着对角线AC 翻折后，由(1)可知，OE ，OC ，OD ′两两垂直， 以O 为原点，OE ―→，OC ―→，OD ′―→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz ， 则O (0,0,0)，E (1,0,0)，D ′(0,0,3)，B (3,23，0)．∵EO ⊥平面AD ′F ，∴OE ―→＝(1,0,0)为平面AD ′F 的一个法向量． 设平面BD ′F 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，F 点坐标为F (0，t,0)， 则BD ′―→＝(－3，－23，3)，BF ―→＝(－3，t －23，0).由⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD ′―→＝0，n ·BF ―→＝0，得⎩⎨⎧－3x －23y ＋3z ＝0，－3x ＋t －23y ＝0.取y ＝3，得x ＝t －23，z ＝t ，∴n ＝(t －23，3，t )．∴cos π4＝|n ·OE ―→||n |·|OE ―→|，即|t －23|t －232＋9＋t2＝22， ∴t ＝34.∴当CF ＝OC －OF ＝1134时，二面角A D ′F B 的大小是π4. 7．如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝AC ＝2，AD ＝22，PB ＝32，PB ⊥AC .(1)求证：平面PAB ⊥平面PAC ；(2)若∠PBA ＝45°，试判断棱PA 上是否存在与点P ，A 不重合的点E ，使得直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为33？若存在，求出AEAP的值；若不存在，请说明理由． 【解析】(1)证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，AD ＝22，所以BC ＝AD ＝2 2.又因为AB ＝AC ＝2，所以AB 2＋AC 2＝BC 2，所以AC ⊥AB .又因为PB ⊥AC ，且AB ∩PB ＝B ，所以AC ⊥平面PAB .因为AC ⊂平面PAC ，所以平面PAB ⊥平面PAC . (2)由(1)知AC ⊥AB ，平面PAB ⊥平面ABC ，AC ⊥平面PAB .如图，分别以AB ，AC 所在直线为x 轴，y 轴，平面PAB 内过点A 且与直线AB 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，所以AC ―→＝(0,2,0)，BC ―→＝(－2,2,0)．由∠PBA ＝45°，PB ＝32，可得P (－1,0,3)， 所以AP ―→＝(－1,0,3)，BP ―→＝(－3,0,3)．假设棱PA 上存在点E ，使得直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为33，设AEAP＝λ(0＜λ＜1)，则AE ―→＝λAP ―→＝(－λ，0,3λ)，CE ―→＝AE ―→－AC ―→＝(－λ，－2,3λ)． 设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC ―→＝0，n ·BP ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2y ＝0，－3x ＋3z ＝0.令z ＝1，可得x ＝y ＝1，所以平面PBC 的一个法向量为n ＝(1,1,1)．设直线CE 与平面PBC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，CE ―→〉|＝|－λ－2＋3λ|3×－λ2＋－22＋3λ2＝|2λ－2|3×10λ2＋4＝33，整理得3λ2＋4λ＝0， 因为0＜λ＜1，所以3λ2＋4λ＞0，故3λ2＋4λ＝0无解，所以棱PA 上不存在与点P ，A 不重合的点E ，使得直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为33. 8．如图①，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，BD ⊥DC ，点E 是BC 边的中点，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ，AC ，DE ，得到如图②所示的几何体．(1)求证：AB ⊥平面ADC ；(2)若AD ＝1，二面角C AB D 的平面角的正切值为6，求二面角B AD E 的余弦值． 【解析】(1)证明：因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，BD ⊥DC ， 所以DC ⊥平面ABD . 因为AB ⊂平面ABD ， 所以DC ⊥AB .又因为折叠前后均有AD ⊥AB ，DC ∩AD ＝D ， 所以AB ⊥平面ADC . (2)由(1)知AB ⊥平面ADC ，所以二面角C AB D 的平面角为∠CAD . 又DC ⊥平面ABD ，AD ⊂平面ABD ， 所以DC ⊥AD .依题意tan ∠CAD ＝CD AD＝ 6. 因为AD ＝1，所以CD ＝ 6. 设AB ＝x (x ＞0)，则BD ＝x 2＋1. 依题意△ABD ∽△DCB ，所以AB AD ＝CD BD ，即x 1＝6x 2＋1.解得x ＝2，故AB ＝2，BD ＝3，BC ＝BD 2＋CD 2＝3. 法一：如图所示，建立空间直角坐标系D xyz ， 则D (0,0,0)，B (3，0,0)，C (0，6，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，62，0，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0，63. 所以DE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，62，0，DA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0，63. 由(1)知平面BAD 的一个法向量n ＝(0,1,0)．设平面ADE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧ m ·DE ―→＝0，m ·DA ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 32x ＋62y ＝0，33x ＋63z ＝0.令x ＝6，得y ＝－3，z ＝－3，所以m ＝(6，－3，－3)为平面ADE 的一个法向量．所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m|＝－12. 由图可知二面角B AD E 的平面角为锐角，所以二面角B AD E 的余弦值为12. 法二：因为DC ⊥平面ABD ，所以过点E 作EF ∥DC 交BD 于点F ，则EF ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以EF ⊥AD .过点F 作FG ⊥AD 于点G ，连接GE ，所以AD ⊥平面EFG ，因此AD ⊥GE ，所以二面角B AD E 的平面角为∠EGF .由平面几何的知识求得EF ＝12CD ＝62，FG ＝12AB ＝22， 所以EG ＝EF 2＋FG 2＝2， 所以cos ∠EGF ＝FG EG ＝12. 所以二面角B AD E 的余弦值为12. 9．如图1，在高为2的梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝5，过A ，B 分别作AE ⊥CD ，BF⊥CD ，垂足分别为E ，F .已知DE ＝1，将梯形ABCD 沿AE ，BF 同侧折起，得空间几何体ADE BCF ，如图2.(1)若AF ⊥BD ，证明：DE ⊥BE ；(2)若DE ∥CF ，CD ＝3，在线段AB 上是否存在点P ，使得CP 与平面ACD 所成角的正弦值为3535？并说明理由． 【解析】(1)证明：由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2，∴AF ⊥BE .∵AF ⊥BD ，BE ∩BD ＝B ，∴AF ⊥平面BDE .又DE ⊂平面BDE ，∴AF ⊥DE .∵AE ⊥DE ，AE ∩AF ＝A ，∴DE ⊥平面ABFE .又BE ⊂平面ABFE ，∴DE ⊥BE .(2)当P 为AB 的中点时满足条件．理由如下：∵AE ⊥DE ，AE ⊥EF ，DE ∩EF ＝E ，∴AE ⊥平面DEFC .如图，过E 作EG ⊥EF 交DC 于点G ，可知GE ，EA ，EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以EA ―→，EF ―→，EG ―→分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,1，3)，D ⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，32，AC ―→＝(－2,1，3)，AD ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12，32. 设平面ACD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AC ―→＝0，n ·AD ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋y ＋3z ＝0，－2x －12y ＋32z ＝0，令x ＝1，得n ＝(1，－1，3)．设AP ―→＝λPB ―→，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2λ1＋λ，0，λ∈(0，＋∞)， 可得CP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，λ－11＋λ，－3. 设CP 与平面ACD 所成的角为θ，则sin θ＝|cos CP ―→，n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－λ－11＋λ7＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－11＋λ2×5＝3535， 解得λ＝1或λ＝－25(舍去)， ∴P 为A。
专题 探究型、探索型及开放型问题选讲经典回顾 课后练习二及详解
探究型、探索型及开放型问题选讲经典回顾课后练习（二）题一：⑴下面三个图是由若干盆花组成形如三角形的图案，每条边（包括顶点）有n(n>1)盆花，每个图案花盆总数为S，按此规律推断，S与n的关系式是________。
n=2 n=3 n=4S=3 S=6 S=9⑵观察下列的图形中小正方形的个数，则第n个图中有个小正方形.题二：定义：称npppn+++21为n个正数n ppp,,,21的“均倒数”.数列{}n a的前n项的“均倒数”为121+n，求{}n a的通项公式.题三：对于给定的自然数n，如果数列12,,...,()ma a a m n>满足：1,2,3,...,n的任意一个排列都可以在原数列中删去若干项后按数列原来顺序排列而得到，则称12,,...,()ma a a m n>是“n的覆盖数列”.如1,2,1 是“2的覆盖数列”；1,2,2则不是“2的覆盖数列”，因为删去任何数都无法得到排列2,1，则以下四组数列中是“3的覆盖数列” 为（）（A）1,2,3,3,1,2,3 （B）1,2,3,2,1,3,1 （C）1,2,3,1,2,1,3 （D）1,2,3,2,2,1,3题四：向高为H的水瓶中注水,注满为止.试分别画出注水量V与水深h的函数关系的图象。
题五：现代社会信息瞬息万变，国际间对破译密码的难度要求越来越高.原文称为明文，密码称为密文，有一种密码把英文的明文按字母分解，其中英文的a,b,c,…,z这26个字母依次对应阿拉伯数字1，2，3，…，26，给出如下一个变换公式：n=1 n=2 n=3 n=4 n=51,(,126,)'213,(,126,)2x x N x x x x N x x x +∈≤≤+∈≤≤⎧=⎨⎩为奇数为偶数,然后将明文转换成密文，如8→82+13=17，即h 变成q; 5→512+=3, 即e 变成c. (1)按此规定，将明文good 翻译成密文；(2) 按此规定，将密文shxc 破译成明文；题六：已知数列：1213214321,,,,,,,,,,...,1121231234依它的前10项的规律，这个数列的第2010项2010a 满足（ ）A ．20101010a <<B ．20101110a ≤< C ．2010110a ≤≤ D ．201010a >题七：已知向量u ＝(x ，y )，与向量v ＝(y,2y －x )的对应关系用v ＝f (u )表示．(1)证明：对任意的向量a 、b 及常数m 、n ，恒有f (ma ＋nb )＝mf (a )＋nf (b )成立；(2)设a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，求向量f (a )与f (b )的坐标；(3)求使f (c )＝(p ，q )(p 、q 为常数)的向量c 的坐标．题八：请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x （cm ）．（1）某广告商要求包装盒的侧面积S （cm 2）最大，试问x 应取何值？（2）某厂商要求包装盒的容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．P探究型、探索型及开放型问题选讲经典回顾课后练习参考答案题一： 答案：S=3n —3；2232++n n 详解：⑴题目给出了“每条边（包括顶点）有n(n>1)盆花”，而三角形有三条边，因此，三条边上的的花盆数量为3n ，但每个顶点上的花盆用了两次，必须减去。
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探究型、探索型及开放型问题选讲经典精讲重难点突破动手尝试、探索实践，先猜再证金题精讲题一：在1，2，3，…，2012中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？题二：用[x ]表示不超过x 的最大整数．对于下面关于函数f (x )=( x －[x ]) 2的四个命题：①函数y = f (x )的定义域为R ，值域为[0,1]；②函数y = f (x )的图象关于y 轴对称；③函数y = f (x )是周期函数，最小正周期为1；④函数y = f (x )在(0,1)上是增函数．其中正确命题的序号是______．(写出所有正确命题的序号)题三：在数列{a n }中，a 1=a ，a 2=b ，且a n =| a n －1|－a n －2，n =3,4,5….给出下列命题： ① ,a b ∃∈R ，使得a 1，a 2，a 3均为负数；② ,a b ∃∈R ，使得a 1，a 2，a 3均为正数；③ 若5,1a b ==，则a 88=－3.其中真命题的序号为___________.(填出所有真命题的序号)题四：若数列A n ：a 1，a 2，…，a n ( n ≥2) 满足| a k +1－a k |=1 (k =1,2，…，n －1)，则称A n 为E 数列，记S (A n )：a 1+a 2+…+ a n ．(Ⅰ)写出一个满足a 1= a 5=0, 且S (A 5) > 0的E 数列A 5；(Ⅱ)若a 1=12 ，n =2000，证明：E 数列A n 是递增数列的充要条件是a 2000=2011； (Ⅲ)对任意给定的整数n (n ≥2) ，是否存在首项为0的E 数列A n ，使得S (A n )=0？如果存在，写出一个满足条件的E 数列A n ；如果不存在，说明理由．探究型、探索型及开放型问题选讲经典精讲讲义参考答案金题精讲题一：671 题二：③④题三：②③题四：(Ⅰ)0, 1, 0, 1, 0；(Ⅱ)证明略；(Ⅲ)当n=4k或n=4k+1时，存在；当n=4k+2或n=4k+3时，不存在。
高考数学 探究型、探索型及开放型问题选讲经典精讲课
探究型、探索型及开放型问题选讲经典精讲课后练习（一）从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？[x]表示不超过x的最大整数，例如[ 3.5]=4，[2.1]=2，若y=x[x]，下列命题：①当x=0.5时，y=0.5；②y的取值范围是：0≤y≤1；③对于所有的自变量x，函数值y随着x增大而一直增大．其中正确命题有______①（只填写正确命题的序号）．已知数列{an}：a1，a2，…，an（0≤a1＜a2…＜an），n≥3时具有性质P：对任意的i，j（1≤i＜j≤n），aj+ai与aj ai两数中至少有一个是该数列中的一项，现给出以下四个命题：①数列0，1，3具有性质P；②数列0，2，4，6具有性质P；③数列{an}具有性质P，则a1=0；④若数列a1，a2，a3（0≤a1＜a2＜a3）具有性质P，则a1+a3=2a2．其中真命题的序号为②③④．（所有正确命题的序号都写上）若数列An：a1，a2，…，an（n≥2）满足|ak+1ak|=1（k=1，2，…，n1），则称An为E数列，记S（An）=a1+a2+…+an．（Ⅰ）写出一个E数列A5满足a1=a3=0；（Ⅱ）若a1=13，n=2000，求证：若An是递增数列，则an=2012；反之亦成立；（Ⅲ）在a1=4的E数列An中，求使得S（An）=0成立得n的最小值．探究型、探索型及开放型问题选讲经典精讲课后练习参考答案61．详解：首先，如下61个数：11，11+33，11+2×33，11+60×33（即1991）满足题设条件，另一方面，设a1＜a2＜an是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个数ai，aj，ak，am，因为33|（ai+ak+am），33|（aj+ak+am），所以33|（aj ai），∴所取的数中任意两数之差都是33的倍数，设ai =a1+33di，i=1，2，3，n，由33|（a1+a2+a3），得33|（3a1+33d2+33d3），所以33|3a1，11|a1，即1120101111,613333nna aa d--≥=≤<，故dn≤60，所以n≤61，综上所述，n的最大值为61．①．详解：①根据题意可得[x]=1，所以y=x[x]=0.5（1）=0.5，所以此命题正确；②中y的取值范围是：0≤y＜1，错误；③当x取一正一负时，函数值y有可能随着x增大而一直增大，错误．正确命题只有①．②③④．详解：∵对任意i，j（1≤i≤j≤n），aj+ai与aj ai两数中至少有一个是该数列中的项，①数列0，1，3中，a2+a3=1+3=4和a3a2=31=2都不是该数列中的数，故①不正确；②数列0，2，4，6，aj+ai与aj ai（1≤i≤j≤3）两数中都是该数列中的项，并且a4a3=2是该数列中的项，故②正确；③若数列{an}具有性质P，则an+an=2an与an an=0两数中至少有一个是该数列中的一项，∵0≤a 1＜a 2＜…＜an，n≥3，而2a n不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，∴a 1=0；故③正确；④∵数列a 1，a 2，a 3具有性质P，0≤a 1＜a 2＜a 3，∴a 1+a 3与a 3 a 1至少有一个是该数列中的一项，且a1=0，1°若a1+a3是该数列中的一项，则a 1+a 3=a 3，∴a1=0，易知a 2+a 3不是该数列的项∴a 3 a 2=a 2，∴a 1+a 3=2a 2．2°若a3a1是该数列中的一项，则a3a1=a1或a2或a3，①若a3a1=a3同1°，②若a3a1=a2，则a3=a2，与a2＜a3矛盾，③a3a1=a1，则a3=2a1，综上a1+a3=2a2．故④正确．故答案为：②③④．（Ⅰ）见详解；（Ⅱ）见详解；（Ⅲ）9．详解：（Ⅰ）0，1，0，1，0是一个满足条件的E数列A5（答案不唯一，0，1，0，1，0或0，±1，0，1，2或0，±1，0，1，2或0，±1，0，1，0都满足条件的E数列A5）（Ⅱ）∵E数列An是递增数列，∴ak+1ak=1（k=1，2，…，1999），∵a1=13，n=2000，∴An是首项为13，公差为1的等差数列，∴a2000=13+（20001）×1=2012．反之：由于a2000a1999≤1，a1999a1998≤1，…a2a1≤1，所以a2000a1≤1999，即a2000≤a1+1999，又因为a1=13，a2000=2012，所以a2000≤a1+1999．故ak+1ak=1＞0（k=1，2，…，1999），即An是递增数列．综上所述，若An是递增数列，则an=2012；反之亦成立．（Ⅲ）对首项为4的E数列An，由于a2≥a11=3，a3≥a21≥2，…，a8≥a71≥ 3 …，所以a1+a2+…+ak＞0（k=2，3，…，8），所以对任意的首项为4的E数列An，若S（An）=0，则必有n≥9，又a1=4的E数列A9：4，3，2，1，0，1，2，3，4满足S（A9）=0，所以n的最小值是9．。
高考数学探究型、探索型及开放型问题选讲经典精讲课后练习二理
探究型、探究型及开放型问题选讲经典精讲课后练习〔二〕 题一：从自然数1到2021中，最多可以选出 个数，使得被选出的数中任意两个数的和都不能被3整除．题二：对于实数x ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[π]=3，[1.08]=2，定义函数f (x ) = x [x ]，那么以下命题中正确的选项是_______〔填题号〕①函数f 〔x 〕的最大值为1； ②函数f 〔x 〕的最小值为0；③函数1()()2G x f x =-有无数个零点；④函数f 〔x 〕是增函数．题三：无穷等差数列{a n }的各项均为整数，首项为a 1、公差为d ，3、21、15是其中的三项，给出以下命题；①存在满足条件的数列{a n }，使得对任意的n ∈N *，S 2n =4S n 成立．②对任意满足条件的d ，存在a 1，使得99一定是数列{a n }中的一项；③对任意满足条件的d ，存在a 1，使得30一定是数列{a n }中的一项；其中正确命题为_______．〔写出所有正确命题的序号〕题四：数列{}n a 中,，31=a 前n 项和1)1)(1(2-++=n n a n S ． 〔1〕求证：数列{}n a 是等差数列；〔2〕求数列{}n a 的通项公式；〔3〕设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得M T n ≤对一切正整数n 都成立？假设存在，求M 的最小值；假设不存在，试说明理由．探究型、探究型及开放型问题选讲经典精讲 课后练习参考答案 题一： 671．详解：这2021个数可以分成三类：①被3整除的数，3，6，9，．，2007，共有669个；②被3除余数是1的数，1，4，7，．，2021，共有670个；③被3除余数是2的数，2，5，8，．，2006，共有669个．从第2组〔被3除余数是1的数，共有670个〕中可取670个，再从第一组〔被3整除的数〕中取出一个，那么最多可以选出670+1=671个数，使得被选出的数中任意两个数的和都不能被3整除．故答案为：671．题二： ②③．详解：∵函数f 〔x 〕=x [x ]，∴函数f 〔x 〕的最大值小于1，故①不正确；函数f 〔x 〕的最小值为0，故②正确；函数每隔一个单位重复一次，所以函数1()()2G x f x =-有无数个零点，故③正确； 函数f 〔x 〕有增有减，故④不正确．故答案为：②③．题三： ①②．详解：根据条件等差数列的其中三项：3、15、21，可以得到一个信息，d ≤6；①假如有S 2n =4S n ，那么由等差数列求和公式有：11(1)2(21)4[]2n n d na n n d na -+-⋅=+，化简得到，d =2a 1，所以只要满足条件d =2a 1的数列{a n }，就能使得对任意的n ∈N *，S 2n =4S n 成立，②9921=78能被6整除，且78136=，假设15和21之间有n 项，那么99和21之间有13n 项，所以99一定是数列{a n }中的一项，正确 ；③3021=9不能被6整除，假如d =6，那么30一定不是数列{a n }中的一项，错误．综上所述，①②正确，故答案为：①②．题四： 〔1〕见详解；〔2〕21n a n =+；〔3〕M 的最小值为61. 详解：①∵1)1)(1(21-++=n n a n S []1111112121111(2)(1)1(2)(1)(1)(1)22(1)1(1)(2)1(1)(2)(1)n n n n n n n n n n n n n n nS n a a S S n a n a na n a n a n a n a na n a n a +++++++++++∴=++-∴=-=++-++=+-∴+=+-∴+-=+-+整理得， 12122(1)(1)()2n n n n n n n a n a a a a a ++++∴+=++∴=+ ∴数列{}n a 为等差数列.②1)1(311-+==+n n a n na a ，21212152a a a a ∴=-=∴-=即公差为21(1)3(1)221n a a n d n n ∴=+-=+-⋅=+③)32)(12(111++=+n n a a n n 11122123n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭11111111111()()23557212323236n n T n N T n n n *∴=-+-++-=-∈<+++又当时，要使得M T n ≤对一切正整数n 恒成立,只要M ≥61，所以存在实数M 使得M T n ≤对一切正整数n 都成立,M 的最小值为61.。
浙江省高考数学二轮专题复习 第23课时 高考开放性、探究性问题课件 理
3.逻辑推理问题
【例3】设M是由满足下列条件的函数f (x)构成的集合： ①关于x的方程f (x) x 0有实根； ②0 f (x) 1.
1试判断函数f (x) x sin x 是否属于M，并说明理
24 由；
2若f (x) M，求证：对于f (x)定义域内任意的x1、x2
(x1 x2 )，有 | f (x1) f (x2 ) x1 x2 | 成立；
b
2 n
.
设 A0是 每 项 均 为 正 整 数 的 有 穷 数 列 ， 令 Ak 1 T2 (T1 (
Ak ))( k 0 ,1, 2， )．
1
如
果
数
列
A0为
5
,
3,
2，
写
出
数
列
A1，
A
；
2
2 对 于 每 一 项 均 是 正 整 数 的 有 穷 数 列 A， 证 明 S (T1 (
A )) S ( A )．
则 AC B 90，
要求 a b 的取值范围即求 AB 的取值范围， 不妨设 AB 2m，在 OMA中，
由边长关系得22 1 m2 m2，
所以2m2 2m 3 0，
则m 2 4 24 1 7 ，
4
2
因为m 0，则2m 7 1，
这是 AB 2m的最小值，当C点位于直径的另一端时，AB 2m
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月3日星期四2022/3/32022/3/32022/3/3 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/32022/3/32022/3/33/3/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/32022/3/32022/3/32022/3/3
高考数学 冲刺必考专题解析 数学开放性问题问题
数学开放性问题怎么解数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向,其解法灵活且具有一定的探索性,这类题型按解题目标的操作模式分为:规律探索型,问题探究型,数学建模型,操作设计型,情景研究型.如果未知的是解题假设,那么就称为条件开放题;如果未知的是解题目标,那么就称为结论开放题;如果未知的是解题推理,那么就称为策略开放题.当然,作为数学高考题中的开放题其“开放度”是较弱的,如何解答这类问题,还是通过若干范例加以讲解.例 1 设等比数列{}n a 的公比为 q ，前 n 项和为 n S ，是否存在常数 c ，使数列 {}c S n +也成等比数列？若存在，求出常数c ；若不存在，请 明 理 由.讲解 存在型开放题的求解一般是从假设存在入手, 逐步深化解题进程的. 设存在常数c ， 使数列{}c S n + 成等比数列.212)())((c S c S c S n n n +=++++211222(++++--=-⋅∴n n n n n n S S S c S S S(i) 当 1=q 时，1na S n = 代入上式得()[])2()1((1)2(122121+--+=+-+n n n a ca n a n n a 即21a =0但01≠a , 于是不存在常数c ，使{}c S n +成等比数列.(ii) 当 1≠q 时，qq a S n n --=1)1(， 代 入 上 式 得1,)1()1()1()1(1212221-=∴--=---q a c q q q ca q q q a n n .综 上 可 知 , 存 在 常 数 11-=q a c ，使{}c S n +成等比数列.等比数列n 项求和公式中公比的分类, 极易忘记公比1=q 的 情 形, 可 不 要 忽 视 啊 !例2 某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元.（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）； (3 ) 使用若干年后，对机床的处理方案有两种：(i )当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；(ii )当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由.讲解 本例兼顾应用性和开放性, 是实际工作中经常遇到的问题. （1）98]42)1(12[50-⨯-+-=x x x x y =984022-+-x x . （2）解不等式 984022-+-x x ＞0, 得 5110-＜x ＜5110+.∵ x ∈N ， ∴ 3 ≤x ≤ 17. 故从第3年工厂开始盈利.（3）(i) ∵）x x x x x y 982(4098402+-=-+-=≤40129822=⨯- 当且仅当xx 982=时，即x=7时，等号成立.∴ 到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元.(ii) y=-2x 2+40x-98= -2（x-10）2+102， ∴当x=10时，y max =102.故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元. 解答函数型最优化实际应用题，二、三元均值不等式是常用的工具. 例3 已知函数f (x )=412-x (x <-2)(1)求f (x )的反函数f -1(x ); (2)设a 1=1,11+n a =-f -1(a n )(n ∈N ),求a n ;(3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1-S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N ,有b n <25m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在说明理由.讲解 本例是函数与数列综合的存在性问题, 具有一定的典型性和探索性. (1) y =412-x ,∵x <-2，∴x= -214y +, 即y =f -1(x )= - 214x +(x >0).(2) ∵21141n n a a +=+ , ∴22111n n a a -+=4. ∴{21na }是公差为4的等差数列. ∵a 1=1, ∴21n a =211a +4(n -1)=4n -3. ∵a n >0 , ∴a n =341-n .(3) b n =S n +1-S n =a n +12=141+n , 由b n <25m ,得 m >1425+n 对于n ∈N 成立.∵1425+n ≤5 , ∴m >5,存在最小正数m =6,使得对任意n ∈N 有b n <25m成立. 为了求a n ,我们先求21n a ,这是因为{21na }是等差数列, 试问: 你能够想到吗? 该题是构造等差数列的一个典范.例4 已知数列))(,(,1,}{11N n a a P a a n n n ∈=+且点中在直线x-y+1=0上. （1） 求数列{a n }的通项公式；（2）若函数),2,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 求函数f(n)的最小值；(3)设n nn S a b ,1=表示数列{b n }的前n 项和.试问:是否存在关于n 的整式g(n), 使得)()1(1321n g S S S S S n n ⋅-=++++- 对于一切不小于2的自然数n 恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由.讲解 从 规 律 中 发 现 ,从 发 现 中 探 索.（1）011=+-+n n a a.1,01,,01,01,011113221n n a a n a a a a a a a a n n n n =-+==-+-=+-=+-=+-∴-得以上各式相加（2） n n n n f 212111)(+++++=, 221121213121)1(+++++++++=+n n n n n n f ,01122122111221121)()1(=+-+++>+-+++=-+∴n n n n n n n f n f .,)(是单调递增的n f ∴.127)2()(=f n f 的最小值是故 （3）n s n b n n 12111+++=⇒= ,,1)1(),2(1111+=--≥=-∴---n n n n n s s n ns n n s s 即 1)2()1(221+=---∴---n n n s s n s n . ,1,121211112-++++=-∴+=--n s s s s ns s s s n n.)(),2()1(121n n g n n s n ns s s s n n n =∴≥⋅-=-=+++∴-故存在关于n 的整式,)(n n g =使等式对于一切不小2的自然数n 恒成立.事实上, 数列{a n }是等差数列, 你知道吗？例5 深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%。
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探究型、探索型及开放型问题选讲新题赏析
金题精讲题一：设 [x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x ，y ， 有( )
A ．[－x ]＝－[x ]
B ．[2x ]＝2[x ]
C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]
D ．[x －y ]≤[x ]－
[y ]
题二：设整数n ≥4,集合X ={1,2,3,…，n }.令集合S ={(x ，y ，z )| x ，y ，z ∈X ，且三条件x <y <z ，y <z <x ，z <x <y 恰有一个成立}，若(x ，y ，z )和(z ，w ，x )都在S 中，则下列选项正确的是( )
A ．(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∉ S
B ．(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∈S
C ．(y ，z ，w )∉ S ，(x ，y ，w )∈S
D ．(y ，z ，w )∉ S ，(x ，y ，w ) ∉S
题三：曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1, 0)和F 2(1, 0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的
轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；
③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于212
a ． 其中，所有正确结论的序号是 ．
题四：古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为()2111222
n n n n +=+.记第n 个k 边形数为N (n ,k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：
三角形数 ()211,322
N n n n =
+ 正方形数 ()2,4N n n = 五边形数 ()231,522
N n n n =
- 六边形数 ()2,62N n n n =- ……
可以推测N (n ,k )的表达式，由此计算N (10,24)= ．
题五：当x ∈R ，|x |<1时，有如下表达式:211.......1n x x x x
+++++=
- 两边同时积分得： 111112222220000011.......1n dx xdx x dx x dx dx x +++++=-⎰⎰⎰⎰⎰ 从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：
2311021111111()()...()_____C C C C 2223212
n n n n n n n +⨯+⨯+⨯++⨯=+．
题六：对于集合A ={1,2,3，…，n }的每一个子集，定义“交替和”如下：按照递减的次序重
新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数．例如，集合{1,2, 4,6,9}的交替和是9－6+4－2+1=6，集合{5}的交替和是5，∅的交替和为0．定义S n 为集合A 的所有子集的交替和的总和．求S n ．
探究型、探索型及开放型问题选讲新题赏析 讲义参考答案
金题精讲
题一：D
题二：B 题三：②③ 题四：1000 题五：113[()1]12n n +-+ 题六：n 2n －1。