推荐-苏州中学2018年全国高考数学模拟试卷(二) 精品

合集下载

2018届江苏六市高三数学二模试卷.docx

2018 届高三第二次调研测试（扬州、徐州、泰州、南通、淮安、宿迁）数学学科一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．1．已知集合 U1，0 ，1，2 ，3 ，A1，0 ，2，则 e U A ▲ ．2．已知复数 z 1a i ，z 2 3 4 i ，其中 i 为虚数单位．若z 1为纯虚数，则实数 a 的值为 ▲ ．z 23．某班 40 名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间40 ，100 上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于 60 分的人数为▲ ．开始频率S ←1组距i ← 1i ← i???1S ←S × 5i?< 4Y405060 70 80 90100 成绩 /分N输出 S（第 3 题）4．如图是一个算法流程图，则输出的 S 的值为 ▲ ．结束（第 4 题）5．在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C ，以线段 AC ， BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于 32 cm 2 的概率为▲ ．6．在 △ ABC 中，已知 AB1，AC2 ，B 45 ，则 BC 的长为 ▲ ．7．在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C 与双曲线 2y 2 x 1 有公共的渐近线，且经过3点 P 2 ， 3 ，则双曲线 C 的焦距为 ▲ ． 8．在平面直角坐标系 xOy 中，已知角，的始边均为 x 轴的非负半轴，终边分别经过点 A (1 ，2 ) ， B ( 5 ，1) ，则 tan() 的值为 ▲ ．9．设等比数列a n 的前 n 项和为 S n ．若 S 3 ，S 9 ，S 6 成等差数列，且 a 8 3 ，则 a 5 的值为▲ ．10．已知 a ，b ，c 均为正数，且 abc 4( ab ) ，则 a bc 的最小值为▲ ．x ≤ 3 ， 11．在平面直角坐标系 xOy 中，若动圆 C 上的点都在不等式组x 3y 3 ≥ 0 ，表示的平面x3 y 3 ≥ 0区域内，则面积最大的为▲ ．e x1 ， x0 ，3 个不同的零点，12．设函数 f (x)2（其中 e 为自然对数的底数）有 x 3 3mx2 ，x ≤ 0则实数 m 的取值范围是▲ ．13．在平面四边形 ABCD 中，已知 AB1 ，BC4 ，CD 2，DAuuur uuur3 ，则 AC BD 的值为 ▲ ． 14．已知 a 为常数，函数 f ( x)x的最小值为223 ，则 a 的所有值为 ▲ ．a x 1 x2二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．15．（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设向量 acos ，sin ， b sin ， cos ，c1， 3．22（1）若 a b c ，求 sin () 的值；（2）设5πa //b c6 ， 0π，且，求的值．16．（本小题满分 14 分）如图，在三棱柱ABC ?A 1B 1C 1 中， AB ??AC ，点 E ， F 分别在棱 BB 1?， CC 1 上（均异于端点），且∠ ABE ?∠ ACF ， AE ⊥ BB 1 1 ．A C， AF ⊥ CC求证：（ 1）平面 AEF ⊥平面 BB 1C 1C ；B F（2） BCBl 1 yA EB 1A 1l 2C C 1QB 1 Ox（第 18 题）P（第 16 题）22B 2x 2 y 2 1( a b 0 ) y x 3 4 2 QB 1PB 1 ， QB 2PB 2 l 1 l 1 l 1 l 2 l 1 x xa b（第 17 题）q 1 ，d 0 c i a i b ic 1 ，c 2 ，c 3 a 1 1 q2 c 1 ，c 2 ，c3 c 1 ，c 2 ，c 3 ，c4 f ( x ) x a sin x( a 0 ) yf ( x ) a1，g ( x )f ( x ) b ln x1 ( b R ，b0 )24b 2g ( x ) g ( x ) x 0 ，g ( x )0 x 0 ， g ( x 0 ) 0 g( x 1 ) g( x 2 ) ( x 1x 2 ) x 1 x 2开始B频率S←1A 组距i ←E 1OD（第 22 题）←i???1i C（第 21— A 题）S←S× 5i?< 4Y40 50 60 70 80 90 100 成绩 /分N（第 3 题）输出 S结束（第 4 题）DB DC OD 2OA212 M 1 0N 2 01A( 0，0 ) ，B( 3 ，0 ) ，C( 2 ，2 ) T T0201TT2P2，3l sin32P X600X E Xn(1 x ) 2n 1a0a1 x a2 x2a2 n 1 x2 n 1n N * T n( 2k 1) a n k T2 T n n N* T nk04n 2U 1 ，0，1，2 ，3 ，A1，0 ，2 e U A 1 ，3z1a i ，z2 3 4 i i z1440 ，100S z23△ ABC AB 1 ，AC 2 ，B45BC26 xOy C x y21P 2 ， 3C2234 3， A (1 ，2 ) B (5 ，1)tan()9a n S n S3，S9，S6 a83a567x ≤ 3 ，a ，b ，c abc4( a b )a b c C x3y 3 ≥ 0 ，(x224 1)y1 ，x3y 3 ≥ 0e x0 ，xf ( x)x32 e m1，ABCD AB1，BC4，CD 2 ，DA3uuur uuur3mx 2 ，x ≤ 0a f ( x)x2a 4，12+3C m1m m 1xOyAC BDa x 2234 1xa cos，sinb sin， cosc 1 ，3a b c sin ()225π0π a // b c a cos，sin b sin， cos 6c 1 ，3a b c1 a b cos sin sin cos sin ()22a bca 2 c 21 2sin () 11 sin ()15πb26a3 ，1 b csin1，cos3 a // bc22223 cos3 1 sin 11 sin 3 cos 1 sinπ 1222 2222 32ππ π 2ππ ππ 3 3 33 62a b cos sin sin cos sin ( ) a 2 ??2 a b ??b 2 ??1，每个 2 分，没有先后序。

普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案

普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案普通高等学校招生全国统一考试模拟试题——文科数学（二）本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 $A=\{x|x-\frac{1}{2}<0\}$，$B=\{x|x-\frac{(2a+8)}{a(a+8)}<0\}$，若 $A\cap B=A$，则实数 $a$ 的取值范围是A。

$(-4,-3)$B。

$[-4,-3]$C。

$(-\infty,-3)\cup(4,+\infty)$D。

$(-3,4)$2.已知复数 $z=\frac{3+i}{2-3i}$，则 $z$ 的实部与虚部的和为A。

$-\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$B。

$-\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i$C。

$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$D。

$\frac{3}{5}+\frac{2}{5}i$3.某景区管理部门为征求游客对景区管理方面的意见及建议，从景区出口处随机选取 $5$ 人，其中 $3$ 人为跟团游客，$2$ 人为自驾游散客，并从中随机抽取 $2$ 人填写调查问卷，则这 $2$ 人中既有自驾游散客也有跟团游客的概率是A。

$\frac{2}{3}$B。

$\frac{1}{5}$C。

$\frac{2}{5}$D。

$\frac{3}{5}$4.已知双曲线 $E:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为$\frac{\sqrt{10}}{3}$，斜率为 $-\frac{3}{2}$ 的直线 $l$ 经过双曲线的右顶点 $A$，与双曲线的渐近线分别交于 $M$，$N$ 两点，点 $M$ 在线段$AN$ 上，则 $\frac{AN}{AM}$ 等于A。

2018届全国大联考(江苏卷)高三第二次数学试卷(含答案)

绝密★启用前|试题命制中心2018年第二次全国大联考【江苏卷】数学Ⅰ（考试时间：120分钟试卷满分：160分）注意事项：1．本试卷均为非选择题（第1题~第20题，共20题）。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．）1．已知集合{}{2,0,1,8},6,0,8,9A B ==,则集合A B U 中元素的个数为___________.2．运行如图所示的流程图,若输出的S =2,则正整数n 的最小值为___________.3．设复数(32i)(1i)z =+-（i 是虚数单位）,则z 的共轭复数为____________.4．在区间[]22ππ-，内任取两个数分别记为,p q ,则函数22()21f x x px q =+-+至少有一个零点的概率为___________.5．将函数()4cos(2)3f x x π=+的图象向左平移(0)m m >个单位长度后得到的图象关于原点对称,则m 的最小值是___________.6．一个圆锥SC 的高和底面半径相等,且这个圆锥SC 和圆柱OM 的底面半径及体积也都相等,则圆锥SC 和圆柱OM 的侧面积的比值为___________. 7．已知一组数据分别是,10,2,5,2,4,2x ,若这组数据的平均数、中位数、众数成等差数列,则数据x 的所有可能值的和为___________. 8．已知,x y 满足约束条件1,14,21,y x y x x ≥+⎧⎪⎪≤-+⎨⎪≥⎪⎩则2x z y +=的取值范围为___________. 9．已知函数2()2||2f x x x =-+的定义域为[,]()a b a b <,值域为[2,2]a b ,则a b +的值为___________. 10．已知M 、N 是离心率为2的双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上关于原点对称的两点,P 是双曲线上的动点,且直线,PM PN 的斜率分别为1212,,0k k k k ≠,则12||4||k k +的最小值为___________. 11．已知等比数列{}n a 的前n 项和、前n 项积分别为,n n S P ,若2323S S =,51P =,则201821i i a ==∑___________. 12．在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若22cos cos cos a A bc B C =,则最小的内角A 的值为___________. 13．已知函数3(1)()2ln(2)(1)x x f x x x +⎧≤-⎪=⎨⎪+>-⎩,如果存在实数,m n ,其中m n <,使得()()m f f n =,则n m -的取值范围是___________. 14．在平面直角坐标系xOy 中,若直线12y x m =+上存在一点A ,圆22:(2)4C x y +-=上存在一点B ,满足4OA OB =u u u r u u u r ,则实数m 的取值范围为___________. 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）设()f α=⋅m n ,其中向量31(,),(2sin ,cos 1)4242ααα==-m n . （1）若()1f α=-,求cos()32απ-的值；（2）在ABC △中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若cos cos 2cos 0a B b A c C ++⋅=,求函数()f A 的取值范围. 16．（本小题满分14分）如图,在三棱锥P ABC -中,底面ABC 为正三角形,PA ⊥平面ABC ,3PA =,点,,D E N 分别为数学试题第3页（共18页）数学试题第4页（共18页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………此卷只装订不密封………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………,,PB PC AC的中点,点M为DB的中点.（1）求证：MN∥平面ADE；（2）求证：平面ADE⊥平面PBC.17．（本小题满分14分）有一块边长为4百米的正方形生态休闲园ABCD,园区一端是观景湖EHFCD（注：EHF为抛物线的一部分）.现以AB所在直线为x轴,以线段AB的垂直平分线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系xOy.观景湖顶点H到边AB的距离为18百米.17||||8EA FB==百米.现从边AB上一点G（可以与A、B重合）出发修一条穿过园区到观景湖的小路,小路与观景湖岸HF段相切于点P.设点P到直线AB的距离为t 百米.（1）求||PG关于t的函数解析式,并写出函数的定义域；（2）假设小路每米造价m元,请问：t为何值时小路造价最低,最低造价是多少？18．（本小题满分16分）如图,已知,A B是椭圆22143x y+=的长轴顶点,,P Q是椭圆上的两点,且满足2AP QBk k=,其中APk、QBk分别为直线AP、QB的斜率.（1）求证：直线AP和BQ的交点R在定直线上；（2）求证：直线PQ过定点；（3）求PQB△和PQA△面积的比值.19．（本小题满分16分）已知数列{}na共有*(3,)M M M≥∈N项,其前n项和为nS()n M≤,记n M nT S S=-.设**(,,)n n nb S T n M M n=-≤∈∈N N.（1）若7M=,数列{}na的通项公式为21na n=-,求数列{}nb的通项公式；（2）若数列{}nb的通项公式为2nnb=,①求数列{}na的通项公式；②数列{}na中是否存在不同的三项按一定次序排列后构成等差数列？若存在,求出所有的项；若不存在,请说明理由.20．（本小题满分16分）设函数21()(0)e xxf x x-=>,1()ln2g x x x=-（其中e为自然对数的底数）.（1）分别求函数()f x和()g x的极值点；（2）设函数()()()(0)h x f x ag x a=->,若()h x有三个极值点,①求实数a的取值范围；②求证：函数()h x的两个极小值相等.数学Ⅱ（附加题）（考试时间：30分钟试卷满分：40分）注意事项：1．本试卷均为非选择题（第21题~第23题）。

江苏省2018届高三数学二模试卷含解析

2018年江苏省高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为．2．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为．3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为．4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为．5．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．6．已知，那么tanβ的值为．7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为．8．在三角形ABC中，，则的最小值为．9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1018=1，则a2018的值为．10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范围为．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a ∈R），则线段PQ长度的最小值为．13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2018个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2018，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x 轴上方；以此类推，过M2018点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4189，P4180两点，P4189点在x轴上方，则4180条直线AP1，AP2，…，AP4180的斜率乘积为．14．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．（I）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点．（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若AT=eAB，求椭圆C的离心率；（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．18．如图，，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．（Ⅰ）当无人侦察机在CD上飞行t分钟至点E时，试用t和θ表示无人侦察机到O点的距离OE；（Ⅱ）若无人侦察机在C点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．19．已知数列{a n }满足．数列{a n }前n 项和为S n ．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值；（Ⅲ）是否存在正整数m ，使得恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由．20．已知函数f （x ）=xlnx ﹣ax 2+a （a ∈R ），其导函数为f ′（x ）．（Ⅰ）求函数g （x ）=f ′（x ）+（2a ﹣1）x 的极值；（Ⅱ）当x ＞1时，关于x 的不等式f （x ）＜0恒成立，求a 的取值范围．三.附加题部分【选做题】（本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A ．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分） 21．若AB 为定圆O 一条弦（非直径），AB=4，点N 在线段AB 上移动，∠ONF=90°，NF 与圆O 相交于点F ，求NF 的最大值．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 22．已知矩阵，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=．求A 的逆矩阵．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．过点P （﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 24．设 x ，y ，z ∈R +，且x +y +z=1，求证：．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p ，摸出白球概率为q ，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n 次试验总得分为S n ”．（Ⅰ）当时，记ξ=|S 3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当时，求S 8=2且S i ≥0（i=1，2，3，4）的概率．26．数列{a n }各项均为正数，，且对任意的n ∈N *，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．2018年江苏省高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为3．【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集，即可作出判断．【解答】解：由A中不等式解得：﹣2＜x＜2，即A=（﹣2，2），∵B={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，0，1}，则集合A∩B中元素的个数为3，故答案为：32．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据向量的复数运算和向量的模即可求出．【解答】解：（2﹣3i）z=3+2i，∴z====i，∴|z|=1，故答案为：1．3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为2．【考点】极差、方差与标准差．【分析】先求出这组数据的平均数，由此能求出这组数据的方差．【解答】解：∵一组数据8，10，9，12，11，∴这组数据的平均数=（8+10+9+12+11）=10，这组数据的方差为S2= [（8﹣10）2+（10﹣10）2+（9﹣10）2+（12﹣10）2+（11﹣10）2]=2．故答案为：2．4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为15．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序代码可得：程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当l=1时，满足进行循环的条件，S=3，l=4；当l=4时，满足进行循环的条件，S=9，l=7；当l=7时，满足进行循环的条件，S=15，l=10；当l=10时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为15．故答案为：155．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出这2只球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出这2只球颜色不同的概率．【解答】解：∵袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，从中随机一次摸出2只球，∴基本事件总数n==6，这2只球颜色不同包含的基本事件个数m==3，∴这2只球颜色不同的概率为p==．故答案为：．6．已知，那么tanβ的值为3．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，利用两角和的正切函数公式即可化简求值．【解答】解：∵，∴cosα=﹣=﹣，tanα==﹣2，∴tan（α+β）===，整理可得：tanβ=3．故答案为：3．7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为+12．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】利用勾股定理可得侧面三角形的斜高h，利用等腰三角形与等边三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：侧面三角形的斜高h==2，∴该正六棱锥的表面积S=+6×=+12，故答案为： +12．8．在三角形ABC中，，则的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可根据条件得到，而由可得到，两边平方并进行数量积的运算便可得到，这样根据不等式a2+b2≥2ab即可得出的范围，从而得出的范围，即得出的最小值．【解答】解：根据条件，=；∴；由得，；∴；∴==，当且仅当即时取“=”；∴；∴的最小值为．故答案为：．9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1018=1，则a2018的值为1．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知结合，得到a2018=b1b2…b2018=（b1b2018）•（b2b2018）…（b1018b1018）•b1018，结合b1018=1，以及等比数列的性质求得答案．【解答】解：，且a1=1，得b1=，b2=，∴a3=a2b2=b1b2，b3=，∴a4=a3b3=b1b2b3，…a n=b1b2…b n．﹣1∴a2018=b1b2…b2018=（b1b2018）•（b2b2018）…（b1018b1018）•b1018，∵b1018=1，∴b1b2018=b2b2018=…=b1018b1018=（b1018）2=1，∴a2018=1，故答案为：1．10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】正数a，b满足2ab+b2=b+1，可得：a=＞0．则a+5b=+5b=+，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正数a，b满足2ab+b2=b+1，∴a=＞0．则a+5b=+5b=+≥+=，当且仅当b=，a=2时取等号．故答案为：．11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范围为a≥﹣1或a=﹣2．．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据指数函数的图象，结合图象的平移可知当a≥﹣1时，2x+a在x≤0时，与y=﹣x 有一交点，而x++a在x＞0无交点，符合题意；再考虑当a＜﹣1时的情况，结合图象的平移和二次函数的知识求出a的取值．【解答】解：根据指数函数的图象易知：当a≥﹣1时，y=2x+a在x≤0时，与y=﹣x有一交点，y=x++a在x＞0与y=﹣x无交点，符合题意；当a＜﹣1时，只需x++a=﹣x有且仅有一根，△=a2﹣8=0，解得a=﹣2．故答案为a≥﹣1或a=﹣2．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a ∈R），则线段PQ长度的最小值为0．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】求出圆的方程并化为标准形式，由条件求得点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离d的最小值，将d的最小值减去圆的半径，即为所求．【解答】解：∵点A（3，0），动点P满足PA=2PO，设P（x，y），则有（x﹣3）2+y2=4x2+4y2，∴（x+1）2+y2=4，表示以（﹣1，0）为圆心、半径等于2的圆．点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离d==≥，故距离d可以是2，此时PQ=0，故线段PQ长度的最小值为0．13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2018个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2018，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x 轴上方；以此类推，过M2018点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4189，P4180两点，P4189点在x轴上方，则4180条直线AP1，AP2，…，AP4180的斜率乘积为﹣2﹣2018．【考点】椭圆的简单性质．【分析】运用椭圆的离心率公式，可得a2=2b2=2c2，设M n的坐标为（t，0），直线方程为y=k （x﹣t），代入椭圆方程，运用韦达定理，再由直线的斜率公式，化简整理，可得•=，再由等分点，设出t的坐标，化简整理，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得e==，可得a2=2b2=2c2，设M n的坐标为（t，0），直线方程为y=k（x﹣t），代入椭圆方程x2+2y2=2b2，可得（1+2k2）x2﹣4tk2x+2k2t2﹣2b2=0，即有x1+x2=，x1x2=，•=•======，可令t=﹣，﹣，…，﹣，﹣，0，，，…，，，即有AP1，AP2，…，AP4180的斜率乘积为•（•…•）••（•…•）=﹣．故答案为：﹣2﹣2018．14．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为[3，+∞）．【考点】分段函数的应用．【分析】根据凸函数和凹函数的定义，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：满足条件有的函数为凸函数，f（x）=，作出函数f（x）的图象，由图象知当x≤a时，函数f（x）为凸函数，当x≥a时，函数f（x）为凹函数，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则a≥3即可，故实数a的取值范围是[3，+∞），故答案为：[3，+∞）二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知可得3sinA=2sinB，由已知可求sinA，利用大边对大角可得A为锐角，可求cosA，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可求sinC的值．（Ⅱ）由已知及正弦定理可求a=，余弦定理可求c=，利用余弦定理可得cosB=0，从而可求sinB=1，sinA=，利用大边对大角及同角三角函数基本关系式可求cosA，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵3a=2b，∴3sinA=2sinB又∵B=60°，代入得3sinA=2sin60°，解得sinA=．∵a：b=2：3，∴A＜B，即cosA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．…（Ⅱ）∵3a=2b，可得：a=，，∴==，解得：c2=，c=，∴cosB===0，可得：sinB=1，∵3sinA=2sinB=2，可得：sinA=，A为锐角，可得cosA==．∴sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=﹣cosA=﹣．…16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．（I）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．【分析】（1）在平面ABCD内过A作CD的垂线AP，则AP⊥平面CDE，于是AP⊥DE，结合AD⊥DE，得出DE⊥平面ABCD；（2）使用反证法证明，假设MN∥平面ABCD，由线面平行的性质得MN∥BC，与已知矛盾．【解答】证明：（1）过A作AP⊥CD，垂足为P，∵平面ABCD⊥平面CDE，平面ABCD∩平面CDE=CD，AP⊂平面ABCD，AP⊥CD，∴AP⊥平面CDE，∵DE⊂平面CDE，∴AP⊥DE，又∵DE⊥AD，AD⊂平面ABCD，AP⊂平面ABCD，AD∩AP=A，∴DE⊥平面ABCD．（2）假设MN∥平面ABCD，∵MN⊂平面BCE，平面BCE∩平面ABCD=BC，∴MN∥BC，∴，与M是BE的中点，N是CE的三等分点相矛盾．∴MN不可能与平面ABCD平行．17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点．（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若AT=eAB，求椭圆C的离心率；（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）将直线l：y=ex+a代入椭圆方程，运用判别式，结合离心率公式，化简整理即可得证；（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），运用向量共线的坐标表示，解方程可得离心率；（Ⅲ）设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1和中点坐标公式，求得F'的坐标，计算|F'F1|，即可得到所求最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：直线l：y=ex+a代入椭圆，可得（b2+a2e2）x2+2ea3+a4﹣a2b2=0，可得判别式为4a2e6﹣4（b2+a2e2）（a4﹣a2b2）=﹣4（a4b2﹣a2b4﹣a4e2b2）=﹣4[a2b2（a2﹣b2）﹣a2c2b2]=0，即有直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），由（Ⅰ）可得x T=﹣=﹣=﹣ea，由=e，可得﹣ea+=e（0+），即e2+e﹣1=0，解得e=（负的舍去）：（Ⅲ）证明：设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），即有=﹣，=+a，结合e=，b2+c2=a2，解得m=﹣c，n=2a，即为F'（﹣c，2a），则|F'F1|=2a．故直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．18．如图，，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．（Ⅰ）当无人侦察机在CD 上飞行t 分钟至点E 时，试用t 和θ表示无人侦察机到O 点的距离OE ；（Ⅱ）若无人侦察机在C 点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．【考点】解三角形的实际应用．【分析】（I ）在△OCE 中，CE=15t ，使用余弦定理表示出OE ；（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2，通过导数判断f （t ）的单调性计算f （t ）的最小值，判断OE 与测控半径r 的大小关系．【解答】解：（I ）在△OCE 中，CE=15t ，OC=90，由余弦定理得OE 2=OC 2+CE 2﹣2OC •CEcos θ=8100+225t 2﹣2700tcos θ． ∴OE=．（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2=225t 2﹣1350t +8100﹣9t 3，令r=3t =81，解得t=9．∴0≤t ≤9 ∴f ′（t ）=﹣27t 2+450t ﹣1350=﹣27（t ﹣）2+1875﹣1350＜0．∴f （t ）在[0，9]上是减函数．f （9）=225×92﹣1350×9+8100﹣9×93＞0． ∴当0≤t ≤9时，f （t ）＞0，即OE ＞r ． ∴雷达不能测控到无人侦察机．19．已知数列{a n }满足．数列{a n }前n 项和为S n ．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值；（Ⅲ）是否存在正整数m ，使得恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）化简可得数列{a n }的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n }的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，从而写出通项公式；（Ⅱ）分类讨论即方程的解；=3m﹣1﹣1+m2，从而可得（Ⅲ）化简S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=3m﹣1+m2，S2m﹣1=1+，从而讨论求值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴数列{a n}的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n}的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，故a n=；=m•2•m﹣1=m+2，（Ⅱ）若m为奇数，则a m a m+1无解；=（m+1）2•m﹣2=2•m，若m为偶数，则a m a m+1即=2，解得，m=2；综上所述，m=2；（Ⅲ）由题意知，S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣1）=•m+=3m﹣1+m2，=1+2+3+6+…+2m﹣1S2m﹣1=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣2）=•m+﹣2•3m﹣1=3m﹣1﹣1+m2，故==1+，若m=1，则=3=a3，若=1时，即m=2时，=2=a2，所有满足条件的m值为1，2．20．已知函数f（x）=xlnx﹣ax2+a（a∈R），其导函数为f′（x）．（Ⅰ）求函数g（x）=f′（x）+（2a﹣1）x的极值；（Ⅱ）当x＞1时，关于x的不等式f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出满足条件的a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由题知x＞0，f'（x）=lnx﹣2ax+1，则g（x）=f'（x）+2a（x﹣1）=lnx﹣x+1，，当0＜x＜1时，，g（x）为增函数；当x＞1时，，g（x）为减函数．所以当x=1时，g（x）有极大值g（1）=0，g（x）无极小值．（Ⅱ）由题意，f'（x）=lnx﹣2ax+1，（ⅰ）当a≤0时，f'（x）=lnx﹣2ax+1＞0在x＞1时恒成立，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）＞f（1）=0在（1，+∞）上恒成立，与已知矛盾，故a≤0不符合题意．（ⅱ）当a＞0时，令φ（x）=f'（x）=lnx﹣2ax+1，则，且．①当2a≥1，即时，，于是φ（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以φ（x）＜φ（1）=1﹣2a≤0，即f'（x）＜0在x∈（1，+∞）上成立．则f（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以f（x）＜f（1）=0在x∈（1，+∞）上成立，符合题意．②当0＜2a＜1，即时，＞1，，若，则φ'（x）＞0，φ（x）在上单调递增；若，则φ'（x）＜0，φ（x）在上单调递减．又φ（1）=1﹣2a＞0，所以φ（x）＞0在上恒成立，即f'（x）＞0在上恒成立，所以f（x）在上单调递增，则f（x）＞f（1）=0在上恒成立，所以不符合题意．综上所述，a的取值范围．三.附加题部分【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．若AB为定圆O一条弦（非直径），AB=4，点N在线段AB上移动，∠ONF=90°，NF与圆O相交于点F，求NF的最大值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由NF=，线段OF的长为定值，得到需求解线段ON长度的最小值，由此能求出结果．【解答】解：∵ON⊥NF，∴NF=，∵线段OF的长为定值，即需求解线段ON长度的最小值，弦中点到圆心的距离最短，此时N为BE的中点，点F与点B或E重合，∴|NF|max=|BE|=2．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=．求A的逆矩阵．【考点】特征向量的意义．【分析】根据矩阵特征值和特征向量的性质代入列方程组，求得a、b、c和d的值，求得矩阵A，丨A丨及A*，由A﹣1=×A*，即可求得A﹣1．【解答】解：矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，∴=6，即=，属于特征值1的一个特征向量为=．∴=，=，∴，解得：，矩阵A=，丨A丨==6，A*=，A﹣1=×A*=，∴A﹣1=．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A、B两点．求线段AB 的长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参数）．曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入化为直角坐标方程．把直线参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，利用|AB|=|t1﹣t2|=即可得出．【解答】解：过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参数），曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4化为x2﹣y2=4，把直线参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，∴t1+t2=6，t1t2=10．∴|AB|=|t1﹣t2|===．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．设x，y，z∈R+，且x+y+z=1，求证：．【考点】不等式的证明．【分析】由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，可得+≥2=2x，同理可得+≥2y， +≥2z，累加即可得证．【解答】证明：由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，可得+≥2=2x，同理可得+≥2y，+≥2z，三式相加，可得+++x+y+z≥2（x+y+z），即为++≥x+y+z，则++≥1成立．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p，摸出白球概率为q，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n次试验总得分为S n”．（Ⅰ）当时，记ξ=|S3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当时，求S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）当时，ξ=|S3|的可能取值为1，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．（Ⅱ）由题意前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球；若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球．由此能求出S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率．【解答】解：（Ⅰ）当时，ξ=|S3|的可能取值为1，3，P（ξ=1）=+=，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：ξ 1 3PEξ==．（Ⅱ）∵，S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4），∴前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球，若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球，∴S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率：p=（）•（）5•（）3=．26．数列{a n}各项均为正数，，且对任意的n∈N*，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．【考点】数列递推式．【分析】（1）把已知数列递推式取倒数，可得，然后利用累加法证得答案；=a n+a n2＞a n，然后利用放缩法得a1＜a2＜…a2018（2）把代入已知递推式，得a n+1＜1＜a2018＜a2019＜…，从而说明存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．【解答】（1）证明：由，得，即，∴，，…，累加得：，即，∵a n＞0，∴；∴数列a n单调递增，=a n+a n2＞a n，（2）解：当时，a n+1得，=a n+a n2，得由a n+1，∴，∵a i＞0（i=1，2，…，2018），∴，则a2018＜1；又，∴×2018=1．即a2018＞1．即数列{a n}满足a1＜a2＜…a2018＜1＜a2018＜a2019＜…，综上所述，存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．2018年10月17日。

2018江苏高考数学试卷含答案(校正精确版)

2018江苏一、填空题1．已知集合A ＝{0，1，2，8}，B ＝{－1，1，6，8}，那么A ∩B ＝．【解析】由题设和交集的定义可知，A ∩B ＝{1，8}．2．若复数z 满足i •z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为．【解析】因为i •z ＝1＋2i ＝i(－i ＋2)，则z ＝2－i ，则z 的实部为2．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ．【解析】由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为89，89，90，91，91，故平均数为90． 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为．【解析】由伪代码可得I ＝3，S ＝2；I ＝5，S ＝4；I ＝7，S ＝8；因7＞6，故结束循环，输出S ＝8． 5．函数f (x )＝log 2x －1的定义域为．【解析】要使函数f (x )有意义，则log 2x －1≥0，即x ≥2，则函数f (x )的定义域是[2，＋∞)．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为310．7．已知函数y ＝sin(2x ＋φ)(－π2＜φ＜π2)的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是．【解析】由函数y ＝sin(2x ＋φ) (－π2＜φ＜π2)的图象关于直线x ＝π3对称，得sin(2π3＋φ)＝±1，因－π2＜φ＜π2，故π6＜2π3＋φ＜7π6，则2π3＋φ＝π2，φ＝－π6．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (c ，0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是．【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，即bx －ay ＝0，故|bc |a 2＋b 2＝b ＝32c ，故b 2＝c 2－a 2＝34c 2，得c ＝2a ，故双曲线的离心率e ＝ca＝2．9．函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f (f (15))的值为．【解析】因函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，故函数f (x )的最小正周期是4．因在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，故f (f (15))＝f (f (－1))＝f (12)＝cos π4＝22．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．【解析】由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于2，故该多面体的体积为13×(2)2×1×2＝43．11．若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为．【解析】f ′(x )＝2x (3x －a )(a ∈R )，当a ≤0时，f ′(x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝1，故此时f (x )在(0，＋∞)内无零点，不满足题意．当a ＞0时，由f ′(x )＞0得x ＞a 3，由f ′(x )＜0得，0＜x ＜a 3，则f (x )在(0，a3)上单调递减，在(a 3，＋∞)上单调递增，又f (x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，故f (a 3)＝1－a 327＝0得，a ＝3，故f (x )＝2x 3－3x 2＋1，则f ′(x )＝6x (x －1)，当x ∈(－1，0)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，则f (x )max ＝f (0)＝1，f (－1)＝－4，f (1)＝0，则f (x )min ＝－4，故f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为－3．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为．【解析】因AB →·CD →＝0，故AB ⊥CD ，又点C 为AB 的中点，故∠BAD ＝45°．设直线l 的倾斜角为θ，直线AB 的斜率为k ，则tan θ＝2，k ＝tan(θ＋π4)＝－3．又B (5，0)，故直线AB 的方程为y ＝－3(x－5)，又A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，联立直线AB 与直线l 的方程，得x ＝3，y ＝6，故点A 的横坐标为3．13．在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝2π3，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为．【解析】因∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，故∠ABD ＝∠CBD ＝60°，由三角形的面积公式可得12ac sin 120°＝12a ×1×sin 60°＋12c ×1×sin 60°，化简得ac ＝a ＋c ，又a ＞0，c ＞0，故1a ＋1c ＝1，则4a ＋c ＝(4a ＋c )·(1a ＋1c )＝5＋c a ＋4ac ≥5＋2c a ·4ac＝9，当且仅当c ＝2a 时取等号，故4a ＋c 的最小值为9．14．已知集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}．将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }．记S n 为数列{a n }的前n 项和，则使得S n ＞12a n ＋1成立的n 的最小值为．【解析】所有的正奇数和2n (n ∈N *)按照从小到大的顺序排列构成{a n }，在数列{a n }中，25前面有16个正奇数，即a 21＝25，a 38＝26．当n ＝1时，S 1＝1＜12a 2＝24，不符合题意；当n ＝2时，S 2＝3＜12a 3＝36，不符合题意；当n ＝3时，S 3＝6＜12a 4＝48，不符合题意；当n ＝4时，S 4＝10＜12a 5＝60，不符合题意；…；当n ＝26时，S 26＝21×（1＋41）2＋2×（1－25）1－2＝441＋62＝503＜12a 27＝516，不符合题意；当n ＝27时，S 27＝22×（1＋43）2＋2×（1－25）1－2＝484＋62＝546＞12a 28＝540，符合题意．故使得S n ＞12a n ＋1成立的n 的最小值为27．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1．求证：(1)AB ∥平面A 1B 1C ；平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．【解析】(1)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1．因AB 不在平面A 1B 1C 内，A 1B 1⊆平面A 1B 1C ，故AB ∥平面A 1B 1C ． (2)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形．又AA 1＝AB ，故四边形ABB 1A 1为菱形，故AB 1⊥A 1B ．又AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，故AB 1⊥BC ．又A 1B ∩BC ＝B ，A 1B ⊆平面A 1BC ，BC ⊆平面A 1BC ，故AB 1⊥平面A 1BC ．因AB 1⊆平面ABB 1A 1，故平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ． 16．(本小题满分14分)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55．(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．【解析】(1)因tan α＝43，tan α＝sin αcos α，故sin α＝43cos α．因sin 2α＋cos 2α＝1，故cos 2α＝925，故cos2α＝2cos 2α－1＝－725．(2)因α，β为锐角，故α＋β∈(0，π)．又cos(α＋β)＝－55，故sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255，故tan(α＋β)＝－2．因tan α＝43，故tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247，故tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211．17．(本小题满分14分)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP ，要求A ，B 均在线段MN 上，C ，D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．(1)用θ分别表示矩形ABCD 和△CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围；(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．17．【解析】(1)如图，设PO 的延长线交MN 于点H ，则PH ⊥MN ，故OH ＝10．过O 作OE ⊥BC 于点E ，则OE ∥MN ，故∠COE ＝θ，故OE ＝40cos θ，EC ＝40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ(40sin θ＋10)＝800(4sin θcos θ＋cos θ)，△CDP 的面积为12×2×40cos θ(40－40sin θ)＝1 600(cos θ－sin θcos θ)．过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，连接OG ，则GK ＝KN ＝10．令∠GOK ＝θ0，则sin θ0＝14，θ0∈(0，π6)．当θ∈[θ0，π2)时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，故sin θ的取值范围是[14，1)．答：矩形ABCD 的面积为800(4sin θcos θ＋cos θ)平方米，△CDP 的面积为1 600( cos θ－sin θcos θ)平方米，sin θ的取值范围是[14，1)．(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k (k ＞0)，则年总产值为4k ×800(4sin θcos θ＋cos θ)＋3k ×1 600(cos θ－sin θcos θ)＝8 000k (sin θcos θ＋cos θ)，θ∈[θ0，π2)．设f (θ)＝sin θcos θ＋cos θ，θ∈[θ0，π2)，则f ′(θ)＝cos 2θ－sin 2θ－sin θ＝－(2sin 2θ＋sin θ－1)＝－(2sin θ－1)(sin θ＋1)．令f ′(θ)＝0得，θ＝π6，当θ∈(θ0，π6)时，f ′(θ)＞0，故f (θ)为增函数；当θ∈(π6，π2)时，f ′(θ)＜0，故f (θ)为减函数，因此，当θ＝π6时，f (θ)取到最大值．答：当θ＝π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点(3，12)，焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，圆O 的直径为F 1F 2．(Ⅰ)求椭圆C 及圆O 的方程；(Ⅱ)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．(1)若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；(2)直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB 的面积为267，求直线l 的方程．【解析】(Ⅰ)因椭圆C 的焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，故可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)．又点(3，12)在椭圆C 上，故⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b 2＝1，a 2－b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．因圆O 的直径为F 1F 2，故其方程为x 2＋y 2＝3．(Ⅱ)(1)设直线l 与圆O 相切于P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，则x 20＋y 20＝3，故直线l 的方程为y ＝－x 0y 0(x －x 0)＋y 0，即y ＝－x 0y 0x ＋3y 0．由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－x 0y 0x ＋3y消去y ，得(4x 20＋y 20)x 2－24x 0x ＋36－4y 20＝0(*)，因直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，故Δ＝(－24x 0)2－4(4x 20＋y 20)(36－4y 20)＝48y 20(x 20－2)＝0．因x 0＞0，y 0＞0，故x 0＝2，y 0＝1．故点P 的坐标为(2，1)．(2)因△OAB 的面积为267，故12AB ·OP ＝267，从而AB ＝427．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(*)得x 1，2＝24x 0±48y 20（x 20－2）2（4x 20＋y 20），故AB 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝⎛⎭⎫1＋x 20y 20·48y 20（x 20－2）（4x 20＋y 20）2．因x 20＋y 20＝3，故AB 2＝16（x 20－2）（x 20＋1）2＝3249，即2x 40－45x 20＋100＝0，解得x 20＝52满足(*)式的Δ＞0，x 20＝20舍去，则y 20＝12，故P 的坐标为⎝⎛⎭⎫102，22．综上，直线l 的方程为y ＝－5x ＋32．19．(本小题满分16分)记f ′(x )，g ′(x )分别为函数f (x )，g (x )的导函数．若存在x 0∈R ，满足f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，则称x 0为函数f (x )与g (x )的一个“S 点”． (1)证明：函数f (x )＝x 与g (x )＝x 2＋2x －2不存在“S 点”； (2)若函数f (x )＝ax 2－1与g (x )＝ln x 存在“S 点”，求实数a 的值．(3)已知函数f (x )＝－x 2＋a ，e ()xb g x x=．对任意a ＞0，判断是否存在b ＞0，使函数f (x )与g (x )在区间(0，＋∞)内存在“S 点”，并说明理由．19．【解析】(1)证明函数f (x )＝x ，g (x )＝x 2＋2x －2，则f ′(x )＝1，g ′(x )＝2x ＋2．由f (x )＝g (x )且f ′(x )＝g ′(x )，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2＋2x －2，1＝2x ＋2，此方程组无解，因此，f (x )与g (x )不存在“S 点”．(2)函数f (x )＝ax 2－1，g (x )＝ln x ，则f ′(x )＝2ax ，g′(x )＝1x．设x 0为f (x )与g (x )的“S 点”，由f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 0＝1x 0，即⎩⎪⎨⎪⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 20＝1，(*)，得ln x 0＝－12，即x 0＝e －12，则a ＝12⎝⎛⎭⎫e －122＝e 2．当a ＝e 2时，x 0＝e －12满足方程组(*)，即x 0为f (x )与g (x )的“S 点”．因此，a 的值为e 2．(3)对任意a ＞0，设h (x )＝x 3－3x 2－ax ＋a ．因h (0)＝a ＞0，h (1)＝－2＜0，且h (x )的图象是不间断的，故存在x 0∈(0，1)，使得h (x 0)＝0，令()302e 1x x b x =-，则b ＞0．函数f (x )＝－x 2＋a ，()e x b g x x =，则f ′(x )＝－2x ，．由f (x )＝g (x )且f ′(x )＝g ′(x )，得()22e e 12x x b x a xb x x x -+⎧⎪⎪⎨=--=⎪⎪⎩，即()()()00320030202e e 1e 122e 1x x x x x x a x x x x x x x -+=⋅---=⋅-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(**)，此时，x 0满足方程组(**)，即x 0是函数f (x )与g (x )在区间(0，1)内的一个“S 点”．因此，对任意a ＞0，存在b ＞0，使函数f (x )与g (x )在区间(0，＋∞)内存在“S点”．20．(本小题满分16分)设{a n }是首项为a 1，公差为d 的等差数列，{b n }是首项为b 1，公比为q 的等比数列．(1)设a 1＝0，b 1＝1，q ＝2，若 |a n －b n |≤b 1对n ＝1，2，3，4均成立，求d 的取值范围； (2)若a 1＝b 1>0，m ∈N *，q ∈(1，m2]，证明：存在d ∈R ，使得|a n －b n |≤b 1对n ＝2，3，…，m ＋1均成立，并求d 的取值范围(用b 1，m ，q 表示)．【解析】(1)由条件知：a n ＝(n －1)d ，b n ＝2n －1，因为|a n －b n |≤b 1对n ＝1，2，3，4均成立，即|(n －1)d －2n －1|≤1对n ＝1，2，3，4均成立，即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得73≤d ≤52，因此，d 的取值范围为[73，52]．(2)由条件知：a n ＝b 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1q n －1．若存在d ，使得|a n －b n |≤b 1(n ＝2，3，…，m ＋1)成立，即|b 1＋(n －1)d －b 1q n －1|≤b 1(n ＝2，3，…，m ＋1)，即当n ＝2，3，…，m ＋1时，d 满足q n －1－2n －1b 1≤d ≤q n －1n －1b 1．因q ∈(1，m2]，则1＜qn －1≤q m≤2，从而q n －1－2n －1b 1≤0，q n －in －1b 1＞0，对n ＝2，3，…，m ＋1均成立．故取d ＝0时，|a n －b n |≤b 1对n ＝2，3，…，m ＋1均成立．下面讨论数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1－2n －1的最大项和数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1n －1的最小项(n ＝2，3，…，m ＋1)． ①当2≤n ≤m 时，q n －2n －q n －1－2n －1＝nq n －q n －nq n －1＋2n （n －1）＝n （q n －q n －1）－q n ＋2n （n －1），当1＜q ≤21m 时，有q n ≤q m ≤2，从而n (q n －qn －1)－q n ＋2＞0．因此，当2≤n ≤m ＋1时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1－2n －1单调递增，故()()2e 1x b x g x x -'=数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1－2n －1的最大项为q m －2m ．②设f (x )＝2x (1－x )，当x >0时，f ′(x )＝(ln 2－1－x ln 2)2x ＜0，所以f (x )单调递减，从而f (x )＜f (0)＝1．当2≤n ≤m 时，q nn q n －1n －1＝q （n －1）n ≤21n ⎝⎛⎭⎫1－1n ＝f ⎝⎛⎭⎫1n ＜1，因此，当2≤n ≤m ＋1时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1n －1单调递减，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1n －1的最小项为q m m ．因此，d 的取值范围为⎣⎡⎦⎤b 1（q m －2）m ，b 1q m m ．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线，切点为C ．若23PC = BC 的长．【解析】连结OC ，因为PC 与圆O 相切，故PC ⊥．又因为23PC =2OC =，故224OP PC OC =+=．又因为2OB =，从而B 为Rt OCP △斜边的中点，故2BC =．B ．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2．(1)求A 的逆矩阵A －1；(2)若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(3，1)，求点P 的坐标．【解析】1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 312，det(A )＝2×2－1×3＝1≠0，故A 可逆，从而A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 2． (2)设P (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤231 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，故⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－1，因此，点P 的坐标为(3，－1)． C ．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分) 在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【解析】因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，故曲线C 是圆心为(2，0)，直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝2，则直线l 过A (4，0)，倾斜角为π6，故A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB ＝π6．连接OB ．因为OA 为直径，从而∠OBA ＝π2，故AB ＝4cos π6＝23．因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为23．D ．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且x ＋2y ＋2z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．【解析】由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋22)≥(x ＋2y ＋2z )2．因x ＋2y ＋2z ＝6，故x 2＋y 2＋z 2≥4，当且仅当x 1＝y 2＝z 2时，不等式取等号，此时x ＝23，y ＝43，z ＝43，故x 2＋y 2＋z 2的最小值为4．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点．(1)求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值； (2)求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值．【解析】如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，连接OB ，OO 1．则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ．以{OB →，OC →，OO 1→}为基底，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ．因AB ＝AA 1＝2，所以A (0，－1，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，A 1(0，－1，2)，B 1(3，0，2)，C 1(0，1，2)．(1)因为P 为A 1B 1的中点，所以P ⎝⎛⎭⎫32，－12，2，从而BP →＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，2，AC 1→＝(0，2，2)，故|cos 〈BP →，AC 1→〉|＝|BP →·AC 1→||BP →|·|AC 1→|＝|－1＋4|5×22＝31020．因此，异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为31020．(2)因为Q 为BC 的中点，所以Q ⎝⎛⎭⎫32，12，0，因此AQ →＝⎝⎛⎭⎫32，32，0，AC 1→＝(0，2，2)，CC 1→＝(0，0，2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面AQC 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧AQ →·n ＝0，AC 1→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧32x ＋32y ＝0，2y ＋2z ＝0.不妨取n ＝(3，－1，1)．设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈CC 1→，n 〉|＝|CC 1→·n ||CC 1→|·|n |＝25×2＝55，所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为55． 23．(本小题满分10分)设n ∈N *，对1，2，…，n 的一个排列i 1i 2…i n ，如果当s ＜t 时，有i s ＞i t ，则称(i s ，i t )是排列i 1i 2…i n 的一个逆序，排列i 1i 2…i n 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记f n (k )为1，2，…，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数． (1)求f 3(2)，f 4(2)的值；(2)求f n (2)(n ≥5)的表达式(用n 表示)．【解析】(1)记τ(abc )为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有τ(123)＝0，τ(132)＝1，τ(213)＝1，τ(231)＝2，τ(312)＝2，τ(321)＝3，故f 3(0)＝1，f 3(1)＝f 3(2)＝2．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f 4(2)＝f 3(2)＋f 3(1)＋f 3(0)＝5．(2)对一般的n (n ≥4)的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，故f n (0)＝1．逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，故f n (1)＝n －1．为计算f n ＋1(2)，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n ＋1添加进原排列，n ＋1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f n ＋1(2)＝f n (2)＋f n (1)＋f n (0)＝f n (2)＋n ．当n ≥5时，f n (2)＝[f n (2)－f n －1(2)]＋[f n －1(2)－f n －2(2)]＋…＋[f 5(2)－f 4(2)]＋f 4(2)＝(n －1)＋(n －2)＋…＋4＋f 4(2)＝n 2－n －22．因此，当n ≥5时，f n (2)＝n 2－n －22．。

2018年高考全国二卷(全国卷Ⅱ)理科数学试题及答案

2018年高考全国二卷(全国卷Ⅱ)理科数学试题及答案1.已知复数 $\frac{1+2i}{1-2i}=\frac{-43}{55}$，求其值。

2.已知集合 $A=\{(x,y)|x+y^2\leq 3,x\in Z,y\in Z\}$，求$A$ 中元素的个数。

3.函数 $f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{x^2}$ 的图像大致为什么样子？4.已知向量 $a,b$ 满足 $|a|=1$，$a\cdot b=-1$，求 $a\cdot (2a-b)$ 的值。

5.双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为 $3$，求其渐近线方程。

6.在$\triangle ABC$ 中，$\cos A=\frac{4}{5}$，$BC=1$，$AC=5$，求 $AB$ 的值。

7.设计一个程序框图来计算 $S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots-\frac{1}{100}$。

8.XXX猜想是“每个大于 $2$ 的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过 $30$ 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 $30$ 的概率是多少？9.在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB=BC=1$，$AA_1=3$，求异面直线$AD_1$ 和$DB_1$ 所成角的余弦值。

10.若 $f(x)=\cos x-\sin x$ 在 $[-a,a]$ 上是减函数，求$a$ 的最大值。

11.已知 $f(x)$ 是定义域为 $(-\infty,+\infty)$ 的奇函数，满足 $f(1-x)=f(1+x)$，且 $f(1)=2$，求$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)$ 的值。

12.已知 $F_1,F_2$ 是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点，$A$ 是椭圆的左顶点，点 $P$ 在过 $A$ 且斜率为 $3$ 的直线上，$\triangle PF_1F_2$ 是等腰三角形，且 $\angleF_1PF_2=120^\circ$，求椭圆的离心率。

2018年江苏省苏州市高考数学一模试卷

2018年江苏省苏州市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1. 已知集合A={−1, 1}，B={−3, 0, 1}，则集合A∩B=________．【答案】{1}【考点】交集及其运算【解析】根据交集的定义写出集合A∩B．【解答】解：集合A={−1, 1}，B={−3, 0, 1}，则集合A∩B={1}．故答案为：{1}.2. 已知复数z满足z⋅i=3−4i（i为虚数单位），则|z|=________．【答案】5【考点】复数的模复数代数形式的乘除运算【解析】z⋅i=3−4i（i为虚数单位），可得z⋅i⋅(−i)=−i(3−4i)，化简利用模的计算公式即可得出．【解答】解：∵z⋅i=3−4i（i为虚数单位），∴z⋅i⋅(−i)=−i(3−4i)，则z=−4−3i，则|z|=√(−4)2+(−3)2=5．故答案为：5.3. 双曲线x24−y23=1的渐进线方程是________．【答案】√3x±2y=0【考点】双曲线的渐近线【解析】由x24−y23=0，可得双曲线x24−y23=1的渐近线方程【解答】解：由x24−y23=1，双曲线x24−y23=1的渐近线方程为y=±bax=±√32x，即√3x±2y=0．故答案为：√3x±2y=0．4. 某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600．现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n=________．【答案】63【考点】分层抽样方法【解析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：∵高二年级被抽取的人数为21，∴21600=n1800，得n=63，故答案为：63.5. 将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为________．【答案】316【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率古典概型及其概率计算公式【解析】基本事件总数n=4×4=16，利用列举法求出两次数字之和等于6包含的基本事件个数，由此能求出两次数字之和等于6的概率．【解答】解：将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，基本事件总数n=4×4=16．则两次数字之和等于6包含的基本事件有(2, 4)，(4, 2)，(3, 3)，共3个，∴两次数字之和等于6的概率为p=316．故答案为：316.6. 如图是一个算法的流程图，则输出S的值是________．【答案】25【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当n=1时，满足进行循环的条件，S=1，n=3；当n=3时，满足进行循环的条件，S=4，n=5；当n=5时，满足进行循环的条件，S=9，n=7；当n=7时，满足进行循环的条件，S=16，n=9；当n=9时，满足进行循环的条件，S=25，n=11；当n=11时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为25.故答案为：25.7. 若正四棱锥的底面边长为2cm，侧面积为8cm2，则它的体积为________cm3．【答案】4√33【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】根据侧面积计算出棱锥的斜高，利用勾股定理计算棱锥的高．【解答】解：设四棱锥为P−ABCD，底面ABCD的中心为O，取CD中点E，连结PE，OE，如图所示，则PE⊥CD，OE=12BC=1cm，∵S侧面=4S△PCD=4×12×CD×PE=8cm2，∴PE=2cm．∴PO=√PE2−OE2=√3cm，∴正四棱锥体积为V=13×S正方形ABCD×PO=13×22×√3=4√33cm3．故答案为：4√33.8. 设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a2+a4=2，S2+S4=1，则a10=________．【答案】8【考点】等差数列的前n项和等差数列的通项公式【解析】设等差数列{a n}的公差为d，由a2+a4=2，S2+S4=1，可得2a1+4d=2，6a1+d+4×32d=1，联立解出利用通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2+a4=2，S2+S4=1，∴2a1+4d=2，6a1+d+4×32d=1，解得：a1=−1，d=1，则a10=−1+9=8．故答案为：8.9. 已知a>0，b>0，且2a +3b=√ab，则ab的最小值是________．【答案】2√6【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】根据a>0，b>0，即可得出2a +3b≥√6√ab，从而得出√ab≥√6√ab，从而可求出ab的最小值．【解答】解：a>0，b>0；∴√ab=2a +3b≥√6√ab，即√ab≥√6√ab，∴ab≥2√6，∴ab的最小值是2√6．故答案为：2√6．10. 设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanAtanB =3c−bb，则cosA=________．【答案】13【考点】余弦定理正弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】先化切为弦，再由正弦定理及余弦定理求解．【解答】解：由tanAtanB =3c−bb，得sinAcosBcosAsinB=3c−bb，则acosBbcosA =3c−bb，即acosB=(3c−b)cosA，3ccosA=acosB+bcosA=a×a2+c2−b22ac +b×b2+c2−a22bc=c，∴cosA=13．故答案为：13.11. 已知函数f(x)={a −e x ,x <1,x +4x ,x ≥1, 若y =f(x)的最小值是4，则实数的取值范围为________．【答案】 [e +4, +∞) 【考点】基本不等式在最值问题中的应用分段函数的应用指数函数单调性的应用函数的最值及其几何意义【解析】考虑x <1的函数的单调性，可得f(x)的范围；由基本不等式可得x ≥1时f(x)的最小值，即可得到所求a 的范围．【解答】解：函数f(x)={a −e x ,x <1,x +4x ,x ≥1, 当x <1时，f(x)=a −e x 递减，可得f(x)>a −e ，由x ≥1时，f(x)=x +4x≥2√x ⋅4x=4，当且仅当x =2时，取得最小值4，由题意可得a −e ≥4，即a ≥e +4．故答案为：[e +4, +∞).12. 在△ABC 中，点P 是边AB 的中点，已知|CP →|=√3，|CA →|=4，∠ACB =2π3，则CP →⋅CA →=________．【答案】 6【考点】平面向量数量积的性质及其运算律向量的三角形法则【解析】用CA →,CB →表示出CP →，根据CP =√3计算CB ，再计算CP →⋅CA →的值．【解答】解：∵ 点P 是边AB 的中点， ∴ CP →=12CA →+12CB →，∴ CP →2=14CA →2+12CA →×CB →+14CB →2， ∴ 3=4+12×4×|CB →|×cos 2π3+14×|CB →|2，∴ CA →×CB →=4×2×cos 2π3=−4，∴ CP →⋅CA →=(12CA →+12CB →)×CA →=12CA →2+12CB →×CA →=6．故答案为：6.13. 已知直线l:x −y +2=0与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上．圆C ：(x −2)2+y 2=2上有且仅有一个点B 满足AB ⊥BP ，则点P 的横坐标的取值集合为________．【答案】{13,5} 【考点】圆与圆的位置关系及其判定直线与圆的位置关系【解析】由题意得A(−2, 0)，以AP 为直径的圆与圆C 相切．设P(m, m +2)，则以AP 为直径的圆的圆心为(m−22,m+22)，半径为√22|m +2|，由外切和内切两种情况进行讨论，能求出m ．【解答】解：由题意得A(−2, 0)，以AP 为直径的圆与圆C 相切，设P(m, m +2)，则以AP 为直径的圆的圆心为(m−22,m+22)，半径为√22|m +2|，外切时，√22|m +2|+√2=√(m−62)2+(m+22)2，解得m =13，内切时，√22|m +2|−√2=√(m−62)2+(m+22)2，解得m =5．综上，点P 的横坐标的取值集合为{13, 5}．故答案为：{13, 5}．14. 若二次函数f(x)=ax 2+bx +c(a >0)在区间[1, 2]上有两个不同的零点，则f(1)a的取值范围为________．【答案】 [0, 1) 【考点】由函数零点求参数的取值范围二次函数的性质求线性目标函数的最值简单线性规划【解析】【解答】解：二次函数f(x)=ax 2+bx +c(a >0)在区间[1, 2]上有两个不同的零点，则：{1<−b2a <2,f(1)≥0,f(2)≥0,f(−b 2a )<0, 即：{1<−b 2a <2,a +b +c ≥0,4a +2b +c ≥0,4ac−b 24a <0, 设：ba =x,c a =y ，即有：{−4<x <−21+x +y ≥0,4+2x +y ≥0,4y −x 2<0,画出可行域，如图，由A ，B ，C 组成的图形(包括线段AB ，AC ，不包括曲线BC )，由f(1)a=1+b a +ca =1+x +y ，可得：1+x +y 的最小值为0，当1+x +y 经过点(−4, 4)，可得：1+x +y =1，则：1+x +y ∈[0, 1) 故：f(1)a的取值范围是：[0, 1)．故答案为：[0, 1)．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.→→π(1)若角α的终边过点(3, 4)，求a→⋅b→的值；(2)若a→ // b→，求锐角α的大小．【答案】解：(1)角α的终边过点(3, 4)，∴r=√32+42=5，∴sinα=yr =45，cosα=xr=35，∴a→⋅b→=√2sinα+sin(α+π4)=√2sinα+sinαcos π4+cosαsinπ4=√2×45+45×√22+35×√22=3√22.(2)若a→ // b→，则√2sinαsin(α+π4)=1，即√2sinα(sinαcosπ4+cosαsinπ4)=1，∴sin2α+sinαcosα=1，∴sinαcosα=1−sin2α=cos2α，对锐角α有cosα≠0，∴tanα=1，∴锐角α=π4．【考点】两角和与差的正弦公式任意角的三角函数平面向量数量积的性质及其运算律平面向量共线（平行）的坐标表示平行向量的性质同角三角函数间的基本关系【解析】（1）由三角函数的定义求出sinα、cosα，再根据平面向量数量积的定义计算a→⋅b→的值；（2）根据a→ // b→，列方程求出α的三角函数值以及锐角α的值．【解答】解：(1)角α的终边过点(3, 4)，∴r=√32+42=5，∴sinα=yr =45，cosα=xr=35，→→π=√2sinα+sinαcos π4+cosαsinπ4=√2×45+45×√22+35×√22=3√22.(2)若a→ // b→，则√2sinαsin(α+π4)=1，即√2sinα(sinαcosπ4+cosαsinπ4)=1，∴sin2α+sinαcosα=1，∴sinαcosα=1−sin2α=cos2α，对锐角α有cosα≠0，∴tanα=1，∴锐角α=π4．如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的高为√6，其底面边长为2．已知点M，N分别是棱A1C1，AC的中点，点D是棱CC1上靠近C的三等分点．求证：(1)B1M // 平面A1BN；(2)AD⊥平面A1BN．【答案】证明：(1)连结MN，正三棱柱ABC−A1B1C1中，如图，AA1 // CC1且AA1=CC1，则四边形AA1C1C是平行四边形，所以MN // AA1且MN=AA1，又正三棱柱ABC−A1B1C1中AA1 // BB1且AA1=BB1，所以MN // BB1且MN=BB1，所以四边形MNBB1是平行四边形，所以B1M // BN，又B1M平面A1BN，BN⊂平面A1BN，所以B1M // 平面A1BN.(2)正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BN⊂平面ABC，所以BN⊥AA1，正△ABC中，N是AC的中点，所以BN⊥AC，又AA1、AC⊂平面AA1C1C，AA1∩AC=A，所以BN⊥平面AA1C1C，又AD⊂平面AA1C1C，所以AD⊥BN，由题意，AA1=√6，AC=2，AN=1，CD=√63，所以AA1AC =ANCD=√32，又∠A1AN=∠ACD=π2，所以△A1AN与△ACD相似，则∠AA1N=∠CAD，所以∠ANA1+∠CAD=∠ANA1+∠AA1N=π2，则AD⊥A1N，又BN∩A1N=N，BN，A1N⊂平面A1BN，所以AD⊥平面A1BN．【考点】直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】（1）证明四边形MNBB1是平行四边形得出B1M // BN，故而B1M // 平面A1BN；（2）根据BN⊥平面ACC1A1可得BN⊥AD，根据三角形相似可得AD⊥A1N，故而AD⊥平面A1BN．【解答】证明：(1)连结MN，正三棱柱ABC−A1B1C1中，如图，AA1 // CC1且AA1=CC1，则四边形AA1C1C是平行四边形，因为点M、N分别是棱A1C1，AC的中点，所以MN // AA1且MN=AA1，又正三棱柱ABC−A1B1C1中AA1 // BB1且AA1=BB1，所以MN // BB1且MN=BB1，所以四边形MNBB 1是平行四边形，所以B 1M // BN ，又B 1M 平面A 1BN ，BN ⊂平面A 1BN ，所以B 1M // 平面A 1BN .(2)正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，BN ⊂平面ABC ，所以BN ⊥AA 1，正△ABC 中，N 是AC 的中点，所以BN ⊥AC ，又AA 1、AC ⊂平面AA 1C 1C ，AA 1∩AC =A ，所以BN ⊥平面AA 1C 1C ，又AD ⊂平面AA 1C 1C ，所以AD ⊥BN ，由题意，AA 1=√6，AC =2，AN =1，CD =√63，所以AA 1AC=AN CD=√32，又∠A 1AN =∠ACD =π2，所以△A 1AN 与△ACD 相似，则∠AA 1N =∠CAD ，所以∠ANA 1+∠CAD =∠ANA 1+∠AA 1N =π2，则AD ⊥A 1N ，又BN ∩A 1N =N ，BN ，A 1N ⊂平面A 1BN ，所以AD ⊥平面A 1BN ．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(√3,12)，(1,√32)，点A 是椭圆的下顶点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点A 且互相垂直的两直线l 1，l 2与直线y =x 分别相交于E ，F 两点，已知OE =OF ，求直线l 1的斜率．【答案】解：(1)根据题意，椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点(√3,12)，(1,√32)，则有{3a 2+14b 2=1,1a 2+34b 2=1, 解得{1a 2=14,1b 2=1, 所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1.(2)由题意知A(0, −1)，直线l 1，l 2的斜率存在且不为零，设直线l 1:y =k 1x −1，与直线y =x 联立方程有{y =k 1x −1y =x ，得E(1k1−1,1k 1−1)，设直线l 2:y =−1k 1x −1，同理F(1−1k 1−1,1−1k 1−1)，因为OE =OF ，所以|1k 1−1|=|1−1k 1−1|，①1k 1−1=1−1k 1−1，k 1+1k 1=0无实数解；②1k 1−1=−1−1k 1−1，k 1−1k 1=2，k 12−2k 1−1=0，解得k 1=1±√2，综上可得，直线l 1的斜率为1±√2．【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】（1）根据题意，将两点的坐标代入椭圆的方程有{3a 2+14b 2=11a 2+34b 2=1，解可得1a 2、1b 2的值，即可得椭圆的方程；（2）设直线l 1:y =k 1x −1，与直线y =x 联立方程有{y =k 1x −1y =x，可得E 的坐标，设直线l 2:y =−1k 1x −1，同理可得F 的坐标，又由OE =OF ，所以|1k 1−1|=|1−1k 1−1|，解可得k 的值，即可得答案．【解答】解：(1)根据题意，椭圆C:x 2a+y 2b =1(a >b >0)经过点(√3,12)，(1,√32)，则有{3a 2+14b 2=1,1a+34b=1, 解得{1a 2=14,1b=1,所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1.(2)由题意知A(0, −1)，直线l 1，l 2的斜率存在且不为零，设直线l 1:y =k 1x −1，与直线y =x 联立方程有{y =k 1x −1y =x ，得E(1k1−1,1k1−1)，设直线l 2:y =−1k 1x −1，同理F(1−1k 1−1,1−1k 1−1)，因为OE =OF ，所以|1k 1−1|=|1−1k 1−1|，①1k 1−1=1−1k 1−1，k 1+1k 1=0无实数解；②1k 1−1=−1−1k 1−1，k 1−1k 1=2，k 12−2k 1−1=0，解得k 1=1±√2，综上可得，直线l 1的斜率为1±√2．如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC ⊥AB ．在OC 上有一座观赏亭Q ，其中∠AQC =2π3．计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记∠POB =θ(0<θ<π2)．(1)当θ=π3时，求∠OPQ 的大小；(2)当∠OPQ 越大，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值．【答案】解：(1)设∠OPQ =α，由题，Rt △OAQ 中，OA =3， ∠AQO =π−∠AQC =π−2π3=π3，所以OQ =√3，在△OPQ 中，OP =3， ∠POQ =π2−θ=π2−π3=π6，由正弦定理得OQ sin∠OPQ =OPsin∠OQP ，即√3sinα=3sin(π−α−π6)，所以√3sinα=sin(π−α−π6)=sin(5π6−α)，则√3sinα=sin 5π6cosα−cos5π6sinα=12cosα+√32sinα，所以√3sinα=cosα，因为α为锐角，所以cosα≠0，所以tanα=√33，得α=π6.(2)设∠OPQ =α，在△OPQ 中，OP =3，∠POQ =π2−θ，由正弦定理得OQ sin∠OPQ =OPsin∠OQP ，即√3sinα=3sin(π−α−(π2−θ))，所以√3sinα=sin(π−α−(π2−θ)) =sin(π2−(α−θ))，从而(√3−sinθ)sinα=cosαcosθ，其中√3−sinθ≠0，cosα≠0，所以tanα=√3−sinθ，记f(θ)=√3−sinθ，f ′(θ)=√3sinθ(√3−sinθ)2，θ∈(0,π2)，令f ′(θ)=0，sinθ=√33，存在唯一θ0∈(0,π2)使得sinθ0=√33，当θ∈(0, θ0)时f ′(θ)>0，f(θ)单调增，当θ∈(θ0,π2)时f ′(θ)<0，f(θ)单调减，所以当θ=θ0时，f(θ)最大，即tan∠OPQ 最大，又∠OPQ 为锐角，从而∠OPQ 最大，此时sinθ=√33．答：观赏效果达到最佳时，θ的正弦值为√33．【考点】利用导数研究函数的最值两角和与差的正弦公式利用导数研究函数的单调性正弦定理【解析】（1）根据题意，设∠OPQ =α，由正弦定理得OQsin∠OPQ =OPsin∠OQP ，变形可得√3sinα=sin5π6cosα−cos5π6sinα=12cosα+√32sinα，所以√3sinα=cosα，由同角三角函数基本关系式分析可得答案；（2）设∠OPQ =α，在△OPQ 中，由正弦定理得OQsin∠OPQ =OPsin∠OQP ，变形可得(√3−sinθ)sinα=cosαcosθ，即tanα=√3−sinθ，记f(θ)=√3−sinθ，求导可得f ′(θ)=√3sinθ(√3−sinθ)2，由导数与函数的单调性的关系分析可得答案．【解答】解：(1)设∠OPQ =α，由题，Rt △OAQ 中，OA =3， ∠AQO =π−∠AQC =π−2π3=π3，所以OQ =√3，在△OPQ 中，OP =3， ∠POQ =π2−θ=π2−π3=π6，由正弦定理得OQ sin∠OPQ =OPsin∠OQP ，即√3sinα=3sin(π−α−π6)，所以√3sinα=sin(π−α−π6)=sin(5π6−α)，则√3sinα=sin 5π6cosα−cos5π6sinα=12cosα+√32sinα，所以√3sinα=cosα，因为α为锐角，所以cosα≠0，所以tanα=√33，得α=π6.(2)设∠OPQ =α，在△OPQ 中，OP =3，∠POQ =π2−θ，由正弦定理得OQ sin∠OPQ =OPsin∠OQP ，即√3sinα=3sin(π−α−(π2−θ))，所以√3sinα=sin(π−α−(π2−θ)) =sin(π2−(α−θ))，从而(√3−sinθ)sinα=cosαcosθ，其中√3−sinθ≠0，cosα≠0，所以tanα=3−sinθ，记f(θ)=√3−sinθ，f ′(θ)=√3sinθ(√3−sinθ)2，θ∈(0,π2)，令f ′(θ)=0，sinθ=√33，存在唯一θ0∈(0,π2)使得sinθ0=√33，当θ∈(0, θ0)时f ′(θ)>0，f(θ)单调增，当θ∈(θ0,π2)时f ′(θ)<0，f(θ)单调减，所以当θ=θ0时，f(θ)最大，即tan∠OPQ 最大，又∠OPQ 为锐角，从而∠OPQ 最大，此时sinθ=√33．答：观赏效果达到最佳时，θ的正弦值为√33．已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx +c ，g(x)=lnx ．(1)若a =0，b =−2，且f(x)≥g(x)恒成立，求实数c 的取值范围；(2)若b =−3，且函数y =f(x)在区间(−1, 1)上是单调递减函数． ①求实数a 的值；②当c =2时，求函数ℎ(x)={f(x),f(x)≥g(x),g(x),f(x)<g(x) 的值域．【答案】解：(1)根据题意，函数g(x)=lnx ，其定义域为(0, +∞)．当a =0，b =−2，f(x)=x 3−2x +c ， ∵ f(x)≥g(x)恒成立，∴ x 3−2x +c ≥lnx 恒成立，即c ≥lnx −x 3+2x ．令φ(x)=lnx −x 3+2x ，则φ′(x)=1x −3x 2+2 =1+2x−3x 3x=(1−x)(1+3x+3x 2)x，令φ′(x)≥0，得x ≤1，∴ φ(x)在(0, 1]上单调递增，令φ′(x)≤0，得x ≥1，∴ φ(x)在[1, +∞)上单调递减， ∴ 当x =1时，[φ(x)]max =φ(1)=1． ∴ c ≥1．(2)①当b =−3时，f(x)=x 3+ax 2−3x +c ，f ′(x)=3x 2+2ax −3，由题意，f ′(x)=3x 2+2ax −3≤0对x ∈(−1, 1)恒成立， ∴ {f ′(1)=3+2a −3≤0,f ′(−1)=3−2a −3≤0,当a =0，b =−3，c =2时，f(x)=x 3−3x +2， f ′(x)=3x 2−3，令f ′(x)=3x 2−3=0，得x =1，对于g(x)=lnx ，当x ∈(0, 1)时，g(x)<0，当x =1时，g(x)=0，当x ∈(1, +∞)时，g(x)>0， ∴ 当x ∈(0, 1)时，ℎ(x)=f(x)>0，当x =1时，ℎ(x)=0，当x ∈(1, +∞)时，ℎ(x)>0．故函数y =ℎ(x)的值域为[0, +∞)．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题分段函数的应用【解析】（1）根据题意，f(x)≥g(x)恒成立，即x 3−2x +c ≥lnx 恒成立，变形可得c ≥lnx −x 3+2x ，令φ(x)=lnx −x 3+2x ，对其求导，利用函数的导数与函数的单调性分析可得[φ(x)]max =φ(1)=1，分析可得c 的范围；（2）①，当b =−3时，f(x)=x 3+ax 2−3x +c ，f ′(x)=3x 2+2ax −3．利用函数的导数与函数的单调性分析可得f ′(x)=3x 2+2ax −3≤0对x ∈(−1, 1)恒成立，即可得{f ′(1)=3+2a −3≤0f ′(−1)=3−2a −3≤0，解可得a 的值，即可得答案； ②，由①的结论，当a =0，b =−3，c =2时，f(x)=x 3−3x +2，利用函数的导数与函数的单调性分析可得当x ∈(0, 1)时，f(x)>0，当x =1时，f(x)=0，当x ∈(1, +∞)时，f(x)>0，g(x)=lnx ，当x ∈(0, 1)时，g(x)<0，当x =1时，g(x)=0，当x ∈(1, +∞)时，g(x)>0，结合函数ℎ(x)的解析式，分析可得答案．【解答】解：(1)根据题意，函数g(x)=lnx ，其定义域为(0, +∞)．当a =0，b =−2，f(x)=x 3−2x +c ， ∵ f(x)≥g(x)恒成立，∴ x 3−2x +c ≥lnx 恒成立，即c ≥lnx −x 3+2x ．令φ(x)=lnx −x 3+2x ，则φ′(x)=1x −3x 2+2 =1+2x−3x 3x=(1−x)(1+3x+3x 2)x，令φ′(x)≥0，得x ≤1，∴ φ(x)在(0, 1]上单调递增，令φ′(x)≤0，得x ≥1，∴ φ(x)在[1, +∞)上单调递减， ∴ 当x =1时，[φ(x)]max =φ(1)=1． ∴ c ≥1．(2)①当b =−3时，f(x)=x 3+ax 2−3x +c ，f ′(x)=3x 2+2ax −3，由题意，f ′(x)=3x 2+2ax −3≤0对x ∈(−1, 1)恒成立， ∴ {f ′(1)=3+2a −3≤0,f ′(−1)=3−2a −3≤0,当a=0，b=−3，c=2时，f(x)=x3−3x+2，f′(x)=3x2−3，令f′(x)=3x2−3=0，得x=1，对于g(x)=lnx，当x∈(0, 1)时，g(x)<0，当x=1时，g(x)=0，当x∈(1, +∞)时，g(x)>0，∴当x∈(0, 1)时，ℎ(x)=f(x)>0，当x=1时，ℎ(x)=0，当x∈(1, +∞)时，ℎ(x)>0．故函数y=ℎ(x)的值域为[0, +∞)．已知S n是数列{a n}的前n项和，a1=3，且2S n=a n+1−3(n∈N∗)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)对于正整数i，j，k(i<j<k)，已知λa j，6a i，μa k成等差数列，求正整数λ，μ的值；(3)设数列{b n}前n项和是T n，且满足：对任意的正整数n，都有等式a1b n+a2b n−1+a3b n−2+⋯+a n b1=3n+1−3n−3成立．求满足等式T na n =13的所有正整数n．【答案】解：(1)由2S n=a n+1−3(n∈N∗)，得：2S n+1=a n+2−3，两式作差得2a n+1=a n+2−a n+1，即a n+2=3a n+1(n∈N∗)由于a1=3，a2=2S1+3=9，所以a n+1=3a n(n∈N∗)，a n≠0，则a n+1a n=3(n∈N∗)，所以数列{a n}是首项为3，公比为3的等比数列，所以a n=3n(n∈N∗).(2)已知λa j，6a i，μa k成等差数列，所以：λa j+μa k=2⋅6a i，即λ3j+μ3k=2⋅6⋅3i，所以λ3j−i+μ3k−i=12，其中j−i≥1，k−i≥2，所以λ3j−i≥3λ≥3，μ3k−i≥9μ≥9，12=λ3j−i+μ3k−i≥12，所以j−i=1，k−i=2，λ=μ=1.(3)由a1b n+a2b n−1+a3b n−2+⋯+a n b1=3n+1−3n−3，得：a1b n+1+a2b n+a3b n−1+...+a n b2+a n+1b1=3n+2−3(n+1)−3，a1b n+1+3(a1b n+a2b n−1+...+a n−1b2+a n b1)=3n+2−3(n+1)−3，a1b n+1+3(3n+1−3n−3)=3n+2−3(n+1)−3，所以3b n+1=3n+2−3(n+1)−3−3(3n+1−3n−3)，即3b n+1=6n+3，所以b n+1=2n+1(n∈N∗)，又因为a 1b 1=31+1−3⋅1−3=3，得b 1=1，所以b n =2n −1(n ∈N ∗)，从而T n =1+3+5+...+(2n −1) =1+2n−12n =n 2(n ∈N ∗)，T n a n=n 23n(n ∈N ∗)，当n =1时，T1a 1=13；当n =2时，T 2a 2=49；当n =3时，T 3a 3=13；下面证明：对任意正整数n >3都有T na n<13，T n+1a n+1−T na n=(n +1)2(13)n+1−n 2(13)n=(13)n+1[(n +1)2−3n 2]=(13)n+1(−2n 2+2n +1)，当n ≥3时，−2n 2+2n +1=(1−n 2)+n(2−n)<0，即T n+1an+1−Tn a n<0，所以当n ≥3时，T na n递减，所以对任意正整数n >3都有T n a n<T 3a 3=13；综上可得，满足等式T na n=13的正整数n 的值为1和3．【考点】等差中项数列与不等式的综合数列的求和数列递推式等比关系的确定数列的函数特性【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用构造法求出结果．（3）利用已知条件和上步的结论求出结果．【解答】解：(1)由2S n =a n+1−3(n ∈N ∗)，得：2S n+1=a n+2−3，两式作差得2a n+1=a n+2−a n+1，即a n+2=3a n+1(n ∈N ∗)由于a 1=3，a 2=2S 1+3=9，所以a n+1=3a n (n ∈N ∗)，a n ≠0，则a n+1a n=3(n ∈N ∗)，所以数列{a n }是首项为3，公比为3的等比数列，所以a n =3n (n ∈N ∗).(2)已知λa j ，6a i ，μa k 成等差数列，所以：λa j +μa k =2⋅6a i ，即λ3j +μ3k =2⋅6⋅3i ，所以λ3j−i +μ3k−i =12，其中j −i ≥1，k −i ≥2，所以λ3j−i ≥3λ≥3，μ3k−i ≥9μ≥9，12=λ3j−i +μ3k−i ≥12，所以j −i =1，k −i =2，λ=μ=1.(3)由a 1b n +a 2b n−1+a 3b n−2+⋯+a n b 1=3n+1−3n −3，得：a 1b n+1+a 2b n +a 3b n−1+...+a n b 2+a n+1b 1=3n+2−3(n +1)−3， a 1b n+1+3(a 1b n +a 2b n−1+...+a n−1b 2+a n b 1)=3n+2−3(n +1)−3， a 1b n+1+3(3n+1−3n −3)=3n+2−3(n +1)−3，所以3b n+1=3n+2−3(n +1)−3−3(3n+1−3n −3)，即3b n+1=6n +3，所以b n+1=2n +1(n ∈N ∗)，又因为a 1b 1=31+1−3⋅1−3=3，得b 1=1，所以b n =2n −1(n ∈N ∗)，从而T n =1+3+5+...+(2n −1) =1+2n−12n =n 2(n ∈N ∗)，T n a n=n 23n(n ∈N ∗)，当n =1时，T1a 1=13；当n =2时，T 2a 2=49；当n =3时，T 3a 3=13；下面证明：对任意正整数n >3都有T na n<13，T n+1a n+1−T na n=(n +1)2(13)n+1−n 2(13)n=(13)n+1[(n +1)2−3n 2]=(13)n+1(−2n 2+2n +1)，当n ≥3时，−2n 2+2n +1=(1−n 2)+n(2−n)<0，即T n+1an+1−Tn a n<0，所以当n ≥3时，T na n递减，所以对任意正整数n >3都有T n a n<T 3a 3=13；综上可得，满足等式T na n=13的正整数n 的值为1和3．【选做题】在21，22，23，24四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过点D作圆O的切线交AB的延长线于点C，且满足DA=DC．(1)求证：AB=2BC；(2)若AB=2，求线段CD的长．【答案】(1)证明：连接OD，BD，如图所示，因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=90∘，AB=2OB．因为CD是圆O的切线，所以∠CDO=90∘，又因为DA=DC，所以∠A=∠C，于是△ADB≅△CDO，得到AB=CO，所以AO=BC，从而AB=2BC．(2)解：由AB=2及AB=2BC得到CB=1，CA=3．由切割线定理，CD2=CB⋅CA=1×3=3，所以CD=√3．【考点】与圆有关的比例线段【解析】（1）连接OD，BD．推导出∠CDO=90∘，∠A=∠C，从而△ADB≅△CDO，进而AB=CO，由此能证明AB=2BC．（2）由AB=2及AB=2BC得到CB=1，CA=3．由此利用切割线定理能求出线段CD．【解答】(1)证明：连接OD，BD，如图所示，因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB =90∘，AB =2OB ．因为CD 是圆O 的切线，所以∠CDO =90∘，又因为DA =DC ，所以∠A =∠C ，于是△ADB ≅△CDO ，得到AB =CO ，所以AO =BC ，从而AB =2BC ．(2)解：由AB =2及AB =2BC 得到CB =1，CA =3．由切割线定理，CD 2=CB ⋅CA =1×3=3，所以CD =√3．[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵A =[4001]，B =[1205]，列向量X =[a b ]． (1)求矩阵AB ；(2)若B −1A −1X =[51]，求a ，b 的值．【答案】解：(1)AB =[4001][1205]=[4805]. (2)由B −1A −1X =[51]，解得X =AB [51]=[4805][51]=[285]，又因为X =[a b]，所以a =28，b =5．【考点】矩阵与矩阵的乘法的意义特征向量的意义逆变换与逆矩阵【解析】（1）根据矩阵的乘法，即可求得AB ；（2）根据矩阵乘法计算公式，求得X =AB [51]，即可求得X ，即可求得a 和b 的值．【解答】解：(1)AB =[4001][1205]=[4805]. (2)由B −1A −1X =[51]，解得X =AB [51]=[4805][51]=[285]，又因为X =[a b]，所以a =28，b =5．[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知圆C 经过点P(2√2,π4)，圆心为直线ρsin(θ−π3)=−√3与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．【答案】解：在ρsin(θ−π3)=−√3中，令θ=0，得ρ=2，所以圆C 的圆心的极坐标为(2, 0)，因为圆C 的半径PC =√(2√2)2+22−2×2√2×2×cos π4=2，于是圆C 过极点，所以圆的极坐标方程为ρ=4cosθ．【考点】圆的极坐标方程【解析】先求出圆C 的圆心的极坐标为(2, 0)，再求出圆C 的半径PC ，由圆C 过极点，能求出圆的极坐标方程．【解答】解：在ρsin(θ−π3)=−√3中，令θ=0，得ρ=2，所以圆C 的圆心的极坐标为(2, 0)，因为圆C 的半径PC =√(2√2)2+22−2×2√2×2×cos π4=2，于是圆C 过极点，所以圆的极坐标方程为ρ=4cosθ．[选修4-5：不等式选讲]已知x ，y 都是正数，且xy =1，求证：(1+x +y 2)(1+y +x 2)≥9．【答案】证明：因为x ，y 都是正数，xy =1，所以1+x +y 2≥3√xy 23>0， 1+y +x 2≥3√yx 23>0，(1+x +y 2)(1+y +x 2)≥9xy ，所以(1+x +y 2)(1+y +x 2)≥9，当且仅当x =y =1时，取得等号．【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】由x ，y >0，且xy =1，运用三元均值不等式，由不等式的可乘性，即可得到结论．【解答】证明：因为x ，y 都是正数，xy =1，所以1+x +y 2≥3√xy 23>0， 1+y +x 2≥3√yx 23>0，(1+x +y 2)(1+y +x 2)≥9xy ，所以(1+x +y 2)(1+y +x 2)≥9，当且仅当x =y =1时，取得等号．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PD 垂直于底面ABCD ，PD =AD =2AB ，点Q 为线段PA （不含端点）上一点．(1)当Q 是线段PA 的中点时，求CQ 与平面PBD 所成角的正弦值；(2)已知二面角Q −BD −P 的正弦值为23，求PQ PA 的值．【答案】解：(1)以D 为原点，DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．设AB =t ，则D(0, 0, 0)，A(2t, 0, 0)，B(2t, t, 0)，C(0, t, 0)，P(0, 0, 2t)，Q(t, 0, t)， ∴ CQ →=(t,−t,t)，DB →=(2t,t,0)，DP →=(0,0,2t)，设平面PBD 的法向量n 1→=(x,y,z)，则{DB →⋅n 1→=0,DP →⋅n 1→=0,即{2tx +ty =0,2tz =0, 取x =1，得平面的一个法向量n 1→=(1,−2,0)，， ∴ cos <n 1→,CQ →>=n 1→⋅CQ →|n 1→||CQ →|=√5×√3t=√155，则CQ 与平面PBD 所成角的正弦值为√155.(2)由(1)知平面PBD 的一个法向量为n 1→=(1,−2,0)，设PQ PA =λ(0<λ<1)，则PQ →=λPA →，DQ →=DP →+PQ →=(0, 0, 2t)+λ(2t, 0, −2t)=(2tλ, 0, 2t(1−λ)）， DB →=(2t,t,0)，设平面QBD 的法向量n 2→=(x,y,z)，则{DQ →⋅n 2→=0,DB →⋅n 2→=0,即{2tλx +2t(1−λ)z =0,2tx +ty =0, 取z =−λ，得平面QBD 的一个法向量n 2→=(1−λ,2λ−2,−λ)，由题意得，√1−(23)2=|cos <n 1→,n 2→>|=|n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|| =√5√(1−λ)2+(2λ−2)2+(−λ)2， ∴ 59=5(1−λ)26λ2−10λ+5，即(λ−2)(λ−23)=0，∵ 0<λ<1，∴ λ=23，则PQ PA =23．【考点】二面角的平面角及求法用空间向量求平面间的夹角用空间向量求直线与平面的夹角【解析】（1）以D 为原点，DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．设AB =t ，求出CQ →的坐标及平面PBD 的法向量n 1→，由CQ →与n 1→所成角的余弦值可得CQ 与平面PBD 所成角的正弦值；（2）由（1）知平面PBD 的一个法向量为n 1→=(1,−2,0)，设PQ PA =λ(0<λ<1)，则PQ →=λPA →，把平面QBD 的法向量n 2→的坐标用含有λ的代数式表示，再由二面角Q −BD −P 的正弦值为23列式求得λ值，则答案可求．【解答】解：(1)以D 为原点，DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．设AB =t ，则D(0, 0, 0)，A(2t, 0, 0)，B(2t, t, 0)，C(0, t, 0)，P(0, 0, 2t)，Q(t, 0, t)， ∴ CQ →=(t,−t,t)，DB →=(2t,t,0)，DP →=(0,0,2t)，设平面PBD 的法向量n 1→=(x,y,z)，则{DB →⋅n 1→=0,DP →⋅n 1→=0,即{2tx +ty =0,2tz =0, 取x =1，得平面的一个法向量n 1→=(1,−2,0)，， ∴ cos <n 1→,CQ →>=n 1→⋅CQ →|n 1→||CQ →|=√5×√3t =√155，则CQ 与平面PBD 所成角的正弦值为√155. (2)由(1)知平面PBD 的一个法向量为n 1→=(1,−2,0)，设PQ PA =λ(0<λ<1)，则PQ →=λPA →，DQ →=DP →+PQ →=(0, 0, 2t)+λ(2t, 0, −2t)=(2tλ, 0, 2t(1−λ)）， DB →=(2t,t,0)，设平面QBD 的法向量n 2→=(x,y,z)，则{DQ →⋅n 2→=0,DB →⋅n 2→=0,即{2tλx +2t(1−λ)z =0,2tx +ty =0, 取z =−λ，得平面QBD 的一个法向量n 2→=(1−λ,2λ−2,−λ)，由题意得，√1−(23)2=|cos <n 1→,n 2→>|=|n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|| =5√(1−λ)2+(2λ−2)2+(−λ)2， ∴ 59=5(1−λ)26λ2−10λ+5，即(λ−2)(λ−23)=0， ∵ 0<λ<1，∴ λ=23，则PQ PA =23．在含有n个元素的集合A n={1, 2, ..., n}中，若这n个元素的一个排列(a1, a2,…,a n)满足a i≠i(i=1, 2,…,n)，则称这个排列为集合A n的一个错位排列（例如：对于集合A3={1, 2, 3}，排列(2, 3, 1)是A3的一个错位排列；排列(1, 3, 2)不是A3的一个错位排列）．记集合A n的所有错位排列的个数为D n．(1)直接写出D1，D2，D3，D4的值；(2)当n≥3时，试用D n−2，D n−1表示D n，并说明理由；(3)试用数学归纳法证明：D2n(n∈N∗)为奇数．【答案】(1)解：根据错位排列的定义得出：D1=0，D2=1，D3=2，D4=9.(2)解：D n=(n−1)(D n−1+D n−2 )，理由如下：对A n的元素的一个错位排列(a1, a2,…,a n)，若a1=k(k≠1)，分以下两类：若a k=1，这种排列是n−2个元素的错位排列，共有D n−2个；若a k≠1，这种错位排列就是将1，2，…，k−1，k+1，…，n.排列到第2到第n个位置上，1不在第k个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于n−1个元素的错位排列，共有D n−1个．∵k≠1，∴k共有n−1个不同的取值,∴D n=(n−1)(D n−1+D n−2 )．(3)证明：根据(2)的递推关系及(1)的结论，D n均为自然数；当n≥3，且n为奇数时，n−1为偶数，从而D n=(n−1)(D n−1+D n−2 )为偶数，又D1=0也是偶数，故对任意正奇数n，有D n均为偶数．下面用数学归纳法证明D2n（其中n∈N∗）为奇数．当n=1时，D2=1为奇数；假设当n=k时，结论成立，即D2k是奇数，则当n=k+1时，D2(k+1)=(2k+1)(D2k+1+D2k)，注意到D2k+1为偶数，又D2k是奇数，所以D2k+1+D2k为奇数，又2k+1为奇数，所以D2(k+1)=(2k+1)(D2k+1+D2k)，即结论对n=k+1也成立；根据前面所述，对任意n∈N∗，都有D2n为奇数．【考点】数学归纳法【解析】（1）根据错位排列的定义得出；（2）设A n的一个错位排列(a1, a2,…,a n)，令a1=k(k≠1)，根据a k是否为1讨论得出D n与D n−2，D n−1的关系；（3）根据（2）的结论可知D2k+1为偶数，再利用数学归纳法证明即可．【解答】(1)解：根据错位排列的定义得出：D1=0，D2=1，D3=2，D4=9.(2)解：D n=(n−1)(D n−1+D n−2 )，理由如下：对A n的元素的一个错位排列(a1, a2,…,a n)，若a1=k(k≠1)，分以下两类：若a k=1，这种排列是n−2个元素的错位排列，共有D n−2个；若a k≠1，这种错位排列就是将1，2，…，k−1，k+1，…，n.排列到第2到第n个位置上，1不在第k个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于n−1个元素的错位排列，共有D n−1个．∵k≠1，∴k共有n−1个不同的取值,∴D n=(n−1)(D n−1+D n−2 )．(3)证明：根据(2)的递推关系及(1)的结论，D n均为自然数；当n≥3，且n为奇数时，n−1为偶数，从而D n=(n−1)(D n−1+D n−2 )为偶数，又D1=0也是偶数，故对任意正奇数n，有D n均为偶数．下面用数学归纳法证明D2n（其中n∈N∗）为奇数．当n=1时，D2=1为奇数；假设当n=k时，结论成立，即D2k是奇数，则当n=k+1时，D2(k+1)=(2k+1)(D2k+1+D2k)，注意到D2k+1为偶数，又D2k是奇数，所以D2k+1+D2k为奇数，又2k+1为奇数，所以D2(k+1)=(2k+1)(D2k+1+D2k)，即结论对n=k+1也成立；根据前面所述，对任意n∈N∗，都有D2n为奇数．。

2018届江苏高考数学模拟2试卷

2018届江苏高考模拟测试卷数学文理合卷第Ⅰ卷（必做题共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.321i i-= . 1. 1i - 由21i =-,知i 为虚数单位,故322(1)(1)11(1)(1)i i i i i i i i i -+==-+=--+-.2.命题“x R ∀∈，sin 1x ≥-”的否定是 .2.x R ∃∈, sin 1x <- 含有量词的命题的否定，要把量词作对应改变，同时注意否定结论的时候否定词否定在什么地方.3.设集合M={x ∣0＜∣x -1∣＜2}，N={x ∣x (x -3)＜0}，那么“a M ∈”是“a N ∈”的条件. (填：充分不必要或必要不充分或充要或既不充分也不必要 )3.既不充分也不必要条件 M=(-1，1)∪（1，3）， N=（0，3），故是既不充分也不必要条件.4.设ω>0,函数y=sin(ωx+3π)图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得函数的周期为23π，则ω的值为 . 4.6 所得函数为y=sin （12ωx+3π），有最小正周期公式可得6ω=.5.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个正方形的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为42a ．类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个正方体的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 .5. 38a 在平面图形中，通过面积割补可得，重叠部分是一个边长为2a 的小正方形，其面积2412121a a a S =∙=．类比推理到空间，可知重叠部分是一个棱长为2a的小正方体，其体积8)21(33a a V ==．5题为陈题，换题如下：观察下列等式:212(1)1x x x x ++=++,22234(1)1232x x x x x x ++=++++,2323456(1)136763x x x x x x x x ++=++++++,242345678(1)1410161916104x x x x x x x x x x ++=++++++++,由以上等式推测:对于n N *∈,若2220122(1)n n n x x a a x a x a x ++=++++ ,则2a = ▲ .(1)2n n +【解析】:由各个等式中2x 项的系数:1,3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,… , 可猜想第n 个等式中2x 项的系数为(1)12342n n n +++++⋅⋅⋅+=.6.某地区为了解小学生的身高发育情况，从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若:7:1a b =，由图中可知，身高落在[110,130)范围内的学生人数是 .6. 65 4.0)030.0020.0010.0(101)(10=++-=+b a ，所以04.0=+b a ，又7:=b a ，由两式解得035.0=a ，所以身高落在[110,130)内的频率为65.0)030.0035.0(10=+，所以身高落在[110,130)范围内的学生人数为6565.0100=⨯（人）．7.某流程图如图所示，现输入四个函数：||()x f x x =，11()212x f x =+- ，()x xf x e e -=-，()lg (sin )f x x =则它可以输出的一个函数是 .7. ()x x f x e e -=- 输出的函数既是奇函数又存在零点，逐个验证即可. 8.下列四个结论：身高150140130120110100组据频率/ba 010.0020.0030.0开始()f x 输入函数否结束是?存在零点()f x 输出函数()()0?f x f x +-=是否①两条直线都和第三条直线异面，则这两条直线异面；②两条直线和某个平面只有一个公共点，则这两条直线可能平行；③两条直线都和第三条直线没有公共点，则这三条直线中至少有两条直线是异面的； ④一条直线和一个平面内无数条直线都有公共点是这条直线在这个平面内的充要条件. 其中错误的是 .（把所有正确命题的序号都填上）8.①②③④ ①中两直线可以平行也可相交还可以异面，故①错误；②这两条直线如果平行，它们和平面要么都有交点，要么一个交点都没有，所以交点不止一个，故②错误；③三条直线可以平行，故③错误；④这条直线可以在平面内还可以与平面相交，故④错误.答案为A.9.已知向量(,)3ya x = , 向量(,)3yb x =- ，曲线1a b ⋅= 上一点P 到F (2,0)的距离为4, Q 为PF 的中点, O 为坐标原点, 则|OQ | 的值是 .9.3或 1 2213y a b x ⋅=-= ，因此双曲线的1,2a c ==，设左焦点1(2,0)F -，则11||||2O Q P F =，由双曲线定义得1||||22PF PF a -==，1||6PF ∴=或1||2PF =，||3OQ ∴=或1.10.抛物线212x y =在第一象限内图像上一点2(,2)i i a a 处的切线与x 轴交点的横坐标记为1i a +，其中i N +∈，若232a =，则246a a a ++= .10.42 由22y x =知，4y x '=，可得切线方程为224()i i i y a a x a -=-，切线与x 轴交点的横坐标为112i i a a +=，所以246,,a a a 成首项为32，公比为14的等比数列，故24642a a a ++=.11.函数2,44()4x x f x a x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，，若函数()2y f x =-有三个零点，则a 的值为 .11.2 利用函数图像变换画出函数()f x 的图像，只要保证直线2y =和()f x 的图像有三个交点即可，这时只有点(4,)a 在直线2y =上，即2a =.12.在∆BC 中，C ab c b a sin 32222=++，则△ABC 的形状是三角形 12.等边由题意得C ab C ab b a b a sin 32)cos 2(2222=-+++，即223sin cos a b ab C ab C +=+，abb a C C +=+cos sin 3，a b b a C +=+)6sin(2π，而2≥+ab b a 2=⨯abb a ，且2)6s in (2≤+πC ，因此2=+a b b a ，a ＝b ，1)6sin(=+πC ，C ＝3π，因此△ABC 是正三角形 13.我们把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，在长方体八个顶点中任取四个，顺次连接得到58个四面体，从这些四面体中任取一个，取到 “三节棍体”的概率是 . 13.1229“三节棍体”是如图所示的三条棱,,AB BD DC 两两垂直的四面体，选出这样的三条棱就能够成“三节棍体”，如右图，正方体中每一条竖直的棱能组成6个“三节棍体”，共能组成4624⨯=个“三节棍体”，所以所求概率为1229P =.14.过直线y x =上的一点H 作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线1l 、2l ，切点分别为A ，B ．当1l 、2l 关于y x =对称时，求AHB ∠= .14. 60法一：过圆心P 做PH 垂直于直线y x =垂足是H ，过H 做切线1l 、2l .如图要使1l 、2l 关于y x =对称，所以根据对称性，只要AHO PHB ∠=∠，即HP OM ⊥符合题意，故|51||PH |222-==，|PA |2r ==，所以30,60AHP AHB ∠=∠= .法二：要使1l 、2l 关于y x =对称只要，直线1l 、2l 关于过圆22(5)(1)2x y -+-=的圆心且和直线y x =垂直的一条直线对称即可，如方法一图，易求60AHB ∠=.三、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤）.,2,1,120.O ABC AB AC BAC ===∆∠︒15.已知为的外心（1）求AB AC的值（2）1212.AO AB AC λλλλ=++若,求的值15. :(1),1ABC R AB AC =∆-解设外接圆半径为由已知得12121212121212(2),1cos ,2cos 4111224AO AB AC AO AC AB AC AC AC R OAC R OAB AO AB AB AB AC AB R R R Rλλλλλλλλλλλλλλ=+⎧=+∠=-+⎧⎪∴∴⎨⎨∠=-=+⎩⎪⎩⎧=-+⎪⎪∴⎨=- 11225136,,463λλλλ⎧=⎪⎪∴∴+=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩⎩ OyxBHPA M16.右图为一组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//EC PD ，且2PD AD EC ===2（1）求四棱锥B －CEPD 的体积；（2）求证：//BE 平面PDA ． 16.解：（1）∵PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PDCE ∴平面PDCE ⊥平面ABCD∵BC CD ⊥ ∴BC ⊥平面PDCE ∵11()32322S PD EC DC =+⋅=⨯⨯=梯形PDCE∴四棱锥B －CEPD 的体积1132233B CEPD PDCE V S BC -=⋅=⨯⨯=梯形.(2) 证明：∵//EC PD ，PD ⊂平面PDA ，EC ⊄平面PDA∴EC//平面PDA ,同理可得BC//平面PDA∵EC ⊂平面EBC,BC ⊂平面EBC 且EC BC C = ∴平面BEC //平面PDA ，又∵BE ⊂平面EBC ∴BE//平面PDA17.在东西方向直线延伸的一条路上有个村庄,一人骑摩托车以40km/h 的速度从村庄中的点O 处出发,30 分钟后因摩托车故障而停在某处.已知此人出发后,先按东偏北某个方向直线前进,以后又改成正北,但不知最初的方向和何时改变方向,如图建立坐标系，设此人最后停留在P (x ,y )（1）若此人最初沿东偏北0090)θθ<<（度的方向前进，求θ与x ,y 之间的关系式；（2）求此人最后可能停的区域的面积. 17.解：（1）如图：若此人停在P (x ,y )点,从O 开始到Q 点开始改为正北方向∠QOx =θ，有20cos cos sin =+-θθθx x y ，有x y θθcos 1sin 20-+=，（2）由（1）可以知道该直线表示的是截距为20，斜率为0cos 1sin --θθ 的直线,因为20πθ<<，又由0cos 1sin --θθ的几何意义可以知道:它表示的是(0,1)和(θcos ,θsin )直线的斜率，知0cos 1sin --θθ的取值范围是()1,0-，再结合图形可知，由题意可知此人所停的范围是如图所示的阴影部分，又因为此人所停的最大范围是以原点为圆心，20为半径的圆：22220x y +=在第一象限的部分，取圆与阴影部分的交集就是此人可能停留的位置，是如图所示的弓形区域.弓形面积：100200OAB OAB S S S π∆=-=-扇形.18.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a ，数列}{n n S a +是公差为2的等差数列． (1)求2a ，3a ；(2)证明：数列}2{-n a 为等比数列； (3)求数列}{n na 的前n 项和n T ．18.解：(1)∵数列}{n n S a +是公差为2的等差数列，∴2)()(11=+-+++n n n n S a S a ，即221+=+n n a a ，∵11=a ，∴232=a ，473=a .(2)由题意，得121-=-a ，∵212222221=--+=--+n n n n a a a a ， ∴}2{-n a 是首项为1-，公比为21的等比数列． (3)由(2)得1)21(2--=-n n a ，∴112()2n n na n n -=-， ∴211(21)(42)[63()][222n T n =-+-+-++-11()]2n n - 211(2462)[123()22n n =++++-++++ ])21(1-n设21111123()()222n n A n -=++++ ， ① 23111112()3()()22222n n A n =++++ ， ② 由①一②，得2111111()()2222n n A n -=++++- n )21(，∴11()112()12212nn n A n -=-- ，∴4(2)nA n =-+ 1)21(-n ， ∴1(22)1(2)()4(2)22n n n n T n n -+=++-=+ 4)1()21(1-++-n n n .19.已知点M 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，以M 为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F ，与y 轴相交于A 、B 两点，且ABM ∆是边长为2的正三角形. (1)求椭圆的方程.(2) P 、Q 为椭圆C 上两个不同的两点，()0,0R x 为x 轴上一点，且RP RQ =，PQ 与x 轴不垂直，求0x 的取值范围.19.解：（1）∵以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的右焦点F ，与y 轴相交于A 、B 两点，且ABM ∆是边长为2的正三角形.∴点M 的横坐标为3,M 的纵坐标为2±. ∴椭圆的半焦距3c =,所以椭圆的两个焦点坐标分别为12(3,0),(3,0)F F -, ∵12||||2MF MF a+=，∴22222(33)2(33)26a =+++-+=,∴3a =,∴2226b a c =-=故所求椭圆方程为22196x y +=. (2)由已知条件得()0,0R x 在PQ 的中垂线上，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则2211196x y +=，2222196x y +=，两式相减并整理，得()()2121212123x x y y x x y y +-=--+， ∴PQ 的中垂线方程为()()121212123222y y y y x x y x x x +++⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，令0y =，得1206x x x +=， ∵133x -≤≤，233x -≤≤，且12x x ≠，∴011x -≤≤.20.在长三角城市带的经济发展上，胡锦涛总书记从加快转变经济发展方式等五个方面对未来提出具体要求.五点要求中蕴含了很多亮点：比如说，第一次提出了我们国民经济的发展要从要素驱动向创新驱动转变，大大提高了科学技术、自主创新的地位.连云港市某公司原为国外某公司进行贴牌生产，每件产品的成本是7元，需向品牌厂家交a 元）（53≤≤a 的品牌使用费，预计当每件产品的售价为x 元）（1513≤≤x 时，一年的销售量为216）（x -万件.（1）求公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（2）求每件产品的售价为多少元时，公司一年的利润L 最大，并求出L 最大值Q(a).（3）该公司近几年立足自主创新，树立了自己的品牌，不用交品牌使用费且售价减少a 元，同时销售量增加到216）（a x +-万件，问售价为多少时，公司一年的利润L 最大，最大为多少？20.解：（1）)1513(,)16)(7(2≤≤---=x x a x L（2）)2330)(16()16)(7(2)16(2a x x x a x x L +--=-----='令0='L ，则16,321021=+=x a x （不合题意，舍去）因为53≤≤a ，所以340321012≤+≤a ，函数在a x 32101+=的两侧导数值又正变负，所以（Ⅰ）当13121≤≤x ，即13321012≤+≤a ，293≤≤a ，a L L 954)13(max -==（Ⅱ）当340131≤≤x ，即340321013≤+≤a ，529≤≤a ， 2max)33(4)32(a a L L -==所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤-=)529(,)33(4)293(,954)(2a a a a a Q （3）)1513(,)16)(7(2≤≤+---=x a x a x L(16)(3033)L x a x a '=-+-+是开口向上的二次函数，且13101516a a ≤+≤≤+，有二次函数的图像可知，()13,10x a ∈+时0,()L L x '>为增，()10,15x a ∈+时0,()L L x '<为减，所以108)10(max =+=a L L 万元数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A ．选修4-1：几何证明选讲如图，已知⊙O 的半径为6，割线ABE 经过圆心O ，弦CD 交 AB 于点F ，△COF ∽△EDF ，EB = OA ，试求EF 的大小.解：∵△COF ∽△EDF ，∴CFEF DF CF DF EFOF OF =⇒⋅=⋅，又由相交弦定理，得DF CF AF FB ⋅=⋅，∴EF AF OF FB ⋅=⋅，又EB = OA = 6，∴()()()6FB 6FB 12FB FB-⋅+=-⋅，解得F B =3，∴639EF EB BF =+=+=.B ．选修4-2：矩阵与变换把椭圆22194x y +=上点(,)x y 按矩阵103102⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭进行变换，这时椭圆是否能变为一个圆，如果能变为一个圆，此圆的面积是多少.解：在椭圆22194x y +=上任意取一点(,)P x y ，设点(,)P x y 在矩阵103102⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的作用下变换得到点(,)P x y '''，由103102x x y y ⎛⎫⎪'⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪' ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭，可知32x x y y'=⎧⎨'=⎩，椭圆22194x y +=可变为221x y +=，圆的面积为π. C ．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是1=ρ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧=+-=ty tx 341 (t 为参数)，求直线l 与曲线C 相交所成的弦的弦长解：曲线C 的普通方程是122=+y x ，直线l 的方程是0343=+-y x ，圆心到直线的距离35d =，所以弦长23821()55l =-=. D ．选修4-5：不等式选讲已知函数()||1f x x a x =-+-，若关于x 的不等式()2f x ≤的解集为非空集合，求实数a的取值范围.解：由绝对值不等式知，()()()||11|1|f x x a x x a x a =-+-≥---=-，即m i n()1f x a =-，又不等式()2f x ≤的解集为空集， ∴min ()12f x a =-≤，即()2212a -≤，解得13a -≤≤， ∴实数a 的取值范围[]1,3-.22.在上海世博园区内的某个餐饮点上，江苏某种茶饮料一天的销售量与该天的日平均气温（单位：0C ）有关，若日平均气温不超过300C ，则日销售量为100升；若日平均气温超过300C 但不超过350C ，则日销售量为150升，若日平均气温超过350C ,则日销售量为200升.据气象部门预测，上海在世博期间每一天日平均气温不超过300C ，超过300C 但不超过350C ，超过350C 这三种情况发生的概率分别为123,,P P P ，又知12,P P 为方程225150x x a -+=的两根,且23P P =.(1)求123,,P P P 的值；（2）记ξ表示该茶饮料在世博期间任意两天的销售量总和（单位：升），求ξ的分布列及数学期望.22.解：(1)由已知得1231223135P P P P P P P ++=⎧⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，解得:1P =51,2P =52,3P =52. （2）ξ的可能取值为200，250，300，350，400.P(ξ=200)=51⨯51=251，P(ξ=250)= 2⨯51⨯52=254，P(ξ=300)= 2⨯51⨯52+52⨯52=258 P(ξ=350)= 2⨯52⨯52=258，P(ξ=400)= 52⨯52=254 随机变量ξ的分布列为 ξ200 250 300 350 400 P 251 254 258 258 254 所求的数学期望为E ξ=200⨯251+250⨯254+300⨯258+350⨯258+400⨯254=320(升). 23.设m N +∈，)m ψ(表示2log m 的整数部分（1）求满足)3m ψ(=的所有m 值之和.（2）求证：1)2)3)2)n T n ψψψψ=(+(+(++(-L 是一个偶数.23.解：（1）当)3m ψ(=时，设2log 3(01)m a a =+≤<，则32a m +=，所以3422m ≤<即816m ≤<，所以8,9,10,11,12,13,14,15m =，这些数字之和为()815492S =+⨯=. 证明：（2）当1n =时， 1)2)10110T ψψ=(+(-=+-=，是一个偶数.假设当(1)n k k =≥时，1)2)3)2)k T k ψψψψ=(+(+(++(-L 是一个偶数，则当1n k =+时，11)2)3)2)11)2)3)2)21)22)22)1k k k k k k T k k ψψψψψψψψψψψ+=(+(+(++(--⎡⎤⎡⎤=(+(+(++(+(++(+++(+--⎣⎦⎣⎦L L L因为当12kb ≤≤时，2log (2)1k k b k <+≤+，所以 11221)22)22)1(1)12k k k k k k k k k k k k k ψψψ--(++(+++(+--=+++++--=个L L g 1444442444443是一个偶数，又因为1)2)3)2)k ψψψψ(+(+(++(L 是一个偶数，所以此时T 为偶数，综合以上可知m N +∈时，1)2)3)2)n T n ψψψψ=(+(+(++(-L 是一个偶数. -。

届苏州市高考数学模拟试卷及答案

届苏州市高考数学模拟试卷及答案2018届苏州市高考数学模拟试卷及答案数学不仅所占分值高，而且难度也相对较大，要想高考数学中取得高分，那就需要在备考时多做一些高考数学模拟试卷了，以下是店铺为你整理的2018届苏州市高考数学模拟试卷，希望能帮到你。

2018届苏州市高考数学模拟试卷题目一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1.已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁UM= .2.若复数z满足z+i= ，其中i为虚数单位，则|z|= .3.函数f(x)= 的定义域为.4.如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是5.某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为.6.已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为.7.从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为.8.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣ =l的右焦点，则双曲线的离心率为.9.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列.且a2+a5=4，则a8的值为.10.在平面直角坐标系xOy中，过点M(1，0)的直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且=2 ，则直线l 的方程为.11.在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足= + ，且• =1，则实数λ的值为.12.已知sinα=3sin(α+ )，则tan(α+ )=.13.若函数f(x)= ，则函数y=|f(x)|﹣的零点个数为.14.若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为.二.解答题：本大题共6小题，共计90分15.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边.若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=(1)求边c的长;(2)求角B的大小.16.如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1(1)求证：E是AB中点;(2)若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.17.某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图)，设计要求彩门的面积为S (单位：m2)•高为h(单位：m)(S，h为常数)，彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l.(1)请将l表示成α的函数l=f(α);(2)问当α为何值时l最小?并求最小值.18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+ =l (a>b>0)的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A.(1)求该椭圆的方程：(2)过点D( ，﹣)作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值.19.己知函数f(x)=(x+l)lnx﹣ax+a (a为正实数，且为常数)(1)若f(x)在(0，+∞)上单调递增，求a的取值范围;(2)若不等式(x﹣1)f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.20.己知n为正整数，数列{an}满足an>0，4(n+1)an2﹣nan+12=0，设数列{bn}满足bn=(1)求证：数列{ }为等比数列;(2)若数列{bn}是等差数列，求实数t的值：(3)若数列{bn}是等差数列，前n项和为Sn，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，求满足条件的所有整数a1的值.四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分.A.[选修4一1：几何证明选讲]21.如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E.求∠DAC的度数与线段AE的长.[选修4-2：矩阵与变换]22.已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[ ]，并且矩阵M对应的变换将点(﹣1，2)变换成(﹣2，4).(1)求矩阵M;(2)求矩阵M的另一个特征值.[选修4-4：坐标系与参数方程]23.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2， .(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.[选修4-5：不等式选讲]24.已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求 + + 的最大值.四.必做题：每小题0分，共计20分25.如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且 = = .(1)求异面直线MN与PC所成角的大小;(2)求二面角N﹣PC﹣B的余弦值.26.设|θ|< ，n为正整数，数列{an}的通项公式an=sin tannθ，其前n项和为Sn(1)求证：当n为偶函数时，an=0;当n为奇函数时，an=(﹣1)tannθ;(2)求证：对任何正整数n，S2n= sin2θ•[1+(﹣1)n+1tan2nθ]. 2018届苏州市高考数学模拟试卷答案一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1.已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁UM= {6，7} .【考点】补集及其运算.【分析】解不等式化简集合M，根据补集的定义写出运算结果即可.【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}={x|1≤x≤5，x∈Z}={1，2，3，4，5}，则∁UM={6，7}.故答案为：{6，7}.2.若复数z满足z+i= ，其中i为虚数单位，则|z|= .【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案.【解答】解：由z+i= ，得 = ，则|z|= .故答案为： .3.函数f(x)= 的定义域为{x|x> 且x≠1}.【考点】函数的定义域及其求法.【分析】根据对数函数的性质以及分母不是0，得到关于x的不等式组，解出即可.【解答】解：由题意得：，解得：x> 且x≠1，故函数的定义域是{x|x> 且x≠1}，故答案为：{x|x> 且x≠1}.4.如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是24【考点】伪代码.【分析】模拟程序代码的运行过程，可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量t的值，由于循环变量的初值为2，终值为4，步长为1，故循环体运行只有3次，由此得到答案.【解答】解：当i=2时，满足循环条件，执行循环t=1×2=2，i=3;当i=3时，满足循环条件，执行循环t=2×3=6，i=4;当i=4时，满足循环条件，执行循环t=6×4=24，i=5;当i=5时，不满足循环条件，退出循环，输出t=24.故答案为：24.5.某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为300 .【考点】分层抽样方法.【分析】用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有900名学生，算出高二年级学生人数.【解答】解：∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，∴高二年级要抽取45﹣20﹣10=15，∵高级中学共有900名学生，∴每个个体被抽到的概率是 =∴该校高二年级学生人数为 =300，故答案为：300.6.已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA= ，设正四棱锥的高为PO，连结AO，求出PO，由此能求出该正四棱锥的体积.【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA= ，设正四棱锥的高为PO，连结AO，则AO= AC= .在直角三角形POA中，PO= = =1.所以VP﹣ABCD= •SABCD•PO= ×4×1= .故答案为： .7.从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】先求出基本事件总数n= =6，再利用列举法求出这两个数的和为3的倍数包含的基本事件个数，由此能求出这两个数的和为3的倍数的槪率.【解答】解：从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，基本事件总数n= =6，这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：(1，2)，(2，4)，共2个，∴这两个数的和为3的倍数的槪率p= .故答案为： .8.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣ =l的右焦点，则双曲线的离心率为 2 .【考点】双曲线的简单性质.【分析】求得抛物线的焦点坐标，可得c=2，由双曲线的方程可得a=1，由离心率公式可得所求值.【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为(2，0)，则双曲线﹣ =l的右焦点为(2，0)，即有c= =2，不妨设a=1，可得双曲线的离心率为e= =2.故答案为：2.9.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列.且a2+a5=4，则a8的值为 2 .【考点】等比数列的通项公式.【分析】利用等比数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出，由此能求出a8的值.【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列.且a2+a5=4，∴ ，解得，∴a8= =(a1q)(q3)2=8× =2.故答案为：2.10.在平面直角坐标系xOy中，过点M(1，0)的`直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且=2 ，则直线l 的方程为x﹣y﹣1=0 .【考点】直线与圆的位置关系.【分析】由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论.【解答】解：由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，可得(m2+1)y2+2my﹣4=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1=﹣2y2，y1+y2=﹣，y1y2=﹣联立解得m=1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，故答案为：x﹣y﹣1=0.11.在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足= + ，且• =1，则实数λ的值为﹣或1 .【考点】平面向量数量积的运算.【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算，把、用、与λ表示出来，再求• 即可.【解答】解：△ABC中，AB=1，AC=2，∠A=60°，点P满足= + ，∴ ﹣=λ ，∴ =λ ;又 = ﹣=( +λ )﹣= +(λ﹣1) ，∴ • =λ •[ +(λ﹣1) ]=λ • +λ(λ﹣1)=λ×2×1×cos60°+λ(λ﹣1)×22=1，整理得4λ2﹣3λ﹣1=0，解得λ=﹣或λ=1，∴实数λ的值为﹣或1.故答案为：﹣或1.12.已知sinα=3sin(α+ )，则tan(α+ )= 2 ﹣4 .【考点】两角和与差的正切函数;两角和与差的正弦函数.【分析】利用同角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tanα、tan 的值，可得tan(α+ )的值.【解答】解：sinα=3sin(α+ )=3sinαcos +3cosαsin = sinα+ cosα，∴tanα= .又tan =tan( ﹣ )= = =2﹣，∴tan(α+ )= = = =﹣ =2 ﹣4，故答案为：2 ﹣4.13.若函数f(x)= ，则函数y=|f(x)|﹣的零点个数为 4 .【考点】根的存在性及根的个数判断.【分析】利用分段函数，对x≥1，通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当x<1时，利用数形结合求解函数的零点个数即可.【解答】解：当x≥1时， = ，即lnx= ，令g(x)=lnx﹣，x≥1时函数是连续函数，g(1)=﹣ <0，g(2)=ln2﹣ =ln >0，g(4)=ln4﹣2<0，由函数的零点判定定理可知g(x)=lnx﹣，有2个零点.(结合函数y= 与y= 可知函数的图象由2个交点.)当x<1时，y= ，函数的图象与y= 的图象如图，考查两个函数由2个交点，综上函数y=|f(x)|﹣的零点个数为：4个.故答案为：4.14.若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为1 .【考点】函数的最值及其几何意义.【分析】由题意可得x> ，y>0，又x3+y3﹣x2﹣y2=(x3﹣x2)+(y3﹣y2)，求出y3﹣y2≥﹣y，当且仅当y= 时取得等号，设f(x)=x3﹣x2，求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求最小值.【解答】解：由正数x，y满足15x﹣y=22，可得y=15x﹣22>0，则x> ，y>0，又x3+y3﹣x2﹣y2=(x3﹣x2)+(y3﹣y2)，其中y3﹣y2+ y=y(y2﹣y+ )=y(y﹣)2≥0，即y3﹣y2≥﹣ y，当且仅当y= 时取得等号，设f(x)=x3﹣x2，f(x)的导数为f′(x)=3x2﹣2x=x(3x﹣2)，当x= 时，f(x)的导数为×( ﹣2)= ，可得f(x)在x= 处的切线方程为y= x﹣ .由x3﹣x2≥ x﹣⇔(x﹣)2(x+2)≥0，当x= 时，取得等号.则x3+y3﹣x2﹣y2=(x3﹣x2)+(y3﹣y2)≥ x﹣﹣y≥ ﹣ =1.当且仅当x= ，y= 时，取得最小值1.故答案为：1.二.解答题：本大题共6小题，共计90分15.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边.若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=(1)求边c的长;(2)求角B的大小.【考点】余弦定理;正弦定理.【分析】(1)由acosB=3，bcosA=l，利用余弦定理化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c.相加即可得出c.(2)由(1)可得：a2﹣b2=8.由正弦定理可得： = = ，又A﹣B= ，可得A=B+ ，C= ，可得sinC=sin .代入可得﹣16sin2B= ，化简即可得出.【解答】解：(1)∵acosB=3，bcosA=l，∴a× =3，b× =1，化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c.相加可得：2c2=8c，解得c=4.(2)由(1)可得：a2﹣b2=8.由正弦定理可得： = = ，又A﹣B= ，∴A=B+ ，C=π﹣(A+B)= ，可得sinC=sin .∴a= ，b= .∴ ﹣16sin2B= ，∴1﹣﹣(1﹣cos2B)= ，即cos2B﹣ = ，∴﹣2 ═ ，∴ =0或 =1，B∈ .解得：B= .16.如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1(1)求证：E是AB中点;(2)若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.【考点】空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面平行的性质.【分析】(1)利用同一法，首先通过连接对角线得到中点，进一步利用中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理，得到结论.(2)利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直.【解答】证明：(1)连结BC1，取AB中点E′，∵侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，∴O为AC1的中点，∵E′是AB的中点，∴OE′∥BC1;∵OE′⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴OE′∥平面BCC1B1，∵OE∥平面BCC1B1，∴E，E′重合，∴E是AB中点;(2)∵侧面AA1C1C是菱形，∴AC1⊥A1C，∵AC1⊥A1B，A1C∩A1B=A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，∴AC1⊥平面A1BC，∵BC⊂平面A1BC，∴AC1⊥BC.17.某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图)，设计要求彩门的面积为S (单位：m2)•高为h(单位：m)(S，h为常数)，彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l.(1)请将l表示成关于α的函数l=f(α);(2)问当α为何值时l最小?并求最小值.【考点】函数模型的选择与应用.【分析】(1)求出上底，即可将l表示成关于α的函数l=f(α);(2)求导数，取得函数的单调性，即可解决当α为何值时l最小?并求最小值.【解答】解：(1)设上底长为a，则S= ，∴a= ﹣，∴l= ﹣+ (0<α< );(2)l′=h ，∴0<α< ，l′<0，<α< ，l′>0，∴ 时，l取得最小值 m.18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+ =l (a>b>0)的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A.(1)求该椭圆的方程：(2)过点D( ，﹣)作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值.【考点】直线与椭圆的位置关系.【分析】(1)由题意可知2c=2，c=1，离心率e= ，求得a=2，则b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程：(2)则直线PQ的方程：y=k(x﹣ )﹣，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的率之和为定值.【解答】解：(1)由题意可知：椭圆 + =l (a>b>0)，焦点在x轴上，2c=1，c=1，椭圆的离心率e= = ，则a= ，b2=a2﹣c2=1，则椭圆的标准方程： ;(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A( ，0)，由题意PQ的方程：y=k(x﹣ )﹣，则，整理得：(2k2+1)x2﹣(4 k2+4 k)x+4k2+8k+2=0，由韦达定理可知：x1+x2= ，x1x2= ，则y1+y2=k(x1+x2)﹣2 k﹣2 = ，则kAP+kAQ= + = ，由y1x2+y2x1=[k(x1﹣)﹣]x2+[k(x2﹣)﹣]x1=2kx1x2﹣( k+ )(x1+x2)=﹣，kAP+kAQ= = =1，∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1.19.己知函数f(x)=(x+l)lnx﹣ax+a (a为正实数，且为常数)(1)若f(x)在(0，+∞)上单调递增，求a的取值范围;(2)若不等式(x﹣1)f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)求出函数f(x)的导数，问题转化为a≤lnx+ +1在(0，+∞)恒成立，(a>0)，令g(x)=lnx+ +1，(x>0)，根据函数的单调性求出a的范围即可;(2)问题转化为(x﹣1)[(x+1)lnx﹣a]≥0恒成立，通过讨论x的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可.【解答】解：(1)f(x)=(x+l)lnx﹣ax+a，f′(x)=lnx+ +1﹣a，若f(x)在(0，+∞)上单调递增，则a≤lnx+ +1在(0，+∞)恒成立，(a>0)，令g(x)=lnx+ +1，(x>0)，g′(x)= ，令g′(x)>0，解得：x>1，令g′(x)<0，解得：0故g(x)在(0，1)递减，在(1，+∞)递增，故g(x)min=g(1)=2，故0(2)若不等式(x﹣1)f(x)≥0恒成立，即(x﹣1)[(x+1)lnx﹣a]≥0恒成立，①x≥1时，只需a≤(x+1)lnx恒成立，令m(x)=(x+1)lnx，(x≥1)，则m′(x)=lnx+ +1，由(1)得：m′(x)≥2，故m(x)在[1，+∞)递增，m(x)≥m(1)=0，故a≤0，而a为正实数，故a≤0不合题意;②0令n(x)=(x+1)lnx，(0则n′(x)=lnx+ +1，由(1)n′(x)在(0，1)递减，故n′(x)>n(1)=2，故n(x)在(0，1)递增，故n(x)故a≥0，而a为正实数，故a>0.20.己知n为正整数，数列{an}满足an>0，4(n+1)an2﹣nan+12=0，设数列{bn}满足bn=(1)求证：数列{ }为等比数列;(2)若数列{bn}是等差数列，求实数t的值：(3)若数列{bn}是等差数列，前n项和为Sn，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，求满足条件的所有整数a1的值.【考点】数列的求和;等比数列的通项公式.【分析】(1)数列{an}满足an>0，4(n+1)an2﹣nan+12=0，化为：=2× ，即可证明.(2)由(1)可得：= ，可得=n •4n﹣1.数列{bn}满足bn= ，可得b1，b2，b3，利用数列{bn}是等差数列即可得出t.(3)根据(2)的结果分情况讨论t的值，化简8a12Sn﹣a14n2=16bm，即可得出a1.【解答】(1)证明：数列{an}满足an>0，4(n+1)an2﹣nan+12=0，∴ = an+1，即 =2 ，∴数列{ }是以a1为首项，以2为公比的等比数列.(2)解：由(1)可得： = ，∴ =n •4n﹣1.∵b n= ，∴b1= ，b2= ，b3= ，∵数列{bn}是等差数列，∴2× = + ，∴ = + ，化为：16t=t2+48，解得t=12或4.(3)解：数列{bn}是等差数列，由(2)可得：t=12或4.①t=12时，bn= = ，Sn= ，∵对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，∴ × ﹣a14n2=16× ，∴ = ，n=1时，化为：﹣ = >0，无解，舍去.②t=4时，bn= = ，Sn= ，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm 成立，∴ × ﹣a14n2=16× ，∴n =4m，∴a1= .∵a1为正整数，∴ = k，k∈N*.∴满足条件的所有整数a1的值为{a1|a1=2 ，n∈N*，m∈N*，且= k，k∈N*}.四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分.A.[选修4一1：几何证明选讲]21.如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E.求∠DAC的度数与线段AE的长.【考点】弦切角.【分析】连接OC，先证得三角形OBC是等边三角形，从而得到∠DCA=60°，再在直角三角形ACD中得到∠DAC的大小;考虑到直角三角形ABE中，利用角的关系即可求得边AE的长.【解答】解：如图，连接OC，因BC=OB=OC=3，因此∠CBO=60°，由于∠DCA=∠CBO，所以∠DCA=60°，又AD⊥DC得∠DAC=30°;又因为∠ACB=90°，得∠CAB=30°，那么∠EAB=60°，从而∠ABE=30°，于是 .[选修4-2：矩阵与变换]22.已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[ ]，并且矩阵M对应的变换将点(﹣1，2)变换成(﹣2，4).(1)求矩阵M;(2)求矩阵M的另一个特征值.【考点】特征值与特征向量的计算;几种特殊的矩阵变换.【分析】(1)先设矩阵A= ，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M 有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1及矩阵M对应的变换将点(﹣1，2)换成(﹣2，4).得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M;(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为f(λ)=(λ﹣6)(λ﹣4)﹣8=λ2﹣10λ+16，从而求得另一个特征值为2.【解答】解：(1)设矩阵A= ，这里a，b，c，d∈R，则 =8 = ，故，由于矩阵M对应的变换将点(﹣1，2)换成(﹣2，4).则 = ，故联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M= .(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为f(λ)=(λ﹣6)(λ﹣4)﹣8=λ2﹣10λ+16，故矩阵M的另一个特征值为2.[选修4-4：坐标系与参数方程]23.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2， .(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.【考点】简单曲线的极坐标方程;相交弦所在直线的方程.【分析】(1)先利用三角函数的差角公式展开圆O2的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆O2的直角坐标方程及圆O1直角坐标方程.(2)先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可.【解答】解：(1)ρ=2⇒ρ2=4，所以x2+y2=4;因为，所以，所以x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1，即 .[选修4-5：不等式选讲]24.已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求 + + 的最大值.【考点】二维形式的柯西不等式.【分析】利用柯西不等式，结合a+b+c=3，即可求得+ + 的最大值.【解答】解：由柯西不等式可得( + + )2≤[12+12+12][( )2+( )2+( )2]=3×12∴ + + ≤3 ，当且仅当 = = 时取等号.∴ + + 的最大值是6，故最大值为6.四.必做题：每小题0分，共计20分25.如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且 = = .(1)求异面直线MN与PC所成角的大小;(2)求二面角N﹣PC﹣B的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角.【分析】(1)设AC与BD的交点为O，AB=PA=2.以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz.利用向量法能求出异面直线MN与PC所成角.(2)求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量，利用向量法能求出二面角N﹣PC﹣B的余弦值.【解答】解：(1)设AC与BD的交点为O，AB=PA=2.以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz.则A(1，﹣1，0)，B(1，1，0)，C(﹣1，1，0)，D(﹣1，﹣1，0)，…设P(0，0，p)，则 =(﹣1，1，p)，又AP=2，∴1+1+p2=4，∴p= ，∵ = = =( )，=( )，∴ =(﹣1，1，﹣ )， =(0，，﹣ )，设异面直线MN与PC所成角为θ，则cosθ= = = .θ=30°，∴异面直线MN与PC所成角为30°.(2) =(﹣1，1，﹣ )， =(1，1，﹣ )， =( ，﹣ )，设平面PBC的法向量 =(x，y，z)，则，取z=1，得 =(0，，1)，设平面PNC的法向量 =(a，b，c)，则，取c=1，得 =( ，2 ，1)，设二面角N﹣PC﹣B的平面角为θ，则cosθ= = = .∴二面角N﹣PC﹣B的余弦值为 .26.设|θ|< ，n为正整数，数列{an}的通项公式an=sin tannθ，其前n项和为Sn(1)求证：当n为偶函数时，an=0;当n为奇函数时，an=(﹣1) tannθ;(2)求证：对任何正整数n，S2n= sin2θ•[1+(﹣1)n+1tan2nθ].【考点】数列的求和.【分析】(1)利用sin = ，即可得出.(2)a2k﹣1+a2k=(﹣1) tannθ.利用等比数列的求和公式即可得出.【解答】证明：(1)an=sin tannθ，当n=2k(k∈N*)为偶数时，an=sinkπ•tannθ=0;当n=2k﹣1为奇函数时，an= •tannθ=(﹣1)k﹣1tannθ=(﹣1) tannθ.(2)a2k﹣1+a2k=(﹣1) tannθ.∴奇数项成等比数列，首项为tanθ，公比为﹣tan2θ.∴S2n= = sin2θ•[1+(﹣1)n+1tan2nθ].下载全文。

2018全国高考数学必刷模拟卷(二)含答案(PDF版)

$'Ã
Ä
5

s#
0
-$'-$((( # *
-'1-$(
=#
-P-$
--'$'1--3n!
12 Â³¬
$®ägóÁ#¬
äóÁ!
12 DV^3
#$&!2"
%/& %(&"
$2'(%/%&&$'"
'(&#a
8!
(!,! /0 `/2? $j '#=2?84'#=2 $!! 84'" 01!
12 Ð5 $$$ &-"(
1&""% #'$$ &-&"+
ö
&a$!! 8O'"
$!
" (
#
( /
090x{
*+#
,+2#
-+$#
!!!" ! !
.+2 !
-+K¦õ'Loõ'Môõ'öôõ .+K¦o'Lôõ'Moõ'öoô
!"%!Ya$DEf $'23)$5'52535/!«/?
&!,'$'24$*$)J/"3 *J)2$C8§l 'J/7$> *$)C!!
/"*$)''#$ *$)2$Bâ! "/C?
!
( ) "2!,
" )&'&#"%"6

2018年江苏高考数学试题及答案(无错版)(2) 精品

20一8年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)一、选择题(5分×一2=60分)一．设集合{1,2,3,4}P =，{}2,Q x x x R =≤∈，则P Q 等于（）A ．{一，2}B ． {3，4}C ． {一}D ． {-2，-一，0，一，2}2．函数22cos 1y x =+(x R ∈)的最小正周期为（）A ．2πB ．πC ．π2D ．π43．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（） A ．一40种 B ．一20种 C ．35种 D ．34种 4．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是（）A ．33π100cmB ．33π208cmC ．33π500cmD ．33π3416cm5．若双曲线22218x y b-=的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线的离心率为（） A ．2 B ．22 C ． 4 D ．246．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（） A ．0.6小时 B ．0.9小时 C ．一.0小时 D ．一.5小时7．4(2)x x +的展开式中3x 的系数是（）A ．6B ．一2C ．24D ．488．若函数log ()(0,1)a y x b a a =+>≠的图象过两点(1,0)-和(0,1)，则（）A ．a =2，b =2B ．a =2，b =2C ．a =2，b =一D ．a =2，b =29．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数一，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是（）A ．5216B ．25216C ．31216D ．91216一0．函数3()31f x x x =-+在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（）A ．一，-一B ．一，-一7C ．3，-一7D ．9，-一9一一．设1k >，()(1)f x k x =-(x R ∈) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数()y f x =的图象与x 轴交于A 点，它的反函数1()y f x -=的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于（）A ．3B ．32C ．43D ．65 一2．设函数()()1xf x x R x =-∈+，区间M =[a ，b ](a <b )，集合N ={(),y y f x x M =∈}，则使M =N 成立的实数对(a ，b )有（） A ．0个 B ．一个 C ．2个 D ．无数多个二、填空题(4分×4=一6分)一3．二次函数2y ax bx c =++(x R ∈)的部分对应值如下表：则不等式20ax bx c ++>的解集是_______________________.一4．以点(1,2)为圆心，与直线43350x y +-=相切的圆的方程是________________.一5．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，1(31)2n n a S -=(对于所有1n ≥)，且454a =，则1a 的数值是_______________________.一6．平面向量a ，b 中，已知a =(4，-3)，b =一，且a ·b =5，则向量b =__________.三、解答题(一2分×5+一4分=74分)一7．已知0<α<2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin()3πα-的值.一8．在棱长为4的正方体ABCD -A 一B 一C 一D 一中，O 是正方形A 一B 一C 一D 一的中心，点P 在棱CC 一x -3 -2 -一 0 一 2 3 4 y6-4-6-6-460.5 人数(人) 时间(小时)20 10 5 0 1.0 1.5 2.0 15上，且CC 一=4CP .(Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 一B 一所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；(Ⅱ)设O 点在平面D 一AP 上的射影是H ，求证：D 一H ⊥AP ；(Ⅲ)求点P 到平面ABD 一的距离.一9．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为一00﹪和50﹪，可能的最大亏损率分别为30﹪和一0﹪. 投资人计划投资金额不超过一0万元，要求确保可能的资金亏损不超过一.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？20．设无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S .(Ⅰ)若首项=1a 32 ，公差1=d ，求满足2)(2k kS S =的正整数k ；(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{}n a ，使得对于一切正整数k 都有2)(2k kS S =成立.、、、 2一．已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是F （-m ,0）(m 是大于0的常数).(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M . 若2MQ QF =，求直线l 的斜率.22．已知函数()()f x x R ∈满足下列条件：对任意的实数x 一，x 2都有2121212()()[()()]x x x x f x f x λ-≤--和1212()()f x f x x x -≤-，其中λ是大于0的常数.设实数a 0，a ，b 满足0()0f a =和()b a f a λ=-；Ⅰ)证明1λ≤，并且不存在00b a ≠，使得0()0f b =；(Ⅱ)证明22200()(1)()b a a a λ-≤--；(Ⅲ)证明222[()](1)[()]f b f a λ≤-.参考答案· B 1P A CD A 1C 1D 1B O H ·一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.一．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．C 8．A 9．D 一0．C 一一．B 一2．A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分一6分. 一3．),3()2,(+∞--∞ 一4．25)2()1(22=-+-y x一5．2一6．)53,54(-三、解答题一7．本小题主要考查三角函数的基本公式和三角函数的恒等变换等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分一2分.解：由已知25tancot22sin 2ααα+==，得4sin 5α=..53s i n 1c o s ,202=-=∴<<ααπα从而 3s i n c o s 3c o s s i n )3s i n (παπαπα⋅-⋅=-)334(10123532154-=⨯-⨯=. 一8．本小题主要考查线面关系和正方体性质等基本知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分一2分.解法一：（I ）连结BP .∵AB ⊥平面BCC 一B 一， ∴AP 与平面BCC 一B 一所成的角就是∠APB , ∵CC 一=4CP ,CC 一=4，∴CP =I . 在Rt △PBC 中，∠PCB 为直角，BC =4，CP =一，故BP =17.在Rt △APB 中，∠ABP 为直角，tan ∠APB =,17174=BP AB∴∠APB =.17174arctan一9．本小题主要考查简单线性规划的基本知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力.满分一2分. 解：设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目.由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,8.11.03.0,10y x y x y x目标函数z =x +0.5y .上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域.作直线05.0:0=+y x l ，并作平行于直线0l 的一组直线,,5.0R z z y x ∈=+ 与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且与直线05.0=+y x 的距离最大，这里M 点是直线10=+y x 和8.11.03.0=+y x 的交点.解方程组⎩⎨⎧=+=+,8.11.03.0,10y x y x 得x =4，y =6此时765.041=⨯+⨯=z （万元）.07> ∴当x =4，y =6时z 取得最大值.答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过一.8万元的前提下，使可能的盈利最大.20．本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.满分一2分. 解：（I ）当1,231==d a 时， n n n n n d n n na S n +=-+=-+=21212)1(232)1( 由22()k k S S =，得422211()22k k k k +=+，即 0)141(3=-k k 又0k ≠，所以4k =. （II ）设数列{}n a 的公差为d ，则在2)(2n n S S =中分别取k =一,2,得211242()()S S S S ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即211211,43214(2)22a a a d a d ⎧=⎪⎨⨯⨯+=+⎪⎩ 由（一）得 10a =或1 1.a =当10a =时，代入（2）得0d =或6,d =若10,0a d ==，则0,0n n a S ==，从而2()k k S S =成立若10,6a d ==，则6(1)n a n =-，由23318,()324,216n S S S ===知 293(),S S ≠故所得数列不符合题意.当11a =时，代入（2）得246(2)d d +=+，解得0d =或2d =若11,0a d ==，则1,n n a S n ==，从而22()k k S S =成立；若11,2a d ==，则221,13(21)n n a n S n n =-=+++-=，从而2()n S S =成立.综上，共有3个满足条件的无穷等差数列： ①{a n } : a n =0，即0，0，0，…； ②{a n } : a n =一，即一，一，一，…； ③{a n } : a n =2n －一，即一，3，5，…，2一．本小题主要考查直线、椭圆和向量等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分一2分. 解：（I ）设所求椭圆方程是).0(12222>>=+b a b y a x由已知，得 ,21,==a c m c 所以m b m a 3,2==.故所求的椭圆方程是1342222=+m y m x （一）（2）（II ）设Q （Q Q y x ,），直线:()l y k x m =+，则点(0,)M km 当2MQ QF =时，由于(,0),(0,),F m M km -由定比分点坐标公式，得02201,.123123Q Q m m km x y km -+==-==++ 又点2(,)33m kmQ -在椭圆上，所以22222499 1.43m k m m m+= 解得26,k =±.当2MQ QF =-时，0(2)()2,1212Q Q m kmx m y km +-⨯-==-==---于是222224143m k m m m +=，解得0k =．故直线l 的斜率是0，62±. 22．本小题主要考查函数、不等式等基本知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分一4分. 证明：（I ）任取1212,,x x R x x ⊂≠，则由)]()()[()(2121221x f x f x x x x --≤-λ 和|||)()(|2121x x x f x f -≤- ②可知 22121212121221|||)()(|||)]()()[()(x x x f x f x x x f x f x x x x -≤-⋅-≤--≤-λ，从而 1≤λ. 假设有00b a ≠，使得0()0f b =，则由①式知20000000()()[()()]0a b a b f a f b λ<-≤--=矛盾． ∴不存在00b a ≠，使得0()0.f b =（II ）由)(a f a b λ-= ③可知 220202020)]([)()(2)()]([)(a f a f a a a a a f a a a b λλλ+---=--=- ④ 由和0)(0=a f ①式，得20000)()]()()[()()(a a a f a f a a a f a a -≥--=-λ ⑤ 由0)(0=a f 和②式知，20202)()]()([)]([a a a f a f a f -≤-= ⑥ 由⑤、⑥代入④式，得 2022022020)()(2)()(a a a a a a a b -+---≤-λλ202))(1(a a --=λ（III ）由③式可知22)]()()([)]([a f a f b f b f +-=22)]([)]()()[(2)]()([a f a f b f a f a f b f +-+-=22)]([)]()([2)(a f a f b f ab a b +--⋅--≤λ （用②式）222)]([)]()()[(2)]([a f a f b f a b a f +---=λλ2222)]([)(2)([a f a b a f +-⋅⋅-≤λλλ （用①式）2222222)]()[1()]([)]([2)]([a f a f a f a f λλλ-=+-=。

2018年高考全国卷2理科数学真题附含答案解析

2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共5页。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A. B. C. D.2.已知集合A=｛（x，y）｜x ²+y ²≤3，x∈Z，y∈Z｝，则A中元素的个数为A.9B.8C.5D.43.函数f（x）=e ²-e-x/x ²的图像大致为A.B.C.D.4.已知向量a，b满足∣a∣=1，a·b=-1,则a·（2a-b）=A.4B.3C.2D.05.双曲线x ²/a ²-y ²/b ²=1（a﹥0，b﹥0）的离心率为，则其渐进线方程为A.y=±xB.y=±xC.y=±D.y=±6.在中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=A.4B.C.D.27.为计算s=1-+-+…+-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A.i=i+1B.i=i+2C.i=i+3D.i=i+48.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。

哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23，在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A. B. C. D.9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为A. B.10.若f（x）=cosx-sinx在［-a，a］是减函数，则a的最大值是A. B. C. D. π11.已知f（x）是定义域为（-∞，+∞）的奇函数，满足f（1-x）=f（1+x）。

若f（1）=2，则f（1）+ f（2）+ f（3）+…+f（50）=A.-50B.0C.2D.5012.已知F1，F2是椭圆C: =1（a>b>0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为A..B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018年江苏省高考数学预测试题(二)有答案

2018年江苏高考预测试题(二)(对应学生用书第133页)(限时：120分钟)参考公式样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ni ＝1 (x i －x )2，其中x ＝1n ni ＝1x i . 棱柱的体积V ＝Sh ，其中S 是棱柱的底面积，h 是高．棱锥的体积V ＝13Sh ，其中S 是棱锥的底面积，h 是高．数学Ⅰ试题一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上) 1．已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B ＝{x |1＜x ≤3}，则A ∪B ＝________.{x |－1≤x ≤3} [由x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2. ∴A ＝{x |－1≤x ≤2}，又集合B ＝{x |1＜x ≤3}， ∴A ∪B ＝{x |－1≤x ≤3}．]2．设复数z 满足(z ＋i)i ＝－3＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________．25 [z ＝－3＋4ii－i ＝3i ＋4－i ＝4＋2i ，则|z |＝|4＋2i|＝42＋22＝2 5.]3．表中是一个容量为10的样本数据分组后的频率分布，若利用组中值近似计算本组数据的平均数x ，则x 的值为________.数据 [12.5,15.5)[15.5,18.5)[18.5,21.5)[21.5,24.5]频数213419.7 [根据题意，样本容量为10，利用组中值近似计算本组数据的平均数x ，则x ＝110×(14×2＋17×1＋20×3＋23×4)＝19.7.]4．若双曲线x 2＋my 2＝1过点(－2，2)，则该双曲线的虚轴长为________.【导学号：56394121】4 [∵双曲线x 2＋my 2＝1过点(－2，2)， ∴2＋4m ＝1，即4m ＝－1，m ＝－14，则双曲线的标准方程为x 2－y 24＝1，则b ＝2，即双曲线的虚轴长2b ＝4.]5．根据如下所示的伪代码，可知输出的结果S 是________．17 [执行程序，有i ＝1；满足条件i ＜6，i ＝3，S ＝9；满足条件i ＜6，i ＝5，S ＝13；满足条件i ＜6，i ＝7，S ＝17，不满足条件i ＜6，输出S 的值为17.]6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为________．13[设一、二等奖各用A ，B 表示，另1张无奖用C 表示，甲、乙两人各抽取1张的基本事件有AB ，AC ，BA ，BC ，CA ，CB 共6个，其中两人都中奖的有AB ，BA ，共2个，故所求的概率P ＝26＝13.]7．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象如图1所示，则该函数的解析式是________．图1y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫27x ＋π6 [由图知A ＝2，y ＝2sin(ωx ＋φ)，∵点(0,1)在函数的图象上，∴2sin φ＝1，解得sin φ＝12， ∴利用五点作图法可得φ＝π6.∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12，0在函数的图象上，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫－7π12ω＋π6＝0，∴－7π12ω＋π6＝k π，k ∈Z ，解得ω＝27－12k 7，k ∈Z .∵ω＞0，∴当k ＝0时，ω＝27， ∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫27x ＋π6.]8．如图2，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点．若AA 1＝4，AB ＝2，则四棱锥B －ACC 1D 的体积为________．图223 [取AC 的中点O ，连接BO ，则BO ⊥AC ， ∴BO ⊥平面ACC 1D ，∵AB ＝2，∴BO ＝3， ∵D 为棱AA 1的中点，AA 1＝4， ∴SACC 1D ＝12(2＋4)×2＝6， ∴四棱锥B －ACC 1D 的体积为2 3.]9．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则y ＋1x 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52 [作出不等式组对应的平面区域，y ＋1x 的几何意义是区域内的点到定点D (0，－1)的斜率，由图象知，AD 的斜率最大， BD 的斜率最小，此时最小值为1，由⎩⎨⎧x ＝1，x ＋2y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝32，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，此时AD 的斜率k ＝32＋11＝52，即1≤y ＋1x ≤52，故y ＋1x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52.]10．已知{a n }，{b n }均为等比数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，总有S n T n＝3n＋14，则a 3b 3＝________.9 [设{a n }，{b n }的公比分别为q ，q ′，∵S n T n＝3n＋14，∴n ＝1时，a 1＝b 1.n ＝2时，a 1＋a 1q b 1＋b 1q ′＝52.n ＝3时，a 1＋a 1q ＋a 1q 2b 1＋b 1q ′＋b 1(q ′)2＝7.∴2q －5q ′＝3,7q ′2＋7q ′－q 2－q ＋6＝0，解得q ＝9，q ′＝3， ∴a 3b 3＝a 1q 2b 1(q ′)2＝9.] 11．已知平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，AB ＝1，AD ＝2，点P 是线段BC 上的一个动点，则AP →·DP →的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2 [以B 为坐标原点，以BC 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，作AE ⊥BC ，垂足为E ，∵∠BAD ＝120°，AB ＝1，AD ＝2，∴∠ABC ＝60°，∴AE ＝32，BE ＝12，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32.∵点P 是线段BC 上的一个动点，设点P (x,0)，0≤x ≤2，∴AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，－32，DP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，－32，∴AP →·DP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52＋34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14，∴当x ＝32时，有最小值，最小值为－14. 当x ＝0时，有最大值，最大值为2，则AP →·DP →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.]12．如图3，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上有一个点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF ⊥BF ，当∠ABF ＝π12时，椭圆的离心率为________．图363[设椭圆的左焦点为F 1，连接AF 1，BF 1，由对称性及AF ⊥BF 可知，四边形AFBF 1是矩形，所以|AB |＝|F 1F |＝2c ，所以在Rt △ABF 中，|AF |＝2c sin π12，|BF |＝2c cos π12，由椭圆定义得 2c ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝2a ，即e ＝c a ＝1cos π12＋sin π12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π12＝63.]13．已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且C ＝π3，c ＝2.当AC →·AB →取得最大值时，ba 的值为________.【导学号：56394122】2＋3 [∵C ＝π3，∴B ＝2π3－A ，由正弦定理得b sin B ＝c sin C ＝232＝43，∴b ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝2cos A ＋23sin A ，∴AC →·AB →＝bc cos A ＝2b cos A ＝4cos 2A ＋23sin 2A＝2＋2cos 2A ＋23sin 2A ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2A ＋32cos 2A ＋2＝43sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＋2，∵A ＋B ＝2π3，∴0＜A ＜2π3，∴当2A ＋π3＝π2即A ＝π12时，AC →·AB →取得最大值，此时，B ＝2π3－π12＝7π12，∴sin A ＝sin π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝32×22－12×22＝6－24，sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝32×22＋12×22＝6＋24.∴b a ＝sin Bsin A ＝6＋26－2＝2＋ 3.]14．对于实数a ，b ，定义运算“ ”：a b ＝⎩⎨⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a ＞b .设f (x )＝(x －4) ⎝ ⎛⎭⎪⎫74x －4，若关于x 的方程|f (x )－m |＝1(m ∈R )恰有四个互不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________．(－1,1)∪(2,4) [由题意得，f (x )＝(x －4) ⎝ ⎛⎭⎪⎫74x －4＝⎩⎪⎨⎪⎧－34x 2＋3x ，x ≥0，2116x 2－3x ，x ＜0，画出函数f (x )的大致图象如图所示．因为关于x 的方程|f (x )－m |＝1(m ∈R )，即f (x )＝m ±1(m ∈R )恰有四个互不相等的实数根，所以两直线y ＝m ±1(m ∈R )与曲线y ＝f (x )共有四个不同的交点，则⎩⎨⎧m ＋1＞3，0＜m －1＜3或⎩⎨⎧ 0＜m ＋1＜3，m －1＜0或⎩⎨⎧m ＋1＝3，m －1＝0，得2＜m ＜4或－1＜m ＜1.] 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分14分)如图4，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A .以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，AB ＝255.图4(1)求cos β的值；(2)若点A 的横坐标为513，求点B 的坐标．[解] (1)在△AOB 中，由余弦定理得：AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB cos ∠AOB ，所以，cos ∠AOB ＝OA 2＋OB 2－AB 22OA ·OB ＝12＋12－⎝⎛⎭⎪⎫25522×1×1＝35，即cos β＝35.6分(2)因为cos β＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin β＝1－cos 2β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45. 因为点A 的横坐标为513，由三角函数定义可得，cos α＝513，因为α为锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝513×35－1213×45＝－3365，sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1213×35＋513×45＝5665，即点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3365，5665.14分16．(本小题满分14分)在平面四边形ABCD (图5①)中，△ABC 与△ABD 均为直角三角形且有公共斜边AB ，设AB ＝2，∠BAD ＝30°，∠BAC ＝45°，将△ABC 沿AB 折起，构成如图5②所示的三棱锥C ′－ABD .① ②图5(1)当C ′D ＝2时，求证：平面C ′AB ⊥平面DAB ； (2)当AC ′⊥BD 时，求三棱锥C ′－ABD 的高．[解] (1)证明：当C ′D ＝2时，取AB 的中点O ，连接C ′O ，DO ，在Rt △ABC ′，Rt △ADB 中，AB ＝2，则C ′O ＝DO ＝1，∵C ′D ＝2，∴C ′O 2＋DO 2＝C ′D 2，即C ′O ⊥OD ，由∠BAC ＝45°得△ABC ′为等腰直角三角形， ∴C ′O ⊥AB ，又AB ∩OD ＝O ，AB ，OD ⊂平面ABD ， ∴C ′O ⊥平面ABD ，∵C ′O ⊂平面ABC ′， ∴平面C ′AB ⊥平面DAB .6分(2)由已知可求得AD ＝3，AC ′＝BC ′＝2，BD ＝1，当AC ′⊥BD 时，由已知AC ′⊥BC ′，得AC ′⊥平面BDC ′，∵C ′D ⊂平面BDC ′，∴AC ′⊥C ′D ，由勾股定理，得C ′D ＝AD 2－AC ′2＝3－2＝1，而△BDC ′中，BD ＝1，BC ′＝2， ∴C ′D 2＋BD 2＝BC ′2，∴C ′D ⊥BD . ∴S △BDC ′＝12×1×1＝12.三棱锥C ′－ABD 的体积V ＝13·S △BDC ′·AC ′＝13×12×2＝26. S △ABD ＝12×1×3＝32，设三棱锥C ′－ABD 的高为h ，则由13×32×h ＝26，解得h ＝63.14分17．(本小题满分14分)如图6，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图7，半径OA 的长为1百米．为了保护景点，基地管理部门从道路l 上选取一点C ，修建参观线路C －D －E －F ，且CD ，DE ，EF 均与半圆相切，四边形CDEF 是等腰梯形，设DE ＝t 百米，记修建每1百米参观线路的费用为f (t )万元，经测算f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0＜t ≤13，8－1t ，13＜t ＜2.图6 图7(1)用t 表示线段EF 的长； (2)求修建参观线路的最低费用．[解] (1)设DQ 与半圆相切于点Q ，则由四边形CDEF 是等腰梯形知，OQ ⊥DE ，以CF 所在直线为x 轴，OQ 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy .设EF 与圆切于G 点，连接OG ，过点E 作EH ⊥OF ，垂足为H .∵EH ＝OG ，∠OFG ＝∠EFH ，∠GOF ＝∠HEF ， ∴Rt △EHF ≌Rt △OGF ，∴HF ＝FG ＝EF －12t . ∴EF 2＝1＋HF 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫EF －12t 2，解得EF ＝t 4＋1t(0＜t ＜2).6分(2)设修建该参观线路的费用为y 万元． ①当0＜t ≤13，由y ＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 4＋1t ＋t ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫32t ＋2t .y ′＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2t 2＜0，可得y 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13上单调递减，∴t ＝13时，y 取得最小值为32.5.②当13＜t ＜2时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－1t ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 4＋1t ＋t ＝12t ＋16t －32－2t 2.y ′＝12－16t 2＋4t 3＝4(t －1)(3t 2＋3t －1)t 3.∵13＜t ＜2，∴3t 2＋3t －1＞0.∴t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，y ′＜0，函数y 此时单调递减；t ∈(1,2)时，y ′＞0，函数y 此时单调递增．∴t ＝1时，函数y 取得最小值24.5.由①②知，t ＝1时，函数y 取得最小值为24.5. 即修建该参观线路的最低费用为24.5万元.14分18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是e ，定义直线y ＝±be 为椭圆的“类准线”，已知椭圆C 的“类准线”方程为y ＝±23，长轴长为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 在椭圆C 的“类准线”上(但不在y 轴上)，过点P 作圆O ：x 2＋y 2＝3的切线l ，过点O 且垂直于OP 的直线与l 交于点A ，问点A 是否在椭圆C 上？证明你的结论.【导学号：56394123】[解] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ab c＝23，a ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝3，c ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. 4分(2)点A 在椭圆C 上．证明如下：设切点为Q (x 0，y 0)，x 0≠0，则x 20＋y 20＝3，切线l 的方程为x 0x ＋y 0y －3＝0，当y P ＝23时，x P ＝3－23y 0x 0，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－23y 0x 0，23，即k OP ＝233－23y 0x 0＝2x 03－2y 0，所以k OA ＝2y 0－32x 0，直线OA 的方程为y ＝2y 0－32x 0x .联立⎩⎨⎧y ＝2y 0－32x 0x ，x 0x ＋y 0y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6x 06－3y 0，y ＝3(2y 0－3)6－3y 0，即A ⎝⎛⎭⎪⎫6x 06－3y 0，3(2y 0－3)6－3y 0. 10分因为⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 06－3y 024＋⎝⎛⎭⎪⎫3(2y 0－3)6－3y 023＝9(3－y 20)＋3(4y 20－43y 0＋3)3y 20－123y 0＋36＝3y 20－123y 0＋363y 20－123y 0＋36＝1，所以点A 的坐标满足椭圆C 的方程．当y P ＝－23时，同理可得点A 的坐标满足椭圆C 的方程，所以点A 在椭圆C 上. 19．(本小题满分16分)已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2＋k (n ∈N *，k ∈R )，且a 1＝2，a 3＋a 5＝－4.(1)若k ＝0，求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)若a 4＝－1，求数列{a n }的通项公式a n .[解] (1)当k ＝0时，2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，所以数列{a n }是等差数列．设数列{a n }的公差为d ，则⎩⎨⎧a 1＝2，2a 1＋6d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－43，所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝2n ＋n (n －1)2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－23n 2＋83n .6分(2)由题意，2a 4＝a 3＋a 5＋k ，即－2＝－4＋k ，所以k ＝2. 又a 4＝2a 3－a 2－2＝3a 2－2a 1－6，所以a 2＝3. 由2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2＋2，得(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝－2，所以，数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝1为首项，－2为公差的等差数列，所以a n ＋1－a n ＝－2n ＋3，当n ≥2时，有a n －a n －1＝－2(n －1)＋3. 于是，a n －1－a n －2＝－2(n －2)＋3， a n －2－a n －3＝－2(n －3)＋3， …a 3－a 2＝－2×2＋3， a 2－a 1＝－2×1＋3，叠加得，a n －a 1＝－2(1＋2＋…＋(n －1))＋3(n －1)(n ≥2)，所以a n ＝－2×n (n －1)2＋3(n －1)＋2＝－n 2＋4n －1(n ≥2)．又当n ＝1时，a 1＝2也适合．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋4n －1，n ∈N *.16分20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝e x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x 3－2x 2＋(a ＋4)x －2a －4，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．(1)关于x 的不等式f (x )＜－43e x在(－∞，2)上恒成立，求a 的取值范围； (2)讨论函数f (x )极值点的个数． [解] (1)由f (x )＜－43e x ，得e x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x 3－2x 2＋(a ＋4)x －2a －4＜－43e x ，即x 3－6x 2＋(3a ＋12)x －6a －8＜0对任意x ∈(－∞，2)恒成立，即(6－3x )a ＞x 3－6x 2＋12x －8对任意x ∈(－∞，2)恒成立，因为x ＜2，所以a ＞x 3－6x 2＋12x －8－3(x －2)＝－13(x －2)2，记g (x )＝－13(x －2)2，因为g (x )在(－∞，2)上单调递增，且g (2)＝0，所以a ≥0，即a 的取值范围为[0，＋∞).6分(2)由题意，可得f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2＋ax －a ，可知f (x )只有一个极值点或有三个极值点．令g (x )＝13x 3－x 2＋ax －a ，①若f (x )有且仅有一个极值点，则函数g (x )的图象必穿过x 轴且只穿过一次，即g (x )为单调递增函数或者g (x )极值同号.10分(ⅰ)当g (x )为单调递增函数时，g ′(x )＝x 2－2x ＋a ≥0在R 上恒成立，得a ≥1. (ⅱ)当g (x )极值同号时，设x 1，x 2为极值点，则g (x 1)·g (x 2)≥0，由g ′(x )＝x 2－2x ＋a ＝0有解，得a ＜1，且x 21－2x 1＋a ＝0，x 22－2x 2＋a ＝0，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝a ，所以g (x 1)＝13x 31－x 21＋ax 1－a ＝13x 1(2x 1－a )－x 21＋ax 1－a ＝－13(2x 1－a )－13ax 1＋ax 1－a ＝23[(a －1)x 1－a ]，同理，g (x 2)＝23[(a －1)x 2－a ]，所以g (x 1)g (x 2)＝23[(a －1)x 1－a ]·23[(a －1)x 2－a ]≥0，化简得(a －1)2x 1x 2－a (a －1)(x 1＋x 2)＋a 2≥0，所以(a －1)2a －2a (a －1)＋a 2≥0，即a ≥0，所以0≤a ＜1.所以，当a ≥0时，f (x )有且仅有一个极值点；②若f (x )有三个极值点，则函数g (x )的图象必穿过x 轴且穿过三次，同理可得a ＜0.综上，当a ≥0时，f (x )有且仅有一个极值点，当a ＜0时，f (x )有三个极值点.16分数学Ⅱ(附加题)21．[选做题](本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)图8A ．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图8，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C .若DA ＝DC ，求证：AB ＝2BC . [证明] 连接OD ，BD .因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB ＝90°，AB ＝2OB .因为DC 是圆O 的切线，所以∠CDO ＝90°. 又因为DA ＝DC ，所以∠A ＝∠C ，于是△ADB ≌△CDO ，从而AB ＝CO ，即2OB ＝OB ＋BC ，得OB ＝BC . 故AB ＝2BC .10分B ．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值． [解] (1)设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，这里a ，b ，c ，d ∈R ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88，故⎩⎨⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8，由于矩阵M 对应的变换将点(－1,2)换成(－2,4)．则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－24，故⎩⎨⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4，联立以上两方程组解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4. (2)由(1)知，矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故矩阵M 的另一个特征值为2.10分C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝6cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ＋3sin θ)＋4＝0，求曲线C 上的点到直线l 的最大距离． [解] 将l 转化为直角坐标方程为x ＋3y ＋4＝0.在C 上任取一点A (6cos α，2sin α) ，α∈[0,2π)，则点A 到直线l 的距离为d ＝6cos α＋6sin α＋42＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋42＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋42.当α＝π4时，d 取得最大值，最大值为2＋ 3.10分D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)已知实数a ，b 是非负实数，求证：a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)．[证明] 由a ，b 是非负实数，作差得a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2)＝a 2a (a －b )＋b 2b (b －a ) ＝(a －b )[(a )5－(b )5]．当a ≥b 时，a ≥b ，从而(a )5≥(b )5，得 (a －b )[(a )5－(b )5]≥0；当a ＜b 时，a ＜b ，从而(a )5＜(b )5，得 (a －b )[(a )5－(b )5]＞0. 所以a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2).10分[必做题](第22题、第23题，每题10分，共20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)22．(本小题满分10分)如图9，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，面P AD ⊥底面ABCD ，且△P AD 是边长为2的等边三角形，PC ＝13，M 在PC 上，且P A ∥平面BDM .图9(1)求直线PC 与平面BDM 所成角的正弦值； (2)求平面BDM 与平面P AD 所成锐二面角的大小．[解] ∵平面P AD ⊥平面ABCD ，△P AD 为正三角形，作AD 边上的高PO ， ∵平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，由面面垂直的性质定理，得PO ⊥平面ABCD ，又ABCD 是矩形，同理可得CD ⊥平面P AD ，知CD ⊥PD ， ∵PC ＝13，PD ＝2，∴CD ＝3.以AD 中点O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，OP 所在直线为z 轴，AD 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的坐标系，则P (0,0，3)，A (1,0,0)，B (1,3,0)，C (－1,3,0)， D (－1,0,0)，PC →＝(－1,3，－3)，连接AC 交BD 于点N ，由P A ∥平面MBD ，平面APC ∩平面MBD ＝MN ， ∴MN ∥P A ，又N 是AC 的中点，∴M 是PC 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，32，5分设平面BDM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， BD →＝(－2，－3,0)，DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，32，则⎩⎨⎧－2x －3y ＝0x 2＋3y 2＋32z ＝0，令x ＝1，解得y ＝－23，z ＝13，得n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－23，33.(1)设PC 与平面BDM 所成的角为θ，则sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪PC →·n |PC →|·|n |＝31313， ∴直线PC 与平面BDM 所成角的正弦值为31313.(2)平面P AD 的法向量为向量CD →＝(0，－3,0)，设平面BDM 与平面P AD 所成的锐二面角为φ，则cos φ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪CD →·n |CD →|·|n |＝12，故平面BDM 与平面P AD 所成锐二面角的大小为π3.10分23．(本小题满分10分)已知F n (x )＝nk ＝0[(－1)k C k n f k (x )](n ∈N *)．(1)若f k (x )＝x k ，求F 2 015(2)的值； (2)若f k (x )＝xx ＋k (x ∉{0，－1，…，－n })，求证：F n (x )＝n ！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n ). 【导学号：56394124】[解] (1)F n (x )＝nk ＝0[(－1)k C k n f k (x )]＝nk ＝0[(－x )k C kn ]＝(1－x )n ，∴F 2 015(2)＝－1. 2分(2)证明：①n ＝1时，左边＝1－x x ＋1＝1x ＋1＝右边． ②假设n ＝m 时，对一切实数x (x ≠0，－1，…，－m )，有mk ＝0 (－1)k C k mxx ＋k ＝m ！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋m )，那么，当n ＝m ＋1时，对一切实数x (x ≠0，－1，…，－(m ＋1))，有m ＋1k ＝0 (－1)k C k m ＋1x x ＋k ＝1＋mk ＝1 (－1)k [C k m ＋C k －1m ]x x ＋k ＋(－1)m ＋1x x ＋m ＋1＝mk＝0(－1)k C k mxx＋k＋m＋1k＝1(－1)k C k－1mxx＋k＝mk＝0(－1)k C k m·xx＋k－⎝⎛⎭⎪⎫mk＝0(－1)k C k mx＋1x＋1＋k·xx＋1＝m！(x＋1)(x＋2)…(x＋m)－m！(x＋2)(x＋3)…(x＋1＋m)·xx＋1＝m！[(x＋m＋1)－x](x＋1)(x＋2)…(x＋m)(x＋m＋1)＝(m＋1)！(x＋1)(x＋2)…(x＋m＋1).即n＝m＋1时，等式成立．故对一切正整数n及一切实数x(x≠0，－1，…，－n)，有nk＝0(－1)k C k nxx＋k＝n！(x＋1)(x＋2)…(x＋n). 10分。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

江苏省苏州中学2018年全国高考数学模拟试卷（二）（命题人:王思俭高三数学组教研组长特级教师）一．选择题（本大题共有12道小题，每小题5分，计60分）1．设P 、Q 是两个非空集合，定义P*Q={}Q b p a b a ∈∈,|),(，若P={}2,1,0 Q={}4,3,2,1，则P*Q 中元素的个数是…………………………………………………（） A ．4个 B ．7个 C ．12个 D ．16个2．过抛物线y 2=4x 的焦点F 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心，AB 为直径的圆方程是……………………………………………………………………（） A ．(x －1)2+y 2=1 B ．(x －1)2+y 2=2C ．(x －21)2+y 2=4 D ．(x －1)2+y 2=4 3．已知m ，l 是异面直线，给出下列四个命题：①必存在平面α，过m 且与l 都平行；②必存在平面 β，过m 且与l 垂直；③必存在平面r ，与m ，l 都垂直；④必存在平面w, 与m ，l 的距离都相等。

其中正确的结论是………………………………………………………………………（） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①④ 4．要得到函数y=sin2x 的图象，可以把函数y=sin(2x －4π)的图象…………………( ) A ．向左平移8π个单位 B ．向右平移8π个单位 C ．向左平移 4π个单位 D ．向右平移 4π个单位5.已知真命题：“a ≥b ⇒c>d ”和“a<b f e ≤⇔”,那么“c ≤d ”是“e ≤f ”的……（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又必要条件 6．（理）从8盒不同的鲜花中选出4盆摆成一排，其中甲、乙两盆不同时展出的摆法种数为…………………………………………………………………………………………（） A ．1320 B ．960 C ．600 D ．360（文）从8盆不同的鲜花中选出4盆摆成一排，其中甲、乙两盆有且仅有一盆展出的不同摆法种数为…………………………………………………………………………………（） A ．1320 B ．960 C ．600 D ．360 7．设函数f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f(x)>1，f(2)=132+-a a ，则 ……………………………………………………………………………………………（） A.a<32 B.a<132-≠a 且 C.a>132-<a 或 D.－1<a<328．已知log 0log log 31212>==+x x x a a a, 0<a<1，则x 1,x 2,x 3的大小关系是………（）A ．x 3<x 2< x 1B ．x 2<x 1< x 3C ．x 1<x 3< x 2D ．x 2<x 3< x 19．（文）已知直线y=kx+1与曲线y=x 3+ax+b 切于点(1，3)，则b 的值为………（） A ．3 B ．－3 C ．5 D ．－5 （理）设曲线y=21x 和曲线y=x 1在它们交点处的两切线的夹角为θ，则tan θ的值为…………………………………………………………………………………………（）A ．1B ．21 C ．31 D ．3210．如图，在棱长为3的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱A 1B 1、A 1D 1的中点，则点B 到平面AMN 的距离为……………………（） A ．29 B.3 C. 556 D.2 11．如图，目标函数u =ax －y 的可行域为四边形的OACB （含边界），若(54,32)是该目标函数的最优解，则a 的取值范围是……………………………………………（）A.)125,310(--B.)103,512(-- C.)512,103( D.)103,512(-12．已知βα,为锐角，sin x =α,cos β=y, cos(βα+)=－53,则y 与x 的函数关系式为……………………………………………………………………………………………（）A.y=－)153(541532<<+-x x x B.y=－)10(541532<<+-x x x C.y=－)530(541532<<+-x x x D. y=－)10(541532<<--x x x二．填空题（本大题共有4小题，每小题4分，计16分）13．设f(x)= x 5－5x 4+10x 3－10x 2+5x+1，则f(x)的反函数为 f －1(x)=________。

14.某校有高中生1200人，初中生900人，老师120人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为N 的样本；已知从初中生中抽取人数为60人，那么N=__________。

15．在平面几何中有：Rt △ABC 的直角边分别为a,b ，斜边上的高为h ，则222111hb a =+。

类比这一结论，在三棱锥P —ABC 中，PA 、PB 、PC 两点互相垂直，且PA=a ，PB=b ，PC=c ，此三棱锥P —ABC 的高为h ，则结论为_______-。

16．某大楼共有20层，有19人在第一层上了电梯，他们分别要去第2层至第20层，每层1人，而电梯只允许停 1次，可只使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假设乘客有向下走1层的不满意度为1，每向上走一层的不满意度为2，所有人的不满意度之和为S ，为使S 最小，电梯应当停在第___________层；三．解答题（本大题共有6道题目，计74分） 17．（本题满分12分）已知锐角△ABC 中，三个内角为A 、B 、C ，两向量)sin cos ,sin 22(A A A +-=，A A A 与若),sin 1,cos (sin +-=是共线向量。

（I ）求∠A 的大小；（II ）求函数y=2sin 2B+cos(23Bc -)取最大值时，∠B 的大小。

18．（本题满分12分）为了测试甲、乙两名射击运动员的射击水平，让他们各向目标靶射击10次，其中甲击中目标7次，乙击中目标6次。

若再让甲、乙两人各自向目标靶射击3次，求：（I ）甲运动员恰好击中目标2次的概率是多少？（II ）（文）两名运动员都恰好击中目标2次的概率是多少？（结果保留两位有效数字）（理）分别求甲、乙两名运动员击中目标次数ξ、η的数学期望E ξ、E η的值。

19．（本题满分12分）在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱长是底面边长的2倍，P 是侧棱CC 1上的任意一动点。

（I ）求证：不论P 在侧棱CC 1上何位置，总有BD ⊥AP ；（II ）若CC 1=3C 1P ，求平面AB 1P 与平面ABCD 所成的二面角的余弦值；（III ）当点P 在侧棱CC 1何处时，AP 在平面B 1AC 上的射影是∠B 1AC 的平分线。

20．（本题满分12分）设f(x)=x 3+3x 2+px, g(x)=x 3+qx 2+r ，且y=f(x)与y=g(x)的图象关于点（0，1）对称。

（I ）求p 、q 、r 的值；（II ）若函数g(x)在区间(0，m)上递减，求m 的取值范围；（III ）若函数g(x)在区间(]n ,∞- 上的最大值为2，求n 的取值范围。

21．（本题满分12分）已知数列 {}n a 的前项为a 1=2, 前n 项和为S n ,且对任意的n ∈N +，n ≥2，a n 总是3S n －4与2－25S n －1的等差中项。

（1）求通项a n ; (II)证明：12222log )log (log 21++<+n n n s s s （III ）（理）含b ,)4(log ,1422nn n n a c a =-=T n 、R n 分别为{}{}n n a b ,的前n 项和是否存在正整数n ，使得T n <R n ，若存在，请求出所有n 的值，否则请说明理由。

(文) 设f(n)=a n ,g(n)=S n , 解不等式：f 2(n)>10－g(n)22.(本题满分14分)已知动点P 与双曲线x 2－y 2=1的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值，且cosF 1PF 2的最小值为－31。

（I ）求动点P 的轨迹方程; （II ）设M （0,－1），若斜率为k(k ≠0)的直线与P 的轨迹交于不同的两点A 、B ，试求k 的取值范围，使|MA|=|MB|；（文）若直线l :y=x+m 与P 的轨迹交于不同的两点A 、B ，且3 AB ，M （0，－1），求M 到直线l 的距离。

苏州中学2018年高考数学模拟试卷（二）参考答案一．1．C C 121413=⋅C2．D F(1,0 ) A(1, 2) B(1,－2) r=2 ∴方程为(x －1)2+y 2=43.D(1)平移m,使m 与l 相交,设两相交直线确定的平面为β,作α∥β且m βα∉∉m ,.正确. (2)仅当l ⊥m 时成立.不正确. (3)与同一平面垂直的直线平行.不正确. (4)过m, l 公垂线中点的与m, l 都平行的平面w,正确.4.A y=sin(2x －4π)=sin2(x －8π) 5.A 设命题a ≥b 为p. c>d 为q. 则a<b 为.,,p f e q d c p 为为≤≤∵p 是q 的充分条件 ∴p q 是的充分条件．∴c f e d ≤≤是的充分不必要条件．6.(理)A 设甲、乙同时摆出的事件为A; A 的事件数为A 442648A C ⋅-=1320 （文）B C 96024436=⨯⋅A7．D f(1)=f(－2)>1 ; f(2)=－f(－2)<－1; 1132-<+-∴a a ∴－1<a<328.D ∵0<a<1 ∴a<1<a+1<a2∴x 2<1<x 3<x 1 9.(文)A 直线y=kx+1 ; y ′=k; 曲线y=x 3+ax+b; y ′=3x 2+a∴⎪⎩⎪⎨⎧++=+==+b a k k a 13133∴⎪⎩⎪⎨⎧=-==312b a k （理）Ｃ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==x y x y 112∴x=1，∴交点（１，１）两切线分别为⎩⎨⎧+-=+-=232x y x y ; tan .312)1(1)2()1(=+-+---=θ10.D 体积法．ＶＮ－ＭＡＢ＝ＶＢ－ＭＮＡ设所求距离为d ．Ｓ△ＭＮＡ＝827，Ｓ△ＡＢＭ＝－29; d·Ｓ△ＭＮＡ=Ｓ△ＡＢＭ²A 1N ; d=2 11.B a ),(BC CA k k ∈ ∴a )103,512(--∈12.A cos 21x -=α ; sin 54)(=+βα y=cos .54153sin )sin(cos )cos(])cos[(2x x +--=+++=-+=αβααβααβαβ ∵1>y>0; ∴0<－1541532<+-x x ; ∴x>53二、13.+-52x 1;f(x)=－[C 55115235325415505)()()()()(C x C x C x C x C x +-+-+-+-⋅+-]+2 =－(1－x)5+2 =(x －1)5+2; ∴f －1(x)=125+-x14. 14g; N=148)1209001200(90060=++⨯ 15.22221111hc b a =++16. 14 设停在n 层，则（20－n ）人上楼，（n －2）人下楼， S=2²2)2)(1(2)21)(20(--+--n n n n =)842853(212+-n n ，n=14时S 最小三17.解：(1)p =(2－2sinA,cosA+sinA)，q =(sinA －cosA,1+sinA)，∵p //q∴（2－2sinA ）(1+sinA)－(cosA+sinA)(sinA －cosA)=0; ∵△ABC 为锐角形，sinA=23∴A=60° （2）y=2sin 2B+cos(23B c -)=2sin 2B+cos(23BA B ---π)=2sin 2B+cos(2B －60°) =1－cos2B+cos(2B －60°) =1+sin(2B －30°) 当B=60°时取最大值218．解（I ）设甲击中目标2次的事件为A ，P （A ）=C 23×(0.7)2×(1－0.7)=0.441，(II)(文) 设乙击中目标2次的事件为B ，P （B ）=C 13×(0.6)2×(1－0.6)=0.432，P(A ²B)=P(A)·P(B)=0.191812 ; (理)甲射中一次概率 C 7.013⋅×(1－0.7)2=0.189，射中二次概率C7.023⋅2×(1－0.7)2=0.441，射中三次概率C⋅33(0.7)3=0.343，E ξ=1×0.189+2×0.441+3×0.343=2.1。