856高等代数试题2014

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2014级线代试题及解答

线性代数期末试题一、填空题（每小题3分，共15分）1．设3阶矩阵A 与B 相似，且B 的特征值为1,2,2，则14A E --=2．若四阶行列式的第1行元素依次为1,0,2,,a - 第3行元素的余子式依次为5,6,4,1,-则a =_________3．若向量组1(,1,1,1)T αλ=，2(1,,1,1)T αλ=，3(1,1,,1)T αλ=，4(1,1,1,)T αλ=，其秩为3，则 λ=4．设方阵A 满足方程2(0),A bA cE O c ++=≠ E 为单位矩阵，则=-1A5. 设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B =二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设A 和B 都是n 阶方阵, 下列正确的是( )（A ） 222()2A B A AB B +=++ （B ）111()A B A B ---+=+（C ）若0AB =, 则0A =或0B = （D ）()T T T AB A B =2．设,,A B C 均为n 阶方阵，且AB BC CA E ===. 则222A B C ++=（）（A ） 3E （B ） 2E （C ） E （D ） 03．设βααα,,,321均为n 维向量，又βαα,,21线性相关，βαα,,32线性无关，则下列正确的是（）（A ）321,,ααα线性相关（B ）321,,ααα线性无关（C ）1α可由βαα,,32线性表示（D ）β可由21,αα线性表示4．设A 和B 都是n 阶非零方阵, 且0AB =, 则A 的秩必( )（A ）等于n （B ）小于n （C ）大于n （D ）不能确定5．设n 阶矩阵A 的伴随阵为12340,,,,A ηηηη*≠是非齐次线性方程组Ax b =的互不相等的解向量, 则0Ax = 的基础解系向量个数为 ( )（A ）不确定（B ）3个（C ）2个（D ）1个三、（10分）已知2AB A B =+，其中110011101A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求B 四、（12分）设向量组1(2,1,4,3)T α=，2(1,1,6,6)T α=--，3(1,2,2,9)T α=---，4(1,1,2,7)T α=-，5(2,4,4,9)T α=. 求该向量组的最大无关组向量，并把其余向量用最大无关组向量线性表示.五、（13分）设矩阵433231213A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭1.求A 的特征值与特征向量；2. 判断A 是否可以对角化，并说明理由.六、（15分）讨论λ取何值时, 线性方程组1231232123244x x x x x x x x x λλλ-+=-⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩1.有惟一解；2. 无解；3.有无穷多个解, 并求其通解.七、（10分）设123,,ααα均为三维列向量，矩阵123(,,)A ααα=，且1A =. 若123123123(,23,34)B ααααααααα=++++++ ，计算B .八、（10分）设0ξ是非齐次线性方程组Ax b =的一个解，12,,,n r -ξξξ 是对应的齐次线性方程组的基础解系. 证明：向量001010,,,n r n r --==+=+ηξηξξηξξ是非齐次线性方程组Ax b =线性无关的解向量.线性代数解答一、填空题1. 3 ;2. -3 ; 3 -3 ; 4. A bEc+-; 5. 2 二、单项选择题1. C;2. A;3. C;4. B;5. D三、(2)A E B A += ⇒ 1(2)B A E A -=+～100011010101001110⎛-⎫ ⎪ - ⎪⎪ -⎭⎝011101110B ⎛-⎫⎪=- ⎪⎪-⎭⎝四、 ()1234521112101041121401103,,,,,46224000133697900000A ααααα---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪---⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭即124,,ααα为一个极大无关组. 312,ααα=-- 5124433.αααα=+-五、2433231(2)(4)0,213A E λλλλλλ----=--=--=-A 的特征值1234, 2.λλλ===由0331014211011,211000A E ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 基础解系为111,1⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ得对应1λ=0的全部特征向量为111111,(0)1k k k ⎛⎫⎪=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭ξ由2331002211011,211000A E --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭基础解系为201,1⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ对应232λλ==的全部特征向量为222,(0)k k ≠ξ；2.不能对角化。

(24)--13-14学年高等代数(II)试卷及参考答案

得分五、(10 分) 设 V 是数域 Ω 上的 n 维向量空间, σ 是 V 上线性变换. 证明: 存
在 V 上线性变换 τ , 使得 kerσ = τ (V ), kerτ = σ(V ).
第 5 页 (共 6 页)来自得分六、(10 分) 设 A1, A2, . . . , Ak 均为 n 阶实对称矩阵, 并且对任意的 i, j 均有
¯ Ý:Ë¦ ÈÙ u, v ∈ V , Þ
(σ + τ )(u)v = u(σ − τ )(v),
(1)
(σ + 2τ )(u)v = uσ(v).
Ý ¦ ÈÙ Þ (2) − (1)
u, v ∈ V ,
τ (u)v = uτ (v).
À τ Ï ©¦». Á Ý (1) ¸ (3) ¦ ÈÙ u, v ∈ V , Þ
b
a + 3b
0
1
下对应的矩阵为
.
5. 设 V 是数域 Ω 上的有限维向量空间, 若 V 上线性变换 σ 的特征多项式
为 f (λ) = nk=1(λ − k)k, 则 dim ker(σ − k∗)k =
, 其中 k = 1, 2, . . . , n.
6. 设 V 是 2014 维欧氏空间, 若 V 上线性变换 σ 既是正交变换, 又是反对称
变换, 则 σ 的特征多项式为
.
7. 设 1, 2 都是 30 阶方阵 A 的特征根, 1 的代数重数为 29, 几何重数为 27,
则满足此条件且互不相似的 A 的总个数为
.
第 1 页 (共 6 页)
得分二、(15 分) 设 A, B 均是 n 阶实对称矩阵. 证明: A, B 都是半正定矩阵, 当且

2014级高数及答案

陕西科技大学试题纸课程高等数学1 学期 2014—2015—1班级学号姓名1、已知)(lim sin )(12x f x x f x →-=，求=)(x f2、已知函数)(x f 在a x =可导,则=--+→hh a f h a f h )2()(lim3、曲线xx xx y cos 25sin 4-+=的水平渐近线为4、定积分121(x dx -=⎰ 5、广义积分1+∞=⎰二、选择题（每题3分，共15分）1、当0→x 时,下列哪个函数是2x 的高阶无穷小（） A 112-+x B xx 1sin 2 C 32x x + D x x sin - 2、1x =是函数xx f -=11arctan)(的（） A 无穷间断点 B 可去间断点 C 跳跃间断点 D 震荡间断点 3、若)()(x f x f -=-,且)(x f 在),(+∞-∞内可导,在)0,(-∞内0)(>'x f ,0)(<''x f , 则在),0(+∞内有()A )(x f 单调增加且图形为凸B )(x f 单调增加且图形为凹C )(x f 单调减少且图形为凸D )(x f 单调减少且图形为凹 4、若()f x 的导函数是x sin ，则()f x 的一个原函数为（）A x sin 1+B x sin 1-C x cos 1+D x cos 1- 5、设x x x f -=331)(,则1=x 是)(x f 在]2,2[-上的（） A 极小值点也是最小值点 B 极小值点但不是最小值点 C 极大值点但不是最大值点 D 极大值点也是最大值点三、计算下列各题（每题5分，共35分）1、 xx x x 1)cos 2(sin lim +→ 2、22x x y x x ++=，求dxdy 。

3、设()y y x =是由22)()(x y xf x f y =+确定的隐函数,且)(x f 为可微函数,求dxdy。

856高等代数考研真题答案08

河南科技大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案及评分标准科目代码： 856 科目名称：高等代数一、（15分）计算下列各题：1、（5分）已知4阶行列式D 的第3行元素分别为 1,0,2,4-，第4行元素对应的余子式依次是5,10,,4a ，求a 的值。

2、（5分）已知矩阵B A ,满足关系A B AB =-，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200012021B ，求矩阵A 。

3、（5分）设*A 为3阶方阵A 的伴随矩阵，A =2，计算行列式|21)3(|*1A A --。

解：1、因为 31413242334334440a A a A a A a A +++=，(3)L L分这里ij a 和ij A 分别是第i 行第j 列处的元素和该元素的代数余子式，所以有 150102440a -⨯+⨯+⨯-+⨯=（-）（），可得212a =。

(5)L L 分 2、因为B A AB =-，所以B E B A =-)(，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-20001210211)(1E B B A ，(5)L L 分 3、|21)3(|*1A A --=111||3A A ---=12||3A --=312()||3A --=427-。

(5)L L 分二、（15分）计算)3(≥n n 阶行列式：0111101010n x xD x x x x =L L LM M M OM L。

（注释：该行列式主对角线上元素都是0，第一行和第一列除去第一个位置的元素是0外，其余的都是1，行列式中其余的元素都是x 。

要求写出解题步骤，也可以用语言叙述）。

解（法一）：0111101010n x x D x x x x =L L LM M M O M L1(),(2,3,,)i r x r i n ⨯-+=L 0111100100100x x x---L L L M M M O M L(6)L L 分当0x ≠时，再把第j 列的1x倍加到第1列（2,3,,j n =L ），就把n D 化成了上三角行列式 121111000(1)(1)000000n n n n x x D n x x x----==----L LL M M M O M L， (12)L L 分当0x =时，显然有0n D =。

高等代数(A卷答案)2014

9 1 4
8 5 7
7 6 . 求 A21 A22 A23 A24 ，其中 Aij 是元素 7 3 0 3
aij 的代数余子式。
第2页共7页
2 5 3 4
解：考虑行列式 C
1 1 4
1 5 7
1 1 ，按它的第二行展开。 7 3 0 3
（3分）
由于 C 和 D 除了第二行外均相同，故 C A21 A22 A23 A24 ，（7分）而计算可得 2 5 3 4
0 3B* 0 （A） * （B） * 0 2A 3A
0 3A* 0 2B* （ C ） * （D） * 0 0 2B 3B
2A* 0
二、填空（共6小题，每小题5分，共30分） x1 x2 x3 1 1．方程组 ax1 bx2 cx3 d ，当满足 a 2 x b 2 x c 2 x d 2 2 3 1 1. a, b, c 互不相同
1 1 1 1 72 . 所以 A21 A22 A23 A24 72 . 1 5 7 3 4 7 0 3 （10分） 2 2 四．（15分）设实二次型 f ( X ) x12 x2 2 x3 2 x1 x3 2tx2 x3 ，求当t 是何整数时二次 C
型 f ( X ) 是正定的，并求一个线性替换 Y TX 将二次型 f ( X ) 化为标准形。
1 解：此二次型的矩阵为： A 0 1 式都大于零，（3分）即 1 0 1 0α1 α 2 , α 2 , α 3 则 Q 1 AQ
1 0 0 (A) 0 2 0 0 0 1
(
B )
2 0 0 (C) 0 1 0 0 0 2 2 0 0 (D) 0 2 0 0 0 1

北京大学2014年高等代数与解析几何试题及解答

都乘以 −1 得到. 又 2014 = 2 × 19 × 53, 因此将 2014 表示为两个正整数的乘积只有 8 种不同的表示方法.
由抽屉原理知,
在
g(k)
的
8
个可能取值中至少有一个出现的次数大于等于
2013 8
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
>
251,
设这个数为
l,
则
有 (x − a1)(x − a2) . . . (x − a252) | g(x) − l, 其中 a1, a2, . . . , a252 为 {1, 2, . . . , 2013} 中互不相同的数. 因为
(1) 若线性变换 A 是正的，则 A 可逆;
(2) 若线性变换 B 是正的, A − B 是正的，则 B−1 − A−1 是正的;
(3) 对于正的线性变换 A, 总存在正的线性变换 B , 使得 A = B2.
7.
求单叶双曲面
x2 a2
+
y2 b2
−
z2 c2
=
1
的相互垂直的直母线的交点的轨迹.

4. (1) 线性变换的最小多项式整除它的零化多项式, 故 xn−1 不是 A 的零化多项式, 从而 An−1 ̸= O =⇒ ∃α ∈ V, 使得 An−1α ̸= 0. 此时将有 α, Aα, . . ., An−1α 线性无关, 结合 V 的维数为 n, 故得到 V 的一组基.
(2) 设 AB = BA, Bα = k0α + k1Aα + · · · + kn−1An−1α. 令 f (x) = k0 + k1x + · · · + kn−1xn−1, 则

(完整word版)2014线性代数A卷(含答案)-推荐文档

上海海洋大学试卷答案一、填空与选择题（1836='⨯） 1. 行列式的值是_____________.2. 已知A 为四阶方阵, 且=2, 是的伴随矩阵, 则=___128______.3. 当__2____时, 方程组有非零解 4．设, ,若初等矩阵, 使得,则P =___100001010æèççöø÷÷______5. 已知四阶行列式中第三列元素依次是它们的余子式依次为, 则=________6．已知＝, 且则一定有：（ D ）（A ）E A = （B ）0=A （C ）矩阵E A -一定可逆（D ）矩阵E A +一定可逆二、（16分）计算下列行列式 1.... （10分）解：D =232-23-101421-354-10=-6-1043-101421-3960-33=9-2-141-1112-16=9-3031-113018=-9-3331=108103.（6分）解：D n +1=x -n 11100x -n +111000x -n +210000x -10nn -1n -211 (3)=(-1)2n +2x -n 1110x -n +111000x -2100x -1 (5)=(x -i )i =1nÕ (6)三、（15分）设, , 求1. 2. 3.若, 求矩阵. 解: (1)A -3E =2-112131-11æèççöø÷÷-300030003æèççöø÷÷ (2)=-1-112-231-1-2æèççöø÷÷ (3)(2)A E ()=2-112131-11100010001æèççöø÷÷...........2®10001000110-11414-1-34141æèççççöø÷÷÷÷..................7 所以A -1=10-11414-1-34141æèççççöø÷÷÷÷ (8)(3)X =BA -1..................................2=-34142-74142æèçççöø÷÷÷ (4)四、（15分）设矩阵, 求1.矩阵的列向量组的秩2.的列向量组的一个极大无关组3.将向量组中的其余向量表达为极大无关组的线性组合解：由a 1,a 2,a 3,a 4()=22311-3-211033-132-1320-2æèçççççöø÷÷÷÷÷®10330187001100000000æèçççççöø÷÷÷÷÷..............5®1000010-1001100000000æèçççççöø÷÷÷÷÷ (7)得1．向量组的秩为3 (2)2．向量组的极大无关组为a 1,a 2,a 3...................3 3． a 4=-a 2+a 3 (3)五、（10分）设列向量组线性相关, 列向量组线性无关, 证明: （1）一定可由线性表示；（2）4α不可由321,,ααα线性表示。

高等代数习题集

《高等代数》试题库一、选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（）。

A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （）。

A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是（）。

A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。

A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。

A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6．对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。

A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。

A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ．在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nnA A A A A A A A A =( ) 。

2014下高等代数B

2014年秋季学期《高等代数》课程期末考试试卷（B 卷）注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟一、单项选择题（共5小题，每小题3分，共15分）1、下列命题为真的是( ).A. 最大公因式是唯一的；B. 有理数域是最小的数域；C. 若2()()p x f x , 则()p x 是()f x 二重因式；D.若()f x 有重根, 则()f x有重因式, 反之亦然。

2、排列318742695的逆序数是（）(A)8 ； (B)14 ； (C)10 ； (D) 都不对3、设 1=k h d g fe c ba ，则=---khd g fe cb a 621226 ( ).A.0B. -12C.-24D.64. 设向量组s ααα,,,21Λ的秩为r ，则下列命题为假的是（）.A. 如果r ααα,,,21Λ线性无关，则它必是s ααα,,,21Λ的一个极大线性无关组；B. 如果每个向量)1(s i i ≤≤α都可以由向量组s ααα,,,21Λ的一个部份组it i i ααα,,,21Λ线性表出，则r t =C. 如果向量组t βββ,,,21Λ的秩为r ，则t βββ,,,21Λ一定与s ααα,,,21Λ等价D. 如果向量组t βββ,,,21Λ与s ααα,,,21Λ等价，则t βββ,,,21Λ的任何r 个线性无关的向量都是它的极大线性无关组5、A, B 为n 阶方阵，下列结论正确的是（）1. 若1=AB , 则B 可逆；2.,AB AC B C ==若则；3. 0,00AB A B ===若则或;4. 若1=AB , 则无法判断A 可逆。

二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）1. 已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=111211120A ，则=1-A ； 2. 一个向量组的一部分线性相关，则整个向量必，如果一向量线性无关，则它的任意一个部分组必。

3、B AXA =，A 可逆，则=X4、设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛ22112222212*********,,（1）的系数矩阵与增广矩阵分别为A 和A ，则（1）有解的充要条件是，（1）有无穷多个解的充要条件是 .5、13-x 在有理数域, 复数域上的标准分解式为 , .B AXA =三、计算题（每小题8分，共24分）1．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式()r x , 其中53()258f x x x x =--,()3g x x =+;三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名命题教师审题教师…………….………….……试题不要超过密封线………….………………………………2．计算行列式2464273271014543443342721621-3. 用非退化线性替换化下列二次型为标准型, 并利用矩阵验算所得结果:121323422x x x x x x -++;四、（本题14分）讨论λ取什么值时, 下列方程组有解, 并求解:12312321231,,;x x x x x x x x x λλλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩五、（本题10分）如果,==AB BA AC CA , 证明:()(),()().+=+=A B C B C A A BC BC A六、（本题12分）证明: 如果向量组12,,,r αααL 线性无关,而12,,,,r αααβL 线性相关,则向量β可由12,,,r αααL 线性表出.七、（本题10分）若21，33=∈⨯A RA ，求*10)31(1A A --。

2014级线性代数试卷及答案

e2

1
1
0
1 2

1 1

,
e3

2
1 6

1 1

2 0 2
(3)取 P (e1 e2 e3 )
1

6
2 2
3 3
1 ，正交变换 x Py ， 1
第 6页（A 卷，共 7页）
第 1页（A 卷，共 7页）
6. 已知 n 阶方阵 A 满足 A2 A 2E O ,则【】.
A. A E 与 A 2E 均可逆
B. A 与 E A 均可逆
C. A 可逆， E A 不可逆
D. A 不可逆， E A 可逆
7. 下列说法错误的是【】. A. 实对称矩阵的特征值均为实数 B. 实反对称矩阵的特征值为零或虚数 C. 实正交矩阵的特征值的模为 1 D. 若 A 与 B 相似，则 A 与 B 合同
0 1
1 0
0 1

0 0
1 0
0 1
0 1
1 0
01
1 0 2

A

(B

2E )1

0
1
0

.
1 0 1
第 4页（A 卷，共 7页）
6. AT A* AT A A* A AT A | A | E
| A |2 ( | A |)3 | A | 0 or | A | 1 .
10．曲线 ez y2 关于 Oz 轴旋转而成的旋转曲面方程为【】.
二、计算题与证明题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）

新师大高代期末试题及答案A

新疆师范大学数学科学学院 2013-2014学年第一学期考试试卷《高等代数》试卷（A 卷）专业数学与应用数学班级 2013-1 2 姓名学号题号一二三四五六总分得分一、判断题（共6小题，每小题3分，共18分）1．设A 是一切实数构成的集合, 规则bab a →),(是集合A 的代数运算。

（） 2.在六阶行列式的展开式中，项456153341622a a a a a a 取“-”号。

（）3．零多项式能被任意多项式整除。

（）4.任意一个次数大于零的多项式在实数域上一定有根。

（）5.多项式242322214321),,,(x x x x x x x x f +++=是一个对称多项式。

（） 6.若含有n 个未知量n 个方程的线性方程组系数行列式不等于零，则方程组只有惟一解。

（）二、填空题（共7小空，每小空3分，共21分）1.多项式122)(34-+-=x x x x f 在有理数域上的根是；。

2.求一个次数小于3的多项式)(x f = ，使得3)1(-=f ，0)2(=-f ，4)1(=-f 。

3.设3次多项式)(x f 的根为1和二重根-2，则)(x f = 。

4. 三阶行列式 333231232221131211a a a a a a a a a 中（3，2）元32a 的余子式是，代数余子式是。

5.排列1 3 ．．．(2n-1) (2n) (2n-2) ．．．2的反序数是。

三、计算题（共3小题，每小题10分，共30分）1.计算n 阶行列式xa a a x a a a x D n =2. a 取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+++=++,42,3)2(32,12321321321x ax x x a x x x x x（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？当有无穷解时，求出它的解。

3.在有理数域上分解多项式8465)(234--++=x x x x x f 。

2014春季线性代数试卷参考答案定稿

解：把1 ,2 ,3 ,4 按列排成矩阵并进行初等行变换把矩阵化为行阶梯型矩阵：
本题得分
1 0 2 1
1 0 2 1
1
2
0
1
r2 r1
0
2
2
0
A (1 ,2 ,3 ,4 ) 2
2
1 5
3 1
0 4
r4 r3 r3 2r1 r5 r1
0 0
1 4
1 2 ………… 2 分
…………………………… 2 分
山
大学
A 的全部特征值为 1 2 1 , 3 5 …………………………… 4 分
试
卷
当 1 2 1时，求出齐次线性方程组 (E A) X 0 的基础解系：
2 2 2
1 1 1
1 1
(E
A)
2 2
2 2
2 2
r
0 0
0 0
0 0
，基础解系为 1
10
分）设
A
2
1
2
，（1）试求
A
的特征值和特征向量；（2）利
2 2 1
用（1）的结果，求矩阵 E A1 的特征值，其中 E 为 3 阶单位矩阵。
本题
1 2 2
得分
解：（1）特征多项式为 E A 2 1 2 ( 1)2( 5)
2 2 1
燕
从而特征方程为 ( 1)2 ( 5) 0
共
x11 x2 (1 2 ) x3(1 2 3) 0 ……………… 2 分
本题得分
页整理得 ( x1 x2 x3)1 (x2 x3)2 x33 0 ……………… 3 分
第
由于 1
,2
,3

2014年考研硕士研究生入学考试试题高等代数考研真题

一、(20分)设A ∈M n (C )，f (x )∈C [x ]，且∂0f (x )＞0，g (x )是以A 为根的次数最低的多项式，求证：1、若(f (x )，g (x ))= d (x )，则d (A )的秩与f (A )的秩相等；2、f (A )可逆⇔(f (x )，g (x ))=1．二、(20分)计算 D n =nn nn n n n323232333322221111三、(15分)设A 为n 阶方阵，I 为n 阶单位阵，且满足A 3=3A (A －I )，试证A －I 为可逆阵，并求(A －I )-1．四、(20分)设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3021101231k k （k ∈R ）分别求矩阵A 的秩；并求AX =0的基础解系。

五、 (15分)a 为何值时，下列线性方程组有惟一解？无解？无穷多解？并给出一般解。

⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++3)3()1(3)1(2)3(321321321x a ax x a ax x a ax a x x x a 六、(20分)σ是向量空间F 4上的线性变换，对于任意ξ∈F 4，有σ(ξ)=A ξ；其中一、(20分)设A ∈M n (C )，f (x )∈C [x ]，且∂0f (x )＞0，g (x )是以A 为根的次数最低的多项式，求证：1、若(f (x )，g (x ))= d (x )，则d (A )的秩与f (A )的秩相等；2、f (A )可逆⇔(f (x )，g (x ))=1．二、(20分)计算 D n =nn nn n n n323232333322221111三、(15分)设A 为n 阶方阵，I 为n 阶单位阵，且满足A 3=3A (A －I )，试证A －I 为可逆阵，并求(A －I )-1．A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7931181332111511 求线性变换σ的像和核的基与维数．七、(20分)设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--050111141，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100110111，C =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011514011．若A 为三维向量空间V 的线性变换σ关于基{α1，α2，α3}的矩阵，则B 与C 是σ关于V 的其他基的矩阵吗?试予以判断，并说明理由。

2014武大高等代数真题

武汉大学２０１４年线性代数真题一．由1200130000020010A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，且11[()*]6122A BA AB E -=+，求B . 二．计算011121211n n n n n n s s s s s s x D s s s x -+-=，其中12k k k k n s x x x =++.三．有121,,,,s s αααα+，且1,1,,i i i s t i s βαα+=+=，证明如果12,,,s βββ线性无关，则121,,,s ααα+必定线性无关.四．线性空间V 定义的第(3),(4)条公理，即(3)任意的V α∈，存在0V ∈，使00ααα+=+=；(4)任意的V α∈，存在V β∈，使0αββα+=+=.证明他们的等价条件为：任意的,V αβ∈，存在x V ∈，使x αβ+=.五．设()n sl F 是()M F 上,A B 矩阵满足AB BA -生成的子空间，证明2dim(())1n sl F n =-.六．设数域K 上的n 维线性V 到m 维线性上的所有线性映射组成空间(,')k Hom V V ，证明(1)(,')k Hom V V 是线性空间；(2)(,')k Hom V V 的维数为mn ．七．已知0132101010101n n n c c F c c c ----⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，（１）求F 的特征多项式()f x 与最小多项式()m x ；（２）求所有与F 可交换的矩阵．八．设ϕ是复数域上的线性变换，ε为恒等变换，0λ为ϕ的一个特征值，0λ在ϕ的最小多项式中的重数1000min{|ker()ker()}k k k m k N λεϕλεϕ++=∈-=-．九．设(,)f αβ为V 上的非退化双线性函数，对()*g x V ∀∈，存在唯一的V α∈，使得(,)(),f g V αβββ=∀∈．十．设ϕ是欧式空间V 上的正交变换，且,1m m ϕε=>，记{|()}W x V x x ϕϕ=∈=， W ϕ⊥为其正交补，对任意的V α∈，若有,,W W ϕϕαβγβγ⊥=+∈∈其中，证明111=()m i i m βϕα-=∑.。

856高等代数答案2014

河南科技大学2014年硕士研究生入学考试试题答案及评分标准考试科目代码： 856 考试科目名称：高等代数一.（40分）以下各题只有一个答案是正确的，请选择正确的答案。

1. (C)2. (B)3. (C)4. (D)5. (D)6. (C)7. (D)8. (C)9. (C) 10. (D)二.（20分）设(),()f x g x 均为有理数系数多项式，且()g x 在有理数域上不可约。

若(),()f x g x 有一个公共的复根c . 证明：()|()g x f x .证不可约多项式()g x 与任一多项式()f x 之间只可能有两种关系，或者()()g x f x ∣或者((),())1g x f x =（5分）. 如果((),())1g x f x =，那么存在有理数系数多项式(),()u x v x 使()()()()1u x f x v x g x +=（10分）. 因此，(),()f x g x 在复数域上也互素（15分）。

但(),()f x g x 有一个公共的复根c . 所以这是不可能的。

因此，()()g x f x ∣.（20分）三.（10分）计算行列式3111131111311113.解31116111131163111131613111136113=（5分）11111311611311113=（8分）1111020064800200002==（10分）.四．（20分）证明：含有n 个未知量，1n +个方程的线性方程组11111111,111,1n nn nn nn n n n n n a x a x b a x a x b a x a x b +++++=⎧⎪⎪⎨++=⎪⎪++=⎩有解的必要条件是111111,11,10.n n nn n n n nn a a b a a b a a b +++=这个条件充分吗？若这个条件是充分的，给出一个证明。

若你认为不是充分条件，请举出反例。

贵州民族大学2014年高等代数考研真题及答案

贵州民族大学2014年攻读硕士研究生入学考试高等代数试题及答案一、设[],n n ij A a R ⨯=∈||0,A =且A 的某个元素ij a 的代数余子式0ij A ≠.证明：12[,,,]T i i in A A A 是齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系。

证明：因为||0,A =所以()1r A n ≤-. 又因为A 的某个元素ij a 的代数余子式0ij A ≠，即A 存在一个1n -阶子式不等于0，所以() 1.r A n =- 于是齐次线性方程组0Ax =的基础解系含有()(1)1n r A n n -=--=个解向量。

又因为*||,AA A E O ==将伴随矩阵*A 按列分块为*12[,,,]n A ααα=，其中12[,,,],1,2,,.T i i i in A A A i n α== 则*12[,,,][0,0,,0].n AA A A A ααα==即0,1,2,,.i A i n α== 这说明i α是0Ax =的解向量。

由0ij A ≠知，0i α≠，因此12[,,,]T i i i in A A A α=是0Ax =的一个基础解系。

注：要证明向量组12,,,s εεε是0Ax =的基础解系，只需证明（1）向量组12,,,s εεε都是0Ax =的解；（2）12,,,s εεε线性无关；（3）().s n r A =-二、已知数域P 上的4级矩阵1151112331811397A --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，线性空间4P 上的线性变换4:,x Ax x P σ→∈，（1）求线性变换的核和值域的维数；（2）求1(0).σ-解：设1234,,,εεεε是线性空间4P 的一组基，则线性变换σ在这组基下的矩阵为A .（1）值域1234(,,,)V L σσεσεσεσε=. 由1234123411511123(,,,)(,,,)31811397σεσεσεσεεεεε--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦知，向量组1234,,,σεσεσεσε的线性无关性可以由矩阵A 的列向量组的线性无关性给出，故计算矩阵的1151112331811397A --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦的秩。

全国2014年10月自学考试线性代数(经管类)试题及其答案

正确答案：解：
a3 2 a a 1
a2 a 1 0
a 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 a 2 a 0 0 0 0 1 0 3 0 0 0 0 0 1 a
0 1 a a2
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 ......2 分 1 0 0 1 0 0 a 1 1 0 0 0
x1 x 2 0 的基础解系中所含解向量的个数为【 x 2 x3 0
】
3 （2 分） 2
2
14.设 2 阶实对称矩阵 A 的特征值分别为 1 和 1，则 A 【正确答案：E（2 分）
】
15.设二次型 f ( x1 , x2 ) tx1 x2 2tx1 x2 正定，则实数 t 的取值范围是【
1 得到单位矩阵 E ， 2
1 2
1 2
D.2 正确答案：A（2 分） 3.设向量组 1 , 2 , 3 的秩为 2，则 1 , 2 , 3 中【 A.必有一个零向量 B.任意两个向量都线性无关 C.存在一个向量可由其余向量线性表出 D.每个向量均可由其余向量线性表出正确答案：C（2 分）】
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 1 0 0 1 a ..........7 分 0 1 a 0 1 a 0 0
0 1 0 0 0 0 1 a 从而 A 1 ......9 分 0 1 a 0 1 a 0 0
1 1 1 3 18.设矩阵 A 1 1 0 ,且矩阵 X 满足 AX E A X ,求 X 。 0 1 1
正确答案： 3 1 3 2 （2 分） 11.设向量组 1 (3,1,1)T , 2 (4,1,0)T , 3 (1,0, k )T 线性相关，则数 k 【正确答案：-1（2 分） 12.3 元齐次线性方程组正确答案：1（2 分） 13.设 3 阶矩阵 A 满足 3E 2 A 0 ，则 A 必有一个特征值为【正确答3 4.设 3 阶矩阵 A 3 5 3 , 则下列向量中是 A 的属于特征值 2 的特征向量为 6 6 4

高等代数(II)期末考试试卷及答案(A卷)

高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷）一、填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间[]Px 的两个子空间的交()()11L x L x -+=2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基，由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵，则A 与B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、单项选择题（每小题3分，共15分）1、（）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间；（B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间；（C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；（D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。

2、（）设A 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A ）A 的核是零子空间的充要条件是A 是满射；（B ）A 的核是V 的充要条件是A 是满射；（C ）A 的值域是零子空间的充要条件是A 是满射；（D ）A 的值域是V 的充要条件是A 是满射。

3、（）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。

4、（）设实二次型f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++，则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。

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河南科技大学
2014年硕士研究生入学考试试题
考试科目代码： 856 考试科目名称：高等代数
（如无特殊注明，所有答案必须写在答题纸上，否则以“0”分计算）
一.（40分）以下各题只有一个答案是正确的，请选择正确的答案。

1. 设,A B 为n 阶方阵, 满足等式AB O =, 则必有( )．
(A) A O = 或 B O =. (B) BA O =.
(C) ||0A = 或 ||0B =. (D) ||||0A B +=.
2. 设11
1213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,212223
111213311132123331a a a B a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪+++⎝⎭, 1010100001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 2100010,101P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 则必有( ). (A) 12APP B
=. (B) 12PP A B =. (C) 21AP P B =. (D) 21P P A B =. 3. 设A 是n 阶（2n ≥）可逆矩阵, 则**()A =( ).
(A) 1||n A A -. (B) 1||n A A +. (C) 2||n A A -. (D) ||n A A .
4. 已知向量组1234,,,αααα线性无关, 则( ).
(A) 12233441,,,αααααααα++++ 线性无关. (B) 12233441,,,αααααααα---- 线性无关.
(C) 12233441,,,αααααααα++-- 线性无关. (D) 1223344,,,ααααααα--- 线性无关.
5. 若向量组 ,,αβγ线性无关；,,αβδ线性相关, 则( ).
(A) α必可由,,βγδ线性表示. (B)β必不可由,,αγδ线性表示。

(D) δ必可由,,αβγ线性表示。

6. 设n 阶矩阵A 的行列式||0A =. 则A 中( ).
(A) 必有一列元素全为0. (B) 必有两列元素对应成比例。

(C) 必有一列向量可用其余列向量线性表示.
(D) 任一列向量是其余列向量的线性组合.
7. 设A 是m n ⨯矩阵, 则方程组0AX =是非齐次线性方程组AX b =所对应的齐次线性方程组, 那么
( ).
(A) 若0AX =仅有零解, 则AX b =有唯一解.
(B) 若0AX =有非零解, 则AX b =有无穷多组解.
(C) 若AX b =有无穷多组解, 则AX b =只有零解.
(D) 若AX b =有无穷多组解, 则0AX =有非零解.
8. 设,αβ为欧氏空间V 中两向量, 则|,|||||αβαβ<>=⋅成立的充分必要条件是( ).
(A)0α=或0β= (B)αβ= (C)α与β线性相关 (D)α与β线性无关
9. n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个( ).
(A)互不相同的特征值 (B)互不相同的特征向量
(C)线性无关的特征向量 (D)两两正交的特征向量
10. 设方阵A 与B 相似, 则必有( ).
(A) E A E B λλ-=- (B) A 与B 有相同的特征值和特征向量
(C) A 与B 都相似于一个对角矩阵 (D)对任意常数t , tE A -与tE B -都相似
二.（20分）设(),()f x g x 均为有理数系数多项式，且()g x 在有理数域上不可约。

若(),()f x g x 有一个公共的复根c . 证明：()|()g x f x .
三.（10分）计算行列式3111
1311
1131
1113.
四．（20分）证明：含有n 个未知量，1n +个方程的线性方程组
11111111,111,1n n n nn n
n n n n n n a x a x b a x a x b a x a x b +++++=⎧⎪⎪⎨+
+=⎪⎪++=
⎩
有解的必要条件是
11
1111,11,10.n n nn n n n n n a a b a a b a a b +++=
这个条件充分吗？若这个条件是充分的，给出一个证明。