材料力学13能量法页PPT文档
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材料力学第十三章 能量法
1 vε = = τγ 2G 2
τ2
三、扭转
由实验知，线弹性范围内，扭转角与扭转力偶成线性关系： 由实验知，线弹性范围内，扭转角与扭转力偶成线性关系：
M e l M e 2l 1 1 Vε = W = M e ⋅ ∆φ = M e = 2 2 G I p 2G I p
T 2 ( x) Vε = ∫ dx 2G I p ( x) l
截面的挠度。 例：求图示简支梁C截面的挠度。 求图示简支梁 截面的挠度
F
θ B2
wC1
解：由功的互等定理 F ⋅ wC1 = M ⋅ θ B 2
得：F ⋅ wC1
Fl =M⋅ 16 E I Ml = 16 E I
2
2
由此得：wC1
例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移∆ C 。 求图示悬臂梁中点 处的铅垂位移
故：
M ( x) M ( x) ∆=∫ dx EI l
M ( x) M ( x) 莫尔定理 ∆=∫ dx 莫尔积分） （莫尔积分） EI l
对于组合变形： FN ( x) FN ( x) T ( x) T ( x) M ( x) M ( x) ∆=∫ dx + ∫ dx + ∫ dx EA GI p EI l l l
积分得： 积分得：
FN (x)dx M (x)dx T (x)dx Vε = ∫ +∫ +∫ 2EA 2EI 2GIP L L L
2
2
2
例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功 试求图示悬臂梁的应变能，并利用功 求自由端B的挠度 能原理求自由端 的挠度。 能原理求自由端 的挠度。
F
解：
B
A
l
x
M ( x) = − F ⋅ x
材料力学第十三章 能 量 法
单元体上外力作功： W s e1 d e 0
应变能密度：
ve
e1 s d e
0
边长为dx、dy、dz的单元体： dVe ve d x d y d z
杆： Ve dVe V ve dV
线性弹性体：
ve
s e1
0
de
1 2
s
1e1
1 2
Ee12
1 2E
s
2 1
ve
1 d
0
1 2
1
AF
Fl 2 16 EI
应变能：
Vε
1 2
M AM
(1 2
FDCF
M AF )
1
F 2l3 (
M
2l
MFl 2
)
EI 96 6 16
④ M、F 分别单独作用
F
A
DCF
B
A M AM
B
DCF
Fl 3 48 EI
AM
Ml 3EI
应变能之和： VεF VεM
1 2
FDCF
1 2
M AM
1 EI
VεS
l
s
FS2 (x) d x 2GA
s — 剪切形状因数
S
S
通常，梁的剪切应变能远小于弯曲应变能。
杆件发生组合变形
在线弹性、小变形的条件下，每一基本变形的内力仅 在其相应的基本变形上作功，在其他基本变形上不作功。
Vε
l FN2 (x) d x 0 2EA
l T 2 (x) dx
0 2GIp
材料是线弹性的，但变形 D 与力F 不是线性的
几何非线性弹性问题
材料是非线性弹性的
物理非线性弹性问题
材料力学刘鸿文第六版最新课件第十三章 能量方法
13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。
比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
F1
1
应变能只取决于受力变形的最终状态，因
此可采用便于计算的方式计算应变能。
P1
P2
1 dV 2 M( x )d
一般情况下： 剪力对变形的影响很小，剪切 应变能远远小于弯曲应变能。
M 2( x )dx dV 2EI
w = M(x) = dθ EI dx
d M( x) dx
EI
M 2( x )dx
V l 2EI
应变能的特点：
（1）基本变形的应变能通式：
1
V
W
F 2
F2
F3
采用比例加载
2 3
外力
比例
0
位移
比例
F1、F2、F3
1、 2、 3
0
V
W
1 2
F11
1 2
F2 2
1 2
F33
n i1
1 2
Fii
即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘
积的二分之一的总和。
克拉贝依隆原理
对于组合变形
M (x)
Fs(x)
FN (x)
T (x)
M (x)
FN (x)
Me
⑵ 应变能
V
L
M 2 (x) dx
2EI
L
1 2EI
(M e
Fx)2 dx
M
2 e
L
M e FL2
材料力学第13章能量法
2
T
扭转变形：
T
L
T
一般情形：
T 1 T L T 2 L W T 2GI P 2 2 GI P
L
V
L
0
T ( x) 2 dx 2GI P
弯曲变形：
2 1 ML M L M M W 2 2 EI z 2 EI z
一般情形： 2 L M ( x ) dx V 0 2 EI z
FP1 FP2 FPm
…
P
1
FP：第一组力
P
m
P
2
FS2 FS1
FSn
…
S 2 S
n
S 1
FS：第二组力
第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等于 第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。
2.位移互等定理：
F1 12 F 2 21 如果： F1 F 2 则： 12 21
F
1
(a)
W dW F d
0 0
1
1
F F
F W 2
当载荷与相应的位移保持正 比关系，并且载荷由零逐渐 增加时，载荷所作之功为载 荷最大值与位移最大值乘积 的一半。 式中力F是广义力（力， 力矩）、Δ为广义位移（ 线位移，角位移）。
O
d
F F
(a)
o
d
(b)
F
F
例如： 拉压变形： N
2112对于线弹性体当两个力对于线弹性体当两个力广义的广义的数值相等数值相等时则第一个力在第二个力作用处引起的位移数值时则第一个力在第二个力作用处引起的位移数值上等于第二个力在第一个力作用处引起的位移称为上等于第二个力在第一个力作用处引起的位移称为位移互等定理
T
扭转变形：
T
L
T
一般情形：
T 1 T L T 2 L W T 2GI P 2 2 GI P
L
V
L
0
T ( x) 2 dx 2GI P
弯曲变形：
2 1 ML M L M M W 2 2 EI z 2 EI z
一般情形： 2 L M ( x ) dx V 0 2 EI z
FP1 FP2 FPm
…
P
1
FP：第一组力
P
m
P
2
FS2 FS1
FSn
…
S 2 S
n
S 1
FS：第二组力
第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等于 第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。
2.位移互等定理：
F1 12 F 2 21 如果： F1 F 2 则： 12 21
F
1
(a)
W dW F d
0 0
1
1
F F
F W 2
当载荷与相应的位移保持正 比关系，并且载荷由零逐渐 增加时，载荷所作之功为载 荷最大值与位移最大值乘积 的一半。 式中力F是广义力（力， 力矩）、Δ为广义位移（ 线位移，角位移）。
O
d
F F
(a)
o
d
(b)
F
F
例如： 拉压变形： N
2112对于线弹性体当两个力对于线弹性体当两个力广义的广义的数值相等数值相等时则第一个力在第二个力作用处引起的位移数值时则第一个力在第二个力作用处引起的位移数值上等于第二个力在第一个力作用处引起的位移称为上等于第二个力在第一个力作用处引起的位移称为位移互等定理
材料力学 第十三章能量方法
杆件的应变能在数值上等于变形过程中外力所做的功。 在线弹性范围内，外力由零开始缓慢增加到某一值，将外 力做的功统一写成
V
W
1 2
F
式中 F——广义力；
δ——与广义力对应的位移，即为广义力作用 点且与广义力方向一致的位移。称为广义位移。
6
§13-1 杆件应变能的计算
例题13-1
求图示悬臂梁的应变能V 和自由端的挠度yA。已知梁的抗弯刚度为EI。
拉压
dV
FN2 x 2EAx
dx
V l 2FEN2Axxdx
扭转
T 2x dV 2GIP x dx
弯曲
M 2x dV 2EIx dx
T 2x
V l 2GIP xdx
M 2x
V l 2EIxdx
5
§13-1 杆件应变能的计算
10
应变能不能叠加:
简单说明
A：F1单独作用 B：F2单独作用
1 V1 2 F1l1
V 2
1 2
F2l2
F2
F1
F2
F1
E：同时加F1、 F2
C：先加F1，再加F2
常力F1在 Δl2上作功
V
1 2
F1l1
1 2
F2l2
F1l2
F1
F12l 2EA
F2 2l 2EA
15
F112 F2 21
上式表明第一组力F1在第二组力引起的位移δ12上所做的 功，等于第二组力F2在第一组力引起的位移δ21上所做的功。 这就是功的互等定理 在F1=F2的情况下，由功的互等定理可得
1 2
Fy
材料力学 第十三章能量方法
T
φ
T l
T A
T
B
O
φ
φ
Tl
GI P
V W
比能
1 T T 2l
:
2
u
1
2GI
P
2
3
第三页，共57页。
§13-1 杆件应变能的计算
三、弯曲
θ
M A
ρ
M
B
M
M
O
θ
θ
l
1 M
EIZ
Ml
EI
V
W
1 2
M
M 2l 2EI
4
第四页，共57页。
§13-1 杆件应变能的计算
对于外力比较复杂，沿杆件轴线方向的内力为变量，或横截面面积沿 轴线是变化的，则先求出dx微段的应变能。再积分求出杆件的应变能。
U dPn n
20
第二十页，共57页。
按此加力顺序结构的应变能
P1 P2
n Pn
U2
1 2
(dPn ) (d n )
U
dPn n
又
U1 U2
U
n
Pn
第二卡氏定理
卡氏定理：弹性体内的变形能对任一载荷的偏导数等于该
载荷作用点沿载荷作用方向的位移。
21
第二十一页，共57页。
三、使用卡氏定理的注意事项：
的各载荷作用点的位移。这一结论称为克拉贝依隆原理。
由于位移Δ1，Δ2 ，… Δi ，… Δn与外力F1，F2， … Fi，Fn之间是 线性关系，则应变能是外力的二次齐次函数，所以应变能不能 叠加。
10
第十页，共57页。
应变能不能叠加:
简单说明
A：F1单独作用 B：F2单独作用
第十三章能量方法
sd
FN A
g D2 w2
4g
sd
g D2
4g
w2
[s ]
角速度 w 2 g[s ]
Dg
转速
n 60 g[s ] D g
2. 薄壁圆环的变形
周向应变
t
(D D) D D
D D
线弹性范围内
t
sd
E
sd
FN A
g D2 w2
4g
直径改变量
D g D3 w 2
1. 构件各部分有明显的加速度； ——不平衡，内力难以用静力 平衡方程计算。
2. 材料的力学性质与静载荷作用不同。 一般可用应变率来区分静载荷与动载荷
静载荷
105 ~ 101
1 s
动载荷
101 ~ 108
1 s
三、 假设
1. 当动应力sd≤ sp时，胡克定律仍然成立， 且 E 、G、u与静载荷作用时相同；
冲击物
被冲击物
动能 T 和势能 V
应变能Vd
能量守恒
T+V = Vd 结果偏于安全
三、竖向冲击
初瞬时冲击物
末瞬时被冲击物
Vd = V +T
WWWWWW
冲击开始瞬时
△d 动变形
冲击结束瞬时
FPd 冲击载荷，大小未知
动能T，势能V=W△d
应变能
V d
1 2
FPd d
1 2
FPd d
W d
另章研究。
§13.2 动静法的应用
一、构件作匀加速直线运动
FNd
(1
a g
)W
材料力学第13章
M dx M
代入上式积分后，得到梁的应变能的表达 式
1 M 2l Vε Md 20 2 EI
l
第13章 材料力学中的能量方法
基本概念
对于承受扭转的圆轴 微段的应变能
dVε 1 M x d 2
TSINGHUA UNIVERSITY
Mx
d Mx
其中d 为微段两截面绕杆轴线的相 对扭转角：
基本概念
作用在弹性杆件上的力，其加力点的位移，随着杆件受力和 变形的增加而增加，这种情形下，力所作的功为变力功。 0
FP
TSINGHUA UNIVERSITY
FP
Δ Δ
O 对于材料满足胡克定律、又在小变形条件下工作的弹性杆件， 作用在杆件上的力与位移成线性关系。 这时，力所作的变力功为 1 W FP Δ 2
FP1 ΔSP1 FP 2 ΔSP 2 FPm ΔSPm
第13章 材料力学中的能量方法
互等定理
功的互等定理的证明
TSINGHUA UNIVERSITY
FP1 F S1
P1 S1 PS1
FP2 FS2
S2 P2
…
PS2
…
FPm FSn
S n PSn
FS－系统 FP－系统
TSINGHUA UNIVERSITY
FP1ΔSP1 FP 2ΔSP2 FPmΔSP m
FS1 ΔPS1 FS2 ΔPS2 FSn ΔPSn
功的互等定理：一个力系的力在另一个力系引起 的相应的位移上所作之功等于另一个力系的力在这一 个力系引起的相应的位移上所作之功。
TSINGHUA UNIVERSITY
FP2 FP1 FPm
… FP－系统
代入上式积分后，得到梁的应变能的表达 式
1 M 2l Vε Md 20 2 EI
l
第13章 材料力学中的能量方法
基本概念
对于承受扭转的圆轴 微段的应变能
dVε 1 M x d 2
TSINGHUA UNIVERSITY
Mx
d Mx
其中d 为微段两截面绕杆轴线的相 对扭转角：
基本概念
作用在弹性杆件上的力，其加力点的位移，随着杆件受力和 变形的增加而增加，这种情形下，力所作的功为变力功。 0
FP
TSINGHUA UNIVERSITY
FP
Δ Δ
O 对于材料满足胡克定律、又在小变形条件下工作的弹性杆件， 作用在杆件上的力与位移成线性关系。 这时，力所作的变力功为 1 W FP Δ 2
FP1 ΔSP1 FP 2 ΔSP 2 FPm ΔSPm
第13章 材料力学中的能量方法
互等定理
功的互等定理的证明
TSINGHUA UNIVERSITY
FP1 F S1
P1 S1 PS1
FP2 FS2
S2 P2
…
PS2
…
FPm FSn
S n PSn
FS－系统 FP－系统
TSINGHUA UNIVERSITY
FP1ΔSP1 FP 2ΔSP2 FPmΔSP m
FS1 ΔPS1 FS2 ΔPS2 FSn ΔPSn
功的互等定理：一个力系的力在另一个力系引起 的相应的位移上所作之功等于另一个力系的力在这一 个力系引起的相应的位移上所作之功。
TSINGHUA UNIVERSITY
FP2 FP1 FPm
… FP－系统
材料力学第十三章 能量法
直杆的M0(x)图必定是直线或折线。
M (x)M (x)dx
l
tg x M (x)dx
l
tg xC
MC
M (x) x tg
l
M
(
x)M EI
(x)
dx
M C
EI
顶点 顶点
2lh
3
1lh
3
二次抛物线
例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。 解（1）求自由端的挠度
三、弯曲
V W
纯弯曲：
1 2
M
e
1 2
M
e
Mel EI
M e 2l 2EI
M 2l 2EI
横力弯曲：V
l
M 2 (x) dx
2E I ( x)
13-3 变形能的普遍表达式
F3
1
F2
F1
2 3
V
W
1 2
F11
1 2
F2 2
1 2
F3 3
即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘
例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移C 。
wC1
B2
F
解：由功的互等定理 F wC1 M B2
F l 2
得：F wC1 M
2 2EI
由此得：
wC1
Ml2 8EI
F3
1
13-5 卡氏定理
F2
F1
2 3 i
V
W
1 2
F11
1 2
F2
2
材料力学第13章 能量法
C
F1
b
F2
P21
安徽工业大学机械工程学院
材料力学
（1）先在 B 截面加 F1,然后在 C 截面加 F2
第十三章
能量法
（a）在 B 截面加 F1, B截面的位移为
B1
外力作功为
F1a EA
2 1
A
B
a
1 F a W1 F1δB1 2 2 EA
（b）再在C上加 F2 C截面的位移为 C 2 F2 作功为
A
B
a
F1
C
b
F2
（1） 计算外力作功时,注意变力作功与常力作功的区别. （2）应变能Vε只与外力的最终值有关,而与加载过程和加载次 序无关.
P25
安徽工业大学机械工程学院
材料力学
例题5 以弯曲变形为例证明 应变能Vε只与外力的最 终值有关,而与加载过程 和加载次序无关. 解: 梁中点的挠度为:
A
第十三章
能量法
3
F2
B B'
Fi
F3
C Fi
F1
1
A
2
i
i
在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功
1 Vε ( F1δ1 F2 δ2 F3 δ3 ) 2
—— 克拉贝隆原理（只限于线性结构）
安徽工业大学机械工程学院
P17
材料力学
第十三章
能量法
三、变形能的应用
1.计算变形能
2.利用功能原理计算变形 例题1 试求图示悬臂梁的变形能,并利用功能原理求自由端B的挠度. 解： M ( x ) F x
F
A C x2 b B
面的挠度.
M 2 ( x) Vε dx x1 l 2 EI a Fb 2 Fa 2 l ( x ) ( x ) 1 2 a b l dx1 l dx 2 0 0 2 EI 2 EI F 2b 2 a 3 F 2a 2 b 3 F 2a 2b 2 2 2 6 EIl 2 EIl 3 2 EIl 3 Fa 2b 2 1 wC W F wC 由Vε=W 得 3 EIl 2
F1
b
F2
P21
安徽工业大学机械工程学院
材料力学
（1）先在 B 截面加 F1,然后在 C 截面加 F2
第十三章
能量法
（a）在 B 截面加 F1, B截面的位移为
B1
外力作功为
F1a EA
2 1
A
B
a
1 F a W1 F1δB1 2 2 EA
（b）再在C上加 F2 C截面的位移为 C 2 F2 作功为
A
B
a
F1
C
b
F2
（1） 计算外力作功时,注意变力作功与常力作功的区别. （2）应变能Vε只与外力的最终值有关,而与加载过程和加载次 序无关.
P25
安徽工业大学机械工程学院
材料力学
例题5 以弯曲变形为例证明 应变能Vε只与外力的最 终值有关,而与加载过程 和加载次序无关. 解: 梁中点的挠度为:
A
第十三章
能量法
3
F2
B B'
Fi
F3
C Fi
F1
1
A
2
i
i
在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功
1 Vε ( F1δ1 F2 δ2 F3 δ3 ) 2
—— 克拉贝隆原理（只限于线性结构）
安徽工业大学机械工程学院
P17
材料力学
第十三章
能量法
三、变形能的应用
1.计算变形能
2.利用功能原理计算变形 例题1 试求图示悬臂梁的变形能,并利用功能原理求自由端B的挠度. 解： M ( x ) F x
F
A C x2 b B
面的挠度.
M 2 ( x) Vε dx x1 l 2 EI a Fb 2 Fa 2 l ( x ) ( x ) 1 2 a b l dx1 l dx 2 0 0 2 EI 2 EI F 2b 2 a 3 F 2a 2 b 3 F 2a 2b 2 2 2 6 EIl 2 EIl 3 2 EIl 3 Fa 2b 2 1 wC W F wC 由Vε=W 得 3 EIl 2
材料力学第十三章__能量方法
解：由节点B的静力平衡 条件求得各杆内力:
NAB5 4P , NBC4 3P
构架的变形能等于 AB和 BC两杆变形能之和:
UUAB UBC N 2A 2ElB AA B N 2B 2ElC BA C
U 1.9P2l 2EA
1.9P2l UWPB
2EA
2
B
1.9Pl EA
的中点挠度 f 5q l 4
。求梁在中点
384 E I
集中力P作用下 (见图)，梁的挠曲线与梁变
形前的轴线所围成的面积 。
q P 5ql4 5Pl4
384E I
384E I
例：长为 l、直径为d的圆杆受一对横向压力
P作用，求此杆长度的伸长量。已知E和μ。
解：由位移互等定 ，理 ①知 杆的伸长量 ②杆直径的减小量
i
U C Pi
性弹性杆件或杆系在 外力Pi作用点处与Pi相 应的位移δi
在线弹性杆件或杆系U=UC
卡氏第二定理 i
U Pi
线弹性杆件或杆系的应变能U对
于作用在该杆件或杆系上的某一
外力之变化率就等于该力作用点
沿作用线方向的位移。
(1)
轴向拉伸和压缩
i
l
N(x)N(x)dx EA P
M2(x) dx
l 2EI(x)
QS Z
bI Z
矩形：
s
6 5
U
l
s Q 2 dx
2 GA
圆形： 薄壁管：
s s
10 9 2 .0
U弯
l
22
1 (Px)2dxP2l3
材料力学第13章(能量方法)
M 2 ( x) [ M ( x ) M ( x )]2 M 2 ( x) dx L 2 EI dx L 2 EI dx 1 f A L 2 EI
M ( x)M ( x) 1 f A dx L EI
M ( x)M ( x) fA dx L EI
莫尔定理或莫尔积分 (单位载荷法)
先加单位力，再加原载荷：
外力作功：W1 W W 1 f A 应变能：
图b F0 =1
A
q(x) 图c
fA
[ M ( x ) M ( x )]2 V 1 L dx 2 EI
W1 Vε1
[ M ( x ) M ( x )]2 W W 1 f A L dx 2 EI
和转角。 q
A
1
x
l
B
A
B
x l
解： （1)垂直位移
qx 2 M ( x) 2
M ( x)M ( x) dB dx L EI
M ( x) x
1 l qx2 ql 4 0( 2 )( x )dx 8 EI ( EI
)
q
A
1
x
l
B
A
l
x
B
（2)转角
qx 2 M ( x) 2
[例2] 已知：梁的抗弯刚度EI，用莫尔积分法求B点的垂直
位移和转角。
q
A
1
B
A B
l
l
FNi FNi l i T ( x )T ( x ) dx L GI P E i Ai
M ( x)M ( x) L EI dx
M ( x)M ( x) dB dx L EI
[例3] 已知：梁的抗弯刚度EI，用能量法求B点的垂直位移
M ( x)M ( x) 1 f A dx L EI
M ( x)M ( x) fA dx L EI
莫尔定理或莫尔积分 (单位载荷法)
先加单位力，再加原载荷：
外力作功：W1 W W 1 f A 应变能：
图b F0 =1
A
q(x) 图c
fA
[ M ( x ) M ( x )]2 V 1 L dx 2 EI
W1 Vε1
[ M ( x ) M ( x )]2 W W 1 f A L dx 2 EI
和转角。 q
A
1
x
l
B
A
B
x l
解： （1)垂直位移
qx 2 M ( x) 2
M ( x)M ( x) dB dx L EI
M ( x) x
1 l qx2 ql 4 0( 2 )( x )dx 8 EI ( EI
)
q
A
1
x
l
B
A
l
x
B
（2)转角
qx 2 M ( x) 2
[例2] 已知：梁的抗弯刚度EI，用莫尔积分法求B点的垂直
位移和转角。
q
A
1
B
A B
l
l
FNi FNi l i T ( x )T ( x ) dx L GI P E i Ai
M ( x)M ( x) L EI dx
M ( x)M ( x) dB dx L EI
[例3] 已知：梁的抗弯刚度EI，用能量法求B点的垂直位移
材料力学能量法最经典解析PPT课件
能量法——利用定理求变形
极坐标方程是给一 个角度能够确定一 个挠度。因此该问 题是求任意位置角 的径向变形。
注意2个角度φ和θ的意义。 Φ用于表 示力F作用下任意位置上的弯矩。而θ 是用于表示任意位置的挠度，单位力 作用的位置。摩尔积分应该是对Φ积 分。 Φ在0到360度变化。
能量法——利用定理求变形
能量法——其他
超静定——与拉压杆相关
每根杆都沿杆的方 向线变形，后旋转 到变形后的位置。 变形用作垂线代替。
超静定——与拉压杆相关
此处注意CD杆
变形转换后是 BC杆变形的一 半。
超静定——与拉压杆相关
超静定——与拉压杆相关
广义胡克定律的应用。 每一点的应力状态为
p p
超静定——弯扭相关
此题仍然是有两个变 量，x是所求任意截面 的挠度值，而ξ是任意 截面的弯矩值，摩尔 积分是对ξ积分。
超静定——弯扭相关
超静定——弯扭相关
此类题目重点是分析圆盘 及2根杆的受力情况及变 形情况。
超静定——弯扭相关
该表达式上课过 程中没有出现过， 但是很容易推导 出来。
超静定——弯扭相关
超静定——弯扭相关
超静定——弯扭相关
超静定——弯扭相关
超静定——弯扭相关
此题目的重点是分析的方法和思路。由弹簧变 形与力和力矩之间的关系找到变形协调方程求 解超静定问题。
能量法——利用力做功求变形
能量法——利用力做功求变形
应力已知，计算应变能从而得到外力 功，最终获得力作用下的变形。
能量法——利用力做功求变形
能量法——利用力做功求变形
能量法——互等定理
该表达式上课过 程中没有出现过， 但是很容易推导 出来。积分求得 挠曲线后可得到 弯矩方程，进而 计算应变能。
材料力学刘鸿文第六版最新课件第十三章 能量方法
由此得：wC1
Ml2 16E I
Fk
123
A
B
(a)
Ak
(b) k
1 2 3
F1
F2 F3
B
例 （a）中Fk=10KN时，1、2、3点的 挠度分别为 1 1mm, 2 0.8mm,
3 0.5mm, 若（b）中1、2、3点作用
荷载F1=50KN， F2=40KN，F3=20KN，
求k点的挠度？
加载的次序无关；
P1
P2
先施加P1
V1
P12l1 2EA
AB
C
l1
l2
再施加P2
AB又伸长
Dl AB
P2l1 EA
P1保持不变，作功为
V 2
P1
P2l1 EA
P2作功为
V 3
P22( l
P1
P2l1 EA
P22 (l1 l2 ) 2EA
先施加P2
V1
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。
比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
F1
1
应变能只取决于受力变形的最终状态，因
此可采用便于计算的方式计算应变能。
F2
F3
采用比例加载
一对力偶
一个线位移
一个角位移
相对线位移 相对角位移
（3）卡氏第二定理的应用
（a） 轴向拉伸与压缩
δi
Vε Fi
Fi
FN2 ( x )dx 2EA
FN ( x ) FN ( x ) dx EA Fi
材料力学课件-第58讲 第十三章 能量法(二)(1)
上述方程满足位移边界条件
或
与精确解
误差
1.32%
满足自由端弯矩为零条件
能量法求结构临界载荷小结
适用于复杂结构
临界失稳轴线形状假设精确，可得精确解
临界失稳轴线形状假设合理，可得精度高的近似解
思考：怎样才能将失稳轴线形状假设合理？
谢谢
§13-1 梁的横向剪切变形效应
组合变形能还缺少哪一项？大小（量级）？如何计算？
=
在第十二章组合变形能的计算
一、考虑剪切效应时梁的应变能
y
y
dy
dxbdyz Nhomakorabeay
h/2
h/2
b
x
dx
矩形截面梁
矩形截面梁应变能
一般截面梁应变能公式
kS－剪切形状系数，与截面形状有关，截面形状影响截面切应力分布。 各种截面kS之值如下：
第十三章 能量法(二)(1)
第五十八讲知识点 梁的横向剪切变形效应 压杆临界荷载的能量法
变形体虚功原理
上一讲回顾
单位载荷法的基本公式
§13-1 梁的横向剪切变形效应
第十三章 能量法(二)
§13-2 冲击应力分析
§13-3 压杆的临界载荷
1.经典梁理论采用直法线假设，忽略了什么对变形的影响？ 2.采用直法线假设计算梁的挠度，结果会偏大还是偏小？如何改进？
ds
dw
轴向位移
dx
ds
l
F
A
B
例：试由能量法计算固定-自由压杆临界载荷
解1：设临界平衡时挠曲轴方程
上述方程满足边界条件
精确解！
F
A
B
解2：设临界平衡时挠曲轴方程
上述方程满足位移边界条件
或
与精确解
误差
1.32%
满足自由端弯矩为零条件
能量法求结构临界载荷小结
适用于复杂结构
临界失稳轴线形状假设精确，可得精确解
临界失稳轴线形状假设合理，可得精度高的近似解
思考：怎样才能将失稳轴线形状假设合理？
谢谢
§13-1 梁的横向剪切变形效应
组合变形能还缺少哪一项？大小（量级）？如何计算？
=
在第十二章组合变形能的计算
一、考虑剪切效应时梁的应变能
y
y
dy
dxbdyz Nhomakorabeay
h/2
h/2
b
x
dx
矩形截面梁
矩形截面梁应变能
一般截面梁应变能公式
kS－剪切形状系数，与截面形状有关，截面形状影响截面切应力分布。 各种截面kS之值如下：
第十三章 能量法(二)(1)
第五十八讲知识点 梁的横向剪切变形效应 压杆临界荷载的能量法
变形体虚功原理
上一讲回顾
单位载荷法的基本公式
§13-1 梁的横向剪切变形效应
第十三章 能量法(二)
§13-2 冲击应力分析
§13-3 压杆的临界载荷
1.经典梁理论采用直法线假设，忽略了什么对变形的影响？ 2.采用直法线假设计算梁的挠度，结果会偏大还是偏小？如何改进？
ds
dw
轴向位移
dx
ds
l
F
A
B
例：试由能量法计算固定-自由压杆临界载荷
解1：设临界平衡时挠曲轴方程
上述方程满足边界条件
精确解！
F
A
B
解2：设临界平衡时挠曲轴方程
上述方程满足位移边界条件
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V
T 2( x )dx l 2GI p
3、弯曲
m
纯弯曲
加载过程中始终有
m
M=m
m 静载
Ml EI
外力功 W 1 M
l
2
应变能
V
1 2
M
M 2l 2 EI
横力弯曲 M=M(x)
P1
P2
1 dV 2 M( x)d
w = M(x) = dθ EI dx
FN (x)
T (x)
M(x)
FN (x)
T ( x)Fs(x)
V εl2 F E N 2 A (( x x ))d x l2 T G 2 I( p x () x )d x l2 M E 2 I( (x x ) )d x l2 k G F s A 2 ( (x x ) )d x
F2
3）F 2 单独作用下：
V 2
F22 L 2 EA
L
L
V1V2 V 证毕。 F1
F2
（4）弹性体中的应变能只决定于外力和位移的最终值，与加
载的次序无关； P1
P2
先施加P1
V 1
P1 2 l1 2EA
AB
C
再施加P2
AB又伸长
Dl AB
P2l1 EA
l1
l2
P1保持不变，作功为
FN(x)
FN(x)＋dFN (x)
dx
V
ldV
l
FN2(x)dx 2EA
应变能密度（变形比能）
1 2
2、扭转
T=me
l
加载过程中始终有
me me
me 静载 外力功
Tl
GIp
W
1 2
m
e
应变能
1
1
V
2me
T 2
T 2l 2G IP
当扭矩随截面位置变化时
外力功W＝物体所储存的应变能Vε 。
3、线弹性体（线弹性结构）
（1）材料服从胡克定律。 （2）变形微小，各力的作用互不影响。 （3）任一点的位移与载荷呈线性齐次关系。
应用 叠加原理 的条件
（4）线弹性结构受到充分约束，在任何外力作用下没有 刚体位移。 即：位移是由变形引起。
讨论对象：线弹性体。
§13-2 杆件变形能计算
RA
C l
B x2
2)
弯矩方程
AC段：M(x1)=RAx1
=bl Px1
RB
( 0 ≤x1 ≤ a)
3) 由功能原理
CB段：M(x2)=RBx2=al Px2
1
2
Py C
l
M2(x)dx 2EI
=2E 1I 0 a b lP x1 2dx1+0 b a lP x2 2dx2 (
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。
比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
F1
1
应变能只取决于受力变形的最终状态，因
此可采用便于计算的方式计算应变能。
F2
2 3
F 3 采用比例加载
外力
比例
0
位移
比例
F1、F2、F3
1、 2、 3
0
V W 1 2F 11 1 2F 22 1 2F 33i n 11 2F i i
即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘
积的二分之一的总和。
克拉贝依隆原理
对于组合变形
M(x)
Fs(x)
1、拉压
P
P=FN 静载P P
l
Dl
q(x)
加载过程中始终有 P
P Dl FN l
EA
Dl
外力功 W 1 PDl
Dl
2
应变能
V
1
1
PDl 2
2FNDl
FN 2l 2 EA
x dx q(x)·dx
略去高阶微量，认为dx只承受FN (x)
dV 1 2F N(x)dDlF N 2 2(E x A )dx
d M(x) dx
EI
理论证明：
剪力对变形的影响很小，剪切 应变能远远小于弯曲应变能。
M2( x )dx dV 2EI
V
M2( x )dx l 2EI
应变能的特点：
（1）基本变形的应变能通式：
V
W
1 F 2
内力 2 l 2 刚度
F-广义力泛指力或力偶矩；
-广义位移为线位移或角位移；
V 2
P1
P2l1 EA
P2作功为
V3
P22( l1 l2 ) 2EA
总功为：
V
P 1 2 l1 2 EA
P1
P2 l1 EA
P22(l1 l2 ) 2EA
先施加P2
V1
P22( l1 l2 2EA
)
再施加P1
AB又伸长
Dl AB
P1l1 EA
P2保持不变，作功为
1．解题简单、适用性广；
2．不受材料和形状限制，适用于线弹性、非线性和塑性 问题；（只讨论线弹性问题）
3．可求解静定与超静定问题；
2、应变能和功能原理
应变能：在外力作用下，物体因产生弹性变形而储存的能 量称为弹性应变能，也称变形能。
功能原理
物体受力产生弹性变形时，外力作用点将沿力的方向产生位 移，因而外力要作功，若不计动能的变化和其它的能量损失。
0
≤x2≤
b)
只 适分用析于：yC结VV构P3a上EWl2IbM有l22一2(12结ExP个I果)ydC载x大6荷E P于2，I2零l要b，2求a说3载明a荷2位b作3移用的点P6方2沿Ea I2向载bl 2与荷力方的向的方位向移一。致。
13-3 应变能的普遍表达式
V 2
P2
P1l1 EA
P1作功为
V3
P12 l1 2EA
（5）应变能是可逆的。(跳板跳水) 总功仍为上述表达式。
直接利用功能原理求位移的实例 利用能量法求解时，所列
例 求简支梁外力P作用点C的挠度。 弯矩方程应便于求解。
a
P
b
解： 1)求反力
b RA l P
a RB l P
A x1
（2）应变能的数值恒为正值；
（3）应变能为载荷的二次函数，同种类型荷载的变形能不 能叠加。
证明
1） F1, F2 共同作用下：
V (F 1 2E F 2)2 A L2 F 1 E 2L A F 22 E 2L AF 1 E F 2L A
L
2） F1 单独作用下：
F1
V1
F12 L 2 EA
第十三章 能量法
1、能量法：
在外力作用下，利用功能原理求结构指定点位移 的方法叫能量法。
前面讨论了求简单结构的位移：
三角架——以切代弧
局限性
梁——积分法（繁琐）、叠加法（不方便）
工程结构形状复杂，受力复杂。利用能量法可以 求结构任一指定点的任意方向的位移，且求解过程简单。
能量法的特点
求位移的普遍方法