具有变号位势的二阶Hamilton系统周期解的存在性定理
汉密尔顿方程求解
汉密尔顿方程求解汉密尔顿方程（Hamilton's equations）是经典力学中一种非常重要的数学工具，用于描述系统的运动。
它由物理学家威廉·罗维尔·汉密尔顿于1834年提出，是经典力学中的一个基本方程。
汉密尔顿方程的提出是为了解决拉格朗日力学中运动方程的非线性问题。
在拉格朗日力学中，通过引入广义坐标和广义动量，可以将系统的运动方程表示为一组二阶微分方程。
然而，这些方程的求解通常是非常复杂的，尤其是对于复杂的力学系统而言。
汉密尔顿方程的出现，使得我们可以通过一组一阶微分方程来描述系统的运动。
具体而言，对于一个由n个广义坐标q和n个广义动量p描述的力学系统，其汉密尔顿方程可以写为：dq/dt = ∂H/∂pdp/dt = -∂H/∂q其中H(q,p)是系统的哈密顿函数，它是系统的广义坐标q和广义动量p的函数。
哈密顿函数通常是系统的总能量函数，可以通过拉格朗日函数进行变换得到。
汉密尔顿方程的优势在于，它可以更方便地求解系统的运动。
通过将系统的运动方程转化为一阶微分方程，我们可以利用常见的数值计算方法，如欧拉法或四阶龙格-库塔法等，来模拟系统的演化。
这种数值模拟方法在计算机科学和物理学中得到了广泛应用。
汉密尔顿方程还具有一些重要的性质。
首先，它保持系统的能量守恒，即哈密顿函数在系统演化过程中保持不变。
其次，汉密尔顿方程还具有正则变换不变性，即对于任意的正则变换，系统的运动方程形式保持不变。
这使得汉密尔顿方程能够描述各种物理系统的运动，而不受坐标系的选择和变换的影响。
通过汉密尔顿方程，我们还可以得到一些重要的物理量。
例如，系统的哈密顿函数H是系统的总能量函数，广义动量p是系统的动量，广义坐标q是系统的位置。
此外，通过对哈密顿函数的偏导数，可以得到系统的速度、加速度等相关物理量。
汉密尔顿方程是经典力学中一种重要的数学工具，用于描述系统的运动。
它通过将系统的运动方程转化为一阶微分方程，简化了对系统运动的求解过程，并具有能量守恒和正则变换不变性等重要性质。
二阶扰动Hamilton_系统周期解的存在性
第29卷第4期江苏理工学院学报JOURNAL OF JIANGSU UNIVERSITY OF TECHNOLOGYVo l.29，No.4Aug.，20232023年8月在天体力学中，质点的运动规律可以表示为非线性微分方程组。
庞加莱在《天体力学新方法》中提出，诸多力学微分方程系统都可化成正规型微分方程系统，即Hamilton 系统。
Hamilton 系统作为一类重要的动力学系统，在力学、统计力学、天体力学、控制论等领域有着广泛的应用。
在动力学系统中，天体运行的位置坐标和速度经过一定时间都会回到原来的数值，因此周期解理论作为天体运行周期轨道的存在性和稳定性的理论，是非线性动力系统的主要研究对象。
寻找这类非线性微分方程的周期解主要有三种方法：定性方法、分析方法、数值方法。
本文对于Hamilton 系统周期解的研究主要运用分析方法中的变分法。
变分法起源于物理学的最速降线问题，这个物理问题最终由数学家运用极小化原理得到解决。
其一般原理为：在赋范空间X 中，设映射φ:X →R ，将求算子方程φ′(u )=0在X 上的解，归结为求φ的局部极小值或极大值。
用变分法解Hamilton 系统周期解的关键即：在某空间上定义相应泛函，从而使泛函的临界点与Hamilton 系统的周期解相对应。
本文运用变分方法中极小作用原理，考虑如下扰动的二阶Hamilton 系统：ìíîu (t )+Bu ()t =∇F (t,u (t ))a.e.t ∈[0,T ]u (0)-u (T )=u (0)-u (T )=0。
（1）系统中，B 是反对称矩阵，T >0，F :[0,T ]×R N →R 。
此非线性微分方程满足条件(A )：F ()t ,x 对∀x ∈R N 关于t 是可测的，对a.e.t ∈[0,T ]关于x 是连续可微的；∃a ∈C ()R +,R +，b ∈L 1()0,T ;R +使得对a.e.t ∈[0,T ]和∀x ∈R N 都有|F ()t,x |≤a ()|x |b ()t ，|∇F ()t ,x |≤a ()|x |b ()t 。
哈密顿定理
哈密顿定理引言哈密顿定理，又称哈密顿-雅可比定理，是经典力学中的一条重要定理，由威廉·哈密顿于1835年提出。
它是质点力学中的一个基本定理，可以用来描述质点在势力场中的运动。
哈密顿定理在经典力学、量子力学、统计力学等领域都有广泛的应用。
定理表述哈密顿定理的表述如下：对于一个系统，其哈密顿函数H、广义坐标q和广义动量p之间满足以下关系：∂H/∂p = dq/dt∂H/∂q = -dp/dt其中，H是系统的哈密顿函数，q是广义坐标，p是广义动量，t是时间。
定理解释哈密顿定理可以理解为能量守恒的表述。
在一个力学系统中，系统的哈密顿函数代表系统的总能量。
根据哈密顿定理的第一部分，系统的总能量随时间的变化率与广义动量的变化率相等。
这意味着在系统中，能量的改变取决于动量的改变。
同样地，根据哈密顿定理的第二部分，系统的总能量的变化率与广义坐标的变化率的相反数相等。
这意味着在系统中，能量的改变取决于坐标的改变的相反方向。
这样，哈密顿定理给出了系统能量的变化与坐标和动量的关系，进一步揭示了力学系统内部的运动规律。
哈密顿定理的应用1. 力学系统的轨迹预测哈密顿定理可以用来预测力学系统的轨迹。
通过已知的系统的哈密顿函数、广义坐标和广义动量的初值，可以通过哈密顿定理计算出系统在不同时间点上的坐标和动量的数值。
这样，我们就可以通过数值计算的方式得到系统在未来的运动轨迹，从而对系统的行为进行预测。
这在航天器轨道计算、天体运动预测等领域有广泛的应用。
2. 力学系统的稳定性分析哈密顿定理还可以用来分析力学系统的稳定性。
通过对系统的哈密顿函数进行分析，可以得到系统在不同状态下的能量。
通过计算能量的变化率，可以了解系统在不同状态下的稳定性。
如果能量变化率始终小于零，系统就是稳定的。
而如果能量变化率大于零，系统就是不稳定的。
这种稳定性分析可以帮助我们理解力学系统的运动特性，进一步用来设计控制系统、优化工程结构等。
3. 非保守系统的分析哈密顿定理也可以用来分析非保守系统。
一类二阶Hamilton系统周期解的存在性
多解 性 的 一 些 充 分 性 条 件 ．
关
键
词 ：极 小 作 用原 理 ；二 阶 Ｈａ ｉｏ ｍ ｌ ｎ系 统 ；局 部 环 绕 定 理 ；周 文献标 识码 ：Ａ １５ １ 文章编 号 ：１７ ９ ８ （ ０ ０ １— １６— ５ ６ ３— ７ ７ ２ １ ）０ ０ ２ ０
重庆工商大学学报(自然科学版)第27卷(2010年)总目次
王 晓 蒙（ １８ ２，０ ）
对 Ｅ ｉ ｖｎＤ ｍ 引 理 的疑 义 … ……… …… …… …… …… ……… …… … 房 才雅 ， ｒ ａ ａ ｍｅ ｃ 丁志 良， 玉芳 （ １ １ 李 ２，１ ）
全社会 固定 资产 投 资与西 部经 济增 长关 系的实 证分 析 … … ……… …… ……… …… …… … 真慕 白（ ，１ ） ２ １４
… ……… …… …… ……… …… …… ……… 席 进 华（ ，２ ） ４ ３ ２ 华 ， 伟峰 （ ，２ ） 周 ４ ３７
秩 和 比法 在眼科 病床 合理 分配模 型评 价体 系 中的应用 … …… …… 王 晓彤 ， 碧 涵 ， 英 强 ， 赵 周 陈义 安（ ，１ ） ２ １ ７
有 限个 渐 近伪压 缩 映象 的公 共不 动点 迭代 逼近 … ……… …… ……… …… 叶 晓磊 ， 杨 奎， 张 悦 （ ，２ ） ２ １ １
重庆工商大学学报（ 然科学版） 自
第２ ７卷 （０ ０年 ） ２１
总 目 次
（ 号 内依次 为期 ， 括 页码 ）
Байду номын сангаас
数 学 与 应 用数 学
一
个新 混 沌系统 的滑模 变结 构控 制
……… …… …… …… …… ……… …… … 孔 昭毅 ， 永 录 ， 舒 张
青 （ ，） １ １
伟 （ ，６ １４ ）
立 （ １５ ２，０ ） 炜， 梁
湖北 省第 三产业 与 固定资 产投 资 的协整 分析 ……… …… …… …… …… ……… …… …… …… 宋
两类 广义 图 ｒ 图的分数 色数 …… …… …… ……… …… …… …… …… ……… …… 高 － 冠
二阶Hamilton系统周期解的存在性
二阶Hamilton系统周期解的存在性
符健;马鑫;张晶
【期刊名称】《佳木斯大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2009(028)004
【摘要】研究了二阶Hamilton系统{(u)(t)=F(t,u(t)),a.e.t∈[O,T],u(O)-
u(T)=u(O)-u(T)-O周期解的存在性问题,通过使用极小化原理,获得了周期解存在的一些充分性条件,所得结果改进了已有文献中的一些结果.
【总页数】3页(P590-592)
【作者】符健;马鑫;张晶
【作者单位】中南大学机电工程学院,湖南,长沙,410012;中南大学机电工程学院,湖南,长沙,410012;中南大学机电工程学院,湖南,长沙,410012
【正文语种】中文
【中图分类】O175.12
【相关文献】
1.一类二阶Hamilton系统周期解的存在性 [J], 王少敏
2.测度链上次线性二阶Hamilton系统周期解的存在性 [J], 张申贵
3.具有变号位势的二阶Hamilton系统周期解的存在性定理 [J], 叶一蔚
4.一类局部超二次二阶Hamilton系统周期解的存在性 [J], 郑玲玲
5.一类具有p-Laplace算子的二阶Hamilton系统周期解的存在性 [J], 万树园;王智勇
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hamilton原理
hamilton原理《Hamilton原理》是一个既简单又重要的定理，它对某些类型的物理系统有着重要的意义。
它由英国物理学家William Rowan Hamilton在1834年提出，是牛顿力学系统中一个重要的定理。
它通过一种叫做“动量和能量”的统一张量来描述动力学系统中的总体结构。
Hamilton原理是一个精确的理论，它提供了一种解决问题的方法，而不是一种抽象的描述。
Hamilton原理是一种描述系统动力学的假设，指出物体在坐标系中的行为是满足某种动量守恒定律的。
一般来说，这种定律表明：在某一时刻，物体的动量（动量矢量）总是保持不变，自由系统中的力与动量总是成正比。
动量定律表明，物体在坐标系中运动时，它们的全部运动只能由力和动量所决定，并且不应该有任何其它力量的发挥作用。
Hamilton原理还提供了一种从物理系统的能量到力的理解的桥梁。
通过它，我们可以用物理系统的能量来解释系统中的力，而不用去考虑力的来源。
它使我们能够简单地从能量对物体行为和动力学系统的性质做出准确的推断。
Hamilton原理在物理学和数学领域都有着广泛的应用，它已经成为一种重要的定理。
它可以用来描述物理系统的绝对性质，以及描述它们的运动规律。
Hamilton原理进一步定义了力学原理中的概念，如动量和能量。
它还被用来解释许多物理现象，如电磁场、轨道动力学、量子力学等。
Hamilton原理的最重要的作用是它可以用来描述物体在一维力学系统中的行为，同时也可以用来模拟复杂的多体系统。
比如，它可以用来描述空气动力学中飞机滑翔时的运动，以及电磁学中电磁场的性质和电磁波传播的特性。
它还可以用来模拟弹性力学系统中的结构性与弹性的运动，以及量子力学中的原子的行为。
Hamilton原理的重要性无可置疑，它是物理学、力学和数学研究中的一个重要的定理。
它被广泛应用于许多物理实验中，并且作为连续力学系统研究的基础理论。
它可以提供准确的预测，从而为人类技术的发展提供可靠的基础。
一类带阻尼项的二阶Hamilton系统的多重周期解
，
ｔ ｅ ［ ｏ ，
７ 叩： ７ ： ＝ ： — — 面 一 八 ）
定理 ４ 设Ｆ满足（ ２ ） 式， ０ ７ ． Ｎ， 设存在， ， ｇ∈ Ｌ （ ０ ， ； Ｒ＋ ） ， 使得
ｌ Ｖ Ｆ （ ｔ ， ） Ｉ ｆ （ ｔ ） Ｉ ｘ ｌ ａ ＋９ （ ｔ ） ，
对所有ｚ∈ Ｒ 和ｎ ＿ ｅ ． ｔ ∈【 ０ ， 成立． ＲＥ 满足（ ２ ） 式， ０ ７ ’ Ｎ， 且
１
ｌ ｚｌ － ＋ ｚ ￣ ｌ ａ ｌ
对所有 ∈ｓ ｐ ｎ｛ ａ ｅ ｒ ＋ ｌ ， ｅ ｒ ＋ ２ ， … ， ｅ ｌ ｖ ｝ ￣ａ ． ｅ ． ｔ ∈【 ０ ， Ｔ Ｉ 成立． 则系统（ １ ） 在ｓ ｏ ｂ ｏ ｌ ｅ ｖ 空间 中
准 基．
当（ ２ ） 式中 ０ ｒ Ｎ 时， 称位势函数 Ｆ（ ｔ ， ｚ ） 是部分周期的．
文献…在具有部分周期位势和有界非线性项时， 得到了以下定理： 定理 １ 设存在ｇ∈Ｌ （ ０ ， ； Ｒ＋ ） ， 使得
Ｗ Ｆ （ ｔ ， ｚ ） ｌ ≤夕 （ ｔ ） ，
收稿 日期：２ ０ １ ３ － ０ ４ － ０ ８
至少有ｒ ＋１ 个不 同的周期解． ‘
２ ０ １ １ 年， Ｚ ｈ ｎｇ ａ Ｘ ｉ ｎ ｇ ｙ ｏ ｎ ｇ 和Ｔ ａ ｎ ｇ Ｘ ｉ ａ ｎ ｈ ｕ ａ ￣文【 ３ 】 中得到以下结果： 定理 ３ 设存在， ， ｇ∈Ｌ （ ０ ， Ｔ； Ｒ＋ ） 及０ ｏ ｃ ＜ｌ ， 使得
第 ４ ６ 卷 第 ３ 期
２ ０ １ ３ 年 ９ 月
数 学 研 究
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎａ ｌ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ｓ ｔ ｕ ｄ ｙ
线性二阶Hamilton系统的指标理论
以上 研 究情 形 都 是 在 Ｄ ｒｈｅ 边 值 条 件 下 ， ｉ ｌｔ ｃ 但 在实 际 问题 中也存 在着 Ｎｅ ｍａ ｎ边值 ｕ ｎ
ｚ （ ）一 ０一 ｚ （ ） ０ １ （） ６
在 Ｄ ｒｈｅ 边 值条 件 ｉ ｌ ｃ ｔ
ｚ（ ）一 ０ 一 ｚ（ ） ０ １ （） ２
数． 其基 本 理 论 依 据是 建 立 系 统 （ ） 对应 的线 性 １所
二 阶 Ｈａ ｌ ｎ系统 ｍｉ ｏ ｔ
＋ Ａ（） 一 ０ ｔｘ （） ３
１ 指 标 理 论
对 ＶＡ ， ∈ Ｇ Ｒ ） 若 Ａ Ａ Ｌ （ ， 一Ａ 正定 ， 半 则
记 Ａ ≤ Ａ ； Ａ 若 一 Ａ１ 定 ， 记 Ａ 正 则 ＜ Ａ２ 对 ．
第２ ４卷 第 ２ 期
２１ ０ ０年 ３月
山 东 理 工 大 学 学 报（ 然 科 学 版） 自
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＳ ａ ｄ ｎ ｉ ｅ ｓｔ ｆＴｅ ｈ ｏ ｏ ｙ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｉｉ ｎ ｏ ｒ ａ ｈ ｎ ｏ ｇ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｏ ｃ ｎ ｌ ｇ （ ｔ ｒ ｌＳ ｉｎ ｅ Ｅｄ ｔ ） ｏ ｙ ｏ
（） ４
的指 标理论 ， 中 Ａ（）∈ Ｌ 。 （ ，） Ｇ Ｒ ） ． 其 ｆ 。（Ｏ １ ； Ｌ （ ） 岳 静 和 卜 玉成嘲 进 一步 讨论 了系 统
＋ Ｃ ＋ Ｖ ￡ ｚ） 一 ０ ｘ （，
Ｖ ， ∈ Ｌ 。 （ ，） Ｇ Ｒ” ）若 对 ａ ｅｔ （ ， Ａ２ Ａ１ 。（ Ｏ １ ； Ｌ （ ） ， ． ． ∈ Ｏ
Ｖｏ． ４ Ｎｏ ２ １２ ．
Ｍ ａ ． ２Ｏ１ ｒ Ｏ
文 章编号 ：６ ２ ６ ９ （ ０ ０ ０ — ０ １ ０ １７ — １ ７２１ ）２ ０ ４— ３
第一章 Hamilton系统
力学 原理
变分 原理
积分原理
1.2 各力学体系间的关系
1.2.1 各力学体系第一性原理
力学第一性原理也称作力学最高原理，是指力学中最基本最普遍的 规律，它是在人类反复实践与深入认识自然界客观规律的过程中建立起 来的。原理本身是不需要数学推证的，它的正确性可通过由它推导出的 定理和方程对某一自然现象的预测与实际观测的比较来得到证实。对一 门学科来说，原理具有高度概括性，学科中的所有定理及方程都可以由 它推演出来，因此它对一门学科的所有命题起到了统一的作用。可以说 一门学科的系统性与严密性，及其对客观世界反映的深入程度，可从该 学科的基本原理的普遍性与概括深度来说明。 不变分 原理 微分原理 如牛顿第二定律、达朗贝尔原理等
dP d 2r F m 2 ma dt dt
由牛顿第二定律的表达式我们可以看出其具有以下两个明显的特点： （1）该定律着重讨论质点在力作用下所获得的加速度或在几何空间的 运动轨迹，这使得以此为基础的整个牛顿力学具有较强的直观性，但同 时也使得牛顿力学的应用具有很大的局限性，只能用于解决纯力学领域 的问题。 （2）该定律是着眼于单需要解算的独立方程个数也越多，这便是牛顿力学 运算较复杂的原因。
经典 力学
分析 力学
分析力学是Lagrange等人于十八世纪在牛顿力学 基础上建立的经典力学的一个体系，因为所用的 方法完全是数学分析，故称之为分析力学。它以 达朗贝尔原理和Hamilton原理为基础，分析质量 和物体的能量情况，由此探讨物体机械运动规律。 分析力学中涉及的量多数是标量，如动能、势能、 拉格朗日函数、Hamilton函数等，动能和势能是 其中最关键的量。分析力学的体系和方法不局限 于力学领域，对于物理学的其他领域也非常有用， 其原因是它将物理规律抽象为数学原理，揭示了 物理规律背后更普遍的性质。
一类二阶hamilton系统周期解的存在性结论
一类二阶hamilton系统周期解的存在性结论一类二阶Hamiltos系统是一科学研究的重要领域，其在物理、化学、生物、地球物理等多个领域具有广泛的应用。
它的研究重点在于推导出Hamilton系统的周期解。
近几十年，科学家们利用多种理论与方法，论证出一类二阶Hamiltos系统的周期解的存在性结论。
传统上，一类二阶Hamiltos系统论证过程分三步：给定方程中参数、变量的范围；利用数学分步法求解Hamilton系统的变量微分方程；通过对求解)(和微分方程步骤之间构造出利尔贝格等价恒定，并利用变量范围确定利尔贝格等式解集的完整性，从而论证出周期解存在性结论。
虽然这一方法完整存在，但其内容繁复，理论推导容易出现误差，很多时候无法获得满意的结果。
为了改进这种方法，一些科学家们从几何角度出发，提出了新的论证方法：利用反应力学把一类二阶Hamiltos系统表示为力学系统，并利用变量锥体分解方法，将问题转换为一系列的单个的三体问题，利用Moulton同步惯性理论推导出该三体系统的周期运行解。
接着，借助小步根，可以将三体系统的周期运行简化为状态线的运行过程，从而获得一类二阶Hamiltos系统的周期解的存在性结论。
此外，也有一些科学家利用拉格朗日方法证明了一类二阶Hamiltos系统周期解存在性结论。
在这种方法中，首先，用拉格朗日方法，将一类双摆系统的微分方程转化为Lagrange最优值问题，然后对对应的最优解进行Mather时间技术变换，在变换后的拉格朗日数的正确表达式上证明了一类二阶Hamiltos系统的周期解的存在性结论。
综上所述，已有许多关于一类二阶Hamiltos系统周期解存在性结论的结论，多种理论与方法均可对一类二阶Hamiltos系统论证其周期解存在性结论，从而为实际应用提供理论依据。
具变号位势的二阶离散哈密顿系统的周期解
其 中
聊 ＝ ｄａ ｛ Ｂ， ， ｉｇ Ｂ， … 曰｝，
２
—
Ｐ Ｓ 条件成 立 ， ．． 为利 用 山路 引 理 来 证 明该 定 理 ， 只 须验证 山路 引理 的两个 条件 。
—１ ２ —ｌ
０ —１ ２
０ ０ ０
：
（） 在 ， （ ） ｒ ０ 得 存 。Ｅ０ 及 使 ， ＞
ｖｘ （ ）≤ ０ Ｉ Ｙｘ∈ Ｒ ， ｌ ｒ ３ ， ｌ Ⅳ Ｉ ≤ １，
１ 主要结果
本 文考 虑二 阶离散 Ｈ ｍ ｌ ｎ系 统 ａ ｉｏ ｔ Ａ １＋Ａ（ ） ・ ＋ｂ ｎ Ｖ ｘ ＝０ （ ） ｎｘ （ ） （） １
第 １ 卷 第 １ 期’２ １ 年 ６ ０ ６ ００ 月
科
学
技
术
与
工
程
Ｖ Ｌ １ Ｎｏ １ Ｊ ｎ ０ ０ ０ ０ ．６ ｕ ｅ２ １
Ｓ ｉｎｃ ｃ ｏｏ ｙ ａ ｄ Ｅｎ ｉ ｅ ｒｎ ｃ ｅ ｅ Ｔｅ ｈｎ ｌｇ ｎ ｇ ｎ ｅ ｉｇ
＠
２ １ ＳｉＴ ｃ． ｎｎ ． ０ ０ ｃ ｅｈ Ｅ ｇｇ ．
・ 表 示 向量 或 矩 阵 的 转 置 。 显 然 ，ｌ ｌ ＝ ． ｒ Ｉ Ｉ
ｆｘ ， Ｌ 而且 （ ＜ ， ＞ 与 Ｒ Ｉ Ｅ ・・ ） 是线性同胚的。
在 Ｅ 上 定义泛 函 Ｆ为
［ 【
一 】 ’ 一 ≥ Ｉ 口 Ｉ Ｉ 。 一Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ ＋ （ 一 】 Ｉ一 口Ｉ 口 ， ） 以（ 界 证 。 ， 有 。 毕 所
具 变 号位 势 的 二 阶离 散哈 密顿 系统 的 周 期解
邓 小青
（ 湖南商学院信 息学 院， 长沙 ４ ００ ） １２５
哈密尔顿原理
哈密尔顿原理哈密尔顿原理（Hamilton's principle）是一种非常重要的物理学原理，它是发展动力学的重要基础。
哈密尔顿原理是由物理学家William Rowan Hamilton在19世纪中期提出的。
哈密尔顿原理可以用来推导物理系统的运动方程，它的推导方法非常简单，只需要将系统的Lagrangian（拉格朗日量）代入到哈密尔顿原理中就可以得到系统的运动方程。
哈密尔顿原理的表述为：对于一个运动的系统，它的运动路径（或轨迹）是那条能够使系统在规定的时间间隔内得到最小的作用量（Action）的路径。
所谓的作用量，可以简单理解为整个系统在运动过程中所需要完成的活动量。
哈密尔顿原理告诉我们，整个系统的运动路径实际上是一个具有最小作用量的路径。
这个最小作用量，实际上就是系统的Lagrangian乘以运动时间的积分。
我们可以用拉格朗日函数的形式表示系统的运动情况：L(x,v) = K - V = 1/2 * m * v^2 - U(x)其中，K是动能，V是势能。
根据哈密尔顿原理，我们可以得出系统的最小作用量如下：S = ∫ L(x,v) dt因此，我们只需要计算L(x,v)在整个运动周期内的积分，就可以得到系统的最小作用量，从而得到系统的运动路径（或轨迹）。
在具体的计算过程中，我们需要用到哈密尔顿原理的另外一个重要工具——变分（Variation）。
变分运算表示对于一个函数f(x)，它的变分是指对这个函数在无穷小的变化下的导数。
我们可以将变分形式变换为微分形式，从而得到：δS = ∫ [∂L/∂x * δx + ∂L/∂v * δv] dt其中，δx和δv表示系统的微小偏移。
在利用哈密尔顿原理进行系统运动方程的计算过程中，我们需要将变量x和v代入到L(x,v)中，并且对变化量δx和δv进行求导。
最后我们可以利用欧拉-拉格朗日方程通过对哈密尔顿原理的求导来推导出系统的运动方程：d/dt (∂L/∂v) - (∂L/∂x) = 0这个方程叫做运动方程，它描述了系统在动力学过程中所受到的物理作用和动力响应的关系。
次二次哈密尔顿系统周期解的存在性问题
题 Ｊ ， 其 中的 Ｈ ａ ｍ ｉ ｌ ｔ ｏ ｎ系 统 函 数 （ ｚ ） 是 超 二 次 的， 即 当 一 ＋。 。 时 日（ ） 的增 长速 度超 过 ． 我们 知道 有 好 多 诸 如 系统 （ １ ） 的 周 期 解 的研 究 情况 ， 包括 存在 性 和 多重 性 等 情 况． 本 文 将 讨论 周 期为 的 系统 （ １ ． １ ） 的周期 解 ， 且 日（ ｔ ， ） 是 次 二
度．
次的 ， 即当 一 ＋∞时 日（ ｚ ） 的增长速度慢于 ｌ ｚ 文献 ［ ３—９ ］ 讨 论 了次 二次 Ｈ ａ ｍ ｉ ｌ ｔ ｏ ｎ系统 周 期 解 的 情况． 文献 ［ ３ ］ 中的 Ｈ ａ ｍ ｉ ｌ ｔ ｏ ｎ系统 Ｈ（ ｔ ， ） 和 文 献
［ ４ ］ 中的 日（ ） 需要 满足 凸 的条件 ． 文献 ［ ７ ］ 和［ １ ０ ］
献［ ８ ］ 和［ ９ ］中 ， 黑塞 矩 阵 （ ｔ ， ） 是 有界 的 ．
文献 ［ １ ］利用 极 大 极 小 值 原理 证 明 了超 二 次
的周期 解 的方 法 ． 更 多地 ， 在 文献 ［ ２ ］ 中 讨 论 了 自 制 Ｈ ａ ｍｉ ｌ ｔ ｏ ｎ系 统 周 期 解 的 两 种 情 形 ， 即 固 定 能 量
自制 Ｈ ａ ｍ ｉ ｈ ｏ ｎ系统 周期解 的存在 性 ． 本文中， 我们
要求 Ｈ（ ｔ ， ） 是 可微 的且 满 足别 的条 件 ，则可 以利
和固定 周期 的情 况． 继 Ｒ ａ ｂ ｉ ｎ ｏ ｗ ｉ ｔ ｚ 的研 究成 果之 后， 许 多数 学家讨论 了 Ｈ ａ ｍ ｉ ｌ ｔ ｏ ｎ系统周期解 的问
Ｖ ｏ １ ． ３ １ Ｎ 。 ． ５
Ｏ ｃ ｔ ． ２ ０ １ ５
临界点定理及其在二阶Hamilton系统上的应用
临界点定理及其在二阶Hamilton系统上的应用本文主要研究了两类二阶非自治Hamilton系统的周期解问题.第一类研究新的超二次条件下的Hamilton系统,利用环绕定理和喷泉定理分别证明了此系统周期解的存在性和多重性.第二类主要研究新的次线性条件有障碍物的碰撞Hamilton系统,为了证明在新的次线性条件下该系统的非平凡周期碰撞解的多重性,我们先证明了一个推广的非光滑鞍点定理.本文总共分为四章:第一章,简要介绍Hamilton系统的研究背景,研究现状以及本文将如何推广前人的工作;第二章,介绍本文需要的基础知识,并证明一个推广的非光滑鞍点定理;第三章,给出超二次二阶Hamilton系统的周期解的存在性和多重性定理的证明.第四章,给出有障碍物的二阶碰撞Hamilton系统的周期碰撞解的多重性定理的证明.。
二阶Hamilton系统同宿轨的存在性与多解性的开题报告
二阶Hamilton系统同宿轨的存在性与多解性的开题报告摘要：本文主要研究二阶Hamilton系统同宿轨的存在性和多解性问题。
首先介绍了Hamilton系统的基本概念和宿轨的定义，然后分析了二阶Hamilton系统中同宿轨存在的条件和判别方法，包括利用Lagrange恒等式和偏微分方程的方法。
接着，研究了同一Hamilton系统中存在多个宿轨的情况，分析了其存在的原因和影响。
最后，通过实例说明了本文所述理论的应用和实际意义。
关键词：Hamilton系统，宿轨，同宿轨，多解性1. 引言Hamilton系统是指由Hamilton函数所定义的力学系统，它是一种特殊的动力学系统，具有很多独特的性质。
其中，宿轨是指在Hamilton系统中保持不变的特殊轨迹，它是Hamilton系统理论中的基本概念。
同宿轨是指在两个不同的Hamilton系统中存在相同的宿轨，是Hamilton系统理论中的重要问题之一。
对于二阶Hamilton系统，同宿轨的存在性和多解性是一个值得研究的问题，它不仅涉及到理论上的探讨，而且具有实际应用价值。
2. Hamilton系统与宿轨在Hamilton系统中，系统的状态可以用广义坐标q和广义动量p表示，其Hamilton函数为H(q,p)。
Hamilton系统的运动方程为：dq/dt = ∂H/∂p,dp/dt = -∂H/∂q宿轨是指在Hamilton系统中保持不变的特殊轨迹，即在Hamilton系统的运动中，系统的状态在宿轨上。
3. 同宿轨的存在性对于两个不同的Hamilton系统，它们存在同宿轨的条件是：它们的两个Hamilton函数H1(q,p)和H2(q,p)必须满足下列条件：1）H1(q,p)和H2(q,p)的定义域必须相同；2）H1(q,p)和H2(q,p)的共振关系必须相同；3）H1(q,p)和H2(q,p)的分析形式必须相同。
利用Lagrange恒等式和偏微分方程的方法可以判定两个Hamilton函数是否具有相同的共振关系和分析形式。
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对所 有 的 ∈ Ｒ 和 ａ ． ｅ ．￡∈ ［ ０ ， Ｔ ］成 立 ， 并 且
（ Ｈ ） ： 存 在 ∈ Ｌ （ ０ ， ； Ｒ ）满 足 （ ｔ ）≤ 对
收稿 ｉ ｔ ｊ ９ ］ ： ２ ０ １ １— ０ ６—２ ８ 基 金项 目： 中央 高 校 基 本 科 研 业务 费 专项 基 金 （ ｘＤ Ｊ Ｋ ２ ０ １ ２ １ ） ０ ０ ３ ） 资助项 日
ｌ ｉ ｕ ｐ
－ ． ０ ｌ Ｉ
五 （ ｔ ）＋ｂ （ ｔ ） Ｖ Ｖ （ ／ Ｚ （ ｔ ） ）＝０ ，ａ ． ｅ ． ｔ∈［ ０ ， Ｔ ］ ， ｕ （ Ｏ ）一 （ ）＝ 五 （ Ｏ ）一五 （ Ｔ ） ＝０， （ １ ） 其中， Ｔ＞ ０ ， ｂ∈Ｃ（ ０ ， ； Ｒ） 和 Ｖ∈Ｃ （ Ｒ ， Ｒ） ．当 ｂ 改变 符号 时 ， 许 多学 者 研究 了 问题 （ １ ） 的周 期 解 的 存在性 ＿ １ ． 文献 ［ １ ］ 考 虑 了以下情 况
２ 主 要 结 果 的 证 明
定义 Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 空间 ＝｛ ｕ ： ［ ０， Ｔ ］ 一Ｒ ｌ 绝 对 连续 ， ２ （ ｏ ）＝ｕ （ ） 且 五∈ （ ０ ， Ｔ ； Ｒ ） ｝ ， 规定 其 范 数为
［ ０ ， Ｔ ］ × Ｒ 一Ｒ， （ ｔ ， ） 对每个 ∈ Ｒ 关于 ｔ 可 测， 对ａ ． ｅ ． ｔ ∈［ ０ ， Ｔ ］ 关 于 是 连 续 可微 的．假 设
ｒ
≤了 １ （ ￡ ）
２ 、～
，
对ａ ． ｅ ． ｔ ∈［ ０ ， Ｔ ］ 一致 成立 ， 则 问题 （ ３ ） 至少有一个
非零解 ．
注 １ 定理 １ 推广了文献［ ２ ］ 中定理 ２的存在 函数 （ ｔ ， ） 满 足定 理 １ 而 不适合 文献 ［ ２ ］ 中定 理 ２
Ｍａ ｙ， ２０１ ３ Ｖｏ １ ． ３ ６ Ｎｏ． ３
具有变号位势 的二阶 Ｈ ａ ｍ ｉ ｌ ｔ ｏ ｎ系统 周期解的存在性定理
叶 一蔚
（ 西南大学 数学 与统计学 院， 重庆 ４ ０ ０ ７ １ ５ ）
摘要 ： Ｈ ａ ｍ ｉ ｌ ｔ ｏ ｎ系统是 动力系统 的特 例 ， Ｈａ ｍ ｉ ｌ ｔ ｏ ｎ系统 的研究对 气体 力学 、 流体 力学 、 相对论 力学和核 物理等学科起着重要作 用． 研究具有变号位势的非 自治二阶 Ｈ ａ ｍ ｉ ｌ ｔ ｏ ｎ系统 五 （ ｆ ）＋ｂ （ ｔ ） ７ Ｖ （ （ ｔ ） ）＝０ ， ａ ． ｅ ．
、
，
【 Ｉ Ｉ
，
Ｉ ｌ＞ １。
在文献［ １ ］ 的基础上， 文献 ［ ２ ］ 作 了推广 （ 详见 文献 ［ ２ ］ 的定 理 ２ ） ． 受文献［ ２—３ ］ 的启 发 ， 本 文 将 文献 ［ ２ ］ 中定 理 ２的条 件 （ ７） 减弱 ， 用 广 义 山路 引 理得 到 了与定理 ２相 同的结 论．
２ ０ １ ３年 ５月 第３ ６卷 第 ３期
四川 师 范 大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ） Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｉ ｃ ｈ ｕ ａ ｎ Ｎ ｏ ｒ ｍ ａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
：
（ Ｈ ） ｆ Ｈ （ ｔ ， ） ｄ ｔ ≥０ 对所有的 ∈Ｒ 成立， （ Ｈ ）
Ｊ ０
Ｉ Ｉ Ｍ Ｉ Ｉ ：（ ｆ Ｉ （ ） ｌ ｄ ＋ｆ Ｉ 五 （ ￡ ） Ｉ ｄ ｆ ） ｝ ．
对 于 ｕ∈Ｈ ， 令
：
存在 ｇ ∈￡ （ ０ ， ； Ｒ＋ ）使 得 Ｉ Ｖ 日（ ｔ ， ）ｔ ≤ｇ （ ｔ ）
ｔ ∈［ ０， Ｔ ］ 在满 足边界条件 Ｍ （ ０ ）一 （ Ｔ ）＝ （ ０ ）一 （ Ｔ ）＝０ 下周期解 的存 在性 ， 其 中， Ｔ＞０ ， ｂ∈ｃ （ ０ ， ； Ｒ）
，
ｒ
满足 ｂ ≠０ ， Ｉ ｂ （ ￡ ） ｄ ｔ ＝０ 并且 Ｖ∈Ｃ （ Ｒ ， Ｒ ） ． 利用 Ｒ ａ ｂ ｉ ｎ ｏ ｗ ｉ ｔ ｚ 的广义山路引理 ， 证明了系统至少存在一个
Ｊ ０
非平凡的解 ， 推广 了一些文献的结论． 关键词 ： 周期解 ；二阶 Ｈ ａ ｍ ｉ ｌ ｔ ｏ ｎ系统 ； 广义 山路引理 ； Ｓ ｏ ｂ ｏ ｌ ｅ ｖ 不等式 ； Ｗｉ ￣ ｉ ｎ ｇ ｅ ｒ 不等式
中图分类号 ： Ｏ １ ７ ６ ． ３ 文献标志码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ｌ 一 ８ ３ ９ ５ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３— ０ ３ ３ ７—０ ５
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ １— ８ ３ ９ ５ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ３ ． ０ ０ ５
１ 引言 及 主 要 结 论
考 虑二 阶 Ｈ ａ ｍ ｉ ｌ ｔ ｏ ｎ系统
ａ ． ｅ ． ｔ ∈［ ０ ， Ｔ ］ 成立 ， 且 ｍ｛ ｔ ∈［ ０ ， Ｔ ］ ： （ ｔ ）＜ ｃ ． ｏ ｝ ＞ ０ ， 使得
的结ｂ≠ ０ ，
Ｊ Ｏ
（ ２ ）
并且 （ ）＝ ａ ｌ ｆ ＋ （ ） ， 其中 ， ａ＞０ ， ｔ ｚ＞２和
∈Ｃ 。 （ Ｒ ， Ｒ） ．
Ｈ （ ｆ ）＝｛２ 『 ｆ 。’ Ｉ ≤１ ， ｌ ’
定理 １ 设 ｂ∈Ｃ （ ０ ， ； Ｒ） 满 足条 件 （ ２ ） ， 并 且
其 中， ∈ Ｌ （ ０ ， ； Ｒ ） 满 足 （ ｔ ） ≤ 对ａ ． ｅ ． ｔ ∈
［ ０ ， Ｔ ］ 成立 ， 且 ｍ｛ ｔ ∈［ ０ ， Ｔ ］ ： （ ｔ ）＜ ｝ ＞ ０ ．