广西届中考数学专题复习题型六三角形四边形的证明与计算含解析0922282【含答案】

题型（六） 三角形、四边形的证明与计算1.（2017张掖）如图，矩形ABCD 中，AB=6，BC=4，过对角线BD 中点O 的直线分别交AB ，CD 边于点E ，F ． （1）求证：四边形BEDF 是平行四边形； （2）当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长．解：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点， ∴∠A=90°，AD=BC=4，AB ∥DC ，OB=OD ， ∴∠OBE=∠ODF ，在△BOE 和△DOF 中，，∴△BOE ≌△DOF （ASA ）， ∴EO=FO ，∴四边形BEDF 是平行四边形；（2）当四边形BEDF 是菱形时，BE ⊥EF ， 设BE=x ，则 DE=x ，AE=6﹣x ， 在Rt △ADE 中，DE 2=AD 2+AE 2， ∴x 2=42+（6﹣x ）2，解得：x=，∵BD==2，∴OB=BD=，∵BD ⊥EF ，∴EO==，∴EF=2EO=．2.（2017眉山）25．(9分)如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，连结DE ，过顶点B 作BF ⊥DE ，垂足为F ，BF 分别交AC 于H ，交BC 于G ． ⑴求证：BG ＝DE ；⑵若点G 为CD 的中点，求HGGF 的值．【解答】解：（1）∵BF ⊥DE ， ∴∠GFD=90°，∵∠BCG=90°，∠BGC=∠DGF ， ∴∠CBG=∠CDE ， 在△BCG 与△DCE 中，∴△BCG ≌△DCE （ASA ）.∴BG=DE. （2）设CG=1， ∵G 为CD 的中点， ∴GD=CG=1，由（1）可知：△BCG ≌△DCE （ASA ）， ∴CG=CE=1，∴由勾股定理可知：DE=BG=，∵sin ∠CDE==，∴GF=，∵AB ∥CG ， ∴△ABH ∽△CGH ，∴=， ∴BH=，GH=，∴=3.（2017宁夏） 在C ∆AB 中，M 是C A 边上的一点，连接BM ．将C ∆AB 沿C A 翻折，使点B 落在点D 处，当D //M AB 时，求证：四边形D ABM 是菱形．B ADFG HC E【解答】证明：∵AB∥DM，∴∠BAM=∠AMD，∵△ADC是由△ABC翻折得到，∴∠CAB=∠CAD，AB=AD，BM=DM，∴∠DAM=∠AMD，∴DA=DM=AB=BM，∴四边形ABMD是菱形.4.（2017安顺）如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给△ABC添加什么条件，为什么？（1）证明：∵E是AC中点，∴EC=AC．∵DB=AC，∴DB∥EC．又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．（2）添加AB=BC．（ 5分）理由：∵DB AE，∴四边形DBEA是平行四边形．5.（2017毕节）如图，在▱ABCD中过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．（1）求证：△ABF∽△BEC；（2）若AD=5，AB=8，sinD=，求AF的长．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质；T7：解直角三角形．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，得出∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，证出∠C=∠AFB，即可得出结论；（2）由勾股定理求出BE，由三角函数求出AE，再由相似三角形的性质求出AF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，∵∠AFB+∠AFE=180°，∴∠C=∠AFB，∴△ABF∽△BEC；（2）∵AE⊥DC，AB∥DC，∴∠AED=∠BAE=90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理得：BE===4，在Rt△ADE中，AE=AD•sinD=5×=4，∵BC=AD=5，由（1）得：△ABF∽△BEC，∴，即，解得：AF=2．6.（2017荆州）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．（1）求证：△ACD≌△EDC；（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，∴AD=EC，在△ACD和△EDC中，，∴△ACD≌△EDC（SAS）；（2）△BDE是等腰三角形；理由如下：∵AC=BD，DE=AC，∴BD=DE.∴△BDE是等腰三角形．7.（2017泰安）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．【考点】S9：相似三角形的判定与性质．【分析】（1）直接利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出∠BDC=∠PDC；（2）首先过点C作CM⊥PD于点M，进而得出△CPM∽△APD，求出EC的长即可得出答案．【解答】（1）证明：∵AB=AD，AC平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD+∠BDC=90°，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ADC+∠BDC=90°，∴∠BDC=∠PDC；（2）解：过点C作CM⊥PD于点M，∵∠BDC=∠PDC，∴CE=CM，∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，∴△CPM∽△APD，∴=，设CM=CE=x，∵CE：CP=2：3，∴PC=x，∵AB=AD=AC=1，∴=，解得：x=，故AE=1﹣=．8.（2017日照）如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即AD=BC（答案不唯一），可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．【考点】LC：矩形的判定；KD：全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由SSS证明△DCA≌△EAC即可；（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，再由全等三角形的性质得出∠D=90°，即可得出结论．【解答】（1）证明：在△DCA和△EAC中，，∴△DCA≌△EAC（SSS）；（2）添加AD=BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下：∵AB=DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE⊥AE，∴∠E=90°，由（1）得：△DCA≌△EAC，∴∠D=∠E=90°，∴四边形ABCD为矩形；故答案为：AD=BC（答案不唯一）．9.（2017广安）如图，四边形ABCD 是正方形，E 、F 分别是了AB 、AD 上的一点，且BF ⊥CE ，垂足为G ，求证：AF=BE ．【考点】LE ：正方形的性质；KD ：全等三角形的判定与性质．【分析】直接利用已知得出∠BCE=∠ABF ，进而利用全等三角形的判定与性质得出AF=BE ． 【解答】证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=BC ，∠A=∠CBE=90°， ∵BF ⊥CE ，∴∠BCE+∠CBG=90°， ∵∠ABF+∠CBG=90°， ∴∠BCE=∠ABF ， 在△BCE 和△ABF 中，∴△BCE ≌△ABF （ASA ）， ∴BE=AF ．10.（2017·大连）如图，在□ABCD 中，AC BE ⊥，垂足E 在CA 的延长线上，AC DF ⊥，垂足F 在AC 的延长线上.求证：CF AE =.11.（2017随州）如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等．（1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1所示的图形，AF 经过点C ，连接DE 交AF 于点M ，观察发现：点M 是DE 的中点． 下面是两位学生有代表性的证明思路： 思路１：不需作辅助线，直接证三角形全等； 思路2：不证三角形全等，连接BD 交AF 于点H ．、 ……请参考上面的思路，证明点M 是DE 的中点（只需用一种方法证明）；（2）如图2，在（1）的条件下，当135ABE ∠=︒时，延长AD 、EF 交于点N ，求AMNE的值；（3）在（2）的条件下，若AF k AB =（k ，直接用含k 的代数式表示AMMF的值．12.（2017武汉）已知四边形ABCD 的一组对边AD 、BC 的延长线交于点E (1) 如图1，若∠ABC ＝∠ADC ＝90°，求证：ED ·EA ＝EC ·EB(2) 如图2，若∠ABC ＝120°，cos ∠ADC ＝53，CD ＝5，AB ＝12，△CDE 的面积为6，求四边形ABCD 的面积(3) 如图3，另一组对边AB 、DC 的延长线相交于点F ．若cos ∠ABC ＝cos ∠ADC ＝53，CD ＝5，CF ＝ED ＝n ，直接写出AD 的长（用含n 的式子表示）13.（2017乐山）在四边形ABCD 中，︒=∠+∠180D B ，对角线AC 平分BAD ∠.（1）如图11.1，若︒=∠120DAB ，且︒=∠90B ，试探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由. （2）如图11.2，若将（1）中的条件“︒=∠90B ”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由. （3）如图11.3，若︒=∠90DAB ，探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由解：（1）AB AD AC +=.证明如下：在四边形ABCD 中，︒=∠+∠180B D ，︒=∠90B ， ∴︒=∠90D .︒=∠120DAB ，AC 平分DAB ∠, ∴60=∠=∠BAC DAC ,︒=∠90B ,∴AC AB 21=,同理AC AD 21=.∴AB AD AC +=.……………………………(4分)（2）（1）中的结论成立，理由如下： 以C 为顶点，AC 为一边作60=∠ACE ，ACE ∠的另一边交AB 延长线于点E ,60=∠BAC ,∴AEC ∆为等边三角形，∴CE AE AC ==，︒=∠+∠180B D ,︒=∠120DAB ,∴ 60=∠DCB ,∴BEC DAC ∆≅∆,∴BE AD =,∴AB AD AC +=.……………………………………(8分)A CDCBAD CB ADCA（3）AC AB AD 2=+.理由如下：过点C 作AC CE ⊥交AB 的延长线于点E ， ︒=∠+∠180B D ,︒=∠90DAB ,∴ 90=DCB ,90=∠ACE ,∴BCE DCA ∠=∠,又AC 平分DAB ∠，∴ 45=∠CAB ,∴45=∠E . ∴CE AC =.又︒=∠+∠180B D ，CBE D ∠=∠,∴CBE CDA ∆≅∆,∴BE AD =,∴AE AB AD =+.在ACE Rt ∆中，45=∠CAB ,∴AC cos ACAE 245==, ∴AC AB AD 2=+. ……………………………………(12分)14.（2017浙江宁波第24题）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将矩形ABCD 的四边BA 、CB 、DC 、AD 分别延长至E 、F 、G 、H ，使得AE CG =，BF DH =，连接EF ，FG ，GH ，HE .(1) 求证：四边形EFGH 为平行四边形；(2) 若矩形ABCD 是边长为1的正方形，且45FEB =∠°，tan 2AEH =∠，求AE 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）2 【解析】试题分析：（1）易证AH=CF ，结合已知条件由勾股定理可得EH=FG ，同理可得EF=GH ，从而得证. （2）设AE=x ，则BE=x+1，由45FEB =∠°可得DH=x+1，AH=x+2,由tan 2AEH =∠可求出结果. 试题分析：（1）在矩形ABCD 中，AD=BC ，∠BAD=∠BCD=90°C又∵BF=DH∴AD+DH=BC+BF即AH=CF在RtΔAEH中，在RtΔCF G中，∵AE=CG∴EH=FG同理得：EF=HG∴四边形EFGH为平行四边形．（2）在正方形ABCD中，AB=AD=1设AE=x,则BE=x+1∵在RtΔBEF中，45∠°FEB=∴BE=BF∵BF=DH∴DH=BE=x+1∴AH=AD+DH=x+2∵tan2AEH=∠∴AH=2AE∴2+x=2x∴x=2即AE=2考点：1.矩形的性质；2.平行四边形的判定；3.正方形的性质；4.解直角三角形.15.（2017甘肃庆阳第26题）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．【答案】(1)证明见解析.（2）3． 【解析】试题分析：（1）根据平行四边形ABCD 的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA ），得出四边形BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在Rt△ADE 中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE ，由勾股定理求出BD ，得出OB ，再由勾股定理求出EO ，即可得出EF 的长．（2）当四边形BEDF 是菱形时，BE⊥EF， 设BE=x ，则 DE=x ，AE=6﹣x ， 在Rt△ADE 中，DE 2=AD 2+AE 2， ∴x 2=42+（6﹣x ）2，解得：x=3，=∴OB=12∵BD⊥EF，3=． 考点：矩形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的性质．16.已知，在Rt ABC ∆中，90,4,2,ACB AC BC D ∠===是AC 边上的一个动点，将ABD ∆沿BD 所在直线折叠，使点A 落在点P 处.（1）如图1，若点D 是AC 中点，连接PC . ①写出,BP BD 的长；②求证：四边形BCPD 是平行四边形. （2）如图2，若BD AD =，过点P 作PH BC ⊥交BC 的延长线于点H ，求PH 的长.【答案】（1）①BD=（2）45． 【解析】试题分析：（1）①分别在Rt△ABC，Rt△BDC 中，求出AB 、BD 即可解决问题； ②想办法证明DP∥BC，DP=BC 即可；（2）如图2中，作DN⊥AB 于N ，PE⊥AC 于E ，延长BD 交PA 于M ．设BD=AD=x ，则CD=4﹣x ，在Rt△BDC 中，可得x 2=（4﹣x ）2+22，推出x=52，推出=DN BD AM AB =，由此求出AM ，由△ADM∽△APE，可得AM AD AE AP =，由此求出AE=165，可得EC=AC ﹣AE=4﹣165=45由此即可解决问题． 试题解析：（1）①在Rt△ABC 中，∵BC=2，AC=4，=， ∵AD=CD=2，=，由翻折可知， ②如图1中，∵△BCD 是等腰直角三角形， ∴∠BDC=45°， ∴∠ADB=∠BDP=135°， ∴∠PDC=135°﹣45°=90°， ∴∠BCD=∠PDC=90°， ∴DP∥BC，∵PD=AD=BC=2， ∴四边形BCPD 是平行四边形．（2）如图2中，作DN⊥AB 于N ，PE⊥AC 于E ，延长BD 交PA 于M ．设BD=AD=x ，则CD=4﹣x ， 在Rt△BDC 中，∵BD 2=CD 2+BC 2， ∴x 2=（4﹣x ）2+22， ∴x=52， ∵DB=DA，DN⊥AB，在Rt△BDN 中，2=， 由△BDN∽△BAM，可得DN BDAM AB=，∴52AM=∴AM=2， ∴AP=2AM=4， 由△ADM∽△APE，可得AM ADAE AP=，∴5 224 AE，∴AE=165，∴EC=AC﹣AE=4﹣165=45，易证四边形PECH是矩形，∴PH=EC=45．考点：四边形综合题．17.（2017贵州安顺第21题）如图，DB∥AC，且DB=12AC，E是AC的中点，（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给△ABC添加什么条件，为什么？【答案】（1）证明见解析；（2）添加AB=BC．【解析】试题分析：（1）要证明BC=DE，只要证四边形BCED是平行四边形．通过给出的已知条件便可．（2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决．试题解析：（1）证明：∵E是AC中点，∴EC=12 AC．∵DB=12 AC，∴DB∥EC．又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．（2）添加AB=BC．理由：∵DB∥AE，DB=AE ∴四边形DBEA 是平行四边形． ∵BC=DE，AB=BC ， ∴AB=DE． ∴▭ADBE 是矩形．考点：矩形的判定；平行四边形的判定与性质．18.（2017湖南怀化第19题）如图，四边形ABCD 是正方形，EBC △是等边三角形. (1)求证：ABE DCE △≌△； (2)求AED ∠的度数.【答案】(1)证明见解析(2) 150°． 【解析】试题分析：（1）根据正方形、等边三角形的性质，可以得到AB=BE=CE=CD ，∠ABE=∠DCE=30°，由此即可证明； （2）只要证明∠EAD=∠ADE=15°，即可解决问题；试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，△ABC 是等边三角形， ∴BA=BC=CD=BE=CE，∠ABC=∠BCD=90°，∠EBC=∠ECB=60°， ∴∠ABE=∠ECD=30°， 在△ABE 和△DCE 中，AB DC ABE DCE BE CE ⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE≌△DCE（SAS ）． （2）∵BA=BE，∠ABE=30°， ∴∠BAE=12（180°﹣30°）=75°， ∵∠BAD=90°，∴∠EAD=90°﹣75°=15°，同理可得∠ADE=15°， ∴∠AED=180°﹣15°﹣15°=150°．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．19.（2017江苏无锡第21题）已知，如图，平行四边形ABCD 中，E 是BC 边的中点，连DE 并延长交AB 的延长线于点F ，求证：AB=BF ．.【答案】证明见解析. 【解析】试题分析：根据线段中点的定义可得CE=BE ，根据平行四边形的对边平行且相等可得AB∥CD，AB=CD ，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DCB=∠FBE，然后利用“角边角”证明△CED 和△BEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=BF ，从而得证． 试题解析：∵E 是BC 的中点， ∴CE=BE，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB∥C D ，AB=CD ， ∴∠DCB=∠FBE， 在△CED 和△BEF 中，DCA=FBE CE=BECED=BEF ⎧∠∠⎪⎨⎪∠∠⎩， ∴△CED≌△BEF（ASA ）， ∴CD=BF， ∴AB=BF．考点：1.平行四边形的性质；2.全等三角形的判定与性质．20.（2017江苏盐城第22题）如图，矩形ABCD 中，∠ABD、∠CDB 的平分线BE 、DF 分别交边AD 、BC 于点E 、F ．（1）求证：四边形BEDF 是平行四边形；（2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形，理由见解析.试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC、AD∥BC，∴∠ABD=∠CDB，∵BE平分∠ABD、DF平分∠BDC，∴∠EBD=12∠ABD，∠FDB=12∠BDC，∴∠EBD=∠FDB，∴BE∥DF，又∵AD∥BC，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形，∵BE平分∠ABD，∴∠ABD=2∠ABE=60°，∠EBD=∠ABE=30°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∴∠EDB=90°-∠ABD=30°，∴∠EDB=∠EBD=30°，∴EB=ED，又∵四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形．考点：矩形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．21.（2017甘肃兰州第26题）如图，1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE 交AD于点F.(1)求证：BDF△是等腰三角形；(2)如图2，过点D作DG BE∥，交BC于点G，连结FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若6AB=，8AD=，求FG的长.【答案】(1)证明见解析;(2) 152．【解析】试题分析: （1）根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断；（2）①根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断；②根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解．试题解析：（1）证明：如图1，根据折叠，∠DBC=∠DBE，又AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB，∴∠DBE=∠ADB，∴DF=BF，∴△BDF是等腰三角形；（2）①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥B C，∴FD∥BG，又∵FD∥BG，∴四边形BFDG是平行四边形，∵DF=BF，∴四边形BFDG是菱形；②∵AB=6，AD=8，∴BD=10．∴OB=12BD=5．假设DF=BF=x，∴AF=AD﹣DF=8﹣x．∴在直角△ABF中，AB2+A2=BF2，即62+（8﹣x）2=x2，解得x=254，即BF=254，=154，∴FG=2FO=152．考点：四边形综合题．22.（2017四川自贡第21题）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE=AF．求证：∠ABF=∠CBE．【答案】证明见解析.【解析】考点：菱形的性质.23.（2017江苏徐州第23题）如图，在平行四边形ABCD 中，点O 是边BC 的中点，连接DO 并延长，交AB 延长线于点E 连接,BD EC.（1）求证：四边形BECD 是平行四边形；（2）若50A ∠=，则当BOD ∠= 时，四边形BECD 是矩形. 【答案】（1）证明见解析；（2）100° 【解析】试题分析：（1）由AAS 证明△BOE≌△COD，得出OE=OD ，即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得出∠BCD=∠A=50°，由三角形的外角性质求出∠ODC=∠BCD，得出OC=OD ，证出DE=BC ，即可得出结论．试题解析:（1）∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB∥DC，AB=CD ， ∴∠OEB=∠ODC， 又∵O 为BC 的中点， ∴BO=CO，在△BOE 和△COD 中，OEB ＝ODC BOE ＝COD BO ＝CO ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴△BOE≌△COD（AAS ）； ∴OE=OD，∴四边形BECD 是平行四边形；（2）若∠A=50°，则当∠BOD=100°时，四边形BECD 是矩形．理由如下： ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠BCD=∠A=50°， ∵∠BOD=∠BCD+∠ODC，∴∠ODC=100°-50°=50°=∠BCD， ∴OC=OD， ∵BO=CO，OD=OE ， ∴DE=BC ，∵四边形BECD 是平行四边形， ∴四边形BECD 是矩形；考点：1.矩形的判定；2.平行四边形的判定与性质．24. (2017北京第20题) 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.,（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》） 请根据上图完成这个推论的证明过程．证明：()ADC ANF FGC NFGD S S S S ∆∆∆=-+矩形，ABC EBMF S S ∆=-矩形（____________+____________）． 易知，ADC ABC S S ∆∆=，_____________=______________，______________=_____________． 可得NFGD EBMF S S =矩形矩形．【答案】,,,AEF CFM ANF AEF FGC CFM S S S S S ∆∆∆∆∆；；S . 【解析】试题分析：由矩形的对角线的性质，对角线把矩形分成两个面积相等的三角形计算即可. 本题解析：由矩形对角线把矩形分成两个面积相等的两部分可得：(),()ADC ANF FGC ABC AEF FMC NFGD EBMF S S S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-+矩形矩形 ,∴,,ADC ABC ANF AEF FGC FMC S S S S S S ∆∆∆∆∆∆=== , ∴NFGD EBMF S S =矩形矩形 . 考点：矩形的性质，三角形面积计算.25. (2017北京第22题)如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，0//,2,90AD BC AD BC ABD =∠=，E 为AD 的中点，连接BE .（1）求证：四边形BCDE 为菱形；（2）连接AC ，若AC 平分,1BAD BC ∠=，求AC 的长.【答案】（1）证明见解析.（2【解析】试题分析：（1）先证四边形是平行四边形，再证其为菱形；（2）利用等腰三角形的性质，锐角三角函数，即可求解. 本题解析：(1)证明：∵E 为AD 中点，AD=2BC,∴BC=ED, ∵AD∥BC, ∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AD=2BE, ∠ABD=90°,AE=DE∴BE=ED, ∴四边形ABCD 是菱形.(2)∵AD∥BC,AC 平分∠BAD ∴∠BAC=∠DAC=∠BCA,∴BA=BC=1, ∵AD=2BC=2，∴sin∠ADB=12,∠ADB=30°,∴∠DAC=30°, ∠ADC=60°.在RT△ACD 中，AD=2，CD=1，考点：平行线性质，菱形判定，直角三角形斜边中线定理.26.(2017天津第24题)将一个直角三角形纸片ABO 放置在平面直角坐标系中，点)0,3(A ，点)1,0(B ，点)0,0(O .P 是边AB 上的一点（点P 不与点B A ,重合），沿着OP 折叠该纸片，得点A 的对应点'A .（1）如图①，当点'A 在第一象限，且满足OB B A ⊥'时，求点'A 的坐标； （2）如图②，当P 为AB 中点时，求B A '的长；（3）当030'=∠BPA 时，求点P 的坐标（直接写出结果即可）.【答案】（1）点1）；（2）1；（3）或 . 【解析】试题分析：（1）因点)0,3(A ，点)1,0(B ，可得，根据折叠的性质可得△A’OP≌△AOP，由全等三角形的性质可得在Rt△A’OB 中，根据勾股定理求得'A B 的长，即可求得点A 的坐标；（2）在Rt△AOB 中，根据勾股定理求得AB=2，再证△BOP 是等边三角形，从而得∠OPA =120°.在判定四边形OPA’B 是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得B A '的长； 试题解析：（1）因点)0,3(A ，点)1,0(B ，根据题意，由折叠的性质可得△A’OP≌△AOP.由OB B A ⊥'，得∠A’BO=90°.在Rt△A’OB 中，'A B ==∴点1）.(2) 在Rt△AOB 中，∴2AB = ∵当P 为AB 中点， ∴AP=BP=1,OP=12AB=1. ∴OP=OB=BP,∴△BOP 是等边三角形 ∴∠BOP=∠BPO=60°， ∴∠OPA=180°-∠BPO=120°.由（1）知，△A’OP≌△AOP，∴∠OPA’=∠OPA=120°，P’A=PA=1，又OB=PA’=1，∴四边形OPA’B是平行四边形.∴A’B=OP=1.(3)或 .27.（2017山东青岛第21题）已知：如图，在菱形ABCD 中，点E，O，F 分别是边AB，AC，AD的中点，连接CE、CF、OF．（1）求证：△ BCE≌△DCF；（2）当AB与BC满足什么条件时，四边形AEOF正方形？请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）四边形AEOF是正方形【解析】试题分析：（1）利用SAS证明△ BCE≌△DCF；（2）先证明AEOF为菱形，当BC⊥AB，得∠BAD＝90°，再利用知识点：有一个角是90°的菱形是正方形。