八年级数学一元二次方程的解法2
沪科版八年级数学下册第十七章《一元二次方程的解法》(第2课时)优课件
1.如果mx²+2(3-2m)x+3m-2=0(m≠0)的左边是一个关
于x的完全平方式，则m等于
（
）
A. 1 B. -1 C. 1或9 D. -1或9
2.代数式 x2 x 2 的值为0，则x的值为 x2 1
3.已知（x+y)(x+y+2)-8=0,求x+y的值为 4.已知三角形的两边长分别为2和4，第三边的长是方 程x²- 4x+3=0的解，求这个三角形的周长.
解：（2）化1，x²-
3 2
x- 1
2
=0
移项，得
31
x²- 2 x= 2 .
配变方形，，得得x²(-x23-
x+(3 )²=
3
4
)²=
17
1 2
+(
,
3 4
)²，
开平分, 得 求解，得x1=
3
4
4
17
，
16
x- 3
4
=±
17 4
x2=
3 17 4
3 17
3 17
定解，所以原方程的根是x1 = 4 ，x2= 4
1.填空： （1）x²-8x+(
(3) x²- 5 x+( 2
)²=(x- )²;（2）y²+5y+( )²=(x- )²;（4）x²+px+(
)²=(y+ )²; )²=(x+ )².
2.用配方法解下列方程： （1）x²+ x - 1=0； （2）x²- 3x - 2=0；
（3）2x²+ 5x - 1=0； （4）3x²- 6x + 1=0.
八年级数学一元二次方程的解法
２） x2=x 解：x2-x=0
x(x-1)=0 x=0 或 x-1=0
∴ x1=0 x2=1
２) x2=x 解：把方程两边同除x,
得 x=1 大家讨论一下，这样解方程是否
正确？为什么？
答案：不正确 因为方程两边同除x,就把
x=0这个解丢失了．因此，方程 的两边不能除以含有未知数的 整式，否则会失根．
形如 ax2+c=0（a≠0,a,c异号）
ax2=-c
x2=-
c a
(a*c<0)
我们用直接开平方法求解．
当a*c>0时，此时原方程没有
实数解（根）．
形如 ax2+bx=0 (a≠0)
x(ax+b)=0
x=0 或 ax+b=0
x1=0
x2=-
b a
作业： Ｐ46 5
；/ 杏耀代理 ；
一元二次方程的解法
主 讲
一元二次方程的解法
1) 直接开平方法
2) 配方法
3) 公式法
4) 因式分解法
例 x2-16=0 x2-16=0
解: (x-4)(x+4)=0 我们知道０的一个特性，０与 任何数相乘都等于０． 如果两个数相乘积等于０，那么 这两个数中至少有一个为０．
所以上式可转化为
x-4=0 或 x+4=0
x1=4
x2=-4
因此，我们把方程的左边因式分解，
这样将一元二次方程转化为两个一
元一次方程来求解的方法叫做因式
分解法．
例 x2-5x+6=0
解：把方程的左边因式分解
得 (x-2)(x-3)=0
因此 ，有 x-2=0 或 x-3=0
新浙教版八年级上册数学第二章2.2___一元二次方程的解法
复习旧知 1 用因式分解法解方程x2－4=0。
2 若将方程先移项，得：x2=4。你能直接得到该 方程的解吗？其解是什么？
2.2 一元二次方程的解法
讲解新课 1.了解直接开平方法解一元二次方程的概念。 将方程：x2－4=0，先移项，得：x2=4。 因此，x=± 2即，x1=2，x2=－2。 这种解某些一元二次方程的方法叫做开平方的是一次项系数一半的平方.
2.2 一元二次方程的解法
例2 用配方法解下列一元二次方程 (1) x2+6x=1 (2) x2=6+5x
配方的步骤：
若-4c+b2≥0,就可以用因式分解法或开平方法解出方程的根。
2.2 一元二次方程的解法
小结 1．一元二次方程的求根公式.（公式成立的条件） 2．公式法解一元二次方程的基本步骤
2.2 一元二次方程的解法
配方法的概念：把一个一元二次方程左边配成 一个完全平方式，右边为一个非负数，然后用 开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫 做配方法。
(1)x2＋8x＋ 16 =(x＋ 4 )2 (2)x2－12x＋ 36 =(x－6 )2 (3)x2 +
25 5 5x＋ =(x + 4 2
2. 初步掌握直接开平方法解一元二次方程。 用直接开平方法解下列方程： 1）x2－144=0； 2）x2－3=0； 3）x2+16=0； 4）x2=0。
例1 用开平方法解下列方程:
(1) 3x2－48=0 (2) (2x－3)2=7
2.2 一元二次方程的解法
合作学习 1) 想一想：你能用直接开平方法解方程x2-10x=16吗？ 2) 你能将方程转化x2-10x=-16为(x+a)2=b的形式 吗? 3) 请与同伴尝试解这个方程。
八年级数学下册17、2一元二次方程的解法17、2、2配方法新版沪科版
8．【合肥瑶海区期中】若方程x2－8x＋m＝0可以通过配方
写成(x－n)2＝6的形式，则x2＋8x＋m＝5可以配成( D )
A．(x－n＋5)2＝1
B．(x＋n)2＝1
C．(x－n＋5)2＝11 D．(x＋n)2＝11
9．【原创题】若x2＋4与2x－12为某个正数的两个不同的 平方根，则这个正数为_6_4_或__4_0_0___________．
6．【中考·聊城】用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0， 配方正确的是( A )
A.x－342＝1176 C.x－322＝143
B.x－342＝12 D.x－322＝141
7．【中考·临沂】一元二次方程x2－4x－8＝0的解是( B ) A．x1＝－2＋2 3，x2＝－2－2 3 B．x1＝2＋2 3，x2＝2－2 3 C．x1＝2＋2 2，x2＝2－2 2 D．x1＝2 3，x2＝－2 3
【点拨】∵2x2＋8x－32＝0，∴x2＋4x＝16，∴x2＋4x＋ 4＝20， ∴(x＋2)2＝20，∴p＝2，q＝－20， ∴直线表达式为y＝2x－20，∴直线经过第一、三、四象 限，不经过第二象限．
14．用配方法解方程：(2x＋3)(x－6)＝16.
解：(2x＋3)(x－6)＝16，
2x2－9x＝34，x2－92x＝17，
2．【2021·丽水】用配方法解方程x2＋4x＋1＝0时，配方
结果正确的是( D )
A．(x－2)2＝5
B．(x－2)2＝3
C．(x＋2)2＝5
D．(x＋2)2＝3
3．用配方法解方程2x2－x－6＝0开始错误的步骤是(
2x2－x＝6，
① ··
C
)
x2－12x＝3，
②
著名机构数学讲义暑假07-八年级培优版-一元二次方程的解法(2)-教师版
教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间学 科数学课题名称一元二次方程的解法（2）知识点Ⅰ： 配方法解一元二次方程1.定义：先把方程中的常数项移到方程右边，把左边配成完全平方形式，然后直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫配方法。
2.理论依据：222)(2b a b ab a ±=+±3.步骤：二次项系数化为1；移项；配方：配上一次项系数一半的平方；直接开平方法解。
【例1】 (1) 2x ++x 8 = (+x )2;一元二次方程的解法（2）(2) _2a 6+a = (-a )2; (3) 2y 32-+y = (-y )2. 【答案】（1）164（2）93（3）1193【例2】（1）x x 252-+____=2___)(-x ; (2)px x -2+_____=2__)(-x ; (3)x ab x +2+ ______=2___)(+x . 【答案】（1）255164（2）242p p （3）2242b baa【例3】用配方法解方程（1）2610x x --= （2）22330x x --=（3）22410x x --= （4）22370x x +-= 【答案】（1）12310310x x =+=-（2）1233333344x x +-==（3）12262622x x +-==（4）1236536544x x -+--==知识点Ⅱ：一元二次方程的解法公式法1.求根公式推导：（3）23102x x --= （4）()441t t -=（5）2102x x --= （6）2243220x x +-= 【答案】（1）1242242233y y +-==（2）12513x x ==-（3）12122x x ==-（4）12235235x x =+=-（5）12131322x x +-==（6）12622622x x =-+=--知识点Ⅲ： 用适当的方法求一元二次方程先观察形式，在看是否需要整理成一般形式；考虑十字相乘法，在考虑公式法。
专题02 一元二次方程的解法(基础)(原卷版)
专题02 一元二次方程的解法要点一、直接开平方法解一元二次方程1.直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.2.直接开平方法的理论依据：平方根的定义.3.能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.要点二、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式．要点三、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．要点四、一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.要点五、用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.要点六、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.一、单选题1．（2020·江苏扬州市·九年级月考）一元二次方程20x px q ++=的两根为3、4，那么二次三项式2x px q ++可分解为（ ） A ．()()34x x +-B ．()()34x x -+C ．()()34x x --D ．()()34x x ++2．（2020·淮南市龙湖中学九年级月考）若用配方法解一元二次方程2610x x --=，则原方程可变形为（ ） A ．()231x -=B ．()2310x -=C ．()231x +=D ．()2310x +=3．（2020·邢台市第七中学九年级期中）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A ．x 2＝0B ．x ﹣3＝0C ．x 2﹣5＝0D ．x 2+2＝04．（2020·南京师范大学附属中学树人学校九年级月考）将方程（x ﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（ ） A ．x 2﹣2x+5＝0B ．x 2﹣2x ﹣5＝0C ．x 2+2x ﹣5＝0D ．x 2+2x+5＝5．（2020·海林市朝鲜族中学九年级月考）若|x 2﹣4x+4|x+y 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．9二、填空题6．（2020·河南信阳市·九年级月考）已知()222(1)160y y +++-=，那么21y +=______．7．（2020·太平乡初级民族中学九年级月考）定义新运算®：对于任意实数a 、b 都有：a ®b =a 2+ab ，如果3®4=32+3×4=9+12=21，那么方程x ®2=0的解为________.8．（2020·全国八年级课时练习）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．例如：因为3a 2≥0，所以3a 2-1≥-1，即：3a 2-1就有最小值-1．只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值-1．同样，因为-3a 2≤0．所以-3a 2+1≤1，即：-3a 2+1就有最大值1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最大值1．（1）当x= 时，代数式-2（x+1）2-1有最大值（填“大”或“小”值为 ．（2）当x= 时，代数式 2x 2+4x+1有最小值（填“大”或“小”）值为 ． （3）矩形自行车场地ABCD 一边靠墙（墙长10m ），在AB 和BC 边各开一个1米宽的小门（不用木板），现有能围成14m 长的木板，当AD 长为多少时，自行车场地的面积最大？最大面积是多少？9．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）方程220(40)x px q p q ++=-≥的根是___________．三、解答题10．（2020·云南昆明市·九年级期末）解方程： （1）22410x x --=（配方法）（2）2(1)66x x +=+11．（2020·河北石家庄市·九年级期中）定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b ab b ⊕=+；当a b <时，a b ab a ⊕=-，解方程()()2120x x -⊕+=12．（2020·淮南市龙湖中学九年级月考）解方程：2x －6＝3x(x －3)． 小明是这样解答的：将方程左边分解因式，得2(x －3)＝3x(x －3)．……第一步 方程两边同时除以(x －3)，得2＝3x.……第二步解得x ＝23.……第三步 (1)小明的解法从第________步开始出现错误； (2)写出正确的解答过程．13．（2018·洛阳市洛龙区龙城双语初级中学九年级月考）先化简，再求值：2212111x x x x x --⎛⎫÷+- ⎪-+⎝⎭，其中x 是方程260x x +-=的根． 14．（2020·全国八年级课时练习）用适当的方法解下列方程： 、1、2x 510x -+=、 、2、()()23x-2x-2x =、 、3、()()22231y y +=-.15．（2020·全国八年级课时练习）若正比例函数y=（a ﹣1）23a x -的图象经过点（﹣2，b 2+5），求a ，b 的值．。
八年级数学一元二次方程的解法
主 讲
一元二次方程的解法
v
1) 直接开平方法
v
2) 配方法
v
3) 公式法
v
4) 因=0
解: (x-4)(x+4)=0 我们知道０的一个特性，０与
任何数相乘都等于０．
如果两个数相乘积等于０，那么
这两个数中至少有一个为０．
所以上式可转化为
x-4=0 或 x+4=0
绒的豪华地毯……远远看去，这次理论实践所用的器物很有特色。只见在巨硕烟状塔下面摆放着闪着奇光的湖蝎翡翠桌！那上面悬浮着七块破地毯！在七块破地毯上面
悬浮着缓慢旋转的七只哈巴狗，再看巨硕烟状塔的上空，只见那上面悬浮飘动着壮观的五大广场，这五大广场一边晃动、一边发出古怪声响，此时巨硕烟状塔顶部十分
奇异的计量仪器
解得 x1=2
x2=3
交流
１） x2+3x=0 解：x(x+3)=0 因此有 x=0或 (x+3)=0 解得 x1=0 ，x2=-3
２） x2=x 解：x2-x=0 x(x-1)=0 x=0 或 x-1=0 ∴ x1=0 x2=1
，就像仙女绚丽的长裙在风中飘舞。再看场地西南方的看台之间，那里生种植橙白色的雄胆桐和深橙色的松泪樱，中间还夹杂着纯黑色的豺臂藤，从远处看去就像一幅
美妙的立体油画在波动。ｌ场的西北向，那里生长着暗黑色的小胸谷和浓黑色的桑头神丝花，另外还有一些纯黑色的豺臂藤，给人的感觉犹如一片宁静而神奇的海洋。
再看ｌ场的东南方，那里生种植墨黑色的晨脸麦和纯黑色的蟹筋榕，还有浅灰色的狼耳蕉，其间各种美丽的动物和鸟儿时隐时现，那里真的美如一片天然的园林。在场
x1=4
x2=-4
因此，我们把方程的左边因式分解，
八年级数学上册综合算式一元二次方程的解法
八年级数学上册综合算式一元二次方程的解法一元二次方程是初中数学中的重要内容之一，它在实际生活中的应用十分广泛。
本文将介绍八年级数学上册综合算式中一元二次方程的解法。
一、一元二次方程的概念一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数且a≠0。
方程的解即是能够使等式成立的未知数的值。
二、一元二次方程的求解方法1. 因式分解法当一元二次方程可以进行因式分解时，我们可以利用因式分解的思想来解方程。
具体步骤如下：（1）将方程化简为ax^2 + bx + c = 0的形式；（2）判断方程是否可以进行因式分解，若可以，则将方程分解为两个一次因式的乘积；（3）令每一个因式为零，解得方程的解。
2. 完全平方公式法对于一些特殊形式的一元二次方程，我们可以利用完全平方公式来求解。
完全平方公式的表达式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
具体步骤如下：（1）将方程化简为ax^2 + bx + c = 0的形式；（2）计算方程中的b^2 - 4ac的值；（3）根据完全平方公式得出方程的解。
3. 直接开平方法当一元二次方程的形式为x^2 = a时，我们可以直接开平方求解。
具体步骤如下：（1）将方程化简为x^2 = a的形式；（2）对方程两边同时开平方，解得方程的解。
4. 配方法对于一些经过化简后较为复杂的一元二次方程，我们可以利用配方法来进行求解。
具体步骤如下：（1）将方程化简为ax^2 + bx + c = 0的形式；（2）通过添加一个恰当的常数d，将方程变形为ax^2 + bx + d^2 = (x + e)^2的形式；（3）确定恰当的值使得方程两边相等；（4）解得方程的解。
三、一元二次方程解的性质在解一元二次方程过程中，我们有如下性质：1. 当方程的判别式（即b^2 - 4ac）大于零时，方程有两个解；2. 当方程的判别式等于零时，方程有一个重根，即两个解相等；3. 当方程的判别式小于零时，方程没有实数解。
数学浙教版八年级下册第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法 课件
x1
3 2
x2
3 2
归纳
前面解方程时利用了 什么方法呢?
因式分解: 把一个多项式化成几个整式的积的形式.
像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫 做因式分解法.
练习1 把下列各式因式分解：
（1）x²-x （2）x²-4x+4 （3）x²-4
x(x-1) (x-2)² (x-2)(x+2)
1 10 -1 2
, x2
1- 1 10 2
.
典例精讲
3x2 8x 3 0
x2 8 x 1 0 3
x2
8
x
4
2
1
4
2
3 3
3
x 4 2 25 3 9
x1
3,
x2
1 3
典例精讲 例4 已知4x2+8(n+1)x+16n是一个关于x的完全平方
式，求常数n的值.
典例精讲
用配方法求2x2 7x 2的最小值
（5x+4)(5x-4）=0
∴ 5x+4=0或5x-4=0
∴x1=-0.8， x2=0.8
典例精讲
例2 解下列一元二次方程：
（1）（x将方程的左边分解因式，
得 x(3x－17)=0,
∴x=0 或3x－17=0，
得x1
0, x2
17 .
应用提高 下列解一元二次方程的方法对吗?若不对请改正。
解方程: x 22 2xx 2
解:方程两边都除以( x 2),得 x 2 2 x
移项得: x 2x 2 合并同类项得: x 2 x 2
不正确哟！ 不能约分， 这样会少了 一个解哟！
八年级数学一元二次方程的解法2
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一元二次方程是初中数学中的重要内容，它在数学中有着广泛的应用。
掌握一元二次方程的解法对于学生来说是十分重要的，因为它不仅能够帮助学生解决实际问题，还能够培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
本文将介绍一元二次方程的解法，并通过实例进行说明。
一、解法一：因式分解法对于形如ax^2 + bx + c = 0的一元二次方程，我们可以尝试使用因式分解法来解决。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0。
根据乘法逆元的性质，我们知道只有当(x + 2) = 0或者(x + 3) = 0时，方程才能成立。
因此，方程的解为x = -2或者x = -3。
二、解法二：配方法如果一元二次方程无法通过因式分解法解决，我们可以尝试使用配方法。
例如，对于方程x^2 + 6x + 8 = 0，我们可以通过配方法将其转化为(x + 2)(x + 4) = 0。
然后，我们可以得到(x + 2) = 0或者(x + 4) = 0，进而求得方程的解为x = -2或者x = -4。
三、解法三：求根公式如果一元二次方程无法通过因式分解法或者配方法解决，我们可以尝试使用求根公式。
一元二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
其中，a、b、c分别为方程ax^2 + bx + c = 0中的系数。
例如，对于方程2x^2 + 5x + 3 = 0，我们可以通过求根公式得到x = (-5 ± √(5^2 - 4*2*3)) / (2*2)。
进一步计算可得x = -1或者x = -1.5。
因此，方程的解为x = -1或者x = -1.5。
四、解法四：图像法除了上述的解法，我们还可以通过绘制一元二次方程的图像来求解方程。
例如，对于方程x^2 - 4x + 3 = 0，我们可以绘制出它的图像。
通过观察图像，我们可以发现方程的解为x = 1或者x = 3。
沪科版八年级下册数学第17章 一元二次方程 因式分解法(2)
2 (中考·沈阳)一元二次方程x2－4x＝12的根是( ) A．x1＝2，x2＝－6B．x1＝－2，x2＝6 C．x1＝－2，x2＝－6D．x1＝2，x2＝6
知2－练
3 (中考·雅安)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一 元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长 可以是( ) A．5B．7C．5或7D．10
则______＝0，或______＝0. 3.试求下列方程的根 (1)x(x－7)＝0； (2)(x＋1＋2)(x＋1－2)=0.
知识点 1 因式分解法的依据
知1－讲
对于 (x－3)(x＋3)＝0. 我们知道，如果两个因式的积等于0，那么这两 个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式 中有一个等于0，那么它们的积就等于0.因此，有 x—3＝0或x＋3＝0.
知1－练
1 (中考·山西)我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可 以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从 而得到两个一元一次方程3x＝0或x－2＝0，进而得 到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数 学思想是( )
A．转化思想B．函数思想 C．数形结合思想D．公理化思想
2 用因式分解法解方程，下列过程正确的是( A．(2x－3)(3x－4)＝0化为2x－3＝0或3x－4＝0 B．(x＋3)(x－1)＝1化为x＋3＝0或x－1＝1 C．(x－2)(x－3)＝2×3化为x－2＝2或x－3＝3 D．x(x＋2)＝0化为x＋2＝0
配方，得(x－1)2＝4，x－1＝±2，
∴x1＝3，x2＝－1. (2)2x2－7x－6＝0，
∵a＝2，b＝－7，c＝－6，
∴b2－4ac＝97＞0， ∴x1＝x2＝7＋ 97 ，
4
初二数学一元二次方程解法步骤
初二数学一元二次方程解法步骤一元二次方程是初中数学中的重要概念，解一元二次方程是数学学习的基本技能之一。
在解一元二次方程时，可以根据系数的不同情况，选择不同的解法步骤。
本文将介绍解一元二次方程的常见步骤。
1. 标准形式的一元二次方程一元二次方程的标准形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是已知实数，a ≠ 0，x 是未知数。
解一元二次方程的步骤如下：(1) 将方程化为标准形式，确保a ≠ 0。
(2) 判断方程的解的情况：- 若 b^2 - 4ac > 0，则方程有两个不相等的实数解。
- 若 b^2 - 4ac = 0，则方程有两个相等的实数解。
- 若 b^2 - 4ac < 0，则方程无实数解。
(3) 根据情况，使用以下方法求解方程：- 若 b^2 - 4ac > 0，可以使用求根公式 x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / (2a) 求得实数解。
- 若 b^2 - 4ac = 0，可以使用求根公式 x = -b / (2a) 求得相等的实数解。
- 若 b^2 - 4ac < 0，此时方程无实数解。
2. 数字实例解法示范以方程 2x^2 + 5x - 3 = 0 为例，演示解一元二次方程的步骤：(1) 确保方程已化为标准形式，即a ≠ 0。
方程已满足标准形式的要求。
(2) 计算 b^2 - 4ac 的值：5^2 - 4 * 2 * (-3) = 49 > 0，表示方程有两个不相等的实数解。
(3) 使用求根公式计算方程的解：x = [-5 ± √(5^2 - 4 * 2 * (-3))] / (2 * 2)= [-5 ± √(49)] / 4= [-5 ± 7] / 4因此，方程 2x^2 + 5x - 3 = 0 的解为 x = (-5 + 7) / 4 和 x = (-5 - 7) / 4，化简可得 x = 1/2 和 x = -3。
初中数学一元二次方程的解法
初中数学一元二次方程的解法解一元二次方程：例1：解 x^2-4-(2x+4)=0因式分解法）解：x^2-2x-8=0x+2)(x-4)=0所以 x1=-2，x2=4.配方法）解：x^2-2x-8=0x^2-2x=-8x^2-2x+(-1)^2=8+(-1)^2即 (x-1)^2=9x-1=±3所以 x1=4.x2=-2.公式法）解：x^2-2x-8=0Δ=(-2)^2-4×1×(-8)36>0所以 x1,2= (-(-2)±√36)/2×1即 x1=4.x2=-2.x^2+(a+b)x+ab=0→(x+a)(x+b)=0”法）解：x^2-2x+(-4)×2=0x-4)(x+2)=0所以 x1=4.x2=-2.例2：用配方法解下列一元二次方程：(1) x^2-6x+5=0;(2) 2x^2+4x-3=0;(3) 9x^2+6x-1=0;4) 4x^2-12x+m=0 (m为任意实数）.解：(1) x^2-6x=-5x^2-6x+(-3)^2=-5+(-3)^2即 (x-3)^2=4x-3=±2所以 x1=5.x2=1.2) x^2+2x=3/2x^2+2x+12=3/2+12x+1)^2=5/2x+1=±√(5/2)所以 x1=-1+√(5/2)。
x2=-1-√(5/2) 3) (3x)^2+2×3x=13x)^2+2×3x×1+1^2=1+1^23x+1)^2=23x+1=±√2所以 x1=(-1+√2)/3.x2=(-1-√2)/3.4) (2x)^2-2×2x×3=-m2x)^2-2×2x×3+3^2=9-m2x-3)^2=9-m所以①当9-m≥0即m≤9时，2x-3=±√(9-m)x1=(3+√(9-m))/2.x2=(3-√(9-m))/2;②当9-m9时，方程无实根.例3：用公式法解下列一元二次方程：(1) 2x^2-3x+1=0;(2) 3x^2+1=2x;(3) x(1-2x)+3=0；(4) x^2-2x=t (t为任意实数）.解：(1)由一元二次方程的一般式知a=2,b=-3,c=1;Δ=b^2-4ac3)^2-4×2×11>0x1,2= (-(-3)±√1)/2×2即 x1=1.x2=1/2. 2) 3x^2-2x+1=0Δ=(-2)^2-4×3×18<0方程无实根.3) x(1-2x)+3=0Δ=(-2)^2-4×1×38<0方程无实根.4) x^2-2x-t=0Δ=4+4t若Δ≥0，则x1,2= (2±√Δ)/2即x1=1+√(1+t)。
解一元二次方程的方法
解一元二次方程的【2 】办法界说只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程( quadratic equation of one variable ).一元二次方程有四个特色：(1)含有一个未知数;(2)且未知数次数最高次数是2;(3)是整式方程．要断定一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整顿．假如能整顿为ax^2+bx+c=0(a≠0)的情势,则这个方程就为一元二次方程．里面要有等号,且分母里不含未知数.(4)将方程化为一般情势：ax^2+bx+c=0时,应知足（a.b.c为常数,a≠0）补充解释1.该部分的常识为初等数学常识,一般在初三就有进修.(但一般二次函数与反比例函数会涉及到一元二次方程的解法)2.该部分是高考的热门.3.方程的两根与方程中各数有如下关系： X1+X2= -b/a,X1·X2=c/a（也称韦达定理）4.方程两根为x1,x2时,方程为：x^2-(x1+x2)X+x1x2=0 (依据韦达定理逆推而得)5.在系数a>0的情形下,b^2-4ac>0时有2个不相等的实数根,b^2-4ac=0时有两个相等的实数根,b^2-4ac<0时无实数根.一般式ax^2+bx+c=0（a.b.c是实数,a≠0)例如：x^2+2x+1=0配方法a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2两根式（交点式）a(x-x1)(x-x2)=0一般解法1.分化因式法（可解部分一元二次方程）因式分化法又分“提公因式法”.“公式法（又分“平方差公式”和“完整平方公式”两种）”和“十字相乘法”.因式分化法是经由过程将方程左边因式分化所得,因式分化的内容在八年级上学期学完.如1.解方程：x^2+2x+1=0解：应用完整平方公式因式解得：（x+1﹚^2=0解得：x?= x?=-12.解方程x（x+1）-3（x+1）=0解：应用提公因式法解得：（x-3）（x+1）=0即 x-3=0 或 x+1=0∴ x1=3,x2=-13.解方程x^2-4=0解：（x+2）（x-2）=0x+2=0或x-2=0∴ x?=-2,x?= 2十字相乘法公式：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)例：1. ab+b^2+a-b- 2=ab+a+b^2-b-2=a(b+1)+(b-2)(b+1)=(b+1)(a+b-2)2.公式法（可解全体一元二次方程）起首要经由过程Δ=b^2-4ac的根的判别式来断定一元二次方程有几个根1.当Δ=b^2-4ac<0时 x无实数根（初中）2.当Δ=b^2-4ac=0时 x有两个雷同的实数根即x1=x23.当Δ=b^2-4ac>0时 x有两个不雷同的实数根当断定完成后,若方程有根可根属于2.3两种情形方程有根则可依据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a来求得方程的根3.配办法（可解全体一元二次方程）如：解方程：x^2+2x－3=0解：把常数项移项得：x^2+2x=3等式双方同时加1（组成完整平方法）得：x^2+2x+1=4因式分化得：（x+1)^2=4解得：x1=-3,x2=1用配办法解一元二次方程小口诀二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方双方加上最相当4.开办法（可解部分一元二次方程）如：x^2-24=1解：x^2=25x=±5∴x?=5 x?=-55.均值代换法（可解部分一元二次方程）ax^2+bx+c=0同时除以a,得到x^2+bx/a+c/a=0设x1=-b/(2a)+m,x2=-b/(2a)-m (m≥0)依据x1*x2=c/a求得m.再求得x1, x2.如：x^2-70x+825=0均值为35,设x1=35+m,x2=35-m (m≥0)x1*x2=825所以m=20所以x?=55, x?=15.一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很主要,经常在测验中应用到）一般式：ax^2+bx+c=0的两个根x?和x?的关系：x1+x2= -b/ax1*x2=c/a若何选择最简略的解法1．看是否能用因式分化法解（因式分化的解法中,先斟酌提公因式法,再斟酌平方公式法,最后斟酌十字相乘法）2．看是否可以直接开方解3．应用公式法求解4．最后再斟酌配办法（配办法固然可以解全体一元二次方程,但是有时刻解题太麻烦）. 假如要参加比赛,可按如下次序：1.因式分化2.韦达定理3.判别式4.公式法5.配办法6.开平方7.求根公式8.表示法例题精讲1.开办法：直接开平办法就是用直接开平方求解一元二次方程的办法.用直接开平办法解形如(x-m)^2=n (n≥0)的方程,其解为x=m±√n例1．（1）(3x+1)^2=7 剖析：此方程显然用直接开平办法好做.（1）解：(3x+1)^2=73x+1=±√7∴x1=...,x2= ...（2）9x^2-24x+16=11方程左边是完整平方法(3x-4)^2,右边=11>0,所以此方程也可用直接开平办法解解： 9x^2-24x+16=11(3x-4)^2=113x-4=±√11∴x1=...,x2= ...2．配办法：例1用配办法解方程 3x^2-4x-2=0解：将常数项移到方程右边 3x^2-4x=2将二次项系数化为1：x^2-4/3x=2/3方程双方都加上一次项系数一半的平方：x^2-4/3x+( -2/3)^2= 2/3+(-2/3 )^2配方：(x-2/3)^2=10/9直接开平方得：x-2/3=±√(10)/3∴x?= , x?= . ∴原方程的解为x?=,x?= .3．公式法：把一元二次方程化成ax^2+bx+c的一般情势,然后把各项系数a, b, c的值代入求根公式就可得到方程的根.当Δ=b^2-4ac>0时,求根公式为x1=[-b+√(b^2-4ac)]/2a,x2=[-b-√(b^2-4ac)]/2a（两个不相等的实数根）当Δ=b^2-4ac=0时,求根公式为x1=x2=-b/2a（两个相等的实数根）当Δ=b^2-4ac<0时,求根公式为x1=[-b+√(4ac-b^2)i]/2a,x2=[-b-√(4ac-b^2)i]/2a（两个虚数根）（初中懂得为无实数根）例3．用公式法解方程 2x^2-8x=-5解：将方程化为一般情势：2x^2-8x+5=0∴a=2, b=-8,c=5b^2-4ac=(-8)^2-4×2×5=64-40=24>0∴x= (4±√6)/2∴原方程的解为x?=(4+√6)/2,x?=(4-√6)/2.4．因式分化法：把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分化成两个一次因式的积的情势,让两个一次因式分离等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得的根,就是原方程的两个根.这种解一元二次方程的办法叫做因式分化法.例4．用因式分化法解下列方程：(1) (x+3)(x-6)=-8解：化简整顿得x^2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分化因式)∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)∴x?=5,x?=-2是原方程的解.(2) 2x^2+3x=0解： x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分化因式)∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)∴x?=0,x?=-3/2是原方程的解.留意：轻易丢失落x=0这个解,应记住一元二次方程平日有两个解.(3) 6x^2+5x-50=0 (选学）解：(十字相乘分化因式时要特殊留意符号不要出错)∴2x-5=0或3x+10=0∴x?=5/2, x?=-10/3 是原方程的解.(4)x^2-4x+4 =0解：(x+2)(x-2 )=0∴x?=-2 ,x?=2是原方程的解.小结一般解一元二次方程,最常用的办法照样因式分化法,在应用因式分化法时,一般要先将方程写成一般情势,同时应使二次项系数化为正数.直接开平办法是最根本的办法.公式法和配办法是最主要的办法.公式法实用于任何一元二次方程（有人称之为全能法）,在应用公式法时,必定要把原方程化成一般情势,以便肯定系数,并且在用公式前应先盘算根的判别式的值,以便断定方程是否有解.配办法是推导公式的对象,控制公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配办法解一元二次方程.但是,配办法在进修其他数学常识时有普遍的应用,是初中请求控制的三种主要的数学办法之一,必定要控制好.（三种主要的数学办法：换元法,配办法,待定系数法）.。
八年级数学一元二次方程的解法2
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[单选,A2型题,A1/A2型题]“医乃仁术”是指（）。A.道德是医学活动中的一般现象B.道德是医学的本质特征C.道德是医学的个别性质D.道德是个别医务人员的追求E.道德是医学的非本质要求 [问答题,简答题]给多项式画译码、编码电路。 [单选]不是放射免疫分析的必备条件的是（）A.符合一定质量要求的放射性核素标记的抗原B.高纯度的标准品和高质量的特异性抗体C.合适的标记抗原抗体复合物与游离标记抗原分离技术D.放射性测量仪器E.免疫荧光仪器 [单选]Inmarsat通信系统中，移动站的工作波段为（）。A.L波段B.C波段C.S波段D.X波段 [单选]（）不属于生产物流控制的内容。A.进度控制B.制成品管理C.在制品管理D.偏差的测定和处理 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列叙述不正确的是（）A.急性白血病外周血白细胞比正常人增高B.急性白血病骨髓增生明显活跃，原始和早期幼稚细胞显著增多C.急性粒细胞白血病可出现白血病"裂孔"现象D.急性白血病骨髓可见红细胞系和巨核细胞系减少E.急性淋巴细胞白血病骨髓象退 [单选]关于腕关节的描述中正确的是（）A.近侧关节面由桡、尺骨构成B.可做屈、伸、收、展及环转运动C.囊内有关节盘，位于桡骨下端的下面D.远侧关节面由大多角骨、小多角骨、头状骨及钩骨的近侧面构成E.远侧关节面由舟骨、月骨、三角骨及豌豆骨的近侧面构成 [单选]在人身保险合同中，投保人、被保险人或受益人故意制造保险事故且投保人已交纳2年以上保险费的()。A.保险人无权解除保险合同B.保险人有权解除保险合同，但应在扣除手续费后退还保险费C.保险人有权解除保险合同，并向受益人退还全额保险费D.保险人有权解除合同，但应退还保险 [单选]热力管道安装工程中，（）活动侧管道的支自由伸缩。A.填料式补偿器B.波形补偿器C.方形补偿器D.自然补偿器 [填空题]遇雷雨天气时，禁止操作（）。严禁（）操作隔离开关。 [单选,案例分析题]青年男性，平时血压正常，3年来一遇情绪激动时便出现头疼、心悸、出汗、心前区紧迫感，视物模糊，测血压为220／140mmHg，每次持续10分钟左右。无助于确诊的检查是（）A.MNB.酚妥拉明试验C.心电图D.CTE.MRI检查 [单选,A2型题,A1/A2型题]心衰控制后责任护士向患者及家属进行健康教育，其内容哪项不妥（）A.适量运动，以不出现心悸、气短为度B.少量多餐，以减轻心脏负荷C.食谱选择不受限制，以促进食欲D.坚持服药，定期门诊复查E.积极防治风湿热，避免心衰诱因，做好防寒保暖 [单选]典型肺炎球菌肺炎的临床特征是（）A.寒战、高热、胸痛、咳嗽、咳铁锈色痰B.寒战、高热、咳嗽、脓痰、呼吸困难C.寒战、高热、咳嗽、脓痰、胸膜摩擦音D.胸痛、咳嗽、脓痰、呼吸困难E.发热、咳嗽、咳痰、双肺干、湿性啰音 [单选]钻孔通孔时，要特别注意孔即将钻通时的（）。A、主轴转速B、钻头压力C、切削力D、进刀量 [单选,A2型题,A1/A2型题]原子能级与结合能的关系是（）A.原子能级是结合能的负值B.二者绝对值相等C.二者符号相反D.以上都对E.以上都不对 [单选]一事一议筹资筹劳属于（）负担。A.间接B.直接C.国家D.集体 [名词解释]容水性 [问答题,简答题]列车机车与第一辆车的连挂是怎样规定的？ [问答题,简答题]缠绕式立井箕斗提煤系统，如因煤仓仓满卸煤时发生卡箕斗现象，操作工怎样从运行异常地讯号或现象来判断？应采取什么应急措施？ [单选,A1型题]患者男，30岁。因肾损伤入院行非手术治疗。要求患者卧床时间至少为（）A.8日B.10日C.12日D.14日E.血尿转清后即可以起床 [单选]单位时间内无线电波传播的距离称为（）。A.频率B.周期C.速度D.波长 [问答题,简答题]简述分馏塔启动前的操作步骤？ [单选]关于妊娠和肺结核下列哪项不恰当（）A.肺结核活动期应避免妊娠B.对所有准备妊娠者均应行胸部X线检查C.活动性肺结核患者应在治愈后再考虑妊娠D.对有结核病史者应在妊娠前行胸部X线检查E.活动性肺结核患者应在妊娠早期行人工流产 [单选]“计算机集成制造系统”英文简写是（）。A.CADB.CAMCIMSD.ERP [单选,A1型题]27岁初产妇，胎儿娩出后无阴道流血，胎盘娩出后阴道流血不断，时多时少，1小时内阴道流血量超过600ml，血压70／50mmHg，脉搏126次／分。紧急措施应是（）A.为宫颈裂伤，立即缝合B.为阴道血肿，立即处理C.检查凝血功能，并输纤维蛋白原D.静注麦角新碱加强宫缩E.手入宫 [单选,A2型题,A1/A2型题]在使用药物进行治疗的过程中，医生恰当的做法是（）。A.使用能为医院和医生带来较高回报的药物B.药物使用与选择是医生的权利，不用征求患者的意见C.为了尽快取得效果，加大药物剂量D.按需用药，考虑效价比E.联合使用多种药物，力求最佳效果 [单选,A型题]下列哪种片剂要求在21℃±1℃的水中3分钟即可崩解分散()A、泡腾片B、分散片C、舌下片D、普通片E、溶液片 [单选]下列关于隧道衬砌裂缝病害防治的说法错误的是（）。A.设计时应根据围岩级别选取衬砌形式及衬砌厚度B.钢筋保护层必须保证不小于3cmC.混凝土宜采用较大的水灰比，降低骨灰比D.混凝土温度的变化速度不宜大于5°C/h [判断题]各种定期储蓄存款的到期日，以对年、对月、对日为准。如遇到期日为该月没有的日期，以月底为到期日。A.正确B.错误 [单选,A1型题]关于干酪性肺炎的叙述正确的是（）A.属于继发性肺结核常见的类型B.易发生在免疫力过强或变态反应过低的病人C.病变性质为渗出性炎D.常由浸润型肺结核恶化进展产生E.由慢性纤维空洞型肺结核经血行播散所致 [单选]湿陷性黄土一般呈黄色或黄褐色，其中粉土含量常占()以上。A．50%B．60%C．70%D．80% [判断题]随着地图比例尺的缩小，河流舍弃愈来愈多，实地密度不断减少，图上密度却不断增大。A.正确B.错误 [单选]印铁时，预涂无色树脂的主要目的是（）。A.保护金属B.增强表面附着力C.遮盖底色D.防止铁皮生锈 [填空题]只有为客户提供（），才能赢得客户对我们的信任 [问答题,简答题]《陕西省农村合作金融机构对账管理办法》规定，对账账户如何分类？ [单选]通过遥控器的以下组合操作来调整标准双轴云台俯仰角度。（）A、shift键↑+滚转指令←→B、shift键↑+俯仰指令↓↑C、shift键↑+航向指令←→D、shift键↑+油门指令↓↑ [单选]胡萝卜素是合成视紫红质的主要物顶，因此食用胡萝卜可以（）。A、降低血液汞浓度B、预防对视网膜的伤害C、降低血压D、降低血脂 [单选,A2型题,A1/A2型题]早期结核性脑膜炎的主要临床表现特点是（）.A.性情改变B.头痛、呕吐C.结核中毒症状D.嗜睡、双眼凝视E.感觉过敏 [单选]变频节能技术中，变频是指：（）。A.改变电器电源的频率改变B.电器的启动的频率C.改变电器电压的大小D.改变电器电流的大小 [单选,A2型题,A1/A2型题]关于疼痛康复治疗叙述不正确的是（）A.药物治疗是疼痛治疗中最基本、最常用方法B.物理治疗是疼痛治疗中最基本、最常用方法C.神经病理性疼痛是急性疼痛中治疗较差的疼痛D.神经病理性疼痛需要合并使用抗痉厥药和三环类抗抑郁药E.镇痛药是主要作用于中枢神经