二项分布与总体率的估计
统计学 二项分布
≤
本例n=13，X=6。查附表6，取0.05时，在 n=13（横行）与X=6（纵列）的交叉处数值 为19～75，即该吻合术妇女受孕率的95%可 信区间为（19%，75%）。 “阴性”数n-X查得总体阴性率的 可信区 1−α 间QL～QU，再用下面的公式转换成所需的阳 性率的− α 可信区间。 PL=1-QU， PU=11 QL
第 8章
几种离散型变量的 分布及其应用
Distribution and Application of Discrete Data
Binomial distribution Poissin distribution
随机变量有连续型和离散型之分， 随机变量有连续型和离散型之分 ， 相应 的概率分布就可分为连续型分布和离散型 分布。 分布。 有关连续型分布如正态分布、 分布和 分布和F 有关连续型分布如正态分布 、 t分布和 分布等在前面的章节中已作了介绍。 分布等在前面的章节中已作了介绍。 本章主要介绍在医学中较为常用的离散 型分布，即二项分布、 分布。 型分布，即二项分布、Poisson分布。 分布
2 ，而相应的样本率p的分布也近似 N (π , σ p ) 正 而相应的样本率 的分布也近似 态分布。为此，当n较大、p和1-p均不太小，如 态分布。为此， 较大、 和 均不太小， 较大 均不太小 np和n(1-p)均大于 时，可利用样本率 的分布近 均大于5时 可利用样本率p的分布近 和 均大于 似正态分布来估计总体率的可信区间。 似正态分布来估计总体率的可信区间。
P = P( X = k ) + ∑ P( X = i )
i
，其中 i 满足
P( X = i) ≤ P( X = k ) 。
例6-4 据报道，对输卵管结扎了的育龄妇女实施壶腹部壶腹部吻合术后，受孕率为0.55。今对10名输卵管结扎了 的育龄妇女实施峡部-峡部吻合术，结果有9人受孕。问实 施峡部-峡部吻合术妇女的受孕率是否高于壶腹部-壶腹部 吻合术？ 显然，这是单侧检验的问题，其假设检验为 H0：π=0.55 H1：π>0.55 =0.05
二项分布
例 设某放射性物质平均每分钟放射计数为 5。 X3。则 Xi～P(5)，i=1,2,3。据Poisson分布的可
加性可得X1+X2+X3～P(15)。
现考虑测3个1分钟的放射计数，分别记为X1, X2,
0.2
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12
0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16
即该放射性物质平均每 30 分钟脉冲计数 的95%可信区间为322.8～397.2个。
样本均数与总体均数的比较
直接计算概率法 正态近似法
u
X 0
0
直接计算概率法
例5.16
H 0： 此地区患病率与一般患病率相等，即 0
H 1： 此地区患病率高于一般患病率，即 0
从某学校随机抽取 26 名学生，发现有 4 名
感染沙眼，试求该校沙眼感染率 95%可信区间
本例 n=26， X =4，查附表 3 的可信度为 95%的 可信区间为(4%，35%)。
总体率的可信区间(正态近似法）
p u
S , p u S p p
例5.4
估计显效率的95%的可信区间
10
20
Poisson分布的正态近似
当20时已接近正态分布，当50时则非 常接近正态分布。
Poisson分布的性质
当20时已接近正态分布，当50时则 非常接近正态分布。 方差等于均数: 2= 泊松分布资料的可加性
服从Poisson分布也有三个条件
基于拟贝叶斯方法的二项分布总体率的区间估计
将 上式 改写 为下面 的形式 ：
ｃ ｉ ９ ｆ ＼ ｆ
定义 符号 ：
１ ｆ 一 ， ＼ １ ｆ 一
１
： Ｒ
， １
７ ｐｌ ）：＿ ｒ （
Ｊ 曰
Ｌ
一
ｆｒ ）ｘ ｛ ｎ（）｝ （ ｅｐ 一 ｄｐ ・ ７ｐ
进而利用上述拟贝叶斯公式就可以对参数 Ｐ进行点估 计或者区间估计。 假设总体 ｘ服从二项分布 Ｂ ｒＰ ， （ ，）参数 Ｐ ／ ∈０＝
Ｗａ ｌ 间估 计 ， 过 Ｗａ ｄ区 不 ｌ ｄ区间估 计 在 覆 盖率 及 稳 定
（ ，） 通过随机抽样得到总体 ｘ的一个观测 Ｘ ０１， 。区别 于 以往 的方法 ， 文 并 不 是 从 （ ， 分 布 的样 本 观 本 ｎＰ） 测 Ｘ的分布出发考虑 问题 ， 而是将总体率 Ｐ看作是两
分别只有一个跃度 Ｐ和 Ｊ＝ ／ ， ； ｘｎ则经过计算得到： 对
于任意给定的Ｐ∈（ ，）Ｆ ｔ ） Ｇ（） ０ １ ， （； 与 ｐ ｔ之间的 Ｋ ｌ ｏ —
ｍ ｇｏ 分布距离的数值恰好为Ｐ—ｌ ｏｒｖ Ｊ ； 。这样， 只要给
定总体率 Ｐ的先验分布 ７（ ） 则对于给定的置信水 ｒＰ ， 平 Ｏ， ｌ就可 以按 照上述 后验 分布密 度 丌（ Ｘ 给 出参 数 ｐＩ）
１北京师范大学数学科学学院（０８５ ． １０７ ） ２ 北京大学 医学部生物数学教研 室（０ １１ ． １０９ ） △通讯作者 ： 李勇 ，－ ａ ： ｔｍｉｎ ｍ ｉｃｍ Ｅｍ ｉ ａｅ ｓ ＠ｇ ａ・ｏ ｌ ｒｒ ｏ ｌ
给 出了与 Ｗａ ｌ 间估 计 形 式 上 比较 类 似 的估 计 方 ｄ区 法 ； 以精 确 概 率 为 基 础 的区 间 估 计 ’ 以及 贝 叶 斯 而 。 区间估 计 在 实 际 中也 有 很 多 应 用 。本 文 基 本 上 沿 用 贝叶斯统 计 的 思想 ， 过 一 种 基 于 Ｋ ｌ ｇｏ 布 通 ｏｍｏｒｖ分
医学统计学第八讲二项分布其应用
贝努利试验：指只有两个互斥结果的试验 。如阳性与阴性，生存与死亡，发病与未 发病。
n次贝努利试验指重复进展n次独立的贝努 利试验。又叫贝努利试验序列。
贝努利试验序列特点
①每次试验的结果只能是2个互相对立结 果中的一个。
② n个观察单位的结果互相独立。 ③在一样条件下，每次试验结果的概率不变
。
二项分布〔binomial distribution〕是指 在n次Bernoulli试验中，当每次试验的“阳性 〞概率保持不变时，出现“阳性〞的次数 X=0，1，2，…，n的概率分布。
二项分布下至少发生k例阳性的概率为发生k例 阳性、k+1例阳性、...、直至n例阳性的概率之和。
即
p(x≥k) =p(x=k)+p(x=k+1)+……+p(x=n)
n
p(X k) P(X) P(k) P(k 1) P(k 2) P(n) Xk
X=k，k+1，k+2， …… ，n
二项分布下发生k1例及以上到k2 例阳性的概率为 发生k1例阳性、 k1+1例阳性、...、直至k2例阳性的概 率之和。即
)n
0 √ √ √ (1- )3 1 X √ √ (1-)2 √ X √ (1-)2 √ √ X (1-)2
2 X X √ 2(1-) X √ X 2(1-)
√ X X 2(1-) 3 X X X 3
P( X
0)
3 0
(
)0
(1)Βιβλιοθήκη P( X 1) 31( )1(1 )2
P( X
2)
3 2
(
区间，用(1 – 阴性率可信区间) ，可得阳性率 可信区间。
二、率的假设检验
总体参数的区间估计公式
总体参数的区间估计公式在进行区间估计时，我们首先需要收集到一个样本，并根据样本对总体参数进行估计。
然后根据样本的统计量，结合分布的性质和抽样方法，建立置信区间。
设总体参数为θ，我们希望得到它的置信水平为1-α的置信区间。
置信水平表示我们对总体参数的估计的可信程度，一般常用的置信水平有90%、95%和99%等。
参数估计的方法有很多，具体的方法选择取决于总体参数的性质、样本的大小以及其他假设条件。
常见的参数估计方法有：1.总体均值的区间估计：假设总体呈正态分布，样本大小为n，则总体均值的区间估计公式为：[样本均值-Z值（α/2）*总体标准差/√(n),样本均值+Z值（α/2）*总体标准差/√(n)]其中Z值（α/2）为标准正态分布的分位数，可以从标准正态分布表中查得。
2.总体比例的区间估计：假设总体为二项分布，样本大小为n，成功的次数为x，则总体比例的区间估计公式为：[样本比例-Z值（α/2）*√(样本比例*(1-样本比例)/n),样本比例+Z值（α/2）*√(样本比例*(1-样本比例)/n)]其中Z值（α/2）为标准正态分布的分位数，可以从标准正态分布表中查得。
3.总体方差的区间估计：假设总体呈正态分布，样本大小为n，则总体方差的区间估计公式为：[(n-1)*样本方差/卡方分布（α/2）,(n-1)*样本方差/卡方分布（1-α/2])]其中卡方分布是用于描述自由度为n-1的卡方随机变量的概率分布，可以从卡方分布表中查得。
以上是常见的总体参数区间估计公式，这些公式是根据统计学理论推导而来的，适用于不同情况下的参数估计。
在实际应用中，我们根据具体问题和假设条件选择适当的参数估计方法，计算置信水平的区间估计，从而对总体参数进行估计和推断。
二项分布的应用
排列方式（2 ） 甲 生 生 乙 生 生 死 生 死 生 死 死 丙 生 死 生 生 死 死 生 死
每种排列的概率 （3） 0.2×0.2×0.2=0.008 0.2×0.2×0.8=0.032 0.2×0. 8×0.2 =0.032 0. 8×0.2×0.2 =0.032 0.2×0.8×0.8=0.128 0.8×0.2×0.8=0.128 0.8×0.8×0.2=0.128 0.8×0.8×0.8=0.512
每种组合的概率（4）
P( X ) ( n ) x (1 ) n X X
0.008
2
1
生 死 生
0.096
1
2
死 死
0.384
0
3
死
0.512
1.000
1.000
二项分布的概念
每种组合方式的概率可以用二项式加以概括，
二项式展开的各项就是每种组合的概率。
(0.2+0.8)3= (0.2)3 +3×(0.2)2×(0.8) +3×(0.2)×(0.8)
P( X ) ( ) (1 )
n X X
n X
二项分布的概率
例：在化学毒性的生物鉴定中，给10只同种属、同性
别且体重相近的白鼠注射规定剂量的某种化学制品。 假定该化学制品对实验白鼠的致死率为0.30。试分析计 算这10只实验白鼠中有2只死亡的概率及至少有3只死 亡的概率？
P（2）
Sp
p(1 p) 0.55 (1 0.55) 0.0497 n 100
P - uαSp=0.55-1.96×0.0497=0.4526 P + uαSp=0.55+1.96×0.0497=0.6474 壶腹部吻合术育龄妇女受孕率95%可信区间为 45.26%~64.74%。
二项分布
5. 群检验
16
1.总体率的区间估计
查表法
对于n≤50小样本资料，直接查附表6“百分 率的可信区间”表。得总体率1-可信区间。
附表6中X最大为25，当X＞n/2时，按“阴性” 数n-X查得总体阴性率的1-可信区间QL～ QU，再转换成阳性率的1-可信区间： PL=1-QU ，PU=1-QL。
比实际样本更背离无效假设的样本，即满 足P(X=i)≤0.040311的 i (i≠k) 分别有：0、1、 2、10。 P=P(X=9)+P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=10) = 0.040311+0.000105+0.001573+0.010617 +0.006047=0.058653 结论：按=0.05水准，不拒绝H0，尚不能 认为甲乙两种药物的疗效不同。
4
二、适用条件
1. 每次试验只会发生两种对立的结果之一， 两种互斥结果的概率之和恒等于1；
2. 每次试验产生某种结果（如“阳性”） 的概率π固定不变； 3. 各次试验是互相独立的，即任何一次试 验结果的出现不会影响其它试验结果出 现的概率。
5
例1
设小白鼠接受某种毒物一定剂量时，其死 亡率为80%， 对每只小白鼠来说，其死亡 概率为0.8，生存概率为0.2，若每组各用甲、 乙、丙三只小白鼠逐只做实验，观察每组 小白鼠的存亡情况，其可能发生的结果见 下表。
23
例3 已知某种非传染性疾病采用甲药治疗 的有效率为0.60。今改用乙药治疗该病患 者10人，发现9人有效。问甲乙两种药物 的疗效是否不同？ H0: =0.60 H1: ≠0.60 =0.05
二项分布
Binomial distribution
主要内容
二项分布的概念
定义，概率，均数与标准差，图形
样本率的均数和标准差
二项分布的应用
一、二项分布定义
任意一次试验中，只有事件A发生和不发生两 种结果，发生的概率分别是: 和1－
若在相同的条件下，进行n次独立重复试验， 用X表示这n次试验中事件A发生的次数，那么X 服从二项分布，记做 XB(n,)，也叫Bernolli 分布。
样本率的标准差（标准误)Sp:
二项分布的应用：统计推断
总体率区间估计 样本率与总体率的比较 两样本率的比较
六、总体率区间估计
查表法 正态分布法 公式：pµ Sp
七、样本率与总体率的比较
例题：新生儿染色体异常率为0.01，随 机抽取某地400名新生儿，发现1名染色 体异常，请问当地新生儿染色体异常是 否低于一般？ 分析题意，选择合适的计算统计量的方 法。
4.求概率值P：
5.做出推论：
Piosson分布
泊松分布
Piosson分布的意义
盒子中装有999个黑棋子，一个白棋子， 在一次抽样中，抽中白棋子的概率 1/1000
在100次抽样中，抽中1，2，…10个白棋 子的概率分别是……
放射性物质单位时间内的放射次数
单位体积内粉尘的计数
血细胞或微生物在显微镜下的计数
P X X ) (
X!
e
u
Piosson分布的总体均数为 Piosson分布的均数和方差相等。 ＝2
Piosson分布的条件
由于Piosson分布是二项分布的特例，所以，
二项分布的三个条件也就是Piosson分布的适用
条件。
另外，单位时间、面积或容积、人群中观察事
二项分布与总体率的估计
26
二项分布(binomial distribution)与总体率的估计
■ 二项分布的应用： 总体率的估计
2 正态近似法
当样本含量n足够大，且样本率p或1-p均不太小，如np与n（1-p）均大 于5时，样本率p的抽样分布近似正态分布，总体率π的可信区间可按下
■ 二项分布（binomial distribution）概念：
0.8 (1 0.8) 3 C30 0.80 (1 0.8)30 C310.81(1 0.8)31 C32 0.82 (1 0.8)32 C33 0.83 (1 0.8)33
1 0.008 3 0.032 3 0.1281 0.512 1.0000
= P（k）+ P（k +1）+…P（n） =1- P（X≤k-1）
其中，X=0,1,2,…,k,…,n。
例题：据以往经验，用某药治疗小儿上呼吸道感染、支气管炎，有效率 为85％，今有5个患者用该药治疗，问：① 至少3人有效的概率为多 少？② 最多1人有效的概率为多少？
20
二项分布(binomial distribution)与总体率的估计
率的可信区间可直接根据样本含量n和阳性数X查出总体率的可信区间。 由于附表百分率的可信区间中X值只列出了X≤n/2的部分，当X＞n/2时，应 以n-X 查表，，再从100中减去查得的数值即为所求可信区间。
例题：实验用大白鼠10只，注射某一剂量毒物后有2只死亡，求该毒物 引起大白鼠死亡率的95％的可信区间？
■ 二项分布（binomial distribution）概念： 例3.4 设小白鼠接受一定剂量的某种毒物时的死亡率为80%。若每组各 用甲乙丙3只小白鼠逐个做实验，观察每组小白鼠的存亡情况。如果考虑生 、死的顺序时，则有8种排列方式；如果不考虑生、死的顺序只考虑生死的 数目时，则有4种组合方式，如表3-4第（3）、（4）栏所示。
统计学复习要点-医学
统计学复习要点-医学总体率的估计（二项分布）：（1）查表法：当样本含量n ≤50，特别是p 很接近于0或1时，按二项分布原理估计总体率的可信区间，可根据样本含量n 和阳性例数X 乾地查表查出总体率的可信区间。
（2）近态近似法：当样本含量n 足够大，且np>5且n(1-p)>5，样本率p 的抽样分布近似正态分布，总体率的可信区间),(2/2/p p S u p S up αα+-已知：n=，p= =-=np p s p )1( np=?>5 n(1-p)=?>5总体率的可信区间)96.1,96.1(pp S p S p +- 实际准备的药物：求出的上下限分别乘以总n 。
正态分布、二项式和泊松分布的关系：二项分布（binomial distribution ）：对只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。
Poisson 分布是在π很小，样本含量n 趋于无穷大时，二项分布的极限形式。
当v=∞时，t 分布即为u 分布，趋向正态分布。
正态分布的特征：正态曲线在横轴上方均数处最高；以均数为中心，左右对称；正态分布有两个参数，即均数μ（位置参数）和标准差σ（形状参数），μ越大，曲线沿横轴越向右移动；σ越大，曲张越平阔；正态分布在±1σ处各有个拐点；正态曲线下的面积分布有一定的规律。
t 分布的特征：以0为中心，左右两侧对称的单峰型分布；t 分布曲线的变化与自由度的大小有关，自由度v 越小，则t 值越分散，曲线越低平；自由度v 逐渐增大时，则t 分布逐渐逼近正态分布。
当v=∞时，t 分布即为u 分布。
X s X t/)(μ-= n s s X /= 标准正态分布（u 分布）与t 分布有何异同？答：相同点：t 分布和标准正态分布（u 分布）都是以0为中心的正态分布。
标准正态分布是t 分布的特例（自由度是无限大时）。
不同点：t 分布为抽样分布，u 分布为理论分布；t 分布比标准正态分布的峰值低，且尾部翘得更高；t 分布受自由度大小的影响，随着自由度的增大，逐渐趋近于标准正态分布；t 分布有无数条曲线，而u 分布只有唯一一条曲线。
二项式分布点估计
二项式分布点估计
在统计学中，二项式分布是一种离散概率分布，可以用于描述在进行了一系列独立重复的二元试验中成功的次数。
二项式分布的概率质量函数为：
P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)
其中，P(X=k)表示成功次数为k的概率，C(n,k)表示组合数，n 表示试验次数，p表示单次试验成功的概率，k表示成功次数。
点估计是用样本数据来估计总体参数的一种方法。
对于二项式分布，可以用样本数据来估计成功概率p。
常用的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是通过选择使得观察到的样本结果概率最大的参数值来进行估计。
对于二项式分布，最大似然估计可以通过计算成功次数占总试验次数的比例来估计成功概率p。
矩估计是通过样本矩（样本均值、样本方差等）与总体矩之间的关系来进行估计。
对于二项式分布，可以通过样本均值来估计成功概率p。
综上所述，二项式分布的点估计可以使用最大似然估计或矩估计方法来估计成功概率p。
正态近似法估计总体率的置信区间
正态近似法估计总体率的置信区间正态近似法估计总体率的置信区间【导语】在统计学中，我们常常需要估计总体参数，如总体率或总体均值。
为了对估计结果的准确性进行评估，我们需要计算出一个置信区间。
本文将介绍一种常用的方法——正态近似法，用于估计总体率的置信区间。
通过掌握这种方法，我们能够更好地理解和解释样本数据，并对总体参数进行准确的推断。
【1. 介绍】总体率是指在总体中具有某一属性的个体所占的比例。
我们想要了解某种药物的治愈率，即可以使用总体率的估计方法。
一般情况下，我们无法直接获得总体所有个体的信息，因此需要通过从总体中抽取样本来进行估计。
【2. 正态近似法的基本原理】正态近似法是一种常用的估计总体率置信区间的方法。
其基本原理是假设样本中符合某个二项分布，然后根据中心极限定理，利用正态分布来近似这个二项分布，从而得到总体率的置信区间。
【3. 置信区间的计算】在正态近似法中，首先需要确定样本中符合二项分布的事件发生的概率p。
我们可以根据样本的大小n和事件发生的次数k，来估计总体率的点估计p̂（即k/n）。
接下来，我们需要计算标准误差（Standard Error），表示估计值p̂的不确定性。
标准误差的计算可以使用以下公式：SE = sqrt((p̂*(1-p̂))/n)。
我们使用标准正态分布的分位点来确定置信水平对应的临界值。
常见的置信水平有95%和99%，对应的临界值分别为1.96和2.58。
我们可以使用以下公式计算置信区间的下限和上限：下限 = p̂ - (临界值 * SE)上限 = p̂ + (临界值 * SE)【4. 实例分析】为了更好地理解正态近似法估计总体率的置信区间，我们以一个实例进行分析。
假设某医院对200个患者随机进行了调查，统计发现其中有50个患者生完孩子后没有产生并发症。
现在，我们想要估计该医院产生并发症的总体率，并给出其置信区间。
根据上述计算步骤，我们可以得到以下结果：- 点估计p̂ = 50/200 = 0.25- 标准误差SE = sqrt((0.25*(1-0.25))/200) ≈ 0.030- 临界值(95%置信水平) ≈ 1.96- 置信区间下限≈ 0.25 - (1.96 * 0.030) ≈ 0.19- 置信区间上限≈ 0.25 + (1.96 * 0.030) ≈ 0.31我们可以得出结论：该医院产生并发症的总体率的置信区间为[0.19, 0.31]，置信水平为95%。
估计总体率的样本含量计算
估计总体率的样本含量计算
估计总体率的样本含量计算是为了确定在所选样本中需要包含多少观察值，以便可以对总体率进行准确的估计。
以下是一种常用的计算方法：
1. 确定所需的置信水平（例如95%置信水平）和允许的误差范围（例如总体率的置信区间宽度）。
2. 根据所选的置信水平，查找正态分布表或使用统计软件来确定对应的Z值。
例如，在95%置信水平下，Z值约为1.96。
3. 估计实际的总体率。
如果没有先验信息可用，可以使用0.5作为保守的估计。
如果有其他相关信息可用，可以使用更准确的估计。
4. 使用以下公式计算所需的样本大小：
n = (Z^2 * p * (1-p)) / E^2
其中，n为样本大小，Z为所选置信水平对应的Z值，p为总体率的估计值，E为允许的误差范围。
5. 计算出的样本大小可能为小数，需向上取整至最接近的整数。
这是因为样本大小必须为整数。
请注意，以上方法是基于二项分布的总体率估计。
如果所选的总体率不是二项分布，可能需要使用其他适当的方法进行样本大小计算。
二项分布与泊松分布
二项分布的概率公式
如果一个事件A，在n次独立试验中，
每次试验都具有概率π ，那么，这一事件
A将在n次试验中出现x次的概率为：
P (x ) C n x x(1 )n x,(x 1 ,2 ,3 ..n .)...
式中： Cnx
n! x!(n x)!
称二项系数。
（二）二项分布的应用条件
1. 各观察单位只能具有互相对立的一种结 果，属于二项分类资料；
频率
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
0
1
2
3
4
5
其他
n=5
频率
350 300 250 200 150 100 50
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 其他
n=10
频率
250
200
150
100
50
0
0
2
4
6
8
10
其他
n=20
频率
250
200
150
100
50
0
0
3
体率的估计
二项分布(binomial distribution) 就是对这种只具有两种互斥结果的离散型 随机变量的规律性进行描述的一种概率分 布。由于这一种分布规律是由瑞士学者贝 努里(Bernoulli)首先发现的，又称贝努里 分布。
二项分布有两个基本假设：
1.各事件是相互独立的，即任一事件 的发生与否，不影响其它事件的发生 概率；
P>0.05,差异无统计学意义，尚不能认为乙药 疗效优于甲药。
3.研究疾病的家族聚集性
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二项分布(binomial distribution)与总体率的估计
■ 二项分布（binomial distribution）概念：
二项分布（binomial distribution）是指在只会产生两种可能结果如“
阳性”或“阴性”之一的n次独立重复试验（称为n重Bernoulli试验）中 ，当每次试验的“阳性”概率保持不变时，出现“阳性”的次数X=0，1，2
数目时，则有4种组合方式，如表3-4第（3）、（4）栏所示。
二项分布(binomial distribution)与总体率的估计
■ 二项分布（binomial distribution）概念：
该实验是逐只进行的，其实验结果相互独立，根据概率的乘法法则（几
个独立事件同时发生的概率，等于各独立事件的概率之积），可算出每种 排列方式的概率以及每种组合方式的概率，见第（3）、（4）栏。每种组
■ 贝努里试验（Bernoulli trial）
二项分布(binomial distribution)与总体率的估计
■ 贝努里试验（Bernoulli trial）
二项分布(binomial distribution)与总体率的估计
■ 贝努里试验（Bernห้องสมุดไป่ตู้ulli trial）
二项分布(binomial distribution)与总体率的估计
二项分布(binomial distribution)与总体率的估计
■ 二项分布（binomial distribution）概念：
二项分布(binomial distribution)与总体率的估计
■ 二项分布的应用条件：
二项分布(binomial distribution)与总体率的估计
■ 二项分布的性质：
二项分布(binomial distribution)与总体率的估计
■ 二项分布（binomial distribution）概念：
二项分布(binomial distribution)与总体率的估计
■ 二项分布（binomial distribution）概念：
1 2 3 0.8 (1 0.8)3 C30 0.80 (1 0.8)30 C3 0.81 (1 0.8)31 C3 0.82 (1 0.8)32 C3 0.83 (1 0.8)33
n X
二项分布(binomial distribution)与总体率的估计
■ 二项分布（binomial distribution）概念：
例3.4
设小白鼠接受一定剂量的某种毒物时的死亡率为80%。若每组各
用甲乙丙3只小白鼠逐个做实验，观察每组小白鼠的存亡情况。如果考虑生 、死的顺序时，则有8种排列方式；如果不考虑生、死的顺序只考虑生死的
合的概率分布服从二项展开式：
1 2 [(1 ) ]n (1 ) n C n (1 ) n 1 1 C n (1 ) n 2 2 n 1 C nX (1 ) n X X C n (1 ) n 1 n
1. 二项分布的均数和标准差
总体均数：
n
2 n (1 )
n (1 )
总体方差：
p 是率（ p ）的标准差， 又称率的标准误，它反映 率的抽样误差的大小。
X 如果将出现阳性结果的频率记为：p n 则p的总体均数、方差和标准差：
总体标准差：
当仅知道样本率而总体率 时，则率的标准差（或标 准误）的估计公式为：
■ 复习中学的有关数学概念
二项分布(binomial distribution)与总体率的估计
■ 贝努里试验（Bernoulli trial）
二项分布(binomial distribution)与总体率的估计
■ 贝努里试验（Bernoulli trial）
二项分布(binomial distribution)与总体率的估计
二项分布(binomial distribution)与总体率的估计
School of public health
二项分布(binomial distribution)与总体率的估计
二项分布(binomial distribution)与总体率的估计
■ 复习中学的有关数学概念
二项分布(binomial distribution)与总体率的估计
，…，n的一种概率分布。
从阳性率为π的总体中随机抽取大小为n的样本，则出现阳性数为X
的概率分布即呈二项分布，记为X～B(n，π)，
n! X n X P( X ) (1 ) X !(n X )!
X 0,1, 2, , n
P( X ) C (1 )
X n X
1 0.008 3 0.032 3 0.128 1 0.512 1.0000
P( X ) C3X 0.8X (1 0.8)3 X
1 P(1) C n (1 ) n 1 1
3! (1 0.8) 31 0.81 0.096 1! (3 1)!
1 2 3 0.8 (1 0.8)3 C30 0.80 (1 0.8)30 C3 0.81 (1 0.8)31 C3 0.82 (1 0.8)32 C3 0.83 (1 0.8)33
二项分布(binomial distribution)与总体率的估计
■ 二项分布（binomial distribution）概念：
1 2 3 0.8 (1 0.8)3 C30 0.80 (1 0.8)30 C3 0.81 (1 0.8)31 C3 0.82 (1 0.8)32 C3 0.83 (1 0.8)33
1 0.008 3 0.032 3 0.128 1 0.512 1.0000