2019-2020学年高一(下)期末数学试卷 (37)-720(解析版)

2019-2020学年高一（下）期末数学试卷 (37)一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 若角α终边在第二象限，则π−α所在的象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 从2007名学生中选取50名参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的可能性( )A. 都相等，且为502007 B. 不全相等 C. 均不相等D. 都相等，且为1403. 投掷两枚骰子，则点数之和是6的概率为( )A. 536 B. 16 C. 215D. 1124. 在△ABC 中，AB =AC =1，BC =√3，则向量AC⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为( ) A. −12B. 12C. −√32D. √325. 要得到函数y =12cos2x +√32sin2x 的图像，只需将函数y =sin2x +√3cos2x 的图像( )A. 向右平移π6个单位，再将得到的图像上各点的纵坐标变为原来的12(横坐标不变) B. 向左平移π6个单位，再将得到的图像上各点的纵坐标扩大到原来的2倍(横坐标不变) C. 向右平移π12个单位，再将得到的图像上各点的纵坐标变为原来的12(横坐标不变) D. 向左平移π12个单位，再将得到的图像上各点的纵坐标变为原来的12(横坐标不变)6. 程序执行两个语句“S =0，i =1”后，再连续执行两个语句“S =S +i ，i =i +2”三次，此时S 的值是( ) A. 1 B. 3 C. 4 D. 9 7. 已知函数y =sinx +cosx ，则下列结论正确的是( )A. 此函数的图象关于直线x =−π4对称 B. 此函数的最大值为1；C. 此函数在区间(−π4,π4)上是增函数． D. 此函数的最小正周期为π．8. 如图是函数f(x)=Asin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π2)的部分图象，则f (3π4)=( )A. −2B. −√2C. 2D. √2 9. 已知e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是夹角为2π3的两个单位向量，若向量a ⃗ =3e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ ，则a ⃗ ⋅e 1⃗⃗⃗ =( )A. 2B. 4C. 5D. 710. 已知sin(x +π3)=13，则cosx +cos(π3−x)的值为( )A. −√33B. √33C. −13D. 13二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.x 0 1 2 3 y8264则线性回归方程y =a +bx 所表示的直线必经过点． 12. 若，则____．13. 与a ⃗ =(3,4)同方向的单位向量a 0⃗⃗⃗⃗ =______．14. 从集合{1,2，3，4，5}中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为______． 三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）15. 已知sinα=13，α是第二象限角，求tan(π−α)的值．16. 已知a ⃗ ，b ⃗ 是两个单位向量．若|3a ⃗ −2b ⃗ |=3，试求|3a ⃗ +b ⃗ |的值．17. 已知O(0,0)A(2,0)，B(0,2)，C(cosα,sinα)，且0<α<π(1)若|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√7，求OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角；(2)若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求tanα的值。

18. 甲、乙、丙三人中要选一人去参加唱歌比赛，于是他们制定了一个规则，规则为：(如图)以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，这5个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ，若X >0就让甲去；若X =0就让乙去；若X <0就是丙去．(Ⅰ)写出数量积X 的所有可能取值；(Ⅱ)求甲、乙、丙三人去参加比赛的概率，并由求出的概率来说明这个规则公平吗？19. 某地植被面积x(公顷)与当地气温下降的度数y(°C)之间有如下的对应数据：x(公顷) 20 40 50 60 80 y(°C)34445y ̂=b ̂x +a ̂(2)根据(1)中所求线性回归方程，如果植被面积为200公顷，那么下降的气温大约是多少°C ？ 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：b ̂=∑x i ni=1y i −nx·y ∑x i 2n i=1−nx2，a ̂=y −b ̂x ．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵α终边在第二象限， ∴2kπ+π2<α<2kπ+π，k ∈Z ， 则−2kπ−π<−α<−2kπ−π2，k ∈Z ，则−2kπ<π−α<−2kπ+π2，k ∈Z ，为第一象限， 故选：A根据角的象限之间的关系进行判断即可． 本题主要考查角的象限的判断，比较基础． 2.答案：A解析：解：根据题意，先用简单随机抽样的方法从2007人中剔除7人， 则剩下的再按系统抽样的抽取时，每人入选的概率为20002007×502000=502007， 故每人入选的概率相等 故选：A ．先用简单随机抽样的方法剔除，剩下的再按系统抽样的抽取，故可得结论． 本题考查等可能事件的概率，考查抽样方法，明确每个个体的等可能性是关键． 3.答案：A解析：解：由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是同时掷两枚骰子，共有6×6=36种结果，而满足条件的事件是两个点数之和是6，列举出有(1,5)(2,4)(3,3)(4,2)，(5,1)共有5种结果， 根据古典概型概率公式得到P =536，故选：A ．利用乘法原理计算出所有情况数，列举出有(1,5)(2,4)(3,3)(4,2)，(5,1)共有5种结果，再看点数之和为6的情况数，最后计算出所得的点数之和为6的占所有情况数的多少即可．本题根据古典概型及其概率计算公式，考查用列表法的方法解决概率问题；得到点数之和为6的情况数是解决本题的关键，属于基础题． 4.答案：A解析：解：∵△ABC 中，AB =AC =1，BC =√3， ∴cosA =AB 2+AC 2−BC 22⋅AB⋅AC=1+1−32×1×1=−12，∴A =120°，∴向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1×1×cos120°1=−12，故选：A ．根据余弦定理求出角A的大小，结合向量投影的定义进行求解即可．本题主要考查向量投影的计算，根据定义转化向量数量积是解决本题的关键．5.答案：C解析：y=12cos2x+√32sin2x=sin(2x+π6)，y=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)；因此只需将y=2sin(2x+π3)的图像向右平移π12个单位就可得到y=2sin[2(x−π12)+π3]=2sin(2x+π6)的图像，然后再将得到的图像上各点的纵坐标变为原来的12(横坐标不变)，即可得到y=sin(2x+π6)的图像．6.答案：D解析：解：执行两个语句“S=S+i，i=i+2”一次，S=1，i=3；执行两个语句“S=S+i，i=i+2”二次，S=4，i=5；执行两个语句“S=S+i，i=i+2”三次，S=9，i=7．故选：D．模拟程序的运行过程，即可得到答案．本题考查赋值语句，属于基础题．7.答案：C解析：解：因为函数y=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，当x=−π4时函数值为：0，函数不能取得最值，所以A不正确；函数y=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，当x=π4时函数取得最大值为√2，B不正确；因为函数x+π4∈(−π2,π2)，即x在(−π4,3π4)上函数是增函数，所以函数在区间(−π4,π4)上是增函数，正确．函数的周期是2π，D不正确；故选C．利用两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，本题考查三角函数的化简求值，正弦函数的周期与最值、单调性与对称性，考查基本知识的应用．8.答案：B解析：【分析】本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，属于中档题．根据图像可确定A=2，得到函数解析式，从而可求f(3π4)的值．【解答】解：由函数的图像可得到A=2，根据函数图像，可得，所以，又因为，解得，因为0<φ<π2，所以φ=π4，可得f(x)=2sin(2x+π4)，f(3π4)=−√2．故选B．9.答案：B解析：解：∵e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是夹角为2π3的两个单位向量，且a⃗=3e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ ，∴a⃗⋅e1⃗⃗⃗ =(3e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ )⋅e1⃗⃗⃗ =3e1⃗⃗⃗ 2−2e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗=3−2×1×1×cos2π3=4故选：B由题意可得a⃗⋅e1⃗⃗⃗ =(3e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ )⋅e1⃗⃗⃗ =3e1⃗⃗⃗ 2−2e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ ，代入已知数据化简可得．本题考查平面向量数量积的运算，属基础题．10.答案：B解析：解：cosx+cos(π3−x)=cosx+12cosx+√32sinx=32cosx+√32sinx=√3sin(x+π3)=√33，故选：B．根据两角和差的余弦公式和正弦公式计算即可．本题考查了两角和差的余弦公式和正弦公式，属于基础题．11.答案：(32,5)解析：【分析】本题考查回归直线方程的应用，属于基础题．先利用数据平均值的公式求出x，y的平均值，以平均值为横、纵坐标的点在回归直线上，即样本中心点在线性回归直线上．【解答】解：∵x=0+1+2+34=1.5，y=8+2+6+44=5∴线性回归方程ŷ=a+bx所表示的直线必经过点(1.5,5)故选为(1.5,5)．12.答案：45解析：【分析】本题考查了同角三角函数的基本关系，二倍角公式，属于基础题．根据题意得到tanα=2，化简sin2α=2tanα1+tan2α，即可得到答案．【解答】解：因为tanα+1tanα−1=3，即tanα+1=3tanα−3，所以tanα=2，则．故答案为45．13.答案：(35,4 5 )解析：解：|a⃗|=√9+16=5，故与a⃗=(3,4)同方向的单位向量a0⃗⃗⃗⃗ =(35,45 )，故答案为：(35,45 )．求出a⃗的模，从而求出和其同向的单位向量的坐标即可．本题主要考查单位向量的定义和求法，属于基础题．14.答案：25解析：【分析】先计算出从集合{1,2，3，4，5}中随机选取3个不同的数对应的基本事件总数，再列举出这3个数可以构成等差数列的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，其中本题易忽略1，3，5这种情况，而造成错解．【解答】解：从集合{1,2，3，4，5}中随机选取3个不同的数，共有(1,2，3)，(1,2，4)，(1,2，5)，(1,3，4)，(1,3，5)，(1,4，5)，(2,3，4)，(2,3，5)，(2,4，5)，(3,4，5)共10种不同的情况；其中可以构成等差数列的情况有：(1,2，3)，(2,3，4)，(3,4，5)和(1,3，5)4种故这3个数可以构成等差数列的概率为410=25．故答案为：25．15.答案：解：∵sinα=13，α是第二象限角，∴可得：cosα=−√1−sin2α=−2√23，tanα=sinαcosα=−√24，∴tan(π−α)=−tanα=√24．解析：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα，进而利用诱导公式化简所求即可得解．16.答案：解：a ⃗ ，b ⃗ 是两个单位向量．若|3a ⃗ −2b ⃗ |=3，可得：9+4−12a ⃗ ⋅b ⃗ =9，可得cos <a ⃗ ,b ⃗ >=13， |3a ⃗ +b ⃗ |=√9a ⃗ 2+6a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=√9+6×13+1=2√3． |3a ⃗ +b ⃗ |的值为：2√3．解析：通过向量的模，转化求解向量的数量积，然后求解向量的模．本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力． 17.答案：解：(1)由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+cosα,sinα)，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√7， ∴(2+cosα)2+sin 2α=7，∴4+4cosα+cos 2α+sin 2α=7， 化为cosα=12，又0<α<π，解得α=π3． ∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32)，设OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ，θ∈[0,π]．则cosθ=OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32， ∴θ=π6.即OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为π6．(2)∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα−2,sinα)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα,sinα−2)．∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =cosα(cosα−2)+sinα(sinα−2)=1−2cosα−2sinα=0， ∴cosα+sinα=12， 又sin 2α+cos 2α=1， ∵0<α<π， 联立解得sinα=1+√74，cosα=1−√74．∴tanα=sinαcosα=√71−√7=−4+√73．解析：本题考查了向量模的计算公式、向量夹角公式、向量垂直与数量积的关系、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． (1)由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+cosα,sinα)，利用向量模的计算公式可得(2+cosα)2+sin 2α=7，化简整理可得cosα=12，又0<α<π，即可解得α．设OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ，θ∈[0,π].利用向量夹角公式即可得出． (2)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，cosα+sinα=12，又sin 2α+cos 2α=1，联立解得即可．18.答案：解：(Ⅰ)由题意可得：OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)⋅(1,−1)=1， OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)⋅(0,−1)=0， OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)⋅(0,1)=0， OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA 5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)⋅(−1,1)=−1， OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1)⋅(0,−1)=1， OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1)⋅(0,1)=−1， OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA 5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1)⋅(−1,1)=−2， OA 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1)⋅(0,1)=−1， OA 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA 5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1)⋅(−1,1)=−1， OA 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA 5⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)⋅(−1,1)=1． ∴X 的所有可能取值为−2，−1，0，1． (Ⅱ)由(Ⅰ)可知基本事件共10个， X >0的事件有3个， X =0的事件有2个， X <0的事件有5个， P(甲去)=310． P(乙去)=210． P(丙去)=510．甲乙丙去的概率不相同， ∴这个规则不公平．解析：(Ⅰ)根据向量数量积的定义即可计算X 的所有可能取值；(Ⅱ)本题考查古典概型及其概率公式，以及平面向量的数量积的运算的综合应用，属中档题．19.答案：解：(1)∵x −=20+40+50+60+805=50，y −=3+4+4+4+55=4．∑x i 5i=1y i =20×3+40×4+50×4+60×4+80×5=1060，∑x i 25i=1=202+402+502+602+802=14500． ∴b ̂=1060−5×50×414500−5×50=0.03，a ̂=4−0.03×50=2.5． 故y 关于x 的线性回归方程ŷ=0.03x +2.5； (2)由(1)得：当x =200时，ŷ=0.03×200+2.5=8.5． ∴植被面积为200公顷时，下降的气温大约是8.5°C ．解析：(1)由已知表格中的数据求得b̂与a ̂的值，则线性回归方程可求； (2)在(1)中求得的线性回归方程中，取x =200，得到y 值即可． 本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．。