工业产品材料力学设计-第2章-拉压有限元法
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材料力学 第2章拉压
由： ∑ X = 0 ∑ Y = 0
F1 + F2 + W cos 60o − FN cos15o = 0 得： FN sin15o − W cos 30o = 0
F2 = W cos 30o 解得：FN = W = 3.35W o sin15 F1 = FN cos15o − W (1 + cos 60o ) = 1.74W
§2.4
、概念
材料在拉伸时的力学性能
1、材料的力学性能： 材料的力学性能：
•材料在外力作用下表现出的变形、破坏等方面的特性称为材 料的力学性能也称为材料的机械性能或机械性质。 •材料的力学性能由材料试验分析系确定。 •常温静载试验：室温(20°C)下缓慢加载。
2、材料在拉伸时的力学性能: 材料在拉伸时的力学性能:
§2.7
一、 失效的概念
失效、 失效、安全系数和强度计算
1、定义：构件丧失正常承载功能称为失效。 构件失效的类型： 2、构件失效的类型：
•强度失效 由于材料屈服或断裂所致。 强度失效： 强度失效 •刚度失效 由于构件弹性变形过大不能正常工作所致。 刚度失效： 刚度失效 •失稳失效 失稳失效：不能维持原有平衡状态所致。 失稳失效
二、其他塑性材料拉伸时的力学性能
1、性能比较： 性能比较：
•均有线弹性阶段。 •均有强化阶段。 •不一定有屈服阶段。 •不一定有颈缩阶段。
2、无屈服阶段材料的屈 服指标： 服指标：
σ0.2—名义屈服极限。
三、铸铁拉伸时的力学性能
1、拉断前应变很小，伸长率也 拉断前应变很小， 很小。 很小。 应力应变非线性关系。 2、应力应变非线性关系。 3、强度极限：σb（唯一的强度 强度极限：
指标）
F1 + F2 + W cos 60o − FN cos15o = 0 得： FN sin15o − W cos 30o = 0
F2 = W cos 30o 解得：FN = W = 3.35W o sin15 F1 = FN cos15o − W (1 + cos 60o ) = 1.74W
§2.4
、概念
材料在拉伸时的力学性能
1、材料的力学性能： 材料的力学性能：
•材料在外力作用下表现出的变形、破坏等方面的特性称为材 料的力学性能也称为材料的机械性能或机械性质。 •材料的力学性能由材料试验分析系确定。 •常温静载试验：室温(20°C)下缓慢加载。
2、材料在拉伸时的力学性能: 材料在拉伸时的力学性能:
§2.7
一、 失效的概念
失效、 失效、安全系数和强度计算
1、定义：构件丧失正常承载功能称为失效。 构件失效的类型： 2、构件失效的类型：
•强度失效 由于材料屈服或断裂所致。 强度失效： 强度失效 •刚度失效 由于构件弹性变形过大不能正常工作所致。 刚度失效： 刚度失效 •失稳失效 失稳失效：不能维持原有平衡状态所致。 失稳失效
二、其他塑性材料拉伸时的力学性能
1、性能比较： 性能比较：
•均有线弹性阶段。 •均有强化阶段。 •不一定有屈服阶段。 •不一定有颈缩阶段。
2、无屈服阶段材料的屈 服指标： 服指标：
σ0.2—名义屈服极限。
三、铸铁拉伸时的力学性能
1、拉断前应变很小，伸长率也 拉断前应变很小， 很小。 很小。 应力应变非线性关系。 2、应力应变非线性关系。 3、强度极限：σb（唯一的强度 强度极限：
指标）
材料力学S02拉压
B
qx
l
C
F1
F1
23
第二章
轴向拉伸和压缩
拉压变形计算例题
例7： 支架，F=20kN， E=200GPa ，杆1截面d=0.022m， θ0=30°；杆2长度为l2=2m，截面为No.10工字钢， A2=1.435×10-3m2 。试计算结构中的最大应力和A点位 移。 d
B
(1)
FN 1
C
( 2)
l l
(a)
第二章
d
轴向拉伸和压缩
(b)
34
2. 低碳钢的拉伸力学性质
2.1 学习重点 材料的拉伸曲线（应力-应变或载荷-位移曲线） 重要参数 D 2.2 曲线 F 四个阶段： B 弹性，屈服 C 强化，颈缩 A
' '
轴向拉伸和压缩
F
b
b b
F
泊松比ν
第二章
l
20
拉压变形计算例题
F
例6： A 如图直径为d的圆截面的桩被外力F打入土中， 假设土对桩体的阻力为均匀分布，其线分布 B 集度为qx，土对桩头的阻力F1=0.3qxl，桩体 材料的弹性模量为E。试计算桩体最大应力 和总变形量。 q
F
O
x
x
该杆件上的载荷力系关于杆件中截面C反对称，FN的分 布关于杆件中截面C也是反对称的。
第二章 轴向拉伸和压缩 9
第三节
应力 拉压应力
Fi1
1. 应力 单位截面积上作用着的内力 平均应力 p ΔF
m
m
ΔA
ΔFn
ΔFt
一点应力
ΔA ΔF ΔF m n m t ΔA ΔA ΔF p lim ΔA 0 ΔA ΔF ΔF lim n lim t ΔA0 ΔA ΔA0 ΔA
材料力学 第二章拉压
—— 安全系数
二、 强度条件 1、 强度条件
讨论：
N max 等截面拉压杆： max A
① 左右端概念不同，左端与载荷、截面有关，与材料无 关，而右端项仅与材料有关，与截面尺寸、载荷无关
② 材料力学中强度设计的思想：设计计算是针对危险 点而进行的，称作极限应力方法 ③ 最大工作应力 —— 危险截面、危险点
极限应力： 材料处于极限状态（失效）时的应力，用ζjx(ηjx)表示。 塑性材料：
jx
S
脆性材料：
jx
b
n
jx
—— 许用应力，构件工作应力不允许超过的数值。
塑性材料： s ns
n s , nb
脆性材料： b nb
n s , nb 1
L
NL EA
P
P
P1
P3
P2
若杆横截面N、A分段为常量： 一般杆件：
L
N i Li EAi
N(x)
L
N ( x) EA
dx
dx
x N(x)
L
例： 已知：钢丝绳L = 50m，P = 10kN，A1 = 323mm2，A2 = 503mm2，q1 = 32.2N/m，q2 = 47.5N/m，E = 150GPa，求ΔL 解：
பைடு நூலகம்据内力图
据应力分布图
强度设计关键：准确判断危险点位置
2、 强度计算：
强度校核
N max A
截面设计（选择） A
N max
确定许可载荷
N max A
三、 实例：
解： 由：
材料力学02拉压
外力作用引起构件内部的附加相互作用力。 求内力的方法－－截面法 1、切
F5
F 1 F2
m
F4
2、留（抛）
3、代 4、平
F5
m
F3
F 1 F2
F4
F3
目录 11
§2-2 轴力和轴力图
1、轴力：横截面上的内力
F 2、截面法求轴力 m F FN FN F
m F
切: 假想沿m-m横截面将杆 切开 留: 留下左半段或右半段
b b
40
目录
横向应变 钢材的E约为200GPa，v 约为0.25—0.33
泊松比
§2-7
§2-4 拉压杆的变形
胡克定律
例2－5 一构件如图所示，已知： P1=30kN ， P2=10kN ， AAB=ABC=500mm2 ， ACD=200mm2 ， E=200GPa。 试求：(1) 各段杆横截面上的内力和应力； (2) 杆的总伸长。 A 100 B P1 100 100
与 恒反号，即
（E和 均为材料常数，见表2-1）
E
§2-4 拉压杆的变形
一 纵向变形 l l l1 l l FN Fl l A A
l FN l EA
胡克定律
E
E 为弹性摸量,EA 为抗拉刚度
二 横向变形
b b1 b
b1 b b b b
胡克定律
b1
b
横向的含义：是指变形的方向和引起变形的力的方向垂直。 拉杆的横向线应变为负，与纵向线应变的正负号相反。
38
§2-4 拉压杆的变形
泊松比
工业产品材料力学设计第2章拉压有元法PPT课件
2
第2章 轴向拉伸和压缩
2.4 拉压问题的有限单元法
2.4.1 有限元法概述 Finite Element Method
有限元法就是复杂的几何或受力对象划分为数量有限、
形状简单、具有共同特征的子域，这些子域叫单元。
node (节点)
element(单元)
其核心思想是离散化，即将实际可变形体假想地离散为单
9
(2-4)单元应力场分析
(x)du(x)u2u1 1
dx l1
x
u(x)
l1
E1 A1
2
x
uu 2 1
(x)E(x)E l 1
1 1
其中 S(x)El11 El11，称为应力矩阵
(x)E l11 E l11u u1 2S(x)•q(1)
21.11.2020
10
(2-5)单元变形能计算
l
UU*
机械设计制造及其自动化专业
二年级第2学期
工业产品材料力学设计
主讲教师：王一军
2011.3
TEL:687648
EMAIL:
21.11.2020
1
第2章 轴向拉伸和压缩
2.4 拉压问题的有限单元法
21.11.2020
力学是数学的乐园， 因为我们在这里获 得了数学的果实。 -Leonardo de Vinci
在有限元分析中，要求必须事先给出或设定位移函数。位移函数的设 定方法有2种：直接法和试函数法(Trial function) 。
直接法：就是解析法。
代入边界条件
u(x)q(1)
(x) FN(x)
A
(x) du(x)
dx
x 0时, u ( x) u1 x l1时, u ( x) u2
第2章 轴向拉伸和压缩
2.4 拉压问题的有限单元法
2.4.1 有限元法概述 Finite Element Method
有限元法就是复杂的几何或受力对象划分为数量有限、
形状简单、具有共同特征的子域，这些子域叫单元。
node (节点)
element(单元)
其核心思想是离散化，即将实际可变形体假想地离散为单
9
(2-4)单元应力场分析
(x)du(x)u2u1 1
dx l1
x
u(x)
l1
E1 A1
2
x
uu 2 1
(x)E(x)E l 1
1 1
其中 S(x)El11 El11，称为应力矩阵
(x)E l11 E l11u u1 2S(x)•q(1)
21.11.2020
10
(2-5)单元变形能计算
l
UU*
机械设计制造及其自动化专业
二年级第2学期
工业产品材料力学设计
主讲教师：王一军
2011.3
TEL:687648
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1
第2章 轴向拉伸和压缩
2.4 拉压问题的有限单元法
21.11.2020
力学是数学的乐园， 因为我们在这里获 得了数学的果实。 -Leonardo de Vinci
在有限元分析中，要求必须事先给出或设定位移函数。位移函数的设 定方法有2种：直接法和试函数法(Trial function) 。
直接法：就是解析法。
代入边界条件
u(x)q(1)
(x) FN(x)
A
(x) du(x)
dx
x 0时, u ( x) u1 x l1时, u ( x) u2
材力讲稿第2章拉压2.1
假设构件在整个几何空间内毫无空隙地充满了相同的物 质，其组织结构处处相同，而且是密实、连续的。
各向同性性假设
假设材料在各方向上的力学性质相同。
小变形条件
构件受力后变形的尺寸大小远远小于构件原始尺寸。
上一章回顾 构件受力与变形的基本形式
材料力学
第二章 轴向拉伸和压缩 Axial tension and compression
轴向拉伸和压缩
拉伸和压缩是杆件基本受力与变形形式中最 简单的一种，所涉及的一些基本原理与方法比较 简单，但在材料力学中却有一定的普遍意义。
本章主要介绍杆件承受拉伸和压缩的基本问题， 包括：内力、应力、变形；材料在拉伸和压缩时 的力学性能；拉压杆的强度设计、变形计算以及 连接部分的强度计算。
轴向拉伸和压缩
(a)
F
(b)
F
受力简图：反映杆件几何特征和受 力特征的简化图形。
第二章 轴向拉伸和压缩
截面法、轴力与轴力图 拉压杆件横截面上的应力 拉压杆件斜截面上的应力 拉压杆件的变形分析 材料在拉伸和压缩时的力学性能 安全因数 许用应力 强度条件 连接部分的强度计算 拉压超静定问题
第二章 轴向拉伸和压缩
截面法、轴力与轴力图
上的轴力均为正方向（拉力），并 考察截开后下面部分的平衡。
l
第二章 轴向拉伸和压缩
截面法 轴力及轴力图
l
FA
A
B" B F1 B'
C
F2
l
l
FNA A
B
F1
C
F2
3. 应用截面法求控制面上的轴力
用假想截面分别从控制面A、 B' 、B"、 C处将杆截开，假设横
截面上的轴力均为正方向（拉力） ，并考察截开后下面部分的平衡， 求得各截面上的轴力：
各向同性性假设
假设材料在各方向上的力学性质相同。
小变形条件
构件受力后变形的尺寸大小远远小于构件原始尺寸。
上一章回顾 构件受力与变形的基本形式
材料力学
第二章 轴向拉伸和压缩 Axial tension and compression
轴向拉伸和压缩
拉伸和压缩是杆件基本受力与变形形式中最 简单的一种，所涉及的一些基本原理与方法比较 简单，但在材料力学中却有一定的普遍意义。
本章主要介绍杆件承受拉伸和压缩的基本问题， 包括：内力、应力、变形；材料在拉伸和压缩时 的力学性能；拉压杆的强度设计、变形计算以及 连接部分的强度计算。
轴向拉伸和压缩
(a)
F
(b)
F
受力简图：反映杆件几何特征和受 力特征的简化图形。
第二章 轴向拉伸和压缩
截面法、轴力与轴力图 拉压杆件横截面上的应力 拉压杆件斜截面上的应力 拉压杆件的变形分析 材料在拉伸和压缩时的力学性能 安全因数 许用应力 强度条件 连接部分的强度计算 拉压超静定问题
第二章 轴向拉伸和压缩
截面法、轴力与轴力图
上的轴力均为正方向（拉力），并 考察截开后下面部分的平衡。
l
第二章 轴向拉伸和压缩
截面法 轴力及轴力图
l
FA
A
B" B F1 B'
C
F2
l
l
FNA A
B
F1
C
F2
3. 应用截面法求控制面上的轴力
用假想截面分别从控制面A、 B' 、B"、 C处将杆截开，假设横
截面上的轴力均为正方向（拉力） ，并考察截开后下面部分的平衡， 求得各截面上的轴力：
材料力学第2章-拉压4
当安全销横截面上的切应力达到其极限值时， 当安全销横截面上的切应力达到其极限值时，销 钉被剪断， 钉被剪断，即剪断条件为
FS FS τ= = 2 =τu AS πd / 4
解得
d=
4 FS = 0.0153m = 15.3mm πτ u
拉伸与压缩/ 拉伸与压缩 连接部分的强度计算 例题 图示冲床的最大冲压力为400 kN，被冲剪钢板的名义许用 图示冲床的最大冲压力为 ， 切应力为 [τ ] = 300 MPa ,试求此冲床所能冲剪钢板的最大厚度 t。 试求此冲床所能冲剪钢板的最大厚度 。 已知 d =34 mm。 。 F 冲头 钢板 d 冲模 t
求位移，各杆变形与 点位移之间的几何关系如图 点位移之间的几何关系如图： 求位移，各杆变形与A点位移之间的几何关系如图：
∆l AC
A
∆l AB
A′
x
有 整理得
AA′′ =
∆ Ay
A′′
∆l AC ∆l AB + A′A′′ ⋅ tan 30o A′A′′ ⋅ tan 45o = − AA′′ o cos 30o cos 45 ∆l AB ∆l AC = AA′′ = + ⋅ tan 30o (1 + tan 30o ) = 1.366mm o o cos 30 cos 45
Fb = F
挤压面 Abs ：直径等于d ，高度为接 触高度的半圆柱表面。 触高度的半圆柱表面。
F/2
F/2
挤压面上分布的正应力。 挤压应力 s bs ：挤压面上分布的正应力。
δ
拉伸与压缩/ 拉伸与压缩 连接部分的强度计算
挤压实用计算方法： 挤压实用计算方法： 实用计算方法 假设挤压应力在整个挤压面上均匀分布。 假设挤压应力在整个挤压面上均匀分布。 挤压面面积的计算： 挤压面面积的计算：
材料力学第2章-拉压2
第二章 轴向拉伸和压缩
拉、压杆件的变形分析
解：1． 作轴力图 由于直杆上作用有4个轴向 载荷，而且AB段与BC段杆横截 面面积不相等，为了确定直杆 横截面上的最大正应力和杆的 总变形量，必须首先确定各段 杆的横截面上的轴力。
应用截面法，可以确定AD、 DEB、BC段杆横截面上的轴力 分别为：
FNAD＝－2FP＝ －120 kN； FNDE＝FNEB＝－FP＝ －60 kN； FNBC＝FP＝60 kN。
F
K
p
A
(a)
K
(b)
ΔF p ΔA
(1)应力定义在截面内的一点处； (2)应力是一个矢量。 正应力, 切应力
ΔF dF p lim Δ A 0 Δ A dA
单位：Pa (N/m2)， MPa (106 N/m2)
第二章 轴向拉伸和压缩 上节回顾 轴向拉伸和压缩杆件横截面上只有正应力。
A A ＝ cos
FP x＝ A
其中，x为杆横截面上的正应力; Aθ 为斜截面面积
第二章 轴向拉伸和压缩 上节回顾
＝ x cos
2
1 ＝ xsin 2 2
由于微元取得很小，上述微元斜面上的应力， 实际上就是过一点处不同方向面的应力。因此，当 论及应力时，必须指明是哪一点处、哪一个方向面 上的应力。
第二章 轴向拉伸和压缩
拉、压杆件的变形分析
绝对变形
弹性模量
FPl FN l Δl EA EA
当拉、压杆有二个以上的外力作用时，需要 先画出轴力图，然后按上式分段计算各段的变形， 各段变形的代数和即为杆的总伸长量(或缩短量)：
FNi li Δ l i EAi
第二章 轴向拉伸和压缩
材料力学一二章拉压
设横截面面积为A , 正应力为s =F/A , 则斜截面面积为Aa =A/cosa，内力为Fa = F 。 全应力为pa = Fa / Aa =F cosa /A = s cosa
可见，斜截面上既有正应力，也有切应力。
sa s cos2 a
ta
s
sin a
cosa
s
2
sin 2a
讨论：
ⅰ a = 0 ， samax= s ， ⅱ a =45°, sa = s / 2， ⅲ a = 90° , sa = 0 ,
A A
100%
Q235钢 = 60﹪
三、其他塑性材料拉伸
s
玻璃钢
e
s
16锰钢
e
退火球墨铸铁
s e
塑性材料的共同
e
低碳钢拉伸试验——拉伸图
2.应力-应变图（s-e图）
克服拉伸图的尺寸效应
e
s
sf
b
b
se s P
a c ss
a
o
e
名义应力 ：s =F/A ；名义应变： e =⊿l / l
A——初始横截面面积；l ——原始长度。
3.强化阶段4.颈缩阶段 1.弹性阶段
2.屈服阶段
①弹性阶段 特点：变形是完全弹性的
缓慢变化的变截 面杆的正应力为
s (x) FN (x)
A(x)
例题
已知：A1= 1000 mm2,
○B
A2= 20000 mm2 , P =100 kN
1
求：各杆横截面的应力
○
45° ○ A
C2
P
解：⑴ 轴力计算 取节点A
∑Fy= 0, FN1 sin45°－P = 0 FN1 2P 2 100
可见，斜截面上既有正应力，也有切应力。
sa s cos2 a
ta
s
sin a
cosa
s
2
sin 2a
讨论：
ⅰ a = 0 ， samax= s ， ⅱ a =45°, sa = s / 2， ⅲ a = 90° , sa = 0 ,
A A
100%
Q235钢 = 60﹪
三、其他塑性材料拉伸
s
玻璃钢
e
s
16锰钢
e
退火球墨铸铁
s e
塑性材料的共同
e
低碳钢拉伸试验——拉伸图
2.应力-应变图（s-e图）
克服拉伸图的尺寸效应
e
s
sf
b
b
se s P
a c ss
a
o
e
名义应力 ：s =F/A ；名义应变： e =⊿l / l
A——初始横截面面积；l ——原始长度。
3.强化阶段4.颈缩阶段 1.弹性阶段
2.屈服阶段
①弹性阶段 特点：变形是完全弹性的
缓慢变化的变截 面杆的正应力为
s (x) FN (x)
A(x)
例题
已知：A1= 1000 mm2,
○B
A2= 20000 mm2 , P =100 kN
1
求：各杆横截面的应力
○
45° ○ A
C2
P
解：⑴ 轴力计算 取节点A
∑Fy= 0, FN1 sin45°－P = 0 FN1 2P 2 100
材料力学第二章 轴向拉压与压缩
F
uA
Fa EA
Fa vA EA
整理课件
49
例 ：设横梁 ABCD 为刚梁，横截面面积为 76.36mm² 的钢索绕 过无摩擦的滑轮。设 F=20kN，试求：刚索的应力和 C 点的垂 直位移。设刚索的 E=177GPa。
计算公式
整理课件
21
1、实验： 变形前
受力后
F
F
整理课件
22
2、变形规律： 横向线——仍为平行的直线，且间距减小。
纵向线——仍为平行的直线，且间距增大。
整理课件
23
3、平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面且各 横截面沿杆轴线作相对平移
利用平截面假设，能得到横截面上正应力分布的规律吗？
F
F
F
1. 内力大小不能全面衡量构件强度的大小。
2. 构件的强度由两个因素决定：
①内力在截面分布集度应力；
②材料承受荷载的能力。
整理课件
17
一、应力的概念
截面某点处内力分布的集度 在大多数情形下，工程构件的内力并非均匀分布，集度
的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从 内力集度最大处开始。
F
F
FN
25kN
x
解：① 轴力FN =F =25kN
②应力： ma xF A N4 d F 24 3 .1 2 4 1 5 12 4 30 16 M 2Pa
整理课件
31
例 试求薄壁圆环在内压力作用下径向横截面上的环向拉应
力。已知：d 2m 00 δ m 5 m , p m 2 M , 。 Pa
△L2 F
切线
C C′"
整理课件
47
写出图 2 中 B 点位移与两杆变形间的关系
uA
Fa EA
Fa vA EA
整理课件
49
例 ：设横梁 ABCD 为刚梁，横截面面积为 76.36mm² 的钢索绕 过无摩擦的滑轮。设 F=20kN，试求：刚索的应力和 C 点的垂 直位移。设刚索的 E=177GPa。
计算公式
整理课件
21
1、实验： 变形前
受力后
F
F
整理课件
22
2、变形规律： 横向线——仍为平行的直线，且间距减小。
纵向线——仍为平行的直线，且间距增大。
整理课件
23
3、平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面且各 横截面沿杆轴线作相对平移
利用平截面假设，能得到横截面上正应力分布的规律吗？
F
F
F
1. 内力大小不能全面衡量构件强度的大小。
2. 构件的强度由两个因素决定：
①内力在截面分布集度应力；
②材料承受荷载的能力。
整理课件
17
一、应力的概念
截面某点处内力分布的集度 在大多数情形下，工程构件的内力并非均匀分布，集度
的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从 内力集度最大处开始。
F
F
FN
25kN
x
解：① 轴力FN =F =25kN
②应力： ma xF A N4 d F 24 3 .1 2 4 1 5 12 4 30 16 M 2Pa
整理课件
31
例 试求薄壁圆环在内压力作用下径向横截面上的环向拉应
力。已知：d 2m 00 δ m 5 m , p m 2 M , 。 Pa
△L2 F
切线
C C′"
整理课件
47
写出图 2 中 B 点位移与两杆变形间的关系
材料力学第02章01-拉压内力和应力
p
sin
cos
sin
2
sin 2
本节重点—你学会了吗？
• 1、截面法求解内力; • 2、轴力图的画法； • 3、拉压应力的计算。
• 本节作业：习题2.1-(a)(b) • 习题2.4（双号）2.5（单号）
26
27
（2）符号规定：拉力为正，压力为负。
思考：取左段轴力向右，右段轴力为左，符号不是相反吗？
二、轴力计算
11
A1
B
2
2F F
1
2
A1
2F
FN1
FN2
2
C F
C F
1 FN1=2F
2 FN2=F
利用截面法计算轴力的步骤：截、取、代、平
1. 假想地截开。
2.任取一部分为研究对象. 3. 加轴力代替扔掉部分，轴力采用设正法。
解：1)截面法求AC段轴力，沿截
面1-1处截开，取左段如图所示
∑Fx=0 FN1-F1=0 得：FN1=F1=2.5kN
2)求BC段轴力，从2-2截面处截开， 取右段，如图所示
∑Fx=0 –FN2-F3=0 得：FN2= - F3=-1.5kN
3)AB杆的轴力图
15
例题2.3已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画出图示 杆件的轴力图。
哪个杆工作“累”？ 不能只看轴力，要看单位面积上的力—— 应力
• 怎样求出应力？ 思路
——应力是内力延伸出的概念，应当由内力计算应力。
18
杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面 积有关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。
在拉（压）杆的横截面上，与轴
力FN对应的应力是正应力 。根据连
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2020/6/4
4
第2章 轴向拉伸和压缩
2.4 拉压问题的有限单元法
2.4.1 有限元法概述
由于： （1）杆单元是最简单的有限元分析单元； （2）拉压问题是最简单的变形体分析问题；
因此，在研究拉压杆问题时引入有限元 的概念和方法，是学习有限元最好和最容 易的方式，并将为以后对复杂的几何或受 力对象开展有限元分析奠定坚实的理论基 础。
dx
l1
U
E1 A1 2l1
(u2
u1)2
2020/6/4
11
(2-5)单元刚度方程
U
E1 A1 2l1
(u2
u1)2
x
u(x)
l1
1
E1 A1
2
x
变形能法：卡氏第一定理
Fi
U i
P (1) 1
U u1
E1 A1 l1
(u2
u1)
P (1) 2
U u2
E1 A1 l1
(u2
u1)
P(1)
u(x)
u10
x l
基于全域[0, l ]的逼近
u(x) ai bi x(x [xi , xi1]) u2
u1 0 x1
xi xi1
x l
基于子域[xi , xi1]的分段逼近
u(x)
a1 sin
l
x a2 sin
2 l
x ...
n
u(x) {ai bi x(x [xi , xi1])} i0
元，然后采用能量原理进行单元分析，最后进行单元组装，完
成复杂几何或受力对象的位移、应变和应力分析。
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3
第2章 轴向拉伸和压缩
2.4 拉压问题的有限单元法
2.4.1 有限元法概述
常用的一些典型单元
一维杆 单元。 可采用 材料力 学理论 进行分 析
二维板 壳或三 维体单 元。以 结构力 学和弹 性力学 为理论 基础。
P(1) 2
]T
(2-2)单元位移场分析
位移场：即位移函数u(x)，它描述了单元各截面位移与其位置之间的关系。
在有限元分析中，要求必须事先给出或设定位移函数。位移函数的设 定方法有2种：直接法和试函数法(Trial function) 。
直接法：就是解析法。
代入边界条件
u(x) q(1)
(x) FN(x) (x) du(x)
l1
E2 A2
PP32((22))
l2 E2
A2
l2
E2 A2 l2
E1 A1
u2 u3
l1
E3 A3
P3(3) P4(3)
l3 E3 A3
l3
E3 A3 l3
E3 A3
u3 u4
l3
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15
即
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16
若已知
F1
F1 100N, F2 50N
“化繁为简”的思路和方法。
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在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。 第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。例如，材
料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。我们把这类问题， 称为离散系统。
尽管离散系统是可解的（如图：由6个“杆单元”组成的平面 桁架结构），但是求解复杂离散系统，要依靠计算机技术。
dx
l1
其中B(
x)
1 l1
1 l1
，称为几何矩阵
(
x)
1 l1
1 l1
u1 u2
B(
x)
•
q(1)
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(2-4)单元应力场分析
(x) du(x) u2 u1 1
dx
l1
x
u(x)
l1
E1 A1
2
x
(x) E1
(x)
E1
u2
l1
u1
其中S
(x)
E1 l1
显然，无论全域还是分段，得到的逼近函数就是1个试函
数。其中，分段逼近的优势非常明显，它可“化繁为简”：
可以把复杂形状简化为简单形状；
可以把复杂函数问题简化为简单函数问题；
可以把求解微分方程问题简化为简单的线性方程求解问题；
如果单元划分得足够小时，其分析结果将相当精确。
这就为我们分析复杂形状的物体和复杂结构提供了一个
基底函数
逼近函数
an
sin
n
l
x
u(x)
a1 sin
l
x a2 sin
2
l
x ...
求出待定系数a0, a1,...
代入边界条件
a xn 2n020/6/4
u(x) a0 a1x a2x2 ...
x 0时, u(x) u1 x l时, u(x) u2
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☆将杆件分成n段（即划
分为n个单元）
1
根据解析法，我们知道其位移函
l1
E1 A1
2
x
数是1个线性函数，因此，我们
显然这是一个真
假设的“试函数”为:
u(x) a1 b1x
实的位移函数
x x
N(x)称为形状函数矩阵
N
(x)
(1
l1
)
l1
其中，a1,b1为待定系数，可根 据边界条件求出。
代入边界条件 a1 u1
u
(
x)
(1
x l1
A
dx
x 0时, u(x) u1 x l1时, u(x) u2
(x)/ (x) E
自主推导
(x) q(1) (x) q(1)
P(1) q(1)
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试函数法(Trial function)
x
u(x)
就是在分析前假设一个位移
函数，该函数称为“试函数”。 对于如图所示的线弹性杆单元，
)
x l1
u1 u2
N
(
x)
•
q
(1)
x 0时,u(x) u1 x l1时,u(x) u2
b1
u2
l1
u1
u(
x)
u1
u2
l1
u1
x
(1
x l1
)u1
x l1
u2
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(2-3)单元应变场分析
u(x)
u1
u2
l1
u1
x
1
x
u(x)
l1
E1 A1
2
x
(x) du(x) u2 u1
（1）关于试函数的讨论
u1
u(x)
u2
o
假设你是一名企业的工程师，
x
采用一种新型材料设计了如图所 示的杆件。
u(x)
经过试验：你得到如图所示
u2
的位移曲线。
你发现：无法用1个函数表
达式来描述该位移曲线。
u10
x l
你的问题是：
如果将该杆件作为一个杆单元处理，如何构造1个位移函数？ 如何分析其应变、应力？ 如何进一步构造单元刚度方程？
x l
基于子域[xi , xi1]的分段逼近
n
{ai bi x(x [xi , xi1])} i0
其中，ai bi x为采用的基底函数， 定义在子域[xi , xi1]上。
※2显020然/6/4，各单元也可以用其他试函数来定义，如 a0 a1x a2x2 2.3..
u(x)
u2 f (u1,u2)
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(3)计算各单元的单元刚度方程
P(1) K (1) • q(1)
E1 A1
P1(1) P2 (1)
l1 E1 A1
l1
E1 A1 l1
E1 A1
u1 u2
l1
E2 A2
P2 ( 2 ) P3 ( 2 )
l2 E2 A2
l2
E2 A2 l2
为了解决这个困难，工程师和数学家们提出了许多近似方法。
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在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两 个不同的路线得到了相同的结果(见发展简史)，即有限元法。
另外，鉴于： 产品设计的极端重要性（据统计，产品质量事故，约有50% 是设计不当造成的；产品的成本60%-70%取决于设计）； 设计时并不了解产品的真实力学信息，其原因在于：或者没 有试验结果（如无法确定材料、尺寸等，故无法开展试验）， 或者根本无法得到精确的解析解。
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思路：无法得到真实的位移函数→构造1个来近似
数学“逼近”思想：一个复杂的函数，可以通过一系
列基底函数的组合来“近似”，称为函数逼近。
u(x) 基于全域[0,l]的逼近 u2 f (u1,u2)
近似方法一：全域逼近
瑞利-里兹（Rayleigh- Ritz）法
u(x)
u10
x l
u(x) f (u1,u2)
E1 A1
u2 u3
l1
E3 A3
P3(3) P4 ( 3)
l3 E3 A3
l3
E3 A3 l3
E3 A3
u3 u4
l3
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(4)组装各单元刚度方程
E1A1
P1(1) P2(1)
l1 E1 A1
l1
E1A1 l1
E1 A1
u1 u2
E1 l1
，称为应力矩阵
(
x)E1 l1E1 Nhomakorabeal1u1 u2
S
(x)
•
q(1)
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