第一章晶体结构
合集下载
第一章晶体的结构
求晶面指数的方法
OA1 ra1, OA2 sa2 , OA3 ta3
h1 : h2 : h3 1 1 1 : : r s t
n
N
a3
O
d
a2
A2 A1
a1
设 a 1 , a 2 , a 3的末端上的格点分别在离原点距离h1d、h2d、
h3d的晶面上，这里 h1、h2、h3为整数 。 基矢
格点只在顶角上，内部和面上都不包含其他格点，整个原胞 只包含一个格点。
3、晶胞
原胞往往不能反映晶体的对称性
晶胞：能反映晶体对称性的最小结构重复单元
是原胞的数倍。晶胞的基矢用 a b c
原胞:
表示
a1 a2 a3
*几种典型晶体结构的原胞和晶胞
每种原子都各自构成一种相同的Bravais格子，这些Bravais 格子相互错开一段距离，相互套构而形成的格子。即复式 格子是由若干相同的Bravais格子相互位移套构而成的。
*几种典型的复式晶格
NaCl结构（Sodium Chloride structure ） 复式面心立方
例：MgO、KCl、AgBr 等
用来描述晶体中原子排列的紧密程度，原子排 列越紧密，配位数越大
简单立方（简立方）(simple cubic, sc)
配位数
6
晶胞内有 1 个原子
体心立方( body-centered cubic, bcc )
排列：ABABAB……
配位数
8
晶胞内有 2 个原子 具有体心立方结构的金属晶体：LI、Na、K、Fe等
重复周期为二层。形成AB AB AB· · · · · · 方式排列。
具有六角结构的金属： Mg，Co，Zn等
第一章 晶体结构(Crystal Structure)
原胞体积为：
3 a ( a a ) a / 2 1 2 3
原胞体积为晶胞体积的一半。 晶胞中含有2个格点。
3. 面心立方（fcc）的原胞与晶胞
a a a i j) i k) 、 a a 3 ( 2 ( 1 ( j k) 、 a 2 2 2
三、维格纳-赛茨原胞（Wigner-Seitz Cell）
以某格点为中心，作其与最近邻格点(有时也包 括次近邻)的连线中垂面所围成的多面体。 WS原胞只包含一个格点。 WS原胞具有相应布拉菲晶胞的对称性。
WS原胞:
1. 简立方点阵的WS 原胞仍为立方体; 2. 体心立方点阵的WS 原胞为截角八面体;
5、各向异性(anisotropy) 沿晶体内部的不同方向上有不同的物理性 质。 晶体的电导率、电阻率、折射率、机械强 度等电学、光、磁学、热学性质，沿晶体的 不同方向有不同的数值，称为各向异性。 晶体的各向异性是晶体区别于非晶体的重 要特性。
6、均匀性（ homogeneity ） 内部各部分的客观性质相同。 晶体中任何两个形状、大小、取向相同的 部分的化学组成一致、密度相同、结构相同、 物理性质相同等，这源于原子的周期性排列。 Homogeneity与anisotropy是相互补充的。
非晶体（amorphous)：
内部的粒子(原子、分子、离子或原子团） 在三维空间不是周期性的有规则的排列。 长程无序(long-range crystallographic disorder).
但在一个原子附近的若干原子的排列是有 一定规则的排列——短程有序。
准晶体：
介于周期晶体和非晶玻璃之间的一种新的 固体物质形态。
基元（ basis）
构成晶体的基本结构单元。 基元是化学组成、空间结构、排列取向、周 围环境相同的原子、分子、离子或离子团的集 合。 可以是一个原子(如铜、金、银等)，可以是 两个或两个以上原子(如金刚石、氯化钠、磷化 镓等)，有些无机物晶体的一个基元可有多达 100个以上的原子，如金属间化合物NaCd2的基 元包含1000 多个原子，而蛋白质晶体的一个基 元包含多达10000 个以上的原子。
3 a ( a a ) a / 2 1 2 3
原胞体积为晶胞体积的一半。 晶胞中含有2个格点。
3. 面心立方（fcc）的原胞与晶胞
a a a i j) i k) 、 a a 3 ( 2 ( 1 ( j k) 、 a 2 2 2
三、维格纳-赛茨原胞（Wigner-Seitz Cell）
以某格点为中心，作其与最近邻格点(有时也包 括次近邻)的连线中垂面所围成的多面体。 WS原胞只包含一个格点。 WS原胞具有相应布拉菲晶胞的对称性。
WS原胞:
1. 简立方点阵的WS 原胞仍为立方体; 2. 体心立方点阵的WS 原胞为截角八面体;
5、各向异性(anisotropy) 沿晶体内部的不同方向上有不同的物理性 质。 晶体的电导率、电阻率、折射率、机械强 度等电学、光、磁学、热学性质，沿晶体的 不同方向有不同的数值，称为各向异性。 晶体的各向异性是晶体区别于非晶体的重 要特性。
6、均匀性（ homogeneity ） 内部各部分的客观性质相同。 晶体中任何两个形状、大小、取向相同的 部分的化学组成一致、密度相同、结构相同、 物理性质相同等，这源于原子的周期性排列。 Homogeneity与anisotropy是相互补充的。
非晶体（amorphous)：
内部的粒子(原子、分子、离子或原子团） 在三维空间不是周期性的有规则的排列。 长程无序(long-range crystallographic disorder).
但在一个原子附近的若干原子的排列是有 一定规则的排列——短程有序。
准晶体：
介于周期晶体和非晶玻璃之间的一种新的 固体物质形态。
基元（ basis）
构成晶体的基本结构单元。 基元是化学组成、空间结构、排列取向、周 围环境相同的原子、分子、离子或离子团的集 合。 可以是一个原子(如铜、金、银等)，可以是 两个或两个以上原子(如金刚石、氯化钠、磷化 镓等)，有些无机物晶体的一个基元可有多达 100个以上的原子，如金属间化合物NaCd2的基 元包含1000 多个原子，而蛋白质晶体的一个基 元包含多达10000 个以上的原子。
1-1 第一章 晶体的结构(布拉伐格子、原胞)
考 ： 布 拉 伐 格 子 ? ? ? ?
26
思
例：Honeycomb structure（蜂巢结构） （蜂巢结构）
f a b
e d c
考 ： 布 拉 伐 格 子 ? ? ? ? 判断根据： 判断根据：能否用 基矢表示所有的点 并且只有这些点？ 并且只有这些点27 ？
思
一些重要的例子： 一些重要的例子：
j
a1 a2 a3
k
i
32
简单六角（hc）
a
a1 = aˆ i
a3
c
a2 a1
a ˆ a 2 = (i + 3ˆ) j 2 ˆ a 3 = ck
j
k i
33
结晶学原胞） 晶胞（结晶学原胞）
• 结晶学上常用的重复单元 • 反映点阵对称性 • 原胞体积的整数倍
34
简单立方： 简单立方：Simple cubic (sc)
29
体心立方： 体心立方：Body-centred cubic（bcc） （ ）
a ˆ ˆ ˆ a1 = (−i + j + k ) 2 a ˆ ˆ ˆ a 2 = (i − j + k ) 2 a ˆ ˆ ˆ a3 = (i + j − k ) 2 j
i 是否Bravais格子？ 格子？ 是否 格子
给出的所有端点的集合组成布拉伐格子， 给出的所有端点的集合组成布拉伐格子，这里 布拉伐格子
a1, a2, a3: 基矢（可以有多种选择，一般选择最短） 可以有多种选择，一般选择最短） l1, l2, l3: 整数
15
二维布拉伐格子 二维布拉伐格子 布拉伐
M P
a2
Q
a1
16
易混淆：简单格子、 易混淆：简单格子、复式格子
26
思
例：Honeycomb structure（蜂巢结构） （蜂巢结构）
f a b
e d c
考 ： 布 拉 伐 格 子 ? ? ? ? 判断根据： 判断根据：能否用 基矢表示所有的点 并且只有这些点？ 并且只有这些点27 ？
思
一些重要的例子： 一些重要的例子：
j
a1 a2 a3
k
i
32
简单六角（hc）
a
a1 = aˆ i
a3
c
a2 a1
a ˆ a 2 = (i + 3ˆ) j 2 ˆ a 3 = ck
j
k i
33
结晶学原胞） 晶胞（结晶学原胞）
• 结晶学上常用的重复单元 • 反映点阵对称性 • 原胞体积的整数倍
34
简单立方： 简单立方：Simple cubic (sc)
29
体心立方： 体心立方：Body-centred cubic（bcc） （ ）
a ˆ ˆ ˆ a1 = (−i + j + k ) 2 a ˆ ˆ ˆ a 2 = (i − j + k ) 2 a ˆ ˆ ˆ a3 = (i + j − k ) 2 j
i 是否Bravais格子？ 格子？ 是否 格子
给出的所有端点的集合组成布拉伐格子， 给出的所有端点的集合组成布拉伐格子，这里 布拉伐格子
a1, a2, a3: 基矢（可以有多种选择，一般选择最短） 可以有多种选择，一般选择最短） l1, l2, l3: 整数
15
二维布拉伐格子 二维布拉伐格子 布拉伐
M P
a2
Q
a1
16
易混淆：简单格子、 易混淆：简单格子、复式格子
材料科学基础第一章晶体结构(三单质晶体结构)
a=4/3r/3； a=2r。
Smith W F. Foundations of Materials Science and Engineering. McGRAW.HILL.3/E
配位数 12；8（8＋6）；12 致密度 0.74；0.68； 0.74
配位数（CN）：晶体结构中 任一原子周围最近且等距离 的原子数。 致密度（K）：晶体结构中 原子体积占总体积的百分数。 K=nv/V。
linear density
<100>
a
2 1 2
1
aa
a
2 1 2
1
aa
<110>
2a
2
1 2
0.7
2a a
2a
2
1 2
1
1.4
2a a
<111>
3a
2
1 2
1
1.16
3a a
3a
2
1 2
0.58
3a a
案例讨论：工程上大量使用低碳钢渗碳件，试分析材 料的渗碳行为与哪些因素有关? 晶格常数? 结构类型? 致密度?....?
1.4单质晶体结构
同种元素组成的晶体称为单质晶体。 一、金属晶体的结构 二、非金属元素单质的晶体结构
一、金属晶体的结构
香港国际机场 案例讨论：工程上大量使用钢铁材料，钢和铁在 性能上差别较大，各有优势，设想这种差别的来 源。
一、金属晶体的结构
1.常见金属晶体结构
典型金属的晶体结构是最简单的晶体结构。由于金属键的性质， 使典型金属的晶体具有高对称性，高密度的特点。常见的典型金属晶 体是面心立方、体心立方和密排六方三种晶体，其晶胞结构如图1-10 所示。另外，有些金属由于其键的性质发生变化，常含有一定成分的 共价键，会呈现一些不常见的结构。锡是A4型结构（与金刚石相似）， 锑是A7型结构等。
Smith W F. Foundations of Materials Science and Engineering. McGRAW.HILL.3/E
配位数 12；8（8＋6）；12 致密度 0.74；0.68； 0.74
配位数（CN）：晶体结构中 任一原子周围最近且等距离 的原子数。 致密度（K）：晶体结构中 原子体积占总体积的百分数。 K=nv/V。
linear density
<100>
a
2 1 2
1
aa
a
2 1 2
1
aa
<110>
2a
2
1 2
0.7
2a a
2a
2
1 2
1
1.4
2a a
<111>
3a
2
1 2
1
1.16
3a a
3a
2
1 2
0.58
3a a
案例讨论：工程上大量使用低碳钢渗碳件，试分析材 料的渗碳行为与哪些因素有关? 晶格常数? 结构类型? 致密度?....?
1.4单质晶体结构
同种元素组成的晶体称为单质晶体。 一、金属晶体的结构 二、非金属元素单质的晶体结构
一、金属晶体的结构
香港国际机场 案例讨论：工程上大量使用钢铁材料，钢和铁在 性能上差别较大，各有优势，设想这种差别的来 源。
一、金属晶体的结构
1.常见金属晶体结构
典型金属的晶体结构是最简单的晶体结构。由于金属键的性质， 使典型金属的晶体具有高对称性，高密度的特点。常见的典型金属晶 体是面心立方、体心立方和密排六方三种晶体，其晶胞结构如图1-10 所示。另外，有些金属由于其键的性质发生变化，常含有一定成分的 共价键，会呈现一些不常见的结构。锡是A4型结构（与金刚石相似）， 锑是A7型结构等。
固体物理_第一至第七章总复习详解
上页 下页 返回 结束
总复习
第二章 晶体结合 一、原子的负电性
负电性＝常数（电离能＋亲和能） 电离能：让原子失去电子所必需消耗的能量 亲和能：处于基态的中性气态原子获得一个电子所放出的能量
负电性大的原子，易于获得电子。 负电性小的原子，易于失去电子。
二、晶体结合的基本类型及其特性
1、离子结合：正负离子之间的库仑相互作用，强键
总复习
一维单原子链
重要结论：
试探解为： xn Aei(tnaq)
色散关系：
w2 2 (1 cosqa)
m
2
m
sin( qa ) 2
m
sin( qa ) 2
中心布里渊区范围： q
a
a
振动模式数目（格波数目）：N
上页 下页 返回 结束
格波
总复习
• 格波：晶体中所有原子共同参与的一种 频率相同的振 动，不同原子间有振动
总复习
第一章 晶体结构
一、晶体的宏观特性：周期性、对称性、方向性（各向异性）
二、晶体的微观结构
1. 空间点阵（布拉伐格子） 基元、布拉伐格子、格点、单式格子、复式格子 晶体结构＝基元＋空间点阵 布拉伐格子（B格子）＝空间点阵 复式格子＝晶体结构 复式格子≠B格子
2.原胞 初基原胞、基矢、威格纳－赛兹原胞（W－S原胞，对称
位相差，这种振动以波 的形式在整个
晶体中传播，称为格波
xn Aei(tnaq)
上页 下页 返回 结束
3. 一维双原子链 总 复 习
mM 2n-2
2n-1 2n
2n+1 2n+2 2n+3
Ⅰ. 体系：N个原胞，每个原胞中包括2个原子 (m1=M, m2=m, M>m)。
总复习
第二章 晶体结合 一、原子的负电性
负电性＝常数（电离能＋亲和能） 电离能：让原子失去电子所必需消耗的能量 亲和能：处于基态的中性气态原子获得一个电子所放出的能量
负电性大的原子，易于获得电子。 负电性小的原子，易于失去电子。
二、晶体结合的基本类型及其特性
1、离子结合：正负离子之间的库仑相互作用，强键
总复习
一维单原子链
重要结论：
试探解为： xn Aei(tnaq)
色散关系：
w2 2 (1 cosqa)
m
2
m
sin( qa ) 2
m
sin( qa ) 2
中心布里渊区范围： q
a
a
振动模式数目（格波数目）：N
上页 下页 返回 结束
格波
总复习
• 格波：晶体中所有原子共同参与的一种 频率相同的振 动，不同原子间有振动
总复习
第一章 晶体结构
一、晶体的宏观特性：周期性、对称性、方向性（各向异性）
二、晶体的微观结构
1. 空间点阵（布拉伐格子） 基元、布拉伐格子、格点、单式格子、复式格子 晶体结构＝基元＋空间点阵 布拉伐格子（B格子）＝空间点阵 复式格子＝晶体结构 复式格子≠B格子
2.原胞 初基原胞、基矢、威格纳－赛兹原胞（W－S原胞，对称
位相差，这种振动以波 的形式在整个
晶体中传播，称为格波
xn Aei(tnaq)
上页 下页 返回 结束
3. 一维双原子链 总 复 习
mM 2n-2
2n-1 2n
2n+1 2n+2 2n+3
Ⅰ. 体系：N个原胞，每个原胞中包括2个原子 (m1=M, m2=m, M>m)。
第一章 晶体结构
1.点对称操作
点对称操作：对称操作前后空间中至少保持一个不动的点的操作.
（1）n度旋转对称 2 n度旋转对称轴：晶体绕旋转 后仍能复原的轴. n 晶体只具有1、2、3、4、6度对称轴. （2）中心反演 中心反演的对称元素是一个点，中心反演操作用i表示. i操作作用 于（x，y，z）使之变换为（-x，-y，-z）. 目录
（3）镜像(m，对称素为面) 镜像操作常用m表示，镜像的操作的对称元素是平面. 若选z＝0为对称面，该操作使点（x，y，z）变换为（x，y，-z） （4）n度旋转反演对称 该操作由n度旋转对称和中心反演两个操作组成.晶体先绕一固定轴 旋转 2 n后，再经过中心反演，晶体能与自身重合.该轴称为n度旋 转反演轴. 晶体n度旋转反演对称中n只能取1，2，3，4，6中的数值，通常用 n 表示n度旋转反演轴. 注： a.1度旋转反演对称与中心反演i实质是同一操作. b. 2度旋转反演对称与镜像m实质是同一操作.
a
ak
a1 a 2 a j
a3
目录
ai
a-Fe的晶体结构
固体物理学原胞的体积: 3.面心立方（fcc）结构
Ω a1 (a2 a3 ) a
3
2
每个晶胞包含4个 格点.基矢为：
a a1 ( j k ) 2 a a2 ( k i ) 2 a a3 (i j ) 2
abc
900
5.四角系： a b c 900 (正方晶系) 6.六角晶系： 900 1200
abc
7.立方晶系： 900
abc
简立方(12)，体心立方(13)， 面心立方(14) 目录
晶体结构.01
2
1.1 几种常见的晶体结构
一、晶体的定义
晶 体: 组成固体的原子（或离子）在微观上的 排列具有长程周期性结构
非晶体：组成固体的粒子只有短程序（在近邻或 次近邻原子间的键合：如配位数、键长 和键角等具有一定的规律性），无长程 周期性 准 晶: 有长程的取向序，沿取向序的对称轴方向 有准周期性，但无长程周期性
第一章 晶体结构(crystal structure)
1-1 几种常见的晶体结构 1-2 晶格的周期性 1-3 晶向、晶面和它们的标志 1-4 对称性和Brawais点阵
1-5 倒点阵及其基本性质
1-6 晶体衍射物理基础
1
1-1几种常见的晶体结构
主要内容
1.1简立方晶格结构(cubic)
1) NaCl晶体的结构 氯化钠由Na+和Cl－结合而成 —— 一种典型的离子晶体 Na+构成面心立方格子；Cl－也构成面心立方格子
20
2) CsCl晶体的结构 CsCl结构 —— 由两个简单立方子晶格彼此沿立方体空间对 角线位移1／2 的长度套构而成
21
CsCl晶体
22
3) ZnS晶体的结构 —— 闪锌矿结构 立方系的硫化锌 —— 具有金刚石类似的结构 化合物半导体 —— 锑化铟、砷化镓、磷化铟
六角密排晶格的原胞基矢选取 —— 一个原胞中包含A层 和B层原子各一个 —— 共两个原子 k
定义：
i
j
原胞基矢为：
a1 , a2 , a3
a1 a2 a3
（四）晶格周期性的描述 —— 布拉伐格子
Bravais lattices
由于组成晶体的组分和 组分的原子排列方式的 多样性，使得实际的晶 体结构非常复杂。
1.1 几种常见的晶体结构
一、晶体的定义
晶 体: 组成固体的原子（或离子）在微观上的 排列具有长程周期性结构
非晶体：组成固体的粒子只有短程序（在近邻或 次近邻原子间的键合：如配位数、键长 和键角等具有一定的规律性），无长程 周期性 准 晶: 有长程的取向序，沿取向序的对称轴方向 有准周期性，但无长程周期性
第一章 晶体结构(crystal structure)
1-1 几种常见的晶体结构 1-2 晶格的周期性 1-3 晶向、晶面和它们的标志 1-4 对称性和Brawais点阵
1-5 倒点阵及其基本性质
1-6 晶体衍射物理基础
1
1-1几种常见的晶体结构
主要内容
1.1简立方晶格结构(cubic)
1) NaCl晶体的结构 氯化钠由Na+和Cl－结合而成 —— 一种典型的离子晶体 Na+构成面心立方格子；Cl－也构成面心立方格子
20
2) CsCl晶体的结构 CsCl结构 —— 由两个简单立方子晶格彼此沿立方体空间对 角线位移1／2 的长度套构而成
21
CsCl晶体
22
3) ZnS晶体的结构 —— 闪锌矿结构 立方系的硫化锌 —— 具有金刚石类似的结构 化合物半导体 —— 锑化铟、砷化镓、磷化铟
六角密排晶格的原胞基矢选取 —— 一个原胞中包含A层 和B层原子各一个 —— 共两个原子 k
定义：
i
j
原胞基矢为：
a1 , a2 , a3
a1 a2 a3
（四）晶格周期性的描述 —— 布拉伐格子
Bravais lattices
由于组成晶体的组分和 组分的原子排列方式的 多样性，使得实际的晶 体结构非常复杂。
第一章晶体结构
第一章晶体结构1 布喇菲点阵和初基矢量晶体结构的特点在于原子排列的周期性质。
布喇菲点阵是平移操作112233R n a n a n a =++所联系的诸点的列阵。
布喇菲点阵是晶体结构周期性的数学抽象。
点阵矢量112233R n a n a n a =++，其中，1n ，2n 和3n 均为整数，1a ，2a 和3a 是不在同一平面内的三个矢量，叫做布喇菲点阵的初基矢量，简称基矢。
初基矢量所构成的平行六面体是布喇菲点阵的最小重复单元。
布喇菲点阵是一个无限的分立点的列阵，无论从这个列阵中的哪个点去观察，周围点的分布和排列方位都是完全相同的。
对一个给定的布喇菲点阵，初级矢量可以有多种取法。
2 初基晶胞(原胞)初基晶胞是布喇菲点阵的最小重复单元。
初基晶胞必定正好包含布喇菲点阵的一个阵点。
对于一个给定的布喇菲点阵，初基晶胞的选取方式可以不只一种，但不论初基晶胞的形状如何，初基晶胞的体积是唯一的，()123c V a a a =⋅⨯。
3 惯用晶胞(单饱)惯用晶胞是为了反映点阵的对称性而选用的晶胞。
惯用晶胞可以是初基的或非初基的。
惯用晶胞的体积是初基晶胞体积的整数倍，c V nV =。
其中，n 是惯用晶胞所包含的阵点数。
确定惯用晶胞几何尺寸的数字叫做点阵常数。
4 维格纳—赛兹晶胞(W-S 晶胞)维格纳—赛兹晶胞是另一种能够反映晶体宏观对称性的晶胞，它是某一阵点与相邻阵点连线的中垂面(或中垂线)所围成的最小体积。
维格纳—赛兹晶胞是初基晶胞。
5 晶体结构当我们强调一个实际的晶体与布喇菲点阵的抽象几何图案的区别时，我们用“晶体结构”这个名词[1]。
理想的晶体结构是由相同的物理单元放置在布喇菲点阵的阵点上构成的。
这些物理单元称为基元，它可以是原子、分子或分子团(有时也可以指一组抽象的几何点)。
将基元平移布喇菲点阵的所有点阵矢量，就得到晶体结构，或等价地表示为基元十点阵＝晶体结构[2]当选用非初基的惯用晶胞时,一个布喇菲点阵可以用带有基元的点阵去描写。
第一章 晶体结构(Crystal Structure)
§1.3 晶格的周期性
一、布拉菲（Bravais）格子
布喇菲(A. Bravais)，法国学者，1850年提出。 定义: 各晶体是由一些基元（或格点）按一定规则, 周期重 复排列而成。任一格点的位矢均可以写成形式 R n a n a n a n 1 n 2 n 3 、 、 a1 a2 。其中， 、 、 取整数， n 1 1 2 2 3 3 a Rn 为基矢， 为布拉菲格子的格矢，或称 正格矢。 3 能用上式表示的空间点阵称为布拉菲点阵，相应的 空间格子称为布拉菲格子．
§1.2 空间点阵
空间点阵定义： 晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的 点子在空间有规则地作周期性的无限分布，这 些点子的总体称为点阵。 X射线衍射技术从实验上证明。
1、格点与基元 如果晶体是由完全相同的一种原子所组成 的，则格点代表原子或原子周围相应点的位置, 如铜的晶体结构。 点阵（lattice） 在空间任何方向 上均为周期排列的无 限个全同点的集合。
基元（ basis）
构成晶体的基本结构单元。 基元是化学组成、空间结构、排列取向、周 围环境相同的原子、分子、离子或离子团的集 合。 可以是一个原子(如铜、金、银等)，可以是 两个或两个以上原子(如金刚石、氯化钠、磷化 镓等)，有些无机物晶体的一个基元可有多达 100个以上的原子，如金属间化合物NaCd2的基 元包含1000 多个原子，而蛋白质晶体的一个基 元包含多达10000 个以上的原子。
复式晶格：
如果晶体的基元中包含两种或两种以上的原 子。显然,每一种等价原子各构成与晶体基元代表 点的空间格子相同的网格 , 称为晶体的 子晶格 . 每 一种等价原子的子晶格具有相同的几何结构，整 个晶格可视为，子晶格相互位移套构而成。该晶 体晶格称为复式晶格． 例如：氯化钠晶体
固体物理课件 第一章 晶体结构
晶面指数（122）
a
c b
(100)
(110)
(111)
在固体物理学中，为了从本质上分析固体的性质，经常要研究晶体中的 波。根据德布罗意在1924年提出的物质波的概念，任何基本粒子都可以 看成波，也就是具备波粒二象性。这是物理学中的基本概念，在固体物 理学中也是一个贯穿始终的概念。
在研究晶体结构时，必须分析x射线（电磁波）在晶体中的传播和衍射 在解释固体热性质的晶格振动理论中，原子的振动以机械波的形式在晶 体中传播；
1 3 Ω = a1 ⋅ a 2 × a 3 = a 2
(
)
金刚石
c
c
面心立方
钙钛矿 CaTiO3 (ABO3)
Ca
O
Ti
简单立方
所有的格点都分布在相互平行的一族平面 上，且每个平面上都有格点分布，这样的 平面称为晶面，该平面组称为晶面族。
特征： (1)同一晶面族中的晶面相互平行； (2)相邻晶面之间的间距相等；（面间距是
至今为止，晶体内部结构的观测还需要依靠衍射现象来进行。
（1）X射线 -由高速电子撞击物质的原子所产生的电磁波。 早在1895年伦琴发现x射线之后不久，劳厄等在1912年就意识到X射线的 波长在0.1nm量级，与晶体中的原子间距相同，晶体中的原子如果按点阵排 列，晶体必可成为X射线的天然三维衍射光栅，会发生衍射现象。在 Friedrich和Knipping的协助下，照出了硫酸铜晶体的衍射斑，并作出了正确 的理论解释。随后,1913年布拉格父子建立了X射线衍射理论，并制造了第 一台X射线摄谱仪，建立了晶体结构研究的第一个实验分析方法，先后测定 了氯化钠、氯化钾、金刚石、石英等晶体的结构。从而历史性地一举奠定 了用X射线衍射测定晶体的原子周期性长程序结构的地位。 时至今日，X射线衍射(XRD)仍为确定晶体结构，包括只具有短程序的无 定型材料结构的重要工具。
第一章晶体结构
第一章晶体结构1-1. 试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。
解：晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，或称为长程有序。
非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序。
准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性。
另外，晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。
1-2. 晶格点阵与实际晶体有何区别和联系？解：晶体点阵是一种数学抽象，其中的格点代表基元中某个原子的位置或基元质心的位置，也可以是基元中任意一个等价的点。
当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。
晶格点阵与实际晶体结构的关系可总结为：晶格点阵＋基元＝晶体结构1-3. 晶体结构可分为Bravais格子和复式格子吗？解：晶体结构可以分为Bravais格子和复式格子，当基元只含一个原子时，每个原子的周围情况完全相同，格点就代表该原子，这种晶体结构就称为简单格子或Bravais格子；当基元包含2个或2个以上的原子时，各基元中相应的原子组成与格点相同的网格，这些格子相互错开一定距离套构在一起，这类晶体结构叫做复式格子。
心四方解：（a）“面心＋体心”立方不是布喇菲格子。
从“面心＋体心”立方体的任一顶角上的格点看，与它最邻近的有12个格点；从面心任一点看来，与它最邻近的也是12个格点；但是从体心那点来看，与它最邻近的有6个格点，所以顶角、面心的格点与体心的格点所处的几何环境不同，即不满足所有格点完全等价的条件，因此不是布喇菲格子，而是复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。
（b）“边心”立方不是布喇菲格子。
从“边心”立方体竖直边心任一点来看，与它最邻近的点子有8个；从“边心”立方体水平边心任一点来看，与它最邻近的点子也有8个。
虽然两者最邻近的点数相同，距离相等，但他们各自具有不同的排列。
第一章 晶体结构
第一章 晶体结构本章首先从晶体结构的周期性出发，来阐述完整晶体中离子、原子或分子的排列规律。
然后，简略的阐述一下晶体的对称性与晶面指数的特征，介绍一下倒格子的概念。
§1.1晶体的周期性一、晶体结构的周期性1．周期性的定义从X 射线研究的结果，我们知道晶体是由离子、原子或分子（统称为粒子）有规律地排列而成的。
晶体中微粒的排列按照一定的方式不断的做周期性重复，这样的性质成为晶体结构的周期性。
周期性：晶体中微粒的排列按照一定的方式不断的做周期性重复，这样的性质成为晶体结构的周期性。
晶体结构的周期性可由X-Ray 衍射直接证实，这种性质是晶体最基本或最本质的特征。
（非晶态固体不具备结构的周期性。
非晶态的定义等略），在其后的学习中可发现，这种基本性质对固体物理的学习具有重要的意义或是后续学习的重要基础。
2．晶格 格点和点阵晶格：晶体中微粒重心，做周期性的排列所组成的骨架，微粒重心所处的位置称为晶格的格点（或结点）。
格点的总体称为点阵。
整个晶体的结构，可看成是由格点沿空间三个不同方向， 各自按一定距离周期性平移而构成。
每个平移的距离称为周期。
在某一特定方向上有一定周期，在不同方向上周期不一定相同。
晶体通常被认为具有周期性和对称性，其中周期性最为本质。
对称性其实质是来源于周期性。
故周期性是最为基本的对称性，即“平移对称性”（当然，有更为复杂或多样的对称性，但周期性或平移对称性是共同的）。
3．平移矢量和晶胞据上所述，基本晶体的周期性，我们可以在晶体中选取一定的单元，只要将其不断地重复平移，其每次的位移为a 1，a 2，a 3，就可以得到整个晶格。
则→1a ，→2a ，→3a 就代表重复单元的三个棱边之长及其取向的矢量，称为平移矢量，这种重复单元称为晶胞，其基本特性为：⑴晶胞平行堆积在一起，可以充满整个晶体⑵任何两个晶胞的对应点上，晶体的物理性质相同，即：()⎪⎭⎫⎝⎛+++=→→→332211anananrQrQ其中→r为晶胞中任一点的位置矢量。
第一章 晶体结构
σ (m)
19
1.3 对称性和布拉维格子的分类
二 基本对称操作
1 i,Cn,σ (m)
2 n度旋转 ─ 反演轴
绕μ轴旋转
2π后再进行中心反演：
n
1，2，3，,4, i, m 八种独立的对称操作。
宏观上看，晶体是有限的，描述晶体宏观对称性 不包含平移对称操作；但从微观上看，晶体是无 限的，为描述晶体结构的对称性，应加上平移对 称操作。
衍射斑点(峰) ↔ 晶格中的一族晶面 倒格子 ↔ 正格子 点子 ↔ 晶面
斑点分布 ↔ 晶格基矢 → 晶体结构
25
1.4 倒格子/倒易点阵
一 定义
设布拉维格子的基矢为：av1 ,av2 , av3
由
v Rl
=
l1av1
+
l2av2
+
l3av3 决定的格子称为正格子
（direct lattice)，
满足
2vπ Gh
4 两点阵位矢的关系
v Rn
•
v Gh
=
2πm
m为整数
利用
aavvii
• •
v bvj bj
= =
2π 0
i= j i≠ j
( ) Rv n •Gvh = (l1av1 + l2av2 + l3av3 )•
v h1b1
+
v h2b2
+
v h3b3
= l1h1 • 2π + l2h2 • 2π + l3h3 • 2π
按坐标系的性质，晶体可划分为七大晶 系，每一晶系有一种或数种特征性的布拉 维原胞，共有14种布拉维原胞：
三斜(简单三斜) 单斜(简单、底心) 正交(简单、底心、体心、面心) 四方(简单、体心) 三角 六角 立方(简单、体心、面心)
19
1.3 对称性和布拉维格子的分类
二 基本对称操作
1 i,Cn,σ (m)
2 n度旋转 ─ 反演轴
绕μ轴旋转
2π后再进行中心反演：
n
1，2，3，,4, i, m 八种独立的对称操作。
宏观上看，晶体是有限的，描述晶体宏观对称性 不包含平移对称操作；但从微观上看，晶体是无 限的，为描述晶体结构的对称性，应加上平移对 称操作。
衍射斑点(峰) ↔ 晶格中的一族晶面 倒格子 ↔ 正格子 点子 ↔ 晶面
斑点分布 ↔ 晶格基矢 → 晶体结构
25
1.4 倒格子/倒易点阵
一 定义
设布拉维格子的基矢为：av1 ,av2 , av3
由
v Rl
=
l1av1
+
l2av2
+
l3av3 决定的格子称为正格子
（direct lattice)，
满足
2vπ Gh
4 两点阵位矢的关系
v Rn
•
v Gh
=
2πm
m为整数
利用
aavvii
• •
v bvj bj
= =
2π 0
i= j i≠ j
( ) Rv n •Gvh = (l1av1 + l2av2 + l3av3 )•
v h1b1
+
v h2b2
+
v h3b3
= l1h1 • 2π + l2h2 • 2π + l3h3 • 2π
按坐标系的性质，晶体可划分为七大晶 系，每一晶系有一种或数种特征性的布拉 维原胞，共有14种布拉维原胞：
三斜(简单三斜) 单斜(简单、底心) 正交(简单、底心、体心、面心) 四方(简单、体心) 三角 六角 立方(简单、体心、面心)
材料科学基础第一章晶体结构(一结晶学基础知识)
说明： a 指数意义：代表一组平行的晶面； b 0的意义：面与对应的轴平行； c 平行晶面：指数相同，或数字相同但正负号相反； d 晶面族：晶体中具有相同条件（原子排列和晶面间距完全相
同），空间位向不同的各组晶面。用{hkl}表示。 e 若晶面与晶向同面，则hu+kv+lw=0; f 立方晶系若晶面与晶向垂直，则u=h, k=v, w=l。
（2）晶面指数的标定 a 建立坐标系：确定原点（非阵点）、坐标轴和度量单位。 b 量截距：x,y,z。 c 取倒数：h’,k’,l’。 d 化整数：h,k,k。 e 加圆括号：(hkl)。 （最小整数？）
（2）晶面指数的标定
例：标定下列A,B,C面的指数。
(c) 2003 Brooks/Cole Publishing / Thomson Learning™
平移坐标原点：为了标定方便。
2.六方晶系的晶面指数和晶向指数
六方晶系的晶胞如图1-4所示，是边长为a，高为c的 六方棱柱体。
四轴定向：晶面符号一般写为（hkil），指数的排 列顺序依次与a轴、b轴、d轴、c轴相对应，其中a、b、d 三轴间夹角为120o，c轴与它1们垂直。它们之间的关系为： i=－（h＋k）。
晶面指数：结晶学中经常用（hkl）来表示一组平行晶面，称为晶 面指数。数字hkl是晶面在三个坐标轴（晶轴）上截距的倒数的互 质整数比。
晶向：点阵可在任何方向上分解为相互平行的直线组，结点 等距离地分布在直线上。位于一条直线上的结点构成一个晶 向。 同一直线组中的各直线，其结点分布完全相同，故其中任何 一直线，可作为直线组的代表。不同方向的直线组，其质点 分布不尽相同。 任一方向上所有平行晶向可包含晶体中所有结点，任一结点 也可以处于所有晶向上。
第一章晶体结构
NaCl结构
每个原胞中含两个或多 个原子，且原子不等价
复式晶格
简单晶格
举例 简立方晶格， 体心立方晶格， 面心立方晶格等
特征：每个原胞中只含一 个原子，且所有原子等价
复式晶格
举例 金刚石， 六方密排， 闪锌矿结构等 特征：每个原胞中含两个 或多个原子，且原子不等 价
复式晶格与简单晶格结构有何联系？
• 1.4金刚石结构(Diamond) • 1.5化合物的晶格结构(NaCl,CsCl,C……)
基本概念
晶格(lattice)是指晶体中原子排列的具体形式。
具有不同晶格是指原子规则排列的形式不同；
具有相同晶格是指原子排列形式相同而原子 间距不同。
1.1 简立方晶格
结构特征
原子球占据立方 体的8个顶点； 配位数为6； 立方体边长a定 义为晶格常数。
3、 六角密排与立方密排密堆结构图示
• 第一步：将全同小球 平铺成密排面（A 层）； 第二步：第二层密排 面的球心对准A层的 球隙，即B层； A 第三步：第三层密排 B 面放在B层的球隙上， 可形成两种不同的晶 格，即六角密排和立 方密排结构。 六角密排
•
•
立方密排（面心 立方）(A-B-C)
(-A-B-)
•
S原子 Zn原子
§1-2晶格的周期性(periodicity)
主要内容
• （一）原胞与基矢(primitive cell and unit vitor) • （二）晶胞(crystal unit cell) • （三）简单晶格与复杂晶格(crystal lattice) • （四）布拉伐格子(Bravais lattice)
的对称性高于平行六面体原胞。
（二）晶胞（晶格学单胞 crystal unit cell) 1、定义：晶体学通常选取较大的周期单元来研
第一章 晶体结构
面心立方密排方式
间隙(Interstice):
四、八面体间隙(tetrahedral and octahedral interstice) fcc，hcp 间隙为正多面体，且八面体和四面体间隙相互独立 bcc间隙不是正多面体，四面体间隙包含于八面体间隙之中
五.晶面与晶向
1.晶面：同处一个结点面内的所有阵点构成的阵点面。
简单晶胞(初级晶胞)：只在平行六面体每个顶角上有一阵点； 复杂晶胞：除在顶角外，在体心、面心或底心上也有阵点。
4.晶体结构的分类
（1）七个晶系：立方、正方、正交、三方、
六方、单斜、三斜
（2）14种布拉菲格子 （3）32种点群(point group)
点群—晶体中所有点对称元素的集合。根据晶体外 形对称性，共有32种点群。
B b
A a
等效晶面族{h k l}中的晶面数：
a)hkl三个数不等，且都≠0，则此晶面族中有3!×4=24组； 如{123} b)hkl有两个数字相等 且都≠0，则有：(3!/2!)×4=12组； 如{112} c)hkl三个数相等，则有：(3!/3!)×4=4组； 如{111} d)hkl有一个为0，应除以2，则有(3!/2)×4=12组； 如{120} 有二个为0，应除以22，则有(3!/2!22)×4=3组； 如{100}
立方晶系
d hkl
d hkl
a h k l
2 2 2
正交晶系
1 h k l a b c
2 2 2
六方晶系
d hkl
1 4 h hk k l 2 3 a c
2 2 2 2
立方晶系：
3.晶向（晶列）：阵点连线的指向。相互平行的阵点
1.晶体结构
晶体结构＝空间点阵＋基元
Ci (i)、 CS (m)和 S4( 4 )
四、点群（32种） Schö nflies符号：用主轴＋脚标表示 主轴：Cn、Dn、Sn、T和O Cn：n次旋转轴 Sn : n次旋转－反映轴 Dn：n次旋转轴加上一个与之垂直的二次轴 T： 四面体群 O： 八面体群 脚标：h、v、d h：垂直于n次轴（主轴）的水平面为对称面 v：含n次轴（主轴）在内的竖直对称面 d：垂直于主轴的两个二次轴的平分面为对称面
第一章 晶体结构
§1.1 几种常见的晶体结构
一、晶体的定义
晶 体: 组成固体的原子（或离子）在微观上的
排列具有长程周期性结构 非晶体：组成固体的粒子只有短程序，但无长程
周期性 准 晶: 有长程的取向序，沿取向序的对称轴方向 有准周期性，但无长程周期性
规则网络
无规网络
Al65Co25Cu10合金 准 晶
体心立方的基矢和Wigner－Seitz原胞
面心立方基矢、原胞和Wigner－Seitz原胞
4. 晶格的分类 简单晶格：每个晶格原胞中只含有一个原子， 晶格中所有原子在化学、物理和几何环境 上都是完全等同的。 例：Na、Cu、Al等晶格均为简单晶格
复式晶格：每个晶格原胞中含有两个或两个以上的 原子或离子。 简单晶格必须由同种原子组成；反之，由同种原子组成 的晶格却不一定是简单晶格。 如：金刚石、Mg、Zn 、 C60和NaCl等晶格都是复式晶格
b3 a1 a 2 a 3 va
2 a 2 a 3
倒格矢：G n n1 b1 n2 b 2 n3 b3 ， n1、n2、n3都是整数。 倒格子原胞体积：
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
由于历史上空间点阵学说是布拉菲最早提出的， 所以上述的点阵有称为布拉菲点阵，相应的晶格称
为布拉菲格子。
等同点系：晶格中所有与起始点在化学、物理和 几何环境完全相同的点的集合 点阵：由等同点系所抽象出来的一系列在空间 中周期排列的几何点的集合体 格 基 点：空间点阵中周期排列的几何点 元：一个格点所代表的物理实体
单式格子：每个格点只有一个原 子 复式格子：如果有多个原子的话， 可以看成由多个相同的Bravais lattice相互位移套构而成的。
晶格：
通过空间点阵中的阵点可以作许多平行的直 线族或平行的平面族，这样三维的空间点阵形成 网格状分布，它代表晶体中基元的具体排列方式， 称为晶格。
相应代表基元的阵点称为格点。
§1.1 原子的周期性阵列
1、基元（basis）和点阵（lattice）
晶体结构的最显著特点是周期性。理想情况下，晶体可以 看成是由一“基本结构单元”——基元，在空间无限重复排列
构成的，这种性质称为晶体结构的周期性。〔没有边界，所以
所有的基元都是等同的，如果有边界就不同了。理想晶体与实 际晶体的区别〕
三维：无定形碳、石墨、金刚石
我们要如何描述这些 形态各异的晶体？
人们对晶体的初步认识
◆晶体具有规则的几何形状
◆晶体具有确定的熔点 ◆物理性质各向异性
◆有分子原子等更小结构的概念
对晶体结构认识的历史
1669年，意大利科学家斯丹诺（Nicolaus Steno）发 现了晶面角守恒定律 1784年，法国科学家阿羽依（Rene Just Hauy）推 断晶体具有规则的几何外形是由于组成晶体的“小 基石”规则排列的结果。 1850年，法国科学家布拉维（A.Bravais）把以上学 说发展成空间点阵学说，并证明只有14种点阵类型。 1890-1895年，俄国科学家费奥多罗夫（Fedorov）、 熊夫利（Schoenflies）等各自建立了晶体对称性的 空间群理论。
Na+
-
Na+周期性排列和Cl-周期性排列 相间交替形成氯化钠晶体结构 基元：由相距半个晶格常数的 正离子和负离子构成
氯化钠晶体结构
等同点：正离子或负离子
2. 晶格平移矢量 基矢：为了描述点阵而引入
在布拉菲点阵中，人为选取的与晶格维数同 样多的一组矢量，使得晶格中任意两个格点 间的位移矢量（即格矢量）可以表达为该矢 量的整数线性组合。
4、原胞的选择是多样的，但体积相同。
a2
1
a2 a1
a1
2
a2 3
a1
基元与原胞的区别
概念不同 基元是具体的原子或原子团，是具体的 结构单元。
原胞是体积单元。 一个原胞只有一个基元
Wigner-Seitz原胞（WS原胞）（对称原胞）：与基矢的选 择没有关系，且能反应晶体的宏观对称性。
5、最近邻原子数（配位数）：sc：6，bcc：8，fcc：12 6、最近邻原子间距：越大，原子排列越稀疏。sc，bcc，fcc 分别是多少？ 7、次近邻原子数 8、次近邻原子间距 9、堆垛因子（致密度）：晶胞内原子体积除以晶胞体积。计 算sc，bcc，fcc的堆垛因子分别是多少？
晶胞中原子所占的体积 堆积系数＝ 晶胞体积
表示。由于格点周期性排列，从任一格点 出发平移 Rn 后必然得到另一个格点，所以
a3 a 2
(0,0,0)
由上式确定的点的集合等价为布拉菲格子
a1
Rn 称为晶格平移矢量
3. 基元与原胞（初基晶胞）
• 基元中原子位置的相对表示
rj x j a1 y j a2 z j a3 0 x j , y j , z j 1
第一章 晶体结构
为什么要研究结构
结构决定了相互作用，相互作用又决 定了运动，不同的运动形式具有不同 的性质，也就是结构决定了性质
碳的几种不同结构
零维：足球烯 超导、强磁性、耐高压、抗化学腐 蚀、在光、电、磁 等领域有潜在的应用前景。 一维：碳纳米管强度是钢的100倍，而质量仅为钢的1/7，如果能做成碳 纤维，将是理想的轻质高强度材料。碳纳米管还具有极强的储气能力， 可以在燃料电池储氢装置上 二维：石墨烯 世界上已知的导电性最好，最薄最坚硬的材料
晶体是由结构基元（可以是原子、分子或 离子）在空间呈不随时间变化的规则的三 维周期排列而成，这是晶体的本质特征。 为了研究结构基元排列的规律，先撇开结 构基元，从每个结构基元的等同点抽象出 空间点阵，研究空间点阵的阵点排列规律 性。不同种类的结构基元有可能具有相同 的排列方式。因此晶体结构可视为
晶体结构＝点阵＋基元
§1.2 晶面指数系统
1、晶向与晶列 晶体性质的各向 异性，表明晶体 结构具有方向性。
晶列1 晶列2
通过布拉菲格子的任意两个格点作一条直线，这一直线称为晶列。 在一晶列外的节点可作一些与原晶列平行的晶列。这些晶列的总 和称为一族晶列。 同族晶列中的晶列相互平行，并且完全等同，所以一族晶列的特 点是晶列的取向。
性质： 1、原胞有八个顶点，每个原胞包含一个格点，是晶体中最小的体积周期重复 单元。可以平行、无交叠堆积，不留空隙的填满整个空间形成晶体。
2、原胞体积：
v a1 (a2 a3 )
V (r Rn ) V (r )
（矢量的混合积）
3、不同原胞中对应点物理性质 V (r )相同，称为平移对称性，用晶格平移矢量表示为：
比较
固体物理学原胞往往不能直观的反映点 阵的宏观对称性，但能完全反映点阵的平 移对称性； WS原胞既能完全反映点阵的平移对称 性，又能充分反映点阵的宏观对称性，但 是其图形复杂，不好直观想象； 晶胞能直观的反映点阵的宏观对称性， 但有时不能完全反映点阵的平移对称性。
常用的几种晶胞简介
简单立方（sc） 取晶轴作为坐标轴，坐标轴单位矢量用
晶胞性质
1、晶胞边长称为晶格常数（点阵常数）
2、惯用晶胞可以是初基的，也可以是非初基 的，若一个
初基晶胞能反映出点阵的对称性，那么它也 就是惯用晶 胞。比如立方点阵，初基晶胞也就是惯用晶胞。惯用晶 胞体积是原胞体积的整数倍； 3、除顶点外，格点可能出现在平行六面体的体心或面心
上；
4、惯用晶胞不仅能反映格子的周期性，也能反映格子的 对称性
在三维布拉菲晶格中, 某个原子在基元内的相 对坐标：
初基晶胞（原胞）
为3个棱边组成的平行六面体。 由基矢 a 1 , a2 , a3
a3 a 2
a1
a3 a2
a1
基矢选择不唯一使得初基晶胞形状不唯一 只反应了晶体的微观周期性，很多时候没有反应出晶体的宏观对称性
晶胞与原胞体积相等，包含一个格点。
体心立方（bcc） 晶胞：
a ai 基矢 b aj c ak
体积 V a3 原子个数 2
BCC Lattice
原胞：
a a1 2 ( i j k ) a 基矢 a2 ( i j k ) 2 a a3 ( i j k ) 2
原胞的缺点：没有反应出晶体的宏观对称性，且三个基矢
之间的夹角很多时候不是直角，不利于计算。
所以在结晶学中，通常选取最小单元的几倍作为原胞，称 为结晶学原胞或晶胞。
晶胞 结晶学原胞（晶胞、惯用晶胞）
除了周期性外，每种晶体还有 自己特殊的对称性。为了同时反映 晶格的对称性，往往会取最小重复 单元的一倍或几倍的晶格单位作为 原胞。结晶学中常用这种方法选取 原胞，故称为结晶学原胞，简称晶 胞（也称为单胞）。
体点阵，简称点阵。也就是说，在空间任何方向上均为周期性
排列的无限个全同点的集合。
注意：点阵所描写的或所代表的仅仅是晶体结构的周期性，不等同于
周期结构 ，只有把物理实体即基元以相同的方式放置于点阵的阵点上 （方位要相同）才能形成周期结构；全同包括每个点均有相同的环境
点阵的描述（非数学上的）
• 如何选取building block？ • Bravais Rule：应充分反应点阵的对称性；格子 直角应尽可能的多（便于计算）；所包含的阵点 数应尽可能的少 • 划分结果：14种Bravais lattices • Bravais lattice的定义：晶格只有一种原子构成， 基元也只有一个原子，且原子中心与阵点中心重 合。也就是说，每个格点周围环境完全相同。
结晶学原胞（晶胞）的选取方法
选取晶体三个不共面的对称轴（晶轴）矢量 a, b , c 作为坐标轴（基矢），其
矢量长度等于各轴上的周期，所围成的平行六面体。
c
b
c
a
b
c
a
a1
b
a2
a3
简单立方
体心立方
a
面心立方
选取晶胞的原则
选取的平行六面体能代表整个空间点阵的对 称性； b) 平行六面体内相等的棱和角的数目最多； c) 平行六面体棱间的直角最多； d) 在满足上述条件下，晶胞应具有最小的体积。 a) 总之，晶胞的选择既要考虑周期性，又要考虑宏观 对称性
为一组基矢。即平移矢量
l1 、l 2 、l 3 为一组整数。
布拉菲点阵的数学定义
R1,0,2 a1 2a3
确定原点和基矢后，晶格中任一格点都可以用矢量： Rn n1a1 n2a2 n3a3
(n1 , n2 , n3 , 0,1,2,3, )
1 由一个顶点向三个面心引 基矢。
a3 体积 V a1 a2 a3 4
原子个 数
FCC lattice
晶胞的几何特性
以sc为例
b
a
1、晶胞的体积
b
a
2、晶胞内的原子数（棱边、面心、体心上分别有 原子时怎么算） 3、原胞的体积 晶胞的体积除以晶胞内的原子数