甘肃省甘南州合作一中高一数学上学期期末试卷(含解析)
甘肃高一高中数学期末考试带答案解析
甘肃高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设全集集合集合，则=（ ）A ．B ．C ．D ．2.已知点A （1，1），B （3，3），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．3.棱长都是的三棱锥的表面积为（ ）A ．B ．2C ．3D ．44.已知直线a,b 都与平面α相交,则a,b 的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交 C ．异面D ．以上都有可能5.若、、是互不相同的空间直线，、是不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．6.函数的零点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．07.已知函数在内的值域是，则函数的图像大致是 （ ）8.圆C 1: 与圆C 2: 的位置关系是（ ） A ．外切B ．相交C ．内切D ．外离9.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1|_⊥平面ABC 。
若AB=AC=AA 1=1，BC=，则异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为A.30°B.45°C.60°D.90°10.若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的体积（ ）A ．B ．C ．D ．11.对任意的实数k，直线与圆的位置关系一定是（）A．相离B．相切C．相交且直线过圆心D．相交但直线不过圆心12.函数在区间A上是增函数，则区间A是（）A．B．C．D．二、填空题1.若直线平行，则。
2.长方体同一顶点上的三条棱长分别是3，4，5，若它的8个顶点都在一球面上，则这个球的表面积是_____3.过点(0,1)的直线与x2＋y2＝4相交于A、B两点，则|AB|的最小值为_______4.设f(x)为奇函数，且在（−∞，0）上递减，f(−2)=0,则xf(x)<0的解集为_____三、解答题1.已知Δ的顶点求:(1)边上的中线所在的直线方程;(2)边上的高所在的直线方程.2.根据下列条件，求圆的方程：(1)点，且AB是圆的直径.(2)圆心在直线上且与轴交于点，．3.如图，在边长为a的菱形ABCD中，，E,F是PA和AB的中点。
甘肃省高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．与角终边相同的角是（ ） 20-︒A ． B ．C ．D ．300-︒280-︒320︒340︒【答案】D【分析】由终边相同的角的性质即可求解.【详解】因为与角终边相同的角是，， 20-︒20360k -︒+︒Z k ∈当时，这个角为，1k =340︒只有选项D 满足，其他选项不满足. Z k ∈故选：D.2．已知，，，则（ ） 0.023x =lg 0.3y =lg 0.7z =A ． B ． x z y >>x y z >>C ． D ．z x y >>z y x >>【答案】A【分析】由对数函数与指数函数的单调性即可比较大小. 【详解】因为，所以，0.020331>=1x >， lg 0.3lg 0.7lg10<<=所以， y z x <<即. x z y >>故选：A3．已知，则下列说法正确的是（ ） ,,R a b c ∈A ．若，则 B ．若，则 a b >22a b >a b <22ac bc >C ．若，且，则 D ．若，则0ab ≠a b <11a b>a b >c d >a c b d +>+【答案】D【分析】根据不等式的性质或使用特例，判断命题的真假.【详解】当，时，满足，但，故A 选项错误； 1a =2b =-a b >22a b <当时，，故B 选项错误； 0c =22ac bc =当，时，满足且，但，故C 选项错误； 1a =-2b =0ab ≠a b <11a b<若，，则，故D 选项正确． a b >c d >a c b d +>+故选：D ．4．如果函数和都是指数函数，则（ ）()23xf x a =⋅()()32x bg x -+=b a =A ．B ．1C ．9D ．818【答案】D【分析】利用指数函数解析式的特点求解即可.【详解】根据题意可得，，则.1212a a =⇒=(3)03b b -+=⇒=-3182b a -⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：D 5．函数的图象大致为 2ln ||()1x x f x x =+A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】可采用排除法，根据奇偶性和特殊点的函数值的正负进行排除. 【详解】因为，所以的图象关于原点对称，故排除； ()()f x f x -=-()f x C D ，当时，，当时，，所以，排除B ． 1x =()0f x =01x <<ln ln 0x x =<()0f x <故选A.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和特殊点的函数值的正负识别图像，属于基础题. 6．函数的零点所在的区间是（ ） ()21ln f x x x =-A ． B ． C ． D ．()0,1()2,3()1,2()3,5【答案】C【分析】先判断出在上单调递增，利用零点存在定理直接判断. ()21ln f x x x =-()0,+∞【详解】因为函数在上单调递增，在上单调递增， ln y x =()0,+∞21y x =-()0,+∞所以在上单调递增. ()21ln f x x x =-()0,+∞当时，， 01x <<()f x <()211ln1101f =-=-<，， ()221112ln 20224f =->-=>()221113ln 3ln e 10339f =->-=->. ()221115ln 5ln e 105525f =->-=->由零点存在定理可得：函数的零点所在的区间是. ()21ln f x x x=-()1,2故选：C7．若（ ）cos()7πα-=26cos()sin (77ππαα+--A ．B ．C ．D【答案】A【解析】用已知角表示所求角，再根据诱导公式以及同角三角函数关系求解即可. 【详解】 226cos()sin ()=cos[()]sin ()7777ππππααπαα+------2=cos()[1cos ()]77ππαα----- 22=[1]3-=故选：A【点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.8．已知函数的定义域为，当时，，若对()f x R []14x ∈，()()241327342x x x f x g x ax x x ⎧-+⎪==+⎨-<⎪⎩，，，，，………，，使得，则正实数的取值范围为（ ） []114x ∀∈，[]231x ∃∈-，()()21g x f x ≥a A ． B ． (]02，(]03，C ．D ． [)2+∞，[)3+∞，【答案】C【分析】转化为，结合分段函数和一次函数性质，求解即可.max max ()()g x f x ≥【详解】对，，使得，， []114x ∀∈，[]231x ∃∈-，()()21g x f x ≥max max ()()g x f x ∴≥当时，， ①[]13x ∈，()224(2)4f x x x x =-+=--+max ()4;f x ∴=当时，，， ②(]34x ∈，()72f x x =-max 1()2f x =由得，①②max ()4f x =又，在上为增函数，，，， 0a > ()2g x ax =+[]31x ∈-，max ()2g x a ∴=+24a ∴+≥2a ∴≥的取值范围为a ∴[)2.+∞，故选：C ．二、多选题9．下列既是存在量词命题又是真命题的是（ ） A ．，Z x ∃∈220x x --=B ．至少有个，使能同时被和整除 x ∈Z x 35C ．，R x ∃∈20x <D ．每个平行四边形都是中心对称图形 【答案】AB【分析】AB 选项，可举出实例；C 选项，根据所有实数的平方非负，得到C 为假命题；D 选项为全称量词命题，不合要求.【详解】中，当时，满足，所以A 是真命题 A =1x -220x x --=;B 中，能同时被和整除，所以B 是真命题1535;C 中，因为所有实数的平方非负，即，所以C 是假命题 20x ≥;D 是全称量词命题，所以不符合题意. 故选：AB ．10．已知函数的图象经过点，则（ ）()af x x =13,3⎛⎫ ⎪⎝⎭A ．的图象经过点B ．的图象关于y 轴对称()f x 19,9⎛⎫⎪⎝⎭()f x C ．在定义域上单调递减 D ．在内的值域为()f x ()f x ()0,∞+()0,∞+【答案】AD【分析】代入已知点坐标求得函数解析式，然后根据幂函数的性质判断． 【详解】将点的坐标代入，可得，13,3⎛⎫ ⎪⎝⎭()af x x =1a =-则， ()1f x x=所以的图象经过点，A 正确；()f x 19,9⎛⎫⎪⎝⎭根据幂函数的图象与性质可知为奇函数，图象关于原点对称，在定义域上不具有单调性，()1f x x=函数在内的值域为，故BC 错误，D 正确， ()1f x x=()0,∞+()0,∞+故选：AD ． 11．对于函数，下列判断正确的是（ ） ()()2R 12xf x x x =∈+A ．()()0f x f x -+=B ．当时，方程总有实数解 ()01m ∈，()f x m =C ．函数的值域为()fx ⎡⎢⎣D ．函数的单调递增区间为 ()f x ()0-∞，【答案】AC【分析】A 选项，求出，从而得到； ()()2R 12xf x x x-=-∈+()()0f x f x -+=B 选项，举出反例即可； C 选项，，利用基本不等式求出时，结合函数奇偶性得到函()211122x f x x x x==++0x >()f x ≤数值域；D 选项，举出反例.【详解】对于，因为，故 A ()()2R 12x f x x x =∈+()()()22R 1212x x f x x x x --==-∈++-所以，所以A 正确；()()()()220R 1212x xf x f x x x x --+=+=∈++-对于B ，当时，，，，无解，所以B 错误； 12m =21122x x =+22210x x -+=()22840∆=--=-<当时，，其中由基本不等式得0x >()211122x f x x x x==++12x x +≥=， 12x x =x =()112f x x x=≤+又由A 选项可知为奇函数， ()()2R 12xf x x x =∈+故当时，的值域为，C 正确；0x <()112f x x x=≥+()f x ⎡⎢⎣∵，()11123f f ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭在上不可能单调递增，所以D 错误.()f x \()0-∞，故选：AC ．12．已知函数若互不相等的实数满足，则()223,2211,2x x x f x x x ⎧--+≥-=⎨--<-⎩123,,x x x ()()()123f x f x f x ==的值可以是（ ） 123x x x ++A ． B ．C ．D ．8-7-6-5-【答案】CD【分析】首先根据题意画出函数的图象，得到，，即可得到答案.230x x +=1(7,3]x ∈--【详解】函数的图象图所示：()223,2211,2xx x f x x x ⎧--+≥-=⎨--<-⎩设，因为， 123x x x <<()()()123f x f x f x ==所以，230x x +=当时，，时，， 2113x --=7x =-2115x --=-3x =-所以，即. 1(7,3]x ∈--1231(7,3]x x x x ++=∈--故选：CD三、填空题13．已知扇形的半径为2，周长为8，则此扇形的圆心角的弧度数为______． 【答案】2【分析】根据扇形的周长和弧长公式计算即可. 【详解】设此扇形的圆心角的弧度数为，弧长为l ，θ由扇形所在圆周的半径为2，周长为8，可得，得， 228l +⨯=4l =所以，得， 42θ=⋅2θ=即此扇形的圆心角的弧度数为. 2故答案为：.214．设函数，则的单调递减区间为____________．()()2ln 32f x x x =+-()f x 【答案】##()1,3[)1,3【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性法则判断即可.【详解】要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为， 2320x x +->13x -<<()1,3-设，，则函数开口向下，对称轴方程为，()232g x x x =+-()1,3x ∈-()g x 1x =所以函数在单调递增，在上单调递减， ()g x ()1,1-()1,3又在定义域上单调递增，ln y x =根据复合函数的单调性可知，函数的单调递减区间为.()()22log 32f x x x =+-()1,3故答案为：()1,315．已知函数，且，则的值为______．()32220222363x x x f x x +++=+()14f a =()f a -【答案】10-【分析】由函数解析式可知，函数为奇函数，有，计算即可.()()2g x f x =-()()4f a f a -+=【详解】，令，函数定义域为R ， ()32322202223620223233x x x x xf x x x ++++==+++()32202233x xg x x +=+∵，∴为奇函数，∴．()()()()()3322202232022333x x x xg x g x x x -+-+-==-=-+-+()g x ()()0g a g a +-=则，． ()()()()224f a f a g a g a -+=-+++=()41410f a -=-=-故答案为：-1016．定义在上的奇函数满足，且函数在上单调递减，则不R ()f x ()23f =()()2g x f x x =-[)0+∞，等式的解集为__________． (1)21f x x ->-【答案】 ()1-∞-，【分析】由为奇函数，然后说明为奇函数，又在上单调递减，()f x ()()2g x f x x =-()g x [)0+∞，由奇函数性质可知在整个实数上单调递减，构造不等式，利用单调性解之即可． ()g x 【详解】因为为上的奇函数， ()f x R 所以， ()()f x f x -=-由，则()()2g x f x x =-， ()()()()()22g x f x x f x x g x -=---=-+=-所以也为奇函数，()g x 又函数在上单调递减， ()g x [)0+∞，由对称性可知，在上递减， ()g x R 又因为，()23f =所以()()2222341g f =-⨯=-=-所以， ()()()1211211f x x f x x ->-⇒--->即， ()()()122g x g g ->-=-所以， 121-<-⇒<-x x 故答案为：． ()1-∞-，四、解答题17．计算下列各式的值：(1) ()11230.0272-(2).22ln 2225lg 5lg 2lg 2lg 25log 5log 4e ++⋅+⨯+【答案】(1)25π3-(2)4【分析】（1）将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂及根式运算法则进行计算； （2）利用对数运算性质计算出答案.【详解】（1）原式=； ()1311332631025π4224π1π1033--⎡⎤⎛⎫+-+⨯=+-+=-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦（2）原式. ()()()22225lg 5lg 22lg 2·lg 5log 5log 22lg 2lg 534=+++⨯+=++=18．已知集合，，． {}114A x x =≤-≤{}23B x x =-<≤{}2121C x a x a =-<<+(1)若是“”的充分条件，求实数的取值范围； x C ∈x A ∈a (2)若，求实数的取值范围．()A B C ⊆ a 【答案】(1)322a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭(2) 312a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】（1）根据题意先判断，进而得到的不等式组，解之可求得实数的取值范围； C A ⊆a a （2）根据得到的不等式组，解之可求得实数范围．()A B C ⊆ a a 【详解】（1）解：集合，， {}{}11425A x x x x =≤-≤=≤≤{}2121C x a x a =-<<+∵是“”的充分条件，x C ∈x A ∈∴， 215212a a +≤⎧⎨-≥⎩解得， 322a ≤≤∴实数的取值范围是．a 322a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭（2）解：∵ 集合，，， {}{}11425A x x x x =≤-≤=≤≤{}23B x x =-<≤{}2121C x a x a =-<<+∴ ，，{}23A B x x ⋂=≤≤()A B C ⊆ ∴ ， 212213a a -<⎧⎨+>⎩解得，312a <<∴ 实数的取值范围是． a 312a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭19．已知角的终边经过点．θ()(),0P m m ≠(1)求，，的值；sin θcos θtan θ(2)求的值．()()()()()()sin cos sin tan 2cos 2sin cos 2f πθθπθπθθππθθπθ⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭【答案】(1)当时，，时，0m >sin θ=1cos 3θ=tan θ=0m <sin θ=，1cos 3θ=-tan θ=(2) 64【分析】（1）利用三角函数的定义求解； （2）利用三角函数的诱导公式化简求解.【详解】（1）解：①当时，， 0m >3==r m 有，sin θ==1cos 33m m θ==tanθ==②当时，， 0m <3==-r m 有，，sin θ==1cos 33m m θ==--tan θ==（2），()()()4sin sin sin tan tan cos cos cos f θθθθθθθθθ-==-将代入，可得．tan θ=()(464f θ==20．为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2020年在其扶贫基地投入100万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长10%.(1)写出第x 年（2020年为第一年）该企业投入的资金数y （单位：万元）与x 的函数关系式，并指出函数的定义域；(2)该企业从第几年开始（2020年为第一年），每年投入的资金数将超过200万元？（参考数据，，，）lg 0.110.959≈-lg1.10.041≈lg11 1.041≈lg 20.301≈【答案】(1)，定义域为1100(110%)x y -=+{}|110x x ∈≤≤N (2)该企业从第9年开始（2020年为第一年），每年投入的资金数将超过200万元.【分析】（1）由每年投入资金比上年增长10%可确定函数关系式，由实际意义得到定义域；（2）令，解不等式即可确定结果.1100 1.1200x ->⨯【详解】（1）第二年投入的资金数为万元，()100110%+第三年投入的资金数为万元，2100(110%)100(110%)10%100(110%)+++=+第x 年（2020年为第一年）该企业投入的资金数y 万元与x 的函数关系式为，其定义域为.11100(110%)100 1.1x x y --=+=⨯{}|110x x ∈≤≤N （2）由，可得，1100 1.1200x ->⨯11.12x ->∵在R 上单调递增，则， 1.1x y = 1.1lg 20.3011log 2118.3lg1.10.041x >+=+≈+≈故该企业从第9年开始（2020年为第一年），每年投入的资金数将超过200万元.21．若关于x 的不等式的解集是． 20x mx n --<{12}xx -<<∣(1)求不等式的解集；210nx mx -++>(2)已知两个正实数x ，y 满足，并且恒成立，求实数a 的取值范围． 1m n x y+=222x y a a +≥-【答案】(1)； 112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭(2).11a ≤≤【分析】（1）根据不等式的解集以及韦达定理即可求得，再解不等式即可.,m n （2）利用基本不等式求的最小值，再解不等式即可.2x y +【详解】（1）∵不等式的解集是，20x mx n --<{12}x x -<<是方程的两个根，122,1x x ∴==-20x mx n --=∴， ()()2121m n ⎧+-=⎪⎨⋅-=-⎪⎩解得，1,2m n ==则不等式，即，2210x x -++>2210x x --<所以， 112x -<<所以不等式的解集为； 2210x x -++>112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭（2）∵恒成立，222x y a a +≥-∴，2min (2)2x y a a +≥-因为， 121x y+=所以， ()122222559x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即时等号成立，x y =3x y ==所以，229a a -≤解得，11a ≤≤即实数a 的范围是．11a ≤≤+22．定义在上的函数满足对任意的，，都有，且当()22-，()f x x ()22y ∈-，()()()f x f y f x y +=+时，．()02x ∈，()0f x >(1)证明：函数是奇函数()f x ;(2)证明：在上是增函数 ()f x ()22-，;(3)若，对任意，恒成立，求实数的取值范围． ()12f -=-()21f x t at ≤+-[]11x ∈-，[]22a ∈-，t 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) ][()33.-∞-⋃∞，，【分析】（1）令可得，再令，结合奇函数定义，即可证明；0x y ==()00f =y x =-（2）设任意，且，作差，结合题干条件可证明，再1x ()202x ∈，12x x >()()12f x f x -()()12f x f x >结合奇函数性质，即可得证；（3）可转化为即，列出不等式组，控制条件，求解即可.2max 1()t at f x +-≥【详解】（1）证明：令，得，，0x y ==()()()000f f f +=()00f =令，，，y x =-()()()00f x f x f +-==()()f x f x -=-所以函数是奇函数()f x ;（2）证明：设任意，且， 1x ()202x ∈，12x x >，()()()()()121212f x f x f x f x f x x -=+-=-且当时，，12x x > ()02x ∈，()0f x >，，1202x x ∴<-<()120f x x ->得，，()()120f x f x ->()()12f x f x >在上单调递增，根据奇函数的性质可知在上也单调递增，()f x \()02，()f x ()20-，综上，在上是增函数 ()f x ()22-，;（3）由题意，对任意，恒成立， ()21t at f x +-≥[]11x ∈-，[]22a ∈-，即，2max 1()t at f x +-≥由（1），（2）得当时，， []11x ∈-，()()max ()112f x f f ==--=对任意恒成立， 230t at +-≥[]22a ∈-，设是关于的一次函数，，要使恒成立， ()23h a at t =+-a []22a ∈-，()0h a ≥即, 22(2)0230(2)0230h t t h t t -≥⎧-+-≥⎧⇒⎨⎨≥+-≥⎩⎩解得或，所以实数的取值范围是 3t ≥3t £-t ][()33.-∞-⋃∞，，。
甘肃高一高中数学期末考试带答案解析
甘肃高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知，且，则（）A．B．C．D．2.在中，角所对的边分别为，若，,,则（）A．2B．C．D．13.已知向量=（2，1），=（﹣1，k），⊥，则实数k的值为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣14.已知, , 则的值为（）A．B．C．D．5.函数y=2sin（ωx+φ），|φ|＜的图象如图所示，则（）A．ω=,φ=B．ω=,φ= -C．ω=2,φ=D．ω="2,φ=" -6.函数的单调减区间为（）A．B．C．D．7.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A．B．C．D．8.设则下列结论正确的是（）A．B．C．D．9.在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距，低潮时水深为，高潮时水深为．每天潮涨潮落时，该港口水的深度（）关于时间（）的函数图象可以近似地看成函数的图象，其中，且时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（）A．B．C．D．10.已知点是的重心,且,则实数的值为（）A．B．C．D．二、填空题1.已知函数的图象关于直线对称,则．2.已知如图，在△中，，，，，，，则的值为_______．3.在中，若且AB=3，则的周长的取值范围 .4.对函数，有下列说法：①的周期为，值域为；②的图象关于直线对称；③的图象关于点对称；④在上单调递增；⑤将的图象向左平移个单位，即得到函数的图象.其中正确的是_________.（填上所有正确说法的序号）.三、解答题1.已知平面向量．（1）若，求；（2）若与夹角为锐角，求的取值范围．2.已知函数．（1）求函数的最小正周期和单调增区间；（2）已知的三个内角，，的对边分别为，，，其中，若锐角满足，且，求的值．3.如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的．位于该市的某大学与市中心的距离，且．现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站，在OB上设一站B，铁路在部分为直线段，且经过大学．其中，，．（1）求大学与站的距离；（2）求铁路段的长．4.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足．（1）求证：A，B，C三点共线；（2）求的值；（3）已知，的最小值为，求实数的值．甘肃高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知，且，则（）A．B．C．D．【解析】因为，所以，又由可得，又因为，所以，故选A.【考点】1、诱导公式的应用；2、同角三角函数之间的关系.2.在中，角所对的边分别为，若，,,则（）A．2B．C．D．1【答案】A【解析】因为，,，所以，由正弦定理得，故选A.【考点】1、三角形内角和定理；2、正弦定理的应用.3.已知向量=（2，1），=（﹣1，k），⊥，则实数k的值为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣1【答案】A【解析】因为，，，所以，故选A.【考点】1、向量垂直的性质；2、平面向量的数量积公式.4.已知, , 则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，,故选C.【考点】1、两角差的正切公式；2、特殊角的三角函数.5.函数y=2sin（ωx+φ），|φ|＜的图象如图所示，则（）A．ω=,φ=B．ω=,φ= -C．ω=2,φ=D．ω="2,φ=" -【解析】由图象知函数周期，所以，又函数图象过点，由五点法作图得解得，所以，故选C.【考点】1、三角函数的图象和性质；2、三角函数的周期性.【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图像求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点，用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”（即图象上升时与轴的交点）时；“第二点”（即图象的“峰点”）时；“第三点”（即图象下降时与轴的交点）时；“第四点”（即图象的“谷点”）时；“第五点”时.6.函数的单调减区间为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令：，，由复合函数的单调性可知：函数的单调减区间为，故选B.【考点】1、对数函数的单调性；2、三角函数的单调性.7.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令，则将函数的图象向左平移个单位可以得到函数的图象，再把所得图像向上平移个单位，所得图象的函数解析式是，故选A.【考点】1、三角函数的平移变换；2、诱导公式及余弦的二倍角公式.8.设则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，，，又函数在上是增函数，所以，，故选D.【考点】1、两角和的正弦公式；2、正弦函数的单调性.9.在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距，低潮时水深为，高潮时水深为．每天潮涨潮落时，该港口水的深度（）关于时间（）的函数图象可以近似地看成函数的图象，其中，且时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为相邻两次高潮发生的时间相距，所以，，排除C、D，又因时涨潮到一次高潮，即时函数取得最大值，所以排除B，故选A.【考点】1、建模能力及阅读能力；2、三角函数的周期性及最值以及做选择题的“特殊值法”.【方法点睛】本题主要考查建模能力及阅读能力、三角函数的周期性及最值以及做选择题的“特殊值法”，属于难题.“特殊值法”解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，该方法主要适合下列题型:（1）求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）求方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等也适合用这种方法解答.10.已知点是的重心,且,则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】接,延长交于,由于为重心, 故为中点,, 由重心的性质得, , 即,由余弦定理得,，，，.又,即，，故选B.【考点】1、正弦定理及余弦定理的应用；2、正弦定理及余弦定理的应用.【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.二、填空题1.已知函数的图象关于直线对称,则．【答案】【解析】因为函数的图象关于直线对称，所以时，函数取得最大值或最小值，又因为可化为，所以，两边平方可化为，，故答案为.【考点】1、的应用；2、三角函数的图象和性质.2.已知如图，在△中，，，，，，，则的值为_______．【答案】【解析】在中，建立直角坐标系，，，，，根据题意得到，，，，故答案为.【考点】1、向量的坐标运算；2、平面向量的数量积公式.3.在中，若且AB=3，则的周长的取值范围 .【答案】【解析】由得得，由正弦定理知：，周长，，，，故答案为.【考点】1、三角形内角和定理及诱导公式；2、正弦定理及两角和的正弦公式.【方法点睛】本题主要考查三角形内角和定理及诱导公式、正弦定理及两角和的正弦公式，属于难题.以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.4.对函数，有下列说法：①的周期为，值域为；②的图象关于直线对称；③的图象关于点对称；④在上单调递增；⑤将的图象向左平移个单位，即得到函数的图象.其中正确的是_________.（填上所有正确说法的序号）.【答案】①②④【解析】对函数的周期为，值域为故①正确；当时，，为最大值，故的图象关于直线对称，故②正确；当时，，不在函数的图象上，的图象不关于对称，故③错误；在时，故单调递增，故在上递增，故④正确；将的图象向左平移个单位，即可得到函数的图象，故⑤错误，故答案为①②④.【考点】1、三角函数图象；2、三角函数的性质.【方法点晴】本题通过对多个命题真假的判断考查三角函数图象、三角函数的性质以及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次需先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.三、解答题1.已知平面向量．（1）若，求；（2）若与夹角为锐角，求的取值范围．【答案】（1）或；（2）．【解析】（1）由，得或，两种情况分别求即可；（2）与夹角为锐角,，再排除即可.试题解析：（1）由，得或，时，，时，，.（2）与夹角为锐角,,又因为时，所以，的取值范围是【考点】1、向量平行的性质及向量的模；2、平面向量的数量积公式.2.已知函数．（1）求函数的最小正周期和单调增区间；（2）已知的三个内角，，的对边分别为，，，其中，若锐角满足，且，求的值．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）先化简，进而可得最小正周期，解不等式可得单调递增区间；（2）先由求得的值，再由正弦定理得，进而求得，根据余项定理可得结果.试题解析：（1），所以最小正周期为，由得单调递增区间是；（2）由，又∵为锐角，∴，由正弦定理可得，，则，由余弦定理可知，，可求得．【考点】1、三角函数的图象和性质；2、正弦定理及余弦定理的应用.3.如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的．位于该市的某大学与市中心的距离，且．现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站，在OB上设一站B，铁路在部分为直线段，且经过大学．其中，，．（1）求大学与站的距离；（2）求铁路段的长．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，，且，，直接由余弦定理可得结果；（2）先由由正弦定理得，，再次根据正弦定理可求得铁路段的长.试题解析：（1）在中，，且，，由余弦定理得，，即大学与站的距离为.（2），且为锐角，，在中，由正弦定理得，,即，，，，，，，，又，，在中，，由正弦定理得，，即，，即铁路段的长为．【考点】1、两角差的正弦公式；2、正弦定理及余弦定理的应用；3、阅读能力、数学建模能力和化归思想.【思路点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及两角差的正弦公式、正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.解答本题的关键是将“大学与站的距离及铁路段的长”转化为余弦定理和正弦定理的应用.4.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足．（1）求证：A，B，C三点共线；（2）求的值；（3）已知，的最小值为，求实数的值．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】（1）由已知得：,即//即可得证；（2）；（3）先将化为，再讨论，利用配方法求最小值.试题解析：（1）证明：由已知得：,即//又有公共点，三点共线.（2）.（3），当时当时，取得最小值1，与已知相矛盾；当时当时，取得最小值,得（舍去）当时当时，取得最小值，得,综上所述，为所求.【考点】1、向量的运算及共线向量的性质；2、平面向量的数量积公式及二次函数配方法求最值.【方法点睛】本题主要考查向量的运算及共线向量的性质、平面向量的数量积公式及二次函数配方法求最值，属于难题. 二次函数在区间上的最小值的讨论方法：（1）当时，（2）当时，（3）当时，.本题（3）就是利用这种思路求解的最小值的.。
甘肃高一高中数学期末考试带答案解析
甘肃高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.的值是（）A．B．C．D．2.向量化简后等于（）A．B．C．D．3.（）A．B．C．D．4.已知为第三象限角，则所在的象限是（）A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限角5.已知，且是第三象限角，则的值为（）A．B．C．D．6.若，则向量的夹角为（）A．B．C．D．7.命题：向量与向量共线；命题：有且只有一个实数，使得，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8.已知三点不在同一条直线上，是平面内一定点，是内的一动点，若，则直线一定过的（）A．重心B．垂心C．外心D．内心9.若且，则的最小值是（）A．6B．12C．16D．24 10.设, ,，则的大小关系是（）A．B．C．D．11.以下茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）7已知甲组数据的中位数为,乙组数据的平均数为,则的值分别为（）A． B． C． D．12.设的夹角为锐角，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.已知，则的值是．2.不等式的解集为________________．3.函数的值域是______________．4.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50到350度之间,频率分布直方图所示．（Ⅰ）直方图中的值为___________；（Ⅱ）在这些用户中,用电量落在区间内的户数为_____________．三、解答题1.（10分）解关于的不等式（1）；（2）．2.（10分）（1）计算的值（2）化简3.（本小题满分12分）已知源：Z_xx（1）若，求的坐标；（2）设，若，求点坐标．4.（12分）在锐角三角形中,分别是角所对的边，且．（1）确定角的大小；（2）若，且的面积为，求的值．5.（12分）已知向量，令且的周期为．（1）求函数的解析式；（2）若时，求实数的取值范围．甘肃高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A．【考点】三角函数值2.向量化简后等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B．【考点】平面向量的加法3.（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A．【考点】两角和与差的正弦公式4.已知为第三象限角，则所在的象限是（）A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限角【答案】B【解析】因为为第三象限角，即，所以，当为奇数时，它是第四象限角，当为偶数时，它是第二象限角．【考点】象限角5.已知，且是第三象限角，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，因为是第三象限角，，【考点】（1）两角和与差的正弦函数公式（2）同角三角函数的基本关系6.若，则向量的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，设与的夹角为，，则，故选C．【考点】数量积表示两个向量的夹角7.命题：向量与向量共线；命题：有且只有一个实数，使得，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，则任意实数，都有不成立，即为假命题，若有且只有一个实数，使得，则向量与共线，即为真命题．综上是的必要不充分条件，故选B．【考点】充分必要条件与向量的综合8.已知三点不在同一条直线上，是平面内一定点，是内的一动点，若，则直线一定过的（）A．重心B．垂心C．外心D．内心【答案】A【解析】如图，取的中点并连接，则，，，即三点共线，又因为为边上的中线，所以直线一定过的重心，故选A．【考点】向量的线性运算性质及几何意义9.若且，则的最小值是（）A．6B．12C．16D．24【答案】C【解析】，当且仅当，即时等号成立，故选C．【考点】基本不等式10.设, ,，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，，【考点】不等式的性质11.以下茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）甲组乙组已知甲组数据的中位数为,乙组数据的平均数为,则的值分别为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】乙组数据平均数=，，甲组数据可排列成：，所以中位数为：，故选C．【考点】茎叶图12.设的夹角为锐角，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，设与夹角为且为锐角，则：，且，解得且，所以实数的取值范围是，故选A．【考点】平面向量数量积的计算二、填空题1.已知，则的值是．【答案】【解析】，【考点】（1）同角三角函数的基本关系（2）两角和的正切公式2.不等式的解集为________________．【答案】【解析】当，当，所以不等式的解集为．【考点】绝对值不等式的解法3.函数的值域是______________．【答案】【解析】，所以函数的值域为．【考点】同角三角函数的基本关系4.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50到350度之间,频率分布直方图所示．（Ⅰ）直方图中的值为___________；（Ⅱ）在这些用户中,用电量落在区间内的户数为_____________．【答案】，70【解析】（1）依题意及频率分布直方图知，（2）样本数据落在内的频率为，样本数据落在内的频率为，样本数据落在内的频率为，故在这些用户中，用电量落在区间内的户数为．【考点】频率分布直方图三、解答题1.（10分）解关于的不等式（1）；（2）．【答案】（1）（2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．【解析】（1）本题考察的是分数不等式的解法，在不等符号的两侧分别为分式和常数，需要把常数移到另一侧通分后化简成一边只含有分式另一侧为0的形式．本题中要把2移到另一侧通分因式分解后化简成，，然后通过穿法即可得到答案．（2）本题考察的是含参一元二次不等式的解法，本题中用十字相乘法因式分解后，通过讨论的取值从而确定不等式的解集．试题解析：（1）原不等式可化为即，则所以原不等式的解集为：（2）原不等式可化为当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．【考点】（1）分式不等式解法（2）一元二次不等式的解法2.（10分）（1）计算的值（2）化简【答案】（1）（2）—1【解析】（1）本题考察的是两角和的正切公式，通过对角度的组合结合两角和与差的正切公式，即可化简求得所求的三角函数值．（2）本题考察的是三角函数的化简，本题中利用切化弦，再利用两角差的正弦公式，即可化简求得所求的三角函数值，试题解析：（1），，所以（2）=．【考点】（1）两角和的正切公式（2）切化弦3.（本小题满分12分）已知源：Z_xx（1）若，求的坐标；（2）设，若，求点坐标．【答案】（1）；（2）点坐标为．【解析】（1）本题考察的是求平面向量的坐标，本题中利用向量的数乘、坐标运算以及三角形法则即可求得所求的答案．（2）本题考察的是向量的垂直和平行，在本题中令向量的共线定理、向量的垂直与数量积的关系即可求出答案试题解析：（1）由题可得，，（2）设则，，解得，所以点坐标为．【考点】平面向量数量积的运算4.（12分）在锐角三角形中,分别是角所对的边，且．（1）确定角的大小；（2）若，且的面积为，求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）本题考察的是解三角形的综合问题，本题中利用正弦定理化简已知等式，根据不为0求出的值，由为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出的大小．（2）利用三角函数面积公式列出关系式，将与已知面积代入求出的值，再利用余弦定理列出关系式，结合完全平方公式进行变形，把与，以及的值代入即可求出的值．试题解析：（1），由正弦定理由是锐角三角形，．（2），，将代入得到，，．【考点】正弦定理5.（12分）已知向量，令且的周期为．（1）求函数的解析式；（2）若时，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）．【解析】（1）本题考察的是求函数解析式，本题中根据平面向量的数量积，再结合辅助角公式进行化简，又的周期为，可以求出从而求出的解析式．（2）本题考察的是求参数的取值范围问题，本题中根据所给的定义域求出的值域，再根据不等式恒成立问题即可求出参数的取值范围．试题解析：（1）∵的周期为∴（2），则【考点】（1）辅助角公式（2）三角函数的值域。
甘肃省甘南藏族自治州合作第一中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题
合作一中2019-2020学年第一学期期末考试高一数学试卷命题人： 审题人： 时 间：120分钟 分 值：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.若,,∥∥∥a b αβαβ，则a 与b 的位置关系是( ) A ．平行 B ．异面 C ．相交 D ．平行或异面或相交 2.直线l 过点(0,3)且垂直于y 轴，它的倾斜角和斜率是( ) A ．90°，不存在 B ．180°，0C ．90°，1 D ．0°，0 3 .已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 4 . 如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为（ ） A.8:27 B. 2:3 C.4:9 D. 2:95 .有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为（）俯视图 主视图 侧视图 A.24πcm 2，12πcm 3 B.15πcm 2，12πcm 3 C.24πcm 2，36πcm 3 D. 以上都不正确6.直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（ ） A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1) D ．(2,1)7. 两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ） A.4 B C D ．8. 直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（ ）A．22 B.4 C.24 D.29 .a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b；②若b⊂M，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确命题的个数有( )A.0个B.1个C.2个D.3个10.已知点A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|等于( )A.534B.532C.532D.13211.点P在圆C1：x2+y2﹣8x﹣4y+11=0上，点Q在圆C2：x2+y2+4x+2y+1=0上，则|PQ|的最小值是( )A．5 B．C． 5 D． 512.若函数y=x﹣2y+m=0有公共点，则实数m的取值范围为( )A．[﹣1，﹣1] B．[﹣1，1]C．[﹣1，﹣1] D．[﹣3，1]二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分.13.圆的一条直径的两个端点是(2,0)，(2，－2)，则此圆的方程是________．14.已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′的位置关系是________．15.一个正三棱柱的侧面展开图是一个边长为6 cm的正方形，则它的体积为_________．16.圆x2+y2﹣4x﹣2y+1=0上的动点Q到直线4x+3y+12=0距离的最小值为__________．三、解答题：本大题共6题，共7O分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（10分）已知圆台的上下底面半径分别是2.5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.18.（12分）已知l经过直线x+2y+5=0和3x-y+1=0的交点,且平行于直线0+y-x.2=3 (1)求l的方程.(2)求l与坐标轴围成的三角形面积19.（12分）圆心在直线2x＋y＝0上，且圆与直线x＋y－1＝0切于点M(2，－1)的圆的标准方程20.（12分）如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E.F分别是AB.PC的中点，PA＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF ⊥平面PCD .21.（12分）.已知正方体1111ABCD A B C D ，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：（１）O C 1∥面11AB D ；（2 ）已知正方体棱长为2,求1A 到面11AB D 的距离．22.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2+y 2=4与圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣1）2=8相交与P ，Q 两点． （1）求线段PQ 的长；（2）记圆O 与x 轴正半轴交于点M ，点N 在圆C 上滑动，求△MNC 面积最大时的直线NM 的方程．D 1ODBAC 1B 1A 1C。
2019-2020学年甘肃省甘南藏族自治州高一上学期期末考试数学试题解析
绝密★启用前2019-2020学年甘肃省甘南藏族自治州高一上学期期末考试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．,,a b αβαβ//////，则a 与b 位置关系是 ( ) A ．平行 B ．异面C ．相交D ．平行或异面或相交答案：D结合图(1)，(2)，(3)所示的情况，可得a 与b 的关系分别是平行、异面或相交．选D ．2．直线l 过点(0，3)且垂直于y 轴，它的倾斜角和斜率是（ ） A ．90°，不存在 B ．180°，0C ．90°，1D ．0°，0答案：D利用直线垂直于y 轴可得倾斜角及斜率. 解：因为直线l 与y 轴垂直，所以直线的倾斜角是0°，斜率为0， 故选：D . 点评：本题考查直线的倾斜角与斜率，属于基础题.3．已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．4x 2y 5+= B ．4x 2y 5-=C ．x 2y 5+=D ．x 2y 5-=答案：B 解：因为线段AB 的垂直平分线上的点(),x y 到点A ，B 的距离相等， 所以22(1)(2)x y -+-22(3)(1)x y =-+-．即：221244x x y y +-++-229612x x y y =+-++-，化简得：425x y -=． 故选B ．4．如果两个球的体积之比为8:27，那么两个球的表面积之比为（ ） A ．8:27 B ．2:3C ．4:9D ．2:9答案：C设两个球半径分别为r,R,则由条件知：3334823(),42733rr r R R R ππ==∴=，于是两球对应的表面积之比为22244().49r r R R ππ==故选C 5．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为：A ．224cm π，B ．215cm π，C ．224cm π，D ．以上都不正确．答案：A 解：由三视图可得该几何体为圆锥，且底面直径为6，即底面半径为r=3，圆锥的母线长l=5 则圆锥的底面积S 底面=9π 侧面积S 侧面=π•r •l=15π故几何体的表面积S=9π+15π=24π，又由圆锥的高h 2= l 2-r 2=16 故V=13•S 底面•h=12π 故选A6．直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ） A ．(0,0) B ．(0,1)C ．(3,1)D ．(2,1)答案：C把直线方程整理为()310k x y --+=后可得直线所过的定点. 解：把直线方程整理为()310k x y --+=，令3010x y -=⎧⎨-+=⎩，故31x y =⎧⎨=⎩，所以定点为()3,1，故选C. 点评：一般地，动直线()1112220A x B y C A x B y C λ+++++=所过的定点为直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=的交点.解题中注意对含参数的直线方程进行化简.7．直线330x y +-=与直线610x my ++=平行，则它们之间的距离为( )A ．4BCD 答案：D因为直线330x y +-=与直线610x my ++=平行，则3306260x y x y +-=⇔+-=，则m=2,,选D 8．直线3440x y --=被圆22(3)9x y -+=截得的弦长为（ ）A ．B ．4C ．D ．2答案：C 解：因为圆心为（3,0），半径为3，那么利用圆心到直线的距离公式3340415d ⨯-⨯-==，利用勾股定理可知弦长为==选C9．,,a b c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若则//a b ；②若,//b M a b ⊂，则//a M ；③若,a c b c ⊥⊥，则//a b ；④若,a M b M ⊥⊥，则//a b .其中正确命题的个数有（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3答案：B 试题分析：若则,a b 平行或相交或异面，故①错；若,//b M a b ⊂，则//a M 或a M ⊂，故②错；若,a c b c ⊥⊥，则,a b 平行或相交或异面，故③错；若,a M b M ⊥⊥，则//a b ，是直线与平面垂直的性质定理，故④正确．故选B ．【考点】点线面的位置关系．10．设A （3，3，1），B （1，0，5），C （0，1，0），AB 的中点M ，则CM =A 53B ．532C 53D 13 答案：C试题分析：先求得M （2,32，3）点坐标，利用两点间距离公式计算得CM =53，故选C ．【考点】本题主要考查空间直角坐标系的概念及空间两点间距离公式的应用． 点评：简单题，应用公式计算．11．点P 在圆C 1：x 2+y 2﹣8x ﹣4y +11=0上，点Q 在圆C 2：x 2+y 2+4x +2y +1=0上，则|PQ |的最小值是（ ） A ．5 B ．5C ．5-5 D ．5 5答案：C化圆的方程为标准方程，确定两圆的位置关系，可得|PQ |的最小值是两圆的圆心距减去半径的和． 解：圆2284110x y x y +--+=化为标准方程为()()22429x y -+-=，圆心为C 1(4,2)，半径为3；圆224210x y x y ++++=化为标准方程为()()22214x y +++=,圆心为C 2(−2,−1)，半径为2，∴两圆的圆心距为()()2212241236945355C C =--+--=+==>，∴两圆外离，∴|PQ |的最小值是两圆的圆心距减去半径的和,即35-5， 故选：C . 点评：本题考查圆与圆的位置关系及其判定，利用圆心距和两圆半径之和比较大小（几何法）可知两圆位置关系，圆心距加两圆半径之和即为两圆动点的最大距离，圆心距减两圆半径之和即为两圆动点的最小距离，属于基础题.12．若函数()241y x =---的图象与直线20x y m -+=有公共点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．251251⎡⎤---+⎣⎦，B ．2511⎡⎤--⎣⎦，．C ．2511⎡⎤-+-⎣⎦， D ．[]31-， 答案：B将函数变形为()()22140x y y -+=≤，表示的是以（1，0）为圆心，2为半径的圆的下半部分，与直线20x y m -+=有公共点，一个临界是相切，一个临界是过点（-1，0），列式求值即可. 解：函数()241y x =--- 可化简为：()()22140x y y -+=≤，表示的是以（1，0）为圆心，2为半径的圆的下半部分，与直线20x y m -+=有公共点，根据题意画出图像：一个临界是和圆相切，1+2515m m =⇒=-正值舍去；另一个临界是过点（-1，0）代入得到m=1. 故答案为：B. 点评：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。
甘肃省高一上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．关于命题“，”，下列判断正确的是（ ） x ∃∈N 220x x +=A ．该命题是全称量词命题，且是真命题 B ．该命题是存在量词命题，且是真命题 C ．该命题是全称量词命题，且是假命题 D ．该命题是存在量词命题，且是假命题【答案】B【分析】根据存在量词命题的定义及取可判断.0x =【详解】该命题是存在量词命题，当时，，所以该命题为真命题. 0x =220x x +=故选:B.2．设集合，，则（ ）{}2A y y x =={}2210B x x x =--<A B = A ． B ．C ．D ．()0,110,2⎛⎫ ⎪⎝⎭[)0,110,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【分析】求集合中函数的值域，解集合中一元二次不等式，得到两个集合，再求 A B A B ⋂【详解】函数值域为，∴， 2y x =[)0,∞+[)0,A =+∞不等式解得，∴， 2210x x --<112x -<<1,12B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则. [)0,1A B ⋂=故选：C3．下列函数为增函数的是（ ） A ． B ．()31log f x x=()3f x x =C ． D ．()sin f x x =()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据函数的单调性逐项判断即可.【详解】函数与在定义域内为减函数，不符合题意；()31log f x x =()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭函数在上为减函数，不符合题意；()sin f x x =π3π22⎛⎫⎪⎝⎭，根据幂函数的性质知为增函数.()3f x x =故选:B. 4．函数的部分图像大致为（ ）()22111x f x x +=-+A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用奇偶性和特殊点排除不符合的选项. 【详解】函数的定义域为，，因此()22111x f x x +=-+R ()()()2221211111x x f x f x x x -+-+-=-=-=+-+是上的偶函数，其图象关于轴对称，选项C ，D 不满足； ()f x R y 又，所以选项B 不满足，选项A 符合题意. ()1102f =>故选：A5．已知，，，则（ ） 0.32=a ln 0.2b =20.3c =A ． B ．C ．D ．a b c >>b a c >>c b a >>a c b >>【答案】D【分析】根据指数函数、对数函数与幂函数的性质比较即可. 【详解】因为，，， 0.321a =>ln 0.20b =<200.31c <=<所以. a c b >>故选:D.6．已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为（ ） ()f x ()2,32()()110f a f ++->a A ． B ．C ．D ．()2,+∞()1,+∞()0,∞+()1,-+∞【答案】C【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，可得其为奇函数，且在上单调递增，R 可转化为，根据单调性即可求解.()()110f a f ++->()()11f a f +>【详解】设幂函数，其图象过点，所以，解得，()y f x x α==()2,32232α=5α=所以.()5f x x =因为，所以为奇函数，且在上单调递增，()()()5f x x f x -=-=-()5f x x =R 所以可化为， ()()110f a f ++->()()()111f a f f +>--=可得，解得，所以的取值范围为. 11a +>0a >a ()0,∞+故选:C.7．下列式子中，可以是函数为奇函数的充分必要条件为（ ） ()()cos 2f x x φ=+A ． B ． πϕ=3π2ϕ=C ．，D ．，ππ2k ϕ=+k ∈Z π2π2k ϕ=+k ∈Z 【答案】C【分析】利用三角函数的奇偶性和充要条件的定义判定即可． 【详解】若为奇函数，则，解得； ()()cos 2f x x φ=+()0cos 0f ϕ==()ππ2k k ϕ=+∈Z 当时，有，则函数为奇函数. ()ππ2k k ϕ=+∈Z ()()cos 2sin 2f x x x ϕ=+=±()f x 所以函数为奇函数的充分必要条件为， ()()cos 2f x x φ=+()ππ2k k ϕ=+∈Z 故选：C8．已知函数满足，若与的图像有交点，()()f x x ∈R ()()2f x f x +-=1y x =+()y f x =()11,x y ，，则（ ）()22,x y ()33,x y 123123x xx y y y +++++=A ． B ．0C ．3D ．63-【答案】C【分析】两个函数图像都关于点对称，则图像交点也关于点对称，可求值. ()0,1()0,1【详解】由可得，()()2f x f x +-=()()2f x f x -=-函数的图像上任意一点关于点的对称点为， 即点，()f x ()(),x f x ()0,1()(),2x f x --()(),x f x --由也满足函数解析式，可得函数的图像关于点对称，()(),x f x --()f x ()0,1函数的图像可以由奇函数的图像向上平移1个单位得到，所以函数的图像也关1y x =+y x =1y x =+于点对称，()0,1若与的图像有交点，，，不妨设，1y x =+()y f x =()11,x y ()22,x y ()33,x y 123x x x <<由对称性可得，，，，1302x x +=20x =1312y y+=21y =所以. 1231233x x x y y y +++++=故选：C二、多选题9．下列命题正确的是（ ） A ．若，，则 B ．若，则 0a b >>0m >a b m m>1a b <<33a b >C ．若且，则 D ．若正数a ，b 满足，则0x >1x ≠1ln 2ln x x +≥2a b +=112a b+≥【答案】AD【分析】由不等式的性质和基本不等式的运用，逐个判断选项. 【详解】由不等式的性质可知，A 正确，B 错误； 当时，，C 错误； ()0,1x ∈1ln 0ln x x+<正数a ，b 满足，则， 2a b +=()1111222221121b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当时，等号成立，D 正确. 1a b ==故选：AD.10．设函数，则（ ）()()2ln 2f x x =-A ．是偶函数 B ．在上单调递减 ()f x ()f x ()0,∞+C ．的最大值为 D ．的一个零点()f x ln 2x ()f x 【答案】AC【分析】根据函数解析式，研究函数的奇偶性、单调性、最值和零点，验证各选项的结论.【详解】函数，由得的定义域为，关于坐标原点对称，()()2ln 2f x x =-220x ->()f x (又，所以为定义域上的偶函数，A 选项正确；()()f x f x -=()f x令，则，由二次函数的性质，当时，为增函数；当22t x =-ln y t =()x ∈22t x =-(x ∈时，为减函数；22t x =-在定义域内为增函数，由复合函数的单调可知，在上单调递增，在上单ln y t =()f x ()(调递减，B 选项错误；由函数单调性可知，最大值为，C 选项正确； ()f x ()0ln 2f =，解得，则的零点为，D 选项错误.()2ln 20x -=1x =±()f x 1±故选：AC.11．现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过60℃.一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80℃，65℃，给出两个茶温T （单位：℃）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟，）的函数模型：①；②.根据所给的数据，t ∈N 380204t T ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭260203tT ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭下列结论中正确的是（ ）（参考数据：，） lg 20.30≈lg 30.48≈A ．选择函数模型① B ．选择函数模型②C ．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2分钟D ．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分钟 【答案】AD【分析】将分别代入与，从而可判断AB ；解不等式2x =380204t T ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭260203tT ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭可得判断CD.38020604tT ⎛⎫=⋅+≤ ⎪⎝⎭【详解】将代入，得；2x =380204tT ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭65T =将代入，得. 2x =260203tT ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭1403T =故选择函数模型①.由，可得， 38020604tT ⎛⎫=⋅+≤ ⎪⎝⎭1lglg 22 2.532lg 2lg 3lg 4t ≥=≈-故该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分. 故选:AD.12．高斯是德国的天才数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数，其中不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作．如[]y x =[]x []20222022=，，，记函数，则（ ）[]1.71=[]1.52-=-()[]f x x x =-A ．B ．的值域为()2.90.9f -=()f x [)0,1C ．在上有5个零点 D ．，方程有两个实根()f x []0,5a ∀∈R ()f x x a +=【答案】BD【分析】根据高斯函数的定义，结合特殊点的函数值、值域、零点、方程的根、函数图象等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】，选项A 错误； ()[]()2.9 2.9 2.9 2.930.1f -=---=---=当时，， 10x -≤<[]1x =-()[]1f x x x x =-=+当时，，； 01x ≤<[]0x =()[]f x x x x =-=当时，，12x ≤<[]1x =()[]1f x x x x =-=-……以此类推，可得的图象如下图所示，()[]f x x x =-由图可知，的值域为，选项B 正确； ()f x [)0,1由图可知，在上有6个零点，选项C 错误；()f x []0,5，函数与的图象有两个交点，如下图所示， a ∀∈R ()y f x =y a x =-即方程有两个根，选项D 正确．()f x x a +=故选：BD三、填空题13．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图，这是折扇的示意图，已知为的中D OA 点，，，则此扇面（扇环）部分的面积是__________. 4OA =3π4AOB ∠=ABCD【答案】9π2【分析】利用扇形的面积公式可求得扇环的面积.【详解】. ()2213π9π42242ABCD AOB DOC S S S =-=⨯⨯-=扇环扇形扇形故答案为：. 9π214．已知，则__________.()sin cos 2sin cos f αααα+=πcos 4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】##12-0.5-【分析】利用同角三角函数的关系，求出函数解析式，再代入求值. 【详解】已知， ()sin cos 2sin cos f αααα+=因为，()2sin cos 12sin cos αααα+=+所以令，则，sin cos t αα=+()21f t t =-则. π11cos 1422f f ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭故答案为：12-15．已知，函数，已知有且仅有5个零点，则的取值范0a >2,0()πsin ,02π5ax a x f x ax x -+-<⎧⎪=⎨⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩()f x a 围为__________．【答案】191229,2,10510⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【分析】当时，在上无零点，所以在上有且仅有5个零点；当2a ≥()f x (,0)-∞()f x [0,2π]2a <时，在上恰有一个零点，所以在上有且仅有4个零点，利用正弦函数的图象()f x (,0)-∞()f x [0,2π]列式可求出结果.【详解】当时，，令，得， 0x <()2f x ax a =-+-()0f x =21x a=-若，即时，在上无零点，所以在上有且仅有5个零点， 210a-≥2a ≥()f x (,0)-∞()f x [0,2π]当时，，所以，即. [0,2π]x ∈πππ,2π555ax a ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦π5π2π6π5a ≤+<1229510a ≤<若，即时，在上恰有一个零点，210a-<2a <()f x (,0)-∞所以在上有且仅有4个零点，所以，即， ()f x [0,2π]π4π2π5π5a ≤+<191255a ≤<又，所以. 2a <1925a ≤<综上所述：的取值范围为.a 191229,2,10510⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭故答案为：.191229,2,10510⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭四、双空题16．已知函数是奇函数，当时，，，则__________.当()f x (),0x ∈-∞()2xf x mx =+()11f =-m =时，__________.()0,x ∈+∞()f x =【答案】 ##12-0.5-122xx ---【分析】利用是奇函数，由，代入函数解析式解出的值；由()f x ()()111f f =--=-m (),0x ∈-∞时的函数解析式利用奇函数的性质求时的解析式.()0,x ∈+∞【详解】因为是奇函数，所以，解得；()f x ()()11112f f m ⎛⎫=--=--=- ⎪⎝⎭12m =-因为当时，，0x <()122xf x x =-当时，，则.0x >0x -<()()112222x xf x f x x x --⎡⎤=--=-+=--⎢⎥⎣⎦故答案为：；12-122xx ---五、解答题17．已知是第二象限角，且. α222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=(1)求的值；tan α(2)求的值.()()πsin sin π23π3cos cos 2αααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫-+- ⎪⎝⎭【答案】(1)；1tan 2α=-(2). 35【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系化为关于的方程，根据所在的象限即可求解； tan αα（2）根据诱导公式可得原式，分子分母同时除以即可求解.cos sin 3sin cos αααα-=-+cos α【详解】（1）由，222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=可得，即， 2222sin 3sin cos 2cos 0cos ααααα--=22tan 3tan 20αα--=解得或.1tan 2α=-tan 2α=因为是第二象限角，所以.α1tan 2α=-（2）. ()()πsin sin πcos sin 1tan 323π3sin cos 3tan 153cos cos 2αααααααααα⎛⎫-++ ⎪--⎝⎭===-+-+⎛⎫-+- ⎪⎝⎭18．已知函数的定义域为集合，集合.()()ln 5f x x =-A {}21B x a x a =-<<-(1)当时，求；2a =()A B R ð(2)若命题：，是假命题，求的取值范围. p x A ∃∈x B ∈a 【答案】(1)； (){}35A B x x x ⋃=<≥R 或ð(2). (],1-∞【分析】（1）求出函数的定义域可得集合，代入，根据集合的补集与并集运算即可求()f x A 2a =解；（2）由题意可得，分与讨论列式即可求解.A B ⋂=∅B =∅B ≠∅【详解】（1）要使函数有意义，则解得，()f x 5010x x ->⎧⎨->⎩15x <<所以集合，. {}15A x x =<<{}15A x x x =≤≥R 或ð因为，所以. {}23B x x =-<<(){}35A B x x x ⋃=<≥R 或ð（2）因为命题：，是假命题，所以.p x A ∃∈x B ∈A B ⋂=∅当时，，解得；B =∅21a a -≥-13a ≤当时，则或，解得.B ≠∅215a a a -<-⎧⎨-≥⎩21211a a a -<-⎧⎨-≤⎩113a <≤综上，的取值范围为.a (],1-∞19．已知幂函数在上单调递增.()()2211m f x m x -=-⋅()0,∞+(1)求的值域； ()f x (2)若，，求的取值范围. 0x ∀>()222f x axx≥-a 【答案】(1) R (2) [)2,+∞【分析】（1）根据幂函数的定义及单调性列式求解即可；（2）由题意可得，，根据二次函数的性质求出的最大值即可. 0x ∀>242≥-a x x 242y x x =-【详解】（1）因为幂函数在上单调递增，()()2211m f x m x -=-⋅()0,∞+所以，解得，()211210m m ⎧-=⎪⎨->⎪⎩2m =所以.()3f x x =故的值域为. ()f x R （2）由题可得，，则， 0x ∀>22ax x≥-242≥-a x x 当时，有最大值2， 4122x =-=-⨯242y x x =-则，即的取值范围为. 2a ≥a [)2,+∞20．已知函数.()()22ln 12nf x x x =+-+(1)证明：当时，在上至少有两个零点；1n =()f x ()0,∞+(2)当时，关于的方程在上没有实数解，求的取值范围.2n =x ()f x m =[]1,2m 【答案】(1)证明见解析；(2).()(),362ln 2,-∞⋃++∞【分析】（1）通过零点存在性定理即可判断零点个数；（2）易判断函数的单调性，求出的值域，结合题设条件，即可求得的取值范围.()f x ()f x m 【详解】（1）当时，，1n =()22ln 2f x x x =-+因为，，， 2110e e f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭()110f =>()2e 4e 0f =-<所以，， ()110e f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭()()1e 0f f <因此，，，，即在上至少有两个零点. 11,1e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()21,e x ∈()10f x =()20f x =()f x ()0,∞+（2）当时，，易知在上单调递增.2n =()22ln 2f x x x =++()f x []1,2又，，即的值域为,()13f =()262ln 2f =+()f x []3,62ln 2+且关于的方程在上没有实数解，x ()f x m =[]1,2所以的取值范围为.m ()(),362ln 2,-∞⋃++∞21．对于函数，若在定义域内存在两个不同的实数x ，满足，则称为“类指数()f x ()2x f x =()f x 函数”．(1)已知函数，试判断是否为“类指数函数”，并说明理由； ()123x g x =-()g x (2)若为“类指数函数”，求a 的取值范围． ()21x a h x a =--【答案】(1)不是 “类指数函数” ()g x(2)()3-+【分析】（1）是否为“类指数函数”，可以转化为方程是否存在两个不同的实数()g x ()()0f x g x -=根；（2）是否为“类指数函数”， 转化为方程是否存在两个不同的实数根，进一步()h x ()()0f x h x -=化简、换元转化为一元二次方程求解.【详解】（1）若函数为“类指数函数”，则在定义域内存在两个不同的实数x 满足方程()123xg x =-，. ()()0f x g x -=()()1223x x f x g x -=-+由于函数与在R 上均单调递增，所以在R 上均单调递增，至多有一个零2x y =13xy =-()()f x g x -点，所以不是 “类指数函数”.()g x （2）若函数为“类指数函数”，则方程有两个不同的实数根，即方程()21x a h x a =--()()0f x h x -=有两个不同的实数根， 2021x xa a -=--整理得，()()22120x x a a -+-=设，则方程有两个不等的正根，20x t =>()210t a t a -+-=，由，解得或()21212Δ140100a a t t a t t a ⎧=++>⎪+=+>⎨⎪=->⎩()2Δ140a a =++>3a <--3a >-+由，解得；由，解得. 1210t t a +=+>1a >-120t t a =->a<0所以.30a -+<故a 的取值范围． ()3-+22．已知函数的部分图像如图所示. ()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭(1)求函数的解析式；()y f x =(2)将的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得()y f x =12π6到的图像，求函数的单调递增区间；()y g x =()g x (3)在第（2）问的前提下，对于任意，是否总存在实数，使得1ππ,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦成立?若存在，求出实数的值或取值范围；若不存在，说明理由.()()12f x g x m +=m【答案】(1) ()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2) ()ππ5ππ,242242k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z (3)存在，0m =【分析】（1）由题知，，求出从而得的值，将特殊点代入函数中求出，即可1A =7ππ4123T =-T ωϕ解决问题；（2）根据函数伸缩变换与平移变换后的到新函数的解析式，根据函数解析式求解单调区间即可； （3）假设存在实数的值或取值范围满足题意，根据所给条件先由，得m ()()12f x g x m +=，再根据所给的角把范围求出来，根据范围的包含关系列出不等()()21g x m f x =-()()21,g x m f x -式解出即可.【详解】（1）由图可知， 1A =，则，， 7πππ41234T =-=2ππT ω==2ω=所以，. ()()sin 2f x x ϕ=+77sin 126ππ1f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，即 7π2π(Z)π62k k ϕ+=-+∈5π2π(Z)3k k ϕ=-+∈又，所以当时，， π2ϕ<1k =π3ϕ=所以. ()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）将的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， ()y f x =12得：， πsin 43y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭再向右平移个单位长度得到： π6， ()πππsin 4sin 4633g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦由，， πππ2π42π232k x k -+≤-≤+k ∈Z 解得，， ππ5ππ242242k k x -+≤≤+k ∈Z 所以函数的单调递增区间为 ()g x ()ππ5ππ,242242k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z （3）由，得，()()12f x g x m +=()()21g x m f x =-由，得， 1ππ33x -≤≤1ππ2π33x -≤+≤所以，1sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭所以. ()11,m f x m m ⎡-∈-⎢⎣又，得， 2ππ66x -≤≤2πππ433x -≤-≤所以2π1sin 43x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭由题可知， 1,m m ⎡⎡-⊆-⎢⎢⎣⎣得 11m m -≥-⎧⎪⎨≤⎪⎩解得，0m =所以存在， 0m =使得成立. ()()12f x g x m +=。
甘肃高一高中数学期末考试带答案解析
甘肃高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知单位向量、，则下列各式成立的是（）A．B．C．D．2.已知角终边上有一点，则（）A．B．C．D．3.已知则（）A．B．C．D．4.向量在正方形网格中，如图所示，若，则（）A．B．C．D．5.设，，,则的大小关系是（）A．B．C．D．6.若向量、满足、，，则与的夹角为（）A．B．C．D．7.若一圆弧长等于它所在圆的内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角弧度数为（）A．B．2C．D．8.已知曲线则下面结论正确的是（）A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线9.若，则（）A．B．C．1D．10.已知函数的部分图象如图所示，下面结论错误的是（）A．函数的最小周期为B．函数的图象关于中心对称C．函数的图象关于直线对称D．函数的最小值为11.如果，那么函数的值域是（）A．B．C．D．12.在等腰直角中，为平面内的一点，斜边则的最小值是（）A．B．C．D．二、填空题1.已知向量，则在上的投影为__________.2.设，且，则的取值范围是________.3.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则____________.4.关于函数，有以下命题：①函数的定义域是②函数是奇函数；③函数的图象关于点对称；④函数的一个单调递增区间为.其中，正确的命题序号是______________.三、解答题1.已知函数.(Ⅰ)求的定义域；(Ⅱ)设是第四象限的角，且，求的值.2.已知，，.（1）若，求证：；（2）设，若，求的值.3.已知，，其中，求的值.4.设函数，其中.若且的最小正周期大于. （Ⅰ）求函数的解析表达式；（Ⅱ）讨论在区间内的单调性.5.已知函数(Ⅰ)写出函数的对称轴方程；(Ⅱ)设，的最小值是，最大值是，求实数的值.6.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量，又点，,(). (Ⅰ)若，且，求向量；(Ⅱ)若向量与向量共线，当，且取最大值4时，求.甘肃高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知单位向量、，则下列各式成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，所以，故，选项B是正确的；对于选项A，正确的为；对于选项C，由于夹角不能确定，所以选项C是错误的；对于选项D，只有当时，才有，所以选项D是错误的，故选B.2.已知角终边上有一点，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，所以P点坐标为，由三角函数的定义有，选C.3.已知则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，由已知有，解得，所以，选D.点睛：本题主要考查了三角函数在各象限的符号、同角三角函数基本关系式、诱导公式等，属于基础题，掌握这些公式是解答本题的关键。
2020-2021学年甘肃省甘南州高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年甘肃省甘南州高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）1.设l，m，n为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中正确的个数是()①若l⊥α，m//β，α⊥β，则l⊥m;②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α;③若l//m，m//n，l⊥α，则n⊥α;④若l//m，m⊥α，n⊥β，α//β，则l//n．A. 1B. 2C. 3D. 42.已知直线l上两点A，B的坐标分别为(3,5)，(a,2)，且直线l与直线3x+4y−5=0垂直，则a的值为()A. −34B. 34C. −43D. 433.若直线l与直线√3x+y+1=0垂直，则l的倾斜角为()A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°4.长方体的一个顶点上三条棱长分别是2，4，√5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是()A. 25πB. 50πC. 125πD. 都不对5.日晷，是中国古代利用日影测得时刻的一种计时工具，又称“日规”.其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻．利用日晷计时的方法是人类在天文计时领域的重大发明，这项发明被人类沿用达几千年之久．如图是故宫中的一个日晷，则根据图片判断此日晷的侧(左)视图可能为()A. B.C. D.6.已知点、直线过点，且与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是()A. 或B. 或C. D.7.设直线1的方程为2x+4y−3=0，直线m的方程为x+2y−6=0，则直线1与m的距离为()A. 3√510B. 3√55C. 9√510D. 9√558.“k>−√33”是“直线y=k(x+1)与圆(x−1)2+y2=1相交”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知α、β、γ表示不同的平面，a、b表示不同的直线，下列命题中正确的是()A. 如果a//α，α⊥β，那么a⊥βB. 如果α⊥β，β⊥γ，那么α//γC. 如果a//b，b//α，那么a//αD. 如果a//α，a⊥β，那么α⊥β10.在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，PA⊥平面ABCD，且PA=1，则P到对角线BD的距离为()A. 12√29 B. 135C. 32D. 3√2411.若圆x2+y2=a2与圆x2+y2+ay−6=0的公共弦长为2√3，则a的值为()A. ±2B. 2C. −2D. 无解12.过点A(4,3π2)引圆ρ=4sinθ的一条切线，则切线长为()A. 3√3B. 6√3C. 2√3D. 4√2二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）13.我们把形如y=b|x|−a(a>0,b>0)的函数因其图象类似于汉字“囧”字，故生动地称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当a=1，b=1时，所有的“囧圆”中，面积的最小值为______ ．14.设球的半径为时间的函数，若球的体积以均匀速度增长，则球的表面积的增长速度与球半径的乘积为．15.已知F1，F2为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F2作双曲线渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|2−|PF2|2=c2.则双曲线离心率的值为．16.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A−BD−C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角是60°．其中正确结论的序号是________．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.如图①，在平面五边形SBCDA中，AD//BC，AD⊥AB，AD=2BC=2AB，将△SAB沿AB折起到P的位置，使得平面PAB⊥底面ABCD，如图②，且E为PD的中点．(Ⅰ)求证：CE//平面PAB；(Ⅱ)若PA=PB=6，AB=4，求三棱锥A−BCE的体积．18.已知△ABC的三个顶点分别为A(−3,0)，B(2,1)，C(−2,3)．(1)求BC边上的中线AD所在的直线方程；(2)求△ABC的外接圆的一般方程．19.已知直线l1：3x+4y−5=0，圆O：x2+y2=4．(1)求直线l1被圆O所截得的弦长；(2)如果过点(−1,2)的直线l2与l1垂直，l2与圆心在直线x−2y=0上的圆M相切，圆M被直线l1分成两段圆弧，其弧长比为2：1，求圆M的方程．20.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA1，D是棱AA1的中点．(Ⅰ)证明：C1D⊥平面BDC；(Ⅱ)设AA1=2，求几何体C−BC1D的体积．21.如图1，在梯形ABCD中，BC//AD，BC=1，AD=3，BE⊥AD于E，BE=AE=1.将△ABE沿BE折起至△A′BE，使得平面A′BE⊥平面BCDE(如图2)，M为线段A′D上一点．(Ⅰ)求证：A′E⊥CD；(Ⅱ)若M为线段A′D中点，求多面体A′BCME与多面体MCDE的体积之比；(Ⅲ)是否存在一点M，使得A′B//平面MCE？若存在，求A′M的长．若不存在，请说明理由．22.已知△ABC的三内角A，B，C与所对的边a，b，c满足2b−ca =cosCcosA．(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)如果用psinA，sinB，sinC为长度的线段能围成以psinA为斜边的直角三角形，试求实数p的取值范围．参考答案及解析1.答案：B解析：对于①，直线l，m可能互相平行，①不正确;对于②，直线m，n可能是平行直线，此时不能得l⊥α，②不正确;对于③，由“平行于同一条直线的两条直线平行”与“若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面”得知，③正确;对于④，由l//m，m⊥α得l⊥α，由n⊥β，α//β得n⊥α，因此有l//n，④正确.综上所述，其中命题正确的个数是2，故选B．2.答案：B解析：本题考查了由直线上的两点的坐标求直线的斜率，考查了直线的斜率与直线垂直间的关系，是基础的计算题．由两点求斜率得到直线l的斜率，求出直线3x+4y−5=0的斜率，由斜率之积等于−1求解a的值．解：∵直线3x+4y−5=0的斜率为−34，若直线l与直线3x+4y−5=0垂直，则直线l的斜率存在，由直线l上两点A，B的坐标分别为(3,5)，(a,2)，得k l=5−23−a =33−a，再由−34×33−a=−1，解得：a=34．故选：B．3.答案：A解析：解：直线√3x+y+1=0的斜率为−√3，因为直线l与直线√3x+y+1=0垂直，所以直线l的斜率为√33，设l的倾斜角为为α，则tanα=√33，所以α=30°故选：A．求出直线√3x+y+1=0的斜率，利用两条直线的垂直关系，求出直线l的倾斜角α的值．本题考查两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，考查计算能力，是基础题．4.答案：A解析：解：因为长方体的一个顶点上的三条棱长分别是2，4，√5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是确定直径，长方体的对角线为：√22+42+√52=5，所以球的半径为：R=52，所以这个球的表面积：S=4πR2=25π．故选：A．由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积．本题是基础题，考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力．5.答案：D解析：解：由侧视图的定义及其圆的三视图可知：此日晷的侧(左)视图可能为D．故选：D．由侧视图的定义及其圆的三视图即可判断出结论．本题考查了圆的三视图，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：A解析：试题分析：直线的斜率，直线的斜率，直线与线段相交时有垂直于x轴的情况，所以斜率范围是或考点：直线斜率点评：由已知条件结合图形，通过观察直线倾斜角的变化，利用倾斜角与斜率间的关系得到斜率的变化情况，一般斜率的范围与过线段端点的直线的斜率有直接关系7.答案：C解析：解：直线1的方程为2x+4y−3=0，转换为x+2y−32=0，所以d=|−32−(−6)|√1+22=9√510．故选：C．直接利用平行线间的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：平行线间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．。
甘肃高一高中数学期末考试带答案解析
甘肃高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.直线的倾斜角是( )A．150ｏB．135ｏC．120ｏD．30ｏ2.直线3x＋4y－13=0与圆的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．无法判定3.若a,b是异面直线，且a∥平面α，则b和α的位置关系是（）A．平行B．相交C．b在α内D．平行、相交或b在α内4.直线与直线平行，则它们之间的距离为( )A．B．C．D．5.下列关于直线l,m与平面α,β的说法，正确的是（）A．若且α⊥β,则l⊥αB．若l⊥β且α∥β则l⊥αC．若l⊥β且α⊥β则l∥αD．若αβ=m,且l∥m, 则l∥α6.．经过直线：x－3y＋4=0和：2x+y＋5=0的交点，并且经过原点的直线方程是（）A．19x-9y=0B．9x+19y=0C．3x+19y=0D．19x-3y=07.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45ｏ，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A．B．C．D．8.已知m,n是两条直线，α,β是两个平面．有以下命题：①m,n相交且都在平面α,β外，m∥α, m∥β , n∥α, n∥β ,则α∥β;②若m∥α, m∥β , 则α∥β;③若m∥α, n∥β , m∥n,则α∥β．其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．39.一只虫子从点O(0,0)出发，先爬行到直线l:x-y+1=0上的P点，再从P点出发爬行到点A(1,1)则虫子爬行的最短路程是（）A．B．2C．3D．410.当曲线与直线有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题1.已知直线经过点A(3,a)，B(a-1,2),直线经过点C(1,2),D(-2,a+2),若⊥,则a 的值为_____________．2.三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别是1、、，则此三棱锥的外接球的表面积是____________．3.如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 与AC 所成的角是______°；直线A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角是_________°．4.过点O(0,0)引圆C:的两条切线OA,OB ，A,B 为切点，则直线AB 的方程是______________．5.已知两点A(-1,0),B(0,2),点C 是圆上任意一点，则△ABC 面积的最小值是______________．三、解答题1.（本小题8分） 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，若F ，E 分别为PC,BD 的中点，求证：（l ）EF ∥平面PAD ；（2）平面PDC ⊥平面PAD2.（本小题8分）已知线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且∣AB ∣=2．（1）求线段AB 的中点P 的轨迹C 的方程；（2）求过点M(1，2)且和轨迹C 相切的直线方程．3.（本小题8分）已知圆C: 及直（1）证明：不论m 取何值，直线l 与圆C 恒相交；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最短时的直线方程．4. （本小题8分）已知三棱锥A —BCD 及其三视图如图所示．（1）求三棱锥A —BCD 的体积与点D 到平面ABC 的距离；（2）求二面角 B-AC-D 的正弦值．5. （本小题8分）已知圆C 过点M （0，-2）、N （3，1），且圆心C 在直线x+2y+1=0上．（1）求圆C的方程；（2）设直线ax-y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．甘肃高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.直线的倾斜角是( )A．150ｏB．135ｏC．120ｏD．30ｏ【答案】A【解析】解：因为直线，故倾斜角是150ｏ，选A2.直线3x＋4y－13=0与圆的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．无法判定【答案】C【解析】解：因为圆心为（2,3），半径为1，利用圆心到直线的距离公式可是d=1,则直线3x＋4y－13=0与圆的位置关系是相切，选C3.若a,b是异面直线，且a∥平面α，则b和α的位置关系是（）A．平行B．相交C．b在α内D．平行、相交或b在α内【答案】D【解析】解：因为a,b是异面直线，且a∥平面α，则b和α的位置关系是平行、相交或b在α内,选D4.直线与直线平行，则它们之间的距离为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】解：因为直线与直线平行，则，则m=2,它们之间的距离为,选D5.下列关于直线l,m与平面α,β的说法，正确的是（）A．若且α⊥β,则l⊥αB．若l⊥β且α∥β则l⊥αC．若l⊥β且α⊥β则l∥αD．若αβ=m,且l∥m, 则l∥α【答案】B【解析】解：因为如果一条直线垂直于平行平面中的一个，必定垂直于另一个平面，因此选项B正确。
甘肃高一高中数学期末考试带答案解析
甘肃高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若为第三象限，则的值为（）A．B．C．D．2.的值为（）A．B．C．D．3.已知，则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．4.单调增区间为（）A．B．C．D．5.在△ABC中，已知，，则的值为（）A．B．C．D．6.由函数的图象得到的图象，需要将的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位7.函数在上单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．8.已知为奇函数，则的一个取值为（）A．B．C．D．9.已知，则的值是（）A．B．C．D．10.已知函数，（）的最小正周期为，则在区间上的值域为（）A．B．C．D．11.设向量、满足：，，，的夹角是，若与的夹角为钝角，则的范围是（）A．B．C．D．12.给出下列命题①中，，，则；②角终边上一点，且，那么；③若函数对于任意的都有，则；④已知满足，则．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题1.已知向量的夹角为，，则___________．2.已知函数的图象如下图所示，则___________．3.在边长为的正中，设，，则___________．4.已知，，且为锐角，则___________．三、解答题1.已知，，且，，求．2.已知：、、同一平面内的三个向量，其中（1）若，且，求的坐标；（2）若，且与垂直，求与的夹角．3.如图所示，在中，，与与相交于点，设，，试用和表示向量．4.已知， ()．（1）若，求证：；（2）设，若，求的值．甘肃高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.若为第三象限，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为为第三象限，所以．因此，故选择B．【考点】同角三角函数基本关系及三角函数符号．2.的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选择A．【考点】余角公式及两角差的正弦公式．3.已知，则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】向量在方向上的投影为，故选择A．【考点】平面向量的数量积．4.单调增区间为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以只要求的减区间，由，解得，故选择B．【考点】三角函数的性质．5.在△ABC中，已知，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得，因为，所以，从而，故选择D．【考点】平面向量的数量积及三角形面积公式．6.由函数的图象得到的图象，需要将的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【答案】B【解析】，即函数的图象得到，需要将的图象向左平移个单位，故选择B．【考点】三角函数图象变换．7.函数在上单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数在上单调递增函数，所以，即，对恒成立，从而，即，即，解得，故选择A．【考点】二次函数与正切函数性质综合．8.已知为奇函数，则的一个取值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，即，，因为为奇函数，故，代入检验，只有适合题意，故选择D．【考点】三角函数的奇偶性．9.已知，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，得，即，而故选择C．【考点】三角恒等变换中的求值．10.已知函数，（）的最小正周期为，则在区间上的值域为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，又最小正周期为，所以，即，由，得，从而，因此的值域为，故选择A．【考点】三角函数的值域．11.设向量、满足：，，，的夹角是，若与的夹角为钝角，则的范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知得,，．∴()()，欲使夹角为钝角，需．得．设()()，且∴，此时．即时，向量与的夹角为．∴夹角为钝角时，的取值范围是．故选择B．【考点】向量数量积的应用之一：求夹角．12.给出下列命题①中，，，则；②角终边上一点，且，那么；③若函数对于任意的都有，则；④已知满足，则．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】对于①由，得角为锐角，且，所以，从而角也为锐角，所以，因此故①正确；对于②由角终边上一点且，可知：若，由三角函数的定义得，若，由三角函数的定义得，所以②不正确；对于③若函数对于任意的都有，可知关于点成中心对称，因此，故③正确；对于④已知满足，可知：，，即有，再由，得则，故④不正确．最终有①③正确，故选择B．【考点】三角函数的基础知识．二、填空题1.已知向量的夹角为，，则___________．【答案】【解析】，，所以，提醒：．【考点】平面向量数量积的应用之一：求模．2.已知函数的图象如下图所示，则___________．【答案】【解析】由图象知，即，得，所以，图象中的最低点的坐标为代入，得，得，因此，从而，即．【考点】三角函数的图象和性质．3.在边长为的正中，设，，则___________．【答案】【解析】．【考点】平面向量数量积的计算．4.已知，，且为锐角，则___________．【答案】【解析】由，两式平方相加得：，即有，由为锐角，且，知，从而得，因此，所以，观察式子的结构特点，注意解题技巧的积累．【考点】三角恒等变换之一：求值．三、解答题1.已知，，且，，求．【答案】【解析】首先要想到配角的技巧，即用已知角来表示未知角，这里就是把表示成的形式，然后就是运用平方关系补算出相应的角的正弦和余弦的值，最后运用和、差公式求，需注意的是运用平方关系，在开方时涉及到正、负号的取舍问题，这就需要由角的范围来确定，不能随便就取正号或负号，这样很容易犯错．试题解析：∵，，∴ 2分又∵，，∴,又， 4分∴． 8分【考点】三角恒等变换之一：求值．2.已知：、、同一平面内的三个向量，其中（1）若，且，求的坐标；（2）若，且与垂直，求与的夹角．【答案】（1）或；（2）．【解析】（1）求的坐标，若设出，则需建立关于的两个方程，而条件和恰好提供了建立方程的两个初始条件，只需将它们转化到用表示即可，（2）根据，还需求出的值，由条件与垂直，易得的值，从而得出夹角，从规范严谨的角度来讲，在此之前，一定要交待．试题解析：（1）设由∴或∴或 4分（2），即（※），代入（※）中，，，， 8分【考点】平面向量的计算及向量数量积的应用．3.如图所示，在中，，与与相交于点，设，，试用和表示向量．【答案】【解析】根据平面向量基本定理，可设，如何确定的值呢？，要用好共线定理，这里两次利用三点共线和三点共线，构建关于的两个方程，从而解出的值．试题解析：设则．．又∵三点共线，∴与共线．∴存在实数，使得， 2分∴．，消去得：．即① 4分又∵．．又∵三点共线，∴与共线．∴存在实数，使得，∴∴，消去得：② 6分由①②得8分注：本题解法较多，只要正确合理均可酌情给分．【考点】平面向量共线定理及平面向量基本定理．4.已知， ()．（1）若，求证：；（2）设，若，求的值．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）求证，即证，从何证起，只有从条件出发，有一句话要记住“见模就平方”，平方后就会产生；（2）利用向量相等，则对应的坐标相等，产生关于角的三角等式，即三角方程，从而解出角的值，当然所求解必须满足这一条件．试题解析：（1）∵∴即，又∵，∴∴∴． 4分（2）∵∴即两式平方相加得：∴∴∵∴． 12分【考点】三角函数与平面向量的综合．。
甘肃高一高中数学期末考试带答案解析
甘肃高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.函数的定义域为（ ）A ．（，1）B ．（，∞）C ．（1，+∞）D ．（，1）∪（1，+∞）2.以正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB 、AD 、AA 1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC 1中点坐标为（ ） A ．（，1，1） B ．（1，，1） C ．（1，1，） D ．（，，1）3.若，，，则与的位置关系为（ ） A ．相交B ．平行或异面C ．异面D ．平行4.如果直线同时平行于直线，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5.设，则的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．6.空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AC 、BD 中点，若CD ＝2AB ，EF ⊥AB ，则直线EF 与CD 所成的角为（ ）A ．45°B ．30°C ．60°D ．90° 7.如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．8.圆：和圆：交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．9.已知，则直线与圆的位置关系是（）A．相交但不过圆心B．过圆心C．相切D．相离10.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．28＋6B．60＋12C．56＋12D．30＋611.若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．12.已知直线与函数的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.若是奇函数，则．2.已知，则．3.已知过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3 cm，则球的体积是．4.如图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ，在折起后形成的三棱锥D －ABC 中，给出下列三种说法：①△DBC 是等边三角形； ②AC ⊥BD ；③三棱锥D －ABC 的体积是．其中正确的序号是________（写出所有正确说法的序号）．三、解答题1.根据下列条件，求直线的方程：（1）已知直线过点P （－2，2）且与两坐标轴所围成的三角形面积为1；（2）过两直线3x －2y ＋1＝0和x ＋3y ＋4＝0的交点，且垂直于直线x ＋3y ＋4＝0． 2.已知且，若函数在区间的最大值为10，求的值． 3.定义在上的函数满足，且．若是上的减函数，求实数的取值范围．4.如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）中，，分别是棱上的点（点不同于点），且为的中点．求证：（1）平面平面； （2）直线平面．5.如图所示，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC ＝2，M 为BC 的中点．（1）证明：AM ⊥PM ；（2）求二面角P －AM －D 的大小． 6.已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0．（1）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程．（2）从圆C 外一点P （x 1，y 1）向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P 的坐标．甘肃高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.函数的定义域为（ ）A ．（，1）B ．（，∞）C ．（1，+∞）D ．（，1）∪（1，+∞）【答案】A 【解析】要使函数有意义，需满足，函数在即，解得，所以函数的定义域为（，1）．【考点】函数的定义域．【名师点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、对数和分式、函数的单调性等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性，此题容易忽略，造成失误，此题还可以用特殊值，排除一些选项，得到正确答案．2.以正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB 、AD 、AA 1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC 1中点坐标为（ ） A ．（，1，1） B ．（1，，1） C ．（1，1，） D ．（，，1）【答案】C【解析】由题意如图，正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC 1中点坐标，横坐标为1，竖坐标为CC 1的中点值，纵坐标为1，所以棱CC 1中点坐标为：（1，1，）【考点】空间直角坐标系点的坐标的求法． 3.若，，，则与的位置关系为（ ） A ．相交 B ．平行或异面 C ．异面D ．平行【答案】B 【解析】因为，所以平面α与平面β没有公共点，∵a ⊂α，b ⊂β，∴直线a ，b 没有公共点，∴直线a ，b 的位置关系是平行或异面，故选B ． 【考点】面面、线线位置关系．4.如果直线同时平行于直线，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为直线同时平行于直线，所以，解得．【考点】两条直线平行的性质．5.设，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数在上单调递增，所以，、，所以，答案为D．【考点】比较大小．【方法点睛】幂的大小比较的常用方法：（1）底数相同，指数不同时，如，利用指数函数的单调性；（2）指数相同，底数不同，如利用幂函数单调性比较大小；（3）底数指数都不同，如寻找中间变量0，1或或．6.空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则直线EF与CD所成的角为（）A．45° B．30° C．60° D．90°【答案】B【解析】如图所示：取AD的中点G，连接GE，GF则GE∥CD，且GE=CD则∠FEG即为EF与CD所成的角，GF∥AB，且GF=AB，又∵EF⊥AB，∴EF⊥GF，∴∠FEG=30°．故选B．【考点】异面直线及其所成的角．7.如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】法一：当时，，满足在区间上是单调递增的，排除C，当时，其图像的对称轴为，不满足在区间上是单调递增，排除A，B，所以选D；法二：当时，，满足在区间上是单调递增，排除C，当时，其图像的对称轴为，要满足在区间上是单调递增，则，解得，综上．【考点】二次函数的单调性．8.圆：和圆：交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意圆：x2+y2-4x+6y=0和圆：x2+y2-6x=0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程，就是求两个圆的圆心的连线方程，圆：x2+y2-4x+6y=0的圆心（2，-3）和圆：x2+y2-6x=0的圆心（3，0），所以所求直线方程为：，即3x-y-9=0．故答案为：3x-y-9=0．【考点】两个圆的位置关系，弦的中垂线方程的求法，9.已知，则直线与圆的位置关系是（）A．相交但不过圆心B．过圆心C．相切D．相离【答案】A【解析】由题意圆心（0，0）到直线的距离的平方为，所以，故直线和圆相交但不过圆心，故选A．【考点】直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用．10.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．28＋6B．60＋12C．56＋12D．30＋6【答案】D【解析】三视图所表示的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以，，，，几何体的表面积为：故选D．【考点】三视图与几何体的关系，注意表面积的求法．11.若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可知曲线表示一个圆，化为标准方程得：：y（y-mx-m）=0表示两条直线y=0和mx-y+m=0，由（x-1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1； C2直线mx-y+m=0，知：此直线过定点（-1，0），在平面直角坐标系中画出图象如图所示：当直线mx-y+m=0，与圆相切时，圆心到直线的距离，解得当直线mx-y+m=0与圆相交时，直线y=0与圆有两个交点．综上实数m的取值范围是【考点】直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用12.已知直线与函数的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】画出函数图象如图所示，，由图可知，当直线（m∈R）与函数的图象相切时，设切点A（，），则f′（x）=x，∴k=m=x0即直线y=mx过切点A（，）时，有唯一解．∴结合图象得，当直线y=mx与函数y=f（x）的图象恰好有3个不同的公共点时，则实数m的取值范围是，故选C．【考点】导数几何意义及数形结合．【方法点睛】本题主要考查函数的图象的交点以及数形结合方法，同时考查了导数的几何意义，利用导数求切线的方程．解本题的关键是寻找“临界状态”，即直线与图象相切的时候．数形结合是数学解题中常用的思想方法，本题由于使用了数形结合的方法，使得问题便迎刃而解，且解法简捷二、填空题1.若是奇函数，则．【答案】【解析】因为是奇函数，所以，，解得【考点】函数的奇偶性2.已知，则．【答案】【解析】因为，所以，，所以【考点】分段函数的应用【名师点睛】1本题考查分段函数和复合函数求值，此题需要先求的值，继而去求的值；2．若求函数的值，需要先求的值，再去求的值；若是解方程的根，则需先令，即，再解方程求出的值，最后在解方程；注意运算的准确性．3.已知过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3 cm，则球的体积是．【答案】【解析】设球的半径为2r，如图O为球心， E为BC的中点，D是三角形ABC的中心，那么，，解得球的半径是2所以球的体积为故答案为．【考点】球的半径以及球的体积的求法4.如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D－ABC中，给出下列三种说法：①△DBC是等边三角形；②AC⊥BD；③三棱锥D－ABC的体积是．其中正确的序号是________（写出所有正确说法的序号）．【答案】①②【解析】如图所示：取AC的中点O连接DO，BO，因为AD=DC，所以，同理可得易得因为平面ADC⊥平面ABC，所以BD=又BC=DC=1∴三角形DBC是等边三角形①正确．∵AC⊥DO，AC⊥BO∴AC⊥平面DOB∴AC⊥BD②正确．三棱锥D-ABC的体积③不正确．故答案为：①②．【考点】折叠问题，要注意折叠前后的改变的量和位置．三、解答题1.根据下列条件，求直线的方程：（1）已知直线过点P（－2，2）且与两坐标轴所围成的三角形面积为1；（2）过两直线3x－2y＋1＝0和x＋3y＋4＝0的交点，且垂直于直线x＋3y＋4＝0．【答案】（1）x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0;（2）3x-y+2=0【解析】（1）先设出直线的点斜式方程，求出直线在坐标轴上的截距，表示出三角形的面积，即可求出其斜率，进而求出直线的方程．（2）联立已知的两直线方程得到方程组，求出两直线的交点坐标，所求的直线过交点坐标，然后由两直线垂直时斜率的乘积等于-1，根据直线x+3y+4=0的斜率即可得到所求直线的斜率，利用点斜式求直线的方程即可．试题解析：（1）设直线方程y-2=k（x+2），令x=0得令y=0得，由题意得，所以，即解得所以所求直线方程为x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0．（2）联立直线方程①+②×（-3）得：y=-1，把y=-1代入②，解得x=-1，原方程组的解为所以两直线的交点坐标为（-1，-1），又因为直线x+3y+4=0的斜率为，所以所求直线的斜率为3，则所求直线的方程为：y+1=3（x+1），即3x-y+2=0．【考点】直线的点斜式方程、三角形的面积计算公式及分类讨论的思想方法．2.已知且，若函数在区间的最大值为10，求的值．【答案】【解析】当时，函数在区间上是减函数，当x=-1时，函数f（x）取最大值；当a＞1时，函数在区间[-1，2]上是增函数，当x=2时，函数f（x）取最大值；结合函数在区间[-1，2]的最大值为10，构造关于a的方程，可求a的值试题解析：当0<a<1时，f（x）在[－1，2]上是减函数，当x＝－1时，函数f（x）取得最大值，则由2－5＝10，得，当a>1时，f（x）在[－1，2]上是增函数，当x＝2时，函数取得最大值，则由2－5＝10，得或（舍），综上所述：．【考点】函数的最值及单调性3.定义在上的函数满足，且．若是上的减函数，求实数的取值范围．【答案】【解析】利用函数的奇偶性可把不等式化为f（1－a）＜f（2a－1），再根据单调性可去掉符号“f”，变为2a-1＞a-1，再考虑到定义域即可求出a的范围．试题解析：由f（1－a）＋f（1－2a）＜0，得f（1－a）＜－f（1－2a）．∵f（－x）＝－f（x），x∈（－1，1），∴f（1－a）＜f（2a－1），又∵f（x）是（－1，1）上的减函数，∴解得．故实数的取值范围是．【考点】函数的奇偶性、单调性的综合应用及抽象不等式的求解．4.如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）中，，分别是棱上的点（点不同于点），且为的中点．求证：（1）平面平面；（2）直线平面．【答案】证明见解析【解析】（1）根据三棱柱是直三棱柱，得到平面，从而，结合已知条件，是平面内的相交直线，得到平面，从而平面平面；（2）先证出等腰三角形△A 1B 1C 1中，A 1F ⊥B 1C 1，再用类似（1）的方法，证出A 1F ⊥平面BCC 1B 1，结合AD ⊥平面BCC 1B 1，得到A 1F ∥AD ，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A 1F ∥平面ADE试题解析：（1）∵是直三棱柱，∴平面。
甘肃高一高中数学期末考试带答案解析
甘肃高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知两个非零向量满足，则下面结论正确是（）A．B．C．D．2.已知且，则（）A．B．C．D．3.在中，，则等于（）A．B．C．D．4.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位5.函数的值域是（）A．B．C．D．6.设是单位向量，且则的最小值是（）A．B．C．D．7.在中，若，则的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形8.设函数是常数，，若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（）A．B．C．D．9.如图，正方形的边长为分别为上的点．当的周长为时，则的大小为（）A．B．C．D．10.对任意两个非零的向量和，定义；若向量满足，与的夹角，且都在集合中，则（）A．B．C．D．二、填空题1.已知向量．若λ为实数，，则＝_____．2.函数的定义域是________________．3.在边长为1的正三角形中，设，，则_____．4.函数的最大值为_________．5.下面五个命题中，其中正确的命题序号为________________．①若非零向量满足则存在实数使得；②函数的图象关于点对称；③在中，；④在内方程有个解；⑤若函数为奇函数，则．三、解答题1.（8分）已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．2.（8分）在平面直角坐标系中，已知向量，，．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若与的夹角为，求的值．3.（10分）在中，内角的对边分别为，且．已知求：（Ⅰ）和的值；（Ⅱ）的值．4.（12分）已知函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数在区间上的值域；（Ⅲ）求函数的单调递增区间．5.（12分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等，请选择适当的探究顺序，研究函数的性质，并在此基础上，作出其在上的图象．甘肃高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知两个非零向量满足，则下面结论正确是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，故选B。
2019-2020学年甘肃省甘南藏族自治州高一上学期期末考试数学试题(解析版)
2019-2020学年甘肃省甘南藏族自治州高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．,,a b αβαβ//////，则a 与b 位置关系是 ( ) A ．平行 B ．异面C ．相交D ．平行或异面或相交【答案】D【解析】结合图(1)，(2)，(3)所示的情况，可得a 与b 的关系分别是平行、异面或相交．选D ．2．直线l 过点(0，3)且垂直于y 轴，它的倾斜角和斜率是（ ） A ．90°，不存在 B ．180°，0C ．90°，1D ．0°，0【答案】D【解析】利用直线垂直于y 轴可得倾斜角及斜率. 【详解】因为直线l 与y 轴垂直，所以直线的倾斜角是0°，斜率为0， 故选：D . 【点睛】本题考查直线的倾斜角与斜率，属于基础题.3．已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．4x 2y 5+= B ．4x 2y 5-=C ．x 2y 5+=D ．x 2y 5-=【答案】B 【解析】【详解】因为线段AB 的垂直平分线上的点(),x y 到点A ，B 的距离相等， 22(1)(2)x y -+-22(3)(1)x y =-+-．即：221244x x y y +-++-229612x x y y =+-++-，化简得：425x y -=． 故选B ．4．如果两个球的体积之比为8:27，那么两个球的表面积之比为（ ） A ．8:27 B ．2:3C ．4:9D ．2:9【答案】C【解析】设两个球半径分别为r,R,则由条件知：3334823(),42733rr r R R R ππ==∴=，于是两球对应的表面积之比为22244().49r r R R ππ==故选C 5．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为：A ．224cm π，B ．215cm π，C ．224cm π，D ．以上都不正确．【答案】A 【解析】【详解】由三视图可得该几何体为圆锥，且底面直径为6，即底面半径为r=3，圆锥的母线长l=5 则圆锥的底面积S 底面=9π 侧面积S 侧面=π•r•l=15π故几何体的表面积S=9π+15π=24π， 又由圆锥的高h 2= l 2-r 2=16 故V=13•S 底面•h=12π故选A6．直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ） A ．(0,0) B ．(0,1)C ．(3,1)D ．(2,1)【答案】C【解析】把直线方程整理为()310k x y --+=后可得直线所过的定点. 【详解】把直线方程整理为()310k x y --+=，令3010x y -=⎧⎨-+=⎩，故31x y =⎧⎨=⎩，所以定点为()3,1，故选C. 【点睛】一般地，动直线()1112220A x B y C A x B y C λ+++++=所过的定点为直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=的交点.解题中注意对含参数的直线方程进行化简.7．直线330x y +-=与直线610x my ++=平行，则它们之间的距离为( ) A ．4 B ．21313C ．51326D ．71020【答案】D【解析】解：因为直线330x y +-=与直线610x my ++=平行，则3306260x y x y +-=⇔+-=，则m=2,它们之间的距离为71020,选D 8．直线3440x y --=被圆22(3)9x y -+=截得的弦长为（ ） A ．22 B ．4C ．42D ．2【答案】C 【解析】【详解】解：因为圆心为（3,0），半径为3，那么利用圆心到直线的距离公式3340415d ⨯-⨯-==，利用勾股定理可知弦长为2222842r d -==．选C9．,,a b c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若则//a b ；②若,//b M a b ⊂，则//a M ；③若,a c b c ⊥⊥，则//a b ；④若,a M b M ⊥⊥，则//a b .其中正确命题的个数有（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】试题分析：若则,a b 平行或相交或异面，故①错；若,//b M a b ⊂，则//a M 或a M ⊂，故②错；若,a c b c ⊥⊥，则,a b 平行或相交或异面，故③错；若,a M b M ⊥⊥，则//a b ，是直线与平面垂直的性质定理，故④正确．故选B ．【考点】点线面的位置关系．10．设A （3，3，1），B （1，0，5），C （0，1，0），AB 的中点M ，则CM =A ．534B ．532C ．532D ．132【答案】C【解析】试题分析：先求得M （2,32，3）点坐标，利用两点间距离公式计算得CM =532，故选C ． 【考点】本题主要考查空间直角坐标系的概念及空间两点间距离公式的应用． 点评：简单题，应用公式计算．11．点P 在圆C 1：x 2+y 2﹣8x ﹣4y +11=0上，点Q 在圆C 2：x 2+y 2+4x +2y +1=0上，则|PQ |的最小值是（ ） A ．5 B ．5C ．5 5 D ．55【答案】C【解析】化圆的方程为标准方程，确定两圆的位置关系，可得|PQ |的最小值是两圆的圆心距减去半径的和． 【详解】圆2284110x y x y +--+=化为标准方程为()()22429x y -+-=，圆心为C 1(4,2)，半径为3；圆224210x y x y ++++=化为标准方程为()()22214x y +++=,圆心为C 2(−2,−1)，半径为2， ∴两圆的圆心距为()()2212241236945355C C =--+--=+==>，∴两圆外离，∴|PQ |的最小值是两圆的圆心距减去半径的和,即35-5， 故选：C . 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系及其判定，利用圆心距和两圆半径之和比较大小（几何法）可知两圆位置关系，圆心距加两圆半径之和即为两圆动点的最大距离，圆心距减两圆半径之和即为两圆动点的最小距离，属于基础题.12．若函数()241y x =---的图象与直线20x y m -+=有公共点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．251251⎡⎤---+⎣⎦，B ．2511⎡⎤--⎣⎦，．C ．2511⎡⎤-+-⎣⎦，D ．[]31-， 【答案】B【解析】将函数变形为()()22140x y y -+=≤，表示的是以（1，0）为圆心，2为半径的圆的下半部分，与直线20x y m -+=有公共点，一个临界是相切，一个临界是过点（-1，0），列式求值即可. 【详解】函数()241y x =--- 可化简为：()()22140x y y -+=≤，表示的是以（1，0）为圆心，2为半径的圆的下半部分，与直线20x y m -+=有公共点，根据题意画出图像：一个临界是和圆相切，1+2515m m =⇒=-正值舍去；另一个临界是过点（-1，0）代入得到m=1. 故答案为：B. 【点睛】这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。
甘肃甘南市数学高一上期末经典测试卷(课后培优)
一、选择题1．(0分)[ID ：12116]已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >>D ．c a b >>2．(0分)[ID ：12110]已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．(0分)[ID ：12096]已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增 B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称4．(0分)[ID ：12102]已知函数2()2log x f x x =+，2()2log x g x x -=+，2()2log 1x h x x =⋅-的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．b a c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a b c <<5．(0分)[ID ：12081]设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6．(0分)[ID ：12060]已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为A ．12，2 B ．2C ．14，2 D ．14，4 7．(0分)[ID ：12059]函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ）A ．(1)f x +B ．(1)f x -C ．()1f x +D ．()1f x -8．(0分)[ID ：12058]已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩ 00x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．69．(0分)[ID ：12056]某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0ktP P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8B ．9C ．10D ．1410．(0分)[ID ：12054]已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(1)(3)0f x f x ++-=，且(1)0f ≠，若函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，则(2019)f =（ ） A ．1B ．-1C ．-3D ．311．(0分)[ID ：12033]若二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭12．(0分)[ID ：12067]已知函数()ln f x x =，2()3g x x =-+，则()?()f x g x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．13．(0分)[ID ：12045]点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，O ，P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图所示，则点P 所走的图形可能是A ．B ．C ．D ．14．(0分)[ID ：12079]已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则()UP Q ⋃=A ．{1}B ．{3，5}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，5}15．(0分)[ID ：12029]对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()152x -三个值中的最小值，则()f x （ ） A ．无最大值，无最小值B ．有最大值2，最小值1C ．有最大值1，无最小值D ．有最大值2，无最小值二、填空题16．(0分)[ID ：12222]已知幂函数(2)my m x =-在(0,)+∞上是减函数，则m =__________．17．(0分)[ID ：12217]已知函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），若()35f -=，则()3f 的值为______18．(0分)[ID ：12198]已知关于x 的方程()224log 3log +-=x x a 的解在区间()3,8内，则a 的取值范围是__________.19．(0分)[ID ：12178]函数()()4log 5f x x =-+________. 20．(0分)[ID ：12176]若当0ln2x ≤≤时，不等式()()2220x xxx a e e ee ---+++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____.21．(0分)[ID ：12175]若函数()()()()22,0,0x x x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩为奇函数，则()()1f g -=________．22．(0分)[ID ：12157]已知35m n k ==，且112m n +=，则k =__________ 23．(0分)[ID ：12147]若函数()(21)()xf x x x a =+-为奇函数，则(1)f =___________.24．(0分)[ID ：12129]已知a ＞b ＞1.若log a b+log b a=52，a b =b a ，则a= ，b= . 25．(0分)[ID ：12213]已知函数()232,11,1x x f x x ax x ⎧+<=⎨-+≥⎩，若()()02f f a =，则实数a =________________. 三、解答题26．(0分)[ID ：12317]已知函数()2log f x x = （1）解关于x 的不等式()()11f x f x +->；（2）设函数()()21xg x f kx =++，若()g x 的图象关于y 轴对称，求实数k 的值.27．(0分)[ID ：12310]已知集合{}{}{}|2318,|215,|1A x x B x x C x x a x a =≤-≤=-<=≤≥+或．（1）求,AB A B ；（2）若()R C C A ⊆，求实数a 的取值范围．28．(0分)[ID ：12293]已知函数22()log (3)log (1)f x x x =-++.（1）求该函数的定义域；（2）若函数()y f x m =-仅存在两个零点12,x x ，试比较12x x +与m 的大小关系. 29．(0分)[ID ：12246]攀枝花是一座资源富集的城市，矿产资源储量巨大，已发现矿种76种，探明储量39种，其中钒、钛资源储量分别占全国的63%和93%，占全球的11%和35%，因此其素有“钒钛之都”的美称．攀枝花市某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y （y 值越大产品的性能越好）与这种新合金材料的含量x （单位：克）的关系为：当0≤x ＜7时，y 是x 的二次函数；当x ≥7时，1()3x my -=．测得部分数据如表：（1）求y 关于x 的函数关系式y ＝f （x ）；（2）求该新合金材料的含量x 为何值时产品的性能达到最佳．30．(0分)[ID ：12233]已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明；（3）当1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2(21)0f kx f x +->恒成立，求实数k 的取值范围.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．D 2．B 3．C 4．D 5．B6．A7．D8．C9．C10．C11．A12．C13．C14．C15．D二、填空题16．-3【解析】【分析】根据函数是幂函数可求出m再根据函数是减函数知故可求出m 【详解】因为函数是幂函数所以解得或当时在上是增函数；当时在上是减函数所以【点睛】本题主要考查了幂函数的概念幂函数的增减性属于17．【解析】【分析】由求得进而求解的值得到答案【详解】由题意函数（为常数）且所以所以又由故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值的求解其中解答中根据函数的解析式准确运算是解答的关键着重考查了计算能力属于基18．【解析】【分析】根据方程的解在区间内将问题转化为解在区间内即可求解【详解】由题：关于的方程的解在区间内所以可以转化为：所以故答案为：【点睛】此题考查根据方程的根的范围求参数的取值范围关键在于利用对数19．【解析】【分析】根据题意列出不等式组解出即可【详解】要使函数有意义需满足解得即函数的定义域为故答案为【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题属于基础题；常见的形式有：1分式函数分母不能为0；2偶次20．【解析】【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式然后用分离参数法转化为求函数最值【详解】设是增函数当时不等式化为即不等式在上恒成立时显然成立对上恒成立由对勾函数性质知在是减函数时∴即综上故答案为：【21．【解析】根据题意当时为奇函数则故答案为22．【解析】因为所以所以故填23．【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义和性质建立方程求出a的值再将1代入即可求解【详解】∵函数为奇函数∴f（﹣x）＝﹣f（x）即f（﹣x）∴（2x﹣1）（x+a）＝（2x+1）（x ﹣a ）即2x2+（224．【解析】试题分析：设因为因此【考点】指数运算对数运算【易错点睛】在解方程时要注意若没注意到方程的根有两个由于增根导致错误25．2【解析】【分析】利用分段函数分段定义域的解析式直接代入即可求出实数的值【详解】由题意得：所以由解得故答案为：2【点睛】本题考查了由分段函数解析式求复合函数值得问题属于一般难度的题三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：2log 1a e =>，()21ln 20,1log b e ==∈，12221log log 3log 3c e ==>，据此可得：c a b >>. 本题选择D 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．2．B解析：B 【解析】试题分析：设()ln(1)g x x x =+-，则()1xg x x'=-+，∴()g x 在()1,0-上为增函数,在()0,∞+上为减函数，∴()()00g x g <=，1()0()f xg x =<，得0x >或10x -<<均有()0f x <排除选项A ，C ，又1()ln(1)f x x x =+-中,10ln(1)0x x x +>⎧⎨+-≠⎩，得1x >-且0x ≠，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B. 考点：1、函数图象；2、对数函数的性质. 3．C解析：C 【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 4．D解析：D 【解析】 【分析】函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，再通过数形结合得到a ，b ，c 的大小关系. 【详解】令2()2log 0x f x x =+=，则2log 2x x =-．令12()2log 0xg x x -=-=，则2log 2x x -=-． 令2()2log 10x x h x =-=，则22log 1x x =,21log 22x xx-==． 所以函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log y x =与函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，如图所示，可知01a b <<<，1c >， ∴a b c <<．故选:D ． 【点睛】本题主要考查函数的零点问题，考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．B解析：B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．6．A解析：A 【解析】试题分析：画出函数图像，因为正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，且()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，所以()()f m f n ==2，由2()log 2f x x ==解得12,2x =，即,m n 的值分别为12，2．故选A ．考点：本题主要考查对数函数的图象和性质．点评：基础题，数形结合，画出函数图像，分析建立m,n 的方程．7．D解析：D 【解析】 【分析】首先设出()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ，求得其关于直线y x =的对称点为(,)y x ，根据图象变换，得到函数()f x 的图象上的点为(,1)x y +，之后应用点在函数图象上的条件，求得对应的函数解析式，得到结果. 【详解】设()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ， 则其关于直线y x =的对称点为(,)y x ， 再将点(,)y x 向左平移一个单位，得到(1,)y x +， 其关于直线y x =的对称点为(,1)x y +， 该点在函数()f x 的图象上，所以有1()y f x +=，所以有()1y f x =-，即()()1g x f x =-， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线y x =对称，属于简单题目.8．C解析：C 【解析】 【分析】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根，进而可得答案. 【详解】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，如图所示，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根11t =-，214t =，34t =， 则()1f x =- 有一个解，()14f x =有一个解，()4f x =有三个解， 故方程()()3ff x =有5个解.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方程()3f t =的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.9．C解析：C 【解析】 【分析】根据已知条件得出415ke-=，可得出ln 54k =，然后解不等式1200kt e -≤，解出t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值.【详解】由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0ktP P e -=⋅，所以()400180%kP Pe --=，所以40.2k e -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =， 则由000.5%ktP P e -=，得ln 5ln 0.0054t =-， 所以()23554ln 2004log 2004log 52ln 5t ===⨯5812log 213.16=+=， 故正整数n 的最小值为14410-=.故选：C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.10．C解析：C 【解析】 【分析】由(1)(3)0f x f x ++-=结合()f x 为奇函数可得()f x 为周期为4的周期函数，则(2019)(1)f f =-，要使函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，即6(1)cos 43x f x ⋅-=只有唯一解，结合图像可得(1)3f =，即可得到答案．【详解】()f x 为定义在R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-，又(1)(3)0(13)(33)0f x f x f x f x ++-=⇔+++--=，(4)()0(4)()()f x f x f x f x f x ++-=⇔+=--=∴， ∴()f x 在R 上为周期函数，周期为4， ∴(2019)(50541)(1)(1)f f f f =⨯-=-=-函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，即6(1)cos 43x f x ⋅-=只有唯一解，令6()m x x = ，则5()6m x x '=，所以(,0)x ∈-∞为函数6()m x x =减区间，(0,)x ∈+∞为函数6()m x x =增区间，令()(1)cos 43x f x ϕ=⋅-，则()x ϕ为余弦函数，由此可得函数()m x 与函数()x ϕ的大致图像如下：由图分析要使函数()m x 与函数()x ϕ只有唯一交点，则(0)(0)m ϕ=，解得(1)3f =∴(2019)(1)3f f =-=-，故答案选C ． 【点睛】本题主要考查奇函数、周期函数的性质以及函数的零点问题，解题的关键是周期函数的判定以及函数唯一零点的条件，属于中档题．11．A解析：A 【解析】 【分析】由已知可知，()f x 在()1，-+∞上单调递减，结合二次函数的开口方向及对称轴的位置即可求解． 【详解】∵二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，∴()f x 在()1，-+∞上单调递减， ∵对称轴12x a=， ∴0112a a<⎧⎪⎨≤-⎪⎩，解可得102a -≤<，故选A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及函数单调性的定义的简单应用，解题中要注意已知不等式与单调性相互关系的转化，属于中档题.12．C解析：C 【解析】 【分析】因为函数()ln f x x =，()23g x x =-+，可得()()•f x g x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除,A D ；又()0,1x ∈时，()()0,0f x g x <>,所以()()•0f x g x <,排除B , 故选C. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.13．C解析：C 【解析】 【分析】认真观察函数图像，根据运动特点，采用排除法解决. 【详解】由函数关系式可知当点P 运动到图形周长一半时O,P 两点连线的距离最大，可以排除选项A,D,对选项B 正方形的图像关于对角线对称，所以距离y 与点P 走过的路程x 的函数图像应该关于2l对称，由图可知不满足题意故排除选项B ， 故选C ． 【点睛】本题考查函数图象的识别和判断，考查对于运动问题的深刻理解，解题关键是认真分析函数图象的特点．考查学生分析问题的能力．14．C解析：C 【解析】试题分析：根据补集的运算得{}{}{}{}2,4,6,()2,4,61,2,41,2,4,6UP UP Q =∴⋃=⋃=．故选C.【考点】补集的运算.【易错点睛】解本题时要看清楚是求“⋂”还是求“⋃”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．15．D解析：D 【解析】 【分析】由题意画出函数图像，利用图像性质求解画出()f x 的图像，如图（实线部分），由()1152y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得()1,2A ． 故()f x 有最大值2，无最小值 故选：D【点睛】本题主要考查分段函数的图像及性质，考查对最值的理解，属中档题．二、填空题16．-3【解析】【分析】根据函数是幂函数可求出m 再根据函数是减函数知故可求出m 【详解】因为函数是幂函数所以解得或当时在上是增函数；当时在上是减函数所以【点睛】本题主要考查了幂函数的概念幂函数的增减性属于 解析：-3 【解析】 【分析】根据函数是幂函数可求出m,再根据函数是减函数知0m <，故可求出m. 【详解】 因为函数是幂函数所以||21m -=，解得3m =-或3m =. 当3m =时，3y x =在(0,)+∞上是增函数； 当3m =-时，y x =在(0,)+∞上是减函数， 所以3m =-. 【点睛】本题主要考查了幂函数的概念，幂函数的增减性，属于中档题.17．【解析】【分析】由求得进而求解的值得到答案【详解】由题意函数（为常数）且所以所以又由故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值的求解其中解答中根据函数的解析式准确运算是解答的关键着重考查了计算能力属于基 解析：1-【解析】 【分析】由()35f -=，求得1532723a b -⋅-+=，进而求解()3f 的值，得到答案. 【详解】由题意，函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），且()35f -=， 所以()15332725f a b -=-⋅-+=，所以153273a b -⋅-=， 又由()1533272321f a b -=⋅++=-+=-. 故答案为：1-. 【点睛】本题主要考查了函数值的求解，其中解答中根据函数的解析式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.18．【解析】【分析】根据方程的解在区间内将问题转化为解在区间内即可求解【详解】由题：关于的方程的解在区间内所以可以转化为：所以故答案为：【点睛】此题考查根据方程的根的范围求参数的取值范围关键在于利用对数 解析：()23log 11,1-+【解析】 【分析】根据方程的解在区间()3,8内，将问题转化为23log x a x+=解在区间()3,8内，即可求解. 【详解】由题：关于x 的方程()224log 3log +-=x x a 的解在区间()3,8内， 所以()224log 3log +-=x x a 可以转化为：23log x a x+=， ()3,8x ∈，33111,28x x x +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭， 所以()23log 11,1a ∈-+ 故答案为：()23log 11,1-+ 【点睛】此题考查根据方程的根的范围求参数的取值范围，关键在于利用对数运算法则等价转化求解值域.19．【解析】【分析】根据题意列出不等式组解出即可【详解】要使函数有意义需满足解得即函数的定义域为故答案为【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题属于基础题；常见的形式有：1分式函数分母不能为0；2偶次 解析：[)0,5【解析】 【分析】根据题意，列出不等式组50210x x ->⎧⎨-≥⎩，解出即可.【详解】要使函数()()4log 5f x x =-+有意义，需满足50210x x ->⎧⎨-≥⎩，解得05x <≤，即函数的定义域为[)0,5，故答案为[)0,5. 【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题，属于基础题；常见的形式有：1、分式函数分母不能为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数部分大于0；4、0的0次方无意义；5、对于正切函数tan y x =，需满足,2x k k Z ππ≠+∈等等，当同时出现时，取其交集.20．【解析】【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式然后用分离参数法转化为求函数最值【详解】设是增函数当时不等式化为即不等式在上恒成立时显然成立对上恒成立由对勾函数性质知在是减函数时∴即综上故答案为：【 解析：25[,)6-+∞ 【解析】 【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式．然后用分离参数法转化为求函数最值． 【详解】设x x t e e -=-，1xxx x t e e e e -=-=-是增函数，当0ln2x ≤≤时，302t ≤≤， 不等式()()2220x xxx a e eee ---+++≥化为2220at t +++≥，即240t at ++≥，不等式240t at ++≥在3[0,]2t ∈上恒成立，0t =时，显然成立，3(0,]2t ∈，4a t t -≤+对3[0,]2t ∈上恒成立，由对勾函数性质知4y t t=+在3(0,]2是减函数，32t =时，min 256y =，∴256a -≤，即256a ≥-．综上，256a ≥-．故答案为：25[,)6-+∞． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题方法是转化与化归，首先用换元法化指数型不等式为一元二次不等式，再用分离参数法转化为求函数最值．21．【解析】根据题意当时为奇函数则故答案为 解析：15-【解析】根据题意，当0x <时，()()(),f x g x f x =为奇函数，()()()()()()()()()211113(323)15f g f f f f f f f -=-=-=-=-=-+⨯=-，则故答案为15-.22．【解析】因为所以所以故填【解析】因为35m n k ==，所以3log m k =，5log n k =，11lg5lg3lg152lg lg lg m n k k k+=+==，所以1lg lg152k ==k =23．【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义和性质建立方程求出a 的值再将1代入即可求解【详解】∵函数为奇函数∴f（﹣x ）＝﹣f （x ）即f （﹣x ）∴（2x ﹣1）（x+a ）＝（2x+1）（x ﹣a ）即2x2+（2解析：23【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义和性质建立方程求出a 的值，再将1代入即可求解 【详解】 ∵函数()()()21xf x x x a =+-为奇函数，∴f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 即f （﹣x ）()()()()2121x xx x a x x a -==--+--+-，∴（2x ﹣1）（x +a ）＝（2x +1）（x ﹣a ）， 即2x 2+（2a ﹣1）x ﹣a ＝2x 2﹣（2a ﹣1）x ﹣a ， ∴2a ﹣1＝0，解得a 12=．故2(1)3f =故答案为23【点睛】本题主要考查函数奇偶性的定义和性质的应用，利用函数奇偶性的定义建立方程是解决本题的关键．24．【解析】试题分析：设因为因此【考点】指数运算对数运算【易错点睛】在解方程时要注意若没注意到方程的根有两个由于增根导致错误 解析：42【解析】试题分析：设log ,1b a t t =>则，因为21522t t a b t +=⇒=⇒=， 因此22222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒== 【考点】指数运算，对数运算． 【易错点睛】在解方程5log log 2a b b a +=时，要注意log 1b a >，若没注意到log 1b a >，方程5log log 2a b b a +=的根有两个，由于增根导致错误 25．2【解析】【分析】利用分段函数分段定义域的解析式直接代入即可求出实数的值【详解】由题意得：所以由解得故答案为：2【点睛】本题考查了由分段函数解析式求复合函数值得问题属于一般难度的题解析：2 【解析】 【分析】利用分段函数分段定义域的解析式，直接代入即可求出实数a 的值. 【详解】由题意得：()00323f =+=，()23331103f a a =-+=-，所以由()()01032ff a a =-=， 解得2a =.故答案为：2. 【点睛】本题考查了由分段函数解析式求复合函数值得问题，属于一般难度的题.三、解答题 26．（1）{}1|0x x <<；（2）12k =-. 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：()1由题意得()()()221log 1log f x f x x x +-=+-，然后解不等式即可(2) 图象关于y 轴对称即为偶函数，即：()()22log 21log 21xx kx kx -+-=++成立，从而求得结果解析：（1）因为()()11f x f x +->，所以()22log 1log 1x x +->，即：21log 1x x +>，所以12x x+>，由题意，0x >，解得01x <<，所以解集为{}1|0x x <<.（2）()()21x gx f kx =++ ()2log 21x kx =++，由题意，()g x 是偶函数，所以x R ∀∈，有()()g x g x -=，即：()()22log 21log 21x xkx kx -+-=++成立，所以()()22log 21log 212xxkx -+-+=，即：221log 221x x kx -+=+，所以2log 22xkx -=，所以2x kx -=，()210k x +=，所以12k =-. 27．（1）{}{}|13,|3A B x x A B x x ⋂=≤<⋃=≤；（2）[]1,2a ∈ 【解析】 【分析】（1）首先求得[]()1,3,,3A B ==-∞，由此求得,A B A B ⋂⋃的值.（2）(),1R C C a a =+，由于()[],11,3a a +⊆，故113a a ≥⎧⎨+≤⎩，解得[]1,2a ∈.【详解】解：{}{}|13,|3A x x B x x =≤≤=<， （1）{}{}|13,|3A B x x A B x x ⋂=≤<⋃=≤；（2）∵{}|1C x x a x a =≤≥+或，∴{}|1R C C x a x a =<<+， ∵()R C C A ⊆，∴113a a ≥⎧⎨+≤⎩，∴[]1,2a ∈．28．（1）(1,3)- （2）12x x m +> 【解析】 【分析】（1）根据对数真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.（2）化简()f x 表达式为对数函数与二次函数结合的形式，结合二次函数的性质，求得12x x +以及m 的取值范围，从而比较出12x x +与m 的大小关系.（1）依题意可知301310x x x ->⎧⇒-<<⎨+>⎩，故该函数的定义域为(1,3)-； （2）2222()log (23)log ((1)4)f x x x x =-++=--+，故函数关于直线1x =成轴对称且最大值为2log 42=，∴122x x +=，2m <，∴12x x m +>．【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查对数型复合函数对称性和最值，属于基础题. 29．（1）2884071()73x x x x y x -⎧-+-≤⎪=⎨≥⎪⎩，＜，；（2）当4x =时产品的性能达到最佳 【解析】【分析】（1）二次函数可设解析式为2y ax bx c =++，代入已知数据可求得函数解析式；（2）分段函数分段求出最大值后比较可得．【详解】（1）当0≤x ＜7时，y 是x 的二次函数，可设y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），由x ＝0，y ＝﹣4可得c ＝﹣4，由x ＝2，y ＝8，得4a +2b ＝12①，由x ＝6，y ＝8，可得36a +6b ＝12②，联立①②解得a ＝﹣1，b ＝8，即有y ＝﹣x 2+8x ﹣4；当x ≥7时，1()3x m y -=，由x ＝10，19y =，可得m ＝8，即有81()3x y -=； 综上可得2884071()73x x x x y x -⎧-+-≤⎪=⎨≥⎪⎩，＜，．（2）当0≤x ＜7时，y ＝﹣x 2+8x ﹣4＝﹣（x ﹣4）2+12，即有x ＝4时，取得最大值12；当x ≥7时，81()3x y -=递减，可得y ≤3，当x ＝7时，取得最大值3．综上可得当x ＝4时产品的性能达到最佳．【点睛】本题考查函数模型的应用，考查分段函数模型的实际应用．解题时要注意根据分段函数定义分段求解．30．（1）2a =，1b =；（2）单调递减，见解析；（3）(,1)-∞-【解析】（1）根据(0)0f =得到1b =，根据(1)(1)f f -=-计算得到2a =，得到答案. （2）化简得到11()221x f x =++，12x x <，计算()()210f x f x -<，得到是减函数. （3）化简得到212kx x <-，参数分离212x k x -<，求函数212()x g x x -=的最小值得到答案.【详解】 （1）因为()f x 在定义域R 上是奇函数.所以(0)0f =， 即102b a -+=+，所以1b =．又由(1)(1)f f -=-，即111214a a-+-=++， 所以2a =，检验知，当2a =，1b =时，原函数是奇函数.（2）()f x 在R 上单调递减.证明：由（1）知11211()22221x x x f x +-==+++， 任取12,x x R ∈，设12x x <，则()()()()12211221112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++， 因为函数2xy =在R 上是增函数，且12x x <，所以12220x x -<，又()()1221210x x ++>，所以()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，所以函数()f x 在R 上单调递减.（3）因为()f x 是奇函数，从而不等式()2(21)0f kx f x +->等价于()2(21)(12)f kx f x f x >--=-，因为()f x 在R 上是减函数，由上式推得212kx x <-， 即对一切1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有212x k x -<恒成立，设221211()2()x g x x x x -==-⋅， 令1t x =，1,23t ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦则有2()2h t t t =-，1,23t ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以min min ()()(1)1g x h t h ===-， 所以1k <-，即k 的取值范围为(,1)-∞-.【点睛】本题考查了函数解析式，单调性，恒成立问题，将恒成立问题通过参数分离转化为最值问题是解题的关键.。
甘肃高一高中数学期末考试带答案解析
甘肃高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.不等式的解集为A．B．C．D．2.在△ABC中，已知，则等于A．B．C．D．3.已知中，三内角A、B、C成等差数列，则=A． B． C． D．4.在等差数列中，已知则等于A．15B．33C．51D．635.已知等比数列的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为A．15B．17C．19D．216.若是等比数列，，且，那么的值为（）A．5B．-5C．-5或5D．257.符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）A．B．C．D．8.在中，若，则是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形9.在中，如果，，的面积为，那么等于（）A．B．C．D．10.已知成等差数列，且成等比数列，则的值为（）A．—B．C．或—D．11.设函数满足且，则为（）A．95B．97C．105D．19212.在等差数列中，，且，是其前项和，则（）A．都小于0，都大于0B．都小于0，都大于0C．都小于0，都大于0D．都小于0，都大于0二、填空题1.已知数列试写出其一个通项公式：．2.在△ABC中，若，且，则__________________．3.小明在玩投石子游戏，第一次走1米放2颗石子，第二次走2米放4颗石子…第次走米放颗石子，当小明一共走了36米时，他投放石子的总数是．4.已知，则．三、解答题1.在中，为锐角，角所对的边分别为，且，，．（1）求的值；（2）求角和边的值．2.（1）为等差数列的前n项和，，，求．（2）在等比数列中，若，求首项和公比3.△ABC的内角的对边分别为，．（1）求；（2）若，求4.设关于x的一元二次方程有两根和，满足，且（1）试用表示；（2）求数列的通项公式。
5.已知等差数列满足：．（1）求及；（2）令，求数列的前项和．6.各项均为正数的数列中，是数列的前项和，对任意，有；（1）求常数的值；（2）求数列的通项公式；（3）记，求数列的前项和。
甘肃省甘南2022年数学高一上期末调研试题含解析
C.第三象限
D.第四象限
9．30°的弧度数为（ ）
A.
B.
2
6
C.
D.
4
3
10．若函数 f (x) sin(x ) ， g(x) sin(2x ) ，则函数 f (x) 的图像经过怎样的变换可以得到函数 g(x) 的图
4
3
像
①先向左平移
12
个单位，再将横坐标缩短到原来的
1 2
倍，纵坐标保持不变.
数，并称 x0 是函数 f (x) 的 1 个“ t 跃点”
（1）求证：函数 f (x) 2x 2x2 在[0,1] 上是“1 跃点”函数；
（2）若函数 g(x) x3 1 ax2 3 在 (2, ) 上存在 2 个“1 跃点”，求实数 a 的取值范围； 2
（3）是否同时存在实数 m 和正整数 n 使得函数 h(x) cos 2x m 在[0, n ] 上有 2022 个“ 跃点”？若存在，请求出
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若函数 f x xR 是偶函数，函数 g x xR 是奇函数，则（）
A.函数 f x g x 是奇函数
B.函数 f x g x 是偶函数
C.函数 f g x 是偶函数
值为（）
A
B.
是周期为 2 的周期函数；②当
C.
D.2
5．在下列函数中，既是奇函数并且定义域为 (, ) 是（ ）
时，
.那么
A. y tan x
B. y cos x
1 / 14
C. y ex ex
D. y x1
6．设集合 M x Z x 1 2 , N y N y x2 2x 1, x R ，则（）
甘肃省高一上学期线上期末考试数学试题(解析版)
高一上学期线上期末考试数学试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）{}2|6730A x x x =+-≤Z B =A B = A ．B ．C ．D ．{}1,0,1-{}1,0-{}0,1{}0,1,2【答案】B 【分析】求出集合中的范围，然后直接求即可.A x AB ⋂【详解】由得，解得，即，所以26730x x +-≤()()31230x x -+≤3123x -≤≤31,23A ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.{}1,0A B ⋂=-故选：B.2．若函数，则（ ） 2,0()ln ,0x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩()()01f f +=A ．0B ．1C ．2D ．1-【答案】C【分析】根据分段函数的解析式直接求解即可. 【详解】由，则， 2,0()ln ,0x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩()()00121ln12f f +=+-=故选：C3．在平面直角坐标系中，点位于第（ ）象限 ()tan2022,sin2022P A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】D 【分析】运用诱导公式计算出P 点坐标的符号就可判断出P 点所在的象限.【详解】 ，()tan 2022tan 5360222tan 2220︒︒︒︒=⨯+=>()sin 2022sin 5360222sin 2220︒︒︒︒=⨯+=< ，在第四象限；()tan 2022,sin 2022P ︒︒∴故选：D.4．命题“”是真命题的充要条件是（ ）21,1x x m ∀>+>A ． B ． C ．D ．1m <2m <2m ≤3m <【答案】C【分析】将问题转化为在上恒成立，可求出结果.21x m >-(1,)+∞【详解】因为命题“”是真命题，21,1x x m ∀>+>所以在上恒成立，21x m >-(1,)+∞所以，即，11m -≤2m ≤所以命题“”是真命题的充要条件是.21,1x x m ∀>+>2m ≤故选：C5．若指数函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则（ ）x y a =[]1,2=a A ．B ．1C ．或2D ．21-1-【答案】D【分析】分和两种情况讨论，结合指数函数的单调性求出最值，即可得出答案.1a >01a <<【详解】解：当时，函数为增函数，1a >x y a =则， 2min max ,y a y a ==故，解得或（舍去），22a a -=2a =1a =-当时，函数为减函数，01a <<x y a =则，2min max ,y a y a ==故，无解，22a a -=综上，.2a =故选：D.6．下列函数在上为增函数的是（ ）()0,∞+A ．B ．C ．D ．()12f x x =-()2x f x -=()21f x x =()f x x =【答案】D【分析】根据幂函数、指数函数的单调性，结合函数单调性的性质逐一判断即可.【详解】因为函数在上为增函数，所以函数在上为减函数，12y x =()0,∞+()12f x x =-因此选项A 不正确；因为在上为减函数， ()12()2x x f x -==()0,∞+所以选项B 不正确；因为在上为减函数， ()21f x x =()0,∞+所以选项C 不正确；当时，，显然函数在上为增函数，()0,x ∈+∞()f x x x ==()0,∞+所以选项D 正确，故选：D7．已知，则（ ） π3cos 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ． B ． C ． D ． 45±4545-35【答案】D【分析】根据及诱导公式即可求解. πππ626αα⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭【详解】∵， π3cos 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴. ππππ3sin cos cos 62635ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选:D ．8．设是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则（ ）()f x R ()0,∞+A ． ()()0.30.4310.40.3log 4f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ． ()()0.40.331log 0.30.44f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ． ()()0.30.431log 0.40.34f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D ． ()()0.40.3310.30.4log 4f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭【答案】D【分析】利用指数函数、对数函数以及幂函数的单调性结合中间值法比较、、的大0.40.30.30.43log 4小，再利用函数的奇偶性及其在的单调性可得出合适的选项.()f x ()0,∞+【详解】因为，， 3331log log 4log 314=>=0.40.40.3000.30.40.40.41<<<<=所以，， 0.30.43log 40.40.30>>>因为函数是定义域为的偶函数，且在上单调递增，()f x R ()0,∞+所以，， ()()()0.40.3333110.30.4log log log 444f f f f f ⎛⎫⎛⎫<<== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D.9．已知函数，下列结论正确的是（ ） ()()22log 23f x x x =-++A ．单调增区间为，值域为(],1-∞(]0,2B ．单调减区间是，值域为[)1,+∞(],2-∞C ．单调增区间为，值域为(]1,1-(],2-∞D ．单调减区间是，值域为[)1,3(]0,2【答案】C【分析】由题意可知，函数是复合函数，根据复合函数同增异减的单调性()()22log 23f x x x =-++原则可求其单调区间和值域.【详解】要使函数有意义，则有，解得， ()()22log 23f x x x =-++2230x x -++>13x -<<所以函数的定义域为.()1,3-因为，所以，即函数的值域.(]2223(1)40,4x x x -++=--+∈()(],2f x ∈-∞(],2-∞因为当时，在内单调递增，在内单调递减，且在定义域13x -<<223y x x =-++(]1,1-[)1,32log y x =内单调递增，所以根据复合函数的单调性可得的单调减区间是，增区间为.()f x [)1,3(]1,1-故选：C.10．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒100ml 精含量低于的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到一一的驾驶员即为酒后驾车，20mg 20mg 79mg 及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液上升到了.如果停止80mg 1mg /ml 喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽30%车？（参考数据：，）（ ）lg0.20.7≈-lg0.30.5,lg0.70.15,lg0.80.1≈-≈-≈-A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】C【分析】由条件可推知，再结合对数公式即可求解.()3002%1.x -<【详解】解：由题意得：血液中酒精含量低于的驾驶员可以驾驶汽车100ml 20mg 故，即 ()3002%1.x -<0.70.2x <两边取对数即可得，即 l g 0.7l g 0.2x <lg 0.2 4.67lg 0.7x >≈那么他至少经过5个小时才能驾驶汽车故选：C二、多选题11．已知函数，则（ ） ()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭A ．()0f =B ．的最小正周期为()f x π2C ．把向左平移可以得到函数 ()f x π6()tan 2g x x =D ．在上单调递增 ()f x π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】由正切函数的性质及图象变换规律逐一判断即可得结论．【详解】A 错误； ()ππ0tan tan 66f ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭函数的最小正周期为，故B 正确； ()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π2T =把向左平移可以得到函数，故C 错误； ()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π6πππtan 2tan 2666y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦时，，故在上单调递增，故D 正确． π,06x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭2,π626ππx ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭()f x π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：BD ．12．以下命题正确的是（ ）A ．函数与函数()2f x x =-()g x =B ．，使(0,)∀∈+∞x 43x x >C ．若不等式的解集为，则220ax x c ++>{}12x x -<<2a c +=D ．若，且，则的最小值为0x >0y >41x y +=216x y +【答案】BCD【分析】对A ，通过化简知，即可判断，对B ，根据在同一坐标系内不同底数的指数()|2|g x x =-函数图像特点即可判断，对C 利用韦达定理即可，对D 利用基本不等式即可求出最值，注意取等条件.【详解】对于A ，，,()2f x x =-()|2|g x x ==-故与不是同一个函数，故A 错误，()f x ()g x 对于B ，根据指数函数图像与性质可知，当，的图像在的图像的上方，故,()0x ∈+∞14x y =23x y =对,使，故B 正确，(0,)∀∈+∞x 43x x >对C ，由题意知为方程的两根，且，1,2-220ax x c ++=0a ≠由韦达定理得，故，故C 正确， 21242a a c c a⎧-=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩2a c +=对D ，，421622x y x y +=+==…当且仅当,即时,等号成立， 42241x y x y ⎧=⎨+=⎩11,28x y ==故的最小值为D 正确.216x y+故选：BCD.三、填空题13．计算：____________.12lg 41--=【答案】0 【分析】根据对数运算法则运算即可.【详解】.()112222lg 41lg lg 2lg 5lg 21lg 11010---=--=+-=-=故答案为：0.14．命题“，”为假命题，则的取值范围为__________.[1,2]x ∃∈20x x a +-≤a 【答案】.(,2)-∞【分析】由题意可知此命题的否定为真命题，从而可求出的取值范围.a 【详解】因为命题“，”为假命题，[1,2]x ∃∈20x x a +-≤所以命题“，”为真命题，[1,2]x ∀∈20x x a +->即时，恒成立， [1,2]x ∀∈2x x a +>令，， 2211()24f x x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭[1,2]x ∈所以当的最小值为，()f x (1)2f =所以，2a <即的取值范围为，a (,2)-∞故答案为：.(,2)-∞15．已知方程在时有解，求实数a 的取值范围___________.2cos 4sin 0x x a +-=[0,]x π∈【答案】[1,4]【分析】将方程在时有解，转化为，与2cos 4sin 0 x x a +-=[0,]x π∈2cos 4sin y x x =+[0,]x π∈有交点求解.y a =【详解】因为方程在时有解，2cos 4sin 0x x a +-=[0,]x π∈所以，与有交点，2cos 4sin y x x =+[0,]x π∈y a =因为，22sin 4sin 1(sin 2)5y x x x =-++=--+(0sin 1)x ……所以.[1,4]y ∈所以实数a 的取值范围是.[1,4]故答案为：.[1,4]四、解答题16．集合．{}{}3621A x x B x m x m =<≤=≤≤+，(1)若，求；2m =,A B A B (2)若是的必要条件，求实数m 的取值范围．x B ∈x A ∈【答案】(1)，；{}35A B x x ⋂=<≤{|26}x x A B ≤≤= (2) 5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）将的值代入集合，然后根据交集与并集的定义即可求解；m B （2）由题意，可得，根据集合的包含关系列不等式组求解即可得答案.A B ⊆【详解】（1）解：当时，，又，2m ={|25}B x x =≤≤{}36A x x =<≤所以，；{}35A B x x ⋂=<≤{|26}x x A B ≤≤= （2）解：因为是的必要条件，所以，即，x B ∈x A ∈A B ⊆(3,6][,21]m m ⊆+所以有，解得， 3216m m ≤⎧⎨+≥⎩532≤≤m 所以实数m 的取值范围为. 5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦17．已知，且. π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2tan tan 20αα--=(1)求的值；()tan πα-(2)求的值. πsin sin(π)2cos()ααα⎛⎫++- ⎪⎝⎭-【答案】(1)2-(2)3【分析】（1）解一元二次方程，结合角的范围求解，再根据诱导公式化简求解即可；tan 2α=（2）利用诱导公式化简后，弦化切即可求解.【详解】（1）由题意可得：，(tan 2)(tan 1)0αα-+=或，tan 2α∴=tan 1α=-又，， π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan 0α∴>.tan 2α∴=故.()tan πtan 2αα-=-=-（2）.()()πsin sin πcos sin 21tan 123cos cos ααααααα⎛⎫++- ⎪+⎝⎭==+=+=-18．已知函数（其中A >0，，）的部分图象如图所示．()cos()fx A x ωϕ=+0ω>0ϕπ<<(1)求函数的解析式； ()f x (2)将的图象向右平移2个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得()f x 12到函数的图象．求函数的值域．()g x ()([2,1])y g x x =∈-【答案】(1)； ()384f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2).⎡⎣【分析】（1）由最大值和最小值确定，由周期确定，由最小值点确定值得函数解析式； A ωϕ（2）由图象变换得出的表达式，由整体思想结合正弦函数性质得值域．()g x【详解】（1）由图知，，解得，A =()2262πω=⨯+8πω=即． ()8f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由图知，函数的图象过点，∴， ()f x (2,-()24k k πϕππ+=+∈Z∵，∴，∴． 0ϕπ<<34πϕ=()384f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）由题意得，． ()424x x g x πππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭∵，∴，∴， []2,1x ∈-,424x πππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()g x ⎡∈⎣即函数的值域为． ()[]()2,1y g x x =∈-⎡⎣19．已知函数是奇函数． ()()2R 21xx a f x a -=∈+(1)求实数a 的值；(2)判断函数的单调性并加以证明；()f x (3)若对于任意实数t ，不等式恒成立，求实数k 的取值范围． ()2(1)0f t kt f t -+-≤【答案】(1)1；(2)减函数，证明见解析；(3).31k -≤≤【分析】（1）根据函数是奇函数，由，可得的值；(0)0f =a （2）用定义法进行证明，可得函数在上是减函数；()f x R （3）根据函数的单调性与奇偶性的性质，将不等式进行化简求值，可得k ()2(1)0f t kt f t -+-≤的范围.【详解】（1）由函数是奇函数，可得：， ()()2R 21xx a f x a -=∈+(0)0f =即：，， 1(0)02a f -==1a =当时，，此时， 1a =12()12x x f x -=+1221()()1221x x x x f x f x -----===-++即是奇函数，()f x 综上，.1a =（2）函数为单调递减函数，证明如下，()f x 由(1)得：，任取,且， 12()21xx f x -=+12R x x ∈12x x ＜则， 122112*********(22)()()=2121(21)(21)xx x x x x x x f x f x -----=++++，，即：， 12x x ＜∴21220x x -＞2112122(22)()()=(21)(201)x x x x f x f x --++＞，即在上是减函数；12()()f x f x ∴＞()f x R （3）是奇函数，()f x 不等式恒成立等价为∴()2(1)0f t kt f t -+-≤恒成立，()2(1)(1)f t kt f t f t -≤--=-在上是减函数，()f x R ，即恒成立，∴21t kt t -≥-2(1)10t k t -++≥设，可得当时，恒成立， 2()(1)1g t t k t =-++0∆≤()0g t ≥可得，解得，()2140k +-≤31k -≤≤故的取值范围为：. k 31k -≤≤。
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2015-2016学年甘肃省甘南州合作一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．点P（x，y，z）关于坐标平面xOy对称的点的坐标是（）A．（﹣x，﹣y，z）B．（﹣x，y，z）C．（x，﹣y，z）D．（x，y，﹣z）2．已知圆O1：x2+y2=1与圆O2：x2+y2﹣6x+8y+9=0，则两圆的位置关系为（）A．相交 B．内切 C．外切 D．相离3．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1 B．C．D．24．两平行线3x﹣4y﹣12=0与6x+ay+16=0间的距离是（）A．B．4 C．D．5．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，M是CD的中点．则二面角A﹣CD﹣B的平面角是（）A．∠ADB B．∠BDC C．∠AMB D．∠ACB6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD1与CC1所成角的正切值为（）A．B．C．D．7．已知a、b、c表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若a⊥c，b⊥c，则a∥b B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若α⊥a，β⊥a，则α∥βD．若a⊥α，b⊥a，则b∥α8．三条两两相交的直线最多可确定（）个平面．A．1 B．2 C．3 D．无数9．下列说法正确的是（）A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．过点P（x0，y0）的所有直线的方程都可表示为y﹣y0=k（x﹣x0）C．已知点A（x0，y0）是圆C：x2+y2=1内一点，则直线x0x+y0y﹣1=0与圆C相交D．圆柱的俯视图可能为矩形10．已知两点A（﹣1，0），B（2，1），直线l过点P（0，﹣1）且与线段AB有公共点，则直线l 的斜率k的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．[﹣1，0）∪（0，1] D．[﹣1，0）∪[1，+∞）11．正方体，ABCD﹣A1B1C1D1中，直线A1B与平面A1ACC1所成的角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°12．直线x+a2y+6=0与直线（a﹣2）x+3ay+2a=0平行，则实数a的值为（）A．3或﹣1 B．0或﹣1 C．﹣3或﹣1 D．0或3二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．直线x+y+1=0的倾斜角是．14．经过点R（﹣2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程是．15．一个长方体的长宽高分别为2cm，2cm， cm，它的顶点都在球面上，则球的体积是．16．已知圆x2+y2=9，直线l：y=x+b．圆上至少有三个点到直线l的距离等于1，则b的取值范围是．三、解答题（共6小题，共70分）17．如图是某几何体的三视图．（Ⅰ）写出该几何体的名称，并画出它的直观图；（Ⅱ）求出该几何体的表面积和体积．18．已知直线l1：3x+4y﹣2=0，l2：2x+y+2=0，l1与l2交于点P．（Ⅰ）求点P的坐标，并求点P到直线4x﹣3y﹣6=0的距离；（Ⅱ）分别求过点P且与直线3x﹣y+1=0平行和垂直的直线方程．19．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点．（Ⅰ）证明：BD1∥平面AEC；（Ⅱ）证明：平面AEC⊥平面BDD1．20．已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与两坐标轴都相切．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）求圆C关于直线x﹣y+2=0对称的圆的方程．21．过点P（1，4）作圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1的两条切线，切点为A、B．（Ⅰ）求PA和PB的长，并求出切线方程；（Ⅱ）求直线AB的方程．22．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE．（Ⅰ）（i）证明：DE⊥平面PBC；（ii）若把四个面都是直角三角形的四面体叫做直角四面体，试判断四面体EBCD是否为直角四面体，若是写出每个面的直角（只需写结论），若不是请说明理由．（Ⅱ）求二面角P﹣BC﹣A的大小；（Ⅲ）记三棱锥P﹣ABD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求．2015-2016学年甘肃省甘南州合作一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．点P（x，y，z）关于坐标平面xOy对称的点的坐标是（）A．（﹣x，﹣y，z）B．（﹣x，y，z）C．（x，﹣y，z）D．（x，y，﹣z）【考点】空间中的点的坐标．【专题】计算题；规律型；空间位置关系与距离．【分析】直接利用空间点的坐标的对称性求解即可．【解答】解：点P（x，y，z）关于坐标平面xOy对称的点的坐标是（x，y，﹣z）．故选：D．【点评】本题考查空间点的坐标的对称性的应用，是基础题．2．已知圆O1：x2+y2=1与圆O2：x2+y2﹣6x+8y+9=0，则两圆的位置关系为（）A．相交 B．内切 C．外切 D．相离【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】直线与圆．【分析】求出两个圆的圆心与半径，通过弦心距与半径和与差的关系，判断两个圆的位置关系．【解答】解：圆O1：x2+y2=1的圆心（0，0），半径为：1；圆O2：x2+y2﹣6x+8y+9=0，圆心（3，﹣4），半径为：4．两个圆的圆心距为： =5，恰好是两个圆的半径和，所以两个圆外切．故选：C．【点评】本题考查两个圆的位置关系的判断，求出圆心距与半径和与差的关系是解题的关键．3．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1 B．C．D．2【考点】由三视图求面积、体积．【专题】开放型；空间位置关系与距离．【分析】几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为正方形如图：其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形∴PB=1，AB=1，AD=1，∴BD=，PD==．PC==该几何体最长棱的棱长为：故选：C．【点评】本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题，根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键4．两平行线3x﹣4y﹣12=0与6x+ay+16=0间的距离是（）A．B．4 C．D．【考点】两条平行直线间的距离．【专题】计算题；规律型；函数思想；直线与圆．【分析】求出a，利用平行线之间的距离公式求解即可．【解答】解：两平行线3x﹣4y﹣12=0与6x+ay+16=0，可得a=8，平行线之间的距离为： =4．故选：B．【点评】本题考查平行线的求法，平行线之间的距离的求法，是基础题．5．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，M是CD的中点．则二面角A﹣CD﹣B的平面角是（）A．∠ADB B．∠BDC C．∠AMB D．∠ACB【考点】二面角的平面角及求法．【专题】计算题；规律型；转化思想；空间角．【分析】利用二面角的平面角的定义判断推出结果即可．【解答】解：，已知AB⊥平面BCD，可知AB⊥CD，又BC⊥CD，AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC．AC⊂平面ABC，∴CD⊥AC，由二面角的平面角的定义可知：二面角A﹣CD﹣B的平面角是∠ACB．故选：D．【点评】本题考查二面角的平面角的判断，直线与平面垂直的判定定理的应用，是基础题．6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD1与CC1所成角的正切值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．【分析】连结B1D1，BD1，则CC1∥BB1，从而∠B1BD1是直线BD1与CC1所成角，由此能求出直线BD1与CC1所成角的正切值．【解答】解：连结B1D1，BD1，∵CC1∥BB1，∴∠B1BD1是直线BD1与CC1所成角，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则BB1=1，B1D1=，∴tan∠B1BD1==．∴直线BD1与CC1所成角的正切值为．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7．已知a、b、c表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若a⊥c，b⊥c，则a∥b B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若α⊥a，β⊥a，则α∥βD．若a⊥α，b⊥a，则b∥α【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，由平面与平面平行的判定定理得α∥β；在D中，b∥α或b⊂α．【解答】解：由a、b、c表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，知：在A中：若a⊥c，b⊥c，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中：若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若α⊥a，β⊥a，则由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故C正确；在D中，若a⊥α，b⊥a，则b∥α或b⊂α，故D错误．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．8．三条两两相交的直线最多可确定（）个平面．A．1 B．2 C．3 D．无数【考点】平面的基本性质及推论．【专题】计算题；规律型；数形结合；空间位置关系与距离．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，即可得出正确的结论．【解答】解：在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定3个平面，如图所示；PA、PB、PC相较于一点P，且PA、PB、PC不共面，则PA、PB确定一个平面PAB，PB、PC确定一个平面PBC，PA、PC确定一个平面PAC．故选：C．【点评】本题考查了确定平面的条件，解题时应画出图形，以便说明问题，是基础题目．9．下列说法正确的是（）A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．过点P（x0，y0）的所有直线的方程都可表示为y﹣y0=k（x﹣x0）C．已知点A（x0，y0）是圆C：x2+y2=1内一点，则直线x0x+y0y﹣1=0与圆C相交D．圆柱的俯视图可能为矩形【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；规律型；函数思想；简易逻辑．【分析】利用棱柱的定义判断A的正误；直线的方程判断B的正误；直线与圆的位置关系判断C的正误；三视图判断D的正误．【解答】解：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱，不满足棱柱的定义，所以A不正确；过点P（x0，y0）的所有直线的方程都可表示为y﹣y0=k（x﹣x0），直线的斜率不存在时，没有表示出来，所以B不正确；已知点A（x0，y0）是圆C：x2+y2=1内一点，则直线x0x+y0y﹣1=0与圆C相交，∵P（x0，y0）是圆C：x2+y2=1内一点，∴x02+y02＜1，∴圆心（0，0）到直线x0x+y0y=1的距离：d=＜1，∴直线x0x+y0y=1与圆相离．所以C不正确．圆柱的俯视图可能为矩形，当圆柱放倒时，满足题意，所以D正确．故选：D．【点评】本题列出命题的真假的判断与应用，考查棱柱的定义，直线方程的应用，直线与圆的位置关系，三视图的知识，是基础题．10．已知两点A（﹣1，0），B（2，1），直线l过点P（0，﹣1）且与线段AB有公共点，则直线l 的斜率k的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．[﹣1，0）∪（0，1] D．[﹣1，0）∪[1，+∞）【考点】直线的斜率．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由题意画出图形，求出P与AB端点连线的斜率，则答案可求．【解答】解：如图，∵K AP=﹣1，K BP=1，∴过P（0，﹣1）的直线l与线段AB始终有公共点时，直线l的斜率k的取值范围是k≤﹣1或k≥1．故选：B．【点评】本题考查直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．11．正方体，ABCD﹣A1B1C1D1中，直线A1B与平面A1ACC1所成的角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题．【分析】取BC的中点O，连接BO，OA1由正方体的性质可知BO⊥平面AA1C1C，从而可得∠BA1O即为直线与平面所成的角在Rt△BOA1中由可求【解答】解：取BC的中点O，连接BO，OA1由正方体的性质可得BO⊥AC，BO⊥AA1且AA1∩AC=A∴BO⊥平面AA1C1C∴∠BA1O即为直线与平面所成的角设正方体的棱长为a，则在Rt△BOA1中=∴∠BA1O=30°故选A．【点评】本题主要考查了直线与平面所成的角，其一般步骤是：①找（做）出已知平面的垂线②给出所要求解的线面角③在直角三角形中进行求解；解决本题的关键是要熟练掌握正方体的性质．12．直线x+a2y+6=0与直线（a﹣2）x+3ay+2a=0平行，则实数a的值为（）A．3或﹣1 B．0或﹣1 C．﹣3或﹣1 D．0或3【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】讨论直线的斜率是否存在，然后根据两直线的斜率都存在，则斜率相等建立等式，解之即可．【解答】解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是x=﹣6，x=0，显然两直线是平行的．当a≠0时，两直线的斜率都存在，故有斜率相等，∴﹣=，解得：a=﹣1，综上，a=0或﹣1，故选：B．【点评】本题主要考查了两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，属于基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．直线x+y+1=0的倾斜角是135°．【考点】直线的一般式方程．【专题】直线与圆．【分析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．【解答】解：直线x+y+1=0的斜率k=﹣1，∴直线x+y+1=0的倾斜角α=135°．故答案为：135°．【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要注意直线的斜率的灵活运用．14．经过点R（﹣2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程是y=﹣x或x+y﹣1=0 ．【考点】直线的截距式方程．【专题】直线与圆．【分析】分类讨论：当直线经过原点时，当直线不经过原点时两种情况，求出即可．【解答】解：①当直线经过原点时，直线方程为y=﹣x；②当直线不经过原点时，设所求的直线方程为x+y=a，则a=﹣2+3=1，因此所求的直线方程为x+y=1．故答案为：y=﹣x或x+y﹣1=0．【点评】本题考查了截距式、分类讨论等基础知识，属于基础题．15．一个长方体的长宽高分别为2cm，2cm， cm，它的顶点都在球面上，则球的体积是cm3．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】长方体的对角线就是外接球的直径，求出长方体的对角线长，即可求出球的半径．【解答】解：由题意长方体的对角线就是球的直径，所以长方体的对角线长为： =4，所以球的直径为：4；半径为：2，所以球的体积是=cm3．故答案为： cm3．【点评】本题是基础题，考查长方体的外接球的半径的求法，考查计算能力，比较基础．16．已知圆x2+y2=9，直线l：y=x+b．圆上至少有三个点到直线l的距离等于1，则b的取值范围是．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】若圆上至少有三个点到直线l的距离等于1，则满足O到直线l：y=x+b的距离d≤2，代入点到直线的距离公式，可得答案．【解答】解：由圆C的方程：x2+y2=9，可得圆C的圆心为原点O（0，0），半径为3若圆上至少有三个点到直线l的距离等于1，则满足O到直线l：y=x+b的距离d≤2，∵直线l的一般方程为：x﹣y+b=0，∴d=≤2，解得﹣2≤b≤2，即b的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，其中分析出O到直线l：y=x+b 的距离是解答的关键．三、解答题（共6小题，共70分）17．如图是某几何体的三视图．（Ⅰ）写出该几何体的名称，并画出它的直观图；（Ⅱ）求出该几何体的表面积和体积．【考点】由三视图求面积、体积；简单空间图形的三视图．【专题】数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由三视图可得：三棱柱，由直观图可得底面正三角形．（Ⅱ）表面积S=2S底面+3S侧面；体积V=S底面•h．【解答】解：（Ⅰ）由三视图可得：三棱柱，可得直观图中的底面正三角形．（Ⅱ）表面积S=+3×2×3=；体积V=S底面•h=×3=．【点评】本题考查了正三棱柱的三视图、表面积与体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知直线l1：3x+4y﹣2=0，l2：2x+y+2=0，l1与l2交于点P．（Ⅰ）求点P的坐标，并求点P到直线4x﹣3y﹣6=0的距离；（Ⅱ）分别求过点P且与直线3x﹣y+1=0平行和垂直的直线方程．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）联立方程组求出P点的坐标即可，根据点到直线的距离公式求出距离即可；（Ⅱ）分别求出直线的斜率，代入点斜式方程求出直线方程即可．【解答】解：（Ⅰ）解方程组，解得：，∴P（﹣2，2），则P（﹣2，2）到直线4x﹣3y﹣6=0的距离为d==4；（Ⅱ）∵P（﹣2，2），过点P且与直线3x﹣y+1=0平行的直线的斜率是3，代入点斜式方程得：y﹣2=3（x+2），整理得：3x﹣y+8=0，过点P且与直线3x﹣y+1=0垂直的直线的斜率是﹣，代入点斜式方程得：y﹣2=﹣（x+2），整理得：x+3y﹣4=0．【点评】本题考察了直线的交点问题，考察点到直线的距离，考察求直线方程问题，是一道基础题．19．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点．（Ⅰ）证明：BD1∥平面AEC；（Ⅱ）证明：平面AEC⊥平面BDD1．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于F，连EF．可证EF∥D1B，又EF⊂平面EAC，从而可求得BD1∥平面EAC．（Ⅱ）先证明AC⊥BD，有DD1⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，可证明DD1⊥AC，从而可证AC⊥平面D1DB，即证明平面D1DB⊥平面AEC．【解答】证明：（Ⅰ）BD交AC于F，连EF，因为F为正方形ABCD对角线的交点，所长F为AC、BD的中点，在DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，所以EF∥D1B，又EF⊂平面EAC，所以BD1∥平面EAC；（Ⅱ）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD又在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵DD1⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥ACDD1⊂平面D1DB，BD⊂平面D1DB，BD∩DD1=D∴AC⊥平面D1DB∵AC⊂平面AEC，∴平面D1DB⊥平面AEC．【点评】本题主要考查平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了转化思想，综合性较强，属于中档题．20．已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与两坐标轴都相切．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）求圆C关于直线x﹣y+2=0对称的圆的方程．【考点】圆的标准方程．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）由题意可得所求的圆在第二象限，圆心为（﹣2，2），半径为2，可得所求的圆的方程．（Ⅱ）先求出圆x2+y2﹣2y=0的圆心和半径；再利用两点关于已知直线对称所具有的结论，求出所求圆的圆心坐标即可求出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得所求的圆在第二象限，圆心为（﹣2，2），半径为2，∴圆的方程为（x+2）2+（y﹣2）2=4；（Ⅱ）设（﹣2，2）关于直线x﹣y+2=0对称点为：（a，b）则有⇒a=b=0．故所求圆的圆心为：（0，0）．半径为2．所以所求圆的方程为x2+y2=4．【点评】本题主要考查用待定系数法求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于中档题．解决问题的关键在于会求点关于直线的对称点的坐标，主要利用两个结论：①两点的连线和已知直线垂直；②两点的中点在已知直线上21．过点P（1，4）作圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1的两条切线，切点为A、B．（Ⅰ）求PA和PB的长，并求出切线方程；（Ⅱ）求直线AB的方程．【考点】圆的切线方程．【专题】综合题；分类讨论；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）求出PC，利用勾股定理求PA和PB的长，分类讨论求出切线方程；（Ⅱ）求出以P（1，4）、C（2，1）为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）PC==∴PA=PB==3斜率不存在时，切线方程：x﹣1=0，斜率存在时，设方程为y﹣4=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+4=0，圆心到直线的距离d==1，∴k=﹣∴切线方程为4x+3y﹣16=0，综上所述，切线方程为4x+3y﹣16=0或x﹣1=0；（Ⅱ）以P（1，4）、C（2，1）为直径的圆的方程为（x﹣1.5）2+（y﹣2.5）2=2.5，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程为x﹣3y+2=0【点评】本题考查直线和圆的位置关系以及圆和圆的位置关系、圆的切线性质，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．22．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE．（Ⅰ）（i）证明：DE⊥平面PBC；（ii）若把四个面都是直角三角形的四面体叫做直角四面体，试判断四面体EBCD是否为直角四面体，若是写出每个面的直角（只需写结论），若不是请说明理由．（Ⅱ）求二面角P﹣BC﹣A的大小；（Ⅲ）记三棱锥P﹣ABD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求．【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】证明题；数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】（I）由PD⊥平面ABCD得PD⊥BC，由BC⊥CD得BC⊥平面PCD，故BC⊥DE，又因为PD=CD，E是PC中点，所以DE⊥PC，故DE⊥平面PBC；（II）∠PCD就是二面角P﹣BC﹣A的平面角，由△PDC是等腰直角三角形可知二面角P﹣BC﹣A的大小为45°；（III）由E为PC中点可知E到平面ABCD的距离h=PD，而两个棱锥的底面积相等，故=2．【解答】解：（Ⅰ）（i）∵PD⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC．∵底面ABCD为矩形，∴BC⊥CD，又∵PD∩CD=D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，∴BC⊥平面PCD．∵DE⊂平面PCD，∴BC⊥DE．∵PD=CD，点E是PC的中点，∴DE⊥PC．又∵PC∩BC=C，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，∴DE⊥平面PBC．（ii）∵BC⊥平面PCD，∴BC⊥CE，BC⊥CD，∵DE⊥平面PBC，∴DE⊥BE，DE⊥CE，∴四面体EBCD是一个直角四面体，其四个面的直角分别是：∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB．（Ⅱ）∵BC⊥CE，CD⊥BC，∴∠PCD就是二面角P﹣BC﹣A的平面角，∵PD=CD，PD⊥CD，∴△PCD是等腰直角三角形，∴∠PCD=45°，即二面角P﹣BC﹣A的大小是45°．（Ⅲ）∵E是PC的中点，∴E到平面ABCD的距离h=，∵底面ABCD是矩形，∴S△ABD=S△BCD，∵V1=S△ABD•PD，V2=S△BCD•PD，∴=2．【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．。