二面角的问题
求二面角的六种方法
求二面角的六种方法求解二面角是空间几何学中常见的问题，它在多个领域如物理学、化学和工程学中都有广泛的应用。
本文将介绍六种求解二面角的方法，包括向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。
一、向量法向量法是一种简便的求解二面角的方法。
它利用向量的夹角来表示二面角。
首先，我们需要确定两个平面的法向量，然后计算它们之间的夹角。
通过向量的点积和模长运算，可以得到二面角的大小。
二、坐标法坐标法是一种常用的求解二面角的方法。
它利用坐标系中的点来表示二面角。
我们可以通过给定的坐标点，计算两个平面的法向量，然后利用向量夹角的公式求解二面角。
三、三角法三角法是一种基于三角函数的求解二面角的方法。
它利用三角函数的性质来计算二面角的大小。
通过已知的边长和角度，可以利用正弦定理、余弦定理等公式求解二面角。
四、平面几何法平面几何法是一种利用平面几何关系求解二面角的方法。
它通过已知的平面形状和角度关系，利用平面几何的知识来求解二面角的大小。
例如，可以利用平行线的性质、垂直线的性质等来计算二面角。
五、球面几何法球面几何法是一种利用球面几何关系求解二面角的方法。
它通过已知的球面形状和角度关系，利用球面几何的知识来求解二面角的大小。
例如，可以利用球面上的弧长、球面上的角度等来计算二面角。
六、投影法投影法是一种利用投影关系求解二面角的方法。
它通过已知的投影长度和角度关系，利用投影几何的知识来求解二面角的大小。
例如，可以利用平面上的投影线段、平面上的角度等来计算二面角。
通过以上六种方法，我们可以灵活地求解二面角的大小。
不同的问题和场景可能适用不同的方法，我们可以根据具体情况选择合适的方法来解决问题。
这些方法在实际应用中具有重要的意义，能够帮助我们更好地理解和解决相关问题。
总结起来，求解二面角的六种方法分别是向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。
每种方法都有其特点和适用场景，我们可以根据具体问题选择合适的方法来求解二面角。
二面角相关问题的解法
－
侧２ 如 图 ２ ， 在 四 棱 ／ ‘ Ｇ 所 以 。 Ｇ Ａ Ｆ — １ 。 ＡＢＣＤ ， ＡＢ ／ ／ 。，
一
日／
，
Ｂ Ａ Ｐ 一 ／ Ｃ Ｄ Ｐ 一 ９０。
评注 ： 在 已知 何体 中， 没 有 给 出 二 面 角 的
棱 而 求二 面 角 的 平 面 角 的 某 一 种 三 角 函 数 值 ’
将 “ 无 棱 ”向 “ 有棱 ” 转 化 ， 关 键 是 正 确 地 找 出二 面角 的棱 ， 步骤 ： ① 找 出两 个平 面 内 的
一 一 … … … … … … … … ’ 。 … …
Ｓ １ ｎ ａ
３ Ｚ ． ０ ￣ａ ≤４ ５ 。 ， 所 以 ｏ ＜ ｓ ｉ ｎ ≤
／ ｇ
平 行线 ； ② 由交 点 向两平行 线作 垂线 。
当ｓ ｉ ｎ￣ ＝＝ － ， 即ａ 一４ 。 时， ａ ｎ 达到最小值 。
位” 中 能 迅 速 作 出所 求 二 面 角 的 平 面 角 ， 该 角 所 在 的 三 角形 中 求 解 。
侧
两 面 的夹 角
如图 ３
，
已知正
ｌ － ／ Ｉ
’ ＼
— 。
。
解 析 ： 过 点 Ａ 作 直 线
方法 ＝，定 义法
在二 面角 的两 个 面 内分 别 作 棱 的 垂 线 ，
即 面
ｚ ／ ｌ Ｅ Ｄ／ ／ ｓ ｃ， 即所 找的棱 。
由 图形 为 正 四棱 锥 ， 知 ａ， ｜ ９
图３
Ｐ
ＮＥ — Ｅｃ ‘ ｉ ｎ ６ ０ 。 一￣ ／ ３。 在 Ｒ △ ＡＭ Ｎ 中 ，
三个“ 主要 特征 ， ， 来找 出平 面角
二面角问题求解方法大全
v1.0 可编辑可修改五法求二面角一、 定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
例1如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AMB --的大小。
练习1如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC∠=︒,E ，F 分别是BC , PC 的中点.（Ⅰ）证明：AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为62，求二面角E —AF —C 的余弦值.二、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。
例2． 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB111111ABCD P -ABCD60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ⊥AD PABPC AD A BD P -- （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ;（Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.练习3已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。
（1）求证：AC 1⊥BC ；（2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。
四、射影面积法（coss S射影）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜射S S =θ）求出二面角的大小。
怎样求解二面角问题
二面角问题在立体几何中比较常见，常见的命题形式有求二面角的大小、求二面角的余弦值，证明两个平面互相垂直等.此类问题的难度一般较大，需综合运用立体几何知识、平面几何知识、解三角形知识、三角函数知识，才能顺利求得问题的答案.本文结合实例，重点探讨一下求解二面角问题的几种常用方法.一、定义法二面角是由从一条直线出发的两个半平面所组成的，而二面角的大小往往是用其平面角的大小来表示，因此在求二面角的大小时，通常要用到二面角的平面角的定义：过二面角的棱上的一点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角.然后根据正余弦定理、勾股定理求得二面角的平面角的大小，即可求得二面角的大小.例1.如图1，已知空间中有三条射线CA 、CP 、CB ，且∠PCA =∠PCB =60°，∠ACB =90°，求二面角B -PC -A 的余弦值.图1解：在PC 上任取一点D ，过D 分别作DE ⊥PC ，DF ⊥PC ，连接EF ，所以∠EDF 为二面角B -PC -A 的平面角，设CD =a ，因为∠PCA =∠PCB =60°，所以CE =CF =2a ，DE =DF =3a ，因为∠ACB =90°，所以EF =22a ，在△DEF 中，根据余弦定理得：cos ∠EDF =3a 2+3a 2-8a 22∙3a2=-13.解答本题主要运用了定义法，需根据二面角的平面角的定义，在二面角B -PC -A 的棱PC 上任取一点D ，过D 分别作DE ⊥PC ，DF ⊥PC ，从而确定了二面角B -PC -A 的平面角∠EDF ，再根据余弦定理求得cos ∠EDF 的值.二、垂面法垂面法是指作一个垂直的平面，根据其中的垂直关系求得问题的答案.在求解二面角问题时，若题目中涉及的垂直关系较多，可过二面角棱上的一点在两个半平面内作棱的垂线；也可将两个半平面内的垂线平移，使其交于一点；还可过一条垂线上的一点作另一个平面的垂线，从而构成一个垂面，则垂面上的两条垂线或其平行线所形成的夹角即为二面角的平面角.最后根据勾股定理即可求得二面角的平面角的大小.例2.如图2，在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AB =a ，求二面角B -PC -D 的大小.图2解：因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是正方形，所以PA ⊥BD ，BD ⊥AC ，所以BD ⊥平面PAC ,可得BD ⊥PC ，分别过B 、D 作DH ⊥PC ，BH ⊥PC ，则∠BHD 为二面角B -PC -D 的平面角，因为PA =AB =a ，所以BC =a ，PB =AC =2a ，所以PC =3a ，根据勾股定理可得∠PBC =90°，所以在△PBC 中，12PB ∙BC =S △PBC =12PC ∙BH ，则BH ，同理可得DH ，因为BD =2a ，所以在△BHD 中，由余弦定理可得：cos ∠BHD =ö÷2+ö÷2-2a 2-12，因为0<∠BHD <π，则∠BHD =2π3,即二面角B -PC -D 的大小为2π3.本题中的垂直关系较多，于是分别过B 、D 作DH ⊥PC ，BH ⊥PC ，得到PC 的垂面BHD ，据此确定二面角B -PC -D 的平面角∠BHD ，再在△BHD 中由怎样求解二面角问题方法集锦43余弦定理即可求得∠BHD 的大小，进而求得二面角B -PC -D 的大小.值得注意的是，二面角α的范围为：[0,π].三、三垂线法三垂线法是利用三垂线定理解题的方法.运用三垂线法求解二面角问题，需先找到平面的垂线，然后过垂线上的一点作平面的斜线，若平面内的一条直线与平面的斜线垂直，那么这条直线与斜线在平面内的射影垂直，根据这些垂直关系就可以确定二面角的平面角，最后根据勾股定理、正余弦定理即可求得平面角的大小.例3.如图3所示，在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AB =a ，∠ABC =30°，求二面角P -BC -A 的大小.图3解：如图3，过A 作AH ⊥BC 于H ，连接PH ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BC ，PA ⊥AH ，所以BC ⊥平面PHA ，所以BC ⊥PH ，可知∠PHA 是二面角P -BC -A 的平面角，在Rt△ABH 中，AB =a ，∠ABH =∠ABC =30°所以AH =AB sin ∠ABH =a sin 30°=12a ，因为PA ⊥AH ，所以在Rt△PHA 中，tan ∠PHA =PA AH=2，所以∠PHA =arctan 2，故二面角P -BC -A 的大小为arctan 2.根据题意作AH ⊥BC ，便可知AH 为PH 在平面ABCD 内的射影，由三垂线定理可得BC ⊥PH ，由此可确定∠PHA 是二面角P -BC -A 的平面角，再在Rt△PHA 中根据正切函数的定义求得∠PHA 的大小，进而可得到二面角P -BC -A 的大小.由此可见，求解二面角问题的关键有两步：第一步，根据二面角的平面角的定义、三垂线定理、垂面的性质，确定二面角的平面角；第二步，根据勾股定理、正余弦定理、三角函数的定义求得平面角的大小.（作者单位：江西省赣州市南康第三中学）二次函数是一种基本初等函数.二次函数问题的常见命题形式有求二次函数的解析式、最值、对称轴、单调区间、零点等.这类问题侧重于考查二次函数的图象和性质.下面重点谈一谈如何求解有关二次函数的最值问题、零点问题和不等式问题.一、二次函数的最值问题二次函数y =ax 2+bx +c 的图象是一条抛物线，若a >0，则抛物线的开口向上；若a <0，则抛物线的开口向下.当x =-b 2a 时,函数在R 上有最值b 2-4ac 4a.若函数的定义域为[m ,n ]，则需分三种情况考虑：（1）当-b 2a ∈[m ,n ]时，函数在x =-b 2a 处取得最值；（2）当x =-b 2a,在[m ,n ]的左侧时，若a >0，则函数在x =m处取最小值，在x =n 处取最大值，若a <0，则相反；（3）当x =-b2a在[m ,n ]的右侧时，若a >0，则函数在x =m 处取最大值，在x =n 处取最小值；若a <0，则相反.例1.求y=-5x 2-6x ＋1的最大值.解：y =-5x 2-6x ＋1是二次函数，x 2的系数是-5，所以二次函数图象的开口向下，当x =-65时，函数有最大值1.利用二次函数的图象，即可确定二次函数在对称轴处取得最值.除了用图象法求解最值问题，还可以用配方法，比如y =x 2＋4x ＋3=()x +22-1，可知当x =-2时函数的最小值为-1.例2.已知函数f (x )=x 2＋(2a -1)x -3.方法集锦44。
解二面角问题三种方法(习题和答案)
C AD A A 1B DC C 1 B 1 解二面角问题（一）寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。
（1）定义法：利用二面角的平面角的定义.在二面角的棱上取一点.过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线.两射线所成的角就是二面角的平面角.这是一种最基本的方法。
要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角.当然这种找出的角要有利于解决问题。
下面举几个例子来说明。
例1：如图.立体图形V －ABC 的四个面是全等的正三角形.画出二面角V －AB －C 的平面角并求出它的度数。
例2：在三棱锥P-ABC 中.∠APB=∠BPC=∠CPA=600.求二面角A-PB-C 的余弦值。
这样的类型是不少的.如下列几道就是利用定义法找出来的：1、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中.找出二面角B －AC －B 1的平面角并求出它的度数。
2、．边长为a 的菱形ABCD .∠ACB=600.现沿对角线BD 将其折成才600的二面角.则A 、C 之间的距离为 。
（菱形两条对角线互相垂直.对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线.则所成的角是二面角的平面角）3、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长是4.过BC 的一个平面与AA 1交于D .若AD =3.求二面角D ―BC ―A 的正切值。
总之.能用定义法来找二面角的平面角的.一般是图形的性质较好.能够较快地找到满足二面角的平面角的三个主要特征。
并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求的。
在常见的几何体有正四面体.正三棱柱.正方体.以及一些平面图形.正三角形.等腰三角形.正方形.菱形等等.这些有较好的一些性质.可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。
至于求角.通常是把这角放在一个三角形中去求解。
由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角.再用解三角形的知识去求解。
（2）三垂线法：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直.来找到二面角的平面角的方法。
利用传统方法解决二面角问题(五大题型)(解析版)
利用传统方法解决二面角问题【题型归纳目录】题型一：定义法题型二：三垂线法题型三：射影面积法题型四：垂面法题型五：补棱法【方法技巧与总结】二面角的求法法一：定义法在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角α-l -β的棱上任取一点O ，以O 为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 所成的角称为二面角的平面角(当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可)．法二：三垂线法在面α或面β内找一合适的点A ，作AO ⊥β于O ，过A 作AB ⊥c 于B ，则BO 为斜线AB 在面β内的射影，∠ABO 为二面角α-c -β的平面角．如图1，具体步骤：①找点做面的垂线；即过点A ，作AO ⊥β于O ；②过点(与①中是同一个点)做交线的垂线；即过A 作AB ⊥c 于B ，连接BO ；③计算：∠ABO 为二面角α-c -β的平面角，在Rt △ABO 中解三角形．图1图2图3法三：射影面积法凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式(cos θ=S 射S 斜=S △A 'B 'C 'S △ABC，如图2)求出二面角的大小；法四：补棱法当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线(称为补棱)，然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题．法五：垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．【典型例题】题型一：定义法1.(2024·高一·江西宜春·期末)如图(1)，六边形ABCDEF 是由等腰梯形ADEF 和直角梯形ABCD 拼接而成，且∠BAD =∠ADC =90°，AB =AF =EF =ED =2,AD =CD =4，沿AD 进行翻折，得到的图形如图(2)所示，且∠AEC =90°.(1)求证：CD ⊥平面ADEF .(2)求二面角C -AE -D 的余弦值；【解析】(1)在等腰梯形ADEF 中，作EM ⊥AD 于M ，则DM =AD -EF 2=1,AM =3,EM =3，可得AE =3+9=23，连接AC ，则AC =42，因为∠AEC =90°，可得EC =25，由ED 2+DC 2=EC 2，可得CD ⊥ED ，且CD ⊥AD ,AD ∩ED =D ，AD ,ED ⊂平面ADEF ，所以CD ⊥平面ADEF .(2)由(1)可知CD ⊥平面ADEF ，且AE ⊂平面ADEF ，可得CD ⊥AE ，且CE ⊥AE ，CE ∩CD =C ，CE ,CD ⊂平面CDE ，可得AE ⊥平面CDE ，且DE ⊂平面CDE ，可得AE ⊥DE ，又AE ⊥CE ，可知∠CED 就是二面角C -AE -D 的平面角，在Rt △CDE ，可得cos ∠CDE =DE CE =225=55，所以二面角C -AE -D 的余弦值为55.2.(2024·高一·全国·随堂练习)如图，在圆锥PO 中，已知PO =2，⊙O 的直径AB =2，点C 在AB上，且∠CAB =30°，点D 为AC 的中点．(1)证明：AC ⊥平面POD(2)求二面角P -AC -O 的正弦值．【解析】(1)证明：连接PC ，则PC =PA ，因为点D 为AC 的中点，所以PD ⊥AC ，因为AB 为⊙O 的直径，所以∠ACB =90°，所以AC ⊥BC ，因为O 为AB 的中点，D 为AC 的中点，所以OD ‖BC ，OD =12BC ，所以OD ⊥AC ，因为PD ∩OD =D ，PD ,OD ⊂平面POD ，所以AC ⊥平面POD ，(2)由(1)知PD ⊥AC ，OD ⊥AC ，所以∠PDO 为二面角P -AC -O 的平面角，因为PO ⊥平面ABC ，OD ⊂平面ABC ，所以PO ⊥OD ，因为∠ACB =90°，∠CAB =30°，AB =2，所以BC =12AB =1，所以OD =12BC =12，所以在Rt △POD 中，sin ∠PDO =OP PD =22+14=223,所以二面角P -AC -O 的正弦值为2233.(2024·高一·河南商丘·阶段练习)如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA =AB =2 . 求：(1)求二面角B -PA -C 的大小．(2)求二面角A -PD -C 的大小.(3)求二面角B -PD -A 的大小的正弦值．【解析】(1)∵PA ⊥平面ABCD ，AB ，AC ⊂面ABCD ,∴PA ⊥AB ,PA ⊥AC ,∴∠BAC 为二面角B -PA -C 的平面角，又∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAC =45°，即二面角B -PA -C 的大小为45°；(2)作PD 的中点E ,PC 的中点F ,连接AE ,EF ,AF ,∵PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂面ABCD ,∴PA ⊥AD ,∵PA =AB ，∴△PAD 为等腰直角三角形，∵E 为PD 的中点，∴AE ⊥PD ,又∵PA ⊥CD ,AD ⊥CD ,PA ,AD ⊂平面PAD ,且PA ∩AD =A ,∴CD ⊥平面PAD ,∴CD ⊥PD ,∵E ,F 分别为PD 和PC 的中点，∴EF ⊥PD ,∴∠AEF 为二面角A -PD -C 的平面角，∵EF ⎳CD ,∴EF ⊥平面PAD ,∴EF ⊥AE ,∴∠AEF =90°,即二面角A -PD -C 的大小为90°；(3)连接BE ,BD ,∵PB =AP 2+AB 2=22,BD =AB 2+AD 2=22,∴PB =BD ,∴BE ⊥PD ,∴∠AEB 二面角B -PD -A 的大小的平面角，又∵PA ⊥AB ,AB ⊥AD ,AP ,AD ⊂平面PAD ,且PA ∩AD =A ,∴AB ⊥平面PAD ,∴AB ⊥AE ,∵PD =2AP =22,∴ED =12PD =2,∴BE =BD 2-ED 2=6,∴sin ∠AEB =AB BE=63 ,即二面角B -PD -A 的大小的正弦值63.题型二：三垂线法1.(2024·高一·湖南长沙·阶段练习)如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC .(1)证明：平面PBC⊥平面PAC；(2)设AB=PC=2，AC=1，求二面角B-PA-C的余弦值．【解析】(1)证明：∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，又∵PC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PC⊥BC，∵PC∩AC=C，且PC，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC.(2)过C作CM⊥PA于M，连结BM，∵BC⊥平面PAC，PA⊂平面PAC，∴PA⊥BC，∵BC∩CM=C，且BC，CM⊂平面BCM，∴PA⊥平面BCM，又BM⊂平面BCM，∴PA⊥BM，∴∠BMC为二面角B-PA-C的平面角，在Rt△BMC中，∵CM=25，BC=3，∴BM=45+3=195，则cos∠BMC=MCBM=25195=21919，∴二面角B-PA-C的余弦值为21919．2.(2024·高一·江苏南京·阶段练习)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，且有AB=1，PA=2，∠ABC=60°，E为PC中点．(1)证明：AC⊥面BED；(2)求二面角E-AB-C的平面角的正弦值．【解析】(1)证明：设AC与BD交于点O，连接EO，因为E，O分别为PC，AC的中点，所以EO⎳PA，又因为PA⊥底面ABCD，且BD、AC⊂底面ABCD，所以PA⊥BD，PA⊥AC，又因为EO⎳PA，所以EO⊥BD，EO⊥AC，AC∩BD=O，所以EO⊥底面ABCD，又四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，则EO⊥AC，BD⊥AC，且EO∩BD=O，EO，BD⊂平面BED，所以AC⊥平面BED；(2)过O作OF⊥AB于F，连接EF，由(1)知OE⊥底面ABCD，且FO、AB⊂底面ABCD，所以OE⊥AB，OE⊥FO，又EO∩FO=O，EO、FO⊂平面EOF，所以AB⊥平面EOF，又EF⊂平面EOF，所以AB⊥EF，即∠EFO为二面角E-AB-C的平面角，因为底面ABCD为菱形，AB=1，∠ABC=60°，所以△ABC是边长为1的等边三角形，则AO=12，FO=12sin60°=34，又PA=2，则EO=12PA=22，在直角三角形EOF中，EF=11 4，则cos∠EFO=FOEF=3311，所以sin∠EFO=22211，故所求二面角的正弦值为222 11．3.(2024·高二·江苏南京·阶段练习)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠ADC=60°，PA=AD=4，E为AD的中点．(1)求证：平面PCE⊥平面PAD；(2)求二面角A-PD-C的平面角的正弦值．【解析】(1)由题意，因为四边形ABCD为菱形，所以DA=DC.连接AC.因为∠ADC=60°，所以△ADC为等边三角形，从而CA=CD.在△ADC中，E是AD的中点，所以CE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，所以CE⊥PA.∵PA∩AD=A，PA⊂面PAD，AD⊂平面PAD，CE⊄面PAD，∴EC⊥平面PAD.又CE⊂平面PCE，∴平面PCE⊥平面PAD(2)由题意及(1)得，在平面PAD中，过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接CM.因为EC⊥平面PAD,PD⊂平面PAD，所以EC⊥PD.又EM∩CE=E, EM⊂平面EMC,CE⊂平面EMC，所以PD⊥平面EMC.又CM⊂平面EMC，所以PD⊥CM，从而∠EMC是二面角APDC的平面角．在Rt△EMD中，ED=2,∠ADP=45°，所以EM=MD= 2.在Rt△CMD中，MD=2，CD=4，所以CM=CD2-MD2=14.在Rt△CME中,CE=23,sin∠EMC=CECM =2314=427,所以二面角APDC的平面角的正弦值为42 7.题型三：射影面积法1.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD,PA=AB=a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小．【解析】因为PA⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，又AD⊥AB，且PA∩AB=A，PA,AB⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB，所以ΔPCD在平面PBA上的射影为ΔPAB．设平面PBA与平面PCD所成二面角为θ，所以cosθ=SΔPABSΔPCD=12a212a⋅2a=22，所以θ=45°．故平面PBA与平面PCD所成二面角的大小为45°．2.(2024·新疆和田·高一校考期末)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD．(1)证明：AB⊥平面PAD；(2)求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值．【解析】(1)证明：∵底面ABCD是正方形，∴AB ⊥AD ，∵平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ∩底面ABCD =AD ，∴由面面垂直的性质定理得，AB ⊥平面PAD ；(2)(法一)由题意，△PBD 在面PAD 上的射影为△PAD ．设AD =a ，则S △PAD =34a 2，△PBD 中，PD =a ，BD =2a ，PB =2a ，∴S △PBD =12×a ×2a 2-a 24=74a 2，∴面PAD 与面PDB 所成的二面角的余弦值为37，∴面PAD 与面PDB 所成的二面角的正切值为23=233．(法二)如图所示：取PD 中点E ，连接AE ,BE .设AD =a ，则BD =PB =2a ，所以AE ⊥PD ,BE ⊥PD ,所以∠AEB 是平面PAD 与平面PDB 所成的二面角的平面角，在Rt △AEB 中，AE =32a ,AB =a ,∠BAE =π2,所以tan ∠AEB =AB AE =a 32a =23=233.3.(2024·高一课时练习)直角三角形ABC 的斜边在平面α内，两条直角边分别与平面α成30°和45°角，则这个直角三角形所在的平面与平面α所成的锐二面角的余弦值为．【答案】64【解析】过点C 作CD ⊥平面α，垂足为D ，连接AD ,BD ，∵AD ,BD ,AB ⊂平面α，则CD ⊥AD ,CD ⊥BD ,CD ⊥AB ，设CD =h >0，不妨设AC ，BC 分别与平面α成30°和45°角，则BC =2h ,AC =2h ,AD =3h ,BD =h ，过C 作CE ⊥AB ，垂足为E ，连接ED ，∵CD ⊥AB ，CE ∩CD =C ，CE ,CD ⊂平面CDE ，则AB ⊥平面CDE ，且DE ⊂平面CDE ，∴DE ⊥AB ，即所求二面角的平面角为∠CED ，由△ABC 的面积可得S △ABC =12AB ⋅CE =12AC ⋅BC ，由△ABD 的面积可得S △ABD =12AB ⋅DE =12AD ⋅BD ，∵cos ∠CED =DE CE =S △ABD S △ABC =12AD ⋅BD 12AC ⋅BC =3h ⋅h 2h ⋅2h =64，故所求锐二面角的余弦值为64．故答案为：64.题型四：垂面法1.(2024·高一·云南玉溪·期末)如图，三棱锥P -ABC 的底面△ABC 是等腰直角三角形，其中AB =AC =PA =PB =2，平面PAB ⊥平面ABC ，点E ，N 分别是AB ，BC 的中点．(1)证明：EN ⊥平面PAB ；(2)求二面角C -PB -A 的余弦值．【解析】(1)证明：因为三棱锥P -ABC 的底面是等腰直角三角形，且AB =AC =2，所以AB ⊥AC ，又点E ，N 分别是AB ，BC 的中点，故EN ∥AC ，故EN ⊥AB ，又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面ABC =AB ，EN ⊂平面ABC ，故EN ⊥平面PAB ．(2)如图，取PB 的中点为F ，连接AF ，CF ，因为PA =PB =AB =2，所以AF ⊥PB ，AF =3．又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面ABC =AB ，AB ⊥AC ，AC ⊂平面ABC ，故AC ⊥平面ABP ，PB ⊂平面ABP ，故AC ⊥PB ，AC ∩AF =A ，AC ,AF ⊂平面ACF ，故PB ⊥平面ACF ，CF ⊂平面ACF ，故PB ⊥CF ，则∠CFA 即为所求的角，于是tan ∠CFA =CA AF =23，cos ∠CFA =217，所以二面角C -PB -A 的余弦值为217．2.(2024·高一·安徽芜湖·期末)如图，在三棱台ABC -DEF 中，∠ACB =90°，BF ⊥AD ，BC =2，BE =EF =FC =1．(1)求证：平面BCFE ⊥平面ABC ；(2)若直线AE 与平面BCFE 所成角为π3，求平面DEC 和平面ABC 所成角的正切值．【解析】(1)取BC 中点为O ，连接FO ,∵BE =EF =FC =1，BC =2，所以BO =OC =FC =1,故∠BFO =∠OBF ,∠CFO =∠COF =∠FCO ,由三角形内角和可得∠BFO +∠CFO =90°,故BF ⊥FC ，又∵BF ⊥AD ,AD ,FC ⊂平面ADFC ,AD ,FC 为相交直线，∴BF ⊥平面ADFC ，AC ⊂平面ADFC ,∴BF ⊥AC又∵∠ACB =90°,即BC ⊥AC ,BF ∩BC =B ,BF ,BC ⊂平面BCFE ,∴AC ⊥平面BCFE ，AC 在平面ABC 内，∴平面BCFE ⊥平面ABC(2)由(1)知直线AE 与平面BCFE 所成角为∠AEC ，∴AC EC=3，由于AE =AF =BC 2-FC 2=3,∴AC =3设平面DEC 和平面ABC 的交线为l ，由于AB ⎳平面DEC ，AB ⊂平面ABC ，所以l ∥AB ，过点E 作EG ⊥BC 于G ，又(1)知平面BCFE ⊥平面ABC ，且两平面的交线为BC ，EG ⊂平面BCFE ,∴EG ⊥平面ABC ，l ∈平面ABC ，所以EG ⊥l ，且EG =EB 2-BC -EF 2 2=32,再过点G 作GK ⊥l 于K ，连接EK ，GK ∩EG =G ,GK ,EG ⊂平面EGK ，所以l ⊥平面EGK ，EK ⊂平面EGK ,故l ⊥EK ，∵∠EKG 即为所求角,BG =12,GC =32,GK =GC ⋅sin ∠BCK =32sin ∠BCK =32sin ∠B =32×313=9213∵tan ∠EKG =EG EK =32×2139=399题型五：补棱法1.(2024·山东淄博·高一统考期末)如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为棱BB 1、BC 的中点．(1)证明：直线DN ⎳平面AMD 1；(2)设平面AMD 1与平面ABCD 的交线为l ，求点M 到直线l 的距离及二面角D 1-l -C 的余弦值．【解析】(1)证明：取CC 1的中点E ，连接DE 、NE 、ME ，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BB 1⎳CC 1且BB 1=CC 1，∵M 、E 分别为BB 1、CC 1的中点，则BM ⎳CE 且BM =CE ，故四边形BCEM 为平行四边形，则ME ⎳BC 且ME =BC ，又因为AD ⎳BC 且AD =BC ，则ME ⎳AD 且ME =AD ，故四边形ADEM 为平行四边形，则DE ⎳AM ，∵DE ⊄平面AMD 1，AM ⊂平面AMD 1，∴DE ⎳平面AMD 1，因为AB ⎳C 1D 1且AB =C 1D 1，故四边形ABC 1D 1为平行四边形，则BC 1⎳AD 1，∵N 、E 分别为BC 、CC 1的中点，则NE ⎳BC 1，则NE ⎳AD 1，∵NE ⊄平面AMD 1，AD 1⊂平面AMD 1，∴NE ⎳平面AMD 1，∵DE ∩NE =E ，DE 、NE ⊂平面DEN ，所以，平面DEN ⎳平面AMD 1，∵DN ⊂平面DEN ，∴DN ⎳平面AMD 1.(2)延长D 1M 、DB 交与点P ，连接AP ，则直线AP 即为直线l ，因为BB 1⎳DD 1且BB 1=DD 1，M 为BB 1的中点，则PM PD 1=PB PD =BM DD 1=12，故点B 为PD 的中点，M 为PD 1的中点，在△ABP 中，AB =2，BP =BD =22，∠ABP =135°，由余弦定理可得AP2=AB2+BP2-2AB⋅BP cos135°=20，则AP=25，cos∠BAP=AB2+AP2-BP22AB⋅AP =255，则sin∠BAP=1-cos2∠BAP=55，过点D在平面ABCD内作DF⊥直线AP，垂足为点F，连接D1F，sin∠DAF=sin90°-∠BAP=cos∠BAP=255，所以，DF=AD sin∠DAF=455，∵DD1⊥平面ABCD，l⊂平面ABCD，∴DD1⊥l，∵DF⊥l，DF∩DD1=D，DF、DD1⊂平面DD1F，∴l⊥平面DD1F，∵D1F⊂平面DD1F，∴D1F⊥l，故二面角D1-l-C的平面角为∠D1FD，且D1F=DD21+DF2=655，故点M到直线l的距离为355，cos∠D1FD=DFD1F =23，因此，二面角D1-l-C的平面角的余弦值为23.2.(2024·湖南常德·高一临澧县第一中学校考期末)《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC.(1)从三棱锥P-ABC中选择合适的两条棱填空：⊥，则三棱锥P-ABC为“鳖臑”；(2)如图，已知AD⊥PB，垂足为D，AE⊥PC，垂足为E，∠ABC=90°.(i)证明：平面ADE⊥平面PAC；(ii)设平面ADE与平面ABC交线为l，若PA=23，AC=2，求二面角E-l-C的大小.【解析】(1)因为“鳖臑”是由四个直角三角形组成的四面体，又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC；即△PAB，△PAC为直角三角形；若BC⊥AB，由AB∩PA=A，AB,PA⊂平面PAB，可得：BC⊥平面PAB；所以BC⊥PB，即△ABC，△PBC为直角三角形；满足四个面都是直角三角形；同理，可得BC⊥AC或BC⊥PB或BC⊥PC，都能满足四个面都是直角三角形；故可填：BC⊥AB或BC⊥AC或BC⊥PB或BC⊥PC；(2)(i)证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，PA,AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，又AD⊂平面PAB，∴BC⊥AD，又AD⊥PB，PB∩BC=B，PB,BC⊂平面PBC，∴AD⊥平面PBC，又PC⊂平面PBC，∴PC⊥AD，又AE⊥PC，AE∩AD=A，AD,AE⊂平面ADE，∴PC⊥平面ADE，又PC⊂平面PAC，∴平面ADE⊥平面PAC.(ii)由题意知，在平面PBC中，直线DE与直线BC相交.如图所示，设DE∩BC=F，连结AF，则AF即为l.∵PC⊥平面AED，l⊂平面AED，∴PC⊥l，∵PA⊥平面ABC，l⊂平面ABC，∴PA⊥l，又PA∩PC=P，PA,PC⊂平面PAC，∴l⊥平面PAC，又AE,AC⊂平面PAC，∴AE⊥l，AC⊥l.∴∠EAC即为二面角E-l-C的一个平面角.在△PAC中，PA⊥AC，PA=23，AC=2，∴PC=4，又AE⊥PC，∴AE=AP×ACPC =23×24=3，∴cos∠EAC=AEAC =32，∴∠EAC=30°，∴二面角E-l-C的大小为30°.3.(2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考期末)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点.(1)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；(2)设PC =2AB =4，求二面角E -l -C 大小的取值范围.【解析】(1)∵EF ⎳AC ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，∴EF ⎳平面ABC ，又EF ⊂平面BEF ，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，所以EF ⎳l ，而l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以l ⎳平面PAC ；(2)设直线l 与圆O 的另一个交点为D ，连接DE ，FB ，如图：由(1)知，BD ⎳AC ，而AC ⊥BC ，所以BD ⊥BC ，所以PC ⊥平面ABC ，所以PC ⊥BD ，而PC ∩BC =C ，所以BD ⊥平面PBC ，又FB ⊂平面PBC ，所以BD ⊥BF ，所以∠FBC 就是二面角E -l -C 的平面角，因为PC =2AB =4，点F 是PC 的中点，所以FC =12PC =AB =2，故tan ∠FBC =FC BC =AB BC =1cos ∠ABC ，注意到0<∠ABC <π2，所以0<cos ∠ABC <1，所以tan ∠FBC >1，因为0<∠FBC <π2，所以∠FBC ∈π4,π2 ，所以二面角E -l -C 大小的取值范围为π4,π2.【过关测试】1.(2024·高一·广西玉林·阶段练习)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC =90°,2AB =2BC =CC 1=2，D 是棱CC 1的中点，(1)求证：B1D⊥平面ABD；(2)求平面AB1D与侧面BB1C1C所成锐角的正切值.【解析】(1)证明：因为直三棱柱ABC-A1B1C1中，2BC=CC1=2，D是棱CC1的中点，所以BC=CD=C1D=B1C1=1，BB1=2，∠BCD=∠B1C1D=90°，所以BD2=BC2+CD2=2,B1D2=C1D2+B1C21=2，所以BD2+B1D2=4=BB21，所以BD⊥B1D，因为BB1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以BB1⊥AB，因为∠ABC=90°，所以AB⊥BC，因为BB1∩BC=B，BB1,BC⊂平面BB1C1C，所以AB⊥平面BB1C1C，所以B1D⊂平面BB1C1C，所以AB⊥B1D，因为AB∩BD=B，AB,BD⊂平面ABD，所以B1D⊥平面ABD；(2)因为B1D⊥平面ABD，AD⊂平面ABD，所以B1D⊥AD，因为BD⊥B1D，平面AB1D∩平面BB1C1C=B1D，所以∠ADB就是平面AB1D与侧面BB1C1C所成的平面角，因为AB⊥平面BB1C1C，BD⊂平面BB1C1C，所以AB⊥BD，在Rt△ADB中，AB=1,BD=2，则tan∠ADB=ABBD=12=22，所以平面AB1D与侧面BB1C1C所成锐角的正切值为2 2 .2.(2024·高一·河南商丘·阶段练习)如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F为棱AA1的两个三等分点．(1)求证：CE∥平面BDF；(2)求二面角C1-BD-F的余弦值．【解析】(1)如图，连接AC交BD于点O，连接OF．在△ACE中，O为AC的中点，F为AE的中点，所以OF∥CE，又平面BDF，OF⊂平面BDF，所以CE∥平面BDF．(2)连接C1O，C1F，A1C1．在正方体中，BD⊥AC，AA1⊥BD，AC∩AA1=A，AC,AA1⊂平面A1AC 所以BD⊥平面A1AC，而OF，OC1均在平面A1AC内，所以BD⊥OF，BD⊥OC1，所以∠FOC1是二面角C1-BD-F的平面角．因为正方体的棱长为3，所以AC=32，AO=322，AF=1，由勾股定理得FO=3222+12=222，C1O=322 2+32=362，C1F=(32)2+22=22．在△FOC1中，由余弦定理得cos∠FOC1=FO2+C1O2-C1F22FO⋅C1O=-3333，所以二面角C1-BD-F的余弦值为-33 33．3.(2024·高一·山东淄博·阶段练习)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=2，AC∩BD=O，PO⊥底面ABCD，PO=2，点E在棱PD上，且CE⊥PD．(1)证明：平面PBD⊥平面ACE；(2)证明：OE⊥PD(3)求二面角D-AC-E的余弦值【解析】(1)∵PO⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PO⊥AC，∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，且BD∩PO=O，BD,PO⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD，∵AC⊂平面ACE，∴平面ACE⊥平面PBD，即平面PBD⊥平面ACE；(2)连接OE，则平面ACE∩平面PBD=OE，由(1)知AC ⊥平面PBD ，PD ⊂平面PBD ，则AC ⊥PD ，又∵CE ⊥PD ，CE ∩AC =C ,CE ,AC ⊂平面ACE ，∴PD ⊥平面ACE ，OE ⊂平面ACE ，∴PD ⊥OE ，即OE ⊥PD ．(3)由于AC ⊥平面PBD ，OE ⊂平面PBD ，则AC ⊥OE ，又AC ⊥OD ，且平面EAC ∩平面DAC =AC ，OE ⊂平面EAC ，OD ⊂平面DAC ，故∠DOE 为二面角D -AC -E 的平面角；在菱形ABCD 中，AB =2，∠ABC =60°，则△ABC 是等边三角形，而O 为AC ，BD 的中点，则OD =OB =3，又OP =2，∴PD =22+3 2=7，故OE =OP ⋅OD PD =237=2217，∴cos ∠DOE =OE OD =22173=277，即二面角D -AC -E 的余弦值为277．4.(2024·高一·陕西西安·阶段练习)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，E ，F 分别为A 1B ，A 1C 的中点，D 为B 1C 1上的点，且A 1D ⊥B 1C .(1)求证：平面A 1FD ⊥平面BCC 1B 1；(2)若三棱柱所有棱长都为a ，求二面角A 1-B 1C -C 1的平面角的正切值.【解析】(1)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，则三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，∴BB 1⊥平面A 1B 1C 1，A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，∴BB 1⊥A 1D ，∵A 1D ⊥B 1C ，B 1C ∩BB 1=B 1，B 1C ,BB 1⊂平面BCC 1B 1，∴A 1D ⊥平面BCC 1B 1，又A 1D ⊂平面A 1FD ，∴平面A 1FD ⊥平面BCC 1B 1；(2)因为三棱柱所有棱长都为a，则△A1B1C1为等边三角形，A1D⊥平面BCC1B1，B1C1⊂平面BCC1B1，所以A1D⊥B1C1，所以D为B1C1的中点，过点D作B1C垂线，垂足为H，连接A1H，∵A1D⊥B1C，DH⊥B1C，A1D∩DH=D，A1D,DH⊂平面A1DH，∴B1C⊥平面A1DH，又A1H⊂平面A1DH，所以B1C⊥A1H，则∠A1HD是二面角A1-B1C-C1的平面角，A1D⊥平面BCC1B1，DH⊂平面BCC1B1，所以A1D⊥DH，∴A1D=32a，DH=22B1D=24a，tan∠A1HD=A1DDH=6，故二面角A1-B1C-C1的平面角的正切值为6．5.(2024·高一·广东云浮·阶段练习)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，且有AB=1，PA=2，∠ABC=60°，E为PC中点．(1)证明：PA⎳平面BED；(2)求二面角E-AB-C的平面角的正弦值．【解析】(1)设AC与BD交于点O连接EO，因为E，O分别为PC，AC的中点，所以EO∥PA，又因为PA⊄平面BED，EO⊂平面BED，所以PA ⎳平面BED ；(2)过O 作OF ⊥AB 于F ，连接EF ，因为PA ⎳OE ，且PA ⊥平面ABCD所以OE ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以OE ⊥AB ，又EO ∩FO =O ，EO ,OF ⊂平面EOF ，所以AB ⊥平面EOF ，又EF ⊂平面EOF ，所以AB ⊥EF ，即∠EFO 为二面角E -AB -C 的平面角，由EO =12PA =22，△ABC 是边长为1的等边三角形，即FO =12sin60°=34，在直角三角形EOF 中，EF =114，即cos ∠EFO =FO EF =3311，sin ∠EFO =1-cos 2∠EFO =22211．所以所求二面角的正弦值为22211．6.(2024·高一·山东枣庄·阶段练习)如图，E 是直角梯形ABCD 底边AB 的中点，AB =2DC =2BC ，将△ADE 沿DE 折起形成四棱锥A -BCDE .(1)求证：DE ⊥平面ABE ；(2)若二面角A -DE -B 为60°，求二面角A -DC -B 的余弦值.【解析】(1)在直角梯形ABCD 中，易知DC ⎳BE ，且DC =BE ，所以四边形BCDE 为平行四边形，又∠EBC =90°，AB =2DC =2BC ，E 是AB 的中点，所以四边形BCDE 是正方形，从而DE ⊥EB ，也即DE ⊥EA ，因此，在四棱锥A -BCDE 中，EB ∩EA =A ，EB ,EA ⊂平面ABE ，所以DE ⊥平面ABE ；(2)由(1)知，∠AEB 即二面角A -DE -B 的平面角，故∠AEB =60°，又AE =EB ，可得△AEB 为等边三角形；设BE 的中点为F ，CD 的中点为G ，连接AF ,FG ,AG ，从而AF ⊥BE ，FG ⎳DE ，于是AF ⊥CD ，FG ⊥CD ，AF ∩FG =F ，AF ,FG ⊂平面AFG ，从而CD ⊥平面AFG ，AG ⊂平面AFG ，因此CD ⊥AG ；所以∠AGF 即所求二面角A -DC -B 的平面角.由(1)中DE ⊥平面ABE ，且FG ⎳DE ，从而FG ⊥平面ABE ，AF ⊂平面ABE 所以FG ⊥AF ，设原直角梯形中，AB =2DC =2BC =2a ，则折叠后四棱锥中AF =32a ，FG =a ，从而AG =AF 2+FG 2=72a 于是在Rt △AFG 中，cos ∠AGF =FG AG=277；即二面角A -DC -B 的余弦值为277.7.(2024·高一·北京怀柔·期末)如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2．(1)证明：CD 1⎳平面A 1BD ；(2)证明：BD ⊥平面A 1AC ；(3)求二面角A 1-BD -A 的正弦值．【解析】(1)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，A 1D 1⎳BC 且A 1D 1=BC ，∴A 1BCD 1为平行四边形，∴A 1B ⎳CD 1，∵CD 1⊄平面A 1BD ，A 1B ⊂平面A 1BD ∴CD 1⎳平面A 1BD ；(2)∵正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，AA 1⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，∴AA 1⊥BD ，∵正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，又∵AA 1⊂平面A 1AC ，AC ⊂平面A 1AC ，AA 1∩AC =A ，∴BD ⊥平面A 1AC ；(3)∵在正方形ABCD 中，设AC ∩BD =O ，连接A 1O ，∴AC ⊥BD ，AO ⊥BD ，∵△A 1BD 中，A 1B =A 1D =22，△A 1BD 为等腰三角形，∴A 1O ⊥BD ，∴∠A 1OA 即为二面角A 1-BD -A 的平面角，∵在Rt △A 1AO 中，AA 1=2,AO =2,∴A 1O =6，∴sin ∠A 1OA =A 1A A 1O=63，即二面角A 1-BD -A 的正弦值为63.8.(2024·高一·广西·期末)如图，四棱锥P -ABCD ，PA ⊥平面ABCD ，∠BAD =∠BCD =π2，AB =BC =2，PA =BD =4，过点C 作直线AB 的平行线交AD 于F ，G 为线段PD 上一点．(1)求证：平面PAD ⊥平面CFG ；(2)求平面PBC 与平面PDC 所成二面角的余弦值．【解析】(1)因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，因为∠BAD =π2，所以AB ⊥AD ，因为PA ∩AD =A ，PA 、AD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，因为CF ⎳AB ，所以CF ⊥平面PAD ，因为CF ⊂平面CFG ，所以平面CFG ⊥平面PAD ；(2)连结AC ，过点B 作BE ⊥PC 于点E ，连接DE ，如图，PA ⊥平面ABCD ，AD 、AC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AD ，PA ⊥AC ，因为∠BAD =∠BCD =π2，AB =BC =2，PA =BD =4，由勾股定理得：AD=BD2-AB2=23，则∠ADB=30°，同理可得CD=23，∠CDB=30°，故∠ADC=60°，所以三角形ACD为等边三角形，AC=CD=23，同理可得：PB=PA2+AB2=25，PC=PA2+AC2=27，PD=PA2+AD2=27，在△BCP中，由余弦定理得：cos∠BCP=BC2+CP2-PB22BC⋅CP=4+28-2087=327，则CE=BC cos∠BCP=627，BE=BC2-CE2=197，在△CDP中，由余弦定理得：cos∠PCD=PC2+CD2-DP22PC⋅CD=12+28-2823×47=327，在△CDE中，DE2=CE2+CD2-2CE⋅CD cos∠PCD=3628+12-2×627×23×327=757，因为CE2+DE2=12=CD2，所以DE⊥PC，所以∠BED是平面PBC与平面PDC所成二面角的平面角，由余弦定理得：cos∠BED=BE2+DE2-BD22BE⋅DE=197+757-162×197×757=-35795．9.(2024·高一·辽宁葫芦岛·期末)如图，在多面体ABCDEF中，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3．(1)在线段FC上确定一点H，使得平面BDH⎳平面AEF；(2)设G是线段EC的中点，在(1)的条件下，求二面角A-HG-B的大小．【解析】(1)H为线段FC的中点．证明如下：在菱形ABCD中，连接AC与BD交于点O，于是O为AC中点，在△AFC中，OH为中位线，所以OH⎳AF，因为OH⊂平面BDH，AF⊄平面BDH，所以AF⎳平面BDH，又因为四边形BDEF是矩形，BD⎳EF，因为BD ⊂平面BDH ，EF ⊄平面BDH ，所以EF ⎳平面BDH ，又AF ，EF ⊂平面AEF ，且AF ∩EF =E ，所以平面AEF ⎳平面BDH ．(2)分别取EF ，HG ，OC 中点M ，N ，P ，连接MO ，MA ，MC ，NP ，NO ，NA ，于是，N 为线段MC 中点，易知，在矩形BDEF 中MO ⊥BD ，菱形ABCD 中AC ⊥BD ，且MO ∩AC =O ，MO ，AC ⊂平面AMC ，所以BD ⊥平面AMC ．又GH 为△CEF 的中位线，故GH ⎳EF ，且BD ⎳EF ，所以GH ⎳BD ．所以GH ⊥平面AMC ．又AN ，ON ⊂平面AMC ，所以GH ⊥AN ，GH ⊥ON ．所以∠ANO 为二面角A -HG -B 的平面角．由已知，平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ∩平面ABCD =BD ，MO ⊂平面BDEF ，且MO ⊥BD ，可得MO ⊥ABCD ．又NP 为△CMO 的中位线，所以NP ⎳MO ，且NP =12MO =32，所以NP ⊥平面ABCD ，进而NP ⊥AP ．在菱形ABCD 中，AO =3，PO =32，AP =AO +PO =332．在直角△NPA 中，tan ∠NAP =NP AP=33，所以∠NAP =π6．在直角△NPO 中，tan ∠NOP =NP OP=3，所以∠NOP =π3，所以，∠ANO =∠NOP -∠NAP =π6．即二面角A -HG -B 的大小为π6．10.(2024·高一·贵州毕节·期末)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，且AB =3,AD =2，侧面PAD 是等腰三角形，且PA =PD =2，侧面PAD ⊥底面ABCD .(1)求证：AP ⊥平面PCD ；(2)求侧面PBC 与底面ABCD 所成二面角的正弦值.【解析】(1)证明：在△APD 中，AD =2,PA =PD =2∴AD 2=AP 2+DP 2∴AP ⊥DP又∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD =AD ,AD ⊥CD ,CD ⊂平面ABCD ，∴CD ⊥平面APD ，又AP ⊂平面APD ，∴CD ⊥AP ，又CD ∩DP =D ，CD ,DP ⊂平面PCD ，∴AP ⊥平面PCD .(2)取AD 的中点为M ，连接PM ，∵PA =PD ，所以PM ⊥AD又∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD =AD ，PM ⊂面PAD ，∴PM ⊥平面ABCD又BC ⊂平面ABCD ，∴PM ⊥BC ，过点M 作MG ⊥BC ，垂足为G ，连接PG ，又PM ∩MG =M ，PM ,MG ⊂平面PMG ，∴BC ⊥平面PMG ，又MG ⊂平面PMG ，PG ⊂平面PMG ，∴BC ⊥MG ,BC ⊥PG ，∴∠PGM 为侧面PBC 与底面ABCD 所成二面角的平面角，在直角△PMG 中，PM =12AD =1,MG =3，∴PG =10，∴sin ∠PGM =PM PG =110=1010，即侧面PBC 与底面ABCD 所成二面角的正弦值为1010.11.(2024·高一·内蒙古包头·期末)如图，已知AB 是圆的直径，且AB =4,PA 垂直圆所在的平面，且PA =3,M 是弧AB 的中点．(1)求点A 到平面PBM 的距离；(2)求二面角A -BM -P 的正弦值．【解析】(1)设点A 到平面PBM 的距离为d ，由题意知BM ⊥AM ，因为PA ⊥平面MAB ，BM ⊂平面MAB ，所以BM ⊥PA ，又AM ∩PA =A ,AM ,PA ⊂平面PAM ，则BM ⊥平面PAM ，又PM ⊂平面PAM ，所以BM ⊥PM ，由V A -PBM =V P -ABM ，得13S △PBM ⋅d =13S △ABM ⋅PA ，12PM ⋅BM ⋅d =12AM ⋅BM ⋅3，即17d =62，故d =63417，所以点A 到平面PBM 的距离为63417；(2)由(1)得BM ⊥AM ，BM ⊥PM ，所以∠PMA 即为二面角A -BM -P 的平面角，因为AB =4，M 是弧AB 的中点，所以MA =MB =22，因为PA ⊥平面MAB ，AM ⊂平面MAB ，所以AM ⊥PA ，则PM =9+8=17，则sin ∠PMA =PA PM =317=31717，所以二面角A -BM -P 的正弦值为31717．12.(2024·高一·辽宁·期末)如图1，在等腰直角△ABC 中，∠C =π2，D ，E 分别是AC ，AB 的中点，F 为线段CD 上一点(不含端点)，将△ADE 沿DE 翻折到△A 1DE 的位置，连接A 1C ，A 1B ，得到四棱锥A 1-BCDE ，如图2所示，且A 1F ⊥CD ．(1)证明：A 1F ⊥平面BCDE ；(2)若直线A 1E 与平面BCDE 所成角的正切值为155，求二面角A 1-BD -C 的平面角的正切值．【解析】(1)证明：因为∠C =π2，且DE ∥BC ，所以DE ⊥AD ，所以DE ⊥A 1D ,DE ⊥DC ，又因为A 1D ∩CD =D ，且A 1D ,CD ⊂平面A 1DC ，所以DE ⊥平面A 1DC ，因为A 1F ⊂平面A 1DC ，所以DE ⊥A 1F ，又因为A 1F ⊥CD ，CD ∩DE =D 且CD ,DE ⊂平面BCDE ，所以A 1F ⊥平面BCDE ．(2)如图所示，连接EF ，因为D ,E 分别是AC 与AB 的中点，可得A 1D =CD =DE ，又因为A 1F ⊥平面BCDE ，所以直线A 1E 与平面BCDE 所成的角为∠A 1EF ，由直线A 1E 与平面BCDE 所成角的正切值为155，即tan ∠A 1EF =155，设DF=x，则A1F=A1D2-DF2=A1D2-x2，EF=DE2+DF2=A1D2+x2，所以tan∠A1EF=A1FEF=A1D2-x2A1D2+x2=155，解得A1D=2x，即F为CD的中点，过F作FO⊥BD，垂足为O，因为A1F⊥平面BCDE，BD⊂平面BCDE，所以A1F⊥BD，又因为A1F∩OF=F，且A1F,OF⊂平面A1OF，所以BD⊥平面A1OF，因为A1O⊂平面A1OF，所以A1O⊥BD，所以二面角A1-BD-C的平面角为∠A1OF，由BC=4x，CD=2x，则BD=BC2+CD2=25x，所以OF=12⋅CD⋅BCBD=255x，因为A1F=A1D2-x2=3x，所以tan∠A1OF=A1FOF=152．13.(2024·高一·安徽宣城·期末)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点，△OCD是边长为2的等边三角形．(1)若AB=22，求直线AB和CD所成角的余弦值；(2)若点E在棱AD上，AE=13AD且三棱锥A-BCD的体积为4，求二面角E-BC-D平面角大小的正弦值．【解析】(1)分别取BC、AC的中点M、N，连接OM，ON，MN，因为О为BD中点，所以MO∥CD，MN∥AB且MO=12CD,MN=12AB，所以异面直线AB和CD所成角(或为邻补角)即为∠OMN，因为AB=AD，O为BD中点，所以AO⊥BD，因为△OCD是边长为2的等边三角形，所以BO=DO=2，MN=12AB=2，MO=12CD=1，又因为平面ABD⊥平面BCD，AO⊥BD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD,所以AO⊥平面BCD，因为OC⊂平面BCD，所以AO⊥OC，由OC=OD，得△AOC≌△AOD，得AC=AD=AB=22．在直角三角形△AOC中，则ON=12AC=2，在△MON中，根据余弦定理得，cos∠OMN=MN2+MO2-ON22MN⋅MO =(2)2+1-(2)22×2×1=24或cos∠OMN=122=24所以直线AB和CD所成角的余弦值为2 4．(2)过点E作EN∥AO交BD于N．过点N作NM∥CD交BC于点M，连接ME，因为EN∥AO且AO⊥BD，所以EN⊥BD，因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，EN⊂平面ABD，所以EN⊥平面BCD，因为BC⊂平面BCD，所以EN⊥BC，在△BCD中，因为OB=OD=OC，所以BC⊥CD，因为NM∥CD，所以MN⊥BC，因为MN∩EN=N，MN,EN⊂平面MNE，所以BC⊥平面MNE，因为ME⊂平面MNE，所以BC⊥ME，所以∠EMN为所求的二面角E-BC-D的平面角，因为S△BCD=12BD⋅CD⋅sin∠BDC=12×4×2×32=23，因为V A-BCD=13S△BCD⋅OA=13×23⋅OA=4，所以OA=23，又因为AE=13AD，EN∥AO，所以ENAO=DEDA=23，得EN=23OA=433，因为NM ∥CD ，所以MN CD=BN DB =46=23，因为CD =2，所以MN =43．又EN =433，所以3MN =EN ．所以tan ∠EMN =EN MN =3，所以sin ∠EMN cos ∠EMN =3，得sin ∠EMN3=cos ∠EMN ，因为sin 2∠EMN +cos 2∠EMN =1，sin ∠EMN >0，所以解得sin ∠EMN =32．所以二面角E -BC -D 平面角大小的正弦值为32.14.(2024·高一·福建福州·期末)如图，四棱锥P -ABCD 的侧面PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 为正方形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为AB ，AD 的中点.(1)求证：DM ⊥PC ；(2)在线段PB 上是否存在一点Q 使得MQ ⎳平面PNC ，存在指出位置，不存在请说明理由.(3)求二面角B -PC -N 的正弦值．【解析】(1)∵△PAD 为正三角形，N 为AD 中点，∴PN ⊥AD ，又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，PN ⊂平面PAD ，∴PN ⊥平面ABCD ，DM ⊂平面ABCD ，∴PN ⊥DM ，在正方形ABCD 中，易知△DAM ≌△CDN ，∴∠ADM =∠DCN ，而∠ADM +∠MDC =90°，∴∠DCN +∠MDC =90°，∴DM ⊥CN ，∵PN ∩CN =N ，PN ,CN ⊂平面PNC ，∴DM ⊥平面PNC ，∵PC ⊂平面PNC ，∴DM ⊥PC ．(2)存在，当BQ =14BP时MQ ⎳平面PNC ，取BE 的四等分点E (靠近B )，取BP 的四等分点Q (靠近B )，连接ME 、EQ 、MQ ，则QE ⎳PC ，QE ⊄平面PNC ，PC ⊂平面PNC ，所以QE ⎳平面PNC ，由BM DC=BE DN =12，所以△MBE ∽△CDN ，所以∠EMB =∠DCN ，又∠EMB +∠MEB =90°，∠DCN +∠NCB =90°，所以∠NCB =∠MEB ，所以ME ⎳NC ，ME ⊄平面PNC ，NC ⊂平面PNC ，所以ME ⎳平面PNC ，又ME ∩QE =E ，ME ,QE ⊂平面MEQ ，所以平面MEQ ⎳平面PNC ，MQ ⊂平面MEQ ，所以MQ ⎳平面PNC ，即当BQ =14BP时MQ ⎳平面PNC .(3)取DC 的中点F ，连接BF 交NC 于点G ，过点G 作GH ⊥PC 交PC 于点H ，连接BH ，则DF ⎳BM 且DF =BM ，所以四边形DFBM 为平行四边形，所以BF ⎳DM ，又DM ⊥平面PNC ，所以BF ⊥平面PNC ，PC ⊂平面PNC ，所以BF ⊥PC ，又GH ∩BF =G ，GH ,BF ⊂平面GHB ，所以PC ⊥平面GHB ，BH ⊂平面GHB ，所以PC ⊥BH ，所以∠BHG 为二面角B -PC -N 的平面角，因为△BCF ∽△CGF ，所以BC CG =CF FG =BF CF，又CG =BC ⋅CF BF =255，所以FG =55，BG =455，又△CGH ∽△CPN ，所以CG CP =GHPN ，又CN =22+12=5，PN =22-12=3，PC =5 2+3 2=22，即25522=GH 3，所以GH =3010，所以BH =30102+4552=142，所以sin ∠BHG =BG BH =455142=47035，故二面角B -PC -N 的正弦值为47035.。
二面角练习题
二面角练习题二面角是指平面内两条相交线所形成的两个相对的角，也可以理解为两个线之间的夹角。
它在几何学和图形学中有着重要的应用，不仅能帮助我们理解线的交叉情况，还能用于求解各种几何问题。
本文将介绍二面角的基本概念和性质，并提供一些练习题供读者练习。
一、二面角的定义和基本性质1. 二面角定义：平面内两条相交线所围成的两个角称为二面角。
2. 二面角分类：二面角可分为锐角、直角和钝角三种类型，具体分类取决于两条相交线的夹角大小。
3. 二面角的度量：二面角的度量单位通常采用度（°）或弧度（rad）。
一般情况下，我们使用度数度量二面角。
4. 二面角的性质：- 锐角的二面角度数在0°~90°之间；- 直角的二面角度数为90°；- 钝角的二面角度数在90°~180°之间；- 二面角的度数和为180°。
二、二面角的练习题下面是几道关于二面角的练习题，通过解答这些题目，读者可以更好地理解二面角的概念和性质。
题目一：在平面内，一条直线AB与另一条直线CD相交，所成的二面角为60°，求另一侧相对的二面角度数。
解析：根据二面角的性质，两个相对二面角的度数和为180°。
所以，另一侧相对的二面角度数为180° - 60° = 120°。
题目二：如图所示，平面内有两条相交的直线AB和CD，以及一条过点B并垂直于CD的直线BE。
若BE与CD的夹角为70°，求∠BAD的度数。
解析：由题目可知，∠ABE和∠BED为相对的二面角。
根据二面角的性质，∠ABE的度数为70°。
又∠ABE和∠BAD互为补角，所以∠BAD的度数为180° - 70° = 110°。
题目三：在平面内，一条直线AB与另一条直线CD相交，所成的二面角为120°，求另一侧相对的二面角度数。
解析：根据二面角的性质，两个相对二面角的度数和为180°。
二面角的几种求法
二面角的几种求法二面角的几种求法4.1概念法顾名思义，概念法指的是利用概念直接解答问题。
例1：如图2所示，在四面体ABCD 中，AC =AB =1, CD =BD =2, AD =3。
求二面角A -BC -D 的大小。
图2分析：四面体ABCD 的各个棱长都已经给出来了，这是一个典型的根据长度求角度的问题。
解：设线段BC 的中点是E ，接AE 和DE 。
CD =BD =2，根据已知的条件AC =AB =1，可以知道AE ⊥BC 且DE ⊥BC 。
又BC是平面ABC 和平面DBC 的交线。
根据定义，可以得出：∠AED 即为二面角A -BC -D 的平面角。
可以求出AE =，DE ，并且AD =3。
2根据余弦定理知：AE +DE -AD=2AE ⨯DE222cos ∠AED =2+2-327=- 47即二面角A -BC -D 的大小为π-arccos 。
4同样，例2也是用概念法直接解决问题的。
例2：如图3所示，ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，PB =AB =1，求二面角A -PD -C 的大小。
图3解：作辅助线CE ⊥PD 于点E ，连接AC 、AE 。
由于AD =CD ，PA =PC ，所以三角形PAD ≅三角形PCD 。
即AE ⊥PD 。
由于CE ⊥PD ，所以∠AEC 即为所求的二面角的大小。
通过计算可以得到：PC，PD =，又CD =1，在三角形PCD 中可以计算得到CE =。
由此可以得到：AE =CE =，又AC =。
22222+-2AE +CE -AC 1由余弦定理：cos ∠AEC ===- 22AE ⋅AC 22⋅32π即：∠AEC =。
34.2空间变换法空间变换法指的是基本的空间方法，包括三垂线法、补角法、垂面法、切平面法等方法。
下面用例3介绍三垂线法、补角法和垂面法。
例3：如图4所示，现有平面α和平面β，它们的交线是直线DE ，点F 在平面α内，点C 在平面β内。
求二面角F -DE -C 的大小。
求解二面角问题的基本方法
求解二面角问题的基本方法二面角问题是一个在几何学中的重要概念，它用来描述两个平面或两条直线之间的夹角。
在本文中，我们将解释二面角问题的基本方法，并介绍一些常见的应用。
首先，我们来了解一下二面角的定义。
二面角是指由两个平面或两条直线构成的夹角，其中一个平面或直线位于另一个平面或直线的一侧。
二面角的大小可以用度或弧度来表示。
解决二面角问题的基本方法有以下几步：1.确定问题类型：首先要确定问题是关于平面二面角还是直线二面角。
对于平面二面角，需要考虑两个平面的法向量，而对于直线二面角，则需考虑两条直线的方向向量。
2.确定坐标系：选择一个合适的坐标系来描述问题。
这可以是笛卡尔坐标系、极坐标系或其他适用的坐标系。
3.确定向量表示：将平面或直线用向量表示。
对于平面，可以用平面的法向量来表示，对于直线，可以用线的方向向量来表示。
4.计算夹角：根据向量的性质，可以使用内积或向量运算来计算二面角。
对于平面二面角，通过计算两个平面的法向量之间的夹角来获得结果。
对于直线二面角，可以计算两条直线的方向向量之间的夹角。
5.考虑特殊情况：在计算二面角之前，需要考虑一些特殊情况，例如平行的平面、重合的直线等。
在这些情况下，二面角将无法确定或不存在。
6.应用：解决二面角问题后，可以将该概念应用于一些实际问题中。
例如，在工程或建筑领域中，二面角可用于计算建筑物或结构物的角度或距离。
除了以上的基本方法，还有一些常见的应用问题可以使用二面角来解决1.碰撞检测：通过计算两个物体的二面角，可以确定它们是否会碰撞。
如果二面角为零，则表示物体发生了碰撞。
2.相交判定：通过计算两个平面或两条直线的二面角，可以判断它们是否相交。
如果二面角为零，则表示它们相交。
3.雷达信号处理：在雷达系统中，通过计算接收到的信号与发送信号之间的二面角，可以确定目标物体的位置和速度。
4.机器人定位：通过计算机器人与周围环境之间的二面角，可以确定机器人的位置和姿态，以实现定位和导航。
高中数学二面角
高中数学二面角
【实用版】
目录
1.二面角的定义
2.二面角的性质
3.二面角的计算方法
4.二面角在实际问题中的应用
正文
一、二面角的定义
二面角是指两个平面之间的夹角，它是一个重要的几何概念。
在高中数学中，我们主要研究直二面角和斜二面角。
直二面角是指两个平面垂直相交时所成的角，斜二面角是指两个平面不垂直相交时所成的角。
二、二面角的性质
1.二面角具有平滑性，即它的大小可以在 0°到 180°之间连续变化。
2.二面角具有可塑性，即可以通过平移、旋转等操作变换成其他二面角。
3.二面角具有不变性，即在不同的坐标系下，二面角的大小和形状保持不变。
三、二面角的计算方法
1.直接法：通过画图，直接测量二面角的大小。
2.间接法：通过计算二面角所在的三角形的边长和角度，利用三角函数求解二面角的大小。
3.向量法：利用向量的内积和叉积求解二面角的大小。
四、二面角在实际问题中的应用
1.解决立体几何问题：二面角在立体几何中有广泛的应用，例如求解立体图形的表面积、体积等。
2.解决光学问题：在光学中，二面角可以用来描述光线的传播方向和角度。
3.解决物理问题：在物理中，二面角可以用来描述物体的转动和形状变化。
解答二面角问题的两种途径
二面角问题是高中立体几何中的一类常见题目.虽然此类问题的命题方式多种多样，但解题的方法却是大同小异.因此在解答二面角问题时，我们要学会“以不变应万变”，牢牢抓住题目的特点,选择合适的解题方法和思路进行求解.本文主要介绍以下两个求解二面角的办法.一、构造三垂线在解题时,我们常根据二面角的平面角的定义来添加辅助线,构造三垂线，利用三垂线定理来解题.如图1所示，已知平面α、平面β和线段l ，假设α-l -β为锐二面角，过平面α内一点P 作一条垂直于面β的垂线PA 交平面β于A 点，过点A 作线段l 的垂线AB 交线段l 于B 点，连接P 、B 就可以得到一个直角三角形PAB ，根据三垂线定理可知，线段PB ⊥l ，那么∠PAB 就是锐二面角α-l -β的平面角.通过解直角三角形PAB ，便可求得∠PAB 的大小.例1.已知一个棱长都等于4的正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，BC 的中点是E 点，侧棱CC 1上有一动点F ，且不会与C 点重合.假设二面角C -AF -E 的大小是θ，求二面角的正切的最小值.解：如图2所示，过E 作EN ⊥AC 于点N ，过N 作MN ⊥AF 于M ，连接M ,E .由正三棱柱的性质可得EN ⊥侧面A 1C ，由三垂线定理可知EM ⊥AF ，因此∠EMN 是二面角C -AF -E 的平面角，即∠EMN =θ.设∠CAF =α，那么0°<α≤45°，在Rt△CNE 中，NE =EC ∙sin 60°=3.在Rt△AMN 中，MN =AN ∙sin α=3sin α，因此tan θ=NE MN.又因为0°<α≤45°，所以0<sin α≤，因此当sin α=时，tan θ.解答本题主要根据二面角的平面角的定义构造出三垂线，然后运用三垂线定理证明∠EMN 是二面角C -AF -E 的平面角.在构造三垂线时，要注意抓住几何体的特点和几何图形中的垂直关系.二、构造垂面构造二面角棱的垂面也是解答二面角问题的常用办法.有些二面角的平面角借助二面角棱的垂面更加方便作出.作二面角棱的一个垂面，需过棱上一点分别作两个半平面的垂线，将两个垂足和已知点连接起来所形成的平面就是垂直于二面角棱的一个垂面.然后在垂面内运用平面几何知识就可求得二面角的大小.例2.空间中有一点P 到二面角α-l -β中的两个半平面α，β和棱l 的距离分别是，求二面角α-l -β的大小.解：如图3所示，分别作平面α，β的垂线PA 垂直于平面α交于A 点，PB 垂直于平面β交于B 点，连接P ,A ,B ，则l ⊥平面PAB ，设l 与平面PAB 相交于点C ，连接P ,C ，可得l ⊥PC .在直角三角形PAC ，PBC 中，PC=，PA =4，PB =3，那么AC=，BC.因为P ,A ,C ,B 四点共圆，则PC 是直径，设PC =2R ，二面角α-l -β的大小是θ.根据余弦定理可得AB 2=AC 2+BC 2-2AC ∙BC cos θ=PA 2+PB 2-2PA ∙PB ∙cos ()π-θ，解得cos θ=-12，θ=120°，因此二面角α-l -β的大小是120°.我们通过作二面角的两个半平面的垂线，构造出二面角平面角的垂面PABC ，再在平面PABC 内，运用直角三角形和圆的性质，以及余弦定理求得二面角α-l -β的大小.解答二面角问题的办法，还有很多如采用面积法、投影法等.一般来讲，求解二面角问题主要有三个步骤，即先作出二面角的平面角,然后证明这个角为二面角的平面角,最后求出这个平面角的大小.在这三个步骤里面，前面两个步骤是解题的关键，只要做好这两步，就能轻松解题.(作者单位：安徽省砀山第二中学)华恩亨图1图2图3学考方略43。
高考中的二面角问题课件
二面角的大小可以通过角的度量来衡 量，通常使用角度制或弧度制来表示。 角度制是以度为单位，而弧度制是以 弧长与半径之比来衡量。
二面角的性 质
总结词
详细描述
CATALOGUE
二面角的计算方法
定义法
定义法
根据二面角的定义，通过测量两个平 面的夹角来计算二面角的大小。这种 方法需要使用量角器等工具，适用于 一些简单的二面角问题。
高考中二面角问题的备考建议
熟悉题型，掌握解题思路
掌握二面角的基本概念 掌握解题思路 掌握常见题型解法
多做练习，提高解题能力
大量练习
举一反三
学会总结
注重总结，积累经验
总结解题经验 归纳题型 形成知识体系
THANKS
感谢观看
详细描述 总结词 详细描述
立体几何中的二面角问题
总结词
详细描述
。
总结词
详细描述 总结词 详细描述
CATALOGUE
高考中二面角的常见题型及解析
求二面角的度数
求二面角的平面角
。
求二面角的余弦 值
CATALOGUE
二面角问题的解题策略与技巧
掌握基础知识，理解概念
理解二面角的定义
二面角是两个半平面形成的角，通常用符号“θ”表示。二面角的大小确性，避免误差。
适用于二面角容易测量的简单几何体， 如三角形、矩形等。
垂线法
01
垂线法
02 适用范围
03 注意事项
射影面积法
射影面积法
适用范围 注意事项
向量法
向量法
利用向量的数量积、向量的外积 等性质来计算二面角的大小。这 种方法需要掌握向量的基本性质
和运算规则。
高中数学二面角
高中数学二面角
一、高中数学二面角的概念及性质
二面角是指空间中一个平面围绕一个直线旋转而成的两个平面所形成的角。
它包括平面角和空间角两种类型。
平面角是指两个平面之间的角度，而空间角是指两个平面所夹的角度。
二面角具有以下性质：
1.平面角与空间角的关系：平面角等于空间角的一半。
2.互补性质：二面角的两个平面角互为补角。
3.邻补性质：二面角的两个平面角互为邻补角。
二、高中数学二面角的求解方法
1.利用向量法求解二面角：通过求解两个平面的法向量，计算它们之间的夹角，从而得到二面角的度数。
2.利用坐标法求解二面角：根据空间直角坐标系中点的坐标，计算二面角的余弦值、正弦值和切线值，进而求得二面角的度数。
3.利用三角函数求解二面角：根据三角函数的定义，通过已知角度和边长关系求解二面角。
三、高中数学二面角在实际问题中的应用
1.几何问题：求解三角形、四边形等几何图形的二面角，分析图形的性质。
2.物理问题：在力学、光学等物理学科中，利用二面角研究力的分解、光的折射等问题。
3.工程问题：在建筑、机械等工程领域，利用二面角分析构件的稳定性、
确定最佳角度等。
四、总结与建议
高中数学二面角是空间几何中的重要内容，掌握二面角的求解方法和实际应用对于学生解决实际问题具有重要意义。
在学习过程中，要注重理论知识与实际操作相结合，加强空间想象能力的培养，提高解题能力。
解答二面角问题的三种措施
备考指南理能力.结合实例进行探讨.一、利用定义法一般地，在二面角的棱上选取一点，垂直于棱的射线，的平面角.面角的平面角；角形，根据正余弦定理、例1.如图1，四棱锥S -底面ABCD ，AD =2,DC =SD 点，∠ABM =60°，求二面角S -图1解：过B 点作BF ⊥AM ，过AC ，如图2所示，因为SD ⊥底面ABCD ，所以∠ADS =∠ADC =90°，因为DC =SD =2，所以Δ所以AC =AS ，因为AM ⊥SC ,GF ⊥AM ，中点，的中位线，点G 为AS 的中点，S -AM -B 的平面角，SA =AC =6,BM =2,3，=BF =3，GF 2+BF 2-GB 22GF ∙BF =，-B 的余弦值为最重要的一步便是找到二面角首先要根据二面角的平面角、AMB 及其棱AM ；然后在两BF ,GF ，则∠GFB 即为所求二将问题转.首先需根据题目中给出的来建立空间直角坐标系；然后求m 、n ；再根<m ,n >=m ∙n |m |∙|n |；最后还需根据.P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠BAD =120°，PA =AD =1,AB苏其亮54备考指南=2，M 、N（1）（2）解：（线为x 、y 则A N 12则 CM 设m则{令x 1设n则{n n 令x 2cos <直线为x 要先根据题意寻找垂其与二面然后根据平面几何知识，三角形的性质、平行四边形即可解题.棱锥S -ABC 中，SA ⊥平面垂直平分AC 、SC ，且交AC 、SC =BC ，求二面角E -BD -C 的、DB ，E 是SC 中点，SBC 的中线，则BE ⊥SC ，⋂DE =E ，BE 、DE ⊂平面BDE ，，所以SC ⊥BD .，BD ⊂平面ABC ，、SA ⊂平面SAC ，，平面BDE =DE ，平面SAC ⋂平⊥DC ，E -BD -C 的平面角，，所以SA ⊥AB ,SA ⊥AC ，2,SB =BC =22，AC =23,∠ACS =30°，所以∠EDC =60°，-C 的大小为60°..，DE 垂直平分AC 、SC ，即可.再在直角三角形SAB 、SAC 、即可解题.向量法、垂面法都是解答二面向却比较便捷，能有效.甘肃省白银市靖远县第一中学）55。
例谈求解二面角问题的路径
思路探寻二面角的大小通常用其平面角来表示.在二面角的棱上任取一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.那么如何求作二面角的平面角呢？下面介绍三种路径.一、利用三垂线法三垂线法是指根据三垂线定理或其逆定理来解题.三垂线定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直.三垂线逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直.运用三垂线法求作二面角的平面角，关键是作出一个平面的斜线、垂线以及斜线在另一个平面内的射影，以构造出三垂线.如图1，过平面α内的一点A作AO⊥β于O，过A作AB垂直二面角α-c-β的棱c于B，则BO为斜线AB在平面β内的射影，由三垂线定理可知OB⊥c，则∠ABO为二面角α-c-β的平面角．图1图2例1.如图2，在正四棱锥P-ABCD中，点E、F，O分别是线段BC，PE，BD的中点.(1)求证：OF∥平面PAD；(2)若AB=PA，求二面角F-CD-E的正弦值．解：（1）过程略；（2）设OE的中点为H，连接FH，OP，过H作HI⊥CD，垂足为I，连接FI，如图2.∵P-ABCD为正四棱锥，∴O是正方形ABCD的中心，OP⊥平面ABCD．∵H，F分别是OE，PE的中点，∴FH∥OP，∴FH⊥平面ABCD，∴FH⊥CD，又HI⊥CD，HI⋂FH=H，∴CD⊥平面FHI，可知∠FIH是二面角F-CD-E的平面角.设AB=PA=2，则OE=1，HI=1，PE=PB2-BE2=3，∴PO=PE2-OE2=2．∴FH=12OP=2，FI=FH2+HI2=，∴=FH FI=，即二面角F-CD-E的正弦值为．要确定二面角的平面角，关键是证明FH⊥平面ABCD，于是根据三垂线定理，由HI⊥CD得到FH⊥CD，从而找到了二面角的平面角∠FIH.运用三垂线法求作二面角的平面角，要先找到一个半平面的垂线，以快速确定斜线及其射影.二、运用射影面积法若容易确定二面角的一个半平面在另一个半平面内的射影，则可采用射影面积法解题.先分别求出一个半平面与其射影的面积；再将二者作商，即可得出二面角的余弦值.如图3，若△ABC在另一个平面内的射影为ΔA′B′C′，则二面角的余弦值为cosθ=S射S斜= S△A′B′C′S△ABC.图3图4例2.已知RtΔABC的斜边在平面α内，两条直角边分别与平面α成30°和45°角，则ΔABC所在的平面与平面α所成的锐二面角的余弦值为_______．解：如图4，过点C作CD⊥平面α，垂足为D，连接AD，BD，∵AD,BD,AB⊂平面α，∴CD⊥AD,CD⊥BD,CD⊥AB，设CD=h>0，不妨设AC，BC分别与平面α成30°和45°角，∴BC=2h,AC=2h,AD=3h,BD=h，过C作CE⊥AB，垂足为E，连接ED，∵CD⊥AB，CE⋂CD=C，CE，CD⊂平面CDE，∴AB⊥平面CDE，且DE⊂平面CDE，∴DE⊥AB，即二面角的平面角为∠CED，可得S△ABC=12AB∙CE=12AC∙BC，S△ABD=12AB∙DE=12AD∙BD，∴cos∠CED=DECE=S△ABDS△ABC=12AD∙BD12AC∙BC=，即二面角的余弦值为．张士花47思路探寻由于ΔABC 与ΔABD 的底边相同，所以它们的面积之比就是它们在AB 边上的高之比，不难发现这两个三角形的高CE 和DE 的夹角就是二面角的平面角，可直接运用射影面积法，求得两个三角形ΔABC 与ΔABD 的面积，即可解题.三、采用垂面法由二面角的平面角的定义可知两个半平面的公垂面与二面角的棱垂直，因此公垂面与两个半平面的交线所成的角，就是二面角的平面角.如图5，若平面OABC 为二面角α-a -β的公垂面，则这个二面角的平面角为∠COB .运用垂面法解题，要先根据面面垂直的判定定理证明公垂面与二面角的两个半平面都垂直，才能确定二面角的平面角.图5图6例3.如图6，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AA 1=2，BC =3，E ，F 分别为CD 1，AB 的中点.(1)求证：EF ∥平面BB 1C 1C ；(2)求二面角F -CD 1-D 的余弦值.解：（1）过程略；(2)设CD 的中点为P ，连接FP ，过点P 作CD 1的垂线，垂足为H .在长方体中，由FP ⊥CD 可得FP ⊥CD 1，因为PH ⊥CD 1，PH ⋂FP =P ，所以CD 1⊥平面FHP ，所以FH ⊥CD 1，则∠FHP 为二面角F -CD 1-D 的平面角.因为∠FPH =π2，且FP =BC =3，则HP =12DE=2所以FH =HP 2+FP 2=，所以cos ∠FHP =HPFH .即二面角F -CD 1-D 的余弦值为.运用垂面法解题时，可以找到一个与二面角的棱垂直的平面，那么根据面面垂直的判定定理可知这个平面即为二面角的公垂面.在本题中，我们根据CD 1⊥平面FHP ，确定平面FHP 为二面角的公垂面，从而找到二面角的平面角∠FHP .总之，在求解二面角问题时，我们需根据解题需求，采用三垂线法、射影面积法、垂面法来确定二面角的平面角，再根据平面几何知识，如勾股定理、正余弦定理来求平面角的大小.（作者单位：江苏省淮安市楚州中学）平面向量最值问题的常见命题形式有：（1）求两个向量数量积的最值；（2）求某个向量的模的最值；（3）求参数或代数式的最值.平面向量最值问题具有较强的综合性，对学生的运算和分析能力有较高的要求.下面以一道平面向量最值问题为例，谈一谈解答此类问题的“妙招”.题目：已知平面向量a ,b ,c (c ≠0)满足|a |=1,|b|=2,a ∙b =0,(a -b )∙c =0，若向量d 在a ,b 方向上的投影分别为x ,y ，d -a 在向量c方向上的投影为z ，则x 2+y 2+z 2的最小值为______.题目中给出的条件较多，需先根据题意理清各种关系，根据向量的模的公式、数乘运算法则、数量积公式、投影的定义建立关于x 、y 、z 的关系式，将目标式中变量的个数减少，从而将问题转化为求代数式的最值；再利用配方法、柯西不等式、导数法、数形结合法求解.一、配方配方法只适用于解答含有二次式的代数问题.若平面向量最值问题中的目标式为二次式，则可采用配方法.先将目标式配成完全平方式；然后根据完全平方式恒大于或等于0的性质，令完全平方式为0，即可求得目标式的最小值.解法1.∵a ∙b =0，∴a ⊥b，以a ,b两个向量的起点为原点建立平面直角坐标系，设a =(1,0),b =(0,2),c =(m ,n )，∵(a -b)∙c =0，∴m -2n =0，即m =2n ，∴c =(2n ,n )(n ≠0).∵d在a ,b 方向上的投影分别为x ,y ，∴d =(x ,y )，∵d -a 在c方向上的投影为z ，∴z =(d -a )∙c ||c =，吴仕明48。
二面角相关的问题
二面角相关的问题一、选择题1.二面角是指（ ）A.两个平面所组成的角B.经过同一直线的两个平面所成的图形C.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形D.两个平面所夹的不大于90°的角2.从二面角的棱上一点，在两个半平面上各作一条射线所成的角中（ ）A.二面角的平面角最大B.二面角的平面角最小C.二面角的平面角是最大还是最小，由二面角是否大于90°决定D.二面角的平面角既非最大，也非最小3.已知正方形ABCD ，沿对角线AC 将△ADC 折起，设AD 与平面ABC 所成的角为β，当β取最大值时，二面角B —AC —D 等于（ ）A.120°B.90°C.60°D.45°4.四面体ABCD 的四个面全等，且AB =AC =3，BC =2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小为（ ） A.arccos 31B.arccos 33C.2πD.32π 5.在直角坐标系中，设A （3，2），B （－2，－3），沿y 轴把直角坐标平面折成120°的二面角后，AB 长为（ ） A.23 B.211 C.6 D.42二、填空题1.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，二面角D 1—AC —D 的正切值是________.2.已知α—l —β二面角的度数是60°,面α内一点A 到棱l 的距离为23，则A 到面β的距离为________.3.正方形ABCD ，P 是正方形所在平面外一点，PA ⊥平面AC ，且PA =AB ，则二面角A —PD—C 的度数为________，二面角B —PA —D 的度数为________，二面角B —PA —C 的度数为________，二面角B —PC —D 的度 数为________.4.在60°的二面角α—l —β的面α内一点A 到面β的距离为3,A 在β上的射影为A ′,则A ′到面α的距离为________；异面直线AA ′、l 间的距离为________.5.菱形ABCD 的对角线AC =3，沿BD 把面ABD 折起与面BCD 成120°的二面角后，点A 到面BCD 的距离为________.参考答案一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.C2.B3.B4.C5.B二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1.2 2.3 3.90° 90° 45° 120° 4.23 1 5.43。
立体几何二面角问题
立体证明题(2)1•如图，直二面角D- AB- E中，四边形ABCD是正方形，AE=EB F为CE上的点，且BF丄平面ACE(1) 求证：AE丄平面BCE(2) 求二面角B-AC- E的余弦值.2•等腰△ ABC中, AC=BC= !, AB=2, E、F分别为AC BC的中点，将△ EFC沿EF折起，使得C 到P,得到四棱锥P- ABFE且AP=BP=W.(1)求证：平面EFP1平面ABFE(2)求二面角B-AP- E的大小.图1 囹2PADL 底面ABCD 且ABCD 3•如图，在四棱锥 P- ABCD 中，底面是正方形，侧面 PA=PD=2 AD,若E 、F 分别为PC BD 的中点.(I) 求证：EF//平面PAD4•如图：正△ ABC 与Rt △ BCD 所在平面互相垂直，且/ BCD=90°,Z CBD=30°(1) 求证：AB 丄CD5•如图，在四棱锥 P- ABCD 中，平面PADL 平面ABCD ^ PAD 是等边三角形，四边形是平行四边形，/ ADC=120 , AB=2AD(n) 求证: CEF 丄平面PDC(2) 求二面角 D- AB- C 的正切值.(1)求证：平面 PADL 平面 PBD6•如图，在直三棱柱ABC- A i BQ 中，/ ACB=90°, AC=CB=CC2, E是AB中点.(I)求证：AB丄平面A i CE(H)求直线AG与平面A i CE所成角的正弦值.7•如图，在四棱锥P- ABCD中, PA丄平面ABCD / DAB为直角，AB// CD, AD=CD=2AB=2E, F分别为PC, CD的中点.(I)证明：AB丄平面BEF;(H)若PA= ，求二面角E- BD- C.58•如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA丄平面ABCD , PA=AB=AD=2，四边形ABCD 满足AB 丄AD , BC // AD 且BC=4，点M 为PC 中点.(1)求证: DM丄平面PBC ；BE(2)若点E为BC边上的动点，且=-，是否存在实数人使得二面角P- DE - B的余弦值为-?若存在，求出实数3 入的值；若不存在，请说明理由.EC10. 如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形AB=2CD=2B, EA L EB(1)求证：EA L平面EBC ABE所在的平面互相垂直, AB// CD, AB丄BC,9•如图，ABED是长方形，平面ABEDL平面ABC AB=AC=5 BC=BE=6且M是BC的中点(I) 求证：AM L平面BEC(H) 求三棱锥B- ACE的体积；(川)若点Q是线段AD上的一点，且平面QECL平面BEC求线段AQ的长.11. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD// BC, / ADC=90°,平面PADL 底面ABCD O为AD中点，M是棱PC上的点，AD=2BC(1)求证：平面POBL平面PAD12. 如图，三棱柱ABC- ABC中，侧棱AA丄平面ABC △ ABC为等腰直角三角形，/BAC=90，且AB=AA, E、F 分别是CC, BC的中点.(1)求证：平面ABF丄平面AEF;(2 )求二面角B1- AE- F的余弦值.13. 如图，在菱形ABCD中，/ ABC=60°, AC与BD相交于点Q AE丄平面ABCD CF/ AE, AB=AE=2(I )求证：BD丄平面ACFE(II )当直线FQ与平面BDE所成的角为45°时，求二面角B- EF- D的余弦角.14. 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE- BCF和一个正四棱锥P- ABCD组合而成,ADL AF, AE=AD=2(1)证明：平面PADL平面ABFE(2)求正四棱锥P- ABCD的高h，使得二面角C- AF- P的余弦值是—213/ BCA=90°, AC=BC=2 A在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,且BA L AG.(I)求证：AC丄平面A i BC;(H)求二面角A- A i B- C的平面角的余弦值.试卷答案1.【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定.【分析】（1）由已知中直二面角D- AB- E中，四边形ABCD是正方形，且BF丄平面ACE 我们可以证得BF丄AE CB丄AE进而由线面垂直的判定定理可得AE!平面BCE（2）连接BD与AC交于G,连接FG设正方形ABCD的边长为2,由三垂线定理及二面角的平面角的定义，可得/ BGF是二面角B- AC- E的平面角，解Rt△ BFG即可得到答案.【解答】证明：（1）v BF丄平面ACE••• BF 丄AE…•••二面角D- AB- E为直二面角，且CBL AB,• CB丄平面ABE• CB丄AE…•AE丄平面BCE…解：（2）连接BD与AC交于G连接FG设正方形ABCD勺边长为2,•BG丄AC, BG= 一，…•/ BF垂直于平面ACE由三垂线定理逆定理得FGL AC•Z BGF是二面角B- AC- E的平面角…由（1）AE!平面BCE 得AE! EB,•/ AE=EB BE==•在Rt△ BCE中 , EC=J H】，［「= 7:,…由等面积法求得「二-I,则nW -汀'•在Rt △ BFG中, _GF 二~_価二GBp 二3故二面角B- AC- E的余弦值为―2.【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定.【分析】(1 )用分析法找思路，用综合法证明•取EF中点0,连接OR OC等腰三角形CEF中有COL EF,即卩ORL EF.根据两平面垂直的性质定理，平面PEF和平面ABFE的交线是EF,且PO L EF,分析得POL平面ABFE故只需根据题中条件证出POL平面ABFE即可利用面面垂直的判定定理证得平面EFP丄平面ABFE(2)根据第一问分析空间位置关系，可建立空间直角坐标线求得平面ABR和平面AER的法向量的所成角，利用向量角和二面角关系，确定二面角大小.【解答】解：(1)证明：在厶ABC中，D为AB中点，0为EF中点.由AC=BC=7, AB=2••• E、F分别为AC BC的中点，••• EF 为中位线，得C0=0D=1 COL EF•••四棱锥P— ABFE中，PO L EF,…2分•••OC丄AB, AD=OD=1 • AO=「,又AP= T, OP=1,•四棱锥P- ABFE中，有AF^A O+O P,即卩OPL AQ…4分又AOH EF=Q EF、AO?平面ABFE• OP丄平面ABFE…5分又OF?平面EFP,•平面EFP!平面ABFE …6分(2 )由(1)知OD OF, OP两两垂直，以0为原点，建立空间直角坐标系(如图)：则 A (1 , - 1 , 0), B ( 1,1, 0), E ( 0, ： , 0), P (0, 0, 1 )-7 分•八、I •-=「•：，丄1， 1 ・1「设y,£,二=(『，, £ )分别为平面AEP平面ABP的一个法向量,则［巴丄f? * * 2 尸。
三棱柱中的二面角问题
三棱柱中的二面角问题
一、问题的提出
在三棱柱中，当底面为等边三角形时，其侧面都是全等的等腰梯形，若我们过三棱柱的某一侧面的两端点作三条截面直线，它们两两相交，则可构成一个二面角。
此时，这三条截面直线两两之间的夹角是否都等于这个二面角的平面角呢？这是值得我们深入探讨的问题。
二、问题的假设
我们假设三棱柱的底面为等边三角形，侧面为全等的等腰梯形。
过三棱柱的某一侧面的两端点作三条截面直线，它们两两相交，构成一个二面角。
假设这三条截面直线两两之间的夹角等于这个二面角的平面角。
三、问题的分析
首先，我们需要明确二面角的定义。
二面角是由两个半平面和它们之间的棱线所组成的角。
而这个角的大小就是这两个半平面的法线之间的夹角。
其次，我们考虑三棱柱的侧面。
侧面是全等的等腰梯形，而这个等腰梯形的上底和下底分别与三棱柱的底面的两边相平行。
因此，侧面等腰梯形的上底和下底的法线方向与三棱柱的底面的法线方向是平行的。
再次，由于三条截面直线都过三棱柱的某一侧面的两个端点，并且两两相交，所以它们实际上就是侧面等腰梯形的上底、下底和棱线的法线。
因此，这三条截面直线两两之间的夹角就是侧面等腰梯形的上底和下底的法线之间的夹角。
最后，根据二面角的定义，这个夹角应该等于这个二面角的平面角。
所以，我们的假设是正确的。
四、结论
通过以上分析，我们可以得出结论：在三棱柱中，当底面为等边三角形时，其侧面都是全等的等腰梯形。
若我们过三棱柱的某一侧面的两端点作三条截面直线，它们两两相交，则可构成一个二面角。
此时，这三条截面直线两两之间的夹角确实等于这个二面角的平面角。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二面角的问题
1 从空间一点出发的三条射线PA, PB, PC 中，,4
1cos ,600=∠=∠=∠BPC APC APB 求证：二面角B-PA-C 为直二面角.
2 如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在的平面相互垂直，.2,3,90,//0===∠=∠EF AD CEF BCF CF BE
(1)求证：AE//平面DCF;
(2)当AB 的长为何值时，二面角A-EF-C 的大小为600？
3 如图，三角形BCD 内接于直角梯形A 1A2A 3D, A 1D=10 ,AA 1=8 ,沿三角形BCD 的三边把 .)2(;
1,,,,321321的正切值求二面角）求证：（重合于翻折上去，恰好使B CD A CD AB A
A A A CD A BC A BD A --⊥∆∆∆
4 如图斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=
5 ,BC=3 ,BB1 =4 ,<ACB=900 ,侧面A1ACC1垂直底面ABC ,侧棱AA1与底面ABC 所成的角为600.
（1）求证：AC1 垂直平面A1BC ;
（2）求点B1 到 A1BC 的距离；
（3）求二面角C-A1A-B 的正切值.
5 在四棱锥P-ABCD 中，<ABC=<ACD=900 ,<BAC=<CAD=600 ,PA 垂直平面ABCD, E 为PD 的中点，PA=2AB=2.
(1)求四棱锥P-ABCD 的体积；
(2)若 F 为PC 的中点，求证：平面PAC 垂直平面AEF;
(3)求二面角E-AC-D 的大小.
6 如图所示，三角形BCD 与三角形MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面MCD 垂直平面BCD ,AB 垂直平面BCD,.32 AB
(1)求直线AM 与平面BCD 所成角的大小；
(2)求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值.
7 如图，直三棱柱ABC-A1B1B1中，<BAC=900,AB=AC=1AA ，
点M, N 分别是A1B , B1C1 的中点，
（1）证明：MN//平面A1ACC1 ;
（2）若二面角A1-MN-C 为直二面角，求λ的值 .
8 四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA 垂直底面ABCD,PA=AB=2,点E 是棱PB 的中点.
（1）求证：AE 垂直平面PBC ;
（2）若AD=1 ，求二面角 B-EC-D 的平面角的余弦值.。