12.31一次函数与二元一次方程(组)
一次函数与二元一次方程(组)
一次函数的图像和性质
图像
一次函数的图像是一条直线，可 以通过斜率和截距来确定。
斜率
斜率表示了函数的增长速率，可 以通过两点坐标计算得出。
截距
截距表示了函数与y轴的交点， 可以通过x=0来求解。
一元一次方程的定义和解法
1 定义
一元一次方程是一个只包含一个变量的一次 方程，形如ax + b = 0，其中a和b为常数，且a ≠ 0。
2 解法
通过移项和化简，可以逐步求解未知数x的值， 得到方程的解。
二元一次方程组的定义和解法
1 定义
二元一次方程组是一个包含两个变量的一次方程组，形如 ax + by = c dx + ey = f 其中a、b、c、d、e、f是已知的常数，且a、b、d、e不全为0。
2 解法
通过比较系数、消元和代入法，可以求解方程组的未知数x和y的值，得到方程组的解。
一次函数与一元一次方程的关系
1
函数转方程
可以通过将函数转化为方程的形式，找到函数的解。
2
方程转函数
可以通过将方程转化为函数的形式，得到函数的解析式。
3
二者的等价性
在某些情况下，函数与方程是等价的，它们可以互相转化而不改变问题的解。
一次函数与二元一次方程组的关系
线性表示
一次函数可以用于表示二元一 次方程组的每个方程，其中x为 自变量，y为因变量。
解析式
二元一次方程组的解可以转化 为一次函数的解析式。
图像
一次函数的图像可以在坐标平 面上表示二元一次方程组的解。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题和练习
通过一些设计精巧的例题和练习题，巩固对一次函数与二元一次方程(组)的理 解和应用。
数学《一次函数与二元一次方程组》教案
数学《一次函数与二元一次方程组》教案
教案名称：一次函数与二元一次方程组
教学目标：通过本课的学习，学生能够掌握一次函数的基本定义和性质，以及解一元一次方程的方法，进而学习二元一次方程组的解法。
教学重点：一次函数的定义、性质，一元一次方程的解法，二元一次方程组的解法。
教学难点：如何通过图像的分析和代数的运算解决实际问题。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师问学生关于函数和方程的区别，为什么学习函数和方程的理由是什么。
二、知识讲解（30分钟）
1.一次函数的定义、性质
2.一元一次方程的解法
3.二元一次方程组的解法
三、案例讲解（20分钟）
1.通过实例分析，如何运用一次函数解决实际问题。
2.通过实例分析，如何运用二元一次方程组解决实际问题。
四、活动练习（35分钟）
1.课堂练习：练习解一元一次方程、二元一次方程组的方法。
2.讨论小组：分组讨论、解决实际问题的题目。
五、作业布置（5分钟）
布置作业：完成教师布置的课后作业，考试前复习相关知识点。
六、总结（5分钟）
通过本节课的学习，你掌握了哪些知识点？遇到哪些难点和疑问？
教学方法：讲授、分组讨论、课堂练习。
教学手段：多媒体课件，黑板、书本等。
教学资源：教材、课件、习题集。
一次函数与二元一次方程(组)的教学案例和反思
一次函数与二元一次方程（组）的教学案例和反思上周我完成了一次函数与二元一次方程（组）的教学，在教学中，我不断思索，不断创新。
多注重对学生的合作意识和自我探究能力的培养，在课堂中取得了很好的效果。
一、设计意图我校现采用的数学教材是新人教版，早在本教材的第八章，学生就已经学习了有关二元一次方程及方程组的知识，在本学期进入第十四章《一次函数》的学习之后，学生目前已经了解了有关函数的基本概念和表示方法，能根据已知条件确定一次函数的解析表达式及能画出一次函数的图像，了解如何用函数的观点去认识一元一次方程和一元一次不等式，知道一次函数与它们有着密切的关系。
在教学过程中，我发现我班的学生整体有着较好的数学基础且思维活跃，学生对于数学学习的积极性较高且兴趣浓厚，适合开展探究式学习.因此本节内容我决定以引导学生自主学习，通过活动进行分组合作探究学习的形式作为教学方式，来达到教学目的。
二、过程展示Ⅰ．提出问题，创设情境[师]我们知道，方程3x+5y=8可以转化为y=-35x+85，并且直线y=-35x+85上每个点的坐标（x，y）都是方程3x+5y=8的解．由于任何一个二元一次方程都可以转化为y=kx+b的形式．所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也就是对应一条直线．那么解二元一次方程组358 21 x yx y+=⎧⎨-=⎩可否看作求两个一次函数y=-35x+85与y=2x-1图象的交点坐标呢？如果可以，•我们是否可以用画图象的方法来解二元一次方程组呢？我们这节课就来解决这些问题．Ⅱ．导入新课[活动一]活动内容设计：一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式Ａ以每分钟0．1•元的价格按上网时间计费；方式Ｂ除收月基费20元外再以每分钟0．05元的价格按上网时间计算．如何选择收费方式能使上网者更合算？活动设计意图：通过这个活动，熟悉巩固用一次函数知识求二元一次方程组问题的方法，进一步提高把实际问题转化为数学问题的能力．教师活动：引导学生从实际问题中抽象出具体的数学问题，并应用所学方法求解．学生活动：在教师引导下建立两种计费方式的函数模型，然后比较求解．各小组合作探究。
12.3 一次函数与二元一次方程 教案
12.3 一次函数与二元一次方程教学目标：1. 理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，会用图象法解二元一次方程组;2. 学习用函数的观点看待方程组的方法，进一步感受数形结合的思想方法;3. 经历图象法解方程组的探究过程，学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想．教学重难点：1. 重点：用图像法解二元一次方程组2. 难点：归纳图像法解二元一次方程组的具体方法。
教学过程：一、情境问题导入今天数学王国搞了个家庭Party ，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x+y=5”.二元一次方程和一次函数均让“x+y=5”入座他们的集合。
这是怎么回事？ x+y=5应该坐在哪里呢？学生活动，教师指导，观察、交流、思考。
学生尝试口述一次函数和二元一次方程的关系。
设计意图：激发学生兴趣，引起学生思考，通过学生的共同探究活动，得到一次函数和二元一次方程的关系。
二、新课讲授1、一次函数和二元一次方程的关系：任意一个二元一次方程都可以转化为y ＝kx ＋b 的形式。
试一试：把下列二元一次方程化为一次函数.（1）y-2x=1； （2）3x+2y=6 .2、对于3x 23-y +=这个函数，任意给出自变量x 的一些值，可以求得相应的y 值，列表，教师多媒体出示。
学生填表，师生共同纠正。
表中每一对x 、y 的值代入方程3x+2y=6都成立，所以每组有序数对都是方程3x+2y=6的解.以这些有序数对为坐标，在坐标平面内找出点作图，就得到二元一次方程3x+2y=6的图象.二元一次方程3x+2y=6的图象就是一次函数3x 23-y +=的图象.它是一条直线。
总结归纳：一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数y=kx+b(k 、b 为常数，且k ≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．3、二元一次方程组的图像解法。
思考：一个二元一次方程组可以写出两个一次函数，那么，二元一次方程组的解与这两个一次函数的图像有什么联系呢？在同一个直角坐标系中，画出下列二元一次方程的图象.（1） x+2y=2; （2）2x-y=-6学生作图，教师巡回指导，要求作图的严密性，直接影响结果的对与错。
12.3 一次函数与二元一次方程
梦栖皖水江畔 心驻黄山之巅 情系安徽学子 相约《点拨训练》
然后设直线A′B′对应的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
并将A′(3，2)，B′(6，5)的坐标代入y＝kx＋b中，得方
程组
解得
最后求得直线A′B′对应的
3k b 2, k 1,
函数表6达k 式b 为5y,＝x－1.b则在1解, 题过程中他运用到的数学
思想是( )
A．分类讨论与转化思想 B．分类讨论与方程思想 C．数形结合与整体思想 D．数形结合与方程思想
第十二章 一次函数
第3节 一次函数与二元一次方程
1
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1．直线y＝kx＋b(k≠0)对应的函数表达式就是一个关于x，
y的____二__元__一__次_____方程；以关于x，y的二元一次方程 y－kx＝b(k≠0)的解为坐标的点组成的图象就是一次函
数_______________的图象．
k1 k2
x x
b1 , b2 ,
x a,
y
b,
返回
知识点 1 一次函数与二元一次方程的关系
1．(中考·呼和浩特)以下四条直线，其中直线上每个点 的坐标都是二元一次方程x－2y＝2的解的是( ) C
返回
2．在同一平面直角坐标系中有两条直线：L1：y＝ 3 x 5
＋ 9 和L2：y＝－ 3 x＋6，它们的交点为P，L1与x 轴交5 于点A, L2与x2轴交于点B.求：
√
点拨 6题 返回
点拨： 根据轴对称的性质属于形，点的坐标属于数，可知
运用了数形结合的数学思想；根据解方程组，求得未 知数的值，可知运用了方程思想．
二元一次方程组与一次函数
二元一次方程组与一次函数一、定义和性质：ax + by = cdx + ey = f其中a、b、c、d、e、f是已知的实数，且a和d不同时为0。
在二元一次方程组中，有以下性质：1.若方程组中的两个方程的系数比例相同，则这个方程组无解或有无数多个解。
2.三个线性方程的组合也仍然是满足二元一次方程组性质的。
二、解法：1.消元法：通过将一个方程的任意倍数加到另一个方程上，消去一个未知数的项，从而得到一个关于另一个未知数的一次方程。
根据得到的方程解出一个未知数的值，再带入到另一个方程中求得另一个未知数的值。
2.代入法：将一个方程的一个未知数表达式代入到另一个方程中，从而得到一个只含有一个未知数的方程。
根据这个方程解出一个未知数的值，再带入到另一个方程中求得另一个未知数的值。
3.矩阵法：将方程组的系数和常数项构成矩阵，然后通过矩阵的运算方法（如行列式、逆矩阵等）求解未知数。
解方程组的关键是找到合适的方法和技巧。
对于一些特殊的方程组，还可以利用几何方法进行解答。
三、二元一次方程组与一次函数的关系：从形式上看，二元一次方程组和一次函数都是关于未知数的一次方程。
一次函数是变量的对应关系，而二元一次方程组是未知数之间的关系。
将二元一次方程组写成矩阵形式为：..[ab][x]=[c][de][y][f]可以将这个方程组解释为从二维平面上的两条直线的交点。
其中x和y分别是直线的横坐标和纵坐标，a、b、c、d、e、f是直线的特征系数。
而一次函数可以看作是二维平面上一条直线，其斜率m和常数项c与二元一次方程组的系数有关。
对于方程组中的第一个方程ax + by = c，其可以表示为 y = (-a/b)x + c/b，其中(-a/b)表达了直线的斜率m，c/b表达了直线的截距c。
因此，一次函数和二元一次方程组在形式上和几何意义上都有相似之处，但是在概念上有明显的区别。
总结：本文从定义、性质、解法以及与一次函数的关系等几个方面进行了对二元一次方程组的介绍。
二元一次方程组和一次函数的关系
二元一次方程组和一次函数的关系一次函数和二元一次方程组都是数学中常见的概念，它们之间存在着紧密的联系。
在本文中，我们将探讨二元一次方程组和一次函数之间的关系，并了解它们在数学中的应用。
首先，让我们回顾一下一次函数的定义。
一次函数也被称为线性函数，它的一般形式可以表示为y=mx+b，其中m和b分别代表斜率和截距。
一次函数的图像是一条直线，它具有恒定的斜率和截距。
与一次函数相似，二元一次方程组也是由线性关系构成的。
二元一次方程组由两个方程组成，每个方程都包含两个变量，并且变量的最高次数为1。
一般形式可以表示为：a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2在这里，a1、b1、c1、a2、b2和c2都是已知的常数。
解二元一次方程组的目标是找到一对解(x,y)，满足方程组中的两个方程。
现在让我们来看一下一次函数和二元一次方程组之间的关系。
事实上，一次函数可以看作是只有一个方程的二元一次方程组。
回想一下一次函数的一般形式y=mx+b，我们可以将它重写为：mx+(-1)y=b这里，我们可以看到a=m，b=-1，c=b。
因此，可以将一次函数转化为二元一次方程组的形式。
同样地，我们可以将二元一次方程组转化为一次函数的形式。
假设我们已经解得方程组的解(x,y)，那么我们可以将其中一个方程重写为y=mx+b的形式，其中斜率m为a1/b1，截距b为c1/b1。
这种转化的过程为我们提供了一种方法来理解和解决二元一次方程组和一次函数之间的问题。
通过将方程组转化为一次函数，我们可以更直观地看到方程组的解代表了什么，以及如何将其表示在坐标系中的直线上。
除了上述关系，二元一次方程组和一次函数在数学中还有许多应用。
它们可以用于建模现实世界的问题，如经济学、物理学和工程学等领域。
通过将实际问题转化为方程组或一次函数，我们可以利用数学工具和技巧来解决这些问题，从而得出有关变量之间关系的重要信息。
综上所述，二元一次方程组和一次函数之间存在着密切的联系。
二元一次方程组和一次函数的关系
在数学中，二元一次方程组和一次函数有着密切的关系。它们都是描述线性 关系的工具，而方程组是由多个方程组成的系统。
什么是二元一次方程组？
二元一次方程组是由两个方程组成的系统，其中每个方程都是二元变量的一 次函数，例如： 2x + 3y = 7 4x - y = -2
什么是一次函数？
方程组的解的意义
方程组的解表示了使得所有方程都成立ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数值对。它可以用来解决实际问题，如找到两个变量之间的关系或计 算未知变量的值。
方程组和函数的图像
方程组和一次函数都可以用图像来表示。方程组的图像是表示所有方程成立 的点的集合，而一次函数的图像是表示线性关系的线。
实际问题的应用举例
二元一次方程组和一次函数在各个领域中都有广泛的应用。例如，它们可以 用于解决经济学中的供求关系、物理学中的运动问题以及工程学中的优化问 题。
一次函数是一种线性函数，其表达式为y = mx + b，其中m和b是常数，x是自变量，y是因变量。
二元一次方程组和一次函数的 关系
二元一次方程组可以看作是由两个一次函数组成的系统，通过求解方程组， 可以得到使得两个函数的交点坐标成立的值。
方程组求解的方法
有多种方法可以求解二元一次方程组，例如代入法、消元法和图像法。每种 方法都有其特定的应用场景和适用性。
人教版八年级数学下《一次函数与二元一次方程(组)》知识全解
《一次函数与二元一次方程（组）》知识全解课标要求理解一次函数与二元一次方程组的联系，用一次函数的观点认识二元一次方程组，会应用它们解决实际的问题。
知识结构一次函数与二元一次方程的关系任何一个关于x,y的二元一次方程ax+by=c，都可以化为一个一次函数一般形式y=kx+m 的形式。
我们也可以理解为二元一次方程就是一个一次函数，只不过不是一次函数的一般形式。
既然每个二元一次方程都对应着一个一次函数，那么也就对应着一条直线，直线上每个点地横、纵坐标都是方程的一组解。
一次函数与二元一次方程组的关系明白了一次函数与二元一次方程的关系，我们很容易知道，二元一次方程组中的两个方程对应着两条直线，这两条直线的交点既在第一条直线上，又在第二条直线上，那么点的坐标应该满足两个解析式都成立，即为方程组的解。
内容解析一次函数和二元一次方程式互相统一的，二者的关系较之一次函数与一元一次方程及一元一次不等式更为密切。
每一个二元一次方程都是一个一次函数，所以每一个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等，以及这个值是多少；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。
用函数观点看方程（组）与不等式是数形结合思想的又一体现，它教给我们从另一个方位来思考方程（组）与不等式的问题，让人耳目一新，让我们领略了数学思维的多元性，进一步体验了数形结合思想的重要性。
重点难点本节的重点是：用一次函数的观点重新认识二元一次方程（组），将二者统一运用到解决有关问题中。
难点是：能把它们统一起来．解决有关问题时，又能根据具体情况灵活地应用这些方法。
教法引导通过举例，让学生体会一次函数与二元一次方程（组）的统一关系。
通过让学生动手画函数图象，掌握用图象来解决二元一次方程（组）的方法。
学法建议学习时要积极动手动脑，通过自己动手画图象，总结体会怎样用一次函数的图象来解决二元一次方程（组）的问题；加强小组间的交流，在不断交流、探讨中发现问题、解决问题。
一次函数与二元一次方程组
2x－y＋3=0 x－2y－3=0
的解有关 系吗?
如果有关系，请说明有怎样的关系？如果 没有关系。请说明理由？
一般地，如果两个一次函数的图象有一个交 点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方 程组的一个解。
一次函数与二元一次方程可以相互 转化，从形式到内容它们都是统一的。
二元一次方程组的解与以这两个方 程所对应的一次函数图象的交点坐标 相对应。
解：由①得: y x 1 由②得: y 2x 1
作出图象： 观察图象得：交点(0,-1) ∴方程组的解为 x=0
y=-1
y
y=x+1
O
x
y=-2x+4
巩固练习
1、以方程2x-y=1的解为坐标的点都在一次函数
_y_=_2_x_-1_的图像上。
2、方程组
x-y=4 3x-y=16
的解是
yx==2，6 由此可知一
解： 由①得: y 2x 4
由②得: y 2 x 4 3
o
作出图象：
观察图象得：交点为(3,-2)
∴方程组的解为 x=3 y=-2
y=2/3x - 4 y
y=-2x+4
你能说一说用图像解二元一次 方程组的一般步骤吗？
写函数，作图象，找交点，下结论
练习：利用图象法解方程组：
x-y=-1 ① 2x+y=1 ②
什么？
1 (0,1)
-5 -4 -3 -2 -1 0 -1
x+y=1
y=-x+1
-x+y=1 y=x+1
1 2 3 4 5x (0,1)
参与讨论
两个一次函数关系式可以写成两个二元一次 方程的形式.一次函数y=2x＋3和y=1/2x－3/2 的图象,与相应的二元一次方程组
一次函数与二元一次方程组的关系
＿
，
ｎ２
是教师按原价付款， 学生按原价的 ７％付款； ８ 第二种 方案是 师生 都按 原价 的 ８％付 款． 校有 ５ 教师 Ｏ 该 名 参加这次活动 ， 试根据 参加 夏令 营学生 人数 ， 择购 选 票付款 的最佳方 案． 分析： 购票付款 的多少 与参 加夏令 营活动 的人数
和选择 哪种 优惠方案有关 ， 可设参 加夏令营活动 的学 生为 人 ， 别建 立两 种优 惠方案 的函 数模 型， 后 分 然 再进行 比较 。
时 ， 线 ｙ ＋ｂ 和直 线 ｙ ２ ＋ｂ 平行 ， 时 直 ＝ｋｚ ＝ｋｚ ２ 此
方程组』 ｌ＋ ， ｍｘ ｎ ３
．
’ 无解
．
１ ２ ｆ ２， （・ ｍ ｘ－ －ｎ ｊ一 ７ ２
（ ） ｋ 一是 ， ｂ ＝ｂ ， ｍ ３ 当 １ ２且 １ ２即 ＿ Ａ—ｍ２ｇｃ － ｔ － － Ｌ＝鱼 － － １
时， 直线 ｙ ＋ｂ 和 直线 ＝是ｚ ２ 合 ， 时 ＝ｋＸ １ ２ ＋６ 重 此
方程组』 ｌ￣ｎｙ ｌ有无数个解 ｍ ｘ ｌ ＝ｃ’
．
．
二、 用一次函数 的图象解二 元一次 方程组 由于二元一 次方程组对应两条直线 ， 二元 一次方 程组 的解就是两 直线的交点坐标 ， 以可 以用 画图象 所 的方法解 二元一次方 程组 ， 解题 步骤是 ： 第一步 写 出 与二元 一次 方程组相对应的两个一次 函数 ； 二步在 第 同一直 角坐标系内画出这两条直线 ； 步确定两直 第三 线 的交 点坐标 ； 四步写 出二元 一次方程组的解． 第
望
５。
ｊ＝ ｚ ， 一 ｆ 一 ＋ｍ ｖ 令
．
一是 ， 一ｂ ， 盟 ＝ 是 ， １ １一 ２
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二元一次方程(组)与一次函数(基础)知识讲解
二元一次方程（组）与一次函数（基础）【学习目标】1.理解二元一次方程与一次函数的关系；2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解；3.能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.【要点梳理】【高清课堂：391660 一次函数与一次方程（组），知识要点】要点一、二元一次方程与一次函数的关系1.任何一个二元一次方程(0,)ax by c a b c +=≠、为常数都可以变形为-(0,)a c y x a b c b b=+≠、为常数即为一个一次函数，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数.2.我们知道每个二元一次方程都有无数组解，例如：方程5x y +=我们列举出它的几组整数解有0,5;x y =⎧⎨=⎩5,0;x y =⎧⎨=⎩2,3x y =⎧⎨=⎩，我们发现以这些整数解为坐标的点（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函数y ＝5+-x 的图像上，反过来，在一次函数x y -=5的图像上任取一点，它的坐标也适合方程5x y +=.要点诠释：1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；2.一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程；3.以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图像与相应一次函数的图像相同.要点二、二元一次方程组与一次函数1. 二元一次方程组与一次函数每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.要点诠释：1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数5y x =-与21y x =-图象的交点为(2，3)，则23x y =⎧⎨=⎩就是二元一次方程组521x y x y +=⎧⎨-=⎩的解. 2.当二元一次方程组无解时，方程组中两方程未知数的系数对应成比例，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数35y x =-与31y x =+的图象就平行，反之也成立.3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.2. 图像法解二元一次方程组求二元一次方程组的解，可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标（即二元一次方程组的图像解法.）所以，解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三种.要点诠释：利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组.相反，求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解.要点三、用二元一次方程组确定一次函数表达式待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给的条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.利用待定系数法解决问题的步骤：1.确定所求问题含有待定系数解析式.2.根据所给条件, 列出一组含有待定系数的方程.3.解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.【典型例题】类型一、二元一次方程与一次函数1、一次函数的图象如图所示，则与此一次函数对应的二元一次方程为（）A．x﹣3y=3 B．x+3y=3 C．3x﹣y=1 D．3x+y=1【答案】A【解析】直线过点（3，0），（0，﹣1）．代入y=kx+b，得到二元一次方程组解方程组得到．∴一次函数解析式为，移向，并将系数化为1得到所对应的二元一次方程x﹣3y=3．【总结升华】每个二元一次方程都对应一个一次函数，因此当求出一次函数的解析式时即也就求出了相应二元一次方程.举一反三：【变式】已知3=x ，2-=y 和0=x ，1=y 是二元一次方程03=++by ax 的两个解，则一次函数b ax y +=的解析式为（ ）A.、32--=x y B 、x y = C.、3+-=x y D 、 33--=x y【答案】D类型二、二元一次方程组与一次函数2、（2016•临清市二模）如图，已知函数y=ax +b 和y=kx 的图象交于点P ，则根据图象可得，关于x 、y 的二元一次方程组的解是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由图可知：两个一次函数的交点坐标为（﹣3，1）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．【答案】C.【解析】解：函数y=ax +b 和y=kx 的图象交于点P （﹣3，1），即x=﹣3，y=1同时满足两个一次函数的解析式．所以关于x ，y 的方程组的解是．【总结升华】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．举一反三：【变式】（2015春•昌乐）在教学活动中我们知道，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，如图，已知直线y=ax ﹣6过点P （﹣4，﹣2），则关于x 、y 的方程组的解是 ．【答案与解析】解：∵x=﹣4时，y=x=﹣2，∴点P（﹣4，﹣2）在直线y=x上，∴方程组的解为．故答案为．3、（2014•东莞模拟）在同一坐标系中画出函数y=2x+1和y=﹣2x+1的图象，并利用图象写出二元一次方程组的解．【思路点拨】利用两点法作出两直线的图象，交点坐标即为方程组的解．【答案与解析】解：如图，两直线的交点坐标为（0，1），所以，方程组的解是．【总结升华】用一次函数图象解方程是解二元一次方程组的又一解法，反映了一次函数与二元一次方程组之间的联系，能直观地看到怎样用图形来表示方程组的解.类型三、用二元一次方程组确定一次函数表达式4、某游泳池内现存水1890（m3），已知该游泳池的排水速度是灌水速度的2倍．假设在换水时需要经历“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”的过程，其中游泳池内剩余的水量y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系如图所示．根据图象解答下列问题：（1）根据图中提供的信息，求排水的速度及清洗该游泳池所用的时间；（2）求灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式，写出函数的定义域．【思路点拨】（1）由图象可知，该游泳池5个小时排水1890（m3），根据速度公式求出即可，求出灌水的速度和时间即可求出清洗该游泳池所用的时间；（2）设灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式是y=kt+b．将（11，0），（21，1890）代入y=kt+b求出即可．【答案与解析】解：（1）∵由图象可知，该游泳池5个小时排水1890（m3），∴该游泳池排水的速度是1890÷5=378（m3/h），由题意得该游泳池灌水的速度是378×=189（m3/h），由此得灌水1890m3需要的时间是1890÷189=10（h），∴清洗该游泳池所用的时间是21﹣5﹣10=6（h），（2）设灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式是y=kt+b．将（11，0），（21，1890）代入y=kt+b，得，解得：k=189，b=﹣2079，即灌水过程中的y（m3）与时间t（h）之间的函数关系式是y=189t﹣2079，（11＜t≤21）．【总结升华】本题考查了一次函数的应用，主要考查学生能否把实际问题转化成数学问题，题目比较典型，是一道比较好的题目．举一反三：【变式】为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：第一套第二套椅子高度xcm 40.0 37.0桌子高度ycm 75.0 70.2（1）请确定y与x的函数关系式？（2）现有一把高39cm的椅子和一张高为78.2的课桌，它们是否配套？为什么？【答案】解：（1）设y=kx+b．根据题意得．解得．∴y=1.6x+11；（2）椅子和课桌不配套．∵当x=39时，y=1.6×39+11=73.4≠78.2，∴椅子和课桌不配套．。
一次函数与二元一次方程组
{
4.若方程组 4.若方程组 { y=-x 的交点坐标为
y=x-2 的解为
{ y=-1
x=1 。
y=y=x则一次函数y=-x与y=x-2图象 一次函数y=
5、根据下列图像，你能说出它表示哪 、根据下列图像， 个方程组的解吗？这个解是什么？ 个方程组的解吗？这个解是什么？
y y=2x-1 5 3 1 -2 0 1 3 5 x y=5-x
y =−2x+2 A. 1 y = x−1 2
y=−2x+2 B. y=−x−1
y =3x−8 C. 1 y = x−3 2
y=−2x+2 D. y=−1 x−1 2
谈谈你今天的收 获或存在的疑惑！ 获或存在的疑惑！
结论： 结论：
二元一次方程组的解是 相应的两个一次函数图象的 交点坐标; 交点坐标; 两个一次函数图象的交 点坐标就是相应的二元一次 方程组的解。 方程组的解。
例1:用图象法解二元一次方程组 1:用图象法解二元一次方程组
x+y=3 x-y=1
1、把两个方程都化成函数表达式的形式。 把两个方程都化成函数表达式的形式。 2、画出两个函数的图象。 画出两个函数的图象。 3写出交点坐标，交点坐标即为方程组的解。 写出交点坐标，交点坐标即为方程组的解。
x + y = 2 8、方程组 x + y = 5
况如何？ 况如何？
解的情
你能从函数角度解释一下吗？ 你能从函数角度解释一下吗？
y 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 O 1 -1 -2 -3 -4 -5 2 3 4 5 6 x
y=-x+5
学案：一次函数与二元一次方程(组)_梁世科
14.3.3 一次函数与二元一次方程（组） 学案学习目标：理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，会用图象法解二元一次方程组。
能综合应用一次函数、二元一次方程（组）解决相关实际问题。
课前预习：课本第127-128页内容一、感知身边数学情境引入：最近新会古兜温泉进行一系列的元旦优惠活动，还打出了“元旦当晚有神秘嘉宾盛情邀请你共跳水上《江南style 》”的广告语。
新会古兜温泉平时的门票标价100元/张，现优惠活动有两种购票方式：方式A 是团队中每位游客按标价9折购票；方式B 是团队中除5张按标价购票外，其余按标价8折购票。
思考：（1）多少人组团前往游玩时？两种购票方式费用相等；（21将方程思考：(1)直线=y （22、探究一次函数与二元一次方程组的关系：二元一次方程组⎩⎨⎧=-=-12853y x y x 中的两个方程对应着两条直线y =__ _____和y=_______， 在同一直角坐标系中（上图）画出它们的图象。
思考：（1）二元一次方程组⎩⎨⎧=-=-12853y x y x 和的解是 ； 直线y=-35x+85与y=2x-1的交点坐标是 。
（2）观察两直线的交点坐标与方程组的解之间有什么关系？由此猜想：是否任意两个一次函数图象的交点坐标都是它们所对应的二元一次方程组的解？3、知识归纳：（1）从“数”的角度看：解方程组相当于考虑，当 为何值时,两个 相等，以及这个函数值是何值。
（2）从“形”的角度看：解方程组相当于确定两条直线的 ，图象法解二元一次方程组的一般步骤是 。
4、抢答题：（1）、以方程3x-y=2的解为坐标的所有点都在一次函数y = 的图象上。
（2）、如图，方程组⎩⎨⎧-=-=+223y x y x 的解是________。
（3）、方程组⎩⎨⎧=-=+132y x y x 的解是________，由此可知, 一次函数y=-2x+3与y=x-1的图象必有一个交点,且交点坐标是________。
【8】12.3 一次函数与二元一次方程组
孙疃中心学校”st”互助学习“三步九环节”学案
年级八学科数学主备教师曹磊审核人年级组长签名班级姓名时间
孙疃中心学校”st ”互助学习“三步九环节”学案之研学案
x
y
O
孙疃中心学校”st ”互助学习“三步九环节”学案之测学案
班级 姓名
1.把下列二元一次方程转化成一次函数的形式.
2.二元一次方程2x+y=1对应的一次函数是 它的图像是一条 ，经过（ 0 ， ）和（ ，0）两点。
二元一次方程3x-2y=1对应的一次函数是 它的图像是一条 ，画这条直线时可以取（ 1， ）和（ ，4 ）两点。
3.一次函数 转化成二元一次方程
一次函数 转化成二元一次方程
4.二元一次方程3x-2y=6对应函数的图像不经过第 象限。
5.二元一次方程 x+2y=5对应函数的图像与x,y 轴分别交于A,B 两点，求三角形OAB 的面积。
6已知直线已知直线y=a-x 和 的交点坐标是（1,3），则a= b=
7.用图像法求下列二元一次方程组的解：
（1） （2）
8直线043:1=+-y x l 与直线02:2=+-b y x l 的交点在y 轴上，求b 的值。
0)1(=-y x 0)2(=+y x 63)3(=+y x 01054)4(=+-y x 131
+-=x y 31
21+=x y b x y +=21
⎩⎨⎧=-=+533y x y x ⎩⎨⎧+-==+422x y y x。
《一次函数与二元一次方程》 讲义
《一次函数与二元一次方程》讲义一、引入在数学的世界里，一次函数和二元一次方程就像是两个亲密的伙伴，它们之间有着千丝万缕的联系。
当我们深入探索，会发现它们的关系既有趣又实用。
我们先来回顾一下什么是一次函数和二元一次方程。
一次函数的一般形式是 y ＝ kx ＋ b（k，b 为常数，k ≠ 0），它的图像是一条直线。
二元一次方程的一般形式是 Ax ＋ By ＝ C（A，B 不同时为 0）。
那它们之间到底有着怎样的神秘联系呢？让我们一起来揭开这层面纱。
二、一次函数与二元一次方程的关系1、以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的一次函数的图像上比如，对于二元一次方程 2x y ＝ 1，我们可以通过变形得到 y ＝2x 1。
然后随便选取几个 x 的值，比如 x ＝ 0 时，y ＝－1；x ＝ 1 时，y ＝ 1。
以（0，－1）和（1，1）为坐标的点就在函数 y ＝ 2x 1 的图像上。
2、一次函数图像上的点的坐标都是相应的二元一次方程的解还是以 y ＝ 2x 1 为例，图像上任意一点的坐标（x，y）都满足方程 2x y ＝ 1。
3、二元一次方程可以看作两个一次函数对于方程 2x y ＝ 1，我们可以变形为 y ＝ 2x 1 或者 x ＝（y ＋ 1）／ 2 ，这样就得到了两个一次函数。
三、从图像角度看一次函数与二元一次方程的解1、两条直线的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解比如，有两个一次函数 y ＝ 2x 1 和 y ＝ x ＋ 3，我们可以通过联立方程组来求解它们的交点。
＼＼begin{cases}y ＝ 2x 1 ＼＼y ＝ x ＋ 3＼end{cases}＼将第一个方程代入第二个方程中，得到 2x 1 ＝ x ＋ 3，解得 x ＝4/3 ，再将 x 的值代入任意一个方程，得到 y ＝ 5/3 。
所以交点坐标为（4/3，5/3），这个坐标就是这个二元一次方程组的解。
2、当两条直线平行时，相应的二元一次方程组无解如果两个一次函数的斜率相等，即k 值相等，那么它们的图像平行，此时对应的二元一次方程组无解。
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①方程化成函数
一般步骤
②画出函数图像 ③找出图像交点坐标
④写出方程组的解
小结
从数的角度看
解二元一次方程组
从形的角度看
当自变量为何值时两
个函数的值相等，以 及这个函数值是何值。
解二元一次方程组
确定两条直线 交点的坐标
数形结合思想。
ax by c ①
1
与
y 2x 2 的图象的交点
坐标为 （2，2） .
3．根据下列图象，你能说出哪些方程组的解?这些解
是什么?
y y=2x-1 y 1 x y y x 3
2
(-2,1)
1 (1,1)
1
o1
x
-2 0
x
y=-3x+4
2x y 1 3x y 4
x 2y 0 x y 3
通过以上探讨我们知道，用图像法解二元 一次方程组时，应先在同一平面直角坐标系内 画出这两个二元一次方程的图像，这两条直线 若相交，其交点的坐标，就是方程组的解。
第一课时
探究活动 1.方程3x +2y=6的解有多少个？
你能画出以这个方程的解为坐标的所 有点组成的图形吗？
2.你能将方程3x +2y=6化成一次函数 的形式吗？
x
... -2 -1 0 1 2 3 ...
y=-1.5x+3 ...
...
3x +2y=6
y=-1.5x+3
二元一次 方程
一次函 数
1、若方程组
mx ny p
中两个二元一次方程的
②
图像如图所示，则此方程组的解是？
答：两直线交于（2，-1）
此方程组的解是
x 2
y
1
-1
2
若求直线 y = 3 x + 8 与 y = 2 x - 1直线的交点 55
坐标，你有哪些方法?分析各种方法的利弊．
形
解法思路l：画出图象找出交点，确定交点坐标近 似值．(因作图误差可能有较大差别)
若按方式B则收费y2=0.05x+20元
在同一直角坐标系中分别画出这 两个函数的图象
y/元
两图象交于(400,40) 20
这表示当x=400时，两个函数的值都等
如何于选40择.因收此费上网方时式间能为使40上0分网，者两更种合计费算? 0
方式相等（都是40元）
y1=0.1x
●
y2=0.05x+20
400
x/分
例2：利用图像解方程组
y
5 2
x2
(1)转化
y
5 2
x2
(2)画图
这两条直线有怎样的位置 关系？有多少个交点？
因为两直线重合， 所以方程组有无数 组解。
5x-2y=4 10x-4y=8
y
o
y 5x2 y 52 x 2
2
x
例3：利用图像解方程组
(1)转化
y= -x-2 y= -x+2.5
(2)画图
（3）两条直线有什么 位置关系？方程组解的 情况怎样？
两直线平行，无交点， 故方程组无解。
x+y=-2
2x+2y=5
y
y= -x+2.5
0
x
y= -x-2
通过以上学习你能发现二元一次方程组的解
有几种情况？
二元一次方程组 y=k1x+b1 的解有以下三种情
况
y=k2x+b2
①只有一组解（当k1 ≠ k2 时，两直线相 交只有一个交点）
结 论：任意一个二元一次方程都可以转化
为y=kx+b（k不为0）的形式，所以每个二 元一次方程都对应一个一次函数，于是对 应一条直线。
下面有序数对，哪些是方程3x +y=6的解?
A（2，0）、B（3，－3）、C（5，-9）、 D（6，-10）、E（-2，10）
➢点A、点B、点C
这些有序实数对在一次函数y=-3x+6的图像上吗？
解法思路2：由解方程组，得到交点坐标．(把形 的问题归结为数的解决，便捷准确)
数
一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式 A以每分0.1元的价格按上网时间计费;方式B初收月 租费20元外再以每分0.05元的价格按上网时间计费. 上网时间多少分，两种计费方式相等？
解:设上网时间为x分,若按方式A则收费y1=0.1x元;
x 2 y 3 利用函数图象解二元一次方程组 3x y 5
解：3xx2
y y
3 5
在同一坐标系分别画出 1
3
fx =
x+
2
2
y 1 x 3
二画图 gx = -3x+5
22
和y=–3x+5的图象
转化为
y
1 2
x
3 2
一变形
6 y 3x 5
y
4
y=0.5x+1.5
2
-5
O
由图象可得两直线三找点
1.当 a1：a2 ≠b1：b2 时 ，方程组有唯一解； 2.当 a1：a2=b1：b2 =c1 :c2时，有无穷多解； 3.当a1：a2=b1：b2 ≠c1 :c2时，无解。
-2
交点为（1，2） 所以方程组的解：
x y
1四得解 2
-4 -6
5
x
y=－3x+5
1、一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为(2,3),
则方程组
x y 5 2x y 1
x 2
的解为
y
.
3
2、若二元一次方程组 ,
x 2 2x y y2 2的解为x 2
y
2
则函数
y
1 2
x
②有无穷多组解（当k1=k2,b1=b2 时，
两直线直线重合）
③无解（当k1=k2 , b1≠b2 时，两直线平行）
二元一次方程组
3x 5y 8 2x y 1
有什么样的规律吗？ a1x+b1y=c1
的解的情况有三种：
a2x+b2y=c2
5x-2y=4 x+y=-2 10x-4y=8 2x+2y=5