有理直纹面的正则参数化
3.5 直纹面
x y a + b = 2λ x y λ − =z a b
λ∈R
(5.9)
( x0 , y0 , z0 ) 满足方程(5.8) 满足方程(5.8) ( x0 , y0 , z0 ) 满足方程(5.9) 满足方程(5.9)
直线簇
( x0 , y0 , z0 ) 在直线簇(5.9)的某一直线上 在直线簇(5.9) (5.9)的某一直线上
族中过点M 的直母线. 为λ族中过点M 的直母线
x z a + c λ 1 = −2 λ 2 y x zλ 1 = − − λ 2 a c
2
x y a −c
z
存在不全为的 λ1 , λ2 使 不全为0 Q λ1 , λ2 不全为0 ∴ λ1 ≠ 0
x z λ2 + = 2 − a c λ1 即 λ2 x y − − = z λ1 a c
x z + = 2λ a c x y = z λ − a b
证 双曲抛物面方程: x2 − y2 = 2 z (a > 0, b > 0) (5.8) 双曲抛物面方程:
a b
2
2
x y x y a + b − = 2z a b
M ( x0 , y0 , z0 ) ∈双曲抛物面
M ( x0 , y0 , z0 ) 在直线簇(5.6)的某一直线上 在直线簇(5.6)
单叶双曲面(5.1) (5.1)由直线簇 构成. ∴单叶双曲面(5.1)由直线簇 (5.6) 构成.
x z x z + − = 1 + y 1 − y a c a c b b 以 µ1 , − µ 2 为未知量的方程组 x z y x z + 1 − y a c a + c µ 1+ 1 − ( − µ 2 ) = 0 b b =0 y x − z y x z 1+ 1 + b µ1 + a − c ( −µ2 ) = 0 a c b
直纹曲面及其性质
,取u的值,使得
y0 b
0.此
则由(3.4-5)便得
x0 a
z0 c
u(1
y0 ) b
,
x0 z0 1 1 y0 a c u b
所以点P0(x0,y0,z0)在直线(3.4-3)上．
若
x0 a
z0 c
0,则由(3.4-5)可得1
y0 b
0 ,故M0点在直线
下证u族直线(3.4-11)可以构成曲面(3.4-10),从而它是曲面 (3.4-10)的一族直母线.
易知,u族直线(3.4-11)中任何一条直线上的点都在曲面(3.4-
10)上；反过来,设(x0,y0,z0)是曲面(3.4-10)上的点,则有
a(x0 , y0 , z0 ) b(x0 , y0 , z0 ) c(x0 , y0 , z0 ) d (x0 , y0 , z0 ) , (3.4-12)
1
y b
．
引进不等于零的参数,并考察由(3.4-2)得到的方程组
x a
z c
u 1
y b
,
x a
z c
1 u
1
y b
,
(3.4-1) (3.4-2) (3.4-3)
与两方程组
x a
z c
0,
1
那么取u : w 的值,使得
从而有
a(x0 , y0 , z0 ) d (x0, y0, z0 ) u , c(x0 , y0 , z0 ) b(x0 , y0 , z0 ) w
ìïïíïïî
微分几何 §4 直纹面与可展曲面
则
v′ a ( v ) = {0, 0, a} v′ b ( v ) = {− sin v, cos v, 0} v ′ v v′ a , b, b = a ≠ 0,
所以曲面不可展。
曲面族的包络 设有单参数曲面族：{s } : F ( x , y , z , a ) = 0 a是参数 有一阶和二阶连续偏导数，若存在曲面S，S中每 一点P是族中一个曲面 S a 上点，而且在P点有相同的 切平面；反之对族中一个曲面 S a ，在曲面S上有 一点 pa 使得两曲面在此点有相同的切平面，则S 称为曲面族的包络。
命题1.1 命题1.1 直纹面的Gauss曲率非正. 证明：对于直纹面 证明：
r r r = a (u ) + vb(u ) r, r, r ru = a + vb , rv = b, r ,, r ,, r, r ruu = a + vb , ruv = b , rvv = 0 ∴ N = 0
LN − M 2 M2 =− ≤0 K= 2 2 EG − F EG − F
K=0的直纹面就是我们要研究的可展曲面 1、定义 沿每条 定义 沿每条直母线只有一个切平面的直纹 面称为可展曲面 ⇔ 沿直母线法向量平行 ⇔ 法向量是单参数的
r r r , r r, 2、特征 r = a (u ) + vb(u )可展 ⇔ (a , b, b ) = 0
命题1 可展曲面⇔ 柱面、锥面、切线曲面
命题2 一个曲面为可展曲面的充要条件是此曲面为单 参数平面的包络 命题3 一个曲面为可展曲面的充要条件是它的高斯曲 率等于0 命题4 曲面上的曲线是曲率线的充要条件是沿此曲线 的曲面法线构成可展曲面 命题5 可展曲面与平面成等距对应，可展曲面可在 平面上展开.
§2 直纹面与可展曲面
图 3-12
[a′(u)×l(u)]∥[l′(u)×l(u)] ．事实上，取 v1 ≠ v2 分别代入上式，得 a′(u)×l(u) + v1 l′(u)×l(u) = λ(u, v1) n(u) ， a′(u)×l(u) + v2 l′(u)×l(u) = λ(u, v2) n(u) ；
此两式作外积或相减，易得 a′(u)×l(u)∥l′(u)×l(u) ．此时，几何上看，三个 向量 a′(u) , l(u) , l′(u) 都垂直于 n(u) ，因而共面．解析推导可分两种情况讨 论如下：
r(u, v) = (0, 0, b u) + v (cos u , sin u , 0)
x
= (v cos u , v sin u , b u) ，
y
直接计算可得
图 3-9
ru×rv = (−b sin u , b cos u , −v) ≠ 0 ． 故此，此正螺面为正则曲面．z 轴上的点对应于参数值 v = 0 ，相应单位法
|ru×rv|2 = (1+
v sin
u 2
)2
+
v2 4
>0．
由此可知曲面正则．若限制参数
z
|v|<ຫໍສະໝຸດ 1 2，则曲面实体是“简单”
v
y
的（定义详见第八章）；此时， 曲面只有一个“面”和一条
O
x
“边”．易知单位法向 n 关于参 数 u 以 4π 为周期，并且对应于曲 面实体的同一个点有
u 图 3-10
以直观考虑正则性条件．下面一组例子介绍了一些所关心的直纹面．
-1-
作者：王幼宁
①
②
③
图 3-8
曲面建模常用命令介绍
相切
圆弧
基于已有曲面构成新曲面—— N边曲面
【N边曲面】允许用形成 一简单闭环的任意数目曲 线构建一曲面，可以指定 与外侧面的连续性。
构成新曲面的曲 线（边）
已修剪
三角形
基于已有曲面构成新曲面——偏置曲面
将指定的面沿法线方向偏置一定的 距离，生成一个新的曲面。 在偏置操作过程中，系统会临时显 示一个代表基面法向的箭头，双击 该箭头可以沿着相反的方向偏置， 若要反向偏置，也可以直接输入一 个负值。
三 维 设 计
由点构建曲面——通过点
使用通过点可以用于指定体将要通过的矩形阵列点。体插补每个指定点。使用这 个选项，可以很好地控制体，使它总是通过指定的点。
由点构建曲面——从极点
通过若干组点来创建曲面，这些点作为曲面的极点。利用该命令创建曲面，弹出 的对话框及曲面创建过程与【通过点】相同。差别之处在于定义点作为控制曲面 形状的极点，创建的曲面不会通过定义点。
矢量方向 偏置面
基面
基于已有曲面构成新曲面——修剪片体
【修剪的片体】是指利用曲线、边缘、曲面或基准平面去修剪片体的一部分。
基准平面
选择曲面时鼠 标的点选位置
（b）
边界曲线
鼠标选择位置 目标片体
（a）
（b）
（a）
（c）
基于已有曲面构成新曲面——修剪和延伸
【修剪和延伸】是指使用由边或曲面组成的一组工具对象来延伸和修剪一个或多个 曲面。
情况，因而直接影响直纹面
的形状。
（a）
（b）
（c） （d）
脊线
由线构建曲面——通过曲线组
“通过曲线组”是创建一个 通过指定截面线的曲面，截 面线可以由多条连续的曲线、 体(实体或曲面)边界组成。 “通过曲线组”的对齐方式、 首尾处与相邻面的约束关系 等与创建直纹面类型类似。
直纹面和可展曲面
直纹面和可展曲面一 直纹面的定义由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面。
这些直线称为直纹面的直母线。
如，柱面、锥面、单叶双曲面（纸篓面)、双曲抛物面。
空间曲线的切线曲面、正螺面、空间曲线的主法线曲面等都是直纹面。
二 直纹面的参数表示在直纹面上取一条与所有直母线都相交的曲线（C ），其参数表时为()a a u =，这样的曲线称为直纹面的导线。
设()b u是过 导线（C ）上()a u点的直母线上的单位向量，导线（C ）上()a u 点到直母线上任一点P(u,v)的距离为|v|,则向径O P r=可以表示为 :()()r a u vb u =+。
这就是直纹面的参数方程。
直纹面的v-线是直母线，u-线是与导线（C ）平行的曲线。
三 直纹面的切平面对直纹面()()r a u vb u =+, ()()u r a u vb u ''=+ , u v r r a b vb b ''⨯=⨯+⨯ ,()()(,,)a b b b b a b b ''''⨯⨯⨯=- ，()a b '∴⨯ ‖()b b '⨯ ⇔(,,)0a b b ''=。
（1）若()a b '⨯ 不平行于()b b '⨯ ，即(,,)0a b b ''≠，则当P 点在一条直母线上移动时，参数v 随 P 点的变化而变化，因此直纹面的法向量n（或切平面）绕直母线而旋转。
（2）若()a b '⨯ 平行于()b b '⨯ ，即(,,)0a b b ''=，则当P 点在一条直母线上移动时，虽然v 变化了，但是 u vr r ⨯ 只改变长度，不改变方向。
也即u v u vr r n r r ⨯=⨯保持不变。
这说明当P 点沿直母线移动时，它的法向量（或切平面）不变，此时直纹面沿一条直母线有同一个切平面。
第二章 曲面论 2.4 直纹面与可展曲面
反之，若 K=k1 k2=0，则两主曲率至少有一为0，设 k2=0，由于 为主曲率，所以对应的方向为主方向，但它又是法曲率，说明这 个方向是渐近方向，所以这一族渐近线也是曲率线，由主方向判 r r r 别定理，dn = − k 2 dr = 0, n 为常向量。 这说明单位法向量沿渐近曲线保持不变，因此在所有渐近曲 线上曲面的法线都平行。又沿渐近曲线的切向量为dr，它垂直于 r r r r 法向量，所以 dr ⋅ n = 0, 积分有 r ⋅ n = 常量 r r r r 对于渐近曲线上任 一点成立。现设 为渐近曲线上某一点，有 r ⋅ n = r0 ⋅ n = 常量 得 ，因而必在M0的切平面上 ，即r对应的点 在M0的切平面上，但这些点为渐近曲线上的点，所以渐近曲线在 这个切平面上，因此对于同一条渐近曲线上的点，其切平面是同 一个，曲面由这些曲线组成，所以曲面是一个单参数族的包络 面，因而是可展曲面。
(3)几种特殊的直纹面 r r
b (u ) = b0 为常向量，任意母线的方向不变，为柱面。 r r a (u ) = a0 为常向量，任意母线过一定点，为锥面。 r r b (u ) = α 为导线上的切向量，为一空间曲线的切线曲面
3、直纹面的法向量与高斯曲率 r r r （1）由 r = a (u ) + vb (u ) r r r r r 得 ru = a ′(u ) + vb ′(u ) , rv = b (u )
由前面的结论可知，这是情形（2），它沿一条直母线有同一 个切平面，或沿一条直母线有同一法向量，因此，可展曲面是沿 一条直母线有同一个切平面的直纹面。 2、命题1：每一个可展曲面或是柱面，或是锥面，或是一条曲线 的切线曲面。 r r r r r 证明：对于可展曲面有 ( a ′, b , b ′) = 0 ，取腰曲线为导线， ′ ⋅ b ′ = 0 a
数字化设计与制造苏春版课后答案
《数字化设计与制造》第一章数字化设计与制造技术引论1、数字化开发技术包含哪些核心技术。
以CAD、CAE、CAPP、CAM 为基础、为核心2.产品数字化开发的主要环节。
3.数字化设计、数字化制造、数字化仿真的内涵。
数字化设计与制造涵盖：数字化设计（DD）CAD ：概念化设计、几何造形、工程图生成及相关文档CAE ：有限元分析（FEM ）、优化设计DS :虚拟装配、运动学仿真、外观效果渲染等等数字化制造（DM）CAPP ：毛坏设计、加工方法选择、工艺路线制定、工序设计、刀夹具设计CAM : NC图形辅助编程（GNC）、加工仿真检验数字化制造资源管理（MPR、ERP）数字化设计与制造数字信息集成管理「0乂、CIMS、PLM）4.产品的数字化开发技术与传统的产品开发技术相比，有哪些区别，有哪些优点？产品的市场竞争：产品的的复杂性不断增加（功能综合）产品的生命周期不断缩短,开发周期短产品的设计风险增加社会环境对产品的影响现代好产品的标志：TQCSE（T时间更短Q质量更好C成本更低S服务质量更好E更环保） 5、与传统的产品设计与制造方法相比，数字化设计与制造方法有哪些优点？提高设计效率，改进设计质量，降低产品的开发成本、缩短开发周期，改善信息管理，提高企业的竞争力第三章数字化设计与制造系统的组成1.数字化设计与数字化制造技术大致经历了哪些发展阶段？有哪些发展趋势准备及酝酿阶段（20世纪50年代）：出现数控机床；为数控机床开发自动编程工具语言APT2D时代（20世纪60年代）：计算机辅助绘图，提高绘图质量和效率；方便图纸管理；平面分析计算CAD/CAM 一体化（20世纪70-80年代）：3D建模统一数字模型；CAE广泛应用；CAD、CAM通过；无图纸生产；数字信息交换接口数字信息集成管理（90年代开始）：产品信息、数据集成管理PDM，智能化，分布式网络化工叫$，PLM数字化设计与制造技术的发展趋势：利用基于网络的CAD/CAE/CAPP/CAM/PDM 集成技术,以实现全数字化设计与制造CAD/CAE/CAPP/CAM/PDM 技术与ERP、SCM、CRM结合，形成企业信息化的总体构架通过InternetIntraneS £乂仃@联将企业的各种业务流程集成管理虚拟工厂、虚拟制造、动态企业联盟、敏捷制造、网络制造以及制造全球化 2、数字化设计与制造系统的支撑软件组成。
§2 直纹面与可展曲面
第三章 曲面的第一基本形式§2 直纹面与可展曲面从解析几何中已经知道，直纹面是一类特殊的曲面，它可以由一族直线“织成”，即：过曲面上每一点都存在过该点的直线落在该曲面上．将直纹面参数化，可以较为方便和深入地讨论其几何属性；同时，作为其特殊类别，可展曲面的一些特征将得到揭示．一．直纹面及其上的参数变换如果直纹面 S 能够被局部正则参数化，那么，在其上取一条直纹以及垂直于该直纹的一条正则曲线 C ⊂S ，则经过曲线 C 的直纹全体构成了直纹面 S 的一部分．因此，当讨论局部性质时，直纹面 S 通常被视为由一个单参数直线族而构成，族中直线称为直纹面的直纹或（直）母线；该族直纹总经过一条参数曲线——准线（该曲线不一定要求正则）．直纹的位置和直纹上的点的相对位置，将给出直纹面 S 的下列自然参数化(2.1) S : r = r (u , v ) = a (u ) + v l (u ) ，其中准线为连续可微参数曲线(2.2) C : r * = a (u ) ，过准线上点 a (u ) 处的直纹方向确定为向量l (u ) ，且 l (u ) 连续可微．此时，(2.3) r u = a '(u ) + v l '(u ) ，(2.4) r v = l (u ) ，(2.5) r u ⨯r v = [a '(u ) + v l '(u )]⨯l (u ) = a '(u )⨯l (u ) + v l '(u )⨯l (u ) ．由此可确定正则条件．其中较为简单的情况是，当准线正则并且不与直纹相切时，直纹面局部为正则参数化；对照熟知的圆柱面、圆锥面等等，可以直观考虑正则性条件．下面一组例子介绍了一些所关心的直纹面．图3-7例1 设 (2.1) 式给出直纹面 S 的一种参数化，则可按准线与直纹方向的关系归为不同的子类．① 柱面：各直纹平行．不妨设已经规范为l (u ) ≡ l 0 ≠ 0 ，则正则性条件化为(2.6) r u ⨯r v = a '(u )⨯l (u ) ≠ 0 ，此即准线不与直纹相切．此时可知，单位法向沿着直纹是常向量，即切平面沿着直纹重合．② 锥面：各直纹相交于锥顶点．形象地看，准线可以“收缩”为一点——锥顶．不妨设已经规范为a (u ) ≡ a 0 ，则正则性条件化为(2.7) r u ⨯r v = v l '(u )⨯l (u ) ≠ 0 ．故锥顶是奇点；并且，当直纹单位方向向量在单位球面上为正则曲线时，也只有锥顶是奇点．其切平面沿着直纹也重合．③ 切线面：直母线族是某条准线的切线族，即直母线族有包络线可作为准线．不妨设已经规范为a '(u ) = l (u ) ≠ 0 ，且此时不妨设准线以 u 为弧长参数，则正则性条件化为(2.8) r u ⨯r v = v T '(u )⨯T (u ) ≠ 0 ．此时的准线称为切线面的脊线，其上点点为奇点．当脊线无逗留点时，切线面上除脊线外的各点都是正则点．其切平面沿着直纹也重合．④ 主法线面：直母线族是某条准线的主法线族，其中准线无逗留点．可类似讨论．⑤ 从法线面：直母线族是某条准线的从法线族，其中准线无逗留点．也可类似讨论．① ② ③图3-8例2 垂直相交于旋转轴并匀速转动的直线，同时沿着旋转轴方向匀速直线运动，所构成的直纹面称为正螺旋面或正螺面；其准线可取为旋转轴．取常数 b ≠ 0 ，正螺面可参数化为r (u , v ) = (0, 0, b u ) + v (cos u , sin u , 0)= (v cos u , v sin u , b u ) ，直接计算可得r u ⨯r v = (-b sin u , b cos u , -v ) ≠ 0 ． 故此，此正螺面为正则曲面．z 轴上的点对应于参数值 v = 0 ，相应单位法向垂直于z 轴；既得，旋转轴上各点处的切平面公交于旋转轴． ☐例3 Möbius 带是一种曲面的模型，可以用矩形纸条拧 180︒ 后粘合一组对边而构成．它可以如下参数化为直纹面：准线取为单位圆周，直母线沿准线移动时垂直于准线转动，并且转动角速率是准线动点移动角速率的一半．光滑的参数方程可写为r (u , v ) = (cos u , sin u , 0) + v (sin u 2 cos u , sin u 2 sin u , cos u 2) = ((1+ v sin u 2 ) cos u , (1+ v sin u 2 ) sin u , v cos u 2) ； 它是参数 u 的 4π 周期函数，但曲面关于参数 u 以 2π 为封闭周期．直接计算可得|r u ⨯r v |2 = (1+ v sin u 2 )2 + v 2 4> 0 ． 由此可知曲面正则．若限制参数 |v | < 1 2 ，则曲面实体是“简单”的（定义详见第八章）；此时，曲面只有一个“面”和一条“边”．易知单位法向 n 关于参数 u 以 4π 为周期，并且对应于曲面实体的同一个点有n (2π + u , v ) = - n (u , v ) ．这说明Möbius 带实体无所谓“正”的定向． ☐图3-9图3-10注意，直纹面按照准线和直母线族的自然参数化，只是其参数化的特定形式（参见习题4）．这种参数化具有明显的几何直观，在分析其几何性质的过程中具有直观优势，因而得到特别注意．为了使相关分析和运算更为简便，往往需要根据具体情况选取特定的准线和直纹方向向量．准线的转换以及直纹方向向量长度的转换，在自然参数化下，就等价于适当的参数变换；当然这是一种具有几何意义的参数变换．下面将一般性地考察直纹面的这种参数变换．设直纹面S的自然参数化由 (2.1)-(2.2)式给出．作直母线方向向量的“伸缩”变换和准线变换分别为(2.9) l*(u) =λ(u) l(u) , λ(u) ≠ 0 ，(2.10) a*(u) =a(u) +μ(u) l(u) ，其中变换系数函数λ(u) 和μ(u) 都是连续可微的．则有(2.11) r=r(u, v) =a(u) +v l(u) =a*(u) + [v-μ(u) ] l(u)=a*(u) + [v-μ(u) ]λ(u) l*(u) ．令(2.12) {u* =uv* =[v-μ(u) ]λ(u)，则由以下计算结果得到参数变换的容许性：(2.13) ∂(u*, v*)∂(u, v)=1 *1λ(u)=1λ(u) ≠ 0 ．在新参数下，直纹面仍然有自然参数化方程，与原有方程的对应关系为(2.14) r=r(u, v) =a(u) +v l(u) =r*(u*, v*) =a*(u*) +v* l*(u*) ．由此可以进一步考察准线和直母线是否允许有特殊关系，比如垂直相交等等．下列引理（其证明留作习题）说明，这类考察是有效的．引理1已知直纹面的自然参数化由 (2.1)-(2.2) 式给出，则存在新的参数化，使其准线与直母线处处正交，并且直纹方向向量为单位向量．图3-11二．可展曲面及其局部形状分类从例1已经知道，柱面、锥面、切线面的切平面分别沿着直纹重合；而从例2正螺面的图形观察到，沿着所给定的直纹移动时，切平面将发生扭转．按直纹面切平面的特殊行为，可以进一步考察直纹面的子类．定义1 若直纹面的切平面沿着每一条直纹都分别重合，则称该直纹面为可展曲面，或称该直纹面可展．例4 柱面、锥面、切线面都可展．单叶双曲面和双曲抛物面都不可展——这从图形上可以观察到；也可以在任何直纹上展开计算，而由定义得到验证（略）．定理1(直纹面可展的解析条件) 设直纹面 S : r = r (u , v ) = a (u ) + v l (u ) 正则．S 可展的充要条件为a ' , l , l ' 共面，即(2.15) (a ' , l , l ' ) ≡ 0 ．证明 由 (2.1)-(2.5) 式给出了直纹面 S 的基本情况．必要性： S 可展，即单位法向 n 沿直母线 v 线平行，即 n 与 v 无关而只是 u 的函数，表示为n (u ) = r u (u , v )⨯r v (u , v ) |r u (u , v )⨯r v (u , v )| = a '(u )⨯l (u ) + v l '(u )⨯l (u ) |a '(u )⨯l (u ) + v l '(u )⨯l (u ) |． 将上式分母记为函数 λ(u , v ) ，变形为a '(u )⨯l (u ) + v l '(u )⨯l (u ) = λ(u , v ) n (u ) ．当 v 变动而 u 保持不变时，直纹面上的点沿着直纹运动，上式右端保持平行而使左端也保持平行．注意，如图3-12所示，两个不平行向量的线性组合不能保持平行，故可判断成立[a '(u )⨯l (u )]∥[l '(u )⨯l (u )] ．事实上，取 v 1 ≠ v 2 分别代入上式，得a '(u )⨯l (u ) + v 1 l '(u )⨯l (u ) = λ(u , v 1) n (u ) ，a '(u )⨯l (u ) + v 2 l '(u )⨯l (u ) = λ(u , v 2) n (u ) ；此两式作外积或相减，易得 a '(u )⨯l (u )∥l '(u )⨯l (u ) ．此时，几何上看，三个向量 a '(u ) , l (u ) , l '(u ) 都垂直于 n (u ) ，因而共面．解析推导可分两种情况讨论如下：① 当 l '(u )⨯l (u ) = 0 时，显然 (a '(u ) , l (u ) , l '(u ) ) = a '(u )•[l '(u )⨯l (u )] = 0 ; ② 当 l '(u )⨯l (u ) ≠ 0 时，存在 μ 使 a '(u )⨯l (u ) = μ l '(u )⨯l (u ) ，故图3-12(a'(u) , l(u) , l'(u) ) =[a'(u)⨯l(u)]•l'(u) =[μl'(u)⨯l(u)]•l'(u) = 0 ．充分性：已知 (a' , l , l' ) ≡ 0 ，则分两种情况讨论．①当l'(u)⨯l(u) =0时，显然r u⨯r v=a'(u)⨯l(u)与v无关，从而单位法向n与v无关，即n沿直母线v线平行；②当l'(u)⨯l(u) ≠0时，存在λ和μ使a'(u) =λl'(u) +μl(u) ，从而a'(u)⨯l(u) =λl'(u)⨯l(u) ，r u(u, v)⨯r v(u, v) = (λ+v) l'(u)⨯l(u) ，n(u) =l'(u)⨯l(u)|l'(u)⨯l(u)|sgn(λ+v) ，沿直母线v线平行．由两种情形的结果以及可展定义，结论得证．对指定直纹族的直纹面而言，该解析条件不依赖于准线以及直纹方向向量长度的选取；因而，当直纹面的准线以及直纹方向向量容易求出时，应用该解析条件将是方便的．当然，有时直纹面的准线以及直纹方向向量并不容易求出，这就要考虑可展曲面的其它特征；除了本节将继续讨论的以外，可展曲面的“内在特征”将在后续章节中出现．注记直纹面的直纹族并不一定是唯一的，比如单叶双曲面、双曲抛物面都有两族直纹，而平面的直纹族更加随意指定．以后可以证明，两族坐标曲线都是直线的正则曲面若可展，则只能是平面（或其局部）．此结论得到确认后，应用解析条件判定是否可展时，将更加灵活．在“较好”的准线a(u) 和直纹方向向量l(u) 之下，解析条件可以进一步化简．特别当直纹方向向量规范为单位向量场时，即|l(u)|2≡ 1 时，有l'(u)•l(u) ≡ 0 ；进而分两种情形：①当l'(u)⨯l(u) =0时，自然总有等价条件(a'(u) , l(u) , l'(u) ) = 0 ⇔l'(u) =0；②当l'(u)⨯l(u) ≠0时，l'(u) ≠0，便有等价条件(a'(u) , l(u) , l'(u) ) = 0 ⇔∃λ(u), μ(u) 使a'=λl'+μl；从此出发，利用准线变换，对可展曲面的局部形状可构造性地进行分类．参数变换的目标是确定如例1所给出的规范参数方程．在下面定理的证明中，可注意体会几何直观对证法的启发，以及如何明确地加以表述．定理2（可展曲面局部形状分类）可展曲面必是柱面、锥面和切线面之一或由它们沿直母线所适当拼接而成．证明由引理1和定理1，设可展曲面 S: r=r(u, v) =a(u) +v l(u) 满足|l(u)|2≡ 1 ；则由简化的解析条件，可完全分类为以下三种情形：①l'≡0，则l(u) = const. ≠0；此时S为柱面．②l'≠0，∃λ, μ使a'=λl'+μl；此时要证S为锥面或切线面．（注意：锥面存在新准线C*: a*(u) 使a* =const. ，而切线面存在新准线C*:a*(u) 使关于弧长的导数d a*d s C*=l，它们的共同特征是a*'(u)∥l．）作待定的新准线C*: a*(u) =a(u) +b(u) l(u) 使a*'(u)⨯l(u) ≡0，其中待定函数b(u)连续可微，则a*'=a'+b'l+b l'= (λ+b) l'+ (μ+b') l；故取b=-λ即可满足要求．此时，a*'= (μ-λ') l．由此，当a*'≡0即λ'≡μ时，a* = const. ，则S为锥面；当a*'≠0即λ'≠μ时，l=a*'μ-λ'=d a*d s C*，则S为切线面．③其他；由以上两种情形的讨论过程可知，l'以及 (μ-λ') 的例外零点对应于曲面上相应的直母线．综合各种情形，得证．三．单参数曲面族的包络类似于考虑曲线族与其它曲线的关系，这里将讨论较为简单的曲面族与其它曲面的关系．观察下例．例5单位球面|r(u, v) -r0|2≡ 1 当球心r0沿着指定的正则曲线C: a(λ) 平行移动时，形成单位球面族：Sλ: r*(u, v; λ) =a(λ) +r(u, v) ．形象地看，这族球面都落在一条“管子”——管状面内，管子的“半径”就是球面的半径（可参阅第八章§3以及图8-3）．直观感觉上看（可以得到验证），对管状面上的任何一条正截圆周，在单位球面族中有且只有一张球面与管状面公切于这条单位圆周．当球面族的参数λ连续变动时，公切圆周同时在管状面上连续可微变动，并且对于相近的公切点而言，所在的两张球面上对应于本身参数 (u , v ) 的取值 (u λ, v λ) 也很相近；管状面上可以取参数 λ 作为正则参数之一，同时可以取公切圆周的参数作为正则参数之一，此时公切圆周在单位球面上可以对应于连续可微参数曲线 u = u λ(t ) , v = v λ(t ) ．定义2 对于给定的单参数 λ 正则曲面族 S λ: r (u , v ; λ) 和对应的正则曲面 S *: r *(λ, t ) ，对应关系为 r *(λ, t ) = r (u (λ, t ), v (λ, t ); λ) ；设曲面族和对应关系关于参数 (λ, t ) 都是连续可微的，即二元函数组 u (λ, t ), v (λ, t ) 和三元向量函数 r (u , v ; λ) 都是连续可微的．若对 S * 上的任意点 r *(λ, t ) ，在曲面族中都存在对应曲面 S λ 与 S * 公切于该点，而且曲面族中的每张曲面都与 S * 公切于某点，则称曲面 S * 为单参数曲面族 S λ 的一张包络面，简称包络．例6 可展曲面是其本身切平面族的包络，切平面族的单参数就取为某条正则准线的参数．事实上，设可展曲面 S : r = r (u , v ) = a (u ) + v l (u ) 满足 |l (u )|2 ≡ 1 ；则 n 与 v 无关而只是 u 的函数，表示为n (u ) ，从而切平面族为T u : n (u )•[ρ - r (u , v 0)] = 0 ，其中 ρ 表示切平面上的点的位置向量，v 0 是取定的参数值，r (u , v 0) 是取定的准线，而函数 n (u )•r (u , v 0) 由参数 u 确定．作为特例，当 n '(u ) ≡ 0 时，S 为平面，其切平面族重合于该平面；当 n '(u ) ≠ 0 时，S 不是平面，其切平面族为单参数 u 切平面族 T u ．平面 T u 与曲面 S 公切于直母线l u : r (u , v ) - r (u , v 0) = (v - v 0) l (u ) ．类似于曲线的情况，在求解包络时，定义中的连续可微性条件有时当成先验假定，此时需要根据求解情况反验其合理性．从已知的单参数曲面族出发，可以确定如何求解其包络．按定义中的记号，在对应点 r *(λ0, t 0) = r (u (λ0, t 0), v (λ0, t 0); λ0) ，曲面 S * 具有自然切向 (2.16) r *λ(λ0, t 0) = ⎝⎛⎭⎫∂∂λ r (u (λ, t ), v (λ, t ); λ)| λ=λ0, t =t 0= ⎝⎛⎭⎫r λ(u , v ; λ) + r u (u , v ; λ) ∂u ∂λ + r v (u , v ; λ) ∂v ∂λ| u =u (λ, t ), v =v (λ, t ); λ=λ0, t =t 0 ， (2.17) r *t (λ0, t 0) = ⎝⎛⎭⎫∂∂t r (u (λ, t ), v (λ, t ); λ)| λ=λ0, t =t 0= ⎝⎛⎭⎫r u (u , v ; λ) ∂u ∂t + r v (u , v ; λ) ∂v ∂t | u =u (λ, t ), v =v (λ, t ); λ=λ0, t =t 0， 而相应的曲面 S λ0在对应参数值 (u (λ0, t 0), v (λ0, t 0)) 的同一点具有自然切向 (2.18) ∂r (u , v ; λ0) ∂u | u =u (λ0, t 0), v =v (λ0, t 0) = r u (u (λ0, t 0), v (λ0, t 0); λ0) ，(2.19)∂r(u, v; λ0)∂v|u=u(λ0, t0), v=v(λ0, t0)=r v(u(λ0, t0), v(λ0, t0); λ0) ．由于对应点是公切点，切向 (2.16) 和 (2.17) 与曲面Sλ0在对应点的法向(r u⨯r v)|u=u(λ0, t0), v=v(λ0, t0)垂直，即等价化为混合积(2.20) (r u , r v , rλ )|u=u(λ, t), v=v(λ, t); λ=λ0, t=t0= 0 ．这就是具有包络的单参数曲面族所必须满足的条件．反之，注意 (2.20) 式能够保证对应点为公切点，故已导出单参数曲面族包络的如下判别条件．定理3给定连续可微单参数λ正则曲面族Sλ: r(u, v; λ) ．如果判别式(2.21) (r u , r v , rλ ) = 0能够决定连续可微的两个函数u(λ, t) 和v(λ, t)，那么，该曲面族的包络若存在则只能确定为判别曲面r(u(λ, t), v(λ, t); λ)；而若判别式无解函数u(λ, t) 和v(λ, t) ，则该单参数曲面族没有包络．注记：①判别式所确定的函数同时明确了对应点的位置．当然允许两个函数u(λ, t) 和v(λ, t) 在形式上合为一个函数u= u(v, t) 或v= v(u, t) ．②判别式如果是平凡的，则判别曲面r(u(λ, t), v(λ, t); λ) 有可能蜕化为非正则的；此时需要反验是否符合包络条件．③如果判别曲面r(u(λ, t), v(λ, t); λ) 是正则的，则其为包络面，并且切向 (2.16) 和 (2.17) 的外积非零；此时在某些具体条件下，两个函数u(λ, t) 和v(λ, t) 允许存在反函数，此即为包络面上的特殊参数变换．④对包络面r(u(λ, t), v(λ, t); λ) ，当选定参数λ=λ0时，其上曲线r(u(λ0, t), v(λ0, t); λ0) 是与族中曲面Sλ0的公切点构成的曲线，称之为包络面的特征线．例7已知具有包络S* 的连续可微单参数λ曲面族Sλ: r(u, v; λ) = (x(u, v; λ),y(u, v;λ) ,z(u, v;λ))是由隐式方程F(x, y, z; λ) = 0 给出的，其中梯度向量∇F= (F x , F y , F z) ≠0．试证S* 的隐式方程为(2.22) {F(x, y, z; λ) = 0 ，Fλ(x, y, z; λ) = 0 ．证明：由隐式方程F(x, y, z; λ) = 0 求微分得d F(x, y, z; λ) = [∇F•d r](x, y, z; λ) +Fλ(x, y, z; λ) dλ≡ 0 ；而对于Sλ之上的点总有d F(x, y, z; λ) = [∇F•d r](x, y, z; λ) = 0 ，即其总以梯度向量∇F(x, y, z; λ) 为非零法向量；故在特征线Sλ⋂S* 之上总有Fλ(x, y, z; λ) dλ≡ 0 ．又特征线Sλ⋂S* 满足隐式方程F(x, y, z; λ) = 0 ，故结论得证．☐单参数曲面族由隐式方程给出时，其包络的判别曲面由特征线族方程(2.22) 式给出．有时，隐式方程对于表示曲面整体非常有效，比如球面、双叶双曲面等等；此时，由 (2.22) 式讨论包络是较为方便的．例8求单参数λ球面族x2+y2+ (z-λ)2= 1 的包络．解：记F=x2+y2+ (z-λ)2- 1 ，则Fλ=-2(z-λ) ．令Fλ= 0 ，得λ= z．代入球面族方程消去参数λ，由 (2.22) 式即知，所求包络为x2+y2= 1 ，此为单位圆柱面．☐定理4给定连续可微单参数t平面族T t: n(t)•r-p(t) = 0 ，|n|≡ 1 ，n'(t) ≠0．如果 {T t} 的包络面S存在，则S可展．证明包络面S的隐式方程由 (2.22) 式给为特征直线族方程{n(t)•r-p(t) = 0 ，n'(t)•r-p'(t) = 0 ．由于n'(t) ≠0是垂直于n(t) 的向量，故直纹面S的位置向量r可以在基向量组 { n(t), n'(t), n(t)⨯n'(t)} 下分解，表达为r(t, v) =p(t)n(t) +p'(t)|n'(t)|2n'(t) +v n(t)⨯n'(t) ．这是以特征线为直母线的直纹面，其切平面沿直纹重合于平面族中的某张平面，故由可展定义得知S可展．☐习题⒈证明引理1．⒉已知直纹面的参数化由(2.1)-(2.2) 式给出．试证：存在容许参数变换，使准线是坐标系原点O到直母线的垂足的轨迹．⒊试证：柱面可以取到平面曲线作为准线，并且使准线与直母线垂直相交．⒋试证：平面是柱面，其局部也是正则参数化的锥面和切线面．⒌证明下列曲面是可展曲面：①r= (cos v , sin v , u+v) ；作者：王幼宁②r= (u2+v , 2u3+ 3uv , u4+ 2u2v) ；③r= (cos v- (u+v) sin v , sin v+ (u+v) cos v , u+ 2v) ．⒍证明挠曲线的主法线面和从法线面都不可展．⒎证明正螺面是某条圆柱螺线的主法线面．⒏证明正螺面一定不是某条曲线的切线面．⒐已知弧长参数化挠曲线C: r(s) ，以之为准线、分别以以下所给条件下的连续可微单位向量场l(s) 为直纹方向，所作的直纹面分别记为S．试分别讨论S是否可展．①l(s) 总落在C的从切平面上；②l(s) 总落在C的法平面上；③l(s) 总落在C的密切平面上．⒑已知单参数λ平面族Tλ: r(u, v; λ) = (u , a(λ) -b(λ)u , u+v) ，其中两个函数a(λ) 和b(λ) 连续可微且b'(λ) 不取零值．试确定其包络面的参数方程．⒒求平面族x cos λ+y sin λ-z sin λ= 1 的包络面，并证明它是柱面．⒓求平面族a2x+ 2ay+ 2z= 2a的包络面，并证明它是锥面．⒔对双曲抛物面r(u, v) = (u+v , u-v , uv) ，试讨论其切平面在如下指定的沿线上所形成的单参数平面族的行为：①沿坐标曲线；②沿曲线C: r(v+a , v) , a= const. ．- 11 -。
有理整曲线的几个相对仿射不变量
有理整曲线的几个相对仿射不变量
《有理整曲线的几个相对仿射不变量》
一、整曲线简介：
整曲线是由几何学家恩斯特·哈代在1872年发现的曲线，它以分割x轴的方式表示。
整曲线有两种属性：第一，它的宽度是恒定的；第二，内部的任何点，当它缩放或者转移时，它都可以保持它的实部和虚部的比例不变，这就是一个相对仿射不变的特点。
整曲线在低维空间中可以完全表示复数平面，因此有其独特的几何和算子性质。
二、几个相对仿射不变量：
（1）缩放不变：在曲线内，只要它不超出曲线边界，那么它就可以维持同样的缩放比例。
（2）轴对称不变：在曲线内，通过对称于x轴（或者y轴）来变换点，都可以保持曲线
边缘的宽度不变。
（3）等分不变：在曲线内，把整个曲线分成几段，每一段的比例和形状都是不变的。
（4）旋转不变：在曲线内，把任何一点以指定点为中心，可以得到一个新的点，此时新
旧点之间的位置关系也会保持不变。
三、仿射不变的应用：
仿射不变的性质，使得整曲线在几何和计算上非常强大。
在几何分析中，整曲线可以帮助我们研究许多复杂曲线。
例如，它可以帮助我们研究一类复杂波形，它们可能用于通信信
号传输。
在心理学上，它可以帮助我们研究特定的心理状态，它们可能与个体的心理问题有关。
在计算机科学中，它可以用来生成图像，学习复杂的模型，以及识别图像模式等等。
此外，它也可以用于构建非线性模型，以更好地预测多变量系统的行为趋势，从而帮助我们了解自然系统。
4.7 直纹面
( x0 , y0 , z0 ) 满足方程(2)
的某一直线上 ∴单叶双曲面(1) 由直线族 (2) 构成
M ( x0 , y0 , z0 ) 在直线族(2)
x z x z 1 y 1 y a c a c b b x z a c
λ不同, 所表示的直线也不同. 当λ取遍一切实数时, 得到无数多条直线, 这些直线构成一直纹面. 求此直纹面
的方程.
2z x 2 y z 解 消去λ y 3 1 2 3 2 2z 2z z y x y 3 3 3 z 2 4 2 4 y z yz x 0 为所求直纹面方程. 3 9 3
1 a a 1 a k a 1 b b 1 b k b
L1 :
0 2 1 0
1 a a 1 b b
1 1 x y 2 b a x y z 0 a b
证明: 对于双曲抛物面, 属于同族的两条直母线 都是 异面的. x y 2 2 a b 2 y 证x 2 2 z x y x y 2 z λ族: 2 a b a b a b x y z 在其中任取两条 a b 1 1 1 1 x y 2k x y 2 b L1 : b a L2 : a k k k x y z 0 x y z 0
R
(5.9)
x y a b 2
R
(5.10)
x y z a b
例 求双曲抛物面 4x y z 过点 M (1, 1, 3) 的直母线方程.
2 2
解
2x y 2x y z 2x y 2x y z
直纹面的参数方程
直纹面的参数方程
直纹面是一个三维空间内的无限延伸的面，其特点是在任何一点处，其法向量都是相同的，即平行于一个定向直线。
这个定向直线被
称为直纹面的生成线，直纹面也被称为一次曲面。
直纹面通常可以用参数方程的形式来表示，其中最常用的参数方
程形式是P(u,v) = γ(u) + vη(u)，其中P(u,v)表示该点的位置，
γ和η是生成线，u和v是参数。
具体来说，u参数沿着生成线方向，v参数则在面内进行平移。
对于不同的直纹面，其生成线和参数方程也是不同的，比如圆柱面、锥面、双曲面等等。
其中最简单的直纹面就是平面，其参数方程
P(x,y,z) = (x,y,z0)。
在实际应用中，直纹面常常用于建模和计算几何问题。
比如，在
计算机图形学中，直纹面可以被用来表示复杂的曲面形状，从而实现
模型的三维显示和动画演示。
在计算几何中，直纹面也经常被用来计
算光线路径、求交点等问题，这是因为直纹面具有高度的局部几何性
质和直观性质。
总之，直纹面是一个非常重要的几何概念，其参数方程为我们提
供了一种直观、简单的表示方式，从而帮助我们更好地理解和运用这
一概念。
同时，直纹面的应用也非常广泛，包括计算机图形学、建模、动画、计算几何等领域，为实际应用提供了强有力的工具。
对于直纹面和非可展直纹面的判断指标
对于直纹面和非可展直纹面的判断指标下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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计算机辅助几何设计中的有理 z 样条方法
计算机辅助几何设计中的有理 z 样条方法
有理 z 样条方法是一种计算机辅助几何设计中常用的曲线和曲面绘制技术，它可以用来创建具有平滑曲率和高精度的曲线和曲面。
该方法结合了有理函数、z 坐标和样条函数的特点，能够实现对曲线和曲面的高效控制和调整。
在有理 z 样条方法中，曲线或曲面由若干个控制点和权重系数组成，这些点和系数决定了曲线或曲面的形状和位置。
有理 z 样条方法采用了有理函数作为基函数，这种基函数具有更高的灵活性和适应性，可以用来表示多种复杂的曲线和曲面形状。
此外，有理 z 样条方法还利用了 z 坐标来控制曲线或曲面在空间中的位置和方向，使得曲线或曲面在三维空间中的表现更为真实和准确。
有理 z 样条方法的样条函数具有多项式函数和有理函数的性质，可以用来拟合非常复杂的曲线和曲面形状。
此外，样条函数还可以进行插值和逼近，可以通过加入更多的控制点和调整权重系数的方式来进一步调整曲线或曲面的形状和位置。
有理 z 样条方法的优点在于能够高效、准确地绘制复杂的曲线和曲面，而且可以通过调整控制点和权重系数来实现对曲线或曲面的精确控制和调整。
总之，有理 z 样条方法是计算机辅助几何设计中常用的一种高级曲线和曲面绘制技术，具有很高的灵活性、适应性和精度。
其应用范围
广泛，可用于汽车设计、航空航天、工程制图等领域。
直纹面问题的解题思路分析
即 ( X − Y )(Y − Z )t2 − (3Y + Z )t = 0 ， ∀t ∈ R 。
2) 任选择一个与曲面 Σ : ( x + y − z)2 − ( y − 2z + 2)( x − z) =0 相交的平面或曲面(以简单为原则，可以考
虑选择某个坐标平面)，设其交线为 S，则 S 为一条准线。
方法二、因式分解法，将证明题转化为计算题。分三步：
1) 找锥面的顶点。类似于大学教材[1] [2]中证明直纹面的方法，将曲面方程调整成等式左右两边均
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(3)
+ Ax02 + By02 + Cz02 + 2 (ax0 + by0 + cz0 ) + D =0
设直线上的点 M1, M 2 , M3 对应的参数为 t1, t2 , t3 ，即 Mi ( x0 + Xti , y0 + Yti , z0 + Zti ) ， i = 1, 2, 3 。由于
直纹面成为可展曲面的充要条件大三论文 2
直纹面成为可展曲面的充要条件摘要 可展曲面是特殊的直纹面，直纹面成为可展曲面必须满足一定的条件.本文根据可展曲面的定义，从该曲面是否为单参数曲面族的包络、高斯曲率是否为零、直纹面是否可以展为平面等几个方面，对直纹面成为可展曲面的几个充要条件作了初步的探讨. 关键词 直纹面；可展曲面；包络；高斯曲率；等距对应1直纹面与可展曲面的定义 1.1直纹面的定义由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面，这些直线称为直纹面的直母线. 直纹面上取一条曲线()C ，它的参数表示是()u a a ρρ=.曲线()C 和所有直母线相交，即过曲线()C 的每一点，有一条直母线，曲线()C 称为直纹面的导线.设()u b ρ是过导线()C 上()u a ρ点的直母线上的单位向量.导线()C 上()u a ρ点到直母线任一点()v u P ,的距离为v ，则向径→OP 可以表示成()()u b v u a r ρρρ+= （1）,这就是直纹面的参数表示. 1.2可展曲面的定义直纹面上任一点()v u P ,的法向量n ρ平行于v u r r ρρ⨯，从（1）容易算出：()()u b v u a r u '+'=ρρρ，()u b r v ρρ=，所以b b v b a r r v u ρρρρρρ⨯'+⨯'=⨯.当点在曲面上沿一条直线移动时有两种情形：情形1：b a ρρ⨯'与b b ρρ⨯'不平行，即()0,,≠''b b a ρρρ.情形2：b a ρρ⨯'与b b ρρ⨯'平行，即()0,,=''b b a ρρρ.对于第2种情形的直纹面我们称为可展曲面，也就是说，可展曲面是沿一条直母线有同一个切平面的直纹面.2直纹面成为可展曲面的几个充要条件2.1定理1[]2：一个曲面是可展曲面⇔该曲面或是柱面，或是锥面，或是任意空间曲线的切线曲面.证明：⇐：由于柱面、锥面、任意空间曲线的切线曲面是直纹面，所以直纹面的参数方程为()()u b v u a r ρρρ+=.(1)因为柱面的()=u b ρ常向量，所以()0='u b ρ.则()()()()()0,,='⋅⨯'=''b b a u b u b u a ρρρρρρ.故柱面是可展曲面.(2)锥面的腰曲线为一点，导线也为一点，故()=u a ρ常向量，所以()0='u a ρ.从而()()()()()0,,='⨯⋅'=''b b a u b u b u a ρρρρρρ.故锥面是可展曲面.(3)任意空间曲线的切线曲面的切线()()u b u a ρρ//'，故()()0=⨯'u b u a ρρ，从而()()()()0,,=''u b u b u a ρρρ.任意空间曲线的切线曲面是可展曲面. ⇒：对于可展曲面有()0,,=''b b a ρρρ，取腰曲线为导线，即此时有0='⋅'b a ρρ.(1)当0='a ρ时，()=u a ρ常向量，这表示为腰曲线退化为一点，也就是说，各条直母线上的腰点都重合.我们得到以所有母线上公共的腰点为顶点的锥面.(2)当0≠'a ρ时，由条件()0,,=''b b a ρρρ，0='⋅'b a ρρ并且1=b ρ，b b '⊥ρρ得到()()u b u a ρρ//'.这时得到切于腰曲线的切线曲面.(3)当0='b ρ时，()=u b ρ常向量，这表示柱面.例1[]1求证正螺面{}b au u u v r +=,sin ,cos ρ是不可展曲面. 证明：令()()u b v u a r ρρρ+=，则所给的曲面可写为{}{}0,sin ,cos 0,0u u v b au r ++=ρ.则{}b au a +=,0,0ρ，{}0,sin ,cos u u b =ρ，从而{}a a ,0,0='ρ，{}0,cos ,sin u u b -='ρ，则()()()()()b b a u b u b u a '⋅⨯'=''ρρρρρρ,,=b uu a e e e '⋅ρρρρ0sin cos 0321={}{}0,cos ,sin 0,cos ,sin u u u a u a -⋅- =a .当0≠'a ρ时，有()0,,≠''b b a ρρρ.故正螺面{}b au u u v r +=,sin ,cos ρ是不可展曲面.2.2定理2[]4：设直纹面S 的参数方程是()()u b v u a r ρρρ+=，则S 是可展曲面的充分必要条件是，向量函数()u a ρ，()u b ρ满足方程()()()()0,,=''u b u b u a ρρρ. *证明：对直纹面S 的参数方程求导得到()()u b v u a r u '+'=ρρρ，()u b r v ρρ=， 因此曲面的法向量是()()()()u b u b v u a r r v u ρρρρρ⨯'+'=⨯.如果S 是可展曲面，则在直母线上的任意两个不同点()1,v u 和()2,v u ，其中21v v ≠，曲面S 的法向量应该互相平行，即()()()()()()()u b b v u a u b u b v u a ρρρρρρ⨯'+'⨯'+'21,//根据向量的双重向量积的公式()()()a cb bc a c b a ρρρρρρρρρ⋅-⋅=⨯⨯，我们有()()()()()()()()()u b b v u a u b u b v u a ρρρρρρ⨯'+'⨯⨯'+'21,=()()()()()()()()()u b u b u b v u a u b v u a ρρρρρρ⨯'+''+'21=()()()()()()()()()u b u b u b v u a u b v u a ρρρρρρ,,21'+''+'=()()()()()()u b u b u b u a v v ρρρρ''-,,21.由于()()()0,211≠-=⨯u b v v r r v u v u ρρρ，所以上式末端的混合积为零，即*式成立.上面的论证过程是可逆的，因此*式也是直纹面为可展曲面的充分条件，定理成立.例2[]2证明曲面()(){}v u v v u v v v u v r 2,cos sin ,sin cos ++++-=ρ是可展曲面.证明：令()()u b v u a r ρρρ+=，则由题得{}v v v v v v v a 2,cos sin ,sin cos +-=ρ，{}1,cos ,sin v v b -=ρ，则{}2,sin cos 2,cos sin 2v v v v v v a ---='ρ，{}0,sin ,cos v v b --='ρ，则()()b b a b b a '⋅⨯'=''ρρρρρρ,,=b vv vv v v v v e e e '⋅----ρρρρ0cos sin 2sin cos 2cos sin 2321={}b v v v v v '⋅--ρ,cos ,sin=0sin cos sin cos ⋅--v v v v v v v =0. 即()0,,=''b b a ρρρ.故所给曲面为可展曲面.2.3定理3[]2：曲面上的曲线是曲率线的充分必要条件是沿此曲线的曲面的法线组成一可展曲面.证明：设曲面上的曲线()s a a ρρ=是曲率线，则根据罗德里格定理可知a d n d ρρ1κ-=，即()()()s a s s n&ρ&ρ1κ-=， 其中()s 1κ为对应的主曲率.由此得出a n&ρ&ρ//，所以有 ().0,,=nn a &ρρ&ρ 因此沿此曲线，曲面的法线组成的曲面n v a r ρρρ+=是可展曲面.反之，设()s a a ρρ=是曲面上一条曲线.曲面沿此曲线的法线构成一个可展曲面n v a r ρρρ+=.于是有().0,,=nn a &ρρ&ρ 由于n ρ是单位向量，所以n n &ρρ⊥.而且a&是曲面的切向量，因而a n &ρ&ρ//. 由此可得a n &ρ&ρ//或a d n d ρρ//. 根据罗德里格定理,a d ρ是主方向. 因此曲线()s a a ρρ=是曲面的曲率线.例3[]1求证挠曲线的副法线曲面不是可展曲面.证明：设有空间挠曲线()s a a ρρ=，曲线的副法线曲面为()()s v s a r γρρρ+=，βτγρ&ρ-=，则()()()()0,,,,≠=-⋅⨯=-'=''τβτγβτγρρρρρρρρρa a b b a ，故副法线曲面不是可展曲面.2.4 定理4[]4：一曲面为可展曲面的充要条件是此曲面为单参数平面族的包络.证明：充分性：单参数平面族为()()()()0=+++ααααD z C y B x A .则特征线方程为()()()()()()()()()()⎩⎨⎧='+'+'+'==++++=0,,0,,αααααααααD z C y B x A z y x F D z C y B x A z y x F . 它是平面与平面的交线，即为直线，所以这些特征线的轨迹为直纹面，即包络面为直纹面，下证是可展的.由于包络面沿特征线（现为直母线）与族中曲面（平面）相切，所以此平面是直母线所有点的公共切平面，即沿一条直母线有同一个切平面，按可展曲面的定义，它是可展的.必要性：设曲面可展.由于直纹面的坐标曲线为直母线和与导线平行的曲面，所以对于可展曲面，它的直母线就是v 线（u =常数），当u 变化时，得到v 族线，所以可展曲面可以看成是由单参数u 的直母线族所构成的，即可展区面的直母线族仅与单参数有关，而且经过给定的母线，可引唯一的切平面，因此，所有切于可展曲面的切平面也只与一个参数有关，这就是说可展曲面在它每一点处切于它的单参数平面族中的某一平面，即可展曲面是这个单参数平面族的包络. 例4[]4 求证可展曲面()1222=-+y x 是单参数平面族1sin sin cos =-+αααz y x 的包络.证明：先求所给单参数平面族的1sin sin cos =-+αααz y x 包络. 令()1sin sin cos ,,,--+=ααααz y x z y x F ，则()αααααcos cos sin ,,,z y x z y x F -+-=.将方程组中0=F ，0=αF 的参数α消去得到()1222=-+y x .即证得可展曲面()1222=-+y x 是单参数平面族1sin sin cos =-+αααz y x 的包络.2.5 定理5[]2：一个曲面为可展曲面的充要条件是它的高斯曲率恒等于零.证明：如果曲面是可展的，则沿同一直母线的单位法向量n ρ不变，即0=n d ρ，零向量与任意另外的向量共线，因此有r d n d ρρ//.根据罗德里格定理，沿直母线的方向是主方向，并且主曲率01=κ（或02=κ），于是021≡=κκK .反之，如果0≡K ，则021≡=κκK .设02=κ，这时对应它的方向是渐进方向也是主方向，所以这一族渐进曲线也是曲率线. 根据罗德里格定理,沿渐进曲线有r d n d ρρ2κ-=，因而0=n d ρ，即=n ρ常向量.这说明单位法向量沿渐进曲线保持常向量.因此，在所有渐进曲线上曲面的法线都互相平行.又对于渐进曲线的切向量r d ρ有0=⋅n r d ρρ.所以沿渐进曲线有=⋅n r ρρ常向量. 设0r ρ是渐进曲线上某定点0M 的向径，则由以上结果有n r n r ρρρρ⋅=⋅0，即()00=⋅-n r r ρρρ.由此得到连接渐进曲线上的定点0M 和渐进曲线上任意点的向量0r r ρρ-垂直于n ρ，因而必在点0M 的切平面上，所以渐进曲线的所有点都在点0M 的切平面上.于是，这个包含渐进曲线而且垂直于沿它的常法向量n ρ的平面，就是渐进曲线所有点的切平面.换句话说，对同一条渐进曲线上的点，其切平面是同一个.由此可见，曲面是一个单参数平面族的包络面，因而是可展曲面.例5[]2求取面{}v u v v r +=,sin ,cos ρ的高斯曲率.解：令()()v b u v a r ρρρ+=，则所给曲面为{}{}1,0,0,cos ,sin u v v v r +=ρ，则{}v v v a ,cos ,sin =ρ，{}1,0,0=b ρ则{}1,sin ,cos v v a -='ρ，{}0,0,0='b ρ，则()()b b a b b a '⋅⨯'=''ρρρρρρ,,=b vv e e e '⋅-ρρρρ1001sin cos 321=0.即()0,,=''b b a ρρρ.故该曲面是可展曲面，从而其高斯曲率为0.2.6定理6[]2：可展曲面可以与平面成等距对应（简称展为平面）. 证明:在直角坐标系()y x ,下，平面的第一基本形式为22dy dx I +=，在极坐标系()θρ,下，通过变换θρcos =x ，θρsin =y 得第一基本形式22θρd d I +=，（1） 柱面：()()s b v s a r ρρρ+=其中b ρ为沿柱面母线的单位常向量，()s a a ρρ=是与柱面母线正交的一条曲线，s 是它的弧长.于是αρ&ρρ==a r s ，b r v ρρ=，12===αρρρs s r r E ，0==v s r r F ρρ，1==v v r r G ρρ从而第一基本形式为22dv ds I +=.这与上述平面的第一基本形式有相同的形式，因此柱面可以展为平面，.(2)锥面：()()s b v s a r ρρρ+=0，其中0a ρ为常向量，()s b ρ为锥面母线上的单位向量， 而s 是单位球面曲线()s b b ρρ=的弧长，则有12=b ρ，0=⋅b b &ρρ，12=b &ρ，于是b v r s &ρρ=，b r v ρρ=，2v r r E s s ==ρρ，0==v s r r F ρρ，1==v v r r G ρρ第一基本形式为222dv ds v I +=，这与上述平面的第一基本形式有相同的形式，因此锥面可以展为平面.（3） 切线曲面：()()s v s a r αρρρ+=其中()s αρ为曲线()s a a ρρ=的切向量()s a&ρρ=α，s 为曲线()s a ρ的弧长. 于是βκαρρρv r s +=，()s r v αρρ=，221κv r r E s s +==ρρ，1==v s r r F ρρ，1==v v r r G ρρ，有222221dv dsdv ds v I +++=κ.上式中出现曲率，但没有挠率，所以如果两条曲线曲率相同，即使挠率不同，它们的切线曲面也有相同的第一基本形式，即是等距的，由此，现给定曲率和挠率分别为()s κκ=，()s λττ=，()10<≤λ由曲线论基本定理，除空间位置差别外， 确定了唯一一条曲线()c ，当λ从1连续变到0时，得到一个连续的曲线的曲线族{}λc ,这些曲线族的切线曲面也变动，但由于曲率不变，因此这些切线曲面是等距的.当λ=0是τ=0，此时曲线为平面曲线，但平面曲线的切线还在此平面上，这时的切线曲面就是平面曲线所在的平面，但第一基本形式不变，因此切线曲面也可展成曲面.又由前面结论，可展区面只有以上三种，综上所述，命题成立.例6[]3 证明曲面⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++=v u u uv u v u r 243232,2,31ρ可以展为平面.证明：令()()u b v u a r ρρρ+=，则所给曲面为{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=243232,,31,2,u u v u u u r ρ，则{}432,2,u u u a =ρ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=232,,31u u b ρ，从而{}324,6,2u u u a ='ρ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧='u b 34,1,0ρ，则()()()()()b b a u b u b u a '⋅⨯'=''ρρρρρρ,,=b u u u uu e e e '⋅ρρρρ2323213231462 =b '⋅ρ0 =0. 即()0,,=''b b a ρρρ故曲面是可展曲面，从而可以展为平面.参考文献：[1]王幼宁、刘继志.微分几何讲义[M].本经师范大学出版社，2007年1月第一版 [2]梅向明、黄敬之.微分几何[M].高等教育出版社，2003年12月第三版 [3]黄振荣、杨文茂.微分几何[M].武汉大学出版社，2008年9月第一版 [4]陈维桓.微分几何[M].北京大学出版社，2006年6月第1版。
正则参数曲面
则
参
数
曲
面
利用正则参数曲面U1 U2 的 3 次以上连续可微性和正则性，可以证明上述参数变换是可允
许的.
U1
r1
1
D1 1(U1 U2 )
U1 U2
U2
2
r1
r2 2
r21(U1 U2 )
D2
直观上看，正则曲面 S 是由一些正则参数曲面“粘合”而成的. 只有那些与参数的选择
无关的量才是曲面本身的几何量. 如果一个正则曲面有一族保持定向的局部参数化
通过重新选取正交标架 O;i , j,k ，不妨设
yu yv
(u0 ,v0 )
0，
(1.4)
(x, y)
: xu
(u, v) (u0,v0 ) xv
yu
0.
yv (u0 ,v0 )
根据反函数定理，存在 (u0,v0)的邻域U D ，使得 x x(u,v), y y(u,v) 有连续可微的
曲面上点 p(u,v) 的曲纹坐标.
反之，由显式方程 z z(x, y) 表示的曲面总是正则的：如果
r r(x, y) rx, y, z(x, y)，
(1.6)
则
rxBiblioteka 1,0,zx
，
ry
0,1, zy ，从而
rx
ry
zx ,
zy,
1
0.
二、参数变换 曲面的定向(orientation)：对于曲面 S : r r(u,v) ，规定 ru rv 所指的一侧为 S 的正侧.
这样的参数变换称为可允许的(compatible)参数变换. 当 (u,v) 0 时，称为保持定向 (u, v )
(preserve the orientation)的参数变换.
直纹面与通过线与网格曲面的区别
直纹面限定于在两组截面间混合；首尾不能约束曲面的相切连接；
通过曲线组曲面是单方向的多组截面间混合，首尾可以约束曲面。
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其实直纹面可以完全抛弃，功能被加强版的通过曲线完全代替（不过有时候直纹面步骤少一些，）通过曲线功能更强大一些（不但可以，选择更多的通过构造线），更重要的是通过曲线功能仅次于网格（可以最外面的两边可以和相邻面约束成G1或者G2光顺），所以通过曲线构面的用处有时候还是挺广的（特别是逆向构面中，有时候不用网格，某些场合用通过曲线灵活代替可以简化构线的工程量，但效果差不多，比如在补曲面倒角面的场合，用网格补太啰嗦，如果通过曲线两边一约束G1准OK---除了有时候补太长的或者中间拐弯变化太大倒角面还是要在中间添加几根网格构面线用网格的特殊场合。
另外点造型在拆面构面过程中可以代替网格大量使用）
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通过曲线组命令是指通过选择一组截面曲线而生成曲面；曲线网格命令不仅要选择主曲线（起、终主曲线可为点），还要选择交叉曲线。
曲线网格可以添加约束。
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有理直纹面的正则参数化
曲线和曲面是几何建模中的重要工具。
表示曲线和曲面的方法主要有两种：隐式表示和参数表示。
作为数学对象，隐式表示可以方便地定义曲线和曲面。
对隐式表示的曲线和曲面，判断一个点是否在给定的曲线或曲面上也很容易。
但是如果计算机对曲线和曲面进行操作，隐式表示却不是很方便，例如曲线曲面的绘制或演示。
在这些时候就会需要参数表示。
而有理参数表示是参数表示中重要的一类，是几何建模中使用的主要工具之一。
有理参数表示最重要的性质之一是这个有理参数表示是否正则，也就是说，参数点和像点之间是不是存在一一对应。
我们不希望出现非正则的有理参数表示，因为他们包含的多余信息会导致计算量增大。
所以一个自然的问题就是：对于非正则的有理参数表示，我们能否找到一个算法对其正则重新参数化？对代数曲线的情形，答案总是肯定的。
基于Lüroth定理，有很多代数曲线正则重新参数化的算法被提出。
而对代数曲面的情况，目前尚未完全解决。
我们可以用u-结式或Groebner基来判断一个有理参数化曲面是否正则，但是找到一个通用的算法对所有曲面进行正则重新参数化仍是未解决难题。
目前存在的算法都只能解决一些特殊情形。
本文第一次解决了一类有理参数化曲面（有理参数化直纹面）的正则重新参数化问题。
我们分三步来构造直纹面有理参数化的正则重新参数化。
首先，判断给定的参数表示是否有支撑点集造成的非正则性。
若有，利用支撑点集的正则化算法对该参数表示进行重新参数化。
然后，对上一步得到的参数表示进行双有理变换，使得新的参数表示关于一个参数正则。
最后，我们证明了可以把上一步得到的参数曲面看作有变量的平面曲线，并且可以用平面曲线的方法重新参数化。
用这个算法，我们可以把给定的直纹面的有理参数表示重新参数化，使得新的参数表示是正则的。
算法易于实现且效率高。