上海市七宝中学2013-2014学年高一第一学期期末考试数学模拟试题
2014学年高二第一学期七宝中学期末考试卷
2014学年度第一学期高二年级数学期末考试（完卷时间：90分钟 满分：100分）一、填空题（每小题3分，共36分）1、抛物线082=+x y 的焦点坐标为________________2、双曲线8322=-y x 的两条渐近线所成的最小正角为______________3、直线x y 21=关于直线1=x 对称的直线方程是_______________ 4、已知)3,1(A ，)2,5(-B ，点P 在x 轴上，且使||||BP AP -最大，则点P 的坐标为___________5、已知焦点为)3,0(的双曲线方程是8822=-ky kx ，k =______________6、若直线02=++m y x ，按向量=)2,1(--平移后与圆C 042:22=-++y x y x 相切，则实数m 的值为_____________7、已知复数()()24313524i i z -+=，则||z =__________8、抛物线x y 42=上有三点A 、B 、C ，ABC ∆的重心是抛物线的焦点，则 =++||||||___________9、关于x 的方程)(02R p p x x ∈=++至少存在一个根0x ，若1||0=x ，则p =_________10、已知两点）3,4(),5,0(N M -，给出下列曲线方程：（1）012=++y x ；（2）()()21122=+++y x ；（3）1422=+y x ；（4）1422=-y x ，则曲线上存在点P 满足||||PN PM =的方程的序号是__________________11、已知若动点P 在直线02:1=--y x l 上，动点Q 在直线06:2=--y x l 上，设线段PQ 的中点为),(00y x M ，且8)2()2(2020≤-+-y x ，则2020y x +的取值范围是_________12、我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭图形所截得线段的比为定值k ，那么甲的面积是乙的面积的k ，你可以从给出的简单图形①（甲：大矩形ABCD 、乙：小矩形EBCF ）；②（甲：大直角三角形ABC 、乙：小直角三角形D B C ）中体会这个原理，现在图③中的曲线分别是)0(12222>>=+b a by a x 与222a y x =+，运用上面的原理，图（3）中椭圆的面积为________二、选择题（每小题4分，共16分）13、已知点)4,5(),1,1(21P P 到直线l 的距离等于25，则这样的直线l 共有（ ）条。
上海市七宝中学2012-2013学年高一数学下学期期中试题(含解析)
2012-2013学年上海市七宝中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）= ．对已知式=故答案为：．2．（3分）函数的周期为．）的周期为，结合函数的图象特征可得函数﹣）的不变，周期仍为3．（3分）如果tanα•cosα＜0，那么角α的终边在第三或四象限．4．（3分）若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是4cm2．s=所以扇形的面积为：5．（3分）方程|sinx|=1的解集是{x|x=kπ+，k∈Z} ．，﹣+，6．（3分）求值：cos2α+cos2（α+120°）+cos2（α+240°）的值为．++故答案为：7．（3分）已知，，则= ．解：由已知可得：，=故答案为：．8．（3分）设0＜α＜π，且函数f（x）=sin（x+α）+cos（x﹣α）是偶函数，则α的值为．+故答案为：．9．（3分）若，则cosx﹣sinx=．由已知中sinx+cosx=，我们可以确定=1+2sinx•cosx=﹣2sinx•cosx=1﹣=故答案为：的限制，而错解为±10．（3分）设函数f（x）是以2为周期的奇函数，且f（﹣）=7，若sinα=，则f（4cos2α）的值为﹣7 ．（），∴cos2，）∵f（﹣，∴f（））（11．（3分）设tanα和tanβ是方程mx2+（2m﹣3）x+m﹣2=0的两个实根，则tan（α+β）的最小值为﹣．。
2019年七宝中学高一期末
七宝中学高一期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 计算：21lim33n n n →∞-=+ 2. 已知数列{}n a 是等差数列，如果15a =，22a =，那么3a = 3. 已知数列{}n a 是正实数组成的等比数列，如果41a =，816a =，则q =4. 已知等差数列{}n a 前10项和为20，则14710a a a a +++=5. 等比数列{}n a 中，121a a +=，5616a a +=，则910a a +=6. 如果无穷递缩等比数列{}n a 所有奇数项的和等于所有项和的5倍，则公比q =7. 已知等比数列{}n a 为单调递增数列，设其前n 项和为n S ，若22a =，37S =，则5a 的值 为8. 若数列{}n a 满足1120212112n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若159a =，则2019a = 9. 在△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若2222019a b c +=， 则cot cot cot C A B=+ 10. 已知数列{}n a 的通项公式为1sin()22020n n a a =+-，若满足1232019a a a a +++⋅⋅⋅+= 4038，则a =11. 若等差数列{}n a 、{}n b 的公差都为d （0d ≠），若满足对于任意*n ∈N ，都有 n n b a kd -=，其中k 为常数，*k ∈N ，则称它们互为“同宗”数列，已知等差数列{}n a 中， 首项为11a =，2d =，数列{}n b 为数列{}n a 的“同宗”数列，若112233111123lim()90n n n a b a b a b a b →∞+++⋅⋅⋅+=，则k = 12. 现有正整数构成的数阵如下：第一行：1第二行：1 2第三行：1 1 2 3第四行：1 1 2 1 1 2 3 4第五行：1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅第k 行：先抄写第1行，接着按原顺序抄写第2行、第3行、⋅⋅⋅直至按原顺序抄写第1k -行， 最后添上数k （如第四行，先抄写第一行的数1，接着抄写第二行的数1，2，接着抄写第三 行的数1，1，2，3，最后添上4），将按照上述方式写下的第n 个数记作n a （如11a =，21a =，32a =，⋅⋅⋅，143a =，⋅⋅⋅），则1232019a a a a +++⋅⋅⋅+=二. 选择题13. 已知数列{}n a 是等差数列且k 、l 、m 、p 是正整数，则“k l m p +=+”是“k l m p a a a a +=+”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14. 数列{}n a 和{}n b 分别是等差数列和各项均为正数的等比数列，若55a b =，则（ ）A. 3746a a b b +>+B. 3746a a b b +≥+C. 3746a a b b +<+D. 3746a a b b +≤+15. 对任意的锐角α、β，下列不等关系中正确的是（ ）A. cos()sin sin αβαβ+<+B. sin()cos cos αβαβ+>+C. cos()cos cos αβαβ+<+D. sin()sin sin αβαβ+>+16. 已知1a 、2a 、3a 、4a 是等比数列，且1234123lg()a a a a a a a +++=++，若11a >，则（ ）A. 13a a <，24a a <B. 13a a >，24a a <C. 13a a <，24a a >D. 13a a >，24a a >三. 解答题17. 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<）的部分图像，5(,2)12M π，2(,0)3N π. （1）求ω、A 、ϕ；（2）7[,]26x ππ∈时，求()f x 的值域和单调减区间.18. 已知正项数列{}n a 的首项11a =，前n 项和n S 满足22nn n a a S +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 是公比为5的等比数列，且11b a -，22b a -，33b a -也是等比数列，若数 列{}n n a b λ+单调递增，求实数λ的取值范围.19. 已知等比数列{}n a 的公比1q >，且23414a a a ++=，31a +是2a 、4a 的等差中项， 数列{}n b 满足16b =-，数列1{()}n n n b b a +-的前n 项和为2n .（1）求q 的值；（2）求数列{}n b 的通项公式.20. 由函数()y f x =确定数列{}n a ，()n a f n =，若函数1()y f x -=能确定数列{}n b ，1()n b f n -=，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“反数列”.（1）若函数()f x ={}n a 的反数列为{}n b ，求数列{}n b 的通项公式；（2）对（1）中的{}n b21log (82)2a a a ⋅⋅⋅>-对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设1(1)1(1)3(21)22n n c n λλ+---=⋅+⋅-，*λ∈N ，若数列{}n c 的反数列为{}n d ，{}n c 与{}n d 的公共项组成的数列为{}n t （公共项k p q t c d ==，*,,k p q ∈N ），求数列{}n t 的前n 项和n S .21. 已知数列{}n a 满足：11a =，2114n n a a m +=+，其中*n ∈N ，m ∈R . （1）若1a ，m ，2a 成等差数列，求m 的值；（2）若0m =，求数列{}n a 的通项n a ；（3）若对任意正整数n ，都有2n a <，求m 的最大值.参考答案一. 填空题 1. 232. 1-3. 24. 85. 2566. 45-7. 16 8. 29 9. 1009 10. 2 11. 3 12. 3988二. 选择题13. A 14. D 15. C 16. B三. 解答题17.（1）2ω=，2A =，3πϕ=-；（2）[-，11[,]212ππ. 18.（1）n a n =；（2）34λ>-. 19.（1）2q =；（2）2212n n n b -+=-. 20.（1）29n n b =；（2）(0,1)(2,4)U ；（3）3(31)2n n S =-. 21.（1）54；（2）222n n a -=；（3）1.。
上海市七宝中学2013-2014学年高一第一学期期末考试数学模拟试题A
2013学年第一学期期末考试高一数学模拟试题一、填空题（每小题3分，共36分）1．函数写出命题“若00x y >>且，则220x y +>”的否命题 2．已知集合{}1,A x =，{}21,B x =且A B =，则x = 0 ．3．若集合{}2M x x =<，{}lg (1)N x y x ==-，则M N = )2,1( .4．已知实数,a b 满足222a b +=，则ab 的最大值为 1 . 5．函数31()lg 1xf x x x-=++的奇偶性为 奇函数 .6．函数()2234x x x f --⎪⎭⎫⎝⎛=π的单调递增区间是 .7．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0 的x 的取值范围是 )2,2(- .8．已知关于x 的方程265x x a -+=有四个不相等的实数根，则a 的取值范围是 )4,0( .9．函数133,0()31,0x x x f x x ⎧⎪+≤=⎨⎪+>⎩，若()2f a >，则实数a 的取值范围是]),0(0,1(+∞⋃- .10．若函数2x by x -=+在(,4)(2)a b b +<-上的值域为(2,)+∞，则b a += 6- . 11．定义全集U 的子集A 的特征函数为1,()0,A U x Af x x A∈⎧=⎨∈⎩ð，这里U A ð表示A 在全集U 中的补集，那么对于集合U B A ⊆、，下列所有正确说法的序号是 （1）（2）（3） .（1）)()(x f x f B A B A ≤⇒⊆ （2）()1()U A A f x f x =-ð （3）()()()A B A B f x f x f x =⋅ （4）()()()A B A B f x f x f x =+ 12．对任意的120x x <<，若函数1()f x a x x =-的大致图像为如图所示的一条折线（两侧的 射线均平行于x 轴），试写出a 、b 应满足的 条件是 0,0=+>-b a b a . 二、选择题（每小题3分，共12分）13．条件甲：23log 2x =是条件乙：3log 1x =成立的（ B ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．若函数)1,0()1()(≠>--=-a a a a k x f xx在R 上既是奇函数，又是减函数，则)(log )(k x x g a +=的图像是（ A ）15．已知0x 是函数1()21x f x x=+-的一个零点.若()()10201,,,x x x x ∈∈+∞，则 (B ) A ．()()120,0f x f x << B ．()()120,0f x f x <>C ．()()120,0f x f x ><D ．()()120,0f x f x >>16．设)(x f 是定义在R 上的函数．①若存在R x x ∈21,，21x x <，使)()(21x f x f <成立，则函数)(x f 在R 上单调递增； ②若存在R x x ∈21,，21x x <，使)()(21x f x f ≤成立，则函数)(x f 在R 上不可能单调递减； ③若存在02>x 对于任意R x ∈1都有)()(211x x f x f +<成立，则函数)(x f 在R 上递增； ④对任意R x x ∈21,，21x x <，都有)()(21x f x f ≥成立，则函数)(x f 在R 上单调递减． 则以上真命题的个数为（ B ） A.0 B.1 C.2 D.3 三、解答题（10+10+10+10+12=52分）17．设全集U R =，集合1{|||1},{|2}2x A x x a B x x +=-<=≤-． （1）求集合B ； （2）若U A B ⊆ð，求实数a 的取值范围．[12025022(,2)5,)2x x x x B +-≤--∴≥-=-∞⋃+∞ 分分[){12152,52||1(1,1)2342U U aa B x a A a a A Ba -≥+≤=-<∴=-+⊆∴≤≤ ðð分分分18．已知不等式230x x m -+<的解集为{}1,x x n n R <<∈，函数()24f x x ax =-++.（1）求,m n 的值；（2）若()y f x =在(,1]-∞上递增，解关于x 的不等式()2log 320a nx x m -++-<.解：(1) 由条件得：131n n m+=⎧⎨⋅=⎩， 所以22m n =⎧⎨=⎩4 分 (2)因为()24f x x ax =-++在(),1-∞在(),1-∞上递增， 所以12a≥，2a ≥. 2 分()()22log 32log 230a a nx x m x x -++-=-+<.所以2223022310x x x x ⎧-<⎪⎨-+>⎪⎩ 分， 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<><<211230x x x 或.所以102x <<或312x <<. 2 分19．设幂函数()(1)(,)kf x a x a R k Q =-∈∈的图像过点2). （1）求,a k 的值；（2）若函数()()21h x f x b =-+-在[0,1]上的最大值为2，求实数b 的值．(1)1122222k a a k -=∴==∴= 分分（2）2()f x x =222()21()()1[0,1]h x x bx b h x x b b b x =-++-=--+-+∈max 1)1,(1)22b h h b ≥=== 分2max 2)01,()122b h h b b b b <<==-+=∴= 舍）分max 3)0,(0)1212b h h b b ≤==-=∴=- 分综上：212b b ∴==- 或分20．有时可用函数0.115ln ,(6)() 4.4,(6)4a x a xf x x x x ⎧+≤⎪⎪-=⎨-⎪>⎪-⎩描述某人学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某学科知识的学习次数（*x N ∈），()f x 表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关．（1）证明：当7x ≥时，掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是单调递减的；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121]、(121,127]、(127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．0.050.0.42(3)(4)(3)(4)(3)(4)0.320.115ln0.85,2,66x x x x x x a ae a a e a ≥--≥---->∴≥+==--= （1）当x 7时，f(x+1)-f(x)=分而当7时，函数y=单调递增，且 故f(x+1)-f(x)单调递减.当7，掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是单调递减.分 （）由题意可知分 整理得 解得(](]050.05620.506123.0,21123.0121,127123.0121,133.1e ⋅≈⨯=-∈∈ 分由此可知，该学科是乙和丙学科。
2014上海市七宝中学高三第一学期期中考卷
一、填空题1.等差数列}{n a 中，公差1=d ，143=+a a ，则2042a a a +++ = ．2. “41=a ”是“对任意的正数,x 均有1≥+x ax ”的 条件3．若集合{}32<-=x x A ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-=03x x x B ，则=⋂B A .4若()y f x =为定义在D 上的函数，则“存在0x D ∈，使得2200[()][()]f x f x -≠”是“函数()y f x =为非奇非偶函数”的__________________条件.5．函数1()2f x x=-的定义域为_____________ ．6．已知函数⎩⎨⎧>≤=+.0,log ,0,3)(21x x x x f x 若()30>x f ，则0x 的取值范围是____________7.若集合2{|(3)50,},A x x k x k x R A R +=+-++=∈≠Φ，则实数k 的取值范围为___________8．已知对于任意实数x ，函数)(x f 满足)()(x f x f =-. 若方程0)(=x f 有2009个实数解， 则这2009个实数解之和为 .9．方程141log (122)2x x +-=+的解x =____________．10.作为对数运算法则：（）是不正确的。
但对一些特殊值是成立的，例如：。
那么，对于所有使（）成立的应满足函数表达式为 ____________11．已知函数⎩⎨⎧>≤=+.0,log ,0,3)(21x x x x f x 若()30>x f ，则0x 的取值范围是_________12.把函数sin ()y x x R =∈的图像上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图像所表示的函数是 ________13.若α为第二象限角，则cot cos sin = ________14.在一次研究性学习中，老师给出函数，三位同学甲、乙、lg()lg lg a b a b +=+0,0a b >>lg(22)lg 2lg 2+=+lg()lg lg a b a b +=+0,0a b >>,a b ()a f b =()()1xf x x R x=∈+丙在研究此函数时给出命题： 甲：函数的值域为；乙：若，则一定有；丙：若规定，则 对任意恒成立。
2015学年七宝中学高一年级上学期期末考试数学试卷
2015-2016学年上海市闵行区七宝中学高一年级上学期期末考试数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1．函数写出命题“若00x y >>且，则220x y +>”的否命题 【答案】若00022≤+≤≤y x y x ，则或 2．已知集合{}1,A x =，{}21,B x =且A B =，则x =【答案】0【解析】2x x =，则0x =或1x =-(舍，由于不符合集合互异性) 3．若集合{}2M x x =<，{}lg(1)N x y x ==-，则M N =I【答案】)2,1(【解析】{}22M x =-＜＜ }{N=1x ＞4．已知实数,a b 满足222a b +=，则ab 的最大值为 【答案】1【解析】2222ab a b ≤+= 1ab ∴≤ 5．函数31()lg 1xf x x x-=++的奇偶性为 【答案】奇函数 【解析】先求定义域101xx-+＞ 11x ∴-＜＜ 又()()()()()2311lglg 11x xf x xx f x x x----=-+=--=-+-+Q()f x ∴为奇函数6． 函数()2234x x x f --⎪⎭⎫ ⎝⎛=π的单调递增区间是【答案】（-3,-1）【解析】014πQ ＜＜且定义域为2320x x --＞，即31x -＜＜∴增区间为（-3，-1）7．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0 的x 的取值范围是 【答案】)2,2(-【解析】Q ()f x 为偶函数 ()20f ∴-= 又](,0-∞Q 是减 ](2,0∴-上()0f x ＜由于关于y 轴对称，()0,2∴上()0f x ＜8．已知关于x 的方程265x x a -+=有四个不相等的实数根，则a 的取值范围是 【答案】)4,0( 【解析】9．函数133,0()31,0x x x f x x ⎧⎪+≤=⎨⎪+>⎩，若()2f a >，则实数a 的取值范围是【答案】()-1∞，+【解析】130321x x x ≤+>>-当时，解得012x x >+>当时，3恒成立()1,x ∈-+∞综上，10．若函数2x by x -=+在(,4)(2)a b b +<-上的值域为(2,)+∞，则b a += 【答案】6- 【解析】2(2)2()122x b bf x y x x +-++===-++ ()2,+∞在上单调递减2,(4)24a f b b ∴=-+==-解得6a b ∴+=-11．定义全集U 的子集A 的特征函数为1,()0,A U x Af x x A ∈⎧=⎨∈⎩ð，这里U A ð表示A 在全集U 中的补集，那么对于集合U B A ⊆、，下列所有正确说法的序号是 （1）)()(x f x f B A B A ≤⇒⊆ （2）()1()UA A f x f x =-ð（3）()()()A B A B f x f x f x =⋅I （4）()()()A B A B f x f x f x =+U 【答案】（1）（2）（3） 【解析】12．对任意的120x x <<，若函数12()f x a x x b x x =-+- 的大致图像为如图所示的一条折线（两侧的 射线均平行于x 轴），试写出a 、b 应满足的 条件是 【答案】0,0=+>-b a b a 【解析】(1),()()1()()0()()0,()1()()()()(1)1,(2)()1(),(2)0,(3)()U A B U A B U A B A B A B U C A A A B A B x A x B f x f x x A x B x C B f x f x x A x B x C A B f x f x f x f x f x f x x C Af x f x x A f x ⋂⊆∈∈==∉∉∈==∉∈∈⋂==≤≤∈⎧==-⎨∈⎩Q 分类讨论：①当，则，此时，②当，且，即此时，③当，且，即时，，此时，综合有，故正确。
七宝中学高一期末(2016.06)
七宝中学高一期末数学试卷2016.06一. 填空题 1. 方程cos sin6x π=的解为x =2. 设{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则28a a +=3. 求值：2sin[arccos()]3-= 4. 函数arccos(sin )y x =在2(,)33x ππ∈-上的值域为5. 设数列{}n a 的前n 项和n S ，若11a =-，1102n n S a +-=（*n N ∈），则{}n a 的通项公 式为6. 利用数学归纳法证明不等式“111123212n n+++⋅⋅⋅+>-（2n ≥，*n N ∈）”的过程中， 由“n k =”变到“1n k =+”时，左边增加了 项7. 若()2sin 1f x x =-在区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）上至少含有30个零点，则b a -的 最小值为8. 设数列{}n a 的通项公式为131()32n n n n a n ≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则12lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=9. 已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，12,21,n n a n -⎧=⎨-⎩ n n 为正奇数为正偶数，则9S =10. 对于正项数列{}n a ，定义12323n n nH a a a na =+++⋅⋅⋅+为{}n a 的“光阴”值，已知数列{}n a 的“光阴”值为22n H n =+，则其通项公式为11. 在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是 12. 关于x 的方程224arctan(cos )0x x a π-+⋅=只有一个实数根，则实数a = 13. 已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，已知3222014(2)2013(2)sin3a a π-+-=， 3201320132015(2)2013(2)cos6a a π-+-=，则2014S = 14. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 的各项按如下规律排列：12、13、23、14、24、34、15、25、35、45、⋅⋅⋅、1n 、2n 、⋅⋅⋅、1n n-、⋅⋅⋅有如下运算结论： ① 2438a =； ② 数列1a 、23a a +、456a a a ++、78910a a a a +++、⋅⋅⋅是等比数列；③ 数列1a 、23a a +、456a a a ++、78910a a a a +++、⋅⋅⋅的前n 项和为24n n nT +=；④ 若存在正整数k ，使10k S <，110k S +≥，则57k a =；其中正确的结论是 （将你认为正确的结论序号都填上）二. 选择题15. 已知{}n a 、{}n b 都是公差不为0的等差数列，且lim 2nn na b →∞=，12n n S a a a =++⋅⋅⋅+，则22limnn nS nb →∞的值为（ ）A. 2B. 1-C. 1D. 不存在16. 设{}n a 是公比为q (0||1)q <<的无穷等比数列，若{}n a 的前四项之和等于第五项起 以后所有项之和，则数列21{}n a -是（ ） A. 公比为12的等比数列 B.公比为2的等比数列C.或-的等比数列 D.或17. 函数sin(2)y x ϕ=+(0)2πϕ<<图像的一条对称轴在(,)63ππ内，则满足此条件的一个 ϕ值为（ ）A.56π B. 6π C. 3πD. 12π 18. 若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列命题：（1）若数列{}n a 是递增数列，则数列{}n S 也是递增数列； （2）数列{}n S 是递增数列的充要条件是数列{}n a 的各项均为正数；（3）若{}n a 是等差数列(0)d ≠，则120k S S S ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=的充要条件是120k a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=； （4）若{}n a 是等比数列，则120k S S S ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=的充要条件是10k k a a ++=； 其中，正确命题的个数是（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个三. 解答题19. 已知函数2()(2)2f x x n x n =+--图像与x 轴正半轴的交点为(,0)n A a ，n 为正整数； （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令13(1)2n n aan n b λ-=+-⋅⋅（n 为正整数），问是否存在非零整数λ，使得对任意正整数n ，都有1n n b b +>，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；20. 已知函数22()cos 3sin cos 2f x x x x x =⋅++-，x R ∈；（1）求函数()f x 在(0,)π上的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，若()2f A =，4C π=，2c =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的值；21. 已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>； （1）令1ω=，判定函数()()()2F x f x f x π=++的奇偶性，并说明理由；（2）令2ω=，将函数()y f x =图像向右平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，对任意a R ∈，求()y g x =在区间[,10]a a π+上零点个数的所有可能值；22. 已知数列{}n a 满足：11a =，10.5,2,n n na n a a n ++⎧=⎨-⎩ n n 为正奇数为正偶数，22n n b a =-；（1）求2a 、3a 、4a ；（2）求证：数列{}n b 为等比数列，并求其通项公式； （3）求和242n n T a a a =++⋅⋅⋅+；23. 已知{}n a 、{}n b 为两非零有理数列（即对任意的*i N ∈，i a 、i b 均为有理数），{}n d 为 一无理数列（即对任意的*i N ∈，i d 为无理数）；（1）若2n n b a =-，并且22()(1+)0n n n n n n a b d a d d +-=对任意的*n N ∈恒成立，试求{}n d的通项公式；（2）若3{}n d 为有理数列，试证明：对任意的*n N ∈，22()(1+)1n n n n n n a b d a d d +-=恒成立的充要条件为611n n a d =+且361nn nd b d =+； （3）已知24sin 225θ=(02)πθ<<，n d =n d ；参考答案一. 填空题1. 23k ππ±()k Z ∈ 2.23π 3. 3 4. 5[0,)6π5. 21,123,2n n n a n --=⎧=⎨-⋅≥⎩ 6. 2k7. 863π 8. 14524 9. 377 10. 212n n+ 11. (0,]3π 12. 1± 13. 4028 14. ①③④二. 选择题15. C 16. B 17. D 18. B三. 解答题19.（1）n a n =；（2）当n 为奇数，13()2n λ-<，当n 为偶数，13()2n λ->-，∴ 1.51λ-<<，∵0λ≠，∴1λ=-；20.（1）()2sin(2)6f x x π=-，(0,]3π和5[,)6ππ；（2）3A π=，32S +=； 21.（1）非奇非偶；（2）()2sin(2)13g x x π=-+，零点个数可能值集合为{20,21}；22.（1）232a =，352a =-，474a =；（2）1()2n n b =-；（3）121()2nn T n =-+；23.（1）1n d =或1；（2）证明略；（3）4tan 3θ=或34，n d =n d =。
上海市七宝中学高三上学期期末考试数学试题(解析版)
2019年上海市闵行区七宝中学高考数学一模试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.设集合P1={x|x2+ax+1＞0}，P2={x|x2+ax+2＞0}，其中a∈R，下列说法正确的是（）A. 对任意a，P1是P2的子集B. 对任意a，P1不是P2的子集C. 存在a，使得P1不是P2的子集D. 存在a，使得P2是P1的子集【答案】A【解析】解：由x2+ax+1＞0，则有x2+ax+2=x2+ax+1+1＞0+1＞0，由x2+ax+2＞0，则有x2+ax+1=x2+ax+2-1＞-1，不能推出x2+ax+1＞0，即P1⊊P2，故选：A．由不等式的性质得：由x2+ax+1＞0，则有x2+ax+2=x2+ax+1+1＞0+1＞0，由x2+ax+2＞0，不能推出x2+ax+1＞0，由集合间的关系得：P1⊊P2，得解．本题考查了集合间的关系，不等式的性质，属简单题．2.△ABC中，a2：b2=tan A：tan B，则△ABC一定是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】D【解析】解：∵a2：b2=tan A：tan B，由正弦定理可得，==∵sin A sin B≠0∴∴sin A cosA=sin B cosB即sin2A=sin2B∴2A=2B或2A+2B=π∴A=B或A+B=，即三角形为等腰或直角三角形故选：D．由已知a2：b2=tan A：tan B，利用正弦定理及同角基本关系对式子进行化简，然后结合二倍角公式在进行化简即可判断本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理的应用，式子变形是解题的关键和难点．3.抛物线y=2x2上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长度为3，则点M的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】解：设直线AB的方程为y=kx+b，联立，化为2x2-kx-b=0，由题意可得△=k2+8b＞0．∴x1+x2=，x1x2=-．∵|AB|=×=3，AB中点M的纵坐标=x=+b==．故选：A．设直线AB的方程为y=kx+b，与抛物线方程联立得到△＞0即根与系数的关系，再利用中点坐标公式和基本不等式即可得出．熟练掌握抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为与抛物线方程联立得到△＞0，即根与系数的关系、中点坐标公式和基本不等式等是解题的关键．4.已知正数数列{a n}满足a n+1≥2a n+1，且a n＜2n+1对n∈N*恒成立，则a1的范围为（）A. [1，3]B. （1，3）C. （0，3]D. （0，4）【答案】C【解析】解：正数数列{a n}满足a n+1≥2a n+1，可得1+a n+1≥2（a n+1），设b n=1+a n，（a n＞0，b n＞1）即有b2≥2b1，b3≥2b2，…，b n≥2b n-1，累乘可得b n≥b1•2n-1，可得1+a n≥（1+a1）•2n-1，又a n＜2n+1对n∈N*恒成立，可得1+2n+1＞1+a n≥（1+a1）•2n-1，即有1+2n+1＞（1+a1）•2n-1，可得a1＜3+恒成立，由3+＞3，可得0＜a1≤3．故选：C．由条件可得1+a n+1≥2（a n+1），设b n=1+a n，（a n＞0，b n＞1），运用累乘法，结合不等式恒成立，即可得到所求范围．本题考查数列的递推式，注意累乘法的运用，考查等比数列的通项公式，考查不等式的性质和恒成立思想，属于中档题．二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.设A={x||x|≤2018，x∈R}，B={x|y=，x∈R}，则A∩B=______．【答案】∅【解析】解：A={x|-2018≤x≤2018}，B={2019}；∴A∩B=∅．故答案为：∅．可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算．6.已知定义域在[-1，1]上的函数y=f（x）的值域为[-2，0]，则函数y=f（cos）的值域是______．【答案】[-2，0]【解析】解：∵cos∈[-1，1]；∴；即y∈[-2，0]；∴该函数的值域为[-2，0]．故答案为：[-2，0]．可以看出-1，从而对应的函数值，这便得出了该函数的值域．考查函数定义域、值域的概念，本题可换元求值域：令cos=t，-1≤t≤1，从而得出f（t）∈[-2，0]．7.若行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（-1，2），则实数a等于______．【答案】4【解析】解：∵行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（-1，2），∴|ax-2|＜6的解集为（-1，2），∴-6＜ax-2＜6，即-4＜ax＜8解集为（-1，2），解得a=4．故答案为：4．推导出|ax-2|＜6的解集为（-1，2），从而-4＜ax＜8解集为（-1，2），由此能求出a的值．本题考查实数值的求法，考查行列式展开法则、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.在（0，2π）内使sin3x＞cos3x成立的x的取值范围是______．【答案】（，）【解析】解：由题意，设f（x）=sin3x-cos3x，x∈（0，2π），∴f（x）=（sin x-cos x）（sin2x+sin x cosx+cos2x）=（sin x-cos x）（1+sin2x），又1+sin2x＞0恒成立，∴sin x-cos x＞0，即sin x＞cos x，即＜x＜时，f（x）＞0，∴（0，2π）内使sin3x＞cos3x成立的x的取值范围是（，）．故答案为：（，）．设f（x）=sin3x-cos3x，x∈（0，2π），化f（x）=（sin x-cos x）（1+sin2x），判断sin x-cos x ＞0时（x）＞0，由此求出不等式成立的x的取值范围．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化应用问题，是中档题．9.在等差数列{a n}中，S7=8，则a4=______．【答案】【解析】解：在等差数列{a n}中，由S7=，得．故答案为：．由等差数列的性质及前n项和列式求解．本题考查等差数列的前n项和，考查等差数列的性质，是基础题．10.已知f（x+1）=2x-2，那么f-1（2）的值是______．【答案】3【解析】解：令t=x+1则x=t-1所以f（t）=2t-1-2所以f（x）=2x-1-2令f（x）=2x-1-2=2，解得x=3∴f-1（2）=3故答案为：3．令t=x+1，将已知等式中的x一律换为t，求出f（t）即得到f（x），然后令f（x）=2x-1-2=2，求出相应的x，即为f-1（2）的值．已知f（ax+b）的解析式，求f（x）的解析式，一般用换元的方法或配凑的方法，换元时，注意新变量的范围，同时考查了反函数求值，属于基础题．11.甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为______．【答案】【解析】解：甲、乙相邻的方法有=12种情况，如果满足甲、丙相邻，则有=4种情况，所以所求的概率为P==．故答案为：．4人排成一排，其中甲、乙相邻的情况有12种，其中甲丙相邻的只有4种，由此能求出甲乙相邻，则甲丙相邻的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．12.若P（x，y）是双曲线上的动点，则|x-y|最小值是______．【答案】2【解析】解：P（x，y）是双曲线上的动点，设：x=，y=2tanθ，所以|x-y|=|-2tanθ|==，表达式的几何意义是单位圆上的点与（0，）距离的2倍，可得：∈[2，2+2]，故答案为：22．利用双曲线方程，通过三角代换转化求解x，y，然后求解|x-y|的最小值．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．13.设点P到平面α的距离为，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于30°且不大于60°，则这样的PQ所构成的区域体积为______．【答案】【解析】解：如图，过P作PO⊥α，则PO=，当∠PQO=60°时，OQ=1，当∠PQO=30°时，OQ=3．∴PQ所构成的区域体积为V=．故答案为：．由题意画出图形，分别求出两个圆锥的半径，代入圆锥体积公式作差即可．本题考查圆锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．14.已知AB为单位圆上弦长为的弦，P为单位圆上的点，若f（λ）=||的最小值为m（其中λ∈R），当点P在单位圆上运动时，则m的最大值为______．【答案】【解析】解：设λ=，则f（λ）=||=|-|=||，又C点在直线AB上，要求f（λ）最小值，等价为求出||的最小值，显然当CP⊥AB时，CP最小，可得f（λ）的最小值m为点P到AB的距离，∵|AB|=，∴|BC|=，则|OC|===，则|CP|=|OP|+|OC|=1+=，即m的最大值为，故答案为：．设λ=，根据向量减法的运算法则，转化为点到直线的距离，利用直线和圆相交时的垂径定理结合勾股定理进行求解即可．本题考查向量共线定理的运用，以及圆的垂径定理和勾股定理的运用，利用向量的基本运算结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．15.已知函数f（a，x）=sin x+cos x随着a，x在定义域内变化时，该函数的最大值为______ 【答案】2【解析】解：函数f（a，x）=sin x+cos x=sin（x+θ）（θ为辅助角），即有f（a，x）≤（sin（x+θ）=1取得等号），由柯西不等式可得（+）2≤（1+1）（a+1-a）=2，当且仅当a=时，取得等号，即有+≤，即f（a，x）的最大值为2．故答案为：2．运用辅助角公式和正弦函数的值域可得f（a，x）≤，再由柯西不等式，计算可得所求最大值．本题考查函数的最值求法，注意运用辅助角公式和正弦函数的值域，以及柯西不等式，考查运算能力，属于中档题．16.已知定义在R+上的函数f（x）=，设a，b，c为三个互不相同的实数，满足，f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围为______．【答案】（81，144）【解析】解：作出f（x）的图象如图：当x＞9时，由f（x）=4-=0，得x=16，若a，b，c互不相等，不妨设a＜b＜c，因为f（a）=f（b）=f（c），所以由图象可知0＜a＜3＜b＜9，9＜c＜16，由f（a）=f（b），得1-log3a=log3b-1，即log3a+log3b=2，即log3（ab）=2，则ab=9，所以abc=9c，因为9＜c＜16，所以81＜9c＜144，即81＜abc＜144，所以abc的取值范围是（81，144）．故答案为：（81，144）．先判断函数的性质以及图象的特点，设a＜b＜c，由图象得ab是个定值，利用数形结合的思想去解决即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合得到ab是个常数是解决本题的关键．综合考查学生的推理能力．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.在长方体ABCD-A1B1C1D1中（如图），AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点．（1）求异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体D1CDE是否为鳖臑？并说明理由．【答案】解：（1）取CD中点F，连接AF，则AF∥EC，∴∠D1AF为异面直线AD1与EC所成角．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，由AD=AA1=1，AB=2，得，AF=，，∴△AD1F为等边三角形，则．∴异面直线AD1与EC所成角的大小为；（2）连接DE，∵E为AB的中点，∴DE=EC=，又CD=2，∴DE2+CE2=DC2，得DE⊥CE．∵D1D⊥底面DEC，则D1D⊥CE，∴CE⊥平面D1DE，得D1E⊥CE．∴四面体D1CDE的四个面都是直角三角形，故四面体D1CDE是鳖臑．【解析】（1）取CD中点F，连接AF，则AF∥EC，即∠D1AF为异面直线AD1与EC所成角，解三角形可得△AD1F为等边三角形，从而得到异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）证明DE⊥CE，进一步得到D1E⊥CE，可知四面体D1CDE是鳖臑．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中直线与直线，直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18.设S，T是R的两个非空子集，如果函数y=f（x）满足：①T={f（x）|x∈S}；②对任意x1，x，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称函数y=f（x）为集合S到集合T的“保序2同构函数”．（1）试判断下列函数f（x）=，f（x）=tan（πx-）是否是集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数；请说明理由．（2）若f（x）=是集合[0，s]到集合[0，t]是保序同构函数，求s和t的最大值．【答案】解：（1）由②知，函数为增函数即可．若f（x）=，当0＜x＜1时，-1＜-x＜0，函数y=为增函数，同时y=-为增函数，即f（x）=为增函数，满足条件．若f（x）=tan（πx-），当0＜x＜1时，0＜πx＜π，-＜πx-＜，此时函数f（x）为增函数，满足条件．即两个函数都是集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数．（2）函数f（x）为f′（x）==，当x＞0时，由f′（x）＞0得1-x2＞0得x2＜1，得0＜x＜1，由f′（x）＜0得1-x2＜0得x2＞1，即x＞1，即函数f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，+∞）上是减函数，则s的最大值为1，t的最大值为f（1）=．【解析】（1）根据集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数的定义，判断函数是否是单调递增函数即可；（2）利用导数研究函数f（x）=在x≥0上的单调区间，结合保序同构函数的定义进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，结合新定义保序同构函数转化为判断函数的单调性是解决本题的关键．19.如图，已知一个长方形展览大厅长为20m，宽为16m，展厅入口位于其长边的中间位置，为其正中央有一个圆心为C的圆盘形展台，现欲在展厅一角B点处安装一个监控摄像头对展台与入口进行监控（如图中阴影所示），要求B与圆C在同一水平面上．（1）若圆盘半径为2m，求监控摄像头最小水平摄像视角的正切值；（2）若监控摄像头最大水平摄像视角为60°，求圆盘半径的最大值．（注：水平摄像视角指镜头中心点与水平观察物体边缘的视线的夹角）【答案】解：（1）过C作入口所在边的高AC，垂足为A，由题意可知AC=8，AB=10，BC==2，∴tan∠ABC==，过B作圆C的切线BE，切点为E，则CE⊥BE，CE=2，且∠ABE为监控摄像头最小水平摄像视角．∵BE==12，∴tan∠CBE==，∴tan∠ABE=tan（∠ABC+∠CBE）===1+．∴当圆盘半径为2时，监控摄像头最小水平摄像视角的正切值为1+．（2）过B作直线BD，使得∠ABD=60°，过C作CM⊥BD，垂足为M，则∠CBD=60°-∠ABC，∴tan∠CBD=tan（60°-∠ABC）==．设圆盘的最大半径为r，则tan∠CBD===．解得r=5-4．∴圆盘的最大半径为5-4．【解析】（1）分别求出∠ABC和∠CBE的正切值，利用两角和的正切公式计算；（2）利用两角差的正切公式计算tan∠CBE，再根据正切的定义列方程求出圆的半径．本题考查了函数模型的应用，直线与圆的位置关系，属于中档题．20.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F1任作一条与坐标轴都不垂直的直线，与C交于A，B两点，且△ABF2的周长为8．当直线AB的斜率为时，AF2与x轴垂直．（1）求椭圆C的方程（2）若A是该椭圆上位于第一象限的一点，过A作圆x2+y2=b2的切线，切点为P，求|AF1|-|AP|的值；（3）设P（0，m）（m≠±b）为定点，直线l过点P与x轴交于点Q，且与椭圆交于C，D 两点，设=，=，求λ+μ的值．【答案】解：（1）∵△ABF2的周长为8，∴4a=8，即a=2，∵tan∠AF1F2=，设|AF2|=3m，则|F1F2|=2c=4m，∴|AF1|=5m，∵|AF1|+|AF2|=2a=4，∴3m+5m=4，∴m=，∴2c=2，∴c=1，∴b2=a2-c2=3，∴椭圆C的方程+=1，（2）设A（x0，y0），则+=1，（|x0|＜2）∴|AF1|2=（x0+1）2+y02=（x0+4）2，∴|AF1|=2+x0，连接OP，OP，由相切条件知：|PA|2=|OP|2-|OP|2=x02+y02-3=x02+3-x02-3=x02，∴|PA|=x0，∴|AF1|-|AP|=2+x0-x0=2．（3）设C（x1，y1），D（x2，y2），显然可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为x=k（y-m），令y=0，可得x=-km，则Q（-km，0），由=，得（x1+km，y1）=λ（x1，y1-m），则y1=λ（y1-m），即λ==1+，=，可得（x2+km，y2）=μ（x2，y2-m），即μ=1+将x=k（y-m），代入椭圆+=1中（4+3k2）y2-6mk2y+3k2m2-12=0，由韦达定理得y1+y2=，y1y2=，∴λ+μ=2+m（+）=2+m•=2+m•=2+==．【解析】（1）根据题意4a=8，再根据勾股定理求出c=1，即可求出椭圆方程，（2）由题意，根据直线和圆相切，以及勾股定理可得AF1|=2+x0，|PA|=x0，即可求出|AF1|-|AP|的值（3）根据向量的运算可得λ+μ=2+m（+），再题意直线l的方程为x=y（x+m），代入，由此利用韦达定理结合已知条件，即可求出．本题考查椭圆的求法，考查直线和椭圆的位置关系，韦达定理，考查两数和为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21.设正项数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，q为非零正常数，已知对任意整数n，m，当n＞m时，S n-S m=q m•S n-m恒成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明数列{}是递增数列；（3）是否存在正常数c使得{lg（c-S n）}为等差数列？若存在，求出常数c的值；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）因为对任意正整数n，m，当n＞m时，S n-S m=q m•S n-m总成立，所以n≥2时，令m=n-1，得到S n-S n-1=q n-1•S1，即a n=a1q n-1=q n-1，当n=1时，也成立，所以a n=q n-1，（2）证明：当q=1时，S n=n，==1-随着n的增大而增大；当q＞0，q≠1时，S n=，=，由-=-=＜0，可得数列{}是递增数列；（3）假设存在正常数c使得{lg（c-S n）}为等差数列．当q=1时，S n=n，q≠1时，S n=，{lg（c-S n）}为等差数列，可得q≠1，lg（c-+）=lg=n lg q-lg（1-q）为等差数列，即有c=（0＜q＜1），【解析】（1）由已知条件，可令m=n-1，代入结合数列的递推式，即可得到所求通项公式；（2）讨论公比q是否为1，求得S n，以及，由单调性的定义即可得证；（3）假设存在正常数c使得{lg（c-S n）}为等差数列，结合对数的运算性质和等差数列的通项公式，即可得到所求结论．本题考查数列的通项和求和的关系，考查等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的单调性的判断，考查运算能力，属于中档题．。
2024学年上海市七宝中学高三数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析
2024学年上海市七宝中学高三数学第一学期期末质量检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．832．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.A ．5.45B ．4.55C ．4.2D ．5.83．已知数列{}n a 中，112,()1,n n n a n a a a n N *+=-=+∈ ，若对于任意的[]*2,2,a n N ∈-∈，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．(][),21,-∞-⋃+∞ B ．(][),22,-∞-⋃+∞ C ．(][),12,-∞-⋃+∞D ．[]2,2-4．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ∃∈R ，22x x >，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝5．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）A ．2B ．3C ．23D ．12-6．已知正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为4，E 、F 、G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点.若O 在三棱锥A BCD -内，且三棱锥A BCD -的体积是三棱锥O BCD -体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积的比值为（ ） A ．63πB ．83πC ．3πD ．3π7．已知集合{}1,0,1,2A =-，()(){}120B x x x =+-<，则集合A B 的真子集的个数是（ ）A ．8B ．7C ．4D ．38．已知i 为虚数单位，则()2312ii i +=-（ ） A ．7455i + B ．7455i - C ．4755i + D ．4755i - 9．函数()5sin 20312f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域为（ ） A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ） A ．()p q ⌝∨为真命题 B ．p q ∨为真命题 C ．p q ∧为真命题D ．()p q ∧⌝为假命题11．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a <”是“20210S <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体ABCD 侧棱，直角边AE 绕斜边AB 旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：（1）四面体E -BCD 的体积有最大值和最小值； （2）存在某个位置，使得AE BD ⊥；（3）设二面角D AB E --的平面角为θ，则DAE θ≥∠；（4）AE 的中点M 与AB 的中点N 连线交平面BCD 于点P ，则点P 的轨迹为椭圆. 其中，正确说法的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
七宝中学高一数学期末复习试卷
七宝中学高一数学期末复习试卷（满分100分，90分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸上）一．填空题：每小题3分，共42分1．命题“若a ＞b ，则33a b >”的逆命题是 ． 2．已知集合}|{},1|{a x x B x x A ≥=≤=，且,R =B A 则实数a 的取值范围是 ．3．不等式2|12|≥+x 的解为 ．4.设函数⎩⎨⎧∉∈=Qx Q x x D 01)(，令)1()(+=x D x F ，则）)((x D F = ． 5.设函数xa x x x f ))(1()(++=为奇函数，则实数a= ． 6．若函数)1,0()(≠>=a a a x f x 的反函数的图像过点)1,2(-，则a= ．7.方程)2lg(2--x x =)6lg(2x x --的解为 ．8.若函数2)1(22+-+=x a x y 在区间(]4-，∞上单调递减，则实数a 的取值范围是 ．9.函数)(22)(22R x x x x f ∈-+=的最小值是 ．10.若函数k x x f --=1||1)(只有一个零点，则实数k= ． 11.已知()()()()2111x a x , x f x a , x -+<⎧⎪=⎨≥⎪⎩（a ＞0，1a ≠）是R 上的增函数，那么实数a 的取值范围是 。
12.若不等式210x kx k -+->对(1,2)x ∈恒成立，则实数k 的取值范围是 ．13．定义在R 上的函数)(x f 满足)(2)2(x f x f =+，当]2,0[∈x 时，x x x f 2)(2-=，则当]2,4[--∈x 时，函数)(x f 的最小值为_______________．14.已知函数x x f 241)(-=的图像关于点P 对称，则点P 的坐标是 ． 二．选择题：每小题3分，共12分15．下列函数中，与函数1y x = 有相同定义域的是 ( ) （A ）2()log f x x = （B ）1()f x x=（C ） ()||f x x = （D ）()2x f x = 16．幂函数)(x f y =的图像经过点)21,4(，则1()4f 的值为 ( ) （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）417．“2=a ”是函数||)(a x x f -=在[)∞+，2上为增函数的 ( ) （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件18．定义区间(,)c d ，[,)c d ，(,]c d ，[,]c d 的长度均为()d c d c ->.已知实数a b >，则满足111x a x b+≥--的x 构成的区间的长度之和为 ( ) （A ）a-b（B ）a+b （C ）2 （D ）4三．解答题：19题8分，20题10分，21题12分，22题16分19．设)10(log )()(≠>=a a x f x g a 且(1)若)(x f 在定义域D 内是奇函数，求证： 1)()(=-⋅x g x g(2)若ax x g =)(且在[1，3]上最大值是23，求a 的值 （3）若x ax x g -=2)(，是否存在a 使得)(x f 在区间[2，4]上是增函数？如果存在，说明a 可以取哪些值；如果不存在，请说明理由。
上海市七宝中学高一数学上学期期末模拟试题(A卷)沪教
2013学年第一学期期末考试高一数学模拟试题一、填空题（每小题3分，共36分）1．函数写出命题“若00x y >>且，则220x y +>”的否命题 2．已知集合{}1,A x =，{}21,B x =且A B =，则x = 0 ．3．若集合{}2M x x =<，{}lg(1)N x y x ==-，则M N =I)2,1( .4．已知实数,a b 满足222a b +=，则ab 的最大值为 1 . 5．函数31()lg 1xf x x x-=++的奇偶性为 奇函数 .6．函数()2234x x x f --⎪⎭⎫⎝⎛=π的单调递增区间是 .7．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0 的x 的取值范围是 )2,2(- .8．已知关于x 的方程265x x a -+=有四个不相等的实数根，则a 的取值范围是 )4,0( .9．函数133,0()31,0x x x f x x ⎧⎪+≤=⎨⎪+>⎩，若()2f a >，则实数a 的取值范围是]),0(0,1(+∞⋃- .10．若函数2x by x -=+在(,4)(2)a b b +<-上的值域为(2,)+∞，则b a += 6- . 11．定义全集U 的子集A 的特征函数为1,()0,A U x Af x x A ∈⎧=⎨∈⎩ð，这里U A ð表示A 在全集U 中的补集，那么对于集合U B A ⊆、，下列所有正确说法的序号是 （1）（2）（3） .（1）)()(x f x f B A B A ≤⇒⊆ （2）()1()UA A f x f x =-ð（3）()()()A B A B f x f x f x =⋅I （4）()()()A B A B f x f x f x =+U 12．对任意的120x x <<，若函数1()f x a x x =-的大致图像为如图所示的一条折线（两侧的 射线均平行于x 轴），试写出a 、b 应满足的 条件是 0,0=+>-b a b a . 二、选择题（每小题3分，共12分）13．条件甲：23log 2x =是条件乙：3log 1x =成立的（ B ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．若函数)1,0()1()(≠>--=-a a a a k x f xx在R 上既是奇函数，又是减函数，则)(log )(k x x g a +=的图像是（ A ）15．已知0x 是函数1()21xf x x=+-的一个零点.若()()10201,,,x x x x ∈∈+∞，则 (B ) A ．()()120,0f x f x << B ．()()120,0f x f x <>C ．()()120,0f x f x ><D ．()()120,0f x f x >> 16．设)(x f 是定义在R 上的函数．①若存在R x x ∈21,，21x x <，使)()(21x f x f <成立，则函数)(x f 在R 上单调递增； ②若存在R x x ∈21,，21x x <，使)()(21x f x f ≤成立，则函数)(x f 在R 上不可能单调递减； ③若存在02>x 对于任意R x ∈1都有)()(211x x f x f +<成立，则函数)(x f 在R 上递增； ④对任意R x x ∈21,，21x x <，都有)()(21x f x f ≥成立，则函数)(x f 在R 上单调递减． 则以上真命题的个数为（ B ） A.0 B.1 C.2 D.3 三、解答题（10+10+10+10+12=52分）17．设全集U R =，集合1{|||1},{|2}2x A x x a B x x +=-<=≤-． （1）求集合B ； （2）若U A B ⊆ð，求实数a 的取值范围．[12025022(,2)5,)2x x x x B +-≤--∴≥-=-∞⋃+∞Q L L L L 分分[){12152,52||1(1,1)2342U U aa B x a A a a A B a -≥+≤=-<∴=-+⊆∴≤≤L L Q L L Q L L ðð分分分18．已知不等式230x x m -+<的解集为{}1,x x n n R <<∈，函数()24f x x ax =-++.（1）求,m n 的值；（2）若()y f x =在(,1]-∞上递增，解关于x 的不等式()2log 320a nx x m -++-<.解：(1) 由条件得：131n n m+=⎧⎨⋅=⎩， 所以22m n =⎧⎨=⎩4L L 分 (2)因为()24f x x ax =-++在(),1-∞在(),1-∞上递增， 所以12a≥，2a ≥. 2L L 分()()22log 32log 230a a nx x m x x -++-=-+<.所以2223022310x x x x ⎧-<⎪⎨-+>⎪⎩L L 分， 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<><<211230x x x 或.所以102x <<或312x <<. 2L L 分19．设幂函数()(1)(,)kf x a x a R k Q =-∈∈的图像过点2). （1）求,a k 的值；（2）若函数()()21h x f x b =-+-在[0,1]上的最大值为2，求实数b 的值．(1)1122222k a a k -=∴==∴=L L L L 分分（2）2()f x x =222()21()()1[0,1]h x x bx b h x x b b b x =-++-=--+-+∈max 1)1,(1)22b h h b ≥===L L 分2max 2)01,()12122b h h b b b b <<==-+=±∴=L L 舍）分max 3)0,(0)1212b h h b b ≤==-=∴=-L L 分综上：212b b ∴==-L L 或分20．有时可用函数0.115ln ,(6)() 4.4,(6)4a x a x f x x x x ⎧+≤⎪⎪-=⎨-⎪>⎪-⎩描述某人学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某学科知识的学习次数（*x N ∈），()f x 表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关．（1）证明：当7x ≥时，掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是单调递减的；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121]、(121,127]、(127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．0.050.0.42(3)(4)(3)(4)(3)(4)0.320.115ln0.85,2,66x x x x x x a ae a a e a ≥--≥---->∴≥+==--=L L L L L L （1）当x 7时，f(x+1)-f(x)=分而当7时，函数y=单调递增，且 故f(x+1)-f(x)单调递减.当7，掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是单调递减.分 （）由题意可知分 整理得 解得050.05620.506123.0,2⋅≈⨯=L L 分21．对于函数12(),(),()f x f x h x ，如果存在实数,a b 使得12()()()h x a f x b f x =⋅+⋅，那么称()h x 为12(),()f x f x 的生成函数.（1）下面给出两组函数，()h x 是否分别为12(),()f x f x 的生成函数？并说明理由； 第一组：12()lg,()lg10,()lg 10xf x f x x h x x ===； 第二组：1)(,1)(,)(22221+-=++=-=x x x h x x x f x x x f ；（2）设12212()log ,()log ,2,1f x x f x x a b ====，生成函数()h x .若不等式23()2()0h x h x t ++<在[2,4]x ∈上有解，求实数t 的取值范围；（3）设121()(0),()(0)f x x x f x x x=>=>，取0,0a b >>，生成函数()h x 图像的最低点坐标为(2,8). 若对于任意正实数21,x x 且121x x +=.试问是否存在最大的常数m ，使m x h x h ≥)()(21恒成立？如果存在，求出这个m 的值；如果不存在，请说明理由.解：（1）①lglg10lg 10xa b x x +={1011,22a b a b a b +=-=∴==Q所以()h x 是12(),()f x f x 的生成函数2L L 分② 设222()(1)1a x x b x x x x ++++=-+，即22()()1a b x a b x b x x ++++=-+，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+111b b a b a ，该方程组无解.所以()h x 不是12(),()f x f x 的生成函数. 2L L 分 （2）122122()2()()2log log log h x f x f x x x x =+=+=若不等式23()2()0h x h x t ++<在[2,4]x ∈上有解，23()2()0h x h x t ++<，即22223()2()3log 2log t h x h x x x <--=--2L L 分设2log s x =，则[1,2]s ∈，22223log 2log 32y x x s s =--=--，max 5y =-，故，5t <-. 2L L 分（3）由题意，得()(0)b h x ax x x =+>，则()bh x ax x=+≥2828b a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得28a b =⎧⎨=⎩，所以8()2(0)h x x x x =+> 1L L 分 假设存在最大的常数m ，使m x h x h ≥)()(21恒成立.于是设)(16644)4)(4(4)()(12212121221121x x x x x x x x x x x x x h x h u +++=++===2221212121212121212121212()2646480416416432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-++⋅=++⋅=+-2L L 分令12t x x =，则41)2(22121=+≤=x x x x t ，即]41,0(∈t 设80432u t t=+-在]41,0(∈t 上单调递减，289)41(=≥u u ，故存在最大的常数289m = 1L L 分。
上海市七宝中学2015-2016学年高一上学期第一次月考数学试题 含答案
七宝中学高一月考试卷2015.10一。
填空题（每题4分，共48分） 1。
已知集合2{|20,}A x x x x R =--=∈,集合{|13}B x x =≤≤,则A B = ；2. 集合{|25}A x x =-<<，集合{|121}B x m x m =+≤≤-,若B A ⊆，则m 的取值范围为 ;3。
命题“若实数,a b 满足7a b +<,则2a =且3b =”的否命题是 ； 4. “||||x y >"是“x y >”的 条件； 5。
不等式2113x x -≥+的解集是;6。
已知不等式250ax x b -+>的解集是{|32}x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解是 ；7。
不等式(1)(1||)0x x +->的解集是 ; 8。
设集合{(,)|13}A x y y x ==-,2{(,)|(12)5}B x y y m x ==-+，其中,,x y m R∈，若A B =∅，则实数m 的取值范围是 ；9。
已知12a b -<<<，则2a b -的范围是 ；10. 集合A 中有10个元素，B 中有6个元素,全集U 有18个元素，A B ≠∅，设集合()U C A B 有x 个元素,则x 的取值集合为;11。
对于任意的1[,3]2m ∈,不等式224t mt m +>+恒成立，则实数t 的取值范围是 ；12. 已知非空集合{1,2,3,4,5,6}S ⊆满足：若a S ∈，则必有7a S -∈，问这样的集合S有 个；请将该问题推广到一般情况： ；二。
选择题(每题5分，共20分）13。
设{|A x x =为合数}，{|B x x =为质数}，N 表示自然数集，若E 满足A B E N =，则这样的集合E （）A. 只有一个B. 只有两个C. 至多3个D. 有无数个14。
上海市七宝中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题
上海市七宝中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
(2)求能使()
ÍI成立的实数a的取值范围.
A A B
五、应用题
19．为宣传2023年上海马拉松，某校现要设计如图的一张矩形宣传海报，该海报含有形状、大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为2
60000cm，四周空白的宽度均为10cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm.
(1)设其中一个栏目ABCD的宽AB为cm
x，试把整个矩形海报的面积S表示成x的代数式，并求出S的最小值；
(2)如果要求整个矩形海报的面积不超过2
86100cm，并且AB的长度不超过AD的一半，求AB长度的取值范围.。
上海市七宝高中2022年高一上数学期末达标检测试题含解析
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1．设m n ，是两条不同的直线,αβ，是两个不同的平面，且,m n αβ⊂⊂，则下列说法正确的是A.若m β⊥，则αβ⊥B.若αβ⊥，则m n ⊥C.若m β，则αβ∥D.若αβ∥，则m n2．关于函数()sin cos 6x x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的叙述中，正确的有（）①()f x 的最小正周期为2π；②()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内单调递增；③3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数；④()f x 的图象关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称.A.①③B.①④C.②③D.②④3．若函数2()(2)1f x ax a x =--++是偶函数，则()f x 的单调递增区间为（）A.(],0-∞B.[0,)+∞C.(),-∞+∞D.[)1,+∞4．设正实数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为（ ）A.12B.14C.18 D.1165．已知函数f (x )是偶函数，且f (x )在上是增函数，若，则不等式的解集为（）A.{x |x >2}B.C.{或x >2}D.{或x >2}6．七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4 dm 的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中任取出2个，则这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和的概率是（）A.12B.15C.25D.310 7．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递增的函数是（）A.3y x =B.1ln y x =C.2x y =D.2y x8．集合{}{}(2),2,0x A xy x x B y y x ==-==>∣∣，则A ∩B ＝（ ） A.[0，2]B.（1，2]C.[1，2]D.（1，＋∞） 9．用二分法求方程2log 2x x +=的近似解时，可以取的一个区间是（）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)10．下列函数中既是奇函数又在定义域上是单调递增函数的是（）A.1y x =-B.31y x =+C.sin y x =D.)2ln 1y x x =+ 二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos tan 22sin ααα=-，则cos α=________. 12．设函数()()∈f x x R 是以4为周期的周期函数，且[)2,2∈-x 时，()tan ,0242,20π⎧-<<⎪=⎨⎪-≤≤⎩x x x f x x ，则()()2021=f f __________13．如图是某个铁质几何体的三视图，其中每个小正方形格子的边长均为1个长度单位，将该铁质几何体熔化，制成一个大铁球，如果在熔制过程中材料没有损耗，则大铁球的表面积为_______________________.14．若3log 2a =， 0.32b =，15log 2c =.，则a ，b ，c 的大小关系用“<”表示为________________. 15．若，则___________；三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．已知函数2()log (3)f x x =+,2()log (3)g x x =-(1)求函数()()()h x f x g x =-的定义域；(2)判断函数()h x 的奇偶性，并说明理由；(3）如果()1h x >，求x 的取值范围.17．某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y 与投资x 成正比，其关系如图（1）所示；B 产品的利润y 与投资x 的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润y 和投资x 的单位均为万元）图（1） 图（2）（1）分别求A ，B 两种产品的利润y 关于投资x 的函数解析式（2）已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A ，B 两种产品的生产①若平均投入两种产品的生产，可获得多少利润？②如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润为多少万元？18．计算下列各式的值：（1）； （2）19．已知平面向量()3,4a =，()9,b x =，()4,c y =，且//a b ，a c ⊥.（1）求b 和c ：（2）若2m a b =-，n a c =+，求向量m 与向量n 的夹角的大小.20．人口问题是世界普遍关注的问题，通过对若干个大城市的统计分析，针对人口密度分布进行模拟研究，发现人口密度与到城市中心的距离之间呈现负指数关系．指数模型0e bx x d d -=是经典的城市人口密度空间分布的模型之一，该模型的计算是基于圈层距离法获取距城市中心距离和人口密度数据的，具体而言就是以某市中心位置为圆心，以不同的距离为半径划分圈层，测量和分析不同圈层中的人口状况．其中x 是圈层序号，将圈层序号是x 的区域称为“x 环”（1x =时，1环表示距离城市中心0～3公里的圈层；2x =时，2环表示距离城市中心3～6公里的圈层；以此类推）；0d 是城市中心的人口密度（单位：万人/平方公里），x d 为x 环的人口密度（单位：万人/平方公里）；b 为常数；e 2.71828=⋅⋅⋅．下表为某市2006年和2016年人口分布的相关数据： 年份 0d b 2006 2.20.13 2016 2.3 0.10（1）求该市2006年2环处的人口密度（参考数据：0.26e 0.77-≈，结果保留一位小数）；（2）2016年该市某环处的人口密度为市中心人口密度的23，求该环是这个城市的多少环．（参考数据：ln20.7,ln3 1.1≈≈）21．已知函数2212()1x f x x-=+.（1）判断()f x 的奇偶性，并证明；（2）证明：()f x 在区间(0,)+∞上单调递减.参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1、A 【解析】本道题目分别结合平面与平面平行判定与性质，平面与平面平行垂直判定与性质，即可得出答案．【详解】A 选项,结合一条直线与一平面垂直,则过该直线的平面垂直于这个平面,故正确;B 选项,平面垂直,则位于两平面的直线不一定垂直,故B 错误;C 选项,m 可能平行于α与β相交线,故错误;D 选项,m 与n 可能异面，故错误【点睛】本道题目考查了平面与平面平行判定与性质，平面与平面平行垂直判定与性质，发挥空间想象能力，找出选项的漏洞，即可．2、C【解析】应用差角余弦公式、二倍角正余弦公式及辅助角公式可得()11sin(2)264f x x π=-+，再根据正弦型函数的性质，结合各项描述判断正误即可.【详解】()23131sin cos sin (cos sin )cos sin 62222x f x x x x x x x x π⎛⎫=-=+=+= ⎪⎝⎭311112cos 2sin(2)44264x x x π-+=-+， ∴最小正周期22T ππ==，①错误； 令222262k x k πππππ-≤-≤+，则()f x 在[,]63k k ππππ-+上递增，显然当0k =时,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，②正确； 1111sin(2)cos 2322424f x x x ππ⎛⎫+=++=+ ⎪⎝⎭，易知3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，③正确；令26x k ππ-=，则212k x ππ=+，k Z ∈，易知()f x 的图象关于1,124π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，④错误； 故选：C3、B【解析】利用函数()f x 是偶函数，可得()()f x f x -=，解出a ．再利用二次函数的单调性即可得出单调区间【详解】解：函数()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=，22(2)1(2)1ax a x ax a x ∴--++=-+++，化为(2)0a x +=，对于任意实数x 恒成立，20a ∴+=，解得2a =-；2()21f x x ∴=+，利用二次函数的单调性，可得其单调递增区间为[0,)+∞故选：B【点睛】本题考查函数的奇偶性和对称性的应用，熟练掌握函数的奇偶性和二次函数的单调性是解题的关键. 4、C【解析】根据基本不等式可求得最值.【详解】由基本不等式可得222x y xy +≥，即221xy ≤，解得18xy ≤， 当且仅当2x y =，即14x =，12y =时，取等号， 故选：C.5、C【解析】利用函数的奇偶性和单调性将不等式等价为，进而可求得结果. 详解】依题意，不等式，又在上是增函数，所以， 即或，解得或.故选：C.6、D【解析】先逐个求解所有5个三角形的面积，再根据要求计算概率.【详解】如图所示，ADO △，ABO ，GHO △，BEF ，MCF △的面积分别为14444ADO ABO S S ==⨯⨯=△△，1144144GHO BEF S S ==⨯⨯⨯=△△，1144242MCF S =⨯⨯⨯=△ 将ADO △，ABO ，GHO △，BEF ，MCF △分别记为1S ，2S ，3S ，4S ，5S ，从这5个三角形中任取出2个，则样本空间()()()()()()()()()(){}12131415232425343545,,,,,,,,,,,,,,,,,,,S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S Ω=，共有10个样本点记事件N 表示“从5个三角形中任取出2个，这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和”，则事件N 包含的样本点为()12,S S ，()15,S S ，()25,S S ，共3个，所以()310P N =故选：D7、D【解析】根据常见函数的单调性和奇偶性可直接判断出答案.【详解】3y x =是奇函数，不满足题意； 1ln y x=的定义域为()0,+∞，是非奇非偶函数，不满足题意； 2x y =是非奇非偶函数，不满足题意；2y x 是偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增，满足题意；故选：D8、B【解析】先求出集合A ，B ，再求两集合的交集即可【详解】解：由(2)0x x -≥，得02x ≤≤，所以{}02A x x =≤≤，由于0x >，所以0221x >=，所以{}1B y y =>，所以{}12A B x x ⋂=<≤，故选：B9、B【解析】构造函数2()log 2f x x x =+-并判断其单调性，借助零点存在性定理即可得解.【详解】22log 2log 20x x x x +=⇔+-=，令2()log 2f x x x =+-，()f x 在(0,)+∞上单调递增，并且()f x 图象连续，(1)10f =-<，(2)10f =>，()f x 在区间(1,2)内有零点，所以可以取的一个区间是(1,2).故选：B10、D【解析】结合初等函数的奇偶性和单调性可排除A,B,C 选项；再根据奇偶性定义和复合函数单调性的判断方法可证得D 正确.【详解】对A ，∵1y x=-是奇函数，在(一∞，0)和(0，+∞)上是单调递增函数，在定义域上不是递增函数，可知A 错误；对B ，3+1y x =不是奇函数，可知B 错误； 对C ，sin y x =不是单调递增函数，可知C 错误；对D ，())222ln 1ln 11x x x x x x ⎫-+==-+⎪⎭++，则)2ln 1y x x =+为奇函数；当0x ≥时，21x x +单调递增，由复合函数单调性可知()2ln1y x x =+在[)0,∞+上单调递增，根据奇函数对称性，可知在(),-∞+∞上单调递增，则D 正确.故选：D二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11、154【解析】2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα===--，然后可算出sin α的值，然后可得答案. 【详解】因为2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα===--，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以22sin 12sin 2sin 1ααα=--，所以()212sin 2sin 2sin ααα-=-，所以14sin α=，1sin 4α=，因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 4α=，故答案为：412、12##0.5 【解析】利用周期和分段函数的性质可得答案.【详解】()()()2021450511tan 14π=⨯+==-=-f f f ，()()()112021122-=-==f f f . 故答案为：12. 13、16π 【解析】由已知得该铁质几何体是由一个小铁球和一个铁质圆锥体拼接而成，根据圆锥和球体的体积公式可得答案. 【详解】该铁质几何体是由一个小铁球和一个铁质圆锥体拼接而成，体积之和为3241π1π233⨯+⨯327π3⨯=， 设制成的大铁球半径为R ，则3432ππ33R =，得2R =，故大铁球的表面积为24π16πR =. 故答案为：16π.14、c <a <b【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果【详解】3330log 1log 2log 31a =<=<=，即01a <<；0.30221b =>=，即1b >；1155log 2log 10c =<=，即0c <， 综上可得c a b <<，故答案为：c a b <<.【点睛】方法点睛：解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用. 15、1【解析】根据函数解析式，从里到外计算即可得解. 【详解】111221 e e 2f -+⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以121111ln e 12222f f ⎡⎤⎛⎫-=+=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故答案为：1三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16、（1）()3,3-；（2）见解析；（3）13x <<【解析】(1)根据真数大于零列不等式，解得结果，(2)根据奇函数定义判断并证明结果，(3)根据底与1的大小，结合对数函数单调性分类化简不等式，解得结果.【详解】（1）由3030x x +>⎧⎨->⎩，得－3＜x ＜3，∴ 函数()h x 的定义域为(－3，3) （2）由(1)知，函数()h x 的定义域关于原点对称，且h (－x )+h (x )=0，h (－x )=-h (x )，∴ 函数()h x 奇函数（3）23()log 13x h x x +=>-，所以32333x x x +⎧>⎪-⎨⎪-<<⎩，解得13x <<， 所以13x <<.17、 (1) ()()0.250f x x x =≥，())0g x x =≥;(2) ∴当A ，B 两种产品分别投入2万元，16万元时，可使该企业获得最大利润，最大利润为8.5万元【解析】（1）设投资为x 万元（0x ≥），设()1f x k x =，()g x k =，根据函数的图象，求得12,k k 的值，即可得到函数的解析式；，（2）①由（1）求得()9 2.25f =，()96g =，即可得到总利润．②设B 产品投入m 万元，A 产品投入()18m -万元，得到则()0.2518P m =-+，结合二次函数的图象与性质，即可求解【详解】（1）设投资为x 万元（0x ≥），A ，B 两种产品所获利润分别为()f x ，()g x 万元，由题意可设()1f x k x =，()g x k =1k ，2k 是不为零的常数所以根据图象可得()110.25f k ==，()2424g k ==，10.25k ∴=，22k =，所以()()0.250f x x x =≥，())0g x x =≥（2）①由（1）得()9 2.25f =，()96g =，所以总利润为2.2568.25+=万元②设B 产品投入m 万元，A 产品投入()18m -万元，该企业可获总利润为P 万元，则()0.25182P m m =-+，018m ≤≤令m t =，则2m t =，且0,32t ⎡⎤∈⎣⎦，则()()220.258180.25434P t t t ⎡⎤=-++=--+⎣⎦，032t ≤≤ ∴当4t =时，max 8.5P =，此时16m =，182m -=∴当A ，B 两种产品分别投入2万元，16万元时，可使该企业获得最大利润，最大利润为8.5万元【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中能够从图象中准确地获取信息，利用待定系数法求得函数的解析式，再结合二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题18、（1）1（2）【解析】（1）利用对数的运算性质直接计算可得；（2）先进行切化弦，再通分后利用和差角公式和诱导公式即可求得.【小问1详解】原式＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5＝lg2＋lg5＝1【小问2详解】原式＝sin40°(－)＝sin40°()＝＝＝＝＝－119、（1）()9,12b =，()4,3c =-；（2）34π. 【解析】（1）本题首先可根据//a b 、a c ⊥得出3493440x y =⨯⎧⎨⨯+=⎩，然后通过计算即可得出结果； （2）本题首先可根据题意得出()3,4m =--以及()7,1n =，然后求出m n ⋅、m 以及n 的值，最后根据向量的数量积公式即可得出结果.【详解】（1）因为()3,4a =，()9,b x =，()4,c y =，且//a b ，a c ⊥， 所以3493440x y =⨯⎧⎨⨯+=⎩，解得123x y =⎧⎨=-⎩， 故()9,12b =，()4,3c =-.（2）因为()3,4a =，()9,12b =，所以()23,4m a b =-=--， 因为()3,4a =，()4,3c =-，所以()7,1n a c =+=，374125m n ⋅=-⨯-⨯=-，(35m =-=，271n =+= 设m 与n 的夹角为θ，则25cos 255m nm n θ⋅-===-⨯⋅， 因为0θπ≤≤，所以34πθ=，向量m 与向量n 的夹角为34π. 【点睛】本题考查向量平行、向量垂直以及向量的数量积的相关性质，若11,ax y 、22,b x y 且//a b ，则1221x y x y =，考查通过向量的数量积公式求向量的夹角，考查计算能力，是中档题.20、（1）1.7（2）4 【解析】（2）根据表中数据，由0.262 2.2e d -=求解；（2）根据2016年该市某环处的人口密度为市中心人口密度的23，由0.12 2.3 2.3e 3x -=⨯求解. 【小问1详解】解：由表中数据得：0.262 2.2 2.20.77 1.7d e -≈=⨯≈； 【小问2详解】因为2016年该市某环处的人口密度为市中心人口密度的23， 所以0.12 2.3 2.3e 3x -=⨯，即0.132e x =， 所以30.1lnln 3ln 2 1.10.70.42x ==-≈-=，解得4x =， 所以该环是这个城市的4环.21、（1）()f x 是偶函数，证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）先求定义域，再利用函数奇偶性的定义证明即可， （2）利用单调性的定义证明【小问1详解】()f x 为偶函数，证明如下：()f x 定义域为R ， 因为222212()12()()1()1x x f x f x x x ----===+-+， 所以()f x 是偶函数.【小问2详解】任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则()()()()()222212212122222112312121111x x x x f x f x x x x x ----=-=++++ 因为120x x <<，所以222212120,10,10x x x x >++<>-，所以()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，由函数单调性定义可知，()f x 在区间(0,)+∞上单调递减.。
上海市七宝中学等七校届高月联考数学理试题
上海市七宝中学等七校 2013届高三3月联考 数学（理科） 2013（上师大附中、七宝中学、向明中学、迪平中学、延安中学、南洋模范、复兴高级 （完卷时间120分钟 满分150分）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求将最终结果直接填写答题纸上相 应的横线上，每个空格填对得 4分，否则一律得零分. 1.若 2cos （二-x ） sin （二-x ） = 0，则 tan （一 x ） . 42. 3. 线性方程组｛2X+y+3 = 0的增广矩阵是 已知复数z =1 i 的共轭复数是z ，z 、z 在复平面内对应的点分别是A B ，O 为坐标原 点，则 AOB 的面积是 4. 5.6. 7.8.9.1 若函数f （x ） =8x的图像经过点（,a ），则f 」（a • 2）=.3 设a, b, c 分别是锐角 ABC 中角A, B C 所对的边，若a 二2csin A ，则角C = 设等差数列｛a n ｝的公差为正，若a 2 = 1, a^O s 3，则a4 a 5氏二. 已知向量 a =（2, 3）, b = （-4,7），若（a 2b ）//（^ b ），则■二 若lim （1 a a^ •亠a n ‘）-一，则二项式（x-a ）10的展开式中，x 7的系数是. 如图的程序框图运行后输出的结果是 . 10. 一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数： 2x 1 f 1（x ） =X 3, f 2（x ） =5凶，f 3（x ） =2 , f 4（x ） = ^2^1， f 5（x ） =si n （二什 x ）, f 6（x ）=xcosx .从中任意拿取 2 张 2卡片，则两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函 数的概率是 .21 * 21" arcsinx 的11. 已知f （x ） = ------- x ---- -------- 的最大值和最小值分别 2x+2是M 和m ，则M m 二 . 12. 设F 1F 2分别为双曲线 茅一洛=1（a Pt 0）的左、右焦点,直线与双曲线的右支相交于点 P ，若| PF 2卜| F 1F 2 |，则t=— [x M x ' M ，输岀n ■- 结束 第9题图过F i 且倾斜角为30的 13. 函数f M （x ）的定义域为R ，且定义如下：fM gh^l — l x 非空真子集），若A =｛x||x 一1| _2｝,B 二｛x| -1 _ x ：：：1｝，则函数F （x ^—2f A B （X ） 1的值域为 . f A （x ） "B （X ）+1 14. 如图所示，四棱锥 P-ABCD 中，底面ABCD 是边长 为2的菱形，Q 棱PA ，AC BD=O •有下列命题： ① 若Q 是PA 的中点，贝U PC//平面BDQ ； ② 若 PB =PD ，贝U BD _CQ ；（其中M 是实数集R 的 DBC第14题图④若PA 二PC, PB 二PD=3 , . ABC =60 •，则四棱锥P-ABCD 的体积为2、N其中正确的命题是二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题都给出代号为A B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应的正确代号用2B铅笔涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分15. 若抛物线x2 =2py(p . 0)上不同三点的横坐标的平方成等差数列，那么这三点()A.到原点的距离成等差数列 B .到X轴的距离成等差数列C.到y轴的距离成等差数列 D .到焦点的距离的平方成等差数列16. 若f(x)=s inx 在区间(a, b)(a ::: b)上单调递减，则x：=(a, b)时，()A. sinx ：：0B. cosx ：：0C. tanx ：：0D. tanx 017. 若实数a、b满足a _0, b _0,且ab=0,则称a与b互补.记(a, b^ . a2 b2 -a -b，那么"「(a, b) 0 ”是"a与b 互补”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件18. 已知实数a、b c(a^0)满足一^+E =0(m > 0)，对于函数m +2 m +1 mmf (x^ ax2 bx c , af ( ------------- )与0的大小关系是()m十1A. af ( m ) 0B. af ( m ) < 0C. af ( m ) = 0D.与m 的大小有关m +1 m +1 m +1三、解答题(本大题共5题，满分74分)每题均需写出详细的解答过程.19. (本题满分12分)本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第⑵小题满分6分.■~lM设ABC的角A, B, C所对的边分别是a, b, c，向量m =(a, b),■n = (sin B, si nA), p = (b - 2, a -2).(1) 若m//n，求证：ABC为等腰三角形；(2) 若m _ p，边长c =2，角C ，求ABC的面积.320. (本题满分14分)本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第⑵小题满分8分. 空气污染指数(API)是一种用于反映和评价空气质量的数量，我国计入空气污染指数的项目暂定为：总悬浮颗粒物(PM10)、SQ和NO2.其计算公式为I = I大—"小(C -C小)+1小，其中I为某污染物的污染指数，C为该污染物的浓度；C大(I大) 5 _ C小和C小( I 小)分别是API分级限值表(附表)中最贴近C( I )值的两个限值.根据这个公式分别计算各污染物的API分指数；选取API分指数最大值为全市API,且该项污染物即为该市空气中的首要污染物.(1)若某地区的PM10、SQ和NO2日均值分别为0.215毫克/立方米，0.105毫克/立方米和0.080毫克/立方米，求空气污染指数API，并指出首要污染物；⑵已知某地的首要污染物为SQ , PM10和NO2的API分指数分别为122和67,政府对相关企业进行限排，减少SQ和PM10的污染，使得首要污染物变成了PM10,且其分指数不超过80, SQ 的API分指数低于NO?的API分指数，求限排后SQ和PM10浓度的范围.附表：API 分级限值表污染指数限值 污染物浓度(毫克/立方米)(日均值) 污染物浓度(小时均值)API SQ NO 2 PM10 COO 350 0.050 0.080 0.0505 0.120 100 0.150 0.1200.150 10 0.200 200 0.800 0.280 0.350 60 0.400 3001.6000.565 0.420 90 0.800 400 2.100 0.750 0.500 120 1.000 500 2.6200.9400.6001501.200(本题满分14分)本题共有2小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分.如图，已知抛物线 y 2 =4x 的焦点为F ,过点P(2,0)且斜率为k i 的直线交抛物线于A(x 1,y 1)， B (X 2, y 2)两点，直线AF 、BF 分别与抛物线交于点_(1)证明OA OB 的值与k 1无关，并用y ，y 2表示k 1 ；⑵记直线MN 的斜率为k 2，证明k 1为定值.k221. (本题满分16分)本题共有3小题，第(1)小题4分，第⑵小题4分，第⑶小题8 分. 已知函数 f(x)=x 2 -2ax(a 0).(1) 当a = 2时，解关于x 的不等式-3 ：：： f(x) <5 ;(2) 对于给定的正数 a ，有一个最大的正数 M (a)，使得在整个区间［0, M (a)］上，不等式| f (x)匸5恒成立.求出M (a)的解析式；⑶函数y 二f(x)在［t , t 2］的最大值为0 ,最小值是-4，求实数a 和的值•22. (本题满分18分)本题共有3小题，第(1)小题4分，第⑵小题6分，第⑶小题8 分. 一青蛙从点A )(x 0,y 0)开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是AX %)(「N ),(如图所示，代(心丫0)坐标以已知条件为准),S n 表示青蛙从点A 0到点A 所经过的路程(1)若点A 0(x 0, y 0)为抛物线 寸=2px (p 0)准线上 一点，点 A 、A 均在该抛物线上，并且直线 AA 2经 过该抛物线的焦点，证明 =3p . ⑵若点A n (X n , y n )要么落在y = X 所表示的曲线上，2 1 1要么落在y=x 2所表示的曲线上，并且 代(,),2 2试写出lim S n (请简要说明理由)；⑶若点An(x n , y n )要么落在y =X 所表示的曲线上，要么落在y =2x 所表示的曲线上，并A4— A -------- A 3 A AOx第23题图r 1且A J(—, 1),求各的表达式.2数学(理科)参考答案及评分标准、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，只要求将最终结果直接填写答题纸上相 应的横线上，每个空格填对得 4分，否则一律得零分. 23.若 2cos （恵一x ） sin （恵一x ） = 0 ,贝U tan （二川x ） = .-34原点，则.AOB 的面积是26.若函数f (x) =8x 的图像经过点(1 , a)，则f 」(a 2)=.327. 设a, b, c 分别是锐角 ABC 中角A, B, C 所对的边，若a =2csi nA ，则角C =."628. 设等差数列｛a n ｝的公差为正，若a 2 =1, a^a s - -3，则a 4 a s a^ ____________ 21. 29. 已知向量 a =(2, 3), b =(_4, 7)，若(a 2b)//(a - ■ b)，则• =-22若lim(1 a • a 2亠•亠a n ‘)，则二项式(x-a)10的展开式中，x 7的系数是 15.[x M35.函数f M (x)的定义域为R ,且定义如下：f M (x) = 口 M (其中M 是实数集R 的 X ・ IVI x 非空真子集)，若A ={x||x -1|乞2}, B ={x| -仁x ：：1}，则函数F(x)二2f AB(x) 1的值域为.[1,21]； f A (x)“B (x)+1 1336.如图所示，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为2的菱形，Q 棱PA , AC BD=O •有下列命题： ① 若Q 是PA 的中点，贝UPC//平面BDQ ; ② 若 PB 二 PD ，贝U BD _ CQ ；24. 25. 线性方程组的增广矩阵是已知复数 ^1 i 的共轭复数是z , z 、z 在复平面内对应的点分别是 A B , O 为坐标30.31.32. f 1（x ）=x 3, f 2（x ）=5xi2x1S2，f 4（x ）=2x+1，2地2般■1数的概率是33.已知 f （x ）= 1—1521 *2x - 2」是M 和m ，则M m 二_— 4 34.设F 1>F 2分别为双曲线笃 %a 2 ta 2= 1(a 0, t 0)的左、右焦点,直线与双曲线的右支相交于点 P ,若 IPF Z FIFEI ，则 t =过F 1且倾斜角为30的3一 ----- ~2n f 5(x)二sin(— x), f 6(x)二 xcosx .从中任意拿取 2 张 2 卡片，则两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函 如图的程序框图运行后输出的结果是 . 63 一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数： 疋 /输岀n ■■ 十 9题否第14题图③若PAC是正三角形，则PO _平面ABCD ;④若PA 二PC, PB 二PD=3 , . ABC =60；则四棱锥P-ABCD 的体积为^2.其中正确的命题是①②④、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题都给出代号为 A B 、C 、D 的四个结 论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应的正确代号用 2B 铅笔涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分 37. 若抛物线x 2 =2py(p . 0)上不同三点的横坐标的平方成等差数列， 那么这三点(B )A .到原点的距离成等差数列B .到X 轴的距离成等差数列 C.到y 轴的距离成等差数列D.到焦点的距离的平方成等差数列38. 若f(x)二si nx 在区间(a, b)(a ::: b)上单调递减，则 x ・(a, b)时， (B ) A. sinx ：： 0 B. cosx ：： 0 C. tanx ：： 0 D. tanx 0 39. 若实数a 、b 满足a _0, b _0,且ab=0,则称a 与b 互补.记「(a, b)=」a 2，b 2 -a-b ，那么“「(a, b) =0 ”是“ a 与 b 互补”的 ( C )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件a b c40. 已知实数a 、b c(a 式0)满足 —^―+上=0(m = 0)，对于函数m 十2 m 十1 mf (x) =ax 2+bx +c , af ( m )与 0 的大小关系是(B )m +1 A. af ( m ) ■ 0 B. af( m )：：：0 C. af ( m ) =0 D.与 m 的大小有关 m +1 m +1m+1三、解答题(本大题共5题，满分74分)每题均需写出详细的解答过程.41. (本题满分12分)本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第 ⑵小题满分 设 ABC 的角A , B ,C 所对的边分别是a, b, c ，向量m 二(a , b),n 二(sin B, si nA), p = (b - 2, a -2).(1) 若m//n ，求证：ABC 为等腰三角形； (2) 若m _ p ，边长c =2，角C ，求ABC 的面积._-3证明：(证法一 )(1) •/ m // n ,asinA=bsin B ,,,,,,,ab由正弦定理可知，a ■ -b b ，其中R 是 ABC 外接圆的半径，2R 2R••• a 二b .ABC 为等腰三角形.，”，”(证法二)T m //n ,- asin A = bsin B ,,,,,,, 由正弦定理可知，sin 2A=sin 2B ，- sin A=sinB ••• A B (0,二)，• A 二 B .即 ABC 为等腰三角形. ,,,,,,(2)由题意可知， m p = 0，即 a(b 「2) b(a 「2) = 0 ,• a b = ab ,, 由余弦定理可知， 4 =a 2•b 2-abab =4,( ab 二-1 舍去)11兀•- S A BC absinC4sin —A 22 442. (本题满分14分)本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第 ⑵小题满分=(a b)2 - 3ab,即(ab)2 - 3ab - 4 = 06分. 8 分.10分 12分空气污染指数(API)是一种用于反映和评价空气质量的数量，我国计入空气污染指数的项目暂定为：总悬浮颗粒物(PM10)、SQ和NO2.其计算公式为I = 1大—1小（C -C 小）+1小，其中I 为某污染物的污染指数，C 为该污染物的浓度；C 大（I 大） 。
2023届上海市七宝高中高一数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析
【解析】（1）根据诱导公式和正弦、余弦函数的性质可得答案；
（2）令 ，分 ， ， 三种情况，分别根据零点存在定理可得证.
【详解】解：（1）由 ，得 ，
所以当 时，上述方程的解为 或 ，
即方程 在 上的解为 或 ；
（2）证明：令 ，则 ，
①当 时， ，令 ，则 ，
即此时方程 有解；
【详解】由已知中函数y=xa（a∈R）的图象可知：a∈（0，1），
故函数y=a﹣x为增函数与y=logax为减函数，
故选C
【点睛】本题考查 知识点是幂函数的图象和性质，指数函数和对数函数的图象和性质，难度不大，属于基础题
7、C
【解析】设 ，利用 的图象过点 ，求出 的解析式，将 代入即可求解.
【详解】设 ，
10、D
【解析】设 ，根据二次函数零点分布可得出关于实数 的不等式组，由此可解得实数 的取值范围.
【详解】设 ，则二次函数 的两个零点都在区间 内，
由题意 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故选：D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、
【解析】根据扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，即可求解.
1．已知函数 ，则 （）
A.0B.1
C.2D.10
2．命题“ ， 是4的倍数”的否定为（）
A. ， 是4的倍数B. ， 不是4的倍数
C. ， 不是4的倍数D. ， 不是4的倍数
3．数列 的前 项的和 为（）
A. B.
C. D.
4．下列哪组中的两个函数是同一函数（）
A 与 B. 与
C. 与 D. 与
5．函数 的零点个数为（）
七宝中学2013届高三下学期摸底考试数学试卷
上海市七宝中学2012学年高三（下）摸底数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，共56分）1．（4分）已知集合A={﹣1，0，a}，B={x|1＜2x＜2}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（0，1）．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：不等式的解法及应用．分析：解指数不等式求得集合B，再根据A∩B≠∅，求得实数a的取值范围．解答：解：∵集合A={﹣1，0，a}，B={x|1＜2x＜2}={x|0＜x＜1}，若A∩B≠∅，则有0＜a ＜1，故实数a的取值范围是（0，1），故答案为（0，1）．点评：本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，集合间的包含关系，指数不等式的解法，属于基础题．2．（4分）函数的最小正周期为π．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用倍角公式和正弦函数的周期公式即可得出．解答：解：函数==﹣sin2x，∴．故答案为π．点评：熟练掌握倍角公式和正弦函数的周期公式是解题的关键．3．（4分）（2011•东城区一模）在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于= 42．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由等差数列的通项公式化简a2+a3=13，得到关于首项和公差的关系式，把首项的值当然即可求出公差d的值，然后再利用等差数列的通项公式把所求的式子化为关于首项和公差的关系式，将首项和公差的值代入即可求出值．解答：解：由a2+a3=2a1+3d=13，又a1=2，得到3d=9，解得d=3，则a4+a5+a6=a1+3d+a1+4d+a1+5d=3a1+12d=6+36=42．故答案为：42点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题．4．（4分）若tanα=﹣2，α是直线y=kx+b的倾斜角，则α=π﹣arctan2．（用α的反正切表示）考点：直线的倾斜角．专题：计算题．分析：直接根据斜率与倾斜角的关系得出答案．解答：解：∵α是直线y=kx+b的倾斜角tanα=﹣2又α∈（0，π），∴α=π﹣arctan2故答案为：π﹣arctan2．点评：此题考查了斜率与倾斜角的关系，属于基础题．5．（4分）（2011•南通一模）设（1+2i）z=3﹣4i（i为虚数单位），则|Z|=||．考点：复数求模．专题：计算题．分析：复数方程两边直接求模，即可得到复数z的模．解答：解：因为（1+2i）z=3﹣4i，所以|1+2i||z|=|3﹣4i|=5，即，所以|z|=故答案为：点评：本题是基础题，考查复数的模的求法，复数方程的灵活运应，考查计算能力．6．（4分）（2013•嘉定区二模）求值：=﹣1．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：由二项式定理可知=（1﹣2）2013可求解答：解：∵=（1﹣2）2013=﹣1故答案为：﹣1点评：本题主要考查了二项式定理的逆应用，解题的关键是熟练掌握基本公式7．（4分）已知平面向量，若，则=．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：先根据向量的数量积运算和条件求出两向量夹角的余弦值，得到两向量的线性关系，表示出向量的表达式，得到它们坐标之间的关系，代入所求的式子求值．解答：解：设，的夹角为θ，则=cosθ=﹣6，解得cosθ=﹣1，∴θ=180°，即，共线且反向，∴，即，∴，，代入=，故答案为：．点评：本题主要考查向量的数量积运算，向量的线性关系和向量的坐标运算，关键是判断出两个向量的线性关系．8．（4分）（2013•嘉定区二模）设a＞0，a≠1，行列式中第3行第2列的代数余子式记作y，函数y=f（x）的反函数图象经过点（2，1），则a=4．考点：三阶矩阵．专题：函数的性质及应用．分析：根据余子式的定义可知，在行列式中划去第3行第2列后所余下的2阶行列式为第3行第2列元素的代数余子式，求出值即可．函数y=f（x）的反函数图象经过点（2，1），可知点点（1，2）在函数y=﹣a x+6的图象上，由此代入数值即可求得a．解答：解：由题意得第3行第2列元素的代数余子式M32=﹣=﹣a x+6依题意，点（1，2）在函数y=﹣a x+6的图象上，将x=1，y=2，代入y=﹣a x+6中，得﹣a+6=2，解得a=4．故答案为：4．点评：此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义、反函数以及原函数与反函数之间的关系，会进行矩阵的运算，是一道基础题．9．（4分）已知P是椭圆=1（a＞b＞0）上的一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，则的最小值为．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的定义及基本不等式，可得（当且仅当|PF1|=|PF2|=a时，等号成立），再利用基本不等式，即可求的最小值．解答：解：由题意，|PF1|+|PF2|=2a，则∵∴（当且仅当|PF1|=|PF2|=a时，等号成立）∴≥≥（当且仅当|PF1|=|PF2|=a时，等号成立）∴的最小值为故答案为：点评：本题考查椭圆的定义，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．10．（4分）（2010•镇江一模）已知{a n}是等差数列，设T n=|a1|+|a2|+…+|a n|（n∈N*）．某学生设计了一个求T n的部分算法流程图（如图），图中空白处理框中是用n的表达式对T n赋值，则空白处理框中应填入：T n←n2﹣9n+40．考点：程序框图．专题：计算题．分析：首先对a1=8．a2=6，a3=4时，分别求前5项之和，和5项之后的和．通过等差数列求和公式，分别求出之后合并，即可解出T n的值解答：解：当a1=8．a2=6，a3=4时a n=﹣2n+10，s n==﹣n2+9n，s5=20当n≤5时，a n≥0，当n＞5时，a n＜0∴当n＞5时T n=|a1|+|a2|+…+|a5|+|a6|+…+|a n|=a1+a2+…+a5﹣a6﹣…﹣a n=a1+a2+…+a5﹣（a6+…+a n）=S5﹣（S n﹣S5）=n2﹣9n+40故答案为：n2﹣9n+40点评：本题考查程序框图，而实际考查等差数列求和公式的熟练运用．属于基础题．11．（4分）不等式对一切非零实数x，y均成立，则实数a的范围为[1，3]．考点：绝对值三角不等式．专题：计算题．分析：由对勾函数的性质，我们可以求出不等式左边的最小值，再由三角函数的性质，我们可以求出siny的最大值，若不等式恒成立，则|a﹣2|≤1，解这个绝对值不等式，即可得到答案．解答：解：∵∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）∴||∈[2，+∞），其最小值为2又∵siny的最大值为1故不等式恒成立时，有|a﹣2|≤1解得a∈[1，3]故答案为[1，3]点评：本题考查的知识点是绝对值三角不等式的解法，其中根据对勾函数及三角函数的性质，将不等式恒成立转化为|a﹣2|≤1，是解答本题的关键．12．（4分）定义在R上的函数f（x）满足f（m+n2）=f（m）+2[f（n）]2，其中m，n∈R，且f（1）≠0．则f（2013）=4024[f（1）]2 +f（1）．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题．分析：由于f（m+n2）=f（m）+2[f（n）]2，则得到f（2013）=f（2012+12）=f（2012）+2[f （1）]2，以此类推得到2012个类此形式的式子，累加后即可得到f（2013）的值．解答：解：由题意知，f（2013）=f（2012+12）=f（2012）+2[f（1）]2，f（2012）=f（2011）+2[f（1）]2，f（2011）=f（2010）+2[f（1）]2，f（2010）=f（2009）+2[f（1）]2，…f（2）=f（1）+2[f（1）]2，故有f（2013）=f（1）+2[f（1）]2×2012=4024[f（1）]2+f（1）故答案为4024[f（1）]2 +f（1）点评：本题考查求函数值的问题，属于基础题．13．（4分）设a∈R，若x＞0时均有（ax﹣1）（x2﹣2ax﹣1）≥0，则a=．考点：一元二次不等式的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：构造函数y1=ax﹣1，y2=x 2﹣2ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1），确定a＞1，函数y2=x 2﹣2ax﹣1过点M（，0），即可得到结论．解答：解：构造函数y1=ax﹣1，y2=x 2﹣2ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1）．考查函数y1=ax﹣1，令y=0，得M（，0），∴a＞1；考查函数y2=x 2﹣2ax﹣1，显然过点M（，0），代入得：=0，解之得：a=，或a=（舍去）．故答案为点评：本题考查不等式恒成立问题，解题的关键是构造函数，利用函数的性质求解．在x＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间，在各自的区间内恒正或恒负，即可得到结论．14．（4分）（理）设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c；则下列命题正确的是①②③．①若ab＞c2；则C＜②若a+b＞2c；则C＜③若a3+b3=c3；则C＜④若（a+b）c＜2ab；则C＞．考命题的真假判断与应用．点：专解三角形．题：分析：①利用余弦定理结合均值不等式．②利用余弦定理，再结合均值定理即可证明．③利用反证法，假设C ≥时，推出与题设矛盾，即可证明此命题正确．④取特殊值，在满足条件的情况下，判断角C 的大小．解答： 解：①因为a 2+b 2≥2ab ，所以由余弦定理得，因为ab ＞c 2，所以﹣c 2＞﹣ab ， 所以，即，所以①正确． ②a+b ＞2c ，所以，．所以，即，所以②正确．③假设，则c 2≥a 2+b 2，所以c 3≥ca 2+cb 2＞a 3+b 3，与a 3+b 3=c 3矛盾，所以假设不成立．即C ＜成立．所以③正确．④取a=b=2，c=1，满足（a+b ）c ＜2ab 得C 为锐角，所以④错误．所以命题正确的是①②③． 故答案为：①②③．点评： 本题主要考查了解三角形的知识以及余弦定理的应用，以及不等式的证明，难度较大．15．（文）对于任意的平面向量，定义新运算⊕：．若为平面向量，k ∈R ，则下列运算性质一定成立的所有序号是 ①③ ． ①=；②；③；④．考点：平面向量数量积的运算．专题：压轴题；新定义．分析：利用新定义和向量的线性运算即可判断出．解答：解：①⊕=（x1+x2，y1y2）=⊕，故正确；②∵⊕=（kx1+x2，ky1y2），⊕=（x1+kx2，y1ky2），∴⊕≠⊕，故不正确；③设，∵⊕⊕=⊕（x 2+x3，y2y3）=（x1+x2+x3，y1y2y3），（⊕）⊕=（x1+x2，y1y2）⊕=（x1+x2+x3，y1y2y3），∴⊕（⊕）=（⊕）⊕，故正确；④设，∵⊕⊕=⊕（x 2+x3，y2y3）=（x1+x2+x3，y1y2y3），⊕⊕=（x1+x2，y1y2）+（x1+x3，y1y3）=（2x1+x2+x3，y1（y2+y3）），∴⊕（⊕）≠⊕⊕，故不正确．综上可知：只有①③正确．故答案为①③．点评：熟练掌握新定义和向量的线性运算是解题的关键．二、选择题（每小题5分，共20分）16．（5分）已知ι，m是两条不同的直线，α是一个平面，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，l⊥m，则m⊂αB．若l∥α，m⊂α，则l∥mC．若l⊥α，m∥α，则l⊥m D．若l⊥α，l⊥m，则m∥α考点：命题的真假判断与应用．分析：A．利用线面垂直的定义和性质．B．利用线面平行的性质和判断定理．C．利用线面垂直的性质．D．利用线面，线线垂直的性质．解答：解：A．当满足条件l⊥α，l⊥m的直线m不一定在平面α内，也有可能在平面α外，所以A错误．B．当满足条件l∥α，m⊂α时，直线l与直线m，没有任何确定的关系，所以l不一定平行m，也有可能是异面．所以B错误．C．当l⊥α，m∥α，根据线面平行的性质知，必有l⊥m，所以C正确．D．当直线m⊄α时，当满足条件l⊥α，l⊥m，结论正确，但当m⊂α时，结论不正确．故选C．点评：本题考查线面平行，线面垂直的性质和判断定理，正确掌握相关定理的内容，是解决问题的关键，要根据不同情况，进行讨论．17．（5分）已知圆x2+y2=2，直线l与圆O相切于第一象限，切点为C，并且与坐标轴相交于点A、B，则当线段AB最小时，则直线AB方程为（）A．x+y=2 B．C．D．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：设出直线AB的方程，利用直线l与圆O相切于第一象限，结合基本不等式，即可求得结论．解答：解：设直线AB的方程为，即bx+ay﹣ab=0由题意，直线l与圆O相切于第一象限，∴（a＞0，b＞0），∴ab≥4（当且仅当a=b=2时，取等号）∵AB=≥≥2∴a=b=2时，线段AB最小为2∴直线AB的方程为x+y=2故选A．点评：本题考查直线与圆相切问题，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．18．（5分）（2012•松江区三模）已知各项均不为零的数列{a n}，定义向量，，n∈N*．下列命题中真命题是（）A．若∀n∈N*总有∥成立，则数列{an}是等差数列B．若∀n∈N*总有∥成立，则数列{an}是等比数列C．若∀n∈N*总有⊥成立，则数列{an}是等差数列D．若∀n∈N*总有⊥成立，则数列{an}是等比数列考点：等差关系的确定；平行向量与共线向量．专题：计算题；压轴题．分析：由题意根据向量平行的坐标表示可得na n+1=（n+1）a n．⇒⇒a n=na1，从而可进行判断．解答：解：由可得，na n+1=（n+1）a n，即，∴于是a n=na1，故选A点评：本题主要考查了向量平行的坐标表示，等差及等比数列的判断，属于基础试题．19．（5分）（理）方程sinx+xcosx=0的正根从小到大地依次排列为a1，a2，…，a n，…，则正确的结论为（）A．B．2a n+1＜a n+2+a n C．2a n+1=a n+2+a n D．2a n+1＞a n+2+a n 0＜a n+1﹣a n＜考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：数形结合法：把方程sinx+xcosx=0可变为tanx+x=0，分别作出函数y1=﹣x，y2=tanx 的图象，则方程的根为两图象交点的横坐标，根据图象可得结论．解答：解：方程sinx+xcosx=0可变为tanx+x=0，分别作出函数y1=﹣x，y2=tanx的图象，如下图所示：则a1，a2，…，a n，…，为y=﹣x与y=tanx图象在y轴右侧的交点横坐标，则在每一个周期π内，y1，y2都有一个交点，在x＞0为正根，交点都位于使tanx为负数的半周期内，因此有：，故A错；交点的值越来越趋于负无穷大，越来越接近x=kπ+，k∈Z，的垂直渐近线，即相邻交点的距离越来越大，最终接近于极限π，这样有：a n+2﹣a n+1＞a n+1﹣a n，即2a n+1＜a n+2+a n，故选B．点评：本题三角函数的图象及其应用，考查方程根的个数问题，考查数形结合思想，考查学生灵活运用知识分析解决问题的能力．20．（文）已知函数f（x）=2sinx+3tanx．项数为27的等差数列{a n}满足a n∈（），且公差d≠0．若f（a1）+f（a2）+…+f（a27）=0，则当k值为（）有f（a k）=0．A．13 B．14 C．15 D．16考点：等差数列的性质．专题：压轴题；等差数列与等比数列．分析：由函数的解析式可得函数为奇函数，图象过原点，由等差数列的性质可得a1+a27=a2+a26=a3+a25=…=2a14，故有f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a27）=0，可得f（a14）=0，故有a14 =0，易得k值．解答：解：函数f（x）=2sinx+3tanx为奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点．而等差数列{a n}有27项，a n∈（﹣，）．由等差数列的性质可得a1+a27=a2+a26=a3+a25=…=2a14，若f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a27）=0，则必有f（a14）=0，故有a14 =0，所以，k=14，故选B．点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性及对称性，等差数列的性质应用．代数的核心内容是函数，函数的定义域、值域、性质均为高考热点，所有要求同学们熟练掌握函数特别是基本函数的图象和性质，并能结合平移、对称、伸缩、对折变换的性质，推出基本函数变换得到的函数的性质，属于中档题．三、解答题（12+14+14+16+18，共74分）21．（12分）试判断定义域为[﹣1，1]上的函数f（x）为奇函数是f（0）=0的什么条件？并说明理由．考点：函数奇偶性的判断．专题：规律型．分析：根据奇函数的定义，由函数为奇函数（0在定义域内），可得f（0）=0，来判断．解答：解：是充分不必要条件．∵函数f（x）为奇函数，∴f（﹣0）=f（0）=﹣f（0），∴f（0）=0；∵f（0）=0时，f（x）不一定为奇函数，例如函数f（x）=|x|，故答案是充分不必要条件．点评：本题考查奇函数的定义及充要条件的判定．22．（14分）已知ABCD﹣A1B1C1D1是底面边长1正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点．（1）设AB1与底面A1B1C1D1所成的角为，求该棱柱的侧面积；（2）（理）若点C到平面AB1D1的距离为，求四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积．（3）（文）设高AA1=2，求四面体AB1D1C的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：常规题型；空间位置关系与距离．分析：（1）由题意，ABCD﹣A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，则AB1与底面A1B1C1D1所成角即为∠AB1A1，则AB1的长度可求，进而可求该棱柱的侧面积；（2）由图形借助面面垂直找到点C在平面AB1D1的位置，利用三角形的相似解出．（3）由高AA1=2，ABCD﹣A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，则可得三棱锥A ﹣A1B1D1的体积，而四面体AB1D1C的体积为正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积减去四个三棱锥A﹣A1B1D1的体积，故四面体AB1D1C的体积可求．解答：解：（1）由于ABCD﹣A1B1C1D1是底面边长1正四棱柱，则AB1与底面A1B1C1D1所成的角为∠AB1A1，又由AB1与底面A1B1C1D1所成的角为，则=，故则该棱柱的侧面积为．（2）∵O1为B1D1的中点，而△AB1D1是以B1D1为底边的等腰三角形，∴AO1⊥B1D1∴B1D1⊥平面ACC1A1∴平面AB1D1⊥平面ACC1A1且交线为AO1，∴点C到平面AB1D1的投影点必落在A01上即垂足H，在矩形AA1C1C中，利用R t△AA1O1∽R t△CHA 得到而∴⇔，则AA1=2，故正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积V=1×1×2=2．（3）由于ABCD﹣A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA1=2，则三棱锥A﹣A1B1D1的体积为，又由四面体AB1D1C的体积为正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积减去四个三棱锥A ﹣A1B1D1的体积则四面体AB1D1C的体积为，故四面体AB1D1C的体积为．点评：本小题主要考查空间线面关系、线面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力23．（14分）已知函数，a∈R且a≠0．（1）若对∀x∈R，都有f（x）≤0，求a的取值范围；（2）若a≥2，且∃x∈R，使得f（x）≤0，求a的取值范围．考点：函数恒成立问题．专题：转化思想；函数的性质及应用．分析：（1）f（x）可变为：．令t=sinx（﹣1≤t≤1），则，则任意x∈R，f（x）≤0恒成立⇔g（﹣1）≤0，g（1）≤0，解出即可；（2）x∈R，使得f（x）≤0，等价于f（x）min=g（t）min≤0，当a≥2时，由g（t）在[﹣1，1]上的单调性易求其最小值；解答：解：（1）．令t=sinx（﹣1≤t≤1），则，对任意x∈R，f（x）≤0恒成立的充要条件是解得a的取值范围为（0，1]；（2）因为a≥2，所以，g（t）在[﹣1，1]上递增，所以，因此．于是，存在x∈R，使得f（x）≤0的充要条件是，解得0＜a≤3，故a的取值范围是[2，3]．点评：本题考查函数恒成立问题，函数恒成立问题往往转化为函数最值问题解决，体现了转化思想，注意区分“恒成立”与“能成立”的区别．24．（16分）已知椭圆方程为C：=1，它的左、右焦点分别为F1、F2．点P（x0，y0）为第一象限内的点．直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．（1）求椭圆上的点与两焦点连线的最大夹角；（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2．试找出使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k OA、k OB、k OC、k OD满足k OA+k OB+k OC+k OD=0成立的条件（用k1、k2表示）．（3）又已知点E为抛物线y2=2px（p＞0）上一点，直线F2E与椭圆C的交点G在y轴的左侧，且满足，求p的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）利用椭圆的定义，结合余弦定理、基本不等式，即可求得椭圆上的点与两焦点连线的最大夹角；（2）设出A，B，C，D的坐标，联立直线PF1和椭圆的方程根据韦达定理表示出x A+x B 和x A x B，进而可求得直线OA，OB斜率的和与CO，OD斜率的和，由k OA+k）B+k OC+k OD=0推断出k1+k2=0或k1k2=1；（3）设出G的坐标，可得E的坐标，利用E在抛物线上，可得p的函数，换元，利用基本不等，即可得到结论．解答：解：（1）由题意，设椭圆上的点与两焦点连线的距离为m，n，夹角为α，则m+n=∴cosα==﹣1∵m+n=≥∴0＜mn≤2∴﹣1≥0∴cosα≥0∴当m=n时，椭圆上的点与两焦点连线的最大夹角为90°；（2）设直线PF1、PF2的方程分别为y=k1（x+1），y=k2（x﹣1），A（x A，y A），B（x B，y B），C（x C，y C），D（x D，y D），联立直线PF1和椭圆的方程化简得（2k12+1）x2+4k12x+2k12﹣2=0，因此x A+x B=﹣，x A x B=，所以k OA+k OB=+=﹣同理可得：k OC+k OD=﹣，故由k OA+k OB+k OC+k OD=0得k1+k2=0或k1k2=1；（3）F2（1，0），设G（x0，y0），（），则∵，∴x E=，y E=，∵E为抛物线y2=2px（p＞0）上一点，∴∵∴12p=令t=x0+2，则∴12p=﹣（﹣4）≤﹣（2﹣4），∴p≤，当且仅当t=时，取等号∴时，p的最大值为．点评：本题考查椭圆的定义，考查余弦定理、考查基本不等式的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．25．（18分）设数列{a n}的通项公式为a n=an+b（n∈N*，a＞0）．数列{b n}定义如下：对于正整数m，b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值．（1）若a=2，b=﹣3，求b10；（2）若a=2，b=﹣1，求数列{b m}的前2m项和公式；（3）是否存在a和b，使得？如果存在，求a和b的取值范围；如果不存在，请说明理由．考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质．专题：压轴题；等差数列与等比数列．分析：（1）由题意可得，a n=2n﹣3，令a n=2n﹣3≥10，可得最小的自然数n=7，从而求得b10的值．（2）令a n≥m，求得n≥．根据b m的定义可知：当m=2k﹣1时，bm=k（k∈N*）；当m=2k时，b m=k+1（k∈N*）．再由b1+b2+…+b2m=（b1+b3+..b2m﹣1）+（b2+b4+..+b2m）=（1+2+3+..+m）+[2+3+4+..+（m+1）]，运算求得结果．（3）假设存在a和b满足条件，根据b m的定义可知，an+b≥m，且a＞0，对于任意的正整数m，都有3m+1＜≤3m+2．当3a﹣1＞0（或3a﹣1＜0）时，不满足条件，当3a﹣1=0时，可得﹣≤b＜﹣，从而得出结论．解答：解：（1）由题意可得，a n=an+b=2n﹣3，令a n=2n﹣3≥10，可得n≥6.5，∴n=7，即b10=7．（2）∵a=2，b=﹣1，∴a n=an+b=2n﹣1，对于正整数，令a n≥m，求得n≥．根据b m的定义可知：当m=2k﹣1时，b m=k（k∈N*）；当m=2k时，b m=k+1（k∈N*）．∴b1+b2+…+b2m=（b1+b3+..b2m﹣1）+（b2+b4+..+b2m）=（1+2+3+..+m）+[2+3+4+..+（m+1）]=+=m2+2m．（3）假设存在a和b满足条件，∵b m=3m+2（m∈N*），根据b m的定义可知，an+b≥m，且a＞0，即n≥．对于任意的正整数m，都有3m+1＜≤3m+2恒成立，即﹣2a﹣b≤（3a﹣1）m＜﹣a﹣b恒成立．当3a﹣1＞0（或3a﹣1＜0）时，可得m＜﹣（或m≤﹣），这与m是任意的正整数相矛盾．当3a﹣1=0时，a=，可得﹣﹣b≤0＜﹣﹣b，即﹣≤b＜﹣，进过检验，满足条件．综上，存在a和b，使得，此时，a=，且﹣≤b＜﹣．点评：本题考查数列的前n项和公式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用，属于中档题．。
上海市七宝中学高一数学文上学期期末试卷含解析
上海市七宝中学高一数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数f（x）=sin（+）（x∈R）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π参考答案：D【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据正弦型函数y=Asin（ωx+φ）的最小正周期是T=，写出答案即可．【解答】解：函数f（x）=sin（+）（x∈R）的最小正周期是：T===4π．故选：D．2. 函数的值域是（）A. [－1，1]B.[-2,2]C. [0,2]D.[0,1]参考答案：解析：对于含有绝对值的三角函数，基本解题策略之一是将其化为分段函数，而后分段考察，综合结论，在这里，当x≥0时，－2≤2sinx≤2即－2≤y≤2；当x<0时，y＝0包含于[－2，2].于是可知所求函数值域为[－2，2]，故应选B.3. 如图,一几何体的三视图如下：则这个几何体是（）A. 圆柱B. 空心圆柱 C. 圆 D. 圆锥参考答案：B略4. 设集合，，则A. B. C. D.参考答案：C5. 已知且，那么（）A．0 B．－10 C．－18 D．－26参考答案：D6. 函数f（x）=x2﹣4x+5在区间[﹣1，m]上的最大值为10，最小值为1，则实数m的取值范围是（）A．[2，+∞） B．[2，4] C．[﹣1，5] D．[2，5]参考答案：D【考点】二次函数的性质．【分析】由函数的解析式可得函数f（x）=x2﹣4x+5=（x﹣2）2+1的对称轴为x=2，此时，函数取得最小值为1，当x=﹣1或x=5时，函数值等于10，结合题意求得m的范围．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣4x+5=（x﹣2）2+1的对称轴为x=2，此时，函数取得最小值为1，当x=﹣1或x=5时，函数值等于10．且f（x）=x2﹣4x+5在区间[﹣1，m]上的最大值为10，最小值为1，∴实数m的取值范围是[2，5]，故选：D．7. 长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5.且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：B8. 集合，则是A、 B、C、 D、参考答案：C9. 将半径为3，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为( )A. B. C. D. 2π参考答案：A10. 已知为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．∥，∥ B．∥C．∥ D．∥，参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知集合A={x∈R|ax2－3x+2=0, a∈R},若A中元素至多有1个，则a的取值范围是参考答案：a=0或a≥12. 某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15 km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是___km．参考答案：5【分析】根据题意，画出图形，运用正弦定理，求解.【详解】根据题意，画出如下图的示意图：点A为开始出发点，点C为灯塔，点B是船沿南偏东60°的方向航行15 km后的位置.所以有，利用正弦定理可得：.【点睛】本题考查了正弦定理的应用.13. .筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，如左下图．假定在水流量稳定的情况下，半径为3m的筒车上的每一个盛水桶都按逆时针方向作角速度为rad/min的匀速圆周运动，平面示意图如右下图，己知筒车中心O到水面BC的距离为2m，初始时刻其中一个盛水筒位于点P0处，且∠P0OA＝（OA//BC)，则8min后该盛水筒到水面的距离为____m．参考答案：【分析】由题意可得转动8分钟之后盛水桶所转过的角度，从而确定出其所在的位置，结合三角函数的有关知识，求得点P 到水面的距离.【详解】根据题意可得，8分钟后盛水桶所转过的角为，而除去一圈，，所以转8分钟之后P 0所转到的位置P 满足，所以点P 到水面距离，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关三角函数的应用问题，涉及到的知识点有角速度的应用，三角函数的定义式，属于简单题目.14. 已知镭经过100年，质量便比原来减少4．24％，设质量为1的镭经过年后的剩留量为，则的函数解析式为 ．参考答案：15. 已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且，则a n =______.（写出两个即可）参考答案：或【分析】 利用已知求的公式，即可算出结果。
上海市闵行区七宝中学2013-2014学年高一下学期期末考试英语试题含答案.doc
上海市七宝中学2013学年高一第二学期英语期末试卷I. Listening Comprehension （17％）Section A (10％)1. A. At 9:25. B。
At 9：30 C. At 9：40 D. At 9:452. A In a garage. B。
At the airport。
C. In the clinic. D。
At a restaurant.3。
A。
The service is slow. B. The food is poor.C。
The prices are high。
D。
The restaurant is new。
4。
A。
Pick up her son from school. B。
Meet the man in his office。
C。
Work on a report。
D. Prepare dinner for her son.5。
A. She failed to contact Mr。
Wright。
B. She is about to call Mr. Wright's secretary。
C. She will see Mr。
Wright at lunch time。
D. She discussed the sports program with Mr。
Wright.6. A. He was late for the exam。
B。
He usually went to class late.C。
He was sick for a long time。
D. He did not finish the test paper。
7。
A. He finds the presentation hard to follow。
B. He considers the presentation very dull.C。
He thinks Professor White has chosen an interesting topic.D。
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2013学年第一学期期末考试高一数学模拟试题一、填空题（每小题3分，共36分）1．函数写出命题“若00x y >>且，则220x y +>”的否命题2．已知集合{}1,A x =，{}21,B x=且A B =，则x = 0 ．3．若集合{}2M x x =<，{}lg (1)N x y x ==-，则M N = )2,1( .4．已知实数,a b 满足222a b +=，则ab 的最大值为 1 . 5．函数31()lg 1xf x x x-=++的奇偶性为 奇函数 .6．函数()2234x x x f --⎪⎭⎫⎝⎛=π的单调递增区间是 .7．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0 的x 的取值范围是 )2,2(- .8．已知关于x 的方程265x x a -+=有四个不相等的实数根，则a 的取值范围是 )4,0( .9．函数133,0()31,0x x x f x x ⎧⎪+≤=⎨⎪+>⎩，若()2f a >，则实数a 的取值范围是]),0(0,1(+∞⋃- .10．若函数2x by x -=+在(,4)(2)a b b +<-上的值域为(2,)+∞，则b a += 6- . 11．定义全集U 的子集A 的特征函数为1,()0,A U x Af x x A∈⎧=⎨∈⎩ð，这里U A ð表示A 在全集U 中的补集，那么对于集合UB A ⊆、，下列所有正确说法的序号是 （1）（2）（3） .（1）)()(x f x f B A B A ≤⇒⊆ （2）()1()UA A f x f x =-ð（3）()()()A B A B f x f x f x =⋅ （4）()()()A B A B f x f x f x =+ 12．对任意的120x x <<，若函数1()f x a x x =-的大致图像为如图所示的一条折线（两侧的 射线均平行于x 轴），试写出a 、b 应满足的 条件是 0,0=+>-b a b a . 二、选择题（每小题3分，共12分）13．条件甲：23log 2x =是条件乙：3log 1x =成立的（ B ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．若函数)1,0()1()(≠>--=-a a a a k x f x x 在R 上既是奇函数，又是减函数，则)(log )(k x x g a +=的图像是（ A ）15．已知0x 是函数1()21xf x x=+-的一个零点.若()()10201,,,x x x x ∈∈+∞，则 (B ) A ．()()120,0f x f x << B ．()()120,0f x f x <>C ．()()120,0f x f x ><D ．()()120,0f x f x >> 16．设)(x f 是定义在R 上的函数．①若存在R x x ∈21,，21x x <，使)()(21x f x f <成立，则函数)(x f 在R 上单调递增； ②若存在R x x ∈21,，21x x <，使)()(21x f x f ≤成立，则函数)(x f 在R 上不可能单调递减； ③若存在02>x 对于任意R x ∈1都有)()(211x x f x f +<成立，则函数)(x f 在R 上递增； ④对任意R x x ∈21,，21x x <，都有)()(21x f x f ≥成立，则函数)(x f 在R 上单调递减． 则以上真命题的个数为（ B ） A.0 B.1 C.2 D.3 三、解答题（10+10+10+10+12=52分）17．设全集U R =，集合1{|||1},{|2}2x A x x a B x x +=-<=≤-． （1）求集合B ； （2）若U A B ⊆ð，求实数a 的取值范围．[12025022(,2)5,)2x x x x B +-≤--∴≥-=-∞⋃+∞ 分分[){12152,52||1(1,1)2342U U aa B x a A a a A B a -≥+≤=-<∴=-+⊆∴≤≤ ðð分分分18．已知不等式230x x m -+<的解集为{}1,x x n n R <<∈，函数()24f x x ax =-++.（1）求,m n 的值；（2）若()y f x =在(,1]-∞上递增，解关于x 的不等式()2log 320a nx x m -++-<.解：(1) 由条件得：131n n m+=⎧⎨⋅=⎩， 所以22m n =⎧⎨=⎩4 分 (2)因为()24f x x ax =-++在(),1-∞在(),1-∞上递增， 所以12a≥，2a ≥. 2 分()()22log 32log 230a a nx x m x x -++-=-+<.所以2223022310x x x x ⎧-<⎪⎨-+>⎪⎩ 分， 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<><<211230x x x 或.所以102x <<或312x <<. 2 分19．设幂函数()(1)(,)kf x a x a R k Q =-∈∈的图像过点2). （1）求,a k 的值；（2）若函数()()21h x f x b =-+-在[0,1]上的最大值为2，求实数b 的值．(1)1122222k a a k -=∴==∴= 分分（2）2()f x x =222()21()()1[0,1]h x x bx b h x x b b b x =-++-=--+-+∈max 1)1,(1)22b h h b ≥=== 分2max2)01,()122b h h b b b b <<==-+=∴= 舍）分max 3)0,(0)1212b h h b b ≤==-=∴=- 分综上：212b b ∴==- 或分20．有时可用函数0.115ln ,(6)() 4.4,(6)4a x a xf x x x x ⎧+≤⎪⎪-=⎨-⎪>⎪-⎩描述某人学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某学科知识的学习次数（*x N ∈），()f x 表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关．（1）证明：当7x ≥时，掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是单调递减的；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121]、(121,127]、(127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．21．对于函数12(),(),()f x f x h x ，如果存在实数,a b 使得12()()()h x a f x b f x =⋅+⋅，那么称()h x 为12(),()f x f x 的生成函数.（1）下面给出两组函数，()h x 是否分别为12(),()f x f x 的生成函数？并说明理由； 第一组：12()lg,()lg10,()lg 10xf x f x x h x x ===； 第二组：1)(,1)(,)(22221+-=++=-=x x x h x x x f x x x f ；（2）设12212()log ,()log ,2,1f x x f x x a b ====，生成函数()h x .若不等式23()2()0h x h x t ++<在[2,4]x ∈上有解，求实数t 的取值范围；（3）设121()(0),()(0)f x x x f x x x=>=>，取0,0a b >>，生成函数()h x 图像的最低点坐标为(2,8). 若对于任意正实数21,x x 且121x x +=.试问是否存在最大的常数m ，使m x h x h ≥)()(21恒成立？如果存在，求出这个m 的值；如果不存在，请说明理由.解：（1）①lg lg10lg 10x a b x x +={1011,22a b a b a b +=-=∴== 所以()h x 是12(),()f x f x 的生成函数2 分② 设222()(1)1a x x b x x x x ++++=-+，即22()()1a b x a b x b x x ++++=-+，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+111b b a b a ，该方程组无解.所以()h x 不是12(),()f x f x 的生成函数. 2 分 （2）122122()2()()2log log log h x f x f x x x x =+=+=若不等式23()2()0h x h x t ++<在[2,4]x ∈上有解，23()2()0h x h x t ++<，即22223()2()3log 2log t h x h x x x <--=--2 分0.050.0.42(3)(4)(3)(4)(3)(4)0.320.115ln0.85,2,66x x x x x x a ae a a e a ≥--≥---->∴≥+==--= （1）当x 7时，f(x+1)-f(x)=分而当7时，函数y=单调递增，且 故f(x+1)-f(x)单调递减.当7，掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是单调递减.分 （）由题意可知分 整理得 解得(](]050.05620.506123.0,21123.0121,127123.0121,133.1e ⋅≈⨯=-∈∈ 分由此可知，该学科是乙和丙学科。
分设2log s x =，则[1,2]s ∈，22223log 2log 32y x x s s =--=--，max 5y =-，故，5t <-. 2 分（3）由题意，得()(0)b h x ax x x =+>，则()bh x ax x=+≥2828b a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得28a b =⎧⎨=⎩，所以8()2(0)h x x x x =+> 1 分 假设存在最大的常数m ，使m x h x h ≥)()(21恒成立.于是设)(16644)4)(4(4)()(12212121221121x x x x x x x x x x x x x h x h u +++=++== =2221212121212121212121212()2646480416416432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-++⋅=++⋅=+-2 分令12t x x =，则41)2(22121=+≤=x x x x t ，即]41,0(∈t 设80432u t t=+-在]41,0(∈t 上单调递减， 289)41(=≥u u ，故存在最大的常数289m = 1 分。