【张丹】【29页】【高考专题数学第6讲解三角形】

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高三一轮复习第六讲解三角形与平面向量

第六节解三角形与平面向量例题1.若∆ABC 满足sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是__________.例题2. 已知a b c，，分别为ABC △的三个内角A B C，，的对边，2a =且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC △面积的最大值为__________.例题3已知ABC △的内角A B C ，，，满足1sin 2sin()sin()2A ABC C A B +-+=--+，面积S 满足1≤S ≤2，记a b c ，，分别为A B C ，，所对的边，则下列不等式一定成立的是（）.A.()8bc b c +>B.()ab a b +>C.612abc ≤≤D.1224abc ≤≤练习.在ABC 中a b c ，，分别为内角A B C ，，的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++，则角A 的大小为（）.A.6πB.3πC.23πD.56π7.向量和解三角形1.平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=，其中θ是a 与b 的夹角.2.平面向量数量积的几何意义：（1）一个向量在另一个向量方向上的投影，设θ是a 与b 的夹角，则||cos b θ叫做向量b 在向量a 的方向上的投影；||cos a θ叫做向量a 在向量b 的方向上的投影.（2）a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影||cos b θ的乘积3.向量数量积的性质：设两个非零向量与b ，则（1）设是单位向量，且e 与a 的夹角，则||cos e a a e a θ⋅=⋅=；（2）0a b a b ⊥⇔⋅=；（3）当与b 同向时，||||a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，||||a b a b ⋅=-；特别地，22||a a a a ⋅==或||a =（4），当且仅当a 与b 共线，即a b ∥时等号成立；（5）cos ||||a ba b θ⋅=（θ为向量a 与b 的夹角）4.向量数量积的运算律a e a ||||||ab a b ⋅（1）交换律：a b b a ⋅=⋅；（2）数乘结合律()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；（3）分配律：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅5.三角形面积公式（1）已知三角形一边及该边上的高：12S ah = （h 表示边a 上的高）；（2）已知三角形的两边及其夹角：111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===；（3）已知三角形三边：1()2S p a b c ⎫==++⎪⎭；（4）已知三角形的三边及内切圆半径：1()2S r a b c =++ （r 表示三角形内切圆半径）. 例题4在锐角三角形ABC 中，1tan 2A =，D 为边BC 上的点，ABD △与ACD △的面积分别为2和4.过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DE ⋅=_________例题5如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是__________.例题6ABC △是边长为2的等边三角形，已知向量a b ，满足22AB a AC a b ==+，，则下列结论中正确的是__________.（写出所有正确结论的序号）①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a b ⊥；④b BC ∥；⑤(4)a b BC +⊥ 例题7已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒ ，点E F ，分别在边BC DC ，上，BE BC DF DC λμ==，，若213AE AF CE CF ⋅=⋅=-，，，则λμ+=（）A.12B.23C.56D.712例题8在等腰梯形ABCD 中，已知2AB DC AB =，∥，160BC ABC =∠=︒，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且19BE BC DF DC λλ==，，则AE AF ⋅的最小值为__________.练习.知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒ ，点E F ，分别在边BC DC ，上，3BC BE DC DF λ==，，若1AE AF ⋅=，则λ= __________.例9是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（） A.—2B.32-C.43-D.—1例10ABCD 中，12AB AD ==，，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）A.3B. C.D.2。

高中数学培优专题06 解三角形(解析版)

【 B C b c 【专题 06 解三角形1．【2018 年新课标 2 理科 06】在△ABC 中，cosA ．4B ．C ．，BC ＝1，AC ＝5，则 AB ＝（）D ．2【解答】解：在△ABC 中，cos，cosC ＝2 ，BC ＝1，AC ＝5，则 AB故选：A ．4 ．2．2018 年新课标 3 理科 09△】 ABC 的内角 A ，，的对边分别为 a ，△，．若 ABC 的面积为则 C ＝（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．△ABC 的面积为，∴△S ABC，∴sinCcosC ，，∵0＜C ＜π，∴C故选：C ．．3． 2019 年全国新课标 2 理科 15△】 ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．若 b ＝6，a ＝2c ，B则△ABC 的面积为．，【解答】解：由余弦定理有b2＝a2+c2﹣2accosB，∵b＝6，a＝2c，B，∴∴c2＝12，，∴，故答案为：．4．【2019年浙江14△】在ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，若∠BDC＝45°，则BD＝，cos∠ABD＝．【解答】解：在直角三角形ABC中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，sinC，在△BCD中，可得，可得BD；∠CBD＝135°﹣C，sin∠CBD＝sin（135°﹣C）（cosC+sinC）（），即有cos∠ABD＝cos（90°﹣∠CBD）＝sin∠CBD，故答案为：，，5．【2018年浙江13△】在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a sinB＝，c＝．，b＝2，A＝60°，则【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a，b＝2，A＝60°，∴由正弦定理得：，即，解得sinB．由余弦定理得：cos60°，解得c＝3或c＝﹣1（舍），∴sinB，c＝3．故答案为：，3．6．【2017年浙江11】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝．【解答】解：如图所示，单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF中，△AOB是边长为1的正三角形，所以正六边形ABCDEF的面积为S6＝61×1×sin60°．故答案为：．7．【2017年浙江14△】已知ABC，AB＝AC＝4，BC＝2，点D为AB延长线上一点，BD＝2，连结CD，则△BDC的面积是，cos∠BDC＝．【解答】解：如图，取BC得中点E，∵AB＝AC＝4，BC＝2，∴BE BC＝1，AE⊥BC，∴AE，∴△S ABC BC•AE2，∵BD＝2，∴△S BDC△S ABC，∵BC＝BD＝2，∴∠BDC＝∠BCD，∴∠ABE＝2∠BDC在△Rt ABE中，∵cos∠ABE，∴cos∠ABE＝2cos2∠BDC﹣1，∴cos∠BDC，故答案为：，8．【2019年天津理科15△】在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c＝2a，3csinB＝4asinC．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）求sin（2B）的值．【解答】解（Ⅰ）在三角形ABC中，由正弦定理，得b sinC＝csinB，又由3csinB＝4asinC，得3b sinC＝4asinC，即3b＝4a．又因为b+c＝2a，得b，c，由余弦定理可得cosB．（Ⅱ）由（Ⅰ）得sinB，从而sin2B＝2sinBcosB，cos2B＝cos2B﹣sin2B，故sin（2B）＝sin2Bcos cos2Bsin．9．【2019年新课标3理科18】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知asinb sinA．（1）求B；（△2）若ABC为锐角三角形，且c＝△1，求ABC面积的取值范围．【解答】解：（1）asin b sinA，即为asin acos b sinA，可得sinAcos sinBsinA＝2sin cos sinA，∵sinA＞0，∴cos2sin cos，若cos0，可得B＝（2k+1）π，k∈Z不成立，∴sin，由0＜B＜π，可得B；（△2）若ABC为锐角三角形，且c＝1，由余弦定理可得b，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2﹣a+1＞1且1+a2﹣a+1＞a2，解得a＜2，可得△ABC面积S a•sin a∈（，）．10．【2019年新课标1理科17△】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sinB﹣sinC）2＝sin2A ﹣sinBsin C．（1）求A；（2）若a+b＝2c，求sinC．【解答】解：（△1）∵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsin C．则sin2B+sin2C﹣2sinBsinC＝sin2A﹣sinBsinC，∴由正弦定理得：b2+c2﹣a2＝bc，∴cosA，∵0＜A＜π，∴A．（2）∵a+b＝2c，A，∴由正弦定理得，∴解得sin（C），∴C，C，∴sinC＝sin（）＝sin cos cos sin．11．【2019年北京理科15△】在ABC中，a＝3，b﹣c＝2，cosB．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B﹣C）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a＝3，b﹣c＝2，cosB．∴由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2accosB，∴b＝7，∴c＝b﹣2＝5；（Ⅱ）在△ABC中，∵cosB，∴sinB，由正弦定理有：，∴，∵b＞c，∴B＞C，∴C为锐角，∴cosC，∴sin（B﹣C）＝sinBcosC﹣cosBsinC．12．【2019年江苏15△】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a＝3c，b，cosB，求c的值；（2）若，求sin（B）的值．【解答】解：（△1）∵在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a＝3c，b，cosB，∴由余弦定理得：cosB，解得c．（2）∵，∴由正弦定理得：，∴2sinB＝cosB，∵sin2B+cos2B＝1，∴sinB，cosB，∴sin（B）＝cosB．13．【2018年江苏17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．＝（40sinθ+10）•80cosθ【解答】解：（1）S矩形ABCD＝800（4sinθcosθ+cosθ），S•80cosθ（40﹣40sinθ）△CDP＝1600（cosθ﹣cosθsinθ），当B、N重合时，θ最小，此时sinθ；当C、P重合时，θ最大，此时sinθ＝1，∴sinθ的取值范围是[，1）；（2）设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产值为4t（t＞0），乙种蔬菜单位面积年产值为3t，则y＝3200t（4sinθcosθ+cosθ）+4800t（cosθ﹣cosθsinθ）＝8000t（sinθcosθ+cosθ），其中sinθ∈[，1）；设f（θ）＝sinθcosθ+cosθ，则f′（θ）＝cos2θ﹣sin2θ﹣sinθ＝﹣2sin2θ﹣sinθ+1；令f′（θ）＝0，解得sinθ，此时θ，cosθ；当sinθ∈[，）时，f′（θ）＞0，f（θ）单调递增；当sinθ∈（，1）时，f′（θ）＜0，f（θ）单调递减；∴θ时，f（θ）取得最大值，即总产值y最大．S＝800（4sinθcosθ+cosθ），矩形ABCDS＝1600（cosθ﹣cosθsinθ），△CDPsinθ∈[，1）；答：θ时总产值y最大．14．【2018年新课标1理科17】在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：，即，∴sin∠ADB，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB．（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB，∵DC＝2，∴BC5．15．【2018年北京理科15△】在ABC中，a＝7，b＝8，cosB （Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，∵cosB，∴sinB，．由正弦定理得得sinA，则A．（Ⅱ）由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，即64＝49+c2+2×7×c，【即 c 2+2c ﹣15＝0，得（c ﹣3）（c +5）＝0，得 c ＝3 或 c ＝﹣5（舍），则 AC 边上的高 h ＝csinA ＝3．16． 2018 年天津理科 15△】在 ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．已知 b sinA ＝acos （B（Ⅰ）求角 B 的大小；（Ⅱ）设 a ＝2，c ＝3，求 b 和 sin （2A ﹣B ）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理得，得 b sinA ＝asinB ，又 b sinA ＝acos （B）．）．∴asinB ＝acos （B），即 sinB ＝cos （B ）＝cosBcos sinBsin cosB ，∴tanB，又 B ∈（0，π），∴B．（Ⅱ）在△ABC 中，a ＝2，c ＝3，B，由余弦定理得 b，由 b sinA ＝acos （B ），得 sinA ，∵a ＜c ，∴cosA，∴sin2A ＝2sinAcosA，cos2A ＝2cos 2A ﹣1，【 b △c∴sin （2A ﹣B ）＝sin2AcosB ﹣cos2AsinB．17． 2017 年新课标 1 理科 17△】 ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，，，已知 ABC 的面积为（1）求 sinBsinC ；（2）若 6cosBcosC ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得 △S ABC acsinB，∴3csinBsinA ＝2a ，由正弦定理可得 3sinCsinBsinA ＝2sinA ，∵sinA ≠0，∴sinBsinC；（2）∵6cosBcosC ＝1，∴cosBcosC，∴cosBcosC ﹣sinBsinC，∴cos （B +C ），∴cosA，∵0＜A ＜π，∴A，．∵2R 2 ，∴sinBsinC•，∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c∴周长a+b+c＝3．18．【2017年新课标2理科17△】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c＝△6，ABC的面积为2，求b．【解答】解：（1）sin（A+C）＝8sin2，∴sinB＝4（1﹣cosB），∵sin2B+cos2B＝1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B＝1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1＝0，∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）＝0，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）＝0，∴cosB；（2）由（1）可知sinB，∵△S ABC ac•sinB＝2，∴ac，∴b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣2＝a2+c2﹣15＝（a+c）2﹣2ac﹣15＝36﹣17﹣15＝4，∴b＝2．19．【2017年新课标3理科17△】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA cosA＝0，a ＝2，b＝2．（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且AD⊥△AC，求ABD的面积．【解答】解：（1）∵sinA cosA＝0，∴tanA，∵0＜A＜π，∴A，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，即28＝4+c2﹣2×2c×（），即c2+2c﹣24＝0，解得c＝﹣6（舍去）或c＝4，故c＝4．（2）∵c2＝b2+a2﹣2abcosC，∴16＝28+4﹣2×22×cosC，∴cosC，∴CD∴CD BC∵△S ABC AB•AC•sin∠BAC4×22，∴△S ABD△S ABC20．【2017年上海18】已知函数f（x）＝cos2x﹣sin2x（1）求f（x）的单调递增区间；（△2）设ABC为锐角三角形，角A所对边a，x∈（0，π）．，角B所对边b＝5，若f（A）＝△0，求ABC的面积．【解答】解：（1）函数f（x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，x∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kππ≤x≤kπ，k∈Z，k＝1时，π≤x≤π，可得f（x）的增区间为[，π）；（△2）设ABC为锐角三角形，角A所对边a，角B所对边b＝5，若f（A）＝0，即有cos2A0，解得2Aπ，即Aπ，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，化为c2﹣5c+6＝0，解得c＝2或3，若c＝2，则cosB0，即有B为钝角，c＝2不成立，则c＝3，△ABC的面积为S bcsinA5×3．a．21．【2017年北京理科15△】在ABC中，∠A＝60°，c（1）求sinC的值；（2）若a＝△7，求ABC的面积．【解答】解：（1）∠A＝60°，c a，由正弦定理可得sinC sinA，（2）a＝7，则c＝3，∴C＜A，∵sin2C+cos2C＝1，又由（1）可得cosC，∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，acsinB7×36．∴S△ABC22．【2017年天津理科15△】在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sinB．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sinB，可得cosB．由已知及余弦定理，有13，∴b．由正弦定理，得sinA．∴b，sinA；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA，∴sin2A＝2sinAcosA，cos2A＝1﹣2sin2A．故sin（2A）．1．【安徽省黄山市2019届高三毕业班第三次质量检测】设的内角所对边的长分别是，且，则的值为（）A．B．4C．D．【答案】C【解析】在△ABC中，∵A＝2B，，b＝3，c＝1，可得，整理得a＝6cosB，∴由余弦定理可得：a＝6，∴a＝2，．⎢a 2c 2 -⎪ ⎥ ，若 a 2 sin C = 2sin A,( a + c)2 = 6 + b 2 ，则用“三斜求积”公式求得⎝ ⎭ ⎥⎦4 ⎢ 2 2B ．C ． 14 ⎢ 2 ⎭ ⎥⎦ ．故选 C.2 【江西省新八校 2019 届高三第二次联考】我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设 ∆ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b , c ，面积为 S ，则“三斜求积”公式为S = 1 ⎡ ⎛ a 2 + c 2 - b 2 ⎫2 ⎤⎣∆ABC 的面积为（）A ． 32 D ．1【答案】A【解析】a 2 sin C = 2sin A,∴ a 2c = 2a, ac = 2 ,因为 (a + c)2 = 6 + b 2 ，所以 a 2 + c 2 + 2ac = 6 + b 2 , a 2 + c 2 - b 2 = 6 - 2ac = 6 - 4 = 2 ，1 ⎡ ⎛2 ⎫2 ⎤3 从而 ∆ABC 的面积为⎢ 22 - ⎪ ⎥ =⎝ 2，故选 A. 3 【安徽省合肥市 2019 届高三第三次教学质量检测】已知△ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，若 a sin B = 2b s in C ， b = 3 ， cos B = 1 4，则 △ABC 的面积为（）A ． 9 15B ．9 15 16C ．3 1516 D ． 9 16【答案】B【解析】由 a sin B = 2b s in C 结合正弦定理可得 ab = 2bc ，则 a2c .由余弦定理 b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B ，可得 9= (2c )2+ c 2 - 2 ⨯ 2c c 1 4，解得 c = 32 ，则 a =3 .又 sin B = 1 - cos 2 B =154，=1【2B．2C．3得DE=DF，则AD为∠BAC的平分线，∴AB2⨯2⨯22=-解得AC=2;在∆ABC中，cos∠BAC=42+22-32218，∴SAB BC BC CA CA AB，则sin A:sin B:sin C=（）所以S1315915ac sin B=⨯3⨯⨯=222416.故选B.4．湖北省黄冈市2019届高三2月联考】如图，在∆ABC中，BD sin B=CD sin C，BD=2DC=22，AD=2，则∆ABC的面积为（）A．33【答案】B【解析】373D．37过点D分别作AB和AC的垂线，垂足分别为E,F，由BD sin B=CD sin C，AC=又cos∠ADB+cos∠ADC=0，即8+4-AB2BDDC=2，2+4-AC22⨯2⨯2，()2⨯4⨯2=8，∴sin∠BAC=37∆ABC=1372AB AC sin∠BAC=2.故选B.5．【江西省名校（临川一中、南昌二中)2019届高三5月联合考试】在∆ABC中，→→5=→→4=→→3A．9:7:8B．9:7:8C．6:8:7D．6:8:7【答案】B设AB • BC = = = t ，．3ABC = ab sin C = ⨯ a 2 ⨯ = 2 ab sin C = ⨯ a 2 ⨯ =．【解析】BC • CA CA • AB5 4 3所以 AB ⋅ BC = 5t, BC ⋅ C A = 4t , C A ⋅ AB = 3t ，所以 -ac cos B = 5t, -ab cos C = 4t, -bc cos A = 3t ，所以 c 2 + a 2 - b 2 = -10t, b 2 + a 2 - c 2 = -8t , c 2 + b 2 - a 2 = -6t ，得 a = - 9t, b = - 7t, c = - 8t所以 sin A :sin B :sin C = a : b : c = 9: 7: 8故选：B6 【重庆西南大学附属中学校 2019 届高三第十次月考】在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ，3c ,若 a cos A = b cos B ，且 c = 2 ， sin C = ，则 ABC 的面积为（）52 12 A ． 3B ．C ． 3 或D ． 6 或33【答案】C【解析】因为 a cos A = b cos B ，所以 sin A c os A = sin B cos B ，故 sin2 A = sin2 B ，因此 A = B 或 A + B = π2；因为 sin C = 3 π，所以 A + B = 舍去；故 A = B ；所以 a = b ；5 2π 3 4当 C > 时，由 sin C = 得 cos C = - ，又 c = 2 ，2 5 58 10所以，根据余弦定理 c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C 可得 4 = 2a 2 + a 2 ，解得 a 2 = ，5 9因此， S 1 1 3 3 10 1⨯ = ；2 2 5 10 9 3π 3 4当 C < 时，由 sin C = 得 cos C = ，又 c = 2 ，2 5 58 所以，根据余弦定理 c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C 可得 4 = 2a 2 - a 2 ，解得 a 2 = 10 ，5因此， S 1 1 3 3ABC =2 5 10 ⨯10 =3 .故选 C7 【山东省栖霞市 2019 届高三高考模拟卷】设锐角三角形 ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b , c ，若2 ， A + B = 3A ,∴ 2由正弦定理得 b = b = 2cos A ，即 b = 4cos A．a = 2, B = 2 A ，则b 的取值范围为（）A ． (0, 4)C ． (2 2, 2 3)B ． (2, 2 3)D ． (2 2, 4)【答案】C【解析】由锐角三角形 ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b , c ，若 a = 2, B = 2 A ，∴0 < 2 A <π∴ π2 <3 A < π∴π6< A <π3 ， 0 < A <π43< cos A <2 2a = 2, B = 2 A ,1a 2∴ 2 2 < 4cos A < 2 3则 b 的取值范围为 (2 2, 2 3) ,故选 C.8 【河北廊坊 2018-2019 学年高一年级第二学期期中联合调研考试】在∆ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ， A = 60︒ ， a = 4 3 ， b = 4 ，则 B = （）A ．B = 30 ︒ 或 B = 150︒C ． B = 30 ︒【答案】C【解析】B ． B = 150︒D ． B = 60︒解：A = 60 ︒ ， a = 4 3 ， b = 4由正弦定理得： s in B = b sin A aa > b∴ B < 60︒4 ⨯ s in 60︒ 1 = =4 3 2．2sin C cos C=sin A(2-2cos2C+cos C-2),() b2+c2-a22+16-10222bc sin A=2⨯2⨯4⨯2∴B=30︒故选C.9【辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试】在∆ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若∆ABC为锐角三角形，且满足，s in2C=tan A(2sin2C+cos C-2)，则等式成立的是（）A．b=2a【答案】B【解析】依题意得B．a=2b C．A=2B D．B=2A2sin C sin A=cos A1-2cos C cos A,2(sin A c osC+cos Asin C)=sin A，即sin A=2sin B，由正弦定理得a=2b，故选B.10．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】∆ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=2，c=4.且a cos B=3b cos A，则∆ABC的面积为（）A．2【答案】A【解析】B．3C．4D．32由余弦定理得：a⋅a2+c2-b2b2+c2-a2=3b⋅2ac2bc，即a2+16-2=32+16-a2解得：a=10∴c os A===∴s in A=1-cos2A= 2bc22⨯422∴S 112∆ABC==2本题正确选项：A11．【广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a b cBC边上的高为，则+的最大值是______．22c2b=sin A+cos A=2sin A+⎪≤2，由正弦定理可得：a【【答案】2【解析】因为BC边上的高为a2，所以1a1⨯⨯a=bc sin A，即a2=2bc sin A，222b c b2+c2a2+2bc cos A可得+==2c2b2bc2bc=故2bc sinA+2b ccos A⎛π⎫b c+的最大值是2．2c2b2bc⎝4⎭故答案为2．12．【云南省陆良县2019届高三上学期第一次摸底考试】∆ABC外接圆半径为3，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A=60︒，b=2，则c的值为___．【答案】6+1【解析】b c===2R=23sin A sin B sin C∴a=23，解得：a=3sin60由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bc cos A=4+c2-2c=9解得：c=1+6或1-6（舍去）∴c=6+1本题正确结果：6+113．四川省名校联盟2019届高考模拟信息卷（一)】三角形ABC中，∠BAC=30︒，BC=【解析】2，AC 22，2426.由正弦定理得AC(22)-(2)=所以，三角形ABC的面积为1【解法1：在∆ABC中，∠BAC=30︒，BC=2，AC=22.由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2A C⋅AB c os30︒，即2=AB2+8-2⨯22A B⨯3，解得AB=111三角形ABC的面积为AB⋅AC sin30︒=⨯6⨯22⨯=3.222解法2：在∆ABC中，∠BAC=30︒，BC=2，AC=22.BC=，∴sin∠ABC=1，sin∠ABC sin30︒∴∠ABC=90︒，由勾股定理，得AB=226.1AB⋅BC=⨯6⨯2=3.2214．天津市河东区2019届高三二模】如图，已知O A=OB=OC，AB=2，∠ABC=135，OA⋅O B=2，则OB⋅O C=__________.【答案】23【解析】设OA=OB=OC=m(m>0)，∠AOB=θ，在△ABO中，由余弦定理可得：m2+m2-2m2cosθ=4，整理可得：m2(1-cosθ)=2，①由平面向量数量积的定义可得：O A⋅O B=m2cosθ=2，②【4 .由①②有： m 2 (1 - cos θ ) = m 2 cos θ ，解得： cos θ = 12,∴θ = 60 ，即△ABO 为等边三角形， m = 2 ，180︒ - θ θ 由题意可得： ∠OBC = 1350 - = 45︒ + ，2 2∠BOC = 180︒ - 2∠OBC = 90︒ - θ = 30 ，故： OB ⋅ O C = OB ⨯ OC cos ∠BOC = m 2 ⨯ cos30 = 2 3 .15．黑龙江省大庆第一中学 2019 届高三第三次模拟】已知 ∆ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 a = b cos C + c s in B（Ⅰ）求 B ；（Ⅱ）若 b = 2 ，求 ∆ABC 面积的最大值。

高考中的三角函数与解三角形问题课件(19张)

文科数学微专题2 高考中的三角函数与解三角形问题
文科数学微专题2 高考中的三角函数与解三角形问题
文科数学微专题2 高考中的三角函数与解三角形问题
文科数学微专题2 高考中的三角函数与解三角形问题
文科数学微专题2 高考中的三角函数与解三角形问题
2019版《高考帮》配套PPT课件
【高考帮·文科数学】微专题2：高考中的三角函数与解三角形问题
微专题2 高考中的三角函数与解三角形问题
目录
CONTENTS
考向1 三角函数的图象与性质考向2 三角函数的求值考向3 利用正、余弦定理解三角形
文科数学微专题2 高考中的三角函数与解三角形问题
考向1 三角函数的图象与性质考向2 三角函数的求值考向3 利用正、余弦定理解三角形
考情揭秘
三角函数与解三角形是历年高考必考的重点,由于其涉及的概念多、公式多,应用较为灵活,考题看似简单,但不易得分.高考命题点主要有:三角函数的化简或求值、三角函数的图象与性质、三角函数图象的平移或伸缩变换、利用正、余弦定理解三角形以及解三角形的实际应用等.涉及的数学思想主要有:函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想以及转化与化归思想等.常出现在选择题与填空题中比较靠前的位置,在解答题中一般出现在第 17题,属于中低档题.
文科数学微专题2 高考中的三角函数与解三角形问题
文科数学微专题2 高考中的三角函数与解三角形问题
考向2 三角函数的求值
三角函数的求值是三角函数的基本题型,也是高考命题的重点,主要有以下命题角度: (1)求值,即利用诱导公式与同角三角函数关系,以及两角和与差的三角函数公式、倍角公式等求值; (2)求角,即根据已知先求角的三角函数值,然后求角.

高考数学综合能力提升与指导第06讲--三角函数与三角形-(3)

数学高考综合能力题选讲21抽象函数型综合问题100080 北京中国人民大学附中梁丽平题型预测抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识．可以说，这一类问题，是考查学生能力的较好途径，因此，在近年的高考中，这一类题目有增多和分量加重的趋势．范例选讲例1．定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数,m n ，总有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，()01f x <<．（1）试求()0f 的值；（2）判断()f x 的单调性并证明你的结论；（3）设()()()(){}()({}22,1,,1,A x y f x f y f B x y f ax y a R =⋅>=-=∈，若A B ⋂=∅，试确定a 的取值范围．（4）试举出一个满足条件的函数()f x ．讲解：（1）在()()()f m n f m f n +=⋅中，令1,0m n ==．得：()()()110f f f =⋅．因为()10f ≠，所以，()01f =．（2）要判断()f x 的单调性，可任取12,x x R ∈，且设12x x <．在已知条件()()()f m n f m f n +=⋅中，若取21,m n x m x +==，则已知条件可化为：()()()2121f x f x f x x =⋅-．由于210x x ->，所以()2110f x x >->．为比较()()21f x f x 、的大小，只需考虑()1f x 的正负即可．在()()()f m n f m f n +=⋅中，令m x =，n x =-，则得()()1f x f x ⋅-=． ∵ 0x >时，()01f x <<， ∴ 当0x <时，()()110f x f x =>>-．又()01f =，所以，综上，可知，对于任意1x R ∈，均有()10f x >． ∴ ()()()()2112110f x f x f x f x x -=--<⎡⎤⎣⎦． ∴ 函数()f x 在R 上单调递减．（3）首先利用()f x 的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含f 的式子．()()()222211f x f y f x y ⋅>+<即，(()10f ax y f -==，即0ax y -+=．由A B ⋂=∅，所以，直线0ax y -+=与圆面221x y +<无公共点．所以，1≥．解得：11a -≤≤．（4）如()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭．点评：根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令1,0m n ==；以及21,m n x m x +==等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数，则有助于问题的思考和解决．例2．已知定义在R 上的函数()f x 满足：（1）值域为()1,1-，且当0x >时，()10f x -<<；（2）对于定义域内任意的实数,x y ，均满足：()()()()()1f m f n f m n f m f n ++=+试回答下列问题：（Ⅰ）试求()0f 的值；（Ⅱ）判断并证明函数()f x 的单调性；（Ⅲ）若函数()f x 存在反函数()g x ，求证：21111511312g g g g n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．讲解：（Ⅰ）在()()()()()1f m f n f m n f m f n ++=+中，令0,0m n >=，则有()()()()()010f m f f m f m f +=+．即：()()()()()100f m f m f f m f +=+⎡⎤⎣⎦．也即：()()()2010f f m ⎡⎤-=⎣⎦．由于函数()f x 的值域为()1,1-，所以，()()210f m ⎡⎤-≠⎣⎦，所以()00f =．（Ⅱ）函数()f x 的单调性必然涉及到()()f x f y -，于是，由已知()()()()()1f m f n f m n f m f n ++=+，我们可以联想到：是否有()()()()()1f m f n f m n f m f n --=-？（＊）这个问题实际上是：()()f n f n -=-是否成立？为此，我们首先考虑函数()f x 的奇偶性，也即()()f x f x -与的关系．由于()00f =，所以，在()()()()()1f m f n f m n f m f n ++=+中，令n m =-，得()()0f m f m +-=．所以，函数()f x 为奇函数．故（＊）式成立．所以，()()()()()1f m f n f m n f m f n -=--⎡⎤⎣⎦．任取12,x x R ∈，且12x x <，则210x x ->，故()210f x x -<且()()211,1f x f x -<<．所以，()()()()()21212110f x f x f x x f x f x -=--<⎡⎤⎣⎦所以，函数()f x 在R 上单调递减．（Ⅲ）由于函数()f x 在R 上单调递减，所以，函数()f x 必存在反函数()g x ，由原函数与反函数的关系可知：()g x 也为奇函数；()g x 在()1,1-上单调递减；且当10x -<<时，()0g x >．为了证明本题，需要考虑()g x 的关系式．在（＊）式的两端，同时用g 作用，得：()()()()1f m f n m n g f m f n ⎡⎤--=⎢⎥-⎣⎦，令()(),f m x f n y ==，则()(),m g x n g y ==，则上式可改写为：()()1x y g x g y g xy ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭．不难验证：对于任意的(),1,1x y ∈-，上式都成立．（根据一一对应）．这样，我们就得到了()g x 的关系式．这个式子给我们以提示：即可以将2131n n ++写成1x yxy--的形式，则可通过裂项相消的方法化简求证式的左端．事实上，由于()()()()()()211112111211131121111212n n n n n n n n n n n n -++++===++++-⎛⎫⎛⎫--⋅ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，所以，21113112g g g n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以，211151131g g g n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111112334121122111222g g g g g g n n g g n g g g n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-> ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：一般来说，涉及函数奇偶性的问题，首先应该确定()0f 的值．高考真题1．（2001年全国高考题）设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线y x =对称，对任意121,0,2x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()()()1212f x x f x f x +=⋅，且()10f a =>．（Ⅰ）求12f ⎛⎫⎪⎝⎭及14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）证明：()f x 是周期函数；（Ⅲ）记122n a f n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求()lim ln n n a →+∞．2．（2002北京高考题）已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的,a b R ∈都满足：()()()f a b af b bf a ⋅=+（Ⅰ）求()()0,1f f 的值；（Ⅱ）判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）若()()()*222, n n f f u n N n-==∈，求数列{}n u 的前n 项的和n S ．[答案与提示：1．（Ⅰ）1/21/411,24f a f a ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（Ⅱ）略；（Ⅲ）()lim ln 0n n a →+∞=． 2．（Ⅰ）()()010f f ==；（Ⅱ）奇函数；（Ⅲ）112nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．]。

高三数学(理)二轮复习：专题六解三角形与平面向量 Word版含解析

专题六解三角形与平面向量1．三角形的有关公式：(1)在△ABC 中：sin(A ＋B )＝sin_C ，sin A ＋B 2＝cos_C2； (2)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ；(3)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，cos A ＝b 2＋c 2－a22bc ；(4)面积公式：S ＝12ah a ＝12ab sin C ＝12r (a ＋b ＋c )(其中r 为三角形内切圆半径)．2．平面向量的数量积a ·b ＝|a ||b |cos_θ．(θ为两个非零向量a ，b 的夹角) 特别地，a 2＝a·a ＝|a|2，|a|＝a 2.当θ为锐角时，a ·b >0，且a·b >0是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a·b <0，且a·b <0是θ为钝角的必要非充分条件．3．b 在a 上的射影为|b |cos_θ． 4．平面向量坐标运算设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ≠0，b ≠0，则： (1)a·b(2)|a |2＝|a |2＝x 21＋y 21； (3)a ∥⇔x 1y 2－y 1x 2＝0；(4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a ＋b |＝|a －b |⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(5)若a 、b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a |·|b |＝5．△ABC 中向量常用结论 (1)P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心； (2)P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →⇔P 为△ABC 的垂心；(3)向量λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心； (4)|P A →|＝|PB→|＝|PC →|⇔P 为△ABC 的外心．考点一解三角形考点精析b ＝2，B ＝π3，C ＝π4，则△ABC 的面积为()A ．1＋33B.3＋1C ．1－33D.3－1考点：正弦定理，三角形面积求法．分析：利用正弦定理列出关系式，将b ，sin B ，sin C 的值代入求出c 的值，且根据B 与C 的度数求出A 的度数，由b ，c ，sin A 的值，利用三角形面积公式即可求出△ABC 的面积．解析：在△ABC 中，b ＝2，B ＝π3，C ＝π4，由正弦定理b sin B ＝c sin C 得：c ＝b sin C sin B ＝2×2232＝263.∵A ＝π－B －C ＝5π12，∴sin A ＝sin 5π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋π4＝12×22＋32×22＝6＋24，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×263×6＋24＝1＋33. 答案：A点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．例1－2△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，角A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为() A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形考点：正弦定理的应用．分析：根据条件求出B ＝π3，然后根据正弦定理即可得到结论．解析：∵A ，B ，C 成等差数列， ∴A ＋C ＝2B ，即3B ＝π，∴B ＝π3. ∵3b ＝23a sin B ，∴根据正弦定理得3sin B ＝23sin A sin B ，在△ABC 中，sin B ≠0，∴3＝23sin A ，即sin A ＝32，∴A ＝π3或2π3.当A ＝2π3时，A ＋B ＝π不满足条件． ∴A ＝π3，此时C ＝π3.故A ＝B ＝C ，即△ABC 的形状为等边三角形．答案：C点评：本题主要考查正弦定理的应用，根据等差数列的性质求出角B 是解决本题的关键．例1－3若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ()A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用．分析：先根据正弦定理及题设，推断a ∶b ∶c ＝5∶11∶13，再通过余弦定理求得cos C 的值小于零，推断C 为钝角．解析：根据正弦定理，a sin A ＝b sin B ＝csin C ，又sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13， ∴a ∶b ∶c ＝5∶11∶13.设a ＝5t ，b ＝11t ，c ＝13t (t ≠0)， ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25t 2＋121t 2－169t 22×5t ×11t＝－23110<0，∴角C 为钝角．答案：C点评：本题的关键是应用余弦定理来判断角的类型，注意与正弦定理的巧妙结合．规律总结正弦定理，余弦定理是解三角形的基础，是与其他知识的交汇点，因而一直是高考命题的热点问题．考查时，既有小题，也有大题，以选择、填空题形式考查正弦定理、余弦定理的常见类型有：一是解三角形及其应用(如例1－1)；二是判断三角形的形状(如例1－2)；三是正弦定理、余弦定理与其他知识的综合运用(如例1－3)．变式训练【1－1】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32，且b <c ，则b ＝()A ．3B ．2 2C ．2D. 3解析：根据余弦定理，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ， ∴b 2＝a 2－c 2＋2bc ·cos A ，即b 2＝4－12＋6b ，解得b ＝2或b ＝4.∵b <c ，∴b ＝2. 答案：C【1－2】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为()A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：由正弦定理及已知条件可知sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，而B ＋C ＝π－A ，所以sin(B ＋C )＝sin A ，所以sin 2A ＝sin A ，又0<A <π，∴sin A >0，∴sin A ＝1，即A ＝π2，故选A. 答案：A【1－3】在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，S △ABC ＝33，则BC ＝()A ．5B.13或37 C.37D.13解析：由S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×3×4×sin ∠BAC ＝33，得sin ∠BAC ＝32.因为△ABC 为锐角三角形，所以∠BAC ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，故∠BAC ＝π3.在△ABC 中，由余弦定理得， BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝42＋32－2×4×3×cos π3＝13.所以BC ＝13，故选D. 答案：D例1－4已知A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，且m ·n ＝sin2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求边c 的长．考点：余弦定理；等差数列的性质；平面向量数量积的运算；正弦定理．分析：(1)根据n 和m 表示出m ·n ，求得m ·n ＝sin C ，进而根据已知可推断出sin C ＝sin2C ，再用二倍角公式求得cos C 的值，进而求得C .(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可推断出2sin C ＝sin A ＋sin B ，利用正弦定理把角转化为边的问题，进而根据CA →·(AB →－AC →)求得ab cos C ＝18，最后由余弦定理求得C .解析：(1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )，在△ABC 中，由于sin(A ＋B )＝sin C ， ∴m ·n ＝sin C . 又∵m ·n ＝sin2C ，∴sin2C ＝sin C ，即2sin C cos C ＝sin C ，又sin C ≠0，所以cos C ＝12，而0<C <π，因此C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b . ∵CA→·(AB →－AC →)＝18， ∴CA→·CB →＝18，即ab cos C ＝18，由(1)知cos C＝12，所以ab＝36.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝(a＋b)2－3ab，∴c2＝4c2－3×36，整理得c2＝36，∴c＝6.点评：本题主要考查了正、余弦定理和平面向量积的运算．考查了学生综合分析问题和运算的能力，关键是对公式的熟练掌握，难度中等．规律总结以解答题形式考查正弦定理、余弦定理及其综合应用一直是高考命题的热点问题．这类问题往往涉及到三角形的面积问题，因此我们必须熟练掌握三角形的面积公式．并且这类问题考查的重点是三角形中的三角变换问题．变式训练【1－4】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a3cos A＝csin C.(1)求A的大小；(2)若a＝6，求b＋c的取值范围．解析：(1)∵a3cos A＝csin C＝asin A，∴3cos A＝sin A，∴tan A＝3，∵0<A<π，∴A＝π3.(2)∵asin A＝bsin B＝csin C＝6sinπ3＝43，∴b＝43sin B，c＝43sin C，∴b＋c＝43sin B＋43sin C＝43[sin B＋sin(π－A－B)]＝43⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤sin B＋sin⎝⎛⎭⎪⎪⎫π3＋B＝12sin⎝⎛⎭⎪⎪⎫B＋π6.∵π6<B ＋π6<5π6，∴6<12sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫B ＋π6≤12，即b ＋c ∈(6，12]．【1－5】△ABC 的外接圆的直径为1，三个内角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，m ＝(a ，cos B )，n ＝(cos A ，－b )，a ≠b ，已知m ⊥n .(1)求sin A ＋sin B 的取值范围；(2)若abx ＝a ＋b ，试确定实数x 的取值范围．解析：(1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0，∴a cos A －b cos B ＝0.由正弦定理知，a sin A ＝bsin B ＝1， ∴a ＝sin A ，b ＝sin B .∴sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin2A ＝sin2B . ∵A ，B ∈(0，π)， ∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π. ∴A ＝B ，或A ＋B ＝π2.又a ≠b ，所以A ≠B ，故A ＋B ＝π2.∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π4， ∵π4<A ＋π4<3π4，∴22<sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π4≤1. ∴sin A ＋sin B 的取值范围为(1，2]． (2)∵abx ＝a ＋b ，∴sin A ·sin B ·x ＝sin A ＋sin B ， ∴x ＝sin A ＋cos A sin A cos A .令sin A ＋cos A ＝t ∈(1，2]，sin A cos A ＝t 2－12，∴x ＝2t t 2－1＝2t －1t.∵t －1t 在(1，2]上单调递增，∴0<t －1t ≤2－12＝22，∴x ≥22，故x 的取值范围为[22，＋∞)．例1－5如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．考点：解三角形的实际应用．分析：(1)由题意推出∠BAC ＝120°，利用余弦定理求出BC ＝28，然后推出渔船甲的速度．(2)(方法1)在△ABC 中，直接利用正弦定理求出sin α. (方法2)在△ABC 中，利用余弦定理求出cos α，然后转化为sin α.解析：(1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BCA ＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，解得BC ＝28.所以渔船甲的速度为BC2＝14海里/时．答：渔船甲的速度为14海里/时．(2)(方法1)在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BCsin 120°，即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314. 答：sin α的值为3314. (方法2)在△ABC 中，因为AB ＝12，AC ＝20，BC ＝28，∠BCA ＝α，由余弦定理，得cos α＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ×BC ，即cos α＝202＋282－1222×20×28＝1314.因为α为锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314. 答：sin α的值为3314.点评：本题考查三角函数在实际问题中的应用，正弦定理、余弦定理的应用，考查计算能力．规律总结解三角形的实际应用问题在新的《课程标准》中有所加强．因此这类问题也会出现在高考试卷中，所以我们必须熟练掌握基本的解题方法．变式训练【1－6】如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解析：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sin C ＝ACsin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1040(m)．所以索道AB 的长为1040m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋×1213＝200，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在1 25043，62514(单位：m/min)范围内．考点二平面向量考点精析1．两个向量的和仍是向量．特别注意的是：在向量加法的表达式中，零向量一定要写成0，而不应写成0；在△ABC 中，AB ＋BC ＋CA ＝0(如图)．2．两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得：用平行四边形法则时，两个向量共起点，和向量是起点与它们的起点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量；用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．3．对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解为位置(共线或不共线)与向量等式之间所建立的对应关系．用向量共线定理可以证明几何中的三点共线和直线平行问题．但是向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况．也就是说，要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式b ＝λa ，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置．4．由于数量积是新运算，所以不能将代数运算的运算律完全照搬过来，在代数中使用的运算或规则不一定成立．以下三点要特别注意．第一点，当a ≠0时，a·b ＝0不能推出b 一定是零向量．这是因为任一与a 垂直的非零向量b ，都有a·b ＝0，所以在代数中我们常用的“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”在向量的数量积中不适用．第二点，由a·b ＝b·c 不能推出a ＝c ，即等式两边都是数量积时，其公因式不能约去．这是因为原等式左右两边均是实数，是一个实数等式；而a ＝c 是一个向量等式，所以二者不等价．另外，我们学习的向量运算中没有除法，相约实质是相除，这是不允许的．这就是说，在代数中常见的“若2x ＝6则x ＝3”的变形在数量积中不适用．第三点，结合律对数量积不成立，即(a·b )c ≠a (b·c )．这是因为(a·b )c表示一个与向量c 共线的向量，而a (b·c )表示一个与向量a 共线的向量，但向量a 和向量c 不一定共线(即使共线，其积也不一定相等)，所以(a·b )c ≠a (b·c )．5．由于向量有几何法和坐标法两种表示，它的运算也因为这两种不同的表示而有两种方式，因此向量问题的解决理论上讲有两个途径，即基于几何表示的几何法和基本坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题．例2－1已知正三角形ABC 的顶点A (3，1)，B (33，1)，顶点C在第一象限，若点M (x ，y )在△ABC 的内部或边界，则z ＝OA →·OM →取最大值时，3x 2＋y 2有()A ．定值52B ．定值82C ．最小值52D ．最小值50 考点：平面向量的综合题．分析：利用向量的相关运算及线性规划，求出z ＝OA→·OM →取最大值时，x ，y 满足的关系式，再利用二次函数的相关知识求出最值即可．解析：由题意得C (23，4)，OA→＝(3，1)，OM →＝(x ，y )， ∴OA→·OM →＝3x ＋y ，由线性规划知当M 在线段BC 上时，z ＝OA→·OM →取最大值，故点M (x ，y )的坐标满足3x ＋y ＝10(23≤x ≤33)． ∴y ＝10－3x (23≤x ≤33)． ∴s ＝3x 2＋y 2 ＝3x 2＋(10－3x )2 ＝6x 2－203x ＋100，∵对称轴x ＝533，∴s ＝f (x )在[23，33]上单调递增，∴当x ＝23时s 有最小值52. 答案：C点评：本题主要考查了向量的相关运算及二次函数的最值求解问题．例2－2如图所示，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP→＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．考点：平面向量的加、减法，数乘及数量积等运算的法则与应用．分析：向量的运算一般有两种方法，即基底法和坐标法，本题可以以AB→，AD →作基底，用基底法求解，也可以以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，用坐标法求解．解析：(方法1)由题意，得AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP→＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →， ∴AP →·BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB → ＝|AD →|2－12AD →·AB →－316|AB →|2，即2＝25－12AD →·AB →－316×64，解得AD→·AB →＝22.(方法2)以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系(如图)，易得B (8，0)，设D (x ，y )，则x 2＋y 2＝5，DP ＝14DC ＝2，那么P (x ＋2，y )，AP→＝(x ＋2，y )，BP →＝(x －6，y )．由AP →·BP →＝2得：(x ＋2)·(x －6)＋y 2＝2，即x 2＋y 2－4x －12＝2.将x 2＋y 2＝5代入得x ＝114.所以AB→·AD →＝8x ＋0×y ＝8x ＝22. 答案：22点评：解决平面向量数量积问题，一是可以从平面向量基本定理出发，找准“基底”，围绕“基底”运算，二是建立坐标系，将运算坐标化．体会向量是联系代数与几何的“桥梁”．例2－3如图在等腰直角△ABC 中，点O 是斜边BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN→，则mn 的最大值为()A.12B ．1 C ．2D ．3考点：向量在几何中的应用；基本不等式在最值问题中的应用．分析：利用三角形的直角建立坐标系，求出各个点的坐标，由条件求出M 和N 坐标，则由截距式直线方程求出MN 的直线方程，根据点O 在直线上，求出m 和n 的关系式，利用基本不等式求出mn 的最大值，注意等号成立时条件是否成立．解析：以AC 、AB 为x 、y 轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC 的腰长为2，则O 点坐标为(1，1)，B (0，2)、C (2，0)．∵AB→＝mAM →，AC →＝nAN →， ∴AM →＝AB →m ，AN →＝AC →n， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2m 、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ，0.∴直线MN 的方程为nx 2＋my2＝1. ∵直线MN 过点O (1，1)， ∴m 2＋n2＝1，即m ＋n ＝2.∵m ＋n ≥2mn (m >0，n >0)，∴mn ≤（m ＋n ）24＝1，当且仅当m ＝n ＝1时取等号， ∴mn 的最大值为1.答案：B点评：本题考查了利用向量的坐标运算求最值问题，需要根据图形的特征建立坐标系，转化为几何问题，根据条件求出两数的和，再由基本不等式求出它们的积的最大值．注意验证的三个条件：一正二定三相等，考查了转化思想．规律总结综观2019年的高考试题，不难发现：高考对平面向量的考查，主要以选择、填空题为主(至于解答题中，也会涉及到平面向量的有关知识，但考查的重心却是其他知识，此时平面向量只是作为叙述有关条件的工具而已)．而且在选择、填空题考查平面向量有关知识题目与前几年相比较又有所变化：现在的高考题，要么非常常规，只要我们熟练掌握平面向量的基本知识和基本方法即可顺利过关；要么是新型问题．这正是需要我们在二轮复习中重点突破的地方．变式训练【2－1】，定义一种向量积a ·b ＝(a 1，a 2)·(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，点Q在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ·OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )的最大值为________．解析：设Q (x ，y )，P (x ′，y ′)，则由OQ →＝m ·OP →＋n 得 (x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ′，12sin x ′＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫π3，0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′＋π3，y ＝12sin x ′，消去x ′得y ＝f (x )的解析式为y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－π6，x ∈R ，易得y ＝f (x )的最大值为12.答案：12【2－2】在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO→|的最小值为________．解析：如图，△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，记NA →＝CA →－mCB →，则当N 在D 处，即AD ⊥BC 时，f (m )取得最小值32，因此|AD →|＝32，容易得到∠ACB ＝120°.∵CO→＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1， ∴O 在AB 上，∴当CO ⊥AB 时，|CO →|最小，|CO →|min＝12. 答案：12例在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝22，AC ＝2，AB ＝3，求tan A 的值和△ABC 的面积．考场错解：∵sin A ＋cos A ＝22，∴两边平方得2sin A cos A ＝－12. 又0°<2A <360°，∴2A ＝210°或2A ＝330°，即A ＝105°或A ＝165°. 当A ＝105°时，tan A ＝tan(45°＋60°)＝1＋31－3，sin A ＝sin(45°＋60°)＝2＋64，△ABC 的面积为12AC ·AB ·sin A ＝3（2＋6）4；当A ＝165°时，tan A ＝tan ＝－2＋3，sin A ＝sin ＝6－24，△ABC 的面积为12AC ·AB ·sin A ＝34(6－2)．专家把脉：没有注意到平方是非恒等变形的过程，产生了增根，若A ＝165°，则sin A ＝6－24，cos A ＝－6＋24，此时sin A ＋cos A ＝－22，显然与sin A ＋cos A ＝22的已知条件矛盾．对症下药：(方法1)∵sin A ＋cos A ＝22，∴2cos(A －45°)＝22，即cos(A －45°)＝12，又0°<A <180°，∴A －45°＝60°，即A ＝105°.∴tan A ＝tan(45°＋60°)＝－2－3，sin A ＝sin(45°＋60°)＝2＋64，S △ABC ＝12AC ·AB ·sin A ＝34(6＋2)．(方法2)∵sin A ＋cos A ＝22，∴2sin A ·cos A ＝－12<0. 又0°<A <180°， ∴sin A >0， cos A <0.∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝32，∴sin A －cos A ＝62.解得sin A ＝2＋64，cos A ＝2－64，∴tan A ＝sin Acos A ＝－2－3，S △ABC ＝12AC ·AB ·sin A ＝34(6＋2)．专家会诊：解三角形的题目，一般是利用正弦定理、余弦定理结合三角恒等变形来解．要注意角的范围与三角函数值符号之间的联系与影响，注意利用大边对大角来确定解是否合理，要注意利用△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，以及由此推得一些基本关系式sin(B ＋C )＝sin A ，cos(B ＋C )＝－cos A ，sin B ＋C 2＝cos A2等，进行三角变换的运用．判断三角形的形状，必须从研究三角形的边与边的关系，或角与角的关系入手，要充分利用正弦定理，余弦定理进行边角转换.一、选择题 1．，则(2a ＋b )·a ＝() A ．－1B ．0 C ．1D ．2解析：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，∴2a ＋b ＝(1，0), ∴(2a ＋b )·a ＝1×1＋0×(－1)＝1. 答案：C2．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是() A ．锐角三角形B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定解析：∵sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，由正弦定理可得，a 2＋b 2<c 2，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，∴π2<C <π，∴△ABC 是钝角三角形．答案：C3．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝() A.3B.7C ．22D.23解析：根据题意画出相应的图形，如图所示：∵AB→·BC →＝1，设∠B ＝θ，AB ＝2. ∴2·BC ·cos(π－θ)＝1，即cos θ＝－12BC .又根据余弦定理得：cos θ＝22＋BC 2－324BC＝BC 2－54BC ， ∴－12BC ＝BC 2－54BC ，即BC 2＝3，则BC ＝ 3. 答案：A4．锐角△ABC 中，若A ＝2B ，则ab 的取值范围是() A ．(1，2)B ．(1，3) C ．(2，2)D ．(2，3)解析：∵△ABC 为锐角三角形，且A ＝2B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<2B <π2，0<π－3B <π2，∴π6<B <π4，∴sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B ， a b ＝sin Asin B ＝2cos B ∈(2，3)．答案：D5．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD ，2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为()A.33B.36 C.63D.66解析：设AB ＝x ，由题意可得AD ＝x ，BD ＝23x ，BC ＝43x . △ABD 中，由余弦定理可得cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD＝2x 2－4x 232x 2＝13，∴sin A ＝223.△ABD 中，由正弦定理可得AB sin ∠ADB ＝BDsin A ⇒sin ∠ADB ＝AB BD sin ∠A ＝x 2x 3×223＝63，∴sin ∠BDC ＝63.在△BDC 中，由正弦定理可得BD sin C ＝BCsin ∠BDC，∴sin C ＝BD ·sin ∠BDC BC ＝233x ·6343x3＝66. 答案：D6．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B 、C 的俯角分别为75°、30°，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于()A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m 解析：如图，由图可知，∠DAB ＝15°， ∵tan15°＝tan(45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋1×33＝2－ 3.在Rt △ADB 中，又AD ＝60，∴DB ＝AD ·tan15°＝60×(2－3)＝120－60 3. 在Rt △ADC 中，∠DAC ＝60°，AD ＝60， ∴DC ＝AD ·tan60°＝60 3.∴BC ＝DC －DB ＝603－(120－603)＝120(3－1)． ∴河流的宽度BC 等于120(3－1)m.答案：C7．记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则()A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2解析：由于|a ＋b|，|a －b|与|a|，|b|的大小关系与夹角大小有关，故A ，B 错．当a ，b 夹角为锐角时，|a ＋b|>|a －b|，此时|a ＋b|2>|a|2＋|b|2；当a ，b 夹角为钝角时，|a ＋b|<|a －b|，此时|a －b|2>|a|2＋|b|2；当a ⊥b 时，|a ＋b|2＝|a －b|2＝|a|2＋|b|2，故选D.答案：D8．＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象，B ，C 分别为图象的最高点和最低点，若AB→·BC →＝|AB →|2，则ω＝()A.π3B.π4 C.π6D.π12解析：由题意可知|BC→|＝2|AB →|，由AB →·BC →＝|AB →|2知－|AB →|·|BC →|cos ∠ABC ＝|AB→|2，∠ABC ＝120°，过B 作BD 垂直于x 轴于D ，则|AD →|＝3，T ＝12，ω＝2πT ＝π6，故选C.答案：C 二、填空题9．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且a cos B－b cos A ＝35c ，则tan Atan B 的值为______．解析：由a cos B －b cos A ＝35c 及正弦定理可得sin A cos B －sin B cos A ＝35sin C ，即sin A cos B －sin B cos A ＝35sin(A ＋B )，即5(sin A cos B －sin B cos A )＝3(sin A cos B ＋sin B cos A )，即sin A cos B ＝4sin B cos A ，因此tan A ＝4tan B ，所以tan A tan B ＝4. 答案：410．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．解析：因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝154，又S △ABC ＝12bc sin A ＝158bc ＝315，∴bc ＝24，解方程组⎩⎨⎧b －c ＝2，bc ＝24得b ＝6，c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝62＋42－2×6×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，所以a ＝8.答案：811．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解析：在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝45°，AB ＝600m ，由正弦定理得，600sin 45°＝BCsin 30°，∴BC ＝3002m.在Rt △DBC 中，∠DBC ＝30°，∴tan30°＝CDBC ，∴CD ＝BC ·tan30°＝1006(m)．答案：100 6 三、解答题12．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2.(1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积．解析：(1)在△ABC 中，由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π2＝cos A ＝63.由正弦定理可得，b ＝a sin Bsin A ＝3×6333＝3 2.(2)由B ＝A ＋π2得，cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33. 由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝33×⎝⎛⎭⎪⎫－33＋63×63＝13.因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.13．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．解析：(1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0<A <π，所以A ＝π3.(2)(方法1)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a ＝7，b ＝2，A ＝π3，所以7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0. 因为c >0，所以c ＝3.故△ABC 的面积为12bc sin A ＝332.(方法2)由正弦定理，得7sin π3＝2sin B ，从而sin B ＝217.又由a >b ，知A >B ，所以cos B ＝277.故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫B ＋π3 ＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114.所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝332.14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值．解析：(1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C ，所以－cos2B ＝sin 2C .又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos2B ＝sin2C ＝2sin C cos C ，解得tan C ＝2.(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得sin C ＝255，cos C ＝55.又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010. 由正弦定理得c ＝223b ，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.15．，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，－32，f (x )＝(m －n )·m .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)已知锐角△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积S ＝3，f ⎝⎛⎭⎪⎫A －π8＝－24，a ＝3，求b ＋c 的值．解析：(1)∵m －n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －sin x ，12， ∴f (x )＝(m －n )·m ＝(cos x －sin x )cos x －12＝cos 2x －sin x ·cos x －12 ＝12cos2x －12sin2x＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4. 令2k π－π≤2x ＋π4≤2k π，k ∈Z ，则k π－5π8≤x ≤k π－π8，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－5π8，k π－π8(k ∈Z )． (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A －π8＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2A －π4＋π4＝－24，∴cos2A ＝－12.∵0<A <π2，∴0<2A <π， ∴2A ＝2π3，∴A ＝π3.∵S ＝12bc sin A ＝12bc 123＝3， ∴bc ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ，即9＝b 2＋c 2－bc ，又(b ＋c )2＝b 2＋c 2＋2bc ＝9＋3bc ＝21, ∴b ＋c ＝21.。

高中数学复习专题讲座三角函数式在解三角形中的应用

高中数学复习专题讲座三角函数式在解三角形中的应用高考要求三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节要紧关心考生深刻明白得正、余弦定理，把握解斜三角形的方法和技巧重难点归纳(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形； (2)熟练地进行边角和关系式的等价转化；(3)能熟练运用三角形基础知识，正、余弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合咨询题，注意隐含条件的挖掘典型题例示范讲解例1在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观看站P ，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为60°的C 处。

(1)求船的航行速度是每小时多少千米； (2)又通过一段时刻后，船到达海岛的正西方向的D 处，咨询现在船距岛A 有多远？命题意图此题要紧考查三角形基础知识，以及学生的识图能力和综合运用三角知识解决实际咨询题的能力知识依靠要紧利用三角形的三角关系，关键找准方位角，合理利用边角关系错解分析考生对方位角识不不准，运算易出错技巧与方法要紧依据三角形中的边角关系同时运用正弦定理来解决咨询题解 (1)在Rt △P AB 中，∠APB =60° P A =1，∴AB =3 (千米)在Rt △P AC 中，∠APC =30°，∴AC =33(千米) 在△ACB 中，∠CAB =30°+60°=90°)/(30261330330)3()33(2222时千米=÷=+=+=∴AB AC BC(2)∠DAC =90°－60°=30° sin DCA =sin(180°－∠ACB )=sin ACB =101033303==BCABsin CDA =sin(∠ACB －30°)=sin ACB ·cos30°－cos ACB ·sin30°=2010)133()10103(121232-=-⋅- 在△ACD 中，据正弦定理得CDAACDCA AD sin sin =， ∴13392010)133(1010333sin sin +=-⋅=⋅=CDA DCA AC AD 答现在船距岛A 为1339+千米例2△ABC 的三内角A 、B 、C 满足A +C =2B ，设x =cos 2CA -，f (x )=cosB (CA cos 1cos 1+) (1)试求函数f (x )的解析式及其定义域； (2)判定其单调性，并加以证明； (3)求那个函数的值域命题意图此题要紧考查考生运用三角知识解决综合咨询题的能力，同时考查考生对基础知识的灵活运用的程度和考生的运算能力知识依靠要紧依据三角函数的有关公式和性质以及函数的有关性质去解决咨询题错解分析考生对三角函数中有关公式的灵活运用是难点，同时不易想到运用函数的单调性去求函数的值域咨询题技巧与方法此题的关键是运用三角函数的有关公式求出f (x )的解析式，公式要紧是和差化积和积化和差公式在求定义域时要注意|2CA -|的范畴解 (1)∵A +C =2B ，∴B =60°，A +C =120°2coscos1cos cos 22()2cos cos cos()cos()A C A CA C f x A C A C A C +-+=⋅=⋅++-222,143212x xx x ==--+- ∵0°≤|2C A -|＜60°，∴x =cos 2C A -∈(21，1]又4x 2－3≠0，∴x ≠23，∴定义域为(21，23)∪(23，1］ (2)设x 1＜x 2， ∴f (x 2)－f (x 1)=342342211222---x x x x =)34)(34()34)((222212121--+-x x x x x x ，假设x 1，x 2∈(23,21)，那么4x 12－3＜0，4x 22－3＜0，4x 1x 2+3＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0即f (x 2)＜f (x 1)，假设x 1，x 2∈(23，1］，那么4x 12－3＞0 4x 22－3＞0，4x 1x 2+3＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0即f (x 2)＜f (x 1)，∴f (x )在(21,23)和(23，1]上差不多上减函数(3)由(2)知，f (x )＜f (21)=－21或f (x )≥f (1)=2故f (x )的值域为(－∞，－21)∪［2，+∞)例3△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足A +C =2BB C A cos 2cos 1cos 1-=+，求cos 2C A -的值解法一由题设条件知B =60°，A +C =120°设α=2C A -，那么A －C =2α，可得A =60°+α，C =60°－α，1111cos cos cos(60)cos(60)A C αα+=+︒+︒-所以=222cos cos ,133cos sin cos 444ααααα==--依题设条件有,cos 243cos cos 2B-=-αα .2243cos cos ,21cos 2-=-αα∴=B整理得42cos 2α+2cos α－32=0(M )(2cos α－2)(22cos α+3)=0，∵22cos α+3≠0，∴2cos α－2=0 从而得cos2-C A 解法二由题设条件知B =60°，A +C =120°22cos 1cos 1,2260cos 2-=+∴-=︒-CA①，把①式化为cos A +cos C =－22cos A cos C②，利用和差化积及积化和差公式，②式可化为)]cos()[cos(22cos 2cos2C A C A CA C A -++-=-+ ③，将cos 2CA +=cos60°=21，cos(A +C )=－21代入③式得)cos(2222cosC A C A --=-④将cos(A －C )=2cos 2(2CA -)－1代入 ④42cos 2(2C A -)+2cos 2CA -－32=0，(*)，(2cos3)0,22A C A C---+=22cos30,2cos 0,22A C A C--+=∴-= :cos2A C -=从而得学生巩固练习1 给出四个命题 (1)假设sin2A =sin2B ，那么△ABC 为等腰三角形；(2)假设sin A =cos B ，那么△ABC 为直角三角形；(3)假设sin 2A +sin 2B +sin 2C ＜2，那么△ABC 为钝角三角形；(4)假设cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )=1，那么△ABC 为正三角形以上正确命题的个数是( )A 1B 2C 3D 4 2 在△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，那么2tan 2tan 32tan 2tanCA C A ++的值为__________ 3 在△ABC 中，A 为最小角，C 为最大角，cos(2A +C )=－34，sin B =54，那么cos2(B +C )=__________4 圆内接四边形ABCD 的边长分不为AB =2，BC =6，CD =DA =4，求四边形ABCD 的面积5 如右图，在半径为R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即I =k ·2sin rθ，其中 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么如何样选择电灯悬挂的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？在△ABC 中，a 、b 、c 分不为角A 、B 、C 的对边，27cos 22sin 42=-+A C B (1)求角A 的度数；(2)假设a =3，b +c =3，求b 和c 的值7 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分不为a 、b 、c ，且a 、b 、3c 成等比数列，又∠A －∠C =2π，试求∠A 、∠B 、∠C 的值 8 在正三角形ABC 的边AB 、AC 上分不取D 、E 两点，使沿线段DE 折叠三角形时，顶点A 正好落在边BC 上，在这种情形下，假设要使AD 最小，求AD ∶AB 的值参考答案1 解析其中(3〕(4〕正确答案 B2 解析 ∵A+B+C =π，A+C=2B ，.32tan 2tan 32tan 2tan )2tan 2tan 1(32tan 2tan ,3)2tan(,32=++-=+=+=+∴CA C A C A C A C A C A 故π答案 33 解析 ∵A 为最小角∴2A +C =A +A +C ＜A+B+C =180°∵cos(2A +C )=－54，∴sin(2A+C 53 ∵C 为最大角，∴B 为锐角，又sin B 54 故cos B =53即sin(A+C )=54，cos(A +C )=－53∵cos(B+C )=－cos A =－cos ［(2A+C )－(A+C )］=－2524，∴cos2(B+C )=2cos 2(B+C )－625527答案 6255274 解如图连结BD ，那么有四边形ABCD 的面积S =S △ABD +S △CDB =21·AB ·AD sin A +21·BC ·CD ·sin C∵A+C =180°，∴sin A =sin C故S =21(AB ·AD +BC ·CD )sin A =21(2×4+6×4)sin A =16sin A由余弦定理，在△ABD 中，BD 2=AB 2+AD 2－2AB ·AD ·cos A =20－16cos A 在△CDB 中，BD 2=CB 2+CD 2－2CB ·CD ·cos C =52－48cos C ∴20－16cos A =52－48cos C ，∵cos C =－cos A ，∴64cos A =－32，cos A =－21，又0°＜A ＜180°，∴A =120°故S =16sin120°5 解 R =r cos θ，由此得20,cos 1π<θ<θ=R r ，22222sin sin cos (sin cos )k I k k r R Rθθθθθ⋅=⋅=⋅=⋅⋅ 222222322222()2sin (1sin )(1sin )()()32323,sin ,tan 932k k I R R k I h R RR θθθθθ=⋅⋅--≤⋅≤⋅===由此得等号在时成立此时.1221:23 2:3,3.3)(21221cos 2cos :)2(60,1800,21cos ,01cos 4cos 45cos 4)cos 1(4,271cos 2)]cos(1[2:,180272cos 2sin 4)1(:.6222222222222⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==+==+==-+∴=-+∴=-+=︒=∴︒<<︒=∴=+-=-+=+-+-︒=++=-+c b c b bc c b bc c b a bc a c b bc a c b A bca cb A A A A A A A A A C B C B A A C B 或得由代入上式得将由余弦定理得即得及由解7 解由a 、b 、3c 成等比数列，得 b 2=3ac∴sin 2B =3sin C ·sin A =3(－21)［cos(A +C )－cos(A －C )］ ∵B =π－(A+C ) ∴sin 2(A+C )=－23［cos(A+C )－cos 2π］即1－cos 2(A+C )=－23cos(A+C )，解得cos(A+C )=－21∵0＜A+C ＜π，∴A+C =32π 又A －C =2π∴A =127π，B =3π，C =12π8 解按题意，设折叠后A 点落在边BC 上改称P 点，明显A 、P 两点关于折线DE 对称，又设∠BAP =θ，∴∠DP A =θ，∠BDP =2θ，再设AB =a ，AD =x ，∴DP =x 在△ABC 中， ∠APB =180°－∠ABP －∠BAP =120°－θ，由正弦定理知 APBABBAP BP sin sin =∴BP =)120sin(sin θθ-︒a 在△PBD 中，︒=-︒︒⋅==60sin 2sin )120sin(sin ,60sin sin ,sin sin θθθθx a x BP BDP BP DBP DP 从而所以, .3)260sin(23)120sin(2sin 60sin sin ++︒=-︒⋅︒⋅=∴θθθθaa x∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°+2θ≤180°， ∴当60°+2θ=90°，即θ=15°时， sin(60°+2θ)=1，现在x 取得最小值)332(323-=+a a ，即AD 最小，∴AD ∶DB =23－3课前后备注。

名师导学2018届高三数学理二轮复习课件：专题2第6讲解三角形及三角形中的三角函数精品

例2在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c，且满足( 2a－c)B→A·B→C＝c·C→B·C→A.
(1)求角 B 的大小； (2)若|B→A－B→C|＝ 6，求△ABC 面积的最大值．
【解析】(1)由题意得( 2a－c)cos B＝bcos C，根据正弦定理有( 2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，所以 2sin Acos B＝sin(C＋B)，即 2sin Acos B＝sin A.
(2)三角形中的三角函数问题，不能熟练地进行边角和已知关系式的等价转化，忽视三角形中的三内角的联系和大小范围的限制，易使思维受阻或解答出现增解现象．
1．解三角形问题
例1(1)
在△ABC
中，已知A→B·A→C＝tan
A，当
π
A＝ 6
时，△ABC 的面积为__________．
【解析】16
因为A→B·A→C＝|A→B|·|A→C|cos
A∈0，π4 .
于是 sin A＋sin C＝sin A＋sinπ2 －2A
＝sin A＋cos 2A＝－2sin2A＋sin A＋1
＝－2sin
A－142＋98.
因为
π
0<A< 4 ，所以
0<sin
A<
22，
因此 22<－2sin A－142＋98≤98.
由此可知
sin
A＋sin
C
的取值范围是
22，98.
(3)三角形面积公式：S△＝12aha(ha 表示 a 边上的高)，
S△＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B＝a4bRc(R 为外接圆半径)．
(4)三角形中的边角关系

2024版高考复习A版数学考点考法PPT讲解：解三角形

a=bsin A
bsin A<a<b
a≥b
注:当a<bsin A时无解.
②当A为钝角或直角时,如图,此时只有一个解. 注:当a≤b时无解.
2.三角形中常用的结论
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,常见的结论有:
1)A+B+C=π;
2)在△ABC中,大角对大边,大边对大角,如:a>b⇔A>B⇔sin A>sin B;
6)sin 15°= 6 2,cos 15°=
4
tan 15°=2- 3.
6 ,2
4
3.三角形的面积公式
设△ABC的三边为a,b,c,所对的三个内角分别为A,B,C,其面积为S,△ABC
的外接圆半径为R,内切圆半径为r.
1)S= 1 ah(h为BC边上的高);
2
2)S= 1 absin C= 1 acsin B= 1 bcsin A;
2R
2R
2R
③a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;
④ a b c = a =2R.
sin A sin B sin C sin A
2.余弦定理 1)内容:a2=b2+c2-2bccos A;
b2=c2+a2-2cacos B;c2=a2+b2-2abcos C.
2)变形形式
cos A= b2 c2 a2 ;cos B= c2 a2 b2 ;
2)方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫方位角,如B点的方位角为 α(如图b). 3)方向角:相对于某一正方向的水平角(如图c). ①北偏东α°:指北方向顺时针旋转α°到达目标方向. ②东北方向:指北偏东45°方向.

高考数学复习考点知识与题型专题讲解40---解三角形

2.题型有三：一是解三角形出现边角互化求角、求边；二是三角形形状判定；三是最
值问题.
题型和分值较稳定，且有逐渐上升趋势，属中等难度.
知识点精讲在 ∆ABC 中，角 A, B,C 所对边依次为 a, b, c.
1.角的关系
A + B + C = 180o, sin A = sin(B + C) cos A = − cos(B + C), tan A = − tan(B + C),
变式 1 在 ∆ABC 中，角 A, B,C 所对边依次为 a, b, c, a = 2,b = 2,
sin B + cos B = 2, 则角Ａ的大小为
.
例 4.40 在 ∆ABC 中，角 A, B,C 所对边依次为 a, b, c, ∠B = 30o, c = 6, 记 b = f (a). 若函数
cos C = cos[π − ( A + B)] = − cos( A + B) = − cos A cos B + sin Asin B. 因为 A ∈ (0,π ), 且
cos
A
=
5 13
>
0,
所以
A∈
(0,
π 2
),
sin
A
=
12 13
.由此知
sin
A
>
sin
B
>
0,
据正பைடு நூலகம்定理得
a
>
b
所
以 A > B, 因此 B ∈ (0, π ), 且 sin B = 3 , 得 cos B = 4 ,
3 / 13
为圆心，b 边为半径的圆与ＢＣ边及延长线有两个交点 C1,C2 ，如图 4－34 所示，则存在两个 a 值 (a1 = BC1, a2 = BC2 ), 使得 g(a) = f (a) − k 有两个零点 . 若 k ≥ 6 时，则 f (a) = b ≥ 6, 则以点Ａ为圆心，b 边为半径的圆与ＢＣ边及延长线（除点Ｂ外）只有一个交点 C3 ，使得 a = BC3 ，故函数 g(a) 有唯一零点.综上，实数 k 的取值范围为 k = 3 或 k ≥ 6. 故选Ｄ.

高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形第六节解三角形教师用书理

——教学资料参考参考范本——高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形第六节解三角形教师用书理______年______月______日____________________部门☆☆☆20xx考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

20xx，全国卷Ⅰ，17,12分(正、余弦定理，三角形面积)20xx，全国卷Ⅱ，13,5分(解三角形)20xx，全国卷Ⅲ，8,5分(解三角形)20xx，全国卷Ⅰ，16,5分(解三角形，取值范围)20xx，全国卷Ⅱ，17,12分(解三角形，三角形面积，恒等变换)20xx，全国卷Ⅰ，16,5分(解三角形，三角形面积，最值)命题形式多种多样，选择题、填空题常常出一些简单的边、角、面积计算或测量问题，属于容易题，解答题常常结合三角恒等变换公式、三角函数的图象和性质进行考查，具有一定的综合性，属于中档题。

微知识小题练自|主|排|查1．正弦定理asinA＝＝＝2R其中2R为△ABC外接圆直径。

变式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC。

a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC。

2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。

变式：cosA＝；cosB＝；cosC＝。

sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA。

3．解三角形(1)已知三边a，b，c。

运用余弦定理可求三角A，B，C。

(2)已知两边a，b及夹角C。

运用余弦定理可求第三边c。

(3)已知两边a，b及一边对角A。

先用正弦定理，求sinB，sinB＝。

①A为锐角时，若a<bsinA，无解；若a＝bsinA，一解；若bsinA<a<b，两解；若a≥b，一解。

②A为直角或钝角时，若a≤b，无解；若a>b，一解。

高考数学艺体生文化课第四章三角函数第6节解三角形课件

3
【答案】 C
【解析】 c b cos A a cos B 2,由cos C 2 2 得sin C 1 ,
3
3
再由正弦定理可得2R c 6ห้องสมุดไป่ตู้ R 3, sin C
所以△ABC的外接圆面积为πR2 9π,故选C.
5.钝角三角形ABC的面积是 1 ,AB=1,BC= 2
2 ,则AC=
【解析】因为cosC 2cos2 C 1 2 1 1 3，所以由余弦定理，
2
5
5
得AB2 AC2 BC2 2AC BC cosC 25 1 2 51 ( 3) 32， 5
所以AB 4 2，故选A．
4.(2018合肥质量检测)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,若cosC=2 2 ,bcosA+acosB=2,则△ABC的外接圆面积为( )
20
2 2 20
6.
sin A sin B
sin A sin 60
3
3
2
(2) c a, c b,C是最大的角,
且cos C a2 b2 c2 9 25 49 1 ,又 0 C π,C 2π .?
2ab
235 2
3
【例2】在△ABC中,BC= 2 ,AC=1, (1)若B=30°,求角A; (2)若AB=2,求△ABC的面积.
()
5
【答案】 B
【解析】 S△ ABC
1 2
AB·BC sin
B
1 2
1 1 2
2 sin B sin B
2 2
B π 或B 3π ,
4
4
由余弦定理得 : B π 时, AC 1(舍去,三角形等腰), 4

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专题 6解三角形2018年真题（理，解答题15）在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．（文，选择题14）若ABC △的面积为222()4a cb +-,且∠C 为钝角，则∠B =_________c a的取值范围是_________. 2018年东城一模(理，填空题9)在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，若a 2 +c 2 =b 2 +ac ，则B= . 2018年东城二模（理，解答题15）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,2b =,cos cos b C c B =．（Ⅰ）求c 的值．（Ⅱ）若3a =．求sin 2A 的值．（文，填空题13）在△ABC 中，1cos 4C =，2a b =，则c b= ；sin B =____． 2018年西城一模（理，解答题15）在△ABC sin sin 2C c A ⋅=⋅．（Ⅰ）求A ∠的大小；（Ⅱ）若a b =△ABC 的面积．（文，填空题12）在△ABC 中，7b =，5c =，3B 2π∠=，则a =____ 2018年西城二模（理，填空题11）在△ABC 中，3a =，2b =，π3A ∠=，则cos2B =____ （文，填空题11）在△ABC 中，3a =，2b =，4cos 5B =，则sin A =____． 2018年海淀一模（理，填空题12；文，填空题11）在ABC ∆中，若2c =，a =6A π∠=，则sin C = ，s2co C = .2018年海淀二模（文理，填空题12）在ABC ∆中，::4:5:6a b c =，则tan A = .2018年朝阳一模（理，解答题15；文，解答题16）（在ABC ∆中，已知sin 5A =，2cos b a A =．（Ⅱ）若B 为锐角，求sin C 的值．2018年朝阳二模（理，填空题2）在ABC △中，π=1,==6AB AC C ∠，则B ∠= A ．4π B ．4π或2π C ．43π D ．4π或43π （文，选择题4）4.在ABC △中，1a =，6A π∠=，4B π∠=，则c =（）ABD2018年丰台一模（理，填空题12；文，填空题11；）在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =____．2018年丰台二模（理，解答题15）如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，且14AB =，6BD =，π3ADC ∠=，cos 7C ∠=．（Ⅰ）求sin DAC ∠；A（文，解答题15）如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，14AB =，6BD =，10AD =，cos 14DAC ∠=．（Ⅰ）求ADB ∠；（Ⅱ）求AC 的长．2018年石景山一模（理，选择题4）.在ABC △中，60A =︒，4AC =，BC =，则ABC △的面积为（）A． B ．4C． D．（文，填空题12）在ABC △中，60A ∠=︒，4AC =，BC =，则ABC △的面积等于________．2018年房山一模（理，解答题15）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos2cos 0B B +=．（Ⅰ）求角B 的值；CD AB（Ⅱ）若b =，5a c +=，求△ABC 的面积．（文，解答题16）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos2cos 0B B +=．（Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若b =，5a c +=，求△ABC 的面积．2018年房山二模（理，选择题7）ABC ∆的三个内角分别为A ,B ,C ，则“=B 3π”是“A ,B ,C 成等差数列”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（文，填空题13）在锐角ABC ∆中，a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 所对的边，且满足2sin b a B =，则A ∠= ．2017年真题（理，解答题15）在△ABC 中，A ∠ =60°，c =37a . （Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若a =7，求△ABC 的面积.2017年东城一模（理，填空题9 ）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c . 若222a c b ac +=+，则B= ．2017年东城二模（理，填空题12）如图，在四边形ABCD 中，45ABD ∠=，30ADB ∠=，1BC =，2DC =， 1cos 4BCD ∠=，则BD = ；三角形ABD 的面积为___________. （文，填空题9）已知ABC ∆三内角A ，B ，C 对应的边长分别为a ，b ，c ，且23B π=，又边长3b c =，那么sin C =．2017年西城一模（理，解答题15）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且tan 2sin a C c A =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的取值范围．（文，解答题16）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且tan 2sin a C c A =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．2017年西城二模（文理，填空题11）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若π3A =，a =，1b =，则c =____．2017年海淀一模（理，填空题11）在∆ABC 中，cos c a B =. ①A =_____；②若1sin 3C =，则cos(π)B +=____. （文，解答题17）已知ABC ∆中，2A B =.（Ⅰ）求证：2cos a b B =；（Ⅱ）若2b =，4,c = 求B 的值.2017年海淀二模（理，填空题11）在ABC ∆中，2A B =，23a b =，则cos B _______.（文，填空题11）在ABC ∆中，23, 4a b c ===，，则其最大内角的余弦值为_____. 2017年朝阳一模（理，解答题17）在ABC △中，π4A =，7c b=. （Ⅰ）试求tan C 的值；（Ⅱ）若5a =，试求ABC △的面积.（文，解答题17）已知ABC ∆中，3B π=，（Ⅰ）若A ；（Ⅱ）若ABC ∆，求的值.a =b =b2017年朝阳二模（理，解答题15）在△ABC 中, 角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且b c =，2sin B A =．（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若2a =，求△ABC 的面积．（文，解答题15）在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c >>2sin =0b C -．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若b =1c =，求a 和△ABC 的面积．2017年丰台一模（理，填空题11）在△ABC 中，若2b ac =，3π∠=B ，则A ∠= ．（文，解答题15）在ABC △中，角A ，B ，C 对应的边长分别是a ，b ，c ，且3C π=，4c =. （Ⅰ）若3sin 4A =，求a ；（Ⅱ）若ABC △的面积等于a ，b .2017年丰台二模（理，解答题15）在锐角ABC △中，2sin a B b =. （Ⅰ）求∠A 的大小；cos()6B C π-+的最大值.（文，填空题11）在ABC △中，角A ，B ，C 对应的边长分别是a ，b ，c ，且sin cos B b A =，则角A 的大小为 .2017年石景山一模（理，解答题15）已知c b a ,,分别是△ABC 的三个内角,,A B C 的三条对边，且222c a b ab =+-．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求B A cos cos +的最大值（文，填空题11）已知ABC △中，AB =1BC ，sin C C ，则ABC △的面积为 .2017年房山一模（理，选择题5）在ABC ∆中，若2,,3ABC a C S π∆=∠==，则c =A B ．2 C ． D ．42016年真题（理，解答题15）在△ABC 中，a 2+c 2=b 2+ac ．（Ⅰ）求∠B 的大小；（Ⅱ）求cosA+cosC 的最大值．（文，填空题13）在△ABC 中，∠A=，a=c ，则= ．2016年东城一模(理，解答题15)在△ABC 中，，AC=2，且．（Ⅰ）求AB 的长度；（Ⅱ）若f （x ）=sin （2x+C ），求y=f （x ）与直线相邻交点间的最小距离．（文，选择题6）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“a b =”是“A b B a cos cos =”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件2016年东城二模（文，解答题15）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且23a bc =．（Ⅰ）若sin sin A C =，求cos A ；（Ⅱ）若4A π=，且3a = ，求△ABC 的面积．2016年西城一模（理，解答题15）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 设π3A =，sin 3sin B C =.（Ⅰ）若a =b 的值；（Ⅱ）求tan C 的值.（文，填空题10）在△ABC 中，b =3a =，23tan =C ，则c =_____.2016年西城二模（理，选择题3；文，选择题5）在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若1sin()3A B +=，3a =，4c =，则sin A =（）（A ）23 （B ）14（C ）34（D ）162016年海淀一模（理，解答题15）如图，在△ABC 中，点D 在边 AB 上，且13AD DB =．记∠ACD ＝α ， ∠BCD ＝β．（Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC βα=；（Ⅱ）若,,62AB ππαβ===BC 的长．（文，解答题15）在△ABC 中，∠C=，a=6．（Ⅰ）若c=14，求sinA 的值；（Ⅱ）若△ABC 的面积为3，求c 的值．2016年海淀二模（文，选择题6）在△ABC 中，cosA=，cosB=，则sin （A+B ）=（）A ．B ．C ．D ．12016年朝阳一模（理，选择题5）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,.a b c 若222()tan a c b B +-=，则角B 的值为A ．3π B ．6πC ．233ππ或 D ．566ππ或（文，选择题5）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c cos sin 0B b A +=，则B =A. π6B.π3C.2π3D.5π62016年朝阳二模（文理，解答题15）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c，已知(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ) 若角A 为锐角，求b 的值及ABC ∆的面积．2016年丰台一模（理，填空题11）在中角，，的对边分别是，，，若，则________．（文，填空题9）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若b=2asinB ，则角A 等于．2016年丰台二模（理，解答题15）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1cos 2a C cb +=. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =，5b =,求c 的值.ABC ∆A B C a b c 3sin cos cos b A c A a C =+sin A =（文，解答题15）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c，且满足sin cos c A C =．（I ）求角C 的大小；（Ⅱ）若b =5c =,求a 的值.2016年房山一模（理，解答题11）在△ABC 中，若3a =，4c =，1cos 4C =-，则b =___. （文，选择题3）在△ABC 中，若2b =，3a =，1cos 4C =-，则c =2016年房山二模是“1cos 2A =” 的（文，选择题3）在△ABC 中，（A（B ）2 （C ）3（D ）4（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件3π=A2018真题参考答案（理）解：（Ⅰ）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π）， ∴sin B由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A，∴sin A． ∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（Ⅱ）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A11()72-+．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7=， ∴AC．（文）），，（∞+︒260 2018 东城一模3π2018 东城二模（理）解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由cos cos b C c B =及正弦定理，得sin cos cos sin 0B C B C -=，即()sin 0B C -=.因为0B <<π，0C <<π，所以B C -π<-<π. 所以B C =．所以b c =．因为2b =，所以2c =．……………………………7分（Ⅱ）由2b c ==，3a =，得2221cos 28b c a A bc +-==-.又因为0A p <<，所以sin A =.所以1sin 22sin cos 2()8A A A ==-=. ………………13分（文）282018 西城一模（理）解：（Ⅰ）因为sin sin 2C c A ⋅=⋅，所以 sin 2sin cos C A A =． [ 1分]在△ABC 中，由正弦定理得sin 2sin cos C A A =． [ 3分]所以 cos A =． [ 4分] 因为 0πA <<， [ 5分]所以 π6A =． [ 6分] （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+-，所以 222c c =+-⋅ [ 8分]解得 1c =，或5c =，均适合题意 [11分]当1c =时，△ABC 的面积为1sin 2S bc A = [12分]当5c =时，△ABC 的面积为1sin 2S bc A == [13分]（文）3 2018 西城二模（理）31（文）109 2018 海淀一模33，31 2018 海淀二模372018 朝阳一模解：（Ⅰ）由2cos b a A =，得cos 0A >，因为sin 5A =，所以cos 5A =.因为2cos b a A =，所以4sin 2sin cos 2555B A A ==⨯=．故ABC ∆的面积1sin 22S ac B ==． ……………… 7分（Ⅱ）因为sin A =，4sin 5B =，因为B 为锐角，所以3cos 5B =.所以sin sin()sin cos cos sin 25C A B A B A B =+=+=．……………13分 2018 朝阳二模（理）D （文）A 2018 丰台一模14- 2018 丰台二模（理）解：（Ⅰ）在△ACD 中，因为 π()DAC ADC C ∠=-∠+∠，π3ADC ∠=，所以πsin sin()3DAC C ∠=+∠1sin 2C C =∠+∠． …………2分因为 cos 7C ∠=， 0πC <∠<，所以sin C ∠==…………………4分所以1sin 2DAC ∠=…………………5分（Ⅱ）在△ABD 中，由余弦定理可得2222cos AB BD AD BD AD ADB =+-⋅⋅∠， …………………7分所以 222214626cos3AD AD π=+-⨯⨯⨯，所以 261600AD AD +-=，即 (16)(10)0AD AD +-=．所以 10AD =或16AD =-（舍）．所以 10AD =． …………………8分在△ACD 中，由正弦定理得sin sin CD ADDAC C=∠∠，=…………………10分所以 15CD =． …………………11分所以11sin sin 22ABC S AD BD ADB AD DC ADC ∆=⨯⨯⨯∠+⨯⨯⨯∠=．即ABC S ∆=． …………………13分（文）解：（Ⅰ）在△ADB 中，由余弦定理得222cos 2AD BD AB ADB AD BD+-∠=⋅100361962106+-=⨯⨯12=-． …………………2分因为(0,π)ADB ∠∈， …………………3分所以2π3ADB ∠=． …………………5分（Ⅱ）由cos DAC ∠=，可知sin DAC ∠=， …………………6分所以 2πsin sin()3C DAC ∠=-∠ …………………8分12=+= …………………10分在△ADC 中，由正弦定理得sin sin AC ADADC C=∠∠， …………………12分所以=AC = …………………13分2018 石景山一模（理）C（文）2018 房山一模（理）（Ⅰ）解：由已知得 22cos cos 10B B +-=，即 (2cos 1)(cos 1)0B B -+=．解得 1cos 2B =，或cos 1B =-．因为 0πB <<，故舍去cos 1B =-．所以 π3B =． …………6分（Ⅱ）解：由余弦定理得 2222cos b a c ac B =+-．将π3B =，b =代入上式，整理得2()37a c ac +-=．因为 5a c +=，所以 6ac =．所以 △ABC 的面积1sin 2S ac B ==． …………13分（文）（Ⅰ）解：由已知得 22cos cos 10B B +-=，即 (2cos 1)(cos 1)0B B -+=．解得 1cos 2B =，或cos 1B =-．因为 0πB <<，故舍去cos 1B =-．所以 π3B =． …………6分（Ⅱ）解：由余弦定理得 2222cos b a c ac B =+-．将π3B =，b =代入上式，整理得2()37a c ac +-=．因为 5a c +=，所以 6ac =．所以 △ABC的面积1sin 2S ac B ==． …………13分 2018 房山二模（理）C（文）6π2017年真题（理）Ⅰ）在△ABC 中，因为，，所以由正弦定理得. 60A ∠=︒37c a=sin 3sin 7c A C a ===（Ⅱ）因为，所以.由余弦定理得，解得或（舍）.所以△ABC 的面积2017年东城一模（理）π3B =2017年东城二模（理）212017年西城一模（理）解：（Ⅰ）由 tan 2sin a C c A =，得sin 2sin cos a C A c C⋅=． [ 1分] 由正弦定理得sin sin 2sin sin cos A CA C C⋅=． [ 3分] 所以1cos 2C =． [ 4分] 因为 (0,π)C ∈， [ 5分]所以π3C =． [ 6分] 7a =3737c =⨯=2222cos a b c bc A =+-222173232b b =+-⨯⨯8b =5b =-11sin 8322S bc A ==⨯⨯=（Ⅱ） sin sin A B +2πsin sin()3A A =+- [ 7分]3sin 2A A = [ 8分] π)6A +． [ 9分]因为 π3C =，所以 2π03A <<， [10分] 所以ππ5π666A <+<， [11分] 所以1πsin()126A <+≤， [12分]所以 sin sin A B +的取值范围是． [13分]（文）解：（Ⅰ）由 tan 2sin a C c A =，得sin 2sin cos a C A c C⋅=． [ 1分] 由正弦定理得sin sin 2sin sin cos A CA C C⋅=． [ 3分] 所以1cos 2C =． [ 4分] 因为 (0,π)C ∈， [ 5分]所以π3C =． [ 6分] （Ⅱ） sin sin A B +2πsin sin()3A A =+- [ 7分]3sin 2A A = [ 9分]π)6A +． [11分]因为 π3C =，所以 2π03A <<， [12分]所以当π3A =时，sin sin A B + [13分] 2017年西城二模（文理）2 2017年海淀一模（理） 190,3-（文）解： (Ⅰ) 因为2A B =，所以由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin 2a bA B=，得2sin cos sin a bB B B=，所以2cos a b B =.（Ⅱ）法1：由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-,因为2,4b c ==，所以22416cos 1432cos B B =+-, 所以216cos 12B =，即23cos 4B =，因为2A B B B +=+<π，所以3B π<， {或因为b c <，所以2B π<}所以cos B =，所以6B π=. 法2：由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-,因为2,4,2b c A B ===，所以216cos 41616cos2B B =+-，所以23cos 4B =. 因为2A B B B +=+<π，所以3B π<，所以cos B =，所以6B π=. 法3：因为2cos a b B =，所以由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-,可得22222a b a c ac b=+-⨯，即2222a cb ac b =+-，又因为2,4b c ==，所以计算可得212a =，即a = 因为222a b c +=，所以90C ∠=，所以cos a B c =，所以6B π=. 法4：因为2cos a b B =，根据余弦定理222cos 2a c b B ac+-=，可得22222a c b a b ac+-=⨯,又因为2,4b c ==，所以计算可得212a =，即a = 因为222a b c +=，所以90C ∠=，所以cos a B c =，所以6B π=. 2017年海淀二模（理）0.75 （文）-0.25 2017年朝阳一模（理）解：（Ⅰ）因为π4A =，7c b=，所以sin sin 3πsin 7sin()4C C B C ==-.所以3π7sin )4C C =-.所以3π3π7sin cos cos sin )44C C C =-. 所以7sin 3cos 3sin C C C =+. 所以4sin 3cos C C =.所以3tan 4C =. ┈┈ 7分（Ⅱ）因为5a =，π4A =，c b=，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2225()2772b b =+-⋅⋅. 所以7b =，c =所以△ABC的面积1121sin 7222S bc A ==⋅⋅=. ┈┈ 13分（文）（Ⅰ）解：由正弦定理，可得sin sin 3A =π.所以. sin sin a b A B=sin A =在三角形中，由已知，所以4A π=. ………………………………6分（Ⅱ）由面积公式1sin 2S ac B =可得，解得. 由余弦定理知，所以………………………………13分2017年朝阳二模（理）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2sin B A =，所以2b =．所以a =所以222cos 22a c b B ac b +-===． …………7分（Ⅱ）因为2a =，所以b c ==又因为cos B =sin B =．所以11sin 222ABCSa c B =⋅⋅=⨯= …………13分（文）（本小题满分13分）解：（Ⅰ2sin =0b C -，2sin sin 0C B C -=.因为0πC <<，所以sin 0C ≠，所以sin 2B =.b a>1222=⨯c =2222cos 218614b a c ac B =+-=+-=b =因为0πB <<，且a b c >>，所以π3B =． …………6分（Ⅱ）因为b =1c =，所以由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2211212a a =+-⨯⨯，即220a a --=. 解得2a =或1a =-（舍）.所以2a =.11=sin 212222ABC S ac B ∆=⨯⨯⨯=． …………13分 2017年丰台一模（理）3π（文）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin a cA C =可知：342a =，a = ……………………6分（Ⅱ）由ABC ∆的面积等于1sin 24ABC S ab C ab ∆=== 从而16ab =①，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-可得，2216=a b ab +-②，联立①②得4a b ==. …………………13分2017年丰台二模（理）解：（Ⅰ）由正弦定理得2sin sin sin A B B =， ..………………2分因为0πB <<，所以sin 0B >，从而2sin 1A =， ..………………3分所以1sin 2A =. 因为锐角ABC △，所以 π6A =. .………………6分πcos(cos()6B C B A C -+-+ (7)分cos B B + ………………9分π=2sin(+)6B ..………………11分当π3B =πcos()6B C -+有最大值2，与锐角ABC △πcos()6B C -+无最大值 ………………13分（文）π62017年石景山一模（理）解：（Ⅰ）因为222c a b ab =+-，所以2221cos 22a b c C ab +-==． ……3分又因为(0,π)C ∈，所以π3C =． …………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知π3C =，又πA B C ++=，所以2π3B A =-且2π(0,)3A ∈，故2πcos cos cos cos()3A B A A +=+-2π2πcos cos cos sin sin 33A A A =++1πcos sin()26A A A =+=+．又2π(0,)3A ∈，5π(,)666A ππ+∈，所以当ππ62A +=即π3A =时，cos cos AB +的最大值为1． …13分2017年房山一模（理）C 2016年真题（理）解（Ⅰ）∵在△ABC 中，a 2+c 2=b 2+ac ．∴a 2+c 2﹣b 2=ac ．∴cosB===，∴B=（Ⅱ）由（I ）得：C=﹣A ，∴cosA+cosC=cosA+cos（﹣A）=cosA﹣cosA+sinA=cosA+sinA=sin（A+）．∵A∈（0，），∴A+∈（，π），故当A+=时，sin（A+）取最大值1，即cosA+cosC的最大值为1．（文）12016年东城一模（理）解：（Ⅰ）∵，∴C=45°．∵，AC=2，∴=4，∴AB=2．（Ⅱ）由，解得或，k∈Z，解得，或，k1，k2∈Z．因为，当k1=k2时取等号，所以当时，相邻两交点间最小的距离为．（文）C 2016年东城二模（文）解：（Ⅰ）由sin sin A C =，得a c =.又23a bc =，所以3c b =．由余弦定理可得222222991cos 2236b c a b b b A bc b b +-+-===⨯． ……………………6分（Ⅱ）由已知23a bc =，且3a =, 所以3bc =．故△ABC 的面积11sin 3222S bc A ==⨯⨯= ………………… 13分2016年西城一模（理）（Ⅰ）解：因为 sin 3sin B C =，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得 3b c =. ………………3分由余弦定理 2222cos a b c bc A =+-及π3A =，a ， ………………5分得 227b c bc =+-，所以 222()733b b b +-=，解得3b =. ………………7 （Ⅱ）解：由π3A =，得2π3B C =-. 所以 2πsin()3sin 3C C -=. ………………8分DABC1sin 3sin 2C C C +=， ………………11分5sin 2C C =，所以tan C =………………13分（文）2 2016年西城二模 B2016年海淀一模（理）解：（Ⅰ）在ACD ∆中，由正弦定理,有sin sin AC ADADC α=∠ 在BCD ∆中，由正弦定理,有sin sin BC BDBDC β=∠因为πADC BDC ∠+∠=,所以sin sin ADC BDC ∠=∠因为13AD DB =, 所以sin 3sin AC BC βα=（Ⅱ）因为π6α=，π2β=, 由（Ⅰ）得πsin32π23sin 6AC BC == 设2,3,0AC k BC k k ==>,由余弦定理,2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠代入,得到222π1949223cos3k k k k =+-⋅⋅⋅,解得1k =,所以3BC =.（文）解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理得：，即，∴．（Ⅱ）∵=．∴b=2．由余弦定理得：c 2=a 2+b 2﹣2a•b•cosC=4+36﹣2×=52．∴．2016年海淀二模（文）D2016年朝阳一模（理）C （文）C 2016年朝阳二模（文理）解：(Ⅰ) 0A <<π，由正弦定理sin sin a cA C=………………6分(Ⅱ) cos 3A =．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得22150b b --=．解得5b =或3b =-（舍负）．…………………13分 2016年丰台一模（理）31（文）30° 2016年丰台二模（理）解：（Ⅰ）由正弦定理及1cos 2a C c b +=得：1sin cos sin sin 2A C CB +=， ----------------------2分化简1sin cos sin sin()2A C C A C +=+ ----------------------4分解得：1cos 2A =， ----------------------6分因为0o <A<180o ,所以60oA =. -----------------------7分（Ⅱ）由余弦定理得：221255c c =+-，即2540c c -+=.-----------------10分解得1c =和4c =， ---------------------12分经检验1，4都是解，所以c 的值是1和4. ---------------------13分（文）解：（I ）由正弦定理得sin sin cos C A A C =， ---------------------------2分化简得tan C =sin 0,cos 0)A C ≠≠， -----------------------------------4分因为0180ooC <<，所以060C =. -----------------------------------6分（Ⅱ）由余弦定理得220125cos602a =+-⨯，---------------------------8分化简得2130a --=, ----------------------10分解得4a =，或4a = ----------------------------12分所求a 4. ------------------------------13分2016年房山一模（理）2（文）B 2016年房山二模（文）C。

【张丹】【29页】【高考专题数学 第6讲 解三角形】

高三一轮复习第六讲 解三角形与平面向量