第三章 第七节 正弦定理和余弦定理
第七节 正弦定理和余弦定理
课 前 ·双 基 落 实
课 堂 ·考 点 突 破
课后· 三维演练
正弦定理和余弦定理 结 束
跟踪练习:
sin A a 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 = , sin B c (b+c+a)(b+c-a)=3bc,则△ABC 的形状为( A.直角三角形 C.等边三角形 )
正弦定理和余弦定理 结 束
课堂小结:
同学们这节课,你们收获了什么?
课 前 ·双 基 落 实
课 堂 ·考 点 突 破
课后· 三维演练
B.等腰非等边三角形 D.钝角三角形
sin A a a a 解析:∵ = ,∴b= c,∴b=c. sin B c 又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,∴b2+c2-a2=bc, b2+c2-a2 bc 1 ∴cos A= = = . 2bc 2bc 2 π ∵A∈(0,π),∴A= ,∴△ABC 是等边三角形. 3 答案:C
课 前 ·双 基 落 实
课 堂 ·考 点 突 破
课后· 三维演练
正弦定理和余弦定理 结 束
考点一
利用正、余弦定理解三角形
例 1.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知
sin A 3 cos A 0 , a 2 7 , b 2
(1)求角 A (2)求 c
2 (1) 3
c 2 a 2 b2 2ab cosC
内容
(R为 ABC 外接圆的半径)
课 前 ·双 基 落 实
课 堂 ·考 点 突 破
课后· 三维演练
正弦定理和余弦定理 结 束
定理
正弦定理 cos cos cos
余弦定理
b2 c2 a 2 A=__________ 2bc
第三章 第七节 正弦定理和余弦定理
首先利用正弦定理把边转化为角,求角 , 首先利用正弦定理把边转化为角,求角C,再利 用面积公式可求得ab,结合余弦定理得出结论 用面积公式可求得 ,结合余弦定理得出结论.
【解】 (1)由 由
及正弦定理得, 及正弦定理得,
3 Q sin A ≠ 0,∴ sin C = . 2
∵△ABC是锐角三角形, 是锐角三角形, 是锐角三角形 (2)法一:∵ 法一: 法一
内角A, , 对边的边长分别是 对边的边长分别是a, , , 解:设△ABC内角 ,B,C对边的边长分别是 ,b,c, 内角 (1)证明∵m=(sinA,cosC),n=(cosB,sinA), 证明∵ = 证明 , , = , , mn=sinB+sinC, = + , ∴sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC. + = + 由正弦定理得acosB+acosC=b+c. + 由正弦定理得 = + 由余弦定理得 整理得(b+ 整理得 +c)(a2-b2-c2)=0. = 为直角三角形. ∵b+c>0,∴a2=b2+c2,故△ABC为直角三角形 + , 为直角三角形
1 ab sin 2
由面积公式得 即ab=6. = ①
由余弦定理得
a + b 2ab cos
2 2
π
3
= 7, 即a 2 + b 2 ab = 7.
由②变形得(a+b)2=3ab+7. 变形得 + + 将①代入③得(a+b)2=25, 代入③ + , 故a+b=5. + =
③
法二:前同法一,联立①、②得 法二:前同法一,联立①
2.利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数 利用正、 利用正 间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系, 间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系, 从而判断出三角形的形状,此时要注意应用 + + = 从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C= π这个结论 这个结论. 这个结论 【注意】 在上述两种方法的等式变形中,一般两边不要 注意】 在上述两种方法的等式变形中, 约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解 约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.
第三章第7讲正弦定理、余弦定理
第7讲 正弦定理、余弦定理1.(1)S =12 ah (h 表示边a 上的高);(2)S =12bc sin A =12ac sin_B =12ab sin_C ;(3)S =12r (a +b +c )(r 为三角形的内切圆半径).1.在△ABC 中,a =3,b =5,sin A =13,则sin B =( )A.15B.59C.53D .1 2.已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边,若cos B =45,a =10,△ABC的面积为42,则c =________.3.在△ABC 中,若a =18,b =24,A =45°,则此三角形( ) A .无解 B .有两解 C .有一解 D .解的个数不确定4.(2014·高考福建卷)在△ABC 中,A =60°,AC =2,BC =3,则AB 等于________.考点一__利用正、余弦定理解三角形(高频考点)__(1)(2014·高考北京卷)在△ABC 中,a =1,b =2,cos C =14,则c =________;sin A =________.(2)(2014·高考江苏卷)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别是a ,b ,c ,且b =3,c =1,A =2B .①求a 的值;②求sin ⎝⎛⎭⎫A +π4的值.1.(1)(2015·四川成都模拟)若△ABC 的内角A ,B ,C 满足6sin A =4sin B =3sin C ,则cos B =( )A.154 B.34 C.31516 D.1116(2)如图所示,△ABC 中,已知点D 在边BC 上,AD ⊥AC ,sin ∠BAC =223,AB =32,AD =3,则BD 的长为________.(3)在锐角三角形ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边,且满足3a -2b sin A =0.①求角B 的大小;②若a +c =5,且a >c ,b =7,求AB →·AC →的值.考点二__利用正弦、余弦定理判定三角形的形状__在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且2a sin A =(2b +c )sin B+(2c +b )sin C .(1)求角A 的大小;(2)若sin B +sin C =1,试判断△ABC 的形状.本例的条件变为2a sin A =(2b -c )sin B +(2c -b )sin C .且sin B +sin C =3,试判断△ABC 的形状.2.(1)在△ABC 中,sin 2A 2=c -b2c(a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边),则△ABC的形状为________.(2)在△ABC 中,若b =a sin C ,c =a cos B ,则△ABC 的形状为________.考点三__与三角形面积有关的问题____________△ABC 的三角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 满足(2b -c )cos A =a cos C .(1)求A 的值;(2)若a =2,求△ABC 面积的最大值; (3)若a =2,求△ABC 周长的取值范围.3.(2015·洛阳市统考)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,cos 2C +22cos C +2=0.(1)求角C 的大小;(2)若b =2a ,△ABC 的面积为22sin A sin B ,求sin A 及c 的值.(2014·高考陕西卷)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . (1)若a ,b ,c 成等差数列,证明:sin A +sin C =2sin(A +C ); (2)若a ,b ,c 成等比数列,求cos B 的最小值.1.(2015·河北冀州中学期中)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,点(a ,b )在直线x (sin A -sin B )+y sin B =c sin C 上,则角C 的值为( )A.π6B.π3C.π4D.5π62.(2014·高考江苏卷)若△ABC 的内角满足sin A +2sin B =2sin C ,则cos C 的最小值是________.1.(2015·安庆模拟)在△ABC 中,A ∶B =1∶2,sin C =1,则a ∶b ∶c 等于( ) A .1∶2∶3 B .3∶2∶1 C .1∶3∶2D .2∶3∶12.在△ABC 中,a =33,b =3,A =π3,则C =( )A.π6B.π4C.π2D.2π33.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边,若a =2b cos C ,则此三角形一定是( )A .等腰直角三角形B .直角三角形C .等腰三角形D .等腰或直角三角形 4.(2015·东北三校高三模拟)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos A =13,sin C =3sin B ,且S △ABC =2,则b =( )A .1B .23C .3 2D .3 5.(2015·河北石家庄质检)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ,sin A 、sin B 、sin C 成等比数列,且c =2a ,则cos B 的值为( )A.14B.34C.24D.236.在△ABC 中,若a =2,b +c =7,cos B =-14,则b =________.7.(2015·龙岩质检)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若c =2,b =2a ,C =π3,则△ABC 的周长是________.8.(2014·高考广东卷)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,已知b cos C +c cos B =2b ,则ab=________.9.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b sin A =3a cos B . (1)求角B 的大小;(2)若b =3,sin C =2sin A ,求a ,c 的值.10.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边长分别是a ,b ,c . (1)若c =2,C =π3,且△ABC 的面积为3,求a ,b 的值;(2)若sin C +sin(B -A )=sin 2A ,试判断△ABC 的形状.1.如图所示,在四边形ABCD 中,已知AD ⊥CD ,AD =10,AB =14,∠BDA =60°,∠BCD =135°,则BC 的长为( )A .82B .9 2C .14 2D .8 3 2.(2015·衡水中学第二学期调研)设锐角△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a =1,B =2A ,则b 的取值范围为( )A .(2,3)B .(1,3)C .(2,2)D .(0,2)3.在△ABC 中,b =c cos A +3a sin C ,则角C 的大小为________.4.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,A =π3,a =3,若给定一个b的值使满足条件的三角形有且只有一个,则b 的取值范围为____________.5.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足(2b -c )cos A -a cos C =0. (1)求角A 的大小;(2)若a =3,S △ABC =334,试判断△ABC 的形状,并说明理由.6.(选做题)△ABC 中,A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c ,面积为S .满足S =34(a 2+b 2-c 2).(1)求C 的值;(2)若a +b =4,求周长的范围与面积S 的最大值.。
高考数学总复习 第三章 第七节正弦定理和余弦定理课件 理
sinA+30°+ 3≤3 3. 答案:(1)B (2)3 3
第十二页,共40页。
变式探究 (tànjiū)
1.(1)△ABC的内角(nèi jiǎo)A,B,C的对边分别为a,b,c,若c= ,
b= ,B=120°,2则a等于 6
()
A.
B.2
C.
D.
6
3
2
(2)在△ABC中,已知a,b,c分别为∠A,∠B,∠C所对的边,且a
第十九页,共40页。
解析:(1)由余弦定理及已知条件得,a2+2ba2b-4=12,即 a2 +b2-ab=4,
又因为△ABC 的面积等于 3,所以12absin C= 3,得 ab= 4.
联立方程组aa2b+=b42,-ab=4, 解得 a=2,b=2.
第二十页,共40页。
(2)由题意得 sin(B+A)+sin(B-A)=4sin A cos A,
解析:(1)由ccooss
故选 D.
(2)由正弦定理得sina A=sinb B⇒sin
B=bsian A=4
3sin 4
30°=
23,
∵0°<B<180°,
∴B=60°或 120°.故选 D.
答案:(1)D (2)D
第十四页,共40页。
考点(kǎo 用余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)求边、角 diǎn)二
【例2】 (1)(2012·湖北卷)设△ABC的内角A,B,C所对的边 分别为a,b,c. 若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角C=________.
设△ABC的三边(sān biān)为a,b,c,对应的三个角为A,B,
C.
A+B+C = π
1.三内角的关系:a_+__b__>__c,__b__+__c__>_a. ,c + a > b,
第七节 正弦定理和余弦定理
b c sin B b (2)由 = ,可得 = =2, sin B sin C sin C c 即 b=2c. b2+c2-a2 4c2+c2-9 1 所以 cos A= = = , 2bc 4c2 2 解得 c= 3,b=2 3, 1 1 3 3 3 所以 S△ABC= bcsin A= ×2 3× 3× = . 2 2 2 2
π (1)求证:B-C= ; 2
(2)若 a= 2,求△ABC 的面积.
[教你快速规范审题]
1.审条件,挖解题信息
π π 观察 π ―→ A= ,bsin4+C-csin4+B=a 4 条件 π π 等式中既有边又有角, ――――――――――→ sin Bsin4 +C-sin Csin4+B=sin A 应统一
1.△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, asin Asin B+bcos2A= 2a. b (1)求 ; a
(2)若c2=b2+ 3a2,求B.
解:(1)由正弦定理得, sin2Asin B+sin Bcos2A= 2sin A,即
sin B(sin2A+cos2A)= 2sin A. 故 sin B= b 2sin A,所以a= 2.
定理
变形 公式 解决的 问题
②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两
个角
3.三角形中常用的面积公式
1 (1)S= ah(h表示边a上的高); 2 1 1 1 (2)S= bcsin A= acsin B = absin C ; 2 2 2
1 (3)S= r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径). 2
超链接
第三章 第七节 正弦定理和余弦定理
首全国卷Ⅰ改编)若△ABC 中,A=π6,b2+c2-a2=8,则△ABC 的面积 为________. 答案:2 3 3 5.在△ABC 中,若 acos C+ccos A=1,则 b=__________. 答案:1
9
回顾教材夯实基础 考点分类深度剖析 课时规范练
6
回顾教材夯实基础 考点分类深度剖析 课时规范练
首页 上页 下页 末页
考点一 考点二 考点三
[四基自测] 1.在△ABC 中,若 sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC 的形状是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形 答案:C
D.不能确定
2.在△ABC 中,若 A=60°,B=45°,BC=3 2,则 AC=( )
1
1
1
=_2_a_b_si_n___C__=_2_b_c_si_n___A_=_2_a_c_si_n___B_.
4
回顾教材夯实基础 考点分类深度剖析 课时规范练
首页 上页 下页 末页
考点一 考点二 考点三
1.射影定理:bcos C+ccos B=a,
bcos A+acos B=c,
acos C+ccos A=b.
首页 上页 下页 末页
考点一 考点二 考点三
考点一 正、余弦定理的简单应用 ◄考基础——练透
[例 1] (1)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 c=1,B=45°,
cos A=35,则 b 等于( )
A.53
B.170
C.57
D.5142
10
回顾教材夯实基础 考点分类深度剖析 课时规范练
12
回顾教材夯实基础 考点分类深度剖析 课时规范练
第三章 第七节 正弦定理和余弦定理
问题 角,求另一边和其余两角
个角
返回
2.在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况 A为锐角 图 形 A为钝角或直 角
关系
式 解的 个数 a=bsin A 一解
bsin A<a<
b 两解
a≥b 一解
a>b 一解
a≤b 无解
返回
四,考点突破
[做一题] [例1] (2011· 辽宁高考)△ABC的三个内角A,B,C所对的
[自主解答] (1)由正弦定理得,sin2Asin B+sin Bcos2A = 2sin A,即sin B(sin2A+cos2A)= 2sin A. b 故sin B= 2sin A,所以a= 2.
返回
四,考点突破
[例 1] (2011·辽宁高考)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的 边分别为 a,b,c,asin Asin B+bcos2A= 2a. (2)若 c2=b2+ 3a2,求 B.
所以(a2+b2)· A· sin cosB-(a2+b2)cosAsin B=(a2-b2)· sin
AcosB+(a2-b2)· cosAsin B,所以b2sin AcosB=a2cosA· sin
B,所以sin2B· AcosB=sin2AcosAsin B,所以sin 2A= sin sin 2B.因为A,B为三角形内角,所以A=B或2A=π-2B. 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形. [答案] D
圆半径)
③a∶b∶c= sin A∶sin B∶sin C ;
a2+b2-c2 . ④asin B=bsin A,bsin C=csin B, 2ab asin C=csin A.
返回
定理
正弦定理
余弦定理 ①已知三边,求各角 ②已知两边和它们的夹 角,求第三边和其他两
第三章 第七节 正弦定理和余弦定理
)
A
3
B 2
C 2
3
D3
3 4, 2
【解析】选B.由余弦定理得
c2 a 2 b2 2abcosC 16 12 2 4 2 3
∴c=2.
3.△ABC满足acos B=bcos A,则△ABC的形状为( (A)直角三角形 (B)等边三角形 (C)等腰三角形 (D)等腰直角三角形
(3)①利用两角和的正弦公式化为特殊角的三角函数值; ②利用正弦定理及同角三角函数关系式求解 .
【规范解答】(1)选C.由正弦定理可得,
1 2 b sinA 2 2. sinB a 1 2 又 0<B<5 , B 或 3 . 4 6 4
(2)选A.由A+C=2B且A+B+C=π得 B .
)
【解析】选C.由acos B=bcos A及正弦定理得, sin Acos B=sin Bcos A, 即sin Acos B-cos Asin B=0, 故sin(A-B)=0.
∵A,B为△ABC的内角,
∴A-B=0,∴A=B,
所以△ABC是等腰三角形.
4.在△ABC中,B=30°,C=120°,则a∶b∶c=_____.
问题
②已知两边和其中一边的对角,的夹角,求第三边
求其他边和角 和其他角
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
(1)在△ABC中,A>B必有sin A>sin B.( )
(2)正弦定理对直角三角形不成立.(
)
(3)在△ABC中共有三个角、三个边六个量,可以已知三个量 求另外三个量.( ) ) )
变形公式 ③ sinA
b a ,sinB , 2R 2R c sin C= ; 2R a b c ④ sinA sinB sinC abc sinA sinB sinC
第三章 第七节 正弦定理和余弦定理
sinA>sinB⇔>⇔a>b⇔A>B.
2.如何利用余弦定理判定三角形的形状?(以角A为例)
提示:∵cosA与b2+c2-a2同号,
∴当b2+c2-a2>0时,角A为锐角;
当b2+c2-a2=0时,三角形为直角三角形;
当b2+c2-a2<0时,三角形为钝角三角形.
[题组自测]
1.△ABC中,a=3,A=30°,B=60°,则b等于()
b2+c2=a2+bc.
(1)求角A的大小;
(2)若sinB·sinC=sin2A,试判断△ABC的形状.
解:(1)由已知得cosA===,
又∠A是△ABC的内角,∴A=.
(2)由正弦定理,得bc=a2,
又b2+c2=a2+bc,
∴b2+c2=2bc.
∴(b-c)2=0,即b=c.
∴△ABC是等边三角形.
解:因为cos2C=1-2sin2C=-,及0<C<π,
所以sinC=.
(2)当a=2,2sinA=sinC时,由正弦定理=,
得c=4.
由cos2C=2cos2C-1=-,及0<C<π得cosC=±.
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得b2±b-12=0,
解得b=或2,
所以或
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
1.若△ABC中,acosB=bcosA,则△ABC一定是()
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.直角三角形
解析:由acosB=bcosA,得sinAcosB=sinBcosA,
∴sin(A-B)=0.
∵A、B为△ABC的内角,∴A=B,
第三章+第七节+正弦定理和余弦定理
第七节正弦定理和余弦定理一、知识梳理1.正弦定理和余弦定理(1)S =12ah (h 表示边a 上的高);(2)S =12bc sin A =12ac sinB =12ab sin C ;(3)S =12r (a +b +c )(r 为三角形的内切圆半径).基础检测1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( ) (2)在△ABC 中,若sin A >sinB ,则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.( ) (4)当b 2+c 2-a 2>0时,三角形ABC 为锐角三角形.() (5)在三角形中,已知两边和一角就能求三角形的面积.( )2.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若c=2a ,b sin B -a sin A =12a sin C ,则cosB 为( )A.74 B.34 C.73 D.133.在△ABC 中,若a =18,b =24,A =45°,则此三角形有( ) A .无解 B .两解 C .一解 D .解的个数不确定4.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若c <b cos A ,则△ABC 为( ) A .钝角三角形 B .直角三角形 C .锐角三角形 D .等边三角形 5.(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知C =60°,b =6,c =3,则A =________.6.在△ABC 中,B =120°,AC =7,AB =5,则△ABC 的面积为________.二、考点分析考点一 利用正、余弦定理解三角形1.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a =62b ,A =2B ,则cos B 等于( )A.66 B.65 C.64 D.632.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若a sin Bcos C +c sin Bcos A =12b ,且a >b ,则B =( )A.π6B.π3C.2π3D.5π63.设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若a =3,sin B =12,C =π6,则b =________.✧ 方法总结利用正弦定理可解决两类问题4.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b 2=ac ,c =2a ,则cos C =( ) A.24 B .-24 C.34 D .-345.在△ABC 中,AB =3,BC =13,AC =4,则边AC 上的高为( ) A.322 B.332 C.32D .3 36.(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a,b ,c ,若2b cos B =a cos C +c cos A ,则B =________.✧ 方法总结利用余弦定理可解决两类问题1.避免失误准解题(1)应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误,要根据条件和三角形的限制条件合理取舍. (2)求角时易忽略角的范围而导致错误,需要根据大边对大角,大角对大边的规则,画图帮助判断.2.运用知识结论巧解题(1)三角形的内角和定理A +B +C =π,由此可得到sin A =sin(B +C ),cos A =-cos(B +C ),tan A =-tan(B+C );sin A 2=cos B +C 2,cos A2=sin B +C 2.(2)内角A ,B ,C 成等差数列⇔B =60°,A +C =120°. (3)在△ABC 中,tan A +tanB +tan C =tan A ·tanB·tan C .(4)△ABC 为正三角形的充要条件是A ,B ,C 成等差数列,且a ,b ,c 成等比数列. (5)在△ABC 中,A >B ⇔sin A >sinB ⇔cos A <cos B.(6)在△ABC 中,最大内角的取值范围是⎣⎡⎭⎫π3,π,最小内角的取值范围是⎝⎛⎦⎤0,π3. (7)在锐角△ABC 中,sin A >cosB ,sin B>cos C ,sin C >cos A 等. 考点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状例2.1.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若sin A sin B =ac ,(b +c +a )(b +c -a )=3bc ,则△ABC 的形状为( )A .直角三角形B .等腰非等边三角形C .等边三角形D .钝角三角形2.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,若c -a cos B =(2a -b )cos A ,则△ABC 的形状为( )A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形D .等腰或直角三角形✧ 方法总结1.判定三角形形状的2种常用途径2.判定三角形形状的3个注意点(1)“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系;(2)“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系; (3)还要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.变式2.1.已知△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos A cos B =ba =2,则该三角形的形状是( )A .直角三角形B .等腰三角形C .等边三角形D .钝角三角形2.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对边分别是a ,b ,c ,若sin 2B 2=c -a2c ,则△ABC 的形状一定是________.考点三 与三角形面积有关的问题例3.(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知△ABC 的面积为a 23sin A.(1)求sinBsin C ;(2)若6cosBcos C =1,a =3,求△ABC 的周长.✧ 方法总结与三角形面积有关问题的解题模型变式3.1.(2018·云南第一次统一检测)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若B =π2,a =6,sin 2B =2sin A sin C ,则△ABC 的面积S =( ) A.32 B .3 C. 6D .62.(2018·安徽两校阶段性测试)如图,在△ABC 中,AB =2,cos B =13,点D 在线段BC 上.(1)若∠ADC =3π4,求AD 的长;(2)若BD =2DC ,△ACD 的面积为423,求sin ∠BAD sin ∠CAD 的值.三、课堂检测A 级——基础小题练熟练快1.在△ABC 中,若sin A a =cos Bb ,则B 的大小为( )A .30°B .45°C .60°D .90°2.在△ABC 中,已知b =40,c =20,C =60°,则此三角形的解的情况是( ) A .有一解 B .有两解 C .无解 D .有解但解的个数不确定 3.(2018·南昌模拟)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,cos 2A =sin A ,bc =2,则△ABC 的面积为( )A.12B.14C .1D .2 4.在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若sin A =223,a =3,S △ABC =22,则b 的值为( )A .6B .3C .2D .2或35.在△ABC 中,2a cos A +b cos C +c cos B =0,则角A 的大小为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π66.(2017·山东高考)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若△ABC 为锐角三角形,且满足sinB(1+2cos C )=2sin A cos C +cos A sin C ,则下列等式成立的是( )A .a =2bB .b =2aC .A =2BD .B =2A 7.在△ABC 中,AB =6,A =75°,B =45°,则AC =________.8.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 所对的边,A =π4,b 2sin C =42sinB ,则△ABC 的面积为________.9.设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a =2,cos C =-14,3sin A =2sinB ,则c =________.10.已知△ABC 的角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,若cos A =78,c -a =2,b =3,则a=________.11.在△ABC 中,若sin C sin A =3,b 2-a 2=52ac ,则cosB 的值为( )A.13B.12C.15D.1412.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 所对的边,若a =2b cos C ,则此三角形一定是( ) A .等腰直角三角形 B .直角三角形C .等腰三角形D .等腰三角形或直角三角形13.(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知sin B +sin A (sin C -cos C )=0,a =2,c =2,则C =( )A.π12B.π6C.π4D.π314.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 所对的边,sin A ,sin B ,sin C 成等差数列,且a =2c ,则cos A =________.。
第七节 正弦定理与余弦定理
第七节 正弦定理与余弦定理命题导航 课程标准(2017年版)命题预测借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理、正弦定理. 1.考向预测:主要考查通过边角互化考查正弦定理、余弦定理的应用,结合三角恒等变换考查化简与求值.2.学科素养:主要考查数学运算核心素养.1.正弦定理和余弦定理 定理正弦定理 余弦定理内容 ①asinA =bsinB =csinC=2R(R 是△ABC 外接圆半径) a 2=b 2+c 2-2bccos A;b 2=② a 2+c 2-2accos B ; c 2=③ a 2+b 2-2abcos C变形 形式 (1)a=2Rsin A, b=④ 2Rsin B , c=⑤ 2Rsin C ; (2)sin A=a2R,sin B=⑥b2R,sin C=⑦ c 2R;(3)a∶b∶c=⑧ sin A∶sin B∶sin C ;(4)asin B=bsin A, bsin C=csin B, asin C=csin Acos A=⑨b 2+c 2-a 22bc ; cos B=⑩ a 2+c 2-b 22ac ;cos C=a 2+b 2-c 22ab应用 类型(1)已知两角和任一边,求另一角和其他两条边; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角(1)已知三边,求各角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角2.在△ABC 中,已知a 、b 和A 时,解的情况 A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数一解两解一解一解上表中,若A 为锐角,则当a<bsin A 时无解;若A 为钝角或直角,则当a≤b 时无解. 3.三角形的面积设△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,其面积为S. (1)S=12ah(h 为BC 边上的高). (2)S=12absin C= 12acsin B =12bcsin A.【常用结论】1.三角形内角和定理:在△ABC 中,A+B+C=π; 变形:A+B 2=π2-C 2.2.三角形中的三角函数关系:(1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C; (3)sinA+B 2=cos C 2;(4)cosA+B 2=sin C2.3.三角形中的射影定理:在△ABC 中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B. 4.其他常用面积公式:(1)S=12底×高;S=12×C×r(C 为周长,r 为内切圆半径); (2)菱形面积S=12×D×d(D,d 为两条对角线的长). 5.三角形的三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.6.在△ABC中,由A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( )(2)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B.( )(3)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素,可求其他元素.( )(4)当b2+c2-a2>0时,三角形ABC为锐角三角形;当b2+c2-a2=0时,三角形ABC为直角三角形;当b2+c2-a2<0时,三角形ABC为钝角三角形.( )(5)在三角形中,已知两边和一角就能求三角形的面积.( )答案(1)✕(2)√(3)✕(4)✕(5)√2.在△ABC中,若a=2,c=4,B=60°,则b等于( )A.2√3B.12C.2√7D.28答案 A3.已知△ABC中,A=π6,B=π4,a=1,则b等于( )A.2B.1C.√3D.√2答案 D4.在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是( )A.有一解B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定答案 C5.在△ABC中,acos A=bcos B,则这个三角形的形状为. 答案等腰三角形或直角三角形6.在△ABC中,若A=60°,AC=4,BC=2√3,则△ABC的面积等于.答案 2√3利用正弦、余弦定理解三角形典例1 (1)(2019课标全国Ⅱ文,15,5分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B= .(2)(2019课标全国Ⅰ理,17,12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.设(sin B- sin C)2=sin 2A-sin Bsin C.①求A;②若√2a+b=2c,求sin C. 答案 (1)34π解析 (1)在△ABC 中,由已知及正弦定理得sin Bsin A+sin Acos B=0, ∵sin A≠0,∴sin B+cos B=0, 即tan B=-1,又B∈(0,π),∴B=34π.(2)①由已知得sin 2B+sin 2C-sin 2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b 2+c 2-a 2=bc. 由余弦定理得cos A=b 2+c 2-a 22bc =12.因为0°<A<180°,所以A=60°.②由①知B=120°-C,由题设及正弦定理得√2sin A+sin(120°-C)=2sin C, 即√62+√32cos C+12sin C=2sin C,可得cos(C+60°)=-√22. 由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=√22,故sin C=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)·cos 60°-cos(C+60°)·sin 60°=√6+√24.方法技巧应用正弦、余弦定理解题的技巧(1)求边:利用公式a=bsinAsinB ,b=asinBsinA ,c=asinCsinA 或其他相应变形公式求解. (2)求角:先求出正弦值,再求角,即利用公式sin A=asinB b,sin B=bsinA a,sin C=csinA a或其他相应变形公式求解.(3)已知两边及其夹角或已知三边可利用余弦定理求解.(4)灵活利用式子的特点转化.如出现a 2+b 2-c 2=λab 形式用余弦定理,等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.1-1 (2018贵州贵阳模拟)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边a,b,c 成公差为2的等差数列,C=120°.(1)求边长a;(2)求AB 边上的高CD 的长. 解析 (1)由题意得b=a+2,c=a+4, 由cos C=a 2+b 2-c 22ab,得cos 120°=a 2+(a+2)2-(a+4)22a (a+2)=-12,即a 2-a-6=0,∴a=3或a=-2(舍去), ∴a=3.(2)解法一:由(1)知a=3,则b=5,c=7,由三角形的面积公式得12absin∠ACB=12c×CD,∴CD=absin∠ACB c =3×5×√327=15√314,即AB 边上的高CD=15√314. 解法二:由(1)知a=3,则b=5,c=7,由正弦定理得3sinA =7sin∠ACB =7sin120°,则sin A=3√314, 在Rt△ACD 中,CD=ACsin A=5×3√314=15√314, 即AB 边上的高CD=15√314.判断三角形的形状典例2 (1)(2019湖南师大附中月考)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若bcosC ccosB =1+cos2C 1+cos2B,则△ABC 的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形(2)(2018重庆六校联考)在△ABC 中,cos 2B 2=a+c2c (a,b,c 分别为角A,B,C 的对边),则△ABC 的形状为( )A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形 答案 (1)D (2)B解析 (1)由已知1+cos2C 1+cos2B =2cos 2C 2cos 2B =cos 2C cos 2B =bcosCccosB ,解得cosCcosB =0或cosC cosB =bc ,即C=90°或cosC cosB =bc .由正弦定理,得b c =sinBsinC ,∴cosC cosB =sinB sinC ,即sin Ccos C=sin Bcos B,即sin 2C=sin 2B,∵B,C 均为△ABC 的内角,∴2C=2B 或2C+2B=180°,∴B=C 或B+C=90°,∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.(2)因为cos 2B 2=a+c2c ,所以2cos 2B2-1=a+c c-1,所以cos B=ac ,所以a 2+c 2-b 22ac=a c ,所以c 2=a 2+b 2,所以△ABC 为直角三角形,但无法判断是不是等腰三角形,故选B.方法技巧判断三角形形状的两种常用途径▶提醒 判断三角形形状的3个注意点:(1)“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系;(2)“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的 关系;(3)还要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别. 2-1 在△ABC 中,cos A2=√1+cosB2,则△ABC 一定是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.无法确定答案 A 由已知得cos 2A 2=1+cosB 2,∴2cos 2A2-1=cos B,∴cos A=cos B,又0<A<π,0<B<π,∴A=B,∴△ABC 一定为等腰三角形.2-2 设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案 B 因为bcos C+ccos B=asin A,所以由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin 2A,所以sin(B+C)=sin 2A.又sin(B+C)=sin A 且sin A≠0,所以sin A=1,所以A=π2,所以△ABC 为直角三角形,故选B.正弦定理、余弦定理的综合应用典例3 (2019课标全国Ⅲ理,18,12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asinA+C 2=bsin A.(1)求B;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c=1,求△ABC 面积的取值范围. 解析 (1)由题设及正弦定理得sin Asin A+C 2=sin Bsin A.因为sin A≠0,所以sinA+C 2=sin B.由A+B+C=180°,得sin A+C 2=cos B2,故cos B2=2sin B2cos B2.因为cos B 2≠0,所以sin B 2=12,因此B=60°. (2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC =√34a. 由正弦定理得a=csinA sinC=sin (120°-C )sinC=√32tanC +12. 由于△ABC 为锐角三角形,故0°<A<90°,0°<C<90°,由(1)知A+C=120°, 所以30°<C<90°,故12<a<2,从而√38<S △ABC <√32. 因此,△ABC 面积的取值范围是(√38,√32). 典例4 (2018河北承德质检)在△ABC 中,∠A=60°,c=37a.(1)求sin C 的值;(2)若a=7,求△ABC 的面积.解析 (1)在△ABC 中,∠A=60°,c=37a,所以sin C=csinA a=37×√32=3√314.(2)解法一:因为a=7,所以c=37×7=3<a . 又A=60°,所以C<60°.由(1)知sin C=3√314, 所以cos C=√1-sin 2C =√1-(3√314)2=1314.由A+B+C=180°,可得B=180°-A-C,所以sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=sin 60°×1314+cos 60°×3√314=4√37. 所以△ABC 的面积S=12acsin B=12×7×3×4√37=6√3. 解法二:因为a=7,所以c=37×7=3, 由余弦定理得72=b 2+32-2b×3×12, 解得b=8或b=-5(舍去).所以△ABC 的面积S=12bcsin A=12×8×3×√32=6√3. 方法技巧1.与三角形面积有关的问题2.三角形与三角函数交汇问题3-1 (2019重庆模拟)在如图所示的平面直角坐标系中,角α(0<α<π2),角β(-π2<β<0)的终边分别交单位圆于A,B 两点,若B 点的纵坐标为-513,且满足S △AOB =√34,则sin α2·(√3cos α2-sin α2)+12的值为( )A.-513B.-1213 C.513D.1213答案 D 因为sin β=-513>-12(-π2<β<0),所以-π6<β<0.又0<α<π2,S △AOB =12OA·OBsin∠AOB=12sin∠AOB=√34,所以易求得∠AOB=π3,所以∠AOB=α-β=π3,即α=β+π3,则sin α2·(√3cos α2-sin α2)+12=√3sin α2cos α2-sin 2α2+12=√32sin α+12cos α=sin (α+π6)=sin (β+π3+π6)=cos β=1213. 3-2 (2019课标全国Ⅱ理,15,5分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3,则△ABC 的面积为 .答案 6√3解析 由b 2=a 2+c 2-2accos B 及已知得62=(2c)2+c 2-2×2c×c×12, ∴c=2√3(c=-2√3舍去).∴a=2c=4√3,∴△ABC 的面积S=12acsin B=12×4√3×2√3×√32=6√3.数学运算是在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括:理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等. 1.(多选)已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若c=4,∠B=60°,则边b 的值可能是( ) A.2B.3C.4D.5答案 CD 在△ABC 中,c=4,∠B=60°, 由bsinB =csinC ,可得b=csinB sinC =4×√32sinC =2√3sinC ,由题意可知π6<C<π2,所以sin C∈(12,1),即有2√3<b<4√3,故选CD.2.已知sin α+3cos α=-√10,则tan 2α= ,tan (α+π4)= . 答案34;2解析 ∵(sin α+3cos α)2=sin 2α+6sin α·cos α+9cos 2α=10(sin 2α+cos 2α), ∴9sin 2α-6sin αcos α+cos 2α=0,则(3tan α-1)2=0,即tan α=13,∴tan 2α=2tanα1-tan α=34, tan (α+π4)=13+11-13=2.3.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知∠CAB=π3,a=7,b=5,点D 满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则c= ;|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 答案 8;2√613解析 如图,由∠CAB=π3,a=7,b=5,及a 2=b 2+c 2-2bccos∠CAB,得72=52+c 2-2×5×c×12,解得c=8或c=-3(舍去). ∵点D 满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=23a=143. ∴cos B=a 2+c 2-b 22ac =49+64-252×7×8=1114.∵在△ABD 中,AD 2=BD 2+c 2-2BD·c·cos B=(143)2+64-2×143×8×1114=2449,∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√613. 4.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知sin A+sin B=54sin C,且△ABC 的周长为9,若△ABC 的面积为3sin C,则c= ,cos C= . 答案 4;-14解析 由已知可得a+b=5c4,又△ABC 的周长为9,所以c+5c4=9,解得c=4.因为△ABC 的面积等于3sin C,所以12absin C=3sin C,整理得ab=6. 由{a +b =5,ab =6,解得{a =2,b =3或{a =3,b =2,所以cos C=a 2+b 2-c 22ab=-14.A 组 基础题组1.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知a=√5,c=2,cos A=23,则b=( ) A.√2 B.√3 C.2 D.3答案 D2.(多选)在△ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有两解的是( ) A.b=10,A=45°,C=70°B.b=45,c=48,B=60°C.a=14,b=16,A=45°D.a=7,b=5,A=80°答案 BC 选项B 满足csin 60°<b<c,选项C 满足bsin 45°<a<b,所以B,C 有两解, 对于选项A,可求B=180°-A-C=65°,所以三角形有一解, 对于选项D,由sin B=b ·sinAa,且b<a,可得B 为锐角,所以三角形只有一解.故选BC.3.(2019课标全国Ⅰ文,11,5分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14,则b c =( ) A.6B.5C.4D.3答案 A4.(2019广东七校联考)在锐角△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若sin A=2√23,a=2,S △ABC =√2,则b 的值为( )A.√3B.3√22C.2√2D.2√3答案 A5.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A·(sin C -cos C)=0,a=2,c=√2,则C=( ) A.π12 B.π6C.π4D.π3答案 B 在△ABC 中,sin B=sin(A+C),则sin B+sin A(sin C-cos C)=sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,即sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,∴cos Asin C+sin Asin C=0,∵sin C≠0,∴cos A+sin A=0,即tan A=-1,即A=34π. 由a sinA =c sinC 得√22=√2sinC ,∴sin C=12,又0<C<π4,∴C=π6,故选B.6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若角A,B,C依次成等差数列,且a=1,b=√3,则S△ABC= .答案√32解析∵角A,B,C依次成等差数列,∴B=60°,结合余弦定理得3=1+c2-2c×cos 60°,解得c=2,∴S△ABC=12acsin B=√32.7.(2018山东菏泽二模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B-c-b2=0,a2=72bc,b>c,则bc= .答案 2解析由acos B-c-b2=0及正弦定理可得sin Acos B-sin C-sinB2=0.因为sin C=sin(A+B)=sinAcos B+cos Asin B,所以-sinB2-cos Asin B=0,又因为sin B≠0,所以cos A=-12,因为0<A<π,所以A=2π3.由已知及余弦定理得a2=72bc=b2+c2+bc,即2b2-5bc+2c2=0,又b>c,所以bc=2.8.(2019潍坊模拟)如图所示,在平面四边形ABCD中,AB=√2,BC=√3,AB⊥AD,AC⊥CD,AD=3AC,则AC= .答案 3解析设AC=x,则AD=3x,在Rt△ACD中,CD=√AD2-AC2=2√2x,所以sin∠CAD=CDAD=2√23,在△ABC中,由余弦定理得cos∠BAC=AB2+AC2-BC22AB·AC=22√2x,由于∠BAC+∠CAD=π2,所以cos∠BAC=sin∠CAD,即22√2x =2√23,整理得3x 2-8x-3=0,解得x=3(x=-13舍去),即AC=3.9.在平面四边形ABCD 中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos∠ADB; (2)若DC=2√2,求BC.解析 (1)在△ABD 中,由正弦定理得BDsin∠A =ABsin∠ADB . 结合题设知,5sin45°=2sin∠ADB , 所以sin∠ADB=√25. 由题意知,∠ADB<90°, 所以cos∠ADB=√1-225=√235. (2)由题意及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=√25.在△BCD 中,由余弦定理得BC 2=BD 2+DC 2-2BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2√2×√25=25. 所以BC=5.B 组 提升题组1.(2019吉林四平质检)在△ABC 中,已知a,b,c 分别为角A,B,C 的对边,且∠A=60°,若S △ABC =3√32,2sin B=3sin C,则△ABC 的周长等于( ) A.5+√7 B.12 C.10+√7D.5+2√7答案 A 在△ABC 中,∠A=60°且2sin B=3sin C,故由正弦定理可得2b=3c,再由S △ABC =3√32=12bc·sin A,可得bc=6,∴b=3,c=2.由余弦定理可得a 2=32+22-2×3×2×12=7,∴a=√7,故△ABC 的周长为a+b+c=5+√7,故选A.2.(2019枣庄二模)已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则A=( ) A.π6B.π3C.5π6D.2π3答案 B 由已知及正弦定理得(a+b)(a-b)=c(c-b),即b 2+c 2-a 2=bc.所以cos A=b 2+c 2-a 22bc=12,又A∈(0,π),所以A=π3.3.(2019河南郑州质量预测)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2ccos B=2a+b. (1)求C;(2)若△ABC 的面积S=√32c,求ab 的最小值. 解析 (1)由2ccos B=2a+b 及余弦定理,得2c·a 2+c 2-b 22ac=2a+b,化简得a 2+c 2-b 2=2a 2+ab,即a 2+b 2-c 2=-ab, ∴cos C=a 2+b 2-c 22ab=-ab 2ab =-12.又0<C<π,∴C=2π3.(2)∵S=12absin C=√32c,∴c=12ab. 又c 2=a 2+b 2-2abcos C=a 2+b 2+ab, ∴a 2b 24=a 2+b 2+ab≥3ab,即ab≥12,当且仅当a=b 时,取等号.故ab 的最小值为12.4.(2019天津,15,13分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C. (1)求cos B 的值; (2)求sin (2B +π6)的值.解析 (1)在△ABC 中,由正弦定理b sinB =csinC ,得bsin C=csin B.由3csin B=4asin C,得3bsin C=4asin C, 即3b=4a.因为b+c=2a, 所以b=43a,c=23a. 由余弦定理可得 cos B=a 2+c 2-b 22ac=a 2+49a 2-169a22·a ·23a=-14.(2)由(1)可得sin B=2B =√154, 从而sin 2B=2sin Bcos B=-√158, cos 2B=cos 2B-sin 2B=-78,故sin (2B +π6)=sin 2Bcos π6+cos 2B·sin π6=-√158×√32-78×12=-3√5+716. 素养拓展5.某小区打算对如图所示的直角三角形ABC 区域进行改建,在三边上各选一点连成等边三角形DEF,在其内建造文化景观.已知AB=20 m,AC=10 m,则△DEF 区域的面积(单位:m 2)的最小值为( )A.25√3B.75√314 C.100√37D.75√37答案 D 由△ABC 是直角三角形,AB=20 m,AC=10 m,可得∠B=30°,CB=10√3 m,因为△DEF 是等边三角形,设∠CED=θ,DE=x,则∠BFE=30°+θ,CE=xcos θ, 在△BFE 中,由正弦定理可得xsin30°=10√3-xcosθsin (30°+θ), 化简得x=√3√3sinθ+2cosθ=√3√7sin (θ+α),其中tan α=2√33,所以x≥√3√7.所以△DEF 的面积S=12x 2×sin 60°≥75√37. 6.(多选)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是( ) A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6 B.△ABC 是钝角三角形C.△ABC 的最大内角是最小内角的2倍D.若c=6,则△ABC 的外接圆半径为8√77答案 ACD 由(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,可设a+b=9t,a+c=10t,b+c=11t,t>0, 解得a=4t,b=5t,c=6t,可得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=4∶5∶6,故A 正确; 易知,c 为最大边,又cos C=a 2+b 2-c 22ab=16t 2+25t 2-36t 22·4t ·5t=18>0,即C 为锐角,所以△ABC 为锐角三角形, 故B 错误; cos A=b 2+c 2-a 22bc=25t 2+36t 2-16t 22·5t ·6t=34,cos 2A=2cos 2A-1=2×916-1=18=cos C,又2A,C∈(0,π), 所以2A=C,故C 正确; 由c=6,可得2R=csinC =√1-64=√7, 所以△ABC 的外接圆半径为8√77,故D 正确.故选ACD.7.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,A=60°,且△ABC 外接圆半径为√3,则a= ,若b+c=3√3,则△ABC 的面积为 . 答案 3;3√32解析∵A=60°,且△ABC外接圆半径R为√3,∴由正弦定理asinA=2R,可得a=2Rsin A=2×√3×sin 60°=3.∵b+c=3√3,∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可得9=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=27-3bc,解得bc=6,∴S△ABC =12bcsin A=12×6×√32=3√32.8.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2cos2A+√3sin 2A=2,b=1,S△ABC =√32,则A= ,b+csinB+sinC= .答案π3;2解析由2cos2A+√3sin 2A=2,可得cos 2A+√3sin 2A=1,∴sin(2A+π6)=12,∵0<A<π,∴2A+π6∈(π6,13π6),∴2A+π6=5π6,∴A=π3.∵b=1,S△ABC =√32=12bcsin A=12×1×c×√32,∴c=2,∴由余弦定理可得a=√b2+c2-2bccosA=√3,∴b+csinB+sinC =asinA =√3√32=2.9.已知锐角三角形ABC 的三个内角A,B,C 满足sin Bsin C=(sin 2B+sin 2C-sin 2A)tan A. (1)求A;(2)若△ABC 的外接圆的圆心是O,半径是1,求OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的取值范围. 解析 (1)由已知及正弦定理,得b 2+c 2-a 22bc·sinA cosA =12,即sin A=12. ∵A 是锐角, ∴A=π6.(2)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ (OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =cos∠AOB+cos∠AOC -2 =cos 2∠ACB+cos 2∠ABC -2 =cos (5π3-2∠ABC)+cos 2∠ABC -2 =√3cos (2∠ABC +π6)-2.∵△ABC 是锐角三角形,∴∠ABC<π2, 由(1)知,∠BAC=π6,∴∠ABC+∠BAC>π2, ∴π3<∠ABC<π2, ∴2π3<2∠ABC<π,∴5π6<2∠ABC+π6<7π6,∴-1≤cos (2∠ABC +π6)<-√32,故OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )的取值范围是[-2-√3,-72).。
2014一轮复习课件 第3章 第7节 正弦定理和余弦定理
(2)解:①由已知和正弦定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c, 即 a2=b2+c2+bc, b2+c2-a2 -bc 1 由余弦定理知 cos A= = =- ,A=120° . 2bc 2bc 2 ②由①知,a2=b2+c2+bc, ∴sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C, 3 即 =sin2B+sin2C+sin Bsin C. 4
(1) (2)
利用正弦定理求解. ①先求sin A,sin C,cos C,利用sin B= sin(A+C)求解; ②利用正弦定理求解.
a b 3 1 (1)解析:由正弦定理得 = ,即 = , sin A sin B π sin B sin 3 1 ∴sin B= ,故∠B=30° 或 150° .由 a>b, 2 得∠A>∠B,∴∠B=30° . 故∠C=90° ,由勾股定理得 c=2.
.
sin A cos B 1.在△ABC 中,若 = ,则 B 的值为( a b A.30° C.60° B.45° D.90°
)
sin A cos B sin B 解析:由正弦定理得 = = , a b b 所以 sin B=cos B,又 0<B<180° ,因此 B=45° .
答案:B
2.(2012·上海高考)在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,则
(1) 三角形的面积经常与正、余弦定理结合
在一起考查,解题时要注意方程思想的运用,即通过正、余弦 定理建立起方程(组),进而求得边或角. (2)要熟记常用的面积公式及其变形.
【活学活用】 3.在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b, π c,已知 c=2,C=3.若△ABC 的面积等于 3,求 a,b.
高三数学课件:第三章 第七节 正弦定理和余弦定理
与三角形面积有关的问题
三角形面积公式 (1)已知一边和这边上的高:
1 1 1 S ah a bh b ch c . 2 2 2
(2)已知两边及其夹角:
1 1 1 S absinC acsinB bcsinA. 2 2 2
(3)已知三边:
S p p a p b p c , 其中p abc . 2
形状. 【解题指南】此题主要是利用正弦定理转化成边或角,做出判 断即可. 【规范解答】方法一:∵acos( ∴asinA=bsinB.
a b 由正弦定理可得: a =b , 2R 2R -A)=bcos( -B), 2 2
∴a2=b2,∴a=b,∴△ABC为等腰三角形.
方法二:∵acos( ∴asinA=bsinB.
(2)由b=asinC可知 b sinC sinB , 由c=acosB可知
a c b 整理得b2+c2=a2,即三角形一定是直角三角形, c a , 2ac
2 2 2
a
sinA
A=90°,∴sinC=sinB,∴B=C, ∴△ABC为等腰直角三角形.
热点考向 3 【方法点睛】
(4)已知两角及两角的共同边:
b 2sinCsinA c2sinAsinB a 2sinBsinC S . 2sin C A 2sin A B 2sin B C
(5)已知三边和外接圆半径R,则 S abc .
4R
【例3】(1)已知△ABC中,a=8,b=7,B=60°,则c=_____, S△ABC=__________. (2)(2012·新课标全国卷)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A, B,C的对边, acosC 3asinC b c 0. ①求A; ②若a=2,△ABC的面积为 3, 求b,c.
第七节 正弦定理和余弦定理
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a= 7 ,b=3,c=2,则A= ( C ) A.
6
B.
4
C.
3
D.
2
答案 C
b 2 c 2 a 2 32 22 ( 7) 2 1 易知cos A= = = , 2bc 2 3 2 2
又A∈(0,π), ∴A= .故选C.
答案 (1)B (2)75° (3)60° 解析 (1)因为sin B+sin A(sin C-cos C)=0, 所以sin(A+C)+sin A· sin C-sin A· cos C=0, 所以sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0, 整理得sin C· (sin A+cos A)=0, 因为sin C≠0,所以sin A+cos A=0, 所以tan A=-1,
3 4
因为A∈(0,π),所以A= ,
由正弦定理得sin C=
c பைடு நூலகம்in A = a
2
2 1 2 = , 2 2
又0<C< ,所以C= .故选B.
4 6
(2)由正弦定理得
6 3 = , sin 60 sin B
∴sin B= ,
又∵c>b,∴B=45°,∴A=75°. (3)解法一:由正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin C· cos A,即sin 2B=
3.在△ABC中,化简bcos C+ccos B的结果为 ( A ) A.a B.b C.c D. b
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
一、选择题
1.在△ABC 中,a 、b 分别是角A 、B 所对的边,条件“a <b ”是使“cos A >cos B ”成立的
( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
解析:a <b ⇔A <B ⇔cos A >cos B .
答案:C
2.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且a =λ,b =3λ(λ>0),A =45°,则满足此条件的三角形个数是( )
A .0
B .1
C .2
D .无数个
解析:直接根据正弦定理可得a sin A =b sin B ,可得sin B =b sin A a =3λsin 45°λ=62>1,没有意义,故满足条件的三角形的个数为0.
答案:A
3.已知圆的半径为4,a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边,若abc =162,则三角形的面积为( )
A .2 2
B .8 2
C. 2
D.22
解析:∵a sin A =b sin B =c sin C =2R =8,∴sin C =c 8
. ∴S △ABC =12ab sin C =116abc =116
×162= 2. 答案:C
4.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c .若C =120°,c =2a ,则( )
A .a >b
B .a <b
C .a =b
D .a 与b 的大小关系不能确定
解析:法一由余弦定理得2a 2=a 2+b 2-2ab cos 120°,
b 2+ab -a 2=0,
即⎝⎛⎭⎫b a 2+b a -1=0,b a =-1+52
<1,故b <a . 法二:由余弦定理得2a 2=a 2+b 2-2ab cos 120°,
b 2+ab -a 2=0,b 2=a 2-ab =a (a -b )>0,∴a >b .
法三:由c =2a .
∴sin C =2sin A .∴sin 120°=2sin A .
∴sin A =
64>12
.又A +B =60°,∴A >30°.∴A >B . 答案:A
5.△ABC 中,AB =3,AC =1,B =30°,则△ABC 的面积等于( ) A.
32 B.34 C.32或 3 D.32或34 解析:∵sin C 3
=sin B 1,∴sin C =3·sin 30°=32. ∴C =60°或C =120°.
当C =60°时,A =90°,S △ABC =12×1×3=32
, 当C =120°时,A =30°,S △ABC =12×1×3sin 30°=34
. 即△ABC 的面积为
32或34
. 答案:D
二、填空题
6.(2011·福建高考)若△ABC 的面积为3,BC =2,C =60°,则边AB 的长度等于________.
解析:由正弦定理可知:S △ABC =12
BC ×CA ×sin60°= 3 ,又因为BC =2,所以CA =2,即BC =CA ,又∠ACB =60°,所以三角形ABC 是正三角形,所以AB =2.
答案:2
7.(2012·吉林一模)在锐角△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 所对的边,且3a =2c sin A ,角C =________.
解析:根据正弦定理,a sin A =c sin C
, 由3a =2c sin A ,得a sin A =c 3
2, ∴sin C =32,而角C 是锐角.∴角C =π3
.
答案:π3
三、解答题
8.在△ABC 中,a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边,B =
2π3,b =13,a +c =4,求a . 解:由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B
=a 2+c 2-2ac cos 2π3
=a 2+c 2+ac =(a +c )2-ac .
又∵a +c =4,b =13,∴ac =3.
联立⎩⎪⎨⎪⎧
a +c =4,ac =3, 解得a =1或a =3.
9.(2012·茂名一模)在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,若tan A =3,cos C =55
. (1)求角B 的大小.
(2)若c =4,求△ABC 的面积.
解:(1)∵cos C =55,∴sin C =255
,tan C =2. 又∵tan B =-tan(A +C )=-
tan A +tan C 1-tan A tan C =-2+31-2×3=1 且B <π,∴B =π4. (2)由正弦定理b sin B =c sin C 得b =c sin B sin C
=10, 由sin A =sin(B +C )=sin ⎝⎛⎭⎫π4+C
得sin A =31010
, ∴△ABC 的面积S △ABC =12
bc sin A =6. 10.(2012·茂名期末)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边长分别是a ,b ,c .
(1)若c =2,C =π3
,且△ABC 的面积为3,求a ,b 的值; (2)若sin C +sin(B -A )=sin 2A ,试判断△ABC 的形状.
解:(1)∵c =2,C =π3
, ∴由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C
得a 2+b 2-ab =4.
又∵△ABC 的面积为3,
∴12
ab sin C =3,ab =4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧
a 2+
b 2-ab =4,ab =4,解得a =2,b =2. (2)由sin C +sin(B -A )=sin 2A ,
得sin(A +B )+sin(B -A )=2sin A cos A , 即2sin B cos A =2sin A cos A , ∴cos A ·(sin A -sin B )=0,
∴cos A =0或sin A -sin B =0, 当cos A =0时,∵0<A <π,
∴A =π2
,△ABC 为直角三角形; 当sin A -sin B =0时,得sin B =sin A , 由正弦定理得a =b ,
即△ABC 为等腰三角形.
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.。