艺术生高考数学专题讲义：考点27 平面向量的数量积
高考数学一轮复习讲义平面向量数量积
变式训练 1
(1)若向量 a 的方向是正南方向，向量 b 的方向是正东方向，且|a|
＝|b|＝1，则(－3a)·(a＋b)＝______.
(1)如图所示，由已知，作O→A＝a， O→B＝b，O→A、O→B的方向分别是正南、正东方 向，且|a|＝|b|＝1，则O→C＝－3a 的方向是正北 方向，|O→C|＝|－3a|＝3|a|＝3，O→D＝O→A＋O→B＝ a＋b 的方向是东南方向，|a＋b|＝ 2(四边形 OADB 是正方形)， 且O→C与O→D的夹角是∠COD＝135°，所以(－3a)·(a＋b)＝3× 2 ×cos 135°＝3 2×－ 22＝－3.
探究提高
方法一的难点是如何利用条件建立|c|的表达式，突破这一难点的 方法就是结合条件利用向量的数量积将|c|用|a＋b|cos θ＝ 2cos θ 来表示即可．方法二的难点是如何建立 c 坐标的关系式，要突 破这一难点就要先设向量 a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，再由 条件建立 c 的坐标的关系式x－122＋y－122＝12即可．方法三的 难点是对向量几何意义的挖掘，突破这一难点，要由条件得出向 量 c 是向量 a，b，a－c，b－c 构成的圆内接四边形的对角线．
答案 (1)－3 (2) 3
向量的夹角与向量的模
例 2 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61， (1)求 a 与 b 的夹角 θ； (2)求|a＋b|； (3)若A→B＝a，B→C＝b，求△ABC 的面积．
运用数量积的定义和|a|＝ a·a. 解 (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61， ∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. 又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6. ∴cos θ＝|aa|·|bb|＝4－×63＝－12.
平面向量的数量积与应用知识点总结
平面向量的数量积与应用知识点总结平面向量是数学中一个重要的概念，涉及到许多与力学、几何等学科相关的应用。
其中，数量积是平面向量运算中的一种重要操作，具有广泛的应用价值。
本文将对平面向量的数量积以及其应用知识点进行总结。
一、平面向量的数量积数量积，又称点积或内积，是平面向量运算中的一种形式。
对于平面内的两个向量a = (a1, a2) 和 b = (b1, b2)，它们的数量积定义为：a·b = a1*b1 + a2*b2其中，a1 和 b1 是向量 a 和 b 在同一方向上的投影长度，a2 和 b2 是它们在另一方向上的投影长度。
数量积具有以下特性：1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c3. 数量积为0的判定：如果 a·b = 0，则两个向量 a 和 b 垂直。
4. 数量积为正负的判定：如果 a·b > 0，则两个向量 a 和 b 的夹角小于 90 度；如果 a·b < 0，则两个向量 a 和 b 的夹角大于 90 度。
二、数量积的应用知识点1. 向量的模长根据数量积的定义，可以得到两个向量 a 和 b 的数量积可以表示为：a·a = ||a||^2其中，||a|| 表示向量 a 的模长，也称为向量 a 的长度。
因此，根据以上公式可以计算向量的模长。
2. 向量夹角的计算利用数量积的特性，可以计算两个向量 a 和 b 之间的夹角θ，公式如下：cosθ = (a·b) / (||a|| * ||b||)利用这个公式，可以计算任意两个向量之间的夹角。
3. 向量投影考虑一个向量 a 在另一个向量 b 上的投影，可以根据数量积得到投影的长度：proj_b(a) = (a·b) / ||b||这个投影长度表示了向量 a 在向量 b 上的投影长度，可以用于求解各种问题。
平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
知识讲解 平面向量的数量积 基础
平面向量的数量积【学习目标】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；【要点梳理】要点一：平面向量的数量积1. 平面向量数量积(内积)的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角是?，则数量cosab?叫a与b的数量积，记作ab?，即有??cos 0a bab???????.并规定0与任何向量的数量积为0. 2.一向量在另一向量方向上的投影：cosb?叫做向量b在a方向上的投影. 要点诠释：1. 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符由cos?的符所决定.(2)两个向量的数量积称为内积，写成ab?；今后要学到两个向量的外积ab?，而ab?是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符“·”在向量运算中不是乘，既不能省略，也不能用“×”代替. (3)在实数中，若0a?，且0a b??，则0b?；但是在数量积中，若0a?，且0ab??，不能推出0b?.因为其中cos?有可能为0.2. 投影也是一个数量，不是向量；当?为锐角时投影为正值；当?为钝角时投影为负值；当?为直角时投影为0；当?=0?时投影为b；当?=180?时投影为b ?.要点二：平面向量数量积的几何意义数量积ab?表示a的长度||a与b在a方向上的投影cosb?的乘积，这是a b?的几何意义．图（1）（2）（3）所示分别是两向量,ab 夹角为锐角、钝角、直角时向量b在向量a方向上的投影的情形，其中1||cosOBb??，它的意义是，向量b在向量a方向上的投影是向量1OB的数量，即11||aOBOBa??．事实上，当?为锐角时，由于cos0??，所以10OB?；当?为钝角时，由于cos0??，所以10OB?；当090??时，由于cos0??，所以10OB?，此时O与1B重合；当00??时，由于cos1??，所以1．||OBb?；当0180??时，由于cos1???，所以1||OBb??．要点三：平面向量数量积的性质设a与b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1.cos eaaea?????2.0ab ab????3.当a与b同向时，a bab??；当a与b反向时，abab???. 特别的2aaa??或aaa??4.cos abab???5.abab??要点四：向量数量积的运算律1.交换律：abba???2.数乘结合律：??????ababab????????3.分配律：??abcacbc??????要点诠释：1.已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bc?a=c.但是abbc????ac?；2.在实数中，有(a?b)c=a(b?c)，但是????abcabc???显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线. 要点五：向量数量积的坐标表示1.已知两个非零向量11(,)a xy?，22(,)bxy?，1212abxxyy???2.设(,)ax y?，则222||axy??或22||ax y??3.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，那么221212||()()axxyy????(平面内两点间的距离公式).要点六：向量在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件1122//(0)(,)(,)ababbx yxy?????????????(2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件1．21200ababxxyy???????(3)求夹角问题．由向量a，b数量积可知，若它们的夹角为?，则||||cosabab???，利用121222221122cos xxyyabab xyxy?????????(4)求线段的长度，可以利用2aa?或22122121()()PPxxy y????【典型例题】类型一：平面向量数量积的概念例1．已知a、b、c是三个非零向量，则下列命题中正确的个数为（）①a·b=±|a|·|b|?a∥b；②a、b反向?a·b=－|a|·|b|；③a⊥b?|a+b|=|a－b|；④|a|=|b|?|a·c|=|b·c|．A．1个B．2个 C3个 D 4个【答案】C【解析】（1）∵a·b=|a| |b|cos?，∴由a·b=±|a| |b|及a、b为非零向量可得cos?=±1，∴?=0或π，∴a∥b，且以上各步均可逆，故叙述①是正确的．（2）若a、b反向，则a、b的夹角为π，∴a·b=|a| |b|cosπ=―|a| |b|且以上各步均可逆，故叙述②是正确的．（3）当a⊥b时，将向量a、b的起点确定在同一点，则以向量a、b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长相等，即有|a+b|=|a―b|．反过来，若|a+ b|=|a―b|，则以a、b为邻边的四边形为矩形，∴a⊥b，故叙述③是正确的．（4）当|a|=|b|，但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|a·c|≠|b·c|，反过来的由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|．故叙述④是不正确的．综上所述，在四个叙述中，前3个是正确的，而第4个是不正确的．【总结升华】需对以上四个叙述逐一判断，依据有两条，一是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则．举一反三：【变式1】如果a·b=a·c，且a≠0，那么（）A．b=c B．b=?c C．b⊥c D．b、c在a方向上的投影相等【答案】D类型二：平面向量数量积的运算例2．已知|a|=4，|b|=5，当（1）a∥b，（2）a⊥b，（3）a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．【思路点拨】已知向量|a|与|b|，求a·b，只需确定其夹角?．【解析】（1）当a∥b时，有?=0°和?=180°两种可能．若a与b同向，则?=0°，a·b=|a||b|cos0°=4×5×1=20；若a与b反向，则?=180°，a·b=|a| |b|cos180°=4×5×(―1)=―20．（2）当a⊥b时，?=90°，a·b=|a| |b|cos90°=0．（3）当a与b的夹角为30°时，a·b=|a| |b|cos30°=4×5×31032?．【总结升华】（1）在表示向量的数量积时，a与b之间必须用实心圆“·”来连接，而不能用“×”连接，也不能省略．（2）求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角?，?∈[0°，180°]．②分别求|a|和|b|．③求它们的数量积，即a·b=|a| |b|·cos?．举一反三：【变式1】已知|a|=5，|b|=4，〈a，b〉=3?，求（a+b）·a.【答案】35 【解析】（a+b）·a=2||||||cos3aaabaab??????=35例3．（1）若|a|=4，a·b=6，求b在a方向上的投影；（2）已知|a|=6，e为单位向量，当它们之间的夹角?分别等于60°、90°、120°时，求出a在e方向上的正投影，并画图说明．【答案】（1）32（2）略【解析】（1）∵a·b=|a| |b|cos?=6，又|a|=4，∴4|b|cos?=6，∴3||cos2b??．（2）a在e方向上的投影为|a|·cos?．如上图所示，当?=60°时，a在e方向上的正投影的数量为|a|·cos60°=3；当?=90°时，a在e方向上的投影的数量为|a|·cos90°=0；当?=120°时，a在e方向上的正投影的数量为|a|·cos120°=－3．【总结升华】要注意a在b方向上的投影与b在a方向上的投影不是不同的．类型三：平面向量模的问题例4．（2015春甘肃临夏州期末）已知向量a，b的夹角为60°，且||2a ?，||1b?，（1）求ab?；（2）求||ab?．【答案】（1）1；（2）||7ab??【解析】（1）1||||cos602112abab???????（2）2222||()2ababaabb???????=4+2×1+1=7 所以||7ab??举一反三：【高清课堂：平面向量的数量积395485 例4】【变式1】已知||2,||5,3aba b?????，求||,||abab??．【答案】3523【解析】222()2425635abaabb????????，||35ab???同理，||23ab??【变式2】已知向量,ab满足6,4ab??，且ab与的夹角为60°，求2a bab??和. 【答案】219213【解析】6,4ab??，且ab与的夹角为60°12ab???22276219abaabb????????；2224452213.abaabb???????【总结升华】要根据实际问题选取恰当的公式．类型四：向量垂直（或夹角）问题例5．已知,ab是两个非零向量，同时满足abab ???，求a ab?与的夹角. 【思路点拨】利用121222221122cos xxyyababxyxy?????????求出两个向量的夹角．【解析】法一：将abab???两边平方得221122abab???，2223a baabba???????则2221()32cos23aaaa baabaabaabaa?????????????，故aab?与的夹角为30°. 法二：数形结合法如图，,,aba b?构成一个等边三角形，向量ab?是向量a与向量b夹角的角平分线，所以向量a与向量ab?所成的夹角为30°．【总结升华】注意两个向量夹角共起点，灵活应用两个向量夹角的两种求法.举一反三：【变式1】（2015 山东高密市月考）已知||4a?，||3b?，(23) (2)61abab????，（1）求a与b的夹角?；（2）若(1,2)c?，且ac?，试求a．【答案】（1）?=120°；（2）8545(,)55a??或8545(,)55?．【解析】（1）∵22(23)(2)443ababaabb???????416443cos3961??????????，∴1cos2???，∴?=120°．（2）设(,)axy?，则222420xyxy???????，解得855455xy??????????或855455xy??????????．所以，8545(,)55a??或8545(,)55?．例6．已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a―5b垂直，a―4b与7a―2b垂直．求a与b的夹角?．【思路点拨】由题意知，????3750abab????，????472ab ab???=0，解得| a|=|b|．【解析】∵a+3b与7a―5b垂直，∴(a+3b)·(7a－5b)=0．∵a―4b与7a―2b垂直，∴(a―4b)·(7a―2b)=0．于是有2222716150 73080 aabbaabb?????????????①②由①－②得 2a·b=b2．③将③代入①得a2=b2，∴|a|=|b|．∴22||1cos2||||2||abbabb?????．∵0°≤?≤180°，∴?=60°．【总结升华】正确理解和把握向量数量积性质的运用，以及向量夹角的范围，由2a ·b=b2，不能得出2a=b，同样由a2=b2，也不能得出a=b或a=－b．举一反三：【变式1】已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向a+b与向量k a－b垂直，则k=________．．【答案】1【变式2】设非零向量,,,a b cd，满足()()dacbabc??，求证：ad?【证明】[()()]()()()adaacbabcacababca???? ()()()()0acabacab???ad??类型五：平面向量数量积的坐标表示及运算例7．已知向量a与b同向，b=（1，2），a·b=10．（1）求向量a的坐标；（2）若c=（2，－1）．求（b·c）·a．【解析】（1）∵a与b同向，又b=（1，2），∴设a=?b，则a=（?，2?）．又∵a·b=10，∴1·?+2·2?=10，解得?=2＞0．∵?=2符合a与b同向的条件，∴a=（2，4）．（2）∵b·c=1×2+2×(－1)=0，∴（b·c）·a=0．【总结升华】（1）注意本题由a与b共线且同向的设法及验证；（2）通过本题可以看出（b·c）·a=0，（a·b）·c=10×（2，―1）=（20，―10），显然（b·c）·a≠（a·b）·c，即向量运算结合律一般不成立．举一反三：【变式1】已知向量(3,1)a??和(1,3)b?，若a·c=b·c，试求模为2的向量c的坐标．【解析】设c=（x，y），则(3,1)(,)3acxy xy??????，(1,3)(,)3bcx yxy?????，由a·c=b·c及||2c?，得22332x y xyxy??????????，解得312312xy???????????或312312xy?????????????．所以3131,22c???????????或3131,22c?????????????．【总结升华】涉及向量数量积的坐标运算的问题，关键是熟练掌握数量积的坐标运算公式以及相关的模长公式和夹角公式，在这个过程中还要熟练运用方程的思想；值得注意的是，对于一些向量数量积坐标运算的问题，有时考虑其几何意义可使问题快速获解．例8．已知三个点A（2，1），B（3，2），D（―1，4）．（1）求证：AB⊥AD；（2）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．【思路点拨】（1）先用坐标把两条直线用向量表示来，然后利用向量数量积等于零证明．（2）利用向量相等求出C点的坐标，利用121222221122cos xxyyababxyxy?????????求出两条对角线的夹角．【答案】（1）略（2）45【解析】（1）∵A（2，1），B（3，2），D（－1，4），∴(1,1)AB?，(3,3)AD??．又∵1(3)130ABAD???????，∴ABAD?，即AB⊥AD．（2）∵ABAD?，四边形ABCD为矩形，∴ABDC?．设C点坐标为（x，y），则由(1,1)AB?，(1,4)DCxy???，得1141xy???????，即05xy?????．∴C点坐标为（0，5）．从而(2,4)AC??，(4,2)BD??，且||25AC?，||25BD?．8816ACBD????，设AC与BD的夹角为?，则164cos205||||ACBDACBD??????，∴求得矩形的两条对角线所夹锐角的余弦值为45．【总结升华】在求两向量夹角的余弦值时，要注意根据题意选取向量的方向．举一反三：【变式1】已知a=（1，1），b=（0，―2）当k为何值时，（1）k a―b与a+b共线；（2）k a―b与a+b的夹角为120°．【解析】∵a=（1，1），b=（0，―2），k a―b=k（1，1）―（0，―2）=（k，k+2）．a+b=（1，1）+（0，―2）=（1，―1）．（1）∵k a－b与a+b共线，∴k+2―(―k)=0．∴k=－1．（2）∵22||(2)kabkk????，22||1(1)2ab?????，(ka―b)·(a+b)=(k，k+2)·(1，―1)=k―k―2=―2，而ka―b与a+b的夹角为120°，∴()()cos120||||kababkabab???????，即221222(2)kk??????．化简，整理得k2+2k―2=0，解之得13k???．。
平面向量的数量积
平面向量的数量积可以用于判 断两条直线是否平行或垂直
平面向量的数量积可以用于计 算平面上点的坐标和轨迹
04
平面向量的数量积 与向量的模的关系
数量积与向量模的关系
数量积的定义：两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余弦值的乘积之和 的平方根
数量积的性质：两个向量的数量积等于它们的模的乘积与它们夹角的余弦 值的乘积
值
投影：向量a 在向量b上的 投影长度等于 向量a的数量 积除以向量b
的长度
方向：向量a 与向量b的数 量积的正负号 表示两向量的 夹角是锐角还
是钝角
数量积的性质
非零向量的数量积为实数
向量的数量积满足交换律和分配律
向量的数量积为0的充分必要条件是两个向量垂直 向量的数量积与向量的模长和夹角有关，可以用来描述两个向量的 相似程度
05
平面向量的数量积 的运算技巧
代数法计算数量积
定义：两个向量的数量积定义为它们的对应坐标的乘积之和 性质：数量积满足交换律和分配律 坐标法：利用向量的坐标进行计算，公式为：a·b=x1x2+y1y2 几何意义：数量积表示两个向量在垂直方向上的投影长度之积
几何法计算数量积
定义：两个非零向量的夹角余弦值乘以两个向量模的乘积
数量积的运算方法
定义：两个向量的数量积定义为 它们的模长和夹角的余弦值的乘 积
几何意义：表示两个向量在垂直 方向上的投影长度
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
性质：数量积满足交换律和分配 律
计算公式：a · b = |a||b|cosθ， 其中θ为两向量的夹角
03
平面向量的数量积 的应用
在三角形中的应用
平面向量的数量积
高三复习课平面向量的数量积课件
忽视向量夹角
总结词
在计算平面向量的数量积时，学生常常会忽视向量夹角的影响。
详细描述
向量夹角是计算数量积的重要因素之一，夹角余弦值直接影响着数量积的结果。 如果学生忽视了夹角，就会导致计算结果不准确。因此，在计算数量积时，学生 需要特别注意夹角的取值范围和符号。
忽视向量模长的影响
总结词
在计算平面向量的数量积时，学生常常会忽视向量模长的影响。
公式
数量积的公式为 $|vec{a} cdot vec{b}| = |vec{a}| times |vec{b}| times |cos theta|$，其中 $theta$ 是向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 之间的夹角。
几何意义
几何意义
平面向量的数量积表示向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 在垂直方向上 的投影的模长之积。
02
平面向量的数量积运算
线性运算
线性运算包括加法、 数乘和向量的线性组 合等基本运算。
线性运算的性质包括 向量共线定理、向量 模的性质等。
向量加法满足交换律 和结合律，数乘满足 分配律。
数量积的坐标表示
数量积的坐标表示是通过向量的坐标来计算两个向量的数量积。
设向量$overset{longrightarrow}{a} = (x_{1},y_{1})$，$overset{longrightarrow}{b} = (x_{2},y_{2})$，则$overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$。
高三复习课平面向量的数量积课 件
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目录
平面向量的数量积
平面向量的数量积平面向量的数量积，也叫点积或内积，是向量运算中的一种重要操作。
它与向量的夹角以及向量的长度有着密切的关系。
在本文中，我们将详细介绍平面向量的数量积的概念、计算方法以及一些应用。
一、概念平面向量的数量积是指将两个向量的对应分量相乘，并将所得乘积相加而得到的数值。
设有两个平面向量A和A，它们的数量积记作A·A，计算公式为：A·A = AAAA + AAAA其中，AA和AA分别是向量A在A轴和A轴上的分量，AA和AA分别是向量A在A轴和A轴上的分量。
二、计算方法要计算平面向量的数量积，需要先求出两个向量在A轴和A轴上的分量，然后按照数量积的计算公式进行计算。
假设有两个向量A = (A, A)和A = (A, A)，它们的数量积为A·A，计算步骤如下：1. 计算A和A在A轴上的分量AA和AA，分别为A和A；2. 计算A和A在A轴上的分量AA和AA，分别为A和A；3. 将AA和AA、AA和AA进行相乘得到AA和AA；4. 将AA和AA相加，得到平面向量的数量积A·A。
三、性质平面向量的数量积具有以下性质：1. 交换律：A·A = A·A2. 数乘结合律：(AA)·A = A(A·A) = A·(AA)3. 分配律：(A + A)·A = A·A + A·A其中，A为任意实数，A、A和A为任意向量。
四、夹角与数量积的关系两个非零向量A和A的数量积A·A与它们夹角A的余弦函数之间存在着如下关系：A·A = ‖A‖‖A‖cosA其中，‖A‖和‖A‖分别为向量A和A的长度。
五、应用平面向量的数量积在几何和物理学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1. 判断两个向量是否垂直：如果两个向量的数量积为零，即A·A = 0，那么它们是垂直的。
2. 计算向量的模：根据数量积的性质，向量的模可以通过向量与自身的数量积来计算。
平面向量的数量积知识点整理
平面向量的数量积知识点整理1.定义与性质：-向量的数量积定义为：设有两个向量A=(A₁,A₂)和A=(A₁,A₂)，则它们的数量积定义为A·A=A₁A₁+A₂A₂。
-数量积的结果是一个实数。
2.计算方法：-垂直坐标法：直接计算坐标相乘再相加。
-几何解释法：通过几何图形来计算，利用向量的长度和夹角的三角函数关系。
-运算律：满足交换律、分配律和结合律。
3.辅助定理：-平行四边形法则（平行四边形法则）：设有向量A、A和A，则有A·A+A·A=A·(A+A)。
-向量延长线法则：设有向量A和向量A，则有A·A=A·A。
4.性质：-零向量性质：零向量与任何向量的数量积都等于0，即A·A=A。
-等量向量性质：等量向量的数量积等于它们的模长的乘积，即A·A=∣A∣∣A∣。
-单位向量性质：单位向量与任意向量的数量积等于原向量的模长乘以单位向量的模长，即A·A=∣A∣，其中A为单位向量。
-归一型：对于任何非零向量A，总是可以找到一个单位向量A，使得A=∣A∣A。
5.夹角与正交性：- 夹角余弦定理：设有向量A和向量A，则有A·A =∣A∣∣A∣cosθ，其中θ为A与A之间的夹角。
-夹角性质：若A·A=0，则A与A垂直，称为正交向量或垂直向量。
-垂直定理：当且仅当A·A=0时，A与A垂直。
6.平面向量能否为0？-若A·A=0，则向量A与向量A相互垂直。
-反之，若向量A与向量A相互垂直，则A·A=0。
7.一些常用公式的推导：- 向量投影：设有向量A和向量A，A为向量A在向量A上的投影，则有A = (∣A∣cosθ)A，其中θ为两向量之间的夹角，A为单位向量。
- 向量投影的计算公式：向量A在向量A上的投影A的大小为∣A∣cosθ，其中A为两向量之间的夹角。
8.应用：-判断两向量是否垂直。
高中数学高考总复习----平面向量的数量积及应用知识讲解及考点梳理
（C）1200
（D）1500
例 3.若 、 、 均为单位向量，且
，
的最大值为________
【答案】
【解析】因为 、 、 均为单位向量，且
，
5
设 =（1，0）， =（0，1），
,
,
故
的最大值为
.
【总结升华】考查平面向量数量积和模的问题，考查我们运用知识分析解决问题的能力. 注意本题 是转换为代数运算求最值问题.
例 1．已知向量
的夹角为（
）
A．30° 【解析】∵
B．60°
C．120°
，∴ 是共线向量，
D．150°
∴
，
∴
，
∴向量 和 所成角为 ，又 与 共线且方向相反， ∴向量 和 所成角为 ，从而选项C正确.
【总结升华】 仍旧是一个向量，本题的关键之处就是注意到 ， ，
是共线向量，从而将
和 的夹角问题进行有效的转化. 举一反三： 【变式 1】已知向量 与 的夹角为 120°， 【答案】7 【解析】
高中数学高考总复习----平面向量的数量积及应用知识讲解 及考点梳理
【考纲要求】 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量
积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两 个平面向量的垂直关系.
2．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际 问题. 【知识网络】
【解析】（1）由题意得， = （ + ）；
故 •（ + ）=2 • ；
故 2=3 • ；
故 cosA=
=；
（2） • =| |•| |cosA
平面向量的数量积
平面向量的数量积【考点梳理】1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．2．平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a ·b ＝b ·a ；(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .3．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉.考点一、平面向量数量积的运算【例1】(1)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A ．－58 B ．18 C ．14 D ．118(2)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________.[答案] (1)B (2) 6[解析] (1)如图所示，AF →＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →， 所以AF →＝12AB →＋34AC →. 又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B. (2)设P (cos α，sin α)， ∴AP →＝(cos α＋2，sin α)，∴AO →·AP →＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6， 当且仅当cos α＝1时取等号.【类题通法】1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.【对点训练】1．线段AD ，BE 分别是边长为2的等边三角形ABC 在边BC ，AC 边上的高，则AD →·BE →＝( )A ．－32 B ．32 C ．－332 D ．332[答案] A[解析] 由等边三角形的性质得|AD →|＝|BE →|＝3，〈AD →，BE →〉＝120°，所以AD →·BE →＝|AD →||BE →|cos 〈AD →，BE →〉＝3×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，故选A.2．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．[答案] 1 1[解析] 法一：以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0，1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1，故DE →·DC →的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，所以DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1， 所以(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.考点二、平面向量的夹角与垂直【例2】(1)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. (2)已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，且(a ＋λb )⊥(2a －b )，则实数λ的值为( )A ．－7B ．－3C ．2D ．3(3)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.[答案] (1)2 (2)D (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3[解析] (1)由题意，得－2×3＋3m ＝0，∴m ＝2.(2)依题意得a ·b ＝2×1×cos 2π3＝－1，(a ＋λb )·(2a －b )＝0，即2a 2－λb 2＋(2λ－1)a ·b ＝0，则－3λ＋9＝0，λ＝3.(3)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，∴(2a －3b )·c <0， 即(2k －3，－6)·(2，1)<0，解得k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92. 当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向.综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.【类题通法】1.根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a ·b|a ||b |(夹角公式)，a ⊥b ⇔a ·b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【对点训练】1．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．8[答案] D[解析] 法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(4，m －2)． 因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8. 法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝8.2．设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. [答案] －2[解析] ∵|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝|a |2＋|b |2， ∴a·b ＝0.又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，∴m ＋2＝0，∴m ＝－2.3．已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A ．π3 B ．π2 C ．2π3 D ．5π6 [答案] C[解析] ∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0， ∴2|a |2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0.∵|b |＝4|a |，∴2|a |2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝2π3.4．已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] A[解析] 因为BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以BA →·BC →＝34＋34＝32.又因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos ∠ABC ＝1×1×cos ∠ABC ，所以cos ∠ABC ＝32. 又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.故选A.考点三、平面向量的模及其应用【例3】(1)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. (2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________.[答案] (1) 23 (2) 5[解析] (1)|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋2|a |·|2b |·cos 60°＋(2|b |)2＝22＋2×2×2×12＋22＝4＋4＋4＝12，∴|a ＋2b |＝12＝2 3.(2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x (0≤x ≤a )，∴D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x ).P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴P A →＋3PB →＝(5，3a －4x )，|P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，当x ＝3a 4时取等号.∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.【类题通法】1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.【对点训练】1．已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝( ) A ．57 B ．61 C ．57 D ．61 [答案] B[解析] 由题意可得a ·b ＝|a |·|b |cos π3＝3，所以|2a －3b |＝（2a －3b ）2＝4|a |2＋9|b |2－12a ·b ＝16＋81－36＝61，故选B.2．已知正△ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是________.[答案] 494[解析] 建立平面直角坐标系如图所示，则B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3)，则点P 的轨迹方程为x 2＋(y －3)2＝1. 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则x ＝2x 0－3，y ＝2y 0， 代入圆的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－322＝14，所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14，它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32为圆心，以12为半径的圆，所以|BM →|max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋⎝⎛⎭⎪⎫32－02＋12＝72，所以|BM →|2max ＝494.。
平面向量的数量积(公开课)
平面向量的数量积(公开课)一、向量的基本概念大家好，今天我们来聊一聊平面向量的数量积。
我们要明白什么是向量。
在数学里，向量是一个有大小和方向的量，它可以用两个数表示，一个是横坐标，一个是纵坐标。
比如，我们可以用(3, 4)这个数来表示一个向量，它的横坐标是3,纵坐标是4。
那么，向量的数量积是什么呢？二、向量的数量积向量的数量积是一个很重要的概念，它表示的是两个向量的点积。
点积的计算方法很简单，就是把两个向量的对应元素相乘，然后把乘积相加。
具体来说，就是横坐标乘以纵坐标，然后把所有的乘积加起来。
比如，(3, 4)和(1, 2)这两个向量的数量积就是(3 *1) + (4 * 2) = 7。
三、向量的数量积的性质向量的数量积有很多性质，比如：1. 数量积的取值范围是[-∞， +infty];2. 如果两个向量互相垂直，那么它们的数量积等于0;3. 如果一个向量用另一个向量表示，那么它们的数量积等于第一个向量的模乘以第二个向量的模与它们的夹角的余弦值的积。
4. 如果两个向量平行，那么它们的数量积为0或无穷大。
四、应用举例现在我们来看一个例子：假设有两个向量A=(3, 4)和B=(1, 2),那么它们的数量积就是A·B=(3*1)+(4*2)=7。
如果我们知道A和B互相垂直，那么它们的数量积就是0。
如果我们知道A用B表示，那么它们的数量积就是|A||B|cosθ=|A|*|B|*(A·B)/[(|A|^2+|B|^2)^(1/2)]=(5*sqrt(5))*(7/((5^2+(\sqrt{5})^2)^(1/2)))= 7/(10^(1/2))。
如果我们知道A和B平行，那么它们的数量积就是0或无穷大。
五、总结好了，今天我们就讲到这里了。
希望大家能够理解向量的数量积的概念和性质，并且能够在实际问题中灵活运用。
谢谢大家！。
平面向量的数量积教学课件
注意向量的夹角和方向
总结词
平面向量的数量积不仅与向量的模长有关，还与向量 的夹角和方向密切相关。
详细描述
平面向量的数量积是两个向量夹角的余弦值与向量模 长的乘积。因此，向量的夹角和方向对数量积的计算 至关重要。当两个向量的夹角为90度时，它们的数量 积为0；当两个向量的夹角为180度时，它们的数量积 为负；当两个向量的夹角为锐角时，它们的数量积为 正。此外，当两个向量的方向相同时，它们的数量积 为正；当两个向量的方向相反时，它们的数量积为负 。
平行四边形的面积
总结词
平行四边形的面积等于两向量坐标对应 乘积的和。
VS
详细描述
设平行四边形ABCD的两条边AB和AD分 别对应于向量a和向量b，则平行四边形 的面积可以表示为S=|a||b|cos(π−θ)，其 中θ是向量a和向量b之间的角度。可以看 出，当向量a和向量b垂直时， cos(π−θ)=-1，此时面积最小，为0；当 向量a和向量b平行时，cos(π−θ)=1，此 时面积最大，为|a||b|。因此，平行四边 形的面积与两向量的长度和夹
交换律
01
02
03
交换律描述
两个向量的数量积不改变 ，即向量a和向量b的数量 积等于向量b和向量a的数 量积。
数学符号表示
若a = (x1, y1) ，b = (x2, y2)，则a·b = b·a。
交换律的意义
在解决平面向量数量积问 题时，可以任意调换两个 向量的位置，而不会改变 问题的结果。
注意向量的模长和坐标表示
要点一
总结词
要点二
详细描述
平面向量的模长和坐标表示是数量积计算的两种常用方法 ，需注意它们之间的区别和联系。
平面向量的数量积可以通过两种方法进行计算：一种是直 接使用向量的模长和夹角进行计算，另一种是使用向量的 坐标表示进行计算。在使用模长和夹角进行计算时，需要 注意向量的单位长度为1的限制，同时还要考虑向量的方向 。在使用坐标表示进行计算时，需要注意向量的起点是否 重合，以及坐标轴的方向和单位。
平面向量的数量积
平面向量的数量积在解析几何中，平面向量的数量积是一种常见且重要的运算。
通过求取两个向量的数量积，我们可以得到向量的夹角以及向量的投影等有用信息。
本文将详细介绍平面向量的数量积的概念、计算方式以及其在几何学和物理学中的应用。
一、概念平面向量是具有方向和大小的箭头，一般用有序数对(a, b)表示，其中a表示该向量在x轴上的投影，b表示该向量在y轴上的投影。
为了方便计算，我们可以使用向量与坐标轴形成的三角形，其中向量的起点位于原点，以及向量的终点位于坐标轴上。
平面向量的数量积又称为点积或内积，通常用符号"·"表示。
对于平面向量u和v，它们的数量积定义为u·v = |u||v|cosθ，其中|u|和|v|分别表示向量u和v的模长，θ表示u和v之间的夹角。
二、计算方式计算平面向量的数量积可以使用以下公式：u·v = a₁a₂ + b₁b₂，其中u=(a₁, b₁)、v=(a₂, b₂)。
根据该公式，我们可以很容易地计算出两个向量的数量积。
另外，数量积也可以写成向量形式：u·v =|u||v|cosθ，其中u、v分别表示向量u和v，θ表示夹角。
三、性质平面向量的数量积具有以下几个重要的性质：1. 交换律：u·v = v·u2. 分配律：k(u+v) = ku + kv，其中k为任意实数3. 数量积与夹角的关系：u·v = 0，当且仅当两个向量垂直，即夹角为90度4. 数量积与模长的关系：u·v = |u||v|cosθ5. 数量积为零的性质：若u·v = 0，则u和v线性无关四、应用平面向量的数量积在几何学和物理学中有着广泛的应用，其中包括以下几个方面：1. 判断向量垂直：通过计算两个向量的数量积，若结果为0，则可以判断这两个向量垂直。
2. 计算夹角：通过计算两个向量的数量积，利用cosθ = u·v / (|u||v|)，我们可以求得两个向量的夹角。
第27讲 平面向量的数量积
一
平面向量数量积的运算
【例 1】(1)已知 a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，a 与 b 的夹角为 60° ，求(a＋2b)(2a－b)； (2)如图，在△ABC 中，∠CAB＝90° ，AB＝6，点 D 在 →· → 的值． 斜边 BC 上，且 CD＝2DB，求AB AD
【分析】 (1)求出(2a－b)· (a＋2b)，|2a－b|，|a＋2b|， 从而用公式可计算出两个向量的夹角；(2)①证明两向量互 相垂直，转化为计算这两个向量的数量积问题，数量积为 零即得证；②由模相等，列等式、再化简．
数量积的性质：
5
|a| e是与a同方 a× e ⑧ ________ ________( 1 e a ⑦
向的单位向量)；
2
a ________ ； 2 a ⑨ ________ a⊥ b ； 3 a b 0 ⑩
2
4 cos ________ a | b |. 5 | a b | ⑫
【分析】 (1)先求出 a· b，再把(a＋2b)· (2a－b)展开即可 → 表示 求得结果；(2)先根据向量加减法运算的几何法则把 AD 2→ 1→ → 成AD＝3AB＋3AC，再计算即可．
【解析】 (1)由已知|a|＝1，|b|＝1， 1 a· b＝|a||b|· cos 60° ＝2. (a＋2b)(2a－b)＝2a2＋3a· b－2b2 1 ＝2×1 ＋3×2－2×12
1 4.已知向量 a，b 都是单位向量，且 a· b＝2，则|2a－b| 的值为 3 .
【解析】|2a－b|＝ 2a－b2＝ 4a2－4a· b＋b2＝ 4－2＋1 ＝ 3.
1 5.已知向量 a＝(3,1)，b＝(－1，2)，若向量 a＋λb 与向量 a 垂直，则实数 λ 的值为 4 .
高考数学复习考点知识专题讲解课件28---平面向量的数量积
新高考 大一轮复习 · 数学
题型分类 深度剖析
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新高考 大一轮复习 · 数学
题型一 平面向量数量积的基本运算 1．(2020·百校联盟联考)已知 a＝(x,1)，b＝(－2,4)，若(a＋b)⊥b，则 x 等于( )
A．8
B．10
C．11
D．12
解析：∵a＝(x,1)，b＝(－2,4)，∴a＋b＝(x－2,5)， 又(a＋b)⊥b，∴(x－2)×(－2)＋20＝0，∴x＝12. 答案：D
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命题点 2 求向量的夹角
例 2 (1)(2020·江西三校联考)若|a|＝2，|b|＝4，且(a＋b)⊥a，则 a 与 b 的夹角为
() 2π
A. 3 C．43π
B．π3 D．－23π
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新高考 大一轮复习 · 数学
解析：∵(a＋b)⊥a，∴(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0， ∴a·b＝－4，cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝2－×44＝－12， ∴〈a，b〉＝23π，故选 A. 答案：A
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新高考 大一轮复习 · 数学
跟踪训练 1 (1)(2020·郑州模拟)已知向量 a 与 b 的夹角为 30°，且|a|＝1，|2a－b|
＝1，则|b|＝________. 解析：∵|2a－b|＝1， ∴|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝1， ∴4－4|b|cos30°＋b2＝1， 整理得|b|2－2 3|b|＋3＝(|b|－ 3)2＝0， 解得|b|＝ 3.
模 夹角
|a|＝___a_·_a___
a·b cosθ＝_|_a_||_b_| __
|a|＝___x_21_＋__y_21___
艺术生高考数学专题讲义：考点27 平面向量的数量积
考点二十七 平面向量的数量积知识梳理1．两个向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角，记作< a ，b >．当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向；当θ＝90°时，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b .2．平面向量的数量积已知两个向量a 和b ，它们的夹角为θ，我们把|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.3．平面向量数量积的几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 方向上的射影|b |cos θ的乘积或b 的长度|b |与a 在b 方向上的射影|a |cos θ的乘积．注意：b 在a 方向上的投影为|b |cos θ＝a·b |a|，而a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝a·b |b|，投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以为0.4．平面向量数量积的重要性质(1)e ·a ＝a·e ＝|a |cos θ；(2) a ⊥b ⇔a·b ＝0；(3)当a 和b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 和b 反向时，a ·b ＝﹣|a ||b |；特别地，a ·a ＝|a |2，|a |＝a·a ；(4)cos θ＝a·b |a||b|； (5)|a·b |≤|a||b|.5．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )；(3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .6．平面向量数量积的坐标运算设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，(1) a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2(2) |a |2＝x 12＋y 12或|a |＝x 12＋y 12.(3) a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(4) cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 12＋y 12 ·x 22＋y 22典例剖析题型一 平面向量数量积的计算例1 已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a ·b ＝____. 答案 3解析 a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝2×3×cos30°＝2×3×32＝3. 变式训练 在△ABC 中，三边长均为1，设AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，求a·b ＋b·c ＋c·a 的值．解析 ∵|a|＝|b|＝|c|＝1，∴<a ，b>＝120°，<b ，c>＝120°，<c ，a>＝120°，∴a·b ＝|a||b|cos120°＝－12， b·c ＝|b||c|cos120°＝－12， c·a ＝|c||a|cos120°＝－12， ∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32. 解题要点 在用定义求解两向量数量积时，要特别注意两向量的夹角，求夹角时，应将两向量平移至同一起点，再观察其夹角的大小.题型二 利用数量积求射影例2 若|a|＝4，|b|＝2，a 和b 的夹角为30°，则a 在b 方向上的投影为________.答案 2 3解析 a 在b 方向上的投影为|a |cos<a ，b >＝4×cos30°＝2 3.变式训练 已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为________.答案 322解析 由已知得AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，因此AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝322. 题型三 利用数量积求模长例3 已知向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a －b|＝________．答案 3解析 |a －b |＝（a －b ）2＝a 2＋b 2－2a·b ＝12＋22－2×1×2cos60°＝ 3.变式训练 已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________． 答案 3解析 |a |2＝a ·a ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－2e 2)＝9|e 1|2－12e 1·e 2＋4|e 2|2＝9－12×1×1×13＋4＝9.∴|a |＝3. 解题要点 一般来说，求模长，通常要平方，即利用公式：|a |2＝a 2＝a ·a ，常见利用数量积求解模长的处理方法：(1)|a |2＝a 2＝a ·a ；(2)|a ±b |2＝a 2±2a ·b ＋b 2；(3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.题型四 利用数量积求夹角例4 若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，(a ＋b )·b ＝32，则向量a ，b 的夹角为________. 答案 60°解析 ∵(a ＋b )·b ＝b 2＋a·b ＝1＋a·b ＝32， ∴a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝12，cos 〈a ，b 〉＝12，〈a ，b 〉＝60°. 变式训练 若e 1，e 2是平面内夹角为60°的两个单位向量，则向量a ＝2e 1＋e 2，b ＝－3e 1＋2e 2的夹角为________.答案 120°解析 a ·b ＝－6e 21＋2e 22＋e 1·e 2＝－6＋2＋12＝－72， 又|a |＝(2e 1＋e 2)2＝ 5＋4×12＝7， |b |＝ (－3e 1＋2e 2)2＝ 13－12×12＝7， ∴a 与b 的夹角θ满足：cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－727×7＝－12， 又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.解题要点 求两个非零向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角；数量积等于0说明两个向量的夹角为直角；数量积小于0且两个向量不能共线时两个向量的夹角就是钝角．题型五 利用数量积求解垂直问题例5 (1)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝________.(2) 已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝________.答案 (1) －3 (2) 3解析 (1)∵m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，又(m ＋n )⊥(m －n )，∴－2λ－3－3＝0，得λ＝－3.(2) 因为2a －3b ＝(2k －3，－6)，(2a －3b )⊥c ，所以(2a －3b )·c ＝2(2k －3)－6＝0，解得k ＝3， 变式训练 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ； 解析 证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝2.又∵a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，∴2－2a·b ＝2，即a·b ＝0.故a ⊥b .解题要点 两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |.对于给出向量的坐标的垂直问题，既可以利用坐标运算，即利用公式a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0求解，也可以利用数量积的定义求解，即利用公式a ·b ＝|a ||b |cos θ求解.当堂练习1．(2015新课标II 文)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a 等于________.答案 1解析 因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，所以2a ＋b ＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)，得(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1.2．(2015重庆文)已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为________. 答案 2π3解析 因为a ⊥(2a ＋b )，所以a ·(2a ＋b )＝2a 2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0，又|b |＝4|a |，则上式可化为2|a |2＋|a |×4|a |·cos 〈a ，b 〉＝0即2＋4cos 〈a ，b 〉＝0，所以cos 〈a ，b 〉＝－12，即a ，b 夹角为2π3. 3. 若向量a ＝(x ＋1,2)和向量b ＝(1，－1)平行，则|a ＋b |＝________.答案 2解析 依题意得，－(x ＋1)－2×1＝0，得x ＝－3，故a ＋b ＝(－2,2)＋(1，－1)＝(－1,1)，所以|a ＋b |＝(－1)2＋12＝ 2.4．在△ABC 中，AB →＝(3，－1)，BC →＝(1，－3)，则cos B ＝________.答案 －32解析 ∵在△ABC 中，AB →＝(3，－1)，BC →＝(1，－3)，∴|AB →|＝2，|BC →|＝2，BA →＝(－3，1)，∴cos B ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝－232×2＝－32.5．(2015湖北文)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.答案 9解析 因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9.课后作业一、 填空题1．在边长为2的正△ABC 中，AB →·BC →等于________.答案 －2解析 AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－∠ABC )＝2×2×cos120°＝－2.2．已知向量a 和b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|a －b |＝________.答案 13解析 |a －b |2＝(a －b )2＝|a |2＋|b |2－2a·b ＝13，故|a －b |＝13.3．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝________.答案 3解析 ∵AB →·BC →＝1，且AB ＝2，∴1＝|AB →||BC →|cos(π－B )，∴|BC →|cos B ＝－12. 在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，即9＝4＋BC 2－2×2×⎝⎛⎭⎫－12. ∴BC ＝ 3.4．在R t △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则 AB →·AC → 等于________.答案 16解析 AB →·AC →＝(CB →－CA →)·(－CA →)＝－CB →·CA →＋CA →2＝16.5．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________.答案 π3解析 设a 与b 的夹角为θ，由|a |＝1，|b |＝2，得(a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋a·b －2b 2＝1＋1×2×cos θ－2×4＝－6，解得cos θ＝12.再由0≤θ≤π可得θ＝π3. 6．已知向量a 与b 的夹角为π3，|a |＝2，则a 在b 方向上的投影为________. 答案 22解析 ∵a 在b 方向上的投影为|a |·cos 〈a ，b 〉＝2cos π3＝22.7．(2015北京文)设a ，b 是非零向量，“a·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的________条件答案 充分而不必要条件解析 由数量积定义a ·b ＝|a |·|b |·cos θ＝|a |·|b |，(θ为a ，b 夹角)，∴cos θ＝1，θ∈[0°，180°]，∴θ＝0°，∴a ∥b ；反之，当a ∥b 时，a ，b 的夹角θ＝0°或180°，a ·b ＝±|a |·|b |.8．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝________. 答案 3解析 根据平面向量的夹角公式可得1×3＋3m 2×9＋m 2＝32，即3＋3m ＝3×9＋m 2，两边平方并化简得63m ＝18，解得m ＝3．9．(2015浙江文)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________.答案 233解析 因为|e 1|＝|e 2|＝1且e 1·e 2＝12.所以e 1与e 2的夹角为60°.又因为b ·e 1＝b ·e 2＝1， 所以b ·e 1－b ·e 2＝0，即b ·(e 1－e 2)＝0，所以b ⊥(e 1－e 2)．所以b 与e 1的夹角为30°，所以b ·e 1＝|b |·|e 1|cos 30°＝1.∴|b |＝233. 10．已知a ＝(1，3)，b ＝(－1,0)，则|a ＋2b |＝________.答案 2解析 ∵a ＋2b ＝(－1，3)，∴|a ＋2b |＝(－1)2＋(3)2＝2.11．若|a |＝2，|b |＝4，且(a ＋b )⊥a ，则a 与b 的夹角是_______．答案 2π3解析 设向量a ，b 的夹角为θ.由(a ＋b )⊥a 得(a ＋b )·a ＝0，即|a |2＋a ·b ＝0，∵|a |＝2，∴a ·b ＝－4，∴|a |·|b |·cos θ＝－4，又|b |＝4，∴cos θ＝－12，即θ＝2π3. ∴向量a ，b 的夹角为2π3. 二、解答题12．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)．(1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c )a ；(2)求向量a 在b 方向上的投影．解析 (1)∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，∴c ＝4a ＋b ＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．∴b ·c ＝2×6－2×6＝0，∴(b ·c )a ＝0a ＝0.(2)设向量a 与b 的夹角为θ，向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ. ∴|a |cos θ＝a ·b |b |＝1×2＋2×(－2)22＋(－2)2＝－222＝－22. 13．(2015广东理)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值． 解析 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n . 所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12， 即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12， 因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.。
平面向量数量积讲义
平面向量数量积讲义 一、知识总结：1.定义：a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉其物理背景是力在位移方向所做的功．其中：｜b ｜cos 〈a ，b 〉表示b 在a 上的投影.所以其几何背景是：两个向量的数量积等于一个向量的模长与另一个向量在第1个向量方向上投影之积.2.运算律：(1)．(交换律)a ·b ＝b ·a ;(2)．(实数的结合律)λ (a ·b )＝(λ a )·b ＝a ·(λ b ) (3)．(分配律)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c3.性质：设a ，b 是非零向量，则：a ·b ＝0⇔a ⊥b ;a 与b 同向时，a ·b ＝｜a ｜·｜b ｜a 与b 反向时，a ·b ＝－｜a ｜·｜b ｜,特殊地：a ·a ＝｜a ｜2或a a a ⋅=||夹角：||||,cos b a ba b a ⋅>=<,|a ·b |≤|a | |b |4．数量积的坐标运算（1）数量积：a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2(2)求夹角：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则222221212121||||,cos yx yx y y x x +++=>=<⋅⋅b a ba b a(3)a 在b 方向上的正射影的数量为22222121||,cos ||y x y y x x ++=>=<⋅b b a b a a (4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0二、重点例题：例1 向量a 、b 、c 是非零的不共线向量，下列命题是真命题的个数有( )个 (1)(b ·c )a －(c ·a )b 与c 垂直， (2)若a ·c ＝b ·c ，则a ＝b ， (3)(a ·b )c ＝a (b ·c )， (4)a ·b ≤｜a ｜｜b ｜ A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【分析】(1)真命题，注意：向量的数量积是一个实数，因此[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )(a ·c )－(c ·a )(b ·c )＝0，所以c (b ·c )a －(c ·a )b 与c 垂直；(2)假命题．a ·c ＝b ·c ≠a ＝b ；即向量的数量积不能两边同时消掉相同的向量，比如：向量a 与向量b 都是与向量c 垂直且模长不等的向量，可以使得左边的式子成立，但是a 、b 这两个向量不相等；(3)假命题．(a ·b )c ≠a (b ·c )，实际上(a ·b )c 是与向量c 方向相同或相反的一个向量，a (b ·c )是与a 方向相同或相反的一个向量，向量a 、c 的方向可以不同，左右两边的向量就不等；(4)真命题．a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉，且cos 〈a ，b 〉≤1，所以a ·b ≤｜a ｜｜b ｜． 解答：选C ．【评析】(1)我们在掌握向量的有关概念时要力求准确和完整，比如平行向量(共线向量)、零向量等，注意积累像这样的容易错误的判断并纠正自己的认识；(2)向量的加减运算与数乘运算的结果仍然是一个向量，而向量的数量积运算结果是一个实数，要熟练掌握向量的运算法则和性质．例2 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A ．)37,97(B ．)97,37(--C ．)97,37(D ．)37,97(--【分析】知道向量的具体坐标，可以进行向量的坐标运算；向量的平行与垂直的关系也可以用坐标体现，因此用待定系数法通过坐标运算求解．解：不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m ，2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，对于(c ＋a )∥b ，则有－3(1＋m )＝2(2＋n )；又c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0，则有37,97-=-=n m 故选择D 【评析】平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用．此外，待定系数法是在解决向量的坐标运算中常用的方法．例3 (1)已知向量)10,(),5,4(),12,(k k -===，且A 、B 、C 三点共线，求实数k 的值． (2)已知向量a ＝(1，1)，b ＝(2，－3)，若k a －2b 与a 垂直，求实数k 的值． 【分析】(1)向量a 与b (b ≠0)共线⇔存在实数m 使a ＝m b ． 当已知向量的坐标时，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．(2)利用向量的数量积能够巧妙迅速地解决有关垂直的相关问题． a ·b ＝0⇔a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0解：(1)∵)10,(),5,4(),12,(k k -===, ∴)5,4(),7,4(-+=--=k k , ∵A 、B 、C 三点共线，∴CB AB //，即(4－k )(－5)－(4＋k )(－7)＝0，解得：⋅-=32k (2)由(k a －2b )⊥a ，得(k a －2b )·a ＝k a 2－2b ·a ＝2k －2·(2－3)＝0，所以k ＝－1．【评析】①向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数m 使a ＝m b ；当已知向量的坐标时，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．若判断(或证明)两个向量是否共线，只要判断(或证明)两个向量之间是否具有这样的线性关系即可；反之，已知两个向量具有平行关系时，也有线性等量关系成立．②利用向量的共线定理来解决有关求参数、证明点共线或线段平行，以及利用向量的数量积解决垂直问题等是常见的题型，注意在解题过程中适当选择方法、正确使用公式，并注意数形结合．例4 已知：｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，〈a ，b 〉＝60°，求：①a ·b ；②(2 a ＋b )·b ；③｜2a ＋b ｜；④2 a ＋b 与b 的夹角θ 的余弦值【分析】利用并选择合适的公式来求数量积、模、夹角等：a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2a a a a a a ⋅⋅=⇒=||||2，若a ＝(x ，y )，则22||y x +=a222221212121||||,cos yx yx y y x x +++=>=<⋅⋅b a ba b a解：①∵｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉＝5； ②(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b ·b ＝10＋25＝35； ③;6125201644)2(|2|222=++=++=+=+⋅⋅b b a a b a b a④⋅==++=++>=+<⋅⋅⋅⋅6161756135||)2()2(|||2|)2(,2cos 2b b a b b a b b a b b a b b a【评析】向量的数量积是一个非常好的工具，利用向量的数量积可以解决求长度、角度、距离等相关问题，同时用向量的数量积解决垂直相关问题也是常见的题型，注意使用正确的公式．例5.已知平面内三点A 、B 、C 三点在一条直线上，＝(－2，m )，＝(n ，1)，＝(5，－1)，且⊥，求实数m ，n 的值．解：由于A 、B 、C 三点在一条直线上，则∥，而＝－＝(7，－1－m )，＝－＝(n ＋2，1－m ) ∴7(1－m )－(－1－m )(n ＋2)＝0， 又，∴－2n ＋m ＝0联立方程组解得或．例6. 已知＝(2，1)，＝(1，7)，＝(5，1)，点O 为坐标原点，点C 是直线OP 上一点，求·的最小值及取得最小值时cos ∠ACB 的值．解：由于点C 是直线OP 上一点，设点C (2m ，m )，＝(1－2m ，7－m )，＝(5－2m ，1－m )，，时，·的最小值为－8；而m ＝2时，＝(－3，5)，＝(1，－1),． 例7. 已知向量,a b ，||1,||2==a b ，若对任意单位向量e ，均有||||6+≤a eb e ，则a b 的最大值是 . 12AC AB AC OC AB OB OB OA ⊥⎩⎨⎧==36n m ⎪⎩⎪⎨⎧==233n m CA ∴CB 8)2(52--=⋅m 2=∴m 17174||||cos -==∠CB CA ACB例8.如图在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 、F 分别是AD 的三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是 .【分析】：因为+BA BD DA =，+CA CD DA =，所以2()()+4BA CA BD DA CD DA BD CD BD DA CD DA DA ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅= 又因为D 是BC 的中点，所以 BD CD =-，所以0BD DA CD DA ⋅+⋅=，2BD CD BD ⋅=-，因此224BD DA -+=. 因为F 是AD 的三等分点，所以22111()()1339BF CF BD DA CD DA BD DA ⋅=+⋅+=-+=-.可得22224119BD DA BD DA ⎧-+=⎪⎨-+=-⎪⎩，求得2138BD =，2458DA =. 因为E 是AD 的三等分点，所以224798BE CE BD DA ⋅=-+=.例9．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ）A ．2- B. 32- C. 43- D. 1-方法一：以BC 中点O 为原点、BC 所在直线为x 轴、BC 中垂线为y 轴建立如图所示坐标系，可得点(0,3)A ，设ABC ∆内一点(,)P x y ，可得(3)PA x y =--，，()PO x y =--， .由平行四边形法则可得2PB PC PO+=，所以()2PA PB PC PA PO ⋅+=⋅，将坐标代入可得原式2222332(3)2[()]4x y y x y =+-=+--，显然当30,x y ==时， (+)PA PB PC ⋅取到最小值32-.方法二：取边BC 中点O 连接AO ，在ABC ∆内任取一点P ，过P 作AO 的垂线交AO 于D ，由三角形法则可知+PA PD DA =、+PO PD DO =，由平行四边形法则可得2PB PC PO +=，因此()22()(+)PA PB PC PA PO PD DA PD DO ⋅+=⋅=+⋅，又因为PD DO ⊥、PD DA ⊥，所以原式22(+)PD DA DO =⋅ . 该式中，20,0PD DA DO ⋅<≥，若2PD 和DA DO ⋅同时取到最小值时22()PD DA DO +⋅也取到最小值，我们发现当点P 落在线段AO 上时20PD =，因此只要求点P 在线段AO 上时DA DO ⋅的最小值即求出原式的最小值.因为DA 和DO 方向相反且||+||3DA DO =，由均值不等式可得233()4DA DO ⋅-=-≥，因此3()2PA PB PC ⋅+≥-. 例10.已知等边三角形ABC 的边长为2，⊙A 的半径为1，PQ 为⊙A 的任意一条直径，(1)判断·－·的值是否会随点P 的变化而变化，请说明理由； (2)求·的最大值．解：(1)由于，而＝－，则···＝(－)·(－－)－·(－)＝－＋·，，即的值不会随点P 的变化而变化；(2)由于，，，＝2(等号当且仅当与同向时成立)， 的最大值为3．CQ CQ )()()(----=-⋅⋅⋅⋅BP CQ AP CB AP AB AP AC AP AB AC 2AP AB AC 2cos ||||=∠=⋅ABC AC AB AC AB 1||22==AP AP 12=+-=-∴⋅⋅⋅AC AB AP CB AP CQ BP ⋅⋅-1=-⋅⋅⋅⋅+=∴1<=⋅cos |||| >||||≤⋅AP CB CQ BP ⋅∴课后作业：一、选择题1．已知a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)，且a ＋2b 与2a －b 平行，则x 等于 ( ) A ．1B ．2C ．31 D ．21 2．已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角是60°，若(k a －b )⊥(a ＋2b )，则k ＝ ( ) A ．1312 B ．1413 C ．1514 D ．1615 3．设a ，b 是非零向量，若函数f (x )＝(x a ＋b )·(a －x b )的图象是一条直线，则必有 ( ) A ．a ⊥b B ．a ∥b C ．|a |＝|b | D ．|a |≠|b |4．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A ．1B ．2C ．2D ．22 5．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足＝α＋β ，其中α 、β ∈R ，且α ＋β ＝1，则点C 的轨迹方程为 ( ) A ．3x ＋2y －11＝0 B ．(x －1)2＋(y －2)2＝5 C ．2x －y ＝0 D ．x ＋2y －5＝0 二、填空题6．若向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a ·(a ＋b )＝1，则向量a ，b 夹角大小为________．7．在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，则·＝________． 8．在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若＝AM m ，＝n ，则m ＋n 的值为________．9．已知：＝(3-，0)，＝(3，0)，点A 满足＋＝(－4，－2)． 则MA ＝________．10．A (3，5)、B (1，2)，向量按向量a ＝(1，1)平移得到的向量是________． 三、解答题11．已知a ＋b ＝2i －8j ，a －b ＝－8i ＋16j ，求a ·b ．(其中i 、j 是互相垂直的单位向量)12．已知a ＝(3，0)，b ＝(k ，5)，且a 与b 的夹角是135°，求k 的值．13．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos2α )和b ＝⎪⎭⎫⎝⎛+αsin 2,m m ，其中λ，m ，α 为实数．若a ＝2b ，求m λ的取值范围．14.如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，(0)BC a a =>，P 为线段AD （含端点）上一个动点，设AP xAD =，PB PC y ⋅=，对于函数()y f x =，给出以下三个结论：①当2a =时，函数()f x 的值域为[1,4]；②(0,)a ∀∈+∞，都有(1)1f =成立；③(0,)a ∀∈+∞，函数()f x 的最大值都等于4.其中所有正确结论的序号是_________.15.在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（ ）A ．3 B. 22 C.5 D. 216.如图，11AB C ∆，122B B C ∆，233B B C ∆是三个边长为2的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边33B C上有5个不同的点12345,,,,P P P P P ，设2i i m AC AP =⋅（1,2,,5i =），则125m m m +++= ________.13C 2321P 5P 2P 4P 1P 3课后作业答案： 一、选择题1．D 2．C 3．A 4．C 5．D 提示：3．F (x )的二次项系数为0．5．设OC ＝(x ，y )，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，OA α＝(3α，α)，OB β＝(－β，3β)又α＋β＝(3α－β，α＋3β)∴(x ，y )＝(3α－β，α＋3β)，∴⎩⎨⎧+==-βαβα33y x又α＋β＝1因此可得x ＋2y ＝5评述：本题主要考查向量法和坐标法的相互关系及转换方法． 二、填空题 6．4π3 7．388．2 9．(2，1) 10．(－2，－3) 提示：7．38)()3231(-=-+=⋅⋅ 10．平面向量是自由向量，即都是．三、解答题11．－63．由已知解得a ＝－3i ＋4j ，b ＝5i －12j ，所以a ·b ＝－15i 2＋56i ·j －48j 2＝－15－48＝－63．(i 2＝j 2＝1，i ·j ＝0)．12．由a b a b a <=⋅cos ||||，2121y y x x +>=b ，得到k k 3)22(2532=-+，)0(<k ，解方程得k ＝－5． 13．答案：［－6，1］提示：设λ＝mt ，则)sin 1()sin 2)(2(222αα+-=++t m m mmt 整理得：1604486311sin 2sin 222≤≤-⇒≥+--+-=+-t t t t t αα14.方法一（坐标法）：以A 为原点、AB 直线为x 轴建立如图所示坐标系，由已知条件可得(2,0)B ，(2,)C a ，(1,)D a ，(1,)AD a =，(2,0)AB =，(1,0)DC =. 因为AP xAD =， 所以(,)AP x ax =，(1,)PD x a ax =--，由三角形法则可得(2,)PC PD DC x a ax =+=--，(2,)PB PA AB x ax =+=--，因此2222()(2)()(1)(4)4,[0,1]f x PB PC x ax a ax a x a x x =⋅=---=+-++∈当2a =时，2()584f x x x =-+， 当45x =时()f x 取到最小值为45，当0x =时()f x 取到最大值为4，结论①错误；显然(0,)a ∀∈+∞，(1)1f =恒成立，结论②正确；(0,)a ∀∈+∞，因为对称轴22412(1)2a x a +=>+， 所以()f x 在0x =处取到最大值为4，结论③正确.方法二（几何法）：过P 作BC 的垂线垂足为E ，过D 作AB 的垂线垂足为F ，连接PE 交DF 于H ，可得PB PE EB =+，PC PE EC =+，所以2()f x PE EB EC =+⋅.因为AP xAD =，所以||||1||||PD PH x AD AF ==-，又因为||1AF =，||1PH x =-， 所以||||||2PE PH HE x =+=-，又因为||1||EC xx EB -=，所以||(1)EC x a =-，||EB xa =， 因此222222()(2)(1)(1)(4)4f x PE EB EC x x x a a x a x =+⋅=-+-=+--+ 后面证法与方法一一致.方法一和方法二最终都需要回归到求函数最值上来，有没有更直观的方法呢？方法三：当1x =，点P 与点D 重合，2()1(1)PB PC DC f ⋅===，结论②正确；因为2()f x PE EB EC =+⋅，EC 和EB 方向相反即0EB EC ⋅≤，||||2PE AB =≤，也就是说()404f x +=≤，当点P 与点A 重合时，即0x =时，||2PE =，0EB EC ⋅=，()4f x =，结论③正确. 结论①若能找到反例即可说明该其错误，但是构造反例较困难，需要构建函数.15.方法一：以点C 为坐标原点、BC 所在直线为x 轴、CD 所在直线为y 轴建立如图所示坐标系，求得坐标(2,1)A -，(2,0)B -，(0,1)D ，计算可得(2,0)AD =，(0,1)AB =-，设)P αα，(1)55AP αα=+-， 由(2,)(1)55AP AB AD λμμλαα=+=-=+-可得22515μαλα⎧=+⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，所以2244(1)(1)5μλ-+-=，设15μθ=+，15λθ=+， 因此2sin()255λμθθθϕ+=+=++，其中sin 55ϕϕ== 所以当sin()1θϕ+=时，λμ+的最大值为3.方法二：因为AB 与AD 不共线，所以AB 与AD 可以作为一组基底，以点A 为坐标原点、AD 所在直线为x 轴、AB 所在直线为y 轴建立如图所示坐标系. 在BD 上任取一点Q ，若AQ AB AD λμ''=+，则1λμ''+=. 我们可以将这一结论推广到一般情形，即在圆上任取一点P ，在过点P 与BD 平行的直线上的任一点Q ，若AQ AB AD λμ''=+，则λμ''+恒定不变，我们称与BD 平行的这一组直线为等和线. 当且仅当与直线BD 平行且与圆C 相切时λμ+取到最大值3.16.90。
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考点二十七 平面向量的数量积知识梳理1．两个向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角，记作< a ，b >．当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向；当θ＝90°时，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b .2．平面向量的数量积已知两个向量a 和b ，它们的夹角为θ，我们把|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.3．平面向量数量积的几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 方向上的射影|b |cos θ的乘积或b 的长度|b |与a 在b 方向上的射影|a |cos θ的乘积．注意：b 在a 方向上的投影为|b |cos θ＝a·b |a|，而a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝a·b |b|，投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以为0.4．平面向量数量积的重要性质(1)e ·a ＝a·e ＝|a |cos θ；(2) a ⊥b ⇔a·b ＝0；(3)当a 和b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 和b 反向时，a ·b ＝﹣|a ||b |；特别地，a ·a ＝|a |2，|a |＝a·a ；(4)cos θ＝a·b |a||b|； (5)|a·b |≤|a||b|.5．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )；(3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .6．平面向量数量积的坐标运算设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，(1) a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2(2) |a |2＝x 12＋y 12或|a |＝x 12＋y 12.(3) a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(4) cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 12＋y 12 ·x 22＋y 22典例剖析题型一 平面向量数量积的计算例1 已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a ·b ＝____. 答案 3解析 a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝2×3×cos30°＝2×3×32＝3. 变式训练 在△ABC 中，三边长均为1，设AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，求a·b ＋b·c ＋c·a 的值．解析 ∵|a|＝|b|＝|c|＝1，∴<a ，b>＝120°，<b ，c>＝120°，<c ，a>＝120°，∴a·b ＝|a||b|cos120°＝－12， b·c ＝|b||c|cos120°＝－12， c·a ＝|c||a|cos120°＝－12， ∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32. 解题要点 在用定义求解两向量数量积时，要特别注意两向量的夹角，求夹角时，应将两向量平移至同一起点，再观察其夹角的大小.题型二 利用数量积求射影例2 若|a|＝4，|b|＝2，a 和b 的夹角为30°，则a 在b 方向上的投影为________.答案 2 3解析 a 在b 方向上的投影为|a |cos<a ，b >＝4×cos30°＝2 3.变式训练 已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为________.答案 322解析 由已知得AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，因此AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝322. 题型三 利用数量积求模长例3 已知向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a －b|＝________．答案 3解析 |a －b |＝（a －b ）2＝a 2＋b 2－2a·b ＝12＋22－2×1×2cos60°＝ 3.变式训练 已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________． 答案 3解析 |a |2＝a ·a ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－2e 2)＝9|e 1|2－12e 1·e 2＋4|e 2|2＝9－12×1×1×13＋4＝9.∴|a |＝3. 解题要点 一般来说，求模长，通常要平方，即利用公式：|a |2＝a 2＝a ·a ，常见利用数量积求解模长的处理方法：(1)|a |2＝a 2＝a ·a ；(2)|a ±b |2＝a 2±2a ·b ＋b 2；(3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.题型四 利用数量积求夹角例4 若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，(a ＋b )·b ＝32，则向量a ，b 的夹角为________. 答案 60°解析 ∵(a ＋b )·b ＝b 2＋a·b ＝1＋a·b ＝32， ∴a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝12，cos 〈a ，b 〉＝12，〈a ，b 〉＝60°. 变式训练 若e 1，e 2是平面内夹角为60°的两个单位向量，则向量a ＝2e 1＋e 2，b ＝－3e 1＋2e 2的夹角为________.答案 120°解析 a ·b ＝－6e 21＋2e 22＋e 1·e 2＝－6＋2＋12＝－72， 又|a |＝(2e 1＋e 2)2＝ 5＋4×12＝7， |b |＝ (－3e 1＋2e 2)2＝ 13－12×12＝7， ∴a 与b 的夹角θ满足：cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－727×7＝－12， 又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.解题要点 求两个非零向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角；数量积等于0说明两个向量的夹角为直角；数量积小于0且两个向量不能共线时两个向量的夹角就是钝角．题型五 利用数量积求解垂直问题例5 (1)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝________.(2) 已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝________.答案 (1) －3 (2) 3解析 (1)∵m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，又(m ＋n )⊥(m －n )，∴－2λ－3－3＝0，得λ＝－3.(2) 因为2a －3b ＝(2k －3，－6)，(2a －3b )⊥c ，所以(2a －3b )·c ＝2(2k －3)－6＝0，解得k ＝3， 变式训练 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ； 解析 证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝2.又∵a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，∴2－2a·b ＝2，即a·b ＝0.故a ⊥b .解题要点 两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |.对于给出向量的坐标的垂直问题，既可以利用坐标运算，即利用公式a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0求解，也可以利用数量积的定义求解，即利用公式a ·b ＝|a ||b |cos θ求解.当堂练习1．(2015新课标II 文)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a 等于________.答案 1解析 因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，所以2a ＋b ＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)，得(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1.2．(2015重庆文)已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为________. 答案 2π3解析 因为a ⊥(2a ＋b )，所以a ·(2a ＋b )＝2a 2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0，又|b |＝4|a |，则上式可化为2|a |2＋|a |×4|a |·cos 〈a ，b 〉＝0即2＋4cos 〈a ，b 〉＝0，所以cos 〈a ，b 〉＝－12，即a ，b 夹角为2π3. 3. 若向量a ＝(x ＋1,2)和向量b ＝(1，－1)平行，则|a ＋b |＝________.答案 2解析 依题意得，－(x ＋1)－2×1＝0，得x ＝－3，故a ＋b ＝(－2,2)＋(1，－1)＝(－1,1)，所以|a ＋b |＝(－1)2＋12＝ 2.4．在△ABC 中，AB →＝(3，－1)，BC →＝(1，－3)，则cos B ＝________.答案 －32解析 ∵在△ABC 中，AB →＝(3，－1)，BC →＝(1，－3)，∴|AB →|＝2，|BC →|＝2，BA →＝(－3，1)，∴cos B ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝－232×2＝－32.5．(2015湖北文)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.答案 9解析 因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9.课后作业一、 填空题1．在边长为2的正△ABC 中，AB →·BC →等于________.答案 －2解析 AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－∠ABC )＝2×2×cos120°＝－2.2．已知向量a 和b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|a －b |＝________.答案 13解析 |a －b |2＝(a －b )2＝|a |2＋|b |2－2a·b ＝13，故|a －b |＝13.3．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝________.答案 3解析 ∵AB →·BC →＝1，且AB ＝2，∴1＝|AB →||BC →|cos(π－B )，∴|BC →|cos B ＝－12. 在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，即9＝4＋BC 2－2×2×⎝⎛⎭⎫－12. ∴BC ＝ 3.4．在R t △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则 AB →·AC → 等于________.答案 16解析 AB →·AC →＝(CB →－CA →)·(－CA →)＝－CB →·CA →＋CA →2＝16.5．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________.答案 π3解析 设a 与b 的夹角为θ，由|a |＝1，|b |＝2，得(a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋a·b －2b 2＝1＋1×2×cos θ－2×4＝－6，解得cos θ＝12.再由0≤θ≤π可得θ＝π3. 6．已知向量a 与b 的夹角为π3，|a |＝2，则a 在b 方向上的投影为________. 答案 22解析 ∵a 在b 方向上的投影为|a |·cos 〈a ，b 〉＝2cos π3＝22.7．(2015北京文)设a ，b 是非零向量，“a·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的________条件答案 充分而不必要条件解析 由数量积定义a ·b ＝|a |·|b |·cos θ＝|a |·|b |，(θ为a ，b 夹角)，∴cos θ＝1，θ∈[0°，180°]，∴θ＝0°，∴a ∥b ；反之，当a ∥b 时，a ，b 的夹角θ＝0°或180°，a ·b ＝±|a |·|b |.8．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝________. 答案 3解析 根据平面向量的夹角公式可得1×3＋3m 2×9＋m 2＝32，即3＋3m ＝3×9＋m 2，两边平方并化简得63m ＝18，解得m ＝3．9．(2015浙江文)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________.答案 233解析 因为|e 1|＝|e 2|＝1且e 1·e 2＝12.所以e 1与e 2的夹角为60°.又因为b ·e 1＝b ·e 2＝1， 所以b ·e 1－b ·e 2＝0，即b ·(e 1－e 2)＝0，所以b ⊥(e 1－e 2)．所以b 与e 1的夹角为30°，所以b ·e 1＝|b |·|e 1|cos 30°＝1.∴|b |＝233. 10．已知a ＝(1，3)，b ＝(－1,0)，则|a ＋2b |＝________.答案 2解析 ∵a ＋2b ＝(－1，3)，∴|a ＋2b |＝(－1)2＋(3)2＝2.11．若|a |＝2，|b |＝4，且(a ＋b )⊥a ，则a 与b 的夹角是_______．答案 2π3解析 设向量a ，b 的夹角为θ.由(a ＋b )⊥a 得(a ＋b )·a ＝0，即|a |2＋a ·b ＝0，∵|a |＝2，∴a ·b ＝－4，∴|a |·|b |·cos θ＝－4，又|b |＝4，∴cos θ＝－12，即θ＝2π3. ∴向量a ，b 的夹角为2π3. 二、解答题12．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)．(1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c )a ；(2)求向量a 在b 方向上的投影．解析 (1)∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，∴c ＝4a ＋b ＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．∴b ·c ＝2×6－2×6＝0，∴(b ·c )a ＝0a ＝0.(2)设向量a 与b 的夹角为θ，向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ. ∴|a |cos θ＝a ·b |b |＝1×2＋2×(－2)22＋(－2)2＝－222＝－22. 13．(2015广东理)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值． 解析 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n . 所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12， 即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12， 因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.。