2019年中考数学复习第4单元图形的初步认识与三角形第21课时图形的相似检测湘教版(含答案)133

课时训练(二十一)图形的相似|夯 实 基 础|一、选择题1．【2018·兰州】已知2x ＝3y(y≠0)，则下面结论成立的是( ) A.x y ＝32 B.x 3＝2y C.x y ＝23 D.x 2＝y 32．【2018·杭州】如图K21－1，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若BD ＝2AD ，则( )A.AD AB ＝12B.AE EC ＝12C.AD EC ＝12D.DE BC ＝12K21－1K21－23．【2018·成都】如图K21－2，四边形ABCD 和四边形A′B′C′D′是以点O 为位似中心的位似图形，若OA∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD 和四边形A′B′C′D′的面积比为( )A ．4∶9B ．2∶5C ．2∶3 D.2∶ 34．【2018·永州】如图K21－3，在△ABC 中，点D 是AB 边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD ＝1，AC ＝2，△ADC 的面积为1，则△BCD 的面积为( )图K21－3A ．1B ．2C ．3D ．45．宽与长的比是5－12(约0.618)的矩形叫作黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感，我们可以用这样的方法画出黄金矩形:作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画圆弧，交BC 的延长线于点H.则图②中的矩形是黄金矩形的是( )图K21－4A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFHGD ．矩形DCHG6．【2018·枣庄】如图K21－5，在△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )图K21－5图K21－6二、填空题7．【2018·湘潭】如图K21－7，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，则△ADE 与△A BC 的面积比S △ADE ∶S △ABC ＝________．图K21－78．【2018·长沙】如图K21－8，△ABO 三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(6，0)，O(0，0)，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到△A ′B ′O ，已知点B′的坐标是(3，0)，则点A′的坐标是________．图K21－8三、解答题9．【2018·凉山】州如图K21－9，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并求出△A2B2C2的面积．图K21－910．【2018·宿迁】如图K21－10，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E 不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．(1)求证:△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证:FE平分∠DFC.图K21－1011．【2018·凉山】州如图K21－11，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO 与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB高应该设计为多少米(结果保留根号)?图K21－11 |拓 展 提 升|12．【2018·随州】在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，点D 在边AB 上，且AD ＝2，点E 在边AC 上，当AE ＝________时，以A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似．13．【2018·大连】如图K21－12①，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，OB ＝OD ，OC ＝OA ＋AB ，AD ＝m ，BC ＝n ，∠ABD ＋∠ADB＝∠ACB.(1)填空:∠BAD 与∠ACB 的数量关系为________； (2)求mn的值；(3)将△ACD 沿CD 翻折，得到△A′CD(如图K21－12②)，连接BA′，与CD 相交于点P.若CD ＝5＋12，求PC 的长．图K21－12参考答案1．A 【解析】: 根据等式的性质2，等式的两边同时乘以或者除以一个不为0的数或字母，等式依然成立．故在等式左右两边同时除以2y ，可得x y ＝32，故选A.2．B 【解析】: ∵点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，∴AD BD ＝AEEC ，∵BD ＝2AD ，故AD BD ＝AE EC ＝12.故选B. 3．A 【解析】: 由位似的性质得，四边形ABCD 和四边形A′B′C′D′的位似比为2∶3，所以四边形ABCD 和四边形A′B′C′D′的面积比为4∶9.4．C 【解析】: ∵∠ACD＝∠B，∠A ＝∠A，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AB ＝AD AC ，∴2AB ＝12，∴AB ＝4，∴S △ACD S △ABC ＝(AC AB )2，∴1S △ABC ＝(24)2，∴S △ABC ＝4，∴S △BCD ＝S △ABC －S △ACD ＝4－1＝3. 5．D 【解析】: 设正方形ABCD 的边长为2a ，由E ，F 分别为正方形ABCD 的边AD ，BC 的中点可知AE ＝DE ＝BF ＝CF ＝12AB ＝12GH ＝a ，在Rt △DCF 中，依据勾股定理可知DF ＝CF 2＋DC 2＝a 2＋（2a ）2＝5a ，即FH ＝5a.因为四边形CHGD 是矩形，所以CH ＝FH －FC ＝(5－1)a.分别计算选项A ，B ，C ，D 中四个矩形的宽与长的比，根据黄金矩形的概念即可判断．6．C 【解析】: A ．阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；B.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；C.两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；D.两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故选C.7.14 【解析】: ∵D、E 分别是边AB 、AC 的中点， ∴DE 是三角形ABC 的中位线，∴△ADE ∽△ABC ， ∴S △ADE ∶S △ABC ＝(AD AB )2＝(12)2＝14.8．(1，2) 【解析】: 根据位似变换的性质及位似比，可知A′的坐标为(1，2)． 9．解:(1)如图所示，△A 1B 1C 1就是所求三角形； (2)如图所示，△A 2B 2C 2就是所求三角形．如图，分别过点A 2，C 2作y 轴的平行线，过点B 2作x 轴的平行线，交点分别为E ，F ，∵A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)，△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2， ∴A 2(－2，4)，B 2(4，2)，C 2(8，10)． ∴A 2E ＝2，C 2F ＝8，EF ＝10，B 2E ＝6，B 2F ＝4， ∴S △A 2B 2C 2＝12×(2＋8)×10－12×2×6－12×4×8＝28.10．证明:(1)∵AB＝AC ，∴∠B ＝∠C，∵∠DEF ＋∠CEF＝∠B＋∠BDE，∠DEF ＝∠B ，∴∠CEF ＝∠BDE，∴△BDE ∽△CEF ；(2)由(1)得:BE CF ＝DEEF ，∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ， ∴CE CF ＝DE EF ，即CE DE ＝CF EF， ∵∠C ＝∠DEF，∴△EDF ∽△CEF ， ∴∠CFE ＝∠EFD，即FE 平分∠DFC. 11．解:如图，延长OC ，AB 交于点P.∵∠ABC ＝120°，∴∠PBC ＝60°. ∵∠OCB ＝∠A＝90°，∴∠P ＝30°. ∵AD ＝20米， ∴OA ＝12AD ＝10米．∵BC ＝2米，∴在Rt △CPB 中，PC ＝BC·tan60°＝2 3米，PB ＝2BC ＝4米． ∵∠P ＝∠P，∠PCB ＝∠A， ∴△PCB ∽△PAO ， ∴PC PA ＝BC OA， ∴PA ＝PC·OA BC ＝2 3×102＝10 3(米)，∴AB ＝PA －PB ＝(10 3－4)米．答:路灯的灯柱AB 高应该设计为(10 3－4)米．12.53或125 【解析】: ∠A＝∠A，分两种情况:①当AD AE ＝AB AC 时，△ADE ∽△ABC ，即2AE ＝65，∴AE ＝53；②当AD AE ＝AC AB 时，△ADE ∽△ACB ，即2AE ＝56，∴AE ＝125.综上所述，当AE ＝53或125时，以A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似．13．解:(1)由于∠ABD＋∠ADB＝∠ACB，所以∠BAD＋∠ACB＝∠BAD＋∠ABD＋∠AD B ＝180°，故答案为:∠BAD＋∠ACB ＝180°；(2)作DE∥AB，交AC 于点E ，则∠DEA＝∠BAE，∠OBA ＝∠ODE，又∵OB＝OD ，∴△OAB ≌△OED(AAS)， ∴AB ＝DE ，OA ＝OE ，设AB ＝DE ＝CE ＝x ，OA ＝OE ＝y ，∵∠EDA ＋∠DAB＝180°，∴∠EDA ＝∠ACB. ∵∠DEA ＝∠EAB，∴△EAD ∽△ABC ，∴ED AC ＝AE AB ＝DA CB ＝m n ，即x x ＋2y ＝2y x，4y 2＋2xy －x 2＝0，∴(2y x )2＋2y x －1＝0，解得2y x ＝－1＋52⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2y x ＝－1－52舍去， ∴m n ＝5－12；(3)由(2)知∠EDA＝∠ACB，ED ＝EC ，∴∠EDC ＝∠ECD，∴∠EDA ＋∠EDC＝∠ACB＋∠ECD， ∴∠ADC ＝∠BCD.∵∠ADC ＝∠A′DC，∴∠A ′DC ＝∠BCD， ∴A ′D ∥BC ，∴△PA ′D ∽△PBC ， ∴PD PC ＝DA′BC ，∴CD －PC PC ＝m n ＝5－12. 又CD ＝5＋12，∴PC ＝1.。