第 2 章 二阶张量
第二章 张量(清华大学弹塑性力学)
xi aij x j
其中 j 是哑指标，i 是自由指标。
19
Appendix A.1
张量基本概念
★ 在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得
在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指 标。例：
若i为自由指标
ji , j fi 0
ji , j fii 0
个独立的自由指标，其取值范围是1～n，则这个方
程代表了nk 个分量方程。在方程的某项中若同时出 现m对取值范围为1～n的哑指标，则此项含相互迭
加的nm个项。
27
Appendix A.1
张量分析初步
矢量和张量的记法，求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商判则
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
d s2 ij d xi d x j d xi d xi d x j d x j
即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它 因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成 的另一个指标，而自动消失。
30
Appendix A.2
符号ij与erst
Appendix A.1
张量基本概念
★ 指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维
空间中线元长度 ds 和其分量 dxi 之间的关系
d s d x1 d x2 d x3
2 2 2
2
2 可简写成： d s d xi d xi
场函数 f(x1, x2, x3) 的全微分：
21n1 22n2 23n3 T2
31n1 32n2 33n3 T3
18
第2章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)
( Nij ij )a j 0 det( Nij ij ) 0
利用指标升降关系 a为非0矢量 利用主不变量
N ( ) 3 J1N 2 J 2 J3N 0
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式
非对称二阶张量
•
请研究以下领域的同学关注。 1、应变梯度理论，偶应力理论 2、电流场，电磁流变（有旋场）
x
x
椭圆曲线的坐标变换
正交变换可使椭圆曲线的方程由以下一般形式
ax bxy cy d 0
任意二阶张量将一线性相关的矢量集映射为线性相 关的矢量集：
(i)u(i) 0
i 1
l
l l 0 T (i)u(i) (i)(T u(i)) i 1 i 1
正则与退化的二阶张量
•
3D空间中任意二阶张量T将任意矢量组u，v，w映射 为另一矢量组，满足：
N S
1 p
S S1e1e1 S2e2e2 S3e3e3
Si N i
1 p
几种特殊的二阶张量
正张量的对数
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
ln N ln N1 e1e1 ln N2 e2e2 ln N3 e3e3
Nij N ji Ni j Nij Nij N ji N ij N ji
N 1 NT 1
( ) , ( ) , ( ) ,
N T 1 N 2 N T 3 N 3 N T 2 N 4
NT 4
N T ( 4 )
反对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
二阶张量的行列式
连续介质力学第二章.
即得（ i ），将（ i ）作相应的指标替换， 展开化简，将得其余三式。
二维置换符号 e (, 1, 2)
从三维退化得到
e ei j3 e 3
其中
e11 e22 0, e12 e21 1
有下列恒等式
e e
又如，方程
12
2 2
32
111
2 22
333
用指标法表示，可写成
i i i ii i ii i ii
i 不参与求和，只在数值上等于 i
1.2 Kronecker 符号
在卡氏直角坐标系下，Kronecker 符号定义为：
ij
表示
e1 A11e1 A12e2 A13e3 e2 A21e1 A22e2 A23e3 e3 A31e1 A32e2 A33e3
ei Aije j i 为自由指标，j 为哑标
表示
e1 A11e1 A12e2 A13e3 e2 A21e1 A22e2 A23e3 e3 A31e1 A32e2 A33e3
新旧基矢量夹角的方向余弦：
ei e j | ei || e j | cos(ei , e j ) cos(ei , e j ) ij
1.5.1 坐标系的变换关系
ij cos(ei , e j ) ei e j
旧 新
e1
e 2 e 3
e1
11 21 31
ai xi a1x1 a2 x2 a3x3 bjj b11 b22 b33
cmem c1e1 c2e2 c3e3
双重求和
33
S
张量分析提纲及部分习题答案
y
对静止的连续介质，有
ζ n fd 0 ， ζd fd 0 ，
A
ζ f 0。
（21） 证明应力是一个张量； 记 ij ：表示在给定基 g i 下，在面 g j 上，单位面积受力 F j 在 g i 方向上的分量为
对斜圆锥面上任一点 （图中黑点处） ， 不难由相似三角形得到，
z z R cos C i R sin j zk ，进而可得， H H r Rz sin zR cos r R cos C R g i j， gz i sin j k ， H H z H H r
dx g dx I g dx II 1 4 x I 2 dx I 6 x I x II 2 dx II Pdx I Q dx II 11 12 1 1 I 。 2 4 dxII g 21dx I g 22 dx II 6 x I x II dx I 9 x II dx II P2 dx I Q2 dx II
Pi Qi 时，坐标 xI , xII 才可能存在。即向量场 P, Q 无旋时，其在两点间 x II x I Pi Qi 的路径积分与路径无关，积出的值就是坐标。本例中， II I ，故相应的“协 x x
当 变坐标”不存在。 （正因为如此，坐标也没有逆变、协变之说。 ） （9） 有点类似曲面第一基本型（1.3.12） 。 （10） Lame 常数定义（1.3.13）在非正交系中也成立，但此时（1.3.12a）不成立。
1.9-1.13：略； 1.14： 注意，所谓斜圆锥是指， O 点沿 z 方向在大圆平面上的投影 M 在大圆的直径上。
第二章-张量基础
5
例 2. 张量。
ai 和 bi 是两个任意矢量， ij ai b j 是标量。证明 ij 是一个二阶
证：由于 是一个标量，即坐标变换时的不变量，故
ij ai b j ij (ii ai )( jj b j ) ii jjij aib j ij aib j
为一个二阶张量。事实上
(2.21)
Cij Aij Bij ii jj Aij ii jj Bij
ii jj ( Aij Bij ) ii jj Cij
式(2.21)也可以写成 C Cij ei e j A B ( Aij Bij )ei e j 。 张量的线性组合满足加法交换律 A B B A 、结合律
T21e2 e1 T22e 2 e 2 T23e2 e3
T31e3 e1 T32e3 e 2 T33e3 e3
二阶的基张量有 9 个。需要指出的是，若 i j ，则 ei
e j e j ei 。
3
张量的第二种定义 在某一坐标系中，某一个量 T 可表示成 T Ti1i2 in ei1 ei2 ein 的形式， 则就称 T 是一个 n 阶张量。 可以证明，该定义和（2.19）式的定义是等价的：
(c)
Cij ii jj Cij ii jj Aijkl Bkl ii jj k k l l Aijkl Bk l
(b)-(c)得: ( Aijk l ii jj k k l l Aijkl ) Bk l 0 由于 Bk l 是任意的，从上式可得: Aij k l 上式表明， Aijkl 为一个四阶张量。
T Ti1i2 in ei1 ei2 ein Ti1i2 in i1i1 ei1 i2 i2 ei2 in in ein i1i1 i2 i2 in in Ti1i2 in ei1 ei2 ein Ti1i2 in ei1 ei2 ein
弹性力学-第二章 张量基础知识
′ x1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
′ x2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ′ x3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3
张量基础知识§ 第二章 张量基础知识§2-1
坐标系和矢量
e′ = Aije j i
表示
i 为自由指标，j 为哑标 为自由指标，
x3
(2.2)
e3 x1
e1 e2
x2
张量基础知识§ 第二章 张量基础知识§2-1
坐标系和矢量
A:求和约定、 A:求和约定、哑指标 求和约定 S = a1 x1 + a2 x2 + ⋯ an xn
= ∑ ai xi = ∑ a j x j = ∑ ak xk
i =1 j=1 k =1 n n n
显然， 与求和无关，可用任意字母代替。 显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。 为简化表达式，引入Einstein求和约定： Einstein求和约定 为简化表达式，引入Einstein求和约定：每逢某个指 标在一项中重复一次 就表示对该指标求和， 重复一次， 标在一项中重复一次，就表示对该指标求和，指标取 遍正数1 这样重复的指标称为哑标 哑标。 遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑标。 于是 or or
i, j, k为顺序排列 为顺序排列 i, j, k为逆序排列 为逆序排列 i, j, k有两个相等 有两个相等 (2.5)
例如： 例如：
e123 = e231 = e312 = 1 e321 = e213 = e132 = −1 e111 = e121 = e232 = ⋯ = 0
连续介质力学第二章
其中： T ip ekjp jTik
小 结：
哈密顿算子
梯度
i ei gradf f eii f
散度
diva a iai
旋度
curla a
2.2 Laplace算子
公式：
2 f f
展开后有：
原式 (i ei ) ( j f ej ) (i j f )ij
第二章 张量分析
2.1 基础知识
1 偏导数的记法
f
xi
i f
f,i
2 哈密顿算子
i ei
3 梯度
f gradf
标量的梯度：
标量函数：
f f (r)
则梯度为：
f gradf eii f 展开后有： 原式 1 f e1 2 f e2 3 f e3
f i f j f k x y z
a (P、Q、R)
根据Gauss定理有：
左边 (a1n1 a2n2 a3n3)dS S ainidS S
a ndS a d S
S
S
右边 (1a1 2a2 3a3)dV V
iaidV adV
V
V
a d S adV
S
V
2 Stokes定理
Pdx Qdy Rdz
ii f 11 f 22 f 33 f
2 f 2 f 2 f
x2 y2 z2
2.3 物质导数
若 f f (t, r(t))
则：Df f f r f f x f y f z
Dt t r t t x t y t z t
f
x
y
z
t (1 f ) t (2 f ) t (3 f ) t
S
(1a2 2a1)dl1dl2 ]
弹性力学第二章
强调指出：张量必须满足坐标变换，否则不能视为张量。也就是 说，从一个坐标系旋转到另一个新的坐标系，张量的表达形式不变。 即应有：T
= Ti1i2 ⋅⋅⋅in ei1 ⊗ ei2 ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ ein = Ti1i2 ⋅⋅⋅in βi1′i1 ei1′ ⊗ β i2′ i2 ei2′ ⊗ = βi1′i1 β i2′ i2
n n 12 n 1
⊗ β in′ in ein′
2
βi′ i Ti i ⋅⋅⋅i ei′ ⊗ ei′ ⊗
⊗ ein′
⊗ ein′
= Ti1′i2′ ⋅⋅⋅in′ ei1′ ⊗ ei2′ ⊗
注：1.对于一个给定的张量，其各分量必须满足式（2.19）的转换 关系；否则，不能视为一个张量。 2.虽然张量的分量是随坐标系的变化而变化的，但张量的本身 则不随坐标系的变化而变化。 3.在一个给定的坐标系，若某一张量的所有分量都为零，则由 式（2.19）可知，在任意的坐标系中这一张量的所有分量也 必为零。这种张量称为零张量，用O表示。
a1 a2 = b1 c1 b2 c2 a3 b3 c3
(2.9)
设： a = ai ei
eijk和δij之间的关系及其证明 ：
若i、j、k三个指标中有两个取相同的值，则显然 (2.10) 式（2.10）两边都为零值；或l、m、n中有两个 取相同的值，上式两边也同样为零。下面证明： 当指标i、j、k取三个不同的值，且同时l、m、n 由式（2.10）等号右端行列式的 也取三个不同的值时，式（2.10）是否成立。 分析可知，任意两行或两列较 如： 换一次，行列式的绝对值不 变，仅改变符号，且其符号改 变规则与置换符号的定义是相 (b) 符合的。
12 n
12 n
(2.19)
2第02章张量分析(第01讲)
①实体记法： U 3
∑ ②分解式记法：U = u1e1 + u2e2 + u3e3 = uiei
③分量记法 ui
i =1
二阶张量的记法：
2.2 矢量
2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5
矢量代数 标量积 矢量积 三重积 标量场和矢量场
2.2.1 矢量代数
矢量既有大小又有方向，在坐标系中通 常用箭头表示。
哈密顿算子
式中
∇=(∂ , ∂ , ∂ )
∂x ∂y ∂z
拉普拉斯算子
Δ = ∇⋅∇ = ∂2 + ∂2 + ∂2
∂x2 ∂y2 ∂z2
• 矢量的散度：
∇ ⋅V = ∂v1 + ∂v2 + ∂v3 ∂x ∂y ∂z
• 矢量的旋度：
e1
e2
∇ ×V = curlV = ∂ / ∂x ∂ / ∂y
v1
U ×V = −(V ×U ) U × (V ×W) ≠ (U ×V) ×W • 一个矢量与其自身的矢量积为零矢量。
• 应用：力F作用于位置矢量为r的点A，则力 F绕原点的力矩为：
M =r×F
2.2.4 三重积
• 三重标量积：
u1 u2 u3 U ⋅ (V ×W) = v1 v2 v3 = (U ×V) ⋅W
∂f ∂l
= lim
ρ →0
f ( x + Δx, y + Δy, z + Δz) − ρ
f ( x, y, z) ,
（ 其中 ρ = (Δx)2 + (Δy)2 + (Δz)2 ）
设方向 L 的方向角为α , β , γ .
当函数在此点可微时，那么函数在该点沿任意方
第二章 张量分析
P P x1' , x 2' , x 3' P x i'
这种坐标系记为 xi。' 这两组变量
x1 , 和x 2 , x 3 表示x同1' 一, x空2' , x 3'
间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来：
xi xi xi'
aigi a jg j aia j gi g j
aiaj 0
令
gij gi g j
g ij g i g j
gi j gi g j g j gi
它们分别称为协变度量张量、逆变度量张量和混合度量张量
考虑到矢量a的任意性 g ji gi g j i j
可知：基矢量 g与i 是g i 正交的，它们称为互逆基矢量 互逆基矢量间具有下列关系：
gig j g k gi g j g k gig j g k eijk
这两个量定义为爱丁顿(Eddington)张量并分别记为 和ijk 。ijk
由此定义可知
123 g1g 2g3
123 g1g 2g3
对于矢量 a 0 ，则有
a 2 a a a i g i a j g j a i a j g i g j ai gi a j g j ai a j gi g j
(ii) x 2' (常 数 C)为2 通过z轴的平面； (iii) x3' (常z 数 C)3为垂直于z轴的平面；
和坐标曲线：
(i) x1' 和r C1 x的2' 交线 (zC线2 )是直线； (ii) x 2' 和 C2 的x3'交线z (r线C3)是直线；
第二章 二阶张量
第二章：二阶张量1. ij T ij ji i j j i i j T T T ;=⊗=⊗=⊗T g g T g g g g ij i j ij i j T ; T =⋅⋅=⋅⋅g T g g T g2. T =T.u u.TT ij ij ij ij j i j i i j j i ( = T T u ;T T u )⋅⊗==⊗⋅=u.T u g g g T.u g g u g 3.i .j det()T =T行列式不等于零的二阶张量定义为正则二阶张量 正则二阶张量存在逆张量：1-⋅T T =G 4.主不变量①1)()()ζ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=⋅⨯T u (v w)+u (T v w)+u (v T w )u (v w)（1.()::i i Tr T ζ====T T G G T)()()i j k ijk S u v w ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=T u (v w)+u (T v w)+u (v T w )（m m mijk .i mjk .j imk .k ijm S T T T εεε=++由于mik imkmmmiik .i mik.i imk.k iimS T T T εεεεε=-⇓=++=当i,j,k 当中有两个相等时，0iik S = 当i j k ≠≠时i j k m ijk .i .j .k ijk not sum ijk .m ijk S (T T T )T εε=++=②2)[)][()(]()[()]()ξ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （2......122123323113.1.2.1.2.2..3.2..3.3.1.3.1112233.1.2.2..3.3.1223311.1.2.2..3.3.111()22ij l mi j i l lm i j i j l j T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T TTTTT T ζδ==-=-+-+-=++注意：ij ijklm lmkδδ=是张量的分量张量T 行列式中各阶主子式之和)[)][()(]()[()]i j k ijk S u v w ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w （ 其中......()m n m n n mijk i j mnk j k imn k i mjn S T T T T T T εεε=++..........()0m n m n n m iik i i mnk i k imn k i min m n i i mnk m n i i nmk iik S T T T T T T T T T T S εεεεε=++===-=当i,j,k 当中有两个相等时，0iik S = 当i j k ≠≠时 (122123323113).1.2.1.2.2..3.2..3.3.1.3.12()()i j j i j k k j k i i k ijk i j i j j k j k k i k i ijk not sumijkijkijkS T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T εεζε=-+-+-=-+-+-=③()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w...()[()()]()()()i j k l m nl m n ijkl m n lmn T T T u v w det u v w det εε⋅⋅⋅⨯⋅===⋅⨯T u T v T w T T u v w ④()()det()()T T -⋅⨯⋅=⨯T v T w T v w()[()()]det()()[()()]det()()T⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w u T T v T w T u v w由于上式对任意矢量u 都成立[()()]det()()()()det()()T T-⋅⋅⨯⋅=⨯⋅⨯⋅=⨯T T v T w T v w T v T w T T v w⑤主不变量与矩之间的关系*1*2..*3...()()()ii i kk i i j kj k i Tr T Tr T T Tr T T T ζζζ===⋅==⋅⋅=T T T T T T2212112212ij k li j j i kl .i .j .i .j .i .j *T T (T T T T )[()]ζδζζ==-=-3.....................*3***13121611()()661(()23)6ijk l m nlmn i j ki j k j k i k i j j i k i k j k j i i j k i j k i j k i j k i j k i j k e e T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T ζζζζζ==++-++=+- 二阶张量标准形 1. 特征值、特征向量 λ⋅=T v v ()λ-⋅=T G v 01111232221233331230.........T T T T T T T T T λλλ--=-特征方程 321230λζλζλζ-+-= 特征根是不变量2. 实对称二阶张量标准形 1. 特征根是实根*************; ; ()0 () λλλλλλλλ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅-⋅=⇒=⋅-=⇒=N v N v v v N v v v v N v v v v v N v v 0v v2. 特征向量互相正交1112222112112212121212 ; ; ()00λλλλλλ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅-⋅=⇒⋅=N v v N v v v N v v v v N v v v v v v v 3. 不存在约当链如果λ是n 重根，但不存在相应的特征向量12,v v ,使1122 ; λλ⋅=⋅=T v v T v v则一定存在约当链11221λλ⋅=⋅=+T v v T v v v然而对对称张量112212112121211110λλλλ⋅=⋅=+⇓⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅+⋅⇓⋅=N v v N v v v v N v v v v N v v v v v v v这是不可能的。
二阶张量的矩阵
t uT TT u
ti
u
Tj •i j
T u uT
N u u N 当N为对称 u u 当为反对称
双线性函数 二次型
f xi , y j Tij xi y j x T y T : xy f xi , y j Nij xi x j x N x
（4）二阶张量与二阶张量的点积：
N 4
N 4
T
N 4
T,
反对称二阶张量 T
ij ji
,
•j i
j •i
,
i •j
•i j
,
ij ji
1
1
T
1
T,
2
3
T,
3
2
T,
4
4
T
4
T,
2.1.3 二阶张量的行列式
det1 gdet 2 gdet 3 g 2det 4
定义
显然
detT
det
T 3
g
g
21
g 22
g31 g32
定义
T
T
i •
j
3
g13
g23
gij
g33
仅在笛卡尔坐标系中，这四个矩阵才相同
二阶张量与矩阵的区别 （1）二阶张量仅对应方阵； （2）转置（或对称、反对称）张量与转置（或对称、反 对称）矩阵不能一一对应； （3）二阶张量的某些运算与矩阵运算不完全互相对应。
T ij g j gi
TT 1
T 1
T,
TT 3
T 2
T,
TT 2
T 3
T,
TT 4
T 4
T
对称二阶张量 N N T
Nij N ji
二阶张量坐标变换公式
二阶张量坐标变换公式二阶张量是物理学中经常使用的一种量，描述了空间中一个向量与另一个向量的乘积，既具有方向又具有大小。
而坐标变换是数学中重要的一种概念，它将一个向量在一个坐标系中表示成在另一个坐标系中的表示方式。
本文将介绍二阶张量坐标变换的公式及其应用。
在介绍二阶张量坐标变换公式之前，我们先来回顾一下一阶张量的坐标变换。
对于一个一阶张量，其在不同坐标系下的表示方式可以通过矩阵变换得到。
具体而言，若$T$表示一个一阶张量，$A$表示原坐标系的基底，$B$表示新坐标系的基底，那么在$A$坐标系下的表示方式为：$$T_A=T\cdot A$$在$B$坐标系下的表示方式为：$$T_B=T\cdot B$$其中，$\cdot$表示矩阵乘法。
根据坐标变换的基本原理，可以得到：$$T_B=S^{-1}\cdot T_A\cdot S$$其中，$S$是坐标变换矩阵，其满足$B=AS$。
根据这个公式，我们能够在不同坐标系下准确地描述一阶张量。
对于二阶张量，同样可以得出类似的坐标变换公式。
对于一个二阶张量$T$，其在$A$坐标系下的表示方式为：$$T_{ij}^A=T(e_i)_A\cdot T(e_j)_A$$其中，$e_i$和$e_j$是$A$坐标系的基向量。
同样的，我们可以得到它在$B$坐标系下的表示方式为：$$T_{ij}^B=T(e_i)_B\cdot T(e_j)_B$$其中，$e_i$和$e_j$是$B$坐标系的基向量。
将它们带入坐标变换公式，可以得到：$$T_{ij}^B=S_{ik}\cdot S_{jl}\cdot T_{kl}^A$$其中，$S$是坐标变换矩阵，其满足$B=AS$。
这个公式就是二阶张量坐标变换的公式。
显然，它在形式上与一阶张量坐标变换公式是相似的。
二阶张量坐标变换公式的应用十分广泛。
例如，在弹性力学中，应力张量和应变张量都是二阶张量。
当物体受到外力作用时，其内部就会产生应力和应变，而应力张量和应变张量则可以用来描述物体在不同坐标系下的表现。
【南航研究生课程】[张量分析]第 2 章 二阶张量
![【南航研究生课程】[张量分析]第 2 章 二阶张量](https://img.taocdn.com/s3/m/d4503a0aa216147917112883.png)
第2章 二阶张量研究定义在空间一个固定点（张量的元素是实常数，i g 也是常数）上的二阶张量随坐标系转动的不同形式，不涉及与另一个张量的关系，也不涉及张量运动。
2.1 二阶张量与矩阵的对应分量同一坐标系：j i ijj i i ij ij i j i ij T T T T g g g g g g g g T ====∙∙ 另一坐标系：j i j i j i i i j i j i j i j i T T T T ''''''''∙'''∙'''''====g g g g g g g g● 对应不同坐标的分量不同：,,,jj i i iji j iji j i i jj T T T T T T T T ''''∙∙''''∙∙≠≠≠≠● 对应不同并矢的分也不同：iji i j i ij T T T T ≠≠≠∙∙● 指标满足升降：mm mniji mj im iim nj T T g g T g T g ∙∙===转置()()()()jiijTTijTiTjTj i i j ijijTT TT ∙∙====T g g g g g g g gi jj ii j jiji ij ji i j T T T T ∙∙====g g g g g g g g 分量指标互换 jijii jijij i j ii j i T T T T ∙∙====g g g g g g g g 并矢指标交换一般情况混变分量的转置≠系数矩阵的转置对称 T=N Nji ij N N =、ji ij N N =、i j i j N N ∙∙=、j i j i N N ∙∙=N u u N ⋅=⋅反对称 T=-ΩΩij ji ΩΩ=-、ijjiΩΩ=-、i i jjΩΩ∙∙=-、jj i iΩΩ∙∙=-，Ωu u Ω⋅-=⋅行列式的值 定义：i jT∙=T det ， iji jjiij T g g T T g T 2===∙∙， ij g G =ji ij T T =、jiijTT =、jj iiT T ∙∙=、i iT tr ∙=T ，()i iiiS T tr ∙∙+=+S T ，()S T S T ⋅⋅=⋅tr ，():Ttr ⋅=T ST S二阶张量与矢量的点积—矢量线性变换=⋅w T u ， ii jjw T u ∙=⋅，⋅≠⋅T u u T2.2 正则与退化的二阶张量定理：任意二阶张量将一个线性相关的矢量集映射为线性相关的矢量集 【设矢量集()i u 线性相关，则存在不全为零的实数()i α使：1()()I i i i α==∑u 0,()11()()()()I Ii i i i i i αα===⋅=⋅∑∑0T u T u , 所以()i ⋅T u 也线性相关】定理：[][],,det ,,⋅⋅⋅=T u T v T w T u v w[det T 为两个平行六面体的体积比，三维空间中3个矢量是否线性相关取决与它们的混合积是否为零] 正则与退化det 0≠T 正则二阶张量；否则为退化的二阶张量(1) T 为正则⇔()i u (i =1,2,3) 性无关，则()i ⋅T u 也线性无关。
《二阶张量的矩阵》课件
06 二阶张量的实例分析
实例一：弹性力学中的应力张量
弹性力学中的应 力张量定义
应力张量的基本 性质
弹性力学中的应 力张量应用
实例分析：某具 体弹性力学问题 中的应力张量
实例二：流体力学中的应力张量
应力张量的定义与性质 流体力学中的应力张量表示 应力张量在流体力学中的应用 实例分析：某流体力学问题的应力张量分析
电磁学：二阶张量用于描述电磁场 的应力-能量张量
添加标题
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流体力学：二阶张量用于描述流体 的应力场
相对论力学：二阶张量用于描述相 对论力学中的应力-能量张量
在工程中的应用
结构分析：利用二阶张量矩阵对结构进行力学分析，包括应力、应变、刚度等
弹性力学：二阶张量矩阵在弹性力学中的应用，如弹性问题的求解、弹性本构关系的 建立等
注意事项：在计算过程中需要注意各个分量的符号和顺序，以确保结果 的正确性
应用范围：适用于所有类型的二阶张量计算，是一种通用的计算方法
间接计算法
定义：通过已知 的一阶张量计算 二阶张量的方法
计算步骤：先计算 一阶张量的偏导数， 再利用高斯公式计 算二阶张量
适用范围：适用 于具有对称性的 一阶张量
注意事项：需要 保证计算精度和 稳定性
二阶张量的矩阵
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01
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04
二阶张量的应 用
02
二阶张量的定 义
05
二阶张量的计 算方法
03
二阶张量的矩 阵表示
06
二阶张量的实 例分析
二阶张量的指标升降关系
二阶张量的指标升降关系二阶张量在物理学和数学中有着重要的应用，而指标升降关系是张量运算中的基本操作。
本文将详细介绍二阶张量的指标升降关系，并探讨其物理意义和数学性质。
我们来回顾一下张量的概念。
在物理学中，张量是描述物理量在不同坐标系中的变换规律的数学工具。
而在数学中，张量是多线性映射的推广，用于描述向量和向量场的性质。
二阶张量是指具有两个上标和两个下标的张量。
上标表示逆变性，下标表示协变性。
指标升降是指将上标转化为下标或将下标转化为上标的操作。
在二阶张量的指标升降中，我们通常使用度规张量（或称为度量张量）来进行。
度规张量是一个对称的二阶张量，用于定义内积的概念。
在欧几里得空间中，度规张量就是克氏符号对应的二阶张量。
在度规张量的作用下，我们可以将上标和下标相互转化。
具体来说，对于一个二阶张量$T$，我们可以通过度规张量进行指标升降操作。
指标升降的规则如下：1. 将上标转化为下标：$T_{ij} = g_{ik}T^{kj}$2. 将下标转化为上标：$T^{ij} = g^{ik}T_{kl}g^{lj}$其中，$g_{ij}$和$g^{ij}$分别表示度规张量的分量和逆分量。
度规张量的分量满足$g_{ij}g^{jk}=\delta_i^k$，其中$\delta_i^k$为克罗内克δ符号。
通过指标升降操作，我们可以方便地在不同坐标系中描述二阶张量的变换性质。
指标升降还具有一些重要的性质，例如：1. 指标升降是线性的，即$(aT+bS)_{ij} = aT_{ij}+bS_{ij}$2. 指标升降满足交换律，即$(T_{ij})_{k} = T_{ijk} = (T_{ij})_{k}$3. 指标升降与求迹操作可交换，即$Tr(T_{ij}) = Tr(T^{ij})$指标升降关系的物理意义在于描述了张量在不同坐标系中的变换规律。
在相对论中，度规张量描述了时空的几何结构，指标升降操作使得我们可以在不同的参考系中描述物理现象。
第2章 二阶张量
8．正交张量：QT = Q−1，Q ⋅ QT = QT ⋅ Q = G
[ （1）在任意斜坐标系中 QT ] ≠ [Q]T ，只有在迪卡尔坐标系中有：[QT ] = [Q]T
（2）正交变换的保内积性：∀u、v有 (Q ⋅ u) ⋅ (Q ⋅ v ) = u ⋅ v
（3）逆定理：u、v变换后内积不变，则变换一定是正交的 （4）正交张量的并矢表达：
T3
•2
T2 •2
T3
δ ε ε • 3
T2 •3
T3
= 1ε 3!
T ⊗T ⊗T
ε=1 6
1 ijk l m n T T T = 6 lmn • i • j • k
T T T ijk
l mn
lmn • i • j • k
•1
•2
•3
[共有6项相加，前后指标均为顺序或逆序为正，一正一逆为负，有非序为零；
111
222
333
N为正（非负）张量 ⇔ N > (≥)0 i
（2）N非负，存在唯一的非负对称张量M，使 M 2 = N
（3）任意非对称张量可以 构造非负张量：
1 ）X = T ⋅T T，Y = T T ⋅T为非负张量，若T可逆，则X、Y为正张量
2）X 、Y 为对称张量
3）X 、Y 为不同的张量，但有相同的主分量
Ni ij
=
1 2
T + T i
ii
ij
j
N ii = 1 j2
T + T ii
i
j
ij
( ) ( ) ( ) ( ) ， ， ， 1
Ω = Ω +Ω
2 ij
ij
ji
Ωij = 1 Ωij + Ω ji 2
二阶张量主不变量的推导
二阶张量主不变量的推导二阶张量主不变量是描述二阶张量的一个重要指标，它可以帮助我们了解张量的性质和特征。
在本文中，我们将推导二阶张量主不变量的计算公式，并解释其物理意义。
我们回顾一下二阶张量的定义。
二阶张量是一个具有两个下标的矩阵，可以表示为一个2x2的矩阵。
在三维空间中，二阶张量可以表示为一个对称矩阵，其中的元素表示了不同方向上的物理量的关系。
为了推导二阶张量主不变量的计算公式，我们先考虑二阶张量的特征值和特征向量。
特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念，它们可以帮助我们了解矩阵的性质。
对于一个二阶张量T，我们可以通过解特征值问题来求得其特征值和特征向量。
特征值问题可以表示为以下形式：T·v = λ·v其中，T表示二阶张量，v表示特征向量，λ表示特征值。
我们可以将特征值问题转化为一个线性方程组来求解。
假设特征向量v为非零向量，我们可以得到以下方程组：(T - λ·I)·v = 0其中，I表示单位矩阵。
由于v非零，所以方程组有非零解的条件是矩阵(T - λ·I)的行列式为0。
计算矩阵(T - λ·I)的行列式，我们可以得到一个关于特征值λ的二次方程，形式如下：det(T - λ·I) = 0将行列式展开并进行计算，我们可以得到一个关于特征值λ的二次方程。
通过求解这个二次方程，我们可以得到二阶张量的两个特征值。
特征值表示了二阶张量在特征向量方向上的伸缩比例。
通过计算特征值，我们可以得到二阶张量在不同方向上的伸缩程度。
二阶张量主不变量可以由特征值计算得到。
具体而言，二阶张量主不变量的计算公式如下：I1 = λ1 + λ2其中，I1表示二阶张量的主不变量，λ1和λ2表示二阶张量的特征值。
二阶张量主不变量的物理意义是描述了二阶张量在不同方向上的伸缩总和。
通过计算主不变量，我们可以了解二阶张量的整体伸缩情况。
总结起来，二阶张量主不变量是描述二阶张量的一个重要指标，它可以通过计算二阶张量的特征值得到。
二阶张量的定义
二阶张量的定义二阶张量是线性代数中的一个重要概念。
在数学和物理学领域中，二阶张量被广泛应用于描述物质的性质、力学系统的行为以及电磁场的传播等问题。
本文将介绍二阶张量的定义和一些基本性质，以及其在实际应用中的意义。
我们来定义二阶张量。
在线性代数中，一个二阶张量可以被视为一个二维矩阵，它具有两个索引，通常用小写字母的下标表示。
一个二阶张量可以用以下形式表示：T_ij其中，i和j是张量的两个索引，可以取1、2、3等整数值。
这个二阶张量有四个分量，分别是T_11、T_12、T_21、T_22。
这些分量可以对应于矩阵的四个元素。
二阶张量的分量具有特定的变换规律。
当坐标系发生变换时，二阶张量的分量也会相应地发生变化。
具体而言，对于一个二阶张量T_ij，在坐标系变换下，其分量会按照以下规则进行变换：T_ij' = R_i^k * R_j^l * T_kl其中，T_ij'是变换后的二阶张量的分量，R_i^k和R_j^l是坐标系变换矩阵。
这个变换规律保证了二阶张量在不同坐标系下的表示是相容的。
二阶张量具有一些重要的性质。
首先，二阶张量可以进行加法和数乘运算，即两个二阶张量可以相加，一个二阶张量可以与一个标量相乘。
其次，二阶张量还可以进行张量积运算，即两个二阶张量可以进行分量乘积并相加的运算。
这些运算使得二阶张量具有了更强大的描述能力。
在实际应用中，二阶张量有着广泛的应用。
在物质力学中，二阶张量可以描述物质的应力和应变。
通过应力张量和应变张量的组合，可以得到物质的弹性模量和刚度矩阵等重要性质。
此外，在电磁学中，电磁场的张量表示也是一个二阶张量，可以用来描述电磁场的分布和传播。
二阶张量还在图像处理、机器学习等领域中有着重要的应用，例如图像的卷积运算和神经网络的权重矩阵等。
总结起来，二阶张量是线性代数中的一个重要概念，用于描述具有两个索引的二维矩阵。
二阶张量具有特定的变换规律和运算性质，可以用于描述物质的性质、力学系统的行为以及电磁场的传播等问题。
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研究定义在一个固定点（张量的元素是实常数， gi 也是常数）上的二阶张量随坐标系转动的
不同形式，不涉及与另一个张量的关系，也不涉及张量运动。
2.1 二阶张量的元素
T = Tij g i g j = Ti• j g i g j = T•ii gi g j = T ij gi g j
k n
(2) T 的不变量由无限多个（不变量的组合仍是不变量），通常关心的有两组：
主不变量（ T 特征多项式的三个系数）
2
η1 = T•11 + T•22 + T•33 = G : T = T•mm = GmnT mn = GmnTmn = Tm•m
( )( ) η2
=
T•11 T•21
T•12 T•22
、 Ni• j
=
N•ji
，
（而一般： N•i j
≠
N
j •i
、
N
• i
j
≠
N •i j
在相同的，混变分量的转置 ≠ 系数矩阵的转置）
N ⋅u=u⋅N
(4) 反对称张量 Ω = −ΩT
性质： Ωij
=
−Ω 、 Ω ij ji
=
−Ω
ji
Ω 、 i •j
=
Ω − Ω 、 •i
•j
j
i
=
−Ω•ij ，
（而一般：
+ T•22 T•32
T•23 T•33
+ T•11 T•31
T•13 T•33
=
1 2
⎣⎡
G :T
G :T − T ⋅⋅T ⎦⎤
=
1 2
⎡⎣T•mmT•nn
− T•pqT•qp ⎤⎦
=
1 2
δ
ijpqT•jiT•qp
[共有 6 项相加，前后指标一样为正，不一样为负；指标 m, n 和 p, q 可以互换但乘积不
矩：
η1∗ = G : T = trT
η
∗ 2
=
T
⋅ ⋅T
=
tr(T
⋅T)=Fra bibliotekT•i
jT•
j i
( ) η3∗ = tr T ⋅ T ⋅ T
=
T•i
jT•
j k
T•ki
两者之间的关系：
( ) ( ) η1∗
=
η1
，η
∗ 2
=
η1
2
− 2η2 ，η3∗
= 3η3
+
η1
3
− 3η1η2
(3) 二阶张量的独立不变量有 6 个，对称二阶张量有 3 个，反对称张量 1 个。
变，所以要乘 1/2]
T•11 T•12 T•13
η3 = T•21
T•22
T•23
=
1 3!
εMT
⊗T
⊗TMε
=
1 6
δ limjknT•l iT•mjT•nk
=
1 6
ε
ijk ε lmnT•l iT•mjT•nk
T•31 T•32 T•33
[共有 6 项相加，前后指标均为顺序或逆序为正，一正一逆为负，有非序为零； l, m, n 均顺 序和均逆序的排列有 6 种，同样 i, j, k 也有六种，组合共有 36 种，除去重复的只有 6 种， 所以要乘 1/6]
同一坐标系下不同的并矢下，其分量也不同： Tij ≠ Ti• j ≠ T•ii ≠ T ij 。
(2) 定义转置张量：
( ) ( ) ( ) ( ) TT =
TT
gig j =
ij
TT
•j i
gi g j
=
TT
i •i
gi g j
=
TT
ij
gi g j
= Tji gi g j
=
T•
j i
gi
g
j
=
T
(4) [T ⋅ a,b,c] = [a,T ⋅ b,c] = [a,b,T ⋅ c] =η1 [a,b,c] [T ⋅ a,T ⋅ b,c] = [a,T ⋅ b,T ⋅ c] = [a,T ⋅ b,T ⋅ c] =η2 [a,b,c]
张量分量的数值随坐标改变而变化，但其某些组合却是不随坐标变化的标量---不变量。
(1) T 通过与自身 T 、 G 、 ε 进行缩并，得到的标量就是不变量:
G
:T
=
G ⋅⋅T
=
δ
jiT
j i
=
T
i i
T
⋅ ⋅T
=
T
ijT
j i
=
tr(T
⋅T )
εMT
⊗T
⊗T
Mε
=
εε ijk
T lmn
ilT
mj T
i =1
i =1
i =1
定理：[T ⋅ u, T ⋅ v, T ⋅ w] = detT [u, v, w]
[ det T 为两个平行六面体的体积比，三维空间中 3 个矢量是否线性相关取决与它们的混合积
是否为零] 正则与退化
det T ≠ 0 的二阶张量－正则二阶张量；否则为退化的二阶张量
(1) T 为正则 ⇔ u(i) (i=1,2,3) 性无关，则T ⋅ u(i) 也线性无关。
(2) 正则T 是单射的： u ≠ v ⇒ T ⋅ u ≠ T ⋅ v (3) 正则T 是满射的： ∀u 所作的线性变换T ⋅ u = v ，必存在唯一的逆变换T −1 ⋅ v = u 定义：正则二阶张量T ，必存在唯一的正则二阶张量T −1 使：T ⋅T −1 = T −1 ⋅T = G
2.3 二阶张量的不变量
= Ti•k
Gkj
=
g
Ti• k
⎤ ⎦
1
(6) 二阶张量的缩并（求迹）： trT = T•ii ，
tr(T + S ) = T•ii + S•ii ， tr(T ⋅ S ) = T ⋅ ⋅S ， tr (T ⋅ ST ) = T : S
(7) 二阶张量与矢量的点积就是线性变换：
w =T ⋅u，
wi
•i j
gi
g
j
=T
ji gi g j
协、逆变分量指标交换，混变分量互相交换
= Tij g j gi
= Ti• j g j gi
=
Ti •i
g
j
gi
= T ij g j gi
也可以分量不动，并矢交换
(3) 对称张量 N = N T
性质： Nij
=
N ji 、 N ij
=
N
ji 、 N•i j
=
N
•i j
Ωi •j
≠
−Ω•ij 、 −Ωi • j
=
−Ωj•i
在相同的
(5) 行列式的值：
定义： detT = T•i j ， Tij = g Ti• j = T•i j g = g 2 T ij ， g = Gij
`Tij
= Tij
、 `T ij
= T ij
、 `Ti • j
=
T•
j i
、
⎡ ⎣
Tij
= Ti•k Gkj
= Ti′j′ g i′ g j′
= Ti′• j′ g i′ g j′
=
T i′ • i′
gi′
g
j′
= T i′j′ gi′ g j′
同一坐标系 另一坐标系
(1) 不同坐标系中实体不变，但其分量不同： Tij ≠ Ti′j′,
T•j i
≠
T• i′
j′
,
Ti •j
≠
T ,i′ • j′
T ij ≠ T i′j′
=
T
i j
⋅uj
，T
⋅u
≠
u⋅T
但 T ⋅u ≠ u⋅TT
2.2 正则与退化的二阶张量
定理：任意二阶张量将一个线性相关的矢量集映射为线性相关的矢量集
【设矢量集 u(i) 线性相关，则存在不全为零的实数α(i) 使：
I
I
I
∑α (i)u(i) = 0 , 0 = T ⋅ ∑α (i)u(i) = ∑α(i) (T ⋅ u(i)) , 所以T ⋅ u(i) 也线性相关】