2020届湖北名师联盟高三上期一模理科数学试题(含解析)
2020年湖北省名师联盟高考数学仿真试卷(理科)(4月份) (含答案解析)
2020年湖北省名师联盟高考数学仿真试卷(理科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈R|y=log2(1−x)}，集合B={y|y=2x,x∈A}，则(∁R A)∩B=()A. (−∞,2]B. [12,4) C. [2,+∞) D. [1,2)2.若双曲线y2m2−x2=1的渐近线方程为y=±√2x，则双曲线的离心率为()A. √2B. 3C. √62D. √33.欲利用随机数表从00，01，…，59这些编号中抽取一个容量为6的样本，选取方法是从下方随机数表的第1行第11列开始，向右读取，直到取足样本，则第4个被抽取的样本的编号为95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 82 80 84 25 3990 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 96 35 23 79 18 05 98 90 0735A. 38B. 58C. 26D. 254.在等差数列{a n}中，已知a4+a15=2，则该数列的前18项和S18=()．A. 2B. 9C. 18D. 365.我国在北宋1084年第一次印刷出版了《算经十书》，即贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》.这些书中涉及的很多方面都达到古代数学的高峰，其中一些“算法”如开立方和开四次方也是当时世界数学的高峰．现在学校图书馆中正好有这十本书，现在小明、小李同学分别独自从这十本书中任借一本阅读(每本书都有足够的数量保证他们能借到)，那么他们借阅的书是同一作者的概率为()A. 15B. 17100C. 19D. 496.函数f(x)=√2sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则ω的值是()A. 4B. 2C. 65 D. 1257. 若(x +1)5=a 5(x −1)5+⋯+a 1(x −1)+a 0，则a 0的值为( )A. 0B. 16C. 32D. 648. 设0<m <12，则1m +412−m 的最小值为( )A. 32B. 910C. 34D. 959. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =2，cosB =35，S △ABC =4，则c 值为：( )A. 5B. 203C. 4D. 810. 已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，O 为坐标原点，直线OA 的斜率为√22，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2，则椭圆的离心率为( ) A. √22B. 12C. √32 D. √2311. 如图，在四面体ABCD 中，点P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，BC ，CD ，AD 的中点，截面PQMN 是正方形，则下列结论错误的为( )A. AC ⊥BDB. AC//截面PQMNC. AC =CDD. 异面直线PM 与BD 所成的角为45°12. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R 满足f(2x +8)=f(2x)，且当x ∈(0,4)时，，则函数f(x)在区间[−4,12]上的零点个数是( )A. 7B. 9C. 11D. 13二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 设向量a⃗ =(3,−4)，则|a ⃗ |=______．14.函数f(x)=x(e x+x)+4，g(x)=−4x−e x+a，，若存在实数x0，使得f(x0)<g(x0)成立，则a的取值范围是______．15.函数部分图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．则ω=______．16.三棱锥D−ABC中，DC⊥平面ABC，且AB=BC=CA=DC=2，则该三棱锥的外接球的表面积是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}的公比q>0，若a2+a3=6且a2⋅a4=16．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若a n b n=n(n∈N+)，求数列{b n}的前n项和T n．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，平面PAD上平面ABCD，E，F分别是AD，CD的中点．(Ⅰ)证明：BD⊥平面PEF；(Ⅱ)若∠BAD=60°，求二面角B−PD−A的余弦值．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，点B是椭圆C的上顶点，点Q在椭圆C上(异于B点)．(Ⅰ)若椭圆C过点(−√3,√22)，求椭圆C的方程；(Ⅱ)若直线l：y=kx+b与椭圆C交于B、P两点，若以PQ为直径的圆过点B，证明：存在k∈R，BPBQ =12．20.随着经济的发展，人民的收入水平逐步提高，为了解北京市居民的收入水平，某报社随机调查了10000名居民的月收入，得到如下的频率分布直方图：(1)求a的值及这10000名居民的平均月收入x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)①通过大数据分析，北京人的月收入服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ=x−，σ=2.9，求北京人收入ξ落在(6.1,9)的概率；②将频率视为概率，若北京某公司一部门有3人，记这3人中月收入落在(7,11)的人数为X，求X的数学期望．附：若ξ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.954421. 已知函数f (x )=2lnx +x 2−mx(m ∈R).(1)若f (x )是单调函数，求实数m 的取值范围； (2)若5<m <172，且f (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，求f (x 1)−f (x 2)取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα，其中α为参数，曲线C 2：x 2+y 2−2y =0，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l ：θ=α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B(均异于原点O) (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)当0<α<π时，求|OA|2+|OB|2的取值范围．223.已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)=g(x)．x(1)求a,b的值；,2]恒成立，求实数k的取值范围．(2)若不等式f(x)−k≥0在x∈[12【答案与解析】1.答案：D解析：解：集合A={x∈R|y=log2(1−x)}={x|1−x>0}={x|x<1}，集合B={y|y=2x,x∈A}={y|0<y<2}，∴∁R A={x|x≥1}，∴(∁R A)∩B={x|1≤x<2}=[1,2)．故选：D．化简集合A、B，根据补集与交集的定义写出运算结果．本题考查了集合的定义与应用问题，是基础题．2.答案：C解析：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．根据双曲线y2m2−x2=1的渐近线方程为y=±√2x，求出m，从而可得a，c，利用双曲线的离心率为e=ca，即可得出结论．解：∵双曲线y2m2−x2=1的渐近线方程为y=±√2x，∴|m|=√2=a，∴c=√2+1=√3，∴双曲线的离心率为e=ca =√3√2=√62，故选C．3.答案：B解析：本题考查简单随机抽样的应用，属于基础题．依次写出前4个被读取的样本编号，即可得到答案．解：随机数表的第1行第11列开始，向右读取，相同的跳过，每次读两位，则前4位数为：18，00，38，58．则第4个被抽取的样本的编号为58．故选B．4.答案：C解析：本题考查了等差数列的性质及等差数列前n和公式的应用，属于基础题．等差数列中，当m+n=p+q时，a m+a n=a p+a q，从而得到a4+a15=a1+a18=2，结合前n项和公式：S n=n(a1+a n)2，即可得到结果．解：∵等差数列{a n}，a4+a15=a1+a18=2，∴S18=18(a1+a18)2=18×22=18．故选C．5.答案：A解析：本题考查概率的求法，考查古典概型，是基础题．根据题意小明、小李同学分别独自从这十本书中任借一本阅读(每本书都有足够的数量保证他们能借到)，总的基本事件的总数为n=10×10=100，他们借阅的书是同一作者包含的基本事件数为m= 1+1+1+2×2+3×3+2×2=20，由古典概型概率公式计算即可．解：《算经十书》，即贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》，小明、小李同学分别独自从这十本书中任借一本阅读(每本书都有足够的数量保证他们能借到)，总的基本事件的总数为n=10×10=100，他们借阅的书是同一作者包含的基本事件数为m=1+1+1+2×2+3×3+2×2=20，故他们借阅的书是同一作者的概率为mn =20100=15，故选A．6.答案：B解析：解：由图象可得34T=5π12−(−π3)=3π4．故可解得：T=π．故有：ω=2πT =2ππ=2．故选：B．由图象可得34T=5π12−(−π3)=3π4，从而可解得T的值，由周期公式即可求得ω的值．本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，属于基础题．7.答案：C解析：解：(x+1)5=[(x−1)+2]5=a5(x−1)5+⋯+a1(x−1)+a0，则a0=C55⋅25=32，故选：C．把(x+1)5=[(x−1)+2]5按照二项式定理展开，可得a0的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．8.答案：C解析：解：∵0<m<12，则1m +412−m=(1m+412−m)(m+12−m)×112=112(5+12−mm+4m12−m)≥112×(5+4)=34，当且仅当12−mm =4m12−m，即m=4时取等号．故选：C．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与利用基本不等式求最值，属于基础题．9.答案：A解析：解：∵cosB =35，B 为三角形内角， ∴sinB =√1−cos 2B =45，∵S △ABC =12acsinB =4，即12×2c ×45=4，∴c =5． 故选：A ．由cos B 的值，求出sin B 的值，利用三角形面积公式列出关系式，把a ，sin B 以及已知面积代入求出c 的值即可．此题考查了三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．10.答案：A解析：本题考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．设点A 的坐标为(x A ,y A )，F 2(c,0)，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2，所以x A =c ，代入椭圆方程得c 2a2+y A2b2=1，解得y A =b 2a，故k OA =b 2ac=b 2ac=a 2−c 2ac=√22，即(c a )2+√22×c2−1=0，求得结果．解：设点A 的坐标为(x A ,y A )，F 2(c,0)，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x A ,y A )⋅(c,0)=cx A ，|OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=c 2．因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2，所以x A =c ， 代入椭圆方程得c 2a 2+y A2b 2=1，解得y A =b 2a，故kOA=b 2ac=b 2ac =a 2−c 2ac=√22， 即(c a )2+√22×c 2−1=0， 解得ca =√22或ca =−√2(舍去)， 故椭圆的离心率为√22，故选A ．11.答案：C解析：本题考查了空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，着重考查了线面平行的判定与性质及异面直线所成角，属于中档题．首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行推导线线平行，这样就把AC、BD平移到正方形内，即可利用平面图形知识做出判断．解：题意可知，截面PQMN是正方形，则PQ⊥QM，且PQ=QM，∠PQM=90°，∠PMQ=45°，又点P、Q、M、N分别是棱AB、BC、CD、AD的中点，MN//AC，且MN=12AC，MN⊂面PQMN，AC⊄面PQMN，因为AC//面PQMN，QM//12BD，QM=12BD，AC⊥BD，AC=BD，所以C不正确，A，B正确；QM//BD，所以PM与BD所成的角等于QM与BD所成的角45°，所以D正确．故选C．12.答案：B解析：本题考查函数的奇偶性、对称性，考查函数的零点，考查学生分析解决问题的能力，属于较难题．根据函数的奇偶性和周期性，结合已知函数解析式赋值计算可得函数f(x)在区间[−4,12]上的零点个数．解：根据题意，f(x)满足当x∈(0,4)时，f(x)=x2−πx+|cosx|−1，分析可得，当x=π时，有f(π)=0，又由f(x)是奇函数，则有f(−π)=0，f(x)是定义在R上的奇函数，则有f(0)=0，在f(2x+8)=f(2x)中，令x=0可得：f(8)=f(0)=0，令x=−2可得：f(4)=f(−4)，又由函数f(x)为奇函数，则有f(−4)=−f(4)，则有f(−4)=f(4)=0，再令x=2可得：f(12)=f(4)=0，令，有，即有f(8+π)=f(π)=0，令，有，即有f(8−π)=f(−π)=0，则函数f(x)在区间[−4,12]上的零点有：−4，−π，0，π，4，8−π，8，8+π，12；共9个，故选B．13.答案：5解析：解：由向量模的运算有：|a⃗|=√32+(−4)2=5，故答案为：5．由向量模的运算：a⃗=(x,y)，则|a⃗|=√x2+y2可得解．本题考查了向量模的运算，属简单题．14.答案：(−e−2,+∞)解析：本题主要考查的是利用导数解决不等式存在性问题，属于中档题．由题意可得f(x0)−g(x0)<0成立，可令ℎ(x)=x(e x+x)+4+4x+e x−a，求得导数和单调性、极值和最小值，可令最小值小于0，即可得到所求范围．解：因为函数f(x)=x(e x+x)+4，g(x)=−4x−e x+a，，若存在实数x0，使得f(x0)<g(x0)成立，可得f(x0)−g(x0)<0成立，可令ℎ(x)=x(e x+x)+4+4x+e x−a，ℎ′(x)=(x+1)e x+2x+4+e x=(x+2)(e x+2)，由e x>0，当x>−2时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)递增；当x<−2时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)递减，可得x=−2处ℎ(x)取得极小值，且最小值为−a−e−2，可得−a−e−2<0，解得a>−e−2，故a的范围是(−e−2,+∞)．故答案为(−e−2,+∞)．15.答案：解析：本题考查三角函数，y=Asin(ωx+φ)的解析式的求法．通过，由正三角形△ABC的高为2可求得BC，从而可求得其周期，继而可得ω．解：由已知，函数的最大值为：2√3，BC=2√3，BC=4，即正△ABC的高为2√3，则√32∴函数f(x)的周期T=4×2=8，即，．故答案为．16.答案：28π3解析：本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．作△ABC的外接圆，过点C作圆的直径CM，连结DM则DM为三棱锥D−ABC的外接球的直径，由此能求出三棱锥P−ABC的外接球表面积．解析：解：作△ABC的外接圆，过点C作圆的直径CM，连结DM，则DM 为三棱锥D −ABC 的外接球的直径，∵三棱锥D −ABC 中，DC ⊥平面ABC ，且AB =BC =CA =DC =2，∴CM =2sin60∘=3，∵DC ⊥平面ABC ，∴DC ⊥CM ，∴DM 2=DC 2+CM 2=22+(3)2=283， ∴R =DM 2=12√283=√73， ∴三棱锥P −ABC 的外接球表面积为：S =4πR 2=4π×73=28π3．故答案为：28π3．17.答案：解：(Ⅰ)等比数列{a n }的公比q >0，若a 2+a 3=6且a 2⋅a 4=16．则：a 32=a 2⋅a 4，解得：a 3=±4．①当a 3=−4，则：a 2=6−a 3=10，此时a 3<a 2，不合题意，舍去．②当a 3=4，则：a 2=6−a 3=2，此时q =2，a 1=1，符合题意．所以：a n =2n−1．(Ⅱ)由(Ⅰ)得：b n =n2n−1，所以：T n =120+221+⋯+n 2n−1①，12T n =121+222+⋯+n 2n ②， ①−②得： 12T n=(1+12+⋯+12n−1)−n2n ， 解得：T n =4−12n−2−n 2n−1．解析：(Ⅰ)首先利用已知条件，建立关系式求出数列的通项公式．(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论，进一步求出b n =n2n−1，再利用乘公比错位相减法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 18.答案：证明：(Ⅰ)连接AC ，∵PA =PD ，且E 是AD 的中点，∴PE ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，PE ⊂平面PAD ，∴PE ⊥平面ABCD ，∵BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PE ，又ABCD 为菱形，且E ，F 为棱的中点，∴EF//AC ，BD ⊥AC ，∴BD ⊥EF ，又BD ⊥PE ，PE ∩EF =E ，PE ，EF ⊂平面PEF ，∴BD ⊥平面PEF ．解：(Ⅱ)∵四边形ABCD 是菱形，且∠BAD =60°，∴EB ⊥AD ，分别以EA ，EB ，EP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设AD =1，则D(−12,0,0)，B(0,√32,0)，P(0,0，√32)， DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,0)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0,√32)，设平面PBD 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴{12x +√3y 2=012x +√3z 2=0，取x =√3， 得n ⃗ =(√3,−1,−1)，平面APD 的法向量m⃗⃗⃗ =(0,1，0)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=√5=−√55， 由图得二面角B −PD −A 的平面角是锐角，∴二面角B −PD −A 的余弦值为√55．解析：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查利用空间向量解决线面关系及空间角度问题，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属于中档题．(Ⅰ)连接AC ，则PE ⊥AD ，PE ⊥平面ABCD ，BD ⊥PE ，EF//AC ，BD ⊥AC ，从而BD ⊥EF ，BD ⊥PE ，由此能证明BD ⊥平面PEF ．(Ⅱ)推导出EB ⊥AD ，分别以EA ，EB ，EP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B −PD −A 的余弦值．19.答案：解：(Ⅰ)椭圆的离心率e =c a =√1−b 2a 2=√22，则a 2=2b 2， 将点(−√3,√22)，代入x 22b 2+y 2b 2=1， 得32b 2+12b 2=1，解得b 2=2，a 2=4，∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1；(Ⅱ)证明：由题意的对称性可知：设存在k >0，BP BQ =12，由a 2=2b 2，则椭圆方程为x 22b 2+y 2b 2=1， {y =kx +b x 22b 2+y 2b 2=1，整理得(1+2k 2)x 2+4kbx =0， 解得x P =−4kb 1+2k 2，y P =b−2bk 21+2k 2，则|BP|=√(x P −x B )2+(y P −y B )2=4kb√1+k 22k 2+1， 因为以PQ 为直径的圆过点B ，所以BP ⊥BQ ，将|BP|=√1+k 2⋅4kb 1+2k 2中的k 用−1k 代换得，|BQ|=√1+(−1k )2|4×(−1k )b|1+2(−1k )2=√1+k 2⋅4b k 2+2， 由BP BQ =12得√1+k 2⋅4kb 1+2k 22⋅4b k 2+2=12，即2k 3−2k 2+4k −1=0， 设f(k)=2k 3−2k 2+4k −1(k >0)，由f(14)=−332<0，f(12)=34>0，知函数f(k)=2k 3−2k 2+4k −1(k >0)，存在零点，∴存在k ∈R ，使得BP BQ =12．解析：本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及弦长公式的应用，函数零点的判断，考查计算能力，属于中档题．(Ⅰ)根据椭圆的离心率求得a 2=2b 2，将点代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值，求得椭圆的方程； (Ⅱ)假如存在k >0，BP BQ =12，设直线方程，将直线方程代入椭圆方程，求得P 点坐标，根据弦长公式求得|BP|，将k 用−1k 代换得|BQ|，由BP BQ =12，根据函数零点的定理，即可求证存在k ∈R ，BP BQ =12． 20.答案：解：(1)由已知得：(0.05+a +0.125+0.15+0.1)×2=1，解得：a =0.075， x −=0.05×2×2+0.125×2×4+0.15×2×6+0.1×2×8+0.075×2×10=6.1；(2)①∵μ=6.1，σ=2.9，∴μ−σ=3.2，μ+σ=9． ∴P(6.1<ξ<9)=12P(3.2<ξ<9)=12×0.6826=0.3413．②由频率分布直方图可知由频率分布直方图可知P(7<ξ<11)=0.35，∴X ～B(3,0.35)，则E(X)=3×0.35=1.05．解析：(1)由已知得：(0.05+a +0.125+0.15+0.1)×2=1，由此求得a 值，再由每一个小矩形中点的横坐标乘以频率作和求解；(2)①由μ=6.1，σ=2.9，得μ−σ=3.2，μ+σ=9.则P(6.1<ξ<9)=12P(3.2<ξ<9)=12×0.6826=0.3413．②由频率分布直方图可知由频率分布直方图可知P(7<ξ<11)=0.35，再由二项分布的期望公式求解．本题考查正态分布曲线的特点及表示的意义，考查服从二项分布的随机变量期望的求法，是中档题． 21.答案：解：(1)∵f(x)=2lnx +x 2−mx 的定义域为(0,+∞)，且f(x)在其定义域内单调， ∴f′(x)=2x +2x −m ≥0，即m ≤2(1x +x)在区间(0,+∞)恒成立， ∵2(1x +x)≥4√x ⋅1x =4，当且仅当x =1时取等号，∴m ≤4，即实数m 的范围(−∞,4]；(2)由(1)知f′(x)=2x +2x −m =2x 2−mx+2x ，令2x 2−mx +2=0，∵5<m <172时，f(x)有两个极值点，此时x 1+x 2=m 2>0，x 1x 2=1，∴0<x 1<1<x 2，∵m =2(1x 1+x 1)∈(5,172)，解得14<x 1<12， 由于x 2=1x 1，于是f(x 1)−f(x 2)=(x 12−mx 1+2lnx 1)−(x 22−mx 2+2lnx 2) =(x 12−x 22)−m(x 1−x 2)+2(lnx 1−lnx 2)=1x 12−x 12+4lnx 1， 令ℎ(x)=1x 2−x 2+4lnx ，则ℎ′(x)=−2(x 2−1)2x 3<0， ∴ℎ(x)在区间(14,12)内单调递减，∵ℎ(14)=16−116−8ln2=25516−8ln2，ℎ(12)=4−14−4ln2=154−4ln2， 即154−4ln2<f(x 1)−f(x 2)<25516−8ln2， 故f(x 1)−f(x 2)的取值范围为(154−4ln2,25516−8ln2)．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，考查转化思想，属于难题．(1)先求导，再根据导数和函数的单调性的关系即可求出m 的范围，(2)根据f(x)有两个极值点，得到x 1+x 2=m 2>0，x 1x 2=1，求出14<x 1<12，再f(x 1)−f(x 2)=1x 12−x 12+4lnx 1，构造函数，求导，判断函数的单调性，求出范围即可．22.答案：解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα，其中α为参数，转换为的普通方程为(x −2)2+y 2=4．转换为极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C 2：x 2+y 2−2y =0，转换为极坐标方程为ρ=2sinθ．(2)联立θ=α(ρ≥0)，所以|0A|2=16cos 2θ，|OB|2=4sin 2θ，所以|OA|2+|OB|2的=4+12cos 2α，由于0<α<π2，所以|OA|2+|OB|2∈(4,16)．解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)利用三角函数的关系式的变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换，函数的性质的应用．23.答案：解：(1)函数g (x )=ax 2−2ax +1+b (a >0)=a (x−1)2+1+b−a,因为a >0所以g(x)在区间[2,3]上为增函数，所以{g (2)=1g (3)=4，解得{a =1b =0； (2)由(1)可知g (x )=x 2−2x +1，则f (x )=x +1x −2， 因为不等式f(x)−k ⩾0在x ∈[12,2]恒成立，即x +1x −2−k ≥0恒成立，即2+k ≤x +1x 在x ∈[12,2]恒成立，又因为当x ∈[12,2]时，x +1x ≥2√x ·1x =2，当且仅当x =1x ，即x =1时，取等号， 所以2+k ≤2，即k ≤0，所以实数k 的取值范围是k ≤0．解析：本题二次函数的性质，函数的最值，以及利用基本不等式求最值．(1)利用二次函数的性质，即可得；(2)利用分离参数法，以及基本不等式求最值，即可得．。
【2020届名师联盟高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题—附答案】高三上学期第一次月考
《【2020届名师联盟高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题—附答案】高三上学期第一次月考》摘要：姓名准考证号考场号座位号 2020届名师联盟高三第一次模拟考试卷理科数学注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，④函数与的图象恰有三个交点，其中真命题的个数为（） A． B． C． D． 12．若函数的图象关于点对称，，分别是的极大值点与极小值点，则（） A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．在中，若，，，则_____． 14．如图，圆（圆心为）的一条弦的长为，则_____． 15．在的展开式中，项的系数为________（结果用数值表示）． 16．定义在正实数上的函数，其中表示不小于的最小整数，如，，当，时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）如图，在平面四边形中，，，，设．（1）若，求的长度，∴时，函数取得极小值即最小值，∴，∴函数在上单调递增．（2）由（1）可得：函数在上单调递增．要证明：，又，因此，即，，则，令，，，，令，，∴在上单调递增．∴，∴函数在上单调递增．∴，因此结论成立． 22．【答案此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号 2020届名师联盟高三第一次模拟考试卷理科数学注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
湖北名师联盟2020届高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题(含解析版答案)
湖北名师联盟2020届高三第一次模拟考试卷理 科 数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|650A x x x =-+≤，{}|3B x y x ==-，A B =I （ ） A ．[)1,+∞ B ．[]1,3C ．(]3,5D ．[]3,52．34i 34i12i 12i+--=-+（ ） A ．4- B ．4 C ．4i - D ．4i3．如图1为某省2019年14~月快递业务量统计图，图2是该省2019年14~月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（ ）A ．2019年14~月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2019年14~月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看2019年14~月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从14~月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长 4．已知两个单位向量12,e e ，满足12|2|3e e -=，则12,e e 的夹角为（ ） A ．2π3B ．3π4 C ．π3D ．π4班级 姓名 准考证号 考场号 座位号5．函数1()cos 1x x e f x x e +=⋅-的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知斐波那契数列的前七项为1、1、2、3、5、8、13．大多数植物的花，其花瓣数按层从内往外都恰是斐波那契数，现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵，花瓣总数为99，假设这种“雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有（ ）层． A ．5B ．6C ．7D ．87．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是AB ，11A D 的中点，O 为正方形1111A B C D 的中心，则（ ）A ．直线EF ，AO 是异面直线B ．直线EF ，1BB 是相交直线C ．直线EF 与1BC 所成的角为30︒D ．直线EF ，1BB 所成角的余弦值为338．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．2-9．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[1,2]上是减函数，令ln 2a =，121()4b -=，12log 2c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系为（ ）A ．()()()f b f c f a <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f c f b f a <<D ．()()()f c f a f b <<10．已知点2F 是双曲线22:193x yC -=的右焦点，动点A 在双曲线左支上，点B 为 圆22:(2)1E x y ++=上一点，则2||||AB AF +的最小值为（ ） A ．9B ．8C ．53D ．6311．如图，已知P ，Q 是函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,0,||)2A ωϕ>><的图象与x 轴的两个相邻交点，R 是函数()f x 的图象的最高点，且3RP RQ ⋅=uu r uu u r，若函数()g x 的图象与()f x 的图象关于直线1x =对称，则函数()g x 的解析式是（ ）A ．ππ()3sin()24g x x =+B ．ππ()3sin()24g x x =-C ．ππ()2sin()24g x x =+D ．ππ()2sin()24g x x =-12．已知三棱锥P ABC -满足PA ⊥底面ABC ，在ABC △中，6AB =，8AC =，AB AC ⊥，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =．球O 为三棱锥P ABC -的外接球，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为40π，则球O 的表面积为（ ） A ．72πB ．86πC ．112πD ．128π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知曲线()(1)ln f x ax x =-在点(1,0)处的切线方程为1y x =-，则实数a 的值为 ．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足711S S =，且10a >，则n S 最大时n 的值是 ．15．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦(含乾、坤、異、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成(表示一根阳线，“”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为 ．16．点A ，B 是抛物线2:2(0)C y px p =>上的两点，F 是拋物线C 的焦点，若120AFB ∠=︒，AB 中点D 到抛物线C 的准线的距离为d ，则||dAB 的最大值为 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知22()3sin a c b ab C +=+． （1）求B 的大小；（2）若8b =，a c >，且ABC △的面积为33a ．18．（12分）如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，ED FB ∥，12DE BF =，AB FB =，FB ⊥平面ABCD ． （1）设BD 与AC 的交点为O ，求证：OE ⊥平面ACF ； （2）求二面角E AF C --的正弦值．19．（12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，上顶点为B ，离心率为3O 是坐标原点，且1||||6OB F B ⋅= （1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点1F 的直线l 与椭圆C 的两交点为M ，N ，若22MF NF ⊥，求直线l 的方程．20．（12分）已知函数1π()4cos()23xf x x e =--，()f x '为()f x 的导数，证明：（1）()f x '在区间[π,0]-上存在唯一极大值点； （2）()f x 在区间[π,0]-上有且仅有一个零点．21．（12分）11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地—安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛(每人各投一次为一轮)．在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得1-分；两人都命中或都未命中，两人均得0分．设甲每次投球命中的概率为12，乙每次投球命中的概率为23，且各次投球互不影响． （1）经过1轮投球，记甲的得分为X ，求X 的分布列；（2）若经过n 轮投球，用i p 表示经过第i 轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率． ①求1p ，2p ，3p ；②规定00p =，经过计算机计算可估计得11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，请根据①中1p ，2p ，3p 的值分别写出a ，c 关于b 的表达式，并由此求出数列{}n p 的通项公式．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 方程为2sin ρθ=，2C的参数方程为112x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．（1）写出曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；（2）设点P 为曲线1C 上的任意一点，求点P 到曲线2C 距离的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知0a >，0b >，23a b +=．证明：（1）2295a b +≥； （2）3381416a b ab +≤．湖北名师联盟2020届高三第一次模拟考试卷理科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】由已知可得[]1,5A =，[)3,B =+∞，则[3,5]A B =I ． 2．【答案】D【解析】由复数的运算法则可得：()()()()()()()()34i 12i 34i 12i 510i 510i 34i 34i 4i 12i 12i 12i 12i 5++----+---+--===-++-． 3．【答案】D【解析】对于选项A ：2019年14~月的业务量，3月最高，2月最低，差值为439724111986-=，接近2000万件，所以A 是正确的；对于选项B ：2019年14~月的业务量同比增长率分别为55%，53%，62%，58%， 均超过50%，在3月最高，所以B 是正确的；对于选项C ：2019年2、3、4月快递业务量与收入的同比增长率不一致， 所以C 是正确的． 4．【答案】C【解析】∵12|2|e e -=121443e e +-⋅=，∴1212e e ⋅=， ∴121cos ,2e e <>=，∴12π,3e e <>=．5．【答案】B【解析】1()cos 1x x e f x x e +=⋅-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，∵11()cos()cos ()11x x xx e e f x x x f x e e --++-=-⋅=-⋅=---， ∴函数1()cos 1x x e f x x e +=⋅-奇函数，排除A 、D ，又因为当0x +→时，cos 0x >且101x xe e +>-，所以1()cos 01x x ef x x e +=⋅>-，故选B ． 6．【答案】C【解析】由题设知，斐波那契数列的前6项之和为20，前7项之和为33， 由此可推测该种玫瑰花最可能有7层． 7．【答案】C【解析】易知四边形AEOF 为平行四边形，所以直线EF ，AO 相交； 直线EF ，1BB 是异面直线；直线EF ，1BB 所成角的余弦值为3C 正确． 8．【答案】B【解析】第一次循环，4S =，1i =； 第二次循环，2S =，2i =； 第三次循环，4S =，1i =； 第四次循环，2S =，2i =．可知S 随i 变化的周期为2，当2019i =时，输出的2S =． 9．【答案】C【解析】∵()f x 是R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-， ∴(2)()f x f x +=-，∴函数()f x 的图象关于1x =对称，∵函数()f x 在区间[1,2]是减函数，∴函数()f x 在[1,1]-上为增函数，且(2)(0)0f f ==， 由题知1c =-，2b =，01a <<，∴()()()f c f b f a <<． 10．【答案】A【解析】设双曲线C 的左焦点为1F ，21126AF AF a AF =+=+，∴216AB AF AB AF +=++=115559AB AF BE F E +++≥+==． 11．【答案】C【解析】由已知，得3(,)2R A ，则(1,)RP A =--u u r ，(1,)RQ A =-u u u r ，于是213RP RQ A ⋅=-=u u r u u u r，得2A =， 又51222T =-，∴4T =，2ππ2T ω==，由π12π22k ϕ⋅+=，k ∈Z 及π||2ϕ<，得π4ϕ=-，故ππ()2sin()24f x x =-， 因为()g x 与()f x 的图象关于1x =对称，则ππππππ()(2)2sin[(2)]2sin[π()]2sin()242424g x f x x x x =-=--=-+=+． 12．【答案】C【解析】将三棱锥P ABC -补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O ，记三角形ABC 的中心为1O ，设球的半径为R ，2PA x =，则球心O 到平面ABC 的距离为x ，即1OO x =， 连接1O A ，则15O A =，∴2225R x =+，在ABC △中，取AC 的中点为E ，连接1O D ，1O E ， 则1132O E AB ==，124DE AC ==，∴113O D =． 在1OO D Rt △中，213OD x =+，由题意得到当截面与直线OD 垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为r ，则2222225(13)12r R OD x x =-=+-+=， 所以最小截面圆的面积为12π，当截面过球心时，截面面积最大为2πR ，∴212ππ40πR +=，228R =，球的表面积为24π112πR =．(或将三棱锥补成长方体求解)．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】2 【解析】1()ln ax f x a x x-'=+，(1)11f a '=-=，∴2a =． 14．【答案】9【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由711S S =，可得1176111071122a d a d ⨯⨯+=+， 即12170a d +=，得到1217d a =-， 所以211111(1)(1)281()(9)22171717n a n n n n S na d na a n a --=+=+⨯-=--+， 由10a >可知1017a -<，故当9n =时，n S 最大． 15．【答案】314【解析】观察八卦图可知，含3根阴线的共有1卦，含有3根阳线的共有1卦，含有2根阴线1根阳线的共有3卦，含有1根阴线2根阳线的共有3卦，故从八卦中任取两卦，这两卦的六根线恰有两根阳线，四根阴线的概率为123328C C 3C 14+=． 16．【答案】【解析】设AF a =，BF b =， 则2a bd +=，222222cos AB a b ab AFB a b ab =+-∠=++，∴d AB ===， 当且仅当a b =时取等号．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）π3；（2）5 【解析】（1）由()22sin a c b C +=+，得2222sin a c ac b C ++=+，所以2222sin a c b ac C +-+=，即()2cos 1sin ac B C +=， 所以有()sin cos 1sin C B B C +=，因为(0,π)C ∈，所以sin 0C >，所以cos 1B B +=，即cos 2sin 16πB B B ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以1sin 2π6B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0πB <<，所以ππ5π666B -<-<，所以6ππ6B -=，即π3B =． （2）因为113sin 3322ac B ac =⋅=，所以12ac =，又22222cos ()3b a c ac B a c ac =+-=+-=2()3664a c +-=，所以10a c +=，把10c a =-代入到12()ac a c =>中，得513a =+． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）6． 【解析】（1）证明：由题意可知：ED ⊥平面ABCD ，从而EDA EDC ≅Rt Rt △△， ∴EA EC =，又O 为AC 中点，∴DE AC ⊥，在EOF △中，3,6,3OE OF EF ===，∴222OE OF EF +=，∴OE OF ⊥， 又AC OF O =I ，∴OE ⊥平面ACF ． （2）ED ⊥面ABCD ，且DA DC ⊥，如图以D 为原点，DA ，DC ，DE 方向建立空间直角坐标系，从而(0,0,1)E ，(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，(2,2,2)F ，(1,1,0)O ，由（1）可知(1,1,1)EO =-uu u r是面AFC 的一个法向量， 设(,,)x y z =n 为面AEF 的一个法向量，由22020AF y z AE x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩n n uu u r uu u r ，令1x =，得(1,2,2)=-n ， 设θ为二面角E AF C --的平面角，则||3|cos ||cos ,|3||||EO EO EO θ⋅=<>==⋅n n n uu u ruu u r uu u r ，6sin 3θ∴=，∴二面角E AF C --619．【答案】（1）22132x y +=；（2）10x +=． 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c，则c a =，∴a =， ∵222a b c =+，∴b =，又1OB F B ⋅=OB b =，1F B a =，∴ab =2=1c =，∴a =b =22132x y +=．（2）由（1）知1(1,0)F -，2(1,0)F ，设直线l 方程为1x ty =-，由221132x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(23)440t y ty +--=，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122423t y y t +=+，122423y y t -=+， ∵22MF NF ⊥，∴220F M F N ⋅=uuuu r uuu r ，∴1212(1)(1)0x x y y --+=， ∴1212(11)(11)0ty ty y y ----+=，∴21212(1)2()40t y y t y y +-++=，∴22224(1)8402323t t t t -+-+=++，∴22t =，∴t =． ∴l的方程为10x ±+=．20．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意知：()f x 定义域为(,)-∞+∞，且1π()2sin()23x f x x e '=---． 令1π()2sin()23x g x x e =---，[π,0]x ∈-，1π()cos()23xg x x e '=---，[π,0]x ∈-．∵x y e =-在[π,0]-上单调递减，1πcos()23y x =--在[π,0]-上单调递减，()g x '在[π,0]-上单调递减．又π(0)cos()103g '=---<，ππππ1(π)cos()0232g e e-'-=----=->，∴0(π,0)x ∃∈-，使得0()0g x '=，∴当0[π,)x x ∈-时，()0g x '>；当0(,0]x x ∈时，()0g x '<，即()g x 在区间0[π,)x -上单调递增；在0(,0]x 上单调递减，则0x x =为()g x 唯一的极大值点，即()f x '在区间[π,0]-上存在唯一的极大值点0x ．（2）由（1）知1π()2sin()23x f x x e '=---，且()f x '在区间[π,0]-存在唯一极大值点， ()f x '在0[π,)x -上单调递增，在0(,0]x 上单调递减，而ππππ1(π)2sin()1023f e e -'-=----=->，π(0)2sin()1103f '=---=>，故()f x '在[π,0]-上恒有()0f x '>，∴()f x 在[π,0]-上单调递增，又ππππ1(π)4cos()023f e e --=---=-<，π(0)4cos()1103f =--=>，因此，()f x 在[π,0]-上有且仅有一个零点． 21．【答案】（1）见解析；（2）①116P =，2736P =，343216P =；②6(1)7a b =-，1(1)7c b =-，11(1)56n n P =-．【解析】（1）X 的可能取值为1-，0，1．121(1)(1)233P x =-=-⨯=，12121(0)(1)(1)23232P x ==⨯+-⨯-=，121(1)(1)236P x ==⨯-=．∴X 的分布列为（2）①由（1）知，116P =， 经过两轮投球甲的累计得分高有两种情况：一是两轮甲各得1分； 二是两轮有一轮甲得0分，有一轮甲得1分，∴12211117C ()()662636P =⨯+=，经过三轮投球，甲的累计得分高有四种情况：一是三轮甲各得1分；二是三轮有两轮各得1分，一轮得0分；三是1轮得1分，两轮各得0分；四是两轮各得1分，1轮得1-分，∴322122233331111111()C ()()C ()()C ()()6626263P =+++．②由11i i i i P aP bP cP +-=++，知1111i i i a c P P P b b+-=+--， 将00P =，116P =，2736P =，343216P =代人，求得617a b =-，117c b =-，∴6(1)7a b =-，1(1)7c b =-，∴116177i i i P P P +-=+，∴117166i i i P P P +-=-．∴111()6i i i i P P P P +--=-，∵1016P P -=，∴1{}n n P P --是等比数列，首项和公比都是16． 116n n n P P --=，∴01021111(1)1166()()()(1)15616n n n n nP P P P P P P P --=+-+-++-==--L ． 22．【答案】（1）()2121:1x y C +-=，20C y -=；（2）[10,]2． 【解析】（1）1C 的直角坐标方程()2211x y +-=，2C0y -+=． （2）由（1）知，1C 为以(0,1)为圆心，1r =为半径的圆，1C 的圆心(0,1)到2C的距离为1d ==<，则1C 与2C 相交，P 到曲线2C 距离最小值为0，最大值为d r +=， 则点P 到曲线2C距离的取值范围为[． 23．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】证明：（1）∵0a >，0b >，23a b +=，∴320a b =->，302b <<， ∴222222699(32)51295()555a b b b b b b +=-+=-+=-+≥，∴当65b =，3325a b =-=时，22a b +的最小值为95，∴2295a b +≥．（2）∵0a >，0b >，23a b +=，∴3≥908ab <≤，当且仅当322a b ==时，取等号，∴334a b ab +22(4)ab a b =+2[(2)4]ab a b ab =+-22819(94)94()4()168ab ab ab ab ab =-=-=--， ∴98ab =时，334a b ab +的最大值为8116，∴3381416a b ab +≤．。
湖北名师联盟2020届高三上学期第一次模拟考试数字(理)试题
湖北名师联盟2020届高三上学期第一次模拟考试数字（理）试题一、选择题 本大题共12道小题。
1.已知点F 2是双曲线22:193x y C -=的右焦点，动点A 在双曲线左支上，点B 为圆22:(2)1E x y ++=上一点，则2||||AB AF +的最小值为（ ）A ．9B ．8C ．D ．2.已知集合{}2|650A x x x =-+≤，{|B x y ==，A ∩B =（ ）A ． [1,+∞)B ．[1,3]C ．(3,5]D ．[3,5]3.如图，已知P ，Q 是函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,0,||)2A ωϕ>><的图象与x 轴的两个相邻交点，R 是函数()f x 的图象的最高点，且RP RQ ⋅u u u r u u u r=3，若函数()g x 的图象与()f x 的图象关于直线1x =对称，则函数()g x 的解析式是（ ） A ．ππ()sin()24g x x =+ B ．ππ()sin()24g x x =- C ．ππ()2sin()24g x x =+ D ．ππ()2sin()24g x x =-答案第2页，总14页…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………4.如图1为某省2019年1~4月快递业务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（ ）A ．2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长 5.函数1()cos 1x x e f x x e +=⋅-的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6.执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A ．0B ．2C ．4D ．－27.已知两个单位向量12,e e ，满足12|2|3e e -=，则12,e e 的夹角为（ ） A ．2π3B ．3π4C ．π3D ．π48.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是AB ，A 1D 1的中点，O 为正方形A 1B 1C 1D 1的中心，则（ ）A ．直线EF ，AO 是异面直线B ．直线EF ，BB 1是相交直线C ．直线EF 与BC 1所成的角为30°D ．直线EF ，BB 1所成角的余弦值为339.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[1,2]上是减函数，令ln 2a =，121()4b -=，12log 2c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系为（ ）A ．()()()f b f c f a <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f c f b f a <<D ．()()()f c f a f b <<10.答案第4页，总14页…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………已知斐波那契数列的前七项为1、1、2、3、5、8、13．大多数植物的花，其花瓣数按层从内往外都恰是斐波那契数，现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵，花瓣总数为99，假设这种“雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有（ ）层． A ．5 B ．6C ．7D ．811.已知三棱锥P -ABC 满足P A ⊥底面ABC ，在△ABC 中，6AB =，8AC =，AB AC ⊥，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =．球O 为三棱锥P -ABC 的外接球，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为40π，则球O 的表面积为（ ） A ．72π B ．86πC ．112πD ．128π12.34i 34i12i 12i+--=-+（ ） A ．－4 B ．4C ．－4iD ．4i评卷人 得分一、填空题 本大题共4道小题。
湖北省2020年高考数学一模试卷(理科)(I)卷
湖北省2020年高考数学一模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2020高三上·哈尔滨月考) 已知集合，，则的非空真子集的个数为（）A . 3B . 6C . 7D . 82. （2分） (2019高二上·衡阳月考) 是虚数单位，复数的虚部（）A . 2B . -2C .D .3. （2分） (2015高一下·新疆开学考) 设向量与的夹角为θ，，，则cosθ等于（）A .B .C .D .4. （2分） (2020高三上·红桥期中) 设随机变量，则（）A . 0B . 1C .D .5. （2分） (2018高一下·西华期末) 已知角的终边在射线上，则等于（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高一上·丹东月考) 已知函数，正实数满足，且，若在区间上的最大值为2，则的值分别为（）A .B .C .D .7. （2分）若某程序框图如右下图所示，则该程序运行后输出的a等于（）A . 127B . 63C . 31D . 158. （2分） (2016高二上·衡阳期中) 已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2﹣c2+b2=ab，则角C等于（）A .B . 或C .D .9. （2分） (2017高三上·集宁月考) 已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .10. （2分）(2012·新课标卷理) 已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·广州模拟) 已知点M（﹣1，0）和N（1，0），若某直线上存在点P，使得|PM|+|PN|=4，则称该直线为“椭型直线”．现有下列直线：①x﹣2y+6=0；②x﹣y=0；③2x﹣y+1=0；④x+y﹣3=0．其中是“椭型直线”的是（）A . ①③B . ①②C . ②③D . ③④12. （2分）已知数列的通项公式为，那么是这个数列的（）A . 第3项B . 第4项C . 第5项D . 第6项二、填空题： (共4题；共5分)13. （2分） (2019高一上·涟水月考) 函数的图像是由的图像向________选填“左”或“右”）平移________个单位得到的.14. （1分）设实数x，y满足则u=的取值范围是________15. （1分）(2017·昆明模拟) 函数f（x）=xlnx+a在点（1，f（1））处的切线方程为y=kx+b，则a﹣b=________．16. （1分） (2015高三上·丰台期末) 在△ABC中，，点M，N是线段AB上的动点，则的最大值为________．三、解答题： (共7题；共50分)17. （5分） (2020高三上·内蒙古期中) 已知数列的前项和为，满足，.（Ⅰ）求数列的前项和；（Ⅱ）令，求的前项和 .18. （5分）研究性学习小组为了解某生活小区居民用水量y（吨）与气温x（℃）之间的关系，随机统计并制作了5天该小区居民用水量与当天气温的对应表：日期9月5日10月3日10月8日11月16日12月21日气温x（℃）1815119﹣3用水量y（吨）5746363724（Ⅰ）若从这随机统计的5天中任取2天，求这2天中有且只有1天用水量低于40吨的概率（列出所有的基本事件）；（Ⅱ）由表中数据求得线性回归方程=x+中的，试求出的值，并预测当地气温为5℃时，该生活小区的用水量．19. （10分） (2019高一下·钦州期末) 如图，在四棱锥中，，底面是矩形，侧面底面 , 是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面 .20. （5分）(2017·昌平模拟) 已知椭圆E： + =1（a＞b＞0）的离心率为，四边形ABCD的各顶点均在椭圆E上，且对角线AC，BD均过坐标原点O，点D（2，1），AC，BD的斜率之积为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过D作直线l平行于AC．若直线l′平行于BD，且与椭圆E交于不同的两点M．N，与直线l交于点P．⑴证明：直线l与椭圆E有且只有一个公共点；⑵证明：存在常数λ，使得|PD|2=λ|PM|•|PN|，并求出λ的值．21. （5分）已知函数f（x）=（x+m）lnx﹣（m+1+ ）x在x=e处取到极值（Ⅰ）求m的值（Ⅱ）当x＞1时，证明f（x）+（2+ ）x＞2x﹣2（Ⅲ）如果s，t，r满足|s﹣r|≤|t﹣r|，那么称s比t更靠近r，当a≥2且x≥1时，试比较和ex﹣1+a 哪个更靠近f（x），并说明理由．22. （10分）(2017·上高模拟) 选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l过定点P（1，1），且倾斜角为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线C 的极坐标方程为．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求|AB|及|PA|•|PB|的值．23. （10分）已知正实数a、b满足：．（1）求a+b的最小值m；（2）在（1）的条件下，若不等式|x﹣1|+|x﹣t|≥m对任意实数x恒成立，求实数t的取值范围．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共50分)17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。
2020届全国名师联盟高三上学期入学测试考试卷(一)数学理科试题答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 、选择题：本大题共 2020届高三入学调研考试卷理科数 是符合题目要求的. 【答案】 【答案】 【答案】 【答案】 【答案】 【答案】 【答案】 【答案】 12小题，每小题10.【答案】C 11.【答案】 C 12. 【答案】 A二 _、 填空题 :本大题共4小题, 13. 【答案】 2 120或 314. 【答案】 4815. 【答案】 (x 4)2 (y 4)2 516. 【答案】 5 14三、 解答题 :本大题共 6小题， 17. 【答案】 (1) A 45 ； 12 (2) .【答案】 9. A 5每小题 【解析】T tan B1 tan(C A)' 学（一）答案5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项5分.共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.sin B cosBcos(C sin(C A) A) cos(C A)cos B sin(C A)sin Bcos(C A B) 0，即 cos(180 2A) 0 .••• AA 1 平面 ABC ,•平面 AAC i C 平面 ABC ,• BD 平面 AAC -C ,••• BD AE .又•••在正万形 AAC -C 中，D , E 分别是AC , CC -的中点， 易证得：△ A -AD△ACE ,A - DA AEC ,•/ AEC CAE90 ,• • A -DACAE 90，即 AD AE又 A -D I BD D ,• AE平面A -BD , AE平面 AEB ,所以平面AEB 平面ABD .(2)取 AC -中点 F ,以 DF , DA , DB 为 x ,y , z 轴建立空间直角坐标系,二 cos2A 0, 0 A 180，2A 90 ,则 A 45 •(2)T tanBsin Btan(C 45 )ta^ 2 ,•1 tan CtanC si nC3 J0，由正弦定理—2 2sin A 2T可得12 •.1011 4 所以 S -bcsinA2____ 12_2 五12 518.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）V AB BC CA ,D 是AC 的中点，•••BD AC ，D(0, 0,0),E(1, 1,0),B(0,0,、,3) , A(2,1,0),uuu - uurDB (0,0, .3) , DE (1, 1,0),uur UJITBA (2,1, 、、3) , (1,2,0)，uuu _DB m 0 V3z 0 设平面DBE的一个法向量为m(x, y,z)，贝y uuurDE m 0 x y 0令x 1，则m (1,1,0),设平面BA i E的一个法向量为n (a,b,c),UULT _ntt BA n 0 2a b ,3c 0则uuir ,EA n 0 a 2b 0令b 1,则n ( 2,1,、、3),鶴1，将点入，解得b 1，则a2，b 3 32所以椭圆的标准方程为—y2 1 .，观察可知为锐角,cos m, nl m, n l 1|m|| n| 4’故二面角D1BE A的余弦值为一•419.【答案】2⑴一 y2 1; (2) y.14 3「2x2 2设二面角D BE A的平面角为2【解析】（1）依题意，得c b，所以a.2b，2(2)由题意知直线I 的斜率存在，设I 斜率为k , P(O,m) ( m 1),则直线I 方程为y kx m ,mn 9设 A(x i , y i ), B(X 2,y 2)，直线 I 与圆 O 相切，则1,即 m 21 k 2,Ji k 2联立直线与椭圆方程，消元得(1 2k 2)x 2 4kmx 2m 2 2 0 ,调整后应纳税：2500 3% 75元， 比较两纳税情况，可知调整后少交个税 220元,即个人的实际收入增加了 220元.(2)由题意，知［3000,5000)组抽取3人，［5000,7000)组抽取4人,0,当 x 1,y3 或 x 3, y 1 时，X所求分布列为k 0, x ] x 24 km 21 2k 2X-|X 22m 2 2 1 2 k 22k 2药，uur 因为PA uuuAB , 所以x 22x !，即 x-i4 km 3(1 2k 2) 2 X1k 2 1 2k 2 '所以29(1 2k 2)1, 解得 k 27，即2 14 2，m3 Z2 2 ，所求直线方程为32 220.【答案】(1)220 ; (2 )见解析.【解析】(1)按调整前起征点应缴纳个税为:1500 3% 2500 10% 295元,0,y4时, X 4，所以X 的所有取值为：0,2,4 ,P(X0)18 35P(X 2) C3C ： C 3C 4 16C ； 35’P(X4)C30C 4丄35y 2 时，X2E(X) 018 35 空4丄3535 36 35 21.【答案】 (1) ,0]U{2}； (2) [0,). 【解析】(1) f(x) x 2 a l n x a f (x) 2x -x c 2 2x a ①当 a 0 时，f (x) 0恒成立, 所以 f (x)单调递增, 因为 f(1) 0，所以f (x)有唯一零点, 即a 0符合题意; ②当 a 0时，令f (x) 0，解得x0存事g亠:，列表如下: 由表可知, (i )当 (ii )当因为f(e 故存在x 1 (iii )当 因为 f (a )上递增.a2f(x)min f(・，)，函数f(x)在(0,、)上递减，在min1 a ) (e 1) 1，即a2 时，f (x)minf (1) 0，所以a 2符合题意;f(1) 0，ae一)，使得 f(xjf(1)0，所以0 a 2不符题意;1，即 a 2 时，f (2)f(1) 0， (a 所以h(t)单调递增, 故存在x 2(、：a21) aln(a 1)2 In (a 1) t1 a(a2 ln(a1))，1 In th(t)，则 1h(t) 1即 h(t) h(1) 0，所以 f (a 1)0，所以 a 11)，使得 f(X 2) f (1)0，所以a 2不符题意;综上，a的取值范围为(，0] U{2}.(2)g(x) a ln x e x ex，贝U g (x) — e x e , g (x) e x x ax [1,).①当a 0 时，g (x) 0恒成立，所以g(x)单调递增，所以g(x)g(i) 0,0符合题意;②当a 0时, g (x) 0恒成立，所以g (x)单调递增,又因为g (1) g (ln(e a))a a a(1 ln(e a)) °ln(e a) ■‘ln(e a)所以存在X。
2020届高三数学一模试题理(含解析)
2020届高三数学一模试题理（含解析）第Ⅰ卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，＝（）A. [－2，1]B. [－2，2]C. [1，2]D. （－∞，2]【答案】A【解析】【分析】利用不等式的性质先求出集合B，再由交集定义求出．【详解】解：∵集合，，．故选A．【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质及交集定义的合理运用．2.若（是虚数单位），则的值为（）A. 3B. 5C.D.【答案】D【解析】分析】直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可.【详解】（是虚数单位）可得解得本题正确选项：【点睛】本题考查复数的模的运算法则的应用，复数的模的求法，考查计算能力.3.已知向量，，.若为实数且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：，因为，则，选B；考点：向量的坐标运算；4.观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在的频率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】频率分布直方图的纵轴表示的是，所以结合组距为300可得频率．【详解】解：由频率分布直方图可得：新生婴儿体重在的频率为：．故选．【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握频率分布直方图以及其纵轴所表示的意义．5.已知命题，，则p是q成立的（）条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 既不充分也不必要D. 充要【答案】B【解析】【分析】解对数不等式得到命题中的范围，然后根据充分条件、必要条件的定义判定即可得到结论．【详解】由，得．∵，∴p是q成立的必要不充分条件．故选B．【点睛】充分、必要条件的判断方法（1）利用定义判断：直接判断“若p，则q”、“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么．（2）从集合的角度判断：利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题．（3）利用等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假．6.设等差数列的前项和为.若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】又.可得，则故选D.7.如图，为正方体，下面结论错误的是（）A. 平面B.C. 平面D. 异面直线与所成的角为【答案】D【解析】【详解】在正方体中与平行，因此有与平面平行，A正确；在平面内的射影垂直于，因此有，B正确；与B同理有与垂直，从而平面，C正确；由知与所成角为45°，D错．故选D．8.现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）A. ①④②③B. ①④③②C. ④①②③D. ③④②①【答案】A【解析】【分析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到．【详解】解：①为偶函数，它的图象关于轴对称，故第一个图象即是；②为奇函数，它的图象关于原点对称，它在上的值为正数，在上的值为负数，故第三个图象满足；③为奇函数，当时，，故第四个图象满足；④，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，故选A．【点睛】本题主要考查函数图象，函数的奇偶性、函数的值的符号，属于中档题．9.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：考点：同角间三角函数关系【此处有视频，请去附件查看】10.直线过点（0，2），被圆截得的弦长为2则直线l的方程是（）A. B.C. D. y=或y=2【答案】D【解析】【分析】根据垂径定理得圆心到直线距离,再设直线方程点斜式,利用点到直线距离公式求斜率,即得结果.【详解】因为直线l被圆C：，截得的弦长为，所以圆心到直线距离为，设直线l 的方程为，（斜率不存在时不满足题意）则或，即直线l的方程是或,选D.【点睛】本题考查垂径定理，考查基本转化求解能力，属基础题.11.椭圆长轴上的两端点，，两焦点恰好把长轴三等分，则该椭圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，，且，可得且，再根据椭圆中、、的平方关系得到的值，结合椭圆焦点在轴，得到此椭圆的标准方程．【详解】由题意可设所求的椭圆的方程为，且由两焦点恰好把长轴三等分可得即，故所求的椭圆方程为：故选．【点睛】对于椭圆方程的求解一般需要先判断椭圆的焦点位置，进而设出椭圆的方程，求解出，的值．12.函数有极值的充要条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，即，应选答案C．第Ⅱ卷二、填空题13.某校邀请6位学生的父母共12人，请这12位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，如果这4位家长中恰有一对是夫妻，那么不同的选择方法有______种.【答案】240【解析】【分析】先从6对夫妇中选一对，再从余下的5对夫妇中选两对，每一对中选一位，根据分步计数原理，即可得到结果．【详解】解：分步完成，4位中恰有一对是夫妇，则先从6对夫妇中选一对，有种结果，再从余下的5对夫妇中选两对，每一对中选一位有种结果，根据分步计数原理得到结果是6×40＝240，故答案为240．【点睛】本题是一个带有约束条件的排列组合问题，解题时排列与组合问题要区分开，解题的关键是利用分步计数原理，把握好分类的原则．14.已知等比数列满足，则．【答案】64【解析】试题分析：设等比数列公比为，根据题意可得，所以，所以考点：等比数列性质15. 如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是___________.【答案】36【解析】【分析】根据题中定义“正交线面对”的含义，找出正方体中“正交线面对”的组数，即可得出结果.【详解】如果一条直线与一个平面垂直，那么，这一组直线与平面就构成一个正交线面对.如下图所示：①对于正方体的每一条棱，都有个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有个；②对于正方体的每一条面对角线（如，则平面），均有一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有个.综上所述，正方体中的“正交线面对”共有个.故答案为.16.如图，已知是函数图象上的两点，是函数图象上的一点，且直线垂直于轴，若是等腰直角三角形（其中为直角顶点），则点的横坐标为__________．【答案】【解析】【详解】设因为，所以，因为是等腰直角三角形，所以可得，又因为在函数图象上，所以，解得点A的横坐标为，故答案为.三、解答题（本大题共70分解答应写出文字说明、解答过程成演算步骤，第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22 23题为选考题，考生根据要求作等）（一）必考题17.在中，求的值.【答案】【解析】【详解】由即，解得：（因为舍去）或.18.如图所示,在直三棱柱中,,,.(1)证明:;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；（2）.【解析】【详解】(1)证明:三棱柱为直三棱柱,,在中,,,,由正弦定理得,,即,平面,又平面,.(2)如图,作交于D点,连接BD,由三垂线定理知,为二面角平面角.在中,,在中,,即二面角的余弦值为.19.盒中装有一打（12个）乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中取3个来用，使用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，求的分布列.【答案】详见解析【解析】【分析】从盒中任取3个，这3个可能全是旧的，2个旧的1个新的，1个旧的2个新的或全是新的，所以用完放回盒中，盒中旧球个数可能是3个，4个，5个，6个，即可以取3，4，5，6．取每个值的概率可由古典概型求得，列出分布列即可．【详解】解：的可能取值为3，4，5，6，，，.此时旧球个数的概率分布列为3【点睛】本题考查排列组合、古典概型、离散型随机变量的分布列问题，解题的关键是正确地求出取某个值时对应的事件的概率．20.已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线方程为，且过点．（Ⅰ）求双曲线方程；（Ⅱ）若点在此双曲线上，求．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）0【解析】【详解】试题分析：（1）设双曲线方程为，由双曲线过点，能求出双曲线方程；（2）由点在此双曲线上，得．由此能求出的值试题解析：（Ⅰ）由题意，设双曲线方程将点代入双曲线方程，得，即所以，所求的双曲线方程为（Ⅱ）由（1）知因为，所以又在双曲线上，则考点：双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系21.已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若函数的图像与直线恰有两个交点，求的取值范围．【答案】（1）的递增区间为的递减区间为（2）或.【解析】试题分析：（1）利用导数求函数单调区间，关键明确定义域，正确求出导函数. 因为,令得由时，列表分析在根的左右的符号，得的递增区间为，的递减区间为，（2）由（1）得到，，要使的图像与直线恰有两个交点，只要或，即或.解：（1）因为2分令得由时，在根的左右的符号如下表所示极小值极大值极小值所以的递增区间为6分的递减区间为8分（2）由（1）得到，要使的图像与直线恰有两个交点，只要或， 14分即或. 16分考点：利用导数研究函数性质【此处有视频，请去附件查看】（二）选考题（共10分请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分）22.在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），求直线与曲线交点的直角坐标．【答案】点的直角坐标为【解析】【分析】将曲线的参数方程化为普通方程，直线的极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程求交点坐标．【详解】解：直线的普通方程为，①曲线的直角坐标方程为，②联立①②解方程组得或根据的范围应舍去故点的直角坐标为．【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化成普通方程，属基础题．23.选修4-5：不等式选讲设不等式（）的解集为，且，.（1）求的值；（2）求函数的最小值.【答案】（1）（2）的最小值为3【解析】试题分析：利用，推出关于的绝对值不等式，结合为整数直接求的值；（2）利用的值化简函数，利用绝对值基本不等式求出的最小值.试题解析：（1）因为，且，所以，且解得，又因为，所以.（2）因当且仅当，即时取得等号，所以的最小值为3.2020届高三数学一模试题理（含解析）第Ⅰ卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，＝（）A. [－2，1]B. [－2，2]C. [1，2]D. （－∞，2]【答案】A【解析】【分析】利用不等式的性质先求出集合B，再由交集定义求出．【详解】解：∵集合，，．故选A．【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质及交集定义的合理运用．2.若（是虚数单位），则的值为（）A. 3B. 5C.D.【答案】D【解析】分析】直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可.【详解】（是虚数单位）可得解得本题正确选项：【点睛】本题考查复数的模的运算法则的应用，复数的模的求法，考查计算能力.3.已知向量，，.若为实数且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：，因为，则，选B；考点：向量的坐标运算；4.观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在的频率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】频率分布直方图的纵轴表示的是，所以结合组距为300可得频率．【详解】解：由频率分布直方图可得：新生婴儿体重在的频率为：．故选．【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握频率分布直方图以及其纵轴所表示的意义．5.已知命题，，则p是q成立的（）条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 既不充分也不必要D. 充要【答案】B【解析】【分析】解对数不等式得到命题中的范围，然后根据充分条件、必要条件的定义判定即可得到结论．【详解】由，得．∵，∴p是q成立的必要不充分条件．故选B．【点睛】充分、必要条件的判断方法（1）利用定义判断：直接判断“若p，则q”、“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么．（2）从集合的角度判断：利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题．（3）利用等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假．6.设等差数列的前项和为.若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】又.可得，则故选D.7.如图，为正方体，下面结论错误的是（）A. 平面B.C. 平面D. 异面直线与所成的角为【答案】D【解析】【详解】在正方体中与平行，因此有与平面平行，A正确；在平面内的射影垂直于，因此有，B正确；与B同理有与垂直，从而平面，C正确；由知与所成角为45°，D错．故选D．8.现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）A. ①④②③B. ①④③②C. ④①②③D. ③④②①【答案】A【解析】【分析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到．【详解】解：①为偶函数，它的图象关于轴对称，故第一个图象即是；②为奇函数，它的图象关于原点对称，它在上的值为正数，在上的值为负数，故第三个图象满足；③为奇函数，当时，，故第四个图象满足；④，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，故选A．【点睛】本题主要考查函数图象，函数的奇偶性、函数的值的符号，属于中档题．9.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：考点：同角间三角函数关系【此处有视频，请去附件查看】10.直线过点（0，2），被圆截得的弦长为2则直线l的方程是（）A. B.C. D. y=或y=2【答案】D【解析】【分析】根据垂径定理得圆心到直线距离,再设直线方程点斜式,利用点到直线距离公式求斜率,即得结果.【详解】因为直线l被圆C：，截得的弦长为，所以圆心到直线距离为，设直线l的方程为，（斜率不存在时不满足题意）则或，即直线l的方程是或,选D.【点睛】本题考查垂径定理，考查基本转化求解能力，属基础题.11.椭圆长轴上的两端点，，两焦点恰好把长轴三等分，则该椭圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，，且，可得且，再根据椭圆中、、的平方关系得到的值，结合椭圆焦点在轴，得到此椭圆的标准方程．【详解】由题意可设所求的椭圆的方程为，且由两焦点恰好把长轴三等分可得即，故所求的椭圆方程为：故选．【点睛】对于椭圆方程的求解一般需要先判断椭圆的焦点位置，进而设出椭圆的方程，求解出，的值．12.函数有极值的充要条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，即，应选答案C．第Ⅱ卷二、填空题13.某校邀请6位学生的父母共12人，请这12位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，如果这4位家长中恰有一对是夫妻，那么不同的选择方法有______种.【答案】240【解析】【分析】先从6对夫妇中选一对，再从余下的5对夫妇中选两对，每一对中选一位，根据分步计数原理，即可得到结果．【详解】解：分步完成，4位中恰有一对是夫妇，则先从6对夫妇中选一对，有种结果，再从余下的5对夫妇中选两对，每一对中选一位有种结果，根据分步计数原理得到结果是6×40＝240，故答案为240．【点睛】本题是一个带有约束条件的排列组合问题，解题时排列与组合问题要区分开，解题的关键是利用分步计数原理，把握好分类的原则．14.已知等比数列满足，则．【答案】64【解析】试题分析：设等比数列公比为，根据题意可得，所以，所以考点：等比数列性质15. 如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是___________.【答案】36【解析】【分析】根据题中定义“正交线面对”的含义，找出正方体中“正交线面对”的组数，即可得出结果.【详解】如果一条直线与一个平面垂直，那么，这一组直线与平面就构成一个正交线面对.如下图所示：①对于正方体的每一条棱，都有个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有个；②对于正方体的每一条面对角线（如，则平面），均有一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有个.综上所述，正方体中的“正交线面对”共有个.故答案为.16.如图，已知是函数图象上的两点，是函数图象上的一点，且直线垂直于轴，若是等腰直角三角形（其中为直角顶点），则点的横坐标为__________．【答案】【解析】【详解】设因为，所以，因为是等腰直角三角形，所以可得，又因为在函数图象上，所以，解得点A的横坐标为，故答案为.三、解答题（本大题共70分解答应写出文字说明、解答过程成演算步骤，第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22 23题为选考题，考生根据要求作等）（一）必考题17.在中，求的值.【答案】【解析】【详解】由即，解得：（因为舍去）或.18.如图所示,在直三棱柱中,,,.(1)证明:;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；（2）.【解析】【详解】(1)证明:三棱柱为直三棱柱,,在中,,,,由正弦定理得,,即,平面,又平面,.(2)如图,作交于D点,连接BD,由三垂线定理知,为二面角平面角.在中,,在中,,即二面角的余弦值为.19.盒中装有一打（12个）乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中取3个来用，使用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，求的分布列.【答案】详见解析【解析】【分析】从盒中任取3个，这3个可能全是旧的，2个旧的1个新的，1个旧的2个新的或全是新的，所以用完放回盒中，盒中旧球个数可能是3个，4个，5个，6个，即可以取3，4，5，6．取每个值的概率可由古典概型求得，列出分布列即可．【详解】解：的可能取值为3，4，5，6，，，.此时旧球个数的概率分布列为3【点睛】本题考查排列组合、古典概型、离散型随机变量的分布列问题，解题的关键是正确地求出取某个值时对应的事件的概率．20.已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线方程为，且过点．（Ⅰ）求双曲线方程；（Ⅱ）若点在此双曲线上，求．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）0【解析】【详解】试题分析：（1）设双曲线方程为，由双曲线过点，能求出双曲线方程；（2）由点在此双曲线上，得．由此能求出的值试题解析：（Ⅰ）由题意，设双曲线方程将点代入双曲线方程，得，即所以，所求的双曲线方程为（Ⅱ）由（1）知因为，所以又在双曲线上，则考点：双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系21.已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若函数的图像与直线恰有两个交点，求的取值范围．【答案】（1）的递增区间为的递减区间为（2）或.【解析】试题分析：（1）利用导数求函数单调区间，关键明确定义域，正确求出导函数. 因为,令得由时，列表分析在根的左右的符号，得的递增区间为，的递减区间为，（2）由（1）得到，，要使的图像与直线恰有两个交点，只要或，即或.解：（1）因为2分令得由时，在根的左右的符号如下表所示极小值极大值极小值所以的递增区间为6分的递减区间为8分（2）由（1）得到，要使的图像与直线恰有两个交点，只要或， 14分即或. 16分考点：利用导数研究函数性质【此处有视频，请去附件查看】（二）选考题（共10分请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分）22.在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），求直线与曲线交点的直角坐标．【答案】点的直角坐标为【解析】【分析】将曲线的参数方程化为普通方程，直线的极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程求交点坐标．【详解】解：直线的普通方程为，①曲线的直角坐标方程为，②联立①②解方程组得或根据的范围应舍去故点的直角坐标为．【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化成普通方程，属基础题．23.选修4-5：不等式选讲设不等式（）的解集为，且，.（1）求的值；（2）求函数的最小值.【答案】（1）（2）的最小值为3【解析】试题分析：利用，推出关于的绝对值不等式，结合为整数直接求的值；（2）利用的值化简函数，利用绝对值基本不等式求出的最小值.试题解析：（1）因为，且，所以，且解得，又因为，所以.（2）因当且仅当，即时取得等号，所以的最小值为3.。
2020届高三上第一次模考理科数学试卷及答案解析
2020届高三第一次统一测试理科数学试题本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合{}2|230A x x x =--≥，{}22|≤≤-=x x B ，则A B =I （ ） A ．[]2,1--B ．[)1,2-C ．[]1,1-D ．[)1,22. 若复数z 满足(1)42z i i -=+，则z =（ ）A ．25BC ．5D ．173. 设S n 是等差数列{n a }的前n 项和，12a ＝－8,S 9＝－9,则S 16= ( )A ．－72B ．72 Ｃ．36 Ｄ．－364．设向量→a ，→b ,满足2||2||==→→b a 且1|32|=+→→b a ，则向量→a 在向量→b 方向的投影为（ ）A. -2B. -1C. 1D. 25()cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 2α=（ ）A ．773 B ．37 C ．77D 6.设0.1log 0.2a =， 1.1log 0.2b =，0.21.2c =，0.21.1d =则（ ） A ．a b d c >>> B ．c a d b >>> C ．d c a b >>>D ．c d a b >>>7.若βα,是两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“βα⊥”是“β⊥m ”的（ ）条件A.充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 8．四棱锥P －ABCD 的所有侧棱长都为5，底面ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与PA 所成角的余弦值为( ) A.255 B.35 C.45 D.559．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)3()5(-=+x f x f ，如果当[)4,0∈x 时，)2(log )(2+=x x f ，则)766(f =（ ）A ．2-B ．3C ．3-D ．210.将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A.π12B.π6C.π3D.5π611.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2+=，若)()2(2a f a f >-，则实数a 的取值范围是（ ）A.),2()1,(+∞--∞YB. )2,1(-C.)1,2(-D.),1()2,(+∞--∞Y 12．已知函数()e sin x f x x =，其中x ∈R ，e 2.71828=L 为自然对数的底数．当[0,]2x π∈时，函数()y f x =的图象不在直线y kx =的下方，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．2(,e )π-∞ D ．2(,e ]π-∞（Ⅱ卷 非选择题 满分90分）二、填空题（本题共有4小题，每小题5分，共20分）13．已知变量x ，y 满足约束条件20,2,0,x y y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =+的最大值为14．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S = 15.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别c b a ,,，若ABC ∆的面积为)(21222b a c --则内角C 的余弦值=16．在三棱锥A BCD -中，底面为Rt △，且BC CD ⊥，斜边BD 上的高为1，三棱锥A BCD -的外接球的直径是AB ，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为__________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：60分.17．（本题满分12分）已知数列{}n a 满足()2n n S a n n =-∈*N ． （1）证明：{}1n a +是等比数列；（2）求()13521n a a a a n +++++∈*N L ．18.（本题满分12分）已知ABC ∆是斜三角形，内角C B A ,,所对的边的长分别为c b a ,,，且C a A c cos 3sin =（1）求角C;（2）若A A B C c 2sin 5)sin(sin ,21=-+=,求ABC ∆的面积。
2020届湖北名校联盟高三数学模拟卷(附解析)
2020届湖北名校联盟高三数学模拟卷（附解析）数学（理科）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数z 满足()12i 3i z +=+，i 为虚数单位，则z 的共轭复数z =（ ） A ．1 B ．1i - C ．2 D ．1i +【答案】D【解析】由()12i 3i z +=+，()()23i 12i 3i 55i1i 12i 14i 5z +-+-====-+-， ∴z 的共轭复数为1i +，故选D ．2．已知集合(){}2log 12A x x =∈+≤R ，{}2,1,0,1,2,3,4B =--，则A B =（ ）A ．{}1,0,1,2,3-B ．{}0,1,2,3C ．{}1,2,3D ．{}0,1,2【答案】B【解析】由题可知(]1,3A =-，则{}0,1,2,3AB =．故选B ．3．军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩．数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图，并给出下列4个结论：（1）甲的平均成绩比乙的平均成绩高；（2）甲的成绩的极差是29；（3）乙的成绩的众数是21；（4）乙的成绩的中位数是18．则这4个结论中，正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据茎叶图知甲的平均成绩大约二十几，乙的平均成绩大约十几，因此（1）对； 甲的成绩的极差是37829-=，（2）对；乙的成绩的众数是21，（3）对； 乙的成绩的中位数是181918.52+=．（4）错，故选C ． 4．中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人最后一天走的路程为（ ） A ．24里 B ．12里 C ．6里 D ．3里【答案】C【解析】记每天走的路程里数为{}n a ，可知{}n a 是公比12q =的等比数列， 由6378S =，得166112378112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，解得1192a =，∴65119262a =⨯=，故选C ． 5．已知α是第三象限角，且π3cos 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A ．2425B ．2425-C ．725D ．725-【答案】A【解析】π33cos sin 255αα⎛⎫+=⇒=- ⎪⎝⎭，∵22sin cos 1αα+=，α是第三象限角∴4cos 5α==-，∴24sin 22sin cos 25ααα==，故选A ．6．已知向量a ，b 满足2=a，=b ()2⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（ ） A ．1 B ．1-CD．【答案】B【解析】由于()2⊥+a a b ，故()20⊥+=a a b ，即22420+⋅=+⋅=a a b a b ，2⋅=-a b ． 故b 在a 方向上的投影为212⋅-==-a b a ．故选B ． 7．[函数()sin f x x x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】函数()sin f x x x =为奇函数，图象关于原点中心对称，可排除B ，C ； 又()ππsin π0f =＝，故排除D ．故选A ．8．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ===，2BC =，点D 为BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】B【解析】取11B C 的中点1D ，连结11A D 、1CD ，在直三棱柱111ABC A B C -，点D 为BC 的中点，∴11AA DD =且11AA DD ∥， ∴11AD A D ∥且11AD A D =，∴11CA D ∠就是异面直线AD 与1A C 所成的角，AB AC ==2BC =可以求出111AD A D ==，在11Rt CC D △中，由勾股定理可求出1CD = 在1Rt AAC △中，由勾股定理可求出12A C =， 显然11A D C △是直角三角形，1111sin CD CA D AC ∠=11π3CA D ∠=，故选B ． 9．在数列{}n a 中，已知11a =，且对于任意的m ，*n ∈N ，都有m n m n a a a mn +=++，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n = B ．1n a n =+ C ．()12n n n a -=D ．()12n n n a +=【答案】D【解析】令1m =，得11n n a a n +=++，∴11n n a a n +-=+， ∴212a a -=，323a a -=，，1n n a a n --=，∴1234n a n -=++++，∴()112342n n n a n +=+++++=．故选D ．10．过双曲线()222210,0xy a b a b-=>>的右焦点且与对称轴垂直的直线与双曲线交于A ，B 两点，OAB △的，则双曲线的离心率为（） ABC D【答案】D【解析】右焦点设为F ，其坐标为(),0c ，令x c =，代入双曲线方程可得2b y a =±=±，OAB △的面积为2122bb c a a ⋅⋅⇒=，可得c e a ====，故选D ．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A ．8+B．2+C ．2+D ．2+【答案】D【解析】由题意可知几何体的直观图如图：是正方体列出为2的一部分A BCD-，三棱锥的表面积为(2112222222⨯⨯+⨯⨯⨯=+．故选D．12．已知在菱形ABCD中，60BCD∠=︒，曲线1C是以A，C为焦点，通过B，D两点且与直线40x+-=相切的椭圆，则曲线1C的方程为（）A．22143x y+=B．2214xy+=C．22154x y+=D．22182x y+=【答案】B【解析】如图，由题意可得()20a b b=>，则设椭圆方程为222214x yb b+=．联立22224014xx yb b⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，得22440y b-+-=．由()2481640b∆=--=，解得1b=．∴曲线1C的方程为2214xy+=．故选B．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知x ，y 满足约束条件11222x y x y -≤-≤⎧⎨-≤+≤⎩，则3z x y =+的最大值为____．【答案】3【解析】根据约束条件可以画出可行域，如下图所示：由3z x y =+，可知直线3y x z =-+过()1,0A 时，z 有最大值为3103⨯+=． 14．执行如图所示的程序框图，则输出的x 值为_____．【答案】1712【解析】运行程序，2x =，1n =，判断是，32x =，2n =，判断是，1712x =，3n =，判断否，输出1712x =．15．如下分组的正整数对：第1组为()(){}1,2,2,1，第2组为()(){}1,3,3,1，第3组为()()()(){}1,4,2,3,3,2,4,1，第4组为()()()(){}1,5,2,4,4,2,5,1，⋯，则第40组第21个数对为______． 【答案】()22,20【解析】由题意可得第一组的各个数和为3，第二组各个数和为4， 第三组各个数和为5，第四组各个数和为6，，第n 组各个数和为2n +，且各个数对无重复数字，可得第40组各个数和为42， 则第40组第21个数对为()22,20．故答案为()22,20．16．函数()264ln f x x x x =-+的图象与直线y m =有三个交点，则实数m 的取值范围为____________． 【答案】()4ln 28,5--【解析】由题意得()2426426x x f x x x x='-+=-+，令()0f x '=，解得1x =或2x =，易得当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当()1,2x ∈，()0f x '<，()f x 单调递减，当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴()1=5f -为极大值，()24ln 28f =-为极小值，∴4ln285m -<<-．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边分别为2b =，()sin sin sin A B C B -=-． （1）求A ；（2）若D 是AC 边的中点，BD =a ．【答案】（1）π3；（2 【解析】（1）∵()sin sin sin A B C B -=-，∴()sin sin sin B C A B =--， 即()()sin sin sin B A B A B =+--，整理得sin 2cos sin B A B =； 又sin 0B ≠，则1cos 2A =，则π3A =．（2）根据题意，设AB t =，又由2b AC ==，则1AD =，在ABD △中，有222212cos 12172BD AB AD AB AD A t t =+⨯⨯=+-⨯⨯⨯=-，即260t t --=，解可得3t =或2t =-，则3t =；在ABC △中，则222212cos 9423272a BC AB AC AB AC A ==+⨯⨯=+-⨯⨯⨯=-，则a ． 18．（12分）某工厂生产A 、B 两种零件，其质量测试按指标划分，指标大于或等于80cm 的为正品，小于80cm 的为次品．现随机抽取这两种零件各100个进行检测，检测结果统计如下：（1）试分别估计A 、B 两种零件为正品的概率；（2）生产1个零件A ，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损10元；生产1个零件，若是正品则盈利60元，若是次品则亏损15元，在（1）的条件下：（i ）设X 为生产1个零件A 和一个零件B 所得的总利润，求X 的分布列和数学期望； （ii ）求生产5个零件B 所得利润不少于160元的概率． 【答案】（1）45，34；（2）（i ）见解析；（ii ）81128． 【解析】（1）∵指标大于或等于80cm 的为正品，且A 、B 两种零件为正品的频数分别为80和75， ∴A 、B 两种零件为正品的概率估计值分别为()8041005P A ==，()7531004P B ==． （2）（i ）由题意知X 可能取值为25-，35，50，110， ()111255420P X =-=⨯=，()41135545P X ==⨯=， ()133505420P X ==⨯=，()431105453P X ==⨯=．∴X 的分布列为∴X 的数学期望为()()113325355011079.25205205E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=． （ii ）∵生产1个零件B 是正品的概率为()34P B =， 生产5个零件B 所产生的正品数Y 服从二项分布，即35,4Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，生产5个零件B 所得利润不少于160元，则其正品数大于或等于4件， ∴生产5个零件B 所得利润不少于160元的概率为 ()()41545553138145C C 444128P P Y P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+==+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 19．（12分）如图所示，在几何体ABCDE 中，ABC △是等边三角形，AE ⊥平面ABC ，CD AE ∥，且22CD AE AC ==．（1）试在线段BD 上确定点M 的位置，使EM ⊥平面BCD ，并证明； （2）求二面角E BC D --的余弦值．【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）当点M 为BD 的中点时，EM ⊥平面BCD ．证明如下：取BC 中点F ，连接AF ，MF ，∴MF CD ∥且12MF CD =，又AE CD ∥，12AE CD =，∴M F AE ∥且MF AE =，∴四边形AEMF 为平行四边形，∴EM AF ∥．又AE ⊥平面ABC ，CD AE ∥，∴CD ⊥平面ABC ， 又CD ⊂面BCD ，∴平面BCD ⊥平面ABC ， ∵ABC 是等边三角形，∴AF BC ⊥， 又平面ABC平面BCD BC =，∴AF ⊥平面BCD ，∴EM ⊥平面BCD ．（2）由（1）FA ，FB ，FM 两两互相垂直，以F 为原点，以FA ，FB ，FM 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设2EA AC ==，则4CD =，∴()0,1,0C -，()0,1,0B，)E ，∴()3,1,2CE =，()3,1,2BE =-．设平面EBC 的法向量为(),,x y z =n ，则00CE BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即2020y z y z ++=-+=，解得0y =，令x =32z=-，∴32⎫=-⎪⎭n ，由（1）知，平面BCD 的一个法向量为()1,0,0=m ，∴cos ,⋅==⋅m n m n m n E BC D--． 20．（12分）已知动圆P 过点10,8F ⎛⎫⎪⎝⎭且与直线18y =-相切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）若A ，B 是曲线C 上的两个点且直线AB 过AOB △的外心，其中O 为坐标原点，求证：直线AB 过定点．【答案】（1）212x y =；（2）见解析． 【解析】解法一：（1）由题意可知PF 等于点P 到直线18y =-的距离，∴曲线C 是以10,8F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，以直线18y =-为准线的抛物线，∴曲线C 的方程为212x y =．解法二：（1）设(),P x y ，由题意可知PF 等于点P 到直线18y =-的距离，18y +，整理得曲线C 的方程为212x y =．（2）设直线:AB y kx m =+，代入212x y =，得220x kx m --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2112y x =，2222y x =，280k m ∆=+>，122m x x =-，()()()2212221212224y y x x x x m ===， ∵直线AB 过AOB △的外心，∴OA OB ⊥，0OA OB =⋅，∴202m m -+=，∴0m =或12m =， ∵直线AB 不过点O ，∴0m ≠，∴12m =， ∴直线1:2AB y kx =+，∴直线AB 过定点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 21．（12分）已知函数：()()ln 30f x x ax a =--≠．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有最大值M ，且5M a >-，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）()0,1．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，由已知得()1f x a x'=-， 当0a <时，()0f x '>，∴()f x 在()0,+∞内单调递增，无减区间；当0a >时，令()0f x '=，得1x a=， ∴当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减， （2）由（1）知，当0a <时，在()0,+∞内单调递增，无最大值，当0a >时，函数()f x 在1x a =取得最大值，即()max 11ln 4ln 4f x f a a a ⎛⎫==-=-- ⎪⎝⎭， 因此有ln 45a a -->-，得ln 10a a +-<，设()ln 1g a a a =+-，则()110g a a+'=>，∴()g a 在()0,+∞内单调递增， 又()10g =，∴()()1g a g <，得01a <<，故实数a 的取值范围是()0,1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x t y t ==⎧⎨⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，直线l的直角坐标方程为y =．（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）若曲线2C 的极坐标方程为8cos 0ρθ+=，与直线l 在第三象限交于A 点，直线l 与1C 在第一象限的交点为B ，求AB ．【答案】（1）2221sin cos 4θθρ=+；（24． 【解析】（1）由题意知1C 的直角坐标方程为2214y x +=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩， 可得1C 的极坐标方程为2222sin cos 14ρθρθ+=，化简整理得2221sin cos 4θθρ=+． （2）由题意得直线l 的极坐标方程为π3θ=，∴π38cos 0θρθ⎧=⎪⎨⎪+=⎩可得π4,3A ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 同理222π3sin 1cos 4θθθρ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得π3B ⎫⎪⎪⎝⎭，4A B AB ρρ=-=+． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()()22f x x x m m =+--+∈R ．（1）若1m =，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若函数()()g x f x x =-有三个零点，求实数m 的取值范围．【答案】（1）12x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭；（2）22m -<<． 【解析】（1）当1m =时，()()()()3,221,22 5,2x f x x x x -<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪>⎩，∵()0f x ≥，∴当2x <-时，x ∈∅；当22x -≤≤时，210x +≥得12x >-，∴122x -≤≤， 当2x >时，()0f x ≥恒成立，∴不等式的解集为12x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭． （2）若函数()()g x f x x =-有三个零点，只须()()()()4,22,224,2m x f x x m x m x -<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩与y x =有三个交点即可． 即()f x 每一段与y x =各有一个交点． 当2x <-时，4m x -=，即4m x =+，∴2m <； 当22x -≤≤时，2x m x +=，即m x =，∴22m -≤≤； 当2x >时，4m x +=，即4m x =-，∴2m >-； ∴综上所述，m 的范围是22m -<<.。
2020届湖北名师联盟高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题
2020届湖北名师联盟高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A ={y|y =−x 2+5},B ={x|y =√x −3}，则A ∩B =（ ）A ．[1,+∞)B ．[1,3]C ．[3,5]D ．(3,5]2．34i 34i 12i 12i+--=-+（ ） A ．4-B ．4C ．4i -D ．4i 3．如图1为某省2021年1~4月快递业务量统计图，图2是该省2021年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是( )A ．2021年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2021年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看2021年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2021年快递业务收入同比增长率逐月增长4．已知两个单位向量1e ，2e ，满足1223e e -=，则1e ，2e 的夹角为（ ） A ．23π B ．34π C ．3π D ．4π 5．函数()1cos 1x x e f x x e +=⋅-的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知斐波那契数列的前七项为：1,1,2,3,5,8,13，大多数植物的花，其花瓣数按层从内向外都恰是斐波那契数．现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵，花瓣总数为99，假设这种“雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有（ ）层．A ．5B ．6C ．7D ．87．如图正方体1111ABCD A B C D 中，点,E F 分别是11AB,A D 的中点，O 为正方形1111D C B A 的中心，则（ ）A ．直线,EF AO 是异面直线B ．直线1,EF BB 是相交直线C ．直线EF 与1BC 所成角为30D ．直线1,EF BB 8．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．2-9．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[1，2]上是减函数，令ln 2a =，121()4b -=，12log 2c =，则(),(),()f a f b f c 的大小关系为（ ） A ．()()()f b f c f a <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f c f b f a <<D ．()()()f c f a f b <<10．已知2F 是双曲线22:193x y C -=的右焦点，动点A 在双曲线左支上，点B 为圆22:(2)1E x y ++=上一点，则2AB AF +的最小值为（ ）A ．9B ．8C ．D ．11．如图，已知P ，Q 是函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象与x 轴的两个相邻交点，R 是函数()f x 的图象的最高点，且3RP RQ ⋅=，若函数()g x 的图象与()f x 的图象关于直线1x =对称，则函数()g x 的解析式是（ ）A ．()24g x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()24ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭g x x C ．()2sin 24g x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．()2sin 24g x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 12．已知三棱锥P ABC -满足PA ⊥底面ABC ，在ABC ∆中，6AB =，8AC =，AB AC ⊥，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =，球O 为三棱锥P ABC -的外接球，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为40π，则球O 的表面积为（ ）A ．72πB ．86πC ．112πD ．128π二、填空题13．已知曲线()(1)ln f x ax x =-在点(1,0)处的切线方程为1y x =-，则实数a 的值为_______.14．已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，满足7S =11S ，且1a >0，则n S 最大时n 的值是__．15．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（""表示一根阳线，""表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_______.16．点,A B 是抛物线2:2(0)C y px p =>上的两点，F 是抛物线C 的焦点，若120AFB ︒∠=，AB 中点D 到抛物线C 的准线的距离为d ，则||d AB 的最大值为_______.三、解答题17．ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知22()sin a c b C +=+．（1）求B 的大小；（2）若8,b a c =>，且ABC ∆的面积为a ．18．如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，1//,,,2ED FB DE BF AB FB FB ==⊥平面ABCD .(1)设BD 与AC 的交点为O ，求证:OE ⊥平面ACF ；(2)求二面角E AF C --的正弦值.19．设椭图2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，上顶点为B ，离心O 是坐标原点，且1OB F B ⋅= （1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点1F 的直线l 与椭圆C 的两交点为M ，N ，若22MF NF ⊥，求直线l 的方程.20．已知函数1()4cos()23x f x x e π=--，()f x '为()f x 的导函数，证明：（1）()f x '在区间[,0]π-上存在唯一极大值点；（2）()f x 在区间[,0]π-上有且仅有一个零点.21．11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为12，乙每次投球命中的概率为23，且各次投球互不影响. （1）经过1轮投球，记甲的得分为X ，求X 的分布列；（2）若经过n 轮投球，用i p 表示经过第i 轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率.①求123,,p p p ；②规定00p =，经过计算机计算可估计得11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，请根据①中123,,p p p 的值分别写出a ，c 关于b 的表达式，并由此求出数列{}n p 的通项公式. 22．已知平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 1方程为ρ=2sinθ.C 2的参数方程为{x =−1+12t y =√32t（t 为参数）. （1）写出曲线C 1的直角坐标方程和C 2的普通方程；（2）设点P 为曲线C 1上的任意一点，求点P 到曲线C 2距离的取值范围.23．已知0,0a b >>，2 3.a b +=证明：（1）2295a b +≥；（2）33814.16a b ab +≤参考答案1．C【解析】试题分析：∵A ={y|y =−x 2+5}={y|y ≤5},B ={x|x ≥3}∴A ∩B =[3,5],选C 考点：集合的运算2．D【分析】由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由复数的运算法则可得：34i 34i 12i 12i +--=-+()()()()()()()()34123412510510412125i i i i i i i i i ++----+---==+-. 本题选择D 选项.【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．3．D【分析】由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可.【详解】对于选项A ： 2021年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值为439724111986-=，接近2000万件，所以A 是正确的；对于选项B ： 2021年1～4月的业务量同比增长率分别为55%,53%,62%,58%，均超过50%，在3月最高，所以B 是正确的；对于选项C ：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的；对于选项D ，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误.本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．C【分析】首先根据122(2)3e e -=得到1212e e =，再代入夹角公式计算即可。
湖北省名师联盟2020届高三入学调研考试数学(理)试题(含解析)
20 ．（12 分）已知椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 和直线 l : x a
y 1 ，椭圆的离心率 e b
6， 3
坐标原点到直线 l 的距离为 3 ． 2
（1 ）求椭圆的方程； （2 ）已知定点 E( 1,0) ，若直线 m 过点 P(0, 2) 且与椭圆相交于 C, D 两点，试判断是否
（1 ）根据以上列联表判断，能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为性别和看 营养说明有关系？ （2 ）从被询问的 28 名不看营养说明的大学生中， 随机抽取 2 名学生， 求抽到女生的人 数 的分布列及数学期望． 附：
[Z,X,X,K]
K2
n(ad bc )2
．
(a b)(c d )( a c)(b d )
试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4 ．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目 要求的．
1．已知集合 A (x, y) x2 y2 1 ， B ( x, y ) y 2 x ，则 A B 中元素的个数为
球的表面积为（
）
A． 16 3
B． 8 3
C． 4 3
D． 3
8．设随机变量 ~ B(2, p) ， ~ B(4, p) ，若 P( 1) 5 ，则 P( 2) 的值为（
）
9
A． 32 81
B． 11 27
C． 65 81
D． 16 81
9．已知 S 为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式 (S x 3 )6 的展开式中 x
A． 4 个
B． 3 个
C． 2 个
高三上学期第一次月考 2020届省名师联盟高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题—附答案
《高三上学期第一次月考 2020届省名师联盟高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题—附答案》摘要：姓名准考证考场座位 00届名师盟高三次模拟考试卷理科数学事项．答题前先将己姓名、准考证填写试题卷和答题卡上并将准考证条形码粘贴答题卡上指定位置， 0．（分）已知函数导数证明（）区上存唯极值，∴∴．（）由（）知设直线方程由得设则∵∴∴ ∴∴ ∴∴∴．∴方程． 0．【答案卷只装订不密封班级姓名准考证考场座位00届名师盟高三次模拟考试卷理科数学事项．答题前先将己姓名、准考证填写试题卷和答题卡上并将准考证条形码粘贴答题卡上指定位置．选择题作答每题选出答案用B铅笔把答题卡上对应题目答案标涂黑写试题卷、草稿纸和答题卡上非答题区域无效3．非选择题作答用签笔直接答答题卡上对应答题区域写试题卷、草稿纸和答题卡上非答题区域无效．考试结束请将试题卷和答题卡并上交、选择题题共题每题5分每题给出四选项只有项是合题目要．．已知集合（）． B．．．．（）． B．．． 3．如图某省年月快递业量统计图图是该省年月快递业收入统计图下列对统计图理错误是（）．年月业量月高月低差值接近万件 B．年月业量比增长率超月高．从两图看年月月快递业量与收入比增长率并不完全致．从月看该省年快递业收入比增长率逐月增长．已知两单位向量满足则夹角（）． B．．． 5．函数部分图象致（）． B．．． 6．已知斐波那契数列前七项、、、、、、．多数植物花其花瓣数按层从往外都恰是斐波那契数现有层次相“雅苏娜”玫瑰花朵花瓣总数假设这种“雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由向外构成斐波那契数列则朵该种玫瑰花可能有（）层．． B．．． 7．如图正方体分别是正方形心则（）．直线是异面直线 B．直线是相交直线．直线与所成角．直线所成角余弦值 8．执行如图所示程序框图输出值（）． B．．． 9．已知定义上奇函数满足且区上是减函数令则关系（）． B．．． 0．已知是双曲线右焦动双曲线左支上圆上则值（）． B．．．．如图已知是函数图象与轴两相邻交是函数图象高且若函数图象与图象关直线对称则函数析式是（）． B．．．．已知三棱锥满足底面是线段上且．球三棱锥外接球作球截面若所得截面圆面积值与值和则球表面积（）． B．．．二、填空题题共题每题5分． 3．已知曲线处切线方程则实数值．．已知等差数列前项和满足且则值是． 5．《易》是国传统化精髓如图是易八卦(含乾、坤、異、震、坎、离、良、兑八卦)每卦由三根线组成(“”表示根阳线“”表示根阴线)从八卦任取两卦这两卦六根线恰有两根阳线四根阴线概率． 6．是抛物线上两是拋物线焦若到抛物线准线距离则值．三、答题题共6题共70分答应写出说明、证明程或演算步骤． 7．（分）角所对边分别已知．（）；（）若且面积． 8．（分）如图所示多面体四边形是边长正方形平面．（）设与交证平面；（）二面角正弦值． 9．（分）设椭圆左焦右焦上顶离心率是坐标原且．（）椭圆方程；（）已知直线与椭圆两交若直线方程． 0．（分）已知函数导数证明（）区上存唯极值；（）区上有且仅有零．．（分）月全国美丽乡村篮球赛国农村改革发地—安徽凤阳举办其甲、乙两人轮流进行篮球定投篮比赛(每人各投次轮)．相条件下每轮甲乙两人位置甲先投每人投次球两人有人命命者得分命者得分；两人都命或都命两人得分．设甲每次投球命概率乙每次投球命概率且各次投球不影响．（）轮投球记甲得分分布列；（）若轮投球用表示轮投球累计得分甲得分高乙得分概率．①；②规定计算机计算可估计得请根据①值分别写出关表达式并由出数列通项公式．请考生、3两题任选题作答如多做则按所做题记分．．（0分）【选修坐标系与参数方程】已知平面直角坐标系以极轴正半轴极轴建立极坐标系曲线方程参数方程（参数）．（）写出曲线直角坐标方程和普通方程；（）设曲线上任到曲线距离取值围． 3．（0分）【选修5不等式选讲】已知．证明（）；（）． 00届名师盟高三次模拟考试卷理科数学答案、选择题题共题每题5分每题给出四选项只有项是合题目要．．【答案】．【答案】 3．【答案】．【答案】 5．【答案】B 6．【答案】 7．【答案】 8．【答案】B 9．【答案】 0．【答案】．【答案】．【答案】二、填空题题共题每题5分． 3．【答案】．【答案】9 5．【答案】 6．【答案】三、答题题共6题共70分答应写出说明、证明程或演算步骤． 7．【答案】（）；（）．【析】（）由得所以即所以有因所以所以即所以又所以所以即．（）因所以又所以把代入到得． 8．【答案】（）证明见析；（）．【析】（）证明由题可知平面从而∴ 又∴ ∴∴ 又∴平面．（）面且如图以原方向建立空直角坐标系从而由（）可知是面法向量设面法向量由令得设二面角平面角则∴二面角角正弦值． 9．【答案】（）；（）．【析】（）设椭圆焦距则∴ ∵∴ 又∴∴∴ ∴∴．（）由（）知设直线方程由得设则∵∴∴ ∴∴ ∴∴∴．∴方程． 0．【答案】（）证明见析；（）证明见析．【析】（）由题知定义域且．令．∵上单调递减上单调递减上单调递减．又∴使得∴当；当即区上单调递增；上单调递减则唯极值即区上存唯极值．（）由（）知且区存唯极值上单调递增上单调递减而故上恒有∴上单调递增又因上有且仅有零．．【答案】（）见析；（）①；②．【析】（）可能取值．．∴分布列（）①由（）知两轮投球甲累计得分高有两种情况是两轮甲各得分；二是两轮有轮甲得分有轮甲得分∴ 三轮投球甲累计得分高有四种情况是三轮甲各得分；二是三轮有两轮各得分轮得分；三是轮得分两轮各得分；四是两轮各得分轮得分∴．②由知将代人得∴ ∴∴．∴ ∵∴是等比数列首项和公比都是．∴．．【答案】（）；（）．【析】（）直角坐标方程普通方程．（）由（）知以圆心半径圆圆心到距离则与相交到曲线距离值值则到曲线距离取值围．3．【答案】（）证明见析；（）证明见析．【析】证明（）∵∴ ∴ ∴当值∴．（）∵ ∴当且仅当取等∴ ∴值∴．。
2020年湖北省名师联盟高考数学仿真试卷(理科)(4月份)(有答案解析)
2020年湖北省名师联盟高考数学仿真试卷（理科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|log2x≥1}，B={x|x2−x−6<0}，则(∁R A)∩B等于()A. {x|−2<x<1}B. {x|−2<x<2}C. {x|2≤x<3}D. {x|x<2}2.已知双曲线C：x2a2−y2=1(a>0)的渐近线方程为y=±√33x，则该双曲线的焦距为()A. √2B. 2C. 2√2D. 43.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600，从中抽取60个样本，下面提供随机数表的第4行到第6行：322118342978645407325242064438122343567735789056428442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第5个样本编号是()A. 522B. 324C. 535D. 5784.在等差数列{a n}中，a3+a5+2a10=4，则此数列的前13项的和等于()A. 13B. 26C. 8D. 1625.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为()A. 35B. 710C. 45D. 9106.函数f(x)=sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()A. f(x)=sin(2x−π4) B. f(x)=sin(2x+π4)C. f(x)=sin(4x+π4) D. f(x)=sin(4x−π4)7.已知(1+x)5=a0+a1(1−x)+a2(1−x)2+⋯+a5(1−x)5，则a3=()A. −40B. 40C. 10D. −108.已知：x>0，y>0，且2x +1y=1，若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是()A. (−4,2)B. (−∞,−4]∪[2,+∞)C. (−2,4)D. (−∞,−2]∪[4,+∞)9.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，M在边AB上，且AM=13AB，b=2，CM=2√73，2sinA−sinBsin2B =cb，则S△ABC=()A. 3√34B. √3C. 2√3D. 8√3310. 设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，直线l 过F 1交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于C 点，若满足F 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 且∠CF 1F 2=30°，则椭圆的离心率为( ) A. √33B. √36C. 13D. 1611. 在三棱锥D −ABC 中，AB =BC =CD =DA =1，且AB ⊥BC ，CD ⊥DA ，M ，N 分别是棱BC ，CD 的中点，下面四个结论： ①AC ⊥BD ；②MN//平面ABD ；③三棱锥A −CMN 的体积的最大值为√212；④AD 与BC 一定不垂直．其中所有正确命题的序号是( )A. ①②③B. ②③④C. ①④D. ①②④12. 已知定义在R 上的奇函数，满足f(2−x)+f(x)=0，当x ∈(0,1]时，f(x)=−log 2x ，若函数F(x)=f(x)−sinπx ，在区间[−1,m]上有8个零点，则m 的取值范围是( )A. [3.5,4)B. (3.5,4]C. (3,4]D. [3,4)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知平面向量a ⃗ ，b ⃗ 满足a ⃗ ⋅b ⃗ =0，|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=3，则|a ⃗ +b ⃗ |=______．14. 已知函数f(x)=xlnx +2x(x −a)2(a ∈R).若存在x ∈[1,3]，使得f(x)>xf′(x)成立，则实数a的取值范围是______．15. 函数f(x)=sinωx(ω>0)的部分图象如图所示，点A ，B 是最高点，点C 是最低点，若△ABC 是直角三角形，则f(12)=______． 16. 如图，多面体OABCD ，OA ，OB ，OC 两两垂直，AB =CD =2，AD =BC =2√3，AC =BD =√10，则经过A ，B ，C ，D 的外接球的表面积是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }满足：a 1=1,n(a n+1−2a n )=2a n ,n ∈N ∗．(1)证明：数列{a nn }是等比数列； (2)设b n =3n−5na n ,n ∈N ∗，求数列{b n }的前n 项和S n ．18.如图1，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=BC=12AD，E为AD中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE翻折到图2中△A1BE的位置得到四棱锥A1−BCDE．(1)求证：CD⊥A1C(2)若A1C=√22AB，BE=√3AB，求二面角B−A1E−D的余弦值．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，椭圆C与y轴交于A、B两点，|AB|=2．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x=4分别交于M、N两点，是否存在点P，使得以MN为直径的圆经过点(2,0)？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由．20.十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加．为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x−(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；(2)由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为年平均收入x−，σ2近似为样本方差s2，经计算得；s2=6.92，利用该正态分布，求：(i)在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？ (ⅱ)为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每个农民的年收人相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？附：参考数据与公式√6.92≈2.63，若XⅱN(μ,σ2)，则 ①P(μ−σ<X ≤μ+σ)=0.6827； ②P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)=0.9545； ③P(μ−3σ<X ≤μ+3σ)=0.9973；21. 已知函数f(x)=xlnx −2ax 2+x ，a ∈R ．(Ⅰ)若f(x)在(0,+∞)内单调递减，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)若函数f(x)有两个极值点分别为x 1，x 2，证明：x 1+x 2>12a ．22. 已知曲线C 1的参数方程为{x =√2cosφy =√3sinφ(φ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=1．(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)射线OM：θ=α ( π2<α<π )与曲线C1交于点M，射线ON：θ=α−π4与曲线C2交于点N，求1|OM|2+1|ON|2的取值范围．23.已知定义在R上的函数f(x)=|x|．(1)求f(x+1)+f(2x−4)的最小值M；(2)若a，b>0且a+2b=M，求1a +14b的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵A={x|log2x≥1}={x|x≥2}，B={x|x2−x−6<0}={x|−2<x<3}，∴∁R A={x|x<2}，∴(∁R A)∩B{x|−2<x<2}，故选：B．求出集合A、B，从而求出集合A的补集，得到其和B的交集即可．本题考查了集合的运算，考查解不等式问题，是一道基础题．2.答案：D解析：解：双曲线C：x2a2−y2=1(a>0)的渐近线方程为y=±√33x，可得a=√3，b=1，则c=√1+3=2．所以C的焦距为：4．故选：D．利用双曲线的渐近线方程求出a，然后求解双曲线的焦距．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．3.答案：A解析：解：第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，478合适则满足条件的5个编号为436，535，577，348，522，则第5个编号为522，故选：A．根据随机数表法抽样的定义进行抽取即可．本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键．4.答案：A解析：解：在等差数列{a n}中若m+n=k+l则a m+a n=a k+a l因为2(a3+a5)+2a10=4所以由等差数列上述性质得：a4+a10=a1+a13=2．所以S13=13×(a1+a13)2=13．故选A．先根据等差数列的性质若m+n=k+l则a m+a n=a k+a l可得a3+a5+2a10=2(a4+a10)=2(a1+a13)=4.再根据等差数列前n项和的计算公式得到答案即可．解决此类问题的关键是熟悉等差数列的性质与等差数列的前n项和的计算公式，在高考中一般以选择题与填空题的形式出现，属中档题5.答案：B解析：解：我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，基本事件总数n=C52=10，所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著包含的基本事件个数m=C22+C21C31=7，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为p=mn =710．故选：B．基本事件总数n=C52=10，所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著包含的基本事件个数m=C22+C21C31=7，由此能求出所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：B解析：解：由图象得T4=3π8−π8=2π8，即T=π，即T=2πω=π，即ω=2，则函数y=sin(2x+φ)，由五点对应法得2×π8+φ=π2，∴φ=π2−π4=π4，则f(x)=sin(2x+π4)，故选：B根据函数的周期求出ω，结合五点对应法求出φ即可．本题主要考查三角函数解析式的求解，结合条件求出ω和φ的值是解决本题的关键．7.答案：A解析：解：已知(1+x)5=a0+a1(1−x)+a2(1−x)2+⋯+a5(1−x)5=[2−(1−x)]5，则a3=C53⋅(−1)3⋅22=−40，故选：A．根据原式即[2−(1−x)]5的展开式，利用二项展开式的通项公式，求得a3的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．8.答案：A解析：解：由x>0，y>0，且2x +1y=1，可得x+2y=(x+2y)(2x+1y)=4+xy+4yx≥4+2√xy⋅4yx=8，当且仅当x=2y=4时，上式取得等号，即x+2y的最小值为8，若x+2y>m2+2m恒成立，可得m2+2m<8，解得−4<m<2，故选：A．由题意可得(x+2y)min>m2+2m，运用乘1法和基本不等式，可得x+2y的最小值，由二次不等式的解法，可得所求范围．本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查基本不等式的运用：求最值，考查化简运算能力，属于中档题． 9.答案：B解析：解：△ABC 中，2sinA−sinB sin2B=cb， ∴2sinA−sinB sin2B=sinC sinB，∴2sinCcosB =2sinA −sinB ，∴2sinCcosB =2(sinBcosC +cosBsinC)−sinB ， ∴cosC =12， 又C ∈(0°,180°)， ∴C =60°； 又AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴3CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴9CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=4CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+4CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ；∴28=16+a 2+4a ，解得a =2或a =−6(不合题意，舍去)，∴△ABC 的面积为S △ABC =12×2×2sin60°=√3．故选：B ．利用正弦定理与三角恒等变换以及特殊角的三角函数求出C 的值，根据平面向量的线性表示求出CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再利用模长和三角形的面积公式，计算求值．本题考查了解三角形中的正弦、余弦定理和面积公式、平面向量基本定理应用问题． 10.答案：A解析：【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．利用已知条件求出C 与A 的坐标，把A 点的坐标代入椭圆方程即可求出椭圆的离心率．解：设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，F 1(−c,0)．直线l 过F 1交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于C 点，若满足F 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 且∠CF 1F 2=30°， 可得C(0,√33c)，设A(x,y)，则(c,√33c)=32(−c −x,−y)，解得A(−53c,−2√39c).可得：25c 29a 2+12c 281b 2=1即：259e 2+4e 227(1−e 2)=1，e ∈(0,1)． 解得e =√33．故选：A ． 11.答案：D解析：解：设AC 的中点为O ，连接OB 、OD ，如图所示；则AC ⊥OB ，AC ⊥OD ，又OB ∩OD =O ，所以AC ⊥平面OBD ， 所以AC ⊥BD ，故①正确；因为MN//BD ，所以MN//平面ABD ，故②正确； 当平面DAC 与平面ABC 垂直时，V 三棱锥A−CMN 最大， 最大值为V 三棱锥A−CMN =V 三棱锥N−ACM =13×14×√24=√248，故③错误； 若AD 与BC 垂直，又因为AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC ⊥BD ， 又BD ⊥AC ，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD ⊥OB ，因为OB =OD ，所以显然BD 与OB 不可能垂直，故④正确． 综上知，正确的命题序号是①②④． 故选：D ．根据题意画出图形，结合图形，利用空间中的平行与垂直关系，判断选项中的命题是否正确即可． 本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是中档题．解析：解：由f(x)为奇函数，则f(x)=−f(−x)，又f(2−x)+f(x)=0，得：f(2−x)=f(−x)，即函数f(x)是其图象关于点(1,0)对称，且周期为2的奇函数，又y=sinπx的图象关于(k,0)对称，(k∈Z)其图象如图所示：在区间[−1,m]上有8个零点，则实数m的取值范围为：[3.5,4)，故选：A．由方程的根与函数的零点问题的相互转化，结合函数的奇偶性、对称性、周期性，作图观察可得解本题考查了方程的根与函数的零点问题，函数的奇偶性、对称性、周期性，属中档题．13.答案：√13解析：解：由题意可得|a⃗+b⃗ |2=a⃗2+2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=4+0+9=13，∴|a⃗+b⃗ |=√13，故答案为：√13．由题意可得|a⃗+b⃗ |2=a⃗2+2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=13，由此求得|a⃗+b⃗ |的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，求向量的模的方法，属于基础题．14.答案：(54,+∞)解析：解：令g(x)=f(x)x=lnx+2(x−a)2，则g′(x)=xf′(x)−f(x)x2，∵存在x∈[1,3]，使得f(x)>xf′(x)成立，∴存在x∈[1,3]，使得g′(x)<0成立，即1x+4(x−a)<0在[1,3]上有解，即4a>4x+1x 在[1,3]上有解，即4a>(4x+1x)min，又当x=1时，4x+1x取得最小值5，故4a>5，即a>54．故答案为：(54,+∞).令g(x)=f(x)x=lnx+2(x−a)2，由已知可得存在x∈[1,3]，使得g′(x)<0成立，分离参数后转化为求解函数的最值．本题主要考查了导数的综合应用，解题的关键是根据已知不等式构造出函数g(x)．15.答案：√22 解析：解：由图可得A(π2ω,1)，B(5π2ω,1)，C(3π2ω,−1)，根据对称性|AC|=|BC|，△ABC 是直角三角形，所以为等腰直角三角形AC ⊥BC ，直角三角形斜边中线等于斜边长的一半，则|AB|=4，4π2ω=4，得ω=π2，则f(x)=sin π2x ，所以f(12)=sin π4=√22， 故答案为：√22 根据条件求出A ，B ，C 的坐标，结合直角三角形的性质求出ω的值即可．本题主要考查三角函数值的计算，结合图象求出函数的解析式是解决本题的关键．难度中等． 16.答案：13π解析：解：∵多面体OABCD ，OA ，OB ，OC 两两垂直，AB =CD =2，AD =BC =2√3，AC =BD =√10，∴经过A ，B ，C ，D 的外接球就是以OA ，OB ，OC 为棱构成的长方体的外接球， 设OA =a ，OB =b ，OC =c ，则{a 2+b 2=4a 2+c 2=10b 2+c 2=12，∴a 2+b 2+c 2=13，∴经过A ，B ，C ，D 的外接球的半径R =√a 2+b 2+c 22=√132， ∴经过A ，B ，C ，D 的外接球的表面积S =4πR 2=13π．故答案为：13π．经过A ，B ，C ，D 的外接球就是以OA ，OB ，OC 为棱构成的长方体的外接球，由此能求出经过A ，B ，C ，D 的外接球的表面积．本题考查四棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17.答案：解：(1)证明：∵n(a n+1−2a n )=2a n ，∴na n+1=2(n +1)a n ，∴a n+1n+1=2⋅a n n ， 则数列{a n n }是以1为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)知，an n =2n−1， ∴a n =n ⋅2n−1，∴b n =(3n −5)⋅2n−1．∴S n =−2⋅20+1⋅21+4⋅22+⋯+(3n −8)⋅2n−2+(3n −5)⋅2n−1，2S n =−2⋅21+1⋅22+4⋅23+⋯+(3n −8)⋅2n−1+(3n −5)⋅2n ，∴−S n =−2+3(21+22+⋯+2n−1)−(3n −5)⋅2n=−2+3⋅2(1−2n−1)1−2−(3n −5)⋅2n =−8+(8−3n)⋅2n ， ∴S n =(3n −8)⋅2n +8．解析：(1)由n(a n+1−2a n )=2a n ，可得a n+1n+1=2⋅a nn ，即数列{an n }是以1为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)可得b n =(3n −5)⋅2n−1.利用错位相减法求和即可．本题考查了利用数列的递推式求通项，错位相减法求和，属于中档题．18.答案：解：(1)证明：图1中，在四边形ABCE 中，BC//AE ，BC =AE ，∴四边形ABCE 为平行四边形，又∵AB =BC ，∴四边形ABCE 为菱形，∴AO ⊥BE ，CO ⊥BE ，∴在图2中，A 1O ⊥BE ，CO ⊥BE ，又A 1O ∩CO =O ，∴BE ⊥面A 1OC ，∵A 1C ⊂平面A 1OC ，∴BE ⊥A 1C ，又在四边形BCDE 中，BC//DE ，BC =DE ，∴四边形BCDE 为平行四边形，∴BE//CD ，∴CD ⊥A 1C ；(2)不妨设AD =4，AB =BC =AE =2，A 1C =√2，BE =2√3，所以OB =OE =√3，A 1O =CO =1，以OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图空间直角坐标系，则B(√3,0，0)，C(0,1，0)，A 1(0,0，1)，E(−√3,0，0)，平面A 1BE 的法向量为m⃗⃗⃗ =(0,1,0)， 设平面A 1ED 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1,0)，EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,1)，由{n ⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{−√3x +y =0√3x +z =0，故n ⃗ =(1,√3,−√3)， 所以cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=√3√1+3+3=√3√7=√217， 二面角B −A 1E −D 的余弦值为√217．解析：(1)先证明BE ⊥面A 1OC ，得到BE ⊥A 1C ，又BE//CD ，根据平行传递性证明即可；(2)根据题意，建立适当的空间直角坐标系，求出平面A 1ED 的法向量，结合平面A 1BE 的法向量，求出余弦值即可．本题考查线面垂直的证明，考查利用向量法求二面角的余弦值，是中档题，19.答案：解：(Ⅰ)由题意可得e =c a =√32，2b =2，即b =1，又a 2−c 2=1，解得a =2，c =√3，即有椭圆的方程为x 24+y 2=1；(Ⅱ)设P(m,n)，可得m 24+n 2=1， 即有n 2=1−m 24，由题意可得A(0,1)，B(0,−1)，设M(4,s)，N(4,t)，由P ，A ，M 共线可得，k PA =k MA ，即为n−1m =s−14， 可得s =1+4(n−1)m ，由P ，B ，N 共线可得，k PB =k NB ，即为n+1m =t+14， 可得s =4(n+1)m −1．假设存在点P ，使得以MN 为直径的圆经过点Q(2,0)．可得QM ⊥QN ，即有s 2⋅t 2=−1，即st =−4．即有[1+4(n−1)m ][4(n+1)m −1]=−4，化为−4m 2=16n 2−(4−m)2=16−4m 2−(4−m)2，解得m =0或8，由P ，A ，B 不重合，以及|m|<2，可得P 不存在．解析：(Ⅰ)运用椭圆的离心率公式，以及a ，b ，c 的关系，计算即可得到所求椭圆方程； (Ⅱ)设P(m,n)，可得m 24+n 2=1，可得A(0,1)，B(0,−1)，设M(4,s)，N(4,t)，运用三点共线的条件：斜率相等，求得M ，N 的坐标，再由直径所对的圆周角为直角，运用垂直的条件：斜率之积为−1，计算即可求得m ，检验即可判断是否存在．本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查存在性问题的解法，注意运用三点共线的条件：斜率相等，直径所对的圆周角为直角，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.答案：解：(1)x −=12×0.04+14×0.12+16×0.28+18×0.36+20×0.10+22×0.06+24×0.04=17.40；(2)由题意，X ～N(17.40,6.92)．(i)P(x >μ−σ)=12+0.68272≈0.8414，∴μ−σ=17.40−2.63=14.77时，满足题意，即最低年收入大约为14.77千元；(ⅱ)由P(X ≥12.14)=P(X ≥μ−2σ)=0.5+0.95452≈0.9773，得每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，记1000个农民年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则ξ～B(103,p)，其中p =0.9773． 于是恰好有k 个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率是P(ξ=k)=C 103k p k (1−p)103−k ， 从而由P(ξ=k)P(ξ=k−1)=(1001−k)×p k(1−p)>1，得k <1001p ，而1001p =978.233，∴当0≤k ≤978时，P(ξ=k −1)<P(ξ=k)，当979≤k ≤1000时，P(ξ=k −1)>P(ξ=k)．由此可知，在走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978．解析：本题考查正态分布曲线的特点及其意义，考查二项分布及其概率的求法，正确理解题意是关键，属于中档题．(1)由每一个小矩形中点的横坐标乘以频率作和得答案；(2)由题意，X ～N(17.40,6.92)．(i)由已知数据求得P(x >μ−σ)，进一步求得μ−σ得答案；(ⅱ)求出P(X ≥12.14)，得每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，设1000个农民年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则ξ～B(103,p)，求出恰好有k 个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率，由P(ξ=k)P(ξ=k−1)=(1001−k)×p k(1−p)>1，得k <1001p ，结合1001p =978.233，对k 分类分析得答案． 21.答案：解：(Ⅰ)f′(x)=lnx −4ax +2，若f(x)在(0,+∞)内单调递减，则f′(x)≤0恒成立，即4a ≥lnx+2x 在(0,+∞)上恒成立．令g(x)=lnx+2x，则g′(x)=−1−lnxx ， ∴当0<x <1e 时，g′(x)>0，当x >1e 时，g′(x)<0，∴g(x)在(0,1e )上单调递增，在(1e ,+∞)上单调递减，∴g(x)的最大值为g(1e )=e ，∴4a ≥e ，即a ≥e 4．∴a 的取值范围是[e 4,+∞)．(Ⅱ)∵f(x)有两个极值点，∴f′(x)=0在(0,+∞)上有两解，即4a =lnx+2x 有两解，由(1)可知0<a <e 4． 由lnx 1−4ax 1+2=0，lnx 2−4ax 2+2=0，可得lnx 1−lnx 2=4a(x 1−x 2)，不妨设0<x 1<x 2，要证明x 1+x 2>12a ，只需证明x 1+x 24a(x1−x 2)<12a(lnx 1−lnx 2)， 即证明2(x 1−x 2)x 1+x 2>lnx 1−lnx 2， 只需证明2(x 1x 2−1)x 1x 2+1>ln x 1x 2， 令ℎ(x)=2(x−1)x+1−lnx(0<x <1)，则ℎ′(x)=−(x−1)2x(x+1)2<0，故ℎ(x)在(0,1)上单调递减，∴ℎ(x)>ℎ(1)=0，即2(x−1)x+1>lnx 在(0,1)上恒成立， ∴不等式2(x 1x 2−1)x 1x 2+1>ln x1x 2恒成立， 综上，x 1+x 2>12a ．解析：本题考查了函数单调性的判断，函数最值的计算，考查导数与函数单调性的关系，属于较难题．(Ⅰ)令f′(x)≤0恒成立，分离参数得出4a ≥lnx+2x ，利用函数单调性求出函数g(x)=lnx+2x 的最大值即可得出a 的范围；(Ⅱ)令x1x 2=x ，根据分析法构造关于x 的不等式，再利用函数单调性证明不等式恒成立即可． 22.答案：解：(1)由曲线C 1的参数方程{x =√2cosφy =√3sinφ(φ为参数)， 得：cos 2φ+sin 2φ=(√2)2+(√3)2=1，即曲线C 1的普通方程为x 22+y 23=1．又x =ρcosθ，y =ρsinθ，曲线C 1的极坐标方程为3ρ2cos 2θ+2ρ2sin 2θ=6，即ρ2cos 2θ+2ρ2=6．曲线C 2的极坐标方程可化为ρsinθ−ρcosθ=√2，故曲线C 2的直角方程为x −y +√2=0．(2)由已知，设点M 和点N 的极坐标分别为(ρ1,α)，(ρ2,α−π4)，其中π2<α<π，则|OM|2=ρ12=6cos 2α+2， |ON|2=ρ22=1sin 2(α−π2)=1cos 2α． 于是1|OM|2+1|ON|2=cos 2α+26+cos 2α=7cos 2α+26．由π2<α<π， 得−1<cosα<0，故1|OM|2+1|ON|2的取值范围是(13,32)．解析：(1)把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)利用(1)的关系式，把极径转换为三角函数的形式，进一步利用三角函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变变换，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)因为f(x)=|x|．所以f(x +1)+f(2x −4)=|x +1|+|2x −4|，当x ≤−1时，f(x)=3−3x 单调递减，当−1<x <2时，f(x)=−x +5单调递减，当x ≥2时，f(x)=3x −3单调递增，故当x =2时，函数取得最小值M =3；(2)若a ，b >0且a +2b =3，∴a +2b ≥2√2ab 即ab ≤98，当且仅当a =2b 即a =32，b =34时取等号，则1a 2+14b 2=4b 2+a 24a 2b 2=(a+2b)2−4ab 4a 2b 2=94(ab)2−1ab ， 令t =1ab ，t ≥98，而y =9t 24−t 的开口向上，对存在t =29，在[89,+∞)上单调递增，结合二次函数的性质可知，当t =89，取得最小值89．解析：(1)先对函数化简，然后结合函数的单调性即可求解函数的最值，(2)结合基本不等式及二次函数的性质可求．本题综合考查了函数单调性在求解最值中的应用及利用基本不等式，二次函数的性质的应用，属于中等试题．。
名师联盟2020届高三上学期入学调研考试卷理科数学(一)含解析
2020届高三入学调研考试卷理 科 数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|20}M x x x =+-≤，{1,0,1,2}N =-，则M N 的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．162．已知复数2z i =+，则1zi+在复平面上对应的点所在象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在等差数列{}n a 中，若35a =，424S =，则9a =（ ） A ．5-B ．7-C ．9-D ．11-4．下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（ ） A ．3()f x x x =+ B ．()31xf x =- C ．1()f x x =-D ．3()log f x x =5．中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”．从五种不同属性的物质中随机抽取2种，则抽到的两种物质不相生的概率为（ ） A ．15B ．14C ．13D ．126．设,αβ是两平面，,a b 是两直线．下列说法正确的是（ ） ①若//,//a b a c ，则b c ∥ ②若,a b αα⊥⊥，则a b ∥ ③若,a a αβ⊥⊥，则αβ∥ ④若αβ⊥，b αβ=，a α⊂，a b ⊥，则a β⊥A ．①③B ．②③④C ．①②④D ．①②③④7．下图是一程序框图，若输入的12A =，则输出的值为（ ）A ．25B ．512C ．1229D ．29608．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0ω>>A ，||2πϕ<）的图象如图所示，为了得到()y f x =的图象，只需把1()sin cos 22ωω=-g x x x 的图象上所有点（ ）A ．向左平移6π个单位长度B ．向左平移3π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向右平移3π个单位长度9．8(12)2y x +-的展开式中22x y 项的系数是（ ）A ．420B ．420-C ．1680D ．1680-10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为2222224(,)|(1)1(1)10x y A x y x y x y x ⎧⎫⎧+≤⎪⎪⎪=++≥+-≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤⎩⎩⎭或，设点(,)x y A ∈，则2z x y =+的取值范围是（ ）A．[2- B．[- C．[2-D．[4,2-+11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为F ，,A B 是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点，0AF BF ⋅=uu u r uu u r且线段AF 的中点M 落在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为（ ） ABC ．2D12．已知函数()()=--+x f x e a e ma x ，（,m a 为实数），若存在实数a ，使得()0≤f x 对任意x R ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)1,e-+∞ B ．[,)-+∞e C ．[1,]e eD ．[1,]--e e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．平面内不共线的三点O ，A ，B ，满足||1OA =，||2OB =，点C 为线段AB 的中点，若3||2OC =，则∠=AOB ． 14．已知数列{}n a 中，11a =，且1230n n a a +++=，n ∈*N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则6S = ．15．已知直线l 经过抛物线2:4=x C y 的焦点F ，与抛物线交于,A B ，且8+=A B x x ，点D 是弧AOB （O 为原点）上一动点，以D 为圆心的圆与直线l 相切，当圆D 的面积最大时，圆D 的标准方程为 ．16．已知正三棱柱111-ABC A B C 的侧面积为12，当其外接球的表面积取最小值时，异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值等于 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1tan 2=B ，tan()2-=C A ． （1）求A ；（2）当=a ABC △的面积．18．（12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，,D E 分别是1,AC CC 的中点． （1）求证：平面AEB ⊥平面1A BD ； （2）求二面角1D BE A --的余弦值．19．（12分）已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，圆222:O x y c +=（122F F c =）与椭圆有且仅有两个交点，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程；（2）过y 正半轴上一点P 的直线l 与圆O 相切，与椭圆C 交于点A ，B ， 若PA AB =，求直线l 的方程．20．（12分）随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率的调整，调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额，依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：某税务部门在某公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：（1）若某员工2月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请计算一下调整后该员工的实际收入比调整前增加了多少?（2）现从收入在[3000,5000)及[5000,7000)的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用x表示抽到作为宣讲员的收入在[3000,5000)元的人数，y表示抽到作为宣讲员的收入在[5000,7000)元的人数，设随机变量X x y=-，求X的分布列与数学期望．21．（12分）已知函数2()ln1f x x a x=--，()a∈R．（1）若函数()f x有且只有一个零点，求实数a的取值范围；（2）若函数2()()10xg x e x ex f x=+---≥对[1,)x∈+∞恒成立，求实数a的取值范围．（e 是自然对数的底数， 2.71828e =）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是222813(1)1kxkkyk⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（k为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=．（1）曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的距离的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数()212f x x x a=-+-，x∈R．（1）当4a=时，求不等式()9f x>的解集；（2）对任意x∈R，恒有()5f x a≥-，求实数a的取值范围．2020届高三入学调研考试卷理 科 数 学（一）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C【解析】∵集合{}2{|20}=|21M x x x x x =+-≤-≤≤，{1,0,1,2}N =-，∴{1,0,1}MN =-，则其子集的个数为328=个．2．【答案】D【解析】∵2z i =+，∴2131122z i i i i -==-++，在复平面对应的点的坐标为13(,)22-，所在象限是第四象限． 3．【答案】B【解析】{}n a 为等差数列，设首项为1a ，公差为d ，由414624S a d =+=，3125a a d =+=，解得19,2a d ==-， 所以9112,7n a n a =-=-． 4．【答案】A【解析】B 中函数非奇非偶，D 中函数是偶函数，C 中函数是奇函数，但不在定义域内递增，只有A 中函数符合题意． 5．【答案】D【解析】从五种不同属性的物质中随机抽取2种，共2510C =种，而相生的有5种，则抽到的两种物质不相生的概率511102P =-=． 6．【答案】D【解析】由平行公理知①对， 由线面垂直的性质定理知②对， 由线面垂直及面面平行定理知③对， 由面面垂直性质定理知④对． 7．【答案】C【解析】运行程序框图，2,25A k ==；5,312A k ==；12,4329A k ==>， 输出1229A =． 8．【答案】B【解析】由题意知1=A ，由于741234T πππ=-=，故2T ππω==， 所以2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+， 由()(2sin 0)33f ππϕ=+=，求得3πϕ=， 故()[()]()sin 2sin 236f x x x ππ=+=+，1()sin cos sin[2()]226πωω=-=-g x x x x ，故需将()g x 图像上所有点向左平移3π个单位长度得到()f x ． 9．【答案】A【解析】展开式中22x y 项的系数是22228612()4202C C -=．10．【答案】C【解析】如图，作直线20x y +=，当直线上移与圆22(1)1x y +-=相切时，2z x y =+取最大值，此时，圆心(0,1)到直线2z x y =+的距离等于11=，解得max 2z =，当下移与圆224x y +=相切时，2x y +取最小值，2=，即min z =-所以[2z ∈-+．11．【答案】C【解析】如图，由题知AF BF ⊥，则OA OB OF ==，点M 是线段AF 的中点，则OM AF ⊥， 故60AOM MOF ∠=∠=︒，则tan 60ba=︒=2e ==．12．【答案】A【解析】()()=--+xf x e a e ma x ，则()()1'=-+xf x e a e ，若0e a -≥，可得()0'>f x ，函数()f x 为增函数，当x →+∞时，()→+∞f x ， 不满足()0≤f x 对任意x R ∈恒成立；若0e a -<，由()0'=f x ，得1xe a e =-，则1ln x a e=-， ∴当1,ln()x a e ∈-∞-时，()0'>f x ，当,()1ln x a e∈+∞-时，()0'<f x ， ∴1ln max111()ln ()ln 1ln()-==--+=--+---a e f x f e a e ma ma a e a e a e， 若()0≤f x 对任意x R ∈恒成立，则11ln 0()ma a e a e--+≤>-恒成立， 若存在实数a ，使得11ln0ma a e--+≤-成立， 则11ln ma a e ≥-+-，∴1ln()()a e m a e a a -≥-->， 令1ln()()a e F a a a-=--，则222ln()1()ln()()()aa e a e a e ea e F a a a a a e ------'=-=-． ∴当2a e <时，()0F a '<，当2a e >时，()0F a '>， 则min 1()(2)F a F e e==-． ∴1m e ≥-．则实数m 的取值范围是[)1,e-+∞．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】120︒或23π【解析】∵点C 为线段AB 的中点，∴1()2OC OA OB =+， 22211(2)(14212cos )44OC OA OB O AO A OB B =++⋅=++⨯⨯⨯∠，解得1cos 2AOB ∠=-，∴120AOB ∠=︒． 14．【答案】48-【解析】因为123+=--n n a a ，所以112(1)++=-+n n a a ，因为1120a +=≠，所以数列{1}n a +是以2为首项，以2-为公比的等比数列，所以112(2)-+=⨯-n n a ，即12(21)--=⨯-n n a ，2(1(2))3n n S n =---，所以662(12)6483S =--=-．15．【答案】22(4)(4)5-+-=x y 【解析】24-+===-A B A BAB A B y y x x k x x ，(0,1)F ，:21=+AB l y x ，点D 到直线l 距离最大时，圆D 的面积最大， 令22'==xy ，解得4=x ，即(4,4)D 到直线l距离最大，此时=d ， 所以所求圆的标准方程为22(4)(4)5-+-=x y ． 16．【答案】514【解析】设正三棱柱的底面边长为a ，高为h ，球的半径为R ，由题意知312=ah ，即4=ah ，底面外接圆半径2sin3π==a r由球的截面圆性质知2224=+≥=h R r当且仅当=a 时取等号，将三棱柱补成一四棱柱，如图，知11AC DB ∥， 即1∠DB C 为异面直线1AC 与1B C所成角或补角，11==B C DB=DC ，所以2221222()35cos 2()14+-∠==+a h a DB C a h ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）45A =︒；（2）125． 【解析】∵1tan tan()B C A =-，∴sin cos()cos()cos sin()sin cos sin()B C A C A B C A B B C A -=⇒-=-- cos()0C A B ⇒-+=，即cos(1802)0A ︒-=．∴cos20A =，0180A ︒<<︒，290A =︒，则45A =︒． （2）∵1tan 2=B，∴sin B = ∵tan )1tan(4521tan C C C --︒==+，∴tan 3sin C C =-⇒=，由正弦定理4sin 2==a A，可得=b=c所以1112csin 2252===S b A ． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）14．【解析】（1）∵AB BC CA ==，D 是AC 的中点，∴BD AC ⊥， ∵1AA ⊥平面ABC ，∴平面11AAC C ⊥平面ABC ， AAC C又∵在正方形11AAC C 中，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点， 易证得：1A AD ACE ≅△△，∴1A DA AEC ∠=∠，∵90AEC CAE ∠+∠=︒，∴190A DA CAE ∠+∠=︒，即1A D AE ⊥． 又1A DBD D =，∴AE ⊥平面1A BD ，AE ⊂平面AEB ，所以平面AEB ⊥平面1A BD ．（2）取11AC 中点F ，以DF ，DA ，DB 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，(0,0,0)D ，(1,1,0)E -，B ，1(2,1,0)A ，DB =，(1,1,0)DE =-，1(2,1,BA =，1(1,2,0)EA =，设平面DBE 的一个法向量为(,,)x y z m，则0000DB x y DE ⎧⋅==⎪⇒⎨-=⎪⋅=⎪⎩⎩m m ，令1x =，则(1,1,0)=m ，设平面1BA E 的一个法向量为(,,)a b c =n ，则11020200BA a b a b EA ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩n n ，令1b =，则(2,1,=-n ，设二面角1D BE A --的平面角为θ，观察可知θ为锐角，,1cos ,||||4<>==m n m n m n ，故二面角1D BE A --的余弦值为14．19．【答案】（1）2212x y +=；（2）22y x =±+【解析】（1）依题意，得c b =，所以a ，所以椭圆C 为222212x y b b +=，将点(33代入，解得1b =，则a =所以椭圆的标准方程为2212x y +=．（2）由题意知直线l 的斜率存在，设l 斜率为k ，(0,)P m （1m >）， 则直线l 方程为y kx m =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 与圆O 1=，即221m k =+，联立直线与椭圆方程，消元得222(12)4220k x kmx m +++-=，00Δk >⇒≠，122412kmx x k+=-+，2212222221212m k x x k k -==++， 因为PA AB =，所以212x x =，即1243(12)km x k =-+，221212k x k =+，所以221619(12)m k =+，解得272k =，即,22k m =±=，所求直线方程为y x =+20．【答案】（1）220；（2）见解析．【解析】（1）按调整前起征点应缴纳个税为：15003%250010%295⨯+⨯=元， 调整后应纳税：25003%75⨯=元，比较两纳税情况，可知调整后少交个税220元， 即个人的实际收入增加了220元．（2）由题意，知[3000,5000)组抽取3人，[5000,7000)组抽取4人， 当2x y ==时，0X =，当1,3x y ==或3,1x y ==时，2X =，当0,4x y ==时，4X =，所以X 的所有取值为：0,2,4，22344718(0)35C C P X C ===，133134344716(2)35C C C C P X C +===， 0434471(4)35C C P X C ===， 所求分布列为1816136()024********E X =⨯+⨯+⨯=． 21．【答案】（1）(,0]{2}-∞；（2）[0,)+∞．【解析】（1）2()ln 1f x x a x =--，22()2a x af x x x x-'=-=．①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 单调递增， 因为(1)0f =，所以()f x 有唯一零点，即0a ≤符合题意； ②当0a >时，令()0f x '=，解得x =由表可知，min ()f x f =，函数()f x在上递减，在)+∞上递增． （i1=，即2a =时，min ()(1)0f x f ==，所以2a =符合题意； （ii1，即02a <<时，(1)0f f <=， 因为122()110aaaf eee---=+-=>，11ae-<，故存在11(ax e -∈，使得1()(1)0f x f ==，所以02a <<不符题意；（iii1>，即2a >时，(1)0f f <=， 因为2(1)(1)ln(1)1(2ln(1))f a a a a a a a -=----=---，设11a t -=>，2ln(1)1ln ()a a t t h t ---=--=，则1()10h t t'=->， 所以()h t 单调递增，即()(1)0h t h >=，所以(1)0f a ->，所以1a ->故存在21)x a ∈-，使得2()(1)0f x f ==，所以2a >不符题意； 综上，a 的取值范围为(,0]{2}-∞． （2）()ln xg x a x e ex =+-，则()x a g x e e x '=+-，2()x ag x e x''=-，[1,)x ∈+∞． ①当0a ≥时，()0g x '≥恒成立，所以()g x 单调递增，所以()(1)0g x g ≥=， 即0a ≥符合题意；②当0a <时，()0g x ''>恒成立，所以()g x '单调递增， 又因为(1)0g a '=<，(1ln())(ln())0ln()ln()a a e a g e a a e a e a --'-=-=>--，所以存在0(1,ln())x e a ∈-，使得0()0g x '=，且当0(1,)x x ∈时，()0g x '<， 即()g x 在0(1,)x 上单调递减，所以0()(1)0g x g <=，即0a <不符题意． 综上，a 的取值范围为[0,)+∞．22．【答案】（1）221(3)169x y y +=≠-，:6l x y -=；（2）22d ≤≤．【解析】（1）222241:131xk k C y kk ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，平方后得221169x y +=， 又263(3,3]1y k =-+∈-+，C 的普通方程为221(3)169x y y +=≠-．cos()4πρθ+=，即cos sin 6ρθρθ-=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入即可得到:6l x y -=．（2）将曲线C 化成参数方程形式为4cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），则d ==3tan 4ϕ=，d ≤≤ 23．【答案】（1）712x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或；（2）[3,)+∞． 【答案】（1）当4a =时，145,21()3,2245,2x x f x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩， 所以()9f x >的解集为712x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或． （2）()21221(2)1f x x x a x x a a =-+-≥---=-，由()5f x a ≥-恒成立， 有15a a -≥-，当5a ≥时不等式恒成立， 当5a <时，由221(5)a a -≥-得35a ≤<， 综上，a 的取值范围是[3,)+∞．。
名师联盟2020届高三上学期入学调研考数学试卷(三)(理)(解析版)
名师联盟2020届高三上学期入学调研考试卷数学（三）（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数，则（ ） A ．B ．C ．D ． 3．已知，为第二象限角，则（ ） A ． B ． C ． D ． 4．在等比数列中，若，是方程的两根，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．5．设函数，若，（ ） A ．B ．C ．D ．6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ） 注：后指年及以后出生，后指年之间出生，前指年及以前出生．2{|230}A x x x =+-≤{|2}B x =<A B ={|31}x x -≤≤{|01}x x ≤≤{|31}x x -≤<{|10}x x -≤≤12z =+||z z +=12-12--32-32+1sin 4x =x sin2x =316-88±8{}n a 2a 9a 260x x --=56a a ⋅66-1-12sin cos ()(,0)x x xf x a R a ax+=∈≠(2019)2f -=(2019)f =22-20192019-909019908019801989-801979A ．互联网行业从业人员中后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的C ．互联网行业中从事运营岗位的人数后比前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数后比后多7．已知实数，满足不等式，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．无最小值8．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为和，高为，则该刍童的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知向量，，则“”是为钝角的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知为椭圆的左顶点，该椭圆与双曲线的渐近线在第一象限内的交点为，若直线垂直于双曲线的另一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ）9020%90809080x y 10320x y x y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩2z x y =+4-54262003110432718(1,2)a =-(1,)b m =12m <,a b <>A 2229x y +=22221x y a b -=B ABA ．B ．C ．D11．如图，正方形的四个顶点，，，，及抛物线和，若将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影部分区域的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．12．不等式对任意恒成立，则实数的取值范围（ ） A ．B ．C ．D ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．设某总体是由编号为，，，，的个个体组成，利用下面的随机数表选取个个体，选取方法是从随机数表第行的第列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第个个体编号为__________．第行 第行14．的展开式中的系数为__________．15．设，将的图像向右平移个单位长度，得到的图像，若是偶函数，则的最小值为__________．252(1,1)A --(1,1)B -(1,1)C (1,1)D -2(1)y x =-+2(1)y x =-ABCD 231316123ln 1x x e a x x --≥+(1,)x ∈+∞a (,1]e -∞-2(,2]e -∞-(,2]-∞-(,3]-∞-01021920206136181807924544171658097983861916206765003105523640505266238251(2)2x y -23xy()sin 2f x x x =+()f x (0)ϕϕ>()g x ()g x ϕ16．某外商计划在个候选城市中投资个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过个，则该外商不同的投资方案有种 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在中，角，，的对边分别是，，，．（1）求角的大小；（2）为边上的一点，且满足，，锐角三角形的长．18．（12分）如图，在三棱锥中，，，为线段上一点，且，平面，与平面所成的角为． （1）求证：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．432ABC ∆A B C a b c sin (2)b A a B =B D AB 2CD =4AC =ACD BC P ABC -AC=2AB BC =D AB 3AD DB =PD ⊥ABC PA ABC 45︒PAB ⊥PCD P AC D --19．（12分）某公司生产某种产品，一条流水线年产量为件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表：10000从第一道生产工序抽样调查了件，得到频率分布直方图如图：若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是元、元、元．（1）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；（2）将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；（3）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是万元，使用寿命是年，安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布，且不影响产量．请你帮该公司作出决策，是否要购买该设备？说明理由． （参考数据：，，），20．（12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为长为半径的圆与直线相切，过点的直线与椭圆相交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）若原点在以线段为直径的圆内，求直线的斜率的取值范围．10010060100-2012(80,2)N ()0.6826P X μσμσ-<≤+=(22)0.9548P X μσμσ-<≤+=(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=2222:1(0)x y C a b a b +=>>120x y -+=(4,0)P l C A B C O AB l k21．（12分）设函数．（1）若是函数的一个极值点，试用表示，并求函数的减区间；（2）若，，证明：当时，．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）『选修4−4：坐标系与参数方程』在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；2()(,)xx ax b f x a R b R e ++=∈∈1x =-()f x a b ()f x 1a =1b =-0x >1()(21)f x x e ≤-xOyl 322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t xOy O xC ρθ=l C（2）设圆与直线交于，两点，若点的坐标为，求．23．（10分）『选修4-5：不等式选讲』 已知函数．（1）若，求不等式的解集；（2）对任意的，有，求实数的取值范围．——★ 参*考*答*案 ★——一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．『答案』B『解析』，，所以．故选B ．2．『答案』CC l A BP ||||PA PB +()|||31|f x x m x m =----1m =()1f x <x R ∈()(2)f x f ≤m {|31}A x x =-≤≤{|04}B x x =≤<{|01}AB x x =≤≤『解析』因为复数， 所以复数的共轭复数，， 所以，故选C ． 3．『答案』B『解析』因为，为第二象限角， 所以， 所以，故选B ． 4．『答案』B『解析』因为、是方程的两根，所以根据韦达定理可知，因为数列是等比数列，所以，，故选B ．5．『答案』B『解析』因为， 所以，因此函数为奇函数，又，所以． 故选B ． 6．『答案』D122z =+z 12z =-||1z ==13||122z z +=-+=1sin 4x =x cos x ===1sin 22sin cos 2(448x x x ==⨯⨯-=-2a 9a 260x x --=296a a ⋅=-{}n a 5629a a a a ⋅=⋅566a a ⋅=-2sin cos ()x x xf x ax+=22sin()cos()sin cos ()()x x x x x xf x f x ax ax ---+-==-=-()f x (2019)2f -=(2019)(2019)2f f =--=-『解析』A ．由互联网行业从业者年龄分布饼状图可知，后占了，故A 选项结论正确；B ．由后从事互联网行业岗位分布图可知，技术所占比例为，故B 选项结论正确；C ．由互联网行业从业者年龄分布饼状图可知，在互联网行业从业者中后明显比前多，故C 选项结论正确；D ．在互联网行业从业者中后与后的比例相差不大，故无法判断其技术岗位的人数是谁多，故D 选项结论不一定正确． 故选D ． 7．『答案』C『解析』绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即，其中取得最小值时， 其几何意义表示直线系在轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最小值，联立直线方程，可得点的坐标为，据此可知目标函数的最小值为．故选C ． 8．『答案』B『解析』由题意几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为和，高为，9056%9039.65%908090801122y x z=-+z y A 320x y x y +=⎧⎨-=⎩(2,1)A min 2224z x y =+=+=262所以几何体体积． 故选B ． 9．『答案』B『解析』因为，，所以，则，若，则，但当时，，反向，夹角为；所以由不能推出为钝角；反之，若为钝角，则且，即且，能推出；因此，“”是为钝角的必要不充分条件．10．『答案』D『解析』因为直线垂直于双曲线的另一条渐近线，所以直线的方程为， 联立，可得交点，代入椭圆方程整理得，即有11．『答案』B『解析』∵，，，，∴正方形的的面积，1104(436233V =+⨯=(1,2)a =-(1,)b m =12a b m ⋅=-+cos ,||||5a b a b a b ⋅<>==⋅12m <cos ,0||||5a b a b a b ⋅<>==<⋅2m =-a b 180︒12m <,a b <>,a b <>cos ,0a b <><2m ≠-12m <2m ≠-12m <12m <,a b <>AB AB (3)ay x b =+(3)ay x b b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2222233(,)a ab B a b a b ----224b a =225c a =(1,1)A --(1,1)B -(1,1)C (1,1)D -ABCD 224S =⨯=根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积：，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是．故选B ． 12．『答案』D『解析』题意即为对恒成立， 即对恒成立， 从而求，的最小值， 而，故，即．当时，等号成立，方程在内有根，故，所以，故选D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．『答案』『解析』由题意，从随机数表第行的第列数字开始，从左到右依次选取两个数字的结果为，，，，，，，故选出来的第个个体编号为． 14．『答案』12231012[1(1)]2()|3S x dx x x =--=-⎰1242[(1)0]2333=--=⨯=41343=3ln 1xa x x e x -≤--(1,)x ∀∈+∞31ln x x e x a x ---≤(1,)x ∀∈+∞31ln x x e x y x ---=(1,)x ∈+∞33ln 3ln 3ln 1xx xx x x e ee e x x ---==≥-+313ln 113ln xx e x x x x x ---≥-+--=-313ln 3ln ln x x e x xx x ----≥=-3ln 0x x -=3ln 0x x -=(1,)+∞3min 1()3ln x x e x x ---=-3a ≤-1913118071716091961920-『解析』由二项式定理可知，展开式的通项为，要求解的展开式中含的项，则，所求系数为．15．『答案』『解析』，将的图像向右平移个单位长度得到，因为函数是偶函数， 所以，，，， 所以，故答案为． 16．『答案』『解析』每个城市投资个项目有种，有一个城市投资个有种，投资方案共种．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：（1）因为， 所以， 解得，所以，因为，所以，，解得． 5151()(2)2r r rr T C x y -+=-51(2)2x y -23x y 3r =32351()(2)202C -=-512π()sin 22sin(2)3f x x x x π==+()f x (0)ϕϕ>()2sin(22)3g x x πϕ=-+()g x 232k ππϕπ-+=+122k ππϕ=-+k ∈Z (0)ϕ>min 512πϕ=512π6013343C A 2212423C C C 3321243423243660C A C C C +=+=sin (2)b A a B =sin sin sin (2)B A A B =-sin 2B B +=sin()13B π+=(0,)B π∈4(,)333B πππ+∈32B ππ+=6B π=（2）因为锐角三角形所以，因为三角形为锐角三角形，所以， 在三角形中，由余弦定理可得：，所以， 在三角形中，，所以，在三角形中，，解得18．解：（1）因为，， 所以， 所以是直角三角形，；在中，由，，不妨设，由得，，，在中，由余弦定理得，故所以，所以；因为平面，平面，所以， 又，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）因为平面，所以与平面所成的角为，即，可得为等腰直角三角形，，ACD 1sin 2AC CD ACD ⋅⋅∠=sin 4ACD ∠=ACD 1cos 4ACD ∠==ACD 2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⋅⋅∠4AD =ACD sin sin CD ADA ACD=∠sin 8A =ABC sin sin BC ACA B=BC =AC =2AB BC =2222)4AB BC BC =+=ABC ∆AC BC ⊥Rt ABC ∆AC =30CAB ∠=︒1BD =3AD BD =3AD =2BC =AC =ACD ∆222222cos30323cos30CD AD AC AD AC =+-⋅︒=+-⨯⨯︒3=CD =222CD AD AC +=CD AD ⊥PD ⊥ABC CD ⊂ABC PD CD ⊥PDAD D =CD ⊥PAB CD ⊂PCD PAB ⊥PCD PD ⊥ABC PA ABC PAD ∠45PAD ∠=︒PAD ∆PD AD =由（1）得，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，． 则为平面的一个法向量． 设为平面的一个法向量， 因为，，则由，得，令，则，则为平面的一个法向量， 故， 故二面角的平面角的余弦值为． 19．解：（1）平均值为：． （2）由频率直方图，第一段生产半成品质量指标或，或，，设生产一件产品的利润为元，则，3PD AD ==D DC DB DP x y z (0,0,0)D C (0,3,0)A -(0,0,3)P (0,0,3)DP =ACD (,,)x y z =n PAC (0,3,3)PA =--(3,0,3)PC =-00PC PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 30330z y z -=--=⎪⎩1z =x =1y =-1,1)=-n PAC cos ,5DP <>==n P AC D --5720.1760.25800.3840.2880.1580.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(74P x ≤86)0.25x >=(7478P x <≤8286)0.45x <≤=(7882)0.3P x <≤=X (100)0.20.250.40.450.60.30.41P X ==⨯+⨯+⨯=， ，所以生产一件成品的平均利润是元， 所以一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是万元． （3），，，，设引入该设备后生产一件成品利润为元，则， ， ，所以引入该设备后生产一件成品平均利润为元，所以引入该设备后一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是万元， 增加收入万元， 综上，应该引入该设备．20．解：（1）由可得，又，∴，．故椭圆的方程为．（2）由题意知直线方程为．联立，得． 由，得．①(60)0.30.250.30.450.30.30.3P X ==⨯+⨯+⨯=(100)0.50.250.30.450.10.30.29P X =-=⨯+⨯+⨯=1000.41600.31000.2930⨯+⨯-⨯=30374μσ-=78μσ-=82μσ+=386μσ+=Y (100)0.00260.20.31480.40.68260.60.536P Y ==⨯+⨯+⨯=(60)0.00260.30.31480.30.68260.30.3P Y ==⨯+⨯+⨯=(100)0.00260.50.31480.30.68260.10.164P Y =-=⨯+⨯+⨯=1000.536600.31000.16455.2EY =⨯+⨯-⨯=55.255.23020 5.2--=12c e a ==2243a b=b ==24a =23b =22143x y +=l (4)y k x =-22(4)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩2222(43)3264120k x k x k +-+-=2222(32)4(43)(6412)0Δk k k =--+->214k <设，，则，． ∴．当原点在以线段为直径的圆内时，∴，②．由①②，解得．∴当原点在以线段为直径的圆内时，直线的斜率．21．『解：（1）由，有，得．此时有．由是函数的一个极值点，可知，得．①当，即时，令，得或，函数的减区间为，．②当时，函数的减区间为，．（2）由题意有，要证，只要证：令11(,)A x y 22(,)B x y 21223243k x x k +=+2122641243k x x k -=+22212121212(4)(4)4()16y y k x k x k x x k x x k =-⋅-=-++O AB 22212121212(1)4()16OA OB x x y y k x x k x x k ⋅=+=+-++2222222264123287(1)416250434343k k k k k k k k -=+-⋅+=-<+++k <<O ABl (55k ∈-222(2)()(2)()x x xx x a e x ax b e x a x a bf x e e +-++-+-+-'==(1)(12)0f a a b e '-=-+-+-=23b a =-22(2)(23)(2)3()xx x a x a a x a x a f x e e -+-+---+--+'==(1)[(3)][(1)][(3)]x x x x a x x a e e ++-----=-=-1x =-()f x 31a -≠-4a ≠31a ->-4a <()0f x '<3x a >-1x <-()f x (,1)-∞-(3,)a -+∞4a >()f x (,3)a -∞-(1,)-+∞21()xx x f x e +-=1()(21)(0)f x x x e ≤->2(21)(1)0(0)x x e e x x x --+-≥>2()(21)(1)(0)x g x x e e x x x =--+->有．则函数的增区间为，减区间为，则．故不等式成立．22．解：（1）由直线的参数方程（为参数）得直线的普通方程为．由，得， 即圆的直角坐标方程为． （2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，即， 由于， 故可设，是上述方程的两个实根，所以．又直线过点，故23．解：（1），所以或或． 解之得不等式的解集为．（2）当，时，由题得必须在的右边或者重合，()(21)(21)(21)()x x g x x e e x x e e '=+-+=+-()g x (1,)+∞(0,1)min ()(1)0g x g ==1()(21)f x x e ≤-l 322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩t l 3y x =-++ρθ=220x y +-=C 22(5x y +=l C 22(3)()522-+=240t -+=2440Δ=-⨯>1t 2t 12124t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩l P 1212||||||||PA PB t t t t +=+=+=()|1||4|1f x x x =---<11(4)1x x x <⎧⎨---<⎩141(4)1x x x ≤≤⎧⎨---<⎩4141x x x >⎧⎨--+<⎩()1f x <(,3)-∞31m m +>12m >-231m +31m +所以；∴，所以；当，时，不等式恒成立；当，时，由题得必须在的左边或者与重合， 由题得，，所以没有解．综上，． 231m ≥+13m ≤1123m -<≤31m m +=12m =-31m m +<12m <-231m +31m +231m ≤+13m ≥m 1123m -≤≤。
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2020届湖北名师联盟高三上期一模理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2|650A x x x =-+≤，{|B x y ==，A B =I （ ）A. [)1,+∞B. []1,3C. (]3,5D. []3,52.34341212i ii i+--=-+（ ） A. -4B. 4C. 4i -D. 4i3. 如图1为某省2019年1～4月快递业务量统计图，图2是该省2019年1～4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（ ）A. 2019年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B. 2019年1～4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C. 从两图来看2019年1～4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D. 从1～4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长4. 已知两个单位向量1e u r ，2e u u r ，满足122e e -=u r u u r ，则1e u r ，2e u u r的夹角为（ ）A.23π B.34π C.3π D.4π 5. 函数()1cos 1x x e f x x e +=⋅-的部分图象大致为（ ）A. B. C. D.6. 已知斐波那契数列的前七项为1、1、2、3、5、8、13.大多数植物的花，其花瓣数按层从内往外都恰是斐波那契数，现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵，花瓣总数为99，假设这种“雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有（ ）层. A. 5B. 6C. 7D. 87. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是AB ，11A D 的中点，O 为正方形1111A B C D 的中心，则（ ）A. 直线EF ，AO 是异面直线B.直线EF ，1BB 是相交直线C. 直线EF 与1BC 所成的角为30︒D. 直线EF ，1BB8. 执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ） A. 0B. 2C. 4D. -29. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令ln 2a =，1214b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，12log 2c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系为（ ） A. ()()()f b f c f a << B. ()()()f a f c f b << C. ()()()f c f b f a << D. ()()()f c f a f b <<10. 已知点2F 是双曲线C ：22193x y -=的右焦点，动点A 在双曲线左支上，点B 为圆E ：()2221x y ++=上一点，则2AB AF +的最小值为（ ）A. 9B. 8C. D. 11. 如图，已知P ，Q 是函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象与x 轴的两个相邻交点，R 是函数()f x 的图象的最高点，且3RP RQ ⋅=u u u r u u u r，若函数()g x 的图象与()f x 的图象关于直线1x =对称，则函数()g x 的解析式是（ ）A. ()24g x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. ()24g x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. ()2sin 24g x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭D. ()2sin 24g x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭12. 已知三棱锥P ABC -满足PA ⊥底面ABC ，在ABC △中，6AB =，8AC =，AB AC ⊥，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =.球O 为三棱锥P ABC -的外接球，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为40π，则球O 的表面积为（ ） A. 72πB. 86πC. 112πD. 128π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 已知曲线()()1ln f x ax x =-在点()1,0处的切线方程为1y x =-，则实数a 的值为 . 14. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足711S S =，且10a >，则n S 最大时n 的值是 . 15. 《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、異、震、坎、离、良、兑八卦），每一卦由三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为 .16. 点A ，B 是抛物线C ：()220y px p =>上的两点，F 是拋物线C 的焦点，若120AFB ∠=︒，AB 中点D 到抛物线C 的准线的距离为d ，则dAB的最大值为 .三、解答题：本大题共6大题，共70分.17. ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()22sin a c b C +=+. （1）求B 的大小；（2）若8b =，a c >，且ABC △的面积为a .18. 如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，//ED FB ，12DE BF =，AB FB =，FB ⊥平面ABCD .（1）设BD 与AC 的交点为O ，求证：OE ⊥平面ACF ；（2）求二面角E AF C --的正弦值.19. 设椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，上顶点为B ，离心率为3，O 是坐标原点，且1OB F B ⋅=（1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点1F 的直线l 与椭圆C 的两交点为M ，N ，若22MF NF ⊥，求直线l 的方程.20. 已知函数()14cos 23x f x x e π⎛⎫=--⎪⎝⎭，()'f x 为()f x 的导数，证明：（1）()'f x 在区间[],0π-上存在唯一极大值点；（2）()f x 在区间[],0π-上有且仅有一个零点.21. 11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地—安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮）.在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分.设甲每次投球命中的概率为12，乙每次投球命中的概率为23，且各次投球互不影响. （1）经过1轮投球，记甲的得分为X ，求X 的分布列；（2）若经过n 轮投球，用i p 表示经过第i 轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率.①求1p ，2p ，3p ；②规定00p =，经过计算机计算可估计得()111i i i i p ap bp cp b +-=++≠，请根据①中1p ，2p ，3p 的值分别写出a ，c 关于b 的表达式，并由此求出数列{}n p 的通项公式.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】已知平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 方程为2sin ρθ=，2C的参数方程为1122x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）写出曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；（2）设点P 为曲线1C 上的任意一点，求点P 到曲线2C 距离的取值范围.23.【选修4-5：不等式选讲】已知0a >，0b >，23a b +=.证明：（1）2295a b +≥；（2）3381416a b ab +≤.理科数学答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1-5：DDDCB 6-10：CCBCA11-12：CC1.【答案】D【解析】由已知可得[]1,5A =，[)3,B =+∞，则[]3,5A B =I . 2.【答案】D【解析】由复数的运算法则可得：3434(34)(12)(34)(12)1212(12)(12)i i i i i i i i i i +-++----=-++-(510)(510)45i i i -+---==. 3.【答案】D【解析】对于选项A ：2019年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值为439724111986-=，接近2000万件，所以A 是正确的；对于选项B ：2019年1～4月的业务量同比增长率分别为55%，53%，62%，58%， 均超过50%，在3月最高，所以B 是正确的；对于选项C ：2019年2、3、4月快递业务量与收入的同比增长率不一致， 所以C 是正确的. 4.【答案】C【解析】∵122e e -=u r u u r ，∴121443e e +-⋅=u r u u r，∴1212e e ⋅=u r u u r ，∴121cos ,2e e =u r u u r ，∴12,3e e π=u r u u r .5.【答案】B【解析】()1cos 1x x e f x x e +=⋅-的定义域为()(),00,-∞+∞U ，∵()()()11cos cos 11x x x x e e f x x x f x e e --++-=-⋅=-⋅=---，∴函数()1cos 1x x e f x x e +=⋅-奇函数，排除A 、D ，又因为当0x +→时，cos 0x >且101x x e e +>-，所以()1cos 01x x e f x x e +=⋅>-，故选B. 6.【答案】C【解析】由题设知，斐波那契数列的前6项之和为20，前7项之和为33， 由此可推测该种玫瑰花最可能有7层. 7.【答案】C【解析】易知四边形AEOF 为平行四边形，所以直线EF ，AO 相交； 直线EF ，1BB 是异面直线；直线EF ，1BB 所成角的余弦值为3C 正确. 8.【答案】B【解析】第一次循环，4S =，1i =； 第二次循环，2S =，2i =； 第三次循环，4S =，1i =； 第四次循环，2S =，2i =.可知S 随i 变化的周期为2，当2019i =时，输出的2S =. 9.【答案】C【解析】∵()f x 是R 上的奇函数，且满足()()2f x f x +=-， ∴()()2f x f x +=-，∴函数()f x 的图象关于1x =对称，∵函数()f x 在区间[]1,2是减函数，∴函数()f x 在[]1,1-上为增函数，且()()200f f ==， 由题知1c =-，2b =，01a <<，∴()()()f c f b f a <<. 10.【答案】A【解析】设双曲线C 的左焦点为1F ，21126AF AF a AF =+=+，∴21165AB AF AB AF AB AF BE +=++=+++1559F E ≥+==. 11.【答案】C【解析】由已知，得3,2R A ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1,RP A =--u u u r ，()1,RQ A =-u u u r ， 于是213RP RQ A ⋅=-=u u u r u u u r，得2A =， 又51222T =-，∴4T =，22T ππω==，由1222k πϕπ⋅+=，k Z ∈及2πϕ<，得4πϕ=-，故()2sin 24f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为()g x 与()f x 的图象关于1x =对称， 则()()()22sin 224g x f x x ππ⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦2sin 2sin 2424x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 12.【答案】C【解析】将三棱锥P ABC -补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O ， 记三角形ABC 的中心为1O ，设球的半径为R ，2PA x =，则球心O 到平面ABC 的距离为x ，即1OO x =， 连接1O A ，则15O A =，∴2225R x =+，在ABC △中，取AC 的中点为E ，连接1O D ，1O E ，则1132O E AB ==，124DE AC ==，∴1O D =在1Rt OO D △中，OD ，由题意得到当截面与直线OD 垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为r ，则()22222251312r R OD x x =-=+-+=， 所以最小截面圆的面积为12π，当截面过球心时，截面面积最大为2R π，∴21240R πππ+=，228R =，球的表面积为24112R ππ=.（或将三棱锥补成长方体求解）.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 2 14. 9 15.31416. 313.【答案】2【解析】()1'ln ax f x a x x-=+，()'111f a =-=，∴2a =. 14.【答案】9【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由711S S =，可得1176111071122a d a d ⨯⨯+=+， 即12170a d +=，得到1217d a =-， 所以111(1)(1)22217n n n n n S na d na a --⎛⎫=+=+⨯- ⎪⎝⎭21181(9)1717a n a =--+， 由10a >可知1017a -<，故当9n =时，n S 最大. 15.【答案】314【解析】观察八卦图可知，含3根阴线的共有1卦，含有3根阳线的共有1卦，含有2根阴线1根阳线的共有3卦，含有1根阴线2根阳线的共有3卦，故从八卦中任取两卦，这两卦的六根线恰有两根阳线，四根阴线的概率为123328314C C C +=. 16.【答案】3【解析】设AF a =，BF b =， 则2a bd +=，222222cos AB a b ab AFB a b ab =+-∠=++， ∴d AB ==≤= 当且仅当a b =时取等号.三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【答案】（1）3π；（2）5 【解析】（1）由()22sin a c b C+=+，得2222sin a c ac b C ++=+， 所以2222sin a c b ac C +-+=，即()2cos 1sin ac B C +=，所以有()sin cos 1sin C B B C +=，因为()0,C π∈，所以sin0C >，所以cos 1B B +=，cos 2sin 16B B B π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又0B π<<，所以5666B πππ-<-<，所以66B ππ-=，即3B π=. （2）因为11sin 22ac B ac ==12ac =， 又222222cos ()3()3664b a c ac B a c ac a c =+-=+-=+-=，所以10a c +=，把10c a =-代入到()12ac a c =>中，得5a =. 18.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）证明：由题意可知：ED ⊥平面ABCD ，从而Rt EDA Rt EDC ≅△△， ∴EA EC =，又O 为AC 中点，∴DE AC ⊥， 在EOF △中，OE =OF =3EF =，∴222OE OF EF +=，∴OE OF ⊥，又AC OF O =I ，∴OE ⊥平面ACF . （2）ED ⊥面ABCD ，且DA DC ⊥，如图以D 为原点，DA ，DC ，DE 方向建立空间直角坐标系， 从而()0,0,1E ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()2,2,2F ，()1,1,0O ，由（1）可知()1,1,1EO =-u u u r是面AFC 的一个法向量， 设(),,n x y z =r为面AEF 的一个法向量，由22020AF n y z AE n x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u r r u u u r r ，令1x =，得()1,2,2n =-r ， 设θ为二面角E AF C --的平面角，则cos cos ,3EO n EO n EO nθ⋅===⋅u u u r ru u u r r u u u r r，∴sin θ=，∴二面角E AF C --角的正弦值为32()3664a c +-=19.【答案】（1）22132x y +=；（2）10x ±+=. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c，则3c a =，∴a =， ∵222a b c =+，∴b =，又1OB F B ⋅=OB b =，1F B a =，∴ab =2=1c =，∴a =b =22132x y +=.（2）由（1）知()11,0F -，()21,0F ，设直线l 方程为1x ty =-， 由221132x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2223440t y ty +--=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则122423t y y t +=+，122423y y t -=+， ∵22MF NF ⊥，∴220F M F N ⋅=u u u u r u u u u r，∴()()1212110x x y y --+=，∴()()121211110ty ty y y ----+=，∴()()212121240ty yt y y +-++=，∴()2222418402323t t t t -+-+=++，∴22t =，∴t =. ∴l的方程为10x ±+=.20.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意知：()f x 定义域为(),-∞+∞，且()12sin 2'3x x x e f π⎛⎫=---⎪⎝⎭.令()12sin 23x g x x e π⎛⎫=---⎪⎝⎭，[],0x π∈-，()1cos 2'3x g x x e π⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，[],0x π∈-.∵x y e =-在[],0π-上单调递减，1cos 23y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭在[],0π-上单调递减，()'g x 在[],0π-上单调递减.又()'0cos 103g π⎛⎫=---< ⎪⎝⎭，()1'cos 0232g e e πππππ-⎛⎫-=----=-> ⎪⎝⎭， ∴()0,0x π∃∈-，使得()0'0g x =，∴当[)0,x x π∈-时，()'0g x >；当(]0,0x x ∈时，()'0g x <， 即()g x 在区间[)0,x π-上单调递增；在(]0,0x 上单调递减，则0x x =为()g x 唯一的极大值点，即()'f x 在区间[],0π-上存在唯一的极大值点0x . （2）由（1）知()12sin 2'3x x x e f π⎛⎫=---⎪⎝⎭，且()'f x 在区间[],0π-存在唯一极大值点，()'f x 在[)0,x π-上单调递增，在(]0,0x 上单调递减，而()12sin 1023'e e f πππππ-⎛⎫=----=-> ⎪⎝⎭-，()2sin 1103'0f π⎛⎫=---=> ⎪⎝⎭，故()'f x 在[],0π-上恒有()'0f x >，∴()f x 在[],0π-上单调递增，又()14cos 023f e e πππππ-⎛⎫=---=-< ⎪⎝⎭-，()4co 10s 103f π⎛⎫=--=> ⎪⎝⎭，因此，()f x 在[],0π-上有且仅有一个零点. 21.【答案】（1）见解析；（2）①116P =，2736P =，343216P =；②()617a b =-，()117c b =-，11615n n P ⎛⎫- ⎪⎝⎭=. 【解析】（1）X 的可能取值为-1，0，1.121(1)1233P x ⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭，12121(0)1123232P x ⎛⎫⎛⎫==⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，121(1)1236P x ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭. ∴X 的分布列为（2）①由（1）知，16P =， 经过两轮投球甲的累计得分高有两种情况：一是两轮甲各得1分； 二是两轮有一轮甲得0分，有一轮甲得1分， ∴12211117662636P C ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 经过三轮投球，甲的累计得分高有四种情况：一是三轮甲各得1分；二是三轮有两轮各得1分，一轮得0分；三是1轮得1分，两轮各得0分；四是两轮各得1分，1轮得-1分，∴3222212333311111116626263P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ②由11i i i i P aP bP cP +-=++，知1111i i i a cP P P b b+-=+--， 将00P =，116P =，2736P =，343216P =代人，求得617a b =-，117c b =-， ∴6(1)7a b =-，1(1)7c b =-，∴116177i i i P P P +-=+，∴117166i i i P P P +-=-.∴()1116i ii i P P P P +--=-， ∵1016P P -=，∴{}1n n P P --是等比数列，首项和公比都是16. 116n n n P P --=，∴()()()010211n n n P P P P P P P P -=+-+-++-L 1111166115616n n⎛⎫-⎪⎛⎫⎝⎭==-⎪⎝⎭-. 22.【答案】（1）1C ：()2211x y +-=，2C0y -+=；（2）⎡⎢⎣⎦. 【解析】（1）1C 的直角坐标方程()2211x y +-=，2C 0y -+=.（2）由（1）知，1C 为以()0,1为圆心，1r =为半径的圆，1C 的圆心()0,1到2C 的距离为112d ==<，则1C 与2C 相交，P 到曲线2C 距离最小值为0，最大值为d r +=，则点P 到曲线2C 距离的取值范围为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.23.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）∵0a >，0b >，23a b +=，∴320a b =->，302b <<， ∴()22222325129a b b b b b +=-+=-+26995555b ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭， ∴当65b =，3325a b =-=时，22a b +的最小值为95， ∴2295a b +≥.（2）∵0a >，0b >，23a b +=，∴3≥908ab <≤，当且仅当322a b ==时，取等号， ∴()3322244(2)4a b ab ab a bab a b ab ⎡⎤+=+=+-⎣⎦22819(94)94()4168ab ab ab ab ab ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭,∴98ab =时，334a b ab +的最大值为8116， ∴3381416a b ab +≤.。