2014年初中数学奥赛专题复习 知识梳理+例题精讲 第二讲 分式的化简求值(基础篇,适合八年级使用,无答案)
华杯赛辅导初二-第二讲-分式的化简和求值
华杯赛辅导初二 第二讲 分式的化简与求值分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值．一、内容提要1． 除式含有字母的代数式叫做分式。
分式的值是由分子、分母中的字母的取值确定的。
(1)分式BA中，当B ≠0时有意义；当A 、B 同号时值为正，异号时值为负，反过来也成立．分子、分母都化为积的形式时，分式的符号由它们中的负因数的个数来确定． (2)若A 、B 及BA都是整数，那么A 是B 的倍数，B 是A 的约数． (3)一切有理数可用BA来表示，其中A 是整数，B 是正整数，且A 、B 互质．2． 分式的运算及恒等变形有一些特殊题型，要用特殊方法解答方便．二、典型例题例1 x 取什么值时，分式x x x x 23222+--的值是零？是正数？是负数？解： xx x x 23222+--＝)2()3)(1+-+x x x x （以零点－2，－1，0，3把全体实数分为五个区间，标在数轴上（如上图） 当x=－1,x=3时分子是0，分母不等于0，这时分式的值是零；当x<－2, －1<x<0, x>3时，分式的值是正数（∵负因数的个数是偶数） 当－2<x<－1, 0<x<3时，分式的值是负数（∵负因数的个数是奇数）例2 m 取什么值时，分式172-+m m 的值是正整数？ 解：172-+m m ＝1922-+-m m ＝2＋19-m当19-m ＞－2且m －1是9的约数时，分式的值是正整数 即m －1＝1，3，9，－9 解得m=2,4,10,－8． 答：（略） 例3 计算14++x x ＋32--x x －12-+x x －34++x x ．3解：用带余除法得，原式＝1＋13+x ＋1＋31-x －1－13-x －1－31+x＝)1)(1()1(3)1(3-++--x x x x ＋)3)(3()3()3(+---+x x x x＝162-x －＋962-x ＝)9)(1(4822--x x ． 例4 已知（a+b ）∶(b+c)∶(c+a)=3∶4∶5．求①a ∶b ∶c ；②bcc aba +-22．解：设a+b=3k,则b+c=4k,c+a=5k,全部相加得2（a+b+c ）=12k, 即a+b+c=6k, 分别减上列各式 得a=2k, b=k, c=3k∴①a ∶b ∶c =2∶1∶3； ②bc c ab a +-22＝kk k k k k 3)3(2)2(22⨯⨯-＋＝61． 例5 一个两位数除以它的两个数位上的数字和，要使商为最小值，求这个两位数；如果要使商为最大值呢？解：设这个两位数为10x+y ，那么0＜x ≤9, 0≤y ≤9y x y x ++10＝1＋yx x+9当x 取最小值1，y 取最大值9时，分式yx x+9的值最小；当x 取最大值9，y 取最小值0时，分式yx x+9的值最大． 答：商为最小值时的两位数是19，商为最大值时的两位数是90。
八年级奥数：分式的化简求值
八年级奥数：分式的化简求值解读课标先化简后求值是解代数式化简求值问题的基本策略，分式的化简求值通常分为有条件和无条件两类．给出一定的条件并在此条件下求分式的值的问题称为有条件的分式化简求值，解这类问题，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要依据条件逼近目标，又要能根据目标变换条件，不但要经常用到整式化简求值的知识、方法，而且还常常用到如下技巧策略：1．适当引入参数；2．拆项变形或拆分变形；3．整体代入；4．取倒数或利用倒数关系等．问题解决例1 已知，则_____________．例2 a 、b 、c 为非零实数，且，若，则 等于（ ）． A ．8 B ．4 C ．2 D ．1例3 已知，求的值．例4 已知，且，求x 的值．012=--x x =++5412x x x 0=/++c b a a c b a b c b a c c b a ++-=+-=-+abca c cb b a ))()((+++11,11=+=+c b b a ac 1+012=--a a 1129322322324-=-++-a xa a xa a例5 已知a 、b 、c 满足，求证：这三个分数的值有两个为1，一个为-1．数学冲浪知识技能广场1．请你先化简：=___________，再选取一个你喜爱又使原式有意义的数代人求值得_____________．2．已知实数，则代数式的值为_____________． 3．若，且，则的值为_______________． 4．若，则的值为_______________． 5．若，则的值为（ ）． 6．若的值为，则的值为（ ）． A ．1 B ．-1 C ． D ． 7．当时，代数式的值是（ ）． A ．-1 B ． C ． D ．1 1222222222222=-++-++-+abc b a ac b a c bc a c b 1)111(22-÷-+x x x 01442=+-x x xx 212+2002,2003,2004222=+=+=+m c m b m a 24=abc cb a abc ca b bc a 111---++ad d c c b b a ===d c b a d c b a +-+-+-31=+x x 1212++x x x 10.A 8.B 101.C 81.D 73222++y y 1416412-+y y 17-1561-=m 3339952122+--+÷----m m m m m m n m m 12-128．已知，，那么的值等于（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．化简求值：，其中a 满足 10．已知，求的值． 思想方法天地11．若abc ≠0，且，则=______________． 12．已知实数a 、b 、c 满足与，则的值是_____________． 13．已知a 、b 、c 满足，则的值为___． 14．已知，且，则m =____________． 15．已知，则的值是（ ）． 16．已知，且，则代数式的值为（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．017．如果，，那么的值为（ ）．A ．36B ．16C ．14D ．318．若a 、b 、c 满足，则a 、b 、c 中（ ）． A ．必有两个数相等 B ．必有两个数互为相反数11=+b a 12=+c b ac 2+24)44122(22+-÷++--+-a a a a a a a a .0122=-+a a p yx z z y x x z y y x z z y x x z y =-+-+=-+-+=++-+32P P P ++b a c a c b c b a +=+=+abca c cb b a ))()((+++11=++c b a 1713111=+++++a c c b b a ba c a cbc b a +++++1=+++++b a c a c b c b a ba c a cbc b a +++++2220142=++a a 53312324=++++a ma a ma a 161,171,151=+=+=+a c ca c h bc b a ab cabc ab abc ++241.231.221.211.D C B A 0=/abc 0=++c b a 222a b c bc ca ab++0=++c b a 0312111=+++++c b a 222)3()2()1(+++++c b a cb ac b a ++=++1111C ．必有两个数互为倒数D ．每两个数都不相等19．已知，求的值．20．已知，求的值．应用探究乐园21．探索问题：（1）请你任意写出五个正的真分数________、________、________、________、________．给每个分数的分子和分母同加一个正数得到五个分数：________、________、________、________、________．（2）比较原来每个分数与对应新分数的大小，可以得出下面的结论：一个真分数是（a 、b 均为正数），给其分子、分母同加一个正数m ，得，则两个分数的大小关系是：． （3）请你用文字叙述（2）中结论的含义：___________________________．（4）你能用图形的面积说明这个结论吗?（5）解决问题：如图，有一个长宽不等的长方形绿地，现给绿地四周铺一条宽相等的小路，问原来的长方形与现在的铺过小路后的长方形是否相似?为什么?______________________________________________________________________________________________________________．（6）这个结论可以解释生活中的许多现象，解决许多生活与数学中的问题．请你再提出一个类似的数学问题，或举出一个生活中与此结论相关的例子．b ac a c b c b a +=+=+cb ac b a 322-+++1===cz by ax 444444111111111111z y x c b a +++++++++++a bmb m a ++ba mb m a ________++22．已知a 、b 、c 为正数，满足证明：以为三边长可构成一个直角三角形．,32①=++c b a .41②=-++-++-+ab c b a ca b a c bc a c b c b a 、、。
初中数学重点梳理：分式的化简与求值
分式的化简与求值知识定位分式的化简与求值是竞赛部分重要内容，要掌握分式运算的基本性质，会灵活对分式作恒等变形，能利用参数对复杂的分式进行化简与求值，另外整体法的应用也要掌握，本节对常见的题型与方法做讲解知识梳理分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值 给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值。
而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化筒后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略。
解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标。
又要抓住条件，既要根据目标变换条件。
又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧：1、恰当引入参数；2、取倒数或利用倒数关系；3、拆项变形或拆分变形；4、整体代入；5、利用比例性质等。
例题精讲◆专题一：恰当引入参数 【试题来源】“希望杯”邀请赛试题【题目】若，则的值是 。
【答案】0或2- 【解析】设k add c c b b a ====则432ak a ,ak ck b ,ak dk c ,ak d ======则14=k 则1±=k ，当1=k 时，原式等于0；当1-=k 时，原式等于2-。
【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】若，求x ,y ,z（甘肃升中题）。
【答案】【解析】解：设k（k≠0）, 那么x=2k、y=3k、z=4k 代入x+y－z=,得：2k＋3k－4k=,解得：k=，所以:x=，y=，z=.评注：引入参数，把三个未知数转化为关于‘参数’的一元方程问题。
全国初中数学联赛 6.分式的化简与求值
分式的化简与求值一、分式的计算 (1)二、分式化简求值 (1)一、 分式的计算1. （2007年全国初中数学联赛1试1试）当x 分别取值12007，12006，12005，…，12，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211x x -+的值，将所得的结果相加，其和等于（ ）A ．－1B ．1C ．0D ．2007【难度】 ★★【解析】C 因为2222111111n n n n ⎛⎫- ⎪-⎝⎭+=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭222211011n n n n --+=++，即当x 分别取值1n ，n (n 为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当1x =时，2211011-=+．因此，当x 分别取值12007，12006，12005，…，12，1，2，…，2005，2006，2007时，计算所得各代数式的值之和为0．故选C ．二、 分式化简求值2. （1990年全国初中数学联赛1试1试）已知11228x x-+=，则21x x +=_________．【难度】 ★【解析】62 对所求多项式变形可得：21122211262x x x x x x -⎛⎫+=+=+-= ⎪⎝⎭．3. （1999年全国初中数学联赛1试）已知a ，b 为整数，且满足221111*********a b a b a b a b a b ⎛⎫ ⎪⎛⎫--⋅= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-++ ⎪⎝⎭，则a b +=________． 【难度】 ★★★【解析】3 首先应该将等式化简，然后根据等式的形式再作进一步的分析，2211111111111a b a b a b a b a b ⎛⎫ ⎪⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-++⎝⎭222222111111111a b a b a b a b +⎛⎫=- ⎪⎝⎭-+ 22221111111a b a b a b +=-++ 111a b =+23ab a b ==+， ∴3220ab a b --=，对于含有ab ，a b ，的式子通过对常数项构造，可以分解因式，我们首先把含字母的三项表示为两个一次式的乘积：∴()()32324b a --=，由于a b ，都是整数，所以()32b -和()32a -均为整数，则它们的值为1，4或14--，，∴321b -=，324a -=或321b -=-，324a -=-，∴2a =，1b =，∴3a b +=，其中，后式无整数解，舍去．4. （1985年全国初中数学联赛1试）已知(01)≠±，x x 和1两个数，如果只许用加法、减法，1作被除数的除法三种运算（可以使用括号），经过六步算出2x ，那么计算的表达式是________．【难度】 ★★【解析】1[11(1)]x x x ÷÷-÷+-或1[1(1)(1)]x x x ÷÷--÷+。
-初中数学竞赛专题培训(4)：代数式的化简与求值
初中数学竞赛专题培训第四讲分式的化简与求值分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值．例1 化简分式：分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．例2 求分式当a=2时的值．分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．例3 若abc=1，求分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．解法1 因为abc=1，所以a，b，c都不为零．解法2 因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．例4 化简分式：分析与解 三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．说明互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．例5 化简计算(式中a ，b ，c 两两不相等)：似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a -b)(a -c)，而分子又恰好凑成(a -b)+(a -c)，因此有下面的解法． 解说明本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用例6 已知：x+y+z=3a(a ≠0，且x ，y ，z 不全相等)，求分析 本题字母多，分式复杂．若把条件写成(x -a)+(y -a)+(z -a)=0，那么题目只与x -a ，y -a ，z -a 有关，为简化计算，可用换元法求解．解 令x -a=u ，y -a=v ，z -a=w，则分式变为u 2+v 2+w 2+2(uv+vw+wu)=0．由于x ，y ，z 不全相等，所以u ，v ，w 不全为零，所以u 2+v 2+w2≠0，从而有说明 从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化． 例7 化简分式：适当变形，化简分式后再计算求值．(x -4)2=3，即x 2-8x+13＝0．原式分子=(x 4-8x 3+13x 2)+(2x 3-16x 2+26x)+(x 2-8x+13)+10 =x 2(x 2-8x+13)+2x(x 2-8x+13)+(x 2-8x+13)+10=10，原式分母=(x2-8x+13)+2=2，说明本例的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．解法1 利用比例的性质解决分式问题．(1)若a+b+c≠0，由等比定理有所以a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，于是有(2)若a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，于是有说明比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．解法2 设参数法．令则a+b=(k+1)c，①a+c=(k+1)b，②b+c=(k+1)a．③①+②+③有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，所以 (a+b+c)(k-1)=0，故有k=1或 a+b+c=0．当k=1时，当a+b+c=0时，说明引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．练习四1．化简分式：2．计算：3．已知：(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2=(x+y-2z)2+(y+z-2x)2+(z+x-2y)2，的值．。
数学北师大版八年级下册分式的化简求值题
bd ac
b d 3、分式的除法： a c
b c bc a d ad
活动二：合作探究
考点三：分式的运算 要求：独立完成练一练的两个小题 （时间：6分钟）
2 x x 1 ,其中x 1、先化简，再求值： ( 2 1 ) 2 x x x 2 x 1 - x 1 的值从不等式组 的整数解中选取。 2 x 1 4 x x 2 x x 1 x 1 - x 1 2 解：原式= x x x 1 2 2 x 1 4
由不等式得 x≥-1 由不等式 得 5 x< 2 5 所以-1≤x< 2
2 2 1 1 x 2 xy y 其中 2、先化简，再求值 2 x 2 y y x
x=
5 1
，y= 5 - 1
解：原式=
x y 2x y
2
x y xy
= =
x x 2 x x 1 x 1 2 x x x 1 2
2
= 在-1≤x<5/2的整数有-1,0,1，2，但只有2 能保证分式在化简过程中有意义，当x=2时， 2 原式= - 2 - 1 -2
x2 x 1 x x 1 x 1 x 1 x x1
北师新课标2014版
分式的化简求值题
授课教师：牛会
中学二级教师
学习目标：
1、能确定分式有意义和分式的值为零时的条 件． 2、能熟练进行分式的约分和通分． 3、能准确进行分式化简、求值.
中招命题趋势
分式化简求值题近9年考查8次，2013年在填空题出现， 只考查化简，其它均在解答题的第16题考查，分值为8分。
活动二：合作探究
分式的化简与求值
分式的化简与求值例1 化简分式：分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］例2 求分式当a=2时的值．分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．例3 若abc=1，求分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．解法1 因为abc=1，所以a，b，c都不为零．解法2 因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．例4 化简分式：分析与解三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．例5 化简计算(式中a，b，c两两不相等)：似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c)，因此有下面的解法．解例6 已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求分析本题字母多，分式复杂．若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么题目只与x-a，y-a，z-a有关，为简化计算，可用换元法求解．解令x-a=u，y-a=v，z-a=w，则分式变为u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0．由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u2+v2+w2≠0，从而有例7 化简分式：解法1 利用比例的性质解决分式问题．(1)若a+b+c≠0，由等比定理有所以a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，于是有(2)若a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，于是有解法2 设参数法．令则a+b=(k+1)c，①a+c=(k+1)b，②b+c=(k+1)a．③①+②+③有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，所以 (a+b+c)(k-1)=0，故有k=1或 a+b+c=0．当k=1时，当a+b+c=0时，练习四1．化简分式：2．计算：3．已知：(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2=(x+y-2z)2+(y+z-2x)2+(z+x-2y)2，的值．。
初中数学(初二)考点：分式的化简求值
1、考点名称:分式的化简求值5年考试次数:327考点内容:(1) 先把分式化简后,再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.(2) 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.(3) 化简的最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要化成最简分式或整式.规律方法：分式化简求值时需注意的问题：1.化简求值,一般是先化简为最简分式或整式,再代入求值.化简时不能跨度太大,而缺少必要的步骤,代入求值的模式一般为“当…时,原式=…”.2.代入求值时,有直接代入法,整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时,所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义,且除数不能为0.2、考点名称:解分式方程5年考试次数:247考点内容:(1)解分式方程的步骤:①去分母;②求出整式方程的解;③检验;④得出结论.(2)解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,所以应如下检验:①将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解.②将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值为0,则整式方程的解不是原分式方程的解. 所以解分式方程时,一定要检验.3、考点名称:分式方程的应用5年考试次数:151考点内容:1、列分式方程解应用题的一般步骤:设、列、解、验、答.必须严格按照这5步进行做题,规范解题步骤,另外还要注意完整性:如设和答叙述要完整,要写出单位等.2、要掌握常见问题中的基本关系,如行程问题:速度=路程时间;工作量问题:工作效率=工作量工作时间等等.列分式方程解应用题一定要审清题意,找相等关系是着眼点,要学会分析题意,提高理解能力. 4、考点名称:待定系数法求一次函数解析式5年考试次数:76考点内容:待定系数法求一次函数解析式一般步骤是:(1)先设出函数的一般形式,如求一次函数的解析式时,先设y=kx+b;(2)将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式,得到关于待定系数的方程或方程组;(3)解方程或方程组,求出待定系数的值,进而写出函数解析式.注意:求正比例函数,只要一对x,y的值就可以,因为它只有一个待定系数;而求一次函数y=kx+b,则需要两组x,y的值.5、考点名称:三角形内角和定理5年考试次数:106考点内容:(1)三角形内角的概念:三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角,且每个内角均大于0°且小于180°.(2)三角形内角和定理:三角形内角和是180°.(3)三角形内角和定理的证明证明方法,不唯一,但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起,组合成一个平角.在转化中借助平行线.(4)三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角;②依据三角形中角的关系,用代数方法求三个角;③在直角三角形中,已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角6、考点名称:全等三角形的判定5年考试次数:136考点内容:(1)判定定理1:SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等.(2)判定定理2:SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.(3)判定定理3:ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.(4)判定定理4:AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5)判定定理5:HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等.方法指引:全等三角形的5种判定方法中,选用哪一种方法,取决于题目中的已知条件,若已知两边对应相等,则找它们的夹角或第三边;若已知两角对应相等,则必须再找一组对边对应相等,且要是两角的夹边,若已知一边一角,则找另一组角,或找这个角的另一组对应邻边.7、考点名称:等腰三角形的判定5年考试次数:44考点内容:判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.简称:等边对等角说明:①等腰三角形是一个轴对称图形,它的定义既作为性质,又可作为判定办法.②等腰三角形的判定和性质互逆;③在判定定理的证明中,可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线,但不能作未来底边的中线;④判定定理在同一个三角形中才能适用.8、考点名称:勾股定理5年考试次数:760考点内容:(1)勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.(3)勾股定理公式a2+b2=c2的变形有:、及(4)由于a2+b2=c2>a2,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.9、考点名称:三角形中位线定理5年考试次数:229考点内容:(1)三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.(2)几何语言: 如图,∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC,DE=BC.10、考点名称:平行四边形的判定5年考试次数:102考点内容:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB∥DC,AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形.(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB=DC,AD=BC∴四边行ABCD是平行四边形.(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB∥DC,AB=DC∴四边行ABCD是平行四边形.(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵∠ABC=∠ADC,∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形.(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.符号语言:∵OA=OC,OB=OD∴四边行ABCD是平行四边形.。
初一 分式化简求值常用技巧
分式化简求值常用技巧知识要点：一：“运算符号”点拨：对于两个分母互为相反数的分式相加减，只须把其中一个分式的分母的运算符号提出来，即可化成同分母分式进行相加减。
例1：求ab a b a b 24222-+-二：“常用数学运算公式”点拨：在求分式的值时，有些数学运算公式直接应用难以奏效，这时，需要对这些数学公式进行 变形应用。
例2：若0132=+-a a ，则331a a +的值为______评注：在求分式的值时，要高度重视以下这些经过变形后的公式的应用：①))((22b a b a b a -+=- ②ab b a ab b a b a 2)(2)(2222+-=-+=+③)(3)(]3))[(())((322233b a ab b a ab b a b a b ab a b a b a +-+=-++=+-+=+④)(3)(]3))[(())((322233b a ab b a ab b a b a b ab a b a b a -+-=+--=++-=- ⑤])()[(4122b a b a ab --+=三：“分式的分子或分母”点拨：对于分子或分母含有比较繁杂多项式的分式求值，往往需要对这些多项式进行分解因式变形处理，然后再代题设条件式进行求值。
例3：已知5,3-==+xy y x ，求2222223xy y x y xy x +++的值。
四：“原分式中的分子和分母的位置”点拨：对于那些分母比分子含有更繁杂代数式的分式，倘若直接求值，则难以求解。
但是，我们可以先从其倒数形式入手，然后再对所求得的值取其倒数，则可以把问题简单化。
例4：已知3112=++x x x ，则1242++x x x 的值为______巩固练习：1. 如果12x x+=，则2421x x x ++的值是多少?评注：取倒数思想是处理那些分母比分子含有更繁杂代数式的分式求值问题的重要法宝。
像本题利用取倒数思想巧变原分式中的分子和分母的位置，从而化难为易。
分式的化简与求值
分式的化简与求值一、分式的概念及性质若用A 、B 表示两个整式，则BA 就叫做分式，其中：B 中含有字母且B ≠0。
分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变。
即：MB M A B A ⨯⨯=，MB M A BA ÷÷=（M 是不为零的整式）。
（1） 分式中分子、分母与分式本身的符号改变其中任何两个，分式的值不变。
即：BA BA =--，BA BA BA -=-=-。
（2） 在分式运算中，可以把一个分式的分子、分母的公因式约去，我们称这一过程叫分式的约分。
（3） 在分式运算中，可以把n 个异分母的分式分别化为与原来分式相等的同分母的分式，我们称这一过程叫分式的通分。
二、例题与练习：（一）巩固概念例1 当x 取何范围内取值时，下列分式有意义？（1）4422+-+x x x ，（2）1222-++x x例2 当x 取何值时，分式212---x x x 的值为零？例3 将分式3243-++x x x 分解成部分分式。
例4 当x 取何整数时，下列各式中的y 值也是整数？（1）16-=x y ； （2）31+-=x x y ； （3）131++=x x y ；（5）222-+-=x x x y （6）13122-+-=x x x y（二）化简与求值 例5 化简下列分式： （1）1132--++x xx x （2）⎪⎭⎫⎝⎛-++÷⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-b a bb a b b a b a ba b a（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-222)(11)2(11)1(11n x x x （4）168421161814121111aa aaaa--++++++++-（5）1271651231222++++++++x x x x x x（6）4192372252132+++++-++-++x x x x x x x x（7）abbc ac c b a c acbc ab b a c b bcac ab a c b a +----++----++----222222 （a 、b 、c 两两不相等）（8）()()()()()()199919972532312+++++++++x x x x x x（9）()()()()()d c b a c b a dc b a b a cb a a b +++++++++++（10）⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a c a c b c b a b a c a c b c b a 111111111111222例6 若abc ＝1，求111++++++++c ca c b bc b a ab a 的值。
2014中考数学知识点小结：分式的化简与求值
2014中考数学知识点小结：分式的化简与求值
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分式的化简求值
【知识梳理】
1、先化简后求值是解代数式化简求值问题的基本策略，分式的化简求值通常分为有条件和无条件两类。
给出一定的条件并在此条件下求分式的值的问题称为有条件的分式化简求值，解这类问题，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要依据条件逼近目标，又要能根据目标变换条件。
常常用到如下策略：
（1）适当引入参数；
（2）拆项变形或拆分变形；
（3）整体代入；
（4）取倒数或利用倒数关系等。
2、基本思路
（1） 由繁到简，即从比较复杂的一边入手进行恒等变形推到另一边；
（2） 两边同时变形为同一代数式；
（3） 证明：0=-右边左边，或
1=右边
左边，此时0≠右边。
3、基本方法
在恒等变形的过程中所用的方法有配方法、消元法、拆项法、综合法、分析法、比较法、换元法、待定系数法、设参数法以及利用因式分解等诸多方法。
【例题精讲】 【例1】（1）已知x y -=20，求22
22323x xy y x xy y
-+=+-___________________；
（2）已知
511=+y x ，则=+++-y xy x y xy x 2252___________________；
（3）若
345
a b c ==，则=--++c b a c b a 3223____________________；
【例2】若a b b c c a x c a b +++=
==，求x 的值？
【例3】已知0≠abc ，且
a c c
b b a ==，求3223a b
c a b c ++--的值？
【巩固】若
a d d c c
b b a ===，则d
c b a
d c b a +-+-+-的值是 __________________；
【例4】已知：x x 210
--=，求x x 44
1+的值。
【巩固】 （1）已知2
310a a -+=，则代数式3
61a a +的值为_______________；
（2）若2
10x x --=，则4521x x x ++=_______________；
【例5】已知a 、b 、c 为实数，且a b a b b c b c c a ca +=+=+=131415，，，那么a b c a b b c c a
++
的值是多少？
【例6】已知1=abc ，求证：11
11=++++++++c ac c b bc b a ab a 。
思路点拨：由繁到简，化简左边，使左边等于右边。
【巩固】已知：0abc ≠，abc ++=0，求a bc b c a c ab ()()()1111113++++++的值。
【例7】已知11a b +
=，11b c +=，求1c a
+的值。
【例8】已知a c a
c z c b c b y b a b
a x +-=+-=+-=，，，求证
：()()()()()()z y x z y x ---=+++111111。
思路点拨：左边和右边，变形为同一个代数式。
【巩固】已知3==d c b a ，求证：()()
d c b a d c b a d b d b c a c a ++++++=+++++2
22222。