01_05 晶体的宏观对称性

加中心反演
01_05_晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
3 正六面柱的对称操作 1) 绕中心轴线转动
—— 5个
2) 绕对棱中点连线转动 —— 3个
3) 绕相对面中心连线转动
—— 3个
4) 正交变换
—— 1个
5) 12个对称操作加中心反演
—— 正六面柱的对称操作有24个
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01_05 晶体的宏观对称性 —— 晶体在几何外形上表现出明显的对称性
对称性的性质也在物理性质上得以体现 介电常数表示为二阶张量
电位移
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电位移 —— 对于立方对称的晶体
介电常数看作一个简单的标量
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—— 六角对称晶体 将坐标轴取在六角轴和垂直于六角轴的平面内
整数群 —— 所有整数的集合，以加法为运算法则 —— 一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义 运算法则 —— 连续操作
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单位元素 —— 不动操作
任意元素的逆元素 —— 绕转轴角度，其逆操作为绕转轴 角度－ ；中心反演的逆操作仍是中心反演；
连续进行A和B操作 —— 相当于C操作
—— 立方体的对称操作共有48个
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—— 4重轴、 3重轴、 2重轴的表示
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2 正四面体的对称操作 —— 四个原子位于正 四面体的四个顶角上 —— 对称操作包含在
立方体操作之中
—— 金刚石晶格
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介电常数
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平行轴(六角轴)分量 垂直于六角轴分量
—— 由于六角晶体的各向异性，具有光的双折射现象 —— 立方晶体的光学性质则是各向同性的
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晶体的宏观对称性的描述
—— 原子的周期性排列形成晶格 不同的晶格表现出不同的宏观对称性
6 立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明 — 1
—— X，Y，Z轴分量 —— X，Y，Z轴为立方体的三个立方轴方向 假设电场沿Y轴方向
Dx xx xy xz Ex
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—— 中心反演的正交矩阵
—— 空间转动，矩阵行列式等于＋1 —— 空间转动加中心反演，矩阵行列式等于－1
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对称操作 —— 一个物体在某一个正交变换下保持不变 —— 物体的对称操作越多，其对称性越高
1 立方体的对称操作 1) 绕三个立方轴转动
—— 对称素为镜面
—— 用
表示
一个物体的全部对称操
作构成一个对称操作群
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5 群的概念 —— 群代表一组“元素”的集合，G {E, A ,B, C, D ……}
这些“元素”被赋予一定的“乘法法则”，满足下列 性质 1) 集合G中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素
—— 9个对称操作
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2) 绕6条面对角线轴转动 —— 共有6个对称操作
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3) 绕4个立方体对角线 轴转动 —— 8个对称操作 4) 正交变换
—— 1个对称操作
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5) 以上24个对称操作 加中心反演仍是对称操作
—— 若 A, B G, 则AB=C G. 叫作群的封闭性 2) 存在单位元素E, 使得所有元素满足：AE = A
3) 对于任意元素A, 存在逆元素A-1, 有：AA-1=E
4) 元素间的“乘法运算”满足结合律：A(BC)=(AB)C
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正实数群 —— 所有正实数(0 除外)的集合，以普通乘法为 运算法则
晶体宏观对称性 —— 考察晶体在正交变换的不变性 —— 三维情况下，正交变换的表示
x ' a11 a12 a13 x
y
'
a12
a22
a23
y
z ' a13 a13 a33 z
—— 矩阵是正交矩阵
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—— 绕z轴转角的正交矩阵
4 对称素
对称素 —— 简洁明了地概括一个物体的对称性 对称素 —— 一个物体的旋转轴、旋转－反演轴
—— 物体绕某一个转轴转动 2 / n ，以及其倍数不变时
—— 该轴为n重旋转轴，计为 n
—— 物体绕某一个转轴转动 2 / n
加上中心反演的联合操作 以及其联合操作的倍数不变时
—— 该轴为n重旋转－反演轴，计为 n
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立方体 立方轴
为4重轴，计为4
同时也是4重旋转－反演轴，计为
面对角线 为2重轴，计为2 同时也是2重旋转－反演轴，计为
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体对角线轴
为3重轴，计为3
同时也是3重旋转－反演轴，计为
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1) 绕三个立方轴转动
—— 共有3个对称操作
2) 绕4个立方体对角线轴转动
—— 8个对称操作
3) 正交变换 —— 1个对称操作
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4) 绕三个立方轴转动
—— 6个对称操作 5) 绕6条面对角线轴转动
加上中心反演 —— 6个对称操作
—— 正四面体 对称操作共有24个
A 操作 —— 绕OA轴转动/2 —— S点转到T’点
B 操作 —— 绕OC轴转动/2
—— T’点转到S’点
S’
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上述操作中S和O没动，而T点转动到T’点 —— 相当于一个操作C：绕OS轴转动2/3
表示为 —— 群的封闭性 可以证明
—— 满足结合律
S’
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正四面体 立方轴是4重旋转－反演轴 —— 不是4重轴 面对角线是2重旋转－反演轴 —— 不是2重轴 体对角线轴是3重轴 —— 不是3重旋转－反演轴
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对称素 的含义 —— 先绕轴转动角度，再作中心反演 —— A’’点是A点在通过中心垂直于转轴的平面M的镜像 —— 对称素 存在一个对称面M