最优化方法(黄金分割与进退法)实验报告

一维搜索方法的MATLAB 实现

姓名： 班级：信息与计算科学 学号： 实验时间: 2014/6/21 一、实验目的：

通过上机利用Matlab 数学软件进行一维搜索，并学会对具体问题进行分析。并且熟悉Matlab 软件的实用方法，并且做到学习与使用并存，增加学习的实际动手性，不再让学习局限于书本和纸上，而是利用计算机学习来增加我们的学习兴趣。

二、实验背景： 黄金分割法

它是一种基于区间收缩的极小点搜索算法，当用进退法确定搜索区间后，我们只知道极小点包含于搜索区间内，但是具体哪个点，无法得知。

1、算法原理

黄金分割法的思想很直接，既然极小点包含于搜索区间内，那么可以不断

的缩小搜索区间，就可以使搜索区间的端点逼近到极小点。

2、算法步骤

用黄金分割法求无约束问题min (),f x x R ∈的基本步骤如下：

（1）选定初始区间11[,]

a b 及精度0ε>，计算试探点： 11110.382*()a b a λ=+- 11110.618*()a b a μ=+-。

（2）若k k b a ε

-<，则停止计算。否则当()()k k f f λμ>时转步骤（3）。 当()()k k f f λμ≤转步骤（4）。 （3） 11111110.382*()k k k k k k k k k k a b b a b a λλμμ+++++++=⎧⎪=⎪⎨

=⎪⎪=+-⎩转步骤（5）

（4）

转步骤（5）

（5）令1k k =+，转步骤（2）。

算法的MATLAB 实现

function xmin=golden(f,a,b,e) k=0;

x1=a+0.382*(b-a); x2=a+0.618*(b-a); while b-a>e f1=subs(f,x1); f2=subs(f,x2); if f1>f2 a=x1; x1=x2; f1=f2;

x2=a+0.618*(b-a); else b=x2; x2=x1; f2=f1;

x1=a+0.382*(b-a); end k=k+1; end

xmin=(a+b)/2; fmin=subs(f,xmin)

fprintf('k=\n'); disp(k);

3、实验结果(总结/方案)

黄金分割法求解极值实例。用黄金分割法求解下面函数的最小值：

]10,10[,52)(24-∈+--==t t t t t f 其中

进退法

1. 算法原理

进退法是用来确定搜索区间（包含极小值点的区间）的算法，其理论依据是：()f x 为单谷函数（只有一个极值点），且[,]a b 为其极小值点的一个搜索区间，对于任意12,[,]x x a b ∈，如果()()12f x f x <，则2[,]a x 为极小值的搜索区间，如果()()12f x f x >，则1[,]x b 为极小值的搜索区间。

因此，在给定初始点0x ，及初始搜索步长h 的情况下，首先以初始步长向前搜索一步，计算()0f x h +。

（1） 如果()()00f x f x h <+

则可知搜索区间为0[,]x x h +，其中x 待求，为确定x ，后退一步计算

0()f x h λ-，λ为缩小系数，且01λ<<，直接找到合适的*λ，使得

()*00()f x h f x λ->，从而确定搜索区间*00[,]x h x h λ-+。

（2） 如果()()00f x f x h >+

则可知搜索区间为0[,]x x ，其中x 待求，为确定x ，前进一步计算0()f x h λ+，

λ为放大系数，且1λ>，知道找到合适的*λ，使得()*00()f x h f x h λ+<+，从

而确定搜索区间*00[,]x x h λ+。

2. 算法步骤

用进退法求一维无约束问题min (),f x x R ∈的搜索区间（包含极小值点的区间）的基本算法步骤如下：

（1） 给定初始点(0)x ，初始步长0h ，令0h h =，(1)(0)x x =，0k =； （2） 令(4)(1)x x h =+，置1k k =+；

（3） 若()()(4)(1)f x f x <，则转步骤（4），否则转步骤（5）；

（4） 令(2)(1)(1)(4),x x x x ==，()()(2)(1)f x f x =，()()(1)(4)f x f x =，令2h h =，

转步骤（2）；

（5） 若1k =，则转步骤（6）否则转步骤（7）；

（6） 令h h =-，(2)(4)x x =，()()(2)(4)f x f x =，转步骤（2）；

（7） 令(3)(2)(2)(1)(1)(4),,x x x x x x ===，停止计算，极小值点包含于区间

(1)(3)(3)(1)[,][,]x x x x 或

3. 算法的MATLAB 实现

function [A,B]=minJT(f,x0,h0,eps) %目标函数:f; %初始点:x0; %初始步长:h0; %精度:eps;

%目标函数取包含极值的区间的左端点:A; %目标函数取包含极值的区间的右端点:B; format long; if nargin==3; eps=1.0e-6; end x1=x0;

k=0; h=h0; while 1

x4=x1+h;%试探步 k=k+1;

f4=subs(f,findsym(f),x4); f1=subs(f,findsym(f),x1); if f4

h=2*h;%加大步长 else if k==1

h=-h;%反向搜索 x2=x4; f2=f4; else x3=x2; x2=x1; x1=x4; break; end end end

A=min(x1,x3); B=x1+x3-A; format short; 例：

取初始点为0，步长为0.1，用进退法求函数22242()(1)(1)325f t t t t t t =-+-+=--+的极值区间。