最优化方法(黄金分割与进退法)实验报告
最优化课程设计--黄金分割法及其算法实现(3
机械优化设计报告姓名：刘洋学号：S12080203054院系：机械工程学院专业：机械设计及理论2012年 12月 4日摘要最优化理论和方法日益受到重视，已经渗透到生产、管理、商业、军事、决策等各个领域，而最优化模型与方法广泛应用于工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、同学、政府机关等各个部门及各个领域。
伴随着计算机技术的高速发展，最优化理论与方法的迅速进步为解决实际最优化问题的软件也在飞速发展。
其中，MATLAB软件已经成为最优化领域应用最广的软件之一。
有了MATLAB 这个强大的计算平台，既可以利用MATLAB优化工具箱（OptimizationToolbox）中的函数，又可以通过算法变成实现相应的最优化计算。
关键词：优化、黄金分割法、最速下降法、MATLAB、算法AbstractOptimization theory and methods and more attention, have penetrated into the production, management, business, military, decision-making and other fields, and optimization models and methods widely used in industry, agriculture, transportation, commerce, defense, construction, students, government various departments and agencies and other fields. With the rapid development of computer technology,optimization theory and methods for the rapid progress of the optimization problem to solve practical software is also developing rapidly. Which, MATLAB software has become the most optimization software is one of the most widely used. With this powerful computing platform MATLAB, either using MATLAB optimization toolbox (OptimizationToolbox) in the function, but also can achieve the appropriate algorithm to optimize into the calculation.Key words: Optimization、Golden section method、steepest descent method、MATLAB、algorithm目录摘要 (2)第一章绪论 (5)第二章黄金分割法的基本思想与原理 (6)2.1 黄金分割法的基本思路 (6)2.2 算法流程图 (7)2.3 用matlab编写源程序 (7)2.4 黄金分割法应用举例 (8)第三章最速下降法的基本思想与原理 (9)3.1 最速下降法的基本思路 (9)3.2 算法流程图 (11)3.3 用matlab编写源程序 (11)3.4 最速下降法应用举例 (13)第四章惩罚函数法的基本思想与原理 (13)4.1 惩罚函数法的基本思路 (13)4.2 算法流程图 (14)4.3 用matlab编写源程序 (14)4.4 最速下降法应用举例 (16)第五章总结 (17)参考文献 (18)第1章绪论在人类活动中，要办好一件事（指规划、设计等），都期望得到最满意、最好的结果或效果。
最优化方法实验
《最优化方法》实验报告实验序号：01 实验项目名称：线性规划及MATLAB应用《最优化方法》实验报告实验序号：02 实验项目名称：0.618黄金分割法的应用结果分析：根据以上结果可知，在区间[0,3]上，函数g(x)=x^3-2*x+1的最小值点在x=0.9271处，此时最小值为0。
第二题：P50 例题3.1程序：function [t,f]=golden3(a,b) %黄金分割函数的m文件t2=a+0.382*(b-a);f2=2*(t2)^2-(t2)-1;t1=a+0.618*(b-a); %按照黄金分割点赋值，更准确可直接算f1=2*(t1)^2-(t1)-1;while abs(t1-t2)>0.16; %判定是否满足精度if f1<f2a=t2;t2=t1;f2=f1;t1=a+0.618*(b-a);f1=2*(t1)^2-(t1)-1;elseb=t1;t1=t2;f1=f2;t2=a+0.382*(b-a);f2=2*(t2)^2-(t2)-1;endendt=(t1+t2)/2; %满足条件取区间中间值输出第四题：P64 T3程序：function [t,d]=newtow2(t0)t0=2.5;t=t0-(4*(t0)^3-12*(t0)^2-12*(t0)-16)/(12*(t0)^2-24*(t0)-12);k=1;T(1)=t;while abs(t-t0)>0.000005t0=t;t=t0-(4*(t0)^3-12*(t0)^2-12*(t0)-16)/(12*(t0)^2-24*(t0)-12); k=k+1;T(k)=t;endt1=t0;d=(t1)^4-4*(t1)^3-6*(t1)^2-16*(t1)+4;kTend运行结果：当x(0)=2.5当x(0)=3四．实验小结：1.通过这次实验，加深了对0.618法的理解。
2.在学习0.618法的过程中，又巩固了倒数、求解函数值等相关知识。
最优化方法中关于黄金分割的课题设计
1、阐述黄金分割的基本思路及原理基本思路：黄金分割法适用于[a,b]区间上的任何单股函数求极小值问题,对函数除要求”单峰”外不做其他要求,甚至可以不连续.因此,这种方法的适应面非常广,黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法,即在搜索区间[a,b 内适当插入两点a1,a2,并计算其函数值。
a1,a2将区间分成三段，应用函数的单峰性质，通过函数值大小的比较，删除其中一段，是搜索区间得以缩小。
然后再在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小值的数值近似解。
基本原理：在单谷区间],[b a 内适当插入两点21,t t ，由此把区间],[b a 分为三段，然后再通过比较这两点函数值的大小，就可以确定是删去最左端还是最右端，或者同时删去左右两端保留中间段.如此继续下去可将单谷区间无缩小. 基本原理：所谓黄金分割就是将一线段分为两段时，要求整段长L 与较长段x 的比值正好等于较长段x 与较短段x L -的比值（如图所示），即xL xx L -= 于是有022=-+L Lx x ，解出其正根L L x 618.0215≈-=. 由此可见长段的长度应为全长的618.0倍，而短段的长度应为全长的382.0倍.因为古代的人们认为按618.0的比率来分割线段时最协调，胜似黄金，故称之为黄金分割. 2、黄金分割的算法步骤.（1）给定初始区间],[11b a ，精度要求0>ε。
令)(382.01111a b a -+=λ，)(618.01111a b a -+=μ，并计算)(1λf 与)(1μf 。
令1:=k 。
（2）若ε<-k k a b ，停止，且2kk a b x +=。
否则，当)()(k k f f μλ>时，转3；当)()(k k f f μλ≤时，转4。
（3）令k k k k k k b b a μλλ===+++111,,，)(618.01111++++-+=k k k k a b a μ，计算)(1+k f μ，令1:+=k k ，转2。
最优化方法实验指导书
最优化方法实验指导书《最优化方法》课程设计指导书一、课程设计目的与要求1、提高分析问题、解决问题的能力，进一步巩固最优化方法的基本原理与方法。
2、熟悉应用MATLAB进行优化方法的设计。
二、课程设计要求1、要充分认识课程设计对培养自己的重要性，认真做好设计前的各项准备工作。
尤其是对编程软件的使用有基本的认识。
2、既要虚心接受老师的指导，又要充分发挥主观能动性。
结合课题，独立思考，努力钻研，勤于实践，勇于创新。
3、独立按时完成规定的工作任务，不得弄虚作假，不准抄袭他人内容，否则成绩以不及格计。
4、在设计过程中，要严格要求自己，树立严肃、严密、严谨的科学态度，必须按时、按质、按量完成课程设计。
三、内容及学时分配本设计包括四个小题目，全部设计时间一周，共16学时。
（一）单纯性算法的基本原理及思路（4学时）设计目的和要求：通过本次设计应使学生掌握如何使用MATLAB 软件进行单纯性算法求解线性规划，并学会对具体问题进行分析。
设计的内容：１、单纯性算法的基本思路２、算法流程图３、用matlab编写源程序４、单纯性算法应用举例教学建议：初次使用MATLAB进行优化问题的实验，本次设计在全面了解软件系统基础之上，要让学生学习和熟悉一些MATLAB的基础用途，重点掌握优化工具箱函数选用的内容。
重点和难点：优化工具箱函数选用。
（二）黄金分割法的MATLAB实现（4学时）设计目的和要求：通过本次设计应使学生掌握如何使用MATLAB 软件进行一维搜索，并学会对具体问题进行分析。
设计内容：１、0.618法的算法思路２、0.618法的MATLAB实现３、0.618法应用举例教学建议：本次实验是学生初次使用MATLAB进行优化问题的实验，本次实验就是要通过对一些具体问题的分析学会软件的操作并加深对理论知识的理解。
重点和难点：具体问题的步长因子的确定，理解、掌握精度与效率的关系。
（三）最速下降法的MATLAB实现（4学时）设计目的和要求：通过本次实验使学生进一步熟悉掌握使用MATLAB软件，并能利用该软件进行无约束最优化方法的计算。
最优化方法
delta = delta0; x0 = x1; y = x0; else if max(abs(delta)) < eps x = x0; break; else continue; end end end end end minf = Funval(f,var,x); format short;
maxDF = -inf; m = 0; for j=1:n-1 df = FY(j) - FY(j+1); if df > maxDF maxDF = df; m = j+1; end end tmpF = Funval(f, var,2*y(:,n)-y(:,1)); fl = FY(1) - 2*FY(n) + tmpF; if fl<2*maxDF yv = y(:,n) + l*P(:,n); fy = Funval(f, var,yv); [a,b] = minJT(fy,0,0.1); tl = minHJ(fy,a,b); x0 = y(:,n) + tl*P(:,n); P(:,m:(n-1)) = P(:,(m+1):n); else x0 = y(:,n); end end end minf = Funval(f,var,x); format short;
end end else tmpy(i) = delta(i); tmpf = Funval(f, var,y-tmpy); for j=1:length(g) cong(j) = Funval(g(j), var,y-tmpy); end if tmpf < yf && min(cong) >= 0 bcon = 1; while bcon tmpy(i) = 2*tmpy(i); tmpf_i = Funval(f, var,y-tmpy); for j=1:length(g) cong_i(j) = Funval(g(j), var,y-tmpy); end if tmpf_i <yf && min(cong_i)>=0 y_res = y - tmpy; else bcon = 0; end end else y_res = y ; delta = delta/u; end end y = y_res; end if norm(y - yk_1) <= eps2 if max(abs(delta)) <= eps1 x = y; bmainCon = 0; else delta = delta / u; end end end minf = Funval(f,var,x); 五．旋转方向法： function [x,minf] = minRb(f,x0,D,delta,alpha,beta,var,eps)
机械优化实验报告
一、实验目的本次实验旨在加深对机械优化设计方法的基本理论和算法步骤的理解，培养学生独立编制、调试计算机程序的能力，并掌握常用优化方法程序的使用方法。
通过实验，学生能够灵活运用优化设计方法解决工程实际问题。
二、实验内容本次实验主要涉及以下内容：1. 优化方法的基本原理2. 编程实现优化方法3. 优化方法的实际应用三、实验步骤1. 黄金分割法（1）基本原理黄金分割法是一种在给定初始区间内搜索极小点的一维搜索方法。
其基本原理是：在区间内取两个点，根据函数值的比较，将区间分为三段，保留包含极小值的段，再进行相同的操作，逐步缩小搜索区间。
（2）编程实现根据黄金分割法的基本原理，编写相应的C语言程序，实现一维搜索。
```c#include <stdio.h>#include <math.h>double f(double x) {// 定义目标函数return x x - 4 x + 4;}double golden_section_search(double a, double b, double tol) {double r = 0.618;double a1 = a + r (b - a); double a2 = b - r (b - a); double fa1 = f(a1);double fa2 = f(a2);while (fabs(b - a) > tol) { if (fa1 > fa2) {a = a1;a1 = a2;a2 = b - r (b - a); fa1 = fa2;fa2 = f(a2);} else {b = a2;a2 = a1;a1 = a + r (b - a); fa2 = fa1;fa1 = f(a1);}}return (a + b) / 2;}int main() {double x_min = golden_section_search(a, b, tol);printf("Optimal solution: x = %f\n", x_min);return 0;}```（3）结果分析通过运行程序，可以得到最优解 x = 2.000000，目标函数值为 f(x) = 0。
最优化方法实验
摘要最优化理论和方法日益受到重视，已经渗透到生产、管理、商业、军事、决策等各个领域，而最优化模型与方法广泛应用于工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、同学、政府机关等各个部门及各个领域。
伴随着计算机技术的高速发展，最优化理论与方法的迅速进步为解决实际最优化问题的软件也在飞速发展。
其中，MATLAB软件已经成为最优化领域应用最广的软件之一。
有了MATLAB 这个强大的计算平台，既可以利用MATLAB优化工具箱（OptimizationToolbox）中的函数，又可以通过算法变成实现相应的最优化计算。
在最优化计算中一维最优化方法是优化设计中最简单、最基本的方法。
一维搜索，又称为线性搜索，一维问题是多维问题的基础，在数值方法迭代计算过程中，都要进行一维搜索，也可以把多维问题化为一些一维问题来处理。
一维问题的算法好坏，直接影响到最优化问题的求解速度。
而黄金分割法是一维搜索方法中重要的方法之一，它适用于任何单峰函数求最小值的问题，甚至于对函数可以不要求连续，是一种基于区间收缩的极小点搜索算法。
目录摘要 (1)一、引言 (2)二、最优化方法原理 (3)2.1 无约束问题的最优性条件 (3)三、黄金分割法的基本思想与原理 (4)3.1 黄金分割法基本思路： (4)3.2 黄金分割法的基本原理与步骤 (4)3.3 0.618法算法 (5)3.4 算法流程图 (6)3.5 用matlab编写源程序 (6)第四章黄金分割法应用举例 (7)4.1 例1 (7)4.2 例2 (8)第五章总结 (9)一、引言数学科学不仅是自然科学的基础，也是一切重要技术发展的基础。
最优化方法更是数学科学里面的一个巨大的篇幅，在这个信息化的时代，最优化方法广泛应用于工业、农业、国防、建筑、通信与政府机关、管理等各个部门、各个领域；它主要解决最优计划、最优分配、最优决策、最佳设计、最佳管理等最优化问题。
而最优解问题是这些所有问题的中心，是最优化方法的重中之重，在求最优解问题中，有多种方法解决，我们在这里着重讨论无约束一维极值问题，即非线性规划的一维搜索方法之黄金分割法。
最优化方法课程实验报告
项目一 一维搜索算法（一）[实验目的]编写加步探索法、对分法、Newton 法的程序。
[实验准备]1．掌握一维收搜索中搜索区间的加步探索法的思想及迭代步骤； 2．掌握对分法的思想及迭代步骤；3．掌握Newton 法的思想及迭代步骤。
[实验内容及步骤]编程解决以下问题：1．用加步探索法确定一维最优化问题的搜索区间，要求选取．加步探索法算法的计算步骤： (1)选取初始点，计算．给出初始步长，加步系数，令。
(2) 比较目标函数值．令k k k h t t +=+1，计算 )(11++=k k t ϕϕ，若k k ϕϕ<+1，转(3)，否则转(4)。
(3) 加大探索步长．令，同时，令，转(2)。
(4) 反向探索．若，转换探索方向，令，转（2）。
否则，停止迭代，令。
加步探索法算法的计算框图12)(min 30+-=≥t t t t ϕ2,1,000===αh t ])0[)(0[max 00t t t ，或，∈⊂∞+∈)(00t ϕϕ=00>h 1α>0=k k k h h α=+1,k t t =,1+=k k t t 1k k =+0=k ,k k h h -=1+=k t t 11min{}max{}k k a t t b t t ++==，，，程序清单加步探索法算法程序见附录1实验结果运行结果为：2．用对分法求解，已知初始单谷区间，要求按精度，分别计算．对分法迭代的计算步骤：(1)确定初始搜索区间],[b a ，要求。
(2) 计算],[b a 的中点)(21b ac +=． (3) 若0)(<'c ϕ，则c a = ，转(4)；若0)(='c ϕ，则c t =*，转(5)；若0)(>'c ϕ，则c b = ，转(4)．(4) 若ε<-||b a ，则)(21*b a t +=，转(5)；否则转(2)．(5) 打印*t ，结束对分法的计算框图)2()(min +=t t t ϕ]5,3[],[-=b a 3.0=ε001.0=ε'()0'()0a b ϕϕ<>，程序清单对分法程序见附录2实验结果运行结果为：3．用Newton 法求解，已知初始单谷区间，要求精度．Newton 法的计算步骤(1) 确定初始搜索区间],[b a ，要求 (2) 选定0t(3) 计算(4) 若 ε≥-||0t t ，则t t =0，转（3）；否则转（5）．(5) 打印 ，结束．Newton 法的计算框图12)(min 3+-=t t t ϕ]1,0[],[=b a 01.0=ε'()0'()0a b ϕϕ<>，000'()/"()t t t t ϕϕ=-()t t ϕ，程序清单Newton 法程序见附录3实验结果运行结果为：项目二 一维搜索算法（二）[实验目的]编写黄金分割法、抛物线插值法的程序。
最优化理论与方法上机实验报告
最优化理论与方法上机报告
函数句柄和匿名函数的操作符均为@,匿名函数是函数句柄的一种特殊用法， 这里所得到的函数句柄变量不指向特定的函数（即不指向函数M文件中的函数 名），而是指向一个函数表达式（具体表达式）.在命令窗口中输入@func就是用 了函数句柄将其传给objf变量,而step=golden(@(x)objf(X0+x*d)，0，1， epsilon);则是通过匿名函数将函数传给golden程序,此两处的改变就大大提高 了程序的运行速度!
分为了三段， 比较 f ( x1 )与f ( x2 ) 的大小， 若 f ( x1 ) f x2 , 则 x* [ x1 , b], 去掉 [a, x1 ]; 若 f ( x1 ) f x2 , 则 x* [a, x2 ], 去掉 [ x2 , b] ，然后在余下的区间上根据对称原则再 计算一个对称点的函数值，再重复上述操作，直到满足精度. 1.2 实现及结果 采用 matlab 2011a 实现，命名为 golden，具体程序见附录 golden.m 文件. 该程序的使用方法， 请参见附录中golden.m文件中绿色部分， 下面给出程序 运行结果，其中目标函数为： f ( x) x12 x1 6 ，精度采用默认： 106 .
(a)采用默认精度
(b)精度为0.001 图 1-3-1 牛顿法运行结果
牛顿法收敛速度快，正如上图（a）所示，达到 106 精度只需 18 步，而最速 下降法却需要 366304 步，两者的收敛速度由此可见一斑，可谓有天壤之别！ 3.4 体会 由于牛顿法收敛速度快，且人工求目标函数的梯度、Hesse 矩阵，有时较为 繁杂，故算法实现时，实现了自动求梯度和 Hesse 矩阵，这样便在程序的易用性 和时间复杂度两者间得到了很好的折中.
中北大学最优化实验报告
中北大学实验报告课程名：最优化方法任课教师：李卉专业：数学与应用数学学号：14080141姓名：2015/2016学年第2学期中北大学理学院《最优化方法》课程实验 第1次实验报告一、实验内容及基本要求实验项目名称：黄金分割法程序设计实验类型：设计型每组人数：1实验内容及要求：内容：能够应用MATLAB 或C++设计黄金分割法的程序，并用实例进行验证要求：能够独立完成程序的设计及验证二、实验题目利用黄金分割法求函数()232tan x x x φ=-在[]0,1上的极小点。
取容许误差410ε-=，510δ-=三、实验步骤及结果1)、建立y 函数M 文件（fun_gs.m ）function y= fun_gs(x)y=3*x^2-2*tan(x);end2)、建立求解极小值点的M 文件（Untitled5.m ）function gs(x)a=0;b=1;eps=0.0001;i=100;a1=b-0.618*(b-a);a2=a+0.618*(b-a);y1=fun_gs(a1);y2=fun_gs(a2);for k=1:i;if (abs(b-a)<=eps)y=fun_gs((b+a)/2);break;elseif (y1<=y2)y2=fun_gs(a1);b=a2;a2=a1;a1=b-0.618*(b-a);y1=fun_gs(a1);elsey1=fun_gs(a2);a=a1;a1=a2;a2=a+0.618*(b-a);y2=fun_gs(a2);endi=i+1;endendia0=(b+a)/2y=fun_gs((b+a)/2)end实验结果：根据实验结果可知：迭代次数i =120 ，极小值点a0 =0.3895 ，在极小点处的函数值为y =-0.3658.《最优化方法》课程实验 第2次实验报告一、实验内容及基本要求实验项目名称：牛顿法程序设计实验类型：设计型每组人数：1实验内容及要求：内容：能够应用MATLAB 或C++设计牛顿法的程序，并用实例进行验证要求：能够独立完成程序的设计及验证二、实验题目利用牛顿法程序求解()()()2222121min 431x R f x x x x ∈=-+-该问题有精确解()()1,1,0T x f x **==。
最优化理论与方法上机实验报告
1 ，惩罚因子 M 1 0 , r 1, 令 k:=1.
T ( x, M k ) f ( x) M k P( x) ， Step2 以 xk 1 为初始点求解子问题 min 设其极小点 n
为 xk . Step3 若 j (1 j m), 使 g j ( xk ) , 则令 M k 1 rM k , k k 1, 转 Step2,否则 停止迭代，取 x* xk . 1.3 实现及结果
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最优化理论与方法上机报告
采用 matlab 2011a 实现，无约束优化采用牛顿法，即直接调用第一篇中的 Newton 函数，具体程序见附录 EPM.m 文件. 程序中的Min=Newton(@augf,Xk,epsilon);是无约束优化函数的调用，参数 augf为增广目标函数文件名，故还需建立该文件，详见附录augf.m文件. augf.m中还涉及到（调用）了两个函数：func.m和constrains.m，前者为目 标函数文件，与前面的func.m一样，只是目标函数不同而已，后者为约束函数， 详见附录constrains.m文件. 现举两个例子，来说明程序运行方法及运行结果. 例 1 求解以下约束优化问题
首先分别建立两个文件即目标函数文件func.m和对应梯度文件gfunc.m内容 分别如下: func.m文件 function f = func( x ) % ---------------最速下降法、牛顿法用-----------f=(x(1)+10*x(2))^2+5*(x(3)-x(4))^2+(x(2)-2*x(3))^4+10*(x(1)-x(4))^4; gfunc.m文件 function gf = gfunc( x ) %目标函数的梯度 gf=[2*(x(1)+10*x(2))+40*(x(1)-x(4))^3 20*(x(1)+10*x(2))+4*(x(2)-2*x(3))^3 10*(x(3)-x(4))-8*(x(2)-2*x(3))^3 -10*(x(3)-x(4))-40*(x(1)-x(4))^3];
[VIP专享]最优化课程设计--黄金分割法及其算法实现(3
![[VIP专享]最优化课程设计--黄金分割法及其算法实现(3](https://img.taocdn.com/s3/m/2dc5574349649b6648d747d1.png)
机械优化设计报告
agencies and other fields. With the rapid development of computer technology, optimization theory and methods for the rapid progress of the optimization problem to solve practical software is also developing rapidly. Which, MATLAB software has become the most optimization software is one of the most widely used. With this powerful computing platform MATLAB, either using MATLAB optimization toolbox (OptimizationToolbox) in the function, but also can achieve the appropriate algorithm to optimize into the calculation. Key words: Optimization、Golden section method、steepest descent method、MATLAB、algorithm
Abstract
Optimization theory and methods and more attention, have penetrated into the production, management, business, military, decision-making and other fields, and optimization models and methods widely used in industry, agriculture, transportation, commerce, defense, construction, students, government various departments and
最优化方法
经过有限次迭代后(在 matlab 可见全部迭代结果)满足要求的结果为： f ������ ∗ = −1.00000047499302 。 采用解析法可求得其精确解为： ������ ∗ = −1， f ������ ∗ = −1，可见通过有限次迭代后可求得精度相当高的数值解，而且收 敛速度也很快。 因此在实际计算中，最常用的一维搜索试探方法就是黄金 分割法。
������1 ← ������ − ������ ������ − ������ ������1 ← ������ ������1
Y
������ − ������ ������2 − 1 < ������和 < ������ ? ������ ������2
N
������∗ ←
1 ������ + ������ 2
对函数f ������ = ������ 2 + 2������,在给定的搜索区间−3 ≤ x ≤ 5上，试用黄金分 割法求极小值点������ ∗ 。如图 2。
四、 算法描述：
黄金分割法的搜索过程是： 1） 2） 给出初始搜索区间[a,b]及收敛精度ε，将μ赋以 0.618。 按坐标点计算公式������1 = b − μ ������ − ������ , ������2 = ������ − μ ������ − ������ , 计算������1 和 ������2 ，并计算其对应的函数值f(������1 ), f ������2 。 3） 跟区间消去法原理缩短搜索区间。 为了能用原来的坐标点计算公式， 需要进行区间名称的代换， 并在保留区间中计算一个新的试验点及 其函数值。 4） 检查区间是否缩短到足够小和函数值收敛到足够近， 如果条件不满 足则返回到步骤 2。 5） 如果条件满足， 则取最后两试验点的平均值作为极小点的数值近似 解。
最优化方法三分法+黄金分割法+牛顿法
最优化⽅法三分法+黄⾦分割法+⽜顿法最优化_三等分法+黄⾦分割法+⽜顿法⼀、实验⽬的1. 掌握⼀维优化⽅法的集中算法；2. 编写三分法算法3. 编写黄⾦分割法算法4. 编写⽜顿法算法⼆、系统设计三分法1.编程思路：三分法⽤于求解单峰函数的最值。
对于单峰函数，在区间内⽤两个mid将区间分成三份，这样的查找算法称为三分查找,也就是三分法。
在区间[a,b]内部取n=2个内等分点，区间被分为n+1=3等分，区间长度缩短率=1 3 .各分点的坐标为x k=a+b−an+1⋅k (k=1,2) ，然后计算出x1,x2,⋯;y1,y2,⋯;找出y min=min{y k,k=1,2} ，新区间(a,b)⇐(x m−1,x m+1) .coding中，建⽴left,mid1,mid2,right四个变量⽤于计算，⽤新的结果赋值给旧区间即可。
2.算法描述function [left]=gridpoint(left,right,f)epsilon=1e-5; %给定误差范围while((left+epsilon)<right) %检查left,right区间精度margin=(right-left)/3; %将区间三等分,每⼩段长度=marginm1=left+margin; %left-m1-m2-right，三等分需要两个点m2=m1+margin; %m2=left+margin+marginif(f(m1)<=f(m2))right=m2; %离极值点越近，函数值越⼩(也有可能越⼤，视函数⽽定)。
else %当f(m1)>f(m2),m2离极值点更近。
缩⼩区间范围，逼近极值点left=m1; %所以令left=m1.endend %这是matlab的.m⽂件，不⽤写return.黄⾦分割法1.编程思路三分法进化版，区间长度缩短率≈0.618.在区间[a,b]上取两个内试探点，p i,q i要求满⾜下⾯两个条件：1.[a i,q i]与[p i,b i]的长度相同，即b i−p i=q i−a i;2.区间长度的缩短率相同，即b i+1−a i+1=t(b i−a i)]2.算法描述⾃⼰编写的：function [s,func_s,E]=my_golds(func,left,right,delta)tic%输⼊: func:⽬标函数，left,right:初始区间两个端点% delta：⾃变量的容许误差%输出: s,func_s:近似极⼩点和函数极⼩值% E=[ds,dfunc] ds,dfunc分别为s和dfunc的误差限%0.618法的改进形式：每次缩⼩区间时，同时⽐较两内点和两端点处的函数值。
最优法与黄金分割
最优法与黄金分割优选法应用在我国从70年代初，华罗庚先生最初研究推广并大量应用。
对编程领域某些解决问题的方法有所帮助。
其实数学上的很多方法可以解决一个程序时间和空间最优复杂度的问题。
希望对大家有用……优选法,是以数学原理（即中国的古代黄金分割）为指导，用最可能少的试验次数，尽快找到生产和科学实验中最优方案的一种科学试验的方法。
例如：在现代体育实践的科学实验中，怎样选取最合适的配方、配比；寻找最好的操作和工艺条件；找出产品的最合理的设计参数，使产品的质量最好，产量最多，或在一定条件下使成本最低，消耗原料最少，生产周期最短等。
把这种最合适、最好、最合理的方案，一般总称为最优；把选取最合适的配方、配比，寻找最好的操作和工艺条件，给出产品最合理的设计参数，叫做优选。
也就是根据问题的性质在一定条件下选取最优方案。
最简单的最优化问题是极值问题，这样问题用微分学的知识即可解决。
实际工作中的优选问题，即最优化问题，大体上有两类：一类是求函数的极值；如果目标函数有明显的表达式，一般可用微分法、变分法、极大值原理或动态规划等分析方法求解（间接选优）。
另一类是求泛函的极值。
如果目标函数的表达式过于复杂或根本没有明显的表达式，则可用数值方法或试验最优化等直接方法求解（直接选优）。
优选法的优点：用较少的试验次数和外在条件，缩短时间和空间的消费、提高质量，达到解决问题的最经济的方法。
优选法基本步骤1）选定优化判据（试验指标），确定影响因素，优选数据是用来判断优选程度的依据。
2）优化判据与影响因素直接的关系称为目标函数。
3）优化计算。
优化(选）试验方法一般分为两类：分析法：同步试验法；黑箱法：循序试验法优选法的分类优选法分为单因素方法和多因素方法两类。
单因素方法有平分法、0.618法(黄金分割法)、分数法、分批试验法等；多因素方法很多．但在理论上都不完备．主要有降维法、爬山法、单纯形调优胜。
随机试验法、试验设计法等。
优选法已在体育领域得到广泛应用。
最优化理论与方法上机报告
最优化理论与方法上机报告班级：姓名：学号：1.黄金分割法黄金分割法又称0.618 法，其基本思想是试探点函数值的比较，使包含极小点的搜索区间不断缩小.该方法仅需计算函数值，适用范围广，使用方便.由于该方法思想简单，在此不给出具体算法流程，仅介绍思想和matlab实现的程序. 1.1 思想在搜索区间[a, b] 内插入点x1 , x2 ，其中，把[a, b] 区间分为了三段，比较 f ( x1 )与f ( x2 ) 的大小，f ( x1 ) >f ( x2 ) , 则x* Є[ x1 , b], 去掉[a, x1 ]; 若f ( x1 )≤ f (x2) , 则x* ?Є[a, x2 ], 去掉[ x2 , b] ，然后在余下的区间上根据对称原则再计算一个对称点的函数值，再重复上述操作，直到满足精度.1.2 实现及结果采用matlab 2011a 实现，命名为golden，具体程序见附录golden.m 文件. 下面给出程序运行结果，其中目标函数为： f ( x) =x1^2 - x1 + 6 ，精度采用默认:10^-6由f ( x) =x1^2 - x1 + 6，求导得f '(x)=2x1-1,易知x1=0.5为其极小点，可见程序正确。
2.牛顿法牛顿法也是一种经典的无约束优化方法，并且其收敛速度快，具有自适应的特点，至今仍受到人们的青睐.2.1 思想牛顿法的基本思想是用迭代点Xk 处的一阶导数（梯度）和二阶导数（Hesse 阵）对目标函数进行二次函数近似，然后把二次模型的极小点作为新的迭代点，并不断重复这一过程，直至达到精度.2.2 算法牛顿法的算法如下:Step1 取初始点x0 Є R n , 容许误差0<θ<1,令k:=0；Step2 计算gk =▽f ( xk ) .Step3 若||gk||≤θ，则停止迭代，取x* =xk ，否则，转下一步.Step4 计算H k =▽^2 f ( xk ), 并由Hk d =-gk , 求得dk =-Hk gk .Step5 令xk +1=xk +αdk , k :=k+1 , 转Step2.2.3 实现及结果采用matlab 2011a 实现，具体程序见附录Newton.m 文件. 下面以上机题第一题为例介绍具体使用方法: 上机题1的优化目标函数为, 仍然使用最速下降法中建立的func.m文件,在命令窗口中输入(加粗部分)：X0=[1 2 3 4]’;Newton(@func,X0);即可按默认的精度10^-6 计算，若想改变精度，如10^-3 则输入：Newton(@func,X0,0.001);对应的结果分别如下图的(a)、(b)所示:牛顿法收敛速度快，正如上图（a）所示，达到10^-6 精度只需18 步，而最速下降法却需要366304 步，两者的收敛速度由此可见一斑，可谓有天壤之别！2.4 体会由于牛顿法收敛速度快，且人工求目标函数的梯度、Hesse 矩阵，有时较为繁杂，故算法实现时，实现了自动求梯度和Hesse 矩阵，这样便在程序的易用性和时间复杂度两者间得到了很好的折中.3.外点法外点法适合求解如下约束优化问题：但本次实验仅需求解如下约束优化问题：而且，等式约束也可以转化为不等式约束！记可行域为 D = {x Є R n | gi ( x) ≥0(i Є I )}.3.1 思想方法构造罚函数和增广目标函数其中M>0为惩罚因子，不难发现当xЄD 时，即x 为可行点时，T ( x, M ) =f ( x), 此时目标函数没有受到惩罚；当x D 时，T ( x, M ) >f ( x), 目标函数受到惩罚，M越大，受到的惩罚越重，当M 足够大时，要使f ( x) 取得极小，罚函数P( x) 应充分小，从而T ( x, M ) 的极小点充分逼近可行域D，这样求解一般约束优化问题就化为求解一系列无约束的优化问题min T ( x, M ) .3.2 算法外点法的算法如下:Step1 取初始点x0 ЄR n , 容许误差0<θ<1，惩罚因子M 1 >0 , r>1, 令k:=1.Step2 以Xk-1 为初始点求解子问题，设其极小点n 为xk .Step3 若Ǝj (1 ≤j ≤m), 使-g j ( xk ) >Є , 则令M k+1= rM k , k =k +1, 转Step2,否则停止迭代，取x* =xk .3.3 实现及结果采用matlab 2011a 实现，无约束优化采用牛顿法，即直接调用第一篇中的Newton函数，具体程序见附录EPM.m 文件. 程序中的Min=Newton(@augf,Xk,epsilon);是无约束优化函数的调用，参数augf为增广目标函数文件名，augf.m中还涉及到（调用）了两个函数：func.m和constrains.m，前者为目标函数文件，与前面的func.m一样，只是目标函数不同而已，后者为约束函数。
最优化方法(黄金分割和进退法)实验报告
一维搜索方法的MATLAB 实现姓名： 班级：信息与计算科学 学号： 实验时间: 2014/6/21 一、实验目的：通过上机利用Matlab 数学软件进行一维搜索，并学会对具体问题进行分析。
并且熟悉Matlab 软件的实用方法，并且做到学习与使用并存，增加学习的实际动手性，不再让学习局限于书本和纸上，而是利用计算机学习来增加我们的学习兴趣。
二、实验背景： 黄金分割法它是一种基于区间收缩的极小点搜索算法，当用进退法确定搜索区间后，我们只知道极小点包含于搜索区间内，但是具体哪个点，无法得知。
1、算法原理黄金分割法的思想很直接，既然极小点包含于搜索区间内，那么可以不断的缩小搜索区间，就可以使搜索区间的端点逼近到极小点。
2、算法步骤用黄金分割法求无约束问题min (),f x x R ∈的基本步骤如下：（1）选定初始区间11[,]a b 及精度0ε>，计算试探点： 11110.382*()a b a λ=+- 11110.618*()a b a μ=+-。
（2）若k k b a ε-<，则停止计算。
否则当()()k k f f λμ>时转步骤（3）。
当()()k k f f λμ≤转步骤（4）。
（3） 11111110.382*()k k k k k k k k k k a b b a b a λλμμ+++++++=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=+-⎩转步骤（5）（4）转步骤（5）（5）令1k k =+，转步骤（2）。
算法的MATLAB 实现function xmin=golden(f,a,b,e) k=0;x1=a+0.382*(b-a); x2=a+0.618*(b-a); while b-a>e f1=subs(f,x1); f2=subs(f,x2); if f1>f2 a=x1; x1=x2; f1=f2;x2=a+0.618*(b-a); else b=x2; x2=x1; f2=f1;x1=a+0.382*(b-a); end k=k+1; endxmin=(a+b)/2; fmin=subs(f,xmin)fprintf('k=\n'); disp(k);3、实验结果(总结/方案)黄金分割法求解极值实例。
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一维搜索方法的MATLAB 实现
姓名： 班级：信息与计算科学 学号： 实验时间: 2014/6/21 一、实验目的：
通过上机利用Matlab 数学软件进行一维搜索，并学会对具体问题进行分析。
并且熟悉Matlab 软件的实用方法，并且做到学习与使用并存，增加学习的实际动手性，不再让学习局限于书本和纸上，而是利用计算机学习来增加我们的学习兴趣。
二、实验背景： 黄金分割法
它是一种基于区间收缩的极小点搜索算法，当用进退法确定搜索区间后，我们只知道极小点包含于搜索区间内，但是具体哪个点，无法得知。
1、算法原理
黄金分割法的思想很直接，既然极小点包含于搜索区间内，那么可以不断
的缩小搜索区间，就可以使搜索区间的端点逼近到极小点。
2、算法步骤
用黄金分割法求无约束问题min (),f x x R ∈的基本步骤如下：
（1）选定初始区间11[,]
a b 及精度0ε>，计算试探点： 11110.382*()a b a λ=+- 11110.618*()a b a μ=+-。
（2）若k k b a ε
-<，则停止计算。
否则当()()k k f f λμ>时转步骤（3）。
当()()k k f f λμ≤转步骤（4）。
（3） 11111110.382*()k k k k k k k k k k a b b a b a λλμμ+++++++=⎧⎪=⎪⎨
=⎪⎪=+-⎩转步骤（5）
（4）
转步骤（5）
（5）令1k k =+，转步骤（2）。
算法的MATLAB 实现
function xmin=golden(f,a,b,e) k=0;
x1=a+0.382*(b-a); x2=a+0.618*(b-a); while b-a>e f1=subs(f,x1); f2=subs(f,x2); if f1>f2 a=x1; x1=x2; f1=f2;
x2=a+0.618*(b-a); else b=x2; x2=x1; f2=f1;
x1=a+0.382*(b-a); end k=k+1; end
xmin=(a+b)/2; fmin=subs(f,xmin)
fprintf('k=\n'); disp(k);
3、实验结果(总结/方案)
黄金分割法求解极值实例。
用黄金分割法求解下面函数的最小值：
]10,10[,52)(24-∈+--==t t t t t f 其中
进退法
1. 算法原理
进退法是用来确定搜索区间（包含极小值点的区间）的算法，其理论依据是：()f x 为单谷函数（只有一个极值点），且[,]a b 为其极小值点的一个搜索区间，对于任意12,[,]x x a b ∈，如果()()12f x f x <，则2[,]a x 为极小值的搜索区间，如果()()12f x f x >，则1[,]x b 为极小值的搜索区间。
因此，在给定初始点0x ，及初始搜索步长h 的情况下，首先以初始步长向前搜索一步，计算()0f x h +。
（1） 如果()()00f x f x h <+
则可知搜索区间为0[,]x x h +，其中x 待求，为确定x ，后退一步计算
0()f x h λ-，λ为缩小系数，且01λ<<，直接找到合适的*λ，使得
()*00()f x h f x λ->，从而确定搜索区间*00[,]x h x h λ-+。
（2） 如果()()00f x f x h >+
则可知搜索区间为0[,]x x ，其中x 待求，为确定x ，前进一步计算0()f x h λ+，
λ为放大系数，且1λ>，知道找到合适的*λ，使得()*00()f x h f x h λ+<+，从
而确定搜索区间*00[,]x x h λ+。
2. 算法步骤
用进退法求一维无约束问题min (),f x x R ∈的搜索区间（包含极小值点的区间）的基本算法步骤如下：
（1） 给定初始点(0)x ，初始步长0h ，令0h h =，(1)(0)x x =，0k =； （2） 令(4)(1)x x h =+，置1k k =+；
（3） 若()()(4)(1)f x f x <，则转步骤（4），否则转步骤（5）；
（4） 令(2)(1)(1)(4),x x x x ==，()()(2)(1)f x f x =，()()(1)(4)f x f x =，令2h h =，
转步骤（2）；
（5） 若1k =，则转步骤（6）否则转步骤（7）；
（6） 令h h =-，(2)(4)x x =，()()(2)(4)f x f x =，转步骤（2）；
（7） 令(3)(2)(2)(1)(1)(4),,x x x x x x ===，停止计算，极小值点包含于区间
(1)(3)(3)(1)[,][,]x x x x 或
3. 算法的MATLAB 实现
function [A,B]=minJT(f,x0,h0,eps) %目标函数:f; %初始点:x0; %初始步长:h0; %精度:eps;
%目标函数取包含极值的区间的左端点:A; %目标函数取包含极值的区间的右端点:B; format long; if nargin==3; eps=1.0e-6; end x1=x0;
k=0; h=h0; while 1
x4=x1+h;%试探步 k=k+1;
f4=subs(f,findsym(f),x4); f1=subs(f,findsym(f),x1); if f4<f1 x2=x1; x1=x4; f2=f1; f1=f4;
h=2*h;%加大步长 else if k==1
h=-h;%反向搜索 x2=x4; f2=f4; else x3=x2; x2=x1; x1=x4; break; end end end
A=min(x1,x3); B=x1+x3-A; format short; 例：
取初始点为0，步长为0.1，用进退法求函数22242()(1)(1)325f t t t t t t =-+-+=--+的极值区间。