苏教版圆的方程及圆与直线知识点整理
高三数学直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系苏教版知识精讲
高三数学直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系二. 本周教学目标：1. 掌握直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系等知识，能够从代数特征（解或讨论方程组）或几何性质去考虑2. 会运用半径长、半径、弦心距构成的直角三角形减少运算量三. 本周知识要点：1. 研究圆与直线的位置关系最常用的方法：①判别式法；②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系。
直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种，若22BA CBb Aa d +++=，则0<∆⇔⇔>相离r d ；0=∆⇔⇔=相切r d ；0>∆⇔⇔<相交r d2. 两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 ①条公切线外离421⇔⇔+>r r d ②条公切线外切321⇔⇔+=r r d③条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ④条公切线内切121⇔⇔-=r r d ⑤无公切线内含⇔⇔-<<210r r d3. 直线和圆相切：这类问题主要是求圆的切线方程求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况。
①过圆上一点的切线方程：圆),(00222y x P r y x 的以=+为切点的切线方程是200r y y x x =+。
当点00(,)P x y 在圆外时，200r y y x x =+表示切点弦的方程。
一般地，曲线)(00022y x P F Ey Dx Cy Ax ，的以点=++-+为切点的切线方程是：0220000=++⋅++⋅-+F y y E x x D y Cy x Ax 。
当点00(,)P x y 在圆外时，0220000=++⋅++⋅-+F y y E x x D y Cy x Ax 表示切点弦的方程。
直线和圆的方程知识点总结
直线和圆的方程知识点总结一、直线方程. 1. 直线的倾斜角2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.3. ⑴两条直线平行：1l 推论：如果两条直线的倾斜角为则∥.⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线和的斜率分别为和，则有 4. 直线的交角： 5. 过两直线的交点的直线系方程为参数，不包括在内）6. 点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有.注：1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：.2. 定比分点坐标分式。
若点P(x,y)分有向线段,其中P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2).则特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。
3. 直线的倾斜角（0°≤＜180°）、斜率:21,l l 21,αα1l 212αα=⇔l 1l 2l 1k 2k 12121-=⇔⊥k k l l ⎩⎨⎧=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 0222=++C y B x A ),(00y x P P C By Ax l ,0:=++l d 2200BA C By Ax d +++=21221221)()(||y y x x P P -+-=1212PP PP PP λλ=所成的比为即λλλλ++=++=1,12121y y y x x x ααtan =k4. 过两点.当（即直线和x 轴垂直）时，直线的倾斜角＝，没有斜率⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线，它们之间的距离为，则有.注；直线系方程1. 与直线：A x +B y +C= 0平行的直线系方程是：A x +B y +m =0.( m ∊R, C ≠m ).2. 与直线：A x +B y +C= 0垂直的直线系方程是：B x -A y +m =0.( m ∊R)3. 过定点（x 1,y 1）的直线系方程是： A(x -x 1)+B(y -y 1)=0 (A,B 不全为0)4. 过直线l 1、l 2交点的直线系方程：（A 1x +B 1y +C 1）+λ( A 2x +B 2y +C 2）=0 (λ∊R ） 注：该直线系不含l 2.7. 关于点对称和关于某直线对称：⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.1212222111),(),,(x x y y k y x P y x P --=的直线的斜率公式：12()x x ≠2121,y y x x ≠=α︒90)(0:,0:212211C C C By Ax l C By Ax l ≠=++=++d2221BA C C d +-=若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点. 二、圆的方程.2. 圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.3. 圆的一般方程： .当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.当时，方程表示一个点.当时，方程无图形（称虚圆）. 注：①圆的参数方程：（为参数）.②方程表示圆的充要条件是：且且.③圆的直径或方程：已知（用向量可征）.4. 点和圆的位置关系：给定点及圆. ①在圆内②在圆上 ③在圆外),(b a C r 222)()(r b y a x =-+-022=++++F Ey Dx y x 0422 F E D -+⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C 2422FE D r -+=0422=-+F E D ⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D 0422F E D -+⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x θ022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 0=B 0≠=C A 0422 AF E D -+0))(())((),(),(21212211=--+--⇒y y y y x x x x y x B y x A ),(00y x M 222)()(:r b y a x C =-+-M C 22020)()(r b y a x -+-⇔M C 22020)()r b y a x =-+-⇔（M C 22020)()(r b y a x -+-⇔5. 直线和圆的位置关系：设圆圆：； 直线：； 圆心到直线的距离.①时，与相切； ②时，与相交；，有两个交点，则其公共弦方程为.③时，与相离. 5. 圆的切线方程：①一般方程若点(x 0 ,y 0)在圆上，则(x – a)(x 0 – a)+(y – b)(y 0– b)=R 2. 特别地，过圆上一点的切线方程为.②若点(x 0 ,y 0)不在圆上，圆心为(a,b)则，联立求出切线方程.7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD 四类共圆. 已知的方程…① 又以ABCD 为圆为方程为…②…③，所以BC 的方程即③代②，①②相切即为所求.解题方法：1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验; 2）参数法; 3）定义法， 4）待定系数法.C )0()()(222 r r b y a x =-+-l )0(022≠+=++B A C By Ax ),(b a C l 22BA C Bb Aa d +++=r d =l C rd l C0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D r d l C 222r y x =+),(00y x P 200r y y x x =+⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y ⇒k O Θ022=++++F Ey Dx y x 2))(())((k b x y y a x x x A A =--+--4)()(222b y a x R A A -+-=BC)。
苏教版高中数学必修二直线和圆基本概念总结
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）解析几何初步基本概念总结1、引入如何求曲线的方程:在曲线上任取一点P ,设P点的坐标为(x,y),然后建立x,y的关系，这个关系就是曲线的方程。
2。
直线的倾斜角α.3.直线的斜率。
K= α4.过两点P1（x1 , y1） ,P2(x2 , y2) 的直线的斜率公式: K=5.直线的方程（1）点斜式：已知直线L过点P0(x0,y0),斜率为k , ,则直线L的方程为：。
（2）斜截式：已知直线L,斜率为k , 纵截距为b则直线L的方程为：。
注：横截距:直线与x轴交点的横坐标。
纵截距:直线与y轴交点的纵坐标。
（3）两点式：已知直线L 过点已知直线L 过点P 1（x 1 , y 1） ,P 2(x 2 , y 2) ,则直线L 的方程为 。
（4）截距式：已知直线L 横截距为a, 纵截距为b,则直线L 的方程为（5）一般式： 。
6、直线方程的一般方程为Ax+By+C=0 （A 、B 不同时为0），斜率为 ，在y 轴上的截距为 ；7、两直线的位置关系 直线方程 111:b x k y l += 222:b x k y l +=k 1与k 2、b 1与b 2的关系1l 与2l 平行 1l 与2l 重合 1l 与2l 垂直8、已知两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），则21P P ＝__________________；9、点P(x 0,y 0)到直线Ax+By+C=0的距离d= .10、 两条平行线Ax+By+C 1=0与Ax+By+C 2=0的距离d= .11、曲线C ： y = f (x )关于x 轴的对称曲线C 1的方程为 ，关于y 轴的对称曲线C 2的方程为 ，关于原点的对称曲线C 3的方程为 ，12、点P （2，3）关于直线x+y=0对称的点的坐标是 .13、圆的方程⑴圆的标准方程是___________________________，其中圆心是__________，半径是__________。
苏教版九年级数学圆知识点
苏教版九年级数学圆知识点在九年级数学教材中，学生将学习关于圆的知识和技能。
本文将介绍苏教版九年级数学中与圆相关的知识点。
1. 圆的定义和性质圆是由平面上与一个固定点的距离相等的所有点构成的集合。
其中，到圆心的距离称为半径，半径相等的两个点构成的线段称为直径，直径的一半称为半径。
圆的性质包括：- 圆的半径相等- 圆的直径是圆上最长的一条线段- 圆的周长是圆上所有弧的长度之和，记为C=2πr，其中r为半径，π约等于3.14- 圆的面积是圆内部所有点到圆心的距离之和，记为A=πr²2. 弧长和扇形面积在圆上，如果选定两个点，从这两个点沿着圆弧所得的线段称为弧。
弧的长度称为弧长。
扇形是由圆心和圆上的两个弧构成的区域。
扇形的面积可以通过计算扇形所对的圆心角度数和圆的面积来求得。
设扇形的圆心角为α（以弧度为单位），圆的半径为r，则扇形的面积为A=(α/360)πr²。
3. 正多边形和圆的关系正多边形是指所有边和角都相等的多边形。
假设正多边形的边数为n，边长为a，则正多边形内切于圆，即所有顶点都在圆上，并且每条边都是圆的弧。
正多边形的面积可以通过圆的半径和边长来计算。
设正多边形的面积为A，圆的半径为r，则有A=na²⋅tan(π/n)。
4. 弦和切线圆上的两点确定一条弦，弦的长度可以通过两点之间的距离来计算。
切线是与圆相切的直线，切线与半径的夹角为直角。
假设切点与圆心所连的线段为斜边，切点在圆上的弧长为直角边，则可以利用勾股定理来求切线与半径之间的关系。
5. 弧度制和角度制在计算圆的相关问题时，弧度制和角度制是常用的两种单位制度。
弧度制是指以圆心为顶点，弧所对圆心角的弧长所占圆周长的比值。
弧度制中，一个圆的弧度为2π。
角度制采用的单位是度，一个圆的度数为360°。
6. 圆的应用圆的应用广泛，常见的应用包括：- 圆形运动：描述物体在圆周上做匀速运动的特点，如地球公转、钟摆运动等。
圆与直线知识点总结
圆与直线知识点总结一、圆的基本概念圆是平面上与一个给定点距离相等的点的集合。
这个给定点叫做圆心，与圆心距离相等的距离叫做半径。
圆通常用“O”表示圆心，“r”表示半径。
如果圆心为坐标原点(0,0)，那么圆的方程可以表示为x²+y²=r²。
圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，其长度为圆的半径的两倍，可以表示为d=2r。
圆的常见性质：1. 圆的周长：圆的周长叫做圆的周长，通常用C表示。
圆的周长可以用圆的直径或者半径表示。
圆的周长公式为：C=2πr或者C=πd。
其中π是一个无限不循环小数，它约等于3.14159。
2. 圆的面积：圆的面积叫做圆的面积，通常用S表示。
圆的面积公式为S=πr²。
3. 圆的弧长与扇形面积：圆的一部分叫做弧，连接两个圆周上的点的线段叫做弦，弧与弦所夹的部分叫做扇形。
弧的长度叫做圆的弧长，可以表示为l=α/180°×πr。
扇形的面积可以表示为S=1/2r²θ。
二、圆与直线的位置关系1. 直线与圆的相交：直线与圆的位置关系主要有相交、外切、内切和相离四种情况。
直线与圆相交的情况有两点相交和两点重合两种情况。
2. 判别方法：通过解析几何的方法可以判别直线与圆的位置关系。
设直线的方程为y=kx+b，圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，通过联立直线方程与圆的方程，可以求解直线与圆的交点。
根据交点的数量和位置可以判断直线与圆的位置关系。
三、圆与直线的解析几何1. 直线的方程：直线的方程通常用一般式、点斜式、斜截式等形式表示。
一般式为Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数。
点斜式为y-y₁=k(x-x₁)，其中k是斜率，(x₁,y₁)是直线上的一个点。
斜截式为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。
2. 圆的方程：圆的方程通常用标准方程和一般方程表示。
标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，一般方程为Ax²+By²+Cx+Dy+E=0。
苏教版高中数学必修二知识讲解_直线与圆的位置关系_基础
直线与圆的位置关系：：【学习目标】1．依据直线和圆的方程，能熟练求出他们的交点坐标.2．能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系判断直线和圆的位置关系.3．理解直线和圆的三种位置关系（相离、相切、相交）与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解（无解、有唯一解、有两组解）的对应关系.4．能利用直线和圆的方程研究与圆有关的问题，提高学生的思维能力.【要点梳理】要点一：直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点；(2)直线与圆相切，只有一个公共点；(3)直线与圆相离，没有公共点.2.直线与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线l与圆C有公共点.有两组实数解时，直线l与圆C相交；有一组实数解时，直线l与圆C相切；无实数解时，直线l与圆C相离.(2)几何法：由圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径r的关系判断：<时，直线l与圆C相交；当d r=时，直线l与圆C相切；当d r>时，直线l与圆C相离.当d r要点诠释：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决. 要点二：圆的切线方程的求法 1．点M 在圆上，如图．法一：利用切线的斜率l k 与圆心和该点连线的斜率OM k 的乘积等于1-，即1O M l k k ⋅=-．法二：圆心O 到直线l 的距离等于半径r ．2．点()00,x y 在圆外，则设切线方程：00()y y k x x -=-，变成一般式：000kx y y kx -+-=，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k ．要点诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．常见圆的切线方程：（1）过圆222x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=；（2）过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是()()()()200x a x a y b y b r --+--=.要点三：求直线被圆截得的弦长的方法1．应用圆中直角三角形：半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 具有的关系2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，这也是求弦长最常用的方法．2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．3．利用弦长公式：设直线:l y kx b =+，与圆的两交点()()1122,,,x y x y ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：12|l x x =-．【典型例题】类型一：直线与圆的位置关系例1.已知直线y=2x+1和圆x 2+y 2=4，试判断直线和圆的位置关系.【思路点拨】解决本题的方法主要有两个，其一是利用圆心到直线的距离与半径的大小关系；其二是引入一元二次方程，利用方程根来解决. 【答案】相交 【解析】解法一：∵x 2+y 2=4， ∴圆心为(0，0)，半径r=2.又∵y=2x+1，∴圆心到直线的距离为2d r ==<=.∴直线与圆相交. 解法二：∵⎩⎨⎧=++=,4,1222y x x y ∴(2x+1)2+x 2=4， 即5x 2+4x-3=0.判别式Δ=42-4×5×(-3)=76＞0. ∴直线与圆相交.【总结升华】判断直线与圆的位置关系可以从代数方法和几何意义两个方面加以考虑.例2．已知直线方程mx ―y ―m ―1=0，圆的方程x 2+y 2―4x ―2y+1=0．当m 为何值时，圆与直线 （1）有两个公共点；（2）只有一个公共点； （3）没有公共点． 【答案】（1）m ＞0或43m <-（2）m=0或43m =-（3）403m -<< 【解析】 解法一：将直线mx ―y ―m ―1=0代入圆的方程化简整理得， (1+m 2)x 2―2(m 2+2m+2)x+m 2+4m+4=0． ∵Δ=4m(3m+4)，∴当Δ＞0时，即m ＞0或43m <-时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当Δ=0时，即m=0或43m =-时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当Δ＜时，即403m -<<时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 解法二：已知圆的方程可化为(x ―2)2+(y ―1)2=4， 即圆心为C （2，1），半径r=2．圆心C （2，1）到直线mx ―y ―m ―1=0的距离d ==．当d ＜2时，即m ＞0或43m <-时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当d=2时，即m=0或43m =-时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当d ＞2时，即403m -<<时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 【总结升华】解决此类问题是搞清直线与圆的位置和直线与圆的公共点的个数间的等价关系．在处理直线与圆的位置关系时，常用几何法，即比较圆心到直线的距离和半径的大小，而不用联立方程．举一反三：【变式】求实数m 的范围，使直线30x my -+=与圆22650x y x +-+=分别满足： (1)相交；(2)相切；(3)相离．【答案】（1）m <-m >2）m =±3）m -<<【解析】圆的方程化为标准为22(3)4x y -+=，故圆心(3，0)到直线30x my -+=的距离d =，圆的半径2r =．(1)若相交，则d r <2<，所以m <-m >(2)若相切，则d r =2=，所以m =±(3)若相离，则d r >2>，所以m -<<【总结升华】一般来讲，选择此方法要比选择计算判别式的方法在运算上简单． 类型二：圆的切线问题【与圆有关的位置关系370892 典型例题1】例3．过点(7,1)P 作圆2225x y +=的切线,求切线的方程.【思路点拨】先判断点在圆上或圆外，如果点在圆上则有一条切线．如果点在圆外，则有两条切线．本例中很明显点在圆外．【答案】43250x y --=或34250x y +-= 【解析】因为22715025+=>，所以点在圆外。
苏教版九年级上册数学[圆的有关概念及圆的确定—知识点整理及重点题型梳理]
![苏教版九年级上册数学[圆的有关概念及圆的确定—知识点整理及重点题型梳理]](https://img.taocdn.com/s3/m/e64ca42f0a1c59eef8c75fbfc77da26925c596ff.png)
苏教版九年级上册数学[圆的有关概念及圆的确定—知识点整理及重点题型梳理]研究目标】1.理解圆的描述概念和圆的集合概念；2.理解半径、直径、弧、弦、弦心距、圆心角、同心圆、等圆、等弧的概念；3.探索点与圆的位置关系，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；4.了解不在同一直线上的三点确定一个圆，了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的外接三角形的概念。
要点梳理】要点一、圆的定义1.圆的描述概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
以点O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。
2.圆的集合概念：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合。
圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合。
要点二、点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外。
若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内⇔ d。
r。
要点三、与圆有关的概念1.弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
2.半径：以圆心为端点的线段叫做半径，记作r。
3.直径：穿过圆心的弦叫做直径，记作d=2r。
4.弧：圆上两点间的部分叫做弧，记作AB。
5.弦心距：弦两端点到圆心的距离之差叫做弦心距，记作h。
6.圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角，记作∠AOB。
7.同心圆：圆心相同，但半径不同的圆叫做同心圆。
8.等圆：半径相等的圆叫做等圆。
9.等弧：弧长相等的弧叫做等弧。
本文介绍了圆的基本概念和相关定理。
首先讲解了直径和弦心距的定义，证明了直径是圆中最长的弦。
接着介绍了弧的概念，包括半圆、优弧和劣弧，以及等弧的定义和性质。
然后讲解了同心圆和等圆的概念，以及圆心角的定义和相关定理。
最后介绍了确定圆的条件，包括经过一个已知点、经过两个已知点、不在同一直线上的三个点和外接圆的性质。
初三新学期数学圆的知识点苏教版
初三新学期数学圆的知识点苏教版一、圆的定义1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的各元素1、半径：圆上一点与圆心的连线段。
2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分，半圆周也是弧。
（1）劣弧：小于半圆周的弧。
（2）优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
三、圆的基本性质1、圆的对称性。
（1）圆是图形，它的对称轴是直径所在的'直线。
（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
（3）圆是对称图形。
2、垂径定理。
（1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
（2）推论。
平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
（1）同弧所对的圆周角相等。
（2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。
5、夹在平行线间的两条弧相等。
6、设⊙O的半径为r，OP=d。
7、（1）过两点的圆的圆心肯定在两点间连线段的中垂线上。
（2）不在同始终线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。
（直角的外心就是斜边的中点。
）8、直线与圆的位置关系。
d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径。
直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切；直线与圆没有交点，直线与圆相离。
9、中，A（x1，y1）、B（x2，y2）。
10、圆的切线判定。
（1）d=r时，直线是圆的切线。
切点不明确：画垂直，证半径。
（2）经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。
圆直线方程知识点总结
圆直线方程知识点总结圆直线方程是解析几何中的重要内容，它描述了圆和直线在平面上的几何特性。
掌握圆直线方程的知识对于解决与圆和直线相关的几何问题是至关重要的。
本文将对圆直线方程的相关知识进行总结，包括圆的标准方程、一般方程和直线的一般方程等内容，并对圆和直线的位置关系、交点等问题进行探讨。
一、圆的标准方程和一般方程1. 圆的标准方程圆的标准方程是描述平面上一点到圆心的距离等于半径的平方的方程。
设圆的圆心坐标为（h，k），半径为r，则圆的标准方程为：(x - h)² + (y - k)² = r²其中，(x，y)为圆上的任意一点的坐标。
例如，圆心坐标为(2，3)，半径为5的圆的标准方程为：(x - 2)² + (y - 3)² = 252. 圆的一般方程圆的一般方程是描述平面上一点到圆心的距离等于半径的平方的方程的一般形式。
设圆的圆心坐标为（h，k），半径为r，则圆的一般方程为：x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0其中，g、f、c分别为常数，满足g² + f² - c > 0。
具体的圆心坐标和半径通过一般方程不容易直接看出来，但一般方程更灵活，适合解决一些特殊情况下的圆的问题。
二、直线的一般方程直线的一般方程是描述平面上一条直线的一般形式方程。
设直线的斜率为m，截距为b，则直线的一般方程为：y = mx + b其中，m为斜率，表示直线的倾斜程度，b为截距，表示直线与y轴的交点。
三、圆和直线的位置关系1. 圆和直线的位置关系有四种可能的相交情况：（1）相离：直线与圆无交点；（2）相切：直线与圆只有一个交点；（3）相交：直线与圆有两个不同的交点；（4）相含：直线完全包含在圆内部，或者圆完全包含在直线内部。
2. 判断圆和直线的位置关系的方法：（1）计算直线方程和圆的方程，求出交点；（2）用坐标代入判断，判断交点的位置关系；（3）通过图像观察，直线与圆的位置关系。
苏教版数学九年级圆知识点
苏教版数学九年级圆知识点圆是数学中非常重要的一个几何概念，它在我们生活和学习中无处不在。
无论是在建筑物、车轮、钟表还是自然界中的一些形状，都可以找到圆的影子。
在苏教版数学九年级的学习中，圆的知识点是不可或缺的一部分。
让我们一起来回顾和探讨一下这些知识点。
在圆的定义中，我们知道“圆是平面上一点到固定点的距离恒定的点集”，这个固定点叫做圆心，恒定距离叫做半径。
从这个定义中，我们可以推导出许多有趣的性质和定理。
首先，我们来看一下圆的周长和面积的计算。
圆的周长是指围绕圆一周的长度，可以通过公式C=2πr来计算，其中C表示周长，r表示半径。
而圆的面积是指圆内部的面积，可以通过公式A=πr²来计算，其中A表示面积，r表示半径。
这些公式是非常重要的，因为它们可以帮助我们计算诸如轮胎周长、花坛面积等实际问题。
其次，我们来看一下圆的弧长和扇形面积的计算。
当我们只考虑圆上的一部分，这部分就叫做圆弧。
圆弧的长度叫做弧长，可以通过公式L=2πr×(θ/360°)来计算，其中L表示弧长，θ表示圆心角的度数。
而当我们把圆弧与圆心连线围成的部分称为扇形，扇形的面积可以通过公式A=πr²×(θ/360°)来计算。
这些公式可以帮助我们计算例如弯道的长度、扇形的面积等实际问题。
除了上述基本概念和计算公式，我们还需要了解一些圆的性质和定理。
例如，相交弦的性质。
当两条弦相交于圆内或圆上的一点时，它们互为重弦，且重弦的弦长相等。
另外，我们还需要了解弧与弦的关系。
当一条弦的两个端点和圆心共线时，这条弦所对的弧就是该弦所对的角的对应弧。
这些性质和定理可以帮助我们解决圆内角、圆心角以及弦长等问题。
此外，我们在学习圆的过程中还需要了解一些相关的定理，例如切线定理和割线定理。
切线定理指出，如果一条直线与圆相切，那么切点与圆心的连线垂直于切线。
而割线定理则指出，如果一条直线与圆相交于两点，那么这条直线的外部部分与两个弧所对的圆心角之和等于360°。
苏教版圆的知识点总结
苏教版圆的知识点总结
1. 圆的定义
圆是平面上所有到一个给定点距离相等的点的集合。
这个给定点称为圆心，到圆心的距离
称为半径。
圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，它等于半径的两倍。
2. 圆的基本性质
（1）圆是由无数个点组成的。
这些点到圆心的距离都相等。
（2）圆心是圆的对称中心，任意一点关于圆心的对称点在圆上。
（3）圆的直径恰好有两个，它们垂直于圆的半径。
而且任意直径都是圆的极径。
3. 圆的重要定理
（1）圆的弧长和圆心角的关系：圆的弧长等于半径乘以对应的圆心角的弧度数。
（2）圆的面积公式：圆的面积等于半径的平方乘以π。
（3）圆的周长公式：圆的周长等于直径乘以π。
4. 圆的相关定理
（1）圆的同弧对应的圆心角相等。
（2）在同弧上的弧长与圆心角成正比。
（3）圆周角是圆心角的一半。
（4）相对弧相等的两个圆上的圆心角相等。
（5）垂径定理：垂直的直径相交的四个点连起来成的四边形是矩形。
（6）切圆定理：切线与半径垂直。
5. 圆的常见应用
（1）在建筑学中，圆的形状常常用来设计穹顶、拱门等结构。
（2）在工程学中，圆的性质常常用来设计轮胎、齿轮等零部件。
（3）在日常生活中，圆的概念经常出现在钟表、餐具等物品中。
以上就是苏教版教材中关于圆的知识点总结。
通过学习这些内容，学生能够了解圆的定义、性质和相关定理，进而在实际问题中应用圆的知识解决问题。
希望本文能够帮助学生更好
地理解和掌握圆的知识。
高一数学圆的方程、直线和圆的位置关系苏教版知识精讲
高一数学圆的方程、直线和圆的位置关系苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：圆的方程、直线和圆的位置关系二. 教学目标1、掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程。
2、掌握圆的一般方程及一般方程的特点；能用配方法将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心的坐标和半径;能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程。
3、理解并掌握直线与圆的三种位置关系，并能用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系。
会求圆的切线方程和弦长。
［知识要点］ 一、圆的方程1. 圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆2. 求曲线方程的一般步骤为：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M 的坐标； （2）写出适合条件P 的点M 的集合；（可以省略，直接列出曲线方程） （3）用坐标表示条件P （M ），列出方程0),(=y x f ; （4）化方程0),(=y x f 为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点（可以省略不写，如有特殊情况，可以适当予以说明。
）已知圆心为(,)C a b ，半径为r ，如何求圆的方程？ 设M （x ，y ）是圆上任意一点，根据定义，点M 到圆心C 的距离等于r ，所以圆C 就是集合P ＝{M| |MC|＝r}由两点间的距离公式，点M 适合的条件可表示为：r b y a x =-+-22)()(把上式两边平方得：（x －a ）2＋ （y －b ）2 ＝ r2r MC(a,b)（一）圆的标准方程222()()x a y b r -+-=这个方程叫做圆的标准方程。
说明：1、若圆心在坐标原点上，这时0a b ==，则圆的方程就是222x y r +=。
2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要,,a b r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。
苏教版高中数学必修二知识讲解_圆的方程_提高
圆的方程 ： ：【学习目标】1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程.2.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．【要点梳理】【圆的方程370891 知识要点】 要点一：圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.要点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有(1)若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-=(2)若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+->(3)若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<要点三：圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径. 要点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E--. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆. 要点四：几种特殊位置的圆的方程要点五：用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件，建立关于a b r 、、或D E F 、、的方程组. (3)解方程组，求出a b r 、、或D E F 、、的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程. 要点六：轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量,x y 之间的方程．1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用(,)x y 表示轨迹（曲线）上任一点M 的坐标； （2）列出关于,x y 的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 【典型例题】类型一：圆的标准方程例1．求满足下列条件的各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是3；(2)已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上； (3)经过点()5,1P ，圆心在点()8,3C -．【思路点拨】一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径.【答案】（1）229x y +=（2）22(2)10x y -+=（3）()()228325x y -++= 【解析】(1)229x y +=(2)线段AB 的中垂线方程为240x y --=，与x 轴的交点(2,0)即为圆心C的坐标，所以半径为||CB =，所以圆C 的方程为22(2)10x y -+=.(3)解法一：∵圆的半径||5r CP ===，圆心在点()8,3C -∴圆的方程是()()228325x y -++=解法二：∵圆心在点()8,3C -，故设圆的方程为()()22283x y r -++=又∵点()5,1P 在圆上，∴()()2225813r -++=，∴225r =∴所求圆的方程是()()228325x y -++=.【总结升华】确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a 、b 、r 的方程组，求a 、b 、r 或直接求出圆心（a ，b ）和半径r ，一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(x ―a)2+(y ―b)2=r 2； （2）根据已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组；（3）解方程组，求出a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．举一反三：【变式1】圆心是（4，―1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（ ） A ．(x ―4)2+(y+1)2=10 B ．(x+4)2+(y ―1)2=10C ．(x ―4)2+(y+1)2=100D ．22(4)(1)x y -++=【答案】A例2．求圆心在直线2x ―y ―3=0上，且过点（5，2）和（3，―2）的圆的方程． 【答案】(x ―2)2+(y ―1)2=10【解析】 解法一：设所求圆的圆心为（a ，b ），半径为r ，由题意得222222230(5)(2)(3)(2)a b a b r a b r --=⎧⎪-+-=⎨⎪-+--=⎩，解方程组得a=2，b=1，r =∴所求圆的方程为(x ―2)2+(y ―1)2=10．解法二：因点（5，2）和（3，―2）在圆上，故圆心在这两点所连线段的垂直平分线上，可求得垂直平分线的方程为x+2y ―4=0．又圆心在直线2x ―y ―3=0上，故圆心为两直线的交点．由230240x y x y --=⎧⎨+-=⎩求得两直线交点为（2，1），故所求圆的方程为(x ―2)2+(y ―1)2=10．【总结升华】求圆的标准方程的关键是求圆的坐标和圆的半径，这就需要充分挖掘题目中所给的几何条件，并充分利用平面几何中的有关知识求解，如“若圆经过某两点，则圆心必在这两点连线的中垂线上”等．举一反三：【圆的方程370891 典型例题1】【变式1】（1）过点(2,3),(2,5)A B ---且圆心在直线230x y --=上；（2）与x 轴相切，圆心在直线30x y -=上，且被直线0x y -=截得的弦长为 【答案】（1）22(1)(2)10x y +++=（2）22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9x y +++= 【解析】（1）设圆的方程为：()222()x a y b r -+-=，则()()()()2222222325230a b r a b r a b ⎧-+--=⎪⎪--+--=⎨⎪--=⎪⎩，解得：21,2,10a b r =-=-= 所求圆的方程为：22(1)(2)10x y +++= （2）设圆的方程为：()222()x a y b r -+-=，则()222230142r b a b a b r ⎧=⎪⎪-=⎨⎪-+=⎪⎩解得：2139a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩或2139a b r ⎧=-⎪=-⎨⎪=⎩ 所求圆的方程为：22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9x y +++=． 类型二：圆的一般方程例3．已知直线x 2+y 2―2(t+3)x+2(1―4t 2)y+16t 4+9=0表示一个圆． （1）求t 的取值范围；（2）求这个圆的圆心和半径；（3）求该圆半径r 的最大值及此时圆的标准方程．【思路点拨】若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件D 2+E 2―4F ＞0，解题时，应充分利用这一隐含条件．【答案】（1）117t -<<（2）（t+3，4t 2－1）3）7 222413167497x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】（1）已知方程表示一个圆⇔D 2+E 2―4F ＞0，即4(t+3)2+4(1―4t 2)2―4(16t 4+9)＞0，整理得7t 2―6t ―1＜0117t ⇔-<<． （2）圆的方程化为[x ―(t+3)]2+[y+(1―4t 2)]2=1+6t ―7t 2． ∴它的圆心坐标为（t+3，4t 2－1）．（3）由r ===≤． ∴r，此时圆的标准方程为 222413167497x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结升华】 在本例中，当t 在1,17⎛⎫-⎪⎝⎭中任取一个值，它对应着一个不同的圆，它实质上是一系列的圆，因此本例中的圆的方程实质上是一个圆系方程，由2341x t y t =+⎧⎨=-⎩得y=4(x ―3)2―1，再由117t -<<，知2047x <<，因此它是一个圆心在抛物线2204(3)147y x x ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭的圆系方程． 举一反三：【圆的方程370891 典型例题2】【变式1】（1）求过(2,2),(5,3),(3,1)A B C -的圆的方程，及圆心坐标和半径； （2）求经过点(2,4)A --且与直线3260x y +-=相切于点（8，6）的圆的方程． 【答案】（1）()224(1)5x y -+-= （4，1）（2）22113300x y x y +-+-=【解析】（1）法一：设圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，则8220345301030D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪+-+=⎩，解得：8212D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以所求圆的方程为：228220x y x y +--+=，即()224(1)5x y -+-=，所以圆心为（4，1），法二：线段AB 的中点为为75,22⎛⎫⎪⎝⎭，321523AB k -==- 线段AB 的中垂线为57322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即3130x y --= 同理得线段BC 中垂线为260x y +-=联立2603130x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得41x y =⎧⎨=⎩所以所求圆的方程为（4，1），半径r ==所以()224(1)5x y -+-=．（2）法一：设圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，则2024062382100860D E F ED DEF --+=⎧⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪⎪+++=⎩，解得：11330D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩ 所以圆的方程为22113300x y x y +-+-=．法二：过点B 与直线3260x y +-=垂直的直线是3180x y --=， 线段AB 的中垂线为40x y +-=，由318040x y x y --=⎧⎨+-=⎩得：圆心坐标为113,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，由两点间距离公式得半径21252r =，所以圆的方程为22113125222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【变式2】判断方程ax 2+ay 2―4(a ―1)x+4y=0（a ≠0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心和半径长．【答案】表示圆，圆心坐标2(1)2,a a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径r = 【变式3】方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是A ．2a <-或23a >B ．203a -<<C ．20a -<<D ．223a -<< 【答案】D【解析】方程x 2+y 2+ax+2ay+2a 2+a-1=0转化为2223()124a x y a a a ⎛⎫+++=--+ ⎪⎝⎭，所以若方程表示圆，则有23104a a --+>，∴ 23440a a +-<，∴ 223a -<<． 例4．（1）△ABC 的三个顶点分别为A （―1，5），B （―2，―2），C （5，5），求其外接圆的方程； （2）圆C 过点P （1，2）和Q （―2，3），且圆C 在两坐标轴上截得的弦长相等，求圆C 的方程． 【思路点拨】在（1）中，由于所求的圆过三个点，因而选用一般式，从而只要确定系数D 、E 、F 即可；注意到三角形外接圆的圆心为各边的垂直平分线的交点，所以也可先求圆心，再求半径，从而求出圆的方程．在（2）中，可用圆的一般方程，但这样做计算量较大，因此我们可以通过作图，利用图形的直观性来进行分析，从而得到圆心或半径所满足的条件．【答案】（1）x 2+y 2―4x ―2y ―20=0（2）(x+1)2+(y ―1)2=5或(x+2)2+(y+2)2=25 【解析】（1）解法一：设所求的圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，由题意有5260228055500D E F D E F D E F -+++=⎧⎪--++=⎨⎪+++=⎩，解得4220D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩． 故所求的圆的方程为x 2+y 2―4x ―2y ―20=0．解法二：由题意可求得AC 的中垂线的方程为x=2，BC 的中垂线方程为x+y ―3=0．∴圆心是两中垂线的交点（2，1），∴半径5r ==，∴所求的圆的方程为(x ―2)2+(y ―1)2=25，即x 2+y 2―4x ―2y ―20=0．（2）解法一：如右图所示，由于圆C 在两坐标轴上的弦长相等，即|AD|=|EG|，所以它们的一半也相等，即|AB|=|GF|，又|AC|=|GC|，∴Rt △ABC ≌Rt △GFC ，∴|BC|=|FC|． 设C （a ，b ），则|a|=|b|． ①又圆C 过点P （1，2）和Q （―2，3）， ∴圆心在PQ 的垂直平分线上，即51322y x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即y=3x+4，∴b=3a+4． ② 由①知a=±b ，代入②得11a b =-⎧⎨=⎩或22a b =-⎧⎨=-⎩．∴r ==5．故所求的圆的方程为(x+1)2+(y ―1)2=5或(x+2)2+(y+2)2=25．即x 2+y 2+2x ―2y ―3=0或x 2+y 2+4x+4y ―17=0． 解法二：设所求的圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0． ∵圆C 过点P （1，2）和Q （－2，3），∴22122049230D E F D E F ⎧++++=⎨+-++=⎩，解得38117E D F D =-⎧⎨=-⎩．∴圆C 的方程为x 2+y 2+Dx+(3D ―8)y+11―7D=0，将y=0代入得x 2+Dx+11―7D=0．∴圆C 在x 轴上截得的弦长为12||x x -=将x=0代入得y 2+(3D ―8)y+11―7D=0，∴圆C 在y 轴上截得的弦长为12||y y -==D 2―4(11―7D)=(3D ―8)2―4(11―7D)，解得D=4或D=2．故所求的圆的方程为x 2+y 2+4x+4y ―7=0或x 2+y 2+2x ―2y ―3=0．【总结升华】 （1）本例（1）的解法二思维迂回链过长，计算量过大，而解法一则较为简捷，因此，当所有已知的条件与圆心和半径都无直接关系，在求该圆的方程时，一般设圆的方程为一般方程，再用待定系数法来确定系数即可．（2）本例（2）中，尽管所给的条件也都与圆心和半径无直接关系，但可通过画图分析，利用平面几何知识，找到与圆心和半径相联系的蛛丝马迹，从而避免了选用圆的一般方程带来的繁琐的计算．（3）一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件．举一反三：【变式1】如图，等边△ABC 的边长为2，求这个三角形的外接圆的方程，并写出圆心坐标和半径长．【答案】0,3⎛ ⎝⎭22433x y ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭ 类型三：点与圆的位置关系例5．判断点M （6，9），N （3，3），Q （5，3）与圆(x ―5)2+(y ―6)2=10的位置关系． 【答案】M 在圆上 N 在圆外 Q 在圆内【解析】 ∵圆的方程为(x ―5)2+(y ―6)2=10， 分别将M （6，9），N （3，3），Q （5，3）代入得 (6―5)2+(9―6)2=10，∴M 在圆上； (3―5)2+(3―6)2=13＞10，∴N 在圆外； (5―5)2+(3―6)2=9＜10，∴Q 在圆内．【总结升华】点与圆的位置关系，从形的角度来看，设圆心为O ，半径为r ，则点P 在圆内⇔|PQ|＜r ；点P 在圆上⇔|PQ|=r ；点P 在圆外⇔|PO|＞r ．从数的角度来看，设圆的标准方程为(x ―a)2+(y ―b)2=r 2，圆心为A （a ，b ），半径为r ，则点M （x 0，y 0）在圆上⇔(x 0―a)2+(y 0―b)2=r 2；点M （x 0，y 0）在圆外⇔(x 0―a)2+(y 0―b)2＞r 2；点M （x 0，y 0）在圆内⇔(x 0―a)2+(y 0―b)2＜r 2．举一反三：【变式1】已知两点P 1（3，8）和P 2（5，4），求以线段P 1P 2为直径的圆的方程，并判断点M （5，3）、N （3，4）、P （3，5）是在此圆上、在圆内、还是在圆外？【答案】点M 在此圆外，点N 在此圆上，点P 在此圆内 类型四：轨迹问题例6．等腰△ABC 的底边一个端点B(1，-3)，顶点A(0，6)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明轨迹的形状．【思路点拨】可以判断出C 的轨迹以A 为圆心，半径为|AB|的圆.利用直接法求出方程. 【答案】22(6)82x y +-=[除去点(-1，15)和点(1，-3)]【解析】由题意得|CA|=|AB|，则点C 到定点A 的距离等于定长|AB|， 所以C 的轨迹是圆.又||AB ==，C 的轨迹方程为22(6)82x y +-=[除去点(-1，15)和点(1，-3)]，即C 的轨迹形状是以点A(0，6)(-1，15)和点(1，-3). 【总结升华】 本例求轨迹方程的方法是直接法．用直接法求曲线方程的步骤如下： （1）建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为M （x ，y ）； （2）几何点集：写出满足题设的点M 的集合P={M|P (M)}；（3）翻译列式：将几何条件P （M ）用坐标x 、y 表示，写出方程f (x,y)=0； （4）化简方程：通过同解变形化简方程；（5）查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点．例7．已知定点A （4，0），P 点是圆x 2+y 2=4上一动点，Q 点是AP 的中点，求Q 点的轨迹方程． 【答案】(x ―2)2+y 2=1【解析】 设Q 点坐标为（x ，y ），P 点坐标为（x ＇，y ＇），则4'2x x +=且0'2y y +=，即x ＇=2x ―4，y ＇=2y ．又P 点在圆x 2+y 2=4上，∴x ＇2+y ＇2=4，将x ＇=2x ―4且y ＇=2y 代入得(2x ―4)2+(2y)2=4，即(x ―2)2+y 2=1． 故所求的轨迹方程为(x ―2)2+y 2=1．【总结升华】 本题是求轨迹时常用的方法——代入法，对于“双动点”问题，即若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时，通常用这一方法．代入法是先设所求轨迹的动点坐标为（x ，y ），在已知曲线上运动的点的坐标为（x ＇，y ＇），用x ，y 表示x ＇，y ＇，即x ＇=f (x,y)，y ＇=g (x,y)，并将它代入到已知曲线方程，即求出所求动点的轨迹方程．一般情况下，证明可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，即扣除不合题意的解或补上失去的解．举一反三：【变式1】已知定点A （2，0），点Q 是圆x 2+y 2=1上的动点，∠AOQ 的平分线交AQ 于M ，当Q 点在圆上移动时，求动点M 的轨迹方程．【答案】222439x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【圆的方程370891 典型例题5】【变式2】平面内到两定点距离的比值是一个不等于1的常数的动点的轨迹是一个圆．【解析】以两定点所在的直线为x 轴，以两定点所在线段的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设两定点分别为()1,0,(1,0)A B -，设动点(,)P x y ，则||(1)||PA c c PB =≠，c =，整理得：()2222221(1)(22)10c x c y c x c -+-+++-=所以222222101c x y x c ++++=-，即()22222221411c c x y c c ⎛⎫+++= ⎪-⎝⎭- 所以动点的轨迹是一个圆．。
苏教版高中数学必修2知识拓展：直线系、圆系方程
直线系、圆系方程一、直线系方程在解题中的应用：1、 过定点直线系方程在解题中的应用过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A,B 不同时为0）。
例 1、求过点(14)P -，圆22(2)(3)1x y -+-=的切线的方程。
分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法。
解：设所求直线的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=，∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径1，1=，整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠， 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=。
点评：对求过定点（0x ，0y ）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为：00()()0A x x B y y -+-=，注意的此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象。
2、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）。
例2、求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程。
分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解。
解：设所求直线方程为：21(21)0x y x y λ+++-+=，当直线过原点时，则1λ+=0，则λ=－1，此时所求直线方程为：20x y -=；当所求直线不过原点时，令x =0，解得y =12λλ+-， 令y =0，解得x =121λλ+-+， 由题意得，12λλ+-=121λλ+-+，解得13λ=， 此时，所求直线方程为：5540x y ++=。
小学苏教版圆知识点总结
小学苏教版圆知识点总结圆是我们生活中常见的一种几何图形，它在数学中有着重要的作用。
在小学苏教版的数学课程中，我们学习了关于圆的知识，包括圆的定义、性质、相关定理等内容。
本文将对小学苏教版圆的知识点进行总结，帮助同学们更好地理解和掌握这些知识。
一、圆的定义圆是由平面内到一个定点距离等于定长的所有点的集合。
这个定点叫做圆心，定长叫做半径。
通常，我们用符号“O”表示圆心，用符号“r”表示半径。
二、圆的性质1. 圆上任意两点之间的距离相等，这个距离就是圆的半径。
2. 圆的直径是通过圆心，且与圆相交，且长度等于圆的半径的两倍。
3. 圆的内部任意一点到圆心的距离小于半径，到圆上任意一点的距离等于半径。
4. 圆的外部任意一点到圆心的距离大于半径。
三、圆的相关定理1. 同弦定理：如果两条弦在同一个圆的同侧，那么它们对应的弧相等。
2. 弧长定理：圆的弧长等于这个弧所对的圆心角的度数。
3. 弧与角的关系：弧所对的圆心角等于这个弧的弧长对应的圆心角。
4. 正多边形内接圆关系定理：圆的外接正多边形与内接正多边形所对的圆心角都是360度的等分。
以上是小学苏教版数学课程中关于圆的常见知识点。
通过学习这些知识，同学们可以更好地理解和运用圆的性质和相关定理，解决与圆有关的数学问题。
四、圆的应用1. 圆在日常生活中有很多应用，比如，钟表、轮胎、盘子等都是圆形的。
2. 圆也在建筑设计、城市规划等领域有着广泛的应用，比如，建筑物的圆形窗户、广场的喷泉等都是圆形的。
3. 在工程中，圆形的零件加工容易，稳定性好，因此在机械设计中也有很多圆形的应用。
通过对圆的应用，我们可以更直观地感受到圆的重要性和实用性。
总结：圆是数学中重要的几何图形，我们通过学习圆的性质和相关定理，可以更好地理解和应用它。
在日常生活和工作中，我们也能够发现很多圆的应用，这些都表明圆在我们的生活中扮演着重要的角色。
希望同学们能够认真学习和掌握圆的知识，将它们运用到实际生活和学习中。
苏教版五年级圆的知识点
苏教版五年级圆的知识点圆是几何学中一个非常重要的图形，它由所有与一个固定点（圆心）等距离的点组成。
这个固定距离称为半径。
在苏教版五年级的数学课程中，学生们将学习到关于圆的一些基本知识点，以下是一些主要内容：圆的基本概念- 圆的定义：平面上所有与一个固定点（圆心）距离相等的点的集合。
- 圆心：圆的中心点，用字母O表示。
- 半径：从圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。
- 直径：通过圆心的最长的线段，是半径的两倍，用字母d表示。
圆的性质- 圆上任意两点之间的线段称为弦，其中最长的弦是直径。
- 圆的周长：圆的边缘的长度，用C表示，公式为C = 2πr。
- 圆的面积：圆内部的区域大小，用A表示，公式为A = πr²。
- 圆周角：圆上两点之间的角，其顶点在圆心上，圆周角的度数是它所对的弧的度数的一半。
圆的构造- 用圆规可以画出一个圆，通过固定圆规的一脚作为圆心，另一脚旋转画出圆的边缘。
圆的对称性- 圆是轴对称图形，任何直径都是它的对称轴。
- 圆也是中心对称图形，以圆心为中心，圆上的任意一点关于圆心对称。
圆与直线的关系- 切线：与圆只有一个交点的直线，且该直线在交点处的切线与半径垂直。
- 割线：与圆有两个交点的直线。
圆的周长和面积的计算- 周长的计算公式：C = 2πr。
- 面积的计算公式：A = πr²。
圆的应用- 在日常生活中，圆的概念被广泛应用于建筑、艺术、工程等领域。
练习题- 计算半径为3厘米的圆的周长和面积。
- 一个圆的直径是14厘米，求它的半径和周长。
通过学习这些知识点，学生们不仅能够理解圆的基本属性和性质，还能够运用这些知识解决实际问题。
希望学生们能够通过练习和探索，更深入地理解圆的美妙和实用性。
苏教版圆的方程及圆与直线知识点整理优秀版
点整理优秀版圆的方程知识点整理1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心：⎝⎛⎭⎫－D2，－E2，半径：12D2＋E2－4F2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.练习：1.以点(3，-4)为圆心，以2为半径的圆的方程为——————2．(教材习题改编)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是________3．(教材习题改编)点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是________ 4．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()5．圆x2－2x＋y2－3＝0的圆心到直线x＋3y－3＝0的距离为________．6．(教材习题改编)圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为________Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：(1)B＝0；(2)A＝C≠0；(3)D2＋E2－4AF＞0.2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．直线与圆、圆与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)相离相切相交图形量化方程观点Δ＜0Δ＝0Δ＞0 几何观点d＞r d＝r d＜r二、圆与圆的位置关系(⊙O 1、⊙O 2半径r 1、r 2，d ＝|O 1O 2|)相离外切相交内切内含图形量化 d ＞r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d ＜|r 1－r 2|1．(教材习题改编)圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．相交过圆心D ．相离2．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( ) A.7B ．2 2C ．3D. 23．直线x －y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝r 2相交于A ，B 两点，且AB 的长为2，则圆的半径为________4．(教材习题改编)若圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点，则实数k 的取值范围是________．5．已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是___________6.在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于——————————两类重要题型1.求圆的弦长问题，注意应用圆的几何性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．1．圆的弦长的常用求法：[注意] 常用几何法研究圆的弦的有关问题 (1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则 ⎝⎛⎭⎫l 2 2＝r 2－d 2. (2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].2.求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系，若点在圆内，无解；若点在圆上，有一解；若点在圆外，有两解．对于圆的切线问题，要注意切线斜率不存在的情况练习：1.过点（5，1）与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9相切的直线方程为——————2.过点（1，1）与圆(x +1)2＋(y +2)2＝9相切的直线方程为——————圆与方程基本知识一、知识点整合：(,)a b 为圆心，以r 为半径的圆的标准方程是 222()()x a y b r -+-=220x y Dx Ey F ++++=的方程，若表示圆，则满足条件2240D E F +->；此时圆心为22(,)D E --00(,)x y 和圆222()()x a y b r -+-=：当22200()()x a y b r -+->时，点在圆外； 当22200()()x a y b r -+-=时，点在圆上； 当22200()()x a y b r -+-<时，点在圆内.4.填表：直线和圆的位置关系（其中，d 表示圆心到直线的距离；∆表示联立直线和圆的方程消去y 或x 所得到的一元二次方程的判别式，r 为圆的半径.）5.直线和圆相交时，弦心距指的是 圆心 到 直线 的距离，并且弦心距d 、弦长2l 和半径r 所满足的关系是：222d l r +=6. 填表：圆和圆的位置关系（其中，d 表示圆心距，∆表示联立圆和圆的方程消去y 或x 所得到的一元二次方程的判别式，R 和r 为两圆的半径.）1．已知直线k x y +=2和圆 422=+y x 有两个交点，则k 的取值范围是（） A．k ．0k = C．k >．k -< 2．方程22()()0x a y b +++=表示的图形是（） A ．点(,)a b B ．点(,)a b --C ．以(,)a b 为圆心的圆D ．以(,)a b --为圆心的圆3．过圆C 1 ：x 2+y 2-2x+4y- 4=0内一点l 的线段最短，则直线l 的方程是（）A ．x+y-3=0B ．x-y-3=0C ．x+4y-3=0D ．x-4y-3=04．若圆x 2+y 2=4和圆x 2+y 2+4x-4y+4=0关于直线l 对称，则直线l 的方程是（） A ．x+y=0 B ．x+y-2=0 C ．x-y-2=0 D ．x-y+2=05．圆x 2+y 2+6x-7=0和圆x 2+y 2+6y-27=0的位置关系是（ ）A ． 相切B ． 相交C ． 相离D ．内含 6．与圆(x-2)2+(y+1)2=1关于直线x-y+3=0成轴对称的曲线的方程是（ ） A ．(x-4)2+(y+5)2=1 B ．(x-4)2+(y-5)2=1 C ．(x+4)2+(y+5)2=1 D ．(x+4)2+(y-5)2=17．若直线22(1)1020a x y y x +++=+-=与圆 x 相切，则a 的值为（） A ．1或-1 B ．2或-2 C ．1 D ．-1 8．若P(x,y)在圆 (x+3)2+(y-3)2=6上运动，则xy的最大值等于（ ） A ．-3+22 B ．-3+2 C ．-3-22 D ．3-22 9．圆224450x y x y +--+=上的点到直线90x y +-=的最大距离与最小距离的差为( B )A B ．．．6 10.求经过三点(1,5),(5,5),(6,2)A B C --的圆的方程:11.若方程220x y x y m +-++=表示一个圆，则m 的取值范是 12.已经圆222420x y x by b ++++=与x 轴相切，则b =13.直线20x y +=被曲线2262150x y x y +---=所截得的弦长等于.14.已知两圆2210100x y x y +--=和2262400x y x y ++--=，则它们公共弦所在直线的方程是:15.求圆心在y 轴上，且与直线1:43120,l x y -+=直线2:34120l x y --=都相切的圆的方程.16，求经过点A （0，4），B （4，6）且圆心在直线x ―2y ―2=0上的圆的方程;17，已知方程0916)41(2)3(24222=++-++-+m y m x m y x 表示一个圆，（1）求实数m 的取值范围；（2）求该圆半径r 的取值范围；（3）求圆心的轨迹方程；参考答案：选择题答案：1、D2、B3、A4、D5、B6、D7、D8、A9、B10、222242200(1)25x y x y x y +---=+-=或(-2).11、12-∞（，）.12、b =2± 13、、250x y +-=15、解：设所求圆的圆心O 坐标为（0，b ），半径为r,则圆心到直线12,l l 的相等均为r ，所以31241255b b r -+--==，解得12840,24,55b r b r ===-=或，因此，所求圆的方程为2222221284()(24)()55x y x y +=++=或 16、解：设圆的方程为：222--x a x b r +=（）（） 依题可得：222222220(0)(4)(4)(6)a b a b r a b r --=⎧⎪-+-=⎨⎪-+-=⎩；解之得：4,1,5a b r ===答案：224125x y -+-=（）（）17、解：（1）依题意可知：22444(14)4(169)0m m +--+>（m+3）解之得：1(71)-10, -17m m m +<∴<<（） （2）由于r ===≤所以：07r <≤(3)由于：223m: y=4(x-3)1(14)x m y m =+⎧-⎨=--⎩消去 由于120-1477m x <<<<，可得， 所以圆心的轨迹方程为：y=4(x-3)2-1 (20/7<x<4)因式分解专项练习题一定要记住的公式大全：平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)； 完全平方公式：a^2±2ab ＋b^2＝(a±b ）^2；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆的方程知识点整理
1．圆的定义及方程
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.
练习：1.以点(3，-4)为圆心，以2为半径的圆的方程为——————
2．(教材习题改编)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是________
3．(教材习题改编)点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是________ 4．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()
5．圆x2－2x＋y2－3＝0的圆心到直线x＋3y－3＝0的距离为________．
6．(教材习题改编)圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为________
总结1.方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：
(1)B＝0；(2)A＝C≠0；(3)D2＋E2－4AF＞0.
2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在任一弦的中垂线上．
(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
直线与圆、圆与圆的位置关系
一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
二、圆与圆的位置关系(⊙O 1、⊙O 2半径r 1、r 2，d ＝|O 1O 2|)
1．(教材习题改编)圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．相交过圆心
D ．相离
2．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( ) A.7
B ．2 2
C ．3
D. 2
3．直线x －y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝r 2相交于A ，B 两点，且AB 的长为2，则圆的半径为________
4．(教材习题改编)若圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点，则实数k 的取值范围是________．
5．已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是___________
6.在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于——————————
两类重要题型
1.求圆的弦长问题，注意应用圆的几何性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．
1．圆的弦长的常用求法：[注意] 常用几何法研究圆的弦的有关问题 (1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则 ⎝⎛⎭⎫l 2 2 ＝r 2－d 2
. (2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式：
|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].
2.求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系，若点在圆内，无解；若点在圆上，有一解；若点在圆外，有两解．对于圆的切线问题，要注意切线斜率不存在的情况
练习：1.过点（5，1）与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9相切的直线方程为——————
2.过点（1，1）与圆(x +1)2
＋(y +2)2
＝9相切的直线方程为——————。