圆的一般方程基础过关训练
高中数学 第四章4.1.2圆的一般方程基础过关训练 新人
4.1.2 圆的一般方程一、基础过关1．方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( )A ．m ≤2B ．m ＜12C ．m ＜2D ．m ≤122．设A ，B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |等于 ( )A ．1B. 2C. 3 D ．23．M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程是( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x －y －3＝0 C ．2x －y －6＝0D ．2x ＋y －6＝04．已知圆x 2＋y 2－2ax －2y ＋(a －1)2＝0(0<a <1)，则原点O 在( )A ．圆内B ．圆外C ．圆上D ．圆上或圆外5．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________． 6．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.7．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0，求过点A (－3，－5)的直线交圆的弦PQ 的中点M 的轨迹方程．8．求经过两点A (4,2)、B (－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程． 二、能力提升9．若圆M 在x 轴与y 轴上截得的弦长总相等，则圆心M 的轨迹方程是 ( )A ．x －y ＝0B ．x ＋y ＝0C ．x 2＋y 2＝0D ．x 2－y 2＝010．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 ( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝011． 已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．12．求一个动点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点A (3,0)连线的中点M 的轨迹方程． 三、探究与拓展13．已知一圆过P (4，－2)、Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程．答案1．B 2.D 3．B 4．B 5．(0，－1) 6．－27．解 设所求轨迹上任一点M (x ，y )，圆的方程可化为(x －3)2＋(y －3)2＝4.圆心C (3,3)． ∵CM ⊥AM ，∴k CM ·k AM ＝－1， 即y －3x －3·y ＋5x ＋3＝－1， 即x 2＋(y ＋1)2＝25.∴所求轨迹方程为x 2＋(y ＋1)2＝25(已知圆内的部分)． 8．解 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，所以圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D ； 令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，所以圆在y 轴上的截距之和为y 1＋y 2＝－E ；由题设，得x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝－(D ＋E )＝2，所以D ＋E ＝－2.① 又A (4,2)、B (－1,3)两点在圆上， 所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，② 1＋9－D ＋3E ＋F ＝0，③由①②③可得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12， 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0. 9．D 10．A12．解 设点M 的坐标是(x ，y )，点P 的坐标是(x 0，y 0)．由于点A 的坐标为(3,0)且M 是线段AP 的中点，所以x ＝x 0＋32，y ＝y 02，于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y . 因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动，所以点P 的坐标满足方程x 20＋y 20＝1，则(2x －3)2＋4y 2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝14.所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝14.13．解 设圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，①将P 、Q 的坐标分别代入①，得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＝－20 ②D －3E －F ＝10 ③令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0，④由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程④的两根． ∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝E 2－4F ＝48.⑤解②③⑤联立成的方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2E ＝0F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10E ＝－8F ＝4.故所求方程为：x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0.。
第二章 直线和圆的方程(基础过关)(原卷版)附答案.pdf
第二章直线和圆的方程基础过关卷班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单项选择题：（本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
）1.过三点A（1,﹣1）,B（1,4）,C（4,﹣2）的圆的方程是（ ）A．x2+y2﹣7x﹣3y+2＝0B．x2+y2+7x﹣3y+2＝0C．x2+y2+7x+3y+2＝0D．x2+y2﹣7x+3y+2＝02.点P,Q在圆x2+y2+kx﹣4y+3＝0上（k∈R）,且点P,Q关于直线2x+y＝0对称,则该圆的半径为（ ）A．B．C．1D．23.在圆M：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1＝0中,过点E（0,1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为（ ）A．6B．12C．24D．364.圆心为M（1,3）,且与直线3x﹣4y﹣6＝0相切的圆的方程是（ ）A．（x﹣1）2+（y﹣3）2＝9B．（x﹣1）2+（y﹣3）2＝3C．（x+1）2+（y+3）2＝9D．（x+1）2+（y+3）2＝35.直线y＝kx+3被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4截得的弦长为2,则直线的倾斜角为（ ）A．B．或C．或D．或6.直线l：mx﹣y+1﹣4m＝0（m∈R）与圆C：x2+（y﹣1）2＝25交于两点P、Q,则弦长|PQ|的取值范围是（ ）A．[6,10]B．[6,10）C．（6,10]D．（6,10）7.已知点M为直线x+y﹣3＝0上的动点,过点M引圆x2+y2＝1的两条切线,切点分别为A,B,则点P（0,﹣1）到直线AB的距离的最大值为（ ）A．B．C．D．8. 已知点P（x,y）是直线kx+y+2＝0（k＞0）上一动点,PA、PB是圆C：x2+y2﹣2x＝0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为（ ）A．2B．C．D．二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分,共20分。
(完整版)圆的一般方程练习题
(限时：10分钟)1 .若圆x2 + y 2— 2x — 4y = 0的圆心到直线x — y + a = 0的距离为 誓，则a 的值为()1 3A . — 2 或 2 B.2或2C . 2 或 0D . — 2 或 0解析：圆的标准方程为(x — 1)2 + (y — 2)2 = 5,圆心为(1,2)，圆心2. 若圆x 2+ y 2 — 2ax + 3by = 0的圆心位于第三象限，那么直线x + ay + b = 0 一定不经过( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解析：圆心为a ,— 2b ，则有a<0, b>0.直线x +ay + b = 0变为1 b 1 by = — ?—二由于斜率—a>0,在y 轴上截距—b >0,故直线不经过第 a a aa四象限.答案：D3. 直线y = 2x + b 恰好平分圆x 2 + y 2 + 2x —4y = 0,则b 的值为()A . 0B . 2C . 4D . 1解析：由题意可知，直线y = 2x + b 过圆心(—1,2),••• 2=2X (— 1)+ b , b = 4.答案：C4. M(3,0)是圆x 2+ y 2 — 8x — 2y + 10=0内一点，过M 点最长的弦到直线的距离 答案：C解得a = 0或2.课时作业23圆的一般方程所在的直线方程为 ________ ,最短的弦所在的直线方程是 ________ .解析：由圆的几何性质可知，过圆内一点M的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM垂直的弦.易求出圆心为C(4,1),1 — 0k cM = = 1,二最短的弦所在的直线的斜率为—1,由点斜式，分 4-3别得到方程：y = x — 3 和 y = — (x — 3)，即 x —y — 3= 0 和 x + y —3= 0.答案：x — y — 3= 0 x + y — 3= 05. 求经过两点A(4,7), B(— 3,6),且圆心在直线2x + y — 5= 0上 的圆的方程.解析：设圆的方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ,其圆心为D E-2，- 2，42+ 72 + 4D +7E + F = 0,由题意得—3 2 + 62 — 3D + 6E + F = 0，D E2 • — 2 + —㊁—5 = 0.4D + 7E + F = —65,即 3D — 6E — F = 45,2D + E =— 10,D = — 2, 解得E = — 6,F =— 15.x 2 + y 2— 2x — 6y —课后练|小和沖课时作婕曰日洁KEHOULI^ I(限时：30分钟)1. 圆x2+ y2+ 4x—6y—3 = 0的圆心和半径分别为()A . (2, —3); 16 B. (—2,3); 4C. (4, —6); 16D. (2, —3); 4解析：配方，得(x+ 2)2+ (y—3)2= 16,所以，圆心为(—2,3), 半径为4.答案：B2. 方程x2+ y2+ 4x—2y+ 5m= 0表示圆的条件是()1A. 4<m<1B. m>11C. m<4D. m<1解析：由42+ (—2)2—4X5m>0解得m<1.答案：D3. 过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别是2和3的圆的 方程为()A . x 2+ y 2 — 2x — 3y = 0B . x 2 + y 2 + 2x — 3y = 0C . x 2 + y 2 — 2x + 3y = 0D . x 2+ y 2 + 2x + 3y = 0解析：解法一(排除法)：由题意知，圆过三点 0(0,0), A(2,0), B(0,3)，分别把A , B 两点坐标代入四个选项，只有 A 完全符合，故 选A.解法二(待定系数法)：设方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0,F = 0,则 2D + F = — 4,3E + F = — 9, 故方程为 x 2 + y 2 — 2x — 3y = 0.解法三(几何法):由题意知，直线过三点 0(0,0), A(2,0), B(0,3),由弦AB 所对的圆心角为90 °知线段AB 为圆的直径，即所求的 圆是以AB 中点1, 2为圆心，2|AB 匸乎为半径的圆，其方程为(x —1)2 + y — |2 =于2，化为一般式得 x 2 + y 2— 2x — 3y = 0.答案：A4. 设圆的方程是 x 2*? + 2ax + 2y +(a — 1)2 = 0,若 0<a<1,则原 点()A .在圆上B. 在圆外C. 在圆内D .与圆的位置关系不确定解析：圆的标准方程是(x + a)2 + (y +1)2= 2a ,因为0<a<1，所以 (0 + a)2 + (0+ 1)2— 2a = (a — 1)2>0，即 0+a 2+ 0+ 1 2> 2a ,所以D = — 2, 解得E = — 3,F = 0,原点在圆外.答案：B5. 已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍, 那么点M的轨迹方程是()A . x2+ y2= 32B . x2+ y2= 16C. (x- 1)2+ y2= 16D. x2+ (y-1)2= 16解析：设M(x, y)，贝S M 满足：x—8 2+ y2= 2 x —22+ y2，整理得x2+ y2= 16.答案：B6. 已知圆C: x2+ y2+2x+ ay—3= 0(a为实数)上任意一点关于直线I: x—y+ 2 = 0的对称点都在圆C上，贝S a= _______a解析：由题意可得圆C的圆心一1,—2在直线x—y+ 2= 0上, aa将—1,—2代入直线方程得—1——2+ 2 = 0,解得a= —2.答案：—2 ____7. 若实数x, y满足x2+ y2+ 4x—2y—4= 0,则寸x2+ y2的最大值是 ________ .关键是搞清式子寸x2+ y2的意义.实数x, y满足方程x2+ y2+ 4x —2y— 4 = 0,所以(x, y)为方程所表示的曲线上的动点，x2+ y2=.x—02+ y —02,表示动点(x, y)到原点(0,0)的距离.对方程进行配方，得(x+ 2)2+ (y—1)2= 9,它表示以C( —2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点在圆内.连接CO交圆于点M, N,由圆的几何性质可知，MO 的长即为所求的最大值.|CO|= — 2 2+ 12= . 5, |MO|=, 5 + 3.答案：5 + 38. _____________________ 设圆x2+ y2—4x + 2y—11 = 0的圆心为A,点P在圆上，则FA 的中心M的轨迹方程是.解析：设M的坐标为(x, y),由题意可知圆心A为(2,—1), P(2x—2,2y+1)在圆上，故(2x —2)2+ (2y + 1)2—4(2x—2) + 2(2 y + 1)—11 = 0,即x2+ y2—4x+2y+ 1 = 0.答案：x2+ y2—4x + 2y + 1 = 09. 设圆的方程为x2+ y2—4x—5= 0,(1)求该圆的圆心坐标及半径；⑵若此圆的一条弦AB的中点为P(3,1),求直线AB的方程.解析：(1)将x2+ y2—4x— 5 = 0 配方得：(x—2)2+ y2= 9.二圆心坐标为C(2,0),半径为r = 3.⑵设直线AB的斜率为k.由圆的几何性质可知，CP丄AB,二k cp •=—1.1 —0二k cp= = 1,3—2二k=— 1.直线AB的方程为y— 1 = —(x—3),即x+y —4= 0.10. 已知定点0(0,0), A(3,0),动点P到定点O的距离与到定点1A的距离的比值是入,求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线.解析：设动点P的坐标为(x, y),则由.?|PO| = |PA|,得X x2+ y2) = (x—3)2+ y2,整理得：(X- 1)x2+ ( —1)y2+ 6x—9= 0.•/ X0,•••当后1时，方程可化为2x —3= 0,故方程表示的曲线是线段当X1时，方程可化为即方程表示的曲线是以3—X_ 1, 0为圆X—：i为半径的圆. OA的垂直平分线;x+ 2。
高中数学选择性必修一：2.4.2圆的一般方程精选考点提升训练
第二章 2.4.2圆的一般方程A 级——基础过关练1．已知圆C 过点M (1,1)，N (5,1)，且圆心在直线y ＝x －2上，则圆C 的方程为( ) A ．x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0 B ．x 2＋y 2＋6x －2y ＋6＝0 C ．x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋6＝0D ．x 2＋y 2－2x －6y ＋6＝0【答案】A 【解析】MN 的垂直平分线方程为x ＝3.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －2，x ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，所以圆心坐标为(3,1)．又r ＝3－12＋1－12＝2，所以圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0.2．方程x 2＋y 2＋2ax －2y ＋a 2＋a ＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤1 B ．a <1 C ．a >1D ．0<a <1【答案】B 【解析】由D 2＋E 2－4F >0，得(2a )2＋(－2)2－4(a 2＋a )>0，即4－4a >0，解得a <1.3．已知圆的圆心为(－2,1)，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋4x －2y －5＝0B ．x 2＋y 2－4x ＋2y －5＝0C ．x 2＋y 2＋4x －2y ＝0D ．x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0【答案】C 【解析】设直径的两个端点分别A (a,0)，B (0，b )，圆心C 为(－2,1)，由中点坐标公式得a ＋02＝－2，0＋b2＝1，解得a ＝－4，b ＝2，∴半径r ＝－2＋42＋1－02＝ 5.∴圆的方程是(x ＋2)2＋(y －1)2＝5，即x 2＋y 2＋4x －2y ＝0.4．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43B ．－34C ．3D ．2【答案】A 【解析】圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0化为标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，故圆心为(1,4)，d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.5．已知点E (1,0)在圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0的外部，则k 的取值范围是________． 【答案】⎝⎛⎭⎫35，1 【解析】方程表示圆的条件是(－4)2＋22－4×5k >0，即k <1；点E 在圆的外部的条件为12＋02－4×1＋2×0＋5k >0，解得k >35，所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫35，1. 6．动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为________．【答案】x 2＋y 2＝16 【解析】设P (x ，y )，则由题意可知2x －22＋y 2＝x －82＋y 2，化简整理，得x 2＋y 2＝16.7．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0，AB 为圆C 的一条直径，点A (0,1)，则点B 的坐标为________．【答案】(2，－3) 【解析】由x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0，得(x －1)2＋(y ＋1)2＝5，所以圆心为C (1，－1)．设B (x 0，y 0)，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋0＝2，y 0＋1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，y 0＝－3，所以点B 的坐标为(2，－3)．8．若点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－2ay －4＝0的内部(不含边界)，则a 的取值范围是________．【答案】a <1 【解析】点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－2ay －4＝0的内部(不含边界)，则(a ＋1)2＋(a －1)2－2a (a －1)－4<0，解得a <1.9．求经过三点A (1，－1)，B (1,4)，C (4，－2)的圆的一般方程． 解：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将A ，B ，C 三点的坐标代入方程，得 ⎩⎪⎨⎪⎧D －E ＋F ＝－2，D ＋4E ＋F ＝－17，4D －2E ＋F ＝－20，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－7，E ＝－3，F ＝2，故所求的圆的一般方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0.10．已知圆经过点(4,2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程．解：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 因为圆经过点(4,2)和(－2，－6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4D ＋2E ＋F ＋20＝0①，2D ＋6E －F －40＝0②.设圆与x 轴的交点横坐标为x 1，x 2，它们是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两个根，得x 1＋x 2＝－D ．设圆与y 轴的交点纵坐标为y 1，y 2，它们是方程y 2＋Ey ＋F ＝0的两个根，得y 1＋y 2＝－E .由已知，得－D ＋(－E )＝－2，即D ＋E －2＝0③. 联立①②③，解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20. 所以所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0.B 级——能力提升练11．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1B ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1C ．(x －2)2＋(y －2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －1)2＝1【答案】A 【解析】圆C 1的圆心为C 1(－1,1)，设圆C 2的圆心为C 2(a ，b )，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －12－b ＋12－1＝0，b －1a ＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.又圆C 2的半径与圆C 1的半径相等，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.12．(多选)已知方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4＋9＝0表示一个圆，则实数m 可能的取值为( )A ．－1B ．0C ．12D ．75【答案】BC 【解析】由题意可得4(m ＋3)2＋4×(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)>0，所以(7m ＋1)(m －1)<0，解得－17<m <1.故选BC ．13．设A 为圆C ：(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程是____________．【答案】(x －1)2＋y 2＝2 【解析】如图，设P (x ，y )，则|PC |＝x －12＋y 2＝|AC |2＋|P A |2＝2，即(x －1)2＋y 2＝2.14．若点M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －4y ＋10＝0内一点，则过点M (3,0)的最长的弦所在的直线方程是________．【答案】2x －y －6＝0 【解析】圆x 2＋y 2－8x －4y ＋10＝0的圆心坐标为(4,2)，则过点M (3,0)且过圆心(4,2)的弦最长．由k ＝2－04－3＝2，所以所求方程为y ＝2(x －3)，即2x －y －6＝0.15．已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 中点M 的轨迹方程． 解：(1)方法一，设顶点C (x ，y )． 因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1.又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，且k AC ·k BC ＝－1，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.所以直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)． 方法二，同方法一得x ≠3且x ≠－1. 由勾股定理得|AC |2＋|BC |2＝|AB |2， 即(x ＋1)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝16， 化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.所以直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)． 方法三，设AB 中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)． 由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，以2为半径长的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)． 设C (x ，y )，则直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)． (2)设点M (x ，y )，点C (x 0，y 0)， 因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式，得x ＝x 0＋32(x ≠3且x ≠1)，y ＝y 02，于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 在圆(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)上运动， 将x 0，y 0代入该方程得(2x －4)2＋(2y )2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.所以动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(x ≠3且x ≠1)．16．等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边一个端点是B (3,5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．解：设另一端点C 的坐标为(x ，y )． 依题意，得|AC |＝|AB |， 所以x －42＋y －22＝4－32＋2－52，整理得(x －4)2＋(y －2)2＝10.此为以点A (4,2)为圆心、10为半径的圆，如图所示．又因为A ，B ，C 为三角形的三个顶点，所以A ，B ，C 三点不共线， 即点B ，C 不能重合且B ，C 不能为圆A 的一直径的两个端点． 因为B ，C 不能重合，所以点C 不能为(3,5)． 又因为B ，C 不能为一直径的两个端点，所以x ＋32≠4，或y ＋52≠2，即点C 不能为(5，－1)．故端点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))， 它的轨迹是以点A (4,2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．C 级——探究创新练17．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则圆心为________，半径为________．【答案】(－1,1)5 【解析】由题意可得圆C 的圆心⎝⎛⎭⎫－1，－a2在直线x －y ＋2＝0上，将⎝⎛⎭⎫－1，－a 2代入直线方程得－1－⎝⎛⎭⎫－a2＋2＝0，解得a ＝－2.故圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －2y －3＝0，即(x ＋1)2＋(y －1)2＝5，因此圆心为(－1,1)，半径为 5.18．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，及点Q (－2,3)． (1)P (a ，a ＋1)在圆上，求线段PQ 的长及直线PQ 的斜率； (2)若M 为圆C 上任一点，求|MQ |的最大值和最小值． 解：(1)因为点P (a ，a ＋1)在圆上， 所以a 2＋(a ＋1)2－4a －14(a ＋1)＋45＝0， 解得a ＝4，所以P (4,5)． 所以|PQ |＝4＋22＋5－32＝210，k PQ ＝3－5－2－4＝13.(2)因为圆心C 坐标为(2,7)， 所以|QC |＝2＋22＋7－32＝42，圆的半径是22，点Q 在圆外， 所以|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2.。
专题06 圆的方程(知识梳理+专题过关)(原卷版)
专题06圆的方程【知识梳理】1、圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中(),a b 为圆心，r 为半径．2、点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为(),C a b ，半径为r ，则有（1）若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-=（2）若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+->（3）若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<3、圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程．,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径．诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D Ex y =-=-．它表示一个点(,)22D E--．（2）当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．（3）当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆．4、用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：（1）根据题意，选择标准方程或一般方程．（2）根据已知条件，建立关于a b r 、、或D E F 、、的方程组．（3）解方程组，求出a b r 、、或D E F 、、的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．5、轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量,x y 之间的方程．（1）当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．（2）求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．（3）求轨迹方程的步骤：①建立适当的直角坐标系，用(,)x y 表示轨迹（曲线）上任一点M 的坐标；②列出关于,x y 的方程；③把方程化为最简形式；④除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；⑤作答．【专题过关】【考点目录】考点1：圆的标准方程考点2：圆的一般方程考点3：点与圆的位置关系考点4：二元二次方程表示的曲线与圆的关系考点5：定点问题考点6：轨迹问题【典型例题】考点1：圆的标准方程1．（2021·广东·深圳市南山区华侨城中学高二期中）已知以点()2,,0C t t R t t ⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ､B ，其中O 为坐标原点.(1)试写出圆C 的标准方程；(2)求证：OAB 的面积为定值；(3)设直线24y x =-+与圆C 交于M ，N 两点，若=OM ON ，求圆C 的标准方程.2．（2020·内蒙古·包头市第四中学高二期中）已知点(4,2)A 和(0,2)B -(1)求直线AB 的方程；(2)若圆C 经过,A B 两点，且圆心在直线23x y -=上，求圆C 的方程3．（2021·河北唐山·高二期中）圆心在直线2x －3y －1＝0上的圆与x 轴交于A （1，0）、B （3，0）两点，则圆的方程为________．4．（2022·上海金山·高二期中）过直线2x y +=与直线0x y -=的交点，圆心为(1,1)C -的圆的标准方程是_____.5．（2022·全国·高二期中）已知点()6,8C ，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程是______．6．（2021·江西省铜鼓中学高二期中（文））与圆224670x y x y +-++=同圆心且过点(1,1)P -的圆的方程是_____________．7．（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））圆22(1)(2)4x y -++=关于直线y x =对称的圆的方程为______________.8．（2021·云南·楚雄师范学院附属中学高二期中）已知ABC 顶点的坐标为43(5,2),()1,(,0)A B C ，，则其外接圆的标准方程为_________．9．（2021·福建宁德·高二期中）某圆经过()()010610A B ，，，两点，圆心在直线21x y -=上，则该圆的标准方程为（）A ．()()223534x y +++=B ．()()223534x y -++=C ．()()223534x y ++-=D ．()()223534x y -+-=考点2：圆的一般方程10．（2021·福建·厦门大学附属科技中学高二期中）已知ABC 的三个顶点分别为()()()4,0,0,2,2,2A B C --，求：(1)AB 边中线所在的直线方程(2)ABC 的外接圆的方程11．（2020·安徽·六安市城南中学高二期中（理））一圆经过A (4，2)，B (－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．12．（2021·四川成都·高二期中（理））在平面直角坐标系中，有()0,1A ，()2,1B ，()3,4C ，()1,D a -四点，若它们在同一个圆周上，则=a ________．13．（2020·上海·华师大二附中高二期中）已知三角形的三边所在直线为1x y +=-，21x y -=，23x y +=，则三角形的外接圆方程为________14．（2021·江苏无锡·高二期中）直线142xy+=与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直径的圆的方程为（）A ．22420x y x y +--=B ．224210x y x y +---=C ．224210x y x y +--+=D ．22240x y x y +--=15．（2021·重庆·巴南中学校高二期中）已知圆22620x y x y ++-=，则该圆的圆心和半径分别是（）．A ．()3,1--B ．()3,1-，10C ．()3,1-D ．()3,1-，1016．（2021·山西·太原市第六十六中学校高二期中）过点(2,1)M -，且经过圆224440x y x y +--+=与圆2240x y +-=的交点的圆的方程为（）A ．2260x y x y +++-=B ．2280x y x y ++--=C ．2220x y x y +-+-=D ．2240x y x y +---=考点3：点与圆的位置关系17．（2021·湖北宜昌·高二期中）若点()1,1A -在圆2220x y x y a +---=外，则实数a 的取值范围为（）A ．3a <B ．3a <-C ．534a <<D ．534a -<<考点4：二元二次方程表示的曲线与圆的关系18．（2021·全国·高二期中）已知关于x ，y 的二元二次方程()()2224232141690x y t x t y t +-++-++=．（1）当t 在什么范围内取值时，方程表示圆？（2）当t 为何值时，方程表示的圆的半径最大？求出半径最大时圆的方程．19．（2021·四川巴中·高二期中）已知方程[)()2222cos 4sin 4sin sin 100,2x y x y αααααπ+-⋅-⋅+-+=∈表示圆.(1)求α的取值范围.(2)求该圆半径的最大值.20．（2021·福建宁德·高二期中）已知方程222450x y mx y +-++=表示圆，则m 的取值范围是____________.21．（2021·山东省实验中学高二期中）若曲线222:245160C x y ax ay a +-++-=上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围是______．22．（2022·四川·泸县五中高二期中（文））已知点A （1，2）在圆C ：22220x y mx y ++-+=外，则实数m 的取值范围为（）A ．()()3,22,--+∞B ．()()3,23,--⋃+∞C ．()2,-+∞D ．()3,-+∞23．（2021·广东·湛江市第四中学高二期中）已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围是（）A ．(－∞，－1)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．3(,)2-+∞24．（2020·四川巴中·高二期中（文））若方程2222210x y ax a a +++-+=表示圆，则a 的取值范围为（）A ．0a ≠B ．0a >C ．1a >D ．12a >25．（2021·湖南·高二期中）若方程22210x y y m +-+-=表示圆，则实数m 的取值范围为（）A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．(),0∞-D ．()0,∞+26．（2021·重庆·高二期中）若方程2220x y kx k ++-+=表示圆，则k 的取值范围是（）A ．(1,7)B ．[1,7]C ．(,1)(7,)-∞+∞D ．(,1][7,)-∞⋃+∞考点5：定点问题27．（2021·全国·高二期中）已知动圆C 经过坐标原点O ，且圆心C 在直线:24l x y +=上.（1）求半径最小时的圆C 的方程；（2）求证：动圆C 恒过一个异于点O 的定点.28．（2020·湖南娄底·高二期中）已知曲线C ：()()2211480a x a y x ay +++-+=．（1）当a 取何值时，方程表示圆？（2）求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点．（3）当曲线C 表示圆时，求圆面积最小时a 的值．29．（2021·浙江省东阳市第二高级中学高二期中）点(),P x y 是直线250x y +-=上任意一点，O 是坐标原点，则以OP 为直径的圆经过定点（）A ．()0,0和()1,1B ．()0,0和()2,2C ．()0,0和()1,2D ．()0,0和()2,1考点6：轨迹问题30．（2021·安徽省六安中学高二期中（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线223y x x =--与两坐标轴的交点都在圆C 上.(1)求圆C 的方程；(2)已知O 为坐标原点，点A 在圆C 上运动，求线段OA 的中点M 的轨迹方程.31．（2020·四川巴中·高二期中（文））已知圆C 经过点A （3，1）、B （－1，3），且它的圆心在直线320x y --=上.(1)求圆C 的标准方程；(2)若点D 为圆C 上任意一点，且点E （3，0），求线段ED 中点M 的轨迹方程.32．（2021·四川巴中·高二期中）已知圆C 经过（-1，3），（5，3），（2，0）三点.(1)求圆C 的方程；(2)设点A 在圆C 上运动，点158,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，且点M 满足2AM MB =，求点M 的轨迹方程.33．（2021·云南·楚雄师范学院附属中学高二期中）已知圆22:4O x y +=上的一定点()2,0A ，点()1,1B 为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若90PBQ ∠=︒，求线段PQ 中点的轨迹方程．34．（2021·四川省江油市第一中学高二期中（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线223y x x =--与两条坐标轴的三个交点都在圆C 上.(1)求圆C 的方程；(2)若过点T （2，0）的直线l 与圆C 交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，求M 的轨迹方程.35．（2021·广东·广州奥林匹克中学高二期中）1.已知圆C 过点(2,3)-，(0,3)-，(0,1)-.(1)求圆C 的标准方程；(2)已知点P 是直线210x y +-=与直线210x y ++=的交点，过点P 作直线与圆C 交于点A ，B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.36．（2021·广东·珠海市第二中学高二期中）在平面直角坐标系xoy 中，已知ABC 的顶点(3,0)B -，(3,0)C ，且||2||AB AC =，(1)设ABC 的外接圆为M ，请写出M 周长最小时的M 标准方程．(2)设顶点(,)A x y ，求顶点A 的轨迹方程及ABC 面积的最大值．37．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高二期中）已知等腰三角形ABC 的一个顶点为()4,2A ，底边的一个端点为()3,5B ，求底边的另一个端点C 的轨迹方程，并说明它是什么图形．38．（2021·山西·侯马市第一中学校高二期中）已知圆C :()()22119x y -+-=，过点A (2，3)作圆C 的任意弦，则这些弦的中点P 的轨迹方程为________________.39．（2021·四川·树德中学高二期中（文））若两定点A ，B 的距离为3，动点M 满足2MA MB =，则M 点的轨迹围成区域的面积为（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π40．（2021·北京·牛栏山一中高二期中）已知点A 的坐标是（-1，0），点M 满足|MA |=2，那么M 点的轨迹方程是（）A ．x 2+y 2+2x -3=0B ．x 2+y 2-2x -3=0C ．x 2+y 2+2y -3=0D ．x 2+y 2-2y -3=0。
2020高中数学必修2同步练习：4.1.2 圆的一般方程含解析
4.1.2 圆的一般方程课时过关·能力提升一、基础巩固1.圆(x+1)2+(y-3)2=2化为一般方程是()A.x2+y2=6B.x2+y2+8=0C.x2+y2-2x+8y+6=0D.x2+y2+2x-6y+8=02.若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则实数k的取值范围是()A.RB.(-∞,1)C.(-∞,1]D.[1,+∞)+4-4×5k>0,解得k<1.3.过A(0,0),B(1,1),C(4,2)三点的圆的一般方程是()A.x2+y2+8x+6y=0B.x2+y2-8x-6y=0C.x2+y2+8x-6y=0D.x2+y2-8x+6y=0x2+y2+Dx+Ey+F=0.因为A(0,0),B(1,1),C(4,2)三点在圆上,则{,D+E+F+2=0,4D+2E+F+20=0,解得{D=-8,E=6,F=0,故所求圆的一般方程是x2+y2-8x+6y=04.若点P(1,1)在圆x2+y2+2x+4y+a=0外,则a的取值范围是()A.a<-8B.a>-8C.-8<a<5D.a<-8或a>5{20-4a >0,8+a >0,解得-8<a<5.5.在△ABC 中,若顶点B ,C 的坐标分别是(-2,0)和(2,0),中线AD 的长度是3,则点A 的轨迹方程是( )A .x 2+y 2=3B .x 2+y 2=4C .x 2+y 2=9(y ≠0)D .x 2+y 2=9(x ≠0)BC 的中点为D (0,0),由于|AD|为定长3,所以点A 在以D 为圆心,3为半径的圆上.由于点A 为△ABC 的一个顶点,所以点A 与点B ,C 不共线.故选C .6.若方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,4为半径的圆,则F= .{-D2=2,-E 2=-4, ∴D=-4,E=8.∵r 2=D 2+E 2-4F4=(-4)2+82-4F4=16,∴F=4.7.圆x 2+4x+y 2=0关于y 轴对称的圆的一般方程是 .C (-2,0),半径r=2,点C 关于y 轴的对称点为C'(2,0),则已知圆关于y 轴对称的圆的方程为(x-2)2+y 2=4,即x 2+y 2-4x=0.2+y 2-4x=08.已知动点M 到点A (-4,0)的距离是它到点B (2,0)的距离的2倍,则动点M 的轨迹方程是 .M 的坐标为(x ,y ),则|MA|=2|MB|,即√(x +4)2+y 2=2√(x -2)2+y 2,整理得x 2+y 2-8x=0.故所求动点M 的轨迹方程为x 2+y 2-8x=0.2+y 2-8x=09.判断下列方程是否表示圆,若是,将其化成标准方程:(1)x 2+y 2+2x+1=0;(2)x 2+y 2+2ay-1=0;(3)x 2+y 2+20x+121=0;(4)x 2+y 2+2ax=0.原方程可化为(x+1)2+y 2=0,它表示点(-1,0),不表示圆.(2)原方程可化为x 2+(y+a )2=a 2+1,它表示圆心为(0,-a ),半径为√a 2+1的圆,标准方程为x 2+(y+a )2=a 2+1.(3)原方程可化为(x+10)2+y 2=-21<0,即方程不表示任何曲线,故不能表示圆.(4)原方程可化为(x+a )2+y 2=a 2.①当a=0时,方程表示点(-a ,0),不表示圆;②当a ≠0时,方程表示以(-a ,0)为圆心,半径为|a|的圆,标准方程为(x+a )2+y 2=a 2.10.求过三点A (0,5),B (1,-2),C (-3,-4)的圆的方程.x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.因为点A ,B ,C 在圆上,把它们的坐标依次代入上面的方程,整理得到关于D ,E ,F 的三元一次方程组{5E +F +25=0,D -2E +F +5=0,3D +4E -F -25=0,解这个方程组,得{D =6,E =-2,F =-15.于是得到所求圆的方程为x 2+y 2+6x-2y-15=0二、能力提升1.已知直线3x+4y-24=0与坐标轴的两个交点及坐标原点都在一个圆上,则该圆的半径为( )A.3B.4C.5D.62.当a 为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C ,则以C 为圆心,半径为√5的圆的方程为( )A.x 2+y 2-2x+4y=0B.x 2+y 2+2x+4y=0C.x 2+y 2+2x-4y=0D.x 2+y 2-2x-4y=0a=0,a=1,得方程组{-x -y +1=0,-y +2=0,解得{x =-1,y =2,所以定点C 的坐标为(-1,2).则圆C 的方程为(x+1)2+(y-2)2=5,即x 2+y 2+2x-4y=0.★3.若直线l :ax+by+1=0始终平分圆M :x 2+y 2+4x+2y+1=0的周长,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为 ( )A .√5B.5C.2√5D.10l 过圆心M (-2,-1),则-2a-b+1=0,即b=-2a+1.所以(a-2)2+(b-2)2=(a-2)2+(-2a+1-2)2=5a 2+5≥5,所以(a-2)2+(b-2)2的最小值为5.4.已知点A (1,2)在圆x 2+y 2+2x+3y+m=0内,则m 的取值范围是 .{12+22+2×1+3×2+m <0,22+32-4m >0,解得m<-13.-∞,-13)5.若使圆x 2+y 2+2x+ay-a-12=0(a 为实数)的面积最小,则a= .:r =12√22+a 2-4(-a -12)=12√4+a 2+4a +48=12√(a +2)2+48,所以当a=-2时,r min =12√48=2√3,即此时圆的面积最小.26.点P 是圆C :x 2+y 2-4x+2y-11=0上的任一点,PC 的中点是M ,试求动点M 的轨迹方程.M (x ,y ),由已知得圆心C (2,-1),则P (2x-2,2y+1).又点P 在圆C :x 2+y 2-4x+2y-11=0上,所以动点M 的轨迹方程为(2x-2)2+(2y+1)2-4(2x-2)+2(2y+1)-11=0,即x 2+y 2-4x+2y+1=0. ★7.一个等腰三角形底边上的高等于5,底边两端点的坐标分别是(-4,0)和(4,0),求它的外接圆的方程.(0,±5).当顶点坐标为(0,5)时,设三角形外接圆的方程是x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,则{25+5E +F =0,16-4D +F =0,16+4D +F =0,解之,得{D =0,E =-95,F =-16.所以外接圆的方程是x 2+y 2−95y −16=0.当顶点坐标为(0,-5)时,同理可得外接圆的方程x 2+y 2+95y −16=0.故所求外接圆的方程为x 2+y 2−95y −16=0或x 2+y 2+95y −16=0.。
高中数学 课时分层作业20 圆的一般方程(含解析)苏教版必修2-苏教版高一必修2数学试题
课时分层作业(二十)(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值X 围是( ) A ．(－∞，－1)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ A [方程可化为(x －1)2＋y 2＝－2k －2，只有－2k －2>0，即k <－1时表示圆．] 2．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0C [要将圆平分，只要直线经过圆心即可，圆心坐标为(1，2)．经验证只有C 中直线过点(1，2)．]3．已知动点M 到点(8，0)的距离等于点M 到点(2，0)的距离的2倍，那么点M 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝32 B ．x 2＋y 2＝16 C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16B [设M (x ，y )，则（x －8）2＋y 2＝2（x －2）2＋y 2，整理得x 2＋y 2＝16.]4．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0C [(a －1)x －y ＋a ＋1＝0可化为(－x －y ＋1)＋a (1＋x )＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，x ＋1＝0，得C (－1，2)． ∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5. 即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.]5．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个C [∵圆心(－1，－2)，r ＝22， 又圆心到直线的距离d ＝2， ∴共有3个点．] 二、填空题6．动圆x 2＋y 2－2x －k 2＋2k －2＝0的半径的取值X 围是____________． [2，＋∞) [圆的半径r ＝124＋4（k 2－2k ＋2）＝k 2－2k ＋3＝（k －1）2＋2≥ 2.]7．圆x 2＋y 2－4x －5＝0的弦AB 的中点为P (3，1)，则直线AB 的方程为________．x ＋y －4＝0 [圆(x －2)2＋y 2＝9，圆心C (2，0)，半径为3.AB ⊥CP ，k CP ＝1－03－2＝1， ∴k AB ＝－1，∴直线AB 的方程为y －1＝－1(x －3)，即x ＋y －4＝0.]8．若圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线l 1：x －y ＋4＝0和直线l 2：x ＋3y ＝0都对称，则D ＋E 的值为__________．4 [∵l 1，l 2过圆心，∴⎩⎪⎨⎪⎧－D 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＋4＝0，－D 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝－2，∴D ＋E ＝4.] 三、解答题9．设A (－c ，0)，B (c ，0)(c >0)为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a (a >0)，求P 点的轨迹．[解] 设动点P 的坐标为(x ，y )，由PA PB ＝a (a >0)，得（x ＋c ）2＋y 2（x －c ）2＋y2＝a 2， 化简得(1－a 2)x 2＋2c (1＋a 2)x ＋(1－a 2)c 2＋(1－a 2)·y 2＝0. 当a ＝1时，方程化为x ＝0；当a ≠1时，方程化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋a 2a 2－1c 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2ac a 2－12.所以当a ＝1时，点P 的轨迹为y 轴；当a ≠1时，点P 的轨迹是以点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2－1c ，0为圆心，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2ac a 2－1为半径的圆． 10．已知过点A (0，1)，且方向向量为a ＝(1，k )的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M ，N 两点．(1)某某数k 的取值X 围；(2)若O 为坐标原点，且OM →·ON →＝12，求k 的值．[解] (1)∵直线l 过点A (0，1)且方向向量a ＝(1，k )，∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 由|2k －3＋1|k 2＋1<1，得4－73<k <4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0， ∴x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2，∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1. ∴4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12， ∴4k （1＋k ）1＋k2＝4，解得k ＝1. [等级过关练]1．若圆C ：x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0过坐标原点，则实数m 的值为( )A ．2或1B ．－2或－1C ．2D ．1C [∵x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0表示圆，∴[－2(m －1)]2＋[2(m －1)]2－4(2m 2－6m ＋4)>0，∴m >1.又圆C 过原点，∴2m 2－6m ＋4＝0，∴m ＝2或m ＝1(舍去)，∴m ＝2.]2．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)所表示的曲线关于直线y ＝x 对称，则必有( )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．E ＝FD ．D ＝E ＝FA [由D 2＋E 2－4F >0知，方程表示的曲线是圆，其圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2在直线y ＝x 上，故D＝E .]3．方程x 2＋y 2－x ＋y ＋k ＝0表示一个圆，则实数k 的取值X 围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 [方程表示圆⇔1＋1－4k >0⇔k <12.]4．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__________．2 [如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则|OD |＝532＋（－4）2＝1.∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠OBD ＝30°，∴|OB |＝2|OD |＝2，即r ＝2.]5．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )表示的图形是圆． (1)求t 的取值X 围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3，4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值X 围．[解] (1)已知方程可化为(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－16t 4－9，∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1>0，由二次函数的图象解得－17<t <1.(2)由(1)知，r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝ ⎛⎭⎪⎫t －372＋167，∴当t ＝37∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，1时，r max ＝477，此时圆的面积最大，所对应的圆的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2472＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋13492＝167.(3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)·(4t 2)＋16t 4＋9<0时， 点P 恒在圆内，∴8t 2－6t <0，∴0<t <34.∴t 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34.。
圆的一般方程小册子带答案
基础过关1.方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为( )A.以(a ，b )为圆心的圆B.以(－a ，－b )为圆心的圆C.点(a ，b )D.点(－a ，－b )解析 原方程可化为(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ＝0，y ＋b ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a ，y ＝－b .∴表示点(－a ，－b ).答案 D2.若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( ) A. 5 B.5 C.2 5 D.10解析 直线l 过圆心C (－2，－1)，则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.答案 B3.当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A.x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B.x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C.x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D.x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析 直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0可化为(－x －y ＋1)＋a (1＋x )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，x ＋1＝0得C (－1，2). ∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.答案C4.已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6.若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________________.解析设圆心为M(x，y).由|AB|＝6，知圆M的半径长r＝3，则|MC|＝3，即（x－1）2＋（y＋1）2＝3，所以(x－1)2＋(y＋1)2＝9.答案(x－1)2＋(y＋1)2＝95.已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________.解析由题意知直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为(－1，2)，代入直线方程得b＝4，圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，所以a<5，由此得a－b<1.答案(－∞，1)6.已知圆的方程为x2＋y2－2x＝0，点P(x，y)在圆上运动，求2x2＋y2的最值.解由x2＋y2－2x＝0，得y2＝－x2＋2x≥0.所以0≤x≤2.又因为2x2＋y2＝2x2－x2＋2x＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，所以0≤2x2＋y2≤8.所以当x＝0，y＝0时，2x2＋y2有最小值0，当x＝2，y＝0时，2x2＋y2有最大值8.故2x2＋y2的最小值是0，最大值是8.7.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹.解 设B 点坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)，由于点C 的坐标是(4，3)且点C 是线段AB 的中点，所以4＝x 0＋x 2，3＝y 0＋y 2，于是有x 0＝8－x ，y 0＝6－y .①因为点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，所以点A 的坐标满足方程(x ＋1)2＋y 2＝4，即(x 0＋1)2＋y 20＝4，②把①代入②得(8－x ＋1)2＋(6－y )2＝4，整理得(x －9)2＋(y －6)2＝4.所以点B 的轨迹是以(9，6)为圆心，半径长为2的圆.能力提升8.已知两点A (－2，0)，B (0，2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 的面积最小值是( )A.3－ 2B.3＋ 2C.3－22D.3－22解析 直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，圆心到直线AB 的距离为d ＝|1－0＋2|2＝322，所以圆到直线AB 的最小距离为322－1，S △ABC ＝12×|AB |×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1 ＝3－ 2.答案 A9.已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14 解析 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则圆心在直线上，求得a ＋b ＝1，ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14，ab 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14，故选A. 答案 A10.若圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________.解析 r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2. 当k ＝0时，r 最大，此时圆面积最大，圆的方程可化为x 2＋y 2＋2y ＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1).答案 (0，－1)11.一光线从点A (1，1)出发，经y 轴反射到圆C ：(x －5)2＋(y －7)2＝4的最短路程等于________.解析 ∵A (1，1)关于y 轴对称点A ′(－1，1)，∴所求的最短路程为|A ′C |－2，|A ′C |＝62＋62＝6 2.∴所求的最短路程为62－2.答案 62－212.已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C ，D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程.解 (1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1，2). 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410，∴|P A |＝210，∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3，6)或P (5，－2).∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.创新突破13.已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝9，求经过点A (1，2)的圆的弦的中点P 的轨迹. 解 设动点P 的坐标为(x ，y )，当AP 斜率不存在时，中点P 的坐标为(1，0).当AP 的斜率存在时，设过点A 的弦为MN ，且M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).∵M ，N 在圆O 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝9， ①x 22＋y 22＝9， ②①－②得(x 1＋x 2)＋y 1－y 2x 1－x 2(y 1＋y 2)＝0(x 1≠x 2). 又∵点P 为中点，∴x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.又∵M ，N ，A ，P 四点共线，∴y 1－y 2x 1－x 2＝y －2x －1(x ≠1).∴2x ＋y －2x －1·2y ＝0，∴中点P的轨迹方程是x2＋y2－x－2y＝0，经检验，点(1，0)适合上式.综上所述，点P的轨迹是以(12，1)为圆心，以52为半径的圆.。
圆的一般方程(45分钟训练)
人教社数学A 版选择性必修第一册四基认知与能力训练45分钟系列知训23 圆的一般方程一、认知课标四基与能力要求：1.回顾确定圆的几何要素；2.在平面坐标系中，探索并掌握圆的一般方程，学会把圆的一般方程化为圆的标准方程，并确定圆的圆心和半径。
二、落实四基与提高能力训练（一）选择题1. 以圆04222=+-+y x y x 的圆心为圆心，半径为2的圆的方程为（A ）2)2()1(22=-+-y x （B ）4)2()1(22=-+-y x（C ）2)2()1(22=++-y x （D ）4)2()1(22=++-y x2. 下列各个方程表示的是以(3,-1)为圆心，以2为半径的圆的方程是（A ）02622=+-+y x y x （B ）032622=++-+y x y x（C ）062622=++-+y x y x （D ）082622=++-+y x y x3.当m 取不同的实数时，由方程08222=++++my mx y x 可以得到不同的圆，则(A) 这些圆的圆心都在直线x y 2=上 (B)这些圆的圆心都在直线x y 2-=上(C)这些圆的圆心都在直线x y 2=上或都在直线x y 2-=上(D)这些圆的圆心都不在同一条直线上4.已知圆的方程为02222=+-++my x y x ，则m 的取值范围是 （A ）(][)∞+-∞-，，22 （B ）），（），（∞+-∞-22（C ）），（），（∞+-∞-44 （D ）(][)∞+-∞-，，44 5. 已知直线l 过圆05622=+-+y y x 的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是（A ）20x y +-= （B ）20x y -+= （C ）30x y +-= （D ）30x y -+=6. 已知过点P (2，2) 的直线与圆04222=--+x y x 相切， 且与直线10ax y -+=垂直， 则a = （A ）12- （B ）1 （C ）2 （D ） 12（二）填空题7. 过点A (0,1)且将圆014222=+--+y x y x 平分的直线方程为 ；8. 已知圆的方程为422=+y x ，线段AB 的端点A (2,0)，端点B 在圆上运动，则线段AB 中点的轨迹方程为 ；9.圆0c 2422=++-+y x y x 与y 轴交于A,B 两点，圆心为P ，且 90=∠APB ,则c 的值是 ；10.圆C 1:422=+y x 与圆C 2：062622=++-+y x y x 关于直线l 对称，则直线l 的方程为 ；（三）解答题11. 已知点（m +1,m -1）在圆022222=-+-+y x y x 的外部，求m 的取值范围。
§4.1.2圆的一般方程基础知识过关检测
§4.1.2 圆的一般方程基础知识过关检测姓名 评价1. 当2240D E F +->时,方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程,其中圆心为 , 半径为 .说明：（1）方程220x y Dx Ey F ++++=不一定表示圆,当且仅当 时表示圆.（2）当 时，方程表示一个点（-2D ，-2E ）. （3）当 时，方程无实数解，不表示任何图形.2. 用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤：（1）根据题意,选择标准方程或一般方程；（2）根据条件列出关于,,a b r 或,,D E F 的方程组；（3）解出,,a b r 或,,D E F ,代入标准方程或一般方程.3. 点),(00y x M 与圆022=++++F Ey Dx y x 的位置关系： M 在圆内⇔220000x y Dx Ey F ++++ 0；M 在圆上⇔220000x y Dx Ey F ++++ 0；M 在圆外⇔220000x y Dx Ey F ++++ 0.4. 圆22410x y x +--=的圆心坐标及半径分别为( ) A. (2,0),5 B. (2,0), 5 C. (0,2), 5 D. (2,2),55. 如果2220x y x y k +-++=是圆的方程,则实数k 的取值范围是（ ）A. 5k <B. 54k <C. 32k <D. 32k > 6. 方程220x y Dx Ey F ++++=表示(2,1)为圆心,4为半径的圆,则D = ，E = ， F = .7. 将一般方程222410x y x y ++++=化为标准方程为_________ .8. 直线y x b =+平分圆228280x y x y +-++=的周长，则b =（ ）A ．3B ．5C ．－3D ．－5 9. 若圆04222=--+y x y x 的圆心到直线0=+-a y x 的距离为22,则a 的值为（ ） A ．-2或2 B ．2321或C ．2或0D ．-2或0能力提升1. 以),(),(2211y x B y x A 、为直径端点的圆方程为 .2. （1）若圆222)()(r b y a x =-+-与x 轴相切，则 ；（2）若圆222)()(r b y a x =-+-与y 轴相切，则 .3. 若圆220x y Dx Ey F ++++=关于x 轴对称，则 ；（1）若圆220x y Dx Ey F ++++=关于y 轴对称，则 ；（2）若圆220x y Dx Ey F ++++=关于x y =轴对称，则 .4. 若}43,1,0,2{-∈a ，方程0122222=-+++++a a ay ax y x 表示的圆的个数为（ ）A ．0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个5. 方程220x y Dx Ey F ++++=表示的圆与x 轴相切于原点，则( )A ．0,0,0≠==F E DB ．0,0,0≠==E F DC ．0,0,0≠==D FE D ．0,0,0≠≠=F E F6. 与两坐标轴都相切，且过点（2，1）的圆的方程为 .7. 关于方程02222=-++ay ax y x 表示的圆,下列叙述中:①关于直线0x y +=对称；②其圆心在x 轴上；③过原点；④半径为a 2.其中叙述正确的是 （要求写出所有正确命题的序号）.8. ABC ∆的三个顶点的坐标分别为)1,6(),1,2(),3,2(----C B A ，以原点为圆心的圆与三角形有唯一 的公共点，求圆的方程.9. 一圆与y 轴相切，圆心在直线30x y -=上，且直线y x =截圆所得弦长为，求此圆的方程.10. 设方程()()2224232141690x y m x m y m +-++-++=.（1）当且仅当x 在什么范围内，该方程表示一个圆；（2）当x 在以上范围内变化时，求半径最大的圆的方程；（3）求圆心的轨迹方程.§4.1.2 圆的一般方程基础知识过关检测姓名 评价1. 当2240D E F +->时,方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程,其中圆心为 , 半径为 .说明：（1）方程220x y Dx Ey F ++++=不一定表示圆,当且仅当 时表示圆.（2）当 时，方程表示一个点（-2D ，-2E ）. （3）当 时，方程无实数解，不表示任何图形.2. 用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤：（1）根据题意,选择标准方程或一般方程；（2）根据条件列出关于,,a b r 或,,D E F 的方程组；（3）解出,,a b r 或,,D E F ,代入标准方程或一般方程.3. 点),(00y x M 与圆022=++++F Ey Dx y x 的位置关系： M 在圆内⇔220000x y Dx Ey F ++++ 0；M 在圆上⇔220000x y Dx Ey F ++++ 0；M 在圆外⇔220000x y Dx Ey F ++++ 0.4. 圆22410x y x +--=的圆心坐标及半径分别为( ) A. (2,0),5 B. (2,0), 5 C. (0,2), 5 D. (2,2),55. 如果2220x y x y k +-++=是圆的方程,则实数k 的取值范围是（ ）A. 5k <B. 54k <C. 32k <D. 32k > 6. 方程220x y Dx Ey F ++++=表示(2,1)为圆心,4为半径的圆,则D = ，E = ， F = .7. 将一般方程222410x y x y ++++=化为标准方程为_________ .8. 直线y x b =+平分圆228280x y x y +-++=的周长，则b =（ ）A ．3B ．5C ．－3D ．－5 9. 若圆04222=--+y x y x 的圆心到直线0=+-a y x 的距离为22,则a 的值为（ ） A ．-2或2 B ．2321或C ．2或0D ．-2或0能力提升1. 以),(),(2211y x B y x A 、为直径端点的圆方程为0))(())((2121=--+--y y y y x x x x2. （1）若圆222)()(r b y a x =-+-与x 轴相切，则r b =||;（2）若圆222)()(r b y a x =-+-与y 轴相切，则r a =||3. 若圆220x y Dx Ey F ++++=关于x 轴对称，则0=E ；（1）若圆220x y Dx Ey F ++++=关于y 轴对称，则0=D ；（2）若圆220x y Dx Ey F ++++=关于x y =轴对称，则E D =；4. 若}43,1,0,2{-∈a ，方程0122222=-+++++a a ay ax y x 表示的圆的个数为（ ）.A ．0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个解析:B 0)12(4)2(222>-+-+a a a a 得322<<-a ，满足条件的a 只有一个， 方程0122222=-+++++a a ay ax y x 表示的圆的个数为1.5. 方程220x y Dx Ey F ++++=表示的圆与x 轴相切于原点，则( )A ．0,0,0≠==F E DB ．0,0,0≠==E F DC ．0,0,0≠==D F ED ．0,0,0≠≠=FEF 解析：圆心(,)22D E --在y 轴上，0=∴D ，又圆经过原点，0=∴F 6. 与两坐标轴都相切，且过点（2，1）的圆的方程为 解析: 1)1()1(22=-+-y x 或25)5()5(22=-+-y x7. 关于方程02222=-++ay ax y x 表示的圆,下列叙述中:①关于直线0x y +=对称；②其圆心在x 轴上；③过原点；④半径为a 2.其中叙述正确的是 （要求写出所有正确命题的序号）.解析: ①③④ 圆心为),(a a -,半径为||2a ,故①③④正确8. ABC ∆的三个顶点的坐标分别为)1,6(),1,2(),3,2(----C B A ，以原点为圆心的圆与三角形有唯一 的公共点，求圆的方程.解析：原点到三角形三边的最近距离是1，原点到三角形三个顶点的最远距离是37，故所求圆的方程为122=+y x 或3722=+y x9. 一圆与y 轴相切，圆心在直线30x y -=上，且直线y x =截圆所得弦长为，求此圆的方程.【解题思路】因题目条件与圆心、半径关系密切，选择圆的标准方程，与弦长有关的问题，一般要利用弦心距、半径、半弦长构成的“特征三角形”[解析]：因圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y =0上，故设圆方程为（x －3b ）2+（y －b ）2=9b 2.又因为直线y =x 截圆得弦长为27， 则有（2|3|b b -）2+（7）2=9b 2， 解得b =±1.故所求圆方程为（x －3）2+（y －1）2=9或（x +3）2+（y +1）2=9.【名师指引】在求圆的方程时，应当注意以下几点：（1）确定用圆的标准方程还是一般方程；（2）运用圆的几何性质（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a 、b 、r 或D 、E 、F ；（3）在待定系数法的应用上，列式要尽量减少未知量的个数.10. 设方程()()2224232141690x y m x m y m +-++-++=.（1）当且仅当x 在什么范围内，该方程表示一个圆；（2）当x 在以上范围内变化时，求半径最大的圆的方程；（3）求圆心的轨迹方程.解析:（1）由2240D E F +->得：22244(3)4(14)4(169)0m m m ++--+>， 化简得：27610m m --<，解得：117m -<<。
圆的一般方程(基础过关练习)-2023学年高二上学期数学人教B版(2019)选择性必修第一册
2.3.2圆的一般方程（基础过关）题型一：理解圆的一般方程1、圆(x+1)2+(y−3)2=2的一般方程是（）A.x2+y2=6B.x2+y2+8=0C.x2+y2−2x+8y+6=0D.x2+y2+2x−6y+8=02、圆x2+y2+4x−6y−3=0的标准方程是（）A.(x−2)2+(y−3)2=16B.(x−2)2+(y+3)2=16C.(x+2)2+(y−3)2=16D.(x+2)2+(y+3)2=163、已知点A(1，2)在圆C：x2+y2+2x+3y+m=0外，则实数m的取值范围是（）A.(−13，+∞)B.(−13，134)C.(−∞，134)D.(−∞，−13)∪(134，+∞)4、若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x−4y=0的圆心，则a的值为（）A.−1B.1C.3D.−35、圆的方程为(x−1)(x+2)+(y−2)(y+4)=0，则圆心坐标为（）A.(1，−1)B.(12，−1)C.(−1，2)D.(−12，−1)6、如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为7、圆的方程为x2+y2+2ax−2ay=0，给出下列叙述：①圆心在直线y=−x上；②圆心在x轴上；③过原点；④半径为√2a，其中叙述正确的是题型二：求圆的一般方程8、过点A(1，√5)和B(2，−2√2)，且圆心在x轴上的圆的一般方程为（）A.x2+y2−6y=0B.x2+y2+6y=0C.x2+y2+6x=0D.x2+y2−6x=09、经过三点(0，0)、(1，1)、(2，0)的圆的一般方程为10、圆心在直线y=x上，且经过点A(−1，1)、B(3，−1)的圆的一般方程是11、求过点(−1，1)，且圆心与圆x2+y2−6x−8y+15=0的圆心相同的圆的方程12、已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆心在直线x+y−1=0上，且圆心在第二象限，半径为√2，求圆的一般方程题型三：圆的一般方程的应用13、已知圆C：x2+y2+mx−4=0上存在两点关于直线x−y+3=0对称，则实数m的值为（）A.8B.−4C.6D.无法确定14、已知两定点A(−2，0)、B(1，0)，如果动点P满足|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（）A.πB.4πC.8πD.9π15、已知圆C：x2+y2−4x−14y+45=0及点Q(−2，3)（1）若点P(a，a+1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率（2）若M为圆C上的任一点，求|MQ|的最大值和最小值。
高中数学 第二章 2.3.1圆的标准方程基础过关训练 新人
§2.3圆的方程2．3.1 圆的标准方程一、基础过关1． (x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心与半径分别为( )A．(－1,2)，2 B．(1，－2)，2C．(－1,2)，4 D．(1，－2)，42．点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( ) A．在圆内B．在圆外C．在圆上D．不确定3．圆的一条直径的两个端点是(2,0)，(2，－2)，则此圆的方程是( ) A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝14．圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝33x的距离为( )A.12B.32C．1 D. 35．圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________．6．圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋2y－3＝0对称的圆的方程是________________．7．求满足下列条件的圆的方程．(1)经过点P(5,1)，圆心为点C(8，－3)；(2)经过点P(4,2)，Q(－6，－2)，且圆心在y轴上．8．求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程．二、能力提升9．方程y＝9－x2表示的曲线是( ) A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．半个圆10．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．如果直线l将圆(x－1)2＋(y－2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是______．12．平面直角坐标系中有A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？三、探究与拓展13．已知点A(－2，－2)，B(－2,6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最值．答案1．A 2．B 3．B 4.A5．5＋ 2 6.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1952＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －352＝1 7．解 (1)圆的半径r ＝|CP |＝5－82＋1＋32＝5，圆心为点C (8，－3)， ∴圆的方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝25.(2)设所求圆的方程是x 2＋(y －b )2＝r 2.∵点P 、Q 在所求圆上，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 16＋2－b 2＝r 2，36＋2＋b 2＝r 2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ r 2＝1454，b ＝－52.∴所求圆的方程是x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋522＝1454.8．解 由题意知线段AB 的垂直平分线方程为3x ＋2y －15＝0，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y －15＝0，3x ＋10y ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝7，y ＝－3.∴圆心C (7，－3)，半径r ＝|AC |＝65.∴所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65.9．D 10．D11．[0,2]12．解 能．设过A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.将A ，B ，C 三点的坐标分别代入有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋1－b 2＝r 2，2－a 2＋1－b 2＝r 2，3－a 2＋4－b 2＝r 2，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝3，r ＝ 5.∴圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.将D (－1,2)代入上式圆的方程，得(－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5，即D点坐标适合此圆的方程．故A，B，C，D四点在同一圆上．13．解设P(x，y)，则x2＋y2＝4.|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2＝3(x2＋y2)－4y＋68＝80－4y.∵－2≤y≤2，∴72≤|PA|2＋|PB|2＋|PC|2≤88.即|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88，最小值为72.。
基础练习-圆的一般方程
2.3.2 圆的一般方程一、选择题1．圆的方程为(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0，则圆心坐标为( )A ．(1，－1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1C ．(－1,2)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1 2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是( )A ．a <－2或a >23B ．－23<a <2 C ．－2<a <0 D ．－2<a <233．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的周长等于( ) A.2π B ．2π C ．22π D ．4π4．方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示的图形是( )A ．一个点B ．一个圆C ．一条直线D ．不存在5．若直线mx ＋2ny －4＝0始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0的周长，则mn 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]6．如果圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)关于直线y ＝x 对称，则有( )A ．D ＋E ＝0B ．D ＝EC ．D ＝F D ．E ＝F7．如果直线l 将圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0平分，且不通过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是( )A ．[0,3]B ．[0,1]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13 8．已知圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标是( )A ．(0，－1)B ．(1，－1)C ．(－1,0)D ．(－1,1)二、填空题9．点P (1，－2)和圆C ：x 2＋y 2＋m 2x ＋y ＋m 2＝0的位置关系是________10．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F ＝________.11．若x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0，则点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的12．已知圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0上一点P(a，b)，则a2＋b2的最小值是________．三、解答题13．经过两点P(－2,4)、Q(3，－1)，且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程．14．圆C通过不同三点P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1)，已知圆C在点P的切线的斜率为1，试求圆C的方程．15．求经过点A(－2，－4)且与直线l：x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．16．已知圆经过点(4,2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的标准方程．1. [答案] D[解析] 圆的方程(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0可化为x 2＋y 2＋x ＋2y －10＝0，∴圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1. 2. [答案] D[解析] 由题知a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，即(3a －2)(a ＋2)<0，因此－2<a <23.3. [答案] C[解析] 圆的方程x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0可化为(x －1)2＋(y ＋3)2＝2，∴圆的半径r ＝2，故周长l ＝2πr ＝22π.4. [答案] A[解析] 方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0，可化为x 2＋y 2－2x ＋4y ＋5＝0，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝0，∴方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示点(1，－2)．5. [答案] D[解析] 可知直线mx ＋2ny －4＝0过圆心(2,1)，有2m ＋2n －4＝0，即n ＝2－m ，则mn ＝m ·(2－m )＝－m 2＋2m ＝－(m －1)2＋1≤1.6. [答案] B[解析] 由圆的对称性知，圆心在直线y ＝x 上，故有－E 2＝－D 2，即D ＝E .7. [答案] A[解析] l 过圆心C (1,3)，且不过第四象限．由数形结合法易知：0≤k ≤3.8. [答案] A[解析] 圆的半径r ＝124－3k 2，要使圆的面积最大，即圆的半径r 取最大值，故当k ＝0时，r 取最大值1，∴圆心坐标为(0，－1)．9. [答案] 在圆C 外部[解析] 将点P (1，－2)代入圆的方程，得1＋4＋m 2－2＋m 2＝2m 2＋3>0，∴点P 在圆C 外部．10. [答案] 4[解析] 由题意，知D ＝－4，E ＝8，r ＝(－4)2＋82－4F 2＝4，∴F ＝4. 11. [答案] 外部[解析] ∵x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0，∴点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的外部．12. [答案] 30－10 5[解析] 原点到圆心的距离为5，半径r ＝5，则a 2＋b 2最小值为(5－5)2＝30－10 5.13. [解析] 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P 、Q 两点的坐标分别代入，得⎩⎨⎧2D －4E －F ＝203D －E ＋F ＝－10①② 又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.由已知，|x 1－x 2|＝6(其中x 1，x 2是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根)，∴D 2－4F ＝36，③①、②、③联立组成方程组，解得⎩⎨⎧ D ＝－2E ＝－4F ＝－8， 或⎩⎨⎧D ＝－6E ＝－8F ＝0.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.14. [解析] 设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，∵点P (k,0)、Q (2,0)在圆上，∴k 、2为方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根．∴k ＋2＝－D,2k ＝F .即⎩⎨⎧ D ＝－(k ＋2)F ＝2k ，又因圆过点P (0,1)，故1＋E ＋F ＝0.∴E ＝－F －1＝－2k －1，故圆的方程为x 2＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0.∴圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋22，2k ＋12.又∵圆在点P 的切线斜率为1，∴2k ＋12－0k ＋22－k＝－1，即k ＝－3，从而D ＝1，E ＝5，F ＝－6.即圆的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0.15. [解析] 解法一：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2.∴k CB ＝6＋E 28＋D 2，由k CB ·k l ＝－1，得6＋E 28＋D 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1，①又有(－2)2＋(－4)2－2D －4E ＋F ＝0，②82＋62＋8D ＋6E ＋F ＝0.③由①②③联立可得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30.∴圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0.解法二：设圆的圆心为C ，则CB ⊥l ，从而可得CB 所在直线的方程为y －6＝3(x －8)，即3x －y －18＝0.①由于A (－2，－4)、B (8,6)，则AB 的中点坐标为(3,1)，又k AB ＝6＋48＋2＝1， ∴AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－(x －3)，即x ＋y －4＝0②由①②联立后，可解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝112y ＝－32.即圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫112，－32 ∴所求圆的半径r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫112－82＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋322＝1252. ∴所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1252. 16. [解析] 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.∵圆经过点(4,2)和(－2，－6)，∴⎩⎨⎧4D ＋2E ＋F ＋20＝0 ①2D ＋6E －F －40＝0 ②设圆在x 轴上的截距为x 1、x 2，它们是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两个根，得x 1＋x 2＝－D .设圆在y 轴上的截距为y 1、y 2，它们是方程y 2＋Dy ＋F ＝0的两个根，得y 1＋y 2＝－E .由已知，得－D ＋(－E )＝－2，即D ＋E －2＝0.③.由①②③联立解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴所求圆的一般方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，化为标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25.。
《圆的一般方程》基础训练
《圆的一般方程》基础训练一、选择题1圆224630x y x y ++--=的标准方程为 A ()()222316x y -+-= B ()()222316x y -++= C ()()222316x y ++-= D ()()222316x y +++=A 350x y --=B 370x y +-=C 350x y -+=D 350x y +-=4过()()()0,0,1,1,4,2A B C 三点的圆的一般方程是 A 22860x y x y +++= B 22860x y x y +--= C 22860x y x y ++-= D 22860x y x y +-+=5[2022江西吉安白鹭洲中学高二（上）月考]与圆224630+-++=x y x y 同心，且过点()1,1-的圆的方程是A 224680x y x y +-+-=B 224680x y x y +-++=C 224680x y x y ++--=D 224680x y x y ++-+=6若动圆M 在x 轴与y 轴上截得的弦长总相等，则圆心M 的轨迹方程是A 0x y -=B 0x y +=C 220x y +=D 220x y -=7圆2244100x y x y +---=上的点到直线140x y +-=的最大距离与最小距离的和是A 30CD8已知实数,x y 满足224240x y x y ++--=，则22x y +的最大值为B3+C14-D14+二、填空题9已知圆的方程是()2222220x y ax a y +-+-+=，则圆心的轨迹方程为三．解答题10[2022福建莆田一中高一（上）月考]已知方程()()2224232141690+-++-++=x y t x t y t 表示圆1求实数t 的取值范围； 2求该圆的半径r 的取值范围11[2022上海静安二模]圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于()()0,4,0,2A B --两点，求圆C 的方程12已知一个圆过点()()4,2,1,3A B -，且它在坐标轴上的截距之和为2，求此圆的方程13[2022浙江宁波镇海中学高一月考]已知点P 在圆22:86210C x y x y +--+=上运动，O 为坐标原点，求线段OP 的中点M 的轨迹方程14[2022福建漳州南靖一中高一（上）月考]已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足||2||PA PB =，求点P 的轨迹所围成的图形的面积15[2022安徽安庆高一（上）期末考试]已知M 为圆22:414450C x y x y +--+=上任意一点，且点()2,3Q -，求||MQ 的最大值和最小值16[2022湖南长沙麓山国际实验学校高一（下）月考]已知圆()()22:341C x y -+-=，点()()0,1,0,1A B -，设P 是圆C 上的动点，令22||||d PA PB =+，求d 的最大值及最小值参考答案 一、选择题 1 答案：C解析：将224630x y x y ++--=配方，易得()()222316x y ++-= 2 答案：B解析：将圆的一般方程22240x y x y ++-=化为标准方程，得()()22125x y ++-=，其圆心坐标为()1,2-因为直线30x y a ++=过圆心,所以()3120a ⨯-++=,所以1a =3 答案：A解析：由题意，可知点P 是圆C 外部一点，可得截得弦长最长的直线l 是由,P C 两点确定的直线圆22:240C x y x y +-+=的圆心为()1,2C -，所以直线l 的方程为122112y x --=---，350x y --= 4 答案：D解析：设所求的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，因为()()()0,0,1,1,4,2A B C 三点在圆上，则02042200F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩， 解得860D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，于是所求圆的一般方程是22860x y x y +-+=5 答案：B解析：设所求圆的方程为22460x y x y m +-++=，由该圆过点()1,1-,得8m =,所以所求圆的方程为224680x y x y +-++=6 答案：D解析：圆心M 的坐标(),x y 应满足y x =或,y x =-等价于220x y -=7 答案：C解析：作出圆2244100x y x y +---=与直线140x y +-=,如图所示由圆2244100x y x y +---=,知圆心坐标为()2,2,半径为的点到直线140x y +-==-=故最大距离与最小距离的和为选C8答案：D解析：由题意，知圆()()22219x y ++-=的圆心为()2,1-,半径3r =圆心()2,1-到坐标原点()0,0()22215-+=22x y +的最大值为(2351465=+二、填空题9答案：()201x y x +-=≠解析：因为方程()2222220x y ax a y +-+-+=表示圆，所以()()()22222242810a a a -+--⨯=->⎡⎤⎣⎦,即1a ≠易知圆心坐标为(),2a a -，且1a ≠设圆心坐标为(),x y ,则有2x ay a =⎧⎨=-⎩,消去a ，得()201x y x +-=≠，即为所求圆心的轨迹方程三．解答题 10答案：见解析解析：1方程()()2224232141690x y t x t y t +-++-++=表示圆，()()()22244341441690t t t ∴++--+>，即27610t t --<，解得117t -<<, 故实数t 的取值范围为1,1.7⎛⎫- ⎪⎝⎭2()()()22222423163141697617,77r t tt t t t ⎛⎫=++--+=-++=--+ ⎪⎝⎭2160,,,7r r ⎛⎛⎤∴∈∴∈ ⎥ ⎝⎦⎝⎦即r 的取值范围为⎛ ⎝⎦ 11．答案：见解析解析：设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=又圆心,22D E C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在直线270x y --=上，27022D E ⎛⎫⎛⎫∴⨯----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即702ED -+=① 又点()()0,4,0,2A B --在圆C 上，1640,420E F E F -+=⎧∴⎨-+=⎩②由①②，解得4,6,8D E F =-==,∴圆C 的方程为224680x y x y +-++=12答案：见解析解析：设该圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=,令0y =,得20x Dx F ++=,所以该圆在x 轴上的截距之和为12;x x D +=-；令0x =,得20y Ey F ++=,所以该圆在y 轴上的截距之和为12y y E +=-由题意，知()12122x x y y D E +++=-+=，所以2D E +=-①又()()4,2,1,3A B -两点在圆上，所以164420D E F ++++=,②1930D E F +-++=,③由①②③,得2,0,12D E F =-==-故所求圆的方程为222120x y x +--=13答案：见解析解析：设点(),M x y ,点()00,P x y ,则0022x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,002.2x xy y =⎧∴⎨=⎩点()00,P x y 在圆C 上，22000086210x y x y ∴+--+=,()()()()22228262210x y x y ∴+-⨯-⨯+=，即点M 的轨迹方程为22214304x y x y +--+= 14答案：见解析解析：设点P 的坐标为(),x y 已知两定点()()2,0,1,0A B -,如果动点P 满足||2||PA PB =,则()()2222241x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，即()2224x y -+=，所以点P 的轨迹是以()2,0为圆心,2为半径的圆，所以点P 的轨迹所围成的图形的面积为4π【教材拓展】我们把“平面内到两个定点的距离之比为正数()1λλ≠的点的轨迹”叫作圆的第二定义在解题时，运用圆的第二定义切入求解，常可使问题变得简捷15答案：见解析解析：由圆22:414450C x y x y +--+=，可得()()22278x y -+-=,∴圆心C 的坐标为()2,7,半径22r =又()()22||227342,QC =++-=∴点Q 在圆C 外部,max ||422262MQ ∴=+=，min ||422222MQ =-=16．答案：见解析解析：如图，设点P 的坐标为()00,x y ,()()()222222200000011222|| 2.d x y x y x y PO ∴=++++-=++=+问题转化为求点P 到原点O 的距离的最值O 在圆C 外,max min ||||1516,||||1514,PO CO PO CO ∴=+=+==-=-=22max min 26274,24234.d d ∴=⨯+==⨯+=。
高中试卷-【新教材精创】2.4.2 圆的一般方程 A基础练(含答案)
2.4.2圆的一般方程 -A 基础练一、选择题1．（2020·哈尔滨市一中高二期中）圆的方程为222100x y x y +++-=，则圆心坐标为（）A ．(1,1)-B ．1(,1)2-C ．(1,2)-D ．1(,1)2--【答案】D 【解析】将222100x y x y +++-=配方,化为圆的标准方程可得()2211451110244x y æö+++=++=ç÷èø,即可看出圆的圆心为1(,1)2--.故选：D.2.（2020全国高二课时练）已知圆C 的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆C 的方程为( )A.x 2+y 2-4x+6y+8=0B.x 2+y 2-4x+6y-8=0C.x 2+y 2-4x-6y=0D.x 2+y 2-4x+6y=0【答案】D【解析】易知圆C所以圆C 的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13,展开得一般方程为x 2+y 2-4x+6y=0.3.（2020山东泰安一中高二期中）曲线x 2+y 2+0关于( )A.直线B .直线y=-x 轴对称C .点(-中心对称D .点(中心对称【答案】B【解析】原方程化为(2+(2=4,表示以(为圆心,半径长为2的圆.又圆过原点,故原点与圆心的连线方程为y=-x ,圆关于此直线轴对称,故应选B.4．（2020银川一中高二期中）过点)的直线l 平分了圆：2240x y y +-=的周长，则直线l 的倾斜角为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】D【解析】由2240x y y +-=得圆标准方程是22(2)4x y +-=，知其圆心为()0,2；直线l 平分了圆：2240x y y +-=的周长，则此直线过圆的圆心()0,2，于是其斜率为k ==；所以其倾斜角为150°.故选：D ．5．（多选题）（2020山东菏泽三中高二期中）若点(1,-1)在圆x 2+y 2-x+y+m=0外,则下列可能为m 值的有( )A.14B.13C.12D.1【答案】AB【解析】x 2+y 2-x+y+m=0可化为x-122+y+122=12-m ,则12-m>0,解得m<12.因为点(1,-1)在圆外,所以1+1-1-1+m>0,即m>0,所以0<m<12.对照选择项,知AB 可能.6．（多选题）（2020山东泰安实验中学高二期中）已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于,A B 两点，弦AB 的中点为()0,1M ，则实数a 的取值可为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】AB【解析】圆C 的标准方程为：()()22125x y a ++-=-，故5a <.又因为弦AB 的中点为()0,1M ，故M 点在圆内，所以()()2201125a ++-<-即3a <.综上，3a <.故选：AB.二、填空题7．（2020·梅河口市第五中学高二月考）若32,0,1,4a ìüÎ-íýîþ，则方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示的圆的个数为______．【答案】1【解析】方程2222210x y ax ay a a +++++-= 即方程2223()124a x y a a a æö-++=--ç÷èø，可以表示以(2a ，)a -当2a =-时，圆心(1,2)、半径为0，不表示圆．当0a =时，圆心(0,0)、半径为1，表示一个圆．当1a =时，圆心1(2，1)-、23104a a --<，不表示圆．当34a =时，圆心3(8，34-、23104a a --<，不表示圆．综上可得，所给的方程表示的圆的个数为1，故答案为：1．8．（2020·内蒙古集宁一中高二期中）若方程220x y Dx Ey F ++++=表示以(2)4-，为圆心，4为半径的圆，则F 为_____．【答案】4【解析】因为方程220x y Dx Ey F ++++=表示以(2)4-，为圆心，4为半径的圆，所以2240224D E F D ì+->ïï-=ï=，解得484D E F =-ìï=íï=î，所以F 为4.9．（2019·绍兴鲁迅中学高二期中）已知圆C 的方程为22220x y x my +--=，若圆C 过点()0,2，则m =______．若圆心C 在直线20x y -=上．则m =______．【答案】1 2【解析】解：圆C 的方程为x 2+y 2﹣2x ﹣2my ＝0，若圆C 过点（0，2），则4﹣4m ＝0，解得m ＝1；圆的圆心（1，m ），圆心C 在直线2x ﹣y ＝0上，可得2﹣m ＝0，解得m ＝2；故答案为：1；2.10．（2019·攀枝花市第十五中学校高二月考）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在前人的基础上写了一部划时代的著作《圆锥曲线论》，该书给出了当时数学家们所研究的六大轨迹问题，其中之一便是“到两个定点的距离之比等于不为1的常数的轨迹是圆”，简称“阿氏圆”.用解析几何方法解决“到两个定点(00)O ,，(30)A ,的距离之比为12的动点M 轨迹方程是：22230x y x ++-=”，则该“阿氏圆”的半径是_____.【答案】2【解析】因为22230x y x ++-=，所以()2214x y ++=，所以半径为2.三、解答题11．（2020·全国高二课时练）已知ABC D 的顶点(2,8)C -，直线AB 的方程为211y x =-+，AC 边上的高BH 所在直线的方程为320x y ++=（1）求顶点A 和B 的坐标；（2）求ABC D 外接圆的一般方程.【解析】（1）由211320y x x y =-+ìí++=î可得顶点(7,3)B -,又因为AC BH ^得，13BH k =- 所以设AC 的方程为3y x b =+，将(2,8)C -代入得14b =-由211314y x y x =-+ìí=-î可得顶点为(5,1)A 所以A 和B 的坐标分别为(5,1)和(7,3)-（2）设ABC D 的外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，将(5,1)A 、(7,3)B -和(2,8)C -三点的坐标分别代入，得52607358028680D E F D E F D E F +++=ìï-++=íï-++=î，解得4612D E F =-ìï=íï=-î，所以ABC D 的外接圆的一般方程为2246120x y x y +-+-=.12.（2020全国高二课时练）圆C 过点A (6,0),B (1,5),且圆心在直线l :2x-7y+8=0上.(1)求圆C 的方程;(2)P 为圆C 上的任意一点,定点Q (8,0),求线段PQ 中点M 的轨迹方程.【解析】 (1)(方法1)直线AB 的斜率k=5-01-6=-1,所以线段AB 的垂直平分线m 的斜率为1.线段AB 的中点的横坐标和纵坐标分别为x=612=72,y=052=52.因此,直线m 的方程为y-52=x-72,即x-y-1=0.又圆心在直线l 上,所以圆心是直线m 与直线l 的交点.联立方程组x -y -1=0,2x -7y +8=0,解得x =3,y =2,所以圆心坐标为C (3,2).又半径则所求圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=13.(方法2)设所求圆的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2.由题意得(6-a )2+(0-b )2=r 2,(1-a )2+(5-b )2=r 2,2a -7b +8=0,解得a =3,b =2,r 2=13,所以所求圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=13.(2)设线段PQ 的中点M (x ,y ),P (x 0,y 0),=x, =y,解得x0=2x-8,y0=2y,将P(2x-8,2y)代入圆C的方程中,得(2x-8-3)2+(2y-2)2=13,即线段PQ中点M的轨迹方程为x-1122+(y-1)2=134.。
圆的一般方程练习(1)
4.1.2 圆的一般方程练习一一、 选择题1、x 2+y 2-4x+6y=0和x 2+y 2-6x=0的连心线方程是（ ）A 、x+y+3=0B 、2x-y-5=0C 、3x-y-9=0D 、4x-3y+7=02、已知圆的方程是x 2+y 2－2x+6y+8=0，那么经过圆心的一条直线方程为( )A .2x －y+1=0 B.2x+y+1=0C.2x －y －1=0D.2x+y －1=03、以（1,1）和（2,-2）为一条直径的两个端点的圆的方程为（ ）A 、 ｘ2＋ｙ2＋3ｘ－ｙ＝0B 、ｘ2＋ｙ2－3ｘ＋ｙ＝0C 、ｘ2＋ｙ2－3ｘ＋ｙ－25＝0D 、ｘ2＋ｙ2－3ｘ－ｙ－25＝04、方程ｘ2＋ｙ2＋ａｘ＋2ａｙ＋2ａ2＋ａ－1＝0表示圆，则ａ的取值范围是（ ）A 、 ａ＜－2或ａ＞32B 、－32＜ａ＜2C 、－2＜ａ＜0D 、－2＜ａ＜325、圆x 2+y 2+4x+26y+b 2=0与某坐标相切，那么b 可以取得值是( )A 、±2或±13B 、1和2C 、-1和-2D 、-1和16、如果方程22220(40)x y Dx Ey f D E F ++++=+->所表示的曲线关于y=x 对称，则必有（） A 、D=E B 、D=F C 、E=F D 、D=E=F7、如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不通过第四象限， 那么l 的斜率的取值范围是（） A 、[0，2] B 、[0，1] C 、1[0]2， D 、1[0]3，二、填空题8、已知方程x 2+y 2+4kx-2y+5k=0，当k ∈ 时，它表示圆；当k 时，它表示点；当k ∈ 时，它的轨迹不存在。
9、圆x 2+y 2－4x+2y －5=0，与直线x+2y －5=0相交于P 1,P 2两点，则12PP =____。
10、若方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，表示以（2，－4）为圆心，4为半径的圆，则F=_____11、圆的方程为22680x y x y +--=，过坐标原点作长度为6的弦，则弦所在的直线方程为 。
圆的标准方程和一般方程基础卷
圆的标准方程和一般方程基础卷(适合初学基础差)一、选择题（共16小题；共80分）1. 的圆心在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知圆与圆关于原点对称，则圆的方程为A. B.C. D.3. 设，，则以线段为直径的圆的方程是A. B.C. D.4. 以为圆心，且过点的圆的方程为A. B.C. D.5. 圆的圆心到直线的距离为，则C. D.6. 圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程是A. B.C. D.7. 已知圆的方程为，则圆的半径为A. B. C. D.8. 已知圆的方程圆心坐标为，则它的半径为A. B. C. D.9. 已知半径为的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为A. B. C. D.10. 圆的圆心到直线的距离为，则C. D.11. 若直线是圆的一条对称轴，则的值为A. C.12. 方程表示圆的条件是A. B. C.13. 经过三点，，的圆的方程为A. B.C. D.14. 以线段（）为直径的圆的方程为A. B.C. D.15. 过点和，且圆心在直线上的圆的方程是A. B.C. D.16. 已知点是圆上的任意一点，那么点与原点距离的最小值为A. B. C. D.二、解答题（共3小题；共39分）17. 已知圆过原点，且与轴、轴的交点的坐标分别为，，求这个圆的方程．18. 已知圆．求在下列情况下，实数，，分别应满足什么条件．（1）圆过原点．（2）圆心在轴上．（3）圆与轴相切．（4）圆与坐标轴相切．19. 平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为．（1）求实数的取值范围；（2）求圆的方程．答案第一部分1. B2. D 【解析】由题可知：圆的圆心，半径为，所以圆的方程为：．3. A4. D 【解析】半径，则以为圆心的圆心方程为．5. A6. C 【解析】由题意，设圆的标准方程为，由圆过点，可得，解得，所以所求圆的方程为．7. B8. D9. A 【解析】设圆心，则，化简得，所以圆心的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以，所以，当且仅当在线段上时取得等号，故选：A．10. A【解析】圆可化为，则圆心坐标为：，故圆心到直线的距离，解得：．11. B 【解析】由题意可得，直线过圆心．由，得圆的标准方程为，则圆心，将圆心坐标代入直线可得．12. A 【解析】因为方程表示圆，所以，解得．13. D 【解析】设圆的方程为，由圆经过三点，，，可得解得所以所求圆的方程为．14. B 【解析】线段两端点为，，所以圆心为，半径．15. A【解析】设所求圆的方程为，则点和在圆上，所以又圆心在直线上，所以由组成方程组解得，，，所以圆的方程是，化为标准方程是．16. A第二部分17. ．18. （1）．（2）．（3）．（4）．19. （1）令，得抛物线与轴交点是．令．由题意且．解不等式，得，且；（2）设所求圆的一般方程为．令，得，这与是同一个方程，故，．令，得，此方程有一个根为，代入，得．所以圆的方程为．。
2.4.2 圆的一般方程 练习册答案
2.4.2 圆的一般方程1.B [解析] 圆心为B (-1,1),则半径r=|AB|=√(1+1)2+(2-1)2=√5,所以所求圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=5,即x 2+y 2+2x-2y-3=0.故选B .2.A [解析] 设圆的一般方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,将A (1,-1),B (1,4),C (4,-2)三点的坐标分别代入,得{1+1+D -E +F =0,1+16+D +4E +F =0,16+4+4D -2E +F =0,解得{D =-7,E =-3,F =2,故圆的方程为x 2+y 2-7x-3y+2=0,故选A . 3.C [解析] 由x 2+y 2-2x+4y-6=0得(x-1)2+(y+2)2=11,∴C (1,-2),r=√11.故选C .4.D [解析] ∵方程x 2+y 2+ax-2ay+2a 2+3a=0表示的是半径为r (r>0)的圆,∴a 2+(-2a )2-4(2a 2+3a )>0,解得-4<a<0,故圆心(-a 2,a)位于第四象限,故选D . 5.D [解析] 因为圆C 的方程为x 2+y 2+mx+2my+(m-2)=0,所以圆C 的半径r=√m 2+(2m )2-4(m -2)2=√5m 2-4m+82=√5(m -25)2+3652≥12×6√55=3√55,所以圆C 的最小周长为2π×3√55=6√5π5.故选D .6.D [解析] 因为M 1(-3,0),M 2(3,0),动点M (x ,y ),所以|MM 1|=√(x +3)2+y 2,|MM 2|=√(x -3)2+y 2.又因为|MM 1|=2|MM 2|,所以√(x +3)2+y 2=2√(x -3)2+y 2,整理得x 2+y 2-10x+9=0,所以点M 的轨迹方程为x 2+y 2-10x+9=0.故选D .7.D [解析] ∵圆x 2+y 2+2x-6y+1=0关于直线ax-by+3=0(a>0,b>0)对称,∴直线ax-by+3=0经过圆心(-1,3),∴-a-3b+3=0,即a+3b=3,又a>0,b>0,∴1a +3b =13×(1a +3b )(a+3b )=13(10+3b a +3a b )≥163,当且仅当3b a =3a b ,即a=b 时取等号.故选D .8.AC [解析] 由圆M 的一般方程为x 2+y 2-8x+6y=0,得圆M 的标准方程为(x-4)2+(y+3)2=52,故圆心为(4,-3),半径为5,故A,C 正确.在x 2+y 2-8x+6y=0中,令x=0,得y=0或y=-6,令y=0,得x=0或x=8,所以y 轴被圆M 截得的弦长为6,x 轴被圆M 截得的弦长为8,故B,D 不正确.故选AC .9.BCD [解析] 由x 2+y 2-6x+2y+1=0可得(x-3)2+(y+1)2=9,则方程x 2+y 2-6x+2y+1=0表示以C (3,-1)为圆心,3为半径的圆.对于A 选项,设点P (x ,y )为圆C 上的点,则x 2+y 2表示点P 到原点O 的距离的平方,因为(0-3)2+(0+1)2>9,所以原点O 在圆C 外,所以|OP|min =|OC|-3=√32+(-1)2-3=√10-3,所以x 2+y 2的最小值为(√10-3)2=19-6√10,故A 错误;对于B 选项,设y x+1=k ,则kx-y+k=0,由题意知直线kx-y+k=0与圆C 有公共点,则√k 2+1≤3,即7k 2+8k-8≤0,解得-4-6√27≤k ≤-4+6√27,所以y x+1的最大值为6√2-47,故B 正确;对于C 选项,设x+2y=t ,即x+2y-t=0,由题意知直线x+2y-t=0与圆C 有公共点,所以√5≤3,解得1-3√5≤t ≤1+3√5,故x+2y 的最小值为1-3√5,故C 正确;对于D 选项,因为(x-3)2+(y+1)2=9,所以√(x -3)2+(y +1)2+√x 2+(y -3)2=3+√x 2+(y -3)2,√x 2+(y -3)2表示圆C 上的点P 到点M (0,3)的距离,因为(0-3)2+(3+1)2>9,所以点M 在圆C 外,所以|MP|min =|MC|-3=√(0-3)2+(3+1)2-3=5-3=2,所以√(x -3)2+(y +1)2+√x 2+(y -3)2的最小值为3+2=5,故D 正确.故选BCD .10.(-54,-1) [解析] 由题意得{1+1-1-2-k >0,1+4+4k >0,解得-54<k<-1,故k 的取值范围为(-54,-1). 11.(-2,2) [解析] 方程x 2+y 2-kx+2y+k 2-2=0可化为(x -k 2)2+(y+1)2=3-34k 2,若方程表示圆,则3-34k 2>0,解得-2<k<2,故实数k 的取值范围为(-2,2).12.(x-2)2+(y-4)2=4 [解析] 由题得圆M 的标准方程为x 2+(y+2)2=4,∴圆心为M (0,-2),半径r=2.设圆心M 关于直线l :x+3y-4=0的对称点为M'(x ,y ),则{y+2x -0=3,x+02+3×y -22-4=0,解得{x =2,y =4,即M'(2,4),∴圆M 关于直线l 对称的圆的方程为(x-2)2+(y-4)2=4. 13.解: (1)若方程x 2+y 2-2(t+3)x+2(1-4t 2)y+16t 4+9=0表示圆,则[-2(t+3)]2+4(1-4t 2)2-4 (16t 4+9)>0,即-7t 2+6t+1>0,解得-17<t<1. (2)圆的圆心为(--2(t+3)2,-2(1-4t 2)2),即(t+3,4t 2-1),半径为√-7t 2+6t +1.(3)圆的半径r=√-7t 2+6t +1=√-7(t -37)2+167,所以当t=37 时,r 取得最大值4√77,此时圆的标准方程为(x -247)2+(y +1349)2=167.14.解:(1)直线AB 的斜率为3-13+1=12,则直线AB 的方程为y-1=12(x+1),即x-2y+3=0.|AB|=√(-1-3)2+(1-3)2=2√5,点C 到直线AB 的距离d=√12+(-2)=√5, 故S △ABC =12|AB|·d=12×2√5×√5=5.(2)O ,A ,B ,C 四点在同一个圆上,理由如下:设△ABC 的外接圆方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,由已知可得{-D +E +F +2=0,3D +3E +F +18=0,2D +F +4=0,解得{D =-2,E =-4,F =0,所以△ABC 的外接圆方程为x 2+y 2-2x-4y=0.因为02+02-2×0-4×0=0,所以坐标原点O 在△ABC 的外接圆上,因此,O ,A ,B ,C 四点在同一个圆上.15.2√2+√3 [解析] 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),O 为坐标原点,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2),由x 12+y 12=1,x 22+y 22=1,x 1x 2+y 1y 2=12,可得A ,B 两点在圆x 2+y 2=1上,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1×1×cos ∠AOB=12,则∠AOB=60°,所以三角形OAB 为等边三角形,|AB|=1.11√2+22√2的几何意义为A ,B 两点到直线x+y-2=0的距离|AA 1|与|BB 1|之和,记线段AB ,A 1B 1的中点分别是C ,C 1,O 到直线x+y-2=0的距离为|OO 1|,则|AA 1|+|BB 1|=2|CC 1|,且|CC 1|≤|OC|+|OO 1|=√32+√2,所以|AA 1|+|BB 1|≤2√2+√3,所以11√2+22√2的最大值为2√2+√3.16.解: (1)方程x 2+y 2+2kx+(4k+10)y+6k 2+21k+19=0可变形为(x+k )2+(y+2k+5)2=-k 2-k+6,若该方程表示一个圆,则-k 2-k+6>0,解得-3<k<2,∴r=√-k 2-k +6=√-(k +12)2+254∈(0,52]. (2)由(1)知C (-k ,-2k-5),令{x =-k ,y =-2k -5,消去k 可得y=2x-5,又-3<k<2,∴-2<x<3,故圆心C 的轨迹方程为y=2x-5(-2<x<3).(3)当k=-2时,圆C 的方程为(x-2)2+(y+1)2=4.设M (x 0,y 0),∵M 为线段AB 的中点,端点A 的坐标为(0,4),∴B (2x 0,2y 0-4),又端点B 在圆C 上运动,∴(2x 0-2)2+(2y 0-3)2=4,即(x 0-1)2+(y 0-32)2=1,∴线段AB 的中点M 的轨迹方程为(x-1)2+(y -32)2=1.。
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圆的一般方程
1． 方程x 2
＋y 2
－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是 ( )
A ．m ≤2
B ．m ＜12
C ．m ＜2
D ．m ≤1
2
2．设A ，B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2
＝1的两个交点，则|AB |等于( )
A ．1 B. 2 C. 3 D ．2
3． M (3,0)是圆x 2＋y －8x －2y ＋10＝0内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程是( )
A ．x ＋y －3＝0
B ．x －y －3＝0
C ．2x －y －6＝0
D ．2x ＋y －6＝0
4． 已知圆x 2＋y 2－2ax －2y ＋(a －1)2
＝0(0<a <1)，则原点O 在 ( )
A ．圆内
B ．圆外
C ．圆上
D ．圆上或圆外
5． 如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2
＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________．
6． 已知圆C ：x 2＋y 2
＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称
点都在圆C 上，则a ＝________.
7． 已知圆的方程为x 2＋y 2
－6x －6y ＋14＝0，求过点A (－3，－5)的直线交圆的弦PQ 的中
点M 的轨迹方程．
8． 求经过两点A (4,2)、B (－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程． 9． 若圆M 在x 轴与y 轴上截得的弦长总相等，则圆心M 的轨迹方程是 ( )
A ．x －y ＝0
B ．x ＋y ＝0
C ．x 2＋y 2＝0
D ．x 2－y 2
＝0
10．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2
≤4}分为两部分，使得这两部分的面积
之差最大，则该直线的方程为 ( )
A ．x ＋y －2＝0
B ．y －1＝0
C ．x －y ＝0
D ．x ＋3y －4＝0
11．已知圆的方程为x 2＋y 2
－6x －8y ＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和
BD ，则四边形ABCD 的面积为________．
12．求一个动点P 在圆x 2＋y 2
＝1上移动时，它与定点A (3,0)连线的中点M 的轨迹方程． 13．已知一圆过P (4，－2)、Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程．
答案
1．B 2.D 3．B 4．B 5．(0，－1) 6．－2
7．解 设所求轨迹上任一点M (x ，y )，圆的方程可化为(x －3)2＋(y －3)2
＝4.圆心C (3,3)． ∵CM ⊥AM ，
∴k CM ·k AM ＝－1， 即y －3x －3·y ＋5x ＋3＝－1， 即x 2＋(y ＋1)2
＝25.
∴所求轨迹方程为x 2＋(y ＋1)2
＝25(已知圆内的部分)．
8．解 设圆的一般方程为x 2＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，
令y ＝0，得x 2
＋Dx ＋F ＝0，
所以圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D ；
令x ＝0，得y 2
＋Ey ＋F ＝0，
所以圆在y 轴上的截距之和为y 1＋y 2＝－E ； 由题设，得x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝－(D ＋E )＝2，
所以D ＋E ＝－2. ① 又A (4,2)、B (－1,3)两点在圆上，
所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0， ② 1＋9－D ＋3E ＋F ＝0， ③ 由①②③可得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12，
故所求圆的方程为x 2＋y 2
－2x －12＝0. 9．D 10．A 11．20 6
12．解 设点M 的坐标是(x ，y )，点P 的坐标是(x 0，y 0)．
由于点A 的坐标为(3,0)且M 是线段AP 的中点，
所以x ＝x 0＋32，y ＝y 0
2
，
于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y .
因为点P 在圆x 2＋y 2
＝1上移动，
所以点P 的坐标满足方程x 20＋y 20＝1，
则(2x －3)2＋4y 2
＝1，整理得⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －322＋y 2＝14.
所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －322＋y 2＝1
4.
13．解 方法一 设圆的方程为
x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，
①
将P 、Q 的坐标分别代入①，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
4D －2E ＋F ＝－20 ②
D －3
E －
F ＝10 ③ 令x ＝0，由①得y 2
＋Ey ＋F ＝0， ④ 由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程④的两根．
∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2
－4F ＝48.
⑤
解②③⑤联立成的方程组，
得⎩⎪⎨⎪⎧
D ＝－2
E ＝0
F ＝－12
或⎩⎪⎨⎪
⎧
D ＝－10
E ＝－8
F ＝4
.
故所求方程为x 2
＋y 2
－2x －12＝0或x 2
＋y 2
－10x －8y ＋4＝0.
方法二 求得PQ 的中垂线方程为x －y －1＝0. ①
∵所求圆的圆心C 在直线①上，故设其坐标为(a ，a －1)， 又圆C 的半径r ＝|CP |＝a －2＋a ＋2 .
②
由已知圆C 截y 轴所得的线段长为43，而圆C 到y 轴的距离为|a |.
r 2＝a 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫4322
，
代入②并将两端平方，
得a 2
－6a ＋5＝0，解得a 1＝1，a 2＝5. ∴r 1＝13，r 2＝37.
故所求的圆的方程为(x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2
＝37.。