江苏省无锡市青阳县第一中学_学年高二数学10月月考试题【含答案】
高二数学10月份月考参考答案及评分标准.doc
13、7V1326 14、V < 2 > 2 y > —x3 、4 y > ------ x315、—*\/2 +1W a < + 1 16> x = —1或— 2 = 017、3x — 2y — 3 = 0由到角公式2分•6分高二数学10月份月考参考答案及评分标准18、x 2 +2y = a 2(~y[2a <x< 42a)三、解答题19、设Z P Z 2,Z 3的斜率分别为k v k 2,k 3, Zj 到厶的角为&i,厶到匚的角为&2则 E]二*,焉=2, q = $，即 tan © = tan O 2,即心㊁=2_心 ............... 8分1+心1+2心2 解得，k3 =±1............................... 10分 所以，£的方程为兀+歹一1 = 0或x-y-l = 0............................... 12分20、设圆心坐标为（m, 2m ），圆的半径为715,............................... 2分 所以圆心到直线x -y 二0的距离为旦!=四............... 4分72 V2由半径、弦心距、半径的关系得10=8+".*.m=d2 ........................ 10分2・••所求圆的方程为（—2）2+（y_4）2 =10,（兀+ 2）2+0 + 4）2 =10 ......... 12 分21、设放养鲫鱼％kg,鲤鱼ykg,则成鱼重量为w = 30兀+ 50歹（兀,y >0）,-15x + 8）；<120其限制条件为y 5x + 5yW50 , .........8x + 18y 5144i l5x + 5y = 50 8x + 18y = 144 x = 3.6y = 6.4所以C(3.6,6.4)则w=30x+50y 最大值为428kg.答：鲫鱼放养3.6kg,鲤鱼放养6.4kg,此时成鱼的重11分••1210分作直线/: 3x + 5y = 0 ,当与巾平行的直线过点C 时w 取最大值22、(1)设M(X],yJ,N(X2，y2)，由题意得,x~ + (1 — x)~ — 2x 2(1 — x) + m — 0 即2F —2x + 〃一1 = 0,由根与系数的关系得，1m —I八+ x 2 = I, x x x 2 = ——.............. 2 分 ・.• OM 丄 ON,x x x 2 + y x y 2 = 0............................. 4 分即 x x x 2 + (l-x l )(l-x 2) = 0 ,代入得，m = l (6)........................................................................................................................................... 分(2)设AB 的中点为P(x,y),圆C 的方程化简为： (x-l)2+(y-l)2 C(l,l),r = l又直线/的方程为：—+ —= 1, §^bx -^ay-ab = 0(<a > 2,b > 2), ............... 8 分a ba 2b 2+ 2ab - 2a 2b 一 2ab 2 = 0'： a >2,b> 2其表示的区域（如Ja 2+Z?212分 14分厶:(a-l)x+y +°(f 0,aZ 2 : (a — l)x + y----------- = 0_ I-a解得：a = 2因此仏-2 或 a =—3.10分12分 2a-2・•・ ab + 2-2a-2b = 0^b = ----- ①,a — 2又TP 是AB 的中点，.•，= △, y =2 ' 2即a = 2x,b = 2y ,代入①得 y = ^^(x>1^ 即线段AB 中点的轨迹方程为；y = ±£u >i ).2兀一 2 23、解：(1) (a+2b)x+(a+b)y-2a-3b=0,即 a(x+y-2)+b(2x+y-3)=0, 过 x+y-2=0 与 2x+y-3=0 的交点(1,1) (2)厶〃厶且】2的斜率为1-0 .•••/］的斜率也存在，即纟=1 —a, b =—b1-a故厶和厶的方程可分别表示为：・・•原点到厶和?2的距离相等.(3) *.* £ 丄?2，a(a +1) + (~b) *1 — 0, 即 a? — Q — b = 0b = a 2-a = (a-M W ，又 A (I, 1), B d, 0), C 3, 0)1 4A ABC 面积的 s=-l — + bl............................... 14 分2 b 1 4 1 = -(l-l + IZ?l)>-2V4=2, 2 b 2当且仅当lbl=2,即b=2时a=-l 或a=2。
高二数学10月月考试卷 理(共5页)
高二数学(sh ùxu é)10月月考试卷理一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题6分，一共72分. 在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕 1．经过点的抛物线HY 方程为〔 〕〔A 〕或者〔B 〕x y =2或者〔C 〕或者y x 82-= 〔D 〕x y 82=或者y x 82-=2．方程的两根和可以分别为〔 〕〔A 〕椭圆与双曲线的离心率 〔B 〕两条抛物线的离心率 〔C 〕两个椭圆的离心率 〔D 〕椭圆与抛物线的离心率 3．点，动点满足，那么点的轨迹是〔 〕〔A 〕圆 〔B 〕椭圆 〔C 〕双曲线 〔D 〕抛物线 4．双曲线离心率，且与椭圆有一样的焦点，那么该双曲线的渐近线方程是〔 〕 〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕5．椭圆的焦点为，过点作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的线段长为，的周长为20，那么椭圆的离心率为〔 〕 〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕6．圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程是〔 〕 〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕〔D 〕7．椭圆(tuǒyuán)的离心率是，那么它的长轴长是〔〕〔A〕1 〔B〕1或者2 〔C〕2 〔D〕2或者48．双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于两点，MN中点的横坐标为，那么此双曲线的方程是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕9．过双曲线的右焦点，作渐近线的垂线与双曲线左右两支都相交，那么双曲线的离心率的取值范围为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕10．直线交抛物线于两点，且，那么的值是〔〕〔A〕2 〔B〕1 〔C〕〔D〕11．常数为正数，动点分别与两定点的连线的斜率之积为定值，假设点的轨迹是离心率为双曲线，那么 的值是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕12．设抛物线的焦点为F，其准线与轴交于点，过F作它的弦，假设，那么的长为〔〕〔A〕〔B〕p〔C〕〔D〕二、填空题(本大题一一共6小题，每一小题6分，一共36分．将答案填在答题卡相应的位置上)13．过抛物线的焦点(jiāodiǎn)F作直线，交抛物线于，两点，假设，那么=_______________14．平面内有一长度为2的线段AB和一动点P，假设满足，那么的取值范围是_______________15．双曲线以C的右焦点为圆心，且与C的渐近线相切的圆的半径是_______________16．椭圆方程为，直线与该椭圆的一个交点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，那么_________________17．过双曲线的左顶点A作斜率为1的直线，假设l与该双曲线的其中一条渐近线相交于点,那么该双曲线的离心率是_________________ 18．椭圆，点是椭圆C的右顶点，点为坐标原点，在一象限椭圆C上存在一点P，使，那么椭圆的离心率范围是_________________三、解答题(本大题一一共3小题，一共42分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤)19．〔本小题满分是12分〕在直角坐标系中，曲线的参数方程为〔为参数)，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为〔1〕求曲线的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；〔2〕设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的间隔 的最小值，并求此时点P 坐标．21．〔本小题满分(mǎn fēn)是14分〕椭圆的左右焦点分别为，点为短轴的一个端点，〔1〕求椭圆的方程；〔2〕如图，过右焦点，且斜率为的直线与椭圆C相交于两点，为椭圆的右顶点，直线分别交直线于点，线段的中点为，记直线的斜率为，求证: 为定值．内容总结。
高二数学上册10月月考试卷
高二数学上册10月月考试卷高中最重要的阶段，大家一定要掌握好高中，多做题，多练习，为高考奋战，小编为大家整理了高二数学上册10月月考试卷，希望对大家有协助。
一、选择题(每题5分，共60分)1、直线 x-y+1=0的倾斜角为 ( )A.60B.120C.150D.302.直线，，假定∥ ，那么的值是：A. 1B.C.1或D.3.圆和圆的位置关系是( )A.相交B. 内切C. 外离D. 内含4. 在同不时角坐标系中，表示直线与正确的选项是()A.B. C. D.5.假定点在圆：的外部，那么直线与圆的位置关系是A.相切B.相离C.相交D.相交或相切6. 到直线的距离为2的直线方程是( ).A. B. 或C. D. 或7. 、、，那么的外接圆的方程是：8.直线关于轴对称的直线方程为( )A. B. C. D.9.假定为圆的弦的中点，那么直线的方程是( )A. B. C. D.10.假定平面区域是一个梯形，那么实数的取值范围是( ) A(1,2) B(2，+ ) C(1，+ ) D(- ,2)11.动圆过点(1，0)，且与直线x= -1相切，那么动圆圆心的轨迹方程为( )A. B. C. D.12.一个动点在圆上移动时，它与定点连线中点的轨迹方程是()A. B.C. D.二、填空题(每题4分)13. 过点(1，2)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程___________.14.经过圆的圆心C，且与直线垂直的直线方程是 .15.过点的直线将圆分红两段弧，其中的劣弧最短时，直线的方程为 .16.与直线和曲线都相切的半径最小的圆的规范方程是 .三、解答题17.设直线的方程为，依据以下条件求的值.(1)直线的斜率为1;(2)直线经过点 .18.正方形的中心为直线和的交点，正方形的一边所在直线方程为，求其他三边方程.19.某企业消费甲、乙两种产品，消费每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;消费每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。
高二数学10月月考试题 15(共5页)
一中2021-2021学年(xu éni án)高二数学10月月考试题考生注意：:本套试卷一共iso 分，考试时间是是]20分钟.2-请将各题答案填写上在答题卡上.3.本套试卷主要考试内容:人教版必修2直线 、圆•选修2-1椭圆. 、选择题:此题一共13小题,每一小题4分，一共52分.在每一小题给出的四个选项里面，第1〜10题，只有一项符合题目要求；第11〜13题，有两项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全 的得2分，有选错的不得分.1. 直线3 = 0的倾斜角是 A. 30°B. 60°C.120° 2. 圆z 24-y+4jr —2j/—4=0的圆心坐标和半径分别是A. (— 2,1), 3C. (—2,1), 1 3. 假设椭圆= 1的右焦点为F(2,0),那么m =B. (2,-1),3D. (2,-1),1 4. 直线l\ ：2_r+4y —3=0与直线/2 ：2工+4夕+7=0之间的间隔 是A 275B 4/5D.150°D. 2/5A. 6 B 1/6 C 2 D 1/2 5假设方程亠飞十另士匚=—1表示焦点在x 轴上的椭圆,那么m的取值范围是A (2,6) B. (4,6) C. (2,4] D. (2,4)6圆C ・(工一4)2 + O+3)2 = 9关于直线 后+夕一3=0对称的圆的HY 方程是A. Cr_6)2 + (y+l)2=9 B (JT +6)2+ (^-1)2=9 C (工_6)2 +(丿_1)2 = 9D.(工+6尸 + (夕+1)2=97.椭圆彳+b = l 经过点P(加川)，那么办的取值范围是A(0,叮B. (0,4]C. [4,+00)D. 口，4]8圆Id —3)2 + O+2)2 = 5,直线Z 不经过第一象限,且平分圆C 的圆周长,那么直线I 的 斜率的取值范围是A.(-刍，0) C ・T ，o]B. (―00,—y] D. (-x,—|]U{0}9.设M是椭圆(tuǒyuán)召+晋=1上一点,F,,F2I= 3 I咏丨，那么10.△MF】F2的面积是A. 3B. 3^3C. 6D. 611.假设直线Z：(加一1)工+(2加一l)y—加=0与曲线C：y=』4_(工_2)丁+ 2冇公一共点，那么直线'12.的斜率的最小值是A B C D13.设M是椭圆魚+首=1上的一点，R,F2分别是该椭圆的左、右焦点，那么IMF I I -|MF2I的值可能是A. 36B. 48C. 64D. 8014.直线l：y—k(j：—2)+3, |3| O：(.x—a)2 + (j/—6)2=4» 且点(a,6)是圆(鼻一2) +(丿 3)=4上的任意一点,那么以下说法正确的选项是A.对任意的实数k与点(a,b),直线Z与圆O相切B.对任意的实数k与点(a,b),直线I与圆O有公一共点C.对任意的实数机必存在实数点W使得直线I与圆O相切D.对任意的实数点(a,b),必存在实数b使得直线I与圆O相切15.椭圆C：韦+召= l(a>b>0)的左、右焦点分别为F|(—C,0),F2(C,0),点M在椭圆C上，假设旷=牒+那么该椭圆的离心率可能是A 1/4 B1/2 D二、填空题:此题一共(yīgòng)4小题,每一小题4分，每空2分，一共16分.将答案填在答题卡中的横线上.16.直线/] ：3鼻+2歹一5 = 0与直线仏：4工十ay—11 = 0,且厶丄仏，那么a= ▲,直线l x与直线仇的交点坐标是▲•17.椭圆C：£+¥ = l的左、右焦点分别为尺，F2,点P在椭圆C上，那么椭圆C的焦距是▲, I PF1 I + I PF2 I = ▲.18.直线I经过点A(2,l),且与圆C：(x-3)2+y=4交于M,NA是线段MN的中点,那么直线I的斜率是▲，弦长IMN| = ▲.19.椭圆0假设+卡三=1(0>2)的左、右焦点分别为F.用，动点P在直线心=工+4上假设椭圆C经过点那么椭圆C的离心率的最大值是▲;此时,椭圆C的HY方程是___________三、解答题:此题一共6大题，其中第18,19题，每一小题12分；第20,21题，每一小题13分；第22,23题,每一小题16分，一共82分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.1& 〔12 分〕求分别满足以下条件的椭圆的HY方程.⑴经过 P〔2V3,-3〕,Q〔-2,3V3 〕两点;〔2〕短轴长为10,离心率为.19.〔12 分〕直线(zhíxiàn)I经过点卩〔2,—3〕,直线价：2工+歹十3=0.〔1〕假设Z〃人，求直线Z的方程；〔2〕假设坐标原点到直线I的间隔等于2,求直线I的方程.20.〔13 分〕椭圆C：霁+¥ = 1的右焦点为F,直线l iy=x+m与椭圆C交于A』两点. 〔1〕当m=3时,求弦长\AB\；〔2〕当加=岛时，求AABF的面积.21.〔13 分〕圆M经过人〔一2,3〕,B〔-1,6〕,C〔6,7〕三点.〔1〕求圆M的方程；〔2〕求工轴被圆M截得的弦长.22.〔16 分〕椭圆(tuǒyuán)M：^ + ^ = l〔«>6>0〕经过点〔专，平〕和〔1,曹〕.〔1〕求椭圆M的HY方程及离心率.〔2〕假设直线y=kx + 3与椭圆M相交于A ,8两点,在夕轴上是否存在点P,使直线PA与PB的斜率之和为零？假设存在,求岀点P的坐标;假设不存在,请说明理由.2-23.〔16 分〕圆C过点〔73,5〕,且与圆工2 +〔?+］〕2=9外切于点〔0,2〕,过点P〔2t,t〕作圆C的两条切线PM,PN,切点为M,N.〔1〕求圆C的HY方程；閤〔2〕试问直线MN是否恒过定点？假设过定点，恳求出定点坐标内容总结（1）一中2021-2021学年高二数学10月月考试题考生注意：:本套试卷一共iso分，考试时间是是]20分钟.2-请将各题答案填写上在答题卡上.3.本套试卷主要考试内容:人教版必修2直线、圆•选修2-1椭圆.、选择题:此题一共13小题,每一小题4分，一共52分.在每一小题给出的四个选项里面，第1〜10题，只有一项符合题目要求（2）第20,21题，每一小题13分。
高二数学10月月考试题_1_1(共5页)
2021-2021学年高二数学(sh ùxu é)10月月考试题〔无答案〕时间是：120分钟 满分是：150分一、选择题：〔每一小题5分，一共60分〕 1．直线的斜率为，在轴上的截距为，那么〔 〕A.B.C.D 。
2.坐标原点必位于圆：的( )A ．内部 B. 圆周上 C. 外部 D. 均有可能 “假设，那么〞为真时，以下命题中一定为真的是〔 〕A. 假设q ，那么pB. 假设，那么C. 假设q ⌝，那么p ⌝D. 假设p ⌝，那么q 4．在空间坐标系中，,,在轴找一点,使,那么M 的坐标为〔 〕 A.B. C. D.p ：，，p ⌝为〔 〕A.,22nn > B. ,C.,22n n ≤ D.n N ∃∈,6.：命题p ：假设函数是偶函数，那么；命题q ：，关于x 的方程有解．在①；②；③；④中为真命题的是〔 〕A ．②③B ．②④C ．③④D ．①④ 7．，点是圆内一点，直线是以点为中点的弦所在的直线，直线的方程是，那么以下结论正确的选项是〔 〕A．B．C．D．8．圆M: 截直线(zhíxiàn)所得线段的长度是，那么圆M与圆:的位置关系是( )9．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为( )A．54 B．60 C．66 D．7210．设圆：，过坐标原点作圆C的任意弦，那么所作弦的中点的轨迹方程为〔〕A. B.C. D.11.命题p：函数为上单调减函数，实数m满足不等式．命题q：当，函数。
假设命题p是命题q的充分不必要条件，务实数的取值范围〔〕A. B. C. D.，为该圆的两条切线，为两切点，那么的最小值为〔〕A． B. C. D.二、填空题：〔每一小(yī xiǎo)题5分，一共20分〕 13．点关于点的对称点的坐标为14．圆:和圆:相交于两点，那么公一共弦=_______________15．有以下命题：①在函数的图象中，相邻两个对称中心的间隔 为；②函数的图象关于点对称；③“且〞是“〞的必要不充分条件；④命题p ：对任意的，都有，那么是：存在x R ，使得；⑤在中，假设，，那么角等于或者.其中所有真命题的有__________．16．在平面直角坐标系中，圆，圆2C ：.假设圆2C 上存在一点，使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点，满足，那么半径的取值范围是________三、解答题：〔一共6小题，一共70分〕 17．〔1〕求两条平行直线与间的间隔〔2〕一条直线从点射出，与x 轴相交于点,经x 轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面ABCD ,且侧棱的长是2，点分别是的中点。
高二数学10月联考试题(共9页)
县一中、一中2021-2021学年(xu éni án)高二数学10月联考试题时量：120分钟 分值：150分命题人：高一数学备课组 审题人：高一数学备课组一、选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分，满分是60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕 1、不等式x 2﹣9＜0的解集为〔 〕 A ．{x |﹣3＜x ＜3} B ．{x |x ＜3} C ．{x |x ＜﹣3或者x ＞3} D ．{x |x ＜﹣3}2、命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否认形式￢p 为〔 〕A ．∀x ∈N ，x 3≤x 2B ．∃x ∈N ，x 3≤x 2C ．∃x ∈N ，x 3＜x 2D ．∃x ∈N ，x 3＞x 23、以下说法正确的选项是〔 〕 A ．假设a ＞b ，那么ac ＞bc B ．假设a ＞b ，c ＞d ，那么ac ＞bdC ．假设a ＞b ，那么a 2＞b 2D ．假设a ＞b ，c ＞d ，那么a +c ＞b +d 4、高铁、扫码支付、一共享单车、网购被称为中国的“新四大创造〞，为评估一共享单车的使用情况，选了n 座城作实验基地，这n 座城一共享单车的使用量〔单位：人次/天〕分别为，下面给出的指标中可以用来评估一共享单车使用量的稳定程度的是〔 〕 A ．12,,,n x x x 的平均数 B ．12,,,n x x x 的HY 差C ．12,,,n x x x 的最大值D ．12,,,n x x x 的中位数5、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设，那么S 9等于〔 〕A．18 B．36 C．45 D．60 6、双曲线的渐近线为，实轴长为4，那么(nà me)该双曲线的方程为〔〕A．B．或者C．22148x y-= D．22142x y-=或者22148y x-=7、某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的间隔为5米〔如下图〕，旗杆底部与第一排在同一个程度面上．假设国歌长度约为50秒，要使国歌完毕时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为〔〕〔米/秒〕A．B．C．D．8、假设不等式ax2+ax﹣1≤0的解集为实数集R，那么实数a的取值范围为〔〕A．0≤a≤4 B．﹣4＜a＜0 C．﹣4≤a＜0 D．﹣4≤a≤0 9、马拉松是一项历史悠久的长跑运动，全程约42千米．跑马拉松对运发动的身体素质和耐力是极大的考验，专业的马拉松运发动经过长期的训练，跑步时的步幅〔一步的间隔〕一般略低于自身的身高，假设某运发动跑完一次全程马拉松用了2.5小时，那么他平均每分钟的步数可能为〔〕A．60 B．120 C．180 D．24010、设F1，F2分别(fēnbié)是椭圆C：的左右焦点，点P在椭圆C上，且|PF1|＝3|PF2|，假设线段PF1的中点恰在y轴上，那么椭圆的离心率为〔〕A．B．C．D．11、数列是{a n}是正项等比数列，且，那么a5的值不可能是〔〕A．2 B．4 C．D．12、双曲线的离心率为2，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点M〔﹣a，0〕，N〔0，b〕，点P为线段MN上的动点，当获得最小值和最大值时，的面积分别为S1，S2，那么〔〕A．4 B．8 C．D．二、填空题：〔本大题一一共5小题，每一小题4分，满分是20分〕13、x，y的几组对应数据如表：x0 1 2 3 4y 2 3 6 9 10根据上表利用最小二乘法求得回归直线方程中的，那么．14、抛物线y2＝4x，过焦点(jiāodiǎn)F作直线与抛物线交于点A，B两点，假设|AF|＝4，那么点A的坐标为．15、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设，且，那么△ABC的面积为．16、数列{a n}的前n项和为S n，且满足，那么S4＝．三、解答题：〔本大题一一共6小题，满分是70分。
2023_2024学年江苏省无锡市高三上册10月月考数学模拟测试卷(附答案)
B．函数 f x是偶函数
C．函数 f x的图象关于 2, 0中心对称 D．函数 f 2 x与 f x的图象关于直线 x 2 对称
12．在圆 O 的内接四边形 ABCD 中， AB 2 ， BC 6 ， CD DA 4 ，则（ ）
A． BD 7
C． AO BD 12
B．四边形 ABCD 的面积为 8 3
所以 ln a ln b ln ab ln a 4 2a ln 2a 12 2 ，
当 a 1 0 ， b 2 0 时，lna+lnb 有最大值 ln2，因此选项 D 不正确， 故选：BC 11．ABC
【分析】根据函数的奇偶性与对称性得函数的周期性，再根据导数运算确定导函数 f x的奇 偶性与对称性即可判断，由函数对称性可确定函数 f 2 x与 f x的图象的对称轴.
D． AC BD 16
三．填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．幂函数 f x xa a R 满足：任意 x R 有 f x f x，且 f 1 f 2 2 ，请写出
符合上述条件的一个函数 f x
．
14．在平面直角坐标系中，点 A2,1绕着原点 O 顺时针旋转 60 得到点 B ，点 B 的横坐标为
.
四．解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知在△ABC 中 BC， CA， AB 的长分别为 a， b， c，试用向量方法证明：
(1)c＝bcosA＋acosB；
(2)c2＝a2＋b2－2abcosC.
18．已知函数 f x x3 3x2 ax 1， x1， x2 分别是 f x的极大值点和极小值点．
不等式中一定成立的是（ ）
江苏省无锡市高二上学期数学10月月考试卷
江苏省无锡市高二上学期数学 10 月月考试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1.（2 分）(2015 高二上·承德期末) 若 i 为虚数单位，且复数 z 满足 A . 2i B . -2i C.2 D . -2，则复数 z 的虚部是（ ）2. （2 分） 在等差数列 中，，则（ ）.A . 45 B . 75 C . 180 D . 300 3. （2 分） 若， i 为虚数单位,且 x+y+(x-y)i=3-i,则复数 x+yi 在复平面内所对应的点在（ ）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限4. （2 分） (2016 高二上·郴州期中) 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ， 若 m＞1，且 am﹣1+am+1﹣am2=0， S2m﹣1=38 则 m 等于（ ）A . 38B . 20第 1 页 共 10 页C . 10 D.95. （2 分） (2020 高二下·诸暨期中) 已知等比数列 则数列 的公比是（ ）的各项均为正，且，，成等差数列，A. B.2C. D.6. （2 分） (2018 高一下·宜昌期末) 已知，则（）是等比数列，若，数列的前 项和为A. B . 31C. D.77. （2 分） (2019 高二上·集宁月考) 已知等差数列 的前 项和为 ，且满足，则数列 的前 9 项和 为 （ ）A . 20 B . 80 C . 166 D . 180，数列第 2 页 共 10 页8. （2 分） 已知数列 （）A.2是等差数列，且，则B. C.1D. 9. （2 分） (2016 高二上·会宁期中) 在等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ， 若 a2+a4+a15 的值为常数，则下 列为常数的是（ ） A . S7 B . S8 C . S13 D . S1510. （ 2 分 ） (2019 高 一 下 · 温 州 期 中 ) 已 知 数 列是等比数列，数列是等差数列，若，则（）A.B.C.D.11. （2 分） 已知等差数列 中，前 n 项和为 ， 若,则 等于（ ）A . 12第 3 页 共 10 页B . 33 C . 66 D . 1112. （2 分） 已知数列 满足，，则 （ ）A . 121B . 136C . 144D . 169二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2017·内江模拟) 已知数列{an}的首项 a1=1，且满足 an+1﹣an≤n•2n ， an﹣an+2≤﹣（3n+2） •2n ， 则 a2017=________．14. （1 分） (2020 高一下·佛山月考) 数列 中，，其前 项和为 ，且对任意正整数都有，则________．15. （1 分） (2019 高一下·宁波期中) 在等差数列 中，已知公差，则数列的前 n 项和________.，，16. （1 分） (2019 高三上·珠海月考) 已知数列 的首项，其前 n 项和为 ．若，则________．三、 解答题 (共 6 题；共 75 分)17. （10 分） 设数列 是等差数列，数列 是等比数列，公比大于零，且。
高二数学10月月考试题 38
青阳一中2021—2021学年第一学期10月月考高二数学试卷一、选择题 〔每一小题5分〕1 集合{}23M x x =-<<，{}lg(2)0N x x =+≥，那么MN =A. (2,)-+∞B. (2,3)-C. (2,1]--D. [1,3)- 2 向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+.假设//AB OC ，那么实数m 的值是A ．3-B ．17-C ．35-D ．353．某几何体的三视图如下图，其中俯视图是个半圆，那么该几何体的外表积为( )．A ．32πB ．π＋ 3C ．32π＋ 3D ．52π＋ 3 4．函数211()log ,(),()12x f x f a f a x -==-+若则=A ．2B ．—2C ．12D ．—125．给定以下四个命题：①假设一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面互相平行； ②假设一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直； ③垂直于同一直线的两条直线互相平行；④假设两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( )．A ．①和②B ．②和③ C．②和④ D．③和④6．如下图，直观图四边形A ′B ′C ′D ′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么面图形的面积是( )．A ．2 2B ．22C ．2－1D ．2＋2 7.不等式组1,40,0x x y kx y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩表示面积为1的直角三角形区域，那么k 的值是Ａ.2- B. 1- C. 0 D.18 数列{}n a 中，12a =，120n n a a +-=，2log n n b a =，那么数列{}n b 的前10项和等于 A 、130 B 、120 C 、55 D 、509．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝12，那么以下结论中错误的选项是()．A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等10. 设函数)(x f y =在R K ,定义函数⎩⎨⎧>≤=Kx f K Kx f x f x f K )(,)(),()(,取函数22)(x x x f --=.假设对于任意的R x ∈恒有)()(x f x f K =,那么 ( ) A. K 的最小值为49B. K 的最大值为49 C.K 的最小值为2 D.K 的最大值为2二、填空题(每一小题5分,一共25分)11．某高一、高二、高三一共有2400名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。
青阳县第一中学2019学年高二数学10月月考试题
2018—2019学年第一学期高二10月份月考数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A. 17πB. 18πC. 20πD. 28π2.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A. 若m∥α，n∥α，则m∥nB. 若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC. 若m⊥α，m⊥n，则n∥αD. 若m∥α，m⊥n，则n⊥α3.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）A. B.C. D.4.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A. B. C. D.5.已知α，β是相异两平面，m，n是相异两直线，则下列命题中不正确的是（）A. 若m∥n，m⊥α，则n⊥αB. 若m⊥α，m⊥β，则α∥βC. 若m∥α，α∩β=n，则m∥nD. 若m⊥α，m⊂β，则α⊥β6.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为A. B. C. D.7.如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为( )A. 相交B. 平行C. 异面而且垂直D. 异面但不垂直8.正四面体ABCD中，M是棱AD的中点，O是点A在底面BCD内的射影，则异面直线BM与AO 所成角的余弦值为（）A. B. C. D.9.四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=2，PA=，若该四棱锥的所有项点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. 65π D.10.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. 20πB. 24πC. 28πD. 32π11.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（）（1）m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β（2）n∥m，n⊥α⇒m⊥α（3）α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n（4）m⊥α，m⊥n⇒n∥αA. 0个B. 1个C. 2个D. 3个12.某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A. 1B. 2C. 3D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高是______．14.α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；③如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；④如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．其中正确的命题有______；（填写所有正确命题的编号）15.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB=3，BC=5，M 是AA1的中点，则三棱锥A1-MBC1的体积为______ ．16.已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为_________.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. （本小题满分10分）如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长2的正方形，E，F分别为线段DD1，BD的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；=2，求异面直线EF与BC所成的角的大小．（2）AA18. （本小题满分12分）如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．19. （本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，点M，N分别是AB，A1B1的中点．（1）求证：BN∥平面A1MC；（2）若A1M⊥AB1，求证：AB1⊥A1C20.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，B1C的中点．（1）求证：MN∥平面AA1C1C；（2）若∠ABC=90°，AB=BC=2，AA1=3，求点B1到面A1BC的距离．21.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：PA⊥BD；（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积．22.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．高二月考试卷【答案】1. A2. B3. A4. C5. C6. A7. D8. B9. B10. C11. B12. A13. 214. ①③15. 4 16.17. 证明：（1）连结BD1，在△DD1B中，E、F分别是D1D、DB的中点，∴EF是△DD1B的中位线，∴EF∥D1B，∵D1B⊂平面ABC1D1，EF⊄平面ABC1D1，∴EF∥平面ABC1D1．解：（2）∵AA1=2，AB=2，EF∥BD1，∴∠D1BC是异面直线EF与BC所成的角（或所成角的补角），在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BC⊥平面CDD1C1，CD1⊄平面CDD1C1，∴BC⊥CD1．在Rt△D1C1C中，BC=2，CD1=2，D1C⊥BC，∴tan∠D1BC=，∴∠D1BC=60°，∴异面直线EF与BC所成的角的大小为60°．18. 证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．19. 证明：（1）因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以AB∥A1B1，且AB=A1B1，又点M，N分别是AB、A1B1的中点，所以MB=A1N，且MB∥A1N．所以四边形A1NBM是平行四边形，从而A1M∥BN．又BN⊄平面A1MC，A1M⊂平面A1MC，所以BN∥平面A1MC；（2）因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥底面ABC，而AA1⊂侧面ABB1A1，所以侧面ABB1A1⊥底面ABC．又CA=CB，且M是AB的中点，所以CM⊥AB．则由侧面ABB1A1⊥底面ABC，侧面ABB1A1∩底面ABC=AB，CM⊥AB，且CM⊂底面ABC，得CM⊥侧面ABB1A1．又AB1⊂侧面ABB1A1，所以AB1⊥CM．又AB1⊥A1M，A1M、MC平面A1MC，且A1M∩MC=M，所以AB1⊥平面A1MC．又A1C⊂平面A1MC，所以AB⊥A1C．20. （1）证明：连接BC1，∵四边形BCC1B1是平行四边形，N是B1C的中点，∴N是BC1的中点，又M是A1B的中点，∴MN∥A1C1，又A1C1⊂平面AA1C1C，MN⊄平面AA1C1C，∴MN∥平面AA1C1C．（2）解：∵AB⊥BC，BB1⊥BC，AB∩BB1=B，∴BC⊥平面ABB1A1，∴V=S•BC==2，又A1B==，∴S==．设B1到平面A1BC的距离的距离为h，则V=•h=，∵V=V，∴2=，∴h=．∴点B1到面A1BC的距离为．21. 解：（1）证明：由PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC=B，可得PA⊥平面ABC，由BD⊂平面ABC，可得PA⊥BD；（2）证明：由AB=BC，D为线段AC的中点，可得BD⊥AC，由PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，可得平面PAC⊥平面ABC，又平面PAC∩平面ABC=AC，BD⊂平面ABC，且BD⊥AC，即有BD⊥平面PAC，BD⊂平面BDE，可得平面BDE⊥平面PAC；（3）PA∥平面BDE，PA⊂平面PAC，且平面PAC∩平面BDE=DE，可得PA∥DE，又D为AC的中点，可得E为PC的中点，且DE=PA=1，由PA⊥平面ABC，可得DE⊥平面ABC，可得S△BDC=S△ABC=××2×2=1，则三棱锥E-BCD的体积为DE•S△BDC=×1×1=．22. 解：（Ⅰ）如图，由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．在Rt△PDA中，由已知，得，故．所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为．（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．（Ⅲ）解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC-BF=2．又因为AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得．所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．【解析】1. 解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉其中后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选A．判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．2. 【分析】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n与α相交，故D错．故选B．3. 【分析】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．利用线面平行判定定理可知B、C、D均不满足题意，从而可得答案．【解答】解：对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意；对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知D不满足题意；所以选项A满足题意，故选A．4. 解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，]），可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ=AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos∠ABC=4+1-2×2×1×（-）=7，∴AC=，∴MQ=；在△MQP中，MP==；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===-；又异面直线所成角的范围是（0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．【解法二】如图所示，补成四棱柱ABCD-A1B1C1D1，求∠BC1D即可；BC1=，BD==，C1D=，∴+BD2=，∴∠DBC1=90°，∴cos∠BC1D==．故选：C．【解法一】设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁．本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．5. 【解答】在A中：若m∥n，m⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理得n⊥α，故A正确；在B中：若m⊥α，m⊥β，则由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故B正确；在C中：若m∥α，α∩β=n，则m与n平行或异面，故C错误；在D中：若m⊥α，m∩β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：C．【分析】在A中，由直线与平面垂直的判定定理得n⊥α；在B中，由平面与平面平行的判定定理得α∥β；在C中，m与n平行或异面；在D中，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β．本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．6. 【分析】先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的表面积．本题考查学生的空间想象能力，体积与面积的计算能力，是基础题．【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，正方体的体对角线为=2，即为球的直径，所以半径为，所以球的表面积为=12π．故选：A．7. 【分析】考查异面直线的概念，异面直线所成角的概念及求法，以及由正方体的平面展开图可以画出它对应的直观图．根据该正方体的平面展开图画出对应的直观图即可判断AB，CD的位置关系．【解答】解：由该正方体的平面展开图画出它的直观图为：可以看出AB与CD异面；如图，设该正方体一顶点为E，连接CE，DE，则AB∥CE；∴∠DCE为异面直线AB，CD的夹角，并且该角为60°；∴AB，CD异面但不垂直．故选：D．8. 解：取BC中点E，DC中点F，连结DE、BF，则由题意得DE∩BF=O，取OD中点N，连结MN，则MN∥AO，∴∠BMN是异面直线BM与AO所成角（或所成角的补角），设正四面体ABCD的棱长为2，由BM=DE=，OD=，∴AO==，∴MN=，∵O是点A在底面BCD内的射影，MN∥AO，∴MN⊥平面BCD，∴cos∠BMN===，∴异面直线BM与AO所成角的余弦值为．故选：B．取BC中点E，DC中点F，连结DE、BF，则由题意得DE∩BF=O，取OD中点N，连结MN，则MN∥AO，从而∠BMN是异面直线BM与AO所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线BM与AO所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查正四面体、线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是基础题．9.解：四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=2，PA=，连结AC、BD，交于点E，则E是AC中点，取PC中点O，连接OE，则OE∥PA，∴OE⊥平面ABCD，∴O到该四棱锥的所有顶点的距离相等，都为，∴O是该四棱锥的外接的球心，该球半径R====，∴该球的表面积为S=4=．故选：B．连结AC、BD，交于点E，则E是AC中点，取PC中点O，连接OE，推导出O是该四棱锥的外接的球心，球半径R=，由此能求出该球的表面积．本题考查四面体的外接球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10. 【分析】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端．空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，∴在轴截面中圆锥的母线长是=4，∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π，∴空间组合体的表面积是28π，故选C．11. 【分析】由空间中的线面关系逐一核对四个命题得答案．本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．【解答】解：对于（1），m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β，错误，当m∥n时，α与β可能相交；对于（2），n∥m，n⊥α⇒m⊥α，正确，原因是：n⊥α，则n垂直α内的两条相交直线，又m∥n，则m也垂直α内的这两条相交直线，则m⊥α；对于（3），α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n，错误，m与n可能异面；对于（4），m⊥α，m⊥n⇒n∥α，错误，也可能是n⊂α．∴正确命题的个数是1个．故选B．12. 解：由几何体的三视图知，该几何体是四棱锥，且底面是直角梯形，且上、下底为1和2，高为2；四棱锥的高是1，所以该几何体的体积V==1，故选：A．由几何体的三视图知该几何体是四棱锥，由三视图中数据求出四棱锥底面中、高对应的数据，代入椎体的体积公式求解即可．本题考查由三视图求几何体的体积，关键是对几何体正确还原，根据三视图的长度求出几何体的几何元素的长度，再代入对应的公式进行求解，考查了空间想象能力．13. 解：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr=，r=1；圆锥的高为：=2．故答案为：2．利用扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解得到圆锥的底面半径，然后利用勾股定理确定圆锥的高即可．主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14. 解：①由面面平行的性质定理可得：①为真命题；②可能n⊂α，因此是假命题；③如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n，是真命题；④如果m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，又n∥β，那么α与β相交或平行，因此是假命题．综上可得：只有①③是真命题．故答案为：①③．①由面面平行的性质定理判定真假；②可能n⊂α，即可判断出真假；③利用线面垂直的性质定理即可判断出真假；④由已知可得α与β相交或平行，即可判断出真假．本题考查了空间线面面面位置关系的判定及其性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15. 解：∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB=3，BC=5，∴A1C1⊥AA1，AC2+AB2=BC2，∴A1C1⊥A1B1，∵AA1∩A1B1=A1，∴A1C1⊥平面A1MB，∵M是AA1的中点，∴===3，∴三棱锥A1-MBC1的体积：====4．故答案为：4．推导出A1C1⊥平面A1MB，从而三棱锥A1-MBC1的体积=，由此能求出结果．本题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．16. 解：正方体的棱长为1，M-EFGH的底面是正方形的边长为：，四棱锥是正四棱锥，棱锥的高为，四棱锥M-EFGH的体积：=．故答案为：．求出四棱锥中的底面的面积，求出棱锥的高，然后利用体积公式求解即可．本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．17. （1）连结BD1，推导出EF∥D1B，由此能证明EF∥平面ABC1D1．（2）由EF∥BD1，知∠D1BC是异面直线EF与BC所成的角（或所成角的补角），由此能求出异面直线EF与BC所成的角的大小．本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．18. （1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可．本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目．19. （1）欲证明BN∥平面A1MC，只需推知A1M∥BN；（2）根据直三棱柱的特征和线面垂直的判定与性质来证明线线垂直．本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质，直线与平面平行的判定，其中熟练掌握空间直线与平面间垂直、平行的判定、性质、定义是解答本题的关键．20. （1）根据中位线定理可得MN∥A1C1，故而MN∥平面AA1C1C；（2）根据V=V列方程求出点B1到面A1BC的距离．本题考查了线面平行的判定，空间距离的计算，属于中档题．21. （1）运用线面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABC，再由性质定理即可得证；（2）要证平面BDE⊥平面PAC，可证BD⊥平面PAC，由（1）运用面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面ABC，再由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，运用面面垂直的性质定理，即可得证；（3）由线面平行的性质定理可得PA∥DE，运用中位线定理，可得DE的长，以及DE⊥平面ABC，求得三角形BCD的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值．本题考查空间的线线、线面和面面的位置关系的判断，主要是平行和垂直的关系，注意运用线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理，面面垂直的判定定理和性质定理，同时考查三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．22. （Ⅰ）由已知AD∥BC，从而∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角，由此能求出异面直线AP与BC所成角的余弦值．（Ⅱ）由AD⊥平面PDC，得AD⊥PD，由BC∥AD，得PD⊥BC，再由PD⊥PB，得到PD⊥平面PBC．（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角，由PD⊥平面PBC，得到∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角，由此能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值．本题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，是中档题．。
江苏省无锡市江阴青阳高级中学高二数学理月考试卷含解析
江苏省无锡市江阴青阳高级中学高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列，且c =2a,则cosB =A． B．C． D．参考答案：C2. 直线的倾斜角是( )A．B．C．D．参考答案：C略3. （）A. B. C. D.参考答案：A4. 已知椭圆+y2=1（m＞1）和双曲线﹣y2=1（n＞0）有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随m，n的变化而变化参考答案：B【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2，由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2，再由|F1F2|=2，利用勾股定理能判断△F1PF2的形状．【解答】解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2，双曲线的实轴长为2，不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2，①由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2，②∵m﹣n=2，∴n=m﹣2，①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2（m+n），又∵椭圆+y2=1（m＞1）和双曲线﹣y2=1（n＞0）有相同的焦点F1，F2，∴m﹣1=n+1，∴m﹣n=2，∴|PF1|2+|PF2|2=2（m+n）=4m﹣4，|F1F2|2=（2）2=4m﹣4，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|，则△F1PF2的形状是直角三角形故选：B．【点评】本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要熟练掌握椭圆和双曲线的简单性质．5. 已知点P(x,y)满足，则点P(x,y)所在区域的面积为( )A．36π B．32πC．20π D．16π参考答案：B6. 已知双曲线的两个焦点是F1和F2，则（）A. B. 2 C. 3 D. 4参考答案：D【分析】根据双曲线的方程，可直接得出焦距.【详解】因为双曲线方程为，所以其焦距为.故选D【点睛】本题主要考查求双曲线的焦距，熟记双曲线的简单性质即可，属于基础题型.7.参考答案：D8. 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（）A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．2参考答案：A9. 在使成立的所有常数中，把的最大值叫做的“下确界”，例如,则故是的下确界，那么（其中，且不全为的下确界是（）A．２B． C．４D．参考答案：B10. 某班要从A，B，C，D，E五人中选出三人担任班委中三种不同的职务，则上届任职的A，B，C三人都不连任原职务的方法种数为（）A．30 B．32 C．36 D．48参考答案：B【考点】D3：计数原理的应用．【分析】这是一道排列组合问题，可按三人中含A，B，C的人数进行分类，分情况讨论．由题意知选出的三人中A，B，C至少含有一人，因此按含1人，含2人，含3人三种情况分别求解．在求解时应先考虑A，B，C被选中的人的安排，再考虑剩下的人的安排．【解答】解：分类：若ABC全选，则有2种；若ABC选两个，则有=18种；若ABC选一个，则有=12种．根据分类计数原理得共2+18+12=32种方法．故选：B．【点评】本题考查排列组合问题，解排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．分类与枚举是计数原理中重要的方法，分类要求标准清晰，不重不漏．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 直线：与曲线交点的个数为_________。
高二数学10月月考试题_2_1
中学2021-2021学年高二数学10月月考试题班级 姓名 考号 一、选择题〔本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕1、直线l 经过两点P 〔1，2〕，Q 〔4，3〕，那么直线l 的斜率为〔 〕A ．B ．C ．D ．32、点P(1,1)到直线x ＋y －1＝0的间隔 为( )A ．1B ．2 C.22D. 2 3、直线3x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．135°4、方程x 2＋y 2＋x ＋y －m ＝0表示一个圆，那么m 的取值范围是( )A ．m <－12B ．m >－12C ．m ≤－12D ．m ≥－125、假设直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，那么a 的值是A. 1，-1B. 2，-2C. 1D. -16、空间两点A 〔2，﹣1，﹣3〕，B 〔﹣2，3，﹣1〕，那么A ，B 两点之间的间隔 是〔 〕A ．6B ．C ．D ． 7、假设圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2－1＝0相内切，那么a 的值是( )A ．1B ．－1C ．±1D ．08、θ为直线y=3x ﹣5的倾斜角，假设A 〔cosθ，sinθ〕，B 〔2cosθ+sinθ，5cosθ﹣sinθ〕，那么直线AB 的斜率为〔 〕A ．3B ．﹣4C ．D ．﹣9、过点P(2,1)的直线中，被圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0截得的最长弦所在的直线方程为( )A ．3x －y －5＝0B ．3x ＋y －7＝0C ．x ＋3y －5＝0D ．x －3y ＋1＝010、A 〔﹣3，0〕，B 〔0，4〕，点C 在圆〔x ﹣m 〕2+y 2=1上运动，假设△ABC 的面积的最小值为，那么实数m 的值是〔 〕A ．或者B ．或者C ．或者D ．或者11、方程kx+3﹣2k=有两个不同的解，那么实数k 的取值范围是〔 〕A ．B ．C ．D ．12、假如直线2ax ﹣by+14=0〔a ＞0，b ＞0〕和函数1()1x f x m +=+〔m ＞0，m ≠1〕的图像恒过同一个定点，且该定点始终落在圆22(1)(2)25x a y b -+++-＝的内部或者圆上，那么的取值范围是〔 〕A ．[，〕B ．〔，]C ．[，]D ．〔，〕二、填空题〔本大题一一共4个小题，每一小题5分，一共20分，把正确答案填在题中横线上〕13、直线l 1：2x ﹣y+1=0，l 2：ax+4y ﹣2=0，假设l 1⊥l 2 ， 那么a 的值是14、两个圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x2＋y2－4x －2y ＋1＝0的公切线的条数是________．15、两点A(1,2),B(3,4)到直线:10l ax y ++=的间隔 相等，那么a =_________.16、假设x 、y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，那么x 2＋y 2的最小值是 ．三、解答题〔本大题一一共6个大题，一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕17、(本小题10分)直线l 过直线l 1：3x ﹣5y ﹣10=0和l 2：x+y+1=0的交点，且平行与l 3：x+2y ﹣5=0，求直线l 的方程．18、(本小题12分)(2,5),4320.(1)3l P x y l m l P m m -+=已知直线经过点且垂直于直线－求直线的方程；(2)若直线平行于直线，且点到直线的距离为，求直线的方程。
2024-2025学年江苏省无锡市高三上学期10月月考数学阶段性质量检测试题(含解析)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若虚数z 使得2z z +是实数，则z 满足（ 2024-2025学年江苏省无锡市高三上学期10月月考数学阶段性质量检测试题）A. 实部是12- B. 实部是12C. 虚部是12-D. 虚部是12【答案】A 【解析】【分析】设i z a b =+（,R a b ∈且0b ≠），计算2z z +，由其为实数求得a 后可得．【详解】设i z a b =+（,R a b ∈且0b ≠），222222(i)(i)2i i (2)i z z a b a b a ab b a b a a b ab b +=+++=+-++=+-++，2z z +是实数，因此20ab b +=，0b =（舍去），或12a =-．故选：A ．2. 已知集合{}20M x x a =-≤，{}2log 1N x x =≤．若M N ⋂≠∅，则实数a 的取值集合为（ ）A. (],0-∞ B. (]0,4 C. ()0,∞+ D. [)4,+∞【答案】C 【解析】【分析】解不等式可求得集合,M N ，由交集结果可构造不等式求得结果.【详解】由20x a -≤得：2a x ≤，则,2a M ⎛⎤=-∞ ⎥⎝⎦；由2log 1x ≤得：02x <≤，则(]0,2N =；M N ⋂≠∅ ，02a∴>，解得：0a >，即实数a 的取值集合为()0,∞+.故选：C.3. 已知0a >，0b >，则“1a b +≤”是+≤”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合基本不等式进行判断即可．【详解】充分性：∵0a >，0b >，1a b +≤，212a b +≤≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，∴211222a b =++≤+⨯=，当且仅当12a b ==时，等号成立，≤.必要性：当1a =，116b =≤成立，但1a b +≤不成立，即必要性不成立，所以“1a b +≤”是≤”的充分不必要条件．故选：A ．4. 已知在△ABC 中，3AB =，4AC =，3BAC π∠=，2AD DB =，P 在CD 上，12AP AC AD λ=+ ，则AP BC ⋅的值为（ ）A. 116-B.72C. 4D. 6【答案】C 【解析】【分析】由,,D P C 三点共线求出λ，再由11,23BC AC AB AP AC AB =-=+ 得出AP BC ⋅的值.【详解】,,D P C 三点共线，111,22λλ∴+==，11,23BC AC AB AP AC AB =-=+ ，221118134263AP BC AC AB AC AB ∴⋅=-⋅-=--= 故选：C5. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且{}11,n n a S na =+为常数列，则n a =（ ）A. 113n - B.2(1)n n + C.2(1)(2)++n n D.523n -【答案】B 【解析】【分析】由条件可得11(1)n n n n S na S n a +++=++，然后可得12n n a na n +=+，然后用累乘法求出答案即可.【详解】因为数列{}n n S na +是常数列，所以11(1)n n n n S na S n a +++=++，因为11n n n a S S ++=-，所以1(2)n n na n a +=+，即12n n a na n +=+，所以当2n ≥时1232112321n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=⋅⋅⋅⋅⋅ 12321211143(1)n n n n n n n n ---=⋅⋅⋯⋅⨯⨯=+-+，1n =时也满足上式，所以2(1)n a n n =+.故选：B6. 已知x 、y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为 （ ）A. 24 B. 32C. 20D. 28【答案】C 【解析】【分析】转化()()112246()[(2)(2)]422x y x y x y x y +=+++-=++++-++，结合均值不等式，即可得解.【详解】,x y 均为正实数，且111226x y +=++，则116122x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭(2)(2)4x y x y ∴+=+++-116(2)(2)]422x y x y =++++-++226(2)46(242022y x x y ++=++-≥+-=++ 当且仅当10x y ==时取等号.x y ∴+的最小值为20.故选：C.7. 已知函数()cos f x x =，函数()g x 的图象可以由函数()f x 的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到，若函数()g x 在3(,22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ）A. 4(0,9B. 48[,]99C. 48(,]99D. 8(0,9【答案】A 【解析】【分析】由函数()cos f x x =，根据三角函数的图象变换得到()cos 6g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()cos 06g x x πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，结合函数零点存在的条件建立不等式求解即可.【详解】函数()cos f x x =，向右平移6π个单位长度，得cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到()cos 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()cos 06g x x πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得62x k ππωπ-=+，所以123x k ππω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则需3222T πππ>-=，所以22ππω>，所以01ω<<，若函数()g x 在3(,)22ππ上有零点，则123232k ππππω⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，当k=0时，得123232ω<<，解得4493ω<<，当k=1时，得153232ω<<，解得101093ω<<，综上：函数()g x 在3(,22ππ上有零点时，4493ω<<或101093ω<<，所以函数()g x 在3(,22ππ上没有零点，409ω<≤.所以ω的取值范围是4(0,]9.故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及函数零点问题，还考查了转化求解问题的能力，属于难题.8. 已知函数3e ,0()3,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()22g x x x =-+（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程()(())F x g f x m =-恰有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则12333x x x -+的最大值为（ ）A. 31ln4+ B. 41ln3+ C. 3ln 3- D. 3ln 3+【答案】A 【解析】【分析】根据解析式研究()f x 、()g x 的函数性质，由()F x 零点个数知，曲线()g x 与直线y m =的交点横坐标一个在(0,1]上，另一个在(1,)+∞上，数形结合可得01m <<，12()()g t g t m ==且12012t t <<<<，122t t +=，进而可得112123ln ,,333t t tx x x ===代入目标式，再构造函数研究最值即可得解.【详解】由()f x 解析式，在(,0]-∞上()f x 单调递增且值域为(0,1]，在(0,)+∞上()f x 单调递增且值域为(0,)+∞，函数()f x 图象如下：所以，()f x 的值域在(0,1]上任意函数值都有两个x 值与之对应，值域在(1,)+∞上任意函数值都有一个x 值与之对应，要使()(())F x g f x m =-恰有三个不同的零点123,,x x x ，则曲线()g x 与直线y m =的交点横坐标一个在(0,1]上，另一个在(1,)+∞上，由2()2g x x x =-+开口向下且对称轴为1x =，由上图知：01m <<，此时12()()g t g t m ==且12012t t <<<<，122t t +=，结合()f x 图象及123x x x <<有1321e 3xx t ==，323x t =，则112123ln ,,333t t tx x x ===，所以11123121433ln ln 233t tx x x t t t -+=-+=-+，且101t <<，令4()ln 23h x x x =-+且01x <<，则1434()33xh x x x -=='-，当3(0,)4x ∈时()0h x '>，()h x 递增；当3(,1)4x ∈时()0h x '<，()h x 递减；所以max 33()()ln 144h x h ==+，故12333x x x -+最大值为3ln 14+.故选：A【点睛】关键点点睛：根据已知函数的性质判断()g x 与y m =的交点横坐标12,t t 的范围，进而得到123,,x x x 与12,t t 的关系，代入目标式并构造函数研究最值.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项的和，且10a <，20002022S S =，则（ ）A. 0d > B. 20110a = C. 40220S = D. 2011n S S ≥【答案】ACD 【解析】【分析】结合等差数列下标性质和单调性即可解答.【详解】∵20002022S S =，∴201120120a a +=，又∵10a <，则0d >，A 正确；∴201120120,0a a <>，B 错误；∵()()140224022201120124022201102a a S a a +==+=，C 正确；∵201120120,0a a <>，0d >则等差数列{}n a 前2011项均为负数，从2012项开始均为正数，∴2011n S S ≥，D 正确.故选：ACD.10. 若函数f (x )=A sin (ωx +φ)，()0,0,0πA ωϕ>><<的部分图象如图中实线所示，记其与x 轴在原点右侧的第一个交点为C ，图中圆C 与()f x 的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期是πB. 函数()f x 在7ππ,123⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减C. 函数()f x 的图象向左平移π12个单位后关于π4x =对称D. 若圆C 的半径为5π12，则()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】AD 【解析】【分析】A 选项，由图象得到π3C x =，进而得到()f x 的最小正周期；B 选项，求出2π2πω==，π3ϕ=，从而得到π5ππ2,363x ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭，判断出函数不单调；C 选项，求出平移后的解析式，得到当π4x =时，0cosπ2y A ==，故不关于π4x =对称；D 选项，由圆的半径求出π0,4M ⎛⎫⎪⎝⎭，进而代入解析式，求出A ，得到答案.【详解】A 选项，由图象可知，,M N 关于点C 中心对称，故2π0π323C x +==，设()f x 的最小正周期为T ，则1πππ2362T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得πT =，A 正确；B 选项，因为0ω>，所以2π2πω==，故()()sin 2f x A x ϕ=+，将π,03C ⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式得，sin 02π3ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0πϕ<<，所以2π2π5π333ϕ<+<，故2ππ3ϕ+=，解得π3ϕ=，故()πsin 23f x A x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当7ππ,123x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，π5ππ2,363x ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭，因为sin y z =在5ππ,36z ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭上不单调，故()πsin 23f x A x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在7ππ,123x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭上不单调，B 错误；C 选项，函数()πsin 23f x A x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移π12个单位后，得到s πππ63sin 22in 2cos 2y A x A x A x ⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当π4x =时，0cos π2y A ==，故不关于π4x =对称，C 错误；D 选项，圆C 的半径为5π12，由勾股定理得4πOM ==，故π0,4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将其代入()πsin 23f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中，得4sin 0ππ3A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得A =，故()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，D 正确.故选：AD11. 已知函数()()ln ,e x xf xg x x x-==，若存在()120,,x x ∞∈+∈R ，使得()()12f x g x k ==成立，则（ ）A. 当0k >时，121x x +>B. 当0k >时，21e 2ex x +<C. 当0k <时，121x x +< D. 当0k <时，21e k x x ⋅的最小值为1e-【答案】ACD 【解析】【分析】求出()f x ¢，则可得f(x)在()0,e 上单调递增在()e,+∞上单调递减，则可画出f(x)的图像，利用同构可知()()12f x g x k ==等价于2211ln lne e x x x k x ==，结合图像则可判断AB 选项，当0k <时，则可得21e x x =，()10,1x ∈，构造函数即可判断CD 选项.【详解】()ln xf x x =，()ex x g x =，()21ln x f x x -∴='，∴当0e x <<时，()0f x ¢>，f(x)在()0,e 上单调递增，当e x >时，()0f x ¢<，f(x)在()e,+∞上单调递减，所以()ln xf x x=图像如图所示：又()()12f x g x k ==，即2211ln lne ex x x k x ==，∴当0k >时，要使12x x +越小，则取21e 1x x =→，故有121x x +>，故A 正确；又1x 与2e x 均可趋向于+∞，故B 错误；的当2210,0e <1,e x xk x <<=，且()112110,1,ln x x x x x ∈∴+=+，记l (n )h x x x =+，(0,1)x ∈，1()10h x x'=+>恒成立，即()h x 在(0,1)上单调递增，所以()(1)1h x h <=，即当()112110,1,ln 1x x x x x ∈+=<+成立，故C 正确；21e e kk x k x ⋅=，令()()()e ,0,1e k k g k k k g k k =+'=<，()g k ∴在(),1-∞-单调递减，在()1,0-单调递增，()()11eg k g ∴≥-=-，故D 正确，故选：ACD.点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性与交点，属于难题；画出f(x)的图像，利用同构可知()()12f x g x k ==等价于2211ln lne ex x x k x ==，则可求出判断出AB 选项，构造函数l (n )h x x x =+，(0,1)x ∈则可判断C 选项，构造函数()e ,0,k g k k k =<则可判断D 选项.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知平面向量(2,)a m = ，(2,1)b = ，且a b ⊥．则||a b += ____________．【答案】5【解析】【分析】根据a b ⊥得到220m ⨯+=，解得4m =-，然后利用坐标求模长即可.【详解】因为a b ⊥ ，所以220m ⨯+=，解得4m =-，所以()4,3a b +=- ，5a b +== .故答案为：5.13. 复平面上两个点1Z ，2Z 分别对应两个复数1z ，2z ，它们满足下列两个条件：①212i z z =⋅；②两点1Z ，2Z 连线的中点对应的复数为13i -+，若O 为坐标原点，则12Z OZ △的面积为______．【答案】8【解析】【分析】令()1,Z m n ，()2,Z a b ，且,,,R a b m n ∈，结合条件求参数，进而确定12,OZ OZ的位置关系及模【长，即可求12Z OZ △的面积.【详解】令()1,Z m n ，()2,Z a b ，且,,,R a b m n ∈，由212i z z =⋅，则i (i)2i a b m n +=+⋅，即i 22i a b n m +=-+，故22a nb m =-⎧⎨=⎩①，由两点1Z ，2Z 连线的中点对应的复数为13i -+，则1232a mb n +⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即26a m b n +=-⎧⎨+=⎩②，联立①②，可得44a b =-⎧⎨=⎩，且22m n =⎧⎨=⎩，即()12,2OZ = ，()24,4OZ =- ，由2142420OZ OZ ⋅=-⨯+⨯=，即12OZ OZ ⊥ ，故12Z OZ △为直角三角形，又1OZ =，2OZ = 12Z OZ △的面积为182⨯=.故答案为：814. 若函数()21ln 2f x x ax b x =-+存在极大值点0x ，且对于a 的任意可能取值，恒有极大值()00f x <，则b 的最大值为__________.【答案】3e 【解析】【分析】根据极值与导数()2(0)x ax bf x x x'-+=>的关系以及题意得20x ax b -+=有两个不相等的正根12,x x，故而利用辨别式和韦达定理求得a >(01x x =∈以及()f x在(上的单调性，又由()00f x '=得()20001ln 2f x x b b x =--+，从而将原命题转化为()21ln 02g x x b x b =-+-<在(上恒成立，接着研究()g x在(上的最值即可得解.【详解】由题意得()2(0)b x ax bf x x a x x x'-+=-+=>，因为()f x 存在极大值点0x ，所以20x ax b -+=有两个不相等的正根，则有21212=4000a b x x a x x b ⎧->⎪+=>⎨⎪=>⎩ ，由此可得a >120x x <=<=，所以()()()()()12120,,,0;,,0x x x f x x x x f x ''∈+∞>∈< ，所以()f x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，从而可得()f x 的极大值点为10x x =，因为1x==22a x=<=<<=，所以(0x ∈，且()f x 在()00,x 上单调增，在(0x 上单调减，当0x x =时()f x 取得极大值()0f x ，又由()00f x '=得2000x ax b -+=，所以()()2222000000000111ln ln ln 222f x x ax b x x x b b x x b b x =-+=-++=--+，令()(21ln ,2g x x b x b x =-+-∈，则原命题转化为()0g x <在(上恒成立，求导得()20b b x g x x x x-=-+=>'，所以()y g x =在(上单调增，故()13ln 022g x gb b b <=-≤，即ln 3b ≤，从而得30e b <≤，所以b 最大值为3e .故答案为：3e .【点睛】关键点睛：解决本题关键点1在于抓住极值与导数()2(0)x ax bf x x x'-+=>的关系结合一元二的次函数的性质求得a >(01x x =∈以及()f x 在(上的单调性，关键点2是利用()00f x '=求得极大值()20001ln 2f x x b b x =--+，从而将原命题转化为()21ln 02g x x b x b =-+-<在(上恒成立，于是研究()g x 在(上的最值得解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知向量()cos ,sin m x x =-，()cos ,sin n x x x =- ，R x ∈．设()f x m n =⋅ ．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若()2413f x =，且ππ62x ≤≤，求sin 2x 的值．【答案】（1）π（2【解析】【分析】（1）利用向量的坐标运算求出()f x m n =⋅，然后利用三角公式整理为()sin y A ωx φ=+的形式，就可以求出周期了；（2）先通过πsin 26⎛⎫+ ⎪⎝⎭x 求出πcos 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再通过ππsin 2sin 266x x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦展开计算即可.【小问1详解】()()2cos sin sin f x x x x x=--22cos sin cos x x x x =-+2cos2x x =+2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为π；【小问2详解】由（1）得π12sin 2613x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由ππ62x ≤≤得ππ72π266x ≤+≤，所以π5cos 2613x ⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，则ππππππsin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 666666x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦125113132=⨯=．16. 已知数列{}n a 满足11a =，21a =，()123,n n n a a a n n *---=≥∈N ，nS表示数列{}n a 的前n 项和（1）求证：21n n a S -=+（2）求使得211100k k a S --≥成立的正整数()3,k k k *≥∈N 的最大值【答案】（1）证明见解析 （2）11【解析】分析】（1）根据累加法即可证明；（2）结合数列特点根据穷举法即可求解.【小问1详解】证明：由12n n n a a a ---=得12n n n a a a ---=123n n n a a a ----=234n n n a a a ----=321a a a -=累加得223412n n n n n a a a a a a S -----=+++⋅⋅⋅+=于是2221n n n a S a S --=+=+.【小问2详解】解：由121a a ==，21n n n a a a --=+，得：对任意n *∈N ，210n n n a a a --=+>，进而120n n n a a a ---=>，故数列{}n a 单调递增，由（1）可知21n n a S -=+，故2211101k k k k a S S a ---==>-，于是只需求使得111100k a >-最大的正整数k ，【从而只需求使得101k a <最大的正整数k ，由121a a ==，21n n n a a a --=+，列举得：11a =，21a =，32a =，43a =，55a =，68a =，713a =，821a =，934a =，1055a =，1189a =，12144a =结合数列{}n a 单调递增，于是使得101k a <最大的正整数k 为11.17. 已知函数()3231f x x x ax =+++，1x ，2x 分别是()f x 的极大值点和极小值点．（1）若0a =，()()13f x f x =，13x x ≠，求132x x +的值；（2）若()()125f x f x +≤，求a 的取值范围．【答案】（1）1323x x +=- （2）132a ≤<【解析】【分析】（1）对()f x 求导，求出1x 和2x ，利用()()135f x f x ==，求出3x ，从而求出答案；（2）对()f x 求导，根据1x ，2x 分别是()f x 的极大值点和极小值点，得到1x ，2x 是方程()0f x '=的两个不相等的实根，化简()()12f x f x +，最终求出答案．【小问1详解】当0a =时，()3231f x x x =++，所以()()23632f x x x x x '=+=+，令()0f x '=，得0x =或2x =-．列表如下：x(),2-∞-2-()2,0-0()0,∞+()f x '+-+()f x极大值极小值所以()f x 在2x =-处取极大值，即12x =-，且()15f x =．由()()135f x f x ==，所以3233315x x ++=，即3233340x x +-=，所以()()233120x x -+=．因为13x x ≠，所以31x =，所以1323x x +=-．【小问2详解】由()236f x x x a '=++，因为1x ，2x 分别是()f x 的极大值点和极小值点，所以1x ，2x 是方程()0f x '=的两个不相等的实根，且36120a ∆=->，即3a <，所以12122,.3x x ax x +=-⎧⎪⎨=⎪⎩因为()()()()3232121112223131f x f x x x ax x x ax +=+++++++()()()()221212121212123322x x x x x x x x x x a x x ⎡⎤⎡⎤=++-++-+++⎣⎦⎣⎦()()()()22223322226233a a a a ⎡⎤⎡⎤=---⨯+--⨯+⨯-+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，因为()()125f x f x +≤，所以625a -≤，解得12a ≥．综上，132a ≤<．18. 如图，在ABC V 中，2π3BAC ∠=，点P 在边BC 上，且,2AP AB AP ⊥=．（1）若PC =，求PB ﹔（2）求ABC V 面积的最小值．【答案】（1（2【解析】【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理求解即可；（2）设ABP θ∠=，则π3ACB θ∠=-，求出2sin BP θ=，1=πsin 3PC θ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以三角形ABC 面积的可表示为只含θ的函数，利用二次函数的性质可得最大值.【小问1详解】因为2πππ2,326AP PC CAP ==∠=-=，所以在ACP △中由余弦定理可得2222cos PC AP AC AP AC CAP =+-⋅∠，所以21344AC AC =+-，解得AC =，由正弦定理得sin sin PA PC C CAP =∠，即22in 1s C =sin C =，所以cos C ==，()sin sin sin cos cos sin B BAC C BAC C BAC C =∠+=∠+∠=在三角形ABC 中由正弦定理得：sin sin BC AC BAC B=∠=，解得BC =PB BC PC =-=【小问2详解】设ABP θ∠=，则π3ACB θ∠=-，由于2AP =，则2sin sin AP BP θθ==，在ACP △中由正弦定理得：°πsin 30sin 3AP PC θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得1=πsin 3PC θ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过A 点做BC 的垂线，交BC 于M 点，设三角形的面积为S，则π2PAM BAM ABM BAM ∠+∠=∠+∠=，所以PAM ABM θ∠=∠=，所以cos 2cos AM AP θθ==，所以121cos cos π2sin sin 3S AM BC θθθθ⎛⎫ ⎪⎪=⨯⨯=+=⎛⎫ ⎪- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭cos θ===≥ABC.19. 定义函数()()()23*1123nn n x x xf x x n n=-+-++-∈N ．（1）求曲线()n y f x =在2x =-处的切线斜率；（2）若()22e xf x k -≥对任意x ∈R 恒成立，求k 取值范围；（3）讨论函数()n f x 的零点个数，并判断()n f x 是否有最小值．（注：e 2.71828= 是自然对数的底数）【答案】（1）12n - （2）(],1-∞- （3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）通过参变分离以及求解函数的最值得出结果；（3）分成n 为奇数，n 为偶数两种情况，并借助导数不等式分别讨论函数()n f x 的零点个数及最值.【小问1详解】由()()2111nn n f x x x x -'=-+-++- ，可得()2112212221212nn n n f --'-=-----=-=-- ,的所以曲线()n y f x =在2x =-处的切线斜率12n -.【小问2详解】若()22e xf x k -≥对任意x ∈R 恒成立，所以()22122e e x xx x f x k --+-≤=对任意x ∈R 恒成立，令212()e xx x g x --+=，则()4()2ex x x g x -'=，由()0g x '<解得0x <，或4x >；由()0g x '>解得04x <<，故在(),0-∞上单调递减，在()0,4上单调递增，在()4,+∞上单调递减，又(0)1g =-，且当4x >时，()0g x >，故()g x 的最小值为(0)1g =-，故1k ≤-，即k 的取值范围是(],1-∞-.【小问3详解】()()1111n f n '-=----=- ，当1x ≠-时，()()()()()21111111n nnn n x x f x x x x x x -----'=-+-++-=-=--+ ，因此当n 为奇数时，()2311231n nn x x x xf x x n n-=-+-++-- ，此时()1,1,1, 1.n n x x f x x n x ⎧--≠-⎪=-'+⎨⎪-=⎩则()0n f x '<，所以()n f x 单调递减，此时()010n f =>，()11f x x =-显然有唯一零点，无最小值，当2n ≥时，()2312222212231n nn f n n -=-+-++-- ()2123212220321n n n n -⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，且当2x >时，()()2311231n n n x x x x f x x n n -⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ()21311321n x x n x x x x n n -⎛⎫⎛⎫=-+-++-<- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ ，由此可知此时()n f x 不存在最小值，从而当n 为奇数时，()n f x 有唯一零点，无最小值，当2n k =()*k ∈N 时，即当n 为偶数时，()2311231n nn x x x xf x x n n-=-+-+-+- ，此时()1,1,1, 1.n n x x f x x n x ⎧-≠-⎪=-'+⎨⎪-=⎩，由()0n f x '>，解得1x >；由()0n f x '<，解得1x <，则()n f x 在(],1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故()n f x 的最小值为()()1111111102321n f n n n⎛⎫⎛⎫=-+-++-+> ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ，即()()10n n f x f ≥>，所以当n 为偶数时，()n f x 没有零点，即当n 为偶数时，()n f x 没有零点，存在最小值，综上所述，当n 为奇数时，()n f x 有唯一零点，无最小值；当n 为偶数时，()n f x 没有零点，存在最小值.【点睛】方法点睛：恒成立问题的等价转化法则：（1）()0f x >恒成立()min ()0,0f x f x ⇔><恒成立max ()0f x ⇔<；（2）()f x a >恒成立()min (),f x a f x a ⇔><恒成立max ()f x a ⇔<；（3）()()f x g x >恒成立()()min []0f x g x ⇔->，()()f x g x <恒成立()()max []0f x g x ⇔-<；（4）()()1212,,x M x N f x g x ∀∈∀∈>恒成立()()12min max f x g x ⇔>．。
江苏省无锡市第一中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题(含解析)
江苏省无锡市第一高级中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.若复数1211iz i +=--，则z 在复平面内的对应点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合{}2{326},log 2A xm x m B x x =-<<+=<∣∣，若A B A ⋃=，则实数m 的取值范围是（）A.∅B.[3,1]-- C.(1,3)- D.[1,3]-3.函数()3()2xf x x x e =-的图像大致是A.B.C.D.4.已知{}n a 为等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和．若10370,0S a a <+>，则当n S 取最大值时，n 的值为（）A .3B.4C.5D.65.已知0a >，0b <，且320a b ab -+=，则3a b -的最小值是（）A.6B.8C.12D.166.，由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，黄金分割不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用.在ABC 中，点D 为线段BC 的黄金分割点（BD DC >），2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，则AD BC →→⋅=（）A.92-B.92-C.72-D.72-7.已知定义在[0,)+∞上的函数()f x 满足：对任意的1x ，2[0,)x ∈+∞，12x x ≠，都有()()21212f x f x x x ->-，()12022f =，则满足不等式()()202221012f x x ->-的x 的解集是（）A.2022(,)+∞ B.(2023,)+∞ C.[)2022,2023 D.[)2021,20238.在等比数列{}n a 中，已知20200a >，则“20212024a a >”是“20222023a a >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知0a b >>，且1ab =，则下列式子正确的有（）A.22log log 1a b +>B.22log log 0a b ⋅<C.224a b +> D.210b a->10.某同学在研究函数()1||xf x x =+()x R ∈时，给出下面几个结论中正确的有A.()f x 的图象关于点(1,1)-对称B.若12x x ≠，则()()12f x f x ≠C.()f x 的值域为(1,1)- D.函数()()g x f x x =-有三个零点11.已知函数()()()3sin ,0,,0,288f x x f f x f πππωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+><-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，且函数()y f x =在区间,1224ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调，那么下列说法中正确的是（）A.存在ϕ，使得()f x 是偶函数B.()304f f π⎛⎫=⎪⎝⎭C.ω是奇数D.ω的最大值为312.已知数列{}n a 满足101a <<，()()11ln 2N *n nn a a a n ++=-∈，n S 为数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则下列结论正确的是（）A.()12n n n S +>B.202212022a >C.01n a << D.若113a =，则1132n n a -≥⋅三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若332a =，392S =，则q =________．14.设,,a b c 分别为△ABC 内角,,A B C 的对边，若B C A =≠，且2222()a b c a b c +-=，则角=A ________.15.已知M 为ABC 中线AD 的中点,过点M 的直线与AB ,AC 分别交于点E ,F ,若AE =,AB AEF λ与ABC 的面积之比为932,则实数λ的值为_____.16.已知曲线x a y e +=与2(1)y x =-恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围为________四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量,cos )a x x →=，(cos ,cos )b x x →=.（1）若//a b →→，且(,0)x π∈-，求x 的值；（2）若函数()21f x a b →→=⋅-，且123x f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.18.在①121,,4a a 成等差数列，②123,1,a a a +成等比数列，③334S =，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，*1132(),0,n n S a a n N a =+∈≠，且.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记22log n n n b a a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.已知数列{}n a 的前n 项之积．．为n b ，且()2*12122n n a a a n n n N b b b +++⋅⋅⋅+=∈．（1）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭和{}n a 的通项公式；（2）求()12212n n n n n f n b b b b b ++-=+++⋅⋅⋅++的最大值．20.如图所示，在平面四边形ABCD中，=2,==6AB BD ABD ACD π∠∠，设,(0,)3CAD πθθ∠=∈.（1）若4πθ=，求CD 的长；（2）当θ为何值时，△BCD 的面积取得最大值，并求出该最大值.21.已知函数()2ln 2a f x x x =+（R a ∈）.（1）当1a =时，对于函数()()3ln G x f x x =-，存在[]12,1,4x x ∈，使得()()12G x G x m -≥成立，求满足条件的最大整数m ；（ln 20.693≈）（2）设函数()323g x x =，若()()f x g x ≤在)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.22.设()e 21x f x a x =--，其中a ∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）令5()e ()(0)4xF x f x a a=+≠，若()0F x ≤在R 上恒成立，求a 的最小值．江苏省无锡市第一高级中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.若复数1211iz i +=--，则z 在复平面内的对应点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可【详解】()()12i 1i 12i33i 33i 111i 2222z +++-+=-=-==-+-，所以，z 在复平面内的对应点为33,22⎛⎫-⎪⎝⎭，则对应点位于第二象限故选：B 2.设集合{}2{326},log 2A x m x m B x x =-<<+=<∣∣，若A B A ⋃=，则实数m 的取值范围是（）A.∅B.[3,1]-- C.(1,3)- D.[1,3]-【答案】D 【解析】【分析】由题意可得B A ⊆，求出集合B ，则可得30264m m -≤⎧⎨+≥⎩，从而可求出实数m 的取值范围.【详解】因为A B A ⋃=，所以B A ⊆．则由{|04}B x x =<<，可得30264m m -≤⎧⇒⎨+≥⎩13m -≤≤，故选：D ．3.函数()3()2xf x x x e=-的图像大致是A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据函数定义域为R 先分析函数的奇偶性，然后判断()()0,1,1,x x ∈∈+∞时()f x 函数值的正负特点，由此判断出函数图像.【详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()()()3322x xf x x x e x x e f x --=-+=--=-，所以()f x 为奇函数，当01x <<时，()0f x >，当1x >时，()0f x <，只有B 符合．故选B.【点睛】判断函数图像时主要从以下几个方面入手：（1）函数的奇偶性；（2）函数的单调性；（3）函数的特殊值；（4）利用导数分析函数.4.已知{}n a 为等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和．若10370,0S a a <+>，则当n S 取最大值时，n 的值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的前n 项和公式及等差数列下角标的性质即可求解.【详解】因为110101105610()5()5()02a a S a a a a +==+=+<，所以560a a +<，又37520a a a +=>，所以50a >，所以60a <，则max 5()n S S =.故选:C.5.已知0a >，0b <，且320a b ab -+=，则3a b -的最小值是（）A.6B.8C.12D.16【答案】B 【解析】【分析】根据题意可化简为312a b=-，判断符号，代入3a b -结合基本不等式即可得解.【详解】由a -3b +2ab =0得312a b =-，又因为a >0，b <0，则3300b a a b->->，，则()()1131133323310222b a ab a b a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-=⨯--=⨯+-+- ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11082⎡≥+=⎢⎢⎣（当且仅当33b a a b -=-即a =2，b =-2时，等号成立），故3a -b 的最小值为8.故答案为：B6.，由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，黄金分割不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用.在ABC 中，点D 为线段BC 的黄金分割点（BD DC >），2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，则AD BC →→⋅=（）A.92- B.92- C.72- D.72-【答案】A 【解析】【分析】点D 为线段BC的黄金分割点，求出1122BD AC AB →→→=-，1322AD AC AB→→→--=+,再求AD BC →→⋅得解.【详解】点D 为线段BC 的黄金分割点，则111222BDBC AC AB→→→→-==-，所以AD AB BD →→→=+113222AB BC AC AB→→→→--=+=+，则13()22AD BC AC AC AB →→→→→→⎛⎫-⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭2213979(26622222AC AB AB AC →→→→-=-+-⋅=+-.故选：A.7.已知定义在[0,)+∞上的函数()f x 满足：对任意的1x ，2[0,)x ∈+∞，12x x ≠，都有()()21212f x f x x x ->-，()12022f =，则满足不等式()()202221012f x x ->-的x 的解集是（）A.2022(,)+∞ B.(2023,)+∞ C.[)2022,2023 D.[)2021,2023【答案】B 【解析】【分析】将()()21212f x f x x x ->-转化为()()221121220f x x f x x x x ⎡⎤⎡⎤---⎣⎦⎣⎦>-，从而得到函数()()2g x f x x =-为增函数，再结合()12022f =将所求不等式转化为()()20221g x g ->，进而根据单调性求解即可.【详解】()()21212f x f x x x ->-可转化为()()221121220f x x f x x x x ⎡⎤⎡⎤---⎣⎦⎣⎦>-，不妨设210x x >≥，则210x x ->，∴()()2211220f x x f x x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣-⎦--.令()()2g x f x x =-，由单调性定义可知，()g x 为[0,)+∞上的增函数.∵()()202221012f x x ->-，∴()()2022220222020f x x --->.∵()12022f =，∴()()1122020g f =-=，∴()()20221g x g ->，∴2022020221x x -≥⎧⎨->⎩，∴2023x >，即x 的取值范围为(2023,)+∞.故选：B.8.在等比数列{}n a 中，已知20200a >，则“20212024a a >”是“20222023a a >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】直接利用等比数列的通项公式及其充分条件，必要条件的定义求解即可.【详解】∵公比0q ≠，∴20212024a a >，∴420212020a q a q >，∴4q q >，∴()310q q ->，∴()()2110q q q q -++>，∴()10q q ->，∴01q <<，又∵20222023a a >，∴2320202020>a q a q ，∴23q q >，∴()210q q ->，∴1q <且0q ≠，∴011q q <<⇒<且0q ≠，即“20212024a a >”是“20222023a a >”的充分不必要条件．故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知0a b >>，且1ab =，则下列式子正确的有（）A.22log log 1a b +> B.22log log 0a b ⋅<C.224a b +> D.210b a->【答案】BC 【解析】【分析】对AB ，根据对数的运算判断即可；对C ，根据基本不等式判断即可；对D ，根据1b a=结合二次函数的性质判断即可.【详解】已知0a b >>，且1ab =，故1a b >>，且1b a=.对A ，2222log log log log 101a b ab +===<，故A 错误；对B ，()2222221loglog log log log 0a b a a a⋅=⋅=-<，故B 正确；对C，224a b +=≥=≥=，当且仅当1a b ==时取等号，因为1a b >>，故224a b+>成立，故C 正确；对D ，因为1b a =且1b <，故()22110b b b b b a-=-=-<，故D 错误；故选：BC10.某同学在研究函数()1||xf x x =+()x R ∈时，给出下面几个结论中正确的有A.()f x 的图象关于点(1,1)-对称B.若12x x ≠，则()()12f x f x ≠C.()f x 的值域为(1,1)- D.函数()()g x f x x =-有三个零点【答案】BC 【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再利用绝对值性质化简函数的解析式，判断函数的值域，然后再根据零点的定义判断即可.【详解】函数()f x 的定义域为全体实数，()()1||1||x xf x f x x x --==-=-+-+，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称，,01()1,01xx x xf x x x x x⎧≥⎪⎪+==⎨+⎪<⎪-⎩.选项A ：由上分析函数关于原点对称，若函数关于(1,1)-对称，原点关于(1,1)-对称的点是(2,2)-，而22(2)21|2|3f --==-≠+-，显然(2,2)-不在该图象上，故函数不关于(1,1)-对称，本选项是错误的；选项B ：当0x ≥时，1()111x f x x x==-++，显然函数单调递增，此时0()1f x ≤<；当0x <时，1()111x f x x x==-+--，显然函数单调递增，此时1()0f x -<<，因此函数在整个实数集上是单调递增的，因此若12x x ≠，则()()12f x f x ≠是正确的，本选项是正确的；选项C ：由选项B 的分析可以知道本选项是正确的；选项D ：001()()0(||1|)|g x f x x f x x x x xx x x x -=⇒=⇒=++=-=⇒=⇒，只有一个零点，故本选项是错误的.故选：BC【点睛】本题考查了函数的奇偶性、值域、零点、对称性、单调性，属于基础题.11.已知函数()()()3sin ,0,,0,288f x x f f x f πππωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+><-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，且函数()y f x =在区间,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，那么下列说法中正确的是（）A.存在ϕ，使得()f x 是偶函数B.()304f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭C.ω是奇数D.ω的最大值为3【答案】BC 【解析】【分析】由最大值得一条对称轴，从而判断B ，由零点，最大值点可得周期满足的关系式，从而得ω的一个表达式，由此判断C ，利用单调性得周期也即得ω的一个范围，判断D ，同三角函数的奇偶性再结合诱导公式判断D ．【详解】3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，则38f π⎛⎫⎪⎝⎭是最大值，38x π=是()f x 图象的一条对称轴，则3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，又(08f π-=，所以4134882n T πππ+⎛⎫⋅=--= ⎪⎝⎭，即41242n ππω+⨯=，41n ω=+（N n ∈），是奇数；又函数()y f x =在区间,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，所以224128T ππππω⎛⎫=≥--= ⎪⎝⎭，8ω≤，所以ω的最大值是5．又2πϕ<，所以,2k k Z πϕπ≠+∈，因此不存在ϕ，使得函数为余函数，故选：BC12.已知数列{}n a 满足101a <<，()()11ln 2N *n n n a a a n ++=-∈，n S 为数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则下列结论正确的是（）A.()12n n n S +>B.202212022a >C.01n a << D.若113a=，则1132n n a -≥⋅【答案】ACD 【解析】【分析】综合运用导数与函数、不等式及数列的知识解决问题.【详解】对于C ，由11ln(2)n n n a a a ++=-知：n =1时，212ln(2)a a a =-，假设2a ≤，则()212ln 20a a a =->，矛盾，所以2a >，类推可知：0n a >，又设()ln (1),0f x x x x =-->，1(),(0,1),()0,(1,),()0xf x x f x x f x x-'''=∈>∈+∞<，故max ()(1)0,()0,f x f f x ==∴≤即0x >时，ln 1x x ≤-，因此11ln(2)1n n a a ++-≤-，即111ln(2)(1)nn n n n a a a a a +++=-≤-，整理得：1111111,1n n n na a a a ++-≥∴≥+，因为0n a >，所以1111,01(N*),01n n n a n a a ++>∴<<∈<<，所以01(N*)n a n <<∈成立，即C 正确；对于A ，由1111n n a a +-≥，(*)n ∈N ，用累加法可得：11111(1)(1)n n n n a a a ≥+-=-+>，所以12111(1)122n n n n S n a a a +=++⋅⋅⋅+>++⋅⋅⋅+=，故A 正确；对于B ，由1n n a >知1n a n<，所以202212022a <，B 错误；对于D ，由C 可得()221ln 23a a =-，设()()3ln 2p x x x =--，单调递增，且1111ln 0626p ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以216a >符合题意；当2n ≥时，()11151ln 2ln 2ln 132n n n a a n a ++⎛⎫->-≥> ⎪+⎝⎭=，累乘可得：1111111123232n n n n a a ---⎛⎫⎛⎫≥⋅== ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭，D 正确.故选：ACD.【点睛】构造函数，研究函数的性质从而得到关于数列的不等式进而运用数列、不等式的知识是解决问题的关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若332a =，392S =，则q =________．【答案】1或12-【解析】【分析】利用等比数列的通项公式列出方程组即可解出答案.【详解】∵231231113292a a q S a a q a q ⎧==⎪⎪⎨=++=⎪⎪⎩∴1321a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或1612a q =⎧⎪⎨=-⎪⎩.故答案为：1或12-.14.设,,a b c 分别为△ABC 内角,,A B C 的对边，若B C A =≠，且2222()a b c a b c +-=，则角=A ________.【答案】5π【解析】【分析】利用正余弦定理边化角即可获解【详解】因为2222cos b c a bc A +-=,所以22cos abc A b c =,即2cos a A b =即2sin cos sin A A B =,所以sin 2sin A B=所以2A B =或2A B π+=因为=B C ,所以2A B C A B π++=+=1︒若2A B =,则2,55A B C ππ===2︒若2A B π+=,则,,333A B C πππ===,与B C A =≠矛盾所以5A π=故答案为：5π15.已知M 为ABC 中线AD 的中点,过点M 的直线与AB ,AC 分别交于点E ,F ,若AE = ,AB AEF λ 与ABC 的面积之比为932,则实数λ的值为_____.【答案】34或38【解析】【分析】运用平面向量基本定理，结合三点共线，以及面积公式即可求解【详解】设,AB mAE AC nAF== AF AC μ= ,则111()()24444m n AM AD AB AC mAE nAF AE AF ==+=+=+ 由()(1)AM AE EM AE tEF AE t EA AF t AE t AF=+=+=++=-+ 所以=14=4m t n t -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩,即4m n +=又1||||sin ||||192132||||||||sin 2AEF ABC AE AF BAC S AE AF S mn m AE n AF AB AC BAC ⋅⋅∠⋅====⋅⋅⋅∠ 所以329mn =,联立+=432=9m n mn ⎧⎪⎨⎪⎩,解得4=38=3m n ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩或8=34=3m n ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩又AE AB λ= ,所以1m λ=,所以34λ=或38λ=故答案为：34或3816.已知曲线x a y e +=与2(1)y x =-恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围为________【答案】223ln -∞-（，）．【解析】【详解】试题分析：21y x =-（）的导数21x a y x y e +'=-=（），的导数为x a y e +'=，设与曲线x a y e +=相切的切点为21m n y x =-（，），（）相切的切点为s t （，），则有公共切线斜率为21m a t n s e s m+--==-（），又21m a t s n e +=-=（），，即有22(1)(1)2(1)21m a s e s s s s m s m +------==--（）即为112s s m --=-，即有312s m s +=（＞），则有21m a e s +=-（），即为32112s a ln s s +=--（）（＞），令3()2112s f s ln s s +=--（）（＞），则1112f s s '=--（），当3s ＞时，0f s f s '（）＜，（）递减，当13s ＜＜时，0f s f s '（）＞，（）递增．即有3s =处f s （）取得极大值，也为最大值，且为223ln -，由恰好存在两条公切线，即s 有两解，可得a 的范围是223a ln -＜．故答案为考点：导数的应用四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量,cos )a x x →=，(cos ,cos )b x x →=.（1）若//a b →→，且(,0)x π∈-，求x 的值；（2）若函数()21f x a b →→=⋅-，且123x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）π2-或5π6-；（2）1718-.【解析】【分析】（12cos cos 0x x x -=即得解；（2）先求出π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求出π1sin 66x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，最后化简πππsin 2sin 2662x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦即得解.【详解】解：（1）由//a b →→，得2cos cos 0x x x -=，即cos cos )0x x x -=，所以cos 0x =cos 0x x -=.当cos 0x =时，(π,0)x ∈-，则π2x =-；cos 0x x -=时，得tan 3x =，(π,0)x ∈-，则5π6x =-.综上，x 的值为π2-或5π6-.（2）2()21cos 2cos 12cos 2f x a b x x x x x→→=⋅-=+-=+1π2sin 2cos 22sin 2226x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由π12sin 263x f x ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得π1sin 66x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππππππsin 2sin 2sin 2cos 2662266x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2π1172sin 12163618x ⎛⎫=+-=⨯-=- ⎪⎝⎭.18.在①121,,4a a 成等差数列，②123,1,a a a +成等比数列，③334S =，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，*1132(),0,n n S a a n N a =+∈≠，且.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记22log n n nb a a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）选①或②或③，都是11()2n n a -=-（2）41[1(31)()]92n n T n =-+--【解析】【分析】(1)由132,nn S a a =+可求通项公式，(2)错位相减法可求和.【小问1详解】由已知132,n n S a a =+当2n ≥时，11132,n n S a a --=+两式相减得到13,nn n a a a -=-即11=2n n a a --，因为10a ≠，所以{}n a 是以12-为公比的等比数列，从而111(2n n a a -=-.若选①121,,4aa 成等差数列，因为121,,4a a 成等差数列，所以1211242a a +=⨯=，即111122a a -=，解得1=1a ，所以11()2n n a-=-；若选②123,1,a a a +成等比数列，因为123,1,a a a +成等比数列，所以11111,1,24a a a -+成等比数列，所以221111(1),24a a -+=解得1=1a ，所以11()2n n a -=-；若选③334S =，因为334S =，所以111113244a a a -+=，解得1=1a ，所以11()2n n a -=-.【小问2详解】222212221211log log (11()log ()22(22n n n n n n n b a a ------=-=-=--()22211log 211((.2222n n n n ----==--()121122211102()4(()222n n n T b b b n -=+++=+⋅-+-⋅-++- ,()23111102(4((222222nn T n -=+⋅-+⋅-+--+ 两式相减得()121311112(2()()(22222222n nn T n -=⋅-+⋅-+-+---()111()1()1221222()(2)()123321222n n nn n -⎡⎤---⎢⎥⎣⎦=⨯--=----+，所以41[1(31)()]92n n T n =-+--.19.已知数列{}n a 的前n 项之积．．为n b ，且()2*12122n n a a a n n n N b b b +++⋅⋅⋅+=∈．（1）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎩⎭和{}n a 的通项公式；（2）求()12212n n n n n f n b b b b b ++-=+++⋅⋅⋅++的最大值．【答案】（1）()*n n a n n N b =∈，1n n a n =+（2）56【解析】【分析】（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥即项与和的关系方法求得nn a b ，再利用1(2)n n n b a b n -=≥求得n a ；（2）再由定义求得n b ，并利用作差法得出()f n 是递减的，从而易得最大值．【小问1详解】∵212122n n a a a n n b b b +++⋅⋅⋅+=()()21121211212n n n n a a n b b b --+-++⋅⋅⋅+=≥-②，由①②可得()2n n a n n b =≥，由①111a b =也满足上式，∴()*n n a n n N b =∈③，∴()1112n n a n n b --=-≥④，由③④可得()1121n n n n a b n n b a n --=≥-，即()1121n n n a n -=≥-，∴()112n n a n n--=≥，∴1n n a n =+．【小问2详解】由（1）可知1n n a n =+，则121212311n n n b a a a n n =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++，记()121111221n n n f n b b b n n n +=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++，∴()11112323f n n n n +=++⋅⋅⋅++++，∴()()1111110222312322f n f n n n n n n +-=+-=-<+++++，∴()()1f n f n +<，即()f n 单调递减，∴()f n 的最大值为()121151236f b b =+=+=．20.如图所示，在平面四边形ABCD中，=2,==6AB BD ABD ACDπ∠∠，设,(0,)3CADπθθ∠=∈.（1）若4πθ=，求CD的长；（2）当θ为何值时，△BCD的面积取得最大值，并求出该最大值.【答案】（1）CD=（2）6πθ=，面积最大值为4【解析】【分析】(1)利用余弦定理和正弦定理即可；(2)利用余弦定理和正弦定理并将面积表示为三角函数求最大值.【小问1详解】在ABD△中，由余弦定理得，2222cos4321,2AD AB BD AB BD ABD=+-⋅⋅∠=+-⨯=所以1,AD=在ACD△,由正弦定理得，,sin sinCD ADCAD ACD=∠∠所以1sin4sin6CDππ⨯==【小问2详解】由第(1)问知，在ABD△中，2,1,AB BD AD===所以222AB BD AD=+，所以2ADBπ∠=,在ACD△,由正弦定理得，,sin sinCD ADCAD ACD=∠∠所以1sin2sin,sin6DCθθπ⨯==因为,623BDCππππθθ∠=---=-所以1sin sin()23BCDS DC BD BDCπθθ∆=⋅⋅∠=⋅-2331cos 2sin cos sin sin 222422θθθθθ-=-=-⨯3sin 2cos 2sin(2),444264πθθθ=+-=+-因为(0,3πθ∈所以52(,666πππθ+∈所以当2,62ππθ+=即6πθ=时，sin(2)1,6πθ+=此时△BCD 的面积取得最大值为4.21.已知函数()2ln 2a f x x x =+（R a ∈）.（1）当1a=时，对于函数()()3ln G x f x x =-，存在[]12,1,4x x ∈，使得()()12G x G x m -≥成立，求满足条件的最大整数m ；（ln 20.693≈）（2）设函数()323g x x =，若()()f x g x ≤在)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）满足条件的最大整数m 为4；（2）实数a 的取值范围为1e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】(1)利用导数求函数()G x 在[]1,4上的最值，由此确定m 的范围，再求满足条件的最大整数m ；(2)化简不等式并分离参数，利用导数求函数的最值可得a 的取值范围.【小问1详解】由已知可得()()3ln G x f x x =-，()2ln 2a f x x =+，1a =，所以()212ln 2G x x x =-，()222x G x x x x-'=-=，当1x ≤<()0G x '<，函数()G x 在⎡⎣上单调递减，4x <≤时，()0G x '>，函数()G x 在4⎤⎦上单调递增，又()112G =，()484ln 2G =-，1ln 2G =-，因为ln 20.693≈，所以()()14G G G <<所以函数()G x 在[]1,4上的的最大值为84ln 2-，最小值为1ln 2-，因为存在[]12,1,4x x ∈，使得()()12G x G x m -≥成立，所以()()max min G x G x m -≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以73ln 2m ≤-，又ln 20.693≈，故73ln 2 4.921-≈，所以满足条件的最大整数m 的值为4；【小问2详解】不等式()()f x g x ≤，可化为232ln 23a x x x +≤，因为)x ∈+∞，所以24ln 23x a x x ≤-，由已知24ln 23x a x x ≤-在)+∞上恒成立；所以2min 4ln 23x a x x ⎡⎤≤-⎢⎥⎣⎦，设24ln ()23x h x x x =-，则343424ln 4612ln ()33x x x x x h x x x --+'=-=，设()34612ln x x x ϕ=-+，则()21212x x xϕ'=+，当x ≥时，()0x ϕ'>，函数()34612ln x x x ϕ=-+在)+∞上单调递增，又660ϕ=+>，所以()0x ϕ>，所以当x ≥()0h x '>，函数24ln ()23x h x x x =-在)+∞上单调递增，所以1()eh x h ≥=-，所以1ea ≤-，所以实数a的取值范围为1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)()af x ≥恒成立⇔()max a f x ≥；(2)()a f x ≤恒成立⇔()min a f x ≤.22.设()e 21x f x a x =--，其中a ∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）令5()e ()(0)4x F x f x a a =+≠，若()0F x ≤在R 上恒成立，求a 的最小值．【答案】（1）答案见解析；（2）a 的最小值为2e 2-.【解析】【分析】(1)讨论a ，解不等式()0f x ¢>求函数()f x 的单调递增区间，解不等式()0f x '<求函数()f x 的单调递减区间；(2)由()0F x ≤在R 上恒成立可得[]max ()0F x ≤，由此可求a 的最小值．【小问1详解】()e 2x f x a '=-，①当0a ≤时，()0f x '<在R 上恒成立，∴()f x 在R 上单调递减；②当0a >时，()f x '在R 上单调递增，且当()0f x '=时，2lnx a =，所以当2,ln x a ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当2ln ,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增．【小问2详解】因为55()e ()e (e 21)044x x x F x f x a x a a =+=--+≤，所以若0a >，5(0)11104F a a =-+-->，与()0F x ≤在R 上恒成立矛盾，所以a<0，则()e (e 21e 2)e (2e 23)x x x x x F x a x a a x '=--+-=--，令()2e 23x h x a x =--，则由a<0可知()h x 在R 上单调递减，又当0x <时，e 1x <，2e 2x a a >，232(23)302a h a a -⎛⎫>---= ⎪⎝⎭∴，又(0)230h a =-<，02302a x -⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，∴，使得000()2e 230x h x a x =--=，0023e 02x x a +=>∴，00232e x x a +=，0a < ，∴0032302x x +<<-，，且当0()x x ∞∈-，时，()0()0()h x F F x >'，，单调递增；当0()x x ∞∈+，时，()0()0()h x F x F x <<'，，单调递减，0000max 000232355()()e (e 21)214224x x x x F x F x a x a x a a a a ++⎛⎫==--+=--+ ⎪⎝⎭∴220000011[(23)(42)(23)5](448)044x x x x x a a=+-+++=--+≤，又a<0，∴2004480x x --+≥，解得[]0332,1,2,22x ∞⎛⎫⎡⎫∈-⋂--=-- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，令23()2e x x m x +=，则22321()2e 2e x x x x m x ----'==在32,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭上恒大于0，()m x ∴在32,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭上单调递增，2min 21e (2)2e 2a m ---=-==∴．【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)()af x ≥恒成立⇔()max a f x ≥；(2)()a f x ≤恒成立⇔()min a f x ≤.。
江苏省无锡市第一中学2020-2021学年高二上学期10月阶段性检测数学试题
江苏省无锡市第一中学2020-2021学年高二上学期10月阶段性检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如果a ＜b ＜0，那么下面一定成立的是（ ） A ．ac ＜bcB ．a ﹣b ＞0C ．a 2＞b 2D ．1a ＜1b2．已知椭圆C 左､右焦点坐标分别是()),，则椭圆C 的方程为（ ）A ．2213x y +=B ．2213y x +=C ．22123x y +=D ．22132x y +=3．已知数列{}n a 满足111,2+==+nn n a a a ，则10a =（ ）A ．1024B ．1023C ．2048D ．20474．等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为（ ） A ．－24B ．－3C ．3D ．85．关于x 的不等式()2110+++<ax a x （0a <）的解集为（ ） A ．1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,⎛⎫--⎪⎝⎭a C ．()1,1,a ⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭6．一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．127．已知,0x y >，且112x y+=，则2x y +的最小值为（ ）A ．3-B ．32- C ．3+D ．32+ 8．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1+a 2+a 3+…+a n =3n ﹣1，则a 12+a 22+a 32+…+a n 2等于（ ）A ．n 2(31)-B ．()n1912- C ．n 91-D ．()n1314- 9．设()()12,0,,0F c F c -是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点，P 是以12,F F 为直径的圆与椭圆的一个交点，若12215∠=∠PF F PF F .则椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．310．已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=A ．0B ．100C ．100-D ．1020011．已知-2与1是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a <，则2222+a b c ab的最大值为（ ） A ．-2B ．-4C ．-6D ．-812．《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为（）（结果精确到0.1．参考数据：lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771．） A ．2.6天 B ．2.2天C ．2.4天D ．2.8天二、填空题13．若关于x 的方程22240++-=x ax a 的两根12,x x ，满足1201x x <<<，则实数a 的取值范围是______.14．设数列{}n a 是公差0d <的等差数列，n S 为其前n 项和，若61510S a d =+，则n S 取最大值时，n =_____．15．若实数x ，y 满足221x y xy ++=，则x y +的最小值为______.16．若对任意的0x ≥，2220x ax a -++≥成立，则实数a 的取值范围为______.三、解答题17．已知等差数列{}n a 满足：{}3577,26,=+=n a a a a 的前n 项的和为n S . （1）求n a 及n S ； （2）令211=-n n b a （n *∈N ），求数列{}n b 的前100项和100T . 18．已知()22f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集是()0,5. （1）求()f x 的解析式；（2）不等式组()()00f x f x k ⎧>⎪⎨+<⎪⎩的正整数解只有一个，求实数k 取值范围；（3）若对于任意[]1,1x ∈-，不等式()2⋅≤t f x 恒成立，求t 的取值范围.19．已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的离心率e =的菱形的面积为4. （1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，且1260F PF ∠=，求12F PF S ∆. 20．设数列的前项和为n S ， 满足*31()42n n a S n N =+∈ （1）求数列的通项公式；（2）令n n b na =， 求数列{}n b 的前项和n T ． 21．已知数列{}n a ､{}n b 中，对任何正整数n 都有:11213312122+---+++++=--n n n n n n a b a b a b a b a b n（1）若数列{}n a 是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）若数列{}n b 是首项为1的等比数列，数列{}n a 是否是等差数列？若是请求出通项公式.22．数列{}n a ，11a =，2123n n a a n n +=-+（n *∈N ）（1）是否存在常数,λμ，使得数列{}2n a n n λμ++是等比数列，若存在，求出,λμ的值若不存在，说明理由； （2）设12311,2-==+++++-n n n n n b S b b b b a n ，证明:当2n ≥时，()19751213+≤<+n n S n .参考答案1．C 【分析】对于选项A ，()ac bc a b c -=-不一定小于零，所以不一定成立；对于选项B ，0a b -<，所以一定不成立；对于选项C ，故a 2＞b 2，所以一定成立；对于选项D ，11a b>，所以一定不成立. 【详解】对于选项A ，()ac bc a b c -=-不一定小于零，所以不一定成立； 对于选项B ，0a b -<，所以一定不成立；对于选项C ，22()()0a b a b a b -=+->，所以a 2＞b 2，所以一定成立； 对于选项D ，110b aa b ab --=>，所以11a b>，所以一定不成立. 故选：C 【点睛】本题主要考查实数大小的比较，考查不等式的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2．A 【分析】由题意可设椭圆C 的标准方程为22221(0)x ya b a b +=>>，则222c c e a a b c ⎧=⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解出即可.【详解】由题意可设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则2223c c e a a b c ⎧=⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得2231a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=，故选：A. 【点睛】该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆的焦点坐标，椭圆的离心率，根据题意，利用,,a b c 的值求椭圆的标准方程，属于基础题目. 3．B 【分析】由递推关系，利用累加法求10a ． 【详解】因为12n n n a a +=+，即12nn n a a +-=，所以1029101213210912()()()1222102312a a a a a a a a -=+-+-++-=++++==-．故选：B ． 【点睛】本题考查由递推关系求数列的项，解题方法是累加法．当递推式是数列前后的差时，可用累加法求通项，若已知的是前后项的商，则可用连乘法求通项． 4．A 【分析】根据等比数列的性质和等差数列的通项公式列式解得公差，再根据等差数列的前n 项和公式计算可得结果. 【详解】设{a n }的公差为d (0)d ≠， 因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以2326a a a =⋅即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，所以2120d a d +=，因为0d ≠，所以12212d a =-=-⨯=- 所以数列{a n }的前6项和为S 6＝6a 1＋652⨯d ＝1×6＋652⨯×(－2)＝－24. 故选：A. 【点睛】本题考查了等比数列的性质、等差数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题. 5．C 【分析】把原不等式变形为1ax +与1x +积小于0，根据a 小于0，在不等式两边同时除以a ，不等号方向改变，化为1(1)()0x x a ++>，易得1-与1a-的大小，结合不等号方向，可以写出原不等式的解集，进而做出正确的选择. 【详解】原不等式化为(1)(1)0x ax ++<，因为0a <，所以进一步化为1(1)()0x x a++>， 因为0a <，所以11a->-， 所以1(1)()0x x a++>的解集为1x <-或1x a>-， 即原不等式的解集为1(,1)(,)a-∞--+∞， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关一元二次不等式的求解问题，在解题的过程中，注意利用不等式的性质对不等式进行等价变形，再者就是根据题意比较两个边界值的大小，属于简单题目. 6．B 【分析】设等比数列项数为2n 项,先根据奇数项的和与偶数相的和求得数列的公比,可得通项公式，进而根据中间两项的和为24求得n. 【详解】设等比数列项数为2n 项,所有奇数项之和为S 奇,所有偶数项之和为S 偶,则:2q S S ==奇偶,又它的首项为1，所以通项为12n na ，中间两项的和为112224n nn n a a -++=+=，解得4n =，所以项数为8，故选B.【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，解题的关键是利用奇数项的和与偶数相的和求得数列的公比. 7．D 【解析】由112x y+=得，11122x y +=，因为,0x y >，，所以 2x y +=()1113321222222y x x y x y x y ⎛⎫++=+++≥+=+ ⎪⎝⎭（当且仅当x = 时等号成立），故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）. 8．B 【分析】由a 1+a 2+a 3+…+a n ＝3n ﹣1，可求得a n ，从而可知2n a ，利用等比数列的求和公式即可求得答案． 【详解】∵a 1+a 2+a 3+…+a n ＝3n ﹣1，①，∴a 1+a 2+a 3+…+a n +1＝3n +1﹣1，② ②﹣①得：a n +1＝3n +1﹣3n ＝2×3n ，∴a n ＝2×3n ﹣1()2n ≥. 当n ＝1时，a 1＝31﹣1＝2，符合上式，∴a n ＝2×3n ﹣1． ∴221211249,4,9n n nna a a a -+=⨯∴==，∴{}2n a 是以4为首项，9为公比的等比数列，∴a 12+a 22+a 32+…+a n 2=()()419191921n n⨯-=--． 故选B ． 【点睛】本题考查数列通项公式的确定及等比数列的判断与求和公式的综合应用，属于中档题． 9．B 【分析】根据题意可知1290F PF ∠=︒，12215∠=∠PF F PF F ，进而求得12PF F ∠和21PF F ∠，在12Rt PF F ∆中，分别表示出1PF 和2PF，进而根据椭圆的定义表示出a ，进而求得a 和c 的关系，即椭圆的离心率. 【详解】因为P 是以12,F F 为直径的圆与椭圆的一个交点， 所以1290F PF ∠=︒， 因为12215∠=∠PF F PF F ，所以2115PF F ∠=︒，1275PF F ∠=︒，，所以1212sin 2sin15PF c PF F c =⋅∠=︒，2122sin 2sin75PF c PF F c =⋅∠=︒，所以1222sin152sin 752(44a PF PF c c c =+=︒+︒=+=，所以22c e a ===， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关椭圆离心率的求解问题，在解题的过程中，注意应用直角三角形两个锐角的倍数关系求得角的大小，求得两个直角边长，结合椭圆离心率的定义求得离心率的大小，属于简单题目. 10．B 【解析】试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=，故选B.考点：数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和. 11．B 【解析】4200a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩，得2b a c a =-⎧⎨=-⎩，所以 ()2222423411444a b c a a a a ab a a a ⎡⎤++⎛⎫==+=--+-≤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选B ．点睛：本题考查基本不等式的应用．由题意得到2b ac a =-⎧⎨=-⎩，代入得2222423414a b c a a a ab a a++==+，又基本不等式2a b +≥要求,0a b >，所以变换得到 ()11444a a a a ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得到答案． 12．A 【分析】设蒲的长度组成等比数列{a n }，其a 1＝3，公比为12，其前n 项和为A n ．莞的长度组成等比数列{b n }，其b 1＝1，公比为2，其前n 项和为B n ．利用等比数列的前n 项和公式及其对数的运算性质即可得出．． 【详解】设蒲的长度组成等比数列{a n }，其a 1＝3，公比为12，其前n 项和为A n ． 莞的长度组成等比数列{b n }，其b 1＝1，公比为2，其前n 项和为B n ．则A n 1312112n⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，B n 2121n -=-，由题意可得：13121212112n n⎛⎫- ⎪-⎝⎭=--，化为：2n 62n +=7，解得2n ＝6，2n ＝1（舍去）． ∴n 62lg lg ==132lg lg +≈2.6． ∴估计2.6日蒲、莞长度相等， 故选A ． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式在实际中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13．(3,2)--. 【分析】由已知中关于x 的方程22240++-=x ax a 的两根12,x x ，满足1201x x <<<，根据方程的根与对应函数零点之间的关系，我们易得方程相应的函数在区间(0,1)与区间(1,)+∞上各有一个零点，此条件可转化为不等式组(0)0(1)0f f >⎧⎨<⎩，解不等式组即可得到实数a 的取值范围.【详解】依题意，函数22()24f x x ax a =++-的两个零点12,x x 满足1201x x <<<，根据一元二次方程根的分布，一定有(0)0(1)0f f >⎧⎨<⎩，即22401240a a a ⎧->⎨++-<⎩，解得32a -<<-， 故答案为：(3,2)--. 【点睛】该题考查的是有关根据一元二次方程根的分布，构造不等式组求参数的取值范围问题，在解题的过程中，注意正确写出不等式组是解题的关键，属于简单题目. 14．5或6 【分析】由61510S a d =+可得116565102a d a d ⨯+=+，得60a =，又公差0d <，即可得出． 【详解】解：由61510S a d =+可得116565102a d a d ⨯+=+， 化为150a d +=，60a ∴=， 又公差0d <，因此n S 取最大值时，5n =或6， 故答案为：5或6． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其前n 项和公式、等差数列的前n 项和的最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．3-. 【分析】由221x y xy ++=，可得22()11()2x y x y xy ++=+≤+，即可得到. 【详解】由221x y xy ++=，可得22()11()2x y x y xy ++=+≤+，即23()14x y +≤，解得x y ≤+≤，所以x y +的最小值为3-，故答案为：3-. 【点睛】该题考查的是有关利用基本不等式的变形，求代数式的最值问题，属于简单题目. 16．[2,2]-. 【分析】若对任意的0x ≥，2220x ax a -++≥成立，则函数2()22f x x ax a =-++在区间[0,)+∞上的最小值大于等于0，按照二次函数的对称轴分类求出最值即可.【详解】若对任意的0x ≥，2220x ax a -++≥成立，则函数2()22f x x ax a =-++在区间[0,)+∞上的最小值大于等于0，22()()2f x x a a a =-++-，当0a ≤时，()f x 在[0,)+∞上单调递增，min ()(0)20f x f a ==+≥，解得2a ≥-，所以20a -≤≤，当0a >时，()f x 在[0,]a 上单调递减，在[,)a +∞上单调递增，所以2min ()()20f x f a a a ==+-≥，解得12a -≤≤，所以02a <≤，综上，a 的取值范围是22a -≤≤， 故答案为：[2,2]-. 【点睛】该题考查的是有关根据不等式在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意将恒成立向最值靠拢，涉及的思想是分类讨论，属于较难题目. 17．（1）21n a n =+，22n S n n =+；（2）10025101T =. 【分析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由3577,26a a a =+=，可得12721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1,a d 即可得出结果；（2）由（1）知，21n a n =+，可得221111111()1(21)14(1)41n n b a n n n n n ===⋅=--+-++，运用裂项相消法求和，之后将100n =代入求得结果. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 因为3577,26a a a =+=，所以12721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==，所以32(1)21n a n n =+-=+，2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+； （2）由（1）知21n a n =+，221111111()1(21)14(1)41n n b a n n n n n ===⋅=--+-++，所以11111111(1)(1)4223141n T n n n =-+-++-=-++， 所以1001125(1)4101101T =-=. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列通项公式的求解，利用裂项相消法求和，属于简单题目.18．（1）2()210f x x x =-；（2）[2,1)-；（3）11[,]46-.【分析】（1）根据不等式()0f x <的解集是(0,5)，得到0,5是一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根，利用韦达定理得到参数所满足的条件，最后求得结果；（2）首先求得不等式组的解，根据只有一个正整数解，得到参数所满足的条件，求得结果； （3）根据不等式恒成立，分类讨论，结合函数图象的特征求得结果. 【详解】（1）因为不等式()0f x <的解集是(0,5)，所以0,5是一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根，可得052052b c ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得100b c =-⎧⎨=⎩所以2()210f x x x =-；（2）不等式组()0()0f x f x k >⎧⎨+<⎩即为，22221002(2)10()0x x x kx k x k ⎧->⎨++-+<⎩， 解得055x x k x k ⎧⎨-<<-⎩或，因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解就是6， 可得657k <-≤，解得21k -≤<-， 所以k 的取值范围是[2,1)-；（3）()2tf x ≤，即2(210)2t x x -≤，即2510tx tx --≤，当0t =时显然成立， 当0t >时，有15(1)1015110t t t t ⋅-⋅--≤⎧⎨⋅-⋅-≤⎩，即510510t t t t +-≤⎧⎨--≤⎩，解得1146t -≤≤，所以106t <≤， 当0t <时，函数251y tx tx =--在[1,1]-上单调递增， 所以只要其最大值满足条件即可， 所以有510t t --≤，解得14t ≥-，即104t -≤<， 综上，t 的取值范围是11[,]46-. 【点睛】该题考查的是有关利用三个二次之间的关系解决问题的思路和方法，在解题的过程中，注意不等式的解集的端点值就是其对应方程的根，根据不等式解的情况判断其端点值所满足的条件，恒成立问题分类讨论，属于较难题目.19．（1）2214x y +=；（2）3. 【分析】（1）由椭圆性质可知，2c e a ==，并结合222c a b =-可以得到a 与b 的关系，由“椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4”，可以列出关系式：12242a b ⨯⨯=，由此可以求出a 、b 的值，从而得到椭圆的方程；（2）利用椭圆定义和余弦定理，列出等量关系式，求得1243PF PF =，最后利用三角形的面积公式求得结果 【详解】（1）由c e a ==，得到2234a c =， 再由222c a b =-，得2a b =， 由题意知12242a b ⨯⨯=，知2ab =， 解方程组22a bab =⎧⎨=⎩，得2,1a b ==，所以椭圆的方程为2214x y +=；（2）由椭圆定义可知124PF PF +=，即221212216PF PF PF PF ++=，由余弦定理可得22212122cos60PF PF PF PF +-⋅⋅︒=， 两式相减得122(1cos60)4PF PF +︒=，即1243PF PF =，所以1212114sin 6022323PF F S PF PF ∆=︒=⨯⨯=.【点睛】该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，焦点三角形的面积，在解题的过程中，可以借机推导出焦点三角形面积公式，属于简单题目. 20．（1）212n n a -=；（2）211[(31)22].9n n T n +=-⋅+ 【分析】（1）求数列通项公式主要利用()()111{2n n n S n a S S n -==-≥分1,2n n =≥求解，最后验证两种情况能否合并；（2）整理212n n n b n a n -=⋅=⋅，根据通项公式特点采用错位相减法求和【详解】 （1）∵31()42n n a S n N *=+∈∴1131(2)42n n a S n --=+≥ 两式相减，得∴111,4(2).4n n n n a a a n a --==≥ 又113142a S =+，即11131242a a a =+∴= {}n a ∴是首项为2，公比是4的等比数列∴1222124222n n n na ---=⋅=⋅=．（2）212.n n n b n a n -=⋅=⋅35211222322n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅①②①-②，得3521213(2222)2.n n n T n -+-=++++-⋅故211[(31)22].9n n T n +=-⋅+ 21．（1）见解析；（2）当等比数列{}n b 的公比2q时，数列{}n a 是等差数列，其通项公式是n a n =；当等比数列{}n b 的公比不是2时，数列{}n a 不是等差数列. 【分析】（1）根据等差数列的性质求得数列{}n a 的通项公式，代入11213212122n n n n n n a b a b a b a b a b n +---+++++=--中，利用错位相减法，结合数列的项与和的关系求得12n nb -=，进而推断数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列；（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，结合{}n b 首项为1，代入11213212122n n n n n n a b a b a b a b a b n +---+++++=--，整理得到1(21)22n n n n q a n +--+=--，进而求得n a 的表达式，要使1n n a a +-是与n 无关的常数，必须2q，进而得出结论当等比数列{}n b 的公比2q 时，数列{}n a 是等差数列，其通项公式是n a n =；当等比数列{}n b 的公比不是2时，数列{}n a 不是等差数列. 【详解】（1）依题意数列{}n a 的通项公式是n a n =， 故等式即为1122123(1)22n n n n b b b n b nb n +--++++-+=--，123123(1)21(2)n n n n b b b n b n n ---++++-=--≥，两式相减得122121n n n n b b b b b --+++++=-，验证1n =时也成立，可求得12n nb -=，所以数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列；（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，则1n n b q -=，从而有1231123122n n n n n n qa q a q a qa a n ---+-+++++=--，234123121(2)n n n n n q a q a q a a n n ----++++=--≥，所以1(21)22n n n n q a n +--+=--，(2)2(1)2n n a q q n q =-⋅+-+-，要使1n n a a +-是与n 无关的常数，必需2q ，即当等比数列{}n b 的公比2q时，数列{}n a 是等差数列，其通项公式是n a n =；当等比数列{}n b 的公比不是2时，数列{}n a 不是等差数列. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的证明，探究一个数列是等差数列的条件，属于难题.22．（1）存在1,1λμ=-=满足条件；（2）见解析. 【分析】（1）由题意知212(2)n na a n n λμλλμ+=++---，故1230λμλλμ=-⎧⎪-=⎨⎪--=⎩，所以存在11λμ=-⎧⎨=⎩，使得数列{}2n a n n λμ++是等比数列； （2）由题意知21n b n =，之后应用放缩法，结合裂项相消求和，证得右半部分，利用数学归纳法证得左半部分，最后证得结果. 【详解】（1）设2123n n a a n n +=-+可化为221(1)(1)2()n n a n n a n n λμλμ+++++=++， 即212(2)n n a a n n λμλλμ+=++---，故1230λμλλμ=-⎧⎪-=⎨⎪--=⎩，解得11λμ=-⎧⎨=⎩，且21110a -+≠，所以存在1,1λμ=-=，使得数列{}2n a n n λμ++是等比数列； （2）由（1）得2211(11)2n n a n n a --+=-+⋅， 所以122n n a n n -=+-，故12112n n n b a n n -==+-，因为222144224412121n b n n n n n ==<=---+， 当2n ≥时，1232222225251()()()355721213213n n S b b b b n n n =++++<+-+-++-=-<-++， 下边验证19712(1)n n S n +≥+，当2n =时，215144S =+=，192745512(21)364⨯+==+，显然成立， 假设当n k =时命题成立，即211119714912(1)k k k +++++≥+， 则当1n k =+时，22211111971149(1)12(1)(1)k k k k k ++++++≥++++， 要使命题成立，即为2197119(1)712(1)(1)12(2)k k k k k ++++≥+++，两边同乘以212(1)(2)k k ++得2(197)(1)(2)12(2)(1926)(1)k k k k k k +++++≥++， 展开得322322197572138141224192638521926k k k k k k k k k k k +++++++≥+++++，整理得3826≥，显然成立， 所以当1n k =+时命题也成立， 综上，对2n ≥，都有19712(1)n n S n +≥+，故当2n ≥时，197512(1)3n n S n +≤<+，命题得证.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有利用题中所给的递推公式，研究是否存在相关常数满足对应数列是等比数列的解集方法，利用放缩法和数学归纳法证明不等式，属于难题.。
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青阳一中2016—2017学年第一学期10月月考
高二数学试卷
一、选择题 （每小题5分）
1 已知集合{}
23M x x =-<<，{}
lg(2)0N x x =+≥，则M
N =
A. (2,)-+∞
B. (2,3)-
C. (2,1]--
D. [1,3)- 2 已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+.若//AB OC ，则实数m 的值为
A ．3-
B ．17-
C ．35-
D ．35
3．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )．
A ．32π
B ．π＋ 3
C ．32π＋ 3
D ．5
2π＋ 3 4．已知函数211
()log ,(),()12
x f x f a f a x -==-+若则=
A ．2
B ．—2
C ．1
2
D ．—
12
5．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是( )．
A ．①和②
B ．②和③ C．②和④ D．③和④
6．如图所示，直观图四边形A ′B ′C ′D ′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )．
A ．2 2
B ．
2
2
C ．2－1
D ．2＋2 7.不等式组1,40,0x x y kx y ≥⎧⎪
+-≤⎨⎪-≤⎩
表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为
Ａ.2- B. 1- C. 0 D.1
8 已知数列{}n a 中，12a =，120n n a a +-=，2log n n b a =，那么数列{}n b 的前10项和等于 A 、130 B 、120 C 、55 D 、50
9．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝1
2，则下列结论中
错误的是(
)．
A ．AC ⊥BE
B ．EF ∥平面ABCD
C ．三棱锥A －BEF 的体积为定值
D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等
10. 设函数)(x f y =在R 上有定义.对于给定的正数K ,定义函数⎩⎨
⎧>≤=K
x f K K
x f x f x f K )(,)(),()(,
取函数2
2)(x x x f --=.若对于任意的R x ∈恒有)()(x f x f K =,则 ( ) A. K 的最小值为
49
B. K 的最大值为4
9 C.K 的最小值为2 D.K 的最大值为2
二、填空题(每小题5分,共25分)
11．某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的
方法抽取一个容量为120的样本。
已知高一有760名学生，高二有840名学生，则在该学校的高三应抽取 名学生。
12.若函数)10(sin 2)(<<=ωωx x f 在闭区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡3,
0π上的最大值为2，则ω的值为 。
13．已知数列{}n a 是公差为1的等差数列，S n 是其前n 项 和， 若S 8是数列{}n S 中的唯一最小项，则数列{}n a 的
首项a 1的取值范围是 ．
14. 用半径是2的半圆面卷成圆锥的侧面，所得圆锥的体 积为________.
15执行如图所示的程序框图，输出的结果S= .
三、解答题(共75分) 16 （本题满分12分
在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
，且sin cos b A B =．
（Ⅰ）求角B ；
（Ⅱ）若b =ac 的最大值．
17．（本题满分12分）
某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。
该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨.那么在一个生
产周期内该企业生产甲、乙两种产品各多少吨可获得最大利润，最大利润是多少？（用线性规划求解要画出规范的图形）
18．（本题满分12分）
如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形,棱PD ⊥底面
ABCD ,PD DC ==1,E 是PC 的
中点.
(1)证明平面BDE ⊥平面PBC ; (2)求二面角E BD C --的余弦值.
19．（本小题满分13分）
如图，已知四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．
(1)求证：MN ⊥AB ；
(2)若PA ＝AD ，求证：MN ⊥平面PCD .
20．（本小题满分13分）
如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， ︒=∠=∠60DBF DAB ，且FA FC =． （1）求证：AC ⊥平面BDEF ；
（2）求证：FC ∥平面EAD ； （3）求二面角B FC A --的余弦值．
21 （本题13分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11=a ，且对于任意+∈N n 都有n n S na 21=+。
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2
2
2
14++=n n n n a a a b ，且数列{}n b 的前n 项之和为n T ，求证：4
5<
n T 。