冀教版八年级数学上册17.1《等腰三角形》复习(共22页)
冀教版八年级数学上册17.1《等腰三角形》 (共17张PPT)
证明：作∠BAC的平分线AD
A
在△BAD和△CAD中，
12
∠1=∠2 ∠B=∠C
AD=AD
B
C
D
∴ △BAD≌ △CAD〔AAS〕 ∴AB=AC
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三 角形是等腰三角形。其中，两个相等的角所 对的边相等。 (简称“等角对等边〞)。
A
几何语言：
∵∠B =∠C ()
17.1等腰三角形的判定
滦县四中
学习目标：
1、理解掌握等腰三角形的判定方法； 2、运用等腰三角形的判定进行证明和计算。
学习重点：
等腰三角形的判定定理及其应用。
如图 △ABC中AB=AC 请你说说等腰三角形的性质有哪些？
复习篇
1、等腰三角形的两腰相等； 2、等腰三角形两底角相等〔等边对等角〕， 3、等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合(三线合一)。 4、等腰三角形是轴对称图形,对称轴是底边的中垂线。
作这条辅助线有几种说法？
有三种。 1、作顶角平分线 2、作底边上的高 3、作底边上的中线
B
A DC
如下图,量出AC的长,就 可知道河的宽度AB,你 知道为什么吗?
△ABC中，假设AB=AC，那么∠B=∠C。
等腰三角形的性质
A
反过来，△ABC中，假设∠B=∠C。
问：AB=AC吗？
B
C
即△ABC为等腰三角形吗？
二、判定一个三角形是等边三角形的方法有： 1、三条边相等的三角形是等边三角形. 2、三个角都相等的三角形是等边三角形. 3、有一个角是60题； 2、完本钱节同步训练册
于D，过D作DE//BC，交∠ACG的平分线于E,
冀教版八年级数学上册17.1《等腰三角形》 (共18张PPT)
B
D
C
同步练习
判断下列语句是否正确.
（1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重 合.（ × ） （2）有一个角是60°的等腰三角形，其它两个 内角也为60°. （ ） （3）等腰三角形的底角一定是锐角. （ ） （4）钝角三角形不可能是等腰三角形 . （ ×）
想一想：
我们都知道，等边三角形是特殊的等腰三角形. 根据等腰三角形的性质可得，等边三角形有什 么性质？
推论：等边三角形三个内角相等，每 一个内角都等于60°.
本节课你学到了什么？
1.等腰三角形是轴对称图形 2.等边对等角 3.三线合一
谢谢！
简称“等边对等角”
已知：在△ABC中，AB=AC 求证：∠B=∠C 证明：作∠A的平分线AD. 在△ABD和△ACD中，
AB AC（已知）
B 1 （ 2 角平分线概念）
C
AD
AD（公共边）
D
△ AB △ D AC （ SD A ） S
B C
例1
已知：在△ABC中，AB=AC， ∠BAC=120°，点D、E是底边上两点，且 BD=AD，CE=AE.求∠DAE的度数．
17.1等腰三角形
建明中学 魏春莹
图片欣赏
定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形 A
顶角
腰
腰
底角
B
底角
C
底边
将等腰三角形对折，使两腰 AB、AC重叠在一起，折
痕为AD.
你能发现什么现象呢？
A
等腰三角形是轴对称图形
B
C
D
A
性质1.等腰三角形两个底角相等
你能证明这 个性质吗？
B
C
D
A
性质1.等腰三角形两个底角相等
冀教版数学八年级上册17.1《等腰三角形》说课稿1
冀教版数学八年级上册17.1《等腰三角形》说课稿1一. 教材分析冀教版数学八年级上册17.1《等腰三角形》是初中数学的重要内容，主要让学生了解等腰三角形的性质和判定方法。
通过本节课的学习，使学生能够熟练掌握等腰三角形的性质，并能够运用其解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备了一定的观察、分析、推理能力。
但对于等腰三角形的性质和判定方法，还需要通过本节课的学习来进一步理解和掌握。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解等腰三角形的性质，并能够运用其解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、推理等方法，培养学生探索和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和爱国情怀。
四. 说教学重难点1.教学重点：等腰三角形的性质及其应用。
2.教学难点：等腰三角形性质的推导和证明。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、探究学习法等，引导学生主动参与，积极思考。
2.教学手段：多媒体课件、几何画板、实物模型等，辅助学生直观理解等腰三角形的性质。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习三角形的基本概念和性质，引出等腰三角形，激发学生的学习兴趣。
2.探究等腰三角形的性质：引导学生观察、操作、推理，探索等腰三角形的性质，并能够证明。
3.应用拓展：通过解决实际问题，巩固等腰三角形的性质，提高学生运用知识解决问题的能力。
4.课堂小结：总结本节课所学内容，强调等腰三角形的性质及其应用。
5.布置作业：设计具有层次性的作业，巩固所学知识，提高学生的数学素养。
七. 说板书设计板书设计如下：等腰三角形的性质1.两腰相等2.底角相等3.性质的应用八. 说教学评价1.学生学习情况的评价：通过课堂表现、作业完成情况、课后访谈等方式，了解学生的学习情况。
2.教学目标的达成情况：通过课堂练习、课后作业、考试等方式，评估学生对教学目标的掌握程度。
冀教版数学-八年级上册- 17.1等腰三角形 复习课件
（等腰三角形顶角平分线、底边上 的中线、底边上的高互相重合）
1、每个内角都等于60o
2、三组“三线合一”
（每个角的平分线都与它对边上 的中线及高互相重w合w）
谢谢
∵在△BAD与△CAD中AB = AC Nhomakorabea(已知)
Ｂ DＣ
∠BAD = ∠CAD (已证) AD = AD (公共边)
∴ △BAD≌△CAD(SAS)
∴ ∠ B = ∠ C (全等三角形对应角相等)
• 利用三角形全等，我们还可以得出什么 结论？
等腰还三可角以形得顶到角A的D⊥平B分C线和平BD分=底CD边并且 垂直于底边
∠_____=∠_______; (4) ∵AB=AC, AD是角平分线， ∴_____⊥_____ ,
_____=_____.
2．（1） 已知等腰三角形的一个底角为70°，
那么此 等腰三角形各内角的度数分别是
（
）。
（2） 已知等腰三角形的顶角为70º，那么此
等腰三角形各内角的度数分别是
例三：在△ABC中，AB =AC，点D是BC 的中点，∠B = 50°，求∠BAD的度数？
A
B
D
C
例四: 在等腰△ABC中，∠ A=40°, 求∠B 度数。
A
C
B
CA
B
BA
C
建筑工人在盖房子时，用一块等腰三 角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系 重物的绳子正好经过三角板底边中点，就 说房梁是水平 的，你知道其中 反映了什么数学 原理?
等边三角形有几条对称轴呢？
A
B
基础训练:
1填空：（根据等腰三角形性质定理及推论）
冀教版初中八年级数学上册17-1等腰三角形第二课时等腰三角形的判定课件
13.(2024河北石家庄期中)如图,△ABC中,D为AC边上一点, DE⊥AB于E,ED的延长线交BC的延长线于F,且CD=CF. (1)求证:△ABC是等腰三角形. (2)当∠F= 30 度时,△ABC是等边三角形,并给出证明.
解析 (1)证明:∵CD=CF,∴∠F=∠CDF, ∵∠ADE=∠CDF,∴∠F=∠ADE, ∵DE⊥AB,∴∠F+∠B=90°,∠ADE+∠A=90°, ∴∠B=∠A,∴△ABC是等腰三角形. (2)当∠F=30度时,△ABC是等边三角形. 证明:当∠F=30°时, ∵DE⊥AB,∴∠B+∠F=90°,∴∠B=90°-30°=60°, 由(1)知△ABC是等腰三角形, ∴△ABC是等边三角形.
解析 ∵BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线,∴∠ABP= ∠PBD,∠ACP=∠PCE,∵PD∥AB,PE∥AC,∴∠ABP=∠BPD, ∠ACP=∠CPE,∴∠PBD=∠BPD,∠PCE=∠CPE,∴BD=PD, CE=PE,∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=15 cm.
16.(2024河北承德期末,10,★★☆)如图,已知△ABC是等边三 角形,D是BC边上的一个动点(异于点B,C),过点D作DE⊥AB, 垂足为E,DE的垂直平分线交AC,BC于点F,G,连接FD,FE.当 点D在BC边上移动时,有下列三个结论:①△DEF一定为等腰 三角形;②△CFG一定为等边三角形;③△FDC可能为等腰三 角形.其中正确的有 ( C )
∵∠BDE=∠FEC-∠CBD=30°=∠CBD, ∴DE=BE=6, 故DE的长为6.
能力提升全练
15.(2024河北石家庄藁城期末,8,★★☆)如图,在△ABC中,AB =AC,∠BAC=108°,若AD、AE三等分∠BAC,则图中等腰三角 形有 ( D )
冀教版初中数学八年级上册 17.1 等腰三角形的性质复习 教案
等腰三角形的性质复习教学目标：知识与技能1复习等腰三角形的性质的相关知识2分类讨论、数形结合、转化、方程等数学思想的应用过程与方法通过熟练运用等腰三角形性质、勾股定理、及三角函数等知识解决问题情感与态度通过课堂练习让学生认识到数学思想的广泛应用教学重点：分类讨论、数形结合、方程等数学思想的应用教学难点：分类讨论、数形结合、方程等数学思想的应用教学方法：小组合作法及启发引导法教学用具：三角尺及多媒体教学过程：一、导入等腰三角形是中考考察的重点，我们经常利用等腰三角形的性质求线段相等、角相等，求线段的长度，角的度数，中考中常以选择、填空和中档解答题为主，我们今天一起来复习等腰三角形的性质以及应用。
本节课我设置了四个问题，下面开始我们的学习二、知识学习（一）问题一师生活动：学生独立思考，然后尽可能多的说出自己能知道的结论。
教师不能干预，不能提示，最后教师可以补充学生没有想到的结论。
检测练习：已知：在△ABC中，AB=AC.1.若有一个角为70°，则另外两个角分别______.2.若有一个角为90°，则另外两个角分别______.3.若有两边长为2、3，则△ABC的周长为_____.4.若有两边长为2、4，则△ABC的周长为_____.（二）问题二已知：如图，在△ABC中，若AB=AC=13，BC=10.△ABC的面积是_____.（2）点B到AC的距离是_____.师生活动：学生独立思考，自己完成。
教师巡视，可根据实际情况，让学生在组内请教，交流。
注重一题多解，教师要善于引导学生发散思维，拓展思路。
（三）问题三已知：如图，在△ABC中，若AB=AC，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC.DE=DF吗？方法有五种，分别为利用三角形全等、角平分线的性质、三角函数、面积相等可证明师生活动：学生先独立完成，然后在组内交流，对比方法是否一致，教师巡视，并鼓励一题多解，让有不同解法的同学到黑板上演示。
冀教版八年级上册数学《等腰三角形》教学说课复习课件
∵AB=AC, BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC, AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.
B
D
C
获取新知
等边三角形的性质
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角
形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫作等边三角形.
得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你
有什么新的发现？
A
解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质
易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ，
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角
∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .
获取新知
一起探究
等腰三角形的性质
剪一剪： 如图，把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部
分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形
ABC有什么特点？
B
A
C
问题2
把等腰三角形沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
B
A
D
C B
线段
角
AC
AB与______重合
∠CAD
∠BAD与_______重合
∴∠CBE=∠BAD.
课堂小结
等腰三
角形的
性
质
等腰三
角形的
性 质
等边三
角形的
性 质
等腰三角形的两个底角相等
等腰三角形的顶角平分线、底边上
的中线及底边上的高互相重合
冀教版初中八年级数学上册17-1等腰三角形第一课时等腰三角形及其性质课件
解析 ∵OC=CD=DE,∴∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC, ∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC,∴∠O+∠OED=∠O+ ∠DCE=3∠ODC=∠BDE=78°,∴∠ODC=26°, ∴∠CDE=180°-∠BDE-∠ODC=76°.
16.(2023山东威海中考改编,24,★★☆)回顾:用数学的思维思考. (1)如图1,在△ABC中,AB=AC. ①BD,CE是△ABC的角平分线,求证:BD=CE. ②点D,E分别是边AC,AB的中点,连接BD,CE,求证:BD=CE. 从①②两题中选择一题加以证明. 猜想:用数学的眼光观察. 经过做题反思,小明同学认为:在△ABC中,AB=AC,点D为边 AC上一动点(不与点A,C重合).对于点D在边AC上的任意位
2
AD⊥BC,∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED= 180=75°,BAD
2
∴∠EDB=90°-∠ADE=15°,故选A.
11.(2024河南新ຫໍສະໝຸດ 获嘉一中期中)如图,△ABC是等边三角形, CB=CD,若∠ABD=12°,则∠BAD的度数为 ( C )
A.10°
B.15°
C.18°
D.20°
解析 ∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,∵∠ABD=12°, ∴∠DBC=60°+12°=72°.∵CB=CD,∴∠BCD=180°-72°-
冀教版八年级数学 17.1 等腰三角形(学习、上课课件)
BC=ED， ∴△ ABC ≌△ AED( SAS) . ∴ AC=AD. 又∵ AM ⊥ CD， ∴ CM=MD.
知2－练
感悟新知
方法点拨：等腰三角形中几种常见的作辅助线的方法知2：－练 (1)如图 17-1-3 甲的情 形，需作底边 上的高；(2)如图 17-1-3 乙的情形，需作顶角平分线；(3)如图 17-1-3 丙 的情形，需连接 AD 并延长，再证是“三线” .
底边上的高重合(简称“三线合一”) .
感悟新知
4. 有关等腰三角形的性质的一些结论(拓展)
知2－讲
(1) 等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底
角的平分线也相等 .
(2) 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰
上的高 .
(3)等腰三角形底边上的高(或底边上的中线或顶角平分线)上
感悟新知
解：∵ 等腰三角形的底边长和腰长不确定， ∴需分两种情况讨论 .
知1－练
当 4 为腰长时，该等腰三角形的三边长分别为 4， 4， 6，
∵ 4+4>6，满足三角形的三边关系，
∴ 周 =4+4+6=14；
当 6 为腰长时，该等腰三角形的三边长分别为 4， 6， 6，
∵ 4+6>6，满足三角形的三边关系， ∴ 周长 =6+6+4=16.
感悟新知
知识点 2 等腰三角形的性质定理
知2－讲
1. 对称性 等腰三角形是轴对称图形，底边的垂直平分线是
它的对称轴．
必须在同一个三角形中.
2. 性质定理 1 角”) .
3. 性质定理 2
冀教版数学八年级上册 等腰三角形的判定
证明：如图，作∠BAC的平分线，交BC于点D. 在△ABD和△ACD中，
∴ △ABD ≌ △ACD，∴ AB＝AC.
学生活动三 【总结判定方法】
等腰三角形的判定定理： 如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰 三角形.其中，两个相等的角所对的边相等.（简写成 “等角对等边”）
等边三角形的判定定理： 1.三条边都相等的三角形是等边三角形； 2.三个角都相等的三角形是等边三角形； 3.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
1.已知:如图，AD //BC，BD平分∠ABC. 求证:△ABD是等腰三角形.
学生活动五 【动手练习】
已知底边及底边上的高，用尺规作等腰三角形.如图17-1-8， 已知线段a和h.
作法:如图17-1-9. (1) 作线段BC=a. (2)作BC的垂直平分线MD，垂足为D. (3)在DM上截取DA=h. (4)连接AB，AC.△ABC即为所求.
1.等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形 （“等角对等边”）
2.等边三角形的判定定理：
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
学生活动一 【一起探究】
已知：如图17-1-5，在△ABC中，∠B=∠C （1）请你作出∠BAC的平分线AD. （2） 将△ABC沿 AD 所在直线折叠，△ABC被直线AD分 成的两部分能够重合吗？
已知：如图17-1-5，在△ABC中，∠B=∠C （3）由上面的操作，你是否发现了边AB和边AC之间的数 量关系?
冀教版八年级数学上册17.1《等腰三角形》 课件 (共19张PPT)
1. 根据等腰三角形性质2填空, 在△ABC中， AB=AC，
(1) ∵AD⊥BC，∴∠_B_A__D_ = ∠__C_A__D，_B_D__=C__D__.
(2) ∵AD是中线，∴_A_D__⊥_B__C_ ，∠__B_A_D_ =∠__C_A__D.
(3) ∵AD是角平分线，∴_A__D_ ⊥__B_C_ ，__B_D__ =__C_D__.
知一线得二线
A
“三线合一〞可以帮助我
们解决线段的垂直、相等
以及角的相等问题。
B
DC
想一想：
我们都知道，等边三角形是特殊的等腰三角形。 根据等腰三角形的性质可得，等边三角形有什 么性质？
推论：等边三角形三个角都相等，并 且每一个角都等于60°.
反思评价
我们是回怎忆样本认节识课和的研研究究一全种过图程形：的呢？ A 概念
等腰三角形性质2
等腰三角形的 顶角平分线 、底边上的中线 、 底边上的高 互相重合。〔简称：三线合一 〕
用符号语言表示为：
在△ABC中 〔1〕∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠_1__=∠__2_，___B_Ｄ=___C_Ｄ； 〔2〕∵AB=AC，AD是中线， ∴∠＿1=∠＿2，___A_D⊥___B_C； 〔3〕∵AB=AC，AD是角平分线， ∴__A_D_⊥__B_C_，_B_Ｄ__=___C_Ｄ。
〔2〕试着写出推理证明过程； 〔3〕如果你还有其它发现，请你记录下来.
活动 ：小组讨论
性质1 等腰三角形的两个底角相等。
(等边对等角) ：△ABC中，AB=AC
A
求证：∠B=C
想一想：1.如何证明两个角相等？
议一议：2.如何构造两个全等的三
角形？
B
C
冀教版八年级上册数学《等腰三角形》教学说课复习课件巩固
9.如图,上午10 时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正
北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，
∠NBC=80°.求从B处到灯塔C的距离. 解：∵∠NBC=∠A+∠C， ∴∠C=80°- 40°= 40°， ∴ ∠C = ∠A，
C
80° N 北
B 40°
∴ BA=BC（等角对等边）.
D
C
归纳 等腰三角形的判定定理
这又是一个判定两条线 段相等的根据之一.
如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰
三角形（简写成“等角对等边”）.
几何语言
A
在△ABC中，
∵∠B=∠C， ( 已知 )
∴ AC=AB. (等角对等边)
B
C
即△ABC为等腰三角形.
辨一辨：如图,下列推理正确吗?
A
C
∴ △BAD≌ △CAD (SSS). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
A
B DC
还有其他的 证法吗？
合作探究
方法二：作顶角的平分线
A
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
证明：作顶角的平分线AD，则∠BAD=∠CAD.
在△BAD和△CAD中
AB=AC ( 已知 ), ∠BAD=∠CAD ( 已作 ),
第1课时
课件
学习目标
1 了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理； （重点）
2 探索并证明等边三角形的性质定理；（重点） 3 能运用等腰、等边三角形的性质解决问题；（难点）
新课导入
知识讲解
等腰三角形的定义与相关概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
冀教版数学八年级上册17.1 第2课时 等腰(边)三角形的判定定理
17.1 等腰三角形第2课时等腰〔边〕三角形的判定定理学习目标：1.掌握判定等腰〔边〕三角形的判定定理2.能运用等腰〔边〕三角形的判定定理解决有关问题.学习重点：等腰〔边〕三角形的判定定理.学习难点：运用等腰〔边〕三角形的判定定理解决有关问题.自主学习一、知识链接1．等腰三角形的性质：〔1〕从边看：等腰三角形的相等．〔2〕从角看：等腰三角形的相等．简写成“〞．〔3〕从重要线段看：等腰三角形底边上的、与顶角的互相重合．简称“〞．2．如图，在△ABC中，AB=AC，〔1〕假设AD平分∠BAC，那么，．〔2〕假设BD＝CD，那么，．〔3〕假设AD⊥BC,那么，．二、新知预习1．我们知道，等腰三角形的两个底角相等．反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗？2．请拿出一张半透明纸，按以下方法进展操作：〔1〕在半透明纸上画一条线段BC；〔2〕以BC为始边，分别以点B和点C为顶点，在BC的同侧用量角器画两个相等的角，两角终边的交点为A；〔3〕用刻度尺找出BC的中点D，连接AD，然后将△ABC沿AD对折．问题1．AB与AC是否重合？问题2．本实验的条件与结论如何用文字语言加以表达？三、自学自测1．如图，其中△ABC是等腰三角形的是〔〕2．三角形的一个外角为130°，不相邻的一个内角为65 °，这个三角形是〔〕A钝角三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等边三角形3．如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：OC=ODD CA B四、我的疑惑_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________合作探究一、要点探究探究点1：等腰三角形的判定问题：在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？〔补齐证明过程〕：在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC．证明：过A作∠BAC的平分线AD，交BC于点D【归纳总结】C B A 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有 相等，那么这个三角形是等腰三角形．其中，两个相等的角所对的边相等．〔简称“ 〞〕．例1．如图，在△ABC 中，∠A=36°，∠C=72°，∠AB C 的平分线交AC 于点D ，那么图中共有几个等腰三角形？请一一证明.【归纳总结】要证一个三角形是等腰三角形，就要证出有两条边相等，而“等角对等边〞是证明两边相等的一个重要且常用的方法．【针对训练】：AE 是△ABC 的外角平分线，且AE ∥BC ．求证：△ABC 是等腰三角形．探究点2：等边三角形的判定问题1：如图，在△ABC 中，∠A=∠B=∠C ，那么AB 、AC 、BC 之间的关系怎样？理由是： 问题2：如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=60°，△ABC 是什么三角形？理由是：【归纳总结】等边三角形的判定定理〔1〕 都相等的三角形是等边三角形．符号语言：∵∠ =∠ =∠∴△ABC 是__________〔2〕有一个角的等腰三角形是等边三角形．符号语言：∵ = ，∠ = °，∴△ABC是__________例2．：在△ABC中，∠A=60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：①如果添加条件“AB=AC〞，那么△ABC是等边三角形；②如果添加条件“∠B=∠C〞，那么△ABC是等边三角形；③如果添加条件“边AB、BC上的高相等〞，那么△ABC是等边三角形．上述说法中，正确的说法有〔〕A．3个B．2个C．1个D．0个【归纳总结】等边三角形有下面三个判定方法：〔1〕三边都相等的三角形是等边三角形；〔2〕三个角都相等的三角形是等边三角形；〔3〕有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.【针对训练】以下四个说法中，正确的有〔〕个．①三个角都相等的三角形是等边三角形．②有两个角等于60°的三角形是等边三角形．③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．A．0个B．1个C．2个D．3个探究点3：底边及底边上的高作等腰三角形例3．如图，线段a，h求作△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h．【归纳总结】等腰三角形的高在底边的垂直平分线上，也可利用等腰三角形的轴对称性作图．二、课堂小结内容等腰三角形的判定定理如果一个三角形有相等，那么这个三角形是等腰三角形．其中，两个相等的角所对的边相等．〔简称“〞〕．等边三角形的判定定理〔1〕都相等的三角形是等边三角形．〔2〕有一个角的等腰三角形是等边三角形．1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，那么图中的等腰三角形有〔〕A．5个B．4个C．3个D．2个2.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C〔如图〕，那么，由此可知，B、C两地相距m．3.如图，△ABC中，AE为中线，AD为高，∠BAD=∠EAD．假设BC=10cm，那么DC=．4.如图，CD平分∠ACB，AE∥DC，AE交BC的延长线于点E，且∠ACE=60°。
冀教版八年级数学上册17.1《等腰三角形》 课件 (共21张PPT)
C.800、500
B 3.下列命题中，真命题的个数是( )
D.是A或B
①等腰三角形的底角可以是直角或钝角；②等腰三角形的顶角
可以是直角或钝角；③等腰三角形的底角只能是锐角；④等腰
三角形的顶角只能是锐角。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
导入新课
如图，位于在海上A、B两处的两艘救生船
接到O处遇险船只的报警，当时测得
北
C
• （1）求∠ ACB的度数。
N 76°
• （2）轮船在B处时，
B
• 到灯塔C的距离是多少？
38° A
应用新知解决实际问题
北
C
解（1） ∵ ∠NAC=38° ∠NBC=76°
∠NBC=∠ACB+∠NAC
N
76° B
（三角形的一个外角等 于和它不相邻的两个内角的和)
∴ ∠ACB=∠NBC-∠NAC=76°-38°=38°
注意：使用“等角对等边”前提
是－－－在同一个三角形中
B
C
谈谈通过这个定理，你又得到 了解决什么样问题的方法？
说一说你学过的证明线段相等的方法
例.已知： 如图，∠CAE是△ ABC的外
角，AD平分∠CAE ，AD∥BC。
求证：AB=AC
E
证明：∵ AD平分∠CAE
∴ ∠1= ∠2 又∵ AD∥BC
（2） ∵ ∠ACB=∠NAC=38° ∴ AB=BC（等角对等边）
38° A
∵ AB=30海里
∴ BC=30海里
即B处到灯塔C的距离是30海里。
1. 通过本堂课的探索,你有何收获?最想说的一 句话是什么？
2. 反思一下你所获成功的经验, 与同学交流!
2020-2021冀教版数学八年级上册 17.1 等腰三角形
17.1 等腰三角形基础闯关全练知识点一等腰三角形的有关概念及性质1．等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是( )A.50°B.80°C.50°或80°D.20°或80°2．如图17 -1-1，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，则下列结论不一定成立的是( )A．AD=BDB．BD= CDC.∠1= ∠2D．∠B=∠C3．如图17 -1-2，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，BE =CF，则下列说法正确的有( )①DA平分∠EDF;②△EBD≌△FCD;③△AED≌△AFD;④AD垂直平分BC.A.1个B.2个C.3个D.4个4．如图17 -1-3，△ABC中，AB=AC，∠A= 36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC.(1)求∠ECD的度数；(2)若CE=5，求BC的长．5．如图17 -1-4，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE=AF，求证：DE= DF.知识点二等边三角形的概念及性质6．等边三角形的两条角平分线所夹的锐角的度数为( )A．30°B．45°C．60°D．90°7．如图17 -1-5，在等边三角形ABC中，D是AC边上的中点，延长BC到点E，使CE= CD，则∠E的度数为( )A.15°B.20°C.30°D.40°8．如图17 -1-6，△ABD与△ACE均为正三角形，且AB<AC，则BE与CD之间的大小关系是( )A.BE= CDB.BE>CDC.BE<CDD．不确定9．如图17 -1-7，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到点E，使得CE= CD.求证：BD= DE.10.如图17 -1-8，△BCD、△ACE都是等边三角形，求证：BE=AD．知识点三等腰三角形的判定11.对“等角对等边”这句话的理解，正确的是( )A．只要两个角相等，那么它们所对的边也相等B．在两个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等C．在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等D．以上说法都是正确的12.如图17 -1-9，在△ABC中，∠CAB= 90°，AD⊥BC于点D，∠ACB的平分线交AD于点E，交AB于点F，则△AEF是( )A．直角三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．无法确定13.如图17 -1-10，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB 于E．求证：△BDE是等腰三角形．14.如图17-1-11，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O．(1)求证：OB= OC；(2)若∠ABC= 50°，求∠BOC的度数．知识点四等边三角形的判定15.下面给出几种兰角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形：③一条边上的高也是这条边上的中线的三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．其中，等边三角形的个数是( )A.4B．3C．2D．116.如图17-1-12．延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD =AB，顺次连接D，E，F，得到的△DEF为等边三角形.求证：(1)△AEF≌△CDE；(2)△ABC为等边三角形，能力提升全练1．如图17 -1-13所示，一艘轮船从海平面上的A点出发，向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，又向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距( )A.30海里B.40海里C.50海里D.60海里2．如图17 -1-14所示，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B 两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为ts，解答下列问题．(1)当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由；(2)在点P与点Q运动的过程中，△BPQ能否成为等边三角形？若能，请求出t；若不能，请说明理由．3．如图17 -1-15，已知△ABC是等边三角形，BD是高，延长BC到E，使CE= CD，过D作DF⊥BE于F求证：(1)BD=DE；(2)F为线段BE的中点．4．如图17 -1-16，在△ABC中，AB=AC，∠BAC= 36°，BD平分∠ABC，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：(1)EF⊥AB；(2)△ACF为等腰三角形．三年模拟全练一、选择题1．如图17-1-17，在△ABC中，AB =AC，∠BAD=∠CAD.则下列结论：①△ABD≌△ACD，②∠B= ∠C，③BD= CD，④AD⊥BC.其中正确的个数有( )A.1B.2C.3D.42．如图17 -1-18，在△ABC中，D在BC上，若AD=BD，AB=AC=CD，则∠ABC的度数是( )A.30°B.35°C.36°D.60°二、解答题3．用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形．(1)如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长；(2)能围成一边的长是4 cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由．五年中考全练一、选择题1．如图17 -1-19，AB∥CD，AD= CD，∠1= 65°，则∠2的度数是( )A．50°B．60°C．65°D．70°2．若实数m、n满足等式0-nm，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，+-2=4则△ABC的周长是( )A.12B．10C．8D．63．如图17 -1-20，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB =AC．∠CAD=20°，则∠ACE的度数是( )A．20°B．35°C.40°D．70°二、填空题4．如图17 -1- 21，在△ABC中，∠A= 36°，AB=AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是.5．如图17 -1- 22，在△ABC中，AB =AC.以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连接BD.若∠A= 32°，则∠CDB的大小为度．三、解答题6．数学课上，张老师举了下面的例题：例1等腰三角形ABC巾，∠A=110°，求∠B的度数．（答案：35°）例2 等腰三角形ABC中，∠A= 40°，求∠B的度数．（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式等腰三角形ABC中，∠A= 80°，求∠B的度数．(1)请你解答以上的变式题；(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC 中，设∠A =x °，当∠B 有三个不同的度数时，请你探索x 的取值范围．7．如图17 -1- 23，AD 平分∠BAC ，AD ⊥BD ，垂足为点D ，DE ∥AC.求证：△BDE 是等腰三角形．核心素养全练1．如图17 -1- 24，已知AB=B A 1，, ,,……，若∠A= 70°,则∠A A A n n n 11--的度数为 ( )A.270n ︒B.2701+︒n C ．2701-︒n D ．2702+︒n 2.如图17 -1- 25①，点P 是等腰三角形ABC 底边BC 上的一动点，过点P 作BC 的垂线，交直线AB 于点Q ，交CA 的延长线于点R ．(1)试猜想线段AR 与AQ 的长度之间存在怎样的数量关系，并证明你的猜想；(2)如图17 -1- 25②，如果点P 沿着底边BC 所在的直线，按由C 向B 的方向运动到CB 的延长线上，其他条件不变，请问(1)中所得的结论还成立吗？请说明理由．17.1 等腰三角形基础闯关全练1.C 分两种情况讨论：①当顶角是80°时，它的底角是21×(180°-80°)= 50°；②底角是80°．所以底角是50°或80°，故选C ．2.A ∵AB =AC,AD ⊥BC,∴BD= CD, ∠1= ∠2, ∠B= ∠C ．故A 不一定成立，B,C,D 正确，故选A ．3.D 在△ABC 中,AB=AC,∴∠B= ∠C,∵ AD 平分∠BAC,AB=AC ，∴AD 垂直平分BC ，故④正确，∴BD =DC ，结合∠B= ∠C,BE= CF ，可得△EBD ≌△FCD( SAS)，故②正确，∴DE=DF ，∵AB= AC, BE= CF,∴AE= AF,又∵AD=AD,∴△AED ≌△AFD( SSS)，故③正确，∴∠ADE=∠ADF,∴DA 平分∠EDF ．故①正确，故选D ．4．解析(1)∵DE 垂直平分AC ，∴CE=AE,∴∠ECD= ∠A=36°.(2)∵AB=AC,∠A=36°,∴∠B= ∠ACB=72°,∵∠BEC= ∠A+∠ECD=72°,∴∠BEC= ∠B,∴BC=EC=5．5．证明如图，连接AD,∵ AB=AC,D 是BC 的中点，∴∠EAD=∠FAD.在△AED 和△AFD 中．∴△AED ≌△AFD(SAS),∴DE=DF ．6．C 如图，在等边三角形ABC 中，AD 、BE 分别平分∠BAC 、∠ABC ，且相交于点F ，∴∠1=∠2=21∠ABC=30°， ∴∠AFE= ∠1+∠2= 60°．7.C ∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB= 60°，∵CD= CE ，∴ ∠E=∠CDE,∵∠BCD= ∠E+∠CDE=2∠E=60°,∴∠E=30°.故选C ．8.A ∵△ABD 与△ACE 均为正三角形，∴BA =DA,AE=AC,∠BAD=∠CAE=60°,∴∠BAD+∠DAE= ∠CAE+∠DAE ，即∠BAE= ∠DAC.∴△BAE ≌△DAC( SAS)，∴BE=CD ，故选A ．9．证明∵△ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC ，∴∠ABC= ∠ACB= 60°，∠DBC= 30°（等腰三角形“三线合一”）．又∵CE= CD ，∴∠CDE=∠CED ，又∵∠BCD= ∠CDE+∠CED,∴∠CDE=∠CED=21∠BCD= 30°， ∴∠DBC= ∠DEC ．∴DB=DE （等角对等边）．10．证明∵△ACE 和△BCD 都是等边三角形，∴∠ACE=∠BCD= 60°,BC =DC,EC=AC,∴∠BCD+∠ACB= ∠ACE+∠ACB,即∠BCE= ∠DCA.在△BCE 和△DCA 中，∴△BCE ≌△DCA( SAS)，∴BE=AD.11.C “等角对等边”是等腰三角形的判定定理“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”的简写形式，意思是在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等．12.B 在△ACF 中，∠ACF+ ∠AFE= 90°．在△CED 中，∠ECD+∠CED= 90°，∵∠ACF= ∠ECD ，∴∠AFE=∠CED ，又∵∠CED= ∠AEF ，∴∠AFE= ∠AEF,∴△AEF 为等腰三角形．13.证明∵AD 平分∠BAC ，DE ∥AC ，∴∠EAD=∠CAD,∠EDA=∠CAD,∴∠EAD=∠EDA．∵BD⊥AD．∴∠EBD+∠EAD=∠BDE+∠EDA= 90°．∴∠EBD=∠BDE,∴DE= BE．∴△BDE是等腰三角形．14.解析(1)证明：∵AB=AC，∴∠ABC= ∠ACB．∵BD、CE是△ABC的两条高线，∴∠BEC= ∠BDC=90°，又∵∠BOE= ∠COD，∴∠EBO= ∠DCO,∴∠ABC-∠EBO=∠ACB-∠DCO，即∠OBC=∠OCB,∴OB= OC.(2)∵∠ABC= 50°,AB=AC,∴∠A= 180°-2×50°= 80°,易知∠DOE+ ∠A=180°，∴∠BOC=∠DOE=180°- 80°= 100°.15.B利用等边三角形的判定定理可知①②④中的三角形都为等边三角形，③中的三角形不一定为等边三角形．16．证明(1)∵BF=AC,AB=AE,∴FA=EC.∵△DEF是等边三角形，∴EF=DE（等边三角形的性质）．又∵AE= CD,∴△AEF≌△CDE( SSS).(2)由△AEF≌△CDE,得∠FEA=∠EDC,∴∠BCA= ∠EDC+∠DEC=∠FEA+ ∠DEC=∠DEF,∵△DEF是等边三角形，∴∠DEF=60°,∴∠BCA=60°,同理可得∠BAC=60°,∴△ABC是等边三角形．能力提升全练1．B 连接AC，如图所示，由题意得∠ABC= 60°，AB= BC，则△ABC是等边三角形，∴AC=AB= 40海里．2．解析(1)当点Q到达点C时，PQ与AB垂直．理由：∵AB=AC=BC=6 cm，点P运动的速度为1 cm/s，点Q运动的速度为2 cm/s．∴当点Q到达点C时，BP=3 cm，∴点P为AB的中点．∴QP⊥BA.(2)能．假设在点P与点Q运动的过程中，△BPQ能成为等边三角形，则BP=BQ，∴6-t= 2t，解得t=2．又∵点Q从点B到点C运动的时间为6÷2=3 s，2<3，∴当t=2时，△BPQ是等边三角形．3．证明(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC= ∠ACB=60°．又∵BD是△ABC的高，∴∠DBC=21∠ABC=21×60°= 30°， ∵CE=CD ．∴∠CDE= ∠E ．又∵∠ACB=∠CDE+∠E=60°,∴∠CDE= ∠E=30°,∴∠DBC= ∠E,∴BD= DE.(2)∵BD=DE ，DF ⊥ BE ，∴F 为线段BE 的中点．4．证明 (1)∵AB=AC,∠BAC=36，∴∠ABC= 72°，又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=36°，∴∠BAD= ∠ABD,∴AD=BD,又∵E 是AB 的中点，∴DE ⊥AB,即FE ⊥AB.(2)∵FE ⊥AB,AE=BE,∴FE 重直平分AB ，∴AF=BF,∴∠BAF= ∠ABF,又∵∠ABD= ∠BAD,∴∠FAD=∠FBD= 36°,又∵∠ACB=72°,∴∠AFC= ∠ACB -∠CAF=36°,∴∠CAF= ∠AFC=36°,∴AC=CF ，即△ACF 为等腰三角形三年模拟全练一、选择题1．D 根据等腰三角形“三线合一”可知，①②③④均正确，故选D ．2.C ∵AD =BD ，∴∠B= ∠BAD ，∵AB=AC ，∴∠B= ∠C ，∵AC=CD ，∴∠ADC= ∠CAD ，又∵∠ADC= ∠B+ ∠BAD=2∠B,∴∠BDA= ∠DAC+ ∠C= 3∠B ．又∵∠B+ ∠BAD+ ∠BDA=180°，∴5∠B= 180°，∴∠B= 36°，故选C.二、解答题3．解析(1)设底边长为x cm ，则腰长为2x cm.依题意，得2x+2x+x= 18，解得x=518 ∴2x=536． ∴三角形三边的长分别为518cm 、536cm 、536cm ． (2)能围成一边的长是4 cm 的等腰三角形．理由如下：若腰长为4 cm ，则底边长为18-4-4=10 cm ，而4+4<10，此时不能围成腰长为4 cm 的等腰三角形；若底边长为4 cm ，则腰长为21×(18-4)=7 cm ． 此时能围成等腰三角形，另外两边的长为7 cm 、7 cm.五年中考全练一、选择题1.A ∵AD=CD,∴∠ACD= ∠CAD,∵ AB ∥CD,∴∠ACD=∠1= 65°,∴ ∠2= 180°- ∠ACD -∠CAD= 180°-65°-65°= 50°，故选A ．2．B ∵042=-+-n m ．∴m -2=0,n -4=0,解得m=2，n=4，当腰长为2时，三边长为2,2,4，不能构成三角形；当腰长为4时，三边长为2,4,4，能构成三角形，此时周长为2+4+4= 10．故选B ．3.B ∵AD 是△ABC 的中线，AB=AC,∠CAD=20°,∴∠CAB=2∠CAD= 40°, ∠B= ∠ACB= 21( 180°-∠CAB)= 70°，∵CE 是△ABC 的角平分线，∴∠ACE=21∠ACB=35°．故选B ． 二、填空题4．答案3解析 ∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB=236180︒-︒=72°, 又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD= ∠CBD=36°，∴∠ BDC= 72°．∴AD=BD=BC.∴△ABD ，△BCD ，△ABC 均为等腰三角形，故有3个．5．答案37解析 ∵AB=AC,∠A =32°，∴∠ABC= ∠ACB= 74°，又∵BC=DC ，∴∠CDB=∠CBD=21∠ACB= 37°． 三、解答题6．解析(1)若∠A 为顶角，则∠B=（180°-∠A ）÷2= 50°；若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B=180°-2×80°=20°；若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B= 80°．故∠B 的度数为50°或20°或80°.(2)分两种情况：①当90≤x< 180时，∠A 只能为顶角，∴∠B 的度数只有一个；②当0<x<90时，若∠A 为顶角，则∠B=⎪⎭⎫ ⎝⎛-︒2180x ； 若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B=（180- 2x ）°；若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B=x °，当2180x -≠180- 2x 且180- 2x ≠x 且2180x -≠x ， 即x ≠60时，∠B 有三个不同的度数.综上所述，当0<x<90且x ≠60时，∠B 有三个不同的度数．7．证明如图，∵DE ∥AC,∴∠1=∠3．∵AD 平分∠BAC,∴∠1= ∠2,∴∠2=∠3．∵AD ⊥BD,∴∠2+∠B=90°,∠3+∠BDE=90°,∴∠B= ∠BDE,∴△BDE是等腰三角形．核心素养全练1.C ∵在中，∠A=70°,AB=BA1,∴= 70°,∵，∠是的一个外角，∴=35°．同理，可得，，∴.故选C．2．解析(1)AR=AQ.理由：∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴AB=AC，∴∠B= ∠C,∵PR⊥BC，∴∠B+ ∠BQP=90°, ∠C+∠PRC= 90°,∴∠BQP=∠PRC，∵∠BQP= ∠AQR（对顶角相等），∴∠AQR= ∠PRC,∴AR=AQ.(2)AR=AQ依然成立．理由：∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴AB=AC，∴∠ABC= ∠C,∵∠ABC= ∠PBQ（对顶角相等），∴∠C= ∠PBQ，∵PR⊥BC，∴∠R+∠C= 90°,∠Q+∠PBQ=90°，∴∠Q= ∠R，∴AR=AQ.。
八年级数学上册 17 特殊三角形小结与复习冀教版
——————————教育资源共享步入知识海洋————————第十七章小结与复习【知识梳理】一．等腰三角形1.相关概念：有两边相等的三角形是等腰三角形（在未知是否为等腰三角形时，不能先说有两腰相等的三角形叫等腰三角形，防循环论证）；三边都相等的三角形叫等边三角形（也称之为正三角形），它是特殊的等腰三角形．2.等腰三角形及等边三角形的性质：等腰三角形是轴对称图形，顶角的角平分线所在直线就是它的对称轴；等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线，底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）；等边三角形的各角都相等，并且每个角都等于60°．二．直角三角形１.直角三角形的性质定理：２.含30°角的直角三角形的性质：３.直角三角形的判定：4.直角三角形全等的判定：三．勾股定理勾股定理是初中数学中的一个重要定理，在直角三角形中，已知两边可利用此定理求第三边的长.可从三边的平方关系中判断一个三角形是否为直角三角形，可解决面积问题等等．1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 +b2 = c22.如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形；3.满足a2 +b2 = c2的三个正整数，称为勾股数．四．反证法1.用反证法证明找出命题结论的反面是关键，“至少”的反面是“没有”，“最多”的反面是“不止”；2.用反证法证明一定要得出矛盾，这种矛盾可以是与已知条件的矛盾，也可以是与定义、定理的矛盾．【典例分析】例1．等腰三角形顶角与底角之比为1:4，则三个角分别是_________．解：设顶角与底角分别为x ，4x ，根据题意，有x +4x +4x=180．（以下略）掌握概念、把握方法、灵活运用数学思想，善于数形结合，就能掌握等腰三角形．例2.如图1，矩形纸片ABCD 中，AB =8cm,把矩形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，若AF =425cm ，则AD 的长为（ ） A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 7cm分析:本题考查折叠的有关知识及勾股定理的应用.∵△ABC ≌△AEC ,∴∠EAC=∠BAC , 又∵四边形ABCD 为矩形,∴DC=AB=8,DC∥AB,∴∠FCA=∠BAC,∴∠FAC =∠FCA, ∴AF =FC =425,∴DF=DC-CF =8-425=47, 又∵∠D=090,∴AD =(),636474252222cm DF AF ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-故选C. 例3.如图2，有一木质圆柱形笔筒的高为h ，底面半径为r ，现要围绕笔筒的表面由A 至1A （1A A ，在圆柱的同一轴截面上）镶入一条银色金属线作为装饰，这条金属线的最短长度是 ．分析:求几何体表面的最短距离时,通常可以将几何体表面展开,把立体图形转化成平面图形,于是问题可迎刃而解.把圆柱的侧面展开如图3,金属线的最短长度()22222212142h r h r B A AB AA +=+=+=ππ. 评析: 解决立体图形中的最短路线问题的关键是把立体图形平面化.方法是：把立体图形的表面展开，根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理，直接求出平面上两点之间的距离，此距离即为所求.例4．如图，AB=AC ，D 为BC 上一动点，DE ⊥AB于E ，图1 图2 A1A 1ADF ⊥AC 于F ，∠BAC ＝120°，BC ＝10cm,则DE ＋DF ＝ 。
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.
A
B
D
C
我是工程师
（四分）
2.将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检 查一根横梁是否水平，你知道怎么检查吗？ A
B
D
我是小画家
1.阅读材料：如图， △ABC是等腰三角形， AB=AC，不小心被墨水 涂没了一部分,只留下 一条边BC和一底角∠C. 你有没有办法把原来的 等腰三角形ABC重新画 出来?
（每题一分）
1.已知：AB=AC，∠B=60°，则△ABC是 等边 三角形（ ）。 2.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重 合。（ ） 3.等腰三角形的两边分别是2和6，那么周长 是10或14。（ ） 4.在等腰△ABC中，AB =10，AC =12，则 △ABC的周长=32 （ ）
×
×
×
（每题二分） 1.如图,∠A=36°,∠DBC=36°, ∠C=72°, 共有（ B ）等腰三角形？
（五分）
已知：AD是△ABC的外角∠EAC 的平分线,且AD∥BC,试判断△ABC 的形状,并证明你的结论。
E A D
B
C
我是航海家
（三分）
1.如图,位于在海上A、B两处的两艘救生船接
到O处的遇险报警，当时测得∠A=∠B。 如果这两艘救生船以同样的速度同时出发， 能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪等 因素）？ O
A 2个 B3个 C4个 D5个
A
36°
O
2.如图，AOB是一钢架，且 ∠AOB=10°，为使钢架更加坚 固， D 需在其内部添一些钢管EF、 FG、 72° GH……，添加的 钢管长度 都与 36° 72° 36° OE相等，添加这样的钢管4 根时， B C 则∠AHB 的度数为( ) C A 30°B 40° C 50° D 60° M 40° A 40° 20° Ｅ 20° 30° 50° 10° 30° 10° F H B
A B
我是航海家
（四分）
2. 上午8时，一条船从A处出发以每小时15
海里的速度向北航行，10时到达B处。从A、 B望灯塔C，测∠NAC=60°∠NBC=120° 分别求点A和点B到灯塔C的距离 N
Hale Waihona Puke 120 °BC60 °
A
我是实践家
（三分）
1.小红想做一个等腰三角形，于是她把一张
长方形的纸沿对角线折叠，她说重合部分是 一个等腰三角形，她说的对吗？为什么？ C’
D
C
（每题一分）
⒈等腰三角形一个底角为75°它的 75°, 30° 另外两个角为__________ ； ⒉等腰三角形一个顶角为70°它的 55°,55° 另外两个角为_______ ； ⒊等腰三角形一个角为80°, 它的 °,50°或 80°,20° 另外两个角为 50 __________________ 4、若等腰三角形的一个外角70°则 它的底角为________ 35°35°
E D
A
3
B
1 2
C
我是实践家
2.要想测量河宽： 小聪的方法是：从点Ａ出发， 沿着与直线 ＡＢ成６０°角 的ＡＣ方向前进至Ｃ，在Ｃ 处测得 ∠BＣA＝３０°量出 ＡＣ的长，它就是河宽 这个 方法正确吗？请说明理由．
Ｃ
（四分）
Ｂ
Ａ
30 °
60 °
我是工程师
（四分）
1.如图是博物馆屋顶的截面图，已经知道两边AB和AC是相等的. 建筑师傅对这个建筑物做出了两个判断: ①工人师傅在测量了∠B为37°以后，并没有测量∠C ，就说∠C 的度数也是37°你知道为什么吗？ ②工人师傅要加固屋顶，他们通过测量找到了横梁BC的中点D， 然后在AD两点之间钉上一根木桩，他们认为木桩是垂直横梁的.请 同学们想想,工人师傅的说法对吗？
A
A
B
性质：
C
B
C
判定：
在△ABC中， 在△ABC中， 已知） ∵ ∠B =∠C （已知 ） ∵ AC = AB（ ∴ ∠B =∠C( 等边对等角） ∴ AC = AB ( 等角对等边）
三线合一：
在△ABC中， 1.∵AB =AC, AD ⊥ BC ∴∠ 1 = ∠ 2 ，BD ___= 。 A 2.∵ AB =AC, AD是中线， ∴__ ⊥ BC ，∠1 =∠ 2 。 1 1 2 2 3.∵ AB =AC, AD是角平分线， ∴AD⊥BC ，BD=DC。 B
（六分）
我是小画家
（六分）
2.如图所示，已知下列两个三角形，思考 怎样把每个三角形只剪一次，将它分成两个 等腰三角形？试一试，你一定会成功的。
120°
20 ° 40 ° 20 °
100 °
60 °
课堂小结
通过本堂课的学习 我学会了… … 我体会到… … 我知道了… …