图论与网络优化-刘彬农庆琴
网络优化及实例ppt课件
…
运价 20 23 26 29
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32
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20
精品课件
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钢管运输问题（CUMCM-
2000B)
常用解法: 二次规划
先计算最小运费矩阵
➢ 两种运输方式（铁路／公路）混合最短路问题 ➢ 是普通最短路问题的变种，需要自己设计算法
精品课件
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钢管运输问题（CUMCM-
2000B)
fi表示钢厂i是否使用；xij是从钢厂i运到节点j的钢管量 yj是从节点j向左铺设的钢管量；zj是向右铺设的钢管量
Min
i, j
(
pi
c ij
) xij
0.1 2
15
[(1
j 1
y j ) y j (1 z j ) z j ]
15
s.t. 500 f i xij S i f i , i 1,..., 7. j 1
7
xij y j z j ,
j 1,..., 15 .
cumcm2000b.lg4
性规划模型除了可以利用数学软件求解 外,讨论问题推广时应设计快速近似算法 3.一题多解讨论算法性能比较与分析
应
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大规模数据处理是近年竞赛题的 倾如:向
1. 04年A题:奥运会临时超市网点设计 2. 05年A题:长江水质的评价和预测 3. 05年B题:DVD的在线租赁
难 度逐年增大
•单向？ •双向？
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2
欧拉把哥尼斯堡七桥问题转化为一个 图论上的问题：
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3
七桥问题 的
顶因
答案是 否定的 点 为
图
中
没
有
偶
度
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图论与网络最优化算法答案
图论与网络最优化算法答案【篇一：《运筹学》复习题】一、名词解释1松弛变量为将线性规划问题的数学模型化为标准型而加入的变量。
2可行域满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。
3人工变量亦称人造变量.求解线性规划问题时人为加入的变量。
用单纯形法求解线性规划问题，都是在具有初始可行基的条件下进行的,但约束方程组的系数矩阵a中所含的单位向量常常不足m个，此时可加入若干(至多m)个新变量，称这些新变量为人工变量。
4对偶理论每一个线性规划问题都存在一个与其对偶的问题，在求出一个问题解的同时，也给出了另一个问题的解。
研究线性规划中原始问题与对偶问题之间关系的理论5灵敏度分析研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。
在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。
通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。
6影子价格反映资源配置状况的价格。
影子价格是指在其他资源投入不变的情况下,每增加一单位的某种资源的投入所带来的追加收益。
即影子价格等于资源投入的边际收益。
只有在资源短缺的情况下,每增加一单位的投入才能带来收益的增加7产销平衡运输一种特殊的线性规划问题。
产品的销售过程中，产销平衡是指工厂产品的产量等于市场上的销售量。
8西北角法是运筹学中制定运输问题的初始调运方案（即初始基可行解）的基本方法之一。
也就是从运价表的西北角位置开始，依次安排m个产地和n个销地之间的运输业务，从而得到一个初始调运方案的方法。
9最优性检验检验当前调运方案是不是最优方案的过程。
10动态规划解决多阶段决策过程优化问题的方法：把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解11状态转移方程从阶段k到k+1的状态转移规律的表达式12逆序求解法在求解时，首先逆序求出各阶段的条件最优目标函数和条件最优决策，然后反向追踪，顺序地求出改多阶段决策问题的最优策略和最优路线。
图论讲义1图路树
7. 连通性 图中两点的连通：如果在图 G 中 u，v 两点有路相通，则称顶点 u，v 在图 G 中连通。 连通图（connected graph）：图 G 中任二顶点都连通。 图的连通分支（connected branch, component）：若图 G 的顶点集 V(G)可划分为若干非空子集
这便定义出一个图。
2. 图的图示
通常，图的顶点可用平面上的一个点来表示，边可用平面上的线段来表示（直的或曲的）。 这样画出的平面图形称为图的图示。
例如，例 1.1.1 中图的一个图示为
v1
v2
e1
e6 e5
e2
e4
v5
e7
v3
e3 v4
注：（1）由于表示顶点的平面点的位置的任意性，同一个图可以画出形状迥异的很多图示。
3
（8） 完全图(complete graph)
（9） 图的顶点数（图的阶）ν 、边数 ε
（10） 顶点 v 的度(degree)：d(v) = 顶点 v 所关联的边的数目（环边计两次）。
（11） 图 G 的最大度： ∆(G) = max{dG (v) | v ∈V (G)}
图 G 的最小度：δ (G) = min{dG (v) | v ∈V (G)}
证明：按每个顶点的度来计数边，每条边恰数了两次。 推论 1.1.1 任何图中，奇度顶点的个数总是偶数（包括 0）。 4. 子图
子图(subgraph)：如果V (H ) ⊆ V (G) 且 E(H ) ⊆ E(G) ，则称图 H 是 G 的子图，记为 H ⊆G。
生成子图(spanning subgraph): 若 H 是 G 的子图且V (H ) = V (G) ，则称 H 是 G 的生成子图。
第六章图与网络分析
e3
v3
若链中所有的顶点也互不相同,这样的链称为路.
e4
v4
起点和终点重合的链称为圈. 起点和终点重合的路称为回路.
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这 样的图为连通图, 否则称该图是不连通的. 第10页
完全图，偶图
任意两点之间均有边相连的简单图, 称为完全图. K n
K2
K3
K4
2 | E | Cn
第20页
6.2树图和图的最小部分树问题 Minimal tree problem 6.2.1树的概念
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这样的图 为连通图. 树图(简称树Tree)： 无圈的连通的图，记作T(V, E)
组织机构、家谱、学科分支、因特网络、通讯网络及高压线路 网络等都能表达成一个树图 。
第13页
有向图 G ： (V,E)，记为 G=(V,E)
G 的点集合： V {v1 , v2 ,...,vn } G 的弧集合： E {eij } 且 eij 是一个有序二元组 (vi , v j ) ，记
为 eij (vi , v j ) 。下图就是一个有向图，简记 G 。 若 eij (vi , v j ) ，则称 eij 从 v i 连向 v j ，点 v i 称为 eij 的尾，v j 称为 eij 的头。 v i 称为 v j 的前继， v j 称为 v i 的后继。 基本图：去掉有向图的每条弧上的方向所得到的无向图。
有向图 G (V , E ) 的关联矩阵：一个 | V | | E | 阶矩阵
B (bik ) ，
1, 当 弧ek以 点i为 尾 其中 bik 1, 当 弧ek以 点i为 头 0, 否 则
运筹学-图与网络模型以及最小费用最大流(高级课堂)
v4
v5
高等课堂 7
图与网络的基本概念与模型
环, 多重边, 简单图
e1
如果边e的两个端点相重，称该边为 环。如右图中边e1为环。如果两个点 v2
e2
e4 v1e3
v3
之间多于一条，称为多重边，如右图
e5
中的e4和e5，对无环、无多重边的图
e6
e7
e8
称作简单图。
v4
v5
高等课堂 8
图与网络的基本概念与模型
的长度（单位：公里）。
17
v2
5
6
15
6 v4
V1
（甲地）
43
10
4
4
2
v5
v6
解：这是一个求v3无向图的最短路的问题。可以把无向图的每一边
（vi,vj）都用方向相反的两条弧（vi,vj）和（vj,vi）代替，就化为有向图，
即可用Dijkstra算法来求解。也可直接在无向图中用Dijkstra算法来求解。
最短路问题
最短路问题：对一个赋权的有向图D中的指定的两个点Vs和Vt找 到一条从 Vs 到 Vt 的路，使得这条路上所有弧的权数的总和最小， 这条路被称之为从Vs到Vt的最短路。这条路上所有弧的权数的总 和被称为从Vs到Vt的距离。
• 求最短路有两种算法:
狄克斯屈拉(Dijkstra)（双标号）算法 逐次逼近算法
• 图论中图是由点和边构成，可以反映一些对象之间的关系。 • 一般情况下图中点的相对位置如何、点与点之间联线的长短曲
直，对于反映对象之间的关系并不是重要的。
图的定义(P230)
若用点表示研究的对象，用边表示这些对象之间的联系，则图 G可以定义为点和边的集合，记作：
运筹学第6章 图与网络
也就是说| V1 |必为偶数。
定理6.2有学者也称作定理6.1的推论。根据定理6.2，握手定理也可以 表述为，在任何集体聚会中，握过奇次手的人数一定是偶数个。
12 该课件的所有权属于熊义杰
另外，现实中不存在面数为奇数且每个面的边数也是奇数的多面 体，如表面为正三角形的多面体有4个面，表面为正五边形的多面体有 12个面等等，也可以用这一定理予以证明。因为在任意的一个多面体 中， 当且仅当两个面有公共边时，相应的两顶点间才会有一条边，即 任意多面体中的一个边总关联着两个面。所以，以多面体的面数为顶
v j V2
(m为G中的边数）
因式中 2m 是偶数， d (v j ) 是偶数，所以 d (vi ) 也必为偶数
v j V2
vi V1
( 两个同奇同偶数的和差必为偶数 ), 同时,由于 d (vi ) 中的每个加数 d (vi )
均为奇数,因而 d (vi ) 为偶数就表明, d (vi ) 必然是偶数个加数的和 ,
图论、算法图论、极值图论、网络图论、代数图论、随机图论、 模糊图论、超图论等等。由于现代科技尤其是大型计算机的迅 猛发展，使图论的用武之地大大拓展，无论是数学、物理、化 学、天文、地理、生物等基础科学，还是信息、交通、战争、 经济乃至社会科学的众多问题．都可以应用图论方法子以解决。
1976年，世界上发生了不少大事，其中一件是美国数学家 Appel和Haken在Koch的协作之下，用计算机证明了图论难题— —四色猜想(4CC)：任何地图，用四种颜色，可以把每国领土染 上一种颜色，并使相邻国家异色。4CC的提法和内容十分简朴， 以至于可以随便向一个人(哪怕他目不识丁)在几分钟之内讲清 楚。1852年英国的一个大学生格思里(Guthrie)向他的老师德·摩 根(De Morgan)请教这个问题，德·摩根是当时十分有名的数学家， 他不能判断这个猜想是否成立，于是这个问题很快有数学界流 传开来。1879年伦敦数学会会员Kemple声称，证明了4CC成立， 且发表了论文。10年后，Heawood指出了Kemple的证明中
图论算法在网络拓扑优化中的应用研究
图论算法在网络拓扑优化中的应用研究图论是研究图的结构和性质的数学理论，广泛应用于计算机科学、通信网络、电力系统等领域。
网络拓扑优化是指通过对网络拓扑结构进行优化，提升网络性能和效率。
而图论算法在网络拓扑优化中的应用研究，旨在利用图论算法解决网络拓扑优化问题，提高网络的稳定性、可靠性和吞吐量。
本文将从网络拓扑优化的基本概念、图论算法的应用、实际案例以及未来研究方向等方面进行探讨。
首先，我们来了解一下网络拓扑优化的基本概念。
网络拓扑是指网络中节点和连接的布局关系，决定了网络传输数据的路径和性能。
网络拓扑优化就是通过调整网络中节点和连接的布局，以优化网络的性能和效率。
网络拓扑优化的目标可以是提高网络的可靠性和稳定性，减少网络延迟和丢包率，提升网络吞吐量等。
图论算法在网络拓扑优化中的应用非常广泛。
首先，最短路径算法是图论算法中的经典算法之一，被广泛应用于路由算法中。
例如，Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法可以用来计算网络中两个节点之间的最短路径，从而确定网络中数据传输的最优路径。
通过利用最短路径算法，可以减少网络中数据的传输时间和延迟，提高网络的传输效率。
其次，最小生成树算法也是图论算法中的重要算法，可以用来解决网络拓扑优化中的连通性问题。
例如，Prim算法和Kruskal算法可以用来构建网络中的最小生成树，从而保证网络中所有节点之间都能够相互连通。
通过构建最小生成树，可以提高网络的可靠性和稳定性，减少因节点失效或连接故障导致的通信中断。
此外，图着色算法和最大流算法等也可以应用于网络拓扑优化中。
图着色算法可以用来解决网络中资源分配的问题，例如分配网络中的频谱资源或IP地址。
通过合理的资源分配，可以提高网络的利用率和性能。
最大流算法可以用来解决网络中的数据传输量最大化问题。
通过调整网络中数据的传输路径和流量分配，可以提高网络的吞吐量和传输效率。
实际上，图论算法在网络拓扑优化中的应用已经得到了广泛的验证和应用。
基于深度强化学习的Π型阻抗匹配网络多参数最优求解方法
第52卷第6期电力系统保护与控制Vol.52 No.6 2024年3月16日Power System Protection and Control Mar. 16, 2024 DOI: 10.19783/ki.pspc.230917基于深度强化学习的Π型阻抗匹配网络多参数最优求解方法胡正伟，夏思懿，王文彬，曹旺斌，谢志远(华北电力大学电子与通信工程系，河北 保定 071003)摘要：针对电力线信道阻抗变化复杂、负载阻抗不匹配造成通信质量差等问题，提出一种基于深度强化学习的Π型阻抗匹配网络多参数最优求解方法，并验证分析了深度强化学习对于寻找最优匹配参数的可行性。
首先，建立Π型网络结构，推导窄带匹配和宽带匹配场景下的最优匹配目标函数。
其次，采用深度强化学习，利用智能体的移动模拟实际匹配网络的元件参数变化，设置含有理论值与最优匹配值参数的公式作为奖励，构建寻优匹配模型。
然后，分别仿真验证了窄带匹配和宽带匹配两种应用场景并优化模型的网络参数。
最后，仿真结果证明，经过训练后的最优模型运行时间较短且准确度较高，能够较好地自动匹配电力线载波通信负载阻抗变化，改善和提高电力线载波通信质量。
关键词：深度强化学习；电力线通信；窄带匹配；宽带匹配Multi-parameter optimal solution method for Π-type impedance matching networksbased on deep reinforcement learningHU Zhengwei, XIA Siyi, WANG Wenbin, CAO Wangbin, XIE Zhiyuan(Department of Electrical & Electronic Engineering, North China Electric Power University, Baoding 071003, China)Abstract: There are problems of complex power line channel impedance variation and poor load impedance mismatch.Thus a multi-parameter optimal solution method for a Π-type impedance matching network based on deep reinforcement learning is proposed, and the feasibility of deep reinforcement learning for finding the optimal matching parameters is verified and analyzed. First, the Π-type network structure is established to derive the objective function for the optimal matching in the narrowband matching and broadband matching scenarios. Secondly, deep reinforcement learning is used to use the movement of the agent to simulate the component parameters of the actual matching network, and set the formula containing the theoretical value and the optimal matching value of the parameters as a reward to build the optimal matching model. Then, this paper separately verifies the network parameters of narrowband matching and broadband matching application scenarios and optimizes the network parameters of the model. Finally, the simulation results prove that the trained optimal model has short running time and high accuracy. It can better automatically match the load impedance change of power line carrier communication, and improve the quality of power line carrier communication.This work is supported by the General Program of National Natural Science Foundation of China (No. 52177083).Key words: deep reinforcement learning; power line communication; narrowband matching; broadband matching0 引言随着科技的进步，电力线通信技术飞速发展，对电力线载波通信质量也提出了更高的要求[1-3]。
一种基于子树分解的组播线性网络编码算法
一种基于子树分解的组播线性网络编码算法刘宴涛;夏桂阳;徐静;秦娜【摘要】针对拓扑不变网络的单源组播网络编码问题,基于子树分解提出一种新的线性网络编码算法.该算法由线图变换、子树分解、边不相邻路径搜索、全局编码矢量分配和局部编码矢量计算等过程组成.算法输入为满足组播条件的有向无环网络,输出为各边的全局编码矢量和局部编码矢量.在子树分解过程中,子树内部的边不需要编码,只对子树之间的边进行编码.理论分析和仿真实验结果表明,利用子树分解可以降低网络规模以及路径搜索和分配编码矢量的计算复杂度,缩短编码算法的运行时间,因此该算法是一种高效的单源组播网络编码算法.【期刊名称】《计算机工程》【年(卷),期】2015(041)011【总页数】7页(P153-159)【关键词】线性网络编码;有向无环图;线图;子树分解;编码矢量【作者】刘宴涛;夏桂阳;徐静;秦娜【作者单位】渤海大学工学院,辽宁锦州121000;渤海大学工学院,辽宁锦州121000;渤海大学工学院,辽宁锦州121000;渤海大学工学院,辽宁锦州121000【正文语种】中文【中图分类】TN915网络编码的基本思想是在网络中传输数据包时，允许中间节点对收到的数据包进行组合、运算和编码等操作，从而生成新的数据包向后继节点发送。
这与传统的路由技术有很大不同，因为路由采用存储转发的策略，不允许中间节点对数据包进行其他操作。
与路由技术相比，网络编码技术带来了包括网络吞吐量、通信鲁棒性、无线带宽、能效节省、网络安全等收益［1］。
为了换取这些收益，网络节点对数据包的处理功能要更为复杂，但随着集成电路和通信技术突飞猛进的发展以及摩尔定律的作用，现代网络通信的瓶颈越来越多地出现在通信信道的带宽上，而不是出现在网络设备的处理能力上，所以，网络编码技术将成为突破这一瓶颈的理想选择。
网络编码技术一经提出就引起了科学界和工程界的强烈兴趣，目前对该技术的研究主要从理论和应用2个层面进行。
运筹学第7章图与网络优化
1
链，圈，初等链，初等圈，简单链（圈）
2
相邻节点的序列 {v1 ,v2 ,…, vn} 构成一条链(link)p178；
3
在无向图中，节点不重复出现的链称为初等链；
4
首尾相连的链称为圈(loop) ；首尾相连的初等链称为初等圈；
5
边不重复出现的链（圈）称为简单链（圈）
01
02
子图，部分图；连通图，成分
(1).与v3相连的临时标号有v5
第五步：
T(v5)=min{T(v5),P(v3)+d35}=min{9,7+3}=9
(2).P(v5)=9
最短路线：
vs→v1→v4→ v5 vs→v2→v4→ v5
vS
v2
v3
v4
v5
1
2
2
2
3
3
3
4
4
0
4
5
3
7
9
*
也可以用表格的形式求解。p190
斯坦纳树问题
假设我们在北京、上海、西安三城市之间架设电话线，一种办法是分别联通北京--上海和北京--西安。另一种办法是选第四个点，假设郑州。由此分别向三城市架线，可能你不会想到第二种办法所用的电话线只是第一种办法的86.6%，即可取得比第一种办法节约13%的显著经济效益。这就是离散数学界30年代提出的著名的斯坦纳树问题，但一直未能得到证明。
平面图(planar graph)，若在平面上可以画出该图而没有任何边相交
*
7基础图，路，回路，欧拉回路
在有向图D(V,A)中去掉箭头，称为D的基础图，G（D）
01
在有向图中，链 路
02
圈 回路
03
图论与网络优化问题
图论与网络优化问题简介数学建模题目类型： B. 运筹学（公交车调度、灾情巡回路线、矿山车辆安排）一、 图的基本概念:1. 通过 Euler 七桥问题介绍2. 赋权图（网络）：二、 图论中的传统优化问题1. 最小生成树问题：应用背景：交通网的设计算法： Greedy Algorithm (贪婪算法)破圈法(Rosenstiehl 1967):i) ;)0(G G ←0←k .ii) 若)(k G 不含圈，则它就是G 的最小支撑树；若)(k G 中含圈，设C 为)(k G 中任意一个圈，取C 上最大权的边)(k e ，令)()()1(k k k e G G -=+iii) ,1+←k k 重复ii).避圈法(Rosenstiehl 1967):i) );()0(φ，V G ←0←k .ii) 若)(k G 是连通，则它就是G 的最小支撑树；若)(k G 不连通，设)(2)(1,k k G G 为)(k G 中的两个分图，在连结这两分图的边中取权最小的边)(k e ，令)()()1(k k k e G G +=+iii) ,1+←k k 重复ii).例2. 最大匹配问题实 例: 边赋权图),(E V G =可行解: G 中的边独立集M目 标：极小化M 上所有边的权和.算 法： Edmonds 19653. 中国邮路问题：管梅谷 1960一个邮递员送信时，要走遍他所负责的每条街道，完成送信任务后回到邮局. 他应按什么样的路线走，使走的总里程最短?实 例: 边赋权图),(E V G =可行解: 通过G 中所有边的圈C （未必是简单的）目 标：极小化圈C 上所有边的权和.算 法： Edmonds, Johnson 1973i) 设G 的奇点为k v v v 221,,, , 构造k 2阶完全图H ,=)(H V },,,{221k v v v , 边j i v v 上的权为G 中连结i v 与j v 的最短路的权.ii) 在H 中求权和最小的完美对集M .iii) 对k j ,,2,1 =, 设j P _是G 中连结M e j∈的两个端点的最短路. 令kj j P E E 1)(*==, 则过*E E ⋃的Euler 圈即为中国邮路问题的解.4. 货郎问题：一个推销员要到若干个城市推销货物，然后回到出发点. 他应按如何选择旅行路线，使每个城市通过一次且仅一次，并且总的里程最短?实 例: 边赋权图),(E V G =可行解: 通过G 中所有边的圈C （未必是简单的）目 标：极小化圈C 上所有边的权和.近似算法：两边交换算法、三边交换算法、 (欧氏距离下) 1.5 近似算法i) Find a MST of G . Say T .ii) Find a minimum cost perfect matching,M ,on the set of odd-degree vertices of T . AddM to T and obtain an Eulerian graph .iii) Output the tour that visit the vertices of G inthe order of their first appearance in T .例：1234561123453261→三、通讯网络中的优化问题1.经典最小Steiner树问题: 给定平面上若干个点，如何将它们连接起来使得连线长度最短？解的结构：该问题的解一定有树的结构(Steiner树)，而且可能会引入一些新的点( Steiner 点)定理（M. R. Garey et al, 1979）最小Steiner树问题是NP-难解的.定理（J. B. Kruskal, 1956; R. C. Prim, 1967）最小生成树问题是可以用贪婪算法在多项式时间内求解的.定理（D.-Z. Du et al, 1979）最小生成树与最小Steiner树权重之比不超过2。
图论与网络优化-刘彬农庆琴
中国海洋大学本科生课程大纲_、课程介绍1•课程描述：课程性质、主要内容。
图论与网络优化以图和网络为研究对象，通过对事物间的联系、相互影响进行网络建模，对网络结构以及建立在网络结构上行为决策进行研究。
本课程主要介绍图论与网络优化的基本概念、重要理论和算法以及理论的应用，主要包括以下三部分内容：1）图的概念与结构：树、连通度、Euler环游与Hamilton圈、匹配、独立集与团、平面图染色等；2）网络优化算法：最小支撑树、最短路、中国邮递员、最大网络流与最小费用最大流等；3）复杂网络及社会网络研究简介。
通过本课程学习，学生能够掌握图论与网络优化的基本概念、理论方法及优化算法，具备应用所学理论和算法解决相关实际问题的能力。
2•设计思路：课程开设依据、课程内容（或项LI）选择标准、内容编排顺序。
本课程是为学习《运筹学基础》后的高年级学生开设的，引导学生认识图论与网络科学在现代科学技术发展中的基础性和其中所蕴含的深刻数学思想，理解数学定理（理论）和算法之间的关系以及算法设计的重要性，了解图论与网络科学前沿研究领域。
课程内容选取了图论中一些重要的概念与经典理论、若干经典的网络优化问题及算法，并对相关研究前沿进行专题介绍。
图论部分的内容：1）图的基本概念（包括路、圈、树、连通等）；2） Euler环游和Ham订ton圈，其中Euler环游起源于哥尼斯堡七桥问题，是图论和拓扑学的起源; 3）基于图的边集或者点集进行划分的若干概念、理论及证明方法（匹配与覆盖、独立集与团、染色等）；4）平面图的判定、Euler公式和著名的四色猜想等。
网络优化理论与算法的内容建立在相应图论内容基础上，包括儿个经典网络优化问题的理论、算法及应用案例：1）最小支撑树问题：2）图搜索与最短路问题；3） Euler 环游与中国邮递员问题；4）最优指派问题；5）最大网络流与最小费用流问题等。
这两部分内容将结合穿插在一起进行讲授学习，将图的结构刻画与优化算法设计有机地结合起来，强调基于图与网络的结构刻画出发进行算法设计。
第一章(图论的基本概念)
2 n(n 1)条边. (3) n个结点的完全图记为Kn,完全图Kn有 Cn
完全图的对称有向图称为完全有向图,记作 K * . n (4) 图G的顶点个数 称为图G的阶. (5) 对于有向图D,去掉边上的方向得到的无向图G称为D的
基础图.反之,任一个无向图G,将G的边指定一个方向得到
1 2
构造加权有向图 G1(V,E)
(k ) （ 1 ） 顶 点 集 V ＝ { X ib , i=1,2,3,4,5}∪{ X ir , i=2,3,4,5,6; k =1,2,…,i-1}, 每个顶点代表年初的一种决策， 其中顶点 X ib 代 (k ) 表第 i 年初购臵新设备的决策， 顶点 X ir 代表第 i 年初修理用
注意：
有向图D中，结点x的度deg(x)= deg+(x)+deg-(x)。
Δ(G)和δ(G)分别表示G的最大顶点度和最小顶点度， 即Δ(G)=max{dG(x)|x∈V(G)}; δ(G)=min{dG(x)|x∈V(G)}. 有向图D中，记Δ+(G)=max{d+G(x)|x∈V(G)};
过 k 年的旧设备的决策
(k ) （2）弧集 E={ ( X ib , X i 1,b ),( X ir , X i 1,b ), i=1,2,3,4; k=1,2,…,i-1} 1) (k ) ( k 1) ∪{ ( X ib , X i( , =1,2,3,4,5} ∪ { ) ( X , X 1,r ir i 1,r ) ,i=1,2,3,4,5 ;k=1,2,i -1}
高考数学应试技巧之图论与网络优化
高考数学应试技巧之图论与网络优化高考数学是中学生进入大学的重要关卡，其中数学是一个必考科目，而数学中的图论和网络优化是一个比较重要的分支。
图论和网络优化是数学中的一个难点，但是如果我们能够合理利用图论和网络优化的知识，就可以在高考数学中占有绝对优势。
本文将为大家详细介绍高考数学应试技巧之图论和网络优化。
1. 图论图论是研究图及其性质和应用的一门学科。
图由点和边组成，每个点代表一个物体，每个边代表一个物体之间的关系，比如：连通性、距离、强度等等。
图的基本元素是点和边，许多数学问题都可以用图来表示和解决。
我们可以用图的染色、联通性、欧拉回路、哈密顿回路、平面图等知识来进行高考数学的解题。
1.1 染色问题染色问题是图论中的一个重要问题，其本质是将一张图的顶点分配给不同的颜色，使得相邻两个顶点的颜色不同。
如果用a、b、c、d四种颜色来染色，那么染色的方法有多少种呢？我们可以采用数学归纳法来进行求解。
首先，当图只有一个顶点时，它只有一种染色方法。
然后，当图有两个顶点时，它们有四种染色方法。
当图有三个顶点时，它们有12种染色方法。
当图有四个顶点时，它们有24种染色方法。
当图有n个顶点时，它们有n!种染色方法。
1.2 平面图问题平面图是指在平面上被画出的图形，每个边都不相交。
平面图的任何一个区域都被称为一个面，且每个面都由边界组成。
在高考数学中，我们可以利用平面图的知识来求解二维平面图的欧拉公式。
欧拉公式：一个凸多面体的面数F，顶点数V和边数E之间，有一个关系式E+2=F+V，V-E+F=2。
1.3 欧拉回路和哈密顿回路问题对于一张图来说，欧拉回路是指从一个顶点开始，经过所有的边恰好一次后回到起点的回路，而哈密顿回路是指经过一张图上所有顶点恰好一次的回路。
欧拉回路和哈密顿回路是图论中的重要问题，其可应用于公路、楼房物资搬运、旅游指南等具体问题中的寻求最优路径的问题。
2. 网络优化长期以来，网络优化是一项热门的数学领域，其应用范围涵盖了电信、交通、物流、金融等多个领域。
水平结构竞争-互利群落优化算法
关键词：群智能优化算法；水平结构竞争-互利群落动力学；种群动力学；全局最优解
文献标志码：A
中图分类号：TP301.6
黄光球, 陆秋琴. 水平结构竞争-互利群落优化算法[J]. 计算机科学与探索, 2020, 14(4): 688-702.
across populations, while the general and strong influence operator can exchange information among individuals
* The National Natural Science Foundation of China under Grant No. 71874134 (国家自然科学基金); the Key Project of Natural Science
黄光球 等：水平结构竞争-互利群落优化算法
689
within a population, thus realizing the full exchange of information among individuals. The newborn operator can
HUANG G Q，LU Q Q. Horizontal structure competition-mutually beneficial community optimization algorithm[J].
Journal of Frontiers of Computer Science and Technology, 2020, 14(4): 688-702.
Abstract: To solve global optimal solutions of nonlinear optimization problems, a new horizontal structure competitionmutually beneficial community optimization algorithm (HS- CBCO), is proposed based on the theory of horizontal
运筹学第十章 图论与网络优化
平面图
一个图称为平面图，如它有一个平面图形，使得 边与边仅在顶点相交。下图就是一个平面图：
v1
e2
v3
非平面图
e3
e1
v2
e4 e5
e6
v4
环、多重边
端点重合为一点的边称为环。 连接同一对顶点的多条边称为多重边。
v1
e1
e3
e2
v2
e4
v3
e5
简单图
一个图称为简单图,如果它既没有环也没有多重边.
含有多重边的图称为多重图.
我们只讨论有限简单图，
v1
e2
v2
即顶点集与边集都是有限的图。
只有一个顶点的图称为平凡图； e5
e7
e3
边集是空集的图称为空图。
v4
e4
v3
完全图K n
完全图是每一对不同顶点都恰有一边的简单图； 具有 n 个顶点的完全图记为K n.
|
E(Kn )
|
Cn2
n
2
n(n 1) 2
连通性
图G称为连通的，如果G的任意两个顶点u 和 v 中存在一条(u,v)路。
一个连通图称为一个连通分支。 不连通图（分离图）至少有两个连通分支。
用w 表示G的连通分支数。 割边：删除掉这条边后图G不连通。 割点：删除掉这个点后图G不连通。 割集：删除掉连通图中的若干条必要的边后，使 得图不连通，则这些边的集合称为图的一个割集.
图论(Graph Theory)是运筹学中的一个重要分支， 主要研究具有某种二元关系的离散系统的组合结构 和性质。
随着电子计算机的蓬勃发展，图论不仅得到了迅速 发展，而且应用非常广泛。它直观清晰，使用方便， 易于掌握。
离散数学图论公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
b
c
g
d
a
h
b
c
g
d h
b
c
g
d
a
h
f （a）
f e
e
（b）
f
（c） 19
第19页
7.1 图基本概念
• （13）生成子图: 假如G子图包含G全部结点，则称 该子图为G生成子图。
• 以下图，（b）、（c）都是（a）生成子图。
（a）
（c）
20
第20页
7.1 图基本概念
（14）．定义: 设图G =<V，E>及图G =<V ，E >， 假如存在一一相应映射g: vi→v i且e=（vi，vj）是G 一条边，当且仅当e =（g（vi ），g（vj））是 G 一条边，则称G与G 同构，记作G≌G 。 两个图同构充要条件是: 两个图结点和边分别存在着 一一相应关系，且保持关联关系。
7.1 图基本概念
（1）定义: 一个图G是一个三元组<V(G),E(G), ΦG>, 其 中V(G)为顶点集合, E(G)是边集合，ΦG是从边集E到 结点偶对集合上函数。
讨论定义:
(a) V(G) ={V1，V2，…，Vn}为有限非空集合,
Vi称为结点,简称V是点集。
(b) E(G)={e1，…，em}为有限边集合,ei称为边，每 个ei是连结V中某两个顶点,称E为边集。
（8）入度，出度: 在有向图中，射入一个结点边数称 为该结点入度。由一个结点射出边数称为该结点出 度。 结点出度与入度和是该结点度数。
定理: 在任何有向图中，所有结点入度和等于所有结 点出度之和。
14
第14页
7.1 图基本概念
证: ∵每一条有向边必相应一个入度和出度，若一个结点含 有一个入度或出度，则必关联一条有向边，因此，有向图 中各结点入度和等于边数，各结点出度和也是等于边数， 因此，任何有向图中，入度之和等于出度和。
工科离散数学第二版牛连强第六章
工科离散数学第二版牛连强第六章《工科离散数学第二版》是牛连强教授所著的一本离散数学教材，第六章的内容是图论的应用。
首先，让我们简单介绍一下图论的应用这一章的主要内容。
在这一章中，牛连强教授将带领读者深入了解图论在实际问题中的应用，如最短路算法、网络流问题、图的着色理论等。
这些内容不仅可以帮助读者更好地理解图论的基本概念，还能培养读者运用图论解决实际问题的能力。
接下来，让我们分析一下这一章的重点和难点。
图论的应用涉及许多实际问题的解决，如网络优化、交通规划等，这些问题的解决需要深入理解图论的基本概念和算法，同时也需要一定的数学和计算机知识。
因此，本章的重点是掌握图论的基本概念和算法，难点则是如何将图论应用于实际问题，如何设计有效的算法来解决这些问题。
为了帮助读者更好地掌握这一章的内容，我们可以提供一些学习建议和技巧。
首先，建议读者仔细阅读牛连强教授的讲解视频和相关资料，了解图论的基本概念和算法。
其次，可以通过习题练习加深对图论的理解，特别是对于一些实际问题，需要尝试运用图论的方法来解决。
最后，可以通过实际应用案例来加深对图论应用的理解。
针对第六章图论的应用这一章，我们可以给出一些学习建议。
首先，需要掌握图论的基本概念和算法，如节点、边、路径、图、欧拉图等。
其次，需要理解如何运用图论的方法解决实际问题，如最短路算法、网络流问题等。
此外，还需要尝试将所学知识应用于实际问题的解决中，不断探索和总结经验。
总之，《工科离散数学第二版》中的第六章图论的应用是非常重要的一部分内容。
通过认真学习这一章的内容，读者不仅可以加深对图论的理解，还可以培养运用图论解决实际问题的能力。
在学习的过程中，建议读者注重理解基本概念和算法，并通过习题练习和实际应用案例来加深对图论应用的理解。
图论2
什么是算法 例：求两个正整数m和n的最大公因子 的Euclid算法 输入：正整数m, 输入：正整数m, n。 输出：m 输出：m和n的最大 公因子。 公因子。 1） 求余数 m 除以n ， 令 r 为所 除以 n 得的余数 (0≤r<n)。 r<n)。 2) 判断 r 是否为 0 。 判断r 是否为0 若 r=0 ， 则算法终止； r=0 否则， 否则，转3)。 3) 互换。 互换。 置 m←n,n←r, 返回 n,n←r,返回 第一步
1 2 3 4 5 6 7
1 0 1 0 1 0 0 0
2 1 0 1 0 1 1 0
3 0 1 0 1 0 1 0
4 1 0 1 0 0 1 1
5 0 1 0 0 0 1 0
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6 0 1 1 1 1 0 1
7 0 0 0 1 0 1 0
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邻接矩阵 无向图的邻接矩阵：A=(aij)n×n， 其中
加权图 1
4
8
1
5
5
2
7 10
3
6
3
9 这些数字可以代表距离 费用 可 距离，费用 距离 费用，可 靠性或其他的相关参数。 靠性
返 回 上一页 下一页 主 页
一个时间安排问题
学校要为一年级的研究生开设六门 基础数学课：数理统计(S)，数值分析 (N)，图论(G)，矩阵论(M)，随机过程(R) 和数理方程(P)。按培养计划，注册的学 生必须选修其中的一门以上，你作为教 务管理人员，要设法安排一个课表，使 每个学生所选的课程，在时间上不会发 生冲突。
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e 0 0 1 0 0 1 0
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中国海洋大学本科生课程大纲
一、课程介绍
1.课程描述：课程性质、主要内容。
图论与网络优化以图和网络为研究对象，通过对事物间的联系、相互影响进行网络建模，对网络结构以及建立在网络结构上行为决策进行研究。
本课程主要介绍图论与网络优化的基本概念、重要理论和算法以及理论的应用，主要包括以下三部分内容： 1）图的概念与结构：树、连通度、Euler环游与Hamilton圈、匹配、独立集与团、平面图染色等；
2）网络优化算法：最小支撑树、最短路、中国邮递员、最大网络流与最小费用最大流等；
3）复杂网络及社会网络研究简介。
通过本课程学习，学生能够掌握图论与网络优化的基本概念、理论方法及优化算法，具备应用所学理论和算法解决相关实际问题的能力。
2.设计思路：课程开设依据、课程内容（或项目）选择标准、内容编排顺序。
本课程是为学习《运筹学基础》后的高年级学生开设的，引导学生认识图论与网络科学在现代科学技术发展中的基础性和其中所蕴含的深刻数学思想，理解数学定理（理论）和算法之间的关系以及算法设计的重要性，了解图论与网络科学前沿研究领域。
课程内容选取了图论中一些重要的概念与经典理论、若干经典的网络优化问题及算法，并对相关研究前沿进行专题介绍。
图论部分的内容：1）图的基本概念（包括路、圈、树、连通等）；2）Euler环游和Hamilton圈，其中Euler环游起源于哥尼斯堡七桥问题，是图论和拓扑学的起源；3）基于图的边集或者点集进行划分的若干概念、理论及证明方法（匹配与覆盖、独立集与团、染色等）；4）平面图的判定、Euler公式和著名的四色猜想等。
网络优化理论与算法的内容建立在相应图论内容基础上，包括几个经典网络优化问题的理论、算法及应用案例：1）最小支撑树问题；2）图搜索与最短路问题；3）Euler
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环游与中国邮递员问题；4）最优指派问题；5）最大网络流与最小费用流问题等。
这两部分内容将结合穿插在一起进行讲授学习，将图的结构刻画与优化算法设计有机地结合起来，强调基于图与网络的结构刻画出发进行算法设计。
研究前沿专题部分：通过最新研究论文介绍复杂网络及社会网络研究热点。
3.与其他课程的关系（先修、并行和后置课程）：
先修课程：高等代数I、空间解析几何、数学实验I、运筹学基础等；
并行课程：结构化程序设计、最优化方法等、博弈论基础；
后置课程：计算复杂性理论等。
本课程与运筹学基础、博弈论基础、计算复杂性理论、最优化方法等课程构成完整的运筹学系列课程群，内容和要求各有侧重、联系密切。
二、课程目标（知识、能力、素质一体化设计）
本课程目标是让学生通过对图与网络的理论与算法的学习，理解刻画结构性的抽象数学理论与算法设计之间的关系和完美结合，认识图与网络研究方法在科技和现代社会各领域的广泛应用，提升解决实际问题的能力。
到课程结束时，学生应能：（1）掌握图与网络的基本概念、重要的图论定理及证明方法（技巧）；
（2）掌握经典的网络优化问题的算法（理论基础、基本思想、算法过程）；
（3）通过建立图或网络优化模型、合理选择相关理论和算法解决问题的方法，能够利用数学软件（Matlab、Lingo、Excel表等）进行算法的实现；
（4）通过小组合作，对实际问题开展图与网络建模与算法研究。
三、学习期望（课程要求：主动学习、有效学习、学习指导）
要完成所有的课程任务，学生必须：
（1）按时上课，上课认真听讲，积极参与课堂讨论、随堂练习和测试。
本课程将包含较多的随堂练习、讨论、小组作业展示等课堂活动，课堂表现和出勤率是成绩考核的组成部分。
（2）按时完成常规练习作业。
这些作业要求学生按书面形式提交，只有按时提交作业，才能掌握课程所要求的内容。
延期提交作业需要提前得到任课教师的许可。
（3）完成教师布置的一定量的阅读文献和背景资料、案例分析、理论探讨和算法软件应用等作业，其中大部分内容要求以小组合作形式完成。
这些作业能加深对课程内容的理解、促进同学间的相互学习、并能引导对某些问题和理论的更深入探讨。
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四、教材与主要参考书
1. 教材：
[1] Graph theory with applications, J.A. Bondy and U.S.R. Murty, The Macmillan Press
Ltd, New York, 1976.（中译本：图论及其应用，科学出版社，1984）
[2] 运筹学（第4版），运筹学教材编写组，清华大学出版社，2012.09。
2. 主要参考书：
[1] 图论与网络流理论，高随祥，高等教育出版社，2009.01.
[2] Introduction to Graph Theory (Second Edition), Douglas B. West, Prentice Hall,
2001.（中译本：图论导引，李建中、骆吉周译，机械工业出版社，2006）五、进度安排
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五、成绩评定（过程考核、综合评价）
（一）考核方式 A ：A.闭卷考试B.开卷考试C.论文D.考查E.其他（二）成绩综合评分体系：
附：考核项目的评分标准
1）作业的评分标准
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2）课堂讨论及平时表现评分标准
七、学术诚信
学习成果不能造假，如考试作弊、盗取他人学习成果、一份报告用于不同的课程等，均属造假行为。
他人的想法、说法和意见如不注明出处按盗用论处。
本课程如有发现上述不良行为，将按学校有关规定取消本课程的学习成绩。
八、大纲审核
教学院长：院学术委员会签章：
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