圆周角的例题

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10、垂径定理及圆周角定理

圆的有关概念及性质一、知识梳理1、圆的定义2、弦与弧3、圆的对称性4、垂径定理及推论5、圆心角、弧、弦之间的关系6、圆周角定理及其推论7、圆内接四边形二、经典例题考点一：垂径定理例2.如图，F是以OA．B．8 C．D．例4.如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.AEF1、过⊙O 内一点P 的最长弦为10cm ，最短的弦为6cm ，则OP 的长为 .2、在⊙O 中，弦AB 长为cm 8，圆心到弦AB 的距离为cm 3，则⊙O 半径长为 cm 。

3、半径是5cm 的圆中，圆心到cm 8长的弦的距离是 cm 。

4、如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径m 10=OA ，桥拱的距度16=AB m ，则拱高_____=CD m.5、圆的两互相平行的弦长分别8cm 1和4cm 2，又两弦之间距离为cm 3，则圆的半径长是 cm6、在半径为cm 5的圆内有两条互相平行的弦，弦长分别为cm 8、cm 6，则这两条弦之间的距离为________7．一水平放置的圆柱型水管的横截面如图所示，如果水管横截面的半径是13cm ，水面宽24=AB ，则水管中水深是_______cm.8．如图，⊙O 的直径⊥CD AB ，垂足为点E ，若8,2==ED CE ，则=AB （）A ．2B ．4C ．8D ．169．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为4cm ，最短的弦长为2cm ，则OM 的长为（）A ．3cmB ．2cmC ．1D ．3cm10．已知：如图，⊙O 中直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若6,10==CD AB ，则BE 的长是（）A ．1B ．2C ．3D ．411．已知⊙O 的弦AB 长8cm ，弦心距为3cm ，则⊙O 的直径是（）A ．5cmB ．10cmC ．55cmD ．73cm12．已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB 长32cm ，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为（）A ．1cmB ．2cmC ．2cmD ．3cm 考点二：圆周角定理例6.如图所示，正方形ABCD内接于⊙O中，P是弧AD上任意一点，则∠ABP+∠DCP等于（）例7.如图所示，CD是圆的直径，O是圆心，E是圆上一点且∠EOD=45°，A是DC延长线上一点，AE交圆于B，如果AB=OC，则∠EAD= ____________例8.如图所示，△ABC为圆内接三角形，AB＞AC，∠A的平分线AD交圆于D，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：BE=CF变式练习1. D、C是以AB为直径的半圆弧上两点，若弧BC所对的圆周角为25°弧AD所对的圆周角为35°，则弧DC所对的圆周角为_____ .3．如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，则∠D=（）A．25°B．35°C．55°D．70°2、如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为度．3．如图所示，已知⊙O的半径是1，C，D是直径AB同侧圆周上的两点，弧的度数为60°，弧的度数为30°，动点P在直径AB上，则PC+PD的最小值为（）A．2 B．C．D．14．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角的大小是（）5．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，=，若∠AOB=58°，则∠BDC=度．6．如图，已知CD是⊙O的直径，∠EOD=78°，AE交⊙O于B，且AB=OC．求∠A的度数．考点三：圆的内接四边形例9.如图所示，在⊙O中，A、B、C三点在圆上，且∠CBD=60，那么∠AOC=__________【备考真题过关】A．4B．4C．4D．4第1题第2题2．如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1），过点P（0，-7）的直线l与⊙B相交于C，D两点．则弦CD长的所有可能的整数值有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（）A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥ACC．当PO⊥AC时，∠ACP=30°D．当∠ACP=30°时，△BPC是直角三角形4．如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD= ．5．如图，将⊙O沿弦AB折叠，使弧AB经过圆心O，则∠OAB= ．6．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为．第4题第5题第6题7．如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是度．»AB上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，8．如图，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为则EM+FN= ．第7题第8题第9题三、解答题11．在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．12.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，且PD∥CB，弦PB与CD 交于点F（1）求证：FC=FB；（2）若CD=24，BE=8，求⊙O的直径．。

北师版九年级下册考点例题专讲3.4.2圆周角和直径的关系

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被你翻开又合起被你动了奶酪和心思
不舍你的过往和过往的你
记挂你的现今和现今的你
遐想你的将来和将来的你难了难了
相思可以这一世
------------------------- 谢谢喜欢 ------------------------
("
Ã!
------------------------- 赠予 ------------------------
【幸遇•书屋】
你来，或者不来我都在这里，等你、盼你
等你婉转而至盼你邂逅而遇
你想，或者不想我都在这里，忆你、惜你
忆你来时莞尔惜你别时依依
你忘，或者不忘我都在这里，念你、羡你

九年级数学圆周角定理

圆周角定理及其运用1、如图，抛物线过点A（2，0）、B（6，0）、C（1，3），平行于x轴的直线CD交抛物线于C、D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F，则CE＋FD的值是。

2、如图，AB为⊙O的直径，点C为半圆上一点，AD平分∠CAB交⊙O于点D。

（1）求证：OD∥AC；（2）若AC＝8，AB＝10，求AD。

知识点一圆周角定理及其推论【知识梳理】1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

（1）定理有三个方面的意义：A、圆心角和圆周角在同圆或等圆中；B、它们对着同一条弧或所对的弧是等弧；C、具备A、B两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半。

（2）因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

（3）定理中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立。

因为一条弦所对的弧有两段。

2、圆周角定理的推论：推论①：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧。

推论②：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角（90°的圆周角）所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

推论③：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

【例题精讲一】例1.1、如图，已知A （32，0）、B （0，2），点P 为△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP ＝45°，则P 点坐标为。

（第1题）（第2题）2、如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠A ＝36°，∠C ＝28°，则∠B ＝（） A ．46°B ．72°C ．64°D ．36°3、如图，A 、B 、C 、D 四个点均在⊙O 上，∠AOD ＝70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为。

（第3 题）（第4 题）4、如图，∠A 是⊙O 的圆周角，则∠A ＋∠OCB ＝。

圆的问题专题

圆的问题专题【例题1】（2019•山东省滨州市）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD 的大小为（）A．60°B．50°C．40°D．20°【例题2】（2019•南京）如图，P A.PB是⊙O的切线，A.B为切点，点C.D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A+∠C＝．【例题3】（2019•甘肃武威）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若CE＝2，求⊙D的半径．【例题4】（2019•江苏苏州）如图，AE为Oe的直径，D是弧BC的中点BC与AD，OD分别交于点E，F.（1）求证：DO AC ∥；（2）求证：2DE DA DC ⋅=;（3）若1tan 2CAD ∠=，求sin CDA ∠的值.训练一、选择题1．(2019甘肃陇南)如图，点A ，B ，S 在圆上，若弦AB 的长度等于圆半径的倍，则∠ASB 的度数是（）A ．22.5°B ．30°C ．45°D ．60°2.（2019•山东省聊城市）如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是上两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE ．如果∠A ＝70°，那么∠DOE 的度数为（）A ．35°B ．38°C ．40°D ．42° 3.（2019•广西贵港）如图，AD 是⊙O 的直径，＝，若∠AOB ＝40°，则圆周角∠BPC 的度数是（）AA．40°B．50°C．60°D．70°4.（2019•湖北天门）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接B D．下列结论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED•BC＝BO•BE．其中正确结论的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5.（2019•山东省德州市）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（）A．130°B．140°C．150°D．160°6.（2019湖南益阳）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O 于点D，下列结论不一定成立的是（）A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD7.（2019•广东广州）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（）A．0条B．1条C．2条D．无数条8．（2019•山东泰安）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（）A．32°B．31°C．29°D．61°9．(2019•湖南益阳)如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O 于点D，下列结论不一定成立的是( )A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD10. (2019湖北荆门)如图，△ABC内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是（）A．DI＝DB B．DI＞DB C．DI＜DB D．不确定二、填空题11.（2019广西北部湾）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》中记载有一问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小。

第12讲圆周角定理.提高班

1.如果关于x 的方程03)3(72=+---x xm m 是关于x 的一元二次方程，那么m 的值为（）A 、3±B 、3C 、-3D 、都不对2.关于x 的一元二次方程052522=+-+-p p x x 的一根为1，则实数P 的值是（）A 、4B 、0或2C 、1D 、-13.我国“嫦娥一号”探月卫星成功发射后，某航天科普网站的浏览量猛增．已知某年10月份该网站的浏览量为80万人次，第四季度总浏览量为350万人次．如果浏览量平均每月增长率为x ，则应列方程为（）A 、80(1＋x)2＝350B 、80＋80×2x ＝350C 、80＋80×2(1＋x)＝350D 、80[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝3504.若二次函数32)1(22--++=m m x m y 的图象经过原点，则m 的值必为（）A 、-1或3B 、-1C 、3D 、-3或15.如图，将⊿ABC 绕点C （0，-1）旋转180º得到⊿A'B'C',设点A 的坐标为（a ，b ），则A'的坐标为（）A 、（-a-，b ）B 、(-a ，-b-1)C 、（-a ，-b+1）D 、（-a ，-b-2）6.已知二次函数c bx ax y ++=2中，其函数值y 与自变量x之间的部分对应值如下表：点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在函数的图象上，则当1＜x 1＜2，3＜x 2＜4时，y 1与y 2的大小关系正确的是（）A.y 1＞y 2B 、y 1＜y 2C 、y 1≥y 2D 、y 1≤y 27.下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴，且经过点（0，1）的是（）A 、1)2x (y 2+-=B 、1)2x (y 2++=C 、3)2(2--=x y D 、3)2(2-+=x y 12圆——圆周角定理模块一课前检测圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．【注意】在应用定理时，一定要保证“同弧或等弧”的前提。

圆周角准则练习题A

圆周角准则练习题A
题目1:
已知：圆弧AB的弦长为12厘米，弦CD的弦长为8厘米，直径AC测得为10厘米。

问题：求圆心角AOB和圆心角COD的大小。

解答：
由圆周角准则可知，圆周角等于所对的圆弧所对应的弦长的一半除以半径的比值。

即：
圆周角 = (弦长 / 半径) × 180度/π
对于圆心角AOB，已知弦长为12厘米，直径为10厘米，可以求得半径为5厘米，所以：
圆心角AOB = (12 / 5) × 180度/π ≈ 138.08度
对于圆心角COD，已知弦长为8厘米，直径为10厘米，可以求得半径为5厘米，所以：
圆心角COD = (8 / 5) × 180度/π ≈ 92.05度
因此，圆心角AOB的大小约为138.08度，圆心角COD的大小约为92.05度。

题目2:
已知：圆的半径为6厘米，圆心角为60度。

问题：求对应的圆弧长度和弦长。

解答：
对于圆弧长度，根据圆周角准则，有：
圆弧长度 = 圆周角 ×半径× π / 180度
已知圆周角为60度，半径为6厘米，可以求得圆弧长度为：圆弧长度 = 60 × 6 ×π / 180度≈ 12.57厘米
对于弦长，根据圆周角准则，有：
弦长 = 2 ×半径 × sin(圆周角 / 2)
已知圆周角为60度，半径为6厘米，可以求得弦长为：
弦长= 2 × 6 × sin(60 / 2) ≈ 10.39厘米
因此，对应的圆弧长度约为12.57厘米，弦长约为10.39厘米。

直径所对圆周角的运用 (2)

D C
A
B
O
A O B
D
CE l
测一测 1、如图，以△ABC的BC边为直径的半圆交AB于D，交AC于E，过E作EF⊥BC，垂足为F，且BF：FC＝5：1，AB＝8， AE＝2，求EC的长。
分析：连接BE，得AC BE
则BE2=AB2－AE2=60
由射影定理可知BE2=BF·BC 即 5 BC2=60 BC2=72
圆内接多边形定义：
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
请仔细观察以下图形，有什么不同点和相同点？
A
O B
A
C B
D
A
E
F A
E
O
O
DB
O
C B
C
C
D
新知构建：
圆内接四边形定义：
类比思想
如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆.
A B
四边形的外接圆
D
圆内接四边形
O C
合作探究：
猜想：圆内接四边形的对角互补.
已知：四边形ABCD是⊙O的内接四边形. 求证：∠A ＋∠C ＝180° ，
∠B ＋∠D ＝180° .
证明：如图，连接OB，OD.
2 1
∵ ∠A所对的弧为BCD，∠C所对的弧为BAD.
∴ ∠A ＝ 1∠1, ∠C ＝1 ∠2 .
1.如图,BD是⊙O的直径,∠CBD=30∘,则∠A的度数
为
。
2.如图，AB是⊙O的直径, C 、D是圆上的两点， ∠CAB=40°,则∠ADC=＿＿＿_.
第1题

专题17 圆周角重难点题型专训(八大题型)(解析版)

第二十四章圆专题17圆周角重难点题型专训（八大题型）【题型目录】题型一圆周角的概念辨析题型二圆周角定理题型三同弧或等弧所对的圆周角相等问题题型四半圆所对的圆周角是直角问题题型五90°的圆周角所对的弦是直径问题题型六已知圆内接四边形求角度题型七求四边形外接圆的直径题型八圆周角综合问题【知识梳理】知识点一、圆周角1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径。

（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．3．一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。

圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。

【经典例题一圆周角的概念辨析】1．（2020秋·浙江宁波·九年级校考期中）下列说法：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（4）相等的圆心角所对的弧相等；（5）圆内接四边形的对角互补．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质一一判断即可．【详解】解：（1）任意三点确定一个圆；错误，应该是不在同一直线上的三点可以确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；正确；（3）平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，直径与直径互相平分，但不一定互相垂直；（4）相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；（5）圆内接四边形对角互补；正确；故选：B．【点睛】本题考查确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于点E，AC，BE交于点F.下列角中，弧AE所对的圆周角是()A ．∠ADEB ．∠AFEC ．∠ABED ．∠ABC【答案】C 【分析】直接运用圆周角的定义进行判断即可.【详解】解：弧AE 所对的圆周角是：∠ABE 或∠ACE故选：C【点睛】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键.3．（2023·湖南娄底·校考一模）已知点A 、B 、C 、D 在圆O 上，且FD 切圆O 于点D ，OE CD 于点E ，对于下列说法：①圆上 AbB 是优弧；②圆上 AbD 是优弧；③线段AC 是弦；④CAD 和ADF 都是圆周角；⑤COA 是圆心角，其中正确的说法是．【答案】①②③⑤【分析】根据优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义逐项分析判断即可【详解】解： AbB ， AbD 都是大于半圆的弧，故①②正确，,A C ∵在圆上，则线段AC 是弦；故③正确；∵,,C A D 都在圆上，CAD 是圆周角而F 点不在圆上，则ADF 不是圆周角故④不正确；∵O 是圆心，,C A 在圆上COA 是圆心角故⑤正确故正确的有：①②③⑤故答案为：①②③⑤【点睛】本题考查了优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义，理解定义是解题的关键．优弧是大于半圆的弧，任意圆上两点的连线是弦，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，顶点在圆心，并且两边都和圆相交的角叫做圆心角．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，直线l 经过O 的圆心O ，且与O 交于A B 、两点，点C 在O 上，且30AOC ，点P 是直线l 上的一个动点(与圆心O 不重合)，直线CP 与O 相交于另一点Q ，如果QP QO ，则OCP .【答案】40°、20°、100°【分析】点P 是直线l 上的一个动点，因而点P 与线段AO 有三种位置关系，在线段AO 上，点P 在OB 延长线上，点P 在OA 的延长线上．分这三种情况进行讨论即可．【详解】解：①根据题意，画出图1，在QOC 中，OC OQ ，∴OQC OCP =，在OPQ △中，QP QO =，∴QOP QPO =，又∵30AOC ＝，∴30QPO OCP AOC OCP =+=+，在OPQ △中，180QOP QPO OQC ++=，即 3030180OCP OCP OCP ++＋+=，整理得，3120OCP =，∴40OCP ．②当P 在线段OA 的延长线上，如图21180211802OC OQ OQP QOC OQ PM OPQ OQP∵∵，①，，②，在OQP 中，30180QOC OQP OPQ +++=③，把①②代入③得20QOC =，则80OQP=∴100OCP =；③当P 在线段OA 的反向延长线上，如图3，1180211802301502OC OQ OCP OQC COQ OQ PQ P OQP AOC COQ POQ P POQ P OCP OQC∵∵∵∵，①，，②，，③，，④，①②③④联立得10P =，1801501020OCP ==．故答案为：40°、20°、100°．【点睛】本题主要考查了圆的认识及等腰三角形等边对等角的性质，画出图形，进行分类讨论是解题的关键．5．（2023·甘肃酒泉·统考三模）把下面的语句还原成图形：作图区域：(1)M 的半径为1cm ，AB 是M 的一条弦（AB 不经过M ），AMB 、ACB 分别是劣弧 AB 所对应的圆心角和圆周角；(2) DE 是O 中的一条弧，且 AB DE．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）画非直径的弦AB ，在优弧 AB 上取点C ，连接AC ，BC ，即可解答；（2）在M 上取一点D ，以AB 为半径画弧，交M 于点E ，即可．【详解】（1）解：如图，AMB 和ACB 为所作；作图区域：（2）解：如图，在M 上取一点D ，以AB 为半径画弧，交M 于点E ，根据等弦对等弧，可得 AB DE， DE即为所作，作图区域：【点睛】本题考查了作图-复杂作图，熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解乘基本作图，逐步操作即可．6．（2023秋·河南信阳·九年级统考期末）（1）【学习心得】小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝27°，求∠BAC的数．（3）【问题拓展】如图3，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG 于点H．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．【答案】（1）45；（2）27°；（3）25﹣2【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC=∠BAC，（3）根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE 和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=12AB=2，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．【详解】解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，∴以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点B、C、D必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，∴∠BDC＝12∠BAC＝45°，故答案是：45；（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴点A、B、C、D共圆，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BDC＝27°，∴∠BAC＝27°，（3）如图3，在正方形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠CDA ，∠ADG ＝∠CDG ，在△ABE 和△DCF 中，AB CD BAD CDA AE DF，∴△ABE ≌△DCF （SAS ），∴∠1＝∠2，在△ADG 和△CDG 中，AD CD ADG CDG DG DG，∴△ADG ≌△CDG （SAS ），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH +∠3＝∠BAD ＝90°，∴∠1+∠BAH ＝90°，∴∠AHB ＝180°﹣90°＝90°，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，则OH ＝AO ＝12AB ＝2，在Rt △AOD 中，OD ＝22AO AD ＝2224 ＝25，根据三角形的三边关系，OH +DH ＞OD ，∴当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小，最小值＝OD ﹣OH ＝25﹣2．故答案为：25﹣2．【点睛】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质及正方形的性质是解题的关键．【经典例题二圆周角定理】1．（2023春·福建福州·九年级校考期中）如图，点A ，B ，C ，D 在O 上，140AOC ，B 是弧AC 的中点，则D 的度数是（）A ．30B ．35C ．45D ．70【答案】B 【分析】连接OB ，如图，利用圆心角、弧、弦的关系，然后根据圆周角定理求解．【详解】解：连接OB ，如图所示，∵B 是弧AC 的中点，即 AB BC ，∴111407022AOB COB AOC ，∵D 和AOB 都对 AB ，∴1352D AOB ．故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理：熟练掌握圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理是解决问题的关键．2．（2023春·陕西榆林·九年级校考期中）如图，O 是ABC 的外接圆，且AB 是O 的直径，点D 在O 上，连接OD 、BD ，且BD BC ，若50BOD ，则ABC 的度数为（）A ．65B ．50C ．30D ．25【答案】A 【分析】根据BD BC 得出1252BAC BOD ，根据AB 是O 的直径，得出90ACB ，最后根据直角三角形两锐角互余，即可解答．【详解】解：∵BD BC ，50BOD ，∴1252BAC BOD ，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ，∴9065ABC ACB ，故选：A ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角．3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）如图，AB 是O 的一条弦，OD AB ，垂足为点C ，交O 于点D ，点E 在O 上，30AED ，10OB ，则弦AB 的长是．【答案】103【分析】根据垂径定理得到 AD BD，结合30AED 得到60BOD ，结合三角函数直接求解即可得到答案；【详解】解：∵OD AB ，∴ AD BD，2AB BC ，∵30AED ，∴60BOD ，∴30OBC ，∵10OB ，∴152OC OB ，∴2253BC OB OC ，∴103AB ，故答案为：103．【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理及勾股定理，解题的关键是得到 AD BD．4．（2023秋·九年级课时练习）如图，已知,C D 是半圆O 上的三等分点，连接,,,,AC BC CD OD BC 和OD 相交于点E ，有下列结论：①30CBA ；②OD BC ；③12OE AC；④四边形AODC 是菱形．其中正确的有（填序号）．【答案】①②③④【分析】①首先根据点C ，D 是半圆O 上的三等分，求出AOC 的度数；然后根据圆周角定理，求出CBA 的度数即可；②根据三角形的内角和定理，求出90BEO ，即可判断出OD BC ；③根据垂径定理判断出E 是BC 的中点，然后得到OE 是ABC 的中位线，即可判断出12OE AC ，④先证明AC OD ∥，再证明AOC 是等边三角形，得到AC OA OD ，根据菱形的判定方法可判断四边形AODC 是菱形.【详解】解：连接OC ，∵已知,C D 是半圆O 上的三等分点，∴1180603AOC COD BOD ，∴11603022CBA AOC ，故①正确；∴180180603090BEO BOD CBA ，∴OD BC ，故②正确；∴BE CE ，OB OC ，∴OE 是ACB △的中位线，∴12OE AC ，故③正确；∵AB 是半圆O 的直径，∴AC BC ，又OD BC ，∴AC OD ∥，∵OC OA ，60AOC ，∴AOC 是等边三角形，∴AC OA OD ，∴四边形AODC 是平行四边形，又AC OA ，∴四边形AODC 是菱形．故④正确，故答案为：①②③④．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦三者的关系，菱形的判定和性质，等边三角形的判定，三角形的内角和定义及中位线性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图1，已知AB 为O 的直径，C 为O 上一点，CE AB 于E ，D 为弧BC 的中点，连接AD ，分别交CE CB 、于点F 和点G ．(1)求证：CF CG ；(2)如图2，若AF DG ，连接OG ，求证：OG AB ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接AC ，根据直径所对的圆周角是直角可得90ACB ，从而可得∠CAG +∠AGC ＝90°，根据垂直定义可得90CEA ，从而可得90FAE AFE ，然后根据已知可得 DCDB ，从而可得CAG FAE ，进而可得AGC AFE ，最后根据对顶角相等可得AFE CFG ，从而可得AGC CFG 进而根据等角对等边即可解答；（2）连接,AC CD ，利用（1）的结论，再根据等角的补角相等可得AFC CGD ，然后根据SAS 证明AFC DGC ≌，从而可得AC CD ，进而可得 AC DCDB ，最后根据等弧所对的圆周角相等可得ABC DAB ，从而可得GA GB ，进而利用等腰三角形的三线合一性质即可解答．【详解】（1）证明：连接AC ，∵AB 为O 的直径，∴90ACB ，∴90CAG AGC ，∵CE AB ，∴90CEA ，∴90FAE AFE ，∵D 为弧BC 的中点，∴ DCDB ，∴CAG FAE ，∴AGC AFE ，∵AFE CFG ，∴AGC CFG ，∴CF CG ；（2）解：连接,AC CD ，∵CFG CGF ，∴180180CFG CGF ，∴AFC CGD ，∵CF CG ，AF DC ，∴ SAS AFC DGC ≌，∴AC CD ，∴ AC DC，∵ DCDB ，∴ AC DB，∴ABC DAB ，∴GA GB ，∵OA OB ，∴GO AB ．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．6．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，AB 是O 的一条弦，OD AB ，垂足为点C ，交O 于点D ，点E 在O 上．(1)若50AOD Ð=°，求DEB 的度数；(2)若6OC ，10OA ，求AB 的长．【答案】(1)25(2)AB 的长为16【分析】（1）根据垂径定理的推论可得 AD DB，再根据同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可；（2）利用勾股定理列式求出AC ，根据垂径定理的推论可得AC BC ，即可求解．【详解】（1）解：∵AB 是O 的一条弦，OD AB ，∴ AD DB，又∵50AOD Ð=°，∴11502522DEB AOD ．（2）解：∵OD AB ，∴=90AOC ，在Rt AOC 中，22221068AC OA OC ，∵AB 是O 的一条弦，OD AB ，∴AC BC ，则216AB AC CB AC ．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理的推论，解题的关键是明确在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．【经典例题三同弧或等弧所对的圆周角相等问题】1．（2021春·福建南平·九年级统考阶段练习）如图，ACD 是O 的内接三角形，AC CD ，连接AO 并延长交O 于点B ，连接BC ，若32BAC ，则ACD 等于（）A ．64B ．62C ．60D ．58【答案】A 【分析】先证明90ACB ，可得903258ADC ABC ，证明58CAD ADC ，再利用三角形的内角和定理可得答案．【详解】解：∵AB 为O 的直径，∴90ACB ，∵32BAC ，∴903258ADC ABC ，∵AC CD ，∴58CAD ADC ，∴18025864ACD ；故选A ．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，熟记圆周角定理是解本题的关键．2．（2022·北京西城·校考模拟预测）如图，ADC △内接于O ，BC 是O 的直径，若66A ，则BCD 等于（）A ．66B ．34C ．24D ．14【答案】C 【分析】根据同弧所对圆周角相等得到66B A ，根据直径所对的圆周角是直角得到=90BDC ，根据直角三角形两锐角互余，得到24BCD ．【详解】∵66A ，∴66B A ，∵BC 是O 的直径，∴=90BDC ，∴906624BCD ．故选：C ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理及推论．熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，半圆（或直径）所对的圆周角是直角，直角三角形两锐角互余，是解决问题的关键．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，点D 是O 上一点，55CDB ，则ABC °．【答案】35【分析】根据圆周角定理和三角形的内角和定理即可得到结论．【详解】解：AB ∵是O 的直径，90ACB ，55A D ∵==，18035ABC ACB A ==，故答案为：35．【点睛】本题考查了考查了圆周角定理、三角形的外接圆与外心，熟练掌握圆周角定理是解题关键．4．（2023·云南德宏·统考一模）已知：如图，AB 是O 的直径，AB 垂直弦CD 于点E ，则在不添加辅助线的情况下，图中与CDB 相等的角是（写出一个即可）．【答案】CAB 或BCD 或DAB【分析】利用垂径定理和圆周角定理即可求解．【详解】∵AB CD ，AB 是O 直径，∴ BCBD ，∴CDB CAB BCD DAB ，故答案为：CAB 或BCD 或DAB ．【点睛】此题考查了垂径定理和圆周角定理，解题的关键是熟练掌握以上定理的应用．5．（2023秋·九年级课时练习）如图所示，四边形ABCD 内接于O ，50,25,65B ACD BAD ．求证：(1)AD CD ；(2)AB 是O 的直径．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接BD ，根据圆周角定理得125ACD ，再由50ABC 可计算出225 ，则 AD CD，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得到AD CD ；（2）根据三角形内角和定理可计算出180190ADB BAD ，则根据圆周角的推理即可得到AB 为O 的直径．【详解】（1）证明：连接BD ，如图，125ACD ∵，而50ABC ，21502525ABC ，12 ，AD CD，AD CD ；（2）65BAD ∵，125 ，1801180652590ADB BAD ，AB 为O 的直径．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径．6．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）已知：O 的两条弦AB ，CD 相交于点M ，且AB CD ．(1)如图1，连接AD .求证：AM DM ．(2)如图2.若AB CD ．在 BD 上取一点E ，使 BE BC ，AE 交CD 于点F ，连接AD 、DE ．判断E 与DFE 是否相等，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)E 与DFE 相等．理由见解析【分析】（1）根据AB CD 得 AB CD ，即 AC BC BC BD ， AC BD，得A D ，即可得；（2）连接AC ，根据 BEBC 得CAB EAB ，根据AB CD 得AC AF ，即ACF AFC ，根据,ACF E AFC DFE ，即可得．【详解】（1）证明：AB CD ∵，C AB D即 AC BCBC BD ， AC BD ，A D ，AM DM ．（2）E 与DFE 相等．理由如下：解：连接AC ，如图，BEBC ∵，CAB EAB ，AB CD ∵，AC AF ，ACF AFC ，,ACF E AFC DFE ∵，DFE E ．【点睛】本题考查了圆的性质，解题的关键是掌握圆周角定理，垂经定理，角、弧、弦的关系．【经典例题四半圆所对的圆周角是直角问题】1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在ABC 中，AC BC ，O 是ABC 的外接圆，AB 是O 的直径，点D 在O 上，连接CD 交AB 于点E ，连接OD ，若120BOD ，则BED 的度数为（）A ．60B ．75C ．100D ．105【答案】D 【分析】连接BD ，根据等腰三角形的性质得到30OBD ODB ，根据平角的定义得到18012060AOD ，根据圆周角定理得到90ACB ，求得45A ，根据圆周角定理得到45CDB A ，根据三角形内角和定理即可得到结论．【详解】解：连接BD ，OD OB ∵，120BOD ，30OBD ODB ，18012060AOD ，AB ∵是O 的直径，45A ABC ，AC BC ∵，45A ，45CDB A ，15CDO CDB ODB ，1806015105BED ，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．2．（2022·河北衡水·校考模拟预测）如图，点A ，B ，C 在O 上，BC OA ∥，连接BO 并延长，交O 于点D ，连接AC ，.DC 若40D ，下列结论不正确的是（）A ．50BB ．直线AO 垂直平分CDC ．12A BD ．30ACB【答案】D 【分析】根据圆周角定理可得90BCD ，从而根据三角形内角和求出B ，A 选项即可判断；根据平行的性质及圆周角定理设A ACB x ，则2BOA x ，根据三角形内角和即可求出x 的值，从而求出A ，ACB ，AOB ，从而可判断C 、D 选项；延长AO 交CD 于点E ，根据对顶角相等可得到DOE ，从而求出90OED ，再结合垂径定理可判断出AO 与CD 的关系，即可判断出选项B ．【详解】解：如图，延长AO 交CD 于点E ，BD Q 是O 的直径，90BCD ，180180904050B BCD D ，故A 选项正确，不符合题意；BC OA ∥∵，设A ACB x ，则2BOA x ，250x x x∵25x ，25ACB A ，50BOA故D 选项不正确，符合题意；50B ∵，12A B ；故C 选项正确，不符合题意；根据对顶角相等可得：50DOE BOA ，180504090OED ，OE CD ，O ∵是圆心，DE CE ，直线AO 垂直平分CD ；故B 选项正确，不符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查圆周角定理及垂径定理，涉及到垂直平分线的定义、三角形内角和等，解题关键是熟练运用圆周角定理和垂径定理．3．（2023·江苏·统考中考真题）如图，AD 是O 的直径，ABC 是O 的内接三角形．若DAC ABC ，4AC ，则O 的直径AD ．【答案】42【分析】连接CD ，OC ，根据在同圆中直径所对的圆周角是90 可得=90ACD ，根据圆周角定理可得COD COA ，根据圆心角，弦，弧之间的关系可得AC CD ，根据勾股定理即可求解．【详解】解：连接CD ，OC ，如图：∵AD 是O 的直径，∴=90ACD ，∵DAC ABC ，∴COD COA ，∴AC CD ，又∵4AC ，∴4CD ，在Rt ACD △中，22224442AD AC CD，故答案为：42．【点睛】本题考查了在同圆中直径所对的圆周角是90 ，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．4．（2022秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，已知O 的直径AB ，D 为O 上一点（不与A 、B 重合），连接AD 、BD ．弦DC 平分ADB ，交AB 于点E ，过点A 作AF CD 于点F ，交O 于点G ，连接DG ，若DG AE ，则G 的度数为．【答案】67.5【分析】DG 交AB 于H ，如图，根据圆周角定理得到90ADB ，则=45ADC ，再证明45DAF ，AF DF ，则可判断Rt Rt AEF DGF ≌，所以EAF GDF ，接着证明90DHE AFE ，则根据垂径定理得到 BDBG ，然后根据圆周角定理得到22.5BAG BAD ，最后利用互余可计算出G 的度数．【详解】解：DG 交AB 于H ，如图，O ∵ 的直径AB ，90ADB ，∵弦DC 平分ADB ，45ADC ，AF CD ∵，90AFD ，45DAF ，AF DF ，在Rt AEF 和Rt DGF △中，AE DG AF DF， Rt Rt HL AEF DGF ≌，EAF GDF ，AEF DEH ∵，90DHE AFE ，AB DG ，BDBG ，122.52BAG BAD DAG ，9067.5G GAH ．故答案为：67.5．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．5．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知：如图，点E 是边长为2的正方形ABCD 中AB 边上一点（不与A 、B 重合），以CE 为直径的O 分别交DE 和CD 于点F 、M ，DH CE 于点H ．(1)求证：BE CM(2)猜想AE 与HE 的大小关系，并说明理由．(3)当DF CH 时，求DEH △的面积．【答案】(1)见解析(2)AE HE ，理由见解析(3)65【分析】（1）连接EM ，根据正方形性质得出90B BCM ，根据直径所对圆周角为直角得出90CM E ，证明四边形BEMC 为矩形，即可求证BE CM ；（2）根据题意可得90A DHE ，AD CD ，在Rt DCH △中，DH CD ，则DH AD ，根据勾股定理得出222AE DE AD ，222HE DE DH ，得出22AE HE ，则AE HE ；（3）连接CF ，证明 Rt Rt HL CDF DCH ≌，得出DCH CDE ，则DE CE ，根据三线合一得出112CM DM CD ，即可用勾股定理求出5DE CE ，根据1122DCE S DC EM CE DH ，求出455DH ，在Rt DEH △中，用勾股定理求出355EH ，最后根据三角形面积公式即可求解．【详解】（1）解：连接EM ，∵四边形ABCD 为正方形，，∴90B BCM ，∵CE 为O 直径，∴90CM E ，∴四边形BEMC 为矩形，∴BE CM ；（2）解：AE HE ，理由如下，∵四边形ABCD 是正方形，DH CE ，∴90A DHE ，AD CD ，∵在Rt DCH △中，DH CD ，∴DH AD ，在Rt ADE △中，根据勾股定理可得：222AE DE AD ，在Rt HDE △中，根据勾股定理可得：222HE DE DH ，∴22AE HE ，即AE HE ；（3）解：连接CF ，∵CE 为O 直径，∴90CFE CFD ，在Rt CDF △和Rt DCH △中，CD DC CH DE，∴ Rt Rt HL CDF DCH ≌，∴DCH CDE ，则DE CE ，由（1）可得90CM E ，∴112CM DM CD ，∵四边形BEMC 为矩形，∴2EM BC ，在Rt CME △中，根据勾股定理可得：225CE CM EM ，则5DE CE ，∵1122DCE S DC EM CE DH ，∴DC EM CE DH ，即225DH ，解得：455DH ，在Rt DEH △中，22355EH DE DH，∴113545622555DEH S EH DH ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，并熟练运用，正确作出辅助线，构造矩形和全等三角形．6．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点B ，C 为O 上两定点，点A 为O 上一动点，过点B 作BE AC ∥，交O 于点E ，点D 为射线BC 上一动点，且AC 平分BAD ，连接CE ．(1)求证：AD EC ∥；(2)连接EA ，若BC CD ，试判断四边形EBCA 的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)四边形EBCA 是矩形，理由见解析【分析】（1）根据角平分线的定义，可得BAC DAC ，再根据圆周角定理可得E BAC ，再根据平行线的性质可得E ECA ，进而得到ECA DAC ，最后再根据内错角相等两直线平行，即可证明结论；（2）由角平分线的定义，可得BAC DAC ，再根据等腰三角形三线合一的性质，可得90ACB ACD ，即90AEB ，进而得到90EBC ACD ，再根据矩形的判定定理，即可得出答案．【详解】（1）证明：∵AC 平分BAD ，∴BAC DAC ，∵E BAC ，∴E DAC ，∵BE AC ∥，∴E ECA ，∴ECA DAC ，∴EC AD ∥．（2）解：四边形EBCA 是矩形，理由如下：∵AC 平分BAD ，∴BAC DAC ，又∵BC CD ，∴90ACB ACD ，∴AB 为O 的直径．∴90AEB ，又∵BE AC ∥，∴90EBC ACD ，∴四边形EBCA 是矩形．【点睛】本题主要考查圆周角定理、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、矩形的判定定理，灵活运用相关知识是解答本题的关键．【经典例题五90°的圆周角所对的弦是直径问题】1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，ABC 是等边三角形，2AB ，点P 是ABC 内一点，且30BAP CBP ，连接CP ，则CP 的最小值为（）A ．12B ．32C ．23D ．31【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质得到60ABC ，AB BC AC ，继而推出90APB ，可得点P 在以AB 为直径的圆上，得知当C ，D ，P 三点共线时，CP 最小，再利用等边三角形的性质和勾股定理求解即可．【详解】解：∵ABC 是等边三角形，∴60ABC ，AB BC AC ，∵30BAP CBP ，∴ 6030BAP ABP ，整理得：90BAP ABP ，则90APB ，∴点P 在以AB 为直径的圆上，如图，设AB 的中点为D ，连接DP ，即DP 长度不变，∴CP DP CD ，∴当C ，D ，P 三点共线时，CP 最小，此时CD AB ，∵2AB BC AC ，∴112DP AB ，223CD BC BD ，∴CP 的最小值为31CD DP ，故选D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，三角形三边关系的应用，解题的关键是根据已知条件推出90APB ，得到点P 在以AB 为直径的圆上．2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正方形ABCD 中，12AB ，点P 为边DA 上一个动点，连接CP ，点E 为CD 上一点，且4DE ，在AB 上截取点Q 使EQ CP ，交CP 于点M ，连接BM ，则BM 的最小值为（）A ．8B ．12C ．4104D ．835【答案】C 【分析】如图所示，过点E 作EF AB 于F ，当点P 运动时，点M 在以CE 为直径的半圆上，即点M 在圆心为O 的半圆上运动，当点M 运动到OB 连线上时，BM 的值最小，根据题意可证Rt Rt (HL)EFQ CDP △≌△，由此可证CEM 是直角三角形，可得点M 在以CE 为直径的半圆上运动，可求出半圆的半径，在Rt BCO △中，可求出OB 的长，由此即可求解．【详解】解：如图所示，过点E 作EF AB 于F ，连接BO ，如图所示：∵四边形ABCD 是正方形，∴12AB BC CD AD ====，90A ABC BCD D EFQ ，∵EF AB ，∴四边形AFED 是矩形，则AD EF CD ，在Rt EFQ △和Rt CDP △中，EQ CP EF CD，∴Rt Rt (HL)EFQ CDP △≌△，∴FEQ DCP ，∵90FEQ CEM CEF +，∴90DCP CEM +，∴90EMC ，即CEM 是直角三角形，∴当点P 运动时，点M 在以CE 为直径的半圆上运动，设圆心为O ，当点M 运动到OB 连线上时，BM 的值最小，∵12,4CD DE ，∴1248CE CD DE ，则半圆的半径118422OE OC CE ，在Rt BCO △中，2222412410OB OC BC ，当点M 运动到OB 连线上时，BM 的值最小，∴BM 的最小值为4104 ，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查正方形与圆的结合求最值，理解动点的运动规律，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．3．（2023·重庆·九年级统考学业考试）如图，四边形ABCD 是矩形，4,6AB AD ，点E 是平面内的一个动点，连接AE DE 、，在运动的过程中，AE 始终垂直于DE ，将AE 绕点A 顺时针旋转90 得到AF ，连接CF ，则CF 的最大值为．【答案】373【分析】先通过AE DE ，则可判断点E 在AD 为直径的圆上运动，将AD 绕点A 顺时针旋转90 至AD ，设AD 的中点为M ，则点E 在AD 为直径的圆上运动，当点C ，M ，F 三点共线时，CF 有最大值，最后利用勾股定理即可求解．【详解】如图，∵AE DE ，∴90AED ，∴点E 在AD 为直径的圆上运动，将AD 绕点A 顺时针旋转90 至AD ，设AD 的中点为M ，又∵AE AF ，∴由题意可知点E 在AD 为直径的圆上运动，当点C ，M ，F 三点共线时，CF 有最大值，∵四边形ABCD 是矩形，∴6AD BC ，4AB ，90ABC ，∵6AD AD ，M 为'AD 中点，∴3AM ，1BM ，在Rt MBC 中，由勾股定理得：22221637CM BM BC，∴CF 的最大值为：373 ．【点睛】此题考查了旋转变换和圆有关的概念，解题的关键是正确理解点E ，F 的运动路径是圆．4．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中，90,5,4,ABC BAD AB AD AD BC ，点E 在线段BC 上运动，点F 在线段AE 上，ADF BAE ∠∠，则线段BF 的最小值为．。

专题04 圆周角定理(解析版) -2021-2022学年九年级数学之专攻圆各种类型题的解法(人教版)

专题04 圆周角定理1.圆周角的定义顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.2.圆周角定理及其推论定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC 与∠BOC 存在怎样的数量关系.推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．2）直径所对的圆周角是直角．圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．3.圆周角与圆心角的关系中圆心的位置存在的情形（1）圆心O 在∠BAC 的一边上（如图甲）（2）圆心O 在∠BAC 的内部（如图乙）（3）圆心O 在∠BAC 的外部（如图丙）甲乙丙4.圆周角和直径的关系概念规律重在理解12BAC BOC ∠=∠半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.5.方法总结在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．6.圆内接四边形如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.推论1：圆的内接四边形的对角互补.推论2：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.注意：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．典例解析掌握方法【例题1】（2021湖南邵阳）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB 的大小为（）A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】B【解析】由圆周角定理可得∠BOC＝2∠BAC＝60°，继而∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．∵∠BAC与∠BOC所对弧为，由圆周角定理可知：∠BOC＝2∠BAC＝60°，又∠AOC＝90°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．【例题2】（2021黑龙江鹤岗）如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5cm，点D在圆上且∠ADC＝30°，则⊙O的半径为cm．【答案】5．【解析】连接OC，证明△AOC是等边三角形，可得结论．解：如图，连接OC．∵∠AOC＝2∠ADC，∠ADC＝30°，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝5（cm），∴⊙O的半径为5cm．【例题3】如图，线段AB是☉O的直径，点C是☉O上的任意一点（除点A、B外），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？【答案】见解析。

圆周角垂径定理例题

第 1 页共 21 页1（荆门市）如图，半径为O 内有互相垂直的两条弦AB 、CD 相交于P 点．（1）求证：P A ·PB =PC ·PD ；（2）设BC 中点为F ，连接FP 并延长交AD 于E ，求证：EF ⊥AD ；（3）若AB =8，CD =6，求OP 的长．1．(1)∵∠A 、∠C 所对的圆弧相同，∴∠A ＝∠C ． ∴Rt △APD ∽Rt △CPB ，∴AP PD CP PB=，∴P A ·PB ＝PC ·PD ；………………………3分 (2)∵F 为BC 的中点，△BPC 为Rt △，∴FP ＝FC ，∴∠C ＝∠CPF ．又∠C ＝∠A ，∠DPE ＝∠CPF ，∴∠A ＝∠DPE ．∵∠A ＋∠D ＝90°， ∴∠DPE ＋∠D ＝90°．∴EF ⊥AD ．………………………………………………………7分 (3)作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CD 于N ，同垂径定理： ∴OM 2＝2－42＝4，ON 2＝2－32＝11 又易证四边形MONP 是矩形，∴OP7分19.（柳州）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是弧BD 的中点，CE⊥AB，垂足为E ，BD 交CE 于点F ．（1）求证：CF BF =；（2）若2AD =，⊙O 的半径为3，求BC 的长．25、本小题满分10分．证明：（1）连结AC ，如图10 ∵C 是弧BD 的中点∴∠BDC =∠DBC ··············································· 1分又∠BDC =∠BAC在三角形ABC 中，∠ACB =90°，CE ⊥AB∴ ∠BCE=∠BAC ∠BCE =∠DBC ············································· 3分 ∴ CF =BF ······················································ 4分因此，CF =BF ．（2）证法一：作CG ⊥AD 于点G ，∵C 是弧BD 的中点∴ ∠CAG =∠BAC ，即AC 是∠BAD 的角平分线． ··········································· 5分 ∴ CE =CG ，AE =AG ···························································································· 6分在Rt △BCE 与Rt △DCG 中，CE =CG ， CB =CDB 图10第 2 页共 21 页∴Rt △BCE ≌Rt △DCG ∴BE =DG ·············································································································· 7分 ∴AE =AB -BE =AG =AD +DG 即 6-BE =2+DG∴2BE =4，即 BE =2 ··························································································· 8分又 △BCE ∽△BAC∴ 212BC BE AB ==· ····················································································· 9分32±=BC （舍去负值）∴32=BC ··································································································· 10分（2）证法二：∵AB 是⊙O 的直径，CE ⊥AB∴∠BEF=︒=∠90ADB ， ······························· 5分在Rt ADB △与Rt FEB △中， ∵FBE ABD ∠=∠∴ADB △∽FEB △，则BFABEF AD = 即BFEF 62=， ∴EF BF 3= ···················· 6分又∵CF BF =， ∴EF CF 3=利用勾股定理得：EF EF BF BE 2222=-= ······································································· 7分又∵△EBC ∽△ECA 则CEBE AE CE =，即则BE AE CE ⋅=2································································ 8分 ∴BE BE EF CF ⋅-=+)6()(2即EF EF EF EF 22)226()3(2⋅-=+ ∴22=EF ···································································································· 9分 ∴3222=+=CE BE BC ········································································· 10分B图10第 3 页共 21如图，⊙O 的直径AB 是4，过B 点的直线MN 是⊙O 的切线，D 、C 是⊙O 上的两点，连接AD 、BD 、CD 和BC ． (1)求证：CDB CBN ∠=∠； (2)若DC 是ADB ∠的平分线，且︒=∠15DAB ，求DC 的长．23．(1)证明: ∵AB 是⊙O 的直径 ∴︒=∠+∠=∠90CDB ADC ADB∵MN 切⊙O 于点B∴︒=∠+∠=∠90CBN ABC ABN∴CBN ABC CDB ADC ∠+∠=∠+∠ ∵ABC ADC ∠=∠ ∴CDB CBN ∠=∠. (2) 如右图,连接OC OD ,,过点O 作CD OE ⊥于点E . ∵CD 平分ADB ∠ ∴BDC ADC ∠=∠ ∴弧AC =弧BC ∵AB 是⊙O 的直径 ∴︒=∠90BOC 又∵︒=∠15DAB∴︒=∠30DOB ∵CD OE OC OD ⊥=, ∴︒=∠30ODE ∵2=OD∴3,1==DE OE ∴322==DE CD .27．已知，如图，直线MN 交O 于A B ，两点，AC 是直径，AD 平分CAM ∠交O 于D ，过D 作DE MN ⊥于E ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若6DE =cm ，3AE =cm ，求O第27题图NM B A ABM N第 4 页共 21 页25．（1）证明：AF BC ∥，AFE DBE ∴∠=∠． ···································································································· （1分） E 是AD 的中点， AE DE ∴=．又AEF DEB ∠=∠， AEF DEB ∴△≌△． ·································································································· （2分） AF DB ∴=． ················································································································ （3分） AF DC =， DB DC ∴=．即D 是BC 的中点． ······································································································ （4分）（2）解：四边形ADCF 是矩形， ················································································ （5分）证明：AF DC ∥，AF DC =，∴四边形ADCF 是平行四边形． ················································································· （6分） AB AC =，D 是BC 的中点， AD BC ∴⊥．即90ADC ∠=． ·········································································································· （7分） ∴四边形ADCF 是矩形． ····························································································· （8分）五、（本大题共2小题，第27题10分，第28题11分，共21分） 27．（1）证明：连接OD ． OA OD =，OAD ODA ∴∠=∠． ·································· （1分） OAD DAE ∠=∠， ODA DAE ∴∠=∠． ··································· （2分） DO MN ∴∥．············································· （3分）DE MN ⊥，90ODE DEM ∴∠=∠=．即OD DE ⊥． ··············································································································· （4分） D 在O 上，DC ∴是O 的切线． ··································································································· （5分）（2）解：90AED ∠=，6DE =，3AE =，AD ∴==． ································································ （6分）第 5 页共 21 页连接CD ．AC 是O 的直径，90ADC AED ∴∠=∠=． ·························································································· （7分） CAD DAE ∠=∠， ACD ADE ∴△∽△． ·································································································· （8分） AD AC AE AD∴=．3∴=．则15AC =（cm ）． ······································································································· （9分）∴O 的半径是7.5cm ．······························································································ （10分）如图，⊙O 的直径AB 是4，过B 点的直线MN 是⊙O 的切线，D 、C 是⊙O 上的两点，连接AD 、BD 、CD 和BC ． (1)求证：CDB CBN ∠=∠； (2)若DC 是ADB ∠的平分线，且︒=∠15DAB ，求DC 的长．23．(1)证明: ∵AB 是⊙O 的直径 ∴︒=∠+∠=∠90CDB ADC ADB ∵MN 切⊙O 于点B∴︒=∠+∠=∠90CBN ABC ABN ∴CBN ABC CDB ADC ∠+∠=∠+∠∵ABC ADC ∠=∠∴CDB CBN ∠=∠. (2) 如右图,连接OC OD ,,过点O 作CD OE ⊥于点E . ∵CD 平分ADB ∠ ∴BDC ADC ∠=∠ ∴弧AC =弧BC ∵AB 是⊙O 的直径 ∴︒=∠90BOC 又∵︒=∠15DABNMB A 第23题ABM N第 6 页共 21 页∴︒=∠30DOB ∵CD OE OC OD ⊥=, ∴︒=∠30ODE ∵2=OD∴3,1==DE OE ∴322==DE CD .（1）如图1，圆心接ABC △中，AB BC CA ==，OD 、OE 为O ⊙的半径，OD BC ⊥于点F ，OE AC ⊥于点G ，求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是ABC △的面积的13．（2）如图2，若DOE ∠保持120°角度不变，求证：当DOE ∠绕着O 点旋转时，由两条半径和ABC △的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC △的面积的13．22．证明：（1）如图1，连结OA OC ，，因为点O 是等边三角形ABC 的外心，所以Rt Rt Rt OFC OGC OGA △≌△≌△． ····································· 2分2OFCG OFC OAC S S S ==△△，因为13OAC ABC S S =△△，所以13OFCGABC S S =△． ··············································································································· 5分（2）解法一：连结OA OB ，和OC ，则AOC COB BOA △≌△≌△，12∠=∠， ·································· 6分不妨设OD 交BC 于点F ，OE 交AC 于点G ，3412054120AOC DOE ∠=∠+∠=∠=∠+∠=°，°，35∴∠=∠．·························································································· 8分在OAG △和OCF △中， 1235OA OC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，，OAG OCF ∴△≌△， ················································································································ 10分第22题图D 图1 图2答案22题图（2）A E O GFB C D 1 2 3 45第 7 页共 21 页13OFCG AOC ABC S S S ∴==△△． ···································································································· 12分解法二：不妨设OD 交BC 于点F ，OE 交AC 于点G ，作OH BC OK AC ⊥⊥，，垂足分别为H K 、， ······················· 6分在四边形HOKC 中，9060OHC OKC C ∠=∠=∠=°，°， 360909060120HOK ∴∠=-︒-︒=︒°- ， ······························· 8分即12120∠+∠=°．又23120GOF ∠=∠+∠=°，13∴∠=∠． ································································································································ 8分 AC BC =， OH OK ∴=，OGK OFH ∴△≌△， ··············································································································· 10分13OFCG OHCK ABC S S S ∴==△． ····································································································· 12分18．（本题满分7分）在ABCD 中，10AB =，AD m =，60D ∠=°，以AB 为直径作O ⊙，（1）求圆心O 到CD 的距离（用含m 的代数式来表示）；（2）当m 取何值时，CD 与O ⊙相切．18．解：（1）分别过A O ，两点作AE CD OF CD ⊥⊥，，垂足分别为点E ，点F ， AE OF OF ∴∥，就是圆心O 到CD 的距离．四边形ABCD 是平行四边形， AB CD AE OF ∴∴=∥，． ········································································································ 2分在Rt ADE △中，60sin sin 60AE AED D AD AD∠=∠==°，，°，答案第22题图（3） A EOGF B CD 1 3 2H K第18题图答案18题图（1）答案18题图（2）第 8 页共 21 页222AE AE m OF AE m ====，，， ······································································· 4分圆心到CD 的距离OF为2． ······························································································· 5分（2）3OF =， AB 为O ⊙的直径，且10AB =，∴当5OF =时，CD 与O ⊙相切于F 点，5m ==，， ········································································································· 6分 ∴当m =时，CD 与O ⊙相切． ····················································································· 7分 25． (本题满分7分)如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D，取AC 的中点E ，连结DE 、OE ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）如果⊙O 的半径是23cm ，ED=2cm ，求AB 的长．25、（本题满分7分）证明：（1）连结OD ． ·································································································· 1分由O 、E 分别是BC 、AC 中点得OE ∥AB ． ∴∠1=∠2，∠B =∠3，又OB=OD ． ∴∠2=∠3．而OD=OC ，OE=OE ∴△OCE ≌△ODE ． ∴∠OCE=∠ODE ．BA DOCE第25题图B第25题图。

2.4 圆周角（解析版)

2.4圆周角知识点一：圆周角概念1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．题型一：圆周角的概念【例题1】（2021·全国九年级课时练习）如图，其中圆周角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据圆周角的定义进行判断，即可得到答案．【详解】解：根据题意，AEP，CPE∠是圆周角，共2个．故选：B．【点睛】本题考查了圆周角的定义，解题的关键是掌握圆周角的定义进行判断．变式训练【变式1-1】（2021·全国九年级课时练习）下列四个图形的角是圆周角的是（）A．B．C．D．知识点管理归类探究【答案】A【分析】根据圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．即可求得答案．【详解】解：A、图中的角是圆周角，故本选项符合题意；B、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意；C、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意；D、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了圆周角的定义，能熟记圆周角定义的内容是解此题的关键．【变式1-2】（2021·浙江温州·）如图，⊙O的两条弦AB⊙CD，已知⊙ADC＝35°，则⊙BAD的度数为（）A．55°B．70°C．110°D．130°【答案】A【分析】根据垂直定义和三角形的两锐角互余进行解答即可．【详解】解：⊙AB⊙CD，⊙⊙ADC+⊙BAD=90°，⊙⊙ADC=35°，⊙⊙BAD=90°﹣35°=55°，故选：A．【点睛】本题考查垂直定义、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解答的关键．【变式1-3】（2021·江西九年级期末）如图，AB是O的直径，C为圆内一点，则下列说法中正确的是（）A．AC是O的弦B．BOC是圆心角+<C．C∠是圆周角D．AC OC AB【答案】B【分析】根据弦、圆心角、圆周角的概念可直接进行排除选项．【详解】解：A、点C不在O上，所以AC不是O的弦，故错误，不符合题意；B、因为点O是圆心，所以⊙BOC是圆心角，故正确，符合题意；C、点C不在O上，所以⊙C不是圆周角，故错误，故不符合题意；+<成立，则AC+OC＜OA+OB，D、当点C在圆上时，则OC=OA=OB，若AC OC AB⊙AC＜OA，与题干矛盾，⊙D选项错误，不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查弦、圆心角、圆周角的概念，熟练掌握弦、圆心角、圆周角的概念是解题的关键．【变式1-4】（2021·全国）顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做____________．圆周角的特征：⊙顶点在_____上；⊙两边都和圆_________．【答案】圆周角圆相交圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．题型二：同弧所对圆周角等于圆心角一半【例题2】（2021·湖南长沙市·明德华兴中学九年级开学考试）如图，圆周角⊙ACB的度数为48°，则圆心角⊙AOB的度数为（）A．48°B．24°C．36°D．96°【答案】D【分析】同圆中，同弧所对的圆周角=圆心角的一半．【详解】解：由题意得，圆周角⊙ACB的度数为48°，⨯=︒，圆心角⊙AOB的度数为48°296故选：D．【点睛】本题考查圆周角定理，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．变式训练【变式2-1】（2021·全国九年级课时练习）如图，已知CD 是O 的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ，若D ∠的度数是50︒，则C ∠的度数是（）A ．25︒B ．30C ．40︒D ．50︒【答案】A【分析】根据平行线的性质和圆周角定理计算即可；【详解】⊙//OA DE ，50D ∠=︒， ⊙50AOD ∠=︒，⊙12C AOD ∠=∠，⊙150225C ︒∠=⨯=︒．故选A ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、平行线的性质，准确计算是解题的关键．【变式2-2】（2021·黑龙江九年级期末）如图，O 是ABC 的外心，42ABC ∠=︒，72ACB ∠=︒，则BOC ∠=______．【答案】132°【分析】先利用三角形内角和计算出⊙BAC =66°，在利用三角形外心的性质和圆周角定理得到⊙BOC 的度数．【详解】解：⊙⊙ABC =42°，⊙ACB =72°， ⊙⊙BAC =180°-42°-72°=66°，⊙O 是⊙ABC 的外心，⊙以O 为圆心，OB 为半径的圆是⊙ABC 的外接圆， ⊙⊙BOC =2⊙BAC =132°．故答案为：132°．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．【变式2-3】（2021·全国九年级课时练习）如图，BC 是O 的弦，D 是BC 上一点，DO 交O 于点A ，连接AB ，OC ，若20A ∠=︒，30C ∠=︒，则AOC ∠的度数为________．【答案】100︒【分析】设⊙AOC =x °，根据圆周角定理得到⊙B 的度数，根据三角形的外角的性质列出方程，解方程得到答案．【详解】解：设⊙AOC =x °，则⊙B =12x °， ⊙⊙AOC =⊙ODC +⊙C ，⊙ODC =⊙B +⊙A ， ⊙x =20°+30°+12x ，解得x =100°．故选A ．【点睛】本题主要考查的是圆周角定理和三角形的外角的性质，掌握一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．题型三：同弧所对圆周角【例题3】（2021·江苏盐城·景山中学九年级月考）如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点E ，⊙C ＝40°，⊙AED ＝100°，则⊙D ＝______．【答案】60°【分析】首先根据圆周角定理的推论，得⊙C =⊙ABD ，再根据三角形外角的性质即可求得⊙D 的度数．【详解】解：⊙⊙C =40°， ⊙⊙C =⊙B =40°． ⊙⊙AED =100°，⊙⊙D =⊙AED -⊙B =100°-40°=60°．故答案是：60°．【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟记圆周角定理是解题的关键．变式训练【变式3-1】（2021·全国九年级课时练习）如图，O 是ABC 的外接圆，65CAB ∠=︒，P 是O 上的一点，则CPB ∠等于________．【答案】65°【分析】根据圆周角定理（同弧所对在圆周角相等）进行解答．【详解】解：根据同弧所对的圆周角相等，得CPB CAB ∠=∠．⊙65CAB ∠=︒， ⊙65CPB ∠=︒．故答案为：65°【点睛】本题考查了圆周角定理．注意：圆周角必须满足两个条件：⊙定点在圆上．⊙角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．【变式3-2】（2021·北京市陈经纶中学分校九年级月考）如图，点A，B，C，D在⊙O上，CB CD=，⊙CAD ＝30°，⊙ACD＝50°，则⊙ADB＝_____．【答案】70°【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出⊙ACB=⊙ADB=180°-⊙CAB-⊙ABC，进而得出答案．【详解】解：⊙CB CD=，⊙CAD=30°，⊙⊙CAD=⊙CAB=30°，⊙⊙DBC=⊙DAC=30°，⊙⊙ACD=50°，⊙⊙ABD=50°，⊙⊙ADB=⊙ACB=180°-⊙CAB-⊙ABC=180°-50°-30°-30°=70°．故答案为：70°．【点睛】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出⊙ABD度数是解题关键．【变式3-3】（2021·江苏淮安·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，⊙CAB＝55°，则⊙D的度数是___．【答案】35°【分析】根据直径所对的圆周角是直角推出⊙ACB＝90°，再结合图形由直角三角形的性质得到⊙B＝90°﹣⊙CAB ＝35°，进而根据同圆中同弧所对的圆周角相等推出⊙D ＝⊙B ＝35°．【详解】解：⊙AB 是⊙O 的直径， ⊙⊙ACB ＝90°， ⊙⊙CAB ＝55°，⊙⊙B ＝90°﹣⊙CAB ＝35°， ⊙⊙D ＝⊙B ＝35°．故答案为：35°．【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.圆周角定理推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．题型四：直径所对圆周角是直角【例题4】（2021·江苏九年级期末）如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，40BAC ∠=︒，则ADC ∠=________°．【答案】50【分析】连接BC ，则由圆周角定理可以得到⊙ADC =⊙ABC ，再根据直径所对的圆周角是90度，得到⊙ACB =90°，再根据⊙BAC =40°即可求解. 【详解】解：如图所示，连接BC ⊙⊙ADC =⊙ABC ⊙AB 是直径 ⊙⊙ACB =90° ⊙⊙BAC =40°⊙⊙ABC =180°-90°-40°=50° ⊙⊙ADC =⊙ABC =50° 故答案为：50.【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.变式训练【变式4-1】（2021·湖南九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD BC于点D，8cmAC，BD=，则AB的长为________cm．3cm【答案】10AC＝4cm．然后利用勾股定理求解．【分析】利用圆周角定理和三角形中位线定理求得OD＝12【详解】解：⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ACB＝90°，又⊙OD⊙BC，即⊙ODB＝90°，⊙AC⊙OD，⊙点O是AB的中点，⊙OD是⊙ABC的中位线，AC＝4cm，⊙OD＝12⊙BD＝3cm，⊙OB22+5cm，BD OD⊙AB＝2OB＝10cm．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了勾股定理和圆周角定理，根据题意推知OD是⊙ABC的中位线是解题的关键．【变式4-2】（2021·四川九年级期末）如图，A是⊙O上一点，BC是直径，AC＝1，AB＝3，点D在圆O 上且平分BC，则DC的长为__．5【分析】先利用圆周角定理得到⊙A＝⊙D＝90°，再利用勾股定理计算出BC10接着证明⊙BCD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求DC的长．【详解】解：⊙BC是直径，⊙⊙A＝⊙D＝90°，在Rt⊙ACB中，⊙AC＝1，AB＝3，⊙BC22+10，13⊙点D平分BC，即BD＝BC，⊙⊙BCD＝⊙CBD，⊙⊙BCD为等腰直角三角形，⊙DC221055【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．BC OA，连接BO并延【变式4-3】（2021·苏州市立达中学校九年级二模）如图，点A、B、C在O上，//长，交O于点D，连接AC、DC．若24∠的大小为________︒．∠=︒，则DA【答案】42【分析】利用平行线的性质求出⊙ACB ＝24°，再利用圆周角定理求出⊙AOB ＝48°，利用平行线的性质可得⊙CBO ＝48°，再证明⊙DCB ＝90°可得结论．【详解】解：⊙//BC OA ， ⊙⊙ACB ＝⊙A ＝24°， ⊙⊙AOB ＝2⊙ACB ＝48°， ⊙//BC OA ，⊙⊙CBO ＝⊙AOB ＝48°， ⊙BD 是直径， ⊙⊙DCB ＝90°， ⊙⊙D ＝90°﹣48°＝42°，故答案为：42．【点睛】本题考查圆周角定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式4-4】（2021·宁夏九年级一模）如图，AB 为O 的直径，CD 为O 的弦，40ACD ∠=︒，则BAD ∠的度数为_______．【答案】50°【分析】由同弧所对的圆周角相等可知40ABD ACD ∠=∠=︒，再由直径所对的圆周角为直角即可得到答案．【详解】解：连接BD ，⊙40ACD ∠=︒， ⊙40ABD ∠=︒， ⊙AB 为O 的直径， ⊙90ADB ∠=︒， ⊙90BAD ABD ∠+∠=︒， ⊙904050BAD =︒-︒=︒∠，故答案为：50︒．【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，掌握基础知识是解题的关键．题型五：90°圆周角所对弦是直径【例题5】（2021·科尔沁左翼中旗教研室）如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE ＝8cm ，OF ＝6cm ，则圆的直径为__________【答案】10cm【分析】由题意可知OE OF ⊥，利用90º圆周角所对的弦为直径，确定EF 是该圆的直径，利用勾股定理求该圆的直径即可．【详解】连结EF ，⊙OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直， ⊙OE⊙OF ，即⊙EOF=90º， ⊙EF 为直径，在Rt⊙EOF 中，由勾股定理2222OE +OF =6810EF +=， ⊙圆的直径为10．故答案为：10．【点睛】本题考查圆周角的性质与勾股定理的应用，掌握圆周角的定理，通过构造直角三角形用勾股定理是解题关键．变式训练【变式5-1】（2020·山东烟台芝罘中学九年级月考）如图，Rt ABC 中，6AC =，8BC =，点E 是ABC 外接圆上任意一点，点M 是弦AE 的中点，当点E 在ABC 外接圆上运动一周时，点M 运动的路径长为______．【答案】5π【分析】作AB 的中点O ，连接OE 、OM ，M 是弦AE 的中点，可证O 为ABC 外接圆的圆心，OM⊙AE ，可证点M 在以AO 为直径的圆上运动，求出AO 的长度，进而求出点M 的运动路径长度．【详解】解：作AB 的中点O ，连接OE 、OM ，如图：⊙ABC 是直角三角形，点E 是ABC 外接圆上任意一点， ⊙AB 为ABC 外接圆的直径，（90°圆周角所对的弦是直径），点O 为ABC 外接圆的圆心，AE 为ABC 外接圆上的弦， ⊙点M 是弦AE 的中点，⊙OM⊙AE （平分弦的直径垂直于这条弦，注：该弦不是直径）， ⊙点M 在以AO 为直径的圆上运动（90°圆周角所对的弦是直径）， ⊙在Rt ABC 中，6AC =，8BC =， ⊙22226810ABAC BC ，⊙AO＝5，⊙点M运动的路径长为5π．故答案为：5π．【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理的运用及勾股定理，灵活运用垂径定理的推论是解题关键．【变式5-2】（2018·山东济南·中考真题）如图，⊙O的半径为1，⊙ABC是⊙O的内接等边三角形，点D，E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（）A．2B．32C3D3【答案】C【分析】连接BD、OC，根据矩形的性质得⊙BCD=90°，再根据圆周角定理得BD为⊙O的直径，则BD=2；由ABC为等边三角形得⊙A=60°，于是利用圆周角定理得到⊙BOC=2⊙A=120°，易得⊙CBD=30°，在Rt⊙BCD中，根据含30°的直角三角形三边的关系得到CD=12BD=1，33解．【详解】连结BD、OC，如图，⊙四边形BCDE为矩形，⊙⊙BCD=90°，⊙BD为⊙O的直径，⊙BD=2，⊙⊙ABC为等边三角形，⊙⊙A=60°，⊙⊙BOC=2⊙A=120°，而OB=OC，⊙⊙CBD=30°，在Rt⊙BCD 中，CD=12BD=1，33 ⊙矩形BCDE 的面积3C ．【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的性质和矩形的性质，综合性比较强．合理利用圆的基本性质是解题的关键．【变式5-3】（2021·江苏苏州市·九年级开学考试）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，4AC =，P 是ABC 所在平面内一点，且满足PA PC ⊥，则PB 的最大值为________．221【分析】由于⊙APC=90°，则根据圆周角定理可判断点P 在以AC 为直径的圆上，取AC 的中点O ，连接BO ，然后根据点与圆的位置关系确定PB 的最大值．【详解】解：⊙⊙ACB=90°,⊙BAC=30°, ⊙AB=2BC ，又AC=4， ⊙()22242BC BC +=，解得：43⊙PA⊙PC ，即⊙APC=90°， ⊙点P 在以AC 为直径的圆O 上，如图，当P 、O 、B 三点共线时，PB 最大， 43，OC=12AC=2， 22BC OC +221221，221．【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，利用90°的圆周角所对的弦是直径构造圆O是解题的关键．知识点四：圆内接四边形圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．题型六：圆内接四边形【例题6】（2020·温州市实验中学九年级期末）如图，在⊙O中，点B是弧AC上的一点，⊙AOC=140°，则⊙ABC的度数为（）A．70°B．110°C．120°D．140°【答案】B【分析】在优弧AC上取点D，连接AD、CD，由⊙AOC=140︒求出⊙ADC=1702AOC∠=︒，根据四边形ABCD是圆内接四边形，得到⊙ADC+⊙ABC=180︒，即可求出⊙ABC的度数．【详解】在优弧AC上取点D，连接AD、CD，⊙⊙AOC=140︒，⊙⊙ADC=1702AOC∠=︒，⊙四边形ABCD是圆内接四边形，⊙⊙ADC+⊙ABC=180︒，⊙⊙ABC=110 ，故选：B．【点睛】此题考查圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．变式训练【变式6-1】（2021·科尔沁左翼中旗教研室）如图，四边形ABCD内接于⊙O，⊙A＝115°，则⊙BOD＝_______．【答案】130°【分析】先根据圆内接四边形的性质求出⊙C的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【详解】解：⊙四边形ABCD内接于⊙O，⊙A=115°，⊙⊙C=180°-⊙A=180°-115°=65°，⊙⊙BOD=2⊙C=130°．故答案为：130°．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．【变式6-2】（2021·江苏南京·）如图，点A、B、C、D在⊙O上，B是AC的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若⊙AEC＝87°，则⊙ADC＝__°．【答案】62【分析】连接BD 、BC ，由圆周角定理可得⊙BDC=⊙ADB=12⊙ADC ，再根据圆內接四边形的性质可得⊙EBC=⊙ADC ，由切线的性质得出⊙BCE=⊙BDC=12⊙ADC ，最后根据三角形内角和定理解答即可．【详解】解：连接BD 、BC ， ⊙B 是AC 的中点， ⊙AB BC =⊙⊙BDC=⊙ADB=12⊙ADC ， ⊙四边形ABCD 是圆内接四边形， ⊙⊙EBC=⊙ADC, ⊙EC 是⊙O 的切线， ⊙⊙BCE=⊙BDC=12⊙ADC⊙⊙AEC=87°，⊙AEC+⊙BCE+⊙EBC=180°， ⊙87°+12⊙ADC+⊙ADC=180°，解得⊙ADC=62°．故答案为62°．．【点睛】本题主要考査了圆的切线性质、圆內接四边形的性质、圆周角的定理等知识点，灵活运用圆的相关性质定理是解答本题的关键．【变式6-3】（2020·云梦县实验外国语学校九年级月考）如图，四边形A BCD 是⊙O 的内接四边形，AB AD = ，若72C ∠=︒，则ABD ∠的度数是______．【答案】36°【分析】根据圆内接四边形的性质求出⊙A ，根据等边对等角的性质得到⊙ABD=⊙ADB ，根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：⊙四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ⊙⊙A ＝180°﹣⊙C ＝108°， ⊙AB ＝AD ， ⊙∠ABD=∠ADB ，⊙⊙ABD ＝()()113180180108622A ⨯=⨯∠︒︒︒=︒--故答案为36°．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边对等角的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．【真题1】（2021·江苏南京·）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若⊙BOD ＝130°，则⊙A 的度数为（）A ．50°B ．65°C ．115°D ．130°【答案】C【分析】先根据圆周角定理求出BCD ∠的度数，再根据圆的内接四边形对角互补的性质求出结果．【详解】解：⊙130BOD ∠=︒，链接中考⊙1652BCD BOD ∠=∠=︒，⊙四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ⊙180A BCD ∠+∠=︒， ⊙115A ∠=︒．故选：C ．【点睛】本题考查圆的内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补的性质．【真题2】（2021·西藏中考真题）如图，⊙BCD 内接于⊙O ，⊙D ＝70°，OA ⊙BC 交⊙O 于点A ，连接AC ，则⊙OAC 的度数为（）A ．40°B ．55°C ．70°D ．110°【答案】B【分析】连接OB ，OC ，根据圆周角定理得到⊙BOC ＝2⊙D ＝140°，根据垂径定理得到⊙COA 1702BOC =∠=︒，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：连接OB ，OC ， ⊙⊙D ＝70°，⊙⊙BOC ＝2⊙D ＝140°， ⊙OA ⊙BC ，⊙⊙COA 1702BOC =∠=︒，⊙OA ＝OC ， ⊙⊙OAC ＝⊙OCA 12=（180°﹣70°）＝55°，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键．【真题3】（2021·辽宁鞍山·）如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上的两点，若54ABD ∠︒＝，则C ∠的度数为（）A ．34︒B ．36︒C ．46︒D ．54︒【答案】B 【分析】连接AD ，如图，根据圆周角定理得到90ADB ∠=︒，C A ∠=∠，然后利用互余计算出A ∠，从而得到C ∠的度数．【详解】解：连接AD ，如图，AB 为O 的直径，90ADB ∴∠=︒，90905436A ABD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，36C A ∴∠=∠=︒．故选B ．【点睛】本题主要考查了同弦所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.【真题4】（2021·四川德阳·中考真题）如图，在圆内接五边形ABCDE中，⊙EAB⊙+⊙C+⊙CDE+⊙E＝430°，则⊙CDA＝_____度．【答案】70【分析】先利用多边的内角和得到⊙EAB+⊙B+⊙C+⊙CDE+⊙E=540°，则可计算出⊙B=110°，然后根据圆内接四边形的性质求⊙CDA的度数．【详解】解：⊙五边形ABCDE的内角和为（5-2）×180°=540°，⊙⊙EAB+⊙B+⊙C+⊙CDE+⊙E=540°，⊙⊙EAB+⊙C+⊙CDE+⊙E=430°，⊙⊙B=540°-430°=110°，⊙四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙⊙B+⊙CDA=180°，⊙⊙CDA=180°-110°=70°．故答案为70．【点睛】本题考查了多边形的内角和与圆内接四边形的性质，运用圆内接四边形的性质是解决问题的关键．【拓展1】（2020·浙江绍兴市·）如图，一块三角尺ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是46°，则ACD的度数为__________．【答案】67°【分析】首先连接OD，由直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，可得点A，B，C，D共圆，又由点D对应的刻度是46°，利用圆周角定理求解即可求得⊙BCD的度数，继而求得答案．【详解】解：连接OD，满分冲刺⊙直角三角板ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，⊙点A ，B ，C ，D 共圆，⊙点D 对应的刻度是46°，⊙⊙BOD ＝46°，⊙⊙BCD ＝12⊙BOD ＝23°，⊙⊙ACD ＝90°-⊙BCD ＝67°，故答案为：67°．【点睛】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．【拓展2】（2020·山东烟台芝罘中学九年级月考）如图．在⊙ABC 中，⊙A ＝60°，BC ＝5cm ．能够将⊙ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是__________cm ．103 【分析】根据题意作出ABC 的外接圆，然后根据圆的相关知识即可求得⊙ABC 外接圆的直径，本题得以解决．【详解】解：将ABC 完全覆盖的最小覆盖圆就是ABC 的外接圆，如解图，作ABC 的外接圆，作直径BD ，连接CD ，则60D A ∠=∠=︒，BD 是O 的直径，90BCD ∴∠=︒，30DBC ∴∠=︒，⊙BD=2CD ，在Rt BDC 中，2225BD CD -=，⊙22354BD =， ⊙103BD =（取正值）．所以能够将⊙ABC 103cm ． 103 【点睛】本题考查三角形的外接圆和圆周角定理的推论，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．【拓展3】（2017·湖北十堰·中考真题）如图，⊙ABC 内接于⊙O ，⊙ACB =90°，⊙ACB 的角平分线交⊙O 于D ．若AC =6，BD 2，则BC 的长为_____．【答案】8【分析】连接AD ，根据CD 是⊙ACB 的平分线可知⊙ACD=⊙BCD=45°，故可得出AD=BD ，再由AB 是⊙O 的直径可知⊙ABD 是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB 的长，在Rt⊙ABC 中，利用勾股定理可得出BC 的长．【详解】连接AD ，⊙⊙ACB=90°，⊙AB 是⊙O 的直径．⊙⊙ACB 的角平分线交⊙O 于D ，⊙⊙ACD=⊙BCD=45°，2．⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ABD是等腰直角三角形，22+．AD BD⊙AC=6，2222AB AC-=-．106故答案为：8．【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．备考无忧系列26。

圆周角

圆周角主要内容：（一）圆周角1. 定义：顶点在圆上，两边都与圆相交的角，叫圆周角。

如图，∠BAC强调圆周角与圆心角的区别。

2. 圆周角的性质：定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

强调：（1）定理的证明思路和方法，强调分类、归纳的数学思想。

（2）圆周角和圆心角存在关系的前提是它们对着同一条弧。

推论：（1）在同一圆（或相等的圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧相等。

（2）直径（或半圆）所对的圆周角是直角；反之，90°的圆周角所对的弦是直径。

说明：（1）圆周角的性质定理和推论是圆中证明两角相等、两条线段相等、两条弦相等的重要依据，还能确定直径，在计算和作图中应用较广。

（2）若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，则结论不成立，如果一条弦所对的圆周角有两种情况：相等或互补。

如图中，∠ACB＝∠ADB∠ACB＋∠AEB＝180°∠ADB＋∠AEB＝180°（二）圆的确定1. 过一点的圆有无数个。

2. 过两点的圆有无数个。

3. 过不在同一直线上的三点确定一个圆。

4. 三角形的外接圆和圆的内接三角形。

5. 三角形的外心是三边垂直平分线的交点。

它到三角形三个顶点的距离相等。

锐角三角形的外心在三角形内部。

直角三角形的外心是斜边中点。

钝角三角形的外心在三角形的外部。

【典型例题】例1.分析：则∠C＝∠D，易解。

解：作直径AD，连结BD则∠ABD＝90°，∠D＝∠C即⊙O的半径长为10例2. 如图，已知在⊙O中，弦AB⊥CD，连结AD、BC，OE⊥BC于点E。

分析：略证明：作直径BF，连结FA、FC则∠BCF＝∠BAF＝90°∵OE⊥BC，∴CE＝BE又OB＝OF，∴OE为△BCF的中位线又AB⊥CD，FA⊥AB∴FA∥CD例3.且DG⊥AB于点G。

分析：略（1）证明：如图∴∠1＝∠A又∠ADB＝∠BDE，∴△BDE∽△ADB又AB为直径，∴∠ADB＝90°例4.分析：略解：（1）当点A在弦BC所对的优弧上时，如图（1）连OB、OC，过O作OD⊥BC于D（2）当点A在弦BC所对的劣弧上时，如图（2）求∠BOC＝120°的方法同前。

圆周角(2)全面版

BE2 = AE2 = DE ·CE
小结与作业
1、本节课我们学习了哪些知识？ 2、圆周角定理及其推论的用途你都知道了吗？ 3、证明题思路的寻找方法如何？ 4、证明等积式的一般思路你掌握了吗？
课后作业（完成时间：25分钟）： P85 8，9，10 选做题：P86 B组第3题。
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局，或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少，走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！一生有多少属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时

圆周角圆的外接四边形 5种题型知识点+例题+练习(非常好分类全面)

§ 2.4 圆周角一、新课体验知识点1 识别圆周角★顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.注：（1）顶点在圆上；（2）角的两边都与圆相交，两者缺一不可.例1 指出图中的圆周角、圆心角以及弧CD所对的圆周角.知识点2 圆周角定理（难点）★圆周角定理：圆周角的度数等于它所对圆周心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角______.注：（1）前提是“同弧或等弧”；例2 如图，已知点A,B,C,D,E为均在O上，且AC为O的直径，则∠CAD+∠EBD+∠ACE=___________.知识点3 圆周角与直径的关系★直径所对的圆周角是90º，90º的圆周角所对的弦是直径. 例3 如图，AB 是O 的直径，∠CAB=70º，求∠ABC 的度数.例4 在∆ABC 中，AB=AC,以AB 为直径的圆交BC 于点D ，交AC 于点E.求证：弧BD=弧DE.知识点4 圆内接四边形及其性质（重点）★一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做圆的外接圆.★性质定理：圆内接四边形的对角互补.例5 如图，如图1，圆1O 与圆2O 都经过A 、B 两点，经过点A 的直线CD 与圆1O 交于点C ，与圆2O 交于点D ．经过点B 的直线EF 与圆1O 交于点E ，与圆2O 交于点F.求证：CE ∥DF二、经典题型题型1 利用圆周角定理解决线段的有关问题例1 如图所示，BC为O的直径，AD BC于点D，点P是弧AC上一动点，连接PB，分别交AD,AC于点E、F.（1）当弧PA=弧AB时，试比较BD与AE的大小，并说明理由.（2）当点P在什么位置时，AF=EF?并说明理由.例2.如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．（1）求证：BD=CD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．题型2 圆周角定理在生产生活中的应用例2 用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据下图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？( )题型3 与圆周角定理有关的猜想型问题例3 如图，已知OA,OB,OC都是O的半径，∠AOB=2∠BOC，那么∠ACB与∠BAC 有怎样的关系？说明理由.题型4 添加辅助圆证明角相等例4 如图，点D为Rt∆ABC的斜边的中点，EF,BC互相垂直平分与点D，且EF=BC. 求证：∠BAE=∠EAC=∠CAF题型5 圆内接四边形的性质与圆周角定理的综合应用例5 已知如图，∠EAD是圆内接四边形ABCD的一个外角，并且AD平分∠EAC. 求证：BD=DC.典例精讲:1．（易错题）下列结论中，正确的有（）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④圆周角相等，则它们所对的弧也相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，D是AC的中点，与∠ABD相等的角的个数是（）．A．4 B．3 C．2 D．1(第2题) (第3题) (第4题) 3．已知：如图，⊙O的两条弦AE，BC相交于点D，连结AC，BE，•AO，•BO，•若∠ACB=60°，则下列结论中正确的是（）A．∠AOB=60° B．∠ADB=60° C．∠AEB=60° D．∠AEB=30°(第5题) (第6题) (第7题)4．如图，已知弦AB的长等于⊙O•的半径，•点C•是AMB上一点，•则∠ACB=______．5．如图，AB是⊙O的直径，C、D是半圆的三等分点，则∠C+∠E+∠D=•___．6．如图，在⊙O中，∠AOB=100°，C为优弧AB的中点，则∠CAB=_______．7．如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，求∠OBC的度数．8．如图，AB、CD是⊙O的直径，DF、BE是弦，且DF=BE，求证：∠D=∠B．9．如图，△ABC中，AC=BC，以AC为直径的⊙O交AB于E，作△BCA的外角平分线CF交⊙O于F，连接EF．求证：EF=BC．10．已知：如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为，BF与AD交于E，•求证：AE=BE．D，BA AF11．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，以AE为直径画圆，经过点B、C，求证：（1）∠BAE=∠CAD；（2）试说明：以等腰三角形的一腰为直径的圆平分底边．12．已知：如图，∠AOB=90°，C、D是AB的三等分点，AB分别交OC、•OD•于点E、F．求证：AE=BF=CD．13．如图，△ABC内接于⊙O，弦CM⊥AB于M，CN是直径，F为AB的中点，求证：CF平分∠MCN．【拓广创新】14．如图，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．（1）P是CAD上一点（不与C、D重合）．求证：∠CPD=∠COB；（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系，请证明你的结论．。

圆周角定理经典例题

选择题：已知在⊙O中，弧AB所对的圆心角为120°，则弧AB所对的圆周角为：A. 120°B. 60°（正确答案）C. 30°D. 90°在⊙O中，一条弦将圆周分为两段弧，其中一段弧的度数为90°，则这条弦所对的圆周角为：A. 90°B. 45°（正确答案）C. 135°D. 180°已知在⊙O中，一条弦AB所对的圆周角为50°，则弦AB所对的另一条圆周角为：A. 50°B. 130°（正确答案）C. 40°D. 140°在⊙O中，若弧AB所对的圆心角为60°，则与弧AB不相邻的弧所对的圆周角为：A. 60°B. 30°C. 120°（正确答案）D. 150°已知在⊙O中，弦CD平行于直径AB，若⊙CAB=40°，则⊙DCA为：A. 40°（正确答案）B. 50°C. 60°D. 70°在⊙O中，若一条弦将圆周分为3:1的两段弧，则这条弦所对的较小的圆周角为：A. 30°B. 45°（正确答案）C. 60°D. 90°已知在⊙O中，弧BC所对的圆心角为80°，则弧BC所对的优弧所对的圆周角为：A. 80°B. 100°（正确答案）C. 120°D. 160°在⊙O中，若弦EF垂直于半径OA，且⊙EOF=50°，则⊙EFA为：A. 25°（正确答案）B. 50°C. 75°D. 100°已知在⊙O中，弦GH所对的圆周角有两种度数，且这两种度数的和为180°，若其中一种度数为70°，则另一种度数为：A. 70°B. 90°C. 110°（正确答案）D. 130°。

圆周角

练习
2.如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC，BD 把它的4个内角分成8个角，这些角中哪些相等？为什么?
练习
3.如图，OA,OB,OC,都是 O 的半径，∠AOB=2∠BOC . 求证：∠ACB =2∠BAC .
练习
4.如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗？有几种方法？与同学交流一下.
解：连接 OD，AD，BD， ∵ AB 是 ⊙O 的直径， ∴ ∠ACB =∠ADB =90°．在 Rt△ABC 中， BC =
=8（cm）
例题
如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm，∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长．
∵ CD 平分∠ACB， ∴ ∠ACD=∠BCD， ∴ ∠AOD=∠BOD ． ∴ AD=BD．
圆的性质综合
如图，已知AE 是圆O 的直径，△ABC 内接于圆O，AD⊥BC 于 D 交圆O于F．（1）求证：∠BAE =∠CAF．（2）若∠ACB =60°，CF =2，求圆O 的半径．（1）提示：连接EC （2）提示：连接OF，OC
总结
这节课我们学会了什么？
半圆（或直径）所对的圆周角是直角 90°的圆周角所对的弦是直径.
如图，四边形ABCD 为 ⊙O 的内接四边形；⊙O为四边形 ABCD的外接圆．
圆内四边形对角互补猜想：圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
对角互补
圆内四边形对角互补证明：
∴∠A＋∠ C＝ 180° 同理∠B＋∠D＝180°
圆的内接四边形的对角互补
圆内接四边形什么是圆内接多边形？怎么证明圆内接四边形对角互补？
练习如图，已知△ABC 内接于圆O，AB=AC，∠A=36°，CD 是圆 O 的直径，求∠ACD 的度数．答案：18°．

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A
B O
E
C 例3
D
例2：如图，若六边形：如图，若六边形ABCDEF是⊙O的内是的内接正六边形，接正六边形，则∠AED=________，， ∠FAE=_____，∠DAB=________，，， ∠EFA=____
F E
A
D O
B 例4
C
例3：如图，△ABC是⊙O的内接正三角：如图，是的内接正三角形，若P是AB上一点，∠BPC=____，是⌒上一点，，若M是BC上一点，则是⌒上一点， ∠BMC=____________ A
3.AB、AC为 3.AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使的两条弦，延长CA到 CA AD=AB，如果∠ADB=35° BOC的度数的度数。 AD=AB，如果∠ADB=35° ，求∠BOC的度数。
例1：如图，在五边形：如图，在五边形ABCDE是⊙O的内是的内接五边形，接五边形，则 ∠BOC=___________,∠ABE=_______ ∠ ___,∠ADC=___________∠ABC=____ ∠ ∠ ________
小结：小结：
圆周角与圆心角的关系圆周角的应用
P
O B M C
例5
的半径，例4：已知，OC是⊙O的半径，：已知，是的半径求证： ∠AOB=2∠BOC求证：∠ACB=2∠BAC ∠ 求证 ∠
内接于⊙ ，例5：已知如图，△ABC内接于⊙O，：已知如图，内接于 BC=12cm, ∠A=60,求⊙O的直径求的直径
例6：已知：如图，AB是⊙O的：已知：如图，是的直径，直径，弦CD⊥AB于E， ⊥ 于， Байду номын сангаасACD=30，AE=2cm,求DB的长，求的长
知识回顾如图,∠A ,∠A是的圆角。如图,∠A是⊙O的圆角。 (1)若 (1)若∠A=400,则∠BOC的度数为800 BOC的度数为 (2)若 (2)若∠B=200,∠C=250,则∠BOC的度数为 BOC的度数为 _____ 90
0
A O B C
1 、 100º的弧所对的圆心角等的弧所对的圆心角等_______，的弧所对的圆心角等，所对的圆周角等于_______。所对的圆周角等于。 2、一弦分圆周角成两部分，其中一部分、一弦分圆周角成两部分，是另一部分的4倍，则这弦所对的圆周角是另一部分的倍度数为_____________ 度数为
为直径，例7：如图，在⊙O中，AB为直径，：如图，中为直径 ⌒ ⌒ CB = CF,弦CG⊥AB，交AB于D，弦 ⊥ ，于，交BF于E 于求证：求证：BE=EC
例8：已知：△ABC中内接于圆：已知：中内接于圆 O，OA是半径，AD⊥BC于D, 是半径， ⊥ 于，是半径求证：求证：∠BAO=∠DAC ∠