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空间向量高考题

1. 如下图 , 在长方体 ABCD— A1 B1C1 D1中, 已知 AB=4, AD=3, AA1=

2. E、F 分别是线段AB、BC上的点 , 且 EB=FB=1.

（Ⅰ）求二面角C— DE—C1的正切值 ; （Ⅱ）求直线 EC1与 FD1所成角的余弦值 .

、如图四棱锥 P—ABCD中底面 ABCD为矩

形AB AD

,

侧面 PAD为等

边

2 .,,, =8,=4三角形 , 并且与底面所成二面角为60°.

（Ⅰ）求四棱锥P— ABCD的体积 ;（Ⅱ）证明PA⊥BD.

4、如图，α⊥β，α ∩β＝l ，∈α，∈β，点

A

在直线 l 上的射影为

1

，点

A B A

B 在直线l 上的射影为1，已知＝，1，

1

＝，求：

B AB 2AA=1BB

（Ⅰ）直线 AB分别与平面α，β所成的角的大小；（Ⅱ）二面角A1－AB－ B1的大小 .

证∵α⊥β，α∩β=l ， AA1⊥l ， BB1⊥l ，∴AA1⊥β，BB1⊥α ，

则∠ BAB1，∠ ABA1分别是 AB与α和β所成的角 .

Rt△BB1A 中， BB1=，AB=2，∴ sin∠BAB1=，

∴∠ BAB1=45°.

Rt△AA1B 中， AA1=1，AB=2，

∴sin ∠ABA1=，∴∠ ABA1=30°.

故 AB与平面α，β所成的角分别是45°， 30°.

( Ⅱ) 如图，建立坐标系，则A1（ 0， 0， 0）， A（0，0， 1）， B1（0，1，0）， B （，1，0）.

在 AB上取一点 F（x，y，z），则存在 t ∈R，使得=t，

即（ x，y，z－1）=t() ，∴点 F 的坐标为 (t ，t ，1－ t).

要使，须=0，即（，t ，1－t ）·（，1，－1）=0，

2t+t－(1 －t)=0 ，解得 t=，∴点 F 的坐标为 () ∴().

1

）. ∴

设 E 为 AB 的中点，则点 E 的坐标为（ 0，

又

∴，∴∠A1FE为所求二面角的平面角.

又 cos∠A1FE=

∴二面角A1－ AB－B1的大小为 arccos.

5、如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点。（ I ）证明： ED为异面直线与的公垂线；（II）设求二面角的大小

（Ⅰ）如图，建立直角坐标系其中原点为的中点。

设则

又=(-2a,0,2c)

, ∴ED⊥AC1所以是异面直线与的公垂线。

（Ⅱ）不妨设

则

，

，即，又，

面又，

，

，即，又

，

面

，即得和的夹角为，所以二面角为

6、已知四棱锥 P－ABCD的底面为直角梯形， AB∥DC，底面ABCD，

且 PA=AD=DC=AB=1，M是 PB的中点。

（Ⅰ）证明：面 PAD⊥面 PCD；（Ⅱ）求 AC与 PB所成的角；（Ⅲ）求面 AMC

与面 BMC所成二面角的大小。

证：因为 PA⊥AD，PA⊥AB，AD⊥AB，以 A 为坐标原点， AD长为单位长度，

如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,).

(I) 证明：因=(0,0,1),=(0,1,0),故·=0, 所以 AP⊥DC.

又由题设知 AD⊥DC，且 AP与 AD是平面 PAD内的两条相交直线，由此得 DC⊥

面PAD。

又 DC在面 PCD上，故面 PAD⊥面 PCD.

（ II ）解：因=(1,1,0),=(0,2,-1),

故||=，||=，·=2，所以

cos<·>==

由此得 AC与 PB所成的角为 arccos

（III ）解：在 MC上取一点 N(x,y,z), 则存在λ∈R，使

=λ，

=(1-x,1-y,-z),=(1,0,-), ∴x=1- λ,y=1,z=λ .

要使 AN⊥MC只需·=0, 即 x- z=0, 解得λ=.

可知当λ=时,N点坐标为(,1,), 能使·=0.

此时 ,=( ,1,),=( ,-1,), 有·=0.

由·=0,·=0 得 AN⊥MC,BN⊥MC.所以∠ ANB为所求二面角的平面角 .

∵||=,||=,·=-

∴cos<,>=故所求的二面角为arccos(-).

7、如图，四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD为矩形， PD⊥底面 ABCD，AD=PD，

E、 F 分别为 CD、PB的中点。

（Ⅰ）求证： EF⊥平面 PAB；（Ⅱ）设 AB=BC，求 AC与平面 AEF所成的角的大小。

证：以 D为坐标原点， DA的长为单位，建立如图所示的直角坐标系 .

（Ⅰ）证明：

设 E（a，0，0）其中 a>0，则 C（ 2a，0，0）， A（0，1，0）B（2a， 1， 0）， P （ 0， 0， 1）， F（a，，）.

=（0，，），=（2a，，=（ 2a， 0， 0）。

·=0，∴ EF⊥PB.

·=0，∴ EF⊥AB

又 PB 平面 PAB，AB 平面 PAB，PB∩AB=B.

∴EF⊥平面

PAB.

（Ⅱ）解：由 AB= BC，得 a=.

可得=（，-1，0），=（，

cos<·>==,

异面直线 AC、PB所成的角为 arccos.

=（，-，）.

∴·=0,PB⊥AF.

又 PB⊥EF， EF、 AF为平面 AEF内两条相交直线 ,即 AC与平面 AEF所成的角为 arcsin.