(导学案)8.1认识不等式

第8章 一元一次不等式
8.1 认识不等式
【教学目标】
知识与技能
1.能够从现实问题中抽象出不等式，理解不等式的意义，会根据给定条件列不等式.
2.正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.
3.理解不等式的解的意义，能举出一个不等式的几个解并且会检验一个数是否某个不等式的解.
过程与方法
经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感和数学化的能力，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性.
情感态度与价值观
使学生产生独立克服困难、运用知识解决问题的成功体验，树立学好数学的自信心；在独立思考的基础上，积极参与讨论，在合作交流中有一定收获. 【教学重点】
能够从现实问题中抽象出不等式，理解不等式的意义，会根据给定条件列不等式. 【教学难点】
理解不等式的解的意义，能举出一个不等式的几个解并且会检验一个数是否某个不等式的解. 【教学过程】
（一）创设情境，引入新知
设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实．基于此,设置如下情境:
情境1：如图，天平左盘放三个苹果，右盘放200克砝码，天平倾斜.设每个苹果的质量为x 克，怎样表示x 与200
先引导学生独立思考、合作交流，再根据情况出示思考题：
1．天平左边的三个苹果的总质量如何用含x的代数式表示？
2．天平哪边重？
3．应该用怎样的符号才能把表示天平左右两边的代数式连接起来？
答案：3x＞200,或200＜3x.
由实际问题入手，既体现数学知识的实用性，又激发学生的学习兴趣.
情境2:如图,小明与小聪玩跷跷板,大家都不用力时,跷跷板左低右高.小明体重50千克,小聪体重a千克,小聪背的书包重2千克,小明没有背书包.怎样表示a与50之间的关系呢?
在上个情境的启发下，学生分组讨论后可以很快得到答案：a+2＞50,或50＜a+2.
通过上面两个实例,学生们切实经历了不等式的产生过程,体验到不等式是由于表示不等关系的需要而产生的数学模型.
接着师生互动进行归纳：
引导学生思考:上面的4个式子:3x＞200，200＜3x,a+2＞50，50＜a+2.
有什么共同特征?它们是等式吗?
目的是引导学生回忆等式的概念，类比得出不等式的概念：
用不等号“<”或“>”表示不等关系的式子，叫做不等式（inequality）.
教师顺势引出本节课题：§8.1认识不等式
同时告诉学生：“≠”、“≥”、“≤”也是不等号,并利用下表加深印象.
常见不等号的读法和意义：
票价 每张票5元;一次购票满30张，每张票4元.
通过以上探索，学生很自然地理解了不等式的意义及常见的不等号的读法和意义，本节重点和难点都得到了初步突破.
（二）深入思考，再探新知
情境3：春光明媚的一天，某班的27名同学到世纪公园游园.
全班同学都被这个富有挑战性的问题深深吸引，个个摩拳擦掌、跃跃欲试，全身心投入探索活动.
教师出示如下问题序列：
问题1：小方和小敏两人的建议，到底谁的比较合算呢？为什么?
同学们的探索过程如下:
小方：买27张票，付款：5×27=135(元); 小敏：买30张票，付款：4×30=120(元). 显然
120<135.
这就是说，买30张票比买27张票付款要少，表面上看是“浪费”了3张票，而实际上节省了.
问题2: 我们只用120元就买了30张票，买30张票，我们不仅省钱，而且多买了票，那么剩下的3张票如何处理呢？
刹那间,同学们畅所欲言，相互启迪，有的说：“卖掉”,有的说：“到售票处退掉”,有的说：“送给经济困难的学生或者门外的其它游客”……发散性思维训练和思想教育水到渠成.
问题3：买30张票比买27张票付的款还要少，这是不是说任何情况下都是多买票反而花钱少？
如果你们一家三口去游园，是不是也买30张票呢？
为什么去的人少了,买30张票就不合算呢？
问题4：
至少要有多少人去参观，多买票反而合算呢？能否用数学知识来解决？
教师先指出：设有x人要去公园游园.
此时重点启发学生从以下两方面探索，渗透分类思想.
（1）如果x≥30，则按实际人数买票，每张票只付4元.
（2）如果x＜30，那么：按实际人数买票x张,要付款5x元；
买30张票,要付款4×30＝120(元).如果买30张票合算，则120＜5x.
问题5:x取哪些数值时,120＜5x成立？
为便于思考,让学生借助表格进行探究.引导学生有目的地讨论、探索，表内和表下画横线部分都由学生自主完成.
列表计算：
由上表可见，当x= 25，26,27，28，29……时，也就是说，至少要有 25 人进公园时，买30张票合算.
接着借助学生完成的表格，引导学生观察最后一列，分析、讨论：
X的值可以分为哪几类？
学生很快发现X的值分两类：一类使120＜5x不成立，一类使120＜5x成立.
进一步引导学生类比方程的解的概念概括出不等式的解的概念：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解（solution of inequality）.
（三）典例示范，应用新知
例1用不等式表示下列关系，并写出两个满足不等式的数：
（1）x的一半小于－1；
（2）y与4的和大于0.5；
（3）a是负数；
（4）b是非负数.
这是教材第42页的例题，前3个小题,让学生独立思考,教师个别指导完成后,让学生点评.重点启发变式最后一个小题并给出规范的书写过程，如把“b是非负数”变式为“b是负数”、“b是正数”,“b是非正数”等,让学生反复体味不等号的用法和意义.
解：（1）0.5x<-1,如x=-3,-4;
（2）y+4>0.5,如y=0,1;
（3）a<0，如a=-3,-4；
（4）b是非负数，就是b不是负数，它可以是正数或零，即b>0或b=0，通常可以表示成b≥0，如b=0,2.
然后启发学生归纳出:
1.列不等式的基本步骤:
（1）确定不等式两边的代数式.
（2）根据所给条件中的关系，选择合适的不等号. （顺利突出本节重点）
2.常用的表示不等关系的词语及对应的不等号:
通过归纳，加深对不等号的用途和意义的理解，第一个难点再次突破.
例2下列各数:0，－3，3，4,－0.5，－20 ,－0.4中, 是方程x+3=0的解； 是不等式x+3＞0的解； 是不等式2x+3＜x 的解. 此例是为突出重点和难点而增加的题目，体现创造性地拓宽、使用教材.
通过判断这几个数是否方程x+3=0的解,启发学生类比得出:检验一个数是否不等式的解的方法:把所给的数值分别代入不等式的两边，化简后，观察不等式是否成立，成立者即为不等式的解，否则不是.
(第2个难点又一次顺利突破.)
答案：0，－3，3，4,－0.5，－20,－0.4中,－3是方程x+3=0的解； 0，3，4,－0.5,－0.4是不等式x+3＞0的解；-20是不等式2x+3＜x 的解. （四）闯关检测，强化新知
第一关:请同学们做扳手腕游戏,比比谁的力气大!! 目的是通过亲身体验感悟不等式的魅力,活跃课堂气氛. 第二关:下列各式中的不等式有 个.
(1)8＜9； (2)a+b=0； (3)a 2
+1＞0； (4)3x-1≤x ； (5)x-y ≠1； (6)3-x=0； (7)4-2x ； (8)x 2
+y 2
＞0. 目的是强化本节重点，检测学生识别不等式的水平.答案:5. 第三关:
下列各数中是不等式5x-1＞0的解的有 个. -9，0，-2，3，1.5，-2.5，7，12.
目的是考查学生检验不等式的解的能力.答案:4.
第四关:用“＜”或“＞”填空:
（1）7 3；
（2）7+3 4+3；
（3）7+（-1） 4 +（-1）；
（4）7×3 4×3；
（5）7×（-3） 4×（-3）
（6）7÷（-3） 4 ÷（-3）.
第五关:火眼金睛,下列说法中，哪些是正确的？哪些是错误的？请把错误的加以改正.
（1）“2x与1的和是负数”用不等式表示为：2x+1＜0；
（2）“a与b的差是非负数”用不等式表示为：a-b＞0；
（3）“a的2倍与4的差不小于5”用不等式表示为：2a-4＞5；
（4）“x的相反数与3的和是正数”用不等式表示为：3-x＞0.
解:（1），（4）正确；（2）（3）错误,改正如下：
（2）因为非负数即≥0,可改为:a-b≥0；（3）因为不小于5即≥5,可改为:2a-4≥5.
此题旨在帮助学生充分辨析“负数”、“非负数”、“不小于”等关键词.
第六关:备用，供学有余力的同学选用.
1.生活中不等式的应用随处可见,请你说出下列标志表示的含义,并用不等式表示:
其中:宽度、高度、重量、速度分别用L、H、G、V表示.
2.请给x+3＞5创作一个实际情景或故事，使它成立.
（五）反思盘点，整合新知(6分钟)
通过本节课的学习你有什么收获？取得了哪些经验教训?还有哪些问题需要请教？
方法:先放手让学生独立归纳,写出反思总结,在小组交流后，选代表在全班发言,老师根据情况完善如下：
两个概念：不等式、不等式的解.
三种思想：建模思想、类比思想、分类思想.
四个注意：一要注意“负数”、“非负数”、“不大于”、“不小于”等关键性词语的含义.
二要注意仔细审题,正确列出不等式.
三要注意检验一个数是否某个不等式的解的方法.
四要注意观察生活,让数学更多地服务社会.
（六）精选作业，拓展新知。