广东省中山市普通高中高考数学三轮复习冲刺模拟试题： (8)

高考数学三轮复习冲刺模拟试题08数列02三、解答题1．已知A(,)，B(,)是函数的图象上的任意两点（可以重合），点M 在 直线上，且. （1）求+的值及+的值 （2）已知，当时，+++，求； （3）在（2）的条件下，设=，为数列{}的前项和，若存在正整数、，使得不等式成立，求和的值.2．设等差数列的首项及公差d 都为整数，前n 项和为S n .（1）若，求数列的通项公式；（2）若 求所有可能的数列的通项公式.3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知122()n n a S n N *+=+∈.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)在n a 与1n a +之间插入n 个数,使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列,设数列1n d ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩的前n 项和n T ,证明:1516n T <.4．已知数列{a n }中,a 1=1,若2a n+1-a n =）2n ）（1n （n 2-n ++,b n =a n -）1n （n 1+(1)求证:{ b n }为等比数列,并求出{a n }的通项公式; (2)若C n =nb n +）1n （n 1+,且其前n 项和为T n ,求证:T n <3.5．已知数列{}n a 的前n 项和11()22n nn S a -=--+(n 为正整数)(Ⅰ)令2nn n b a =,求证:数列{}n b 是等差数列,并求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)令121,n n n n n C a T C C C n +==+++L ,试比较n T 与521nn +的大小,并予以证明6．已知数列}{n a 满足()2,34,3,1*1121≥∈-===-+n N n a a a a a n n n ,(1)证明:数列}{1n n a a -+是等比数列,并求出}{n a 的通项公式 (2)设数列}{n b 的前n 项和为n S ,且对任意*N n ∈,有1222211+=+++n na b a ba b nn Λ成立,求n S7．设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =，131n n a S +=+，n *∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n T 为数列{}n na 的前n 项和，求n T ．8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2-a n ，n=1，2，3，…（1）求数列{a n }的通项公式；（4分）（2）若数列{b n }满足b 1=1，且b 1+n =b n +a n ，求数列{b n }的通项公式；（6分） （3）设C n =n （3- b n ），求数列{ C n }的前n 项和T n 。

（6分）9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且*22()n n S a n N =-∈,数列{}n b 满足11b =,且点*1(,)()n n P b b n N +∈在直线2y x =+上.(Ⅰ)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (Ⅱ)求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n D ; (Ⅲ)设22*sincos ()22n n n n n c a b n N ππ=⋅-⋅∈,求数列{}n c 的前2n 项和2n T . 10．对n∈N ∗不等式⎪⎩⎪⎨⎧+-≤>>n nx y y x 2,0,0所表示的平面区域为D n ,把D n 内的整点(横坐标与纵坐标均为整数的点)按其到原点的距离从近到远排成点列(x 1,y 1),(x 2,y 2),⋯,(x n ,y n ),求x n ,y n ;(2)数列{a n }满足a 1=x 1,且n≥2时a n =y n 2).111(212221-+++n y y y Λ证明:当n≥2时, 22211)1(n n a n a n n =-++;(3)在(2)的条件下,试比较)11()11()11()11(321na a a a +⋅⋅+⋅+⋅+Λ与4的大小关系.11．数列{a n }满足4a 1=1,a n-1=[(-1)n a n-1-2]a n (n≥2),(1)试判断数列{1/a n +(-1)n}是否为等比数列,并证明;(2)设a n 2∙b n =1,求数列{b n }的前n 项和S n .12．已知12a =,点1(,)n n a a +在函数2()2f x x x =+的图象上,其中1,2,3n =L(1)证明数列{}lg(1)n a +是等比数列;(2)设12(1)(1)(1)n n T a a a =+⋅+⋅⋅+L ,求n T 及数列{}n a 的通项; (3)记112n n n b a a =++,求数列{}n b 的前n 项和n S .13．设数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足n S =2-n a ，(n =1，2，3，…)(Ⅰ)求数列{n a }的通项公式；(Ⅱ)若数列{n b }满足1b =1，且1n n n b b a +=+，求数列{n b }的通项公式； (Ⅲ)2)b -n(3n =n c ,求n c 的前n 项和nT14．（本小题满分14分）已知数列{a n }的前n 项和)(2)21(*1N n a S n n n ∈+--=-，数列{b n }满足n n n a b 2=.（1）求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； （2）设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n a n n 1的前n 项和为T n ，证明：*N n ∈且3≥n 时，125+>n n T n ； （3）设数列{c n }满足n c a n n n n λ1)1()3(--=-（λ为非零常数，*N n ∈），问是否存在整数λ，使得对任意*N n ∈，都有n n c c >+1.参考答案三、解答题1.解：（Ⅰ）∵点M在直线x=上，设M.又＝，即，，∴+=1.①当=时，=，+=；②当时，，+=+===综合①②得，+.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当+=1时, +∴，k=.n≥2时，+++，①，②①＋②得，2=-2(n-1),则=1-n.当n=1时，=0满足=1-n. ∴=1-n.（Ⅲ）==，=1++=..=2-，=-2+=2-，∴，、m为正整数，∴c=1，当c=1时，，∴1<<3， ∴m=1.2.解：（Ⅰ）由又 故解得因此，的通项公式是1，2，3，…，（Ⅱ）由 得即由①+②得－7d <11，即由①+③得, 即,于是又，故.将4代入①②得又，故所以，所有可能的数列的通项公式是 1，2，3，….3.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知122()n n a S n N *+=+∈.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)在n a 与1n a +之间插入n 个数,使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列,设数列1n d ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩的前n 项和n T ,证明:1516nT <. 【D 】18．解(Ⅰ)由122(n n a S n +=+∈N *)得122(n n a S n -=+∈N *,2n ≥),两式相减得:12n n n a a a +-=, 即13(n n a a n +=∈N *,2n ≥),∵{}n a 是等比数列,所以213a a =,又2122,a a =+ 则11223a a +=,∴12a =,∴123n n a -=g(Ⅱ)由(1)知123n n a +=g ,123n n a -=g∵1(1)n n n a a n d +=++ , ∴1431n n d n -⨯=+,令123111n T d d d =+++1nd +, 则012234434343n T =++⨯⨯⨯+1143n n -++g ① +⋅+⋅=2134334231n T 114343n n n n -+++g g ② ①-②得01222113434343n T =+++g g g 1114343n n n -++-g g 111(1)111525331244388313n n nn n --++=+⨯-=--g g 11525151616316n n n T -+∴=-<g4.解:(1)21)1(1)2)(1(1)2)(1(222)1(1)2)(1(111=+-++-++-+=+-++-=++n n a n n n n n n a n n a n n a b b n n n n nn ----6∴{b n }为等比数列, 又Θb 1 =21, q=21∴n n b )21(=---------------------7 (2)由(1)可知)1(12++=n n n C nn ∴)1(13212112232221132++---+⨯+⨯++---+++•=n n n T n n ∴311223<+-+-=n n T n n ------------------------135.解:(I)在11()22n n n S a -=--+中,令n=1,可得1112n S a a =--+=,即112a = 当2n ≥时,21111111()2()22n n n n n n n n n S a a S S a a ------=--+∴=-=-++，, 11n 1112a (),212n n n n n a a a ----∴=+=+n 即2.112,1,n 21n n n n n n b a b b b --=∴=+≥-=Q n 即当时，b .又1121,b a ==∴数列}{n b 是首项和公差均为1的等差数列.于是1(1)12,2n n n n n nb n n a a =+-⋅==∴=.(II)由(I)得11(1)()2n n n n c a n n +==+,所以①②由①-②得11111[1()]133421(1)()122212332n n n n nn n n T -++-+=+-+=--+∴=-535(3)(221)3212212(21)n n n n n n n n n T n n n ++---=--=+++于是确定521n nT n +与的大小关系等价于比较221nn +与的大小由可猜想当322 1.nn n ≥>+时，证明如下: 证法1:(1)当n=3时,由上述验算显示成立. (2)假设1n k =+时所以当1n k =+时猜想也成立综合(1)(2)可知,对一切3n ≥的正整数,都有22 1.nn >+证法2:当3n ≥时,综上所述,当1,2n =时521n n T n <+,当3n ≥时521n nT n >+6.解:(1)由1134-+-=n n n a a a 可得2),(31211=--=--+a a a a a a n n n n ,}{1n n a a -∴+是以2为首项,3为公比的等比数列 112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=∴---Λ113131)31(2--=+--=n n(2)1=n 时,3,3,31111===S b a b 2≥n 时,1322,2)12(12-⨯===--+=n n n n nn na b n n na b 12323323223-⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+=n n n S Λ1)3333231(21210+⨯++⨯+⨯+⨯=-n n Λ设12103333231-⨯++⨯+⨯+⨯=n n x Λ则n n n n x 33)1(33323131321⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=-Λ2133)333(32021--⨯=+++-⨯=--n nn n nn n x Λ23321+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n S综上,23321+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n S 7.解：（Ⅰ）由题意，131n n aS +=+，则当2n ≥时，131n n a S -=+.两式相减，得14n n a a +=（2n ≥）. ……………………………………………2分 又因为11a =，24a =，214a a =，……………………………………………4分 所以数列{}n a 是以首项为1，公比为4的等比数列，……………………5分所以数列{}n a 的通项公式是14n n a -=（n *∈N ）. ………………………………6分 （Ⅱ）因为2112323124344n n n T a a a na n -=++++=+⨯+⨯++⋅L L ， 所以2314412434(1)44n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅L ， ……………………8分两式相减得，2114314444414nn nn n T n n ---=++++-⋅=-⋅-L ， ………11分整理得，311499n n n T -=⋅+ (n *∈N ). ………………………………13分 8. （1）a 1=S 1=11分 n ≥2时，S n =2-a n1分S 1-n =2-a 1-n1分a n =a n +a 1-n 2a n = a 1-n∵a 1=11-n n a a =21 1分∴a n =(21)1-n 1分（2）b 1-n -b n =（21)1-n1分⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=-=-=---21123012)21()21()21(n n n b b b b b b1分∴b n -b 1=(21)+……+（21)2-n =2112111---n1分=2-221-n∴b n =3-221-n 1分 ∵b 1=1 成立1分∴b n =3-（21)2-n （3）C n =n （21)2-n 1分T n =1×（21)1-+2（21)0+……+n （21)2-n21 T n =1×（21)0+……+(n-1) （21)2-n +n （21)1-n =2+2112111---n -n （21)1-n =2+2-（21)2-n -n （21)1-n∴T n =8-321-n -22-n n =8-222-+n n9. 【解】(Ⅰ)当1=n ,21=a当2≥n 时,1122n n n n n a S S a a --=-=-∴ 12(2)n n a a n -=≥,∴{}n a 是等比数列,公比为2,首项12a =∴2nn a =又点*1(,)()n n P b b n N +∈在直线2y x =+上,∴ 12n n b b +=+,∴{}n b 是等差数列,公差为2,首项11=b ,∴21n b n =-(Ⅱ)∴(21)2nn n a b n ⋅=-⨯∴1234112325272(23)2(21)2n nn D n n -=⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯+-⨯L L ①23451212325272(23)2(21)2n n n D n n +=⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯+-⨯L L ②①—②得123411222222222(21)2n n n D n +-=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯--⨯L L1114(12)22(21)22(32)612n n n n n -++-=+⨯--⨯=---1(23)26n n D n +=-+(Ⅲ)2(21)n n c n ⎧=⎨--⎩ 为偶数为奇数n n21321242()()n n n T a a a b b b -=+++-++L L 21321222222[37(41)]23n n n n n +--=+++-+++-=--L L10.解:(1)当n=1时,(x 1,y 1)=(1,1)n=2时,(x 2,y 2)=(1,2) (x 3,y 3)=(1,3) n=3时,(x 4,y 4)=(1,4) n 时 (x n ,y n )=(1,n)1(*)n n x n N y n=⎧∴∈⎨=⎩(2)由2222212221222221111()123(1)11111(1)()(1)123n n n n a n n a a a n n n n n ++⎧=++++⎪-⎪∴-=⎨+⎪=++++⎪+⎩L L (3)当n=1时,11124,2n a +=<=时,12115(1)(1)244a a ++=⨯<成立由(2)知当n≥3时,1221(1)n n a a n n ++=+即2211(1)n n a n a n ++=+ 31212312311111111(1)(1)(1)(1)n n na a a a a a a a a a a a ++++++++=⋅⋅L L =311223411111(1)n n na a a a a a a a a a -++++⋅⋅⋅⋅+L =222212222123(1)2434(1)n n n a n n +-⋅⋅⋅⋅⋅+L =122222111122[1](1)23(1)n a n n n+⋅=++++++-L 2111111111(2)2[1(1)()()](1)12231n n n n n nn n<=-≥<+-+-++----QL=122(2)44n n-=-< 得证11.解:(1)由112(1)n n n a a -=-- 1111[(1)]2[(1)]n n n n a a --+-=--- 即111(1)2(*2)1(1)n nn n a n N n a --+-=-∈≥+-且 另:1111111(1)21(1)(1)2(1)2211(1)1(1)(1)n nn n n n n n nn n n n n a a a a a a a ---------+-+---===--++-+- 1(1)n n a ⎧⎫∴+-⎨⎬⎩⎭是首项为3公比为-2的等比数列 11111(1)3(2)3(2)(1)n n n n n na a ---+-=-∴=-+- (2)由21n n a b =112194621n n n nb a --∴==⋅+⋅+ 9(41)6(21)4121n n n S n --=++--=34629(*)n nn n N ⋅+⋅+-∈12. (Ⅰ)由已知212n n n a a a +=+,211(1)n n a a +∴+=+12a =Q 11n a ∴+>,两边取对数得 1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+,即1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+{lg(1)}n a ∴+是公比为2的等比数列.(Ⅱ)由(Ⅰ)知11lg(1)2lg(1)n n a a -+=⋅+1122lg3lg3n n --=⋅= 1213n n a -∴+=(*)12(1)(1)n T a a ∴=++n …(1+a )012222333=⋅⋅⋅⋅n-12 (32)1223+++=n-1…+2=n 2-13由(*)式得1231n n a -=-(Ⅲ)212n n n a a a +=+Q 1(2)n n n a a a +∴=+ 11111()22n n n a a a +∴=-+11122n n n a a a +∴=-+ 又112n n n b a a =++1112()n n n b a a +∴=- 12n S b b ∴=++n …+b 122311111112()n n a a a a a a +=-+-+-…+11112()n a a +=- 1221131,2,31n nn n a a a -+=-==-Q 22131nn S ∴=--.13.解: (Ⅰ)∵n=1时，a 1+S 1=a 1+a 1=2∴a 1=1∵S n =2-a n 即a n +S n =2 ∴a n+1+S n+1=2 两式相减：a n+1-a n +S n+1-S n =0即a n+1-a n +a n+1=0，故有2a n+1=a n ∵a n ≠0 ∴211=+n n a a (n ∈N *) 所以，数列{a n }为首项a 1=1，公比为21的等比数列.a n =1)21(-n (n ∈N *) b n -b 1=1+11232)21(22211)21(1)21()21()21(21----=--=++++n n n Λ又∵b 1=1，∴b n =3-2(21)n-1(n=1，2，3，…) (3)1-2n n n c =所以21211111222144222222n n n n n n n n n n n T T T -----+=-=++++-=--=-L 14.解：（1）在2)21(1+--=-n n n a S 中，令n=1，可得1121a a S n =+--=，即211=a 当2≥n 时，2)21(211+--=---n n n a S ，∴111)21(---++-=-=n n n n n n a a S S a ， ∴11)21(2--+=n n n a a ，即12211+=--n n n n a a .∵n n n a b 2=，∴11+=-n n b b ，即当2≥n 时，11=--n n b b . 又1211==a b ，∴数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 于是n n n a n n b 21)1(1==⋅-+=，∴n n n a 2=. （2）由（1）得n n n n a n n c )21)(1(1+=+=，所以n n n T )21)(1()21(4)21(321232++⋯+⨯+⨯+⨯= ① 1432)21)(1()21(4)21(3)21(221+++⋯+⨯+⨯+⨯=n n n T ② 由①－②得132)21)(1()21()21()21(121++-+⋯+++=n n n n T1112323)21)(1(211])21(1[411++-+-=+---+=n n n n n∴nn n T 233+-= )12(2)122)(3(125233125+--+=+-+-=+-n n n n n n n n T n n n n 于是确定T n 与125+n n 的大小关系等价于比较n2与2n+1的大小 由⋯⨯<+⨯<+⨯<+⨯<+⨯<;522;1422;1322;1222;11225432可猜想当3≥n 时，122+>n n .证明如下： 证法1：①当n=3时，由上验算显示成立. ②假设n=k+1时1)1(2)12(1)1(224)12(22221++>-+++=+=+>=+k k k k k g k k所以当n=k+1时猜想也成立综合①②可知，对一切3≥n 的正整数，都有122+>n n . 证法2：当3≥n 时1222)11(21101210+>+=+++≥++⋯+++=+=--n n C C C C C C C C C nn n n n n n n n n n n n n n 综上所述，当n=1,2时125+<n n T n ，当3≥n 时125+>n nT n（3）∵n n nnn nn a n c 2)1(3)1(311⋅-+⋅-+=--λλ ∴]2)1(3[]2)1(3[1111n n n n n n n n c c ⋅-+-⋅-+=--+++λλ02)1(3321>⋅--⋅=-n n n λ∴1123)1(--⎪⎭⎫⎝⎛<⋅-n n λ ①当n=2k －1，k=1,2,3,……时，①式即为2223-⎪⎭⎫⎝⎛<k λ ②依题意，②式对k=1,2,3……都成立，∴1<λ当n=2k,k=1,2,3,……时，①式即为1223-⎪⎭⎫⎝⎛->k λ ③依题意，③式对k=1,2,3……都成立， ∴23->λ ∴123<<-λ，又0≠λ ∴存在整数1-=λ，使得对任意*N n ∈有n n c c >+1.。