有理数
有理数的概念和定义
有理数的概念和定义
1、概念：有理数指整数可以看作分母为1的分数。
正整数、0、负整数、正分数、负分数都可
以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
有理数的小数部分是有限或循环小数。
不是有理数的实数遂称为无理数。
2、定义：有理数是整数(正整数、0、负整数和
分数的统称，是整数和分数的集合，即有理数的小数部分为有限或无限循环小数。
有理数与之对应的是无理数(不是有理数的实数
遂称为无理数)，其小数部分是无限不循环的数。
有理数是"数与代数”领域中的重要内容之一，
在现实生活中也有广泛的应用，是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。
第一讲 有理数的相关概念
第一讲有理数的相关概念【知识要点及巩固】一、有理数基本概念1、正数：像3、1、+0.33等的数，叫做正数。
在小学学过的数，除0外都是正数。
正数都大于0。
2、负数：像-1、-3.12、-2012等在正数前加上“-”（读作负）号的数，叫做负数。
负数都小于0。
0既不是正数，也不是负数。
如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。
注意：正数和负数是表示相反意义的量。
如：南为正方向，向南km3表示为km-。
31表示为km1+，那么向北km3、有理数：整数与分数统称为有理数。
4、无理数：无限不循环小数，如π。
5.有理数的分类：6.几个重要概念：注意：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数。
例1：判断下列说法正确与否⑴一个有理数不是整数就是分数（）⑵一个有理数不是正数就是负数（）⑶一个整数不是正的，就是负的（）⑷一个分数不是正的，就是负的（）例2：1、（2016山东德州）把下列各数填入表示相应集合的大括号中：-7.2，43，-9, 1.4，0, 3.14，π，5412，-2.5， 121121112.0，36整数集合{ } 正数集合{ } 分数集合{ } 有理数集合{ } 非正数集合{ } 负分数集合{ } 想一想：a +一定是正数吗？a -一定是负数吗？例3：（2014七中嘉祥）将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题： （1）在A 处的数是正数还是负数？ （2）负数排在A 、B 、C 、D 中的什么位置？（3）第2014个数是正数还是负数？排在对应于A 、B 、C 、D 中的什么位置？ 例4：（2014七中嘉祥）观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请根据你探索的规律接着写出后面的3个数，并尝试写出第100个数、第301个数。
1、6151-4131-211、、、、、-，_____,_______,_________，...；第100个数是_________，第301个数是________。
什么叫有理数,有理数的定义
有理数剖析1.什么是有理数有理数是整数和分数的统称，除了无限不循环小数以外的数都统称有理数。
它可分为整数和分数，也可分为正有理数，零，负有理数。
有理数是整数和分数的集合，但是一切有理数又都可以化成分数的形式，因为整数也可看做是分母为一的分数。
有理数的小数部分是有限或者无限循环的数。
不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。
2.有理数例子以下都是有理数：(1)自然数：数0,1,2,3,……叫做自然数.(2)正整数：+1,+2,+3,……叫做正整数.(3）整数：正整数、0、负整数统称为整数.(4）分数：正分数、负分数统称为分数.(5）奇数：不能被2整除的整数叫做奇数.如-3,-1,1,5等.所有的奇数都可用2n-1或2n+1表示,n为整数.(6）偶数：能被2整除的整数叫做偶数.如-2,2,4,8等.所有的偶数都可用2n表示,n为整数.(7）质数：如果一个大于1的整数,除了1和它本身外,没有其他因数,这个数就称为质数,又称素数,如2,3,11,13等.2是最小的质数.(8）合数：如果一个大于1的整数,除了1和它本身外,还有其他因数,这个数就称为合数,如4,6,9,15等.4是最小的合数.一个合数至少有3个因数.如3,-98.11,5.72727272……,7/22都是有理数.全体有理数构成一个集合,即有理数集,用粗体字母Q表示,较现代的一些数学书则用空心字母Q表示.有理数集是实数集的子集,即Q?R.相关的内容见数系的扩张.有理数集是一个域,即在其中可进行四则运算（0作除数除外）,而且对于这些运算,以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）：①加法的交换律 a+b=b+a；②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c；③存在数0,使 0+a=a+0=a；④乘法的交换律 ab=ba；⑤乘法的结合律 a(bc)=(ab)c；⑥乘法的分配律 a(b+c)=ab+ac.0a=0 一个数乘0还等于0.此外,有理数是一个序域,即在其上存在一个次序关系≤.0的绝对值还是0.有理数还是一个阿基米德域,即对有理数a和b,a≥0,b>0,必可找到一个自然数n,使nb>a.由此不难推知,不存在最大的有理数.值得一提的是有理数的名称.“有理数”这一名称不免叫人费解,有理数并不比别的数更“有道理”.事实上,这似乎是一个翻译上的失误.有理数一词是从西方传来,在英语中是（rational number）,而（rational）通常的意义是“理性的”.中国在近代翻译西方科学著作,依据日语中的翻译方法,以讹传讹,把它译成了“有理数”.但是,这个词来源于古希腊,其英文词根为（ratio）,就是比率的意思（这里的词根是英语中的,希腊语意义与之相同）.所以这个词的意义也很显豁,就是整数的“比”.与之相对,而“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数,而并非没有道理（无理数就是无限不循环小数,π也是其中一个无理数）.。
初中数学 什么是有理数
初中数学什么是有理数有理数是指可以表示为两个整数的比例的数，包括整数、分数和小数。
下面我将为你详细解释有理数的定义、性质和运算规则。
一、有理数的定义：有理数是指可以表示为两个整数的比例的数。
它们可以用分数形式表示，其中分子和分母都是整数，且分母不等于零。
二、有理数的性质：1. 有理数的加法和乘法封闭性：两个有理数的和或积仍然是有理数。
2. 有理数的加法和乘法结合律：对于任意三个有理数a、b和c，满足(a + b) + c = a + (b + c)和(a × b) × c = a × (b × c)。
3. 有理数的加法和乘法交换律：对于任意两个有理数a和b，满足a + b = b + a和a × b = b × a。
4. 有理数的加法和乘法的零元素：对于任意有理数a，满足a + 0 = a和a × 1 = a。
5. 有理数的加法的逆元素：对于任意有理数a，存在一个有理数-b，使得a + (-b) = 0。
6. 有理数的乘法的逆元素：对于任意非零有理数a，存在一个有理数1/a，使得a × (1/a) = 1。
三、有理数的运算规则：1. 有理数的加法：对于任意两个有理数a/b和c/d，其中a、b、c、d都是整数且b和d不等于零，它们的和可以通过分数的通分和分子相加得到：(a/b) + (c/d) = (ad + bc)/(bd)。
2. 有理数的减法：有理数的减法可以转化为加法，即(a/b) - (c/d) = (a/b) + (-c/d)。
3. 有理数的乘法：对于任意两个有理数a/b和c/d，它们的乘积可以通过分数的分子相乘和分母相乘得到：(a/b) × (c/d) = (ac)/(bd)。
4. 有理数的除法：有理数的除法可以转化为乘法，即(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c)。
有理数ppt课件
03
有理数的混合运算
顺序法则
总结词
在进行有理数的混合运算时，应遵循运算的顺序法则，即先进行乘除运算，再进 行加减运算。
详细描述
在数学中，有理数的混合运算需要遵循一定的顺序，即先进行乘除运算，再进行 加减运算。这是由于乘除运算是全域性的，而加减运算不是。因此，在进行混合 运算时，必须先完成乘除运算，然后再进行加减运算。
有理数的性质
总结词
有理数具有封闭性、有序性、可数性等性质。
详细描述
有理数具有封闭性，即有理数的四则运算结果仍为有理数。有理数具有有序性 ，可以比较大小和排列。有理数还具有可数性，即有理数集与自然数集之间存 在一一对应关系。
有理数在数学中的地位
总结词
有理数是数学中基本且重要的概念之一，是解决实际问题的重要 工具。
04
有理数的应用
在日常生活中的应用
80%
购物时找零钱
在购物时，我们经常使用到有理 数，如找零钱，计算折扣等。
100%
测量和计算
在日常生活中，我们经常需要进 行测量和计算，如长度、重量、 时间等，这些都需要用到有理数 。
80%
金融计算
在金融领域，如股票交易、保险 计算等，都需要用到有理数进行 计算。
有理数可以用于描述几何图形的长度、面积和体 积等属性。
有理数在数学中的未来发展
数学教育改革
01
随着数学教育的发展，有理数作为基础数学知识，将在数学教
育中得到更加广泛的重视和应用。
数学与其他学科的交叉
02
有理数作为数学的基础概念，将进一步与其他学科进行交叉融
合，促进跨学科的发展。
数学研究的新领域
03
随着数学研究的不断深入，有理数理论将进一步发展，并应用
有理数的定义
有理数的定义有理数是数学中的一个概念，包括整数和分数。
在数轴上，有理数是可以用有限或无限循环小数表示的数。
有理数可以表示为一个分子与一个非零分母之比。
下面将详细介绍有理数的定义及其性质。
有理数的表示有理数可以用分数的形式表示，分子是一个整数，而分母是一个非零整数。
例如，1/2、-3/4、5/1都是有理数。
有理数也可以用小数的形式表示，比如1.5、-0.75等。
有理数也可以用无限循环小数的形式表示，循环小数是指小数部分的某些数字循环出现。
例如，1/3可以表示为0.333…，其中3不断地循环出现。
同样地，1/7可以表示为0.142857142857…，其中142857不断地循环出现。
有理数的性质1. 有理数的加法和减法有理数的加法和减法遵循以下性质：•加法交换律：对于任意的有理数a和b，a + b = b + a。
•加法结合律：对于任意的有理数a、b和c，(a + b) + c = a + (b + c)。
•加法单位元：存在一个数0，使得对于任意的有理数a，a + 0 = a。
•加法逆元：对于任意的有理数a，存在一个数-b，使得a + b = 0。
2. 有理数的乘法和除法有理数的乘法和除法遵循以下性质：•乘法交换律：对于任意的有理数a和b，a * b = b * a。
•乘法结合律：对于任意的有理数a、b和c，(a * b) * c = a * (b * c)。
•乘法单位元：存在一个数1，使得对于任意的有理数a，a * 1 = a。
•乘法逆元：对于任意的有理数a（a ≠ 0），存在一个数1/a，使得a * (1/a) = 1。
3. 有理数的比较有理数的比较遵循以下性质：•反对称性：对于任意的有理数a和b，如果a > b，则b < a；如果a < b，则b > a；如果a = b，则b = a。
•传递性：对于任意的有理数a、b和c，如果a > b且b > c，则a > c。
什么是有理数
什么是有理数如果你曾经学过数学，你可能已经听说过有理数。
有理数是数学中的一个重要概念，它们贯穿于代数、几何和数论等多个数学分支中。
在本文中，我们将深入探讨什么是有理数，它们的性质以及它们在数学中的应用。
有理数可以简单地定义为可以表示为两个整数之比的数。
这里的整数包括正整数、负整数和零。
有理数可以用分数的形式表示，其中分子和分母都是整数。
例如，1/2、-3/4、7/1都是有理数。
需要注意的是，有理数的分母不能为零，因为在数学中除以零是没有定义的。
有理数具有一些特殊的性质。
首先，有理数的和、差、乘积和商仍然是有理数。
也就是说，对于任意两个有理数a和b，a+b、a-b、a*b和a/b仍然是有理数。
这一点可以通过分数的运算来直观地理解。
例如，如果我们将1/2和3/4相加，我们得到4/4，它可以简化为1，显然是一个有理数。
其次，有理数之间可以进行大小的比较。
两个有理数a和b可以通过比较它们的大小来确定它们的大小关系。
数线上有理数的大小是由它们在数轴上的位置决定的。
例如，对于两个有理数-1/2和1/2，我们可以看到它们分别位于-1和1之间的两个分区。
因此，我们可以说-1/2小于1/2。
这一点在数学中是非常有用的，可以用于比较和排序数值。
有理数还具有一个重要的性质，即可以通过有限或无限循环的小数表示。
我们可以将一个有理数表示为一个小数，这个小数要么是有限的，要么是无限循环的。
例如，1/3可以表示为0.3333...，其中小数部分无限循环。
同样地，2/5可以表示为0.4，这是一个有限循环。
这种表示法在实际应用中非常常见，例如在金融领域中的利率计算中。
有理数在数学中有广泛的应用。
首先，在代数中，有理数是解方程的基础。
大多数方程的解都可以用有理数表示，这种表示方式更加直观和简洁。
其次，在几何中，有理数可以用来表示长度、角度和面积等物理量。
这种表示方式在计算和测量中非常实用。
此外，在数论中，有理数是研究整数性质的基础，例如素数、质因数分解和最大公约数等。
有理数的概念
有理数的概念有理数是数学中的一个重要概念，指的是可以用两个整数的比例来表示的数。
在数学中，有理数包括整数、分数和小数。
有理数的概念对我们在日常生活中的计算和理解数字有着重要的意义。
本文将介绍有理数的定义及其性质。
一、有理数的定义有理数是指可以由两个整数的比例来表示的数。
它们可以用分数的形式表示，形如a/b，其中a和b都是整数，且b不等于0。
例如，2/3、-4/5、7/2都是有理数。
有理数可以是正数、负数或零。
二、有理数的性质1. 有理数的四则运算有理数的加法、减法、乘法和除法都能够应用于有理数。
例如，当我们对两个有理数进行加法运算时，只需将它们的分子相加，分母保持不变。
例如，1/2 + 1/3 = (1+1) / 2 = 2/3。
同样地，减法、乘法和除法也可按照相应的规则进行。
2. 有理数的比较我们可以利用有理数的大小来进行比较。
如果两个有理数的分数形式的分子和分母满足一定的大小关系，那么这两个有理数的大小关系也相同。
例如，2/3 > 1/2，因为2乘以2大于1乘以3。
3. 有理数的绝对值有理数的绝对值是该数到0的距离，总是非负的。
对于正数，它的绝对值等于这个数本身；对于负数，它的绝对值等于这个数去掉负号。
例如，|-5| = 5，|3| = 3。
4. 有理数的相反数有理数的相反数是指与其绝对值相等但符号相反的数。
例如，3的相反数是-3，-5的相反数是5。
有理数的相反数与原有理数相加等于0。
三、有理数在实际生活中的应用有理数在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在商业交易中，我们需要计算利润和亏损，这时就需要用到有理数的加法和减法运算。
在日常生活中，我们也常常使用有理数来表示时间、温度、海拔高度等。
有理数的概念帮助我们理解和处理这些实际问题。
总结：有理数是可以用两个整数的比例来表示的数，包括整数、分数和小数。
有理数的四则运算、比较、绝对值和相反数都有着相应的规则。
有理数在实际生活中有着广泛的应用。
有理数的一般性质
有理数的一般性质有理数是数学中一类重要的数，其包括整数、分数以及它们之间的运算结果。
有理数具有许多特点和性质，本文将介绍有理数的一般性质。
一、有理数的定义和表示方式有理数可以用分数的形式表示，即一个整数除以一个非零的整数，例如1/2、3/4等。
有理数还可以用小数表示，如0.5、0.75。
有理数的表示方式多种多样，能够通过分数与小数相互转换。
二、有理数的比较关系有理数的大小关系可以通过其对应的小数形式进行比较。
对于两个有理数a和b，如果它们对应的小数形式a'和b'中，a'大于b'，那么a 大于b；如果a'小于b'，那么a小于b；如果a'等于b'，那么a等于b。
通过小数的比较可以帮助我们更好地理解和运用有理数。
三、有理数的加法和减法性质有理数之间的加法和减法运算满足交换律、结合律和对称律。
即对于任意的有理数a、b和c，有以下性质：- 加法交换律：a + b = b + a- 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)- 加法对称律：a + (-a) = 0，其中- a表示a的相反数- 减法定义：a - b = a + (-b)四、有理数的乘法和除法性质有理数之间的乘法和除法运算也满足交换律、结合律和对称律。
对于任意的有理数a、b和c（其中b和c不为0），有以下性质：- 乘法交换律：a * b = b * a- 乘法结合律：(a * b) * c = a * (b * c)- 乘法对称律：a * (1/a) = 1，其中1/a表示a的倒数- 除法定义：a / b = a * (1/b)，其中b不为0五、有理数的分配性质有理数的加法和乘法之间满足分配律。
对于任意的有理数a、b和c，有以下性质：- 加法和乘法的分配律：a * (b + c) = a * b + a * c六、有理数的乘方性质有理数的乘方也具有一些特殊的性质。
有理数的定义及相关概念
拓展题
0是整数吗?自然数一定是整数吗?0一定是正整数 吗?整数一定是自然数吗?
2、下列说法正确的是（ ） A.正整数和正分数统称为正有理数。 B.正整数和负分数统称为整数。 C.正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 D.0不是有理数。
3、既不是正数又不是整数的有理数是（ ）
A.0和正分数
B.只有负分数
C.负整数和负分数
D.正整数和正分数
4、下列不是有理数的有（ ）
1、数集可以用大括号表示，也可以用圆圈表示。
2、一个数集内的数有无限多个时，我们不能全部写 出，要用“…”，如非负整数集{0，1，2，3，4…}。
3、一个数集内不能有两个一样的数。 4、所有的有理数组成的数集叫做有理数集；
那么，什么叫做整数集,正数集, 自然数集，非负 整数集?
知 1、把下列各数填入相应的集合
A.3.1415926 B.0
C.0.666……
D.π
5、下列说法错误的是（ A.自然数一定是有理数 C.自然数一定是非负数
） B.自然数一定是整数 D.整数一定是自然数
6．说出下列生活情景中用到的数所属的集合. ⑴摩托车的里程表上读出的数；
⑵中央电视台播放的天气预报中，播报各地的 气温所用到的数； ⑶老师批改试卷时用到的数； ⑷烤鸭店的柜台上的电子秤上读出的数； ⑸表示某关概念 整数和分数统称为有理数。
正整数、零和负整数统称为整数，正分数和 负分数统称为分数。
非负数：大于等于0的数叫非负数即a≥0 非正数：小于等于0的数叫非正数即a≤0
非正整数： 小于等于0的整数； 非负整数： 大于等于0的整数
2:数的分类
按定义来分
正整数
整数零
…0.…67
什么是有理数
什么是有理数有理数（Rational Number）是指可以表示为两个整数的比值的数，包括正有理数、负有理数和零。
在数学中，有理数是整数和分数的统称，是实际生活中最常见的一类数。
有理数的定义从数学的角度来看，有理数是由整数和分数组成的集合。
其中，整数是没有小数部分的数，可以是正数、负数和零。
而分数则由整数除以非零整数得到，它由分子和分母两部分构成，分子是整数，分母是非零整数。
有理数可以用分数形式、小数形式、百分数形式等方式表示。
有理数的特点1. 有理数之间可以进行四则运算，并仍然得到有理数。
例如，若a 和b是有理数，则a+b、a-b、a×b、a÷b（b≠0）仍然是有理数。
2. 有理数之间可以进行比较大小。
例如，若a和b是有理数，则a>b、a<b、a≥b、a≤b等比较关系成立。
3. 有理数的绝对值是非负数。
例如，若a是有理数，则|a|≥0。
4. 有理数的小数表示是有规律的。
有理数可以有有限位小数表示，也可以有无限循环小数表示。
5. 有理数集合是可数的。
也就是说，有理数可以一一对应到自然数集合或整数集合。
应用领域有理数在实际生活中应用广泛，尤其在计量、金融、科学等领域。
1. 计量：有理数常被用于度量和计数。
例如，衣物的尺码、食品的重量、长度的测量等都使用有理数。
2. 金融：有理数在金融领域中有着重要地位。
例如，利率、股票价格、货币兑换等都涉及到有理数的概念。
3.科学：科学中的各种测量过程都涉及到有理数的运用。
例如，物理学中的速度、力等大小都可以用有理数来表示。
4. 统计学：统计学中的各种数据分析都是以有理数为基础的。
例如，平均数、中位数、众数等都是基于有理数的计算。
总结有理数是一类可以表示为两个整数比值的数，包括正有理数、负有理数和零。
其特点是可以进行四则运算，并仍然得到有理数；可以进行大小比较；绝对值是非负数；小数表示有规律；集合可数。
有理数在计量、金融、科学等领域有广泛应用。
有理数和无理数
有理数和无理数
有理数和无理数分别指的是：
1、有理数：
有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。
整数也可看做是分母为一的分数。
不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。
2、无理数：
无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。
若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。
有理数和无理是“数与代数”领域中的重要内容之一，在现实生活中有广泛的应用，是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。
有理数的加法运算：
1、同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。
2、异号两数相加，若绝对值相等则互为相反数的两数和为0；若绝对值不相等，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
3、互为相反数的两数相加得0。
4、一个数同0相加仍得这个数。
5、互为相反数的两个数，可以先相加。
6、符号相同的数可以先相加。
7、分母相同的数可以先相加。
8、几个数相加能得整数的可以先相加。
有理数的知识点
有理数的知识点1. 有理数的定义有理数是可以表示为两个整数的比的数，形式为a/b，其中a和b是整数，且b不等于0。
有理数集合包括所有的整数、分数和它们的负数。
2. 有理数的性质- 封闭性：有理数集合在加法、减法、乘法和除法（除数不为零）下是封闭的。
- 有序性：任何两个有理数都可以比较大小，即对于任意两个有理数a 和b，总有a=b、a>b或a<b中的一种关系成立。
- 稠密性：任何两个有理数之间都存在另一个有理数。
3. 有理数的分类- 正有理数：大于0的有理数。
- 负有理数：小于0的有理数。
- 整数：分母为1的有理数，即形式为a/1的数。
- 分数：分子和分母都是整数，且分母不为1的有理数。
4. 有理数的运算规则- 加法：(a/b) + (c/d) = (ad + bc) / bd- 减法：(a/b) - (c/d) = (ad - bc) / bd- 乘法：(a/b) * (c/d) = (ac) / (bd)- 除法：(a/b) / (c/d) = (a/b) * (d/c) = (ad) / (bc)5. 有理数的简化通过约分，可以将有理数化为最简形式，即分子和分母没有公因数（除了1）。
6. 有理数的比较- 正有理数都大于0。
- 负有理数都小于0。
- 正有理数大于所有的负有理数。
- 两个负有理数比较大小，绝对值大的反而小。
7. 有理数的混合运算在进行有理数的混合运算时，应先乘除后加减，并注意括号的优先级。
8. 有理数的分数形式- 真分数：分子小于分母的分数。
- 假分数：分子大于或等于分母的分数。
- 带分数：一个整数和一个真分数的和，形式为a + b/c，其中a和c是整数，b是大于1的整数。
9. 有理数的实际应用有理数在日常生活中广泛应用，如计算价格、测量距离、统计数据等。
10. 有理数与无理数有理数与无理数是实数的两个子集。
无理数不能表示为两个整数的比，例如√2和π。
以上是有理数的主要知识点，理解和掌握这些知识点对于学习更高级的数学概念至关重要。
有理数43个知识点
有理数43个知识点一、有理数的概念。
1. 有理数的定义：整数和分数统称为有理数。
2. 整数的分类：正整数、0、负整数。
3. 分数的分类：正分数、负分数。
4. 有限小数是有理数：因为有限小数可以化为分数形式。
例如，0.5 = 1/2。
5. 无限循环小数是有理数：例如0.333… = 1/3。
二、有理数的数轴表示。
6. 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。
7. 有理数与数轴上的点的关系：每一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，但数轴上的点不都表示有理数（还有无理数）。
8. 数轴上数的大小比较：在数轴上，右边的数总比左边的数大。
三、相反数。
9. 相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
10. 0的相反数是0。
11. 求一个数的相反数：在这个数前面添上“ - ”号。
例如，5的相反数是 - 5。
12. 互为相反数的两个数的和为0：a+(-a)=0。
四、绝对值。
13. 绝对值的定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作a。
14. 正数的绝对值是它本身：例如5 = 5。
15. 负数的绝对值是它的相反数：例如3 = 3。
16. 0的绝对值是0。
17. 绝对值的非负性：a≥0。
18. 两个负数比较大小，绝对值大的反而小：例如5 > - 3，则 - 5<-3。
五、有理数的加法。
19. 有理数加法法则：- 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
例如，3 + 5 = 8，(-3)+(-5)= - 8。
- 异号两数相加，绝对值相等时和为0（互为相反数的两数相加得0）；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
例如，5+(-3)=2，(-5)+3 = - 2。
- 一个数同0相加，仍得这个数。
20. 加法交换律：a + b=b + a。
21. 加法结合律：(a + b)+c=a+(b + c)。
六、有理数的减法。
22. 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
有理数是什么
有理数是什么01有理数为正整数、负整数、正分数、负分数以及零的统称。
数学上，可以表达为两个整数比的数被定义为有理数。
有理数是“数与代数”领域中的重要内容之一，在现实生活中有广泛的应用，是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。
数学上，有理数是一个整数a和一个正整数b的比，例如3/8，通则为a/b。
0也是有理数。
有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为一的分数。
有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。
不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。
有理数集可以用大写黑正体符号Q代表。
但Q并不表示有理数，有理数集与有理数是两个不同的概念。
有理数集是元素为全体有理数的集合，而有理数则为有理数集中的所有元素。
词源有理数在希腊文中原意是“成比例的数”，英文取其意，以ratio为字根，在字尾加上-nal构成形容词，全名为rationalnumber，直译成汉语即是“可比数”。
对应地，无理数则为“不可比数”。
明末数学家徐光启和学者利玛窦翻译《几何原本》前6卷时的底本是拉丁文。
他们将这个词译为“理”，这个“理”指的是“比值”。
日本在明治维新以前，欧美数学典籍的译本多半采用中国文言文的译本。
日本学者将中国文言文中的“理”直接翻译成了理，而不是文言文所解释的“比值”。
后来，日本学者直接用错误的理解翻译出了“有理数”和“无理数”。
（文言文中理字没有比值的意思）当有理数从日本传回中国时又延续错误。
清末中国派留学生到日本，将此名词传回中国，以至现在中日两国都用“有理数”和“无理数”的说法。
可见，由于当年日本学者对中国文言文的理解不到位，才出现了今天的误译。
有理数
一、有理数1.大于0的数叫做正数；在正数前面加上负号的数就是负数，负数比0小；0，既不是正数，也不是负数。
2.整数是分数的特殊情况；整数可以看成是分母为1的分数；可以写成分数的数就是有理数。
3.有最大的负整数，有最小的正整数，有绝对值最小的数；没有最小的负数，没有最大的负数，没有最大的正数，没有最小的正数，没有最小的有理数，没有最大的有理数，没有绝对值最大的数。
4.0是正数与负数的分界。
在温度里0是一个确定的温度，0不仅仅表示“没有”，0没有倒数。
5.在同一问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。
6.所有的正整数组成正整数集合，所有负整数组成负整数集合；正整数、0、负整数统称为整数。
7.有理数原意为可以写成两个数的比的数。
（1：4，可以写作4分之1）。
8.规定了原点、正方向、单位长度的直线是数轴。
9.点a（a可以是正数、0、负数）与原点的距离就叫绝对值，记作，︳a ︳（绝对值只有可能是非负数）10.只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.11.正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.12.负数，绝对值越大的反而越小。
13.减去一个数，就等于加上它的相反数。
14.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
15.绝对值不相等的异号两数相加，去绝对值大的符号，并用绝对值较大的减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0.16.一个数与0相加，依然是这个数。
（先定符号，再算绝对值）17.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数乘0，都得0.18.乘积是1的两个数，互为相反数。
19.除以一个数等于乘上这个数的倒数。
20.求n个相同的乘数的积的运算，叫做乘方；它的结果叫做幂；1²中，1叫做底数，2叫做指数。
21.任何非0的数的0次方都是1.22.把一个大于10的数写成整数数位只有一位数的数，乘10的n次幂，就叫科学计数法。
23.只是接近实际的数，但还有误差的数叫近似数，24.从左边第一个非0的数字起，到末位数字止，中间所有的数字都是有效数字。
有理数的概念和运算法则
有理数的概念和运算法则一、有理数的概念1.有理数的定义：有理数是可以表示为两个整数比的数，包括正整数、负整数、0、正分数和负分数。
2.整数：正整数、负整数和0。
3.分数：正分数和负分数，分子和分母都是整数，且分母不为0。
4.真分数：分子小于分母的分数。
5.假分数：分子大于或等于分母的分数。
6.带分数：由一个整数和一个真分数组成的数。
二、有理数的运算法则1.加法法则：a.同号相加，取相同符号，并把绝对值相加。
b.异号相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
c.0加任何数等于任何数。
d.任何数加0等于任何数。
2.减法法则：a.减去一个数等于加上这个数的相反数。
b.减法可以转化为加法，即减去一个数等于加上这个数的相反数。
3.乘法法则：a.同号相乘，取相同符号，并把绝对值相乘。
b.异号相乘，取相反符号，并把绝对值相乘。
c.0乘任何数等于0。
d.任何数乘0等于0。
4.除法法则：a.同号相除，取相同符号，并把绝对值相除。
b.异号相除，取相反符号，并把绝对值相除。
c.除以0没有意义，除数不能为0。
5.乘方法则：a.正数的任何正整数次幂都是正数。
b.负数的任何正整数次幂都是负数。
c.正数的任何负整数次幂都是正数。
d.负数的任何负整数次幂都是正数。
e.0的任何正整数次幂都是0。
f.0的任何负整数次幂都没有意义。
三、有理数的混合运算1.运算顺序：a.先算乘方。
b.再算乘除。
c.最后算加减。
d.同级运算，从左到右依次进行。
e.如果有括号，先算括号里面的。
2.运算律：a.加法结合律：三个数相加，可以先算任意两个数的和，结果不变。
b.乘法结合律：三个数相乘，可以先算任意两个数的积，结果不变。
c.加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，结果不变。
d.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，结果不变。
e.分配律：一个数乘以两个数的和，等于这个数分别乘以这两个加数，然后把乘积相加。
四、有理数的应用1.化简：将复杂的分数或带分数化为简化形式。
什么是有理数
什么是有理数关于什么是有理数数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。
从这个意义上，数学属于形式科学，而不是自然科学。
不同的数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。
以下是小编整理的关于什么是有理数，欢迎大家分享。
有理数有理数，是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。
注意：有理数集可用大写黑正体符号Q代表。
但Q绝对不表示有理数。
因为有理数集与有理数是两个不同的`概念。
有理数集是元素为全体有理数的集合，而有理数则为有理数集中的所有元素。
无理数无理数，当中的“理”字其意为“比”，即不可用两整数相比之数，以呼应有理数。
有理数为可用两整数相比之数。
非有理数之实数，不能写作两整数之比。
若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
常见的无理数有大部分的平方根、π和e（其中后两者同时为超越数）等。
无理数的另一特征是无限的连分数表达式。
传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现。
他以几何方法证明√2（根号2）无法用整数及分数表示。
而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。
后来希伯斯触犯学派章程，将无理数透露给外人，因而被处死，其罪名竟然等同于“渎神”。
有理数内容（1）自然数：数0，1，2，3，……叫做自然数。
（2）正整数：+1，+2，+3，……叫做正整数。
（3）负整数：—1，—2，—3，……叫做负整数。
（4）整数：正整数、0、负整数统称为整数。
（5）分数：正分数、负分数统称为分数。
（6）奇数：不能被2整除的整数叫做奇数。
如—3，—1，1，5等。
所有的奇数都可用2n—1或2n+1表示，n为整数。
（7）偶数：能被2整除的整数叫做偶数。
如—2，0，4，8等。
所有的偶数都可用2n表示，n为整数。
（8）质数：如果一个大于1的整数，除了1和它本身外，没有其他因数，这个数就称为质数，又称素数，如2，3，11，13等。
有理数法则
有理数法则摘要：一、有理数概念介绍1.有理数的定义2.有理数的分类二、有理数运算规则1.加法法则2.减法法则3.乘法法则4.除法法则5.乘方与开方法则三、有理数的性质1.相反数性质2.绝对值性质3.零元素性质四、有理数应用举例1.实际问题中的应用2.数学问题中的应用正文：一、有理数概念介绍有理数是指可以用两个整数的比值来表示的数，其中包括正有理数、负有理数和零。
有理数可以写成p/q的形式，其中p和q是整数，且q不等于零。
根据有理数的定义，我们可以将有理数分为整数、正有理数、负有理数和零四类。
二、有理数运算规则1.加法法则：对于任意两个有理数a和b，a + b = (a × q1 + b × q2) / (q1 × q2)，其中q1和q2是不为零的整数。
2.减法法则：对于任意两个有理数a和b，a - b = (a × q1 - b × q2) / (q1 × q2)，其中q1和q2是不为零的整数。
3.乘法法则：对于任意两个有理数a和b，a × b = (a × q1) × (b × q2) / (q1 × q2)，其中q1和q2是不为零的整数。
4.除法法则：对于任意两个有理数a和b，若b不为零，则a / b = a × (q2 / q1)，其中q1和q2是不为零的整数。
5.乘方与开方法则：对于任意有理数a，a^n = (a^m)^n / (a^m)，a^(1/n) = √(a^(1/m))，其中m和n是正整数。
三、有理数的性质1.相反数性质：对于任意有理数a，其相反数为-a，满足a + (-a) = 0。
2.绝对值性质：对于任意有理数a，其绝对值为|a|，满足|a| = a (a > 0)，|a| = -a (a < 0)，|a| = a (a = 0)。
3.零元素性质：零元素是唯一的满足a + 0 = a，且a × 0 = 0的有理数。
有理数相关知识点
有理数相关知识点
1. 有理数是什么呀？嘿，就像生活中的各种人一样有不同的身份！比如1、2、3 这些整数，那就是很规矩的“老实人”；还有像这样的小数，就
像是个有点特别的“小可爱”。
在数学世界里，有理数可多了去了！
2. 有理数的分类懂不懂呀？可以分成整数和分数哦！这就好像把水果分成苹果和香蕉一样简单明了呀！整数就像苹果一箩筐，分数就像香蕉一串串。
比如 3 是整数，1/2 就是分数呀，是不是很清楚呢？
3. 有理数的运算有趣得很嘞！加加减减就像搭积木，一块一块往上垒。
比如说 2+3=5，就像两块积木和三块积木堆在一起变成五块积木一样。
好
神奇有没有！
4. 那有理数的乘法嘞？哎呀呀，就像开灯，一个开关控制一盏灯，几个有理数相乘就有几个开关一起控制。
像2×3=6，就像两个开关都打开，灯
就特别亮啦！
5. 有理数的除法也很有意思呀！可以想象成分蛋糕，被除数是蛋糕，除数是要分的份数。
比如6÷2=3，就是把一个大蛋糕分给两个人，每人得到
3 份呀。
6. 有理数还有相反数呢！这就像照镜子，一个数和它的相反数相对而立。
比如 3 的相反数是-3，就像你在镜子前，一个是真实的你，一个是镜子里的你呀！
7. 绝对值又是啥呢？嘿，这就好像给有理数量身高，不管正负，只看数值大小。
比如-5=5，5=5，就像不管是左边的还是右边的，只看高度有多少。
8. 有理数的大小比较也不难呀！正数比负数大，这还用说嘛！就像白天比夜晚亮堂堂呀！而且两个正数大的就更大，两个负数绝对值大的反而小。
这是不是很神奇嘞！
我觉得有理数就是数学世界里超级有趣的一部分，要好好去理解和掌握它呀！。
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有理数
分类
1）有理数正有理数正整数正分数0
负有理数负整数负分数 2）整数
正整数0负整数分数正分数负分数 3）非负数正数0
大于0的数叫做正数，在正数前面加上负号“−”的数叫做负数，0既不是正数也不是负数。
数轴
定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。
数轴三要素：原点（0），正方向（右箭头），单位长度（统一）。
一切有理数都能用数轴上的点表示。
数轴上的点表示数，从左到右越来越大。
相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
一个数的相反数大于它本身，则这个数是负数；若一个数的相反数等于它本身，则这个数是0。
绝对值
定义：一般的数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做数a的绝对值，记作|a|
一个正数的绝对值就是它本身。
一个负数的绝对值是它的相反数。
0的绝对值是0。
|a|
a （a>0）
0 （a=0）−a （a<0）
任何有理数的绝对值都是非负数。
|a|≥ 0 （a为有理数）
有理数大小比较
1）数轴比较法，右边的数大于左边的数。
2）直接比较法，正数>0，负数<0，正数>负数。
两个正数比大学，绝对值的的数大。
两个负数比大小，绝对值大的反而小。
有理数加减法
1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，用大绝对值减小绝对值。
3、互为相反数的两数相加得零。
4、一个数与0相加，仍得这个数。
加法运算律
1、加法交换律：a+b=b+a
2、加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）
有理数减法
减去一个数，等于加上这个数的相反数。
a−b=a+（−b）
有理数乘除法
1、乘法两数相乘，同号得证，异号得负，并把绝对值相乘。
乘积是1的两个数互为倒1）乘法交换律：ab=ba 2）乘法结合律：a（bc）=（ab）·c 3）乘法分配律：a （b+c）=ab+ac a·b+a·c=a·（b+c）
2、除法法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
a÷b=a×1
b 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
3、乘方求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。
在an中，a叫做底数，n叫做指数。
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0。
1 的任何次幂都是1，-1的奇次幂是-1，偶次幂是1。
对于10的n次方，n是几1后就有几个0。
对于0.1的n次方，n是几1前就有几个0。
科学计数法把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，，n是正整数），使用的是科学计数法。
近似数与实际数据还有差别，它是一个近似数。
有效数字数从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。