实变与泛函试题

实变部分

一、填空题

1. 设1

1,2,1,2,3,n A n n n ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦

则lim n A n →∞= 2. 设n E R ⊂，若E E '=(E '表示E 的导集)，则称E 为 3. 设P 为康托集，则P =，mP=

4. 设()f x 是R 上的实函数，若{}1()0,()n A x R f x A x R f x n ⎧⎫

=∈>=∈>⎨⎬⎩⎭，

则A 可用n A 表示为

5. 设E 为n R 中的点集，若对任意点集T 都有，则称E 为勒贝格可测集

6. 若()n mE f x →()0f x ⎡⎤=⎣⎦，则称{}()n f x 在E 上

7. 设{}()n f x 为E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 为E 上几乎处处有限

的可测函数，若对0σ∀>有，则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x 8. 设{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x ，则存在{}()n f x 的子列{}

()k n f x 使得 9. Fatou 引理叙述为：设p E R ⊆为可测集，{}()n f x 为E 上一列非负可测函

数列，则

10.设A 和B 分别是p R 和q R 中的可测集，则A B ⨯是p q R +的可测集，且

()m A B ⨯=

二、判断题

1、()f x 可表成一列简单函数的极限函数是()f x 可测的充分非必要条件

2、若mE=0，则E 为可数集

3、任意多个开集之交仍未开集

4、设()f x 勒贝格可积于可测集E ，若()f x >0，x E ∈,则()0E f x dx >⎰

5、几乎处处收敛的函数列必定依测度收敛 三、计算题

1、设E 为[]0,1上的全部有理点，求E 在R '内的,E E ' 和E

2、设2,()0,R x x Q

f x x Q

⎧∈⎪=⎨⎪∈⎩,则()f x 在[]0,1上是否勒贝格可积，若可积，求出其

积分值

3、设{}()n f x 为E 上的可积函数列，且lim ()()n n f x f x →∞

= a.e 于E ，又

()E

n f x dx k <⎰

k 为常数，则()f x 勒贝格可积

泛函部分

一、判断题

1、l ∞是可分的度量空间

2、任何度量空间都可以完备化

3、[],C a b 是第一纲的

4、设x 是赋范线性空间，则0n x x →→称为弱收敛

5、有限维赋范线性空间上任何两个范数等价

二、计算证明

1、设()21,2x R =∈，当P=1,2,4，计算p x

2、设(),x d 是度量空间，证明：{}n x x ∀<，都有

()()112231,(,)(,),n n n d x x d x x d x x d x x -≤+++

3、证明度量空间（x,d ）中柯西点列{}n x 是有界点列

4、设{}n x 是实内积空间X 中的点列，若()n x x n →→∞，且对一切y X ∈有,,()n x y x y n →→∞，证明()n x x n →→∞

5、对任何[]1,1f ∈-，定义泛函()10

01()()F f f t dt f t dt -=-⎰⎰，证明2F ≤