324分部积分法58917
《分部积分法》课件
02
分部积分法的计算步确定积分区间和积分变量，以 便确定被积函数。
VS
确定函数
根据题目要求，确定需要计算的函数。
确定分部函数和被积函数
分部函数的选择
根据被积函数的性质，选择适当的分部函数 。
被积函数的确定
根据题目要求和分部函数的性质，确定被积 函数。
计算积分结果
注意积分的范围和上下限
总结词
确定积分的范围和上下限是分部积分法中至关重要的 一步，错误的设定可能导致结果错误或无法计算。
详细描述
在应用分部积分法时，应根据函数的具体形式和积分的 原函数，准确设定积分的上下限，以避免计算中出现符 号错误或无法收敛的情况。同时，要注意上下限之间的 逻辑关系和连续性。
注意计算过程中的符号和单位问题
《分部积分法》ppt课件
目录 CONTENTS
• 分部积分法概述 • 分部积分法的计算步骤 • 分部积分法的实例解析 • 分部积分法的注意事项 • 分部积分法与其他积分方法的比较
01
分部积分法概述
分部积分法的定义
总结词
分部积分法是一种求解积分的方法， 通过将积分拆分为两个或多个部分的 乘积，再分别对各部分进行积分，最 终求得原积分的结果。
与直接积分法的比较
适用范围
直接积分法适用于简单的积分，如 $int x^n dx$；分部积分法适用于被 积函数为两个函数的乘积或商的情况 ，如$int frac{x^2}{x+1} dx$。
操作步骤
直接积分法是通过凑微分来完成的； 分部积分法是通过将被积函数拆分为 两个函数的乘积，然后分别积分，最 后相减来完成的。
与换元积分法的比较
适用范围
换元积分法适用于被积函数为复合函数或三角函数的情况；分部积分法适用于被积函数为两个函数的 乘积或商的情况。
分部积分
4．3 分部积分法 一、学习要求1．理解不定积分的分部积分法． 2．掌握分部积分公式.3．熟悉在不定积分计算中一般使用分部积分法的被积函数类型． 二、疑难解析 （一）基本概念1．分部积分的概念所谓分部积分法，是指当不定积分不宜直接求出原函数时，先将其中一部分先“积”出来，将另一部分化为容易“积”出的情形.这种方法往往适用于两种不同类型（一般以基本初等函数的分类为标准）函数的乘积作为被积函数.适用于分部积分法的常见的类型有：（1）幂函数与三角函数之积，即axdx x P n sin )(⎰ 或axdx x Pncos )(⎰（其中nn n x a x a x a a x p ++++= 2210)(）（2）幂函数与指数三角函数之积，即dx e x P c bx n +⎰)( （3）幂函数与反三角函数之积，即axdx x Pnln )(⎰ 或xdx x P n arcsin )(⎰ 或xdx x P n arctan )(⎰（4）指数函数与三角函数之积，即bxdx e c aax sin ⎰+ 或 bxdx ecaax cos ⎰+2．分部积分公式设函数)(),(x v v x u u ==具有连续的导数，则由乘积的微分运算法则vdu udv uv d +=)(可得vdu uv d udv -=)(两边积分，得⎰⎰-=vdu uv udv或⎰⎰'-='dx u v uv dxv u这个公式叫做分部积分公式，它的作用在于：把比较难求的⎰udv 化为比较容易求的⎰vdu 来计算，化难为易．如上面常见类型中的（1）、（2）通常是将axdx sin （或axdx cos ）凑成)(cos 1ax d a-（或)(sin 1ax d a）（0≠a ）、dx e c bx +凑成)(1cbx ed b+（0≠b ）；而对（3）通常是将x 的幂函数凑入微分号内得dv .例1 已知)(x f 的一个原函数是x arcsin ，求⎰'dx x f x )(.分析 理解)(x f 与x arcsin 的关系，掌握分部积分公式⎰⎰'-='dx u v uv dx v u . 解 由已知)(x f 的一个原函数是x arcsin 可知：)(11)(a r c s i n 2x f xx =-='，⎰+=C x dx x f arcsin )(，所以⎰⎰⎰-=='dx x f x xf x xdfdxx f x )()()()(C x xx+--=a r c s i n 12.例2 判断下列不定积分哪些适用于不定积分法计算． （1）⎰+dx xxln 1 （2）dx xe x ⎰-（3）⎰+dx x x )1ln( （4）⎰+dx xx 21arctan分析 关键是看被积函数是否为两个不同类型函数之积！ 解 （1）因为⎰++)1(ln )ln 1(x d x C x ++=2)ln 1(21，所以此不定积分不必使用分部积分法.（2）因为被积函数一个是一次函数，另一个是指数函数，所以适用于分部积分法 即⎰⎰---=)(xxexd dx xe⎰--+-=dx exexxC x ex++-=-)1(.（3）因为被积函数一个是一次函数，另一个是复合型对数函数，所以适用于分部积分法，即⎰+dx x x )1ln(＝⎰+)21()1ln(2x d x＝))1(ln(21)1ln(2122+-+⎰x d x x x＝dx x xx x ⎰+-+121)1ln(2122＝C x x x x x +++--+)1ln 22(41)1ln(2122.（4）因为⎰⎰=+(arctan)arctan 1arctan 2xd dx xx ＝C x +2arctan21所以此不定积分不必使用分部积分法.（二）基本运算1．应用分部积分法计算不定积分根据分部积分公式，对于上述的几种常见类型，我们可以根据前面讨论的方法求不定积分.例3 求⎰xdx x 3sin分析 因为被积函数是两种不同类型函数的乘积，所以考虑分部积分法．要使分部积分后的不定积分容易“积”出来，所以将x 3sin 先凑入微分号内或者将其看作说v x '=3sin .解 根据分部积分公式，有 )3(cos 313sin x d xdx -=，所以⎰x d xx 3s i n )3(c o s 31x d x ⎰-=⎰--=)3co s 3c o s (31x d x x xC x x x +--=)3sin 3cos 3(91．例4 求dx e x x ⎰+32)1(．分析 被积函数是我们前面所述的类型（2），我们可以将)(3133xxed dxe =视作dv .解 ⎰⎰+=+)()1(31)1(3232xxed x dxe x dx xeex xx⎰-+=33232)1(31⎰-+=)(92)1(31332xxexd ex⎰+-+=dx exeex xxx33329292)1(31C x x ex++-=)1169(27123．此题的求解过程告诉我们，分部积分公式还可以是多次使用，只要被积函数仍然符合不定积分公式中的条件.例5 求xdx x ln ⎰．分析 被积函数与我们前面所述的常见类型（3）有相似，但不完全相同. 解 根据常见类型（3）分析，设)(3223x d dx x =，则x d xx ln ⎰⎰=)(ln3223x xd dx x x x ⎰-=32ln 3223C x x +-=)2ln 3(9223.例6 求dx x e x ⎰cos 2分析 此题是我们在分部积分法常见类型中指出的第四种类型，即这是指数函数x e 2和三角函数x cos 乘积的积分，应用分部积分法 (将dx e x 2或xdx cos 看作dv )与应注意的问题（两次分部积分中选为dv 的函数应该是同种类型的函数）.解dx x ex⎰cos 2⎰=)(cos 212xexd )(cos cos (2122x d ex exx⎰-=)s i n c o s (2122x d x ex exx⎰+=⎰+=)(s i n 21c o s (2122xxe xdx e)c o s s i n c o s 2(41222x d x ex e x exxx⎰-+=所以dx x ex⎰cos 2C x x ex++=)sin cos 2(512这种通过解积分方程的方法求解不定积分，我们在以后的计算中经常会碰到. 2．＊不定积分方法综合应用在不定积分的计算中，应用什么方法有时也不一定一眼能看出，需要我们对不定积分方法有一定的熟练程度，也需要我们有敢于尝试、实践、探索的精神.以下就不定积分方法综合应用举例.为学有兴趣、学有余力的同学提供一定的帮助和指导.例7dx xx x ⎰-221)(arccos .分析 此题中的被积函数不是典型的分部积分法类型，而被积函数中)1(122x d dx xx --=-考.解dx xx x ⎰-221)(arccos (arccos x -=⎰dx x x x ⎰---=arccos 2)(arcsin 122dx xx x x x ⎰-----=22212arccos 2)(arcsin 1C x x x x +-+---=22212a r c c o s 2)(a r c s i n 1本题涉及了分部积分法与换元积分法，有些题目需要直接积分法与换元积分法综合应用.总之，选择积分方法是求不定积分的难点，所以我们在选择积分方法时，首选应该考虑基本积分公式，对公式中的变量x 应该从深层次加以理解.方能将我们的积分公式、积分方法运用自如.三、自测题自测题（一）Ⅰ、填空题1．已知)(x f 的一个原函数是x tan ，则⎰'dx x f x )( ． 2．已知2x 是)(x f 的一个原函数，则dx x f x)(12⎰．3．dx xe x⎰2 ． 4．⎰dx xx 2ln ． 5．dx xx ⎰2sec．Ⅱ、单项选择题1． 已知)(x f 的一个原函数是x 2ln ，则⎰='dx x f x )( ( ). A ．C x x +-)1(ln 2 B ．C x x +-2ln ln 2 C ．C x x ++)1(ln 2 D ．C x x ++2ln ln 2 2．下列分部积分中，dv u ,选择正确的是（ ）.A ．⎰xdx x 2sin ，令xdx dv x u 2sin ,==B ．,ln ⎰xdx 令xdx dv u ln ,1==C ．⎰-dx e x x 2 ，令dx x dv eu x2,==- D ．⎰dx xe x ，令xdx dv e u x==,3．下列不定积分中，用分部积分法计算的是（ ）. A ．⎰+dx x )12cos( B ． dx x x ⎰-⋅21C ．⎰xdx x 2sin D ． ⎰+dx xx21．4．⎰=dx x 2ln （ ） A ．C x x x +-2lnB ．C x x x +-22lnC ．C x x x +-42lnD ．C x x x ++2ln5．⎰xdx arcsin （ ） A ．C x x x ++arcsin 21arcsin B ．C x x x ++arcsin arcsinC ．C x x x ++arcsin 2arcsinD ．C x x x +-+21arcsinⅢ、计算解答题１．⎰+xdx x ln )1( 2．⎰xdx x cos 2 3．．⎰d x xx ln ln4. dx xx x ⎰2sincos 5.⎰dx x )cos(ln．自测题（二）Ⅰ、填空题1．已知)(x f 的一个原函数是xx sin ，求⎰'dx x f x )( ．2．已知x x ln 是)(x f 的一个原函数，则dx x f x)(12⎰3．⎰+xdx x sin )12( ． 4．xdx x arctan 3⎰ ． 5．dx xx ⎰2sinsin ln ．Ⅱ、单项选择题1．下列分部积分中，dv u ,选择正确的是（ ）。
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三角函数
任选
dv
dv
uu
指数函数
× Pn (x) ×
dv dv
反三角函数 u × u 对数函数
例 6 ． 求 c x ) d o x s(l
解 ： co x ) d s x x c (o l x ) n s x [( d c l x ) ] o ns(
xcosx)(ln xsinx()lx 1n dx
1x2arcxt a1nx2d(arcx)tan
2
2
1x2arctxan1
2
2
1 x2 x2dx
1 2x2arcx t a1 2n1 1 x2 x2 1dx
1 2x2arcxta1 2n(11 1x2)dx
1x2arcxt a1(n xarcxt) aC n .
解 ： 设 u a x ， x s r u ， d c c i u ， n x o s
ax r2cxs1 1 i x x n 2 2d xsu i2n u1 cso iu 2n u sco usdu
[su i2n uu]d uu(dcuo )u t2 2
x x2a2 x2 dx
x2a2
x x2a2 x2a2a2dx x2a2
xx2a2 x2a2d x a2 dx
x2a2
xx 2 a 2x 2 a 2 d x a 2 ln x 2 a 2 x C 1
2x 2 a 2 d x xx 2 a 2 a 2 ln x 2 a 2 x C 1
x f( x ) f( x ) d x f( x ) f( x ) C
x(sinx)sinxC xx
coxs2sinxC. x
D4_3分部积分法;D4_4有理函数积分
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分部积分法主要针对被积函数是两类不同函
数乘积的积分,但并非两类不同函数乘积的积分一
定要用分部积分法.
xe dx ? (凑微分) (分部积分) xe dx ? (无法求) x e dx ?
x2 x 2 x2
高等数学（上）
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第四节 有理函数的积分
一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例
利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式 和一个真分式之和.
高等数学（上）
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1.真分式的分解 (1)代数学上的两个结论 结论1(因式分解定理) 任 意 一 个 实 系 数 多 项Q 式 ( x ) x n a1 x n1 an1 x an 总 可 以 分 解 为 下 列 若个 干一 次 因 子 和 二 次 因的 子乘 积
Mx N 3. 2 dx x px q Mx N 4. 2 d x ( x p x q) n
(不作要求)
高等数学（上）
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1. sec xdx.
3
4x 1 2. 2 dx. x 2x 4
高等数学（上）
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例2 求
x( x
1
10
3
dx 1)
x 例3 求 dx 4 ( x 1)
高等数学（上）
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1.三角函数有理式的积分 设 表示三角函数有理式, 则
R(sin x , cos x) dx
令 t tan x 2 t 的有理函数的积分
高等数学（上）
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1 sin x dx . 例4 求 sin x(1 cos x)
新出现原来要求的那个积分,从而成为所求积分的一
不定积分分部积分法例题及解析
不定积分分部积分法例题及解析说到不定积分，真是个让人又爱又恨的话题。
就像我们每天都要喝水，但有时候喝多了也会觉得腻。
今天咱们就来聊聊分部积分法，这可是解决不定积分的一把好手。
别担心，不会把你淹没在公式里，我会让它变得简单又有趣。
分部积分法就像一个老朋友，帮你把复杂的事情变得简单。
想象一下，你在吃一个超大汉堡。
最开始，汉堡看起来巨无霸，一口咬下去可能觉得咽不下去。
但是，如果把它分成两半，慢慢享用，突然就变得简单了。
这就是分部积分法的魅力。
公式长得像个数学怪兽，但其实它的样子是这样的：(int u , dv = uv int v , du)。
听起来是不是有点晦涩？别担心，咱们一起来拆解它。
选取 (u) 和 (dv) 是关键。
就像选汉堡的配料，你得挑你最喜欢的。
选择 (u) 的时候，通常选那些容易微分的，比如多项式；而 (dv) 通常是剩下的部分，容易积分的。
这个选择就像是搭配衣服，有些组合看起来很美，有些就像灾难现场。
对了，选择好之后，要记得微分 (u)，积分 (dv)。
没错，这就是我们要的材料。
举个简单的例子。
想象一下我们要计算 (int x e^x , dx)。
这里的 (u) 可以选 (x)，而(dv) 自然就是 (e^x , dx)。
所以，微分 (u) 得到 (du = dx)，积分 (dv) 得到 (v = e^x)。
把这些放回公式里，咱们就能得出结论。
这样一来，整个积分问题瞬间变得可口多了。
把 (u) 和 (v) 带回公式，得到的就是 (x e^x int e^x , dx)。
看到没，原本复杂的事情，现在变得一目了然。
简单积分就行了，结果是 (x e^x e^x + C)。
听起来简单吗？其实也就是那么回事儿。
分部积分法不是万能钥匙，有时候也会碰到难题。
这就像考试时遇到让人抓狂的题目，你可能要多花些时间去琢磨。
这时候，不妨再试一次，或者换个角度思考。
数学的魅力就在于它的灵活性，你总能找到出路。
分部积分法的原理
分部积分法的原理
嘿，朋友们！今天咱来唠唠分部积分法的原理。
咱就说，积分就像是一场冒险，有时候你会遇到一些特别难啃的骨头。
这时候，分部积分法就像一把神奇的钥匙，能帮你打开那扇紧闭的门。
你看啊，积分不是要找原函数嘛，可有些式子就像调皮的小孩子，藏得特别深。
分部积分法呢，就是让我们把这个式子分成两部分，一部分是我们相对熟悉点的，另一部分呢，就像是个小跟班。
比如说，咱把一个式子分成 u 和 v'，这就好比是把一个大任务拆分成两个小任务。
然后呢，通过一些巧妙的计算，就能找到答案啦！这就好像你要搬一块大石头，自己一个人可能很难，但要是找个人一起帮忙，嘿，就轻松多了。
咱举个例子哈，就像解方程似的。
有时候你光盯着那个方程看，脑袋都大了也不知道咋解。
但用了分部积分法，就像找到了一条隐藏的小路，突然就豁然开朗了。
你想想，要是没有分部积分法，那我们遇到那些复杂的积分不就傻眼啦？它就像我们在积分世界里的秘密武器，关键时刻总能派上用场。
它不是那种生硬的方法，而是很灵活的哦！你可以根据不同的式子，灵活地选择 u 和 v'，这多有意思呀！就好像你在搭配衣服，根据不同的场合选择不同的搭配，总能穿出最适合的风格。
而且哦，分部积分法还能让我们对积分有更深的理解呢！它让我们看到，原来积分还可以这样玩，可以这样巧妙地解决问题。
哎呀，真的是太神奇啦！每次用分部积分法解决一个难题，我心里就特别有成就感，就跟打了一场胜仗似的。
所以呀，大家可千万别小瞧了分部积分法哦！它可是我们在积分世界里闯荡的好帮手呢！一定要好好掌握它，让它为我们的积分之旅增添更多的精彩！。
分部积分列表法
分部积分列表法积分是微积分的基本概念之一，也是数学中应用广泛的重要工具。
积分的计算方法有很多种，其中一种被称为分部积分法。
分部积分法是利用积分的乘法法则，将复杂的积分问题转化为简化的积分问题，从而更容易求解。
在本文中，将介绍分部积分法的基本原理和具体应用。
一、分部积分法的原理分部积分法是基于积分的乘法法则，该法则可描述为：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx其中u(x)和v(x)是定义在某个区间上的可微函数。
利用分部积分法，我们可以将原积分的乘法形式转化为新积分的减法形式，通过多次应用该法则，最终可以得到简化的积分问题。
二、分部积分法的步骤分部积分法的具体步骤如下：1. 选取适当的分部函数。
根据被积函数的性质和问题的要求，选择一个适当的u(x)和v'(x)。
2. 计算u'(x)和v(x)。
对选取的u(x)和v'(x)进行求导，得到u'(x)和v(x)。
3. 应用分部积分法。
根据分部积分法的公式，进行计算：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx4. 化简新积分。
将计算得到的新积分进行化简，继续应用分部积分法，直到达到简化的程度。
5. 解决简化的积分问题。
对于简化后的新积分问题，可以直接求解或应用其他积分方法进行计算。
三、分部积分法的具体应用分部积分法在解决具体积分问题时具有广泛的应用。
下面将介绍两个常见的应用情境。
1. 求导乘法当被积函数为两个函数相乘时，可以利用分部积分法将其转化为求导乘法的形式。
例如，对于∫x*sin(x)dx，可以选择u(x) = x和v'(x) = sin(x)。
通过分部积分法的计算步骤，可以得到新积分的形式为∫sin(x)dx，这是一个较为简单的积分。
2. 反复应用在一些复杂的积分问题中，多次应用分部积分法可以逐步简化积分形式。
高等数学PPT课件：分部积分法
分部积分法
一、分部积分公式
xe xdx x ln xdx arcsin xdx
特点 被积函数是两个不同函数的乘积 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u u( x)及v v( x) 具有连续导数.
(uv) uv uv uv (uv) uv 两边积分
uvdx uv uvdx udv uv vdu
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分部积分法
例7 x tan2 xdx
x(sec2 x 1)dx
x sec2 xdx xdx
u dv
xdtan x xdx x tan x tan xdx xdx
x2 x tan x ln cos x C
2
7
分部积分法
曾用换元积分做过, 现可用分部积分做!
2
2
a
8
分部积分法
1
x
2
x
2
arctan
xdx
1
1
x2 x2
1arctan
xdx
arctan
xHale Waihona Puke x11 x2arctan
xdx
或取u
arctan
x,
dv
1
x
2
x
2
dx
d( x arctan x)
试比较一下哪种做法简单.
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分部积分法
思考题
分部积分
已知f ( x)的一个原函数为ex2 , 求 xf ( x)dx
x2e x 2 xe xdx
（再次使用分部积分法）
x2e x 2 x d(e x )
x2e x 2( xe x e xdx) C
x2e x 2 xe x 2e x C
分部积分法
Байду номын сангаас
1 2 1 2 1 2 2 2 1 ( x ln x - x d (ln x)) ( x ln x - x dx ) ( x ln x - xdx ) 2 2 x 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( x ln x - x ) C x ln x - x C 2 2 2 4
x sin x sin xdx x sin x cos x C
写法二： x cos xdx x(sin x)' dx
xd (sin x)
x sin x sin xdx x sin x cos x C
例2：求 x 2 e x dx
1、能根据v' , 求出v;
2、右边的积分比左边简 单，且可求。
因此，解题时要判断被 积函数中哪一个看做 , 哪一个看做 ' , 这是最重要的。 u v
例1：求 x cos xdx
解：设u x, v' cos x, 则v sin x, 代入公式：
写法一： x cos xdx x(sin x)' dx x sin x x' sin xdx
解：设u x2 , v' e x , 则v e x
x 2 e x dx x 2 d (e x ) x 2e x e x d ( x 2 ) x 2 e x e x 2 xdx
x 2 e x 2 xd (e x ) x 2 e x 2( xe x e x dx )
x 2e x 2( xex e x ) C x 2e x 2 xex 2e x C
分部积分法
分部积分法
例子5：求∫sin(x)^2 * cos(x) dx
这个积分也不能直接使用牛顿-莱布尼茨公式求解，但通过分部积分法，我们可以 得到 ∫sin(x)^2 * cos(x) dx = ∫sin(x)^2 dcos(x) = sin(x)^2 * cos(x) - 2∫sin(x) * cos(x) dx 然后我们可以继续使用分部积分法来求解这个新的积分 ∫sin(x) * cos(x) dx = ∫sin(x) dcos(x) = sin(x) * cos(x) ∫cos(x) dx 最后我们再次使用分部积分法来求解这个积分 ∫cos(x) dx = ∫cos(x) de^(x) = cos(x) * e^(x) - ∫e^(x) dcos(x) 通过这种方式，我们也可以逐步将复杂的积分转化为更简单的积分，并最终得到解 决方案
4
1
分部积分法是一种非常有用的积分运算方法，它可以用于求解很多 看似难以解决的问题
通过将复杂的积分转化为更简单的积分，我们可以更容易地找到解 决方案
2
3
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择适当的函数和变量来进 行分部积分，并熟悉一些常见的函数的导数和积分公式
谢谢大家
Hale Waihona Puke 例子4：求∫x^3 * e^(x) dx
这个积分同样无法直接使用牛顿-莱布尼茨公式求解，但通过分部积分法，我们可以得到 ∫x^3 * e^(x) dx = ∫x^3 de^(x) = x^3 * e^(x) - 3∫x^2 * e^(x) dx 然后我们可以继续使用分部积分法来求解这个新的积分 ∫x^2 * e^(x) dx = ∫x^2 de^(x) = x^2 * e^(x) - 2∫x * e^(x) dx 最后我们再次使用分部积分法来求解这个积分 ∫x * e^(x) dx = ∫x de^(x) = x * e^(x) - ∫e^(x) dx 通过这种方式，我们可以逐步将复杂的积分转化为更简单的积分，并最终得到解决方案
分部积分法公式 -回复
分部积分法公式 -回复
分部积分法公式是数学中的一种处理乘积类型积分的重要方法，其公式是udu=v-du'v，其中，u、v、du 和 dv 既可以是实数的函数，也可以是区间上的实值函数。
这公式实际上是微积分中莱布尼兹规则的一个特例。
而分部积分的基本思想是使用微积分中的乘法公式（即用一个简单的因子来替换被积函数的一部分），从而简化复杂的积分问题。
具体来讲，分部积分法公式的使用通常是这样的：首先选定一个函数为 u，另一个函数为 dv。
然后找到 u 的微分 du，和 dv 的原函数 v。
最后，根据分部积分法公式∫udv = uv- ∫vdu，得出积分的结果。
分部积分法也可以用于处理循环或者周期性的积分计算，这需要不断使用分部积分法，直到出现一个和原式相同的结果，然后解一个简单的方程组，就能得出结果。
相比较于其他的积分方法，分部积分法的优点在于能够对一些乘积形式的积分进行计算，而这些积分是其他积分方法难以处理的。
但分部积分法也有一定的局限，比如处理乘积中的一个因子复杂，或者处理对数、特殊函数等的情形时，需要一定的技巧和辅助手段。
总的来说，分部积分法公式是一个强有力的数学工具，它能够处理一大类复杂的积分问题，在科学研究和工程技术中都有着重要的应用。
分部积分法表格计算法
分部积分法表格计算法
分部积分法是微积分中一种常用的求积方法，适用于含有乘积的函数的积分计算。
该方法通过将被积函数进行分解，并对其中的一部分进行积分，从而简化原积分式。
下面将介绍分部积分法的基本思想和计算步骤。
分部积分法的基本思想是，将被积函数分解为两个函数的乘积，然后对其中的一个函数进行求导，对另一个函数进行积分。
通过这样的分解和求导积分操作，原积分式的形式会得到简化，从而更容易进行求解。
分部积分法的计算步骤如下：
1. 首先选择一个函数作为“u”，另一个函数作为“dv”。
一般选择的原则是“u”越容易求导，而“dv”越容易积分。
2. 对“u”求导，并将其得到的导数记作“du”。
3. 对“dv”进行积分，并将其积分结果记作“v”。
4. 将“u”、“du”、“v”代入分部积分公式：∫u dv = uv - ∫v du，得到原积分式的简化形式。
5. 如果新得到的积分式仍然存在乘积项，重复以上步骤，直到得到不能再简化的积分式。
通过使用分部积分法，可以将原本复杂的积分式转化为简单的形式，从而更容易进行计算。
这种方法在求解含有乘积的函数的积分时
非常实用，尤其对于一些常见的函数形式，如多项式、指数函数、三角函数等，都能够有效地简化计算过程。
总之，分部积分法是一种常用的积分计算方法，通过将被积函数进行分解，对其中的一部分进行积分和求导，可以简化原积分式的形式，使得积分计算更加方便。
总结计算f(z)的积分的种种方法
总结计算f(z)的积分的种种方法分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。
它的主要原理是利用两个相乘函数的微分公式，将所要求的积分转化为另外较为简单的函数的积分。
根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂三指”。
分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分。
分部积分公式推导设及是两个关于的函数，各自具有连续导数及，则按照乘积函数求微分法则，则有或者对其两边进行积分，且因的原函数是，得如果将和用微分形式写出，则亦可得出上两式就表示出了分部积分法则。
它把的积分化为的积分，也即分部积分的好处是，可将复杂的被积函数简化为另一较易求得的函数积分。
例如，要求，则依分部积分法则。
(4.3) 第三节 分部积分法(少学时简约版)
(2) 分部积分法的意义 从分析角度看，分部积分法实际是一种积分转化
法，即将形如 ∫u d v 的不易计算的积分转化为另一种 易于积分的形式 ∫v d u 进行计算。
= x( ln x )3 - 3[ x( ln x )2 -2 I 1 ] = x( ln x )3 - 3x( ln x )2 - 6[ x( ln x ) - I0 ]
= x( ln x )3 - 3x( ln x )2 - 6 x( ln x ) - 6 ∫d x
= x[( ln x )3 - 3x( ln x )2 - 6 x( ln x )-1]+ C .
C. P. U. Math. Dept ·杨访
由于不定积分运算是由导数运算定义的，相应的积 分运算法则是由导数运算法则逆转而来的。到目前为止 我们已建立了三个积分运算法则，它们和导数运算法则 的对应关系如下： (1) 导数线性运算法则与分项积分法
k 1 fx k 2 g x k 1 fx k 2 g x .
例：求积分 ∫ x 2 ln x d x .
被积式为乘积式，其中含有因子 ln x ，由基本 本积分表知，形如 ∫ ln x d x 的积分是不能直接积出的， 因此积分变形应考虑设法先消去被积式中的因子 ln x 以 简化积分计算。
显然，代数恒等变形不可能消去该因子，但由微分 运算想到 d ln x = 1/x d x ，因此考虑通过分部积分法将 因子 ln x 转移到微分记号中，再通过微分计算消去。
从运算角度看，分部积分法的实施可分两步进行， 即对形如 ∫u ( x )v ( x )d x 的不易 计算积分先作凑微分计算，使 其化为 ∫u d v 的形式，再将此 积分转化为形如 ∫v d u的易于 积出的形式求积分。
D4_3分部积分法
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x e 例4. 求 ∫ sin x dx . x ′ ,则 v = e u = sin x , 解: 令 x ′ u = cos x , v = e x x = e sin x − e ∴ 原式 ∫ cos x dx
再令 u = cos x , v′ = e x , 则 u ′ = − sin x , v = e x
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arctan x e 例12. 求 I = ∫ dx . 3 2 2 (1 + x ) 解法1 先换元后分部 令 t = arctan x , 即 x = tan t , 则 t e I = ∫ 3 ⋅ sec 2 t d t = ∫ e t cos t d t sec t t = e sin t − ∫ e t sin t d t
−1
2
d(1 −x 2 )
= x arccos x − 1 − x 2 + C
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ln cos x dx . 例6. 求 ∫ 2 cos x
解: 令 u = ln cos x , v′ =
1
cos 2 x u′ = − tan x , v = tan x
,则
12 u 2 −
1 e 4u 42
24 u +
1 e 4u 43
24
−
1 e 4u 44
0
+
−∫
1 e 4u 45
e
4u
3 1 4u 4 3 3 2 3 )+ C 原式 = e ( u − u + u − u + 32 4 8 4 1 4 3 2 3 3 4 3 = x ( ln x − ln x + ln x − ln x + )+ C 4 4 8 32
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x
2
例 1 0 ． 设 f ( x ) s x x ， 求 x i f ( x ) d n 。 x
解 ： x f ( x ) d x d [ f ( x x )]
x f ( x ) f ( x ) d x x f ( x ) f ( x ) C
x(sin x)six nC xx
exsix d n x 1ex(sx i c no x ) sC . 2
以 下 类 型 的 不 定 积 分 常 可 用 分 部 积 分
sa i n x
sa i n x
（ 1 ） P n ( x ) c a o d x ， s 取 x u P n ( x ) ， d c v a o d x ； s x
x x2a2 x2a2a2dx x2a2
xx 2 a2 x 2 a2 d x a2 dx
x 2 a2
xx 2 a 2 x 2 a 2 d a x 2 ln x 2 a 2 x C 1
2x 2 a 2 d xx 2 a 2 a 2 ln x 2 a 2 x C 1
例 4 ． 求 下 列 不 定 积 分
(1)xarctxadnx
解 ： x a x r a d c x ( 1 2 r x 2 ) t x d c a tn
1x2arcxt a1nx2d(arcx)tan
2
2
1 2x2arcxt a1 2n1 x2 x2dx
1 2x2arcxta1 2n1 1 x2 x2 1dx
1 2x2arcxta 1 2n (11 1 x2)dx
1x2arcx t1 a(xn arcx)tC a.n
2
2
也可以选择
例 5 ． 求 e x s x ui ex, dvd sin nxdx x
解 ： e x s x i s x d ( d e n x ) i exsin x n x exd(sx i)n exsixn excoxds xexsix n co x d(s ex)
coxs2sinxC. x
例 1 1 ． 求 l 1 x x ) d . n x (
解 ： 原 2 l 1 x ) d n x 2 [ x l 式 1 ( x ) n x d l 1 x ) ( n 2 xln1 (x)21xxdx
1 x x d令 x x t1 tt22 td 2 t(1 1 1 t2)dt
2 c ( x ) d x l c o x ) n x s o s x ) C 1 ， i
∴ c ( x ) d o l 1 2 x n [ x s x c ) s o x ) i C 。 ] n s
例 7 ． 求 x a 1 x 2 x d 。 rc xta 解 ： x a 1 x 2 x r d c a x tx r a ( 1 c d n x 2 ) tan
xcosx)(lx nsinx)(x 1 ld nx
xcos x)(lsninx)(dln x
x cox s ) x (slin n x ) ( x d l[n six ) n](ln
x cox ) s x (slin n x ) ( x lcn (olx ) s n x 1 dx
x co x ) s x s (ilx n ) n c (( lo x l n ) d s nx
e a x
e a x
lx n
lx n
（ 2 ） P n ( x ) ar x d c ， 取 x s u a in r x ， c d P s n v ( x ) d in ； x
ar x ct a an r x ct an
（ 3 ） e a c s b b x d i o ， x x n 取 u x s c s b b ， i o d e x x n a d 。 s v x x
Dzie,kuje
以库以而
x 2 a 2 d x xx 2 a 2 a 2 ln x 2 a 2 x C .
2
2
x 2 a 2 d x xx 2 a 2 a 2 ln x 2 a 2 x C .
2
2
例 9 ． 求 a x 2 x 1 1 x r x 2 2 d c x si
解 ： 设 u a x ， x s u r ， d c i c u ， n x o
这题属“转轱辘型”，即从一个积分式出发，经过
分 部e 积xs 分后ix又 n [回ex 到c了o x 原 积se 分x d ，(但c 系x ) 数o不s 同，这时可以
移项 e ，x 像s解ix 方 n 程e x 那c 样解o x 出 所se 求xs 的积ix d 分n 。x
2e x sx id n x e x sx i n e x cx o C 1 s
2 ( t art) c C 1 t a 2 (x n arc x ) t C 1 a , n
原 2 式 x ln 1 x ( ) 2 (x arcx )t a C .n
例 1 2 ． 设 I n t n x d ( n a N ) ， 试 证 x 下 n 列 递 推 公 式 ：
1x2arcx ta1 n x2d(arx c)tan
1x2arcxtan1 1x2dx
1x2arc x tla n1 n x2xC .
例 8 ． 求 x 2 a 2 d ( a 0 ) 。 x
解 : x 2 a 2 d x x 2 a 2 x d (x 2 a 2 )
x x2a2 x2 dx x2a2
n11tann1xIn2.
例13.
求ex
(1 x
ln x )dx
解
:
ex
(
1 x
ln
x)dx
ex x
dx
ex
ln
xdx
exd(lnx) ex lnxdx
ex ln x ln xd(ex ) ex ln xdx ex ln x ex ln xdx ex ln xdx
ex ln x C.
Inn1 1tan n 1xIn2(n2).
证 明 ： I n t n x d a t n 2 x a t x n 2 x d a n x n tan n 2x(s2 ex c1 )dx ta n 2 n x s2 e x d c x ta n 2 n x dx
tan 2 n x d (tx a ) I n n 2
其 中 P n ( x ) 为 多 项 式 。
有 时 在 f ( x ) d 中 ， 可 选 x 取 u f ( x ) ， d d 。 v x
三角函数
任选
dv
dv
uu
指数函数
× Pn (x) ×
dv dv
反三角函数 u × u 对数函数
例 6 ． 求 c x ) d o x s(
解 ： co x ) d s x c x (o x ) l n x s [( d c x ) l ] o ns(
ax r2c x1 s 1 ix x 2 n 2d xsu i2u n1 cso u i2u n s co usdu
[su i2u nu]d u u(dcu)o u t2 2
ucou tcoutdu u22
1
x
ucou tlnsiu nu2C 2
u 1(arx c )2 sC i.n