4函数奇偶性
2.1.4 函数的奇偶性
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第二章 §2.1 §2.1.4
名师一号 · 数学 · 新课标B版 · 必修1
4．已知函数f(x)是定义在[2－a,3]上的偶函数，则实数a 的值为( A．－5 C．3 ) B．5 D．－3
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第二章 §2.1 §2.1.4
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自测自评
（学生用书P35）
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第二章 §2.1 §2.1.4
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1 1.(2011· 吉林扶余一中高一月考)函数f(x)＝ x ，x∈(0,1)是 ( ) A．奇函数 C．非奇非偶函数 B．偶函数 D．既奇又偶函数
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第二章 §2.1 §2.1.4
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(3)奇函数若在x＝0时有定义，则f(0)＝0. (4)偶函数f(x)有f(x)＝f(－x)＝f(|x|)． (5)函数f(x)＝0既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关 于原点对称且既满足f(x)＝f(－x)也满足f(x)＝－f(－x)．
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第二章 §2.1 §2.1.4
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(2)其定义域关于原点对称．等式f(－x)＝f(x)(或f(－x)＝ －f(x))成立，除了表明函数值相等(或互为相反数)外，首先 表明对定义域中的任意x来说，－x也应在定义域之中，否则 f(－x)无意义．由此得结论：凡是定义域不关于原点对称的 函数一定是非奇、非偶的函数．
函数的奇偶性
（1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：
若f(－x) =f(x)或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x)或f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。
(14).设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝ ，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝()
A.0B.1C. D.5
(15)．若 ，g（x）都是奇函数， 在（0，＋∞）上有最大值5，
则f（x）在（－∞，0）上有（ ）
A．最小值－5 B．最大值－5 C．最小值－1 D．最大值－3
（16）定义在R上的函数f(x)满足：f(x)·f(x＋2)＝13，f(1)＝2，则f(99)＝( )
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称。
(2)利用图像判断函数奇偶性的方法：
图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y轴对称的函数为偶函数，
（3）简单性质：
设 ， 的定义域分别是 ，那么在它们的公共定义域上：
A．13B．2 C.13/2D.2/13
（17）定义在R上的函数f(x)满足：对于任意α，β∈R，总有f(α＋β)－[f(α)＋f(β)]＝2010，则下列说法正确的是( )
A．f(x)－1是奇函数 B．f(x)＋1是奇函数
C．f(x)－2010是奇函数 D．f(x)＋2010是奇函数
（18）设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈(0,1)时，f(x)＝log (1－x)，则函数f(x)在(1,2)上( )
新教材高中数学第二章函数4函数的奇偶性与简单的幂函数 简单幂函数的图象和性质课件北师大版必修第一册
必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
必备知识•探新知
基础知识
知识点1 幂函数的概念 一般地,形如_____y_＝__x_α_(α_为__常__数__)___的函数,即底数是自变量、指数
是常数的函数称为幂函数． 思考1：幂函数的解析式有什么特征？ 提示：①系数为1；②底数x为自变量；③幂指数为常数．
y＝x2 __偶___函数
_[_0_,＋__∞__)
y＝x3 _奇___函数 ___R___
y＝1x
1
y＝x2
__奇___函数
_非__奇__非__偶__ 函数
无
_[_0_,_＋__∞_)__
减区间
无
__(－__∞__,0_)_
无
_(－__∞__,0_)_,_(0_, ＋__∞__) ____
无
定点
___(_1_,_1_) ___
思考2：在区间(0,＋∞)上,幂函数有怎样的单调性？ 提示：幂函数在区间(0,＋∞)上,当α＞0,y＝xα是增函数；当α＜0时,y ＝xα是减函数．
基础自测
1．下列函数为幂函数的是
( D)
A．y＝2x4
B．y＝2x3－1
C．y＝2x
D．y＝x2
[解析] y＝2x4 中，x4 的系数为 2，故 A 不是幂函数；y＝2x3－1 不
第二章 函 数
§4 函数的奇偶性与简单的幂函数 4.2 简单幂函数的图象和性质
【素养目标】 1．通过具体实例,理解幂的概念．(数学抽象) 2．会画简单幂函数的图象,并能根据图象得出这些函数的性质．(直 观想象) 3．理解常见幂函数的基本性质．(逻辑推理)
【学法解读】 以五种常见的幂函数为载体,学生应自己动手在同一个平面直角坐标 系下画出这五种幂函数的图象,通过观察比较研究其图象和性质,进而研 究一般幂函数的图象和性质．
第4课 函数的奇偶性
注：1、课题字体：黑体小二加粗 2、栏目字体：仿宋四号加粗 3、内容字体：宋体小四
第 4 页 共 44 页
f ( x) f ( x) 0 或 f ( x) f ( x) 0 ．
例 2. 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 是奇函数， 且当 x 0 时， f ( x) x2 2x 2 ， 求函数 f ( x ) 的解析式，并指出它的单调区间． 分析：奇函数若在原点有定义，则 f (0) 0 ． 解：设 x 0 ，则 x 0 ， f ( x) x2 2x 2 ． 又 f ( x ) 是奇函数， f ( x) f ( x) ， f ( x) f ( x) x2 2 x 2 ． 当 x 0 时 页
x 2 x ( x 0), f ( x) 2 f ( x) f ( x) ，故 f ( x) 为奇函数． x x ( x 0).
点评：判断函数的奇偶性，应首先注意其定义域是否关于原点对称；其次，利用 定 义 即 f ( x) f ( x) 或 f ( x ) f ( x ) 判 断 ， 注 意 定 义 的 等 价 形 式
( x) 2 ( x) ( x 0), x 2 x ( x 0), f ( x) ， f ( x) 2 又 f (0) 0 ， 2 ( x) ( x) ( x 0). x x ( x 0).
第 2
3 33 ． 2
布置
学案
作业
第4课 函数的奇偶性 例2 解析 例 3. 解析
板书 设计
基础练习
例1 解析
反馈演练
课后 反思
（1）求解析式时 x 0 的情况不能漏； （2）两个单调区间之间一般不用“ ”连接； （3） 利用奇偶性求解析式一般是通过“ x ”实现转化； （4）根据图像写单调区间．
新教材高中数学第二章函数4函数的奇偶性与简单的幂函数 函数的奇偶性课件北师大版必修第一册
[注意] ①由于这里的－x＜0，因此应将－x 代入 f(x)＝－12x2－1；② 由于这里的－x＞0，因此应将－x 代入 f(x)＝12x2＋1．
[归纳提升] 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法：
(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称,则函数为奇函数；若函数 图象关于y轴对称,则函数为偶函数．此法多用在解选择题、填空题中．
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基础知识
知识点 函数的奇偶性
奇偶性
偶函数
奇函数
条件 一般地,设函数f(x)的定义域是A,如果对任意的x∈A,有－x∈A
结论 图象特点
f(－x)＝__________ 关于_______f(_x对) 称
y轴
f(－x)＝____________ 关于_____－__f(_x对) 称 原点
(3)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝－12(－x)2－1＝－(12x2＋1)＝－f(x)；
①
当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝21(－x)2＋1＝12x2＋1＝－(－12x2－1)＝－
f(x)．
②
综上可知，函数f(x)＝12－x221＋x2－1(x1＞(x＜0) 0)是奇函数．
∴f(x)＝1x是奇函数． (2)函数 f(x)＝－3x2＋1 的定义域为 R，关于原点对称，且 f(－x)＝－ 3(－x)2＋1＝－3x2＋1＝f(x)， ∴f(x)＝－3x2＋1 是偶函数．
(3)显然函数f(x)的定义域关于原点对称． 当x＞0时,－x＜0,f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x), 当x＜0时,－x＞0,f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x), ∴f(－x)＝－f(x),∴函数f(x)为奇函数． (4)函数f(x)的定义域为(－∞,1)∪(1,＋∞),不关于原点对称,故函数f(x) 不具有奇偶性．
高中数学课件 第二章 《第4节 函数的奇偶性》
(3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2. f(16×4)=f(16)+f(4)=3, ∵f(3x+1)+f(2x-6)≤3, 即f((3x+1)(2x-6))≤f(64).（*）
法一：∵f(x)为偶函数， ∴f(|(3x＋1)(2x－6)|)≤f(64). 又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
解析：由(x2－x1)(f(x2)－f(x1))＞0得f(x)在x∈(－∞，0] 为增函数.
又f(x)为偶函数，所以f(x)在x∈(0，＋∞)为减函数.
又f(－n)＝f(n)且0≤n－1＜n＜n＋1，∴f(n＋1)＜f(n)＜ f(n－1)，即f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1). 答案：C
1.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
当a＝0时，f(x)＝f(－x)，∴f(x)是偶函数；
当a≠0时，f(a)＝a2＋2，f(－a)＝a2－2|a|＋2. f(a)≠f(－a)，且f(a)＋f(－a)＝2(a2－|a|＋2) ＝2(|a|－ )2＋ ≠0， ∴f(x)是非奇非偶函数.
判断(或证明)抽象函数的奇偶性的步骤 (1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现f(－x)， f(x))； (2)巧妙赋值，合理、灵活变形配凑； (3)找出f(－x)与f(x)的关系，得出结论.
(3)∵f(4)＝1，∴f(8)＝f(4)＋f(4)＝2，
f(12)＝f(4＋8)＝f(4)＋f(8)＝3.
又∵f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3， ∴f(3x＋1＋2x－6)≤f(12)， 即f(5x－5)≤f(12). 又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
f(x)为奇函数，∴f(x)在R上是增函数，
( A.y＝－x3，x∈R C.y＝x，x∈R B.y＝sinx，x∈R D.y＝( )x，x∈R )
函数的奇偶性
1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．【知识拓展】1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a(a>0)．(3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( × )(2)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( √ )(3)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数．( √ ) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( √ ) (5)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．( √ )1．(教材改编)下列函数为偶函数的是( ) A ．f (x )＝x －1 B ．f (x )＝x 2＋x C ．f (x )＝2x －2－xD ．f (x )＝2x ＋2－x答案 D解析 D 中，f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．2．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．2 答案 A解析 f (－1)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2.3．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 B解析 ∵f (x )为定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0， 又f (x ＋4)＝f (x )，∴f (8)＝f (0)＝0.4．(教材改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则当x <0时，f (x )＝________. 答案 x (1－x )解析 当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )． 又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )， ∴f (x )＝x (1－x )．5．(2016·四川)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝________. 答案 －2解析 ∵f (x )为定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0， 又0<x <1时，f (x )＝4x ， ∴f (12)＝124＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝－f ⎝⎛⎭⎫52＋f (2)＝－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0) ＝－2＋0＝－2.题型一 判断函数的奇偶性例1 (1)下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝2x －12xB ．f (x )＝x 3sin xC ．f (x )＝2cos x ＋1D ．f (x )＝x 2＋2x答案 A解析 选项A 中，函数f (x )的定义域为R ， 又f (－x )＝2－x －12－x ＝12x －2x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0的奇偶性．解 当x >0时，－x <0，f (x )＝－x 2＋x ， ∴f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )； 当x <0时，－x >0，f (x )＝x 2＋x ， ∴f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )．∴对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，均有f (－x )＝－f (x )． ∴函数f (x )为奇函数．思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围取相应的解析式化简，判断f (x )与f (－x )的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．(1)(2016·北京海淀区模拟)下列函数中为偶函数的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝lg|x |C ．y ＝(x －1)2D ．y ＝2x(2)函数f (x )＝log a (2＋x )，g (x )＝log a (2－x )(a >0且a ≠1)，则函数F (x )＝f (x )＋g (x )，G (x )＝f (x )－g (x )的奇偶性是( ) A ．F (x )是奇函数，G (x )是奇函数 B ．F (x )是偶函数，G (x )是奇函数 C ．F (x )是偶函数，G (x )是偶函数 D ．F (x )是奇函数，G (x )是偶函数 答案 (1)B (2)B解析 (1)选项B 中，函数y ＝lg|x |的定义域为{x |x ≠0}且lg|－x |＝lg|x |， ∴函数y ＝lg|x |是偶函数．(2)F (x )，G (x )的定义域均为(－2,2)， 由已知F (－x )＝f (－x )＋g (－x ) ＝log a (2－x )＋log a (2＋x )＝F (x )， G (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (2－x )－log a (2＋x )＝－G (x )， ∴F (x )是偶函数，G (x )是奇函数． 题型二 函数的周期性例2 (1)(2016·宝鸡模拟)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 017)＋f (2 019)的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．0 D ．无法计算(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝______. 答案 (1)C (2)2.5解析 (1)由题意，得g (－x )＝f (－x －1)，又∵f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )，f (－x )＝f (x )， ∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，∴f (x )＝－f (x ＋2)，∴f (x )＝f (x ＋4)， ∴f (x )的周期为4，∴f (2 017)＝f (1)，f (2 019)＝f (3)＝f (－1)， 又∵f (1)＝f (－1)＝g (0)＝0， ∴f (2 017)＋f (2 019)＝0.(2)由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )．故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5. ∴f (105.5)＝2.5. 引申探究本例(2)中，若将f (x ＋2)＝－1f (x )改为f (x ＋2)＝－f (x )，其他条件不变，求f (105.5)的值． 解 f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数的周期为4(下同例题)．思维升华 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝________. 答案 339解析 ∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6. ∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2； 当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1， f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1， f (6)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＋f (2 016)＝1×2 0166＝336.又f (2 017)＝f (1)＝1，f (2 018)＝f (2)＝2， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝339. 题型三 函数性质的综合应用 命题点1 解不等式问题例3 (1)(2017·沈阳质检)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是( ) A ．(13，23)B ．[13，23)C ．(12，23)D ．[12，23)(2)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－1,4) B ．(－2,0) C ．(－1,0) D ．(－1,2)答案 (1)A (2)A解析 (1)因为f (x )是偶函数，所以其图象关于y 轴对称， 又f (x )在[0，＋∞)上单调递增， f (2x －1)<f (13)，所以|2x －1|<13，所以13<x <23.(2)∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0，解得－1<a <4，故选A. 命题点2 求参数问题例4 (1)(2016·北京西城区模拟)函数f (x )＝lg(a ＋21＋x )为奇函数，则实数a ＝________.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案 (1)－1 (2)－10解析 (1)根据题意得，使得函数有意义的条件为a ＋21＋x>0且1＋x ≠0，由奇函数的性质可得f (0)＝0.所以lg(a ＋2)＝0，即a ＝－1，经检验a ＝－1满足函数的定义域． (2)因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12且f (－1)＝f (1)， 故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12， 从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题． (2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (|x |)．②若奇函数在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.(1)若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A ．f (－25)<f (11)<f (80) B ．f (80)<f (11)<f (－25) C ．f (11)<f (80)<f (－25) D ．f (－25)<f (80)<f (11)答案 (1)－32(2)D解析 (1)函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln 1＋e 3x e 3x ＋e 6x ＝2ax ＝ln e 2ax ，即1＋e 3x e 3x ＋e 6x ＝e 2ax ，整理得e 3x ＋1＝e 2ax ＋3x (e 3x ＋1)，所以2ax ＋3x ＝0，解得a ＝－32.(2)因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， 所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数， 所以f (－1)<f (0)<f (1)． 所以f (－25)<f (80)<f (11)．2．抽象函数问题考点分析 抽象函数问题在高考中也时常遇到，常常涉及求函数的定义域，由函数的周期性求函数值或判断函数的奇偶性等.一般以选择题或填空题来呈现，有时在解答题中也有所体现.此类题目较为抽象，易失分，应引起足够重视. 一、抽象函数的定义域典例1 已知函数y ＝f (x )的定义域是[0,8]，则函数g (x )＝f (x 2－1)2－log 2(x ＋1)的定义域为________．解析 要使函数有意义， 需使⎩⎪⎨⎪⎧0≤x 2－1≤8，x ＋1>0，2－log 2(x ＋1)≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9，x >－1，x ≠3，解得1≤x <3，所以函数g (x )的定义域为[1,3)． 答案 [1,3)二、抽象函数的函数值典例2 若定义在实数集R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )，对任意x ∈R 恒成立，则f (2 019)等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 解析 因为f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )， 所以f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1f (x ＋2)＝11f (x )＝f (x )，即函数f (x )的周期是4，所以f (2 019)＝f (505×4－1)＝f (－1)． 因为函数f (x )为偶函数， 所以f (2 019)＝f (－1)＝f (1)．当x ＝－1时，f (－1＋2)＝1f (－1)，得f (1)＝1f (1).即f (1)＝1，所以f (2 019)＝f (1)＝1. 答案 D三、抽象函数的单调性与不等式典例3 设函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )．若f (3)＝1，且f (a )>f (a －1)＋2，求实数a 的取值范围． 规范解答解 因为f (xy )＝f (x )＋f (y )且f (3)＝1， 所以2＝2f (3)＝f (3)＋f (3)＝f (9)．又f (a )>f (a －1)＋2，所以f (a )>f (a －1)＋f (9)． 再由f (xy )＝f (x )＋f (y )，可知f (a )>f [9(a －1)]， 因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，9(a －1)>0，a >9(a －1)，解得1<a <98.故所求实数a 的取值范围是(1，98)．1．(2017·石家庄质检)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝(12)ln x答案 B解析 对于A ，y ＝1x 为奇函数；对于C ，y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)； 对于D ，y ＝(12)ln x 的定义域为(0，＋∞)．2．(2016·兰州模拟)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B.13 C ．－12 D.12答案 B解析 依题意得f (－x )＝f (x )， ∴b ＝0，又a －1＝－2a ，∴a ＝13，∴a ＋b ＝13，故选B.3．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(－2,0)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)等于( )A ．－2B ．2C ．－98D ．98 答案 B解析 由f (x ＋4)＝f (x )知，f (x )是周期为4的周期函数， f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)， 又f (x ＋4)＝f (x )，∴f (3)＝f (－1)， 由－1∈(－2,0)得f (－1)＝2， ∴f (2 019)＝2.4．已知f (x )＝lg(21－x ＋a )为奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 B解析 由f (x )＋f (－x )＝0，即lg(21－x ＋a )＋lg(21＋x ＋a )＝lg (2＋a )2－a 2x 21－x 2＝lg 1＝0可得a ＝－1，所以f (x )＝lg1＋x 1－x ，解得0<1＋x1－x<1，可得－1<x <0. 5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos π6x (0＜x ≤8)，log 2x (x >8)，则f (f (－16))等于( )A ．－12B ．－32 C.12 D.32答案 C解析 由题意f (－16)＝－f (16)＝－log 216＝－4， 故f (f (－16))＝f (－4)＝－f (4)＝－cos4π6＝12. *6.(2016·天津)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，12 B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫12，32 D.⎝⎛⎭⎫32，＋∞答案 C解析 因为f (x )是定义在R 上的偶函数且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (－x )＝f (x )且f (x )在(0，＋∞)上单调递减．由f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)可得2|a －1|<2，即|a －1|<12，所以12<a <32. 7．(2016·湖南四校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，g (x )，x <0，若f (x )为奇函数，则g (－14)=________． 答案 2解析 g (－14)＝f (－14)＝－f (14) ＝－log 214＝－log 22－2＝2. 8．(2016·济南模拟)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1＋x )，则f (－52)＝________.答案 －32解析 因为f (x )是周期为2的奇函数，所以f (－52)＝－f (52)＝－f (12)＝－[2×12(1＋12)]＝－32. 9．函数f (x )在R 上为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 答案 －－x －1解析 ∵f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x ＋1，∴当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x ＋1＝－f (x )，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.10．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则有：①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________．答案 ①②解析 在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ，则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确；当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x 是增函数，根据函数的奇偶性知，f(x)在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知，f(x)在[0,2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝2，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝f(2)＝20＝1且f(x)是周期为2的周期函数，∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③错误．。
高一第4讲 函数奇偶性及运用(教师版)
第4讲 函数奇偶性及运用（教师版）一．学习目标1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系．3．会利用函数的奇偶性解决简单问题．二．重点难点1．对函数奇偶性概念的理解．(难点)2．根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性．(重点)3．函数奇偶性的应用．(难点、易错点)三．知识梳理1.函数的奇偶性：（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2 确定f (－x )与f (x )的关系；○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0或1)()(=-x f x f （0)(≠x f ） ，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0或1)()(-=-x f x f （0)(≠x f ），则f (x )是奇函数。
（3）函数奇偶性的简单性质：○1图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇(4) 常见的几种函数的奇偶性（1）()b kx x f +=：当且仅当b=0时为奇函数。
函数的四个性质
函数的性质(奇偶性，单调性，周期性，对称性一、奇偶性常用性质：1．0)(=x f 是既奇又偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ；3．偶函数满足)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数奇偶性满足：奇函数±奇函数=奇函数奇函数×奇函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶 奇函数×偶函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数6．任何函数)(x f 可以写成一个奇函数2)()()(x f x f x --=ϕ和一个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。
二、函数)(x f y =图象本身的对称性〔自身对称〕若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。
推论1：)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -=⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=-⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论1、b x a f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论2、b x a f x f 2)2()(=-+⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++-⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称三、函数周期性的几个重要结论2、()()f x a f x b +=+⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+⇔)(x f y =的周期为2T a = 7、()1()()1f x f x a f x ++=-⇔)(x f y =的周期为2T a = 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、若.2, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y =周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y =周期a T 4=跟踪练习1、定义在R 上的奇函数)(x f ，周期为6，那么方程0)(=x f 在区间[6,6-]上的根的个数可能是A.0 B.1 C.3 D.52、f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数至少是()A ．1B ．4C ．3D ．23、已知)(x f 是R 上的偶函数,)(x g 是R 上的奇函数,且)(x g =)1(-x f ,那么=)3120(f A.0 B.2 C.2- D.2±4、已知112)(-+=x x x f ，那么=+++++-+-+-)8()6()4()2()0()2()4()6(f f f f f f f f A.14 B.15 C.16- D.165、已知)(x f 的定义域为R ，若)1()1(+-x f x f 、都为奇函数，则A.)(x f 为偶函数B.)(x f 为奇函数C.)(x f =)2(+x fD.)3(+x f 为奇函数6、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)1()1(--=+x f x f ，则下列结论一定成立的是A.)(x f 的周期为4B.)(x f 的周期为6C.)(x f 的图像关于直线1=x 对称D. )(x f 的图像关于点(1 , 0) 对称7、定义在R 上的函数)(x f 满足:)()(x f x f -=-,)1()1(x f x f -=+，当∈x [1-, 1]时，3)(x x f =，则=)2013(fA.1-B.0C.1D.28、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)2()2(x f x f -=+，并且)1(+x f 为 偶函数. 若3)1(=f ，那么=)101(fA.1B.2C.3D.49、已知f (x )(x ∈R)为奇函数，f (2)＝1，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (3)等于()A.12 B ．1C.32 D ．2 10、若奇函数f (x )(x ∈R)满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ⎝⎛⎭⎫32等于()A ．0B ．1C.12D ．－1211、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则()A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)12、设()f x 为定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时()f x x =，则()7.5f 等于〔〕A ．0.5B ．0.5-C ．1.5D ． 1.5-13、设()f x 是定义在R 上的偶函数,且在(－∞,0)上是增函数,则()2f -与()223f a a -+ 〔a R ∈〕的大小关系是〔〕A ．()2f -<()223f a a -+B ．()2f -≥()223f a a -+C ．()2f ->()223f a a -+D ．与a 的取值无关14、若函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()1f x x =-，则当0x <时，有〔〕A ．()f x 0>B ．()f x 0<C ．()f x ()f x -≤0D ．()f x －()f x -0> 15、已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值X 围是〔〕A ．a ≤－3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥316、已知函数()()0f x x a x a a =+--≠,111)(-+-=x x x x g ,⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+-=)0()0()(22x x x x x x x h ， 则()()(),,f x g x h x 的奇偶性依次为〔〕A ．奇函数，偶函数，奇函数B ．奇函数，奇函数，偶函数C ．奇函数，奇函数，奇函数D ．奇函数，非奇非偶函数，奇函数17、已知函数()()221,f x x ax b b a b R =-++-+∈对任意实数x 都有()()11f x f x -=+成立，若当[]1,1x ∈-时，()0f x >恒成立,则b 的取值X 围是〔 〕A ．10b -<<B ．2b >C ．12b b <->或D ．不能确定18、已知函数()()2223f x x x =+-，那么〔〕 A ．()y f x =在区间[]1,1-上是增函数 B ．()y f x =在区间(],1-∞-上是增函数C ．()y f x =在区间[]1,1-上是减函数D ．()y f x =在区间(],1-∞-上是减函数19、函数()y f x =在()0,2上是增函数，函数()2y f x =+是偶函数，则下列结论中正确的是〔〕A ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 20、设函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()23x f x =-，则()2f -等于〔〕A ．1-B ．114C ．1D ．114- 21、设函数)(x f 是R 上的偶函数,且在()+∞,0上是减函数,且12210x x x x >>+，,则 A.)()(21x f x f > B.)()(21x f x f = C.)()(21x f x f < D.不能确定22、函数()y f x =与()y g x =的定义域相同，且对定义域中任何x 有()()0f x f x -+=，()()1g x g x -=，若()1g x =的解集是{}0，则函数()()()()21f x F x f x g x =+-是〔〕 A ．奇函数B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数23、已知函数=)(x f ⎩⎨⎧<-≥-0,10,sin x e x x x x ，若)()2(2a f a f >-，则实数a 取值X 围是A. (1,-∞-)),2(+∞B. (1,2-)C. (2,1-)D. (2,-∞-)+∞,1( )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题： 24、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 25、已知()f x 为偶函数，()g x 是奇函数，且()f x ()22g x x x -=+-，则()f x 、()g x 分别为;26、定义在()1,1-上的奇函数()21x m f x x nx +=++，则常数m =，n =； 27、已知f (x )是定义在实数集上的函数，且,32)1(,)(1)(1)2(+=-+=+f x f x f x f 若则 f (2005)=.28、函数()f x 定义域为R ，且对于一切实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+，试判断()f x 的奇偶性.29、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 恒满足)()2(x f x f -=+，当]2,0[∈x 时22)(x x x f -=⑴求证：)(x f 是周期函数；⑵当]4,2[∈x 时，求)(x f 的解析式；⑶计算：+)0(f +)1(f +)2(f )2005(f +30、已知31≤a ≤1，若函数()221f x ax x =-+在区间[1，3]上的最大值为()M a ，最小值为()N a ，令()()()g a M a N a =-．〔1〕求()g a 的函数表达式；〔2〕判断函数()g a 在区间[31，1]上的单调性，并求出()g a 的最小值 .。
函数的基本性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)
函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。
1. 奇偶性奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数； ②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇； ③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数 常用性质：1．0)(=x f 是既奇又偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满足)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满足：（1）奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶（2） 奇函数×奇函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数6．任何函数)(x f 可以写成一个奇函数2)()()(x f x f x --=ϕ和一个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。
2. 单调性 定义：函数定义域为A ，区间，若对任意且①总有则称在区间M 上单调递增②总有则称在区间M 上单调递减应用：（一）常用定义法来证明一个函数的单调性一般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论 （二）求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常用结论（1） 奇函数在对称区间上的单调性相同 （2） 偶函数在对称区间上的单调性相反 （3） 复合函数单调性-------同增异减3. 周期性（1）一般地对于函数，若存在一个不为0的常数T ，使得一切值时总有，那么叫做周期函数，T 叫做周期，kT （T 的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。
4.函数的奇偶性
第四讲：函数的奇偶性基础知识 自主学习要点梳理1．奇、偶函数的概念一般地，设函数y ＝f(x)的定义域为A ，如果对于任意 的x∈A，都有 ，那么称函数y ＝f(x)是偶函数．如果对于任意的x∈A 都有 ，那么称函数y ＝f(x)是奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ，偶 函数在关于原点对称的区间上的单调性 ．(2)在公共定义域内， ①两个奇函数的和是 ，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积都是 ；③一个奇函数，一个偶函数的积是 ．[难点正本 疑点清源]1．函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性主要根据定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝f(x)(或f(－x)＝－f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数(或奇函数)．其中包含两个必备条件：①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确简捷地解决问题；②判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．2．函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．(2)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．(3)若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)＝0.f(0)＝0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件．(4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”．(5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．(6)既奇又偶的函数有无穷多个(如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集)．基础自测1．下列函数中，所有奇函数的序号是________．①f(x)＝2x 4＋3x 2；②f(x)＝x 3－2x ；③f(x)＝x 2＋1x；④f(x)＝x 3＋1. 2．若函数f(x)＝22x ＋1＋m 为奇函数，则实数m ＝_____.3．设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)f(x)>2的x 的取值范围是_______．4．已知f(x)＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a]上的偶函数，那么a ＋b 的值是 .5．已知f(x)在R 上是奇函数，且满足f(x ＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x 2，则f(2 011)= .题型分类 深度剖析题型一 函数奇偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性．(1) f(x)＝3－x 2＋x 2－3；(2)f(x)＝(x ＋1)1－x 1＋x ；(3)f(x)＝4－x 2|x ＋3|－3.变式训练1 判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝(x －1) 2＋x 2－x ；(2)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x x>0 ， x 2－x x<0 ；题型二 函数的奇偶性与单调性例2 (1)已知f(x)是R 上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 2－x －1，求f(x)的解析式；(2)已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足f(1－m)＋f(1－m 2)<0的实数m 的取值范围．变式训练2 已知定在（-2，2）上的偶函数f(x),当0x ≥时， ()f x 是减函数，如果(1)()f a f a -<,求a 的取值范围。
函数的奇偶性
书香教育教师教案学生姓名：张力引年级：高一科目：数学 辅导方式：一对一 教师：左秀国 教学内容:函数教学时间：2014-10--05教学目标：函数的奇偶性教学重难点：函数的奇偶性、单调性、最值一、函数的奇偶性1．奇偶性的定义：（1）偶函数：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数。
（2）奇函数：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数。
（3）奇偶性：如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x 具有奇偶性。
2.具有奇偶性的函数：（1）其定义域关于原点对称；（2） ()()f x f x -=或()()f x f x -=-必有一成立。
（3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数。
（4）函数0)(=x f 既是奇函数也是偶函数。
（5）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。
（6）奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f =．例1、判断下列函数是否具有奇偶性(1)f (x )＝2x 2＋2x x ＋1 (2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1 (3)f (x )＝4－x 2|x ＋2|－2 (4) 2(),(1,3)f x x x =∈- （5）⎪⎩⎪⎨⎧<--=>+=)0(2)0(0)0(222x x x x x y(6) 25)(+=x x f ； (7) )1)(1()(-+=x x x f .例2、已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，求f (x )，g (x )的表达式．例3、函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫12＝25，求函数f (x )的解析式．例4、定义在(－1,1)上的奇函数f (x )是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)<0，求实数a 的取值范围．例5、已知f (x )是定义在(－1,1)上的偶函数，且在(-1,1)上为增函数，若f (a －2)－f (4－a 2)<0，求实数a 的取值范围．例6、设f (x )为定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时，y ＝x ；当x >2时，y ＝f (x )的图象是顶点为P (3,4)且过点A (2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式；(2)在图中的直角坐标系中画出函数f (x )的图象；(3)写出函数f (x )的值域和单调区间．练习1、f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )的图象是经过点(3，－6)，顶点为(1,2)的抛物线的一部分，求f (x )的解析式，并画出其图象。
第四讲 函数的奇偶性
第四讲：函数的奇偶性及其应用一．知识点梳理1. 奇、偶函数的定义对于函数f(x)定义域内的任意x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)+f(x)=0),则称f(x)为奇函数;对于函数f(x)的定义域内的任意x,都有f(-x)=f(x)(或f(-x)-f(x)=0),则称f(x)为偶函数.2. 奇、偶函数的性质(1) 具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称).(2) 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称.(3) 若奇函数的定义域包含0,则f(0)=0. 偶函数()y f x =必满足()()()(f x f x f x x ==-（4）偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。
(5) 定义关于原点对称的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.（6）运算函数的奇偶性规律运算函数是指两个(或多个)函数式通过四则运算所得函数；若设定偶函数为正实数，奇函数为负实数，则运算函数的奇偶性满足实数运算的符号法则。
（7）复合函数的奇偶性原理：一偶即偶，两奇为奇。
二．考点突破1.函数奇偶性的判断与证明例1：判断下列函数的奇偶性: (1) f(x)=22x 2xx 1++; (2) f(x)=x 3-2x; (3) f(x)=a(x ∈R ).（4）()ln(f x x = （5）1()lg 1x f x x -=+ （6）(1),0()(1),0x x x f x x x x ->⎧=⎨-+<⎩变式练习：1.函数f(x)=x3-x是函数.(填“奇”或“偶”)2.已知函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+3是偶函数,那么实数m的值为.3.已知函数f(x)=xxk-21k2+⋅(k为常数)在定义域上为奇函数,则实数k的值为.4.已知函数f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值为.2.函数奇偶性的应用例3：已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,那么f(1)+g(1)=.变式练习：1.若函数f(x)为奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+x,则f(-2)的值为.2. 已知f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,那么f(-2)=.3. 已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,那么g(1)=.4.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),那么f(-6)=.5.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是.6.已知函数f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,当x∈[0,1]时,f(x)=2x+ln(x+1)-1.(1) 求函数f(x)的解析式,并判断f(x)在[-1,1]上的单调性(不要求证明);(2) 解不等式:f(2x-1)+f(1-x2)≥0.当堂检测1. 若函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a= .2. 若f(x)=x 12-1+a 是奇函数,则a= .3. 下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减的是 .(填序号)①y=1x ; ②y=e -x ; ③y=-x 2+1; ④y=lg|x|.4.设函数f(x)=asinx+x 2,若f(1)=0,则f(-1)的值为 .5.设f(x)是定义在R 上的奇函数,当x ≤0时,f(x)=2x 2-x,则f(1)= .6.若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线 对称.7．若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)关于点 中心对称.8.设函数f(x)是定义在R 上的奇函数,若当x ∈(0,+∞)时,函数f(x)的图像如图所示,则满足f(x)>0的x 的取值范围是 .9.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上是减少的,f(2)=0,若f(x-1)>0,则x 的取值范围是 .10.判断函数的奇偶性① ()f x = ②()(f x x =-∈(-1,1).课后练习（函数的奇偶性）一、填空题1. 定义域为R 的四个函数y=x 3,y=2x ,y=x 2+1,y=2sinx 中,奇函数的个数是 .2.已知函数f(x)为偶函数,且当x<0时,f(x)=x 2-1x ,那么f(1)= .3. 已知f(x)=ax 2+(b+2)x+3a+b 是偶函数,且定义域为[1-a,2a+1],那么a= ,b= .4. 若函数f(x)=kx 2+(k-1)x+2是偶函数,则f(x)的单调减区间是 .5.已知y=f(x)+x 2是奇函数,且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,则g(-1)= .6.若y=f(x)是定义在R 上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则满足f(m)<f(1)的实数m 的取值范围是 .7.若函数f(x)=的图象关于原点对称,则f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ .8. 若f(x)是偶函数,且当x ∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,则f(x-1)<0的解集是 .二、解答题9. 判断下列函数的奇偶性: (1) f(x)=x+1x ;(2) f(x)=x 2+21x10. 已知奇函数f(x)在定义域(-1,1)内是单调减函数,求：满足f(1-m)+f(1-m 2)<0的实数m 的取值范围.11. 设函数f(x)=x 2-2|x|-1,-3≤x ≤3.(1) 求证:f(x)是偶函数; (2) 画出函数f(x)的图象;(3) 指出函数f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上f(x)是单调递增还是单调递减;(4) 求函数f(x)的值域.参考答案1. 2 .2. 23. -2 -24. (-∞,0]5. -16. (-1,1)7. 8. (0,2) 9. (1) 定义域为A={x|x ∈R ,且x ≠0}.因为对定义域内的每一个x,都有f(-x)=-x+1-x =-1x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-f(x),所以f(x)=x+1x 为奇函数. (2) 定义域为A={x|x ∈R ,且x ≠0}.因为对定义域内的每一个x,都有f(-x)=(-x)2+21(-x)=x 2+21x =f(x),所以函数f(x)=x 2+21x 为偶函数.(3) 函数的定义域为A={x|x>0},关于原点不对称,所以函数.(4) 由221-x 0,x -10,⎧≥⎨≥⎩得x 2=1,所以x=±1,所以函数的定义域为{-1,1}.于是f(x)=0,x ∈{-1,1},满足f(-x)=f(x)=0,f(-x)=-f(x)=0,所以f(x)既是奇函数又是偶函数.10. 由f(1-m)+f(1-m 2)<0,得f(1-m)<-f(1-m 2),因为函数f(x)是奇函数,所以f(1-m)<f(m 2-1). 因为f(x)在定义域(-1,1)内是减函数,所以22-11-m 1,-11-m 11-m m -1,<<⎧⎪<<⎨⎪>⎩,解得0<m<1. 所以实数m 的取值范围是(0,1).11. (1) 因为x ∈[-3,3],所以f(x)的定义域关于原点对称.对定义域内的每一个x,都有f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x 2-2|x|-1=f(x),即f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.(2) 当0≤x ≤3时,f(x)=x 2-2x-1=(x-1)2-2;当-3≤x<0时,f(x)=x 2+2x-1=(x+1)2-2.所以f(x)=22(x-1)-2,0x 3,(x 1)-2,-3x 0.⎧≤≤⎨+≤<⎩函数f(x)的图象如图所示. (3) 由(2)知函数f(x)的单调区间为[-3,-1),[-1,0),[0,1),[1,3].f(x)在区间[-3,-1)和[0,1)上单调递减,在[-1,0)和[1,3]上单调递增.(4) 当x ≥0时,函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为-2,最大值为f(3)=2;当x<0时,函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2,最大值为f(-3)=2.故函数f(x)的值域为[-2,2].。
第4讲函数的奇偶性
一、基础知识考点11．函数奇偶性定义设函数y ＝)(x f 的定义域为D ，如果对于D 内任意一个x ，都有D x ∈-，且)()(x f x f -=-，那么这个函数叫做奇函数．设函数y ＝)(x g 的定义域为D ，如果对于D 内任意一个x ，都有D x ∈-，且)()(x g x g =-，那么这个函数叫做偶函数．2．奇偶函数的图象对称性奇函数)(x f 的图象关于原点成中心对称图形． 偶函数)(x g 的图象关于y 轴成轴对称图形．考点2判断函数奇偶性的步骤是：1．求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行下一步；如果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数．2．判断或是否成立， 如果只有成立，则函数是奇函数； 如果只有，则函数是偶函数； 如果两式都成立，则函数是即奇又偶函数．考点3一次函数和二次函数的奇偶性()()f x f x =--()()f x f x =-()()f x f x =--()()f x f x =-1．函数)0(≠+=k b kx y 叫做一次函数，它的定义域是R ，值域是R ；0=b 时该函数是奇函数且为正比例函数，直线过原点；0≠b 时，它既不是奇函数，也不是偶函数；2．函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做二次函数，它的定义域为是R ，图象是一条抛物线；当=b 0时，该函数为偶函数，其图象关于y 轴对称；二、例题精析【例题1】判断下列函数的奇偶性：① ② ③ ④【例题2】判断下列函数的奇偶性①；②；③；*④【例题3】若定义在R 上的奇函数)(x f 在），0(-∞单调递减，且0)2(=f ，则满足0)1(≥-x xf 的x 的取值范围是（ ）31()f x x x x =++22()11f x x =+()310f x x =-+2(),[3,6]f x x x =∈-32()1x x f x x -=-()f x =()22f x x x =+--2223,0()0,023,0x x x f x x x x x ⎧++<⎪==⎨⎪-+->⎩A ．),3[]11[+∞- ， B ．]1,0[]13[ --， C ．),1[]01[+∞- ， D ．]3,1[]01[ ，-【例题4】已知)(x f 为R 上的奇函数，当 时， ，求 时函数的解析式．【例题5】偶函数)(x f 在定义域为R ，且在（－∞，0]上单调递减，求满足)3(+x f ＞)1(-x f 的x 的集合．三、课堂运用【基础】1. 已知函数为偶函数，则m 的值是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 2．若)(x f 在()5,5-上是奇函数，且)3(f ＜)1(f ，则（ ）A. )1(-f ＜)1(fB. )0(f ＞)1(fC. )1(-f ＜)3(-fD. )3(-f ＞)5(-f【巩固】3．下列判断正确的是（ ）A 函数是奇函数；B 函数C 函数D 函数既是奇函数又是偶函数．4. 若偶函数)(x f 在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）0x >2()f x x x =-0x <)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 123422)(2--=x x x x f ()(1f x x =-()f x x =1)(=x f (]1,-∞-Ａ Ｂ．Ｃ． Ｄ．【拔高】5．设函数)(x f 与)(x g 的定义域是且,)(x f 是偶函数, )(x g 是奇函数,且,求)(x f 和)(x g 的解析式四、课程小结1.在函数)(x f 、)(x g 公共定义域内，奇函数±)(x f 奇函数)(x g ，结果是奇函数； 偶函数±)(x f 偶函数)(x g ，结果是偶函数；奇函数±)(x f 偶函数)(x g ，结果一般是非奇非偶函数； 奇函数⨯)(x f 奇函数)(x g ，结果是偶函数； 偶函数⨯)(x f 偶函数)(x g ，结果是偶函数； 奇函数⨯)(x f 偶函数)(x g ，结果是奇函数。
高考一轮复习题型归纳专题3-4：函数的奇偶性
第四节：函数的奇偶性题型14、函数奇偶性的概念知识点摘要：➢ 函数奇偶性的定义：设函数D x x f y ∈=，)(，（D 为关于原点对称的区间），如果对于任意的D x ∈,都有)()(x f x f -=，则称)(x f y =为偶函数；如果对于任意的D x ∈,都有)()(x f x f --=，则称)(x f y =为奇函数。
➢ 函数奇偶性的性质：①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。
②奇偶函数的图像：奇函数关于原点对称；偶函数关于y 轴对称。
③奇函数)(x f y =在0=x 处有意义，则必有0)0(=f 。
④偶函数)(x f y =必满足|)(|)(x f x f =。
典型例题精讲精练：1. 若)(x f 是奇函数，则其图象关于（ ）【答案：C 】A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线x y =对称2. 若函数))((R x x f y ∈=是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数)(x f y =图象上的是（ ）【答案：C 】A ．))(,(a f a -B ．))(,(a f a --C ．))(,(a f a ---D ．))(,(a f a -3. 下列说法错误的是（ ）【答案：D 】A.奇函数的图像关于原点对称B.偶函数的图像关于y 轴对称C.定义在R 上的奇函数()x f y =满足()00=fD.定义在R 上的偶函数()x f y =满足()00=f题型15、判断函数的奇偶性知识点摘要：➢ 定义法：➢ 运算函数奇偶性的规律：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×÷奇=偶；奇×÷偶=奇；偶×÷偶=偶。
➢ 复合函数奇偶性判断：内偶则偶，两奇为奇。
➢ 抽象函数奇偶性：赋值法。
典型例题精讲精练：15.1.定义法：1. 下列函数中为偶函数的是（ ）【答案：C 】A ．x y =B ．x y =C ．2x y =D ．13+=x y2. 判断函数的奇偶性①)3,1(,)(2-∈=x x x f ②2)(x x f -=；③25)(+=x x f ； ④)1)(1()(-+=x x x f .⑤()xx x f 1-= ⑥()13224+-=x x x f 【答案：】（1）非奇非偶函数.（2）偶函数.（3）非奇非偶函数.（4）偶函数.（5）奇函数（6）偶函数.15.2.奇偶函数的四则运算法则：3. 下列函数为偶函数的是（ ）【答案：D 】A.()x x x f +=B.()x x x f 12+= C.()x x x f +=2 D.()2x x x f =4. 判断函数的奇偶性①53)(x x x x f ++=； ②1y 2+=x x ③x x cos y =【答案：（1）奇函数. （2）奇函数. （3）奇函数】5. 已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 （填序号）。
《函数的基本性质》函数的概念与性质(第4课时奇偶性的应用)
•函数的基本概念•函数的奇偶性•奇偶性的应用目录•函数的其他基本性质•函数的应用举例函数的基本概念函数是数学中的一种关系，它接受输入值（称为自变量）并产生输出值（称为因变量）。
函数可以看作是数学模型，它描述了一个变量如何依赖于另一个变量的变化。
函数的定义通常包括定义域和值域两个概念，定义域是指输入值的范围，值域是指输出值的范围。
函数的定义函数的表示方法函数的表示方法通常有三种：解析式、图象和表格。
解析式是一种数学表达式，它描述了输入和输出之间的关系；图象是用图形表示函数的关系；表格则列出了一系列输入值和对应的输出值。
定义域是指输入值的范围，它确定了函数可以接受的输入值的范围。
值域是指输出值的范围，它确定了函数可能的输出值的范围。
定义域和值域一起构成了函数的范围，它们限制了函数的行为。
函数的定义域与值域函数的奇偶性奇函数对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，如果都有$f(-x)=-f(x)$，则$f(x)$称为奇函数。
偶函数对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，如果都有$f(-x)=f(x)$，则$f(x)$称为偶函数。
奇函数的图像关于原点对称。
偶函数的图像关于$y$轴对称。
奇函数在对称区间上的积分为零。
偶函数在对称区间上的积分为偶函数的一半。
01020304定义法图像法性质法根据函数的图像特征来判断。
根据奇函数和偶函数的性质来判断。
030201奇函数与偶函数的判断方法根据奇函数和偶函数的定义来判断。
奇偶性的应用总结词奇偶性是函数中重要的性质之一，利用奇偶性可以简化函数的计算过程。
详细描述如果函数满足$f(-x)=f(x)$，则称函数为偶函数；如果函数满足$f(-x)=-f(x)$，则称函数为奇函数。
在求解函数的值时，可以通过将自变量替换为相反数，利用奇偶性求出函数的值。
例如，若$f(x)$为偶函数，则$f(-x)=f(x)$，即$f(-3)=f(3)$；若$f(x)$为奇函数，则$f(-x)=-f(x)$，即$f(-3)=-f(3)$。
2、2、4函数的奇偶性2
2、2、4函数的奇偶性第一部分走进预习【预习】阅读教材第47～49页，试回答下列问题1、奇函数、偶函数的定义2、奇函数、偶函数的图象特点第二部分走进课堂【复习】1、增函数、减函数的定义2、单调性和单调区间的定义指出：这一节课我们来研究函数的另一种性质。
【探索新知】例子：问题：1 、（1）（2）图象各有什么特点？2、（1）（2）中的点和它的对称点的坐标有什么关系？x是函数定义域中的什么数？奇函数、偶函数的定义：奇函数、偶函数的图象特点：例1、判断下列函数的奇偶性（1）x x x f 2)(3-= （2）2442)(x x x f +=（3）)0,0(>>+=b a x b ax y （4）)0(2>-=k kx x y又如：1、一次函数)0(≠+=k b kx y 何时为奇函数？2、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 何时为偶函数？问题：有无函数)(x f ，)(x f 既是奇函数又是偶函数？结论：1、若函数)(x f 既奇又偶，则0)(=x f例子: 判断下列函数的奇偶性（1）)0()(2>=x x x f （2）)11()(2≤≤-=x x x f（3）)11()(2≤<-=x x x f结论：2、若函数)(x f 具有奇偶性，则)(x f 定义域对应数轴上的点关于原点对称。
例子：判断下列函数的奇偶性（1）2244)(x x x f -+-=（2）x x x f -+-=44)(注意：具有奇偶性的函数的图像特点根据具有奇偶性的函数的图像特点，在已知奇（偶）函数图像一部分时，可以画出另一部分。
例2：（1）||2)(3x x x f -= （2）)0,0(>>+=b a x b ax y（3）)0(2>+=k k x x y （4）)0(2>-=k kx x y例3、判断下列函数的奇偶性（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=101)(x f 000<=>x x x （2）⎩⎨⎧+--=)1()1()(x x x x x g 00≤>x x反思总结:第三部分 走向课外【课后作业】判断下列函数的奇偶性（1）1)(224-+=x x x x f （2）|1||1|)(--+=x x x g（3）42-=x xy （4）412-+=x x y（5）⎪⎩⎪⎨⎧-+=101)(x x x h 000<=>x x x（6）⎩⎨⎧=01)(x D Q x Q x ∉∈。
2.1.4函数奇偶性
课题函数的奇偶性课型主备人上课教师上课时间学习目标1．了解函数奇偶性的含义；2．掌握判断函数奇偶性的方法，能证明一些简单函数的奇偶性；3．初步学会运用函数图象理解和研究函数的性质教学重点单调性证明单调性应用教学难点单调性应用教师准备直尺PPT教学过程时间分配集备修正1．偶函数的定义：如果对于函数()y f x=的定义域内的任意一个x，都有()()f x f x-=，那么称函数()y f x=是偶函数．注意：（１）“任意”、“都有”等关键词；（２）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；2．奇函数的定义：如果对于函数()y f x=的定义域内的任意一个x，都有()()f x f x-=-，那么称函数()y f x=是奇函数．3．函数图像与单调性：奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称．4．函数奇偶性证明的步骤：（1）考察函数的定义域是否关于“0”对称；（2）计算()f x-的解析式，并考察其与()f x的解析式的关系；(3)下结论 . 1’5x5’【精典范例】一．判断函数的奇偶性：例1：判断下列函数是否是奇函数或偶函数： 判断下列函数的奇偶性：(1)3()f x x x =+ (2)()31f x x =+ (3)64()8f x x x =++，[2,2)x ∈-(4)()0f x = (5)42()23f x x x =+析：函数的奇偶性的判断和证明主要用定义。
【解】(1) 函数3()f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称， 且33()()()[]()f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以该函数是奇函数。
(2)函数()31f x x =+的定义域为R ，关于原点对称， ()3()131()f x x x f x -=-+=-+≠且()()f x f x -≠-，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数，即是非奇非偶函数。
(3) 函数64()8f x x x =++，[2,2)x ∈-的定义域为[2,2)-不关于原点对称，故该函数是非奇非偶函数。
2_4函数的奇偶性与周期性
§2.4 函数的奇偶性与周期性2014高考会这样考 1.判断函数的奇偶性；2.利用函数的奇偶性求参数；3.考查函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用． 复习备考要这样做 1.结合函数的图象理解函数的奇偶性、周期性；2.注意函数奇偶性和周期性的综合问题；3.利用函数的性质解决相关问题．1． 奇、偶函数的概念一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A .假如对于任意的x ∈A ，都有f (－x )＝f (x )，那么称函数y ＝f (x )是偶函数．假如对于任意的x ∈A ，都有f (－x )＝－f (x )，那么称函数y ＝f (x )是奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称．2． 奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．3． 周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，假如存有一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：假如在周期函数f (x )的所有周期中存有一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．4． 对称性若函数f (x )满足f (a －x )＝f (a ＋x )或f (x )＝f (2a －x )，则函数f (x )关于直线x ＝a 对称．一．自测1． (课本改编题)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________．2． (2011·广东)设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________.3． 设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是________．4． (2011·大纲全国)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝________.二．典型例题题型一 判断函数的奇偶性1.判断以下函数的奇偶性：(1)f (x )＝9－x 2＋x 2－9；(2)f (x )＝(x ＋1)1－x 1＋x； (3)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3.变式.以下函数：①f (x )＝x 3－x ；②f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)；③f (x )＝3x －3－x 2；④f (x )＝lg 1－x 1＋x . 其中奇函数的个数是________．题型二 函数的奇偶性与周期性2.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)．变式。
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第四讲 函数的奇偶性、周期性
学习目标
1、掌握函数奇偶性的概念及判断，并利用奇偶性与单调性解决一些函数的综合问题。
2、理解函数的周期性概念，并利用周期性解决一些简单问题。
一、知识回顾
知识点1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x ：
（1）如果都有f(－x)=-f(x)，f(x)为奇函数，它的图象关于原点对称。
（2）如果都有f(－x)=f(x)，f(x)为偶函数，它的象关于y 轴对称。
知识点2、奇、偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 。
(2)在公共定义域内：
①两个奇函数的和是 ，两个奇函数的积是 ；
②两个偶函数的和、积都是 ；
③一个奇函数，一个偶函数的积是
知识点3、函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期。
(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中 的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期。
二、例题辨析
题型一、奇偶性的判断
例1、判断下列函数的奇偶性：
变式练习 1、 判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x )＝4－x 2
|x ＋3|－3
； (2)f (x )＝x 2－|x －a |＋2. 452(1)
() (2) ()11(3) () (4) ()f x x f x x f x x f x x x ===+=
题型二、利用函数的奇偶性求函数解析式
例2、已知函数)(x f y =在R 是奇函数，且当0≥x 时，x x x f 2)(2-=，则0<x 时，)(x f 的解析式为_______________。
变式练习 2、已知y=f(x)是偶函数，当x>0时，)0()(>+=a x a x x f ，则0<x 时，)(x f 的解析式为_______________。
题型三、利用函数的奇偶性求函数值
例3、已知函数)(x f 为奇函数，且当x ＞0时，x
x x f 1)(2+
=，则=-)1(f ( ) A.－2 B.0 C.1 D.2
变式练习 3、已知函数f(x)＝2211x x x +++，若f(a)＝23，则f(－a)＝________.
题型四、 函数的周期性
例4、设偶函数f(x)对任意x ∈R 都有f(x ＋3)＝－()
1f x ，且当x ∈[－3，－2]时，f(x)＝4x ，则f(107.5)＝( )
A ．10 B.110 C ．－10 D ．－110
变式练习4、设定义在R 上的函数f(x)满足f(x)·f(x ＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(2015)＝
( ) A.133 B.132 C ．13 D.392
题型五、函数性质的综合应用
例5、已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f (1－m )＋f (1－m 2)＜0的实数m 的取值范围．
变式练习5、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)
B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)
C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)
D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)
三、归纳总结
归纳1、用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)先求定义域，看是否关于原点对称；
(2)再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立。
奇函数的图象关于原点对称。
反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数。
偶函数的图象关于y 轴对称。
反过来，如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么就称这个函数为偶函数。
归纳2、不是所有的周期函数都有最小正周期 (比如常数函数)。
课后作业
1、函数||y x x px =+，x R ∈是（ ）
A. 偶函数
B. 奇函数
C. 不具有奇偶函数
D. 与p 有关
2. (2014 重庆文)下列函数为偶函数的是（ ）
.()1A f x x =- 3.()B f x x x =+ .()22x x C f x -=- .()22x x D f x -=+
3、若函数()(1)()f x ax x a =+-为偶函数，且函数()y f x =在()0,x ∈+∞上单调递增，则实数a
的值为（ ）
A. 1±
B. 1-
C. 1
D. 0
4. (2014 四川理)设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，
242,10,(),
01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f = 。
5. (2014 湖南理)已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且
32()()1,f x g x x x -=++ (1)(1)f g +则＝( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
6．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1，
(1)求证：f (x )是周期函数；
(2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的解析式；
(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2013)的值．。