【走向高考】高考数学一轮总复习 8-6抛物线课后强化作业新人教A版

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【走向高考】高考数学一轮总复习 8-4椭圆课后强化作业新人教A版

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 8-4椭圆课后强化作业新人教A 版基础巩固强化一、选择题1．(文)设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10[答案] D[解析] ∵a 2＝25，∴a ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.(理)椭圆x 216＋y 27＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．32B ．16C ．8D ．4 [答案] B[解析] 由题设条件知△ABF 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16.2．(文)(2012·丽水模拟)若P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )A.53B.23C.13D.12[答案] A[解析] 在Rt △PF 1F 2中，不妨设|PF 2|＝1，则|PF 1|＝2.|F 1F 2|＝5，∴e ＝2c 2a ＝53.(理)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1、F 2，若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|:|F 1F 2|:|PF 2|＝4:3:2，则曲线Γ的离心率等于( )A.12或32B.23或2C.12或2 D.23或32[答案] A[解析] 设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t (t >0)，若Γ为椭圆，则离心率为e ＝3t 6t ＝12，若Γ为双曲线，则离心率为3t 2t ＝32.3．(2013·浙江绍兴一模)椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8 D.32[答案] B[解析] 连接MF 2.已知|MF 1|＝2，又|MF 1|＋|MF 2|＝10，∴|MF 2|＝10－|MF 1|＝8. 如图，|ON |＝12|MF 2|＝4.故选B.4．(2013·新课标Ⅰ理，10)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 [答案] D[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵A 、B 在椭圆上，∴⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1.两式相减得，x 21－x 22a 2＝y 22－y 21b2，即(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＝(y 2－y 1)(y 2＋y 1)b 2，∵AB 的中点为(1，－1)，∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2a2，又∵k ＝－1－01－3＝12，∴b 2a 2＝12，又∵c 2＝a 2－b 2＝2b 2－b 2＝b 2，c 2＝9，∴b 2＝9，a 2＝18， ∴椭圆E 的标准方程为x 218＋y 29＝1，故选D.5．(文)若椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 [答案] A[解析] 依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝13×2a ，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，∴椭圆方程为x 281＋y 272＝1.(理)(2013·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 28＋y 24＝1 D.x 216＋y 24＝1 [答案] A[解析] 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点(2，3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立得a 2＝8，b 2＝6.6．椭圆x 2100＋y 264＝1的焦点为F 1、F 2，椭圆上的点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是( )A.6433B.9133C.1633D.643 [答案] A[解析] 由余弦定理：|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝|F 1F 2|2.又|PF 1|＋|PF 2|＝20，代入化简得|PF 1|·|PF 2|＝2563， ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝6433.二、填空题7．(文)设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点距离为________．[答案] 4[解析] |OM |＝3，|PF 2|＝6，又|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|＝4.(理)(2013·池州二模)已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为________．[答案] 8[解析] M (3，0)与F (－3，0)是椭圆的焦点，则直线AB 过椭圆左焦点F (－3，0)，且|AB |＝|AF |＋|BF |，△ABM 的周长等于|AB |＋|AM |＋|BM |＝(|AF |＋|AM |)＋(|BF |＋|BM |)＝4a ＝8.8．若方程x 2sin2α－y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么α的取值范围是________． [答案] ⎝⎛⎭⎫2k π＋7π6，2k π＋3π2，k ∈Z [解析] 根据题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－1cos α>1sin2α，cos α<0，sin2α>0.化简得，⎩⎪⎨⎪⎧－1≤sin α<－12，cos α<0.解得α∈⎝⎛⎭⎫2k π＋76π，2k π＋32π(k ∈Z )． 9．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的面积为πab ，M 包含于平面区域Ω：⎩⎨⎧|x |≤2，|y |≤ 3.内，向Ω内随机投一点Q ，点Q 落在椭圆M 内的概率为π4，则椭圆M 的方程为________．[答案] x 24＋y 23＝1[解析]平面区域Ω：⎩⎨⎧|x |≤2，|y |≤ 3.是一个矩形区域，如图所示，依题意及几何概型，可得πab 83＝π4，即ab ＝2 3. 因为0<a ≤2,0<b ≤3，所以a ＝2，b ＝ 3. 所以，椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.三、解答题10．椭圆的两焦点坐标分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且椭圆过点M (1，－32)． (1)求椭圆方程；(2)过点N (－65，0)作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于P 、Q 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠P AQ 的大小是否为定值，并说明理由．[解析] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意c ＝3，且椭圆过点M (1，－32)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，1a 2＋34b2＝1.⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1. (2)设直线PQ ：x ＝ty －65，由⎩⎨⎧x ＝ty －65，x24＋y 2＝1.消去x 得，(t 2＋4)y 2－125ty －6425＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， ∴y 1y 2＝－6425(t 2＋4)，y 1＋y 2＝12t5(t 2＋4)，又A (－2,0)，∴AP →·AQ →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2＝(ty 1＋45)(ty 2＋45)＋y 1y 2＝(t 2＋1)y 1y 2＋45t (y 1＋y 2)＋1625＝0，∴∠P AQ ＝π2(定值).能力拓展提升一、选择题11．(2013·荆州市质检)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋2bx ＋c ＝0的两个实数根分别是x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)到原点的距离为( )A. 2B.72C ．2 D.74[答案] A[解析] 因为e ＝c a ＝12，所以a ＝2c ，由a 2＝b 2＋c 2，得b a ＝32，x 1＋x 2＝－2ba ＝－3，x 1x 2＝c a ＝12，点P (x 1，x 2)到原点(0,0)的距离d ＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝ 2. 12．(文)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45 B.35 C.25 D.15 [答案] B[分析] 要求离心率e ＝ca ，先由条件建立a 、b 、c 的方程，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，两边同除以a 2即可化为e 的方程．[解析] 由题意得：4b ＝2(a ＋c )⇒4b 2＝(a ＋c )2⇒3a 2－2ac －5c 2＝0⇒5e 2＋2e －3＝0⇒e ＝35或e ＝－1(舍)，故选B. (理)(2013·全国大纲理，8)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是( )A ．[12，34]B ．[38，34]C ．[12，1]D ．[34，1][答案] B [解析]如图：A 1(－2,0)，A 2(2,0)直线A 2M 的方程为y ＝－(x －2)，即y ＝2－x ，代入椭圆方程x 24＋y 23＝1中消去y 得，7x 2－16x ＋4＝0，∴2＋x ＝167，∴x ＝27，∴M 点坐标为(27，127)．同理可得N 点坐标为(2619，2419)∵kA 1M ＝12727＋2＝34，kA 1N ＝24192619＋2＝38，∴直线P A 1斜率的取值范围是[38，34]．[解法探究] 点P 在椭圆C 上运动，P A 2的斜率取值已知，求P A 1的斜率的取值范围，若能找到kP A 1与kP A 2的关系，则解答更简便．由条件知，A 1(－2,0)，A 2(2,0)，设P 点坐标为(x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，kP A 2＝y 0x 0－2，kP A 1＝y 0x 0＋2，于是kP A 1·kP A 2＝y 20x 20－22＝3－34x 20x 20－4＝－34.∴kP A 1＝3－4kP A 2，∵－2≤kP A 2≤－1，∴4≤－4kP A 2≤8，∴38≤kP A 1≤34.13．(文)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A 、B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2[答案] C [解析]由已知双曲线渐近线为y ＝±2x .圆方程为x 2＋y 2＝a 2，则|AB |＝2a .不妨取y ＝2x 与椭圆交于P 、Q 两点，且P 在x 轴上方，则由已知|PQ |＝13|AB |＝2a 3，∴|OP |＝a 3.则点P 坐标为(5a 15，25a15)，又∵点P 在椭圆上，∴5a 2225a 2＋20a 2225b2＝1.①又∵a 2－b 2＝5，∴b 2＝a 2－5.②，解①②得⎩⎨⎧a 2＝112，b 2＝12.故选C. (理)设F 是椭圆x 225＋y216＝1的左焦点，且椭圆上有2011个不同的点P i (x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，2011)，且线段|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…，|FP 2011|的长度成等差数列，若|FP 1|＝2，|FP 2011|＝8，则点P 2010的横坐标为( )A.20082011B.1005201 C.1004201 D.53667[答案] C[解析] ∵椭圆x 225＋y 216＝1，∴F (－3,0)，由|FP 1|＝2＝a －c ，|FP 2011|＝8＝a ＋c ，可知点P 1为椭圆的左顶点，P 2011为椭圆的右顶点，即x 1＝－5，x 2011＝5＝－5＋2010d ，∴d ＝1201，则数列{x i }是以－5为首项，1201为公差的等差数列，∴x 2010＝－5＋2009×1201＝1004201. 二、填空题14．(文)如果AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的任意一条与x 轴不垂直的弦，O 为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M 为AB 的中点，则k AB ·k OM 的值为________．[答案] e 2－1[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)，由点差法，x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，作差得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＝(y 2－y 1)(y 2＋y 1)b 2，∴k AB ·k OM ＝y 2－y 1x 2－x 1·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2a2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1.(理)以椭圆的右焦点F 2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M 、N ，椭圆的左焦点为F 1，且直线MF 1与此圆相切，则椭圆的离心率e 等于________．[答案]3－1[解析] 由题意知，MF 1⊥MF 2，|MF 2|＝|OF 2|＝c ，又|F 1F 2|＝2c ，∴|MF 1|＝3c ，由椭圆的定义，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， ∴3c ＋c ＝2a ，∴e ＝ca＝3－1.15．(2013·苏北四市联考)已知两定点M (－1,0)，N (1,0)，若直线上存在点P ，使|PM |＋|PN |＝4，则该直线为“A 型直线”．给出下列直线，其中是“A 型直线”的是________(填序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝－x ＋3；④y ＝－2x ＋3. [答案] ①④[解析] 由题意可知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其方程是x 24＋y 23＝1，①把y ＝x ＋1代入x 24＋y 23＝1并整理得，7x 2＋8x －8＝0，∵Δ＝82－4×7×(－8)>0，直线与椭圆有两个交点， ∴y ＝x ＋1是“A 型直线”．②把y ＝2代入x 24＋y 23＝1，得x 24＝－13不成立，直线与椭圆无交点，∴y ＝2不是“A 型直线”．③把y ＝－x ＋3代入x 24＋y 23＝1并整理得，7x 2－24x ＋24＝0，Δ＝(－24)2－4×7×24<0，∴y ＝－x ＋3不是“A 型直线”．④把y ＝－2x ＋3代入x 24＋y 23＝1并整理得，19x 2－48x ＋24＝0，∵Δ＝(－48)2－4×19×24>0，∴y ＝－2x ＋3是“A 型直线”．三、解答题16．(文)(2012·广东文，20)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程． [解析] (1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，所以c ＝1，将点P (0,1)代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得1b 2＝1，即b 2＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2，所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得，(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0 整理得2k 2－m 2＋1＝0，①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得， k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0，因为直线l 与抛物线C 2相切，所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0，整理得km ＝1，②综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝22，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－ 2. 所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. (理)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．[解析] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，a b ＝23，c ＝2.解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P (x ，y )为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x 216＋y 212＝1，故－4≤x ≤4.因为MP →＝(x －m ，y )，所以|MP →|2＝(x －m )2＋y 2＝(x －m )2＋12×⎝⎛⎭⎫1－x 216. ＝14x 2－2mx ＋m 2＋12＝14(x －4m )2＋12－3m 2. 因为当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，即当x ＝4时，|MP →|2取得最小值．而x ∈[－4,4]，故有4m ≥4，解得m ≥1.又点M 在椭圆的长轴上，即－4≤m ≤4. 故实数m 的取值范围是m ∈[1,4]．考纲要求1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质． 2．了解圆锥曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想．补充说明1．求椭圆的方程主要有定义法和待定系数法，运用待定系数法求方程时，当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0)，可以避免讨论和繁琐的计算，也可以设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0)，这种形式在求解过两定点的椭圆方程时更简便．2．用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤：(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；(2)设方程：根据上述判断设方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，当椭圆焦点位置不确定时，可设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )；(3)找关系：根据已知条件，建立方程组；(4)写出标准方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求． 3．函数与方程的思想(1)在圆锥曲线的一些求取值范围及最值的问题中，常将所求量表达为其他量的函数，运用函数的方法解决．(2)求圆锥曲线方程时，往往是已知曲线形状特征或由已知条件可分析其几何特征，确定形状，设出其标准方程，然后设法列出关于待定系数的方程或方程组求待定系数．要注意解题过程中，设而不求、整体处理的策略和恰当运用一元二次方程根与系数的关系求解．4．焦点三角形问题椭圆的一条焦点弦和另一焦点围成一个三角形．习惯上称为焦点三角形，在焦点三角形中命制题目是常见命题方式，解决焦点三角形问题经常从以下几个方面入手：①定义；②正、余弦定理；③三角形面积．5．求椭圆的离心率时，常常要列出a 、b 、c 的一个齐次方程，结合b 2＝a 2－c 2，两边同除以a 2化为e (e ＝ca)的二次方程求解．6．椭圆上点M 到焦点距离的最大值为a ＋c ，最小值为a －c . 备选习题1．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 22＋y 24＝1 D ．x 2＋y 23＝1[答案] A[解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，∴a ＝2，c ＝2，∵c 2＝a 2－b 2，∴b 2＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.2．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，D 是它短轴上的一个顶点，若2DF 1→＝DA →＋DF 2→，则该椭圆的离心率为( )A.12B.13C.14D.15[答案] B[解析] 由2DF 1→＝DA →＋DF 2→知F 1是AF 2的中点， ∴a －c ＝2c ，∴a ＝3c ，e ＝13.3．F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为()A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] A[解析] ∵PQ 平分∠F 1P A ，且PQ ⊥AF 1， ∴Q 为AF 1的中点，且|PF 1|＝|P A |， ∴|OQ |＝12|AF 2|＝12(|P A |＋|PF 2|)＝a ，∴Q 点轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆．4．(2013·乌鲁木齐一诊)如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，直线B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1P A 2为钝角，则此椭圆的离心率e 的取值范围为________．[答案] (5－12，1)[解析] 设椭圆的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)，∠B 1P A 2为钝角可转化为B 2A 2→与F 2B 1→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )<0，得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故(c a )2＋ca －1>0，即e 2＋e －1>0，e >5－12或e <－5－12，又0<e <1，所以5－12<e <1.。

【走向高考】高考数学一轮总复习(基础梳理导学+高频考点通关)8-6抛物线课件新人教B版

1 在抛物线弧“外部”，依据抛物线的定义，应有|PM|＝|PF|－ 2 (F 为抛物线的焦点 ) ，∵ P 在抛物线上运动，故总有 |PA| ＋ |PF|≥|AF|，从而当 P、A、F 三点共线时|PM|＋|PA|＝|PF|＋|PA| 1 －2取最小值．
(1,0)．点 P 到 y 轴的距离 d1＝|PF|－1，所以 d1＋d2＝d2＋|PF| －1.易知 d2＋|PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离，故 d2＋|PF| |1＋5| 的最小值为 2 所以 d1＋d2 的最小值为 3 2－ 2＝3 2， 1 ＋－1 1.
疑难误区点拨警示 1．关于抛物线定义要注意点 F 不在直线 l 上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线. 2．关于抛物线的标准方程由于选取坐标系时，坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式，解题时要依据条件选取方程的形式．
3．(文)(2013· 温州模拟)设 O 是坐标原点，F 是抛物线 y2 → ＝2px(p>0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA与 x 轴正方向的 → 夹角为 60° ，则|OA|为( 21p A. 4 13 C. p 6
[答案] B
)
21p B. 2 13 D. p 36
[解析]
如图，过 A 作 AD⊥x 轴于 D，令|FD|＝m，则|FA|
＝2m，|AD|＝ 3m，由抛物线定义知|FA|＝|AB|，
即 p＋m＝2m，∴m＝p. → ∴|OA|＝ p 21 2 2 ＋p ＋ 3p ＝ p. 2 2
(理)(2013· 长春一模)如图，过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A， B，交其准线 l 于点 C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )

高考数学一轮复习 8.7 抛物线课时作业理(含解析)新人教A版

高考数学一轮复习 8.7 抛物线课时作业理（含解析）新人教A 版一、选择题1．(2013·郑州第三次质量预测)抛物线y 2＝12x 的准线与双曲线x 24－y 212＝1的两条渐近线围成的三角形的面积为( )A ．6B ．6 3C ．9D ．9 3解析：抛物线y 2＝12x 的准线方程为x ＝－3，双曲线x 24－y 212＝1的两条渐近线方程为y＝±3x ，故所围成的三角形面积为S ＝3·3×3＝9 3.答案：D2．(2013·北京东城综合练习(二))过抛物线y 2＝4x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝10，则AB 的中点到y 轴的距离等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由抛物线的定义知点A 与点B 到y 2＝4x 的距离之和为10，故AB 中点到准线的距离为5，因准线方程为x ＝－1，故AB 中点到y 轴的距离为4.答案：D3．(2013·北京西城区高三二模)已知正六边形ABCDEF 的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是( )A.34B.32C. 3 D ．2 3解析：由已知可以AD 为x 轴，AD 中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，易得C (1，－3)，D (2,0)，设抛物线方程为x 2＝ay ＋b ，代入解得x 2＝3y ＋4，故焦点到准线的距离为32. 答案：B4．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)，选C.答案：C5．(2013·福建质检)设抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，垂足为A ，如果△APF 为正三角形，那么|PF |等于( )A ．4 3B ．6 3C ．6D ．12解析：∵PA ⊥l ，△APF 为等边三角形，∴∠FAB ＝30° 在Rt △ABF 中，∵|BF |＝3， ∴|AF |＝6，∴|PF |＝6 答案：C6．(2014·广州中山一中七校联考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B. 2 C.322D ．2 2 解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由|AF |＝3及抛物线定义可得，x 1＋1＝3，∴x 1＝2.∴A 点坐标为(2,22)，则直线AB 的斜率k ＝22－02－1＝2 2.∴直线AB 的方程为y ＝22(x－1)，即为22x －y －22＝0，则点O 到该直线的距离为d ＝223.由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝22x －1，消去y 得，2x 2－5x ＋2＝0，解得x 1＝2，x 2＝12.∴|BF |＝x 2＋1＝32，∴|AB |＝3＋32＝92.∴S △AOB＝12|AB |·d ＝12×92×223＝322. 答案：C 二、填空题7．(2013·陕西宝鸡第三次模拟)抛物线顶点在原点，焦点在x 轴正半轴，有且只有一条直线l过焦点与抛物线相交于A，B两点，且|AB|＝1，则抛物线方程为________．解析：由抛物线图象可知这样的直线只能是通径，∴|AB|＝1，即2p＝1，∴y2＝x.答案：y2＝x8．(2013·汕头市质量测评(二))上图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降2米后，水面宽________米．解析：建系如右图，设抛物线方程为x2＝2py，过(2，－2)点得p＝－1，∴x2＝－2y，水面下降2米得y＝－4，解得x＝±22，∴水面宽4 2.答案：4 29．(2013·黑龙江哈尔滨四校统一检测)已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x －y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．解析：依题意，抛物线的焦点F (1,0)，过点P 作PN ⊥l ，垂足为N ，过点P 作准线x ＝－1的垂线，垂足为M ，交y 轴于点E ，则d 1＋d 2＝|PN |＋|PE |＝|PN |＋|PM |－1＝|PN |＋|PF |－1≥|FN |－1，当且仅当F ，P ，N 三点共线时等号成立．由于点F 到直线l 的距离为32，所以d 1＋d 2的最小值为32－1.答案：32－110．(2012·重庆卷)过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________. 解析：F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设A ，B 两点的横坐标为x 1，x 2. 因|AF |<|BF |，故直线AB 不垂直于x 轴．设直线AB 为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，联立直线与抛物线的方程得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0，①则x 1＋x 2＝k 2＋2k2，又|AB |＝x 1＋x 2＋1＝2512，可解得k 2＝24，代入①式得12x 2－13x ＋3＝0，即(3x －1)(4x－3)＝0.而|AF |<|BF |，所以x 1＝13，由抛物线的定义得|AF |＝x 1＋12＝56.答案：56三、解答题11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为213，一直角边的方程是y ＝2x ，求抛物线的方程．解：因为一直角边的方程是y ＝2x ，所以另一直角边的方程是y ＝－12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x y 2＝2px ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2y ＝p，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0(舍去)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12xy 2＝2px，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8py ＝－4p，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0(舍去)，∴三角形的另两个顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，p 和(8p ，－4p )．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－8p 2＋p ＋4p 2＝213.解得p ＝45，故所求抛物线的方程为y 2＝85x .12．已知抛物线方程x 2＝4y ，过点P (t ，－4)作抛物线的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B .(1)求证：直线AB 过定点(0,4)；(2)求△OAB (O 为坐标原点)面积的最小值．解：(1)证明：设切点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．又y ′＝12x ，则切线PA 的方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，即y ＝12x 1x －y 1，切线PB 的方程为y －y 2＝12x 2(x －x 2)，即y ＝12x 2x －y 2，由点P (t ，－4)是切线PA ，PB 的交点可知：－4＝12x 1t －y 1，－4＝12x 2t －y 2，∴过A 、B 两点的直线方程为－4＝12tx －y ，即12tx －y ＋4＝0.∴直线AB ：12tx －y ＋4＝0过定点(0,4)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧12tx －y ＋4＝0x 2＝4y得x 2－2tx －16＝0.则x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－16.S △OAB ＝12×4×|x 1－x 2|＝2x 1＋x 22－4x 1x 2＝24t 2＋64≥16.当且仅当t ＝0时，△OAB 的面积取得最小值16. [热点预测]13．(2013·石家庄质检(二))已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－p2；若拋物线C ：y 2＝2px (p >0)上的点到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若以拋物线上任意一点M 为切点的直线l 与直线l 2交于点N ，试问在x 轴上是否存在定点Q ，使Q 点在以MN 为直径的圆上，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)由定义知l 2为抛物线的准线，抛物线焦点坐标F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0 由抛物线定义知抛物线上点到直线l 2的距离等于其到焦点F 的距离．所以抛物线上的点到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为焦点F 到直线l 1的距离．所以2＝|2p ＋6|5，则p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .(2)设M (x 0，y 0)，由题意知直线l 斜率存在，设为k ，且k ≠0，所以直线l 方程为y －y 0＝k (x －x 0)，代入y 2＝4x 消x 得：ky 2－4y ＋4y 0－ky 20＝0. 由Δ＝16－4k (4y 0－ky 20)＝0，得k ＝2y 0.所以直线l 方程为y －y 0＝2y 0(x －x 0)，令x ＝－1，又由y 2＝4x 0得N ⎝⎛⎭⎪⎫－1，y 20－42y 0 设Q (x 1,0)，则QM →＝(x 0－x 1，y 0)，QN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－x 1，y 20－42y 0 由题意知QM →·QN →＝0，即(x 0－x 1)(－1－x 1)＋y 20－42＝0，把y 20＝4x 0代入左式，得：(1－x 1)x 0＋x 21＋x 1－2＝0，因为对任意的x 0等式恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝0，x 21＋x 1－2＝0.所以x 1＝1即在x 轴上存在定点Q (1,0)在以MN 为直径的圆上．。

(全国通用)近年高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7节抛物线课时分层训练文新人教A版(

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课时分层训练（五十一）抛物线A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．（2016·四川高考)抛物线y2＝4x的焦点坐标是（）A．（0,2) B．(0,1）C．(2,0）D．（1，0)D［由y2＝4x知p＝2，故抛物线的焦点坐标为(1，0）．］2．(2017·云南昆明一中模拟）已知点F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在抛物线C上，若｜AF｜＝4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为( ）A．4 B．3C．2 D．1B[由题意易知F(1，0)，F到准线的距离为2，A到准线的距离为｜AF｜＝4，则线段AF 的中点到抛物线C的准线的距离为错误!＝3.］3．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－错误!＝1的渐近线的距离是( ）A。

错误! B.错误!C．1 D.3B[由双曲线x2－错误!＝1知其渐近线方程为y＝±错误!x,即错误!x±y＝0,又y2＝4x的焦点F（1，0）,∴焦点F到直线的距离d＝错误!＝错误!.]4．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是( )A．y2＝±2错误!x B．y2＝±2xC．y2＝±4x D．y2＝±4错误!xD［因为双曲线的焦点为（－2，0)，(2，0）．设抛物线方程为y2＝±2px（p〉0)，则错误!＝错误!，p＝2错误!.所以抛物线方程为y2＝±4错误!x.］5．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若｜PF|＝4错误!，则△POF的面积为( )【导学号：31222325】A．2 B．2错误!C．2 3 D．4C[如图，设点P的坐标为（x0，y0)，由｜PF｜＝x0＋错误!＝4错误!，得x0＝3错误!，代入抛物线方程得,y错误!＝4错误!×3错误!＝24，所以|y0|＝26，所以S△POF＝错误!|OF｜|y0|＝错误!×错误!×2错误!＝2错误!.]二、填空题6．(2017·山西四校三联)过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B 两点,则弦长｜AB｜为__________. 【导学号：31222326】8 [设A（x1，y1），B(x2，y2）．易得抛物线的焦点是F（1,0)，所以直线AB的方程是y＝x －1。

高考数学一轮复习人教A版抛物线名师精编课件(48张)

【解】
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第十章·第一节
将 x＝3 代入抛物线方程 y2＝2x，得 y＝± 6.∵ 6>2，∴A 在抛物线内部，如图． 1 设抛物线上点 P 到准线 l：x＝－ 2的距离为 d，由定义知|PA | 7 ＋|PF|＝ |PA |＋d，当 PA⊥l 时， |PA |＋d 最小，最小值为，即 |PA | 2 7 ＋|PF|的最小值为 2，此时 P 点纵坐标为 2，代入 y2＝2x，得 x＝2， ∴点 P 的坐标为(2,2)．
答案：9
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第十章·第一节
知识点二标准方程
抛物线的标准方程与几何性质 y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0)
y2＝2px (p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
______ ______
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
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答案：(1)D (2)B
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第十章·第一节
热点三直线与抛物线的位置关系考向 1 焦点弦问题【例 3】已知过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB |＝9. (1)求该抛物线的方程； → → → (2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC＝OA＋λOB，求 λ 的值．
准线于点 E，D，
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第十章·第一节
设|BF|＝a，则由已知得： |BC|＝2a，由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30° ，在直角三角形 ACE 中，因为|AF|＝3， |AC|＝3＋ 3a，又 2|AE| 1 2 ＝|AC|，所以 3＋3a＝6，从而得 a＝1，因为 BD∥FG，所以＝3， p 3 求得 p＝2，因此抛物线方程为 y2＝3x.

【走向高考】高考数学一轮总复习 8-8圆锥曲线的综合问题课后强化作业新人教A版

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 8-8圆锥曲线的综合问题课后强化作业新人教A 版基础巩固强化一、选择题1．若点P 到直线y ＝－2的距离比它到点A (0,1)的距离大1，则点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线[答案] D[解析] 由条件知，点P 到直线y ＝－1的距离与它到点A (0,1)的距离相等，∴P 点轨迹是以A 为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线．2．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A ．两条直线 B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线[答案] D[解析] 原方程化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0，或x －3－1＝0， ∴2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故选D.3．若中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的顶点是椭圆x 22＋y 2＝1短轴端点，且该双曲线的离心率与此椭圆的离心率之积为1，则该双曲线的方程为( )A ．x 2－y 2＝1B ．y 2－x 2＝1 C.x 24－y 2＝1 D.y 24－x 2＝1 [答案] B[解析] ∵椭圆x 22＋y 2＝1的短轴端点为(0，±1)，离心率e 1＝c a ＝22.∴双曲线的顶点(0，±1)，即焦点在y 轴上，且a ＝1，离心率e 2＝c ′a ＝2，∴c ′＝2，b ＝1，所求双曲线方程为y 2－x 2＝1.故选B.4．长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，AC →＝2CB →，则点C 的轨迹是( )A ．线段B ．圆C ．椭圆D ．双曲线[答案] C[解析] 设C (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，则 a 2＋b 2＝9，① 又AC →＝2CB →，所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝32y ，②把②代入①式整理可得：x 2＋14y 2＝1.故选C.5．(2012·天津模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y 225＝1 B.4x 221＋4y 225＝1 C.4x 225－4y 221＝1 D.4x 225＋4y 221＝1 [答案] D[解析] M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |.∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，(5>|AC |) ∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y 221＝1.故选D.6．已知log 2x 、log 2y 、2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M (x ，y )的轨迹为( )[答案] A[解析] 由log 2x ，log 2y,2成等差数列得 2log 2y ＝log 2x ＋2 ∴y 2＝4x (x >0，y >0)，故选A. 二、填空题7．设P 为双曲线x 24－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M的轨迹方程是________．[答案] x 2－4y 2＝1[解析] 设M (x ，y )，则P (2x,2y )，代入双曲线方程得x 2－4y 2＝1，即为所求． 8．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________．[答案] x 24a 2＋y 24b2＝1[解析] 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，Q (x ，y )，P (x 1，y 1)， ∴PF 1→＝(－c －x 1，－y 1)，PF 2→＝(c －x 1，－y 1)，OQ →＝(x ，y )，由OQ →＝PF 1→＋PF 2→得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x 1，y ＝－2y 1，∴⎩⎨⎧x 1＝－x 2，y 1＝－y2.代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中得，x 24a 2＋y 24b 2＝1.9．已知A 、B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的两个动点，线段AB 的长为23，P 是AB 的中点，则动点P 的轨迹C 的方程为________．[答案] x 29＋y 2＝1[解析] 设P (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵P 是线段AB 的中点，∴⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.①∵A 、B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的点， ∴y 1＝33x 1和y 2＝－33x 2. 代入①中得，⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝23y ，y 1－y 2＝233x .② 又|AB →|＝23，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝12.∴12y 2＋43x 2＝12，∴动点P 的轨迹C 的方程为x 29＋y 2＝1.三、解答题 10.如图所示，在平面直角坐标系中，N 为圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝16上的一动点，点B (1,0)，点M 是BN 的中点，点P 在线段AN 上，且MP →·BN →＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)试判断以PB 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝4的位置关系，并说明理由．[解析] (1)∵点M 是BN 中点，又MP →·BN →＝0， ∴PM 垂直平分BN ，∴|PN |＝|PB |，又|P A |＋|PN |＝|AN |，∴|P A |＋|PB |＝4，由椭圆定义知，点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆．设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，由2a ＝4,2c ＝2可得，a 2＝4，b 2＝3. 可得动点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)设PB 中点为C ，则|OC |＝12|AP |＝12(|AN |－|PN |)＝12(4－|PB |)＝2－12|PB |. ∴两圆内切.能力拓展提升11.(2013·宁夏育才中学模拟)已知平面上一定点C (－1,0)和一定直线l ：x ＝－4，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，(PQ →＋2PC →)·(PQ →－2PC →)＝0.(1)问点P 在什么曲线上？并求出该曲线方程；(2)点O 是坐标原点，A 、B 两点在点P 的轨迹上，若OA →＋λOB →＝(1＋λ)OC →，求λ的取值范围．[解析] (1)由(PQ →＋2PC →)·(PQ →－2PC →)＝0，得PQ →2－4PC →2＝0.设P (x ，y )，则(x ＋4)2－4[(x ＋1)2＋y 2]＝0，化简得x 24＋y 23＝1，即点P 在椭圆上，其方程为x 24＋y 23＝1. (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， ∵OA →＋λOB →＝(1＋λ)OC →，∴CA →＋λCB →＝0，∴(x 1＋1，y 1)＋λ(x 2＋1，y 2)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1－λ－λx 2，y 1＝－λy 2.因为x 214＋y 213＝1，所以(－1－λ－λx 2)24＋(－λy 2)23＝1，①又因为x 224＋y 223＝1，所以(λx 2)24＋(λy 2)23＝λ2，②由①－②得2λ(λ＋1)x 2＋(λ＋1)24＝1－λ2，化简得x 2＝3－5λ2λ.因为－2≤x 2≤2，所以－2≤3－5λ2λ≤2，解得13≤λ≤3，所以λ的取值范围为[13，3]．12．(2013·乌鲁木齐诊断)已知点F (1,0)，⊙F 与直线4x ＋3y ＋1＝0相切，动圆M 与⊙F 及y 轴都相切．(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点F 任作直线l ，交曲线C 于A ，B 两点，由点A ，B 分别向⊙F 各引一条切线，切点分别为P ，Q ，记α＝∠P AF ，β＝∠QBF ，求证sin α＋sin β是定值．[解析] (1)⊙F 的半径为|4＋1|42＋32＝1，⊙F的方程为(x －1)2＋y 2＝1.由题意动圆M 与⊙F 及y 轴都相切，分以下情况： ①动圆M 与⊙F 及y 轴都相切，但切点不是原点的情况．作MH ⊥y 轴于H ，则|MF |－1＝|MH |，即|MF |＝|MH |＋1，则|MF |＝|MN |(N 是过M 作直线x ＝－1的垂线的垂足)，则点M 的轨迹是以F 为焦点，x ＝－1为准线的抛物线．∴点M 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≠0)．②动圆M 与⊙F 及y 轴都相切且切于原点的情况．此时点M 的轨迹C 的方程为y ＝0(x ≠0,1)．(2)由于直线l 过点F 与C 交于A 、B 两点，且F 不尽在C 上，∴l 只能与y 2＝4x (x ≠0)交于两点．当l 不与x 轴垂直时，直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.∴sin α＋sin β＝1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋1＋1x 2＋1＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋21＋x 2＋x 1＋1＝1.当l 与x 轴垂直时，也可得sin α＋sin β＝1. 综上，有sin α＋sin β＝1.13．(2013·株洲模拟)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，△ABC 的三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC 所在直线l 的方程为4x ＋y －20＝0.(1)求抛物线C 的方程；(2)若O 是坐标原点，P ，Q 是抛物线C 上的两动点，且满足PO ⊥OQ ，证明：直线PQ 过定点．[解析] (1)设抛物线C 的方程为y 2＝2mx ，由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y －20＝0，y 2＝2mx ，消去x 得2y 2＋my －20m ＝0. ∵Δ>0，∴m >0或m <－160.设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－m 2，∴x 1＋x 2＝(5－y 14)＋(5－y 24)＝10＋m8.再设A (x 3，y 3)，由于△ABC 的重心为F (m2，0)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＋x 33＝m 2，y 1＋y 2＋y33＝0，解得⎩⎨⎧x 3＝11m8－10，y 3＝m2.∵点A 在抛物线上，∴(m 2)2＝2m (11m8－10)．∴m ＝8，抛物线C 的方程为y 2＝16x .(2)证明：当PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，显然k ≠0，b ≠0，∵PO ⊥OQ ，∴k PO k OQ ＝－1，设P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，∴x P x Q ＋y P y Q ＝0.将直线y ＝kx ＋b 代入抛物线方程，得ky 2－16y ＋16b ＝0，∴y P y Q ＝16b k .从而x P x Q ＝y 2P y 2Q162＝b 2k2，∴b 2k 2＋16bk ＝0.∵k ≠0，b ≠0，整理得b ＝－16k . ∴直线PQ 的方程为y ＝kx －16k ，PQ 过点(16,0)；当PQ 的斜率不存在时，显然PQ ⊥x 轴，又PO ⊥OQ ，∴△POQ 为等腰三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝|x |，y 2＝16x ，得P (16,16)，Q (16，－16)，此时直线PQ 过点(16,0)，∴直线PQ 恒过定点(16,0)． 14.(2014·鹤壁淇县检测)如图所示，已知C 为圆(x ＋2)2＋y 2＝4的圆心，点A (2，0)，P是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 所在直线上，且MQ →·AP →＝0，AP →＝2AM →.当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程．[解析]圆(x ＋2)2＋y 2＝4的圆心为C (－2，0)，半径r ＝2， ∵MQ →·AP →＝0，AP →＝2AM →，∴MQ ⊥AP ，点M 是AP 的中点，即QM 是AP 的中垂线，连接AQ ，则|AQ |＝|QP |，∴||QC |－|QA ||＝||QC |－|QP ||＝|CP |＝2，又|AC |＝22>2，根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以C (－2，0)，A (2，0)为焦点，实轴长为2的双曲线，由c ＝2，a ＝1，得b 2＝1，因此点Q 的轨迹方程为x 2－y 2＝1.考纲要求了解曲线与方程的关系，能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．补充说明 1．常见的轨迹(1)在平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是连结两定点的线段的垂直平分线． (2)平面内到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线．(3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，以定长为半径的圆． (4)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与这条直线平行的两条直线． (5)平面内到两定点F 1，F 2距离之和为定值2a (2a >|F 1F 2|)的点的轨迹是以两定点为焦点，2a 为长轴长的椭圆．(6)平面内到两定点F 1，F 2距离差的绝对值为定值2a (0<2a <|F 1F 2|)的点的轨迹是以两定点为焦点，实轴长为2a 的双曲线．(7)平面内到定点和定直线距离相等(定点不在定直线上)的点的轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线．2．求轨迹方程的其他方法(1)待定系数法：已知所求曲线的类型，可直接设出曲线的方程，再根据已知条件确定其系数．(2)参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使x 、y 之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程．(3)交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程．2．加强知识交汇的训练向量、三角函数、不等式与解析几何交汇，特别是向量进入解析几何已成为新的命题热点，应加强这种融合多处知识，而又比较浅显，考查对学科最基础知识和最基本方法的掌握的小题训练．3．在有关直线与圆锥曲线相交的问题中，要注意判别式的作用，不要因为忽视对判别式的讨论致误．[例] 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． [错解] (1)将A (1，－2)代入y 2＝2px ，得p ＝2，故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.(2)假设存在直线l ，设l ：y ＝－2x ＋t ，由直线OA 与l 的距离d ＝55，得|t |5＝15，解得t ＝±1. 故符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0. 请自己订正．备选习题1．(2013·海口调研)已知双曲线x 2n －y 212－n ＝1的离心率是3，则n 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6[答案] C[解析] 由题意可得n (12－n )>0，∴0<n <12， ∴a 2＝n ，b 2＝12－n ，c 2＝a 2＋b 2＝12， ∴双曲线的离心率e ＝c a ＝12n＝3，∴n ＝4.2．(2013·长春二调)若F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >2b >0)的两个焦点，分别过F 1，F 2作倾斜角为45°的两条直线与椭圆相交于四点，以该四点为顶点的四边形和以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积比等于223，则该椭圆的离心率为( )A.22B.255C.55D.31010[答案] B[解析] 由题可知，所作的四边形为平行四边形，可求得其面积为S 1＝42ab 2ca 2＋b 2；以椭圆顶点为顶点的四边形为菱形，其面积为S 2＝2ab ，从而S 1S 2＝22bc a 2＋b 2＝223，∴a 2＋b 2＝3bc ，∵a 2＝b 2＋c 2，∴2b 2＋c 2＝3bc ，∴b ＝c 或b ＝c2.当b ＝c 时，a ＝2c ＝2b ，与条件a >2b 矛盾，不成立；当b ＝c 2时，a 2＝b 2＋c 2＝c 24＋c 2＝5c 24，则c 2a 2＝45，因此e ＝c a ＝255.3．(2013·贵州六校联考)设曲线x 2－y 2＝0与抛物线y 2＝－4x 的准线围成的三角形区域(包含边界)为D ，P (x ，y )为D 内的一个动点，则目标函数z ＝x －2y ＋5的最大值为( )A ．4B ．5C ．8D ．12[答案] C[解析] 由x 2－y 2＝0得曲线为y ＝±x .抛物线的准线为x ＝1，所以它们围成的三角形区域为三角形BOC .由z ＝x －2y ＋5得y ＝12x ＋12(5－z )，作直线y ＝12x ，平移直线y ＝12x ，当平移到经过点C 时，直线y ＝12x ＋12(5－z )的截距最小，此时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－x 得x ＝1，y ＝－1，即C (1，－1)，代入z ＝x －2y ＋5得z ＝8.4．(2013·包头一中模拟)若双曲线x2a2－y2b2＝1与椭圆x2m2＋y2b2＝1(m>b>0)的离心率之积大于1，则以a，b，m为边长的三角形一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形[答案] D[解析]双曲线的离心率e1＝a2＋b2a，椭圆的离心率e2＝m2－b2m，由题可知e1·e2>1，得b2(m2－a2－b2)>0，所以m2－a2－b2>0，即m2>a2＋b2，由余弦定理可知三角形为钝角三角形，选D.。

高考数学一轮复习 8.6抛物线精品学案新人教版

8.6 抛物线【高考新动向】 1．考纲点击（1）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。

（2）理解数形结合的思想。

（3）了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用。

2．热点提示（1）抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，抛物线与直线、椭圆、双曲线的交汇综合题是考查的热点。

（2）多以选择、填空题为主，多为中低档题。

有时也与直线、椭圆、双曲线交汇考查的解答题，此时属中高档题。

【考纲全景透析】 1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。

注：当定点F 在定直线l 时，动点的轨迹是过点F 与直线l 垂直的直线。

标准方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =-> 22(0)x py p =>图形性质对称轴 x 轴x 轴y 轴y 轴焦点坐标 (,0)2p F (,0)2p F -(0,)2p F - (0,)2p F 准线方程 2p x =-2p x =2p y =2p y =-焦半径 0||2p PF x =+0||2p PF x =-+0||2p PF y =-+0||2p PF y =+范围 0x ≥0x ≤0y ≤ 0y ≥顶点 (0,0)O(0,0)O离心率e1e = 1e =【热点难点全析】（一）抛物线的定义及应用 ※相关链接※1．抛物线的离心率e =1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距离，这样就可以使问题简单化。

2．焦半径它们在解题中有重要作用，注意灵活运用。

※例题解析※〖例〗已知抛物线C 的对称轴与y 轴平行，顶点到原点的距离为5。

若将抛物线C 向上平移3个单位，则在x 轴上截得的线段长为原抛物线C 在x 轴上截得的线段长的一半；若将抛物线C 向左平移1个单位，则所得抛物线过原点，求抛物线C 的方程。

2024年高考数学一轮复习(新高考版)《抛物线》课件ppt

(2)过点(3，－4)；
∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0). 把点 (3 ，－ 4) 的坐标分别代入 y2 ＝ 2px 和 x2 ＝－ 2p1y 中，得 ( － 4)2 ＝ 2p·3,32＝－2p1·(－4)，则 2p＝136，2p1＝94. ∴所求抛物线的标准方程为 y2＝136x 或 x2＝－94y.
准线交于点 D.若|AF|＝8，则以下结论正确的是
√A.p＝4 √C.|BD|＝2|BF|
√B.D→F＝F→A
D.|BF|＝4
如图所示，分别过点 A，B 作抛物线 C 的准线的垂线，垂足分别为点 E， M，连接 EF.设抛物线 C 的准线交 x 轴于点 P，则|PF|＝p.因为直线 l 的斜率为 3，所以其倾斜角为 60°. 因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，所以∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°，所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，故A正确；
__－__p2_，__0_
__0_，__p2__
_0_，__－__p2__
__x_＝__－__p2__
__x_＝__p2__
__x轴___
___y_＝__－__p2__
__y_＝__p2__
__y_轴__
__(0_,_0_)_
e＝_1__
常用结论
1.通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. 2.抛物线 y2＝2px(p>0)上一点 P(x0，y0)到焦点 Fp2，0的距离|PF|＝x0＋p2，也称为抛物线的焦半径.

走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学8-6

基础巩固强化一、选择题1．(文)(2013·江西吉安模拟)若点P 到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则点P 的轨迹方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y[答案] C[解析] 由题意知点P 到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，因此点P 到点F (0,2)的距离与到直线y ＋2＝0的距离相等，故点P 的轨迹是以F 为焦点，y ＝－2为准线的抛物线，∴P 的轨迹方程为x 2＝8y .选C.(理)(2013·东北三校模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|[答案] C[解析] 抛物线的准线方程为x ＝－p 2，由定义得|FP 1|＝x 1＋p 2，|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p 2，则|FP 1|＋|FP 3|＝x 1＋p 2＋x 3＋p2＝x 1＋x 3＋p,2|FP 2|＝2x 2＋p ，由2x 2＝x 1＋x 3，得2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|，故选C.2．(文)抛物线y 2＝8x 的焦点到双曲线x 212－y24＝1的渐近线的距离为( )A ．1 B. 3 C.33 D.36[答案] A[解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)到双曲线x 212－y 24＝1的渐近线y ＝±33x 的距离d ＝1.(理)设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )A.x 212＋y 216＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1[答案] B[解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，由条件得⎩⎨⎧m 2－n 2＝4，2m ＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝16，n 2＝12.故选B.3．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)[答案] C[解析] 设圆的半径为r ，因为F (0,2)是圆心，抛物线C 的准线方程y ＝－2.圆与准线相切时半径为4.若圆与准线相交则r >4.又因为点M (x 0，y 0)为抛物线x 2＝8y 上一点，所以有x 20＝8y 0.又点M (x 0，y 0)在圆x 2＋(y －2)2＝r 2上．所以x 20＋(y 0－2)2＝r 2>16，所以8y 0＋(y 0－2)2>16，即有y 20＋4y 0－12>0，解得y 0>2或y 0<－6(舍)，∴y 0>2.故选C.4．(2013·安徽省级示范高中联考)设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →与x 轴正方向的夹角为60°，则△OAF 的面积为( )A.32 B ．2 C.3 D ．1[答案] C[解析] 由题意知，F (1,0)，过A 作AD ⊥x 轴于D .令|FD |＝m ，则|F A |＝2m ，由抛物线的定义知|AF |＝p ＋|FD |＝2＋m ＝2m ，即m ＝2，所以|AD |＝23，S △OAF ＝12|OF |·|AD |＝12×1×23＝ 3.5．(文)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与曲线x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.12 D.14[答案] A[解析] 抛物线y 2＝2px 的准线方程是x ＝－p2，曲线x 2＋y 2－6x－7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16是圆心为(3,0)，半径为4的圆，依题意有|p 2＋3|＝4.因为p >0，所以有p2＋3＝4，解得p ＝2，故选A.(理)设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为( )A ．(2，±22)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)[答案] B[解析] 设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴y 20＝4x 0① 又F (1,0)，∴OA →＝(x 0，y 0)，AF →＝(1－x 0，－y 0)， ∵OA →·AF →＝－4，∴x 0－x 20－y 20＝－4，②解①②组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1，y 0＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－2.[点评] 向量与解析几何相结合，向量往往要化为坐标的形式． 6．(文)(2013·武汉市部分学校联考)过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们到直线x ＝－2的距离之和等于7，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在[答案] B[解析] 抛物线y 2＝4x 的通径(过焦点垂直于对称轴的线段)长为4，由抛物线的定义及题设条件知，|AB |＝7－2＝5>4，故这样的直线有且仅有两条．(理)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3C.115D.3716[答案] A[解析] 直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1,0)的距离，故本题化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P ，使得P 到点F (1,0)和直线l 2的距离之和最小，最小值为F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即d min ＝|4－0＋6|5＝2，故选A. 二、填空题7．(2013·辽宁大连一模)已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8,8)，则线段AB 的中点到准线的距离是________．[答案] 254[解析] 由y 2＝8x 知2p ＝8，∴p ＝4，则点F 的坐标为(2,0)．由题设可知，直线l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝k (x －2)，点A ，B 的坐标分别为(8,8)，(x B ，y B )．又点A (8,8)在直线l 上，∴8＝k (8－2)，解得k ＝43.∴直线l 的方程为y ＝43(x －2)．①将①代入y 2＝8x ，整理得2x 2－17x ＋8＝0，则8＋x B ＝172，∴x B ＝12.∴线段AB 的中点到准线的距离是x A ＋x B 2＋p 2＝174＋2＝254.[解法探究] 求得x B ＝12后，进一步可得y B ＝－2， ∴|AB |＝252.∴AB 的中点到准线距离d ＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |＝254.8．(2013·甘肃天水调研)已知P 为抛物线y ＝14x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是(2,0)，则|P A |＋|PM |的最小值是________．[答案] 5－1[解析]如图，抛物线y ＝14x 2，即x 2＝4y 的焦点F (0,1)，记点P 在抛物线的准线l ：y ＝－1上的射影为P ′，根据抛物线的定义知，|PP ′|＝|PF |，则|PP ′|＋|P A |＝|PF |＋|P A |≥|AF |＝22＋12＝ 5. 所以(|P A |＋|PM |)min＝(|P A |＋|PP ′|－1)min ＝5－1.9．(文)已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2m 时，测量水面宽为8m ，当水面上升12m 后，水面的宽度是________m.[答案] 4 3[解析]建立平面直角坐标系如图，设开始时水面与抛物线的一个交点为A ，由题意可知A (4，－2)，故可求得抛物线的方程为y ＝－18x 2，设水面上升后交点为B ，则点B 的纵坐标为－32，代入抛物线方程y ＝－18x 2可求出B 点的横坐标为23，所以水面宽为43m.(理)(2012·陕西理，13)下图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2m ，水面宽4m ，水位下降1m 后，水面宽________m.[答案] 2 6[解析] 本题考查了抛物线方程在实际问题中的应用．如图建立坐标系设方程x 2＝－2py (p >0)，由题意知点(2，－2)在抛物线上，可得p＝1，则方程为x 2＝－2y ，当y ＝－3时，x ＝±6，所以水面宽26m.[点评] 抛物线方程在实际问题中的应用，关键是合理建立平面直角坐标系，还要注意数据的实际意义．三、解答题10．(2013·长春三校调研)在直角坐标系xOy 中，点M (2，－12)，点F 在抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)的焦点，线段MF 恰被抛物线C 平分．(1)求m 的值；(2)过点M 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，设直线F A 、FM 、FB 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，问k 1、k 2、k 3能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l 的方程；若不能，请说明理由．[解析] (1)由题得抛物线C 的焦点F 的坐标为(0，14m )，线段MF 的中点N (1，18m －14)在抛物线C 上，∴18m －14＝m,8m 2＋2m －1＝0，∴m ＝14(m ＝－12舍去)． (2)由(1)知抛物线C ：x 2＝4y ，F (0,1)．设直线l 的方程为y ＋12＝k (x －2)，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＋12＝k (x －2)，x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋8k ＋2＝0，Δ＝16k 2－4(8k ＋2)>0，∴k <2－62或k >2＋62.⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8k ＋2. 假设k 1、k 2、k 3能成公差不为零的等差数列，则k 1＋k 3＝2k 2. 而k 1＋k 3＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝x 2y 1＋x 1y 2－x 2－x 1x 1x 2 ＝x 2x 214＋x 1x 224－x 2－x 1x 1x 2＝(x 1x 24－1)(x 1＋x 2)x 1x 2 ＝(8k ＋24－1)·4k8k ＋2＝4k 2－k4k ＋1，k 2＝－34，∴4k 2－k 4k ＋1＝－32，8k 2＋10k ＋3＝0，解得k ＝－12(符合题意)或k ＝－34(不合题意，舍去)． ∴直线l 的方程为y ＋12＝－12(x －2)，即x ＋2y －1＝0.∴k 1、k 2、k 3能成公差不为零的等差数列，此时直线l 的方程为x ＋2y －1＝0.能力拓展提升一、选择题11．(文)若抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，准线是l ，则经过点F 、M (4,4)且与l 相切的圆共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[答案] C[解析] 经过F 、M 的圆的圆心在线段FM 的垂直平分线上，设圆心为C ，则|CF |＝|CM |，又圆C 与l 相切，所以C 到l 距离等于|CF |，从而C 在抛物线y 2＝4x 上．故圆心为FM 的垂直平分线与抛物线的交点，显然有两个交点，所以共有两个圆．(理)将两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则( )A ．n ＝0B ．n ＝1C ．n ＝2D ．n ≥3[答案] C [解析]设抛物线上点A (y 212p ，y 1)，B (y 222p ，y 2)，且y 1≠y 2，焦点F (p2，0)，由|AF |＝|BF |得，(y 21－y 22)(y 21＋y 22＋2p 24p 2)＝0， ∵y 1≠y 2，∴y 1＝－y 2.∴A 、B 关于x 轴对称．过点F 作直线y ＝33(x －p 2)，y ＝－33(x －p2)分别与抛物线有2个交点．∴等边三角形有△AFB 和△A ′FB ′，2个，故选C.12．(2013·郑州第一次质量预测)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线交抛物线于A 、B 两点，则弦AB 的长为( )A ．4B ．8C ．12D ．16[答案] D[解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2,0)，直线AB 的倾斜角为135°，故直线AB 的方程为y ＝－x ＋2，代入抛物线方程y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦AB 的长|AB |＝x 1＋x 2＋4＝12＋4＝16.13．(2013·乌鲁木齐第一次诊断)设平面区域D 是由双曲线y 2－x 24＝1的两条渐近线和抛物线y 2＝－8x 的准线所围成的三角形(含边界与内部)．若点(x ，y )∈D ，则x ＋y 的最小值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．3[答案] B[解析] 由题意知，双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，抛物线的准线方程为x ＝2，设z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线y ＝－x 过点O (0,0)时，直线y ＝－x ＋z 的纵截距最小，故z min ＝0.二、填空题14．(文)已知点A (2,0)、B (4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，则AP →·BP →取得最小值时的点P 的坐标是______．[答案] (0,0)[解析] 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24，y ，则AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24－2，y ，BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24－4，y ，AP →·BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24－4＋y 2＝y 416＋52y 2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)．(理)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a －y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是________．[答案] 19[解析] 根据抛物线定义可得，抛物线准线方程为x ＝－4，则抛物线方程为y 2＝16x .把M (1，m )代入y 2＝16x 得m ＝4，即M (1,4)．在双曲线x 2a －y 2＝1中，A (－a ，0)，则k AM ＝41＋a ＝1a.解得a ＝19. 15．(2013·辽宁五校联考)设抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，经过点P (2,1)的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，又知点P 恰为AB 的中点，则|AF |＋|BF |＝________.[答案] 8[解析] 分别过点A ，B ，P 作准线的垂线，垂足分别为M ，N ，Q ，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得|AF |＋|BF |＝|AM |＋|BN |＝2|PQ |＝8.三、解答题16．(文)若椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的离心率等于32，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点在椭圆C 1的顶点上．(1)求抛物线C 2的方程；(2)若过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线C 2的切线l 1、l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．[解析] (1)已知椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b 2，由离心率e ＝c a ＝4－b 22＝32得，b 2＝1.∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，∴p ＝2，抛物线的方程为x 2＝4y .(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴切线l 1、l 2的斜率分别为12x 1、12x 2，当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 2＝4y .得x 2－4kx －4k ＝0，由Δ＝(－4k )2－4×(－4k )>0，解得k <－1或k >0.又x 1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1.∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.(理)已知点C (1,0)，点A 、B 是⊙O ：x 2＋y 2＝9上任意两个不同的点，且满足AC →·BC →＝0，设P 为弦AB 的中点．(1)求点P 的轨迹T 的方程；(2)试探究在轨迹T 上是否存在这样的点：它到直线x ＝－1的距离恰好等于到点C 的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．[解析] (1)法一：连接CP ，由AC →·BC →＝0知，AC ⊥BC ，∴|CP |＝|AP |＝|BP |＝12|AB |，由垂径定理知|OP |2＋|AP |2＝|OA |2，即|OP |2＋|CP |2＝9，设点P (x ，y )，有(x 2＋y 2)＋[(x －1)2＋y 2]＝9，化简得，x 2－x ＋y 2＝4.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，根据题意知，x 21＋y 21＝9，x 22＋y 22＝9,2x ＝x 1＋x 2,2y ＝y 1＋y 2，∴4x 2＝x 21＋2x 1x 2＋x 22，4y 2＝y 21＋2y 1y 2＋y 22，故4x 2＋4y 2＝(x 21＋y 21)＋(2x 1x 2＋2y 1y 2)＋(x 22＋y 22)＝18＋2(x 1x 2＋y 1y 2)，①又∵AC →·BC →＝0，∴(1－x 1，－y 1)·(1－x 2，－y 2)＝0，∴(1－x 1)×(1－x 2)＋y 1y 2＝0，故x 1x 2＋y 1y 2＝(x 1＋x 2)－1＝2x －1，代入①式得，4x 2＋4y 2＝18＋2(2x －1)，化简得，x 2－x ＋y 2＝4.(2)根据抛物线的定义，到直线x ＝－1的距离等于到点C (1,0)的距离的点都在抛物线y 2＝2px 上，其中p 2＝1，∴p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x 2－x ＋y 2＝4.得，x 2＋3x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－4，由于x ≥0，故取x ＝1，此时y ＝±2，故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．考纲要求1．理解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．2．理解数形结合的思想，了解抛物线的简单应用．补充说明1．由于抛物线的标准方程有四种不同形式，故求抛物线标准方程时，一定要注意区分焦点在哪个轴上加以讨论．抓准抛物线的开口方向及p 的几何意义是准确迅速求解的关键．2．抛物线的焦点弦涉及抛物线的焦半径或焦点弦的问题，常考虑应用定义求解．(1)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦为AB ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有如下结论：①|AB |＝x 1＋x 2＋p ； ②y 1y 2＝－p 2； ③x 1x 2＝p 24.(2)直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0时，常设l ：x ＝my ＋p 2以简化运算．3．韦达定理的应用涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，以避免求交点坐标的复杂运算．4．关于抛物线的最值问题(1)A 为抛物线弧内一定点，F 为焦点，P 为抛物线上任一点，求|P A |＋|PF |的最小值问题常用定义转化，由A 向抛物线的准线作垂线与抛物线的交点为取到最小值的P 点．(2)直线l 与抛物线无公共点，求抛物线上的点到l 的最小值问题，一般可设出抛物线上的点，用点到直线距离公式转化为二次函数求最值，或设出与l 平行且与抛物线相切的直线，转化为两平行直线间的距离，后者更简便．(3)解题原理：“两点之间线段最短”，“点到直线的垂线段最短”，三点A 、B 、C 中，|AB |＋|BC |≥|AC |等．5．求参数范围的方法有两种：①根据题目给出的已知条件列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(消元)，然后求解不等式；②由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域．备选习题1．(2013·深圳调研)已知点P 在直线x ＋y ＋5＝0上，点Q 在抛物线y 2＝2x 上，则|PQ |的最小值等于________．[答案] 924[解析] 设与直线x ＋y ＋5＝0平行且与抛物线y 2＝2x 相切的直线方程是x ＋y ＋m ＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋m ＝0y 2＝2x 消去x 得y 2＋2y ＋2m ＝0，令Δ＝4－8m ＝0，得m ＝12，因此|PQ |的最小值等于直线x ＋y ＋5＝0与直线x ＋y ＋12＝0之间的距离，即等于|5－12|2＝924. 2．(2013·福州期末)若抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，动点P 在曲线y 2＝－4x (y ≥0)上，则△P AB 的面积的最小值为________．[答案] 2 2[解析] 由题意得F (1,0)，直线AB 的方程为y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，得x 2－6x ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，∴|AB |＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝8.设P (－y 204，y 0)，则点P 到直线AB 的距离为|y 204＋y 0＋1|2， ∴△P AB 的面积S ＝|y 20＋4y 0＋4|2＝(y 0＋2)22≥22，即△P AB 的面积的最小值是2 2.3．(2014·扶余一中质检)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．[答案] x ＝－1[解析] 由⎩⎨⎧ y 2＝2px ，y ＝x －p 2，消去x 得，y 2－2py －p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2p ，由条件知，y 1＋y 2＝4，∴p ＝2，∴抛物线的准线方程为x ＝－1.。

新高考一轮复习人教A版第8章第6节抛物线课件(54张)

[思维升华] 求抛物线标准方程的方法 (1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数 p)，那么只需求出 p 即可． (2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在 x 轴上的抛物线的标准方程可设为 y2＝ax(a≠0)，焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程可设为 x2＝ay(a≠0)，a 的正负由题设来定．这样就减少了不必要的讨论．
高三一轮总复习
第八章平面解析立体几何
第6节抛物线
[课标要求] ①了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的应用；②了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及简单几何性质；③通过抛物线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；④了解抛物线的简单应用．
备考第 1 步——梳理教材基础，落实必备知识 1．抛物线的定义 (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(F∉l)的距离相__等__的点的轨迹叫做抛物线．点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准__线__． (2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d 为点 M 到准线 l 的距离)． 2．抛物线的标准方程与几何性质
F0，p2
e＝1
F0，－p2
x＝－p2
x＝p2
y＝－p2
y＝p2
x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
向右
向左
向上
向下Biblioteka |PF|＝x0＋p2|PF|＝－x0＋p2
|PF|＝y0＋p2
|PF|＝－y0＋p2
(一)必背常用结论
设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝p42 ，y1y2＝－p2；
到直线 3x＋4y＋7＝0 的距离之和的最小值是________．

高考数学一轮复习第八章第六节抛物线课时作业理含解析北师大版

高考数学一轮复习：第六节抛物线授课提示：对应学生用书第363页[A 组基础保分练]1．（2020·高考全国卷Ⅰ）已知A 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上一点，点A 到点C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝（） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9解析：设A （x ，y ），由抛物线的定义知，点A 到准线的距离为12，即x ＋p2＝12．又因为点A到y 轴的距离为9，即x ＝9，所以9＋p2＝12，解得p ＝6．答案：C2．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为（） A ．4 B ．9 C ．10 D ．18解析：抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2．由题意可得4＋p2＝9，解得p ＝10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为10．答案：C 3．（2021·安阳模拟）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的交点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA ′⊥l ，垂足为A ′．若四边形AA ′PF 的面积为14，且cos ∠F AA ′＝35，则抛物线C 的方程为（） A ．y 2＝x B ．y 2＝2x C ．y 2＝4x D ．y 2＝8x解析：过点F 作FF ′⊥AA ′，垂足为F ′．设|AF ′|＝3x ，因为cos ∠F AA ′＝35，故|AF |＝5x ，则|FF ′|＝4x ，由抛物线定义可知，|AF |＝|AA ′|＝5x ，则|A ′F ′|＝2x ＝p ，故x ＝p2．四边形AA ′PF 的面积S＝（|PF |＋|AA ′|）·|FF ′|2＝⎝⎛⎭⎫p ＋52p ·2p2＝14，解得p ＝2，故抛物线C 的方程为y 2＝4x ．答案：C4．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于（）A ．4B ．92C ．5D ．6解析：易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝k （x －1）．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x 得k 2x 2－（2k 2＋4）x ＋k 2＝0，得x A ·x B ＝1，① 因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2（x B＋1），即x A ＝2x B ＋1，② 由①②解得x A ＝2，x B ＝12，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92．答案：B5．（2021·合肥检测）已知双曲线y 24－x 2＝1的两条渐近线分别与抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线交于A ，B 两点．O 为坐标原点．若△OAB 的面积为1，则p 的值为（） A ．1 B ． 2 C ．2 2 D ．4解析：双曲线的两条渐近线方程为y ＝±2x ，抛物线的准线方程为x ＝－p2，故A ，B 两点的坐标为⎝⎛⎭⎫－p 2，±p ，|AB |＝2p ，所以S △OAB ＝12×2p ×p 2＝p22＝1，解得p ＝2．答案：B 6．（2021·广东六校联考）抛物线y ＝2x 2上有一动弦AB ，中点为M ，且弦AB 的长为3，则点M 的纵坐标的最小值为（）A ．118B ．54C ．32D ．1解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0），直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，由题意知y 0≥b＞0，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝2x 2，整理得2x 2－kx －b ＝0，Δ＝k 2＋8b ＞0，x 1＋x 2＝k 2，x 1x 2＝－b 2，则|AB |＝1＋k 2·k 24＋2b ，点M 的纵坐标y 0＝y 1＋y 22＝x 21＋x 22＝k 24＋b ．因为弦AB 的长为3，所以1＋k 2·k 24＋2b ＝3，即（1＋k 2）⎝⎛⎭⎫k 24＋2b ＝9，故（1＋4y 0－4b ）（y 0＋b ）＝9，即（1＋4y 0－4b ）（4y 0＋4b ）＝36．由基本不等式得，（1＋4y 0－4b ）＋（4y 0＋4b ）≥2（1＋4y 0－4b ）（4y 0＋4b ）＝12，当且仅当⎩⎨⎧b ＝18，y 0＝118时取等号，得1＋8y 0≥12，y 0≥118，故点M 的纵坐标的最小值为118．答案：A 7．已知顶点在坐标原点的抛物线的焦点坐标为（0，－2），则此抛物线的标准方程为_________．解析：依题意可设抛物线的方程为x 2＝－2py （p ＞0），因为焦点坐标为（0，－2），所以－p2＝－2，解得p ＝4．故所求的抛物线的标准方程为x 2＝－8y ．答案：x 2＝－8y 8．直线l 过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F （1，0），且与C 交于A ，B 两点，则p ＝，1|AF |＋1|BF |＝_________．解析：由p2＝1，得p ＝2．当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝1，代入y 2＝4x ，得y ＝±2，此时|AF |＝|BF |＝2，所以1|AF |＋1|BF |＝12＋12＝1；当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝k （x －1）（k ≠0），代入抛物线方程，得k 2x 2－2（k 2＋2）x ＋k 2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1x 2＝1，1|AF |＋1|BF |＝|AF |＋|BF ||AF |·|BF |＝x 1＋x 2＋2（x 1＋1）（x 2＋1）＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋21＋x 1＋x 2＋1＝1．综上，1|AF |＋1|BF |＝1．答案：2 19．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M ．（1）求抛物线的方程；（2）若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．解析：（1）抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x ．（2）∵点A 的坐标是（4，4），由题意得B （0，4），M （0，2）．又∵F （1，0），∴k F A ＝43．∵MN ⊥F A ，∴k MN ＝－34．又F A 的方程为y ＝43（x －1），故MN 的方程为y －2＝－34x ，解方程组得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45． 10．（2021·襄阳联考）动点P 到定点F （0，1）的距离比它到直线y ＝－2的距离小1．设动点P 的轨迹为曲线C ，过点F 的直线交曲线C 于A ，B 两个不同的点，过点A ，B 分别作曲线C 的切线，且两切线相交于点M ．（1）求曲线C 的方程；（2）求证：AB →·MF →＝0．解析：（1）由已知得动点P 在直线y ＝－2的上方，条件可转化为动点P 到定点F （0，1）的距离等于它到直线y ＝－1的距离，∴动点P 的轨迹是以F （0，1）为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，故其方程为x 2＝4y ．（2）证明：设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1．则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1，得x 2－4kx －4＝0．设A （x A ，y A ），B （x B ，y B ），则x A ＋x B ＝4k ，x A x B ＝－4．由x 2＝4y 得y ＝14x 2，∴y ′＝12x ．∴直线AM 的方程为y －14x 2A ＝12x A （x －x A ），①直线BM 的方程为y －14x 2B ＝12x B （x －x B ）．② ①－②，得14（x 2B －x 2A ）＝12（x A －x B ）x ＋12（x 2B －x 2A ）， ∴x ＝x A ＋x B 2＝2k ．将x ＝x A ＋x B2代入①，得y －14x 2A＝12x A x B －x A 2＝14x A x B －14x 2A， ∴y ＝14x A x B ＝－1，∴M （2k ，－1）．∵MF →＝（－2k ，2），AB →＝（x B －x A ，k （x B －x A ））， ∴AB →·MF →＝－2k （x B －x A ）＋2k （x B －x A ）＝0．[B 组能力提升练]1．若抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为（） A ．y 2＝4x B ．y 2＝36x C ．y 2＝4x 或y 2＝36x D ．y 2＝8x 或y 2＝32x解析：因为抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点到抛物线对称轴的距离为6，所以可设该点为P （x 0，±6）．因为P 到抛物线焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离为10，所以根据抛物线的定义得x 0＋p 2＝10．① 因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0．② 由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1，所以抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x ．答案：C 2．（2021·武汉模拟）已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点A （5，3），M 为抛物线上一点，且M 不在直线AF 上，则△MAF 周长的最小值为（） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13解析：由题意知，当|MA |＋|MF |的值最小时，△MAF 的周长最小．设点M 在抛物线的准线上的射影为D ，根据抛物线的定义，可知|MD |＝|MF |，因此|MA |＋|MF |的最小值即|MA |＋|MD |的最小值．根据平面几何的知识可得，当D ，M ，A 三点共线时，|MA |＋|MD |最小，最小值为x A －（－1）＝5＋1＝6．又|F A |＝（5－1）2＋（3－0）2＝5，所以△MAF 周长的最小值为6＋5＝11．答案：B 3．（2021·河北六校模拟）抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为_________．解析：设满足题意的圆的圆心为M ．根据题意可知圆心M 在抛物线上．又∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6，则|MF |＝x M ＋p 2＝6，则x M ＝6－p2．又由题意可知x M ＝p 4，∴p 4＝6－p2，解得p ＝8．∴抛物线方程为y 2＝16x ．答案：y 2＝16x 4．（2021·成都摸底）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ．若位于x 轴上方的动点A 在准线l 上，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且|AF ||BF |－|AF |＝1，则抛物线C 的标准方程为_________．解析：如图，设直线l 与x 轴交于点D ，过点B 作BE ⊥l 于点E ，则|DF |＝p ．由抛物线的定义知|BE |＝|BF |．设|BE |＝|BF |＝m ，因为△AEB ∽△ADF ，所以|AF ||AB |＝|DF ||BE |，即|AF ||AF |－|BF |＝|DF ||BF |，所以|AF ||AF |－m ＝p m ，所以|AF |＝pm p －m．由|AF ||BF |－|AF |＝1，得pmp －m m －pm p －m＝1，解得p ＝1，所以抛物线C 的标准方程为y 2＝2x ．答案：y 2＝2x5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，点A 在抛物线C 上，若|AO |＝|AF |＝32．（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值．解析：（1）因为点A 在C 上，|AO |＝|AF |＝32，所以点A 的纵坐标为p 4，所以p 4＋p 2＝32，所以p＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y ．（2）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b （b ≥0），代入抛物线方程，可得x 2－4kx －4b ＝0．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，所以y 1＋y 2＝4k 2＋2b ，因为线段PQ 的中点的纵坐标为1，所以2k 2＋b ＝1，即2k 2＝1－b ≥0，所以0＜b ≤1，S △OPQ ＝12b |x 1－x 2|＝12b （x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12b 16k 2＋16b ＝b 2＋2b ＝2b 3＋b 2（0＜b ≤1）．设y ＝b 3＋b 2，y ′＝3b 2＋2b ＞0，函数单调递增，所以当b ＝1时，△OPQ 的面积取最大值为2．6．已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）和定点M （0，1），设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线的交点为N ．（1）若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；（2）若△ABN 的面积的最小值为4，求抛物线C 的方程．解析：设直线AB ：y ＝kx ＋1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2－2pkx －2p ＝0，则x 1＋x 2＝2pk ①，x 1x 2＝－2p ②．（1）由x 2＝2py 得y ′＝x p ，则A ，B 处的切线斜率的乘积为x 1x 2p 2＝－2p，因为点N 在以AB 为直径的圆上，所以AN ⊥BN ，所以－2p ＝－1，所以p ＝2．（2）易得直线AN ：y －y 1＝x 1p （x －x 1），直线BN ：y －y 2＝x 2p（x －x 2），联立，得⎩⎨⎧y －y 1＝x 1p（x －x 1），y －y 2＝x 2p （x －x 2），结合①②式，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝pk ，y ＝－1，即N （pk ，－1）．|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋k 24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k 2，则△ABN 的面积S △ABN＝12·|AB |·d ＝p （pk 2＋2）3≥22p ，当k ＝0时，取等号．因为△ABN 的面积的最小值为4，所以22p ＝4，所以p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y ．[C 组创新应用练]1．（2021·兰州模拟）设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，过点M （4，0）的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝4，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF＝（）A ．34B ．45C ．56D ．25解析：由抛物线方程y 2＝8x ，得焦点F 的坐标为（2，0），准线方程为x ＝－2．如图，过点A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为E ，N ．设直线AB 的方程为y ＝k （x －4）（k ≠0），则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －4），y 2＝8x ，消去y 并整理得k 2x 2－（8k 2＋8）x ＋16k 2＝0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1x 2＝16．由抛物线的定义知|BF |＝|BN |＝x 2＋2＝4，所以x 2＝2，所以x 1＝8，所以|AE |＝x 1＋2＝10．因为BN ∥AE ，所以S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BN ||AE |＝410＝25．答案：D2．已知抛物线x ＝18y 2的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点（点A 在第一象限），抛物线的准线交x 轴于点K ，则|AF ||AK |最小时，直线AK 的斜率为（）A ．1B ． 2C ． 3D ．2 2解析：x ＝18y 2可化为y 2＝8x ．如图，过A 作准线的垂线，垂足为A 1．因为|AF |＝|AA 1|，所以|AF ||AK |＝|AA 1||AK |＝sin ∠AKA 1．若|AF ||AK |最小，则sin ∠AKA 1最小，即∠AKA 1最小．数形结合可得，直线AK 与抛物线y 2＝8x 相切时，∠AKA 1最小．设直线AK 的方程为y ＝k （x ＋2），且k ＞0，与y 2＝8x 联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），y 2＝8x ，消去x ，得ky 2－8y ＋16k ＝0，由Δ＝64－64k 2＝0，得k ＝1．答案：A。

【走向高考】2021届高考数学一轮总温习 8-8圆锥曲线的综合问题课后强化作业新人教A版(1)

【走向高考】2021届高考数学一轮总温习 8-8圆锥曲线的综合问题课后强化作业新人教A 版基础巩固强化一、选择题1．假设点P 到直线y ＝－2的距离比它到点A (0,1)的距离大1，那么点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线[答案] D[解析] 由条件知，点P 到直线y ＝－1的距离与它到点A (0,1)的距离相等，∴P 点轨迹是以A 为核心，直线y ＝－1为准线的抛物线．2．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( )A ．两条直线B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线[答案] D[解析] 原方程化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0，或x －3－1＝0， ∴2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，应选D.3．假设中心在原点，核心在座标轴上的双曲线的极点是椭圆x 22＋y 2＝1短轴端点，且该双曲线的离心率与此椭圆的离心率之积为1，那么该双曲线的方程为( )A ．x 2－y 2＝1B ．y 2－x 2＝1 C.x 24－y 2＝1 D.y 24－x 2＝1 [答案] B[解析] ∵椭圆x 22＋y 2＝1的短轴端点为(0，±1)，离心率e 1＝ca ＝22.∴双曲线的极点(0，±1)，即核心在y 轴上，且a ＝1，离心率e 2＝c ′a＝2，∴c ′＝2，b ＝1，所求双曲线方程为y 2－x 2＝1.应选B.4．长为3的线段AB 的端点A 、B 别离在x 轴、y 轴上移动，AC →＝2CB →，那么点C 的轨迹是( ) A ．线段 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线[答案] C[解析] 设C (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，那么a 2＋b 2＝9，①又AC →＝2CB →，因此(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝32y ，②把②代入①式整理可得：x 2＋14y 2＝1.应选C.5．(2021·天津模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内必然点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，那么M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y 225＝1 B.4x 221＋4y 225＝1 C.4x 225－4y 221＝1 D.4x 225＋4y 221＝1 [答案] D[解析] M 为AQ 垂直平分线上一点，那么|AM |＝|MQ |.∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，(5>|AC |)∴a ＝52，c ＝1，那么b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y 221＝1.应选D.6．已知log 2x 、log 2y 、2成等差数列，那么在平面直角坐标系中，点M (x ，y )的轨迹为( ) [答案] A[解析] 由log 2x ，log 2y,2成等差数列得2log 2y ＝log 2x ＋2 ∴y 2＝4x (x >0，y >0)，应选A. 二、填空题7．设P 为双曲线x 24－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，那么点M 的轨迹方程是________．[答案] x 2－4y 2＝1[解析] 设M (x ，y )，那么P (2x,2y )，代入双曲线方程得x 2－4y 2＝1，即为所求．8．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个核心，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，那么动点Q 的轨迹方程是________．[答案]x 24a 2＋y 24b 2＝1 [解析] 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，Q (x ，y )，P (x 1，y 1)， ∴PF 1→＝(－c －x 1，－y 1)，PF 2→＝(c －x 1，－y 1)，OQ →＝(x ，y )，由OQ →＝PF 1→＋PF 2→得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x 1，y ＝－2y 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－x2，y 1＝－y 2.代入椭圆方程x 2a2＋y 2b 2＝1中得，x 24a 2＋y 24b2＝1.9．已知A 、B 别离是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的两个动点，线段AB 的长为23，P 是AB 的中点，那么动点P 的轨迹C 的方程为________．[答案]x 29＋y 2＝1[解析] 设P (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵P 是线段AB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.①∵A 、B 别离是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的点，∴y 1＝33x 1和y 2＝－33x 2.代入①中得，⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝23y ，y 1－y 2＝233x .②又|AB →|＝23，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝12.∴12y 2＋43x 2＝12，∴动点P 的轨迹C 的方程为x 29＋y 2＝1.三、解答题 10.如下图，在平面直角坐标系中，N 为圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝16上的一动点，点B (1,0)，点M 是BN 的中点，点P 在线段AN 上，且MP →·BN →＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)试判定以PB 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝4的位置关系，并说明理由．[解析] (1)∵点M 是BN 中点，又MP →·BN →＝0， ∴PM 垂直平分BN ，∴|PN |＝|PB |，又|PA |＋|PN |＝|AN |，∴|PA |＋|PB |＝4，由椭圆概念知，点P 的轨迹是以A 、B 为核心的椭圆．设椭圆方程为x 2a2＋y 2b 2＝1，由2a ＝4,2c ＝2可得，a 2＝4，b 2＝3. 可得动点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)设PB 中点为C ，那么|OC |＝12|AP |＝12(|AN |－|PN |)＝12(4－|PB |)＝2－12|PB |. ∴两圆内切. 能力拓展提升11.(2021·宁夏育才中学模拟)已知平面上必然点C (－1,0)和必然直线l ：x ＝－4，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，(PQ →＋2PC →)·(PQ →－2PC →)＝0.(1)问点P 在什么曲线上？并求出该曲线方程；(2)点O 是坐标原点，A 、B 两点在点P 的轨迹上，假设OA →＋λOB →＝(1＋λ)OC →，求λ的取值范围．[解析] (1)由(PQ →＋2PC →)·(PQ →－2PC →)＝0，得PQ →2－4PC →2＝0.设P (x ，y )，那么(x ＋4)2－4[(x ＋1)2＋y 2]＝0，化简得x 24＋y 23＝1，即点P 在椭圆上，其方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， ∵OA →＋λOB →＝(1＋λ)OC →，∴CA →＋λCB →＝0，∴(x 1＋1，y 1)＋λ(x 2＋1，y 2)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1－λ－λx 2，y 1＝－λy 2.因为x 214＋y 213＝1，因此－1－λ－λx 224＋－λy 223＝1，①又因为x 224＋y 223＝1，因此λx 224＋λy 223＝λ2，②由①－②得2λλ＋1x 2＋λ＋124＝1－λ2，化简得x 2＝3－5λ2λ.因为－2≤x 2≤2，因此－2≤3－5λ2λ≤2，解得13≤λ≤3，因此λ的取值范围为[13，3]．12．(2021·乌鲁木齐诊断)已知点F (1,0)，⊙F 与直线4x ＋3y ＋1＝0相切，动圆M 与⊙F 及y 轴都相切． (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点F 任作直线l ，交曲线C 于A ，B 两点，由点A ，B 别离向⊙F 各引一条切线，切点别离为P ，Q ，记α＝∠PAF ，β＝∠QBF ，求证sin α＋sin β是定值．[解析] (1)⊙F 的半径为|4＋1|42＋32＝1，⊙F 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.由题意动圆M 与⊙F 及y 轴都相切，分以下情形： ①动圆M 与⊙F 及y 轴都相切，但切点不是原点的情形．作MH ⊥y 轴于H ，那么|MF |－1＝|MH |，即|MF |＝|MH |＋1，那么|MF |＝|MN |(N 是过M 作直线x ＝－1的垂线的垂足)，那么点M 的轨迹是以F 为核心，x ＝－1为准线的抛物线．∴点M 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≠0)．②动圆M 与⊙F 及y 轴都相切且切于原点的情形．现在点M 的轨迹C 的方程为y ＝0(x ≠0,1)．(2)由于直线l 过点F 与C 交于A 、B 两点，且F 不尽在C 上，∴l 只能与y 2＝4x (x ≠0)交于两点．当l 不与x 轴垂直时，直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1. ∴sin α＋sin β＝1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋1＋1x 2＋1＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋21＋x 2＋x 1＋1＝1.当l 与x 轴垂直时，也可得sin α＋sin β＝1. 综上，有sin α＋sin β＝1.13．(2021·株洲模拟)已知抛物线C 的极点在座标原点，核心在x 轴上，△ABC 的三个极点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的核心，假设BC 所在直线l 的方程为4x ＋y －20＝0.(1)求抛物线C 的方程；(2)假设O 是坐标原点，P ，Q 是抛物线C 上的两动点，且知足PO ⊥OQ ，证明：直线PQ 过定点． [解析] (1)设抛物线C 的方程为y 2＝2mx ，由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y －20＝0，y 2＝2mx ，消去x 得2y 2＋my －20m ＝0. ∵Δ>0，∴m >0或m <－160.设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，那么y 1＋y 2＝－m2，∴x 1＋x 2＝(5－y 14)＋(5－y 24)＝10＋m8.再设A (x 3，y 3)，由于△ABC 的重心为F (m2，0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 33＝m2，y 1＋y 2＋y33＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝11m 8－10，y 3＝m2.∵点A 在抛物线上，∴(m 2)2＝2m (11m8－10)．∴m ＝8，抛物线C 的方程为y 2＝16x .(2)证明：当PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，显然k ≠0，b ≠0，∵PO ⊥OQ ，∴k PO k OQ ＝－1，设P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，∴x P x Q ＋y P y Q ＝0.将直线y ＝kx ＋b 代入抛物线方程，得ky 2－16y ＋16b ＝0，∴y P y Q ＝16b k .从而x P x Q ＝y 2P y 2Q 162＝b2k2，∴b 2k 2＋16b k＝0.∵k ≠0，b ≠0，整理得b ＝－16k .∴直线PQ 的方程为y ＝kx －16k ，PQ 过点(16,0)；当PQ 的斜率不存在时，显然PQ ⊥x 轴，又PO ⊥OQ ，∴△POQ 为等腰三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝|x |，y 2＝16x ，得P (16,16)，Q (16，－16)，现在直线PQ 过点(16,0)，∴直线PQ 恒过定点(16,0)． 14.(2021·鹤壁淇县检测)如下图，已知C 为圆(x ＋2)2＋y 2＝4的圆心，点A (2，0)，P 是圆上的动点，点Q在圆的半径CP 所在直线上，且MQ →·AP →＝0，AP →＝2AM →.当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程．[解析] 圆(x ＋2)2＋y 2＝4的圆心为C (－2，0)，半径r ＝2，∵MQ →·AP →＝0，AP →＝2AM →，∴MQ ⊥AP ，点M 是AP 的中点，即QM 是AP 的中垂线，连接AQ ，那么|AQ |＝|QP |，∴||QC |－|QA ||＝||QC |－|QP ||＝|CP |＝2，又|AC |＝22>2，依照双曲线的概念，点Q 的轨迹是以C (－2，0)，A (2，0)为核心，实轴长为2的双曲线，由c ＝2，a ＝1，得b 2＝1，因此点Q 的轨迹方程为x 2－y 2＝1. 考纲要求了解曲线与方程的关系，能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．补充说明 1．常见的轨迹(1)在平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是连结两定点的线段的垂直平分线． (2)平面内到角两边距离相等的点的轨迹是那个角的平分线．(3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，以定长为半径的圆．(4)平面内到定直线的距离等于某必然值的点的轨迹是与这条直线平行的两条直线．(5)平面内到两定点F1，F2距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹是以两定点为核心，2a为长轴长的椭圆．(6)平面内到两定点F1，F2距离差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹是以两定点为核心，实轴长为2a的双曲线．(7)平面内到定点和定直线距离相等(定点不在定直线上)的点的轨迹是以定点为核心，定直线为准线的抛物线．2．求轨迹方程的其他方式(1)待定系数法：已知所求曲线的类型，可直接设出曲线的方程，再依照已知条件确信其系数．(2)参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，那么可借助中间变量(参数)，使x、y之间成立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程．(3)交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时经常使用此法，也能够引入参数来成立这些动曲线的联系，然后消去参数取得轨迹方程．2．增强知识交汇的训练向量、三角函数、不等式与解析几何交汇，专门是向量进入解析几何已成为新的命题热点，应增强这种融合多处知识，而又比较浅显，考查对学科最基础知识和最大体方式的把握的小题训练．3．在有关直线与圆锥曲线相交的问题中，要注意判别式的作用，不要因为轻忽对判别式的讨论致误．[例] 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是不是存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于55？假设存在，求出直线l的方程；假设不存在，说明理由．[错解] (1)将A(1，－2)代入y2＝2px，得p＝2，故所求抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.(2)假设存在直线l，设l：y＝－2x＋t，由直线OA 与l 的距离d ＝55，得|t |5＝15，解得t ＝±1. 故符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0. 请自己订正．备选习题1．(2021·海口调研)已知双曲线x 2n －y 212－n ＝1的离心率是3，那么n 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6[答案] C[解析] 由题意可得n (12－n )>0，∴0<n <12， ∴a 2＝n ，b 2＝12－n ，c 2＝a 2＋b 2＝12， ∴双曲线的离心率e ＝ca＝12n＝3，∴n ＝4.2．(2021·长春二调)假设F 1，F 2是椭圆x 2a2＋y 2b 2＝1(a >2b >0)的两个核心，别离过F 1，F 2作倾斜角为45°的两条直线与椭圆相交于四点，以该四点为极点的四边形和以椭圆的四个极点为极点的四边形的面积比等于223，那么该椭圆的离心率为( )A.22B.255C.55D.31010[答案] B[解析] 由题可知，所作的四边形为平行四边形，可求得其面积为S 1＝42ab 2ca 2＋b 2；以椭圆极点为极点的四边形为菱形，其面积为S 2＝2ab ，从而S 1S 2＝22bc a 2＋b 2＝223，∴a 2＋b 2＝3bc ，∵a 2＝b 2＋c 2，∴2b 2＋c 2＝3bc ，∴b ＝c 或b ＝c 2. 当b ＝c 时，a ＝2c ＝2b ，与条件a >2b 矛盾，不成立；当b ＝c 2时，a 2＝b 2＋c 2＝c 24＋c 2＝5c 24，那么c 2a 2＝45，因此e ＝c a ＝255.3．(2021·贵州六校联考)设曲线x 2－y 2＝0与抛物线y 2＝－4x 的准线围成的三角形区域(包括边界)为D ，P (x ，y )为D 内的一个动点，那么目标函数z ＝x －2y ＋5的最大值为( )A ．4B ．5C ．8D ．12[答案] C[解析] 由x 2－y 2＝0得曲线为y ＝±x .抛物线的准线为x ＝1，因此它们围成的三角形区域为三角形BOC .由z ＝x －2y ＋5得y ＝12x ＋12(5－z )，作直线y ＝12x ，平移直线y ＝12x ，当平移到通过点C 时，直线y ＝12x ＋12(5－z )的截距最小，现在z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－x得x ＝1，y ＝－1，即C (1，－1)，代入z ＝x －2y ＋5得z ＝8. 4．(2021·包头一中模拟)假设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(m >b >0)的离心率之积大于1，那么以a ，b ，m 为边长的三角形必然是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形 [答案] D[解析] 双曲线的离心率e 1＝a 2＋b 2a ，椭圆的离心率e 2＝m 2－b 2m ，由题可知e 1·e 2>1，得b 2(m 2－a 2－b 2)>0，因此m 2－a 2－b 2>0，即m 2>a 2＋b 2，由余弦定理可知三角形为钝角三角形，选D.。

【走向高考】2020年高考数学总复习 8-6 抛物线课后作业新人教A版

"【走向高考】2020年高考数学总复习 8-6 抛物线课后作业新人教A版 "1.动点P到直线x＋y－4＝0的距离等于它到点M(2,2)的距离，则点P的轨迹是( )A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线[答案] A[解析] ∵M(2,2)在直线x＋y－4＝0上，而|PM|即为P到直线x＋y－4＝0的距离∴动点P的轨迹为过点M垂直于直线x＋y－4＝0的直线．故选A.2．(文)(2020·温州模拟)已知d为抛物线y＝2px2(p>0)的焦点到准线的距离，则pd 等于( )A.12p2 B．p2C.12D.14[答案] D[解析] 抛物线方程可化为x2＝12py，∴d＝14p，则pd＝14，故选D.(理)(2020·湖南湘西联考)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )A．4 B．6C．8 D．12[答案] B[解析] 抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，准线方程为x＝－2.由已知得点P到准线的距离为6，所以点P到焦点的距离是6.3．(文)(2020·陕西文，2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是( )A．y2＝－8x B．y2＝－4xC．y2＝8x D．y2＝4x[答案] C[解析] 由抛物线准线方程为x＝－2知p＝4，且开口向右，∴抛物线方程为y2＝8x.故选C.(理)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C. 115D. 3716[答案] A[解析] 直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到l 1的距离等于P 到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P ，使得P 到点F(1,0)和直线l 2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即d min ＝|4－0＋6|5＝2，故选A.4．(2020·福建福州)若抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，准线是l ，则经过点F 、M(4,4)且与l 相切的圆共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[答案] C[解析] 经过F 、M 的圆的圆心在线段FM 的垂直平分线上，设圆心为C ，则|CF|＝|CM|，又圆C 与l 相切，所以C 到l 距离等于|CF|，从而C 在抛物线y 2＝4x 上．故圆心为FM 的垂直平分线与抛物线的交点，显然有两个交点，所以共有两个圆． 5．(2020·石家庄模拟)直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为A 、B 、C 、D ，则|AB||CD|的值为( )A ．16 B.116C ．4 D.14[答案] B[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋4＝0，x 2＝4y 得x 2－3x －4＝0，∴x A ＝－1，x D ＝4，y A ＝14，y D ＝4，∵直线3x －4y ＋4＝0恰过抛物线的焦点F(0,1)． ∴|AF|＝y A ＋1＝54，|DF|＝y D ＋1＝5，∴|AB||CD|＝|AF|－1|DF|－1＝116.故选B.6．(2020·茂名一模)直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为( )A ．48B ．56C ．64D ．72[答案] A[解析] 由题意不妨设A 在第一象限，联立y ＝x －3和y 2＝4x 可得A(9,6)，B(1，－2)，而抛物线的准线方程是x ＝－1，所以|AP|＝10，|QB|＝2，|PQ|＝8，故S 梯形APQB ＝12(|AP|＋|QB|)·|PQ|＝48，故选A.7．(2020·烟台检测)已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升12米后，水面的宽度是________米．[答案] 4 3 [解析]建立平面直角坐标系如图，设开始时水面与抛物线的一个交点为A ，由题意可知A(4，－2)，故可求得抛物线的方程为y ＝－18x 2，设水面上升后交点为B ，则点B 的纵坐标为－32，代入抛物线方程y ＝－18x 2可求出B 点的横坐标为23，所以水面宽为43米．8．(文)(2020·延边州质检)抛物线的焦点为椭圆x 29＋y24＝1的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为______．[答案] y 2＝－45x[解析] 由c 2＝9－4＝5得F(－5，0)， ∴抛物线方程为y 2＝－45x.(理)若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________.[答案] 2[解析] 设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1y 22＝2px 2，两式相减得，y 1－y 2x 1－x 2＝2py 1＋y 2＝2，∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2.1.(文)抛物线y 2＝8x 上的点(x 0，y 0)到抛物线焦点的距离为3，则|y 0|＝( ) A. 2 B ．2 2 C ．2 D ．4[答案] B[解析] 设点A(x 0，y 0)，过点A 作AA 1⊥l(l 为准线)，则|AF|＝|AA 1|＝x 0＋2＝3即x 0＝1，代入抛物线方程得|y 0|＝8x 0＝22，故选B.(理)(2020·福州市质检)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )A ．5B ．8 C.17－1 D.5＋2[答案] C[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为F(1,0)，圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C(0,4)，设点P 到抛物线的准线距离为d ，根据抛物线的定义有d ＝|PF|，∴|PQ|＋d ＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝17－1.2．(文)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax(a≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A.若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝8x[答案] B[解析] 由抛物线方程知焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0， ∴直线l 方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4，与y 轴交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2. ∴S △OAF ＝12·|OA|·|OF|＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4＝a216＝4.∴a 2＝64，a ＝±8.故y 2＝±8x.故选B.(理)(2020·山东文，9)设M(x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)[答案] C[解析] 设圆的半径为r ，因为F(0,2)是圆心，抛物线C 的准线方程y ＝－2.圆与准线相切时半径为4.若圆与准线相交则r>4.又因为点M(x 0，y 0)为抛物线x 2＝8y 上一点，所以有x 20＝8y 0.又点M(x 0，y 0)在圆x 2＋(y －2)2＝r 2上．所以x 20＋(y 0－2)2＝r 2>16，所以8y 0＋(y 0－2)2>16，即有y 20＋4y 0－12>0，解得y 0>2或y 0<－6(舍)，∴y 0>2.故选C.3．(2020·山东济宁一模)已知抛物线y 2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a －y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a的值是( )A.125B.19C.15 D.13[答案] B[解析] 根据抛物线定义可得，抛物线准线方程为x ＝－4，则抛物线方程为y 2＝16x. 把M(1，m)代入y 2＝16x 得m ＝4，即M(1,4)．在双曲线x 2a －y 2＝1中，A(－a ，0)，则k AM ＝41＋a ＝1a .解得a ＝19.4．(文)(2020·台州二检)已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，F 关于原点的对称点为P ，过F 作x 轴的垂线交抛物线于M 、N 两点，有下列四个命题：①△PMN 必为直角三角形；②△PMN 不一定为直角三角形；③直线PM 必与抛物线相切；④直线PM 不一定与抛物线相切．其中正确的命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④[答案] A[解析] 因为|PF|＝|MF|＝|NF|，故∠FPM ＝∠FMP ，∠FPN ＝∠FNP ，从而可知∠MPN ＝90°，故①正确，②错误；令直线PM 的方程为y ＝x ＋p 2，代入抛物线方程可得y 2－2py ＋p2＝0，Δ＝0，所以直线PM 与抛物线相切，故③正确，④错误．(理)(2020·湖北文，4)将两个顶点在抛物线y 2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则( )A ．n ＝0B ．n ＝1C ．n ＝2D ．n≥3[答案] C[解析] 设抛物线上点A(y 212p ，y 1)，B(y 222p ，y 2)，且y 1≠y 2，焦点F(p2，0)，由|AF|＝|BF|得(y 21－y 22) (y 21＋y 22＋2p24p2)＝0， ∵y 1≠y 2，∴y 1＝－y 2. ∴A 、B 关于x 轴对称．过点F 作直线y ＝33(x －p 2)，y ＝－33(x －p 2)分别与抛物线有2个交点．∴等边三角形有△AFB 和△A′FB′，2个，故选C.5．(文)已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，则AP →·BP →取得最小值时的点P 的坐标是______．[答案] (0,0)[解析] 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24，y ，则AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24－2，y ，BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24－4，y ，AP →·BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24－4＋y 2＝y 416＋52y 2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)．(理)(2020·泰安质检)如图，过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是________．[答案] y 2＝3x[解析] 解法1：过A 、B 作准线垂线，垂足分别为A 1，B 1，则|AA 1|＝3，|BB 1|＝|BF|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB 1|，∴|AC|＝2|AA 1|＝2|AF|＝6，∴|CF|＝3，∴p ＝12|CF|＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x.解法2：由抛物线定义，|BF|等于B 到准线的距离，由|BC|＝2|BF|得∠BCM ＝30°，又|AF|＝3，从而A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋32，332在抛物线上，代入抛物线方程y 2＝2px ，解得p ＝32.6．(文)(2020·韶关月考)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线L ：y ＝－2相切． (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过F(0,2)，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明：AQ ⊥BQ.[解析] (1)解：依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，L ：y ＝－2为准线的抛物线，因为抛物线焦点到准线距离等于4，所以圆心的轨迹方程是x 2＝8y. (2)证明：因为直线AB 与x 轴不垂直，设AB ：y ＝kx ＋2.A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y ＝18x 2，可得x 2－8kx －16＝0，x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16.抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y′＝14x.所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1k 2＝14x 1·14x 2＝116x 1·x 2＝－1.所以AQ ⊥BQ.(理)若椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0<b<2)的离心率等于32，抛物线C 2：x 2＝2py(p>0)的焦点在椭圆C 1的顶点上．(1)求抛物线C 2的方程；(2)若过M(－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线C 2的切线l 1、l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．[解析] (1)已知椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b 2，由离心率e ＝c a ＝4－b 22＝32得，b 2＝1.∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)， ∴p ＝2，抛物线的方程为x 2＝4y.(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，∵y ＝14x 2，∴y′＝12x ，∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2，当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1x 2＝4y得：x 2－4kx －4k ＝0，由Δ＝(－4k)2－4×(－4k)>0，解得k<－1或k>0. 又x 1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.7．(文)(2020·福建文，18)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A.(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋bx 2＝4y 得x 2－4x －4b ＝0(*)∵直线l 与抛物线相切 ∴△＝(－4)2－4×(－4b)＝0 ∴b ＝－1(2)由(1)知b ＝－1，方程(*)为x 2－4x ＋4＝0 解得x ＝2，代入x 2＝4y 中得，y ＝1，∴A(2,1) ∵圆A 与抛物线准线y ＝－1相切 ∴r ＝|1－(－1)|＝2.所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.(理)(2020·揭阳市模考)已知点C(1,0)，点A 、B 是⊙O ：x 2＋y 2＝9上任意两个不同的点，且满足AC →·BC →＝0，设P 为弦AB 的中点．(1)求点P 的轨迹T 的方程；(2)试探究在轨迹T 上是否存在这样的点：它到直线x ＝－1的距离恰好等于到点C 的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．[解析] (1)法一：连结CP ，由AC →·BC →＝0知，AC ⊥BC ，∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝12|AB|，由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，即|OP|2＋|CP|2＝9，设点P(x ，y)，有(x 2＋y 2)＋[(x －1)2＋y 2]＝9，化简得，x 2－x ＋y 2＝4.法二：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x ，y)，根据题意知，x 21＋y 21＝9，x 22＋y 22＝9,2x ＝x 1＋x 2,2y ＝y 1＋y 2， ∴4x 2＝x 21＋2x 1x 2＋x 22，4y 2＝y 21＋2y 1y 2＋y 22故4x 2＋4y 2＝(x 21＋y 21)＋(2x 1x 2＋2y 1y 2)＋(x 22＋y 22)＝18＋2(x 1x 2＋y 1y 2) ①又∵AC →·BC →＝0，∴(1－x 1，－y 1)·(1－x 2，－y 2)＝0∴(1－x 1)×(1－x 2)＋y 1y 2＝0，故x 1x 2＋y 1y 2＝(x 1＋x 2)－1＝2x －1，代入①式得，4x 2＋4y 2＝18＋2(2x －1)，化简得，x 2－x ＋y 2＝4.(2)根据抛物线的定义，到直线x ＝－1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y 2＝2px 上，其中p 2＝1，∴p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x x 2－x ＋y 2＝4得，x 2＋3x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－4，由于x≥0，故取x ＝1，此时y ＝±2，故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．1．(2020·黑龙江双鸭山质检)过抛物线y ＝ax 2(a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AF 、BF 的长分别为m 、n ，则mnm ＋n等于( )A.12aB.14aC ．2aD.a 4[答案] B[解析] 特例法．取通径AB ，则m ＝n ＝12a ，故mn m ＋n ＝14a . 2．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. 3B ．2 C. 5D. 6[答案] C[解析] 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，与抛物线方程联立得x 2±b a x ＋1＝0，Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫±b a 2－4＝0⇒b 2＝4a 2，∴c 2－a 2＝4a 2，∴c 2＝5a 2，e ＝5，故选C. 3．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且|NF|＝32|MN|，则∠NMF ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.5π12 [答案] A[解析] 如图，过点N 向准线引垂线，垂足为P ，由抛物线的定义知|NP|＝|NF|＝32·|MN|.在Rt △NMP 中，sin ∠NMP ＝|NP||NM|＝32⇒∠NMP ＝π3⇒∠NMF ＝π6，故选A. 4．(2020·浙江杭州)若直线l 与抛物线C ：y 2＝2px(p>0)交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0是抛物线C 的焦点，则“弦长|AB|＝x 1＋x 2＋p”是“直线l 经过点F”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 由抛物线的定义知，|AF|＝x 1＋p 2，|BF|＝x 2＋p 2，∴|AF|＋|BF|＝x 1＋x 2＋p ，∴|AF|＋|BF|＝|AB|，∴|AB|＝x 1＋x 2＋p 是直线l 经过点F 的充要条件．。

高考数学第一轮知识点巩固题库第6讲抛物线(含解析)新人教A版

高考数学第一轮知识点巩固题库第6讲抛物线（含解析）新人教A 版一、选择题1．抛物线x 2＝(2a －1)y 的准线方程是y ＝1，则实数a ＝( )A.52B.32 C ．－12 D ．－32解析根据分析把抛物线方程化为x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a y ，则焦参数p ＝12－a ，故抛物线的准线方程是y ＝p 2＝12－a 2，则12－a2＝1，解得a ＝－32.答案 D 2．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上，则p ＝( ) A.12 B ．1 C ．2D ．3解析 ∵抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为(p2，0)在圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上，∴p 24＋p －3＝0，解得p ＝2或p ＝－6(舍去)．答案 C3．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )．A.45B.35C ．－35D ．－45解析由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝2x －4，得x 2－5x ＋4＝0，∴x ＝1或x ＝4.不妨设A (4,4)，B (1，－2)，则|F A→|＝5，|FB →|＝2，F A →·FB →＝(3,4)·(0，－2)＝－8，∴cos ∠AFB ＝F A →·FB →|F A →||FB →|＝－85×2＝－45.故选D.答案 D4．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )．A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析 ∵x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴ba＝ 3.x 2＝2py 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p 2，x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，即y ＝±3x .由题意，得p 21＋(3)2＝2，∴p ＝8.故C 2：x 2＝16y ，选D. 答案 D5．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )．A ．18B ．24C ．36D ．48 解析如图，设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)．∵当x ＝p2时，|y |＝p ，∴p ＝|AB |2＝122＝6.又P 到AB 的距离始终为p ， ∴S △ABP ＝12×12×6＝36.答案 C6．已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是( )． A. 3B. 5C ．2D.5－1解析由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点P 到y 轴的距离为|PF |－1，所以点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF |－1.易知d ＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d ＋|PF |的最小值为|2＋3|22＋(－1)2＝5，所以d ＋|PF |－1的最小值为5－1. 答案 D 二、填空题7．已知动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．解析设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .答案 y 2＝4x8．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|NF |＝32|MN |，则∠NMF ＝________. 解析过N 作准线的垂线，垂足是P ，则有PN ＝NF ，∴PN ＝32MN ，∠NMF ＝∠MNP .又cos ∠MNP ＝32， ∴∠MNP ＝π6，即∠NMF ＝π6.答案 π69．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py .由题意A (2，－2)代入x 2＝－2py ，得p ＝1，故x 2＝－2y .设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6，故水面宽为26米．答案 2 610．过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________.解析设过抛物线焦点的直线为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，联立得，⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，整理得，k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0，x 1＋x 2＝k 2＋2k 2，x 1x 2＝14.|AB |＝x 1＋x 2＋1＝k 2＋2k 2＋1＝2512，得，k 2＝24，代入k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0得，12x 2－13x ＋3＝0，解之得x 1＝13，x 2＝34，又|AF |<|BF |，故|AF |＝x 1＋12＝56.答案 56三、解答题11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切． (1)求a 与b ；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 1过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2交l 1于点P .求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．解 (1)由e ＝ca＝1－b 2a 2＝33，得b a ＝63. 又由原点到直线y ＝x ＋2的距离等于椭圆短半轴的长，得b ＝2，则a ＝ 3. (2)法一由c ＝a 2－b 2＝1，得F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设M (x ，y )，则P (1，y )．由|MF 1|＝|MP |，得(x ＋1)2＋y 2＝(x －1)2，即y 2＝－4x ，所以所求的M 的轨迹方程为y 2＝－4x ，该曲线为抛物线．法二因为点M 在线段PF 1的垂直平分线上，所以|MF 1|＝|MP |，即M 到F 1的距离等于M 到l 1的距离．此轨迹是以F 1(－1,0)为焦点，l 1：x ＝1为准线的抛物线，轨迹方程为y 2＝－4x .12．已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (－1,0)的直线交抛物线C 于P 、Q 两点，设AP →＝λAQ →. (1)若点P 关于x 轴的对称点为M ，求证：直线MQ 经过抛物线C 的焦点F ； (2)若λ∈⎣⎡⎦⎤13，12，求|PQ |的最大值．思维启迪：(1)可利用向量共线证明直线MQ 过F ；(2)建立|PQ |和λ的关系，然后求最值． (1)证明设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 1，－y 1)． ∵AP →＝λAQ →，∴x 1＋1＝λ(x 2＋1)，y 1＝λy 2，∴y 21＝λ2y 22，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，x 1＝λ2x 2，∴λ2x 2＋1＝λ(x 2＋1)，λx 2(λ－1)＝λ－1， ∵λ≠1，∴x 2＝1λ，x 1＝λ，又F (1,0)，∴MF →＝(1－x 1，y 1)＝(1－λ，λy 2) ＝λ⎝⎛⎭⎫1λ－1，y 2＝λFQ →，∴直线MQ 经过抛物线C 的焦点F . (2)由(1)知x 2＝1λ，x 1＝λ，得x 1x 2＝1，y 21·y 22＝16x 1x 2＝16， ∵y 1y 2>0，∴y 1y 2＝4，则|PQ |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝x 21＋x 22＋y 21＋y 22－2(x 1x 2＋y 1y 2)＝⎝⎛⎭⎫λ＋1λ2＋4⎝⎛⎭⎫λ＋1λ－12 ＝⎝⎛⎭⎫λ＋1λ＋22－16， λ∈⎣⎡⎦⎤13，12，λ＋1λ∈⎣⎡⎦⎤52，103，当λ＋1λ＝103，即λ＝13时，|PQ |2有最大值1129，|PQ |的最大值为473.13．设抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为4 2，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．解 (1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，|BD |＝2p ，圆F 的半径|F A |＝2p . 由抛物线定义可知A 到l 的距离d ＝|F A |＝ 2p . 因为△ABD 的面积为4 2，所以12|BD |·d ＝4 2，即12·2p · 2p ＝4 2，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2. 所以F (0,1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8.(2)因为A ，B ，F 三点在同一直线m 上，所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°. 由抛物线定义知|AD |＝|F A |＝12|AB |.所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33. 当m 的斜率为33时，由已知可设n ：y ＝33x ＋b ，代入x 2＝2py 得x 2－2 33px －2pb ＝0. 由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43p 2＋8pb ＝0，解得b ＝－p6.因为m 的纵截距b 1＝p 2，|b 1||b |＝3，所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3. 当m 的斜率为－33时，由图形对称性可知，坐标原点到m ，n 距离的比值为3. 综上，坐标原点到m ，n 距离的比值为3.14．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)． ∵点P (1,2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2. 故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ，则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)， ∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k PA ＝－k PB . 由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，②∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2)． ∴y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， ∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．。

【走向高考】2020年高考数学总复习 8-5 双曲线课后作业新人教A版

"【走向高考】2020年高考数学总复习 8-5 双曲线课后作业新人教A 版 "1.(2020·巢湖质检)设双曲线y 2m －x 22＝1的一个焦点为(0，－2)，则双曲线的离心率为( )A. 2 B ．2 C. 6 D ．2 2[答案] A[解析] 由条件知m ＋2＝4，∴m ＝2， ∴离心率e ＝22＝ 2.2．(2020·烟台调研)与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D.x 2－y 22＝1[答案] B[解析] 椭圆的焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，由双曲线定义知2a ＝|PF 1|－|PF 2| ＝2＋32＋1－2－32＋1＝8＋43－8－43＝22， ∴a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线方程为x 22－y 2＝1.3．(文)(2020·青岛一检)设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝( )A.10 B ．210 C. 5 D ．2 5[答案] B[解析] ∵F 1、F 2为双曲线的左右焦点，∴F 1(－10，0)，F 2(10，0)，由向量加法的平行四边形法则及直角三角形斜边上的中线性质知，|PF 1→＋PF 2→|＝|2PO →|＝210，故选B.(理)(2020·湖南湘西联考)已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A 、B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．16D ．20[答案] B[解析] 由已知，|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝20，又|AB |＝4，则|AF 2|＋|BF 2|＝16. 据双曲线定义，2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝|BF 2|－|BF 1|，所以4a ＝(|AF 2|＋|BF 2|)－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16－4＝12，即a ＝3，所以m ＝a 2＝9，故选B.4．(文)(2020·新课标全国文)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.52[答案] D[解析] 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以其渐近线方程为y ＝±ba x ，因为点(4，－2)在渐近线上，所以b a ＝12，根据c 2＝a 2＋b 2可得，c 2－a 2a 2＝14，化为e 2＝54，故e ＝52，故选D. (理)已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正△MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为( )A ．4＋2 3 B.3－1 C.3＋12D.3＋1[答案] D[解析] 设线段MF 1的中点为P ，由已知△F 1PF 2为有一锐角为60°的直角三角形， ∴|PF 1|、|PF 2|的长度分别为c 和3c .由双曲线的定义知：(3－1)c ＝2a ， ∴e ＝23－1＝3＋1.5．(2020·广东揭阳市模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±32xB ．y ＝±32x C ．y ＝±33x D ．y ＝±3x[答案] D[解析] 依题意得双曲线的半焦距c ＝4，由e ＝c a＝2⇒a ＝2，∴b ＝c 2－a 2＝23， ∵双曲线的焦点在x 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .故选D.6．如图，F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，A 1、A 2是双曲线的两个顶点，P 是双曲线上不同于A 1、A 2的点，则分别以A 1A 2、F 1P 为直径的两个圆( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上均有可能[答案] B[解析] 取PF 1的中点M ，连接OM ，PF 2， ∴|PF 1|－|PF 2|＝±2a ，12|PF 1|－12|PF 2|＝±a ，即12|PF 1|－|OM |＝±a ， ∴|OM |＝12|PF 1|±a ＝R ±a ，∴两圆相切．7．(文)设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．[答案]3215[解析] 如图，双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，F (5,0)，∴直线BF ：y ＝43(x －5)，解⎩⎪⎨⎪⎧x 29－y 216＝1y ＝43x －5得y ＝－3215，又|AF |＝5－3＝2，∴S △AFB ＝12×2×3215＝3215.(理)(2020·北京东城区)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则该双曲线离心率的取值范围是________．[答案] 1<e ≤2[解析] 由题意⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a|PF 1|＝3|PF 2|，∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝3a|PF 2|＝a ，∵|PF 1|≥|AF 1|，∴3a ≥a ＋c ， ∴e ＝c a≤2，∴1<e ≤2. 线x 2－y 2b2＝1的右焦8．(2020·浙江杭州月考)双曲点到双曲线一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为________．[答案]5[解析] 双曲线x 2－y 2b 2＝1的右焦点F (c,0)到渐近线bx ＋y ＝0的距离：|bc |b 2＋1＝b ＝2，又a ＝1.∴c 2＝a 2＋b 2＝5，c ＝ 5. ∴双曲线的离心率e ＝c a＝ 5.1.(文)(2020·天津理)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上．则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 [答案] B[解析] 由题易知b a＝ 3 ① 且双曲线焦点为(6,0)、(－6,0)，则有a 2＋b 2＝36 ② 由①②知：a ＝3，b ＝33， ∴双曲线方程为x 29－y 227＝1，故选B.(理)(2020·天津文，6)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5[答案] B[解析] 由交点(－2，－1)得－p2＝－2，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝8x ，∴F (2,0)，又a ＋p2＝a ＋2＝4，∴a ＝2，双曲线的一条渐近线为y ＝b ax ，且过点(－2，－1)， ∴a －2b ＝0，∴b ＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝5，∴c ＝5，2c ＝2 5.故选B.2．(2020·合肥市)中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1都相切，则双曲线C 的离心率是( )A.233或2 B.2或 3 C.3或 D.233或62[答案] A[解析] 焦点在x 轴上时，由条件知b a ＝13，∴c 2－a 2a 2＝13，∴e ＝c a ＝233，同理，焦点在y 轴上时，ba＝3，此时e ＝2.3．(文)(2020·山东临沂一模)设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2＝45，则双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．5x ±4y ＝0[答案] C[解析] 在△PF 1F 2中，由余弦定理得 cos ∠PF 1F 2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－|PF 2|22|PF 1|·|F 1F 2|＝|PF 1|24c ·|PF 1|＝|PF 1|4c ＝45. 所以|PF 1|＝165c . 又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即165c －2c ＝2a ，所以a ＝35c .代入c 2＝a 2＋b 2得b a ＝±43.因此，双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0.(理)(2020·辽宁锦州)△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，0(其中m >0，且m 为常数)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程为( )A.16y2m 2－16x23m 2＝1 B.x 216－y 2163＝1C.16x2m 2－16y 23m 2＝1(x >m4) D.16x2m 2－16y23m2＝1[答案] C[解析] 依据正弦定理得：|AB |－|AC |＝12|BC |＝m2<|BC |∴点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支，且a ＝m 4，c ＝m2，∴b 2＝c 2－a 2＝3m216∴双曲线方程为16x 2m 2－16y 23m 2＝1(x >m4)4．(2020·福建理)若原点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞)D ．[74，＋∞)[答案] B[解析] ∵a 2＋1＝22＝4，∴a 2＝3， ∴双曲线方程为x 23－y 2＝1.设P 点坐标为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋2，y )， ∵y 2＝x 23－1，∴OP →·FP →＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1＝43(x ＋34)2－74.又∵x ≥3(右支上任意一点) ∴OP →·FP →≥3＋2 3.故选B.5．(2020·江西文)点A (x 0，y 0)在双曲线x 24－y 232＝1的右支上，若点A 到右焦点的距离等于2x 0，则x 0＝__________.[答案] 2[解析] 右焦点F (6,0)，A 点在双曲线上，有x 204－y2032＝1⇒y 20＝8x 20－32，|AF |＝x 0－62＋y 20＝x 0－62＋8x 20－32＝9x 20－12x 0＋4＝2x 0⇒5x 20－12x 0＋4＝0⇒x 0＝2或x 0＝25，又由双曲线的几何性质，x 0≥2，∴x 0＝2为所求．6．(文)设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A ，B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，若PA →＝512PB →，求a 的值．[解析] (1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a2－y 2＝1中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0①由题设条件知，⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠04a 4＋8a 21－a 2>0，解得0<a <2且a ≠1，又双曲线的离心率e ＝1＋a2a＝1a 2＋1，∵0<a <2且a ≠1，∴e >62且e ≠ 2. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)．∵PA →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．∴x 1＝512x 2，∵x 1、x 2是方程①的两根，且1－a 2≠0， ∴1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2，消去x 2得，－2a 21－a 2＝28960，∵a >0，∴a ＝1713. (理)(2020·江西理，20)P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M 、N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．[解析] (1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y20b2＝1由题意又有y 0x 0－a·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，则e ＝c a ＝305. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b2y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b24，设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2y 3＝λy 1＋y 2 ①又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2，化简得：λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2， ② 又A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2，由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c)(x 2－c)＝－4x 1x 2＋5c(x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2得：λ2＋4λ＝0，解出λ＝0，或λ＝－4.7．(文)(2020·江苏苏州)已知二次曲线C k 的方程：x 29－k ＋y24－k ＝1.(1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；(2)若双曲线C k 与直线y ＝x ＋1有公共点且实轴最长，求双曲线方程；(3)m 、n 为正整数，且m<n ，是否存在两条曲线C m 、C n ，其交点P 与点F 1(－5，0)，F 2(5，0)满足PF 1→·PF 2→＝0？若存在，求m 、n 的值；若不存在，说明理由．[解析] (1)当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧9－k>04－k>0，即k<4时，方程表示椭圆．当且仅当(9－k)(4－k)<0，即4<k<9时，方程表示双曲线． (2)解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1x 29－k ＋y24－k＝1化简得，(13－2k)x 2＋2(9－k)x ＋(9－k)(k －3)＝0 ∵Δ≥0，∴k≥6或k≤4(舍)∵双曲线实轴最长，∴k 取最小值6时，9－k 最大即双曲线实轴最长，此时双曲线方程为x 23－y22＝1.解法二：若C k 表示双曲线，则k∈(4,9)，不妨设双曲线方程为x 2a 2－y25－a 2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1x 2a 2－y25－a2＝1消去y 得，(5－2a 2)x 2－2a 2x －6a 2＋a 4＝0 ∵C k 与直线y ＝x ＋1有公共点， ∴Δ＝4a 4－4(5－2a 2)(a 4－6a 2)≥0，即a 4－8a 2＋15≥0，∴a 2≤3或a 2≥5(舍)， ∴实轴最长的双曲线方程为x 23－y22＝1.解法三：双曲线x 29－k ＋y 24－k ＝1中c 2＝(9－k)＋(k －4)＝5，∴c＝5，∴F 1(－5，0)，不妨先求得F 1(－5，0)关于直线y ＝x ＋1的对称点F(－1,1－5)，设直线与双曲线左支交点为M ，则 2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝|MF 2|－|MF|≤|FF 2| ＝－1－52＋1－52＝2 3∴a≤3，∴实轴最长的双曲线方程为x 23－y22＝1.(3)由(1)知C 1、C 2、C 3是椭圆，C 5、C 6、C 7、C 8是双曲线，结合图象的几何性质，任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间也无公共点设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2，m∈{1,2,3}，n∈{5,6,7,8}则根据椭圆、双曲线定义及PF 1→·PF 2→＝0(即PF 1⊥PF 2)，应有⎩⎨⎧d 1＋d 2＝29－m |d 1－d 2|＝29－nd 21＋d 22＝20，所以m ＋n ＝8.所以这样的C m 、C n 存在，且⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝5.(理)(2020·全国Ⅱ文)已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为M(1,3)．(1)求C 的离心率；(2)设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，|DF|·|BF|＝17，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．[解析] (1)由题意知，l 的方程为：y ＝x ＋2，代入C 的方程并化简得， (b 2－a 2)x 2－4a 2x －4a 2－a 2b 2＝0 设B(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4a 2b 2－a 2，x 1·x 2＝－4a 2＋a 2b2b 2－a 2 ①由M(1,3)为BD 的中点知x 1＋x 22＝1，故12×4a2b 2－a 2＝1即b 2＝3a2②故c ＝a 2＋b 2＝2a ，∴C 的离心率e ＝c a ＝2.(2)由②知，C 的方程为3x 2－y 2＝3a 2，A(a,0)，F(2a,0)，x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝－4＋3a22<0，故不妨设x 1≤－a ，x 2≥a， |BF|＝x 1－2a 2＋y 21＝x 1－2a 2＋3x 21－3a 2＝a －2x 1， |FD|＝x 2－2a2＋y 22＝x 2－2a2＋3x 22－3a 2＝2x 2－a ，|BF|·|FD|＝(a －2x 1)(2x 2－a)＝－4x 1x 2＋2a(x 1＋x 2)－a 2＝5a 2＋4a ＋8. 又|BF|·|FD|＝17，故5a 2＋4a ＋8＝17，解得a ＝1，或a ＝－95.故|BD|＝2|x 1－x 2|＝2x 1＋x 22－4x 1·x 2＝6连结MA ，则由A(1,0)，M(1,3)知|MA|＝3，从而MA ＝MB ＝MD ，∠DAB＝90°，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆过A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切，所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．1．(2020·深圳市调研)若双曲线过点(m ，n)(m>n>0)，且渐近线方程为y ＝±x，则双曲线的焦点( )A ．在x 轴上B ．在y 轴上C ．在x 轴或y 轴上D ．无法判断是否在坐标轴上 [答案] A[解析] 由双曲线的渐近线方程为y ＝±x，可设双曲线的方程为：x 2－y 2＝λ，将(m ，n)代入x 2－y 2＝λ得：m 2－n 2＝λ>0，从而该双曲线的焦点在x 轴上．2．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的焦点垂直于x 轴的弦长为12a ，则双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的离心率e 的值是( )A.54B.52C.32D.54[答案] B[解析] 将x ＝c 代入椭圆方程得，c 2a 2＋y 2b 2＝1，∴y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 2a 2×b 2＝a 2－c 2a 2×b 2＝b 2a 2×b 2，∴y＝±b2a.∴b 2a ＝14a ，∴b 2＝14a 2，e 2＝c 2a 2＝a 2＋14a 2a 2＝54， ∴e＝52，故选B. 3．(2020·新课标全国理)已知双曲线E 的中心为原点，F(3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N(－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y26＝1 B.x 24－y25＝1 C.x 26－y23＝1 D.x 25－y24＝1[答案] B[解析] 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)则有：⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b2x 1＋x 2a2y 1＋y 2＝4b25a2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线标准方程是x 24－y25＝1，故选B. 4.如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，当动点M 在底面ABCD 内运动时，总有：D 1A ＝D 1M ，则动点M 在面ABCD 内的轨迹是( )上的一段弧．( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] A[解析] 因为满足条件的动点在底面ABCD 内运动时，动点的轨迹是以D 1D 为轴线，以D 1A 为母线的圆锥，与平面ABCD 的交线即圆的一部分．故选A.5．设双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的两焦点为F 1、F 2，点Q 为双曲线左支上除顶点外的任一点，过F 1作∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分D ．圆的一部分[答案] D[解析] 延长F 1P 交QF 2于R ，则|QF 1|＝|QR|. ∵|QF 2|－|QF 1|＝2a ，∴|QF 2|－|QR|＝2a ＝|RF 2|，又|OP|＝12|RF 2|，∴|OP|＝a.6．(2020·广东四校)设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为( )A.14 B ．1 C. 2 D ．2 2[答案] C[解析] ∵P 是曲线C 1与C 2的交点，∴联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y22＝1x23－y 2＝1解之得，|y|＝22，∴S △PF 1F 2＝12·|F 1F 2|·|y|＝12×4×22＝ 2.故选C.7．已知P 是双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)右支上的一点，F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是其左、右焦点，则△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标为________．[答案] a[解析] 令内切圆与F 1F 2的切点为G ，与PF 1的切点为H ，与PF 2的切点为K ，则(|PH|＋|HF 1|)－(|PK|＋|KF 2|)＝|F 1G|－|GF 2|＝2a ，又|F 1G|＋|GF 2|＝2c ，则|F 1G|＝a ＋c ，∴切点为右顶点，易知圆心的横坐标为a.。

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【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 8-6抛物线课后强化作业新人教A 版基础巩固强化一、选择题1．(文)(2013·江西吉安模拟)若点P 到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则点P 的轨迹方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y[答案] C[解析] 由题意知点P 到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，因此点P 到点F (0,2)的距离与到直线y ＋2＝0的距离相等，故点P 的轨迹是以F 为焦点，y ＝－2为准线的抛物线，∴P 的轨迹方程为x 2＝8y .选C.(理)(2013·东北三校模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|[答案] C[解析] 抛物线的准线方程为x ＝－p 2，由定义得|FP 1|＝x 1＋p 2，|FP 2|＝x 2＋p2，|FP 3|＝x 3＋p 2，则|FP 1|＋|FP 3|＝x 1＋p 2＋x 3＋p2＝x 1＋x 3＋p,2|FP 2|＝2x 2＋p ，由2x 2＝x 1＋x 3，得2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|，故选C.2．(文)抛物线y 2＝8x 的焦点到双曲线x 212－y 24＝1的渐近线的距离为( )A ．1 B. 3 C.33D.36[答案] A[解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)到双曲线x 212－y 24＝1的渐近线y ＝±33x 的距离d ＝1.(理)设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )A.x 212＋y 216＝1 B.x 216＋y 212＝1C.x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 [答案] B[解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－n 2＝4，2m ＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝16，n 2＝12.故选B.3．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)[答案] C[解析] 设圆的半径为r ，因为F (0,2)是圆心，抛物线C 的准线方程y ＝－2.圆与准线相切时半径为4.若圆与准线相交则r >4.又因为点M (x 0，y 0)为抛物线x 2＝8y 上一点，所以有x 20＝8y 0.又点M (x 0，y 0)在圆x 2＋(y －2)2＝r 2上．所以x 20＋(y 0－2)2＝r 2>16，所以8y 0＋(y 0－2)2>16，即有y 20＋4y 0－12>0，解得y 0>2或y 0<－6(舍)，∴y 0>2.故选C.4．(2013·安徽省级示范高中联考)设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →与x 轴正方向的夹角为60°，则△OAF 的面积为( )A.32B ．2 C. 3 D ．1[答案] C[解析] 由题意知，F (1,0)，过A 作AD ⊥x 轴于D .令|FD |＝m ，则|F A |＝2m ，由抛物线的定义知|AF |＝p ＋|FD |＝2＋m ＝2m ，即m ＝2，所以|AD |＝23，S △OAF ＝12|OF |·|AD |＝12×1×23＝ 3.5．(文)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与曲线x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( ) A ．2 B ．1 C.12 D.14[答案] A[解析] 抛物线y 2＝2px 的准线方程是x ＝－p2，曲线x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16是圆心为(3,0)，半径为4的圆，依题意有|p 2＋3|＝4.因为p >0，所以有p2＋3＝4，解得p＝2，故选A.(理)设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为( )A ．(2，±22)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)[答案] B[解析] 设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴y 20＝4x 0①又F (1,0)，∴OA →＝(x 0，y 0)，AF →＝(1－x 0，－y 0)，∵OA →·AF →＝－4，∴x 0－x 20－y 20＝－4，②解①②组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1，y 0＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－2.[点评] 向量与解析几何相结合，向量往往要化为坐标的形式．6．(文)(2013·武汉市部分学校联考)过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们到直线x ＝－2的距离之和等于7，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在[答案] B[解析] 抛物线y 2＝4x 的通径(过焦点垂直于对称轴的线段)长为4，由抛物线的定义及题设条件知，|AB |＝7－2＝5>4，故这样的直线有且仅有两条．(理)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115 D.3716[答案] A[解析] 直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1,0)的距离，故本题化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P ，使得P 到点F (1,0)和直线l 2的距离之和最小，最小值为F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即d min ＝|4－0＋6|5＝2，故选A.二、填空题7．(2013·辽宁大连一模)已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8,8)，则线段AB 的中点到准线的距离是________．[答案]254[解析] 由y 2＝8x 知2p ＝8，∴p ＝4，则点F 的坐标为(2,0)．由题设可知，直线l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝k (x －2)，点A ，B 的坐标分别为(8,8)，(x B ，y B )．又点A (8,8)在直线l 上，∴8＝k (8－2)，解得k ＝43.∴直线l 的方程为y ＝43(x －2)．①将①代入y 2＝8x ，整理得2x 2－17x ＋8＝0，则8＋x B ＝172，∴x B ＝12.∴线段AB 的中点到准线的距离是 x A ＋x B 2＋p 2＝174＋2＝254. [解法探究] 求得x B ＝12后，进一步可得y B ＝－2，∴|AB |＝252. ∴AB 的中点到准线距离d ＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |＝254.8．(2013·甘肃天水调研)已知P 为抛物线y ＝14x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是(2,0)，则|P A |＋|PM |的最小值是________．[答案] 5－1[解析]如图，抛物线y ＝14x 2，即x 2＝4y 的焦点F (0,1)，记点P 在抛物线的准线l ：y ＝－1上的射影为P ′，根据抛物线的定义知，|PP ′|＝|PF |，则|PP ′|＋|P A |＝|PF |＋|P A |≥|AF |＝22＋12＝ 5.所以(|P A |＋|PM |)min＝(|P A |＋|PP ′|－1)min ＝5－1.9．(文)已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2m 时，测量水面宽为8m ，当水面上升12m 后，水面的宽度是________m.[答案] 4 3 [解析]建立平面直角坐标系如图，设开始时水面与抛物线的一个交点为A ，由题意可知A (4，－2)，故可求得抛物线的方程为y ＝－18x 2，设水面上升后交点为B ，则点B 的纵坐标为－32，代入抛物线方程y ＝－18x 2可求出B 点的横坐标为23，所以水面宽为43m.(理)(2012·陕西理，13)下图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2m ，水面宽4m ，水位下降1m 后，水面宽________m.[答案] 2 6[解析] 本题考查了抛物线方程在实际问题中的应用．如图建立坐标系设方程x 2＝－2py (p >0)，由题意知点(2，－2)在抛物线上，可得p ＝1，则方程为x 2＝－2y ，当y ＝－3时，x ＝±6，所以水面宽26m.[点评] 抛物线方程在实际问题中的应用，关键是合理建立平面直角坐标系，还要注意数据的实际意义．三、解答题10．(2013·长春三校调研)在直角坐标系xOy 中，点M (2，－12)，点F 在抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)的焦点，线段MF 恰被抛物线C 平分．(1)求m 的值；(2)过点M 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，设直线F A 、FM 、FB 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，问k 1、k 2、k 3能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l 的方程；若不能，请说明理由．[解析] (1)由题得抛物线C 的焦点F 的坐标为(0，14m )，线段MF 的中点N (1，18m －14)在抛物线C 上，∴18m －14＝m,8m 2＋2m －1＝0，∴m ＝14(m ＝－12舍去)． (2)由(1)知抛物线C ：x 2＝4y ，F (0,1)．设直线l 的方程为y ＋12＝k (x －2)，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋12＝k (x －2)，x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋8k ＋2＝0， Δ＝16k 2－4(8k ＋2)>0，∴k <2－62或k >2＋62.⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8k ＋2. 假设k 1、k 2、k 3能成公差不为零的等差数列，则k 1＋k 3＝2k 2. 而k 1＋k 3＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝x 2y 1＋x 1y 2－x 2－x 1x 1x 2＝x 2x 214＋x 1x 224－x 2－x 1x 1x 2＝(x 1x 24－1)(x 1＋x 2)x 1x 2＝(8k ＋24－1)·4k 8k ＋2＝4k 2－k 4k ＋1，k 2＝－34，∴4k 2－k 4k ＋1＝－32，8k 2＋10k ＋3＝0，解得k ＝－12(符合题意)或k ＝－34(不合题意，舍去)．∴直线l 的方程为y ＋12＝－12(x －2)，即x ＋2y －1＝0.∴k 1、k 2、k 3能成公差不为零的等差数列，此时直线l 的方程为x ＋2y －1＝0.能力拓展提升一、选择题11．(文)若抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，准线是l ，则经过点F 、M (4,4)且与l 相切的圆共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[答案] C[解析] 经过F 、M 的圆的圆心在线段FM 的垂直平分线上，设圆心为C ，则|CF |＝|CM |，又圆C 与l 相切，所以C 到l 距离等于|CF |，从而C 在抛物线y 2＝4x 上．故圆心为FM 的垂直平分线与抛物线的交点，显然有两个交点，所以共有两个圆． (理)将两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则( )A ．n ＝0B ．n ＝1C ．n ＝2D ．n ≥3 [答案] C [解析]设抛物线上点A (y 212p ，y 1)，B (y 222p ，y 2)，且y 1≠y 2，焦点F (p2，0)，由|AF |＝|BF |得，(y 21－y 22)(y 21＋y 22＋2p 24p2)＝0，∵y 1≠y 2，∴y 1＝－y 2.∴A 、B 关于x 轴对称．过点F 作直线y ＝33(x －p 2)，y ＝－33(x －p2)分别与抛物线有2个交点． ∴等边三角形有△AFB 和△A ′FB ′，2个，故选C.12．(2013·郑州第一次质量预测)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线交抛物线于A 、B 两点，则弦AB 的长为( )A ．4B ．8C ．12D ．16[答案] D[解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2,0)，直线AB 的倾斜角为135°，故直线AB 的方程为y ＝－x ＋2，代入抛物线方程y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦AB 的长|AB |＝x 1＋x 2＋4＝12＋4＝16.13．(2013·乌鲁木齐第一次诊断)设平面区域D 是由双曲线y 2－x 24＝1的两条渐近线和抛物线y 2＝－8x 的准线所围成的三角形(含边界与内部)．若点(x ，y )∈D ，则x ＋y 的最小值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．3[答案] B[解析] 由题意知，双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，抛物线的准线方程为x ＝2，设z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线y ＝－x 过点O (0,0)时，直线y ＝－x ＋z 的纵截距最小，故z min ＝0.二、填空题14．(文)已知点A (2,0)、B (4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，则AP →·BP →取得最小值时的点P 的坐标是______．[答案] (0,0)[解析] 设P ⎝⎛⎭⎫－y 24，y ，则AP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－2，y ，BP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－4，y ，AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－2⎝⎛⎭⎫－y 24－4＋y 2＝y 416＋52y 2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)． (理)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是________．[答案] 19[解析] 根据抛物线定义可得，抛物线准线方程为x ＝－4，则抛物线方程为y 2＝16x . 把M (1，m )代入y 2＝16x 得m ＝4，即M (1,4)．在双曲线x 2a －y 2＝1中，A (－a ，0)，则k AM ＝41＋a ＝1a.解得a ＝19.15．(2013·辽宁五校联考)设抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，经过点P (2,1)的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，又知点P 恰为AB 的中点，则|AF |＋|BF |＝________.[答案] 8[解析] 分别过点A ，B ，P 作准线的垂线，垂足分别为M ，N ，Q ，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得|AF |＋|BF |＝|AM |＋|BN |＝2|PQ |＝8.三、解答题16．(文)若椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的离心率等于32，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点在椭圆C 1的顶点上．(1)求抛物线C 2的方程；(2)若过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线C 2的切线l 1、l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．[解析] (1)已知椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b 2，由离心率e ＝c a ＝4－b 22＝32得，b 2＝1.∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)， ∴p ＝2，抛物线的方程为x 2＝4y .(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴切线l 1、l 2的斜率分别为12x 1、12x 2，当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 2＝4y .得x 2－4kx －4k ＝0，由Δ＝(－4k )2－4×(－4k )>0，解得k <－1或k >0. 又x 1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.(理)已知点C (1,0)，点A 、B 是⊙O ：x 2＋y 2＝9上任意两个不同的点，且满足AC →·BC →＝0，设P 为弦AB 的中点．(1)求点P 的轨迹T 的方程；(2)试探究在轨迹T 上是否存在这样的点：它到直线x ＝－1的距离恰好等于到点C 的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．[解析] (1)法一：连接CP ，由AC →·BC →＝0知，AC ⊥BC ，∴|CP |＝|AP |＝|BP |＝12|AB |，由垂径定理知|OP |2＋|AP |2＝|OA |2，即|OP |2＋|CP |2＝9，设点P (x ，y )，有(x 2＋y 2)＋[(x －1)2＋y 2]＝9，化简得，x 2－x ＋y 2＝4.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，根据题意知，x 21＋y 21＝9，x 22＋y 22＝9,2x ＝x 1＋x 2,2y ＝y 1＋y 2， ∴4x 2＝x 21＋2x 1x 2＋x 22，4y 2＝y 21＋2y 1y 2＋y 22，故4x 2＋4y 2＝(x 21＋y 21)＋(2x 1x 2＋2y 1y 2)＋(x 22＋y 22)＝18＋2(x 1x 2＋y 1y 2)，①又∵AC →·BC →＝0，∴(1－x 1，－y 1)·(1－x 2，－y 2)＝0，∴(1－x 1)×(1－x 2)＋y 1y 2＝0，故x 1x 2＋y 1y 2＝(x 1＋x 2)－1＝2x －1，代入①式得，4x 2＋4y 2＝18＋2(2x －1)，化简得，x 2－x ＋y 2＝4.(2)根据抛物线的定义，到直线x ＝－1的距离等于到点C (1,0)的距离的点都在抛物线y 2＝2px 上，其中p 2＝1，∴p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x 2－x ＋y 2＝4.得，x 2＋3x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－4，由于x ≥0，故取x ＝1，此时y ＝±2，故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．考纲要求1．理解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．2．理解数形结合的思想，了解抛物线的简单应用．补充说明1．由于抛物线的标准方程有四种不同形式，故求抛物线标准方程时，一定要注意区分焦点在哪个轴上加以讨论．抓准抛物线的开口方向及p 的几何意义是准确迅速求解的关键．2．抛物线的焦点弦涉及抛物线的焦半径或焦点弦的问题，常考虑应用定义求解．(1)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦为AB ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有如下结论：①|AB |＝x 1＋x 2＋p ； ②y 1y 2＝－p 2； ③x 1x 2＝p 24. (2)直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0时，常设l ：x ＝my ＋p 2以简化运算． 3．韦达定理的应用涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，以避免求交点坐标的复杂运算．4．关于抛物线的最值问题(1)A 为抛物线弧内一定点，F 为焦点，P 为抛物线上任一点，求|P A |＋|PF |的最小值问题常用定义转化，由A 向抛物线的准线作垂线与抛物线的交点为取到最小值的P 点．(2)直线l 与抛物线无公共点，求抛物线上的点到l 的最小值问题，一般可设出抛物线上的点，用点到直线距离公式转化为二次函数求最值，或设出与l 平行且与抛物线相切的直线，转化为两平行直线间的距离，后者更简便．(3)解题原理：“两点之间线段最短”，“点到直线的垂线段最短”，三点A 、B 、C 中，|AB |＋|BC |≥|AC |等．5．求参数范围的方法有两种：①根据题目给出的已知条件列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(消元)，然后求解不等式；②由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域．备选习题1．(2013·深圳调研)已知点P 在直线x ＋y ＋5＝0上，点Q 在抛物线y 2＝2x 上，则|PQ |的最小值等于________．[答案] 924[解析] 设与直线x ＋y ＋5＝0平行且与抛物线y 2＝2x 相切的直线方程是x ＋y ＋m ＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋m ＝0y 2＝2x 消去x 得y 2＋2y ＋2m ＝0，令Δ＝4－8m ＝0，得m ＝12，因此|PQ |的最小值等于直线x ＋y ＋5＝0与直线x ＋y ＋12＝0之间的距离，即等于|5－12|2＝924. 2．(2013·福州期末)若抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，动点P 在曲线y 2＝－4x (y ≥0)上，则△P AB 的面积的最小值为________．[答案] 2 2[解析] 由题意得F (1,0)，直线AB 的方程为y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，得x 2－6x ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，∴|AB |＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝8.设P (－y 204，y 0)，则点P 到直线AB 的距离为|y 204＋y 0＋1|2， ∴△P AB 的面积S ＝|y 20＋4y 0＋4|2＝(y 0＋2)22≥22，即△P AB 的面积的最小值是2 2. 3．(2014·扶余一中质检)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．[答案] x ＝－1[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2px ，y ＝x －p 2，消去x 得，y 2－2py －p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2p ，由条件知，y 1＋y 2＝4，∴p ＝2，∴抛物线的准线方程为x ＝－1.。

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(全国通用)近年高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第7节 抛物线课时分层训练 文 新人教A版(