高二数学苏教版选修2-1空间向量的坐标运算16页PPT
合集下载
【高中数学课件】苏教版选修2-1空间向量的坐标运算ppt课件
空组间( x任, 一y,点z )A，，使存O 在A 唯 一xi的有yj序实zk数， 有序实数组 ( x, y, z ) 叫作向量O A 在
空间直角坐标系 O xyz 中的坐标，
记作A(x, y, z)，x y 叫横坐标， 叫
z 纵坐标， 叫竖坐标．
3．空间向量的直角坐标运算律：
若 a ( a 1 , a 2 , a 3 ) , b ( b 1 , b 2 , b 3 ) 则
二．新课讲解
1．天空马间行直空角官坐方标博系客：：/tmxk_docin ； （1）若空QQ间:1的3一18个2基41底18的9三；个QQ基群向：量1互75相5垂69直6，32且长为 1， 这个基底叫单位正交基底 用 {i,j,k}表 示
(2)在空间选定一点O 和一个单位 正交基底 {i, j, k} ，以点O 为原点，分
【高中数学课件】苏教版选修 2-1空间向量的坐标运算ppt课
件
一．复习回顾
1．空间向量的基本定理：
若天是马{行aQ,空bQ,官c:}1方3空1博间8客2的4：一11h个8t基t9p；底:/Q，/tpQ.q是群q空.：c间o1m任75意/5tm一69向x6k量3_2d，o存ci在n ；
唯一的实数组使．pxaybzc
a b (a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 )a b (a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 )
a (a 1 ,a 2 ,a 3 )( R ) a b a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3
|a|aaa 1 2 a 2 2 a 3 2
y
系.
x
a
2．空间直角坐标系中的坐标：
如图给定空间直角坐标系和向量 a ，
设 i , j , k 为坐标向量,则存在唯一的
空间直角坐标系 O xyz 中的坐标，
记作A(x, y, z)，x y 叫横坐标， 叫
z 纵坐标， 叫竖坐标．
3．空间向量的直角坐标运算律：
若 a ( a 1 , a 2 , a 3 ) , b ( b 1 , b 2 , b 3 ) 则
二．新课讲解
1．天空马间行直空角官坐方标博系客：：/tmxk_docin ； （1）若空QQ间:1的3一18个2基41底18的9三；个QQ基群向：量1互75相5垂69直6，32且长为 1， 这个基底叫单位正交基底 用 {i,j,k}表 示
(2)在空间选定一点O 和一个单位 正交基底 {i, j, k} ，以点O 为原点，分
【高中数学课件】苏教版选修 2-1空间向量的坐标运算ppt课
件
一．复习回顾
1．空间向量的基本定理：
若天是马{行aQ,空bQ,官c:}1方3空1博间8客2的4：一11h个8t基t9p；底:/Q，/tpQ.q是群q空.：c间o1m任75意/5tm一69向x6k量3_2d，o存ci在n ；
唯一的实数组使．pxaybzc
a b (a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 )a b (a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 )
a (a 1 ,a 2 ,a 3 )( R ) a b a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3
|a|aaa 1 2 a 2 2 a 3 2
y
系.
x
a
2．空间直角坐标系中的坐标：
如图给定空间直角坐标系和向量 a ，
设 i , j , k 为坐标向量,则存在唯一的
高中数学选修2-1精品课件1：3.1.5空间向量运算的坐标表示
知识点2：空间向量运算的坐标表示及平行、垂直的条件
【问题导思】 1．已知向量 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，如何表示 a＋b，a －b，λa，a·b? 【提示】a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)，a－b＝(a1－b1，a2－b2)， λa＝(λa1，λa2)，a·b＝a1b1＋a2b2.
规律方法 1．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向 量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 2．空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运 算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算，先 算括号里，后算括号外．
变式训练 已知 a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)．求 2a－3b， |a|，(2a＋3b)·(a－2b)，cos〈a，b〉．
量 构 成 空 间 向 量 的 一 个 基 底 {i ， j ， k} ， 这 个 基 底 叫
做 单位正交基底
．单位向量 i，j，k 都叫做 坐标向量 ．
2．在空间直角坐标系中，已知任一向量 a，根据空间 向量分解定理，存在唯一实数组(a1，a2，a3)，使得 a＝a1i ＋a2j＋a3k，a1i、a2j、a3k 分别为向量 a 在 i、j、k 方向上的 分向量，有序实数组(a1，a2，a3)叫做向量 a 在此直角坐标系 中的坐标．上式可简记作 a＝(a1，a2，a3)．
2．如果 a∥b(b≠0)，则 a、b 坐标满足什么关系？
【提示】a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2.
1．空间向量运算的坐标表示
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
向量运算
坐标表示
加法 减法 数乘
a＋b＝ (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) a－b＝ (a1－b1，a2－b2，a3－b3) λa＝ (λa1，λa2，λa3)
高二数学选修2-1课件：3.1.5 空间向量运算的坐标表示
O
8
A
4C
6
5
B
cos OA, BC OA BC 24 16 2 3 2 2
| OA | | BC | 8 5
5
第四页，编辑于星期一：一点 二十二分。
探究（一）：向量运算的坐标表示
设{i，j，k}为单位正交基底，向量 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2). a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) a - b＝(x1-x2，y1-y2，z1-z2)
已知A(x1，y1，z1）,
(4)则点A(x1，y1，z1）关于x轴的 对称点A 4(x1，-y1，-z1 );
(5)则点A(x1，y1，z1）关于y轴的 对称点A5(-x1，y1，-z1 );
(6)则点A(x1，y1，z1）关于z轴的 对称点A6(-x1，-y1，z1 )。
第十一页，编辑于星期一：一点 二十二分。
a //b a b
x1
x 2, y1
y2, z1
z2
a b ab 0
x1x2＋y1y2＋z1z2 ＝0
Hale Waihona Puke 第七页，编辑于星期一：一点 二十二分。
若a （x1，y1，z1）
|a |
x
2 1
y12
z12
cos a,b
ab
| a || b |
x1x2 y1y2 z1z2
x
2 1
y12
z12
x
2 2
y22
z
2 2
第三章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算 3.1.5空间向量运算的 坐标表示
第一页，编辑于星期一：一点 二十二分。
复习巩固
1.空间向量基本定理:
8
A
4C
6
5
B
cos OA, BC OA BC 24 16 2 3 2 2
| OA | | BC | 8 5
5
第四页，编辑于星期一：一点 二十二分。
探究（一）：向量运算的坐标表示
设{i，j，k}为单位正交基底，向量 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2). a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) a - b＝(x1-x2，y1-y2，z1-z2)
已知A(x1，y1，z1）,
(4)则点A(x1，y1，z1）关于x轴的 对称点A 4(x1，-y1，-z1 );
(5)则点A(x1，y1，z1）关于y轴的 对称点A5(-x1，y1，-z1 );
(6)则点A(x1，y1，z1）关于z轴的 对称点A6(-x1，-y1，z1 )。
第十一页，编辑于星期一：一点 二十二分。
a //b a b
x1
x 2, y1
y2, z1
z2
a b ab 0
x1x2＋y1y2＋z1z2 ＝0
Hale Waihona Puke 第七页，编辑于星期一：一点 二十二分。
若a （x1，y1，z1）
|a |
x
2 1
y12
z12
cos a,b
ab
| a || b |
x1x2 y1y2 z1z2
x
2 1
y12
z12
x
2 2
y22
z
2 2
第三章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算 3.1.5空间向量运算的 坐标表示
第一页，编辑于星期一：一点 二十二分。
复习巩固
1.空间向量基本定理:
数学3.2.3《空间向量及其运算》课件(苏教版选修2-1)
例1 如图所示，三棱柱 OAB－O1A1B1 中，平面 OBB1O1⊥平面 OAB，∠O1OB ＝60°，∠AOB＝90°，且 OB＝OO1＝2， OA＝ 3，求异面直线 A1B 与 AO1 所成 角的余弦值的大小．
【思路点拨】 建立恰当的空间直角坐标系 → 求A1、B、A、O1的坐标 → 计算O→1A，A→1B → 计算cos〈A→1B，O→1A〉 → 验证得结论
解：设正方体棱长为 1，分别以 D 为原点，以D→A、D→C、
D→D1所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系(图略)， 则 D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，N(12，0,0)， M(12，1,1)，D→1N＝(12，0，－1)，N→B＝(12，1,0)，D→A＝ (1,0,0)．
则 cosθ＝sin〈n，B→E〉＝ 515，
即 BE 与平面 B1BD 所成角的余弦值为 515.
• 【名师点评】 用向量法可避开找角 的困难，但计算时要准确，同时还要
注意线面角与直线的方向向量与平面 的法向量夹角的关系．
• 自我挑战1 在正方体ABCD－ A1B1C1D1中，M、N分别是棱B1C1、 AD的中点，求直线AD与平面BMD1N 所成角的余弦值．
设 n＝(x，y,1)是平面 BMD1N 的法向量，则12x－1＝0，12x
＋y＝0，得 x＝2，y＝－1，即 n＝(2，－1,1)．
BE＝ BC2＋CE2＝ 5，BO′＝ 3. ∴cos∠EBO′＝BBOE′＝ 515，
即 BE 与平面 B1BD 所成角的余弦值为
15 5.
法二：如图所示，建立空间直角坐标系．设正方体 的棱长为 2，则 B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1)，B→D＝ (－2，－2,0)，B→B1＝(0,0,2)，B→E＝(－2,0,1)．
2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1课件： 第3章 3.1 3.1.4 空间向量的坐标表示
空间向量的坐标运算
一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到 从三个方向拉倒巨石，这三个力为 F1，F2，F3，它们两两垂直， 且|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，|F3|＝2 000 3 N. 问题 1：若以 F1，F2，F3 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴正半 轴建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？
问题 1：用 i，j，k 表示 AC ， AD1 .
提示： AC ＝i＋j， AD1 ＝j＋k.
问题 2：若 AC1 ＝xi＋yj＋zk，则 x，y，z 为多少？与点 C1 的坐标有什么关系？
提示：∵ AC1 ＝i＋j＋k， ∴x＝1，y＝1，z＝1，(x，y，z)＝(1,1,1)与 C1 的坐标 相同．
在空间直角坐标系 O－xyz 中，分别取与 x 轴、y 轴、z 轴方向 相同的单位向量 i、j、k 作为基向量．对于空间任意一个向量 a， 根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使 a＝ xi＋yj＋zk， 有序实数组(x，y，z) 叫做向量 a 在空间直角坐标系 O－xyz 中的坐标，记作 a＝ (x，y，z) .
7.如图，在长方体 OAEB－O1A1E1B1 中，OA＝3，OB＝4，OO1 ＝2，点 P 在棱 AA1 上，且 AP＝2PA1，点 S 在棱 BB1 上，且 SB1＝2BS，点 Q、R 分别是棱 O1B1、AE 的中点． 求证：PQ∥RS.
证明：如图，建立空间直角坐标系， 则 A(3,0,0)，B(0,4,0)，O1(0, 0,2)，A1(3,0,2)，B1(0,4,2)． ∵PA＝2PA1，SB1＝2BS， Q、R 分别是棱 O1B1、AE 的中点，
空间向量的坐标表示
[例 1]
高中数学苏教版选修2-1课件： 3.1.4 空间向量的坐标表示 课件
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
求证：四边形ABCD是梯形。
请你尝试
变式1 已知空间四点A（-2，3，1），B（2，-5，3）， C（10，n，10）和D（8，4，m），又四边形ABCD是梯形， 且AB∥CD，求m和n。
变式2 已知空间四点A（-2，3，1），B（2，-5，3）， C（10，0，10）和D（4，-2，5），判断四边形ABCD是 否是平面四边形。
§3.1.4空间向量的坐标表示
请你回忆
空间向量基本定理的内容是什么？
空间向量基本定理：如果三个向量e1，e2，e3不共面， 那么对空间任意向量p，存在唯一的有序实数组（x，y， z），使得 p=xe1+ye2+ze3 。
请你尝试
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BB1中点， 以{ DA，DC，DD1 }为基底，表示下列向量： P
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
2019/7/9
最新中小学教学课件
12
谢谢欣赏！
2019/7/9
最新中小学教学课件
13
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
苏教版高中数学选修2-1：空间向量的应用_课件2
专题五 向量法计算空间的距离
立体几何中的距离问题是高中数学的一个难点，也是一 个重点；若用向量来处理这些距离问题，则思路简单、解法 固定；如点到直线距离的求法，就是先求出该点与直线上某 点连线在直线上的射影，再用勾股定理求对应的距离． 【例5】如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别
是 BD、BC 的中点，CA＝CB＝CD＝BD ＝2，AB＝AD＝ 2. (1)求证：AO⊥平面BCD； (2)求点E到平面ACD的距离．
(2)以 O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则 B(1，0，0)，D(－1，
0，0)，C(0， 3，0)，A(0，0，1)，E(12， 23，0)，
A→C＝(0， 3，－1)，A→D＝(－1，0，－1)，
设平面 ACD 的法向量为 n＝(x，y，z)，则
nn··AA→→CD＝＝（（xx，，yy，，zz））··（（0－，1，30，，－－11））＝＝00. ，∴x＋3yz－＝z0＝，0，
②平面的斜线的方向向量与平面法向量的夹角余弦的绝对值 等于该斜线与平面所成角的正弦，由此可求斜线与平面所成 的角． ③如图②，设n1，n2分别是二面角α－l－β中平面α，β的法向 量，则n1，n2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角． (4)求空间的距离
两平行平面间的距离、直线与平面的距离都可转化为点到平
∵O→G＝O→D＋D→G＝O→D＋13D→C＝O→D＋13(O→C－O→D)，
又∵平面 OAB 中，O→D＝12(O→A＋O→B)， ∴O→G＝23O→D＋13O→C＝13O→A＋13O→B＋13O→C. 即O→G＝13O→A＋13O→B＋13O→C.
法二 建立空间直角坐标系，类比平面向量的线性表示，通过
图①
图②
图③
苏教版高中数学选修(2-1)课件3.1《空间向量及其运算》
488
(A)不一定共面(B)一定共面
(C)一定不共面(D)无法判高的平方和.
例2在60Ｏ的两面角α-l-β中，Ａ ∈α，Ｂ∈β，已知A、B到直线l的 距离分别是2和4，且AB=10，求 CD的长.
例3在正方体ABCD-A1B1C1D1中， E、F分别是BB1、DC的中点 (1) 求AE与D1F所成的角； (2)证明AE⊥平面A1D1F。
其中不正确的命题的序号是.
2、已知是空间向量a的,b,一c 组基底，则
下列向量中可以与向量
构成基底的p是()
a
(A)(B) a
(C)(D)
a
b,
2b
q
a
b a
b
2c
3是、向若量向平量行均a的与为()b非 a零与向b量，则
第课时
3
1、给出下列命题：
(1)若向量共a与线b， 向量共线，c则与向b 量共线
((23))向若量向量共a平面a,与即行bb它，, c们则 所存在在的唯直一线的共实面数；m，使
a与c
a
mb
(4)已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点
Ｏ，若，O则M点Ｏ1是OA△A1BOCB的重1心OC。 333
例1利用空间向量的方法证明直线与 平面垂直的判定定理： 如果一条直线与平面内的两相交直线 都垂直，则这条直线与这个平面垂直 .
例2 已知：在空间四边形OABC中， OA⊥BC，OB⊥AC， 求证:OC⊥AB
例3已知线段AB在平面α内，线段 AC⊥α，线段BD⊥AB，且与所 成的角为30Ｏ，如果AB=a， AC=BD=b,求C、D间的距离.
例2已知平行四边形ABCD，从平面
(A)不一定共面(B)一定共面
(C)一定不共面(D)无法判高的平方和.
例2在60Ｏ的两面角α-l-β中，Ａ ∈α，Ｂ∈β，已知A、B到直线l的 距离分别是2和4，且AB=10，求 CD的长.
例3在正方体ABCD-A1B1C1D1中， E、F分别是BB1、DC的中点 (1) 求AE与D1F所成的角； (2)证明AE⊥平面A1D1F。
其中不正确的命题的序号是.
2、已知是空间向量a的,b,一c 组基底，则
下列向量中可以与向量
构成基底的p是()
a
(A)(B) a
(C)(D)
a
b,
2b
q
a
b a
b
2c
3是、向若量向平量行均a的与为()b非 a零与向b量，则
第课时
3
1、给出下列命题：
(1)若向量共a与线b， 向量共线，c则与向b 量共线
((23))向若量向量共a平面a,与即行bb它，, c们则 所存在在的唯直一线的共实面数；m，使
a与c
a
mb
(4)已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点
Ｏ，若，O则M点Ｏ1是OA△A1BOCB的重1心OC。 333
例1利用空间向量的方法证明直线与 平面垂直的判定定理： 如果一条直线与平面内的两相交直线 都垂直，则这条直线与这个平面垂直 .
例2 已知：在空间四边形OABC中， OA⊥BC，OB⊥AC， 求证:OC⊥AB
例3已知线段AB在平面α内，线段 AC⊥α，线段BD⊥AB，且与所 成的角为30Ｏ，如果AB=a， AC=BD=b,求C、D间的距离.
例2已知平行四边形ABCD，从平面
高中苏教版数学选修2-1 第3章 3.1 3.1.3 空间向量基本定理 3.1.4 空间向量的坐标表示课件PPT
O→C共面．
由共面向量定理可知，存在实数 x，y，使O→C＝xO→A＋yO→B，
即 ke1＋3e2＋2e3＝x(2e1＋e2＋e3)＋y(e1－e2＋2e3)．
k＝2x＋y，
故3＝x－y， 2＝x＋2y，
解得 x＝83，y＝－13，k＝5.
[答案] (1)③ (2)5
栏目导航
基底的判断 判断某一向量组能否作为基底，关键是判断它们是否共面．如果 从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．
栏目导航
5．空间向量的坐标运算 (1)空间向量的坐标 在空间直角坐标系中，设 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则A→B＝ _(a_2_－__a_1_，__b_2－__b_1_，__c_2－__c_1_)_；当空间向量 a 的起点移至坐标原点时，其 _终__点__坐__标__就是向量 a 的坐标．
第3章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算 3.1.3 空间向量基本定理 3.1.4 空间向量的坐标表示
栏目导航
学习目标
核心素养
1.掌握空间向量的基本定理及其推论，理解空间 1.借助空间向量的
向量的正交分解，掌握用基底表示空间向量的方 坐标运算，提升数
法．(重点、难点) 学运算素养．
2.理解空间向量坐标的定义，能用坐标表示空间 2.通过空间向量基
a＝(4，－8,3) b＝(－2，－3,7) [由题意知 a＝(4，－8，3)，b ＝(－2，－3,7)．]
栏目导航
4．设 a＝(1,2,3)，b＝(－2,2，－2)，若(ka－b)∥(a＋b)，则 k＝ ________.
－1 [ka－b＝k(1,2,3)－(－2,2，－2)＝(k＋2,2k－2,3k＋2)，a＋b ＝(－1,4,1)．∵(ka－b)∥(a＋b)，
苏教版高中数学选修21空间向量及其运算3ppt
思想.
D'
C'
A'
B'
D
C
A
B
(四). 猜想训练
训练１：如图,共始点的两个不共线向量的加法满足平 行四边形法则.
请问,共始点的三个不共面的向量满足什么法则？
D A
C B
D
C
A
B
训练２：如图,已知 OA OB OD , 那么D是AB的中 点. 2
已知O为⊿ABC平面外一点,如果 OA OB OC OD , 3
2. 在平面内的单位向量，方向有多少个? 如果始点 确定，那么终点构成的图形是？ 在平面直角坐标系上，始点在原点，那么
终点的坐标满足的条件是?
3. 请把以上问题推广到空间．
认知学派理论认为：数学学习过程，是新知识 与学生头脑里原有的认知结构相互作用，形成新的认 知结构的过程．这里从一维开始类比到二维的方法， 学生是熟悉的. 这样，学生从二维类比到三维也就有 了基础．而练习的安排又使抽象的概念有了载体，并 且重点突出向量的方向，而向量的方向恰恰是向量的 灵魂，并不适时机地把向量坐标化．让学生获得猜想 的机遇，从而获得猜想的能力．并为后续的向量坐标 运算作了一个引子.
练习1.如图,正方体中,化简下列向量表达式,并标出化简结 果的向量.
(1) AB BC CC1 C1D (2) AB AD BB1
练习2.如图,空间四边形ABCD中, E、F、G、H分别是四
边的中点.求证: EH FG.
D1 A1
C1 B1
A
H E
D A
C B
D G
B
F
C
练习 1 的目的是在正方体中理解向量加减法的意义.
练习 2 选用一个熟悉的习题，目的在于应用向量方法解决 立体几何问题．并了解知识间的联系,讲解时从检验加法结合律
空间向量的坐标表示(课件)-高二数学精品课堂(苏教版2019选择性必修第二册)
角坐标系 O－xyz，点 O 叫作坐标原点，向量 i，j，k 都叫作坐标向量．三条坐标轴中的
每两条确定一个坐标平面，分别称为 xOy 平面、yOz 平面和 zOx 平面．
复习引入
③作空间直角坐标系 O－xyz 时，一般使∠xOy＝135°(或 45°)，∠yOz＝90°； ④在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的正方向， 若中指指向 z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
探究新知
2. 探究空间直角坐标系中的坐标 如图给定空间直角坐标系和向量 a，i，j，k 作为基向量，则存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使 a＝xi＋yj＋zk，有序实数组(x，y，z)叫作向量 a 在空间直角坐标系 O－xyz 中的坐标，记作 a＝(x，y，z)．
探究新知
在空间直角坐标系 O－xyz 中，对于空间内任意一点 A(x，y，z)，存在唯一的有序 实数组(x，y，z)，使O→A＝xi＋yj＋zk，所以向量O→A的坐标为O→A＝(x，y，z)，我们把与向 量O→A对应的有序实数组(x，y，z)叫作点 A 的坐标，记作 A(x，y，z)，x 叫作横坐标，y 叫作纵坐标，z 叫作竖坐标．
【答案】 2
典型例题
例 5 已知 A(3,1,3)，B(1,5,0)，求： (1) 线段 AB 的中点坐标和 AB 的长度； (2) 到 A，B 两点距离相等的点 P(x，y，z)的坐标 x，y，z 满足的条件． 【解析】 (1) 设 M 是 AB 的中点，O 是坐标原点， 则O→A＝(3,1,3)，O→B＝(1,5,0)， 所以O→M＝12(O→A＋O→B)＝12[(3,1,3)＋(1,5,0)]＝2，3，32， 所以线段 AB 中点的坐标是2，3，32. 因为A→B＝(－2,4，－3)，所以线段 AB 的长度为 |A→B|＝ －22＋42＋－32＝ 29.
2020—2021数学苏教版选修2-1课件：第3章空间向量的坐标表示
空间向量的坐标运算
设向量a＝(3，5，－4)，b＝(2，1，8)，计算2a＋3b ，3a－2b的值． (链接教材P79例1) [解] 因为a＝(3，5，－4)，b＝(2，1，8)， 所以2a＋3b＝2×(3，5，－4)＋3×(2，1，8) ＝(6，10，－8)＋(6，3，24)＝(12，13，16)， 3a－2b＝3×(3，5，－4)－2×(2，1，8) ＝(9，15，－12)－(4，2，16) ＝(9－4，15－2，－12－16)＝(5，13，－28)． 所以2a＋3b＝(12，13，16)，3坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b(a≠0)⇔b1＝λa1 ，b2＝λa2，b3＝λa3(λ∈R)．
(1，2，－3) 5 (－1，2，5)
空间向量的坐标表示
[方法归纳] 求向量的坐标，应先找到向量起点和终点的坐标，若没有空 间直角坐标系，应先建系．
[方法归纳] 关于向量坐标运算应熟记运算公式,同时注意运算的准确性．
(－5，9，－2)
空间向量平行的坐标表示
已知空间四点A(－2，3，1)，B(2，－5，3)，C(10，0 ，10)和D(8，4，9)．求证：四边形ABCD是梯形．
[方法归纳] 本题主要考查了共线向量定理坐标形式的应用，共线问题是 历年高考考查的热点，同学们一定要掌握好．
1.空间向量的坐标 在空间直角坐标系O－xyz中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相 同的单位向量i、j、k作为基向量，对于空间任意一个向量a， 根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组(x，y，z)， 使a＝xi＋yj＋zk，有序实数组(x，y，z)叫做向量a在空间直角 坐标系中的___坐__标_____，记作a＝ __(_x_，__y_，__z_)__ ．
苏教版高中数学选修2-1：空间向量的数量积_课件2
课前探究学习
课堂讲练互动
(2)基本性质：①〈a，b〉＝〈__b_，__a_〉_；②〈a，b〉＝_0_时π， a，b同向；〈a，b〉＝__π_时，a，b反向；〈a，b〉＝__2__
时，则称a，b互相垂直，记为_a_⊥__b__ ；
③〈a，a〉＝0；〈a，－a〉＝ _π__ ．
2．空间向量的数量积
(1)定义：设a，b是两个非零向量，我们把|a||b|cos〈a，b〉叫 做向量a，b的数量积，记为a·b，即a·b＝ _|a_|_|b_|_c_o_s〈__a_，__b_〉_ ．
课前探究学习
课堂讲练互动
＝4＋9＋16＋2|B→C||C→A|cos〈B→C，C→A〉＋2|C→A||A→D|·cos〈C→A，A→D〉 ＋2|B→C||A→D|cos〈B→C，A→D〉
＝29＋2×2×3cos120°＋2×3×4cos120°＋2×2×4cos90°＝11.
∴BD＝ 11.
故 B、D 间的距离为 11.
两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义
和表示符号、向量的模的概念和表示符号、以及运算律等
都与平面向量相同．
课前探究学习
课堂讲练互动
3．怎样理解向量的应用？ 由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关，所以许多 立体几何中的问题，如距离、夹角、垂直等问题的求解， 都可借助向量的数量积运算加以解决．
(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，则 cos〈a，b〉＝a|a·||bb|，可用来求 两个向量的夹角、两条异面直线所成的角．
(2)a⊥b⇔a·b＝0，用于判断空间两个向量(或空间两条直 线)的垂直． (3)|a|2＝a·a，用于对向量模的计算，求两点间的距离和线 段的长度．
课前探究学习
苏教版高中数学选修21空间向量及其运算2ppt
A1
B1
3.
1 3
(AB
+AD+AA1)
4.AB
+AD+
1 2
CC1
D
C
解: 1.AB +BC =AC A
B
2.AB +AD+AA1 =AB +BC+CC1 =AC1
D1
3.
1 3
(AB
+AD+AA1)
A1
解.设G是线段AC1三等分点 D G
则
1 3
(AB
+AD+AA1)
A
=
1 3
AC
=
AG
C1
B1
OB = OA + AB = a + b
CA = OA －OC = a － b OP = λa
OB = OA + AB = a + b
B A
O
CA = OA －OC = a － b
a－b
A
C
O
共起点,指向被减数.
OP = λa a
λ＞0, λa 与 a 同向 λa (λ＞0)
λ＜0, λa 与 a 反向
C
B
D1
C1
A1
4.AB
+AD+
1 2
CC1
B1 M
解.设M是线段CC1的中点 D 则 AB +AD+ 12CC1 A
C
B
=AC+ CM
=AM
练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别
A
是BC、CD边的中点,化简： 1.AB + 12（BC+ BD）
苏教版高中数学选修2-1空间向量及运算
空间向量及运算教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教具准备：《PowerPoint》课件．教学过程：〔在演示课件的同时讲授〕Ⅰ.复习引入［师］在第五章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋〔b＋c〕数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb［师］今天我们将在第五章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：==a+b，OB+ABOAOA OB AB -=〔指向被减向量〕， =OP λa )(R ∈λ ［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律． ［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律： ⑴加法交换律：a + b = b + a ；⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；〔课件验证〕⑶数乘分配律：λ(a + b) =λa +λb ．［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：⑴首尾相接的假设干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-因此，求空间假设干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．⑵首尾相接的假设干向量假设构成一个封闭图形，那么它们的和为零向量．即：011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n ．⑶两个向量相加的平行四边形法那么在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法那么．例１平行六面体''''D C B A ABCD -〔如图〕，化简以下向量表达式，并标出化简结果的向量：；⑴BC AB + ；⑵'AA AD AB ++'21CC AD AB ++⑶．⑷)'(31AA AD AB ++说明：平行四边形ABCD 平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD —A’B’C’D’．平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．解：〔见课本P27〕说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法那么向空间的推广．Ⅲ.课堂练习课本练习Ⅳ.课时小结平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度〞，空间的平移包含平面的平移．关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法．Ⅴ.课后作业⒈课本练习⒉⑴怎样的向量叫做共线向量？⑵两个向量共线的充要条件是什么？⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？⑸怎样的向量叫做共面向量？⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？板书设计：。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
空间直角坐标系 O xyz 中的坐标，
记作A(x, y, z)，x y 叫横坐标， 叫
z 纵坐标， 叫竖坐标．
3．空间向量的r 直角坐标运算律：u u r
rr 若 a ( a 1 , a 2 , a 3 ) , b r ( r b 1 , b 2 , b 3 ) 则
a rb (a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 )a r b r (a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 ) a r(a 1 ,ra 2 ,ra 3 )( R ) a b a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 r|a r |aaa 1 2 a 2 2 a 3 2 a r r b a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 0 a / / b a 1 b 1 , a 2 b 2 , a 3 b 3 ( R ) u u u r 若 A (x 1 ,y 1 ,z 1 ) ,B (x 2 ,y 2 ,z 2 ) 则 A B ( x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 ) u A u B u r2 ( x 2 x 1 ) 2 y 2 y 1 2 ( z 2 z 1 ) 2
一．复习回顾
1．空间r 向r 量r 的基本定理：
ur
若是{a, b, c} 空间u r的一个基r底，p r 是空间任r意一向量，存在
唯一的实数组使．pxaybzc
2．平面向量的坐标表示及运算律：
u r r r r r ( 1 ) 若 u p r x i y j ( i , j 分 别 是 x , y 轴 上 同 方 向 的 两 个 单 位 向 量 )
都叫坐标轴．我们称建立了一个空间
v k
r j
直角坐r 标r系rO xyz ,点 O 叫原点，
向量 i , j , k 都叫坐标向量．通过每
r i
O
y
两个坐标轴的平面叫坐标平面，
分别称为 x O y 平面，y O z 平面， x
z O x 平面；
（3）作空间直角坐标系 O xyz 时，一般使
x O y 1 3 5 o (或 4 5 o ), y O z 9 0 o
（4）在空间直角坐标系中，
z
y 让右手拇指指向 x 轴的正
方向，食指指向 轴的正
方向，如果中指指向 z 轴
v
k
r
的正方向，称这个坐标系为 右手直角坐标系。本书建立 的坐标系都是右手直角坐标
j
r i
O
y
r 如图r 给r 定r空间直角坐标系和向量 a ，
设 i , j , k 为坐标向量,则存在唯一的
例2.求点 A ( 2 , 3 , 1 ) 关 于 x O y 平 面 , z O x 平 面 及 原 点 O 的 对 称 点
解: Q A ( 2 , 3 , 1 ) 在 x O y 平 面 上 的 射 影 为 C ( 2 , 3 , 0 ) ,
在 z O x 平 面 上 的 射 影 为 B ( 2 ,0 , 1 )
点 A ( 2 , 3 , 1 ) 关 于 x O y 平 面 的 对 称 点 C ( 2 , 3 , 1 )
关 于 z O x 平 面 及 原 点 O 的 对 称 点 分 别 为 B (2 ,3 , 1 ),
A ( 2 ,3 ,1 )
练习 1
例3． 求 在正证 方D 1 体FA B 平 C 面 D A D A 1 E B 1 C 1 D 1 中 E , F 分 别 是 B B 1 , C D 的 中 点 ,
r a b ( 2 , 3 , 5 ) ( 3 r , 1 , 4 ) ( 5 , 4 , 9 ) r |ar |2 2 ( 3 )2 5 23 88 a 8 ( 2 , 3 ,5 ) ( 1 6 , 2 4 ,4 0 )
a b ( 2 , 3 , 5 ) ( 3 , 1 , 4 ) 2 ( 3 ) ( 3 ) 1 5 ( 4 ) 2 9
二．新课讲解
1．空间直角坐标系：
这（个基1）底若叫空单间位的正一交个基基底底的用 三{ ri个,rj基,k r向}表 量互示 相垂直，且长为 1，
(2)在空r间r 选r 定一点O 和一个单位
正交基r 底r {ir, j, k} ，以点O 为原点，分
z
别以 i , j , k 的方向为正方向建立三
条数轴：x 轴、y 轴、z 轴 ，它们
a / / b a 1 b 1 , a 2 b 2 u ( u u r R ) , a b a 1 b 1 a 2 b 2 0
( 3 ) 若 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) 则 A B ( x 2 x 1 , y 2 y 1 )
更多资源xiti123.taobao
有序r实数组r(a1, ar2, a3)，r
使 aa 1 i a 2j a 3k ，
有序实数组(a1, a2, a3) 叫作向量
在空间r直角坐标系 O xyz 中的坐标， 记作 a(a1,a2,a3)．
在空间直角坐标系 O xyz 中，对
空组间( x任, 一y,点z )A，，使存O 在uu A u r唯 一xri的有yrj序 u u实zurk r数， 有序实数组 ( x, y, z ) 叫作向量O A 在
三．例题分析r
r
r r r r rr r r
例1．已r 知 a r ( 2 , 3 , 5 ) , b ( 3 , 1 , 4 ) 求 a b , a b , | a | , 8 a , a b
解: a r b r ( 2 , 3 , 5 ) ( 3 , 1 , 4 ) ( 1 , 2 , 1 )
则 p r 的 坐 标 为 (x r ,y )
( 2 ) 若 r a r ( a 1 ,a 2 ) ,b ( b 1 ,b r 2 )r 则 r a b ( a 1 b 1 , a 2 b 2 ) , a b r ( r a 1 b 1 , a 2 b 2 )
r a r ( a 1 ,a 2 ) ( R ) , a u u r b r a 1 b 1 a 2 b 2
记作A(x, y, z)，x y 叫横坐标， 叫
z 纵坐标， 叫竖坐标．
3．空间向量的r 直角坐标运算律：u u r
rr 若 a ( a 1 , a 2 , a 3 ) , b r ( r b 1 , b 2 , b 3 ) 则
a rb (a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 )a r b r (a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 ) a r(a 1 ,ra 2 ,ra 3 )( R ) a b a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 r|a r |aaa 1 2 a 2 2 a 3 2 a r r b a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 0 a / / b a 1 b 1 , a 2 b 2 , a 3 b 3 ( R ) u u u r 若 A (x 1 ,y 1 ,z 1 ) ,B (x 2 ,y 2 ,z 2 ) 则 A B ( x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 ) u A u B u r2 ( x 2 x 1 ) 2 y 2 y 1 2 ( z 2 z 1 ) 2
一．复习回顾
1．空间r 向r 量r 的基本定理：
ur
若是{a, b, c} 空间u r的一个基r底，p r 是空间任r意一向量，存在
唯一的实数组使．pxaybzc
2．平面向量的坐标表示及运算律：
u r r r r r ( 1 ) 若 u p r x i y j ( i , j 分 别 是 x , y 轴 上 同 方 向 的 两 个 单 位 向 量 )
都叫坐标轴．我们称建立了一个空间
v k
r j
直角坐r 标r系rO xyz ,点 O 叫原点，
向量 i , j , k 都叫坐标向量．通过每
r i
O
y
两个坐标轴的平面叫坐标平面，
分别称为 x O y 平面，y O z 平面， x
z O x 平面；
（3）作空间直角坐标系 O xyz 时，一般使
x O y 1 3 5 o (或 4 5 o ), y O z 9 0 o
（4）在空间直角坐标系中，
z
y 让右手拇指指向 x 轴的正
方向，食指指向 轴的正
方向，如果中指指向 z 轴
v
k
r
的正方向，称这个坐标系为 右手直角坐标系。本书建立 的坐标系都是右手直角坐标
j
r i
O
y
r 如图r 给r 定r空间直角坐标系和向量 a ，
设 i , j , k 为坐标向量,则存在唯一的
例2.求点 A ( 2 , 3 , 1 ) 关 于 x O y 平 面 , z O x 平 面 及 原 点 O 的 对 称 点
解: Q A ( 2 , 3 , 1 ) 在 x O y 平 面 上 的 射 影 为 C ( 2 , 3 , 0 ) ,
在 z O x 平 面 上 的 射 影 为 B ( 2 ,0 , 1 )
点 A ( 2 , 3 , 1 ) 关 于 x O y 平 面 的 对 称 点 C ( 2 , 3 , 1 )
关 于 z O x 平 面 及 原 点 O 的 对 称 点 分 别 为 B (2 ,3 , 1 ),
A ( 2 ,3 ,1 )
练习 1
例3． 求 在正证 方D 1 体FA B 平 C 面 D A D A 1 E B 1 C 1 D 1 中 E , F 分 别 是 B B 1 , C D 的 中 点 ,
r a b ( 2 , 3 , 5 ) ( 3 r , 1 , 4 ) ( 5 , 4 , 9 ) r |ar |2 2 ( 3 )2 5 23 88 a 8 ( 2 , 3 ,5 ) ( 1 6 , 2 4 ,4 0 )
a b ( 2 , 3 , 5 ) ( 3 , 1 , 4 ) 2 ( 3 ) ( 3 ) 1 5 ( 4 ) 2 9
二．新课讲解
1．空间直角坐标系：
这（个基1）底若叫空单间位的正一交个基基底底的用 三{ ri个,rj基,k r向}表 量互示 相垂直，且长为 1，
(2)在空r间r 选r 定一点O 和一个单位
正交基r 底r {ir, j, k} ，以点O 为原点，分
z
别以 i , j , k 的方向为正方向建立三
条数轴：x 轴、y 轴、z 轴 ，它们
a / / b a 1 b 1 , a 2 b 2 u ( u u r R ) , a b a 1 b 1 a 2 b 2 0
( 3 ) 若 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) 则 A B ( x 2 x 1 , y 2 y 1 )
更多资源xiti123.taobao
有序r实数组r(a1, ar2, a3)，r
使 aa 1 i a 2j a 3k ，
有序实数组(a1, a2, a3) 叫作向量
在空间r直角坐标系 O xyz 中的坐标， 记作 a(a1,a2,a3)．
在空间直角坐标系 O xyz 中，对
空组间( x任, 一y,点z )A，，使存O 在uu A u r唯 一xri的有yrj序 u u实zurk r数， 有序实数组 ( x, y, z ) 叫作向量O A 在
三．例题分析r
r
r r r r rr r r
例1．已r 知 a r ( 2 , 3 , 5 ) , b ( 3 , 1 , 4 ) 求 a b , a b , | a | , 8 a , a b
解: a r b r ( 2 , 3 , 5 ) ( 3 , 1 , 4 ) ( 1 , 2 , 1 )
则 p r 的 坐 标 为 (x r ,y )
( 2 ) 若 r a r ( a 1 ,a 2 ) ,b ( b 1 ,b r 2 )r 则 r a b ( a 1 b 1 , a 2 b 2 ) , a b r ( r a 1 b 1 , a 2 b 2 )
r a r ( a 1 ,a 2 ) ( R ) , a u u r b r a 1 b 1 a 2 b 2