角角边,斜边直角边
人教版数学八年级上册 第4课时 “斜边、直角边”
∠DAC＝∠EAB，
AC＝AB ，
A
∴△ACD≌△ABE (AAS). ∴ AD＝AE. 在Rt△AOD 和Rt△AOE 中，
OA＝OA， AD＝AE， Rt△AOD≌Rt△AOE(HL). ∴ ∠DAO＝∠EAO. ∴ AO 平分∠CAB.
C
B
O
E
D
A
当堂小结 内容
“斜边、 直角边”
前提 条件
C′
典例精析
例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C，D， AC = BD. 求证 BC = AD.
分析： 已知 AC⊥BC，BD⊥AD，AC = BD D 求证 BC = AD. 求证 Rt△ABC≌Rt△BAD(HL). A
C B
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C 与∠D 都是直角.
△ABF≌△ACF
探究新知
知识点：直角三角形全等的判定 (“斜边、直角边”定理)
想一想
对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，
还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？
A
A′
B
C B′
C′
想一想
Hale Waihona Puke AA′如图，已知∠ACB = ∠A′C′B′ =
90°，添加下列条件是否使这两个直
角三角形全等？为什么？ 1. 斜边和一个锐角分别相等
分析：连接 AB.
D
HL
Rt△BAC≌Rt△ABD A AC ＝ BD
C P
B
变式2 如图，AB⊥AD，CD⊥BC，AB = CD，判断 AD 和 BC 的位置关系. A
分析： HL
Rt△ABD≌Rt△CDB
B
∠ADB＝∠CBD
三角形中考知识点
三角形中考知识点关键信息项：1、三角形的定义与分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
分类：按角分类（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）；按边分类（等边三角形、等腰三角形、不等边三角形）2、三角形的三边关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
3、三角形的内角和定理三角形三个内角的和等于 180°。
4、三角形的外角性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
5、三角形的中线、高线、角平分线中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。
角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
6、全等三角形的性质与判定性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
判定：SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS （角角边）、HL（斜边、直角边）7、相似三角形的性质与判定性质：相似三角形的对应边成比例，对应角相等；相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
判定：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似。
11 三角形的定义与分类三角形是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。
三角形具有稳定性，这一特性在生活中有广泛的应用，如建筑结构、桥梁设计等。
三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
锐角三角形的三个内角都小于 90°；直角三角形有一个内角等于 90°；钝角三角形有一个内角大于 90°小于 180°。
按边分类可分为等边三角形、等腰三角形和不等边三角形。
等边三角形的三条边都相等；等腰三角形有两条边相等；不等边三角形的三条边都不相等。
直角三角形全等的判定“斜边直角边教学设计
直角三角形全等的判定“斜边直角边教学设计直角三角形全等的判定：“斜边、直角边”教学设计学科数学年级八年级上册教学形式师生互动教师***单位****双明初级中学课题名称直角三角形全等的判定：“斜边、直角边”学情分析这是学生在学习三角形全等的条件及作三角形后教材安排的一课时内容。
直角三角形的全等在生活中随处可见，它不仅是研究其他图形的根底，而且在解决实际问题中有着广泛的运用。
本节课是探索直角三角形全等的条件，学好本节课的知识对学生更好地熟悉现实世界、开展空间观念和推理能力都有非常重要地作用。
学生大局部来自农村，学生的根底知识和技能参差不齐，相当一局部同学缺乏遇难而上，独立思考的习惯，没有良好的严谨求实的学习态度，但对新知识有较强的好奇心。
教材分析本课是在学习了全等三角形的四个判定方法〔“边边边”、“边角边”、“角边角”、“角角边”〕的根底上，进一步探索两个直角三角形全等的判定方法．直角三角形是三角形中的一类，判定两个直角三角形全等，可以用已学过的所有全等三角形的判定方法，但两个直角三角形中已有一对直角是相等的，因此在判定两个直角三角形全等时，只需另外找到两个条件即可，由于直角三角形的这种特殊性，判定两个直角三角形全等的方法又有别于其它的三角形．教科书首先给出一个“思考”，让学生认识到判定两个直角三角形全等与判定两个普通三角形全等的不同之处．然后通过探究5的作图实验操作，让学生经历探究满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形是否全等的过程，然后在学生总结探究出的规律的根底上，直接以定理的方式给出“斜边、直角边”判定方法．最后，教科书给出一个例题，让学生在具体问题中运用“斜边、直角边”证明两个直三角形全等，并得到对应边相等．教学目标1．理解“斜边、直角边”能判定两个直角三角形全等．2．能运用“斜边、直角边”证明两个直角三角形全等，并得到对应边、对应角相等．教学重难点重点：掌握判定两个直角三角形全等的方法；难点：熟练选择判定方法，判定两个直角三角形全等。
直角三角形全等的判定
简写成“斜边、直角边” 或“HL”
斜边、直角边公理 (HL)
有斜边和一条直角边对应相等的两个 直角三角形全等.
几何语言
A
B
C B′
∴在Rt△ABC和Rt△ABC中
AB=AB BC=BC
A′ C′
∴Rt△ABC≌Rt△ABC (HL)
1、已知如图,在△ABC和△ABD 中， AC ⊥ BC ， AD ⊥ BD, 垂足分别为 证明两个直角三角形全等，首先考虑用HL定理 C,D,AD=BC 求证：△ ABC ≌△ BAD. C
例题讲解：
例1. 已知： AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD. 求证：BC=AD.
D
C
A
B
巩 固 1.如图，AB⊥BC，AD⊥DC， 练 AB＝AD. 习 求证：∠1=∠2 .
A
12
B C D
巩 2.如图，C是路段AB的中点，两人 固 从C同时出发，以相同的速度分别 练 沿两条直线行走，并同时到达D，E 习
判定两个三角形全等
要具备什么条件?
边边边：
三边分别相等的两个
三角形全等.
边角边：
有两边和它们夹角分别 相等的两个三角形全等.
角边角：
有两角和它们夹边分别 相等的两个三角形全等
角角边：
有两角和其中一个角的 对边分别相等的两个三 角形全等
情景问题
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作 人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个 三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D，E与 路段AB的距离相等吗？为什么？
D A C B E
巩 固 3.如图，AB=CD，AE⊥BC， 练 DF⊥BC，CE=BF. 习 求证：AE=DF.
全等三角形复习专题
全等三角形复习专题一、全等三角形基本概念与性质全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，即形状相同和大小相等的三角形。
全等三角形的性质是全等三角形的边、角及其对应线段之间具有一些特殊的数量关系和位置关系。
如全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应线段相等，以及全等三角形的中点连线等于其一边。
二、全等三角形的判定全等三角形的判定是全等三角形研究的核心内容，主要有以下五个判定方法：1、边角边定理（SAS）：若两个三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。
2、角边角定理（ASA）：若两个三角形的两个角及其夹边对应相等，则这两个三角形全等。
3、边边边定理（SSS）：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等。
4、角角边定理（AAS）：若两个三角形的两个角及其一边对应相等，则这两个三角形全等。
5、斜边直角边定理（HL）：若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则这两个直角三角形全等。
三、全等三角形的应用全等三角形在数学、几何、物理等领域中都有广泛的应用。
如证明线段相等、角相等、平行四边形、矩形、菱形、正方形等几何图形的性质和判定，以及解决一些实际问题等。
四、全等三角形的复习策略1、掌握全等三角形的基本概念和性质，理解判定方法的意义和适用范围。
2、熟练掌握全等三角形的判定方法，能够根据题目条件选择合适的判定方法解决问题。
3、熟悉全等三角形的应用，能够将全等三角形的知识应用到实际问题和数学问题中。
4、多做练习题，熟悉各种题型和解题方法，提高解题能力和思维水平。
5、注意对易错点和难点进行重点复习和强化训练，避免出现常见的错误和失误。
全等三角形动点专题在数学的世界里，全等三角形和动点问题是两个重要的概念。
全等三角形是指两个或两个以上的三角形，它们的边长和角度都相等，可以完全重合。
动点问题则涉及到在给定的图形或轨迹上移动的点，以及这些点的变化和规律。
将这两个概念结合起来，我们可以研究一类非常有趣的数学问题，即全等三角形动点专题。
12.2 三角形全等的判定 第4课时 “斜边、直角边”
D、E与路段AB的距离相等.证明：∵C是路段AB的中点， ∴AC = BC， 又∵两人同时同速度出发，并同时到达D，E两地. ∴CD = CE，
(1)画∠MC′N =90°；(2)在射线C′M上取B′C′=BC；(3)以B′为圆心，AB为半径画弧， 交射线C′ N于点A′；(4)连接A′B′．
现象：两个直角三角形能重合．说明：这两个直角三角形全等．
画法：
“斜边、直角边”判定方法
文字语言： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
几何语言：
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.
判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由： （1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ） （2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（ ） （3）一个锐角和斜边对应相等； （ ） （4）两直角边对应相等； （ ） （5）一条直角边和斜边对应相等． （ ）
7、如图，AB=CD， BF⊥AC，DE⊥AC，AE=CF.求证：BF=DE.
证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC, ∴∠BFA=∠DEC=90 °.∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF.即AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中，
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
∴BF=DE.
如图，AB=CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE=CF.求证：BD平分EF.
全等三角形的判定
A B
A
7.如图，点B,E,C,F在一条直线上，FB=CE,AB∥ED,AC∥FD.求证AB=DE,AC=DF.
B F C E
D
8.如图，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB。求证：AB=DC。
签字确认
学员教师班主任
E
B D C
证明：连接BE.
ED⊥BC于D, ∠EDB= .
在Rt△ABE与Rt△DBE中，
Rt△ABE≌Rt△DBE(HL), AE=ED.
三、课堂同步练习
1.如图，AB=AD,CB=CD,△ABC与△ADC全等吗？为什么？
C
B D
A
2.如图，C是AB的中点，AD=CE,CD=BE,求证△ACD≌△CBE.
△ABE≌△ACD(SAS), ∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
例4.（SAS）如图，已知E,F是线段AB上的两点，且AE=BF,AD=BC,∠A=∠B,求证：DF=CE.
D C
A E F B
证明： AE=BF
AE+EF=BF+FE,即AF=BE
在△DAF与△CBE中,
△DAF≌△CBE(SAS), DF=CE（全等三角形的对应角相等）
C D
B E
A
3.如图，△ABC中，AB=AC,AD是高，求证：(1)BD=CD;(2)∠BAD=∠CAD.
B D C
A D
4.如图，AC⊥CB,DB⊥CB,AB=DC,求证∠ABD=∠ACD.
C B
5.如图，点B,E,C,F在一条直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF,求证∠A=∠D.
Dபைடு நூலகம்C
6.如图，AC和BD相交于点O，OA=OC,OB=OD.求证DC∥AB.
直角三角形全等三角形的判定
对应相等的两个直角三角
形全等(简写成“斜边、 直角边”或“HL”）。
例题讲解：
例1. 已知： AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD. 求证：BC=AD.
D A
C
B
巩 固 1.如图，AB⊥BC，AD⊥DC， 练 AB＝AD。 习 求证∠1=∠2 。
A
12
B
D C
巩 2.如图，C是路段AB的中点，两人 固 从C同时出发，以相同的速度分别 练 沿两条直线行走，并同时到达D，E 习
两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D，E 与路段AB的距离相等吗？为什么？
D A C B E
巩 固 3.如图，AB=CD，AE⊥BC， 练 DF⊥BC，CE=BF. 习 求证：AE=DF.
C
F A D E B
（1）学习了HL。 （2）由实践证明HL是真命题。
布置作业
P104 习题13.2 ： 7、 8.
画一个Rt△A/B/C/，使∠C/=900 ， A/B/=AB，B/C/=BC：
1、画∠DC/ E= 900 .
2、在射线C/ D上截取C/B/＝CB.
3、以B/为圆心，AB为半径画弧，交射线C/ E于点A/.
4、连结B/A/。 △A/B/C/就是所要画的三角形。
问：通过实验可以发现什么事实？
探究反映的规律是：
复习 讲授新课
巩固练习
评价 小结
作业布置
判定两个三角形全等
要具备什么条件?
边边边：
三边对应相等的两个
三角形全等。
边角边：
有两边和它们夹角对应 相等的两个三角形全等。
角边角：
有两角和它们夹边对应 相等的两个三角形全等
角角边：
数学中的三角形的角度与边长
数学中的三角形的角度与边长数学中的三角形角度与边长三角形是数学中一个重要的图形，它由三条边和三个角组成。
在三角形中，角度和边长之间存在着一些特殊的关系和性质。
本文将探讨三角形的角度和边长之间的关系，以及应用数学知识解决相关问题的方法。
1. 三角形的内角和在任意三角形中，三个内角的度数之和始终为180度。
这个规律被称为三角形内角和定理，可以用数学表达式表示为：∠A + ∠B + ∠C = 180°其中，∠A、∠B、∠C分别表示三个内角的度数。
2. 直角三角形的性质直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。
在直角三角形中，直角所对的边被称为斜边，而另外两条边则被称为直角边。
根据勾股定理，直角三角形的斜边平方等于两条直角边平方和。
即：c² = a² + b²其中，c为斜边的长度，a、b为两条直角边的长度。
3. 三角形的相似性质如果两个三角形的对应角度相等，那么它们被认为是相似的。
相似三角形的边长之比是固定的，这个比值被称为相似比。
对于两个相似三角形，其边长的比值可以用下列式子表示：a/b = c/d = e/f其中，a、b、c、d、e、f分别表示两个相似三角形的对应边长。
4. 三角形的正弦定理正弦定理是三角形中角度和边长之间的重要关系。
对于任意三角形ABC，可以用下列式子表达正弦定理：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)其中，a、b、c分别表示三角形ABC的边长，A、B、C为对应的角度。
5. 三角形的余弦定理余弦定理也是三角形中角度和边长之间的一个重要关系。
对于任意三角形ABC，可以用下列式子表达余弦定理：c² = a² + b² - 2abcos(C)其中，a、b、c分别表示三角形ABC的边长，C为对应的角度。
通过以上的数学知识，我们可以解决很多与三角形角度和边长相关的问题。
例如，如果我们知道三角形的两个边长和夹角的大小，我们可以使用余弦定理来求解第三条边的长度。
华东师大版八年级上册 数学 课件 13.2.6斜边直角边
∵AB=AˊBˊ
AC=AˊCˊ
∴Rt△ABC≌Rt△AˊBˊCˊ（HL）
例1、如图，AC=BD，∠C ﹦∠ D ﹦90°. 求证：BC=AD
证明：∵∠C ﹦∠ D ﹦90°（已知） ∴ABC与 BAD都是直角三角形（直角 三角形的定义）
在Rt△ABC和Rt△BAD中 ∵AB=BA（公共边） AC=BD（已知） ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL） ∴BC=AD（全等三角形的对应边相等）
A.S.A
A.A.S
S.S.S
直角三
角形全 S.A.S A.S.A A.A.S S.S.S H.L
等的判 定
灵活运用各种方法证明直角三角形全等
小结
请你谈谈这节课的收获。
作业：
1.课本76页第6题 2.导练101页基础反思
比一比，看谁反应快
1、如图，AC⊥BC,AC⊥AD,垂足分别 是C,A,AB=DC,由此可判定两个全等的 三角形是 和
X
B
Q
Q
┐
C(P) P
A
谢谢
84.优点一天比一天多，缺点一天比一天少。 25.当朋友不开心的时候，你只需要静静地坐在他身边，默默陪伴。即使什么也不说，他也会感觉好很多很多。 43.经受了火的洗礼泥巴也会有坚强的体魄。 6、与各种各样的人会面之后，您只知道，除了父母之外，世界上没有人会以心肺相待，没有人会完全无条件地信任您，也不会有人永远对您 友好。您应该了解，天空将是黑暗的，人将会改变，生命是如此漫长，如此遥远，您只能依靠自己，没有其他选择。
不一定全等。
想一想
如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边 对应相等，这两个直角三角形全等吗？
做一做，说一说
请同学们拿出自己所做 的卡片，并与同伴交流。
《三角形全等的判定-角边角角角边》说课稿ppt
（1）分组实验，前后桌4位同学为一组，共同完成实验。 实验步骤：①任意画一个三角形△ABC； ②前桌两位同学均各自再画△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′= ∠A，∠B′= ∠B，后桌两位同学各自再画△A〞B〞C〞，使B〞C〞=BC，∠B〞=∠B, ∠C〞=∠C (即：使三角形中的两组角及它们的夹边对应相等)。 ③把画好的△A′B′C′（或△A〞B〞C〞）剪下，放到△ABC上，看看发现了什么？ （2）得到实验结论： 所画的三角形均能相互重合。
一、教材分析 二、教学目标 三、重点难点 四、教学流程
（二）合作交流、解读探究
1、实验验证（探究5），探索新知（角边角）
一、教材分析 二、教学目标 三、重点难点 四、教学流程
（3）提出问题：你能根据作图要求具体说说所画的是什么样的两个三角形吗？ （4）归纳： 三角形全等的判定（三）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（可以简写成“角边角”或者“ASA”） （5）符号语言：在△ABC和△DEF中， ∠A=∠B AB=DE ∠B=∠E ∴ △ABC≌△DEF （ASA）
四、教学流程
(一)创设情境，孕育新知
1、生活情境设疑，激发学生兴趣
一、教材分析 二、教学目标 三、重点难点 四、教学流程
一、教材分析 二、教学目标 三、重点难点 四、教学流程
2、学术情境分类，明确探究任务
满足全等三角形的六组条件中的三组
（1）三边（SSS） （2）两边一角 两边、一夹角（SAS） 两边、一对角（不一定） （3）两角一边 （4）三角
证明：在△ABC中， ∠A+∠B+∠C=180° ∴∠C=180-∠A-∠B 同理∠F=180°-∠D-∠E 又∠A=∠D ， ∠B=∠E ∴∠C=∠F 在△ABC和△DEF 中 ∠B=∠E BC=EF ∠C=∠F ∴ △ABC≌△DEF （ASA）
斜边直角边教案(教学设计)
斜边直角边【教学目标】1．知识与技能：使学生理解斜边直角边定理的内容，能运用斜边直角边证明三角形全等，进而说明线段或角相等。
2．过程与方法：经历探索直角三角形全等条件HL的过程，掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。
3．情感、态度与价值观：学习事物的特殊、一般关系、发展逻辑思维能力。
培养学生善于思考、不断探索的良好习惯。
【教学重难点】1．重点：掌握斜边直角边定理。
2．难点：灵活应用斜边直角边定理解题。
【教学过程】一、创设情景，导入新课问题：证明一般三角形全等有哪些方法？我们已经知道，对于两个三角形，如果有“边角边”或“角边角”或“角角边”或“边边边”分别对应相当，那么这两个三角形一定全等。
如果有“边边角”分别对应相等，那么能不能保证这两个三角形全等呢？思考：一般三角形不一定全等，对于特殊三角形中的直角三角形呢？让我们一起研究这个问题吧！二、师生互动，探究新知教师活动：那么在两个直角三角形中，当斜边和一条直角边分别对应相等时，也具有“边边角”对应相等的条件，这时这两个直角三角形能否全等呢？大家一起动手画一画。
如图所示，已知两条线段（这两条线段长不相等），以长的线段为斜边、短的线段为一条直角边，画一个直角三角形。
大家一起动手来画一画，好吗？画好后与同排比较，它们全等吗？学生活动：动手操作，并用语言叙述这个基本事实。
教师活动：在同学发言基础上归纳：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记HL（或斜边直角边）。
此公理的前提是两个三角形是直角三角形，同时满足两个条件：（1）斜边相等（2）一条直角边对应相等。
斜边、直角边公理（HL）推理格式（图略）。
∵∠C=∠C'=90°，∴在Rt△ABC和Rt△ABC中，AB=AB，BC=BC，∴Rt△ABC≌Rt△ABC（HL）。
三、随堂练习，巩固新知例：已知：（如图）AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足。
全等三角形边长公式
全等三角形边长公式全等三角形是初中数学中一个非常重要的概念，而边长公式则是解决全等三角形问题的重要工具。
全等三角形指的是能够完全重合的两个三角形。
要判断两个三角形全等，有多种方法，比如“边边边”（SSS）、“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）、“角角边”（AAS）以及“斜边、直角边”（HL）。
咱们先来说说“边边边”（SSS）这个判定方法。
假如有两个三角形，它们的三条边对应相等，那这两个三角形就全等。
这里其实没有啥复杂的公式，就是纯粹的比较三条边的长度。
再看看“边角边”（SAS），如果两个三角形有两条边及其夹角对应相等，那它们也是全等的。
这个判定方法中，夹角就显得特别关键。
接下来讲讲“角边角”（ASA）和“角角边”（AAS）。
“角边角”说的是两个三角形的两个角及其夹边对应相等就全等；“角角边”则是两个角和其中一个角的对边对应相等时全等。
然后就是直角三角形特有的“斜边、直角边”（HL）判定方法，针对两个直角三角形，如果它们的斜边和一条直角边对应相等，那这两个直角三角形就全等。
说了这么多判定方法，那边长公式到底是啥呢？其实呀，在全等三角形中，边长之间并没有像勾股定理那样明确的计算公式。
更多的时候，我们是通过已知条件去推理和证明边长的关系。
我记得之前给学生们讲这部分内容的时候，有个特别有趣的事儿。
当时在课堂上，我出了一道题，让大家判断两个三角形是否全等。
题目刚出来，有个学生特别自信地说：“老师，这太简单啦，一看就全等！”结果等他把自己的思路讲出来，才发现完全错了。
其他同学都笑了起来，他自己也不好意思地挠挠头。
然后我们就一起重新分析这道题，通过一步步的推理和比较，最终找到了正确的答案。
从那以后，这位同学再也不盲目自信了，每次做题都特别认真地思考。
在实际解题中，我们常常会遇到各种各样的情况。
有时候会给出一些线段的长度，让我们判断能否构成全等三角形；有时候则需要我们根据已知条件去求出某些边的长度。
这就需要我们灵活运用各种判定方法，仔细分析题目中的条件。
一边一角构全等作垂直类型题
一边一角构全等作垂直类型题巧用三角形全等证明两线垂直通过对于数学知识的学习，学生在探究和实践中会了解三角形全等的方式，通常会通过“边边边”“边角边”“角边角”“角角边”“斜边直角边”的判定方法来证明三角形全等。
当了解了三角形全等后，很多数学问题就会迎刃而解，使学生可以借助全等三角形的性质和特点来进行进一步的证明和推理，完善自己的思维，提高自己的理解能力，在大脑中建构出数学模型。
学生在解题过程中可以利用三角形全等来证明两线垂直，这是三角形全等的一种常用法。
例如：AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD与F，且有BF=AC，FD=CD，求证BE⊥AC。
解决本题的关键就是证明∠BEC=90°，而证明∠BEC=90°，也就是说∠EBC+∠BCE=90°。
题目中已知AD为△ABC的高，BF=AC，FD=CD，也就是AD⊥BC，即∠ADB为90°，同时∠DBF+∠BFD=90°。
所以证明本题的关键就是证明，这样就可以证明∠BEC=90°。
在对于∠BFD=∠BCE的过程中，学生就可以利用三角形全等的性质，这样问题就顺利解决了。
解题过程中学生利用三角形全等来证明三角形中的内角相等，之后利用三角形内角和相等就可以证明两直线的垂直。
学生在解题过程中要善于利用自己的逻辑思维和推理判断以及对于知识的迁移能力，使学生可以灵活地转化已知条件之间的关系，证明三角形全等，之后进一步对个数量关系进行证明，提高自己的思维能力。
“倍长中线法”构造全等三角形全等三角形的应用是非常广泛的，学生在解题过程中要善于转化和构造，使已知的数学条件可以得到充分地利用。
在学生对已知条件进行加工和处理过程中，教师要适时地对学生进行点拨、引导，尽可能调动所有学生的积极性，使学生的思维可以运转起来，主动地判断各个数量之间的关系，成为学习的主体，提高数学解题能力。
例如：已知△ABC中，AD为△ABC的中线，且AB=8cm，AC=5cm，如图所示，求中线AD的取值范围。
12全等三角形斜边直角边
课题名称 全等三角形的判定：斜边直角边学习目标：1、会用“HL ”识别两个三角形全等；2.正确使用“HL ”方法证明线段相等、证明角相等； 教学过程 ：一、复习引入：我们已经知道，对于两个三角形，如果有“边角边”或“角边角”或“角角边”或“边边边”分别对应相等，那么这两个三角形一定全等．如果有“角角角”分别对应相等，那么不能判定这两个三角形全等，这两个三角形可以有不同的大小．如果有“边边角”分别对应相等，那么也不能保证这两个三角形全等．当这个角是直角时，这两个直角三角形能否全等呢？ 二、探究新知如图，已知两条线段（这两条线段长不相等），以长的线段为斜边、短的线段为一条直角边，画一个直角三角形把你画的直角三角形与其他同学画的直角三角形进行比较，所有的直角三角形都全等吗？换两条线段，试试看，是否有同样的结论？三、归纳小结 两个直角三角形全等的特殊判定方法如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等．简记为H ．L ．（或斜边直角边）． 四应用举例 例1如图，已知AC ＝BD ， ∠C ＝∠D ＝90°，求证Rt △ABC ≌Rt △BAD ． 例2 已知 如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB=DC ，求证：AD ∥BC.例3如图，AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，具有BF=AC ，FD=CD ，试探究BE 与AC 的位置关系.例4如图，A 、E 、F 、B 四点共线，AC ⊥CE 、BD ⊥DF 、AE=BF 、AC=BD ，求证：△ACF ≌△BDE.图19.2.18 ABDCE FABED FCAD B C【经典练习】1下列说法正确的个数有（ ）. A ．1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个①有一角和一边对应相等的的两个直角三角形全等；②有两边对应相等的两个直角三角形全等； ③有两边和一角对应相等的两个直角三角形全等； ④有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等.2、 如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，AC ∥DB ，且AC=BD ，那么Rt △AEC ≌Rt △BFC 的理由是（ ）.A ．SSS B. AAS C. SAS D. HL3．如图，△ABC 中，∠C=︒90，AM 平分∠CAB ，CM=20cm ，那么M 到AB 的距离是（ ）cm.4．如图，∠B=∠D=︒90，要证明△ABC 与△ADC 全等，还需要补充的条件是 .5．如图，在△ABC 中，∠ACB=︒90，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ，求证：DE=AD+BE.6．如图，已知AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，AD=BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，那么，CE=DF 吗？谈谈你的理由! 7．如图，已知AB=AC ，AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，AD ，BC 相交于点E ，求证：（1）CE=BE ；（2）CB ⊥AD.BCD F ┎ ┘AE ┐ AB M CACDBADBE NCABCDE FAEDBC提高题型：1.如图，△ABC中，D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别为垂足，且AE=AF，试说明：DE=DF，AD 平分∠BAC.2.如图，在ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且DE=DF，试说明AB=AC.3.如图，AB=CD，DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，DF=BE，求证：AF=CE.4.如图，△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，M是AB的中点，点N在BC上，MN⊥AB。
斜边直角边教案.doc
全等三角形的判定一-斜边直角边教学设计隆安县第一中学蒙小妹［教材分析］:本课是人教版八年级数学下册第十二章的最后一个判定定理，在学习了全等三角形的四个判定方法（“边边边^边角边^角边角^角角边”）的基础上，进一步探索两个直角三角形全等的判定方法。
直角三角形是三角形中的一类，判定两个直角三角形全等，可以用已学过的所有全等三角形的判定方法，但两个直角三角形中已有一对直角是相等的，因此在判定两个直角三角形全等时，只需另外找到两个条件即可，由于直角三角形的这种特殊性，判定两个直角三角形全等的方法又有别于其他的三角形。
教科书首先给出一个“思考”，让学生认识到判定两个直角三角形全等与判定两个普通三角形全等的不同之处・然后通过探究5的作图实验操作，让学生经历探究满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形是否全等的过程，然后在学生总结探究出的规律的基础上，直接以定理的方式给出“斜边、直角边”判定方法•最后，教科书给出一个例题，让学生在具体问题中运用“斜边、直角边”证明两个直三角形全等, 并得到对应边相等。
［学情分析］:学生对于证明两个三角形全等的思路较为清晰。
对于比较全等三角形有一定的动手能力。
［教学重点］:“斜边、直角边”判定方法的运用。
［教学难点］:“斜边、直角边”判定方法的理解。
［教学目标］:1・已知斜边和一直角边会作直角三角形。
2 •会阐述绘斗边、直角边”公理，并会通过绘斗边、直角边公理判定两个直角三角形全等。
3•能熟练地、灵活地选用一般三角形全等的判定方法以及“斜边、直角也”公理判定两个直角三角形全等。
［教学准备］:课件［引导性材料］:如图3・8・1 , AD >AAB C的高，AD扌巴△ ABC分成两个直角三角形，这两个直角三角全等吗？A图 3. 8-1［教学设计］问题1：图3. 8-1中的两个直角三角形有可能全等吗？什么情况下这两个直角三角形全等？说明：设计开放式问题1,便于各类学生参与探索两个直角三角形全等的各种可能情况。
2022年华师大版《斜边直角边》公开课教案
【根本目标】“H.L.〞判定两个直角三角形全等.2.会综合用各种方法判定两个直角三角形全等.【教学重点】用“H.L.〞判定两个直角三角形全等.【教学难点】用综合法证明两直角三角形全等.一、创设情景，导入新课问题：证明一般三角形全等有哪些方法？我们已经知道，对于两个三角形，如果有“边角边〞或“角边角〞或“角角边〞或“边边边〞“边边角〞分别对应相等，那么能不能保证这两个三角形全等呢？〔出示课件〕思考：一般三角形不一定全等，对于特殊三角形中的直角三角形呢？让我们一起研究这个问题吧！二、师生互动,探究新知【教师活动】那么在两个直角三角形中，当斜边和一条直角边分别对应相等时，也具有“边边角〞对应相等的条件，这时这两个直角三角形能否全等呢？大家一起动手画一画.如以下图，两条线段〔这两条线段长不相等〕，以长的线段为斜边、短的线段为一条直角边，画一个直角三角形.大家一起动手来画一画，好吗？画好后与同排比拟，它们全等吗？【学生活动】动手操作，并用语言表达这个根本领实.【教学说明】在同学发言根底上归纳：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等.简记H.L.〔或斜边直角边〕.此公理的前提是两个三角形是直角三角形，同时满足两个条件〔1〕斜边相等〔2〕一条直角边对应相等.斜边直角边公理〔H.L.〕推理格式〔图略〕∵∠C=∠C'=90°，∴在Rt△ABC和Rt△ABC中，AB=AB,BC=BC，∴Rt△ABC≌Rt△ABC〔H.L.〕.三、随堂练习，稳固新知完成练习册中本课时对应的课后作业局部，教师巡视并及时点评.特别注意推理的标准性.四、典例精析，拓展新知例如图，AC⊥AD,BC⊥BD,OE⊥CD，AC=BD，求证：DE=CE.证明：∵AC⊥AD,BC⊥BD,∴∠A=∠B=90°，在Rt△ADC和Rt△BCD中，AC=BD，DC=CD，∴Rt△ADC≌Rt△BCD〔H.L.〕,∴∠OCD=∠ODC，∵OE⊥DC,∴∠OEC=∠OED，在△DOE和△COE中,∠ODE=∠OCE,∠OED=∠OEC,OE=OE，∴△ODE≌△OCE〔A.A.S.〕,∴DE=CE.【教学说明】本例主要是灵活选择各种方法证明两个直角三角形全等，教学中应引导学生用分析法寻找证明DE=CE的思路，即DE=CE→△DOE≌△COE →∠ODC=∠OCE→Rt△ADC≌Rt△BCD.五、运用新知，深化理解如图，AC⊥BC,AD⊥BD,CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，求证：CE=DF.【教学说明】先让学生独立思考，寻找解题思路，再全班交流由学生独立完成.六、师生互动，课堂小结这节课，你学习了什么？有什么收获？有何困惑？与同伴交流，在同学们交流的根底上教师进行归纳与总结.完成练习册中本课时对应的课后作业局部.本节课是在前面已经学习一般三角形的五种判定方法的根底上，研究直角三角形独有判定方法：“H.L.〞，整节课按“操作—发现—归纳—运用〞“H.L.〞综合运用，提高学生综合运用知识能力，到此有时证明题中会涉及到两次用全等的方法证明线段〔或角〕相等，及时帮助同学们归纳总结，提升思维能力.第1课时正切与坡度教学目标:1、理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
三角形所有知识点
三角形所有知识点三角形是初中数学中非常重要的一个几何图形，它具有丰富的性质和广泛的应用。
接下来，让我们一起深入了解三角形的所有知识点。
首先，三角形的定义是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。
这三条线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
三角形按边分类，可以分为等边三角形（三条边都相等）、等腰三角形（至少有两条边相等）和不等边三角形（三条边都不相等）。
按角分类，则可以分为锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）和钝角三角形（有一个角是钝角）。
三角形的内角和是 180 度。
这是一个非常重要的性质，可以通过多种方法来证明。
例如，我们可以通过将三角形的三个角剪下来，拼在一起，发现正好能组成一个平角，从而得出内角和为 180 度。
三角形的外角性质也很关键。
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
这是判断三条线段能否组成三角形的重要依据。
比如，有三条线段分别为 3、4、5，因为 3 ＋ 4 ＞ 5，4 3 ＜ 5，所以它们可以组成三角形。
三角形的面积计算公式是：面积＝底×高÷2。
其中，底和高必须是相互垂直的。
三角形具有稳定性，这是三角形独特的性质。
在生活中，我们可以看到许多利用三角形稳定性的例子，比如自行车的车架、起重机的起重臂等。
在直角三角形中，有勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形的两条直角边分别为 a 和 b，斜边为c，那么 a²＋ b²＝ c²。
等腰三角形的性质也很多。
等腰三角形的两腰相等，两底角相等。
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称“三线合一”。
等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三条边都相等，三个角都等于 60 度。
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1．如图，ABC ∆和DEF ∆中，下列能判定ABC ∆≌DEF ∆的是（ ） A ．DF AC =，EF BC =，D A ∠=∠ B ．E B ∠=∠，F C ∠=∠，DF AC = C ．D A ∠=∠，E B ∠=∠，F C ∠=∠ D ．E B ∠=∠，F C ∠=∠，DE AC =
2．如图为打碎的一块三角形玻璃，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（ ） A ．带①去 B ．带②去 C ．带③去 D ．带①和②去
3．如图，AB CD ⊥于D ，AC BE ⊥于E ，AO 平分BAC ∠，则图中全等三角形有（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对
4．如图，21∠=∠，AD AB =，若想使ABC ∆≌ADE ∆，则需增加一个条件，你增加的条件为： .并加以证明.
5．如图，已知321∠=∠=∠，AB=AD.求证：BC=DE.
6．如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 交CD 于F ，且AD=DF ，求证：AC= BF 。
7如图，CE AE =，CE AE ⊥，︒=∠=∠90B D 求证：DB AB CD =+
8．如图，∠B=∠D=︒90，要证明△ABC 与△ADC 全等，还需要补充的条件是 .
9.如图，AB=CD ，DF ⊥AC 于F ，BE ⊥AC 于E ，DF=BE ，求证：AF=CE.
A
B D
C E
O
1
2
3
B
A
E
F
C
D
A
D
C B
F E
A
C
D
B
．
10．如图，在△ABC 中，∠ACB= 90，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ，
求证：DE=AD+BE.
11 如图，AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，具有BF=AC ，FD=CD ，试探究BE 与AC 的位置关系.
12.如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90º，AN 是过点A 的任一直线AN ，BD ⊥AN 于D ， CE ⊥AN 于E ，你能说说DE=BD-CE 的理由吗？
（2）如将直线AN 绕A 点沿顺时针方向旋转，使它不经过△ABC 的内部，再作BD⊥AN 于D ，CE⊥AN 于E ，
那么DE 、DB 、CE 之间还存在等量关系吗？如存在，请证明你的结论．
A
B
D
C
E
F
A
D
B
E
N
C。