2019版解析几何直线过定点问题模型精讲4

2019版解析几何直线过定点问题模型精讲421直线的斜截式方程“y =kx +b ”在定点问题中的应用定点问题是解析几何研究的重要问题之一，是动中有静的辩证思想在数学中的重要体现，也是高考数学科解析几何命题的重要内容之一，也无疑是高中数学教学的难点所在.为此，寻求对此类问题有效的解法势在必然.诚然,解决此类具体问题的解法多样灵活,但在的教学实践中，多样的解法时常带给学生的困惑是如何作出切实可行的选择?笔者认为,直线的斜截式方程“y =kx +b ”能有效地解决这一类问题，达到多题一解之目的.以下例析，供参考.原理分析：利用“y =kx +b ”研究定点问题的关键在于k ,b 线性关系的寻求,通常将b 表示成k 的线性关系即可，如b =pk +q （其中p ，q 为常数），由此可得直线y =kx +b 必过定点（-p ，q ）.例1：已知C (x 0, y 0) 为抛物线y 2=2px (p >0)上的一个定点, A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)为其上的的任意两点,CA ⊥CB . 求证:直线AB 过定点(2p + x 0,- y 0).证明：（1）当AB ⊥x 轴时，A (2p + x 0,)，B (2p + x 0, )，此时，CA =(2p ,- y 0)，CB =(2p , - y 0)，CA CB =()222200440p y p y +-+=,所以，CA ⊥CB .反之亦然；（2）当AB 与x 轴不垂直时，设AB 的方程为y =kx +b (k≠0)，则2,2.y kx b y px =+⎧⎨=⎩消去y ，得222(22)0k x kb p x b +-+=, 消去x ，得2220ky py pb -+=，在直线y =kx +b 与抛物线相交的前提下，则12222kb p x x k -++=，2122b x x k =，122p y y k +=，122pb y y k =， 由1010(,)CA x x y y =--，2020(,)CB x x y y =--，CA CB =10201020()()()()x x x x y y y y --+--=22120120120120()()x x x x x x y y y y y y -+++-++ =2220000222222b kb p pb p x x y y k k k k-+-⨯++-⨯+=0， 化简并整理，得222220000022220b kbx px k x pbk pky k y +-++-+=，……① 以b 为主元整理，得2222200000(22)22b kx pk b k x px pky k y ++=-++-，配方，得22222222220000000[()]222b kx pk k x px pky k y k x p k pk x ++=-++-+++，又因为2002y px =，所以，222220000[()]2()b kx pk y pky p k y pk ++=++=+，……②则00()()b kx pk y pk ++=±+，当00()b kx pk y pk ++=+时，00b kx y =-+，此时00()y y k x x -=-，不合题意； 当00()()b kx pk y pk ++=-+时，002b kx y pk =---， 此时0000(2)(2)y kx kx y pk k x x p y =+---=--+，即00[(2)]y y k x x p -=-+，所以直线AB 过点(2p + x 0,- y 0).综上，直线AB 过定点(2p + x 0,- y 0).解题感悟：客观的讲，进行至②式，对k , b 关系的揭示有些看不清，没有好的思路，一时不知如何因式分解？想到了主元思想，先以k 为主元尝试，感觉复杂就放弃了，再以 b 为主元进行尝试，结果较顺利，取得了成功！因此，在复杂多变量的多项式面前，要突出以某个变量为主线的主元思想，往往能使分解变形顺利实现，突破解题瓶颈.例2：设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为(0)Q a ，，A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)为其上的任意两点,且QA ⊥QB .求证:直线AB 过定点.证明：（1）当AB ⊥x 轴时，由222222,.y x a b x a y a b =-⎧⎨+=⎩消去y ，得222322()20a b x a x a c +-+=, 显然22122a c ax a b =+,解得2122ac x a b =+,故AB 过点222,0ac a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭. （2）当AB 与x 轴不垂直时，设AB 的方程为y =kx +m (k≠0)，则222222,.y kx b b x a y a b =+⎧⎨+=⎩消去y ，得222222222()20b a k x kma x a m a b +++-=, 消去x ，得2222222222()20b a k y mb y m b a b k +-+-=， 在直线y =kx +m 与抛物线相交的前提下，则2122222kma x x b a k -+=+，222212222a m a b x x b a k -=+，2122222mb y y b a k+=+，2222212222m b a b k y y b a k -=+， 由11(,)QA x a y =-，22(,)QB x a y =-，QA QB =21212121212()()()x a x a y y x x a x x a y y --+=-+++=2222222222222222222220a m a b kma m b a b k a a b a k b a k b a k----++=+++. 化简并整理，得222322242()20a b m ka m a b k a k ++-+=，即2223222()20a b m ka m a c k +++=， 262222222444()4k a a b a c k k a b ∆=-+=，解得3222222()ka kab m a b -±=+，即3222ka kab m ka a b --==-+，或3222ka kab m a b -+=+，当m ka =-，y =kx +m= y =(kx -a ),不合题意；当3222ka kab m a b -+=+时，32322222ka kab a ab y kx m kx k x a b a b ⎛⎫-+-=+=+=- ⎪++⎝⎭=222ac k x a b ⎛⎫- ⎪+⎝⎭， 即直线AB 的方程为222ac y k x a b ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以直线AB 经过定点222,0ac a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 综上, 直线AB 恒过定点222,0ac a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 解题感悟：对于方程2223222()20a b m ka m a c k +++=根的求解，没有一味的拘泥于十字相乘法,而是选择先求判别式,在用求根公式求解,收到了很好的效果.由此可见,平时教学中一味强调十字相乘法的重要性不能过于绝对,数学解题方法的优劣之分往往取决于它的应用时机是否合适.例3：已知椭圆C : 2212x y +=的右焦点为F ，M , N 为椭圆C 上的两个动点，且MN ⊥x 轴，直线MF 与椭圆的另一个交点为Q .求证：直线NQ 恒过x 轴上一定点.证明:∵F (1,0)，设()11,M x y -,()11,N x y ,()22,Q x y ,NQ ：y kx b =+,由2212y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得 ()222124220k xkbx b +++-=，∴122412kb x x k -+=+……①, 21222212b x x k -⋅=+……②,由M ，F ，Q 三点共线，得121211y y x x -=--，两边平方，得22122212(1)(1)y y x x =--，即 22221221(1)(1)y x y x -=-，将22112y x =-，22222y x =-代入上式并化简，得12123()42x x x x +=+， 再将①,②代入，得2224223421212kb b k k--⨯=+⨯++， 整理，得22230k kb b ++=，即(2)()0k b k b ++=，解得b k =-或2b k =-， 当b k =-时，(1)y kx b k x =+=-，不合题意；当2b k =-时，(2)y kx b k x =+=-，故直线NQ 过x 轴上的定点(2,0). 解题感悟：对于三点共线所得关系“121211y yx x -=--”的平方转化是利用椭圆方程等价转化的关键，进而消元得到关于“12x x +”与“12x x ”的关系后整体突破.例4:【2011山东文】在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.（Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若∙. （i ）求证：直线过定点；（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由. 【解析】（Ⅰ）(略)；（Ⅱ）（i ）由题意:设直线,由消y 得:, 设A 、B ,AB 的中点E ,则由韦达定理,得 =,即,, xOy 22:13x C y +=(0)k k ＞l C A B AB E OE C G 3x =-(3,)D m -22m k +2OG OD =OE l B G x ABG :(0)l y kx n n =+≠2213y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩222(13)6330k x knx n +++-=11(,)x y 22(,)x y 00(,)x y 12x x +2613kn k -+02313kn x k -=+002313kn y kx n k n k -=+=⨯+=+213nk +所以中点E 的坐标为E ,因为O 、E 、D 三点在同一直线上，所以，即，解得， 由∙，得2029313G kn x x k =-=+，202213(13)G mn n y my k k k ===++， 将(),G G x y 代入2213x y +=化简并整理，得 ()22311313kn n k k k +=++，即32330k k n k n -+-=，2()(31)0k n k -+=， 所以，k =n ,故直线的方程为y =kx +k ,即有y =k (x +1),令得,y =0,与实数k 无关,所以直线过定点(-1,0). （ii ）(略).解题感悟：对于条件“∙”的应用要通过“化曲为直”来实现对(),G G x y 的求解，进而利用其在椭圆上的关系求解.例5:【2007年全国卷】已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>3,1a c a c +=-=，22,1,3a c b ===221.43x y ∴+= （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->.23(,13kn k -+2)13nk +OE OD k K =133m k -=-1m k=2OG OD =OE l 1x =-l 2OG OD =OE212122284(3),.3434mk m x x x x k k-+=-⋅=++ 22221212121223(4)()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 1AD BD k k ⋅=-，1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k --+++=+++，2271640m mk k ++=，解得1222,7k m k m =-=-，且满足22340k m +->. 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0).7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7由此可见，直线的斜截式方程“y =kx +b ”在研究直线过定点的问题中有着十分重要的作用，恰当应用能切实有效地解决这类问题.当然，在具体应用中要根据不同的问题，切实有效的把握主元思想、化曲为直、平方转化、公式转化及整体转化等数学思想方法，有针对性地解决解题过程中的难点，实现彻底有效的解题.定点、定直线、定值专题（2012•菏泽一模）已知直线l ：y=x+，圆O ：x 2+y 2=5，椭圆E ：过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值．2．（2012•自贡三模）；过点作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M 、N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由．3．（2013•眉山二模）设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆，（a＞b＞0）上的两点，已知向量=（，），=（，），且，若椭圆的离心率，短轴长为2，O为坐标原点：（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．4．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的倍，且椭圆C经过点M．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过圆O：上的任意一点作圆的一条切线l与椭圆C交于A、B两点．求证：为定值．5．已知平面上的动点P（x，y）及两定点A（﹣2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别是k1，k2且．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设直线l：y=kx+m与曲线C交于不同的两点M，N．①若OM⊥ON（O为坐标原点），证明点O到直线l的距离为定值，并求出这个定值②若直线BM，BN的斜率都存在并满足，证明直线l过定点，并求出这个定点．6．（2011•新疆模拟）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；7．已知椭圆Ω的离心率为，它的一个焦点和抛物线y2=﹣4x的焦点重合．（1）求椭圆Ω的方程；（2）若椭圆上过点（x0，y0）的切线方程为．①过直线l：x=4上点M引椭圆Ω的两条切线，切点分别为A，B，求证：直线AB恒过定点C；②是否存在实数λ使得|AC|+|BC|=λ•|AC|•|BC|，若存在，求出入的值；若不存在，说明理由．8．过椭圆C：的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，，求证：λ1+λ2为定值．9．椭圆有两顶点A（﹣1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．（Ⅰ）当|CD|=时，求直线l的方程；（Ⅱ）当点P异于A、B两点时，求证：为定值．10．（2008•闸北区二模）如图，椭圆C：，A1、A2为椭圆C的左、右顶点．（Ⅰ）设F1为椭圆C的左焦点，证明：当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时|PF1|取得最小值与最大值；（Ⅱ）若椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．求椭圆C的标准方程；（Ⅲ）若直线l：y=kx+m与（Ⅱ）中所述椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且满足AA2⊥BA2，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．难题11．（2012•南京一模）在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y2=2px横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5．（1）求抛物线的标准方程；（2）设点C是抛物线上的动点，若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4，求证：圆C过定点．12．在四边形ABCD中，已知A（0，0），D（0，4），点B在x轴上，BC∥AD，且对角线AC⊥BD．（Ⅰ）求点C 的轨迹方程；（Ⅱ）若点P 是直线y=2x ﹣5上任意一点，过点P 作点C 的轨迹的两切线PE 、PF ，E 、F 为切点，M 为EF 的中点．求证：PM ⊥x 轴；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，直线EF 是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．1、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l :y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．试问：当m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。