云南省2011届高三数学一轮复习章节练习：随机变量及其分布

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高三数学一轮复习第11章第1课时课件

＝2 100 元．
两个计数原理的综合应用
对于某些复杂的问题，有时既要用分类计数原理，又要用分步计数原理，重视两个原理的灵活运用，并注意以下几点： (1)认真审题，分析题目的条件、结论，特别要理解题目中所讲的“事情”是什么，完成这件事情的含义和标准是什么． (2)明确完成这件事情需要 “ 分类 ” 还是 “ 分
2．混合问题一般是先分类再分步． 3．分类时标准要明确，做到不重复不遗漏． 4．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分
析更直观、清楚，便于探索规律．
从近两年的高考试题来看，分类加法计数原理和分步乘法计数原理是考查的热点．题型为选择题、填空题，分值在5分左右，属中档题．两个计数原理较少单独考查，一般与排列、组合的知识相结合命题．
(2010·广东卷)为了迎接 2010 年广州亚运会，某大
楼安装了 5 个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每
个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜
色，且这 5 个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这 5
个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪
烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两
个闪烁的时间间隔均为 5 秒，如果要实现所有不
(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定 a，由于 a<0，所以有 3 种确定方法；第二步确定 b，由于 b>0，所以有 2 种确定方法．由分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数是 3×2＝6.
(3)点 P(a，b)在直线 y＝x 上的充要条件是 a ＝b.因此 a 和 b 必须在集合 M 中取同一元素，共有 6 种取法，即在直线 y＝x 上的点有 6 个．由(1)得不在直线 y＝x 上的点共有 36－ 6＝30(个)．

(新课标)高考数学一轮总复习第九章计数原理、概率、随机变量及其分布列 9-7 二项分布、正态分布

9-7 二项分布、正态分布及其应用课时规X 练(授课提示：对应学生用书第331页)A 组基础对点练1．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12，则μ等于( C ) A ．1 B ．2 C ．4D ．不能确定解析：当函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ<0，即ξ>4，根据正态曲线的对称性，当函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12时，μ＝4.2．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( A ) A ．0.8 B ．0.75 C ．0.6D ．0.453．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( B )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%) A ．4.56% B ．13.59% C ．27.18%D ．31.74%4．某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为 38.解析：依题意，元件的使用寿命超过1 000小时的概率为12，则该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×12＝38.5．设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．解析：设A i 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0,1,2，B 表示事件：甲需使用设备，C 表示事件：丁需使用设备，D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)D ＝A 1BC ＋A 2B ＋A 2B －C ，P (B )＝0.6，P (C )＝0,4，P (A i )＝C i 2×0.52，i ＝0,1,2，所以P (D )＝P (A 1BC ＋A 2B ＋A 2B －C ) ＝P (A 1BC )＋P (A 2B )＋P (A 2B －C ) ＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B －)P (C )＝0.31.(2)X 的可能取值为0,1,2,3,4，则有P (X ＝0)＝P (B －A 0C －)＝P (B －)P (A 0)P (C －)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，P (X ＝1)＝P (BA 0C －＋B －A 0C ＋B －A 1C －)＝P (B )P (A 0)P (C －)＋P (B －)P (A 0)P (C )＋P (B －)P (A 1)P (C －)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，P (X ＝3)＝P (D )－P (X ＝4)＝0.25，P (X ＝4)＝P (A 2BC )＝P (A 2)P (B )P (C )＝0.52×0.6×0.4＝0.06. X 的分布列为P 0.06 0.25 0.38 0.25 0.06数学期望E (X )＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4) ＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.6．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2. ①利用该正态分布，求P (187.8<Z <212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求EX . 附：150≈12.2.若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 4. 解析：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2分别为x －＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z ～N (200,150)，从而P (187.8<Z <212.2)＝P (200－12.2<Z <200＋12.2)＝0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题意知X ～B (100,0.682 6)，所以EX ＝100×0.682 6＝68.26.B 组能力提升练1．某校在高三第一次模拟考试中约有1 000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即X ～N (100，a 2)(a >0)，试卷满分为150分，统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的110，则此次数学考试成绩在100分到110分(包含100分和110分)之间的人数约为( A ) A ．400 B ．500 C ．600D ．8002．已知随机变量X 服从正态分布N (5,4)，且P (X >k )＝P (X <k －4)，则k 的值为( B ) A ．6 B ．7 C ．8D ．93．某小区有1 000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N (300,102)，则用电量在320度以上的户数约为( B )(参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%，P (μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝99.74%)A ．17B ．23C ．34D ．464．一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为( D ) A.23 B ．512 C.79D ．595.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( B )(附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4) A ．1 193 B ．1 359 C ．2 718D ．3 4136．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是②④.(写出所有正确结论的序号) ①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，它与A 1，A 2，A 3中哪一个发生都有关．解析：由题意知A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件，P (A 1)＝510＝12，P (A 2)＝210＝15，P (A 3)＝310，P (B |A 1)＝12×51112＝511，P (B |A 2)＝411，P (B |A 3)＝411，而P (B )＝P (A 1B )＋P (A 2B )＋P (A 3B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)P (B |A 3) ＝12×511＋15×411＋310×411＝922. 7．袋中有三个白球，两个黑球，现每次摸出一个球，不放回地摸取两次，则在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率为 34.解析：记事件A 为“第一次摸到黑球”，事件B 为“第二次摸到白球”，则事件AB 为“第一次摸到黑球、第二次摸到白球”，依题意知P (A )＝25，P (AB )＝25×34＝310，∴在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是P (B |A )＝P AB P A ＝34.8．某学校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度，现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后一位数字为叶)．(1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．解析：(1)众数：8.6；中位数：8.75.(2)设A i (i ＝0,1,2,3)表示所取3人中有i 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A ，则P (A )＝P (A 0)＋P (A 1)＝C 312C 316＋C 14C 212C 316＝121140.(3)ξ的所有可能取值为0,1,2,3.则ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14， P (ξ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫14k ⎝ ⎛⎭⎪⎫343－k，k ＝0,1,2,3. ξ的分布列为：所以E (ξ)＝3×14＝0.75.9．挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，需要通过五关：目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析知甲、乙、丙三位同学能通过复检关的概率分别是0.5,0.6,0.75，能通过文考关的概率分别是0.6,0.5,0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响． (1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率； (2)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数X 的分布列．解析：(1)设A ，B ，C 分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，则所求概率P ＝P (A B －C －)＋P (A －B C －)＋P (A －B －C )＝0.5×(1－0.6)×(1－0.75)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.75)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.75＝0.275.(2)甲被录取的概率为P 甲＝0.5×0.6＝0.3，同理P 乙＝0.6×0.5＝0.3，P 丙＝0.75×0.4＝0.3.∴甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3，故可看成是独立重复试验，即X ～B (3,0.3)，X的可能取值为0,1,2,3，其中P(X＝k)＝C k3(0.3)k·(1－0.3)3－k. 故P(X＝0)＝C03×0.30×(1－0.3)3＝0.343，P(X＝1)＝C13×0.3×(1－0.3)2＝0.441，P(X＝2)＝C23×0.32×(1－0.3)＝0.189，P(X＝3)＝C33×0.33＝0.027，故X的分布列为。

高三理科数学一轮复习讲义：第十一章计数原理概率随机变量及其分布11.8条件概率n次独立重复试验与二项分布

§11.8 条件概率、n 次独立重复试验与二项分布考纲展示►1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2．理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．考点1 条件概率条件概率 (1)定义设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝P ABP A为在事件A 发生条件下，事件B 发生的条件概率．(2)性质①0≤P (B |A )≤1；②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．条件概率的性质．(1)有界性：0≤P (B |A )≤1.( )(2)可加性：如果B 和C 为互斥事件，则P ((B ∪C )|A )＝P (B |A )＋P (C |A )．( )[典题1] (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ：“取到的2个数之和为偶数”，事件B ：“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18B.14C.25D.12(2)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )A.1127B.1124C.827D.924[点石成金] 条件概率的两种求解方法 (1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝P ABP A求P (B |A )．(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件AB 所包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n ABn A.考点2 事件的相互独立性(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝________，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)性质：若事件A 与B 相互独立，则A 与B 、A 与B 、A 与B 也都相互独立，P (B |A )＝________，P (A |B )＝________.[典题2] 为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度．不超过22千米的地铁票价如下表：的概率分别为14，13，甲、乙乘车超过6千米且不超过12千米的概率分别为12，13.(1)求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；(2)设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列．[点石成金] 1.利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；2．正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算.在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设X(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率．考点3 独立重复试验与二项分布独立重复试验与二项分布(1)[教材习题改编]某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是12，构造数列{a n }，使得a n＝⎩⎪⎨⎪⎧第n 次出现正面，－第n 次出现反面，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)，则S 4＝2的概率为________．(2)[教材习题改编]小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是________．二项分布：P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )．设随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)的值是________．[典题3] [2019·湖南长沙模拟]博彩公司对2019年NBA 总决赛做了大胆地预测和分析，预测西部冠军是老辣的马刺队，东部冠军是拥有詹姆斯的年轻的骑士队，总决赛采取7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间的结果互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．前4场，马刺队胜利的概率为12，第5,6场马刺队因为平均年龄大，体能下降厉害，所以胜利的概率降为25，第7场，马刺队因为有多次打第7场的经验，所以胜利的概率为35.(1)分别求马刺队以4∶0,4∶1,4∶2,4∶3胜利的概率及总决赛马刺队获得冠军的概率； (2)随机变量X 为分出总冠军时比赛的场数，求随机变量X 的分布列．[点石成金] 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A 发生的概率是一个常数p ；(2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n 次试验中事件A 恰好发生了k 次的概率.某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情况，从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球(重3 kg)测试，成绩在6.9米以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成5组画出频率分布直方图的一部分(如图所示)，已知成绩在[9.9,11.4)的频数是4.(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；(2)若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名，记ξ表示两人中成绩不合格的人数，利用样本估计总体，求ξ的分布列．[方法技巧] 1.古典概型中，A 发生的条件下B 发生的条件概率公式为P (B |A )＝P ABP A＝n AB n A ，其中，在实际应用中P (B |A )＝n ABn A是一种重要的求条件概率的方法．2．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．3．n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次可看作是C k n个互斥事件的和，其中每一个事件都可看作是k个A事件与n－k个A事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是p k(1－p)n－k.因此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为C k n p k(1－p)n－k.[易错防范] 1.相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P(AB)＝P(A)P(B)．互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．2．运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A，B相互独立时，公式才成立．真题演练集训1．[2018·重庆模拟]投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A．0.648 B．0.432C．0.36 D．0.3122．[2018·天津模拟]某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A．0.8 B．0.75C．0.6 D．0.45课外拓展阅读误用“二项分布与超几何分布”二项分布和超几何分布是两类重要的概率分布模型，这两种分布存在着很多的相似之处，在应用时应注意各自的适用条件和情境，以免混用出错．[典例1] 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．现在在总共8小块地中，随机选4小块地种植品种甲，另外4小块地种植品种乙．种植完成后若随机选出4块地，其中种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望．[思路分析]判断分布的类型→确定X的取值及其概率→列出分布列并求数学期望易错提示本题容易错误地得到X 服从二项分布，每块地种植甲的概率为12，故X ～B (4,0.5)．错误的根源在于每块地种植甲或乙不是相互独立的，它们之间是相互制约的，无论怎么种植都要保证8块地中有4块种植甲，4块种植乙，事实上X 应服从超几何分布．如果将题目改为：在8块地中，每块地要么种植甲，要么种植乙，那么在选出的4块地中种植甲的数目为X ，则这时X ～B (4,0.5)(这时这8块地种植的方法总数为28，会出现所有地都种植一种作物的情况，而题目要求4块地种植甲，4块地种植乙，其方法总数为C 48)．[典例2] 某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响．(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；(2)试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．易错提示本题容易错误地得到甲、乙两考生正确完成的题数均服从二项分布，实际上题目中已知甲、乙两考生按照题目要求独立完成全部实验操作，甲考生正确完成的题数服从超几何分布，乙考生正确完成的题数服从二项分布．。

高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及分布列10.8n次独立重复试验与二项分布课件理

【变式训练 2】某中学为丰富教职工生活，国庆节举办教职工趣味投篮比赛，有 A，B 两个定点投篮位置，在 A 点投中一球得 2 分，在 B 点投中一球得 3 分．规则是：每人投篮三次按先 A 后 B 再 A 的顺序各投篮一次，教师甲在 A 和 B 点投中的概率分别是12和13，且在 A，B 两点投中与否相互独立．
P(A1)
＝
4 10
＝
2 5
，
P(A2)
＝
5 10
＝
1 2
，
所
以
P(B1) ＝ P(A1A2) ＝
P(A1)P(A2)＝25×12＝15，P(B2)＝P(A1 A2 ＋ A1 A2)＝P(A1 A2 )＋
(2)一个正方形被平均分成 9 个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧 3 个小正方形区域的事件记为 A，投中最上面 3 个小正方形或正中间的 1 个小正方形区域的事件记为 B，求 P(AB)、P(A|B)．
[解] 如图，n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4， ∴n(AB)＝1，∴P(AB)＝19， P(A|B)＝nnABB＝14.
[解] (1)记事件 A1＝{从甲箱中摸出的 1 个球是红球}， A2＝{从乙箱中摸出的 1 个球是红球}，B1＝{顾客抽奖 1 次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖 1 次获二等奖}，C＝{顾客抽奖 1 次能获奖}．
由题意，A1 与 A2 相互独立，A1 A2 与 A1 A2 互斥，B1 与
B2 互斥，且 B1＝A1A2，B2＝A1 A2 ＋ A1 A2，C＝B1＋B2.因为
第10章计数原理、概率、随机变量及分布列
第8讲 n次独立重复试验与二项分布
板块一知识梳理·自主学习

届高考数学大一轮总复习第九章计数原理、概率、随机变量及其分布 9.7 离散型随机变量及其分布列课

变式训练1 (1)随机变量X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
a
b
c
2 其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝____3____。
解析由题意知2a＋b＝b＋a＋c＝c，1，
则 2b＝1－b，则 b＝31，a＋c＝23，
所以 P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝32。
(2)在例1(2)中条件不变的情况下，求Y＝2X＋1的分布列。解列表
X
0
1
2342Fra bibliotek＋11
3
5
7
9
∴P(Y＝1)＝P(X＝0)＝0.2，
P(Y＝3)＝P(X＝1)＝0.1，
P(Y＝5)＝P(X＝2)＝0.1，
P(Y＝7)＝P(X＝3)＝0.3，
P(Y＝9)＝P(X＝4)＝0.3。
因此，Y＝2X＋1的分布列为
Y
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
考点二离散型随机变量的分布列
X
1
2
3
4
P
1 6
1
1
3
6
p
则 p＝( )
1 A.3
解析
1
1
1
B.2
C.4
D.6
由概率分布列的性质可知16＋13＋16＋p＝1，解得 p＝13。
答案 A
3．袋中装有10个红球、5个黑球。每次随机抽取1个球后，若取得黑球
则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止。若取球的次数为X，则表示
“放回5个红球”事件的是( )
基础自测

2011年高考数学第一节离散型随机变量分布列

P(ξ ＝2)＝
；
P(ξ ＝3)＝
；
P(ξ ＝4)＝
；
P(ξ ＝5)＝
.
所以随机变量ξ的概率分布列为：
ξ
2
3
4
5
P
(3)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”记为事件C，
则P(C)＝P(ξ ＝3或ξ ＝4)＝P(ξ ＝3)＋P(ξ ＝4)
＝
.
若将题目条件中的“最大数字”改为“最小数字”，试解决上述问题？
解：(1)同例2解法. (2)由题意， ξ所有可能的取值为1,2,3,4，
P(ξ ＝1)＝
；
P(ξ ＝2)＝
；
P(ξ ＝3)＝
；
P(ξ ＝4)＝
.
所以随机变量ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
P
(3)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C，则 P(C)＝P(ξ ＝3或ξ ＝4)＝P(ξ ＝3)＋P(ξ ＝4)
答案：0.3
5．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3 人中女生人数不超过1人的概率是__________．解析：设所选女生人数为x，则x服从超几何分布，其中N＝6，M＝2，n＝3，则
P(x≤1)＝P(x＝0)＋P(x＝1)＝
.
答案：
1.离散型随机变量的特征是能一一列出，且每一个值各代表一个试验结果，所以研究随机变量时，关心的是随机变量能取哪些值，包含了哪些试验结果(基本事件)．
答案：C
3．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ ＝i)＝则P(ξ ＝2)＝
(i＝1,2,3)， ()
A.
B.
C.
D.
解析：∵

随机变量及其分布列经典例题(高三数学一轮复习试题)

随机变量及其分布列典型例题1.设X 是一个离散型随机变量，其分布列为X －1 0 1 P132－3qq 2则q 的值为_________2.离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12＜X ＜52的值为________3.设离散型随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P0.20.10.10.3m(1)求随机变量Y ＝2X ＋1的分布列； (2)求随机变量η＝|X －1|的分布列； (3)求随机变量ξ＝X 2的分布列.4、口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X 表示取出的最大号码，求X 的分布列．5、安排5个大学生到A ，B ，C 三所学校支教，设每个大学生去任何一所学校是等可能的．（1）求5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率；（2）设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列．6、一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．（1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．7、从6名男生和4名女生中任选4人参加比赛，设被选中女生的人数为随机变量ξ，求：（1）ξ的分布列；（2）所选女生不少于2人的概率．8、甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（Ⅰ）求乙得分的分布列；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．9．某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为12，13，23.(1)求该高中获得冠军个数X的分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分η的分布列．10、某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为：若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为．每台仪器各项费用如表：项目生产成本检验费/次调试费出厂价金额（元）1000 100 200 3000（Ⅰ）求每台仪器能出厂的概率；（Ⅱ）假设每台仪器是否合格相互独立，记X为生产两台仪器所获得的利润，求X的分布列和数学期望．11、某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球.顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励.(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，随机变量X的分布列.12.已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列.13.有编号为1,2,3，…，n的n个学生，入座编号为1,2,3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法.(1)求n的值；(2)求随机变量X的分布列.。

届高考数学一轮总复习10.7离散型随机变量及其分布列练习【含答案】

第七节离散型随机变量及其分布列(理)时间：45分钟分值：100分基础必做一、选择题1．下列4个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是( )A .B .C .D .解析利用离散型随机变量分布列的性质检验即可．答案 C2．随机变量X 的概率分布规律为P(X ＝n)＝a＋(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜X ＜52的值为( )A .23B .34C .45D .56解析由题意得a 1·2＋a 2·3＋a 3·4＋a4·5＝1，a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋14－15＝4a 5＝1，a ＝54，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜X ＜52＝P(X ＝1)＋P(X ＝2)＝a 1·2＋a 2·3＝2a 3＝56.答案 D3．某射手射击所得环数X 的分布列为：A ．0.28B ．0.88C ．0.79D ．0.51解析 P(X ＞7)＝P(X ＝8)＋P(X ＝9)＋P(X ＝10) ＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79. 答案 C4．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝0)的值为( )A ．1B .12C .13D .15解析设ξ的分布列为：即“ξ＝0”表示试验失败，“p ，成功的概率为2p ，由p ＋2p ＝1，则p ＝13.答案 C5．(2015·安溪月考)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X ＝4)的值为( )A .1220B .2755C .27220D .2125解析由题意知取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.答案 C6．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，而X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P(X ＝2)B ．P(X≤2)C ．P(X ＝4)D ．P(X≤4)解析 X 服从超几何分布P(X ＝k)＝C k 7C 10－k 8C 1015，故k ＝4.答案 C 二、填空题7．设随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P(X<4)＝0.3，那么n ＝________. 解析由于随机变量X 等可能取1,2,3，…，n.所以取到每个数的概率均为1n .所以P(X<4)＝P(X ＝1)＋P(X ＝2)＋P(X ＝3)＝3n ＝0.3，所以n ＝10.答案 108．已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．解析设ξ取x 1，x 2，x 3时的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则(a －d)＋a ＋(a ＋d)＝1，∴a＝13，由⎩⎨⎧13－13＋d≥0得－13≤d≤13.答案 [－13，13]9．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任意取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的分布列为________．解析 X 的取值为3,4,5.又P(X ＝3)＝1C 35＝110，P(X ＝4)＝C 23C 35＝310，P(X ＝5)＝C 24C 35＝35.∴随机变量X 的分布列为答案三、解答题10．为了参加2014年青奥会高中篮球比赛，某中学决定从四个篮球较强的班级中选出12人组成男子篮球队代表所在地区参赛，队员来源人数如下表：(2)该中学篮球队经过奋力拼搏获得冠军．若要求选出两位队员代表冠军队发言，设其中来自高三(7)班的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．解 (1)“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一班级”记作事件A ，则，P(A)＝C 24＋C 22＋C 23＋C 23C 212＝1366. (2)ξ的所有可能取值为0,1,2，则P(ξ＝0)＝C 04×C 28C 212＝1433，P(ξ＝1)＝C 14×C 18C 212＝1633，P(ξ＝2)＝C 24×C 08C 212＝111.∴ξ的分布列为11.0.4,0.5,0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设Y 表示客人离开福州市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．求Y 的分布列．解分别记“客人游览福州鼓山”，“客人游览福州永泰天门山”，“客人游览福州青云山”为事件A 1，A 2，A 3.因为事件A 1，A 2，A 3是相互独立的，P(A 1)＝0.4，P(A 2)＝0.5，P(A 3)＝0.6.由于客人游览的景点数的可能取值为0,1,2,3，相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3,2,1,0，所以Y 的所有可能取值为1,3.所以P(Y ＝3)＝P(A 1·A 2·A 3)＋P(A 1·A 2·A 3)＝P(A 1)P(A 2)P(A 3)＋P(A 1)P(A 2)P(A 3)＝2×0.4×0.5×0.6＝0.24，P(Y ＝1)＝1－0.24＝0.76. 所以Y 的分布列为培优演练1．设随机变量X 的概率分布列如下表所示：F(x)＝P(X≤x)，则当x ( )A .13B .16C .12D .56解析 ∵a＋13＋16＝1，∴a＝12.∵x∈[1,2)，∴F(x)＝P(X≤x)＝12＋13＝56.答案 D 2．为质检某产品的质量，现抽取5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量(单位：毫克)，测量数据如下：5件产品中，随机抽取2件，则抽取的2件产品中优等品数X 的分布列为________．解析 5件抽测品中有2件优等品，则X 的可能取值为0,1,2.P(X ＝0)＝C 23C 25＝0.3，P(X ＝1)＝C 13·C 12C 25＝0.6，P(X ＝2)＝C 22C 25＝0.1.∴优等品数X 的分布列为答案3.某班50其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中x 的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为X ，求X 的分布列与数学期望．解 (1)由频率分布直方图知(0.006×3＋0.01＋x ＋0.054)×10＝1，解得x ＝0.018. (2)由频率分布直方图知成绩不低于80分的学生人数为(0.018＋0.006)×10×50＝12，成绩在90分以上(含90分)的人数为0.006×10×50＝3.因此X 可能取0,1,2三个值．P(X ＝0)＝C 29C 212＝611，P(X ＝1)＝C 19·C 13C 212＝922，P(X ＝2)＝C 23C 212＝122.X 的分布列为故E(X)＝0×611＋1×922＋2×22＝2.4．(2015·温州模拟)一个均匀的正四面体的四个面上分别标有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为x 1，x 2，记ξ＝(x 1－3)2＋(x 2－3)2.(1)分别求出ξ取得最大值和最小值时的概率． (2)求ξ的分布列．解 (1)掷出点数x 可能是1,2,3,4，则x －3分别得：－2，－1,0,1.于是(x －3)2的所有取值分别为：0,1,4.因此ξ的所有取值为：0,1,2,4,5,8.当x 1＝1且x 2＝1时，ξ＝(x 1－3)2＋(x 2－3)2可取得最大值8， P(ξ＝8)＝14×14＝116；当x 1＝3且x 2＝3时，ξ＝(x 1－3)2＋(x 2－3)2可取得最小值0， P(ξ＝0)＝14×14＝116.所以ξ取得最大值和最小值时的概率均为116.(2)由(1)知ξ的所有取值为：0,1,2,4,5,8. P(ξ＝0)＝P(ξ＝8)＝116；当ξ＝1时，(x 1，x 2)的所有取值为(2,3)，(4,3)，(3,2)，(3,4)．即P(ξ＝1)＝416＝14；当ξ＝2时，(x 1，x 2)的所有取值为(2,2)，(4,4)，(4,2)，(2,4)．即P(ξ＝2)＝416＝14；当ξ＝4时，(x 1，x 2)的所有取值为(1,3)，(3,1)．即P(ξ＝4)＝216＝18；当ξ＝5时，(x 1，x 2)的所有取值为(2,1)，(1,4)，(1,2)，(4,1)．即P(ξ＝5)＝416＝14.所以ξ的分布列为：。

2011届高三数学一轮复习：2.1.2《离散型随机变量的分布列》单元测试2(新人教B版选修2-3)

离散型随机变量的分布列一、选择题1．给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；②在一段时间内，某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量；③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．其中正确的个数是（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4答案：Ｄ2．设离散型随机变量X的分布列为：4答案：Ｃ3．袋中有3个红球、2个白球,从中任取2个，用X表示取到白球的个数，则X的分布列为（）答案：Ｄ4．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拔，他第一次失败，第二次成功的概率是（）Ａ．110Ｂ．210Ｃ．810Ｄ．910答案：Ａ5．甲、乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率是0.8，乙击中目标的概率是0.6，则两人都击中目标的概率是（）Ａ．1.4 Ｂ．0.9 Ｃ．0.6 Ｄ．0.48答案：Ｄ6．某厂大量生产一种小零件，经抽样检验知道其次品率是1%，现把这种零件中6件装成一盒，那么该盒中恰好含一件次品的概率是（）Ａ．299100⎛⎫ ⎪⎝⎭Ｂ．0.01Ｃ．516111100100dy C dx ⎛⎫- ⎪⎝⎭· Ｄ．2426111100100C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭·答案：Ｃ7．设随机变量1~62X B ⎛⎫⎪⎝⎭，，则(3)P X =等于（）Ａ．516Ｂ．316 Ｃ．58Ｄ．716答案：Ａ8．两台相互独立工作的电脑，产生故障的概率分别为a ，b ，则产生故障的电脑台数的均值为（）Ａ．ab Ｂ．a b + Ｃ．1ab - Ｄ．1a b --答案：Ｂ9．设随机变量~()X B n p ，，则22()()DX EX 等于（）Ａ．2p Ｂ．2(1)p -Ｃ．npＤ．2(1)p p -答案：Ｂ10．正态分布2()N μσ，在下面几个区间内的取值概率依次为（） ①(]33μσμσ-+，②(]22μσμσ-+，③(]μσμσ-+，Ａ．①68.3% ②95.4% ③99.7% Ｂ．①99.7% ②95.4% ③68.3%Ｃ．①68.3% ②99.7% ③95.4% Ｄ．①95.4% ②68.3% ③99.7%答案：Ｂ11．设火箭发射失败的概率为0.01，若发射10次，其中失败的次数为X ，则下列结论正确的是（）Ａ．0.01EX = Ｂ．10()0.010.99k k P x k -==⨯Ｃ．0.1DX =Ｄ．1010()0.010.99kk k P x k C -==⨯·答案：Ｄ12．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（）Ａ．甲学科总体的方差最小Ｂ．丙学科总体的均值最小Ｃ．乙学科总体的方差及均值都居中Ｄ．甲、乙、丙的总体的均值不相同答案：Ａ二、填空题13．若(0)1P X p ==-，(1)P X p ==，则(23)E X -= ．答案：23p -14．两台独立在两地工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，则恰有1台雷达发现飞行目标的概率为．答案：0.2215．某灯泡厂生产大批灯泡，其次品率为1.5%，从中任意地陆续取出100个，则其中正品数X 的均值为个，方差为．答案：98.5，1.477516．设2~()X N μσ，，当x 在(]13，内取值的概率与在(]57，内取值的概率相等时，μ= ．答案：4三、解答题17．一批产品分一、二、三级，其中一级品的数量是二级品的两倍，三级品的数量是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检查其品级，用随机变量描述检验的可能结果，写出它的分布列．解：设二级品有2n 个，则一级品有4n 个，三级品有n 个．一级品占总数的44427n n n n =++，二级品占总数的22427n n n n =++，三级品占总数的17．又设X k =表示取到的是k 级品(123)k =，，，则4(1)7P X ==，2(2)7P X ==，1(3)7P X ==， X ∴的分布列为：31718．如图，电路由电池A B C ，，并联组成．电池A B C ，，损坏的概率分别是0．3，0．2，0．2,求电路断电的概率．解：设A =“电池A 损坏”，B =“电池B 损坏”， C =“电池C 损坏”，则“电路断电”A B C =··， ()0.3()0.2()0.2P A P B P C ===，，∴， ()()()()0.30.20.20.012P A B C P A P B P C ==⨯⨯=∴····．故电路断电的概率为0.012．19．在口袋中有不同编号的3个白球和2个黑球．如果不放回地依次取两个球，求在第1次取到白球的条件下，第2次也取到白球的概率．解：设“第1次取到白球”为事件A ，“第2次取到白球”为事件B ，则1134253()5A A P A A ==·，232563()2010A P AB A ===， 3()110(|)3()25P AB P B A P A ===∴．即在第1次取到白球的条件下，第2次也取到白球的概率为12．20．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所出次品数分别为1X ，2X ，且1X 和X 的分布列为：试比较两名工人谁的技术水平更高．解：16130120.7101010EX =⨯+⨯+⨯=∵，25320120.7101010EX =⨯+⨯+⨯=． 12EX EX =∴，说明两人出的次品数相同，可以认为他们技术水平相当.又2221613(00.7)(10.7)(20.7)0.81101010DX =-⨯+-⨯+-⨯=∵， 2222532(00.7)(10.7)(20.7)0.61101010DX =-⨯+-⨯+-⨯=． 12DX DX >∴，∴工人乙的技术比较稳定. ∴可以认为工人乙的技术水平更高.21．在函数22()x f x σ-，()x ∈-+，∞∞的图象中，试指出曲线的位置，对称轴、渐近线以及函数的奇偶性、单调性和最大值分别是什么；指出参数σ与曲线形状的关系，并运用指数函数的有关性质加以说明．解：由已知，2221()x f x e σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且101e <<．由指数函数的性质知()0f x >，说明曲线在x 轴的上方；又由()()f x f x -=知，函数()f x 为偶函数，其图象的对称轴为 y 轴；当2x 趋向于无穷大时，2221x e σ⎛⎫ ⎪⎝⎭趋向于0，即()f x 趋向于0，说明其渐近线为x 轴；其中，0x >时，（即在对称轴0x =的右侧），2221x e σ⎛⎫ ⎪⎝⎭随x 的增大而减小，此时()f x 单调递减；同理()f x 在0x <时单调递增；由偶函数的对称性知，0x =时，()f x；σ决定了曲线的“高矮”：σ越大，曲线越“矮胖”，反之则越“瘦高”．22．某公司“咨询热线”电话共有8路外线，经长期统计发现，在8点到10点这段时间内，外线电话同8（1）若这段时间内，公司只安排了2位接线员（一个接线员一次只能接一个电话） ①求至少一路电话不能一次接通的概率；②在一周五个工作日中，如果有三个工作日的这段时间（8点至10点）内至少一路电话不能一次接通，那么公司的形象将受到损害，现用至少一路电话不能一次接通的概率表示公司形象的“损害度”，求上述情况下公司形象的“损害度”．（2）求一周五个工作日的这段时间（8点至10点）内，电话同时打入数X的均值．解：（1）①10.140.080.020.010.25P=+++=；②3235134544512P C⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭··．（2）00.1310.3520.2730.1440.0850.0260.01 1.79 EX=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，55 1.798.95EX=⨯=∴．。

云南省高考数学备考复习(理科)专题十七：随机变量及其分布列

云南省高考数学备考复习（理科）专题十七：随机变量及其分布列姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分）设随机变量X满足两点分布，P（X=1）=p，P（X=0）=q，其中p+q=1，则D（X）为（）A . pB . qC . pqD . p+q2. （2分）有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，求另一瓶也是蓝色的概率（）A .B .C .D .3. （2分）下列命题中正确命题的个数是（）（1）命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；（2）设回归直线方程中，增加1个单位时，一定增加2个单位；（3）若为假命题，则均为假命题；（4）对命题，使得，则，均有；（5）设随机变量服从正态分布，若，则.A . 2B . 3C . 4D . 54. （2分）(2020·厦门模拟) 如图，已知电路中3个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高二下·通许期末) 抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则的值等于（）A .B .C .D .6. （2分）袋中有2个黑球和6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是（）A . 取到球的个数B . 取到红球的个数C . 至少取到一个红球D . 至少取到一个红球的概率7. （2分） (2016高二下·三门峡期中) 若离散型随机变量X的分布列如图，则常数c的值为（）X01P9c2﹣c3﹣8cA . 或B .C .D . 18. （2分） (2018高二下·通许期末) 随机变量服从二项分布，且，则等于（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高二下·南海期末) 甲射击时命中目标的概率为，乙射击时命中目标的概率为，则甲乙两人各自射击同一目标一次，则该目标被击中的概率为（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高三上·天津月考) 已知随机变量满足P（ =1）=pi ， P（ =0）=1—pi ， i=1，2.若0<p1<p2< ，则（）A . E(ξ1<)<E(ξ2) ，D(ξ1)<D(ξ2)B . E(ξ1)<E(ξ2) ，D(ξ1)> D(ξ2)C . E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)D . E(ξ1)> E(ξ2)，D(ξ1)> D(ξ2)11. （2分） (2020高二下·开鲁期末) 某年高考中，某省10万考生在满分为150分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布，则分数位于区间分的考生人数近似为（）（已知若，则，，）A . 1140B . 1075C . 2280D . 215012. （2分）(2017·常宁模拟) 在如图所示的矩形中随机投掷30000个点，则落在曲线C下方（曲线C为正态分布N（1，1）的正态曲线）的点的个数的估计值为（）A . 4985B . 8185C . 9970D . 2455513. （2分） (2019高二下·兴宁期中) 从1，2，3，4，5中选3个数，用ξ表示这3个数中最大的一个，则E(ξ)＝（）A . 3B . 4.5C . 5D . 614. （2分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取1个球，记下颜色后放回．若连续取三次，用X表示取出红球的个数，则E（X）+D（X）=（）A . 2B .C .D .15. （2分） (2018高二上·湖北月考) 已知ξ的分布列为：ξ1234则Dξ等于（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分）设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）=________ ．17. （1分）甲、乙两人进行5局乒乓球挑战赛，甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．设甲赢的局数为ξ，则P（ξ=2）=________，E（ξ）=________，D（ξ）=________．18. （1分） (2019高二下·新城期末) 一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球的条件下，第二次再次取到红球的概率为；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为 .其中所有正确结论的序号是________．19. （1分） (2017高二下·蕲春期中) 已知某离散型随机变量X服从的分布列如图，则随机变量X的方差D （X）等于________．X01p m2m20. （1分） (2015高二下·淮安期中) 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则P（X≤1）等于________．三、解答题 (共4题；共20分)21. （5分）(2017·吉林模拟) 据《中国新闻网》10月21日报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人调查，就是否“取消英语听力”的问题，调查统计的结果如下表：态度应该取消应该保留无所谓调查人群在校学生2100人120人y人社会人士600人x人z人已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05．（Ⅰ）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（Ⅱ）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望．22. （5分） (2020高三上·泸县期末) 某市教育部门为了了解全市高一学生的身高发育情况，从本市全体高一学生中随机抽取了100人的身高数据进行统计分析。

2011高考数学总复习 12.1 离散型随机变量的分布列夯实基础大纲人教版.doc

12.1 离散型随机变量的分布列巩固·夯实基础一、自主梳理 1.随机变量的概念如果随机试验的结果可以用一个变量表示,那么这样的变量叫做随机变量,它常用希腊字母ξ、η等表示.(1)离散型随机变量.如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,那么这样的随机变量叫做离散型随机变量.(2)若ξ是随机变量,η=a ξ+b,其中a 、b 是常数,则η也是随机变量. 2.离散型随机变量的分布列(1)概率分布(分布列).设离散型随机变量ξ可能取的值为x 1,x 2,…,x i ,…,ξ取每一个i i i为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列.(2)二项分布.如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是P(ξ=k)=C k n p k q n-k.我们称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作ξ—B(n,p),其中n 、p 为参数,并记C k n p k q n-k=b(k;n,p). 二、点击双基1.抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ=4表示的随机试验结果是（） A.一颗是3点，一颗是1点 B.两颗都是2点C.两颗都是4点D.一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点解析:对A 、B 中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4，而D 是 ξ=4代表的所有试验结果.掌握随机变量的取值与它刻画的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键. 答案:D2.设ξ是一个离散型随机变量,其分布列为:则q 等于( ) A.1 B.1±22 C.1+22 D.1-22解析：∵0.5+1-2q+q 2=1,∴q=1±22. 当q=1+22时,1-2q<0,与分布列的性质矛盾,∴q=1-22. 答案：D3.已知随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=k 21,k=1,2,…,则P(2<ξ≤4)等于( ) A.163 B.41 C.161 D.51 解析:P(2<ξ≤4)=P(ξ=3)+P(ξ=4)=321+421=163.答案:A4.某批数量较大的商品的次品率为10%,从中任意地连续取出5件,其中次品数ξ的分布列为 __________________________.解析:本题中商品数量较大,故从中任意抽取5件(不放回)可以看作是独立重复试验n=5,因而次品数ξ服从二项分布, 即ξ—B(5,0.1).弹用尽,则耗用子弹数ξ的分布列为___________________________. 解析：ξ可以取1,2,3,4,5,P(ξ=1)=0.9,P(ξ=2)=0.1×0.9=0.09,P(ξ=3)=0.12×0.9=0.009,P(ξ=4)=0.13×0.9=0.000 9,P(ξ=5)=0.14=0.000 1. 诱思·实例点拨【例1】一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量ξ的分布列.剖析:因为在编号为1,2,3,4,5的球中,同时取3只,所以小号码可能是1或2或3,即ξ可以取1,2,3.解:随机变量ξ的可能取值为1，2，3.当ξ=1时，即取出的三只球中最小号码为1，则其他两只球只能在编号为2，3，4，5的四只球中任取两只，故有P （ξ=1）=3524C C =106=53;当ξ=2时，即取出的三只球中最小号码为2，则其他两只球只能在编号为3，4，5的三只球中任取两只，故有P （ξ=2）=3523C C =103;当ξ=3时，即取出的三只球中最小号码为3，则其他两只球只能在编号为4，5的两只球中任取两只，故有P （ξ=3）=3522C C =101.因此，ξ的分布列如下表所示：讲评:求随机变量的分布列,重要的基础是概率的计算,如古典概率、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、n 次独立重复试验有k 次发生的概率等.本题中基本事件总数,即n=C 35,取每一个球的概率都属古典概率(等可能性事件的概率).【例2】(北京高考,理)甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为21,乙每次击中目标的概率为32. (1)记甲击中目标的次数为ξ,求ξ的概率分布及数学期望E ξ; (2)求乙至多击中目标2次的概率;(3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.剖析:(1)甲射击有击中目标与击不中目标两个结果,且3次射击是3次独立重复试验.∴ξ—B(3,21).(2)“乙至多击中目标2次”的对立事件是“乙击中目标3次”.(3)“甲恰好比乙多击中目标2次”即“甲击中2次乙没击中目标或甲击中目标3次乙击中1次”.解:(1)P(ξ=0)=C 03(21)3=81; P(ξ=1)=C 13(21)3=83;P(ξ=2)=C 23(21)3=83;P(ξ=3)=C 33(21)3=81.∵ξ—B(3,2), ∴E ξ=3×21=1.5.(2)乙至多击中目标2次的概率为1-C 33(32)3=2719.(3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标0次为事件B 1,甲恰好击中目标3次且乙恰好击中目标1次为事件B 2,则A=B 1+B 2,B 1、B 2为互斥事件,∴P(A)=P(B 1)+P(B 2)=83×271+81×92=241.∴甲恰好比乙多击中目标2次的概率为241. 讲评:求离散型随机变量的概率分布的步骤为:(1)找出随机变量ξ的所有可能的值x i (i=1,2,…);(2)求出各值的概率P(ξ=x i )=p i ;(3)列成表格.【例3】(广东高考)箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球,黄、白乒乓球的数量比为s ∶t.现从箱中每次任意取出一个球,若取出的是黄球则结束,若取出的是白球,则将其放回箱中,并继续从箱中任意取出一个球,但取球的次数最多不超过n 次.以ξ表示取球结束时已取到白球的次数. (1)求ξ的分布列; (2)求ξ的数学期望.解:(1)ξ的可能取值为0,1,2,…,n.(2)ξ的数学期望为E ξ=0×t s s++1×2)(t s st ++2×32)(t s st ++…+(n-1)×n n t s st )(1+-+n ×n n t s t )(+. ① t s t +E ξ=3)(t s st ++42)(2t s st ++…+n n t s st n )()2(1+--+1)()1(++-n n t s st n +11)(+++n n t s nt . ② ①-②,得E ξ=s t +1)()1(-+-n n t s s t n -n n t s t n )()1(+--nn t s s nt )(1++. 讲评:本题是几何分布问题,其中用到数列的错位相减法求和,注意运算的严谨性.。

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高三数学章节训练题28《随机变量及其分布》
时量：60分钟满分：80分班级：姓名：计分：
个人目标：□优秀（70’~80’） □良好（60’～69’） □合格（50’～59’）一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 1. 某一随机变量ξ的概率分布如下表，且2m n + 1.2=，则
n m -的值为（）
A.－0.2；
B.0.2；
C.0.1；
D.－0.1
2. 一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则=≤≤)3
531(ξP （） A.
7
1 B.
7
2
C.
7
3
D.
7
4 3. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c （a 、b 、(0,1)c ∈），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则ab 的最大值为（）
A ．
148
B ．
124
C ．
112
D ．
16
4. 如果随机变量()
ξμσξξ~N E D ，，，2
31==，则()P -≤<11ξ等于（）
A.241Φ()-
B.ΦΦ()()42-
C.ΦΦ()()24-
D.ΦΦ()()---42
5. 随机变量ξ的所有等可能取值为1,2,,n …，若()40.3P ξ<=，则（）
A ．3n =；
B ．4n =；
C ．10n =；
D ．不能确定
6. 设ξ是离散型随机变量，32)(1=
=x p ξ，31)(2==x p ξ，且21x x <，现已知：
3
4
=ξE ，92
=
ξD ，则21x x +的值为（） A.35 B.37 C.３ D.3
11 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 1. 甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲、乙命中的概率分别为
32和5
4
，若命中目标的人数为ξ，则=ξE .
2. 一袋中装有４个白球，２个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现３次停止，设停止时,取球次数为随机变量X ,则
==)5(X P ________．
3. 同时掷两枚骰子，它们各面分别刻有：3,3,3,2,2,1，若ξ为掷得点数之积，则E ξ= .
4. 设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，则q = .
三、解答题：（本大题共2小题，每小题15分，满分30分）
1. 若随机事件A 在1次试验中发生的概率是p ，用随机变量ξ表示A 在1次实验中发生的次数。

（1）求方差ξD 的最大值；（2）求
ξ
ξE D 1
2-的最大值.
2. 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为
12，乙、丙面试合格的概率都是1
3
，且面试是否合格互不影响．求：（1）至少有1人面试合格的概率; （2）签约人数ξ的分布列和数学期望．
高三数学章节训练题28《随机变量及其分布》答案
一、选择题
1. 答案：B ；[解题思路]：由离散型随机变量分布列的性质可得解析：由0.2m n ++1=，又2m n + 1.2=，可得2
n m -0.2=
【名师指引】离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
⑴P i ≥0，i ＝1，2，…； ⑵P 1+P 2+…=1． 2.答案：D 解析：设二级品有k 个，∴ 一级品有k 2个，三级品有
2k 个，总数为k 2
7
个。

∴ 分布列为
74
)1()3531(===≤≤ξξP P
3.答案：由已知得3202,a b c ++⨯=即322,a b +=2
11321
326626
a b ab a b +⎛⎫∴=⋅⋅≤= ⎪⎝⎭，
故选D.
4. 答案:B 解析：这里的
μξσξ====E D 31，；由换算关系式
F x x ()=-⎛⎝ ⎫
⎭
⎪Φμσ，有
()
()()()()()[][]111113132(4)1(2)1(4)(4)(2)
P P x P x ξ-≤<=<-≤-=Φ--Φ--=Φ--Φ-=-Φ--Φ=Φ-Φ5.答案：C 6.答案：C 二填空题：
1.答案:
1522； 2.答案:818
3.
答案: 49
解析:投两个骰子共有36种可能，即
∴9
493681367236163618368361=+++++=
ξE 4.解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，所以
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≤≤-≤=+-+112101
212122
q q q q 解得2
21-
=q 。

三解答题：
1.[解题思路]：
（1）由两点分布，分布列易写出，而要求方差ξD 的最大值需求得ξD 的表达式，转化为二次函数的最值问题；
（2）得到p
p p p p E D 1
221)(2122--=--=-ξξ后自然会联想均值不等式求最值。

解析：（1）ξ的分布列如表：所以p E =ξ，
4
1
)21()1()1()1()0(2222+--=-=--+--=p p p p p p p D ξ
所以2
1=p 时，ξD 有最大值41。

（2）由2221
2221221)(2122-=⋅-≤--=--=-p
p p p p p p E D ξξ，当且仅当
p p 12=
即2
2=p 时取等号，所以ξξE D 12-的最大值是222-。

【名师指引】在超几何分布中,只要知道N,M 和n,就可以根据公式求出X 取不同m 值时的概率P(X=m).
2. 解: 用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A ，B ，C 相互独立，
且
11
(),()()23
P A P B P C ===.------------------------------------------------------2分
（1）至少有1人面试合格的概率是
1227
1()1()()()1.
2339
P ABC P A P B P C -=-=-⨯⨯=----------------------4
分
（2）ξ的可能取值为0，1
，
2
，
3.----------------------------------------------------------5分 ∵ (0)()()()P P ABC P AB C P ABC ξ==++
＝()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++ ＝1121211224
.2332332339
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=---------------------------6分
(1)()()()P P ABC P ABC P ABC ξ==++
=()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++
=1211121224
.2332332339
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=--------------------------------7分 1111
(2)()()()().23318
P P ABC P A P B P C ξ====⨯⨯=---------------------8
分
1111
(3)()()()().23318
P P ABC P A P B P C ξ====⨯⨯=----------------------9分
∴ξ的分布列是
--------10
分
ξ的期望
441
123
9
91
8
E ξ
=
⨯+----------------------------------------12分。